Применение интегралов: моменты, центр тяжести фигур

c ÌàòÁþðî ðåøåíèå çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå, òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
Ïðèìåíåíèå èíòåãðàëîâ: âû÷èñëåíèå ìîìåíòîâ è öåíòðà òÿæåñòè
Ìîìåíòû ïëîñêîé êðèâîé
Äëÿ ïëîñêîé êðèâîé L ñòàòè÷åñêèå ìîìåíòû Mx , My îòíîñèòåëüíî îñåé Ox, Oy âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
Z
Z
Mx =
y dl,
My =
L
x dl.
L
Ìîìåíòû èíåðöèè Ix , Iy è I0 îòíîñèòåëüíî îñåé Ox, Oy è íà÷àëà êîîðäèíàò âû÷èñëÿþòñÿ
ïî ôîðìóëàì
Z
Z
Z
2
2
Ix = y dl, Iy = x dl, I0 = (x2 + y 2 ) dl.
L
L
L
Åñëè êðèâàÿ çàäàíà
ÿâíûì óðàâíåíèåì y = y(x), a ≤ x ≤ b, òî â ýòèõ ôîðìóëàõ dl
p
íàäî çàìåíèòü íà 1 + y 02 dx. Åñëè êðèâàÿ çàäàíà p
ïàðàìåòðè÷åñêè: x = x(t), y = y(t),
t1 ≤ t ≤ t2 , òî â ýòèõ ôîðìóëàõ dl íàäî çàìåíèòü íà x02 + y 02 dt.
Ìîìåíòû ïëîñêîé ôèãóðû
Äëÿ ïëîñêîé ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé êðèâûìè y = y1 (x), y = y2 (x) (y1 ≤ y2 ) è ïðÿìûìè
x = a, x = b (a ≤ b) ñòàòè÷åñêèå ìîìåíòû âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìè
1
Mx =
2
Zb
Zb
(y22 − y12 )dx,
My =
x(y2 − y1 )dx.
a
a
Ìîìåíòû èíåðöèè Ix , Iy , I0 ïëîñêîé ôèãóðû D îòíîñèòåëüíî îñåé êîîðäèíàò Ox, Oy è
íà÷àëà êîîðäèíàò (ïîëÿðíûé ìîìåíò èíåðöèè) âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
ZZ
ZZ
ZZ
2
2
Ix =
y dy dx, Iy =
x dy dx, I0 =
(x2 + y 2 ) dy dx.
D
D
D
Ìîìåíòû îáúåìíîãî òåëà
Äëÿ îáúåìíîãî òåëà V ìîìåíòû èíåðöèè Ix , Iy , Iz , I0 îòíîñèòåëüíî îñåé êîîðäèíàò Ox,
Oy , Oz è íà÷àëà êîîðäèíàò âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZ
2
2
2
2
2
2
Ix =
(y +z ) dv, Iy =
(x +z ) dv, Iz =
(y +x ) dv, I0 =
(x2 +y 2 +z 2 ) dv.
V
V
V
D
Äëÿ îáúåìíîãî òåëà V ìîìåíòû èíåðöèè Ixy , Iyz , Ixz îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíûõ ïëîñêîñòåé xOy , yOz , xOz âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
ZZZ
ZZZ
ZZZ
2
2
Ix y =
z dv, Iy z =
x dv, Ix z =
y 2 dv.
V
V
1
V
www.MatBuro.ru :: Ðåøåíèå çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå. Ó÷åáíèêè, ôîðìóëû, êíèãè
Öåíòð òÿæåñòè
Öåíòð òÿæåñòè ïëîñêîé êðèâîé L èìååò êîîðäèíàòû xc = My /l, yc = Mx /l, ãäå l äëèíà êðèâîé L.
Öåíòð òÿæåñòè ïëîñêîé ôèãóðû èìååò êîîðäèíàòû xc = My /S , yc = Mx /S , ãäå S ïëîùàäü ôèãóðû.
Öåíòð òÿæåñòè îáúåìíîãî òåëà èìååò êîîðäèíàòû
ZZZ
ZZZ
ZZZ
1
1
1
xc =
x dv, yc =
y dv, zc =
z dv,
V
V
V
V
V
ãäå V îáúåì òåëà.
2
V