Краткий курс высшей математики
advertisement
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ
П.А. Кочетков
КРАТКИЙ КУРС
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Учебное пособие
Издание 7-е, стереотипное
МОСКВА 2009
УДК 512
ББК 22.1я73
К76
К76
Кочетков П.А. Краткий курс высшей математики. Учебное пособие. – 5-е изд., стереотипное – М.: МГИУ, 2007. - 188 с.
ISBN 978-5-2760-1166-0
Учебное пособие подготовлено для студентов высших учебных заведений, обучающихся в системе дистанционного образования по заочной форме. Содержание материала и его изложение позволяет самостоятельно готовиться по данному курсу.
УДК 512
ББК 22.1я73
П.А. Кочетков, 2002, 2005
МГИУ, 2002, 2005
ИДО МГИУ, 2002, 2005
ISBN 978-5-2760-1166-0
1
ОГЛАВЛЕНИЕ
Раздел 1. Математический анализ функции
одного
переменного
1. Элементы теории множеств…………………
5
2. Вещественные и комплексные числа…………… . 7
3. Числовые последовательности………………… … 8
4. Числовые функции и их свойства……………… … 11
4.1. Числовая функция……………………………………… . 11
4.2. Предел и непрерывность функции……………………. 12
5. Дифференцирование функции одного переменного
5.1. Понятие производной функции………………………… 17
5.2. Исследование функций………………………………….. 23
6. Неопределенный и определенный интегралы… 26
6.1. Первообразная и неопределенный интеграл………….26
6.2. Определенный интеграл……………………………….. 28
7. Кратные интегралы…………………………………. 35
7.1. Двойной интеграл и его приложения………………… ..36
7.2. Тройной интеграл и его приложения………………… ..44
Раздел 2. Ряды и дифференциальные уравнения
8. Числовые и степенные ряды…………………….. 48
8.1. Числовые ряды…………………………………………… 48
8.2. Признаки сходимости рядов со знакопостоянными членами………………………………………………………… .49
8.3. Признаки сходимости Даламбера, Коши и Лейбница 52
8.4. Степенные ряды……………………………………… ….. 55
9. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 57
9.1. Основные понятия и определения………………………..57
9.2.Уравнения с разделяющимися переменными……. ..59
9.3. Линейные уравнения первого порядка.
Уравнение Бернулли……………………………………… 62
9.4. Дифференциальные уравнения n-го порядка…65
9.5. Линейные однородные уравнения с
постоянными коэффициентами………………………….. 68
9.6. Линейные неоднородные уравнения с
постоянными коэффициентами………………………… 70
2
Раздел 3. Линейная алгебра.
10. Операции над векторами………………………….
74
10.1. Векторы. Линейные операции над векторами…………. 74.
10.2. Линейно независимые системы векторов. Базис.
Системы координат…………………………………………..76
11. Матрицы и определители…………………………….79
12.Системы линейных уравнений и неравенств……….82
13. Экстремум функции нескольких переменных… .. 90
13.1. Функция нескольких переменных……………………….….90
13.2. Частные производные и дифференцируемость ФНП….91
13.3. Локальный экстремум ФНП…………………………….… 95
13.4. Условный экстремум ФНП. Метод Лагранжа…………. 99
Раздел 4. Основы дискретной математики.
14. Введение в теорию множеств……………………..102
15. Комбинаторика………………………………………104
16. Алгебраические системы………………………… 109
17. Бинарные отношения……………………………….113
18. Основы математической логики………………… 116
19. Теория графов…………………………………….. 121
Раздел 5. Теория вероятностей и математическая
статистика
20. Случайные события……………………………..….129
20.1. Случайные явления и события………………………… 129
20.2. Вероятность случайного события…………………….. 131
20.4. Формула Бернулли. Формула Пуассона…………….. 136
20.5. Формула полной вероятности. Формула Бейеса….. .138
21. Случайные величины……………………………...141
21.1. Определение случайной величины…………………….141
21.2. Непрерывные и дискретные случайные величины…..142
21.2. Числовые характеристики случайных величин……. 146
21.3. Нормальный закон распределения случайной
величины…………………………………………………….149
21.4. Закон больших чисел……………………………………. 151
3
22. Элементы математической статистики…….……153
22.1. Основные задачи матнематической статистики…...…153
22.2. Построение эмпирической функции распределения
Выборка…………………………………………………..….153
22.3. Оценка параметров случайной величины……………..154
22.4. Проверка статистических гипотез…………………….…158
22.5. Корреляционный анализ……………………………….… 159
22.6. Регрессионный анализ…………………………………... 161
22.7. Временные ряды……………………………………….... 168
Раздел 6
Избранные разделы высшей математики
23. Задачи математического программирования… ..173
23.1. Постановка задачи математического
программирования………………………………………....173
23.2. Основные понятия линейного программирования……174
23.3. Задачи нелинейного и динамического
программирования……………………………………..184
24. Введение в теорию исследования операций……189
25. Теория массового обслуживания…………………191
26. Введение в теорию игр…………………………..196
Приложение 1…………………………………….………201
Приложение 2……………………………………….…… 202
Список литературы …………………………………...…203
4
Раздел 1.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
1. Элементы теории множеств
Под множеством понимают некоторую совокупность элементов, объединенных по определенным признакам.
Множества состоят из элементов. Принадлежность элемента
х множеству А записывается следующим образом: х А. Если
элемент х не принадлежит множеству А, то это записывается так:
х А.
Множество В называется подмножеством множества А, если
все элементы множества В являются элементами множества А.
То, что В является подмножеством множества А, записывается
так: В А (рис. 1.1).
Множество А
В
х
А
Подмножество В А
Рис . 1.1.
Множество А и подмножество В.
Введем понятие пустого множества, т.е. множества, в котором не содержится ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом . Пустое множество содержится в любом
множестве, т.е. А.
Объединением (суммой) множеств Ак (k = l, 2,...,n) называется множество S, которое состоит из всех элементов множеств
Ак, т.е. если х S, то х Ак хотя бы при одном к.
Объединение множеств Ак (к = 1,2,…,n) обозначается символом
5
n
S = Ak .
(1.1)
k 1
Пересечением (произведением) множеств Ак (к =1,2,...,n)
называется множество Р, которое состоит из элементов, принадлежащих одновременно всем множествам Ак, т.е. если х Р, то х
Ак при всех к=1,2,...,n.
Пересечение множеств Aк (к = 1,2,...,n) обозначается символом
n
P = Ak .
(1.2)
k 1
ПРИМЕР 1
Все студенты университета образуют множество А. Студенты старших курсов образуют подмножество В А. Студенты
экономического факультета образуют подмножество С А.
Тогда подмножество S = ВUC объединяет студентов старших
курсов и студентов- экономистов. Подмножество Р = В С
объединяет студентов- экономистов старших курсов.
****
ПРИМЕР 2
Все машины на стоянке около завода ЗИЛ образуют множество
М. Легковые машины образуют подмножество Мл М. Машины отечественного производства образуют подмножество
Мот М. Тогда подмножество S = МлUМот включает легковые и отечественные машины. Подмножество Р = Мл Мот
включает все легковые отечественные машины.
****
6
2. Действительные и комплексные числа
Представим основные числовые множества.
Натуральные числа N : 1,2,...,n,... – целые положительные
числа.
Целые числа Р : ... -2,-1,0,1,2,... – все отрицательные и положительные целые числа и ноль.
Рациональные числа Q можно представить в виде q = р/n,
где р и n – целое и натуральное числа.
Рациональное число можно представить в виде конечной
или бесконечной периодической десятичной дроби, т.е.
q = a0 a1 ... an или q = a0 a1 ... an(an).
(1.3)
Иррациональные числа Z представимы только в виде бесконечных непериодических десятичных дробей, т.е.
z = a0 a1 ... an ...
(1.4)
К иррациональным числам относятся:
1. Основание натурального логарифма е 2,7182...
2. Число 3,14159...
3.
2 1,4142…
Все рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных (вещественных) чисел R.
Между вещественными числами и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждой
точке числовой прямой можно всегда указать определенное вещественное число и наоборот .
Комплексным числом z называется упорядоченная пара
(х, у) действиельных чисел х и у.
Два комплексных числа z1 = (x1, y1) и z2 = (х2, y2) называются равными в том и только в том случае, когда x1 = x2, y1 = y2.
Сумма и произведение комплексных чисел z1 = (x1, y1), z2 =
(х2, y2) определяются соответственно равенствами:
z1 + z2 = (x1 + x2, y1 + y2);
z1z2 = (xlx2 -y1y2, x1y2 + x2y1).
(1.5)
7
Введем обозначение i = (0,1). В силу равенств (1.5): i 2 = -1.
Тогда любое комплексное число можно записать в виде
z = х + iy.
(1.6)
Вещественное число |z| = x 2 y2 называется модулем комплексного числа z.
Пусть z = x + iy. Введем угол следующими соотношениями:
y
x
= sin ;
= cos .
(1.7)
2
2
2
2
x y
x y
Угол называется аргументом комплексного числа z.
С учетом соотношений (1.7) комплексное число z можно
представить в тригонометрической форме:
z =|z| (cos + sin ).
(1.8)
С учетом соотношений (1.7) можно получить формулу Муавра:
n
(cos + i sin ) = cos n + i sin n.
(1.9)
3. Числовые последовательности
Числовой последовательностью {an} называется однозначное отображение множества натуральных чисел N во множество действительных чисел R. Это определение можно представить так: (n) = an. Другими словами, числовая последовательность {an} – это пронумерованное множество действительных
чисел: а1, а2, …, аn, … .
Число а называется пределом последовательности {аn}, если для любого > 0 найдется такое натуральное N, что для всех
n N выполняется неравенство |an - a| < .
Другими словами, число а является пределом числовой последовательности {аn}, если , начиная с элемента аN, все элементы
последовательности с номерами n >N окажутся в -окрестности
точки а : U (а) = ( а - , а + )
(рис. 1.2.).
8
Причем, номер N зависит от выбранного значения : чем
меньше , тем с большим номером аN попадает в U (а).
Это определение записывают в виде
(1.10)
lim a n a .
n
Если последовательность сходится к пределу а, то она называется сходящейся, в противном случае последовательность
называется расходящейся.
.
aN-1
(
. .
a
)
aN
R
Рис. 1.2. Графическое представление -окрестности точки апредела числовой последовательности.
****
ПРИМЕР 1
Рассмотрим числовую последовательность:
1
1
1
1
{аn} = ------ = ------ , ------ , …. ------ , …
n2
12
22
n2
Доказать, что :
2
lim (1/n ) = 0.
n
Решение
Выбираем = 1/10000, тогда : U (0) = ( - 1/10000 , 1/10000).
Несложно заметить, что , начиная с N = 101 , все элементы последовательности : 1/10201 ( N = 101), 1/10404 ( n = 102), ..
попадают в U (0) .
Следовательно, предел последовательности существует и он равен:
2
lim (1/n ) = 0.
n
****
9
ПРИМЕР 2
4n3 + 2n
-------------5 + 2n2
Рассмотрим числовую последовательность {an} =
4n3 + 2n
Доказать , что : lim --------------- = 2.
n
5 + 2n3
Решение
Проведем расчеты, разделив числитель и знаменатель общего
члена на старшую степень n3:
4n3 + 2n
4 + 2n/n3
lim
--------------= lim
------------------- = 2.
3
n
5 + 2n
n
5/n3 + 2
Так как,
2/n2 и 5/n3
0
при n
****
.
ЗАДАНИЕ
1
---------n3
= 0.
lim
n
3n2 + 6n
------------7 + n2
= 3.
3). Доказать, что
lim
n
sin n
----------n
= 0.
4). Доказать, что
lim [
n
1). Доказать, что
2). Доказать, что
lim
n
(n2 + n) - n ] = 1/2.
Критерий сходимости Коши. Последовательность {аn}
сходится тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует
такое натуральное N, что для всех n, m N имеет место неравенство |an- am| < ε.
10
4. Числовые функции и их свойства.
4.1. Числовая функция
Числовая функция вещественного переменного х – это закон или правило, по которому каждому числу х некоторого числового подмножества А множества вещественных чисел R ставится в соответствие определенное число y числового подмножества В R.
Числовые функции вещественного переменного обычно задаются с помощью формул вида y = f(x).
Графиком функции y = f(x) называется множество точек
плоскости {х, f(x)}, ордината у и абсцисса х которых связаны соотношением y = f(x) (рис. 1.3).
Функция y = f(x) называется монотонно возрастающей на
некотором промежутке, если для любых x1 и x2 из этого промежутка, причем x1 < х2, следует: f(x1) < f(x2).
Функция y = f(x) называется монотонно убывающей на некотором промежутке, если для x1 и x2 из этого промежутка, где x1
< x2, следует: f(x1) > f(x2).
Пусть y = f(x) - монотонная функция на множестве Х.
Очевидно, что отображение f : Х на множество значений f(X)
является взаимно однозначным (т.е., при х1 х2 , f(x1) f(x2) ).
Таким образом, получено взаимно однозначное тотбражение :
множества f(X) на множество Х.
Другими словами, зависимость f(x) определяет функцию х = (y) , определенную на
множестве f(X) , а множеством её значений служит множество Х.
Функция х = (y) называется обратной ( по отношению к y =
f(x))
функцией.
Причем, если функция y = f(x) – непрерывнв и возрастает
(убывает) на множестве Х, тогда обратная функция х = (y) –
непрерывнв и возрастает ( убывает) на множестве f(X).
11
4.2. Предел и непрерывность функции
Число А называется пределом функции y = f(x) при х а,
если для любого >0 найдется такое число > 0, что для всех х,
удовлетворяющих условию 0 <| х-а |< , выполняется неравенство
|f(x)-A|< ( рис. 1.3).
Если эти требования выполнены, то пишут: lim f(x) = A.
xa
Y
y= f(x)
А =f(a) : в ( ) а функция
непрерывна
А
X
а
Рис. 1.3 . Предел и непрерывность функции в точке а.
Функция (x) называется бесконечно малой при xa, если
lim α(x) = 0.
xa
Например, функции 1/x, 1/x2 , …. 1/xn – бесконечно малые при
х . Функции х, х2, …. хn - бесконечно малые при х 0.
Здесь степени n – натуральные числа.
Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если выполняется : lim f(x) = f(a) = A ( рис. 1.3.).
x a
Функция называется непрерывной на множестве X, если
она непрерывна в каждой точке х этого множества X.
12
Точка, в которой функция f(x) не является непрерывной, называется точкой разрыва функции f(x) (это точки X0, X1, X2 на
(рис. 1.4).
Рис. 1.4. Разрывы функции y = f(x):
в точке х0 – устранимый разрыв; в точке x1 – разрыв 1-го рода;
в точке x2 – разрыв 2-го рода
Вычисление некоторых пределов:
1-й
замечательный
предел:
2-й замечательный предел:
sinx
1.
x 0 x
lim
lim (1 1 /x) x = е,
x
где е - основание натурального логарифма (е2,718).
2-ой замечательный предел можно представить в
виде :
lim ( 1 + x)1/x = e.
x 0
13
Для вычисления пределов функций используется метод эквивалентных замен. Согласно этому методу при вычислении пределов при х 0 возможны замены:
sin (kx)
~
kx
tg (mx)
~
mx
ln( 1+ nx)
~
nx
cos( kx)
~
( 1 + x )m
(1.11)
1 - (kx)2/ 2
~
1 + mx.
****
ПРИМЕР 1
Вычислить предел функции:
lim
х
Так как,
6х3 + х2
---------------2х + 3х3
1/x,
x3( 6 + 1/x)
6
= lim ------------ -- = ----- = 2.
х x3(2/x + 3)
3
2/x2 - бесконечно малые при х
.
****
ПРИМЕР 2
Вычислить предел функции:
2x2 - 4x3
lim ----------------- =
х 0 3x4 + 5x2
x2( 2 – 4x)
lim ------------------ =
х 0
x2( 3x2 + 5)
Так как, 4х и 3х2 - бесконечно малые при х
14
2
------.
5
0.
ПРИМЕР 3
Вычислить предел функции:
x2 - 9
lim ------------х 3
x - 3
( x-3)(x+3)
= lim --------------- = lim (x +3) = 6.
х3
x -3
х3
****
ПРИМЕР 4
Вычислить предел функции:
sin (4x) * ln( 1+3x)
4x * 3x
lim -------------------------- = lim --------------х 0
tg2( 2x)
х 0
2x * 2x
= 3.
Использован метод эквивалентных замен.
****
ПРИМЕР 5
Вычислить предел функции:
4
lim
х
1 + ----x
2x
4
= lim
х
x/4* 8
1 + -----x
= e8 .
****
ПРИМЕР 6
Вычислить предел функции:
lim
х
3
1 - ----x2
x2
= lim
х
3
1 - -----x2
-x2/3* (-3)
= e- 3 .
В 5) и 6) использован 2 замечательный предел.
15
ЗАДАНИЕ
Вычислить пределы функций:
lim
1).
x
x 4 x 3
3
3x 7
(Ответ: -4/3)
x 2 x 2
3). lim
2).
x tg(2 x)
x 0 sin 2 (3 x)
9).
х 0
11).
8). lim
(Отв.: 2/9).
2
х 0
(Ответ: 2/5)
(Ответ:15/4)
(Ответ: 4)
sin(2x)
1
12). lim (1 2 x ) 4 x (Ответ: е1/2
x 0
lim (1 3 /x) 2 x (Ответ: е-6 )
x
13). lim ( 1+ sin (2x))3/x (Отв.: е6) .
х 0
4x
2
(1+2x)4 - 1
10). lim ---------------
tg (3x)
11). lim ( 1 +
х
5x
tg 3x sin 5x
x 0
2x
4/ x ) (Ответ: e8).
2 x x3
(Ответ: 4/7)
x - 2
6). lim ------------ (Ответ: 1/32)
х 4 x2 - 16
(Ответ: 2/9)
x ln(1+2x)
Lim ---------------
7x 8
x 0 3 x 2
x2 – 3x
5). lim ------------ (Ответ: 1/2 )
х 3 x2 - 9
7). lim
3
x
4). lim
(Ответ: 1/ 4 )
x 0 4 x 3 x 2
lim
3 x2 4 x3
1/x2
12). lim ( 1+2x2) (Ответ: e2 ).
х 0
14). lim(1 – tg(3x))1/x (Отв:e-3)
х 0
16
)
5. Дифференцирование функций одного переменного
5.1. Понятие производной функции
Пусть y = f(x) определена на некотором множестве Х и х0 X.
Придадим х0 малое приращение х и перейдем в точку х .
f(x) f(x 0 )
Если существует предел lim
, то этот предел наx x0
x x 0
зывается производной функции y = f(x) в точке х0 и обозначается
dy(x0)
f(x) - f(x0)
f (х0) = у(х0) = ---------- = lim --------------(1.12)
dx
х x0
x - x0
Операция вычисления производной функции называется
дифференцированием.
Функция y = f(x), имеющая производную в точке х0, называется дифференцируемой в точке х0.
Функция, дифференцируемая в каждой точке х множества
X, называется дифференцируемой на множестве X.
Замечания:
1. Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x0, то она и
непрерывна в этой точке.
2.Функция y = f(x), непрерывная в точке х0, не обязательно дифференцируема в этой точке.
Механический смысл производной. Пусть точка движется вдоль
пути S. Тогда путь, пройденный точкой за время t, обозначим
S = f(t). Тогда S = f(t + t) - f(t) – путь, пройденный точкой за
отрезок времени (t, t + t).
ΔS
Отношение
- средняя скорость точки на отрезке (t, t+t).
Δt
ΔS
Тогда
lim
S(t) V(t) - – мгновенная скорость точки
Δt 0 Δt
в момент времени t.
17
Геометрический смысл производной. Пусть функция y =
f(x) дифференцируема в точке х0. Проведем касательную к графику функции y = f(x) в точке х0 (рис. 1.5). Можно показать, что
тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке х0
равен производной функции в этой точке, т.е. tg = f (x0).
Y
Касательная к
графику в точке x0
y=f(x)
tg
0
= f (x 0 )
x0
X
Рис. 1.5. Геометрический смысл производной
Правила дифференцирования:
1. (Cf(x)) = Cf (х), где С – вещественное число.
2. (f(x) g(x)) = f'(x) g(x).
3. (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g(x).
f(x) f (x) g(x) f(x) g (x)
4.
.
2
g(x)
(g(x))
18
Дифференцирование сложной функции. Пусть y = f(x)
дифференцируема в точке х0, а функция g(t) дифференцируема в
точке t0 = f(x0). Тогда сложная функция y = g(f(x)) дифференцируема в точке х0 и
y'(x0) = g(f(х0))f (x0)
(1.13)
Дифференциал функции. Рассмотрим функцию y = f(x), которая дифференцируема в точке х. Придадим х приращение х и
рассмотрим соответствующее приращение функции
f = f(x + х) - f(x) = f '(х) х + o(x),
(1.14)
где o(х) – бесконечно малая часть приращения функции при
х0, а линейная часть приращения функции f '(х)х называется
дифференциалом функции f(x) в точке х: df(х) = f '(х)х.
Производные от элементарных функций:
n
n-1
1). (х ) = nx
x
;
x
2). (а ) = а ln a;
3). (ln х) = 1/х;
4). (sin х) = cos х;
5). (cos х) = -sin х;
1
6). (tg х) =
;
2
cos x
7). (ctg x) =
1
2
sin x
;
8). (arcsin х)' = - (arccos х) =
9). (arctg х) = - (arcctg х)' =
1
1 x
1
1 x2
.
19
2
;
ПРИМЕРЫ
ПРИМЕРЫ НА ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
1). ( х3 + cos x + 4 )' =
3х2 - sin x.
4
-5
2). ( 2х4 + 3/х5 )' = ( 2х + 3х
)' = 8x3 + 3 (-5) x-6 = 8x3 -15 x-6 .
1
sin x + ln x cos x .
x
3). (ln x sin x) =
4). ( ctg x 3x ) = - (1/sin2x) 3x +
ctg x 3x ln3 .
1
x 2 tgx 2 x
2
tgx cos x
.
2
x
x4
5).
6).
(
cos x
)
ln x
sin x ln x cos x
1
x
.
2
ln x
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
3
7). (sin x)' =
3sin2x (sin x)' =
3 sin2x cos x.
8). (cos4x2)' = 4cos3x2 (cos x2)' = 4 cos3x2 (- sin x2) 2x;
1
9). ( tg (lnx))'= 5tg (lnx) (tg(lnx)' = 5tg (lnx) ( ---------) (lnx)' =
cos2lnx
1
1
4
5 tg x --------------- -------- .
cos2(lnx)
x
5
4
3
10). (arccos x )' = -
4
1
(x )'
3
3 2
1 (x )
20
=
3x 2
1 x
6
;
ЗАДАНИЕ
ВЫЧИСЛИТЬ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ:
1).
3).
y = 6х5 +
y
3х + 2 tgx .
arccos x +
=
5). y = 4x tg x .
7). y = х ctg х .
5
9).
y =
tg x
----- .
x5
3
2/х4 .
2). y = 5ctg x +
2
x.
4).
y = 4lnx + --------- .
5
x
6).
y = cos x arcsin x .
8).
sinx
y = --------------x4
10).
cos x
y = -----------x3
tg x
cos x 2x
11). y = ------------- .
12). y = -------------lnx
x3
------------------------------------------------------------------------------13). y = cos5 x.
14).
15) . y = tg2( lnx).
17). y = 3
sin x
+
x.
tg2x
19). y = -----------ln(2x)
y =
16). y =
sin4 (2x).
4cos
2
x
.
18). y = sin2x 4x .
20). y =
21
cos3 (x2)
-------------ctg2( x4)
Производные и дифференциалы высших порядков.
Пусть функция y = f(x) имеет в U (а) производную.
Если в ( ) а дифференцируема производная f'(x), то её производную называет второй производной функции f(x) в этой точке
и обозначают f' (а) .
Таким образом:
f (x) - f (x0)
f (х0) = lim
-------------------(1.15)
х x0
x - x0
В общем случае, если в ( ) а дифференцируема производная
f' (x), то её производную называет n-ой производной функции f(x) в этой точке и обозначают f'(n) (а) .
Таким образом:
f'(n) (x) = ( f'(n-1) (x) )
(1.16)
(n-1)
Пусть функция f(x) имеет в ( ) х
все производные до n-го
порядка включительно.
Дифференциалом n-го порядка называется выражение:
dny =
d( dn-1 y ) =
f(n)(x)dxn .
(1.17)
ПРИМЕРЫ
y (х) и d2y функции y = х3 + sin x.
Решение
2
y(х) = 3х + сos x,
y (х) = 6x - sin x.
2
dy = (3х + сos x)dx ,
d2y = (6x - sin x)d2x
Найти
ЗАДАНИЕ
1). Найти y (х) и d2y функции y = х4 + cos x.
2). Найти y (х) и d3y функции y = х3 + 2x.
3). При прямолинейном движении тела зависимость пути S
(метры) от времени t (секунды) задана уравнением : S =
6t3 + 4t2 .
Найти скорость и ускорение тела в конце 2-ой секунды.
22
5.2. Исследование функций
Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (а, б).
Если для любого х из этого интервала f (х) > 0, то функция f(x)
возрастает на этом интервале (рис. 1.6).
Если же для любого х из этого интервала f (х) < 0 ,то функция f(x) убывает на этом интервале.
Функция f(x) имеет в точке х = а локальный максимум
( рис.1.6), если для любого х из малой окрестности этой точки
U ( a )
выполняется
f(a) > f(x).
Функция f(x) имеет в точке х = b локальный минимум, если для любого х из малой окрестности этой точки выполняется
f(b) < f(x).
f (a) = 0
Y
y= f(x)
f (x)>0
f (x) <0
f(x)>0
f (b)=0
a
b
Рис. 1.6. Возрастание и убывание функции f(x) .
23
X
Теорема Ферма. Необходимое условие существования
экстремума.
Если функция f(x) имеет в точке х = а локальный максимум
или минимум (локальный экстремум) и дифференцируема в этой
точке, то выполняется f'(а) = 0 (см. рис. 1.6).
Теорема. Достаточное условие существования
экстремума.
Пусть функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a-,
a+), за исключением, быть может, точки а.
Тогда если f (x) < 0 при a- < х < а и f (x) > 0 при а < х < a+,
то в точке а – локальный минимум.
Если же f (x) > 0 при a- < х < а и f (x) < 0 при а < х < a+, то
в точке а – локальный максимум (см. рис. 1.6).
Другими словами, если f’(x) меняет свой знак при переходе
через ( ) а , то в ( ) а - функция f(x) имеет локальный экстремум.
Причем, если при этом переходе знак меняется :
с
(-)
с (+)
на
на
( + ), то в ( ) а –
локальный
min,
(-) , то в ( ) а – локальный max,
****
ПРИМЕР 1
Определить интервалы возрастания и убывания функции
у = х3 - 3х2.
Определить локальный экстремум функции.
Решение.
Производная функции: у = 3х2 - 6х = 3х(х- 2).
При х < 0 и при х > 2 : у > 0 – функция возрастает,
При 0 < х < 2 : у' < 0 – функция убывает.
Следовательно , при х = 0 функция имеет максимум: у(0)= 0.
При х = 2 – функция имеет локальный минимум :
y(2) = 23 – 3*22 = -4.
****
24
ПРИМЕР 2
Определить интервалы возрастания и убывания функции
у = 2х2 - х3 /3 .
Определить локальный экстремум функции.
Решение.
Производная функции: у = 4x - 3х2 /3 = х( 4 – x ).
При х < 0 и при х > 4 : у < 0 – функция убывает ,
При 0 < х < 4 : у' > 0 – функция возрастает.
Следовательно , при х = 0 функция имеет минимум: у(0)= 0.
При х = 4 – функция имеет локальный максимум :
y(4) = 2*42 – 43/3 = 32/3.
****
ПРИМЕР 3
Определить интервалы возрастания и убывания функции
-x
у = хе .
Определить локальный экстремум функции.
Решение.
-x
-x
Производная функции: у = e – хe = е-х(1-x).
При х < 1
: у > 0 – функция возрастает,
при х > 1
: у' < 0 – убывает.
При х = 1 функция имеет локальный максимум: у(1)= е-1.
****
ЗАДАНИЕ
Исследовать и построить графики функций :
1). y = x3 - 6х2 .
x3
3). у =
- 2х2 .
3
5). y = 2x3 - 3x2 .
-2x
7). y = xe
2). y = x3/3 – 4x ;
4). y =
12 х
- x3 .
6). y = - x3 + 6х2 - 9х.
.
8). у = х +
25
1
.
x
6. Неопределенный и определенный интегралы
6.1. Первообразная и неопределенный интеграл
Функция F(x), определенная на числовом множестве X, называется первообразной для функции f(x), если для любого х Х
выполняется
F '(x) = f(x).
(1.18)
Очевидно, что если F(x) – первообразная для f(x), то F(x) + С
(где С – действительное число) также первообразная для f(x).
Совокупность всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается
F(x) + С = f(x) dx .
(1.19)
Свойства неопределенного интеграла:
1. F(x) dx = F(x) + С.
2. ( f(x) dx )' = f(x) .
3. c f(x) dx = с · f(x) dx .
4. (f(x) g(x)) dx = f(x) dx g(x) dx .
Таблица неопределенных интегралов:
x n 1
1). x dx =
C (n -1);
n 1
n
3).
dx
ln x C ;
x
ax
C;
2). a dx
lna
x
4). sinxdx cosx C
5). cosxdx sinx C ;
6).
26
dx
cos 2 x
tgx C ;
7).
9.
dx
2
sin x
dx
1 x
2
ctgx C ;
8).
dx
1 x
2
arcsinx C ;
arctgx C .
ЗАДАНИЕ
Вычислить неопределенные интегралы:
1). ( 2х3 + 4/x5 + 7x )dx
2). ( 4х5 + 3/x3 + 2сos x )dx.
3). ( 4х3 + 2/x4 + 3sinx )dx. 4). ( 7х2 + 3/x6 + 2/ sin2 x )dx.
5). ( 6х3 + 4/x2 + 3/соs2 x )dx.
7). ( 3/x + 2x5 + 5x )dx.
6). ( 2/x2 + 3/sin2 x )dx.
8). ( 3/х2 + 2cosx )dx.
9). Построить семейство первообразных для f(x) = 3х2 .
10). Построить семейство первообразных для f(x) = сos x .
27
6.2. Определенный интеграл
Рассмотрим функцию y = f(x), определенную на отрезке
[a, b]. Осуществим разбиение отрезка [a, b] точками а = а0 а1 < а2 <
а3 < … < аn = b на n отрезков [aк, bк]. Обозначим это разбиение буквой Т. Выберем внутри каждого отрезка [aк, bк] произвольную точку
хк, значение функции в этих точках будет равно f(xk) (рис.1.7).
f(x k)
Y
.
x0=a x1
a1
.
x2
.
a2
x3
.
a3 ... ak-1 xk
ak ... b=xn
X
Рис. 1.7 . Построение интегральной суммы
n
Построим интегральную сумму: f(x k ) Δx k = S(T).
k 1
Если существует предел этой интегральной суммы при
стремлении максимальной длины отрезка разбиения к нулю, т.е.
при max Δxk0, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) и обозначается:
b
f(x) dx = lim S(T) при max Δxk0.
a
28
(1.20)
Свойства определенного интеграла:
1. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], тогда она
интегрируема на любом отрезке [c,d] [a,b].
2. Пусть a c b. Тогда если f(x) интегрируема на [a,b], то
c
b
b
f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx .
a
a
(1.21)
c
3. Пусть f(x) интегрируема на [a,b], а С – постоянная, тогда
функция С f(x) также интегрируема на этом отрезке и
b
b
C f(x) dx = С f(x) dx .
(1.22)
a
a
4. Пусть f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a,b], тогда их сумма f(x) g(x) также интегрируема на [a,b] и
b
b
b
[f(x) g(x)] dx = f(x) dx g(x) dx .
a
a
(1.23)
a
5. Пусть f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a,b], тогда их произведение f(x) g(x) также интегрируемо на этом отрезке.
Геометрический смысл определенного интеграла.
Определенный интеграл численно равен площади криволинейной
трапеции, ограниченной сверху кривой y = f(x), снизу отрезком
[a,b], а также двумя отрезками х = а и x = b (рис. 1.8).
Другой случай - сверху функцией y =g(x), снизу – функцией
y = z(x) и прямыми х = с и х = d.
Y
y = f(x)
y=g(x)
а
d
S = f(x) dx
S = (g(x)-z(x))dx
с
b
y = z(x)
X
0
а
b
c
d
Рис. 1.8. Геометрический смысл определенного интеграла
29
Формула Ньютона-Лейбница.
Формула устанавливает связь между первообразной F(x) для
функции f(x) и определенным интегралом от этой функции:
b
F(b) – F(a) = f(x) dx .
(1.24)
a
Замечание.
Определенный интеграл существует:
- для непрерывных функций;
- для монотонных функций;
-для функций, ограниченных на отрезке и имеющих не более чем
конечное число точек разрыва на рассматриваемом отрезке.
Вычисление длины кривой и объема тел вращения.
Рассмотрим кривую y = f(x), определенную на отрезке [a,b] и
имеющую на этом отрезке непрерывную производную (рис. 1.9).
Тогда длину кривой y = f(x) вычисляем по формуле
b
L = 1 ( f ' ( x ))2 dx .
(1.25)
a
Рис. 1.9. Длина дуги и объем тела вращения
Объем тела, полученного при вращении этой кривой вокруг
оси
Ох, равен:
V=π
b
∙ f 2 (x) dx .
a
30
(1.26)
ПРИМЕР 1
Найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной параболой у = х3, отрезком 1 < х < 3 и прямыми х = 1 и х = 3 .
Решение
Построим криволинейную трапецию, ограниченную параболой
у = х3, отрезком 1 < х < 3 и прямыми х = 1 и х = 3 .
График криволинейной трапеции представлен на рисунке.
Вычислим площадь этой трапеции с использованием формулы
Ньютона-Лейбница :
x 4 3 34 1
S x dx
= = 20 (кв. ед.).
4
4 4
1
1
3
3
Найти объем тела V, образованного при вращении этой кривой вокруг оси 0Х :
(37 1)
x7 3
V = x dx = =
(куб. ед.).
7
7
1
1
3
6
****
31
ПРИМЕР 2
Найти площадь S фигуры, ограниченной кривой y = 3x,
прямыми x = 1, x = 2 и осью Ox .
Криволинейная трапеция S представлена на рисунке.
Решение.
31
6
3x 2 32
(кв. ед.).
3 dx
ln
3
ln
3
ln
3
ln
3
1
1
2
S=
x
****
ПРИМЕР 3
Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = х2 и
прямой у = х .
График криволинейной трапеции приведен на рисунке.
32
Решение
Определим точки перечечения параболы у = х2 и у = х
.
х2 = х,
х(х-1) = 0,
В результате получаем пределы интегрирования: х1 = 0, х2 = 1.
Тогда :
x 2 x3
S = ( x x )dx ( )
2
3
0
1
2
1
0
1 1 1
(кв. ед.).
2 3 6
****
ПРИМЕР 4
Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = 2 - х2 и
прямой у = х .
График фигуры приведен на рисунке.
Y
y=x
-2
X
1
y = 2 – x2
Определим точки пересечения параболы у= 2- х2 и прямой у = х.
2 - х2 = х,
х2 + х - 2 = ( x – 1)(x + 2) = 0
Получаем пределы интегрирования : х1 = 1, х2 = -2.
Тогда :
1
S
=
2
3
2
[ ( 2-x ) - x ] dx = ( 2x – x /3 - x /2)
1
-2
-2
=
(2 - 1/3 – ½) – ( -4 + 8/3 – 4/2) = 4,5 (кв. ед.).
33
=
ПРИМЕР 5
Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = х2 –3х и
прямой у = - х .
График фигуры приведен на рисунке.
Y
y = x2 – 3x
y=-x
2
X
0
Определим точки пересечения кривой у=х2 - 3х и прямой у= - х.
х2 -3х = - х,
х2 - 2х = x (x - 2) = 0
Получаем пределы интегрирования : х1 = 0, х2 = 2.
Тогда :
2
S = [ (- x) - ( x2 -3х) ] dx = ( x2
-
x3/3 )
2
0
= 4/3 (кв.ед).
0
****
ЗАДАНИЕ
Вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями:
1) Параболой у = х2 и прямой y = 2x .
2) Параболой
3). Параболой
4). Параболой
5). Параболой
6). Кривой
7). Кривой
y=
y =
x2 - 2x
и прямой
x2 - х и прямой
y = 2x - x2
и
y = 3x.
прямой
y = 3x - x2 и прямой
y = 1/x2
y = 2x
y = 2x.
y = - x.
y = 2x.
, прямыми х = 1, х =3 и осью Ох.
и прямой y = x + 1.
8). Кривой y = sin x, прямыми x = 0, x =
34
и осью Ох.
2
7. Краткие интегралы
7.1. Двойной интеграл и его приложения
Пусть функция f(x,y) определена в ограниченной замкнутой
области D плоскости x0y. Разобьем область произвольным образом на n элементарных областей, имеющих площади S1, S2,
…Sn (рис. 1.10). Введем понятие диаметров этих областей d1, d2,
… dn, которыми называются наибольшими из расстояний между
двумя точками границ этих областей.
Рис. 1.10. Область D определения функции f (x, y)
Выберем в каждой элементарной области разбиения произвольную точку Рk(xk, yk), (k = 1, 2, … n) и умножим значение
функции в этих точках на площади соответствующих элементарных областей. В результате получаем выражение f(x1, y1) S1, …
f(xk,yk) Sk, … f(xn,yn) Sn.
Сложив эти выражения, получаем интегральную сумму для
функции f (x, y) по области D:
n
f ( x k , yk ) Sk = f (x1, y1) S1 + ... + f (xn, yn) Sn.
k 1
(1.27)
Двойным интегралом от функции по области называется
предел интегральной суммы при условии, что наибольший из
диаметров элементарных областей стремится к нулю:
f ( x, y )dS lim
D
n
f ( x k , y k ) Sk.
max d k 0 k 1
35
(1.28)
В декартовых координатах двойной интеграл обычно записывают в виде:
(1.29)
f ( x, y )dxdy .
D
Теорема существования двойного интеграла
Если функция f (x, y) непрерывна в замкнутой области D, то
предел интегральной суммы существует и не зависит от способа
разбиения области D на элементарные и от выбора точек Рk внутри каждой такой области.
Геометрический смысл двойного интеграла
В трехмерном пространстве Oxyz выражение z = f(x,y) определяет некоторую поверхность.
Тогда двойной интеграл f ( x, y)dxdy равен объему цилинD
дрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x,y),
сбоку - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, а снизу-областью D плоскости Оху (рис. 1.11).
Рис. 1.11. Цилиндрическое тело объемом V = f ( x, y)dxdy
D
36
Основные свойства двойного интеграла
1. [f ( x, y) ( x, y)]dS f ( x, y) ( x, y)dS .
D
D
D
2. C f ( x, y )dS C f ( x, y )dS , где С - постоянная.
D
D
3. Если область интегрирования D разбита на две области D1
и D2, тo
f ( x, y)dS f ( x, y) f ( x, y)dS .
D
D1
D1
Правила вычисления двойных интегралов
1. Пусть область интегрирования D ограничена слева и
справа прямыми х= а и х = b, а снизу и сверху - непрерывными
кривыми у = (х) и у = (х), каждая из которых пересекается
любой вертикальной прямой х=h только в одной точке (рис. 1.12).
Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле
b
ψ(x)
f ( x, y)dxdy dx f ( x, y)dy .
D
a
(1.30)
(x)
Рис. 1.12. Области интегрирования для 1-го и 2-го случаев
2. Пусть область интегрирования D ограничена снизу и
сверху прямыми у = с и у = d, а слева и справа - непрерывными
кривыми х = (y) и (y), каждая из которых пересекается горизонтальной прямой у = k только в одной точке (см. рис. 1.12).
Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле
37
d
μ(y)
f ( x, y)dxdy dy f ( x, y)dx .
D
c
(1.31)
λ(y)
ПРИМЕР 1
Вычислить двойной интеграл Y = ( x y )dxdy , если D 2
D
область, ограниченная кривыми y = x и y = x.
Решение.
Область D изображена на рисунке.
Тогда
1
x
0
x2
( x y )dxdy dx ( x y )dy
D
2
4
1
y2 x
2 x
2 x
( xy ) dx x x x dx
2 x2
2
2
0
0
1
3 x3 x 4 x5 1 1 1 1
3 .
4 2 5 0 2 4 10 20
2 3
****
38
ПРИМЕР 2
Вычислить двойной интеграл Y = ( x 2 y)dxdy по области D,
D
ограниченной кривыми y =
x и y = x2.
Решение.
Область интегрирования D имеет вид :
Тогда
y2 x
Y = dx ( x y)dy ( x y ) dx =
2 x2
0
0
x2
1
x
1
2
2
4
2
x
4 x
( x x ) ( x )dx
2
2
0
x x4
x 7 / 2 2 x2
x5 1 1
x )dx (
) .
2 4
7
2 2 5 4 0 70
1
1
( x2
0
ЗАДАНИЯ
1). Вычислить Y = ( x y)dxdy , если область D ограничена криD
выми y = 2x и y = x2.
2). Вычислить Y = ( x y)dxdy , если область D ограничена
2
D
кривыми y = 3x , y = 6 - 3x.
39
ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
1. Вычисление площади плоской фигуры.
Площадь плоской фигуры, ограниченной областью D, находится по формуле
S = dxdy .
(1.32)
D
Если область D имеет вид, представленный на pис. 1.12, п.1, то
b
ψ(x)
S = dx dy .
a
(1.33)
(x)
Если область D имеет вид, представленный на рис. 1.12, п.2, то
d
μ(y)
S = dy dx .
c
(1.34)
λ(y)
Если же область D в полярных координатах определена неравенствами , () f () (рис. 1.13), то
β
f( θ)
S = dd = d d .
D
α
( θ)
Рис. 1.13. Область D в полярных координатах
40
(1.35)
2. Вычисление объема тела.
Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z = f(x,y), сбоку прямой цилиндрической
поверхностью, проходящей по границе области D, а снизу плоскостью z = 0 (см. рис.1.11), вычисляется по формуле
V = f ( x, y)dxdy
D
ПРИМЕР 1
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2-x;
y2 = 4x+4.
Решение.
Плоская фигура D представлена на рисунке.
y2 - 4
)] dy =
S = dy dx = [(2 - y) 4
-6
-6 y 2 - 4
2
2- y
2
4
y 2 y3 2 64
)
= (3y кв.ед.
2 12 6 3
41
(1.36)
ПРИМЕР 2
Вычислить объем тела, ограниченного плоскостями z = 1 - x
- y; z = 0 и отрезками прямых y = 1 - x; x = 0; y = 0.
Решение.
Трехмерное тело представлено на рисунке .
Тогда
1 x
y2
V = dx (1 x y)dy = [y - xy - ] dx =
2 0
0
0
0
1
1- x
1
1
x 2 x3 1 1
(1 - x) 2
) куб.ед.
] dx = ( x
= [(1 - x) - x(1 - x) 2
2
6 0 6
2
0
1
****
42
ЗАДАНИЕ
1). Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
x2 + y2 = 4; y = x; y = 0.
Ответ: S = кв.ед.
4
2).Вычислить площадь фигуры, ограниченной окруж
2
ностями = 1; =
cos (вне окружности = 1).
3
1
Ответ: S = (3 3 π) (кв.ед.).
18
3). Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
z = 4 - x2;
2x + y = 4; x = 0; y = 0; z = 0.
40
Ответ: V =
куб.ед.
3
4). Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
z = 1 + x + y; y2 = x; x = 1; y = 0; z = 0.
79
Ответ: V =
куб.ед.
60
5). Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
z = x y;
z = 0; x2 + y2 = 4.
Ответ: V = 4 куб.ед.
43
7.2. Тройной интеграл и его приложения
Пусть функция f(x,y,z) определена в ограниченной замкнутой области Т. Разобьем область Т произвольным образом на n
элементарных областей с объемами V1, V2, ... Vn. Пусть d1, d2,
... dn -максимальные линейные размеры каждой из областей, которые называются их диаметрами.
Внутри каждой из областей произвольным образом выберем
точку Рк(xк,yк,zк) (к = 1, 2 ... n) и умножим значение функции
f(x,y,z) в этой точке на соответствующий объем Vк (к = 1, 2. n)
элементарной области (рис. 1.14).
Рис. 1.14. Разбиение области Т
В результате сложения получаем интегральную сумму для
функции f(x,y,z) по области Т:
n
f ( x к , yк , zк )Vк .
к 1
44
(1.37)
Тройным интегралом от функции f(x,y,z) по области Т
называется предел интегральной суммы при стремлении наибольшего из диаметров элементарных областей к нулю:
n
f ( x к , yк , zк ) Vк .
f ( x, y, z)dV maxlim
d 0
к 1
k
T
(1.38)
В декартовых координатах тройной интеграл обычно записывают в виде
(1.39)
f ( x, y, z)dxdydz .
T
Теорема существования тройного интеграла
Если функция f(x,y,z) непрерывна в замкнутой области Т, то
предел интегральной суммы существует и не зависит от способа
разбиения области Т и от выбора точек Рк.
Физический смысл тройного интеграла.
Тройной интеграл ρ( x, y, z)dxdydz представляет собой
T
массу тела, занимающего область Т и имеющего переменную
плотность = (x, y, z).
Пусть область интегрирования Т определяется неравенствами
a x b; (x) y (x); (x, y) z (x,y), где (x), (x,y),
(x,y) - непрерывные функции (рис. 1.15).
Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по области Т вычисляется по формуле
b
ψ(x) μ(x, y)
f ( x, y, z)dxdydz = dx dy f ( x, y, z)dz .
T
a
45
(x) λ(x, y)
(1.40)
Рис. 1.15. Область Т интегрирования функции f(x,y,z)
ПРИМЕР 1
Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями:
x y z 1; х = 0; у = 0; z = 0.
Материал тела имеет переменную плотность = 0 z.
Решение.
Тело с плотностью = 0 z имеет вид.
46
1
1- x
1- x - y
ρ0 1 1-x 2
М = dx dy ρ0zdz dx z
2 0 0
0
0
0
1 x y
0
dy =
ρ0 1 1-x
ρ0 1
2(1 x )y2 y3 1 x
2
2
] dx
=
dx (1 - x - y ) dy [(1- x) y
2 0 0
2 0
2
3 0
ρ0 1
ρ0
3
=
(1 x )4
(1 - x ) dx
2 0
64
****
ЗАДАНИЯ
1
0
ρ0
ед.массы.
24
1). Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями:
z = x2 + y2; z = 1. Материал тела имеет переменную плотность 0.
ρ
Ответ: М = 0 .
2
2).Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями: x + y =
1; z = x2 + y2; x = у = z = 0. Плотность материала постоянная 0.
ρ
Ответ: М = 0 .
6
47
Раздел 2.
РЯДЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
8. Числовые и степенные ряды
8.1. Числовые ряды
Пусть {аn} – числовая последовательность.
Выражение вида
а1 + а2 + ... + аn + ... =
an
(2.1)
n =1
аn – его n-ым членом.
называется числовым рядом, а
Число Sn = а1 + а2 + ... + аn называется n-ой частичной суммой ряда (2.1), а последовательность {Sn} – последовательностью
частичных сумм ряда (2.1).
Числовой ряд (2.1) называется сходящимся, если сходится
последовательность его частичных сумм {Sn}: lim Sn = S.
n
Предел S числовой последовательности частичных сумм
{Sn} называется суммой ряда (2.1) и записывается
an
=
S.
(2.2)
n=1
Если последовательность расходится, то ряд (2.1) называется
расходящимся.
Необходимое условие сходимости числового ряда.
Для сходимости числового ряда (2.1) необходимо:
чтобы
lim аn = 0 .
n
(2.3)
ПРИМЕР
Рассмотрим гармонический ряд: 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ... =
1 / a n . Очевидно, что аn = 1/n 0. Тем не менее, этот ряд явля-
k 1
ется расходящимся.
48
Замечание 1.
1
Рассмотрим ряд
np
Этот ряд сходится при р > 1 и расходится при р 1.
n 1
ПРИМЕРЫ
1). Ряд
n 1
1
расходится, т.к. общий член ряда
n
аn=
2. Ряд
n 1
1
n
3
1
1
n2
имеет параметр р =
1
1.
2
сходится, т.к. общий член ряда
а n=
1
n3
имеет параметр р = 3 1.
8.2. Признаки сходимости рядов
со знакопостоянными членами
1-й признак сравнения
k 1
k 1
Рассмотрим ряды a k и b k , где 0 аk bk. Тогда если
k 1
k 1
ряд b k сходится, то сходится и ряд a k ; если ряд a k расk 1
ходится, то расходится и ряд b k .
k 1
2-ой признак сравнения
k 1
k 1
Если для общих членов рядов a k и b k выполняется
lim a k /bk = L < (т.е. L – конечное число), то оба ряда сходятся
k
или расходятся одновременно.
49
ПРИМЕР 1
1
Проверить сходимость ряда
2
.
2k
Решение
1
Сравним этот ряд с рядом 2 . Согласно замечанию 1
k 1 k
этот ряд сходится, т.к. для него р = 2.
1
1
Далее 2 >
.
k
2 k2
Следовательно, по 1-му признаку сравнения рассматриваемый ряд сходится.
****
k 1
ПРИМЕР 2
1
.
3k 1
Проверить сходимость ряда
k 1
Решение
Сравним ряд с гармоническим рядом 1 /k , который расходится.
k 1
3k 1
3.
k k
Далее lim
Следовательно, расходится и исходный ряд.
****
ПРИМЕР 3
3. Проверить сходимость ряда
k 1
1
3
2k k
.
Решение
1
Сравним этот ряд с рядом 3 .
k 1 k
Ряд сходится, т.к. общий член его a k
Далее:
1
3
1
3
.
1
k
3
имеет р = 3 1.
2k k
k
Тогда, по 1 признаку сравнения сходится и исходный ряд.
50
ПРИМЕР 4
Проверить сходимость ряда
k 3
3
2
.
2 k 3k
Решение
1
Сравним этот ряд с рядом 2 , который сходится, т.к.
k 1 k
k 1
1
общий член a k
имеет р = 2 1.
2
k
Рассмотрим предел отношений общих членов обоих рядов:
1
3k 2
2 3
2
2 k 3 3k 2
k
k 2 L .
lim
lim 2
lim
( k 3)
k
k k ( k 3 ) k
3k 2
1 3
( 2 k 3 3k 2 )
k
По второму признаку сравнения оба ряда должны сходиться
одновременно. Следовательно, исходный ряд сходится.
ЗАДАНИЕ
Проверим сходимость рядов.
k2
3k 3k 2
3k
1)
k 1
2)
k 1
3)
k k
sin k
3
k 1
k2
3k 2 4
k 1
5k 2k 5
2k
4)
5)
k 2
6)
k 1
7)
k 1
3k 4k
3k
2
k 3 2k
8k 1
3k 2k
2
(расходится);
(сходится);
(сходится);
(сходится);
(расходится);
(сходится);
(расходится).
51
8.3. Признаки сходимости Даламбера, Коши и Лейбница
Числовой ряд a k называется абсолютно сходящимся,
k 1
если сходится ряд a k .
k 1
Числовой ряд a k называется условно сходящимся, если
k 1
он сходится, а ряд a k из модулей его членов – расходится.
k 1
Признак Даламбера
Рассмотрим ряд a k .
k 1
Если lim |аn+1/аn| = L, то при L < 1 – ряд сходится абсолютно, а
n
при L > 1 – расходится.
****
Признак Коши
Рассмотрим ряд a k .
k 1
Если lim
k
k
a k = L, то при L < 1 – ряд сходится абсолютно, a
а при L > 1 – расходится.
****
ПРИМЕР 1
Проверить сходимость ряда:
1
n
n 12
Проведем рассчет :
Решение
1 / 2 n 1
lim
1 / 2n
Следовательно, по признаку Даламбера
n
52
.
n
= lim 2 = 1/2 < 1,
n 2 n 1
ряд сходится.
ПРИМЕР 2
n
( 3 n 1) n .
Проверить сходимость ряда:
n 1
Решение
n
lim n
n 3 n 1
Проведем рассчет:
n
lim
n
n 3 n 1
=
1 < 1.
3
Следовательно, по признаку Коши ряд сходится.
****
Знакочередующийся ряд:
a1 a 2 a 3 ... 1
n 1
a n ... (1) n 1 a n ,
n 1
причем аn > 0.
Теорема
Рассмотрим знакочередующийся ряд:
a1 a 2 a 3 ........
Если сходится соответствующий ряд с положительными
членами: a1 a 2 a 3 ..........,
то сходится и исходный знакочередующийся ряд
****
ПРИМЕР 3
Рассмотрим ряд:
n
1
n 1
1
.
n2
Решение
Соответствующий ряд с положительными членами:
1
n 1n
2
Поскольку этот ряд сходится (р = 2 > 1), то сходится и исходный знакочередующийся ряд.
53
Признак сходимости знакочередующего ряда
(признак Лейбница)
Для сходимости знакочередующего ряда:
n+l
a1 – a2 + а3 - а4 +...+ (-l) an - …
необходимо, чтобы:
1. lim аk =0.
k
2. ak аk+1 0 (k = 1, 2, ...).
****
ПРИМЕР 4
Ряд ( 1)n
n 1
1
n
сходится, т.к.
1
0;
n
1
1
.
n
n 1
Выполнены оба условия признака Лейбница.
lim
n
****
ЗАДАНИЕ
1
1). -------- ;
n=1 3n
4).
n=1
5n
2). --------- ;
n=1
n!
n
3). ------ ;
n=1 2n
n
n
n3
n
3n2
n
--------- ; 5). --------; 6). ---------- ;
2n + 3
n=1 3n3 +2n
n=1 n2 + 4n
1
n
7). (-1) ----------;
n=1
( n5 + n)
1
4n3
8). (-1)n ------ ; 9). (-1)n --------- .
n=1
2n
n=1
n3 + 2
54
8.4. Степенные ряды
Функциональный ряд вида
n
n
a0 + a1(x - x0) + ... + аn(х - х0) + ... = аn(х - х0)
(2.4)
n 0
называется степенным рядом. Здесь a0, ... an,... – последовательность вещественных чисел.
Формула Коши-Адамара
1
R=
(2.5)
lim n a n
n
определяет радиус сходимости степенного ряда.
Можно доказать теорему, что степенной ряд (2.4) абсолютно
сходится на интервале (х0-R, х0+R) и расходится вне этого интервала (рис. 2.1.). Интервал (х0-R, х0+R) называется интервалом
сходимости степенного ряда (2.4).
х0 - R
(
х0
.
х0 + R
)
R
Рис. 2.1. Интервал сходимости
Радиус сходимости можно рассчитать и по формуле
a
R = lim n .
n a n1
****
ПРИМЕР 1
Определить область сходимости степенного ряда:
n
)n .
xn (
3n 1
n 1
55
(2.6)
Решение.
3n 1
1
= lim
= 3.
n
n
n
n n
n(
)
3n 1
Следовательно, интервал сходимости имеет центр х0 = 0 и
радиус сходимости R = 3.
Тогда интервал сходимости равен (- 3; 3).
****
R =
lim
ПРИМЕР 2
( x 2 )n
n 1
3n
Определить область сходимости степенного ряда:
.
Решение.
an
1/ 3n
3n 1
R lim
lim
lim
= 3.
n a n 1
n 1/ 3n 1 n 3n
При x = 3 + 2 = 5 получаем расходящийся ряд:
( 5 2 )n
3
n 1
n
= +1 + 1 + …
При х = -3 + 2 = -1 получаем расходящийся ряд:
( 1 2 )n
n
= -1 + 1 -1 …
3
Итак, область сходимости степенного ряда - множество -1 х 5.
****
n 1
ЗАДАНИЕ
Определить область сходимости степенных рядов:
1).
x
----------- ;
n=1
4).
n
3n
( x 1)n
n 1
2
n
2).
(x+2)n
---------- ;
n=1
n2
xn 2n
5).
;
n
!
n 1
;
56
n
----------
n =1
2n + 3
3).
2n 1
6). x
n 1 3 6n
n
n
n
(x -3) ;
n
9. Обыкновенные дифференциальные уравнения
9.1. Основные понятия и определения
Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию
y = y(x) и ее производные y', y'', … y(n), т.е. уравнение вида
F(x,y,y',y'', … y(n)) = 0.
(2.7)
Если искомая функция y = y(x) есть функция одной переменной x, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если же функция зависит от двух (x,t) или более переменных, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных вида
y y
m y
F(x,t,y,
).
(2.8)
,
,...
x t xк t n
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, которая входит в уравнения (2.7)
или (2.8).
Например, уравнение
y' + x2 y = cos x
является дифференциальным уравнением первого порядка.
Уравнение вида
y''' + y' = 0
является дифференциальным уравнением третьего порядка.
Решением дифференциального уравнения n-го порядка на
интервале (a,b) называется такая функция y = (x), определенная
на этом интервале вместе со своими производными n-го порядка
включительно, которая при подстановке в уравнение (2.7) превращает его в тождество по x на интервале (a,b).
Например, функция y = sin x + x2 является решением уравнения y'' + y = x2 + 2 на интервале (-, ). Действительно, дифференцируя это уравнение дважды, получаем:
y' = cos x + 2x, y'' = sin x + 2.
Тогда y' + y = -sin x + 2 + sin x + x2 = x2 + 2.
57
График решения дифференциального уравнения называется
интегральной кривой этого уравнения.
Рассмотрим общий вид уравнения первого порядка:
F(x,y,y') = 0.
(2.9)
Если уравнение (2.9) удается разрешить относительно y', то
получаем
dy
= f(x,y)
(2.10)
dx
уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.
Общим решением дифференциального уравнения (2.9) называется функция
y = (x,C),
(2.11)
зависящая от переменной x и произвольной постоянной С, которая удовлетворяет уравнению (2.9) при любых значениях постоянной С. Таким образом, общему решению дифференциального
уравнения первого порядка y = (x,C) на плоскости x0y соответствует семейство интегральных кривых, каждая из которых отвечает конкретному значению постоянной С = С0 (рис. 1.28).
Всякое решение уравнения (2.9) вида y = (x,C0), получаемое из общего решения y = (x,C) при конкретном значении С =
С0, называется частным решением.
Например, общим решением уравнения y' - y = 0 является
функция y = C ex.
Частное решение, удовлетворяющее начальному условию
y(1) = -1, получаем подстановкой в общее решение значения x =
1. Тогда получаем соотношение: -1 = C e, откуда C = - e-1. В результате частное решение имеет вид: y = -ex-1.
Задача Коши.
Задачей Коши называют задачу нахождения частного решения y = y(x) уравнения
dy
= f(x,y),
(2.12)
dx
удовлетворяющего начальному условию y(x0) = y0.
58
Геометрически это означает, что среди всех интегральных
кривых ищется интегральная кривая, проходящая через точку
M0(x0,y0) плоскости x0y (см. рис. 2.2).
Рис. 2.2. Семейство интегральных кривых y = (x,C)
Однако встречаются дифференциальные уравнения, имеющие такие решения, которые не получаются из общего решения
ни при каких значениях С. Такие решения называются особыми.
Например, уравнение y' = - 1 y 2 имеет общее решение
y = cos(x+C). В то же время функция y = 1 также является решением этого дифференциального уравнения, но это решение не
может быть получено из общего решения ни при каком значении
С, т.е. является особым.
9.2. Уравнение с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение вида
f(x) (y) dx = (x) u(y) dy,
(2.13)
в котором функции при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x и только от y, называется уравнением с разделяющимися переменными.
Путем деления на произведение (y) (x) это уравнение
приводится к уравнению с разделенными переменными
59
f (x)
u ( y)
dx
dy .
ψ( x )
( y)
(2.14)
Общее решение уравнения (2.13) в неявной форме, называемое общим интегралом, имеет вид:
f (x)
u ( y)
(2.15)
dx
dy C .
ψ( x )
( y)
Замечание.
Деление на (y) (x) может привести к потере частных решений, обращающих в нуль произведение (y) (x).
ПРИМЕР 1.
Решить уравнение: x2dx = cos2 y dx.
Решение.
Запишем общий интеграл этого уравнения:
Вычисляем интегралы:
x 1
tg y
C.
1
Решение:
tg y
1
C.
x
****
ПРИМЕР 2
Решить уравнение: sin y · sin2x dy + dx = 0.
Решение.
Запишем общий интеграл этого уравнения
dx
sin
y
dy
2 .
sin x
Вычисляем интегралы:
С – cos y = ctg x.
Решение: cos y + ctg x = C
****
60
dy
2
cos y
dx
x
2
.
ПРИМЕР 3
Решить уравнение:
dx
x 3dy .
cos y
Решение.
Запишем общий интеграл этого уравнения:
x 2
Вычисляем: C
sin x .
2
Решение: sin x
1
2x
2
dx
x
3
cos y dy .
C.
****
ЗАДАНИЕ
Решить обыкновенные дифференциальные уравнения:
1).
y3 · cos2x dy + dx = 0.
2).
3).
y4 · sinx dx = dy.
4). cos y · cos2x dy + dx = 0.
5). 3y · x dy = dx.
sin2y dx =
x dy.
6). sin2x dy = cos2y dx
7). Найти частное решение уравнения
2x
dy
= 2 , удовлетворяюdx
y
щее начальному условию y(0) = 3.
7). Найти частное решение уравнения
ряющее начальному условию y(1) = 2.
61
dy
= x2 / 4y, удовлетвоdx
9.3. Линейные уравнения первого порядка.
Уравнения Бернулли
Дифференцированное уравнение вида
y' + P(x) y = 0
(2.16)
называется линейным однородным дифференциальным уравнением.
Решение уравнения (2.16) легко получить разделением переменных:
dy
dy
= -P(x)dx; P( x )dx ; ln y = - P( x )dx + ln C. (2.17)
y
y
В результате получаем общее решение уравнения (2.16)
y = C P( x )dx ,
(2.18)
где С - произвольная постоянная.
Уравнение вида
y' + P(x) · y = Q(x)
(2.19)
называется линейным неоднородным дифференциальным
уравнением. Общее решение уравнения (2.19) можно найти, используя метод Лагранжа.
Согласно этому методу общее решение неоднородного
уравнения (2.19) ищем в виде:
y = C(x) P( x )dx .
(2.20)
Для нахождения С(x) нужно подставить выражение (2.20) в
исходное уравнение (2.19).
В результате получаем C'(x) P( x )dx - C(x)P(x) P( x )dx
+ +C(x) P( x )dx P(x) = Q(x).
Отсюда C'(x) = Q(x) P( x )dx ; C(x) = Q(x) P( x )dx dx +C1,
где С1 - произвольная постоянная.
Тогда искомое общее решение неоднородного уравнения
имеет вид:
y' = [ Q( x ) P ( x )dx dx C1] P( x )dx . (2.21)
Уравнение вида
y' + P(x) y = Q(x) ym,
( 2.22)
где m 0, m 1, называется уравнением Бернулли.
Это уравнение можно преобразовать в линейное дифферен-
62
циальное уравнение, производя замену неизвестной функции при
помощи подстановки z = y1-m. В результате уравнение Бернулли
преобразуется к линейному дифференциальному уравнению вида
1
(2.23)
z' P( x ) z = Q(x).
1 m
Решение этого линейного неоднородного дифференциального уравнения (2.23) можно осуществить, используя метод Лагранжа.
ПРИМЕР 1
Найти решение:
dy y
3x .
dx x
Решение.
Рассмотрим однородное линейное уравнение
Проинтегрируем это уравнение:
dy
y
.
dx
x
dy
dx
lny=-lnx+ln C.
ln C ;
y
x
C
Его решение: y = .
x
Используем метод Лагранжа, выбрав общее решение исходного
C( x )
решения в виде y =
.
x
Подставим это выражение в исходное уравнение
C' ( x ) x C( x ) 1 C( x )
3x .
x x
x2
В итоге находим: C'(x) = 3 x2;
C(x) = x3 + C1.
Общее решение исходного уравнения:
x 3 C1
y=
.
x
****
63
ЗАДАНИЕ.
Решить дифференциальные уравнения :
1) y' + 2y = -x
2). y' + 2xy = -x
Ответ: y = C -2x + -x.
2
2
Ответ: y = (C + x) -x .
2
3). y'+2xy = x -x
Ответ: y
4) . y
-x 2
x2
( c) .
2
y
2
x
x2 c
Ответ: y
.
x
5) . xy' - y = x2 cos x.
Ответ: y = x (sin x + C).
6). Решить задачу Коши:
y' + y cos x = cos x
Начальные условия y(0) = 1.
Ответ: y = 1.
7) Между силой тока i и электродвижущей силой Е в электрической цепи с сопротивлением R и самоиндукцией L существует
следующая зависимость:
di R
E
i ,
dt L
L
где E, R и L - постоянные.
Найти силу тока i = i(t), если в начальный момент времени t = 0
имеем : i(0) = I.
R
t
E
Ответ: i(t) = C L .
R
64
9.4. Дифференциальные уравнения n-го порядка
Дифференциальным уравнением n-го порядка называется
уравнение вида
F(x,y,y',y'', …, y(n)) = 0.
(2.24)
Решением такого уравнения является n раз дифференцируемая функция y = (x), которая обращает данное уравнение в
тождество, т.е.
F[x,(x), '(x), …, (n)(x)] = 0.
(2.25)
Задача Коши для этого уравнения состоит в том, чтобы
найти такое решение у = (x) уравнения (2.24), которое удовлетворяет условиям: (x0) = y0; '(x0) = y1, …, (n-1)(x0) = yn-1. Здесь
y0,y1,y0, …, yn-1 - заданные числа.
Функция у = (х,С1,С2, ... Сn) называется общим решением
уравнения (2.22), если при соответствующем выборе постоянных
С1, С2, ..., Сn эта функция является решением любой задачи Коши.
Всякое решение уравнения (2.24), полученное при конкретных значениях постоянных С1, С2, ..., Сn, называется частным
решением дифференциального уравнения (2.24).
Рассмотрим интегрирование некоторых дифференциальных
уравнений n-го порядка.
1. Уравнение вида y(n) = f(x)
Решение этого уравнения находится п-кратным интегрированием, а именно
y(n) = f(x);
y(n-1) = f(x)dx + C1;
x n 1
y =
... f ( x )dx
...dx
C1 (n 1)! +… + Cn-1 x + Cn. (2.26)
n
n
ПРИМЕР 1 .
Найти общее и частное решения уравнения y'' = 2x,
удовлетворяющие начальным условиям: y(0) = 1, y'(0) = 0.
Решение.
y' = 2xdx + C1 =
1 2x
+ C 1.
2
65
1
1
Тогда общее решение: y = ( 2x + C1 ) dx = 2x + C1x + C2.
2
4
1
1
Удовлетворим начальным условиям: y(0) = + C2=1; y'(0) = + C1
4
2
= 0.
1
3
Откуда С1 = - , С2 = .
2
4
1
1
3
Тогда частное решение: y = 2x - x + .
4
2
4
****
2. Дифференциальное уравнение вида
F(x,y(к), y(к+1), …, y(n)) = 0,
которое не содержит искомой функции.
Порядок такого уравнения можно понизить, взяв за новую
неизвестную функцию низшую из производных данного уравнения, т.е.
U = y(к).
В результате получаем уравнение
F(x,U,U', …, U(n-к)) = 0.
(2.27)
****
ПРИМЕР 2 .
Решить уравнение
x y'' = y'.
Решение.
Примем y' = U.
dU
= U.
dx
U = C1 x.
x
Тогда уравнение примет вид:
Решение этого уравнения:
dy
Или:
= C1x.
dx
Запишем это уравнение в виде dy = C1 x dx.
x2
Его решение: y = C1
+ C2.
2
****
66
3. Дифференциальное уравнение вида
F(y,y', …, y(n)) = 0,
которое не содержит независимой переменной. Для решения этого
уравнения за новый аргумент принимают саму функцию у, а также
вводят замену y' = U .
d 2U
dU 2
dU
Тогда y'' = U
, y''' = U [ 2 U (
(2.28)
) ] и т.д.
dy
dy
dy
****
ПРИМЕР 3.
Решить уравнение y y'' = (y')2.
Решение.
Примем U = y'.
Тогда y'' = U
dU
.
dy
Исходное уравнение запишем в виде
Представим это уравнение в виде :
dU
= U2.
dy
dU dy
.
U
y
yU
Его решение: U = C1y.
dy
dy
Тогда
= C1y. Запишем:
= C1dx.
y
dx
Его решение: ln y = C1 x + ln C2.
Окончательно: y = C2 C1 x .
****
ЗАДАНИЕ.
Решить уравнения n-го порядка:
1) .y'' = x -x.
Ответ: y = (x + 2) -x + C1x + C2.
2). y'' + (y')2 = 0.
3). x y'' = y'.
Ответ: y = C1, C2 + y = C3x.
Ответ: y = C1x2 + C2.
4). Задача Коши: y'' + y' + 2 = 0.
. Начальные условия: y(0) = 0, y'(0) = -2.
67
Ответ: y = -2x.
9.5. Линейные однородные уравнения
с постоянными коэффициентами
Линейным однородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
y(n) + a1 y(n-1) + … an-1 y' + an y = 0,
(2.29)
где a1, a2, …, an - некоторые действительные числа.
Для решения этого уравнения составляют характеристическое уравнение
кn + a1 кn-1 + … + an-1 к + an = 0.
(2.30)
Это уравнение (2.29) является уравнением n-ой степени и
имеет n корней: они могут быть простыми, кратными и комплексными. Тогда общее решение дифференциального уравнения
(2.29) строится в зависимости от характера корней характеристического уравнения (2.30):
1) каждому действительному простому корню к в общем
решении соответствует слагаемое вида : C кх;
(2,31)
2) каждому действительному корню к кратности m в общем
решении соответствует слагаемое вида :
(C1 + C2 x … Cm xm-1) кх;
(2.32)
3) каждой паре комплексных корней к1 = + i и к2 = - i
в общем решении соответствует слагаемое вида :
(2.33)
х (C1cos x + C2 sin x);
4) каждой паре комплексных сопряженных корней к1 = +
i и к2 = - i кратности m в общем решении соответствует слагаемое вида :
x [(C1 + C2 x + … + Cm xm-1)] cos x + (D1 + D2x + …
Dm xm-1) sin x].
(2.34)
ПРИМЕР 1.
Найти общее решение ДУ :
y'' - 7y' + 6y = 0.
Решение.
Построим характеристическое уравнение: к2 - 7к + 6 = 0.
Его корни: к1 = 6, к2 = 1.
Следовательно, общее решение данного ДУ : y = C1 6x + C2 x.
68
ПРИМЕР 2.
Найти общее решение уравнения y''' - 6y'' + 12y' - 8 = 0.
Решение.
Построим характеристическое уравнение:
к3 - 6к2 + 12к - 8=(к - 2)3= 0.
Его корни: к1 = к2 = к3 = 2, т.е. к = 2 - корень кратности 3.
Следовательно, общее решение исходного уравнения:
y=(C1 + C2 x + + C3 x2) 2x.
ПРИМЕР 3.
Найти общее решение уравнения y'' - 4y' + 13y' = 0.
Решение.
Построим характеристическое уравнение: к'' - 4к + 13 = 0.
Его корни: к1 = 2 + 3i, к2 = 2 + 3i.
Следовательно, общее решение исходного уравнения:
y = 2x (C1 cos 3x + C2 sin 3x).
ЗАДАНИЕ.
Найти общее решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
1). y'' + 5y' + 6y = 0.
Ответ: y = C1 -3x + C2 -2x;
2). y'' - 2y +10y = 0.
Ответ: y = x (C1 cos 3x + C2 sin 3x);
3). y'' + 3y' - 4y = 0.
4 x
Ответ: y = C1 x + C2 ;
4). y'' - 2y'+ 4y = 0.
Ответ: y = x (C1 cos 3 x+ C2 sin 3 x).
5). y''' - 3y'' + 3y' - y= 0.
Ответ: y = x (C1 + C2x + C3x2);
6). x''' + 2x'' - 3x' = 0.
Ответ: x = C1 + C2 -t + C3 3t;
7). x''' - 8x = 0.
Ответ: x = C1 2t + -t (C2cos 3 t + C3sin 3 t);
69
9.6. Линейные неоднородные уравнения
с постоянными коэффициентами
Линейным неоднородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
y(n) + a1y(n-1) + … an-1 y' + any = f(x),
(2.35)
где a1, a2 …, an - некоторые действительные числа.
Общее решение неоднородного уравнения (2.35) складывается из любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения вида (2.29):
y(x) = y0(x) + U(x).
(2.38)
Если правая часть уравнения (2. 35) имеет вид
f(x) = x [Pn (x) cos x + Qm(x) sinx], (2.39)
то для подбора частного решения этого уравнения применяют
метод неопределенных коэффициентов.
Согласно этому методу частное решение уравнения (2.38)
следует искать в виде
U(x) = xr x [P (x) cos x + Q (x) sin x].
(2.40)
Здесь r - показатель кратности корня + i в характеристическом уравнении кn + a1 кn-1 + … an-1 к + an = 0.
Если же характеристическое уравнение такого корня не
имеет, то частное решение ищется в виде
U(x) = x [P (x) cos x + Q (x) sin x],
(2.41)
Многочлены P (x) и Q (x) с неопределенными коэффициентами имеют порядок, который равен наибольшему из порядков
многочленов Pn (x) и Qm(x) исходной правой части уравнения
(2.40) и имеют вид:
P (x) = A0 x + A1 x -1 + … A .
(2.42)
Q (x) = B0 x + B1 x -1 + … B .
Для определения неизвестных коэффициентов A0, A1, … A
и В0, В1, …, В частное решение U = U(x) вида (2.40) и (2.41)
подставляют в исходное уравнение (2.35). В результате получаем
систему линейных алгебраических уравнений, в которых сравниваются A0, A1, … A коэффициенты, а также В0, В1, … В с коэффициентами при соответствующих степенях функции в правой части уравнения (2.35).
70
Если же правая часть уравнения (2.35) равна сумме нескольких различных функций, то для отыскания частного решения такого уравнения надо найти частные решения относительно
каждой функции, а затем, согласно теореме наложения решений, сложить эти частные решения. В результате получаем частное решение исходного дифференциального уравнения (2.35) со
сложной правой частью.
ПРИМЕР 1.
Найти общее решение уравнения y'' + y' - 2y = 3x.
Решение.
Характеристическое уравнение к2 + к - 2 = (к - 1) (к + 2) = 0 имеет
корни к1 = 1 и к2 = -2.
Тогда общее решение однородного уравнения y0 = C1 3x + C2 -2x.
Частное решение надо искать в виде: U = A 3x.
Тогда U' = 3A 3x, U'' = 9A 3x.
Тогда U'' + U' - 2U = A 3x (9 + 3 - 2) = 3x.
1
Откуда A = .
10
В результате общее решение неоднородного уравнения:
1
y = y0 + U = C1 x + C2 -2x + 3x.
10
****
ПРИМЕР 2.
Найти общее решение :
y' + 25y = cos 5x.
Решение.
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
y'' + 25y = 0.
Характеристическое уравнение: к2 + 25 = 0.
Корни: к1 = 5i, к2 = -5i.
Общее решение однородного уравнения:
y0 = C1 cos 5x + C2 sin 5x.
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде
U = x (A cos 5x + B sin 5x).
71
Вычислим:
U' = (A cos 5x + B sin 5x) + 5x (-A sin 5x + B cos 5x);
U'' = 5(-A sin 5x + B cos 5x) + 5x (-A sin 5x + B cos 5x) + 25 x (-A
cos 5x - B sin 5x).
Тогда U'' + 25U = -10A sin 5x + 10B cos 5x = cos 5x.
1
Тогда A = 0, B = .
10
В итоге общее решение неоднородного уравнения:
1
y = y0 + U = C1 cos 5x + C2 sin 5x +
x sin 5x.
10
****
ПРИМЕР 3.
Решить дифференциальное уравнение y'' + 3y' + 2y = 3x.
Решение.
Решим однородное уравнение y'' + 3y' + 2y = 0.
Характеристическое уравнение: к2 + 3к + 2 = 0.
Имеет корни: к1 = -1, к2 = -2.
Поэтому общее решение однородного уравнения: y0= C1 -x +
C2 -2x.
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде U = Ax
+ B.
При подстановке в исходное уравнение получаем: U' = A; U'' = 0;
U'' + 3U' + 2U = 3A + 2 (Ax+B) = 3x.
2Ax 3x
Тогда
.
3
A
2
B
0
3
9
В итоге: A = ; B = - .
2
4
3
9
Общее решение: y = y0 + U = C1 -x + C2 -2x + x - .
2
4
****
72
ЗАДАНИЕ.
Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:
1). y'' - y = 4 x.
Ответ: y = C1 x + C2 -x + 2x x.
2). y'' + 4y' +5y = 8 cos x.
Ответ: y = -2x (C1 cos x + C2 sin x) + 2(cos x + sin x).
3). y'' - 6y' + 9y = 25 x sin x.
Ответ: y = (C1 + C2x) x + x (4 cos x + 3 sin x).
4). y'' + 8y' = 8 x.
Ответ: y = C1 + C2
5). y'' + 3y' - 10y = x
-2x
-8x
x2 x
+
.
2 2
.
Ответ: x = C1 2x + C2 -5x +
73
1
(1-12x) -2x.
144
Раздел 3.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
10. Операции над векторами
10.1. Векторы. Линейные операции над векторами
Вектором называется направленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой В. Иногда вектор обозначают
одной буквой а. Длиной |АВ| вектора АВ называется число, равное длине отрезка АВ. Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными.
Операции над векторами:
1) . Если вектор а умножить на действительное число , то получим новый вектор b , который коллинеарен вектору а, длина
его в раз больше, и при 0 вектор b направлен в ту же
сторону , а при < 0 в сторону, противоположную вектору a.
2). Eсли сложить векторы a и b , то получим вектор c, который
соединит начало вектора a и конец вектора b
( рис .3.1).
C
= -1/3 a
b = 2a
а
b
a
c = a + b
Рис. 3.1. Линейные операции над векторами.
74
Скалярным произведением двух векторов а и b называется число
(a, b) = |a| |b| cos φ,
(3.1)
где φ – угол между векторами а и b (рис. 3.2).
b
φ
a
Рис. 3.2. Скалярное произведение векторов a и b
Векторным произведением векторов а и b называется вектор с,
который обозначается :
с = [a b]
(3.2)
Вектор с определяется свойствами:
1).Длина вектора |с| = |a| · |b| · sin φ, где φ – угол между векторами
а и b. Длина вектора с численно равна площади параллелограмма S, построенного на этих векторах.
2).
Вектор с перпендикулярен а и b.
3). Векторы а, b, с образуют правую тройку векторов ( рис. 3.3.).
0
Рис. 3.3. Векторное произведение векторов а и b: с = [а·b]
75
10.2. Линейно независимые системы векторов.
Базис. Системы координат
n
Элементами (векторами) n-мерного пространства R
являются совокупности из n действительных чисел a1 = (a11,
а12, ..., а1n). Система векторов a1, а2, ..., аn называется линейно зависимой, если существуют действительные числа λ1, λ2, …, λn,
одновременно не равные нулю, для которых выполняется соотношение
λ1a1 + λ2a2 + … + λnan = 0.
(3.3)
Если для векторов a1, а2, ..., аn нельзя указать числа λ1, λ2,
…, λn, чтобы выполнялось условие (9.3), то эти векторы называются линейно независимыми.
n
Базисом в пространстве R называется любая система n линейно независимых векторов a1, а2, ..., аn.
n
Следует отметить, что любой вектор b из R можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов:
b = b1a1 + b2a2 + ... + bnаn .
( 3.4)
Здесь b1, b2, ..., bn – координаты вектора b по отношению к
базису (a1, а2, ..., аn).
В одномерном пространстве R1 базис е образует любой
вектор единичной длины , коллинеарный этому пространству.
В двухмерном пространстве R2 базис образуют любые два неколлинеарных вектора (обычно два взаимно перпендикулярных
векторы, направленных вдоль осей Ох и Оу) .
Прямоугольная система координат x, y, z в R3 представляет собой три взаимно перпендикулярные прямые (оси координат), проходящие через начало координат – точку 0 (рис. 3.4).
Базисные векторы е1 , е2 , е3 направлены вдоль координатных осей ( рис.3.4).
76
Z
c3
c
е3
е2
0
c2
Y
е1
c1
X
Рис. 3.4. Прямоугольная система координат
Базис называется ортонормированным, если все его векторы попарно ортогональны (перпендикулярны) и по длине равны 1.
Декартова система координат с ортонормированным базисом называется декартовой прямоугольной системой координат.
Пусть векторы а и b в ортонормированном базисе e1, e2, е3
можно разложить следующим образом:
а = ax·e1 + ay·e2 + az∙е3;
b = bx·e1 + by·e2 + bz∙е3.
Тогда скалярное произведение векторов а и b можно вычислить по формуле
(а, b) = ах∙bх + аy∙by + аz∙bz.
(3.5)
Векторное произведение векторов а и b определяется по
формуле
е1∙(a
е1
е2
е3
= y∙bz - az∙by) е2∙(ax∙bz – bx ∙az) +
(3.6)
ax
ay
az
c=[a∙b] =
е3∙(ax∙by - ay ∙bx)
bx
by
bz
Здесь c1 = (ay∙bz - az∙by) , c2 = (ax∙bz – bx ∙az), c3 = (ax∙by - ay ∙bx) –
координаты вектора с в ортонормированном базисе (e1, e2, е3)
(рис. 3.4.)
77
ПРИМЕР
Вычислить скалярное и векторное произведения векторов
а(1, 2, 3) и
b(4, 5, 6).
Решение.
(а, b) = 1∙4 + 2∙5 + 3∙6 = 32.
с = [a b] =
е1(2∙6-3∙5) - е2(1∙6-3∙4) + е3(l∙5-2∙4) = -3е1 + 6е2 - 3е3.
Представим вектор с в
декартовой системе координат.
Z
-3
0
Y
6
с
-3
X
****
ЗАДАНИЕ
1). Вычислить скалярное и векторное произведения векторов
а(1, 3, 5) и
b (2, 4, 6). Построить вектор с = [a b] в декартовой системе координат.
2). Вычислить скалярное и векторное произведения векторов
с (-1, 2, 4) и d (-2, 3, 5). Построить вектор с = [a b] в декартовой системе координат.
78
11. Матрицы и определители
Таблица чисел аi j вида
A=
a11
a21
…
am1
a12
a22
…
am2
…
…
…
…
a 1n
a 2n
…
amn
= (ai j),
(3.7)
состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размером m n.
Числа ai j называются ее элементами. При m = n она называется квадратной матрицей n-го порядка.
Если представить, что строки матрицы являются n-мерными
векторами ai = (ai1, ai 2, ... аi n), то максимальное число линейно независимых векторов называется рангом матрицы А.
Операции над матрицами
1. Умножение матрицы на число.
При умножении матрицы А = (ai j) на число λ получаем матрицу В = (bi j), т.е. λА = В, элементы которой равны bij= λai j.
ПРИМЕР 1
Пусть: = 2,
1 2
.
А =
3
4
Тогда:
А =
1 2 2 1 2 2 2 4
.
2
3
4
2
3
2
4
6
8
****
79
2.Сложение матриц.
При сложении матриц А = (аi j) и B=(bi j) получаем матрицу
C = (ci j), т.е. А + В = С, элементы которой равны ci j = ai j + bi j.
ПРИМЕР 2
Пусть:
А =
1 2
,
3 4
5 6
.
В =
7 8
Тогда:
А + В =
1 2 5 6 1 5 2 6 6 8
.
3
4
7
8
3
7
4
8
10
12
****
3. Перемножение матриц.
При умножении матрицы А на матрицу В получаем матрицу С = (сi j), при этом число столбцов А должно быть равно числу
n
строк матрицы В. Каждый элемент c ij a ik b kj .
k 1
ПРИМЕР 3
АВ =
1 2 5 6 1 5 2 7 1 6 2 8 19 22
.
3
4
7
8
3
5
4
7
3
6
4
8
43
50
80
Каждой квадратной матрице А можно сопоставить число |А|,
которое вычисляется по определенному правилу. Это число называется определителем |А | = det A
Например, определитель второго порядка вычисляется по
формуле:
a11
a12
|A| =
= a11a22 - a12a21
a21
(3.8)
a22
Определитель третьего порядка вычисляем по формуле:
а11
А
а12
а13
=
а11 (а22 а33 – а32 а23 ) -
=
(3.9)
а21
а22
а23
а31
а32
а33
- а12(а21 а33 - а31 а23 ) +
+ а13
(а21 а32 - а31 а22 ).
Если А - определитель порядка n , то минором Мik
элемента аik называют определитель плрядка ( n – 1), получающийся из этого определителя « вычеркиванием» I-ой строки
и k- го столбца.
Под алгебраическим дополнением Аik элемента аik понимают минор Мik , домноженный на число ( -1) i+k , т.е.
Аik = ( -1)I+k Мik
(3.10)
Теорема разложения.
Определитель n- го порядка можно представить в виде
суммы произведений всех его элементов какой-либо строки ( или
столбца) на соответствующие алгебраические дополнения:
n
А =
n
аik Аik = aki Aki ( 1
i=1
k=1
81
k
n)
(3.11)
12. Системы линейных уравнений
и неравенств.
1.Системы линейных уравнений.
Рассмотрим систему из n линейных уравнений с n неизвестными
a 11x1 ... a 1n x n b1
,
(3.12)
........................
a x ... a x b
nn n
n
n1 1
где хi – неизвестные; aij – коэффициенты системы; bi – свободные члены.
Система чисел (x1,x2, …, xn) называется решением системы
уравнений (3.12),
если эти числа при подстановке в систему
(3.12 ) превращают его в тождество.
Если система (3.12):
а) не имеет ни одного решения, то она называется несовместной;
б) имеет решение – совместной;
в) если совместная система имеет бесконечное множество
решений, то она называется неопределенной;
г) если совместная система имеет единственное решение, то
она называется определенной.
Пусть векторы aj – столбцы матрицы А, т.е. эту матрицу
можно представить в виде А = (a1, а2, …, аn).
Введем определители: |А| = |a1, a2, …, an| и |Аk| =|a1, a2, …,
bk, an|, т.е. столбец аk заменяется на столбец свободных членов
bk.
Правило Крамера. Если определитель системы (3.12) от-
личен от нуля, т.е. |А| 0, то система уравнений имеет единственное решение, вычисляемое по формуле
|A |
xk k
(k = 1, 2, …, n).
( 3.13)
|A|
82
ПРИМЕР 1
Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
x + 2y + z = 8
2x + y + z = 7
3x + 2y + 2z = 13
Решение
Вычислим определители:
1 2
2 1
3 2
А =
1
1
2
1 1
2
2 2 -2 3
= 1
1
2
+1
2 1
3 2 =
= 1 (1 2 - 1 2) - 2 ( 2 2 -1 3) + 1 ( 2 2 - 3 1) = - 1.
Аx =
Аy =
8 2
7 1
13 2
1 = 8 (1 2 - 1 2) 1
- 2 ( 7 2 -1 13) +
2
+ 1 ( 2 2 - 3 1) =
1 8
2 7
3 13
1
1
2
1 2
2 1
3 2
Аz =
=
1 ( 7 2 - 1 13) - 8 ( 2 2 -1 3) +
+ 1 ( 2 13 - 3 7) =
8
1 (1 13 - 7 2) 7 = - 2 ( 13 2 - 3 7) +
13
+ 8 ( 2 2 - 3 1) =
По правилу Крамера:
x =
Аx
y=
Аy
z=
/
A
/ A
Az / A
=
- 1.
(-1) / (-1) = 1.
= (-2) / (-1) = 2.
= (-3)/(-10 = 3.
Ответ: х = 1, у = 2, z = 3.
83
- 2.
- 3.
****
Метод Гаусса .
Представим метод Гаусса решения системы линейных уравнений
на примере трех уравнений с тремя неизвестными х, y, z.
а11 х
а21 х
а31 х
+ а12 y
+ а22y
+ а32 y
+
+
+
а13 z
а23 z
а33 z
= b1
= b2
= b3
(3.14)
Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных и приведении системы к диагональному виду:
х
+
с12 y
y
+
+
с13 z = d1
c23 z = d2
z = d3
(3.15)
Неизвестные x, y, z из полученной системы (3.15) последовательно вычисляются ”обратным ходом ”.
Алгоритм метода Гаусса.
1-ый шаг.
Допустим, что а11 0.
Делим тогда 1-ое уравнение в (3.14) на а11 и получаем:
х + ( a12/a11 ) y + ( a13/a11 ) z = d1/a11
Переобозначим коэффициенты:
х +
с12 y +
с13 z = d1
(3.16)
2-ой шаг.
Умножаем уравнение (3.16) на (-а21 ) и складываем со вторым
уравнением (3.14).
Получаем:
( -а21 + а21 )х + y(- c12 a21 + a22 ) + z( - c13 a21 + a23 ) = b2 – d1 a21
Разделим это уравнение на (- c12 a21 + a22 ) и , переобозначив коэффициенты , получаем
y
+
c23 z
= d2
(3.18)
84
3-ий шаг.
Умножаем уравнение (3.16) на ( -а31) и складываем с третьим
уравнением в (3.14):
( -а31 + а31 )х + y(- c12 a31 + a32 ) + z( - c13 a31 + a33 ) = b3 – d1 a31
Переобозначим коэффициенты в предыдущем уравнении:
c32 y + c33 z = d3
В итоге после первого цикла из 3-х шагов система уравнений
принимает вид:
х
с12 y +
с13 z = d1
y
+
c23 z = d2
c32 y + c33 z = d3
+
(3.19)
4-ый шаг.
Умножаем второе уравнение в (3.19) на ( -с32 ) и складываем с
третьим уравнением в этой системе:
( -с32 + с32) y + z( -с32 с23 + с33) = d3 - d2 c32
Откуда:
z = (d3 - d2 c32) / (с33 -с32 с23 ) = d3
В итоге получаем треугольную систему уравнений:
х
с12 y
y
+
с13 z = d1
c23 z = d2
z = d3
+
+
(3.20)
Из которой неизвестные x, y, z получаем “обратным ходом”:
z = (d3 - d2 c32) / (с33 -с32 с23 )
y
=
d2 - +
c23 z
х
=
d1 - с12 y
85
- с13 z
(3.21)
ПРИМЕР 2
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:1
2x + 4y + 2 z = 16
2x + y + z = 7
3x + 2y + 2z = 13
Решение
1 –ый шаг.
Разделим первое уравнение на (2):
х+2y + z = 8
2-ой шаг .
Умножим первое уравнение на (-2) и сложим со вторым уравнением:
(-2+2)х +( -4 +1)y + (-2+1) = -16+7 = -9.
3-ий шаг.
Умножим первое уравнение на (-3) и сложим с третьим :
(-3 +3)х +(-6 +2)y + (-3+2) = -24+13 = -11.
После первого цикла получаем
x + 2y + z = 8
y + z/3 = 3
4y +
z
= 11
4-ый шаг.
Умножаем второе уравнение на (-4) и складываем с третьим :
(-4 +4)y + z( -4/3 + 1) = -12 = 11
В итоге получаем:
-z/3 = -1 ,
z = 3.
Треугольная система уравнений принимает вид:
x + 2y + z = 8
y + z/3 = 3
z
=
3
В результате обратного хода получаем:
y = 3 - 3/3 = 2 , x = 8 – 2(2) - 3 = 1.
Ответ : х = 1, у = 2, z = 3.
86
2. Системы линейных неравенств.
Рассмотрим систему n линейных неравенств:
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn b1;
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn b2;
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn bm;
(3.22)
где аi j, bi, cj – заданные постоянные величины,
x = (х1, х2, … xn) – вектор –строка переменных.
Если система неравенств (3.22 ) совместна, она определяет некоторое множество, совокупность точек которого образует выпуклый многогранник.
Построить этот многогранник сравнительно просто, если
задача содержит не более двух- трех свободных переменных, т.е.
n-r 2- 3 , где n – число переменных, r – ранг матрицы А.
В качестве примера построим выпуклый многонранник ,
определяемый системой неравенств:
а11х + а12 y b1
а21х + а22 y b2
(3.23)
x 0; y 0.
Каждое из неравенств (3.23) системы ограничений геометрически определяет полуплоскость, ограниченную прямыми
a11 x + a12 y = b1,
a21 x + a22 y = b2,
x = 0, y = 0.
(3.24)
В том случае, если система неравенств (3.23) совместна,
область ее решений есть множество точек, принадлежащих всем
указанным полуплоскостям. Каждая полуплоскость образует выпуклое множество , тогда множество их пересечений и образует
выпуклый многогранник.
87
Y
a11x1 + a12x2 = b1
D
a21x1 + a22x2 = b2
X
0
Рис. 3.5. Выпуклый многогранник D , заданный
системой неравенств (3.23).
ПРИМЕР 3
Построить
многогранник D, заданный системой неравенств:
3х
+
2y
6
2х +
3y 6
x 0; y 0.
Решение
x 0; y 0 задают 1-ую четверть координатной
Неравенства
плоскости
Построим прямую : 3x + 2y = 6 .
При х = 0: 2y = 6 ; y = 3;
при y = 0 : 3х = 6 , х = 2.
Следовательно , прямая проходит через точки (0, 3) и (2, 0).
Построим прямую :
2x + 3y = 6 .
При х = 0: 3y = 6 , y = 2;
при y = 0 : 2х = 6 , х = 3.
Следовательно , прямая проходит через точки (0, 2) и (3, 0).
Область D определяется
Y
пересечением полуплоскостей:
3
3x + 2y 6
2
2x + 3y 6
D
Х
2
3
88
ЗАДАНИЕ
1). Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и
формуле Крамера:
2x + 4y + 6 z
x + 2y + 3z
3x + y + z
по
= 14
= 7
= 8
Ответ: x = 2, y = 1, z = 1.
2). Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и
формуле Крамера:
2x + 3y + z = 7
2x + y - z = 1
4x + 2y - z = 4
Ответ: x = 1, y = 1, z = 2.
3). Построить многогранник, заданный системой неравенств:
2х +
4y
8
3х + 2y 6
x 0; y 0.
4). Построить многогранник, заданный системой неравенств:
.
2х +
5y
10
2х + 2y 6
x 0; y 0.
5). Построить многогранник, заданный системой неравенств:
.
2х +
5y
10
5х + 2y 6
5х + 5y 12
x 0; y 0.
89
по
13. Экстремум функции нескольких переменных
13.1. Функция нескольких переменных (ФНП).
Рассмотрим множество всевозможных упорядоченных совокупностей n чисел вида (x1, x2, …, xn), которое называется nn
мерным координатным пространством R . Каждая упорядоченная
совокупность М(x1,x2, ..., xn) называется точкой M этого пространства.
Между двумя точками этого пространства A(x1, x2, …, xn) и
В(у1, у2, …, уn) можно определить расстояние r(А, В):
r(A, B) (x 1 у1 ) 2 (x 2 у 2 ) 2 ... (x n у n ) 2 (3.25 )
n
Координатное пространство R с введенным расстоянием
n
r(А, В) называется n-мерным евклидовым пространством Е .
n
n
Рассмотрим множество E 1 Е . Если каждой точке М(x1,
n
x2, …, xn) этого подмножества E 1 можно сопоставить некоторое
n
действительное число u, то говорят, что на множестве E 1 определена функция n переменных u = f(M) или u = f(x1, x2, …, xn).
***
90
Геометрический смысл функции 2-х переменных.
Рассмотрим функцию 2-х переменных u = f(x,y), определенную в области D. Тогда каждой точке M(x0,y0) будет сопоставлено число u0 = f(x0,y0). Множество точек u = f(x,y), где точки
M(x,y) D, образует поверхность в пространстве R3 (рис. 3.6).
Рис. 3.6. Поверхность u = f(x,y)
13.2. Частные производные и
дифференцируемость ФНП
n
Пусть M(x1, x2, …, xn) – точка множества E 1, где определена функция u = f(x1, x2, …, xn).
Рассмотрим частное приращение этой функции в точке М,
соответствующее приращению хk аргумента xk:
ku = f(x1, …, xk + xk, xk+1, …, xn) - f(x1, …, xk, …, xn).
Частной производной функции u = f(x1, ..., xn) по аргументу xк
в точке М называется
Δ u u
Lim k
(M) .
(3.26)
Δx k 0 Δ x k
xk
Аналогично вводятся производные второго порядка
91
2 u
,
,
2
x k x m
xk
частные производные высших порядков (n-го порядка)
n u
n u
,
.
x kp x nm p
x nk
2 u
Рассмотрим полное приращение функции u = f(x1, ..., xn) в
n
точке М, принадлежащей области E 1:
u = f(x1 + х1, ..., xn + xn) - f(x1, ..., xn).
Функция u = f(x1, ..., xn) называется дифференцируемой в
точке M(x1, ..., xn), если ее полное приращение u можно представить в виде
n
u = (Аk·хk + ак·хk),
k 1
( 3.27)
где AК – некоторые числа; ак – бесконечно малые при xk 0 для
всех k от 1 до n (т.е. к 0 при хк 0).
Дифференциалом функции u = f(x1, ..., xn) в точке М называется линейная функция вида
u
u
(3..28)
du
(M) Δx1 ...
(M) Δx n .
x1
xn
Дифференциал второго порядка функции двух переменных
u = f(x,y)
2 u 2
2 u
2 u 2
2
d u 2 x 2
x y 2 y .
x
y
x
y
ТЕОРЕМЫ
1. Необходимое условие дифференцируемости. Если функция u = f(x1, …, xn) дифференцируема в точке М, то она имеет в
этой точке частные производные по каждому аргументу x1, …, xn.
2. Достаточное условие дифференцируемости. Если
функция u = f(x1, …, xn) имеет частные производные по каждому
аргументу x1, …, xn в окрестности точки М и эти частные произ-
92
водные непрерывны в точке М, то функция u = f(x1, …, xn) дифференцируема в точке М.
Геометрический смысл дифференцируемости функции.
Если функция u = f(x, y) дифференцируема в точке М(х0, у0), то в
точке (х, у, f(x0, у0)) существует касательная плоскость к поверхности S (графику этой функции), причем уравнение этой касательной плоскости имеет вид:
u
u
(M 0 ) (x x 0 )
(M 0 ) (у у 0 ) u f(x 0 , у 0 ) .
x
у
( 3.29)
ПРИМЕР 1
Найти частные производные первого порядка функции:
x
u = x2 · y3 + 2 .
y
Решение.
u
1
2x y3 2 ;
x
y
u
2
x 2 3y 2 x 3
y
y
****
ПРИМЕР 2
Найти дифференциал функции и частные производные
второго порядка:
u = y3 + x3 cos y.
Решение.
u
3x2 cos y ;
x
2 u
x2
6x cos y ;
du = 3x2 ·cosydx + (3y2 - x3 · sin y) dy.
u
3y2 x3 sin y ;
y
2 u
3x2 sin y ;
xy
93
2 u
y
2
6y x3 cos y ;
ПРИМЕР 3
Найти частные производные первого порядка и
дифференциал функции :
u = у·х2 + у + х3
в точке М(1, 2).
Решение.
u
(1,2) 2 уx 3 x 2 (1,2) 4 3 7 ;
x
u
(1,2) x 2 1 (1,2) 1 1 2 .
у
****
ПРИМЕР 4
Вычислить второй дифференциал функции
u = х · y2 + х3 · y.
Решение.
u
x 2 y x3 ;
y
u
y 2 3x 2 y ;
x
2 u
x
2
2 u
2 y 3x 2 ;
xy
6xy ;
y
2
2x .
2 u
2 u 2
xy 2 y 6xydx 2
Тогда: d u 2 dx
xy
x
y
2
2 u
2 u
2
+ 2 (2y + 3x2) dxdy + 2xdy2.
****
ЗАДАНИЕ
Вычислить частные производные первого порядка функций:
1). u = х2 y3 + cos x .
2). u = х3 + y2 sin x .
3). u = х4 tg x + y3 3x .
4). u = lnx ctg x + y2 x4 .
Вычислить второй дифференциал функции:
3
2
2
4
5). u = x · у + x · y ;
6). u = x · у2 + x3 · sin y.
94
13.3. Локальный экстремум функций
нескольких переменных.
Функция u = f(M) имеет в точке М0 локальный максимум,
если существует такая окрестность точки М0, в которой выполняется неравенство
f(M) < f(M0) для всех М М0.
(3.30)
Функция u = f(M) имеет в точке М0 локальный минимум, если существует такая окрестность точки М0, в которой выполняется неравенство
f(M) > f(M0) для всех М М0.
(3.31)
Если функция u = f(M) имеет в точке М0 локальный максимум или локальный минимум, то говорят, что эта функция имеет
в точке М0 локальный экстремум.
ТЕОРЕМА
Необходимое условие экстремума
Если функция u = f(M) имеет в точке М0 локальный экстремум и в этой точке существует частная производная функции по
какому-либо аргументу Хк, то u/ x к (M o ) 0 .
Следствие. Если функция u = f(M) имеет в точке М0 ло-
кальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то дифференциал функции в точке М0 равен нулю, т.е.
du(M 0 )
u
u
(M 0 ) dx1 ...
(M 0 ) dx n 0 .
x1
xn
(3.32)
Рассмотрим достаточное условие экстремума функции на
примере функции двух переменных.
95
ТЕОРЕМА
Достаточное условие экстремума
Пусть функция u = f(x, y) дифференцируема в окрестности
точки М0(х0,у0) и дважды дифференцируема в самой точке М0.
Пусть М0 – точка возможного экстремума данной функции, т.е.
дифференциал функции в этой точке равен нулю: du(M0) = 0.
Введем обозначения:
2 u
a 11
(M 0 );
2
x
a 12
2 u
(M ) ;
xу 0
a 22
2 u
у
2
(3.33)
(M 0 ) .
Обозначим: D = a11 a 22 a12 2 .
Тогда:
1. Если D > 0, то в точке М0 функция u = f(x, y) имеет локальный экстремум:
– максимум при a11 < О;
– минимум при a11 > О.
2. Если D < 0, то в точке M0 функция u = f(x, y) не имеет экстремума.
3. Если же D = 0, то в точке M0 функция u = f(x, y) может
иметь локальный экстремум, а может и не иметь его. Требуются
дополнительные исследования функции в этой точке.
96
ПРИМЕР 1
Найти точки локального экстремума функции:
u = x2 - 4x + y2 - 2y.
Решение.
Вычисляем частные производные и приравняем их к нулю:
u'x = 2x - 4 = 0, тогда x = 2;
u'y = 2y - 2 = 0, тогда y = 1.
Получаем точку М0(2,1) , в которых возможен экстремум
функции u = u(x,y) – точку “ подозрительную” на экстремум.
Далее находим частные производные второго порядка:
u''xx = 2, u''xy = 0, u''yy = 2.
В точке М0 : D(М0) = u''xx · u''yy - (u''xy)2 = 2 · 2 - (02) = 4 > 0.
Следовательно, в точке М0 - локальный экстремум.
Поскольку u''xx(М0) = 2 0, то в точке М0( 2,1) - локальный
минимум.
Тогда: min u(x,y) = u (2,1) = (2)2 - 4 (2) + 12 - 2 1 = -5.
****
ПРИМЕР 2
Найти точки локального экстремума функции:
u = 6х - x2 + 4y - y2 .
Решение.
Вычисляем частные производные и приравняем их к нулю:
u'x = 6 - 2x = 0, тогда x = 3;
u'y = 4 - 2y = 0, тогда y = 2
Получаем точку М0(3,2) , в которых возможен экстремум
функции u = u(x,y) – точку “ подозрительную “на экстремум.
Далее находим частные производные второго порядка:
u''xx = -2, u''xy = 0, u''yy = -2.
В точке М0 :
D(М0) = u''xx · u''yy - (u''xy)2 = (-2 )·(- 2) - (02) = 4 > 0.
Следовательно, в точке М0 - локальный экстремум.
Поскольку u''xx(М0) = -2 0, то в точке М0( 2,1) - локальный
максимум.
Тогда: max u(x,y) = u (3,2) = 6 (3) - (3)2 + 4 2 - 22 = 13.
*****
97
ПРИМЕР 3
1. Найти точки локального экстремума функции
u x 2 2 x у 2 у .
Решение.
Вычисляем частные производные функции и приравниваем их к
нулю:
ux = 2х -2у = 0;
uу = -2х + 2 = 0.
Решением системы являются координаты точки М(1,1).
Далее находим частные производные второго порядка:
uxx = 2; uxу = -2; uyy = 0.
Тогда D = uxx·uyy – (uxу)2 = - 4 < 0.
Следовательно, в точке М функция u = f(x, y) не имеет локального экстремума.
*****
ПРИМЕР 4
Найти точки локального экстремума функции:
y3
2
u = x + 2xy + .
3
Решение.
Вычисляем частные производные и приравняем их к нулю:
u'x = 2x + 2y = 0, тогда x = -y;
u'y = 2x + y2 = 0,
поскольку x = -y, то получаем:
2 · (-y) + y2 = y (y - 2) = 0.
Получаем две точки М1(0,0) и М2(-2,2), в которых возможны
экстремумы функции u = u(x, y).
Далее находим частные производные второго порядка:
u''xx = 2, u''xy = 2, u''yy = 2y.
В точке М1: D(М1) = u''xx · u''yy - (u''xy)2 = 2 · 0 - (22) = -4 0.
Следовательно, в точке М1 нет локального экстремума.
В точке М2: D(М2) = u''xx · u''yy - (u''xy)2 = 2 · (2 · 2) - (2)2 = 4 > 0.
Следовательно, в точке М2 - локальный экстремум, а поскольку u''xx = 2 0, то в точке М2(-2,2) - локальный минимум.
8
40
Тогда: min u(x,y) = u (-2,2) = (-2)3 + 2(-2) + .
3
3
98
ЗАДАНИЕ
Найти точки локального экстремума функций:
1). u = х2 - 2х + у2 - 4y .
2). u = 4x - x2 + 2y - y2 .
3). u = х2 - 4х + у2 - 6y .
4). u = 2x - x2 + 4y - y2 .
5). u = х2 - х·у + у2 .
6). u = х2 -х·у - у2.
13.4. Условный экстремум ФНП. Метод Лагранжа
Рассмотрим функцию u = f(x, y), определенную и непрерывно дифференцируемую на множестве E21 Е2.
Обозначим Х – множество точек, координаты которых
удовлетворяют условиям
gi(x, y) = 0 (i = 1,..., m).
(3..34)
Уравнения (3.34) называются уравнениями связи.
Точка М0 Х называется точкой условного максимума
функции u = f(x, y), если существует такая окрестность этой точки, что для любой точки М из этой окрестности выполняется условие
f(M) < f(M0), M М0.
(3.35)
Точка М0 Х называется точкой условного минимума
функции u = f(x,y), если существует такая окрестность этой точки, что для любой точки М из этой окрестности выполняется условие
f(M) f(M0), M M0.
(3.36)
Задача об условном экстремуме функции u = f(x, y) при условиях связи (3.34) эквивалентна задаче о локальном экстремуме
функции Лагранжа:
m
L(x, у) f(x, y) λ i g i (x, у) ,
i 1
(3.37)
где λ1, λ2…, λm - некоторые постоянные (коэффициенты Лагранжа).
99
Метод Лагранжа состоит из следующих этапов:
1. Составляется функция Лагранжа (2 + m) переменных:
m
L(x, у) f(x, y) λ i g i (x, у) .
i 1
(3.38)
2. Вычисляются и приравниваются к нулю ее частные производные по х, у и добавляется уравнение связи:
L f m
g
λi i 0 ;
x x i 1
x
( 3.39)
L f m
g
λ i i 0 , gi (x, у) 0 (i = 1, 2, …, m).
у у i 1
у
3. Решается система (2 + m) уравнений (3.39) относительно
неизвестных х, у, λ1, ..., λm.
Полученная система уравнений – необходимое условие
первого порядка в задаче на относительный экстремум, а ее решения х0,у0 называются условно-стационарными точками.
Как и в случае задач на безусловный экстремум, необходимые условия первого порядка не определяют характера условностационарных точек. Для выяснения этого вопроса следует привлечь производные функций f(M), gi(M) более высоких порядков.
Следует вычислить второй дифференциал
2 L 2
2 L
2 L 2
2
dxdy 2 dy
d L(x,y) = 2 dx 2
(3.40)
xy
x
y
2
Если d L(x0,y0) 0, то в точке (x0,y0) - условный минимум.
Если d2L(x0,y0) 0, то в точке (x0,y0) - условный максимум.
Если же d2L(x0,y0) - знакопеременная квадратичная форма,
то в точке (x0,y0) функция f(x,y) не имеет условного экстремума.
ПРИМЕР 1
Найти точки условного экстремума функции z = х2 + у2,
если х + у = 1.
Решение.
L(х, у, λ) = х2 + у2 + λ · (х + у - 1);
L'x = 2х + λ = 0;
L'y = 2у + λ = 0;
100
L'λ = х + у -1 .
Решением этой системы являются точки х = 1/2; у = 1/2; λ = -1.
Далее: Lxx= 2, Lxy= 0, Lyy= 2.
Определим: d2L = 2 · dx2 + 2dy2 0.
1
1
Следовательно, в точке x = , y =
функция z = x2 + y2
2
2
1
1
1
достигает своего условного минимума: zmin = ( )2 + ( )2 = .
2
2
2
****
ПРИМЕР 2
Найти точки условного экстремума:
f(х, у) = х · y, х + у = 1.
Решение.
Функция Лагранжа: L(х, у, λ) = х · y + λ (х + у - 1);
Проводим вычисления: L'x = y + λ = 0; L'y = x + λ = 0; х + у = 1.
1
1
1
Решение системы: х0 = ; y0 = ; λ = - .
2
2
2
Определим: L''xx = 0, L''xy = 1, L''yy = 0.
Тогда: d2L = L''xx · dx2 + 2L''xy · dxdy + L''yy dy2 = 2dxdy.
Вычислим: d(x+y) = 0, тогда dx = -dy.
В итоге: d2L = -2(dy)2 0.
Поскольку квадратичная форма – отрицательно определен1 1
ная, то функция f(x,y) = x y имеет в точке ( , ) условный мак2 2
1 1 1
симум, причем fmax = = .
2 2 4
ЗАДАНИЕ
Найти точки условного экстремума:
1).
f(x, y) = х2 + у2, если х - у = 1;
2). f(x, y) = х2 +3у2 + х - у в треугольнике, ограниченном прямыми х = 1; у = 1; х + у = 1;
3).
Из всех треугольников, вписанных в круг, найти тот, чья
площадь наибольшая.
101
Раздел 4.
ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
14. Введение в теорию множеств
Множество Х - это совокупность элементов {х}, объединенных по каким-либо признакам.
Утверждение, что х принадлежит Х символически записывается так: хХ; запись хХ означает, что элемент х не принадлежит множеству X.
Множество Х может быть бесконечным или конечным (т.е.
состоять из конечного числа элементов).
В каждом множестве можно выделить подмножество Х'Х
(рис.4.1), элементы которого обладают общими для этого подмножества свойствами. Подмножество X' состоит только из
тех элементов, которые принадлежат множеству Х, т.е. если
хХ', то отсюда следует, что хX.
Рис. 4.1. Множество Х и подмножество Х' X
Целесообразно ввести понятие пустого множества, т.е. множества, не содержащего ни одного элемента.
Для любого множества Х можно указать множество, элементами которого {X'} являются подмножества этого множества Х,
т.е. Х'Х. Такое множество, состоящее из подмножеств Х', называется семейством множеств Х и обозначается В(Х).
102
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
Пусть А и В - произвольные множества.
1. Суммой или объединением этих множеств называется
множество С = A B , которое состоит из всех элементов множеств А и В (рис. 46).
2. Пересечением множеств А и В называется множество
С = А B , состоящее из всех элементов как множества А, так и
элементов В (рис. 4.2)
Рис. 4.2. Объединение и пересечение множеств А и В
3. Декартовым произведением А В множеств А и В
называется множество М, элементы которого представляют собой пары упорядоченных элементов множеств А и В , т.е. имеют
вид
М = {(ai, bj)/aiA, bjB}.
Пример построения декартового произведения множеств
А и В представлен на рис. 4.3.
Рис. 4.3. Изображение декартового произведения АВ
103
ОТОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ
Пусть А и В - произвольные множества.
Говорят, что задано отображение f: А в В (запись f :
АВ), если каждому элементу аА поставлен в соответствие
один и только один элемент вВ (рис.4.4). В этом случае элемент
а называется прообразом, а отвечающий ему элемент в = f(a) образом.
Отображение А на В называется взаимно однозначным,
если выполняются два условия:
1. Каждый элемент вВ является образом какого-либо
прообраза аА , т.е. вВ aА такое, что f-1(b) = a.
2. Для любых двух различных a1а2 из А будут отличны и их
образы f(a1)f(a2).
Рис. 4.4. Взаимно однозначное отображение А на В
15. Комбинаторика
Комбинаторика - раздел математики, который изучает расположения элементов в конечных множествах по различным
правилам и подсчет всех способов таких расположений.
Основной принцип комбинаторики.
Если процесс состоит из К этапов, каждый из которых может осуществляться Ni способами (i = 1,2, … к), то общее число
вариантов осуществления процесса
N = Ni N2
104
…… Nк.
(4.1)
ПРИМЕР 1
Туристический маршрут из начального пункта в 1-й привал
может проходить по трем тропам, из 1-го привала во 2-й – по 2-м, а
из 2-го в конечный пункт маршрута – по 4-м возможным тропам .
Решение
Тогда общее число возможных маршрутов равно
N = 3 2 4 = 24 маршрута.
На рисунке приведены различные варианты туристических
маршрутов из начального в конечный пункт.
Сочетания из n по к.
Пусть Rn - множество из n элементов. В комбинаторике любое к-элементное подмножество называется сочетанием из n
элементов по к. Порядок элементов в множестве и подмножестве
не существенен. Число сочетаний из n по к равно
n!
,
(4.2)
C kn
k!( n k )!
где n! = 1 2 3…n.
*****
ПРИМЕР 2
Во взводе, состоящем из n = 7 солдат, в разведку решено послать 2 солдат. Сколькими способами можно сделать этот выбор?
Решение.
На множестве из 7 элементов рассматриваются сочетания по
2 элемента. Число таких подмножеств:
7!
= 21 способ.
C 27
2!5!
105
ПРИМЕР 3
Студенческая группа состоит из 10 юношей и 6 девушек.
Для участия в олимпиаде необходимо формировать команду из 3
юношей и 2 девушек. Сколько таких различных команд можно
составить?
Решение.
Из множества в 10 элементов надо выбрать различные сочетания по 3 элемента, а на множестве из 6 элементов - сочетания
по 2 элемента. Число сочетаний из 10 по 3 равно:
10!
3
= 120 выборов.
C10
3!7!
Число сочетаний из 6 по 2 равно:
6!
= 15 выборов.
C 26
2!4!
По основному принципу комбинаторики общее число вариантов равно:
3
N C10
C26 120 15 1800 различных команд.
Перестановки множеств.
Присвоим каждому элементу множества номер, тогда получим упорядоченное множество.
Различные упорядоченные множества, которые отличаются
лишь порядком элементов, называются перестановками этого
множества. Число перестановок, т.е. число множеств, которые
можно получить из данного множества n элементов путем перенумерации этих элементов, равно:
Р = n!
(4.3)
ПРИМЕР 4
На книжной полке стоят 5 книг. Сколько существует способов расположения книг на полке?
Решение.
Рассмотрим число перестановок этих книг на полке.
P = 5! = 120 способов.
106
****
ПРИМЕР 5
За столом надо рассадить 4 участников переговоров.
Сколько существует вариантов, по которым можно рассадить за столом участников этих переговоров?
Решение.
Число вариантов Р равно:
Р = 4! = 1 2 3 4 = 24 варианта.
****
Размещения из n no k.
Рассмотрим упорядоченное множество Rn, состоящее из n
элементов. Упорядоченное подмножество из k элементов называется размещением из n элементов по k.
Число таких размещений из к элементов, которые можно
выделить на упорядоченном множестве из n элементов, равно:
n!
.
(4.4)
A kn
( n k )!
****
ПРИМЕР 6
В команде 6 лыжников. Тренеру нужно отобрать для эстафеты 410 км 4-х спортсменов и расставить их по этапам.
Определить число вариантов, по которым можно составить
команду лыжников для эстафетной гонки.
Решение.
Требуется определить число размещений из 6 элементов по 4.
Согласно представленной формуле
6!
6!
A 46
360 вариантов.
( 6 4 )! 2!
****
107
ПРИМЕР 7
На прилавке может расположиться в ряд только 3 вида продукции. У директора магазина имеется в распоряжении n = 5 видов продукции, которые он желал бы разместить на прилавке.
Сколько раз директор может менять расположение продукции на прилавке?
Решение.
Число вариантов размещения продукции на прилавке с учетом изменения их местоположения равно:
5
5!
A 35
60 .
(5 3 )! 2!
****
ЗАДАНИЕ
1). В районе действует 8 фирм.
Налоговая служба решает проверить 3 фирмы.
Сколько вариантов выбора существует?
8!
Ответ: N = C 38
= 56 вариантов.
3!5!
2). Из колоды в 36 карт произвольно вытаскивают 5 карт.
Сколько случаев, когда 2 из этих 5 карт будут пики, а 3 остальные - черви?
Ответ: N = C29 C39 случаев.
3). На собрании с докладами должны выступать 4 докладчика.
Сколько вариантов порядка очередности их выступления?
Ответ: N = 4! = 24 варианта.
4). После футбольного матча командам приходится выполнять
серию из 5 штрафных ударов. Тренеру предстоит из 11 футболистов отобрать 5 и определить порядок их подхода к мячу.
Сколько вариантов отбора есть у тренера?
11!
5
Ответ: A11
7 8 9 10 11 вариантов.
6!
5). В фирме работают 8 мужчин и 6 женщин. Принято решение
послать на курсы 3 мужчин и 2 женщин.
Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: N = C38 C26 840 способов.
108
16. Алгебраические системы
Рассмотрим множество М, состоящее из элементов {m}.
Алгебра А - это совокупность множества М с заданными в
нем операциями S = {f1,f2,...fn}, которая записывается в виде A =
<M,S>. Множество М называется носителем, a S - сигнатурой
алгебры А.
Если сигнатура состоит только из одной операции, то алгебра называется группоидом и записывается в виде А = <М,>,
где символ "" обозначает только одну операцию на множестве
М. Если "" - операция типа умножения "", то группоид называют мультипликативным, если "" - операция типа сложения
"+" ,то группоид называют аддитивным.
Для алгебры (или группоида) можно ввести понятие единичного элемента е, для которого справедливо: m е = е m = m.
Если группоид <М, > - мультипликативный, то единичный элемент называется "единица" и обозначается "1". Если же группоид
является аддитивным, то единичный элемент называется "нулем"
и обозначается "0".
Для элементов алгебры (или группоида) можно ввести понятие обратного элемента m-1, который удовлетворяет следующему свойству: m m-1 = m-1 m = e.
ПРИМЕРЫ
1. Рассмотрим множество векторов на плоскости R2 и введем
операцию сложения векторов: а + в = с. Сложив два вектора, мы
вновь получаем вектор. Следовательно, операция не выходит за
пределы множества векторов на плоскости. Тогда единичным
элементом будет вектор нулевой длины - 0.
Обратным элементом для каждого вектора будет вектор - a,
коллинеарный данному, равный исходному по длине, но направленный в противоположную сторону.
2. Положительные рациональные числа с операцией умножения.
Единичным элементом является число 1. Каждому положительному рациональному числу х можно сопоставить обратный
109
элемент 1/х, который обеспечивает выполнение условия:
x 1/x = 1/x x = 1.
Группоид <М, >, для любых элементов m1, m2, m3 которого
выполняется закон ассоциативности:(m1m2)m3 = m1(m2m3),
называется полугруппой.
ПРИМЕР 1
Множество целых чисел {m} является полугруппой по умножению, так как для любых трех целых чисел выполняется закон ассоциативности. Например, (-2 3) 7 = -2 (3 7).
***
Группоид <M, *>, для любых элементов m1, m2, m3 которого выполняются условия:
1. В М существует единичный элемент е: m * е = е * m = m;
2. В М для любого элемента m существует обратный
элемент m-1: m * m-1 = m * m-1 = е
3. Для элементов носителя выполняется закон ассоциативности
(m1 * m2) * m3 = m1 * (m2 * m3);
называется группой.
Рассмотрим алгебру А с операциями сложения "+" и умножения
"", т.е. А = <М, , +>.
Если для любых элементов m1, m2, m3 носителя M выполняются:
1. Закон коммутативности по сложению: m1 + m2 = m2 + m1;
2. Закон ассоциативности по умножению: (m1 m2) m3 =
m1 (m2 m3);
3. Законы дистрибутивности: m1 (m2 + m3) = m1 m2 +
m1 m3, (m1 + m2) m3= m1 m3 + m2 m3,
то эта алгебра называется кольцом.
Кольца, в которых для всех отличных от нуля элементов
существуют обратные, называются телами.
Тело не является группой относительно операции умножения, поскольку обратные элементы существуют только для элементов, отличных от нуля.
Тело, которое обладает свойством коммутативности по
умножению, т.е. m1 m2 = m2 m1, называется полем.
110
ПРИМЕР 2
1). Проверить, является ли группой аддитивный группоид
функций
А = < ах + b, + > , где а, b - рациональные числа.
Решение
Проверим условия существования группы.
1. В носители М = { ax + b} существует единичный элемент е.
При а = 0, b = 0 получаем : 0 х + 0 = 0 = е М.
2. Для любого m = ах +b существует обратный элемент
m-1 = а1х + b1 , где а1 = -а, b1 = -b.
Тогда m + m-1 = 0 = е .
3. . Для элементов носителя выполняется закон ассоциативности
[ ( ак х + bк ) + ( аn х + bn ) ] + ( а m х + b m ) =
( ак х + bк ) + [( аn х + bn ) + ( аm х + bm ) ].
Здесь ( ак х + bк ) ,( аn х + bn ), ( аm х + bm ) – произвольные
элементы носителя.
Следовательно, группоид является группой.
****
ПРИМЕР 3
Проверить, является ли группой аддитивный группоид
функций А = < ах2 , + > ,
где а- натуральные числа.
Решение
1. Для определения единичного элемента требуется положить:
а = 0 тогда бы мы имели имеем 0 · х2 = 0 = е.
Однако такого выбора сделать нельзя, так как а – натуральное число ( N = 1,2, 3....), а в множество натуральных чисел 0 –
не входит.
2.Кстати, для любого m = ах2 не существует и обратного элемента, так как мы не можем выбрать для m-1 отрицательного
коэффициента а1 = -а ( все натуральные а > 0).
Следовательно, группоид не является группой.
****
ПРИМЕР 4
1). Проверить, является ли группой мультипликативный группоид чисел
А = < 3n,
> ,
где n - целые числа.
111
Решение
Проверим условия существования группы.
1.В носители М = { 3n } существует единичный элемент е.
При n = 0 получаем : 30 = 1 = е М.
2. Для любого m = 3n существует обратный элемент
m-1 =
3n1 , где n1 = - n,
Тогда m m-1 = 3n 3 - n = 30 = 1 = е .
3. Для элементов носителя выполняется закон ассоциативности
m
3 ].
[ 3n 3k ] 3m = 3 n [ 3 k
Следовательно, группоид является группой
ЗАДАНИЕ
1). Проверить, является ли группой аддитивный группоид
функций
А = < ах 2 + bx, + > , где а, b - рациональные числа. Графически представить некоторые
элементы заданного носителя.
2). Проверить, является ли группой аддитивный группоид
функций
А = < а tg x, + > , где а - целые числа.
Графически представить некоторые элементы заданного
носителя.
3). Проверить, является ли группой аддитивный группоид
функций
А = < ах 3 + b, + > > , где а - целые
числа, b – натуральные числа. Графически представить некоторые элементы заданного носителя.
5). Проверить, является ли группой мультипликативный
группоид функций А = < хn, > – группой , где n – целое число. Представить некоторые из этих функций на
графике.
6). Проверить, является ли группой мультипликативный
группоид функций А = < 2nx, > – группой , где n – целое число. Представить некоторые из этих функций на
графике.
112
17. Бинарные отношения
Фундаментальным понятием дискретной математики является понятие отношения, которое используется для обозначения
связи между объектами или понятиями.
Квадратом множества М называется декартово произведение двух равных между собой множеств: М М = М2. Элементами множества М2 являются упорядочные пары вида
{(mi,mj)/mi, mjM}.
Бинарным отношением Т в множестве М называется подмножество его квадрата: ТМ2. Говорят, что элементы mi и mj
находятся в отношении Т, если (mi, mj) Т.
Рассмотрим задание бинарного отношения Т с помощью
матрицы смежности. Матрица смежности состоит из клеток,
которые образуют пересечения строк и столбцов. Направляющими строк и столбцов являются элементы множества М. Тогда каждая клетка (i, j) взаимно однозначно соответствует элементу
(mi, mj) множества М2. Если этот элемент (mi, mj) принадлежит
бинарному отношению Т, то в клетке (i, j) ставится "1" , если нет,
то цифра "0".
Например, если множество М состоит из элементов а, в, с, d,
f, а его подмножество Т включает упорядочные пары (а, в,), (в, с)
и (с, d), то это подмножество Т и матрица смежности принимают
вид (рис. 4.5).
Рис. 4.5. Бинарное отношение Т в множестве М
и матрица смежности
113
ПРИМЕР 1
Пусть организационная структура управления фирмой
имеет вид :
Полагаем, что два элемента структуры фирмы находятся в
отношении Т, если между ними происходит непосредственно организационное взаимодействие. Тогда это отношение Т можно
задать в виде матрицы смежности следующим образом:
Д
ГИ
ГБ
НМЦ
НТО
Б
МР
АШ
Д
1
1
1
0
0
0
0
0
ГИ
1
1
0
1
1
0
0
0
ГБ
1
0
1
0
0
1
0
0
НМЦ
0
1
0
1
0
0
1
0
114
НТО
0
1
0
0
1
0
0
1
Б
0
0
1
0
0
1
0
0
МР
0
0
0
1
0
0
1
0
АШ
0
0
0
0
1
0
0
1
Рассмотрим основные свойства бинарных отношений.
1. Отношение Т в множестве М называется рефлексивным,
если для каждого элемента mМ справедливо (m, m)Т.
2. Отношение Т в множестве М называется симметричным,
если из (mi, mj)Т следует, что (mj, mi)Т при mi mj.
3. Отношение Т в множестве М называется транзитивным,
если из (mi, mj)T и (mj, mk)Т следует, что (mi, mk)Т при
mi mj, mi mk, mj mk.
Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на
множестве М называется отношением эквивалентности.
****
ПРИМЕР 2
Для множества функций { х2 , cos x, 3x } введено бинарное отношение Т: “ … быть четной функцией………….”
Представить БО Т на матрице смежности. Указать свойства Т.
Решение
Функция f(x) четная , если f( -x) = f(x).
Четными функциями являются: y = х2 , y = cos x:
( - х) 2 = x2 ,
cos(-x) = cosx.
x
Функция y = 3 - не является четной : 3-х 3х.
Тогда пары : ( х 2, х2 ) , ( х2 , cos x), (cosx, x2 ), (cosx, cosx)
являются элементами бинарного отношения.
x2 cosx 3x
Матрица смежности -
x2
cosx
3x
1
1
0
1
1
0
0
0
0
Свойства Т:
рефлексиное, симметричное, транзитивное.
****
ЗАДАНИЕ
1). Для множества функций { tg x, cos x , x4 , sin x} введено
бинарное отношение Т : “ … быть периодической функцией....”
Выделить Т на матрице смежности. Определить свойства Т.
2). Для множества функций { x3 , cos x , ln x , 2 x} введено
бинарное отношение Т : “ … быть возрастающей функцией....”
Выделить Т на матрице смежности. Определить свойства Т.
115
3). Имеется множество чисел М = {2, 4, 7, 8, 9}.
Полагаем, что два числа находятся в бинарном отношении Т, если они оба четные. Представить отношение Т на матрице смежности. Определить свойства Т.
4). Для множества чисел { 1/3 ,
2 , , -3 } введено
бинарное отношение Т : “ … быть рациональным числом....”
Выделить Т на матрице смежности. Определить свойства Т.
5). Задано множество { лев, антилопа, кролик, трава }.
Введено бинарное отношение Т : “ хищник - жертва”.
Выделить Т на матрице смежности. Определить свойства Т.
6). Задано множество людей, являющихся членами одной семьи.
Введено бинарное отношение Т : “ родитель - его ребенок”.
Определить свойства Т.
7). Задано множество студентов одной группы.
Введено бинарное отношение Т : “ ..быть отличником….”.
Определить свойства Т.
18. Основы математической логики
Одним из фундаментальных понятий математической логики является понятие высказывания.
Высказывание представляет собой языковое предложение, о
котором можно сказать только одно: истинно оно или ложно.
ПРИМЕРЫ
Высказываниями являются следующие предложения:
1). "Волга впадает в Каспийское море".
2). "Москва стоит на берегу Невы".
Первое высказывание - истинно, а второе - ложно.
Предложения:
1). "х + у = 4".
2). "Город стоит на берегу реки"
116
высказываниями не являются ввиду их недостаточного уточнения.
В логике высказываний интересуются не содержанием, а истинностью или ложностью высказываний. Истинностные значения - истина и ложь - будем обозначать буквами И и Л соответственно. Множество {И,Л} называется множеством истинностных значений.
Грамматическими средствами в разговорном языке из нескольких простых высказываний можно получить сложное (составное) высказывание. Для этого можно воспользоваться союзами "и", "или" и отрицательной частицей "не". Например, из простых высказываний "Солнце днем на небе" (истинное) и "Трава
на лугу красного цвета" (ложное) можно с помощью союзов "и",
"или" и частицы "не" составить следующие сложные высказывания "Солнце днем на небе, трава на лугу не красного цвета" (истинное) и "Солнце днем не на небе и трава на лугу красного
цвета "(ложное).
Рассмотрим логические операции над высказываниями, при
которых истинностные значения составных высказываний определяются только истинностными значениями составляющих высказываний, а не их смыслом. Эти логические операции являются
операциями отрицания, конъюнкции и дизъюнкции.
Отрицанием высказывания Р называется высказывание P истинное, когда высказывание Р ложно, и ложное, когда высказывание Р является истинным. Отрицание Р обозначается через " P "
и читается как "не Р " . Отрицание соответствует частице "не".
Конъюнкцией двух высказываний Р и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания. Конъюнкция высказываний Р и Q обозначается через
"P Q" и читается как "Р и Q". Конъюнкции соответствует соединение высказываний союзом "и".
Дизъюнкцией двух высказываний Р и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания
ложны. Дизъюнкция этих высказываний обозначатся "PVQ и читается как "Р или Q". . Дизъюнкция соответствует соединению
высказываний союзом "или".
117
Импликацией двух высказываний Р и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда Р истинно, а Q ложно. Импликация высказываний P и Q обозначается «P→Q» и читается как «из P следует Q».
Эквивалентностью (эквиваленцией) двух высказываний P
и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинностные значения Р и Q совпадают.
Эквиваленция высказываний Р и Q обозначается «Р ~ Q» и
читается как «Р эквивалентно Q».
ПРИМЕР 1.
Представить логической формулой следующее высказывание: «Если допоздна работаешь на компьютере, то утром просыпаешься поздно и с головной болью».
Решение
Составное высказывание состоит из следующих простых:
А – «Допоздна работаешь на компьютере».
В – «Утром просыпаешься поздно».
С – «Утром встаешь с головной болью».
Составное высказывание может быть символьно представлено в виде следующей логической формулы:
А→(В С).
****
ПРИМЕР 2.
Представить логической формулой высказывание:
«Если фирма заботится о качестве товаров или об ассортименте, то это приведет к росту объема сбыта продукции и повышению прибыли от ее реализации».
Решение
Составное высказывание состоит из следующих простых:
Х – «Фирма заботится о качестве товаров».
Y – «Фирма заботится об ассортименте».
Z – «Рост объема сбыта продукции».
U – «Повышение прибыли от реализации продукции».
Составное высказывание может быть символьно представлено в виде следующей логической формулы:
(X V Y) → (Z U).
****
118
ПРИМЕР 3.
Для логической формулы:
(A B)→(C D) разработать
составное высказывание относительно
мероприятий по повышению эффективности работы фирмы.
Решение
Представим простые высказывания:
A – «Фирма терпит убытки».
В – «Фирма снижает объемы реализации продукции».
С – «Фирма должна снизить издержки производства».
D – «Фирма должна реализовать программу продвижения
продукии на рынок».
С учетом (A B)→(C D) получаем следующее составное
высказывание :
«Если фирма терпит убытки и снижает объемы реализации
продукции, то она должна снизить издержки производства и реализовать программу продвижения продукии на рынок».
****
ЗАДАНИЕ
Записать сложные высказывания в виде логических
формул:
1).Если потребитель отдает предпочтение качеству товара и
его упаковке, то фирма должна улучшить качество своей
продукции или заняться улучшением его дизайна.
2).Если выпуск нового продукта обеспечит высокий доход,
расширение фирмы и привлечение новых инвестиций, фирме необходимо приобрести патент на право его выпуска,
взять займ или кредит.
3). Резкий рост или резкое снижение мировых цен на нефть
приводят к резким колебаниям акций топливоэнергетических компаний и фирм-потребителей нефтепродуктов.
119
Разработать составные высказывания:
4). Для логической формулы: (AVB)→(C D) разработать
составное высказывание относительно карьеры молодого
специалиста на фирме.
5). Для логической формулы: (A B)→(C V D) ~ К
разработать составное высказывание относительно успеш
ной подготовке студента к сессии и переходу его на
следующий курс.
Основные понятия алгебры Буля
Всякое высказывание, построенное с помощью операций
(V, , –), имеет некоторое истинностное значение, зависящее от
значений соответствующих высказываний. Любое высказывание
f может быть задано в виде таблицы истинности. Если значение
высказывания f зависит от n составляющих высказываний
xi, x2 ,..xn, то таблица истинности содержит 2n строк. Каждое высказывание xi называется переменной xi. При этом сложное высказывание рассматривается как функция f от n переменных. Если придать значению Л численное соответствие "0", а значению
И соответствие "1", то функцию n переменных f будем называть
булевой функцией f (x1,x2,...xn) от n переменных.
Операции (V,&,–) образуют сигнатуру алгебры Буля
<M, V, , – >.
Носитель М алгебры Буля состоит из элементов 0 и 1.
ПРИМЕР
Рассмотрим решение, принимаемое 3-мя членами комитета,
полагая, что решение будет принято, если большинство членов
комитета проголосует "за". Если же большинство членов проголосует "против", решение будет отвергнуто.
Результаты голосования характеризуются таблицей истинности.
120
х1
0
0
0
0
1
1
1
1
х2
0
0
1
1
0
0
1
1
х3
0
1
0
1
0
1
0
1
f(х1,х2,х3)
0
0
0
1
0
1
1
1
****
ЗАДАНИЕ
Товар характеризуется 4-мя свойствами: х1,х2,х3,х4. Если
свойство хi превосходит аналогичное свойство других товаров
или равно ему по своим характеристикам, то его значение принимается равным "1", если его характеристики ниже характеристик свойств других товаров, то принимаем его равным "0".
Если, по крайней мере, 3 свойства товара превосходят по
своим характеристикам свойства других товаров, то он найдет
спрос на рынке.
Построить булеву функцию f(х1,х2,х3,х4) спроса товара на
рынке.
19. Теория графов
Граф - совокупность двух конечных множеств Г = <M,U>,
где М - множество, UМ2 - бинарное отношение в этом множестве. Элементы множества М называются вершинами, а элементы
бинарного отношения U - дугами (или ребрами).
Две дуги u1 и u2 называются смежными, если они выходят
из одной и той же вершины.
Две вершины m1 и m2 называются смежными, если они соединены одной дугой (рис. 4.6.).
121
Рис. 4.6. Граф с дугами u1,u2,u3,u4, вершинами m1,m2,m3,m4,m5,
петлей (m5,m5) и кратной дугой (m3,m4)
Иногда граф содержит петли, т.е. дуги вида (mi, mi). На
рис.4.7 представлена петля (m5, m5).
Одинаковые пары в U вида (mi, mj) (i=1,... k, j=l,..k) называются дугой кратности к.
Два графа Г = <M,U> и Г <M',U'> называются изоморфными, если существует такое взаимно однозначное соответствие
между вершинами М и М'; что если вершины mi и mi+1 соединены
дугой (mi, mi+1) в одном из графов, то соответствующие им вершины m'i и m'i+1 соединены дугой (m'i, m'i+1) в другом графе.
Например, графы на рис. 4.7. являются изоморфными.
Pиc. 4.7. Изоморфные графы Г и Г'
Граф Г = <M,U>, в котором указано направление каждой дуги,
называется ориентированным. Таким образом, в ориентированном
графе пары в наборе вершин упорядочены, т.е. одна из вершин выбрана в качестве начала, а другая - в качестве конца дуги.
Цепью называется последовательность дуг (u1,u2, ... un) вида
(ui = mi, mi+1) (рис. 4.8). Цепь образует незамкнутый маршрут, в
122
котором все дуги попарно различны. Если в цепи все вершины
попарно различны, то это простая цепь.
Если цепь замкнута, т.е. начинается и заканчивается в одной
и той же вершине, то она называется циклом (см. рис. 4.8).
Рис. 4.8. Цепь и цикл
Если каждую вершину графа можно соединить с любой его
вершиной некоторой цепью, то граф называется связным.
Деревом называется связный граф, который не содержит
циклов. Такой граф не имеет и кратных ребер (рис. 4.9). Из определения дерева вытекает, что для каждой пары его вершин существует единственная соединяющая их цепь.
Если граф не связный, не содержит циклов, то каждая связная его часть будет деревом. Такой граф называется лесом.
Рис. 4.9. Дерево и лес
123
Л. Эйлер в своей работе по теории графов рассмотрел следующую проблему: на каких графах можно найти цикл Р, содержащий все ребра графа, причем каждое ребро в точности по одному разу?
Такой цикл называется эйлеровой линией, а граф, обладающий эйлеровой линией, - эйлеровым графом.
Л. Эйлер доказал, что необходимым и достаточным условием того, чтобы на графе имелась эйлерова линия, является связность графа (т.е. соединение всех его вершин некоторой цепью) и
четность степеней всех его вершин (т.е. эйлерова линия должна
входить в каждую вершину и выходить из нее одно и то же число
раз).
ПРИМЕР
("Задача о кенигсбергских мостах")
Город Кенигсберг (ныне Калининград) расположен на берегах реки Преголи и двух островах. Различные части города (на
рис. 4.11 обозначены А, В, С, Д) соединены семью мостами.
Стоит вопрос, можно ли совершить прогулку по всему городу и вернуться обратно, пройдя точно один раз по каждому мосту. Схематическая карта города представлена на рис. 4.10.
Рис. 4.10. Схема частей города А, В, С и Д и его мостов
Решение.
Л. Эйлер показал, что на графе, представленном на рис. 4.10,
нельзя выделить эйлеровой линии. Иными словами, с какой бы
вершины мы ни начали обход, мы не можем обойти весь граф и
вернуться обратно, не проходя никакого ребра дважды.
124
Дело в том, что этот граф является связным, но число ребер,
входящих и выходящих в каждую вершину графа, является нечетным.
Известный ирландский математик У.Р. Гамильтон в середине XIX века поставил задачу об отыскании цикла на графе, проходящего через каждую вершину графа в точности по одному разу. Такой цикл назван гамильтоновой линией на графе.
Как мы видим, имеется известная аналогия между эйлеровыми и гамильтоновыми линиями. Первая проходит один раз по
каждому ребру, вторая - через каждую вершину.
Следует отметить, что это задачи совершенно различной
степени трудности. Для эйлерова графа достаточно проверить,
являются ли все его вершины четными. Для гамильтоновых линий задача является достаточно сложной и здесь не обсуждается.
ПРИМЕР
("Задача коммивояжера")
Коммивояжер выезжает из родного города. Он должен посетить несколько конкретных городов и вернуться домой. При этом
в каждом городе он должен побывать только один раз, а длина
пути должна быть выбрана минимальной.
Решение.
Задача коммивояжера формулируется так: в графе Г с n
вершинами, длина дуг которого известна, найти ориентированный цикл минимальной длины, содержащий по одному разу каждую вершину.
В общем виде эта задача не решена.
Однако для небольшого количества вершин путем перебора
всех возможных вариантов такую гамильтонову линию построить
удается.
Например, для графа, представленного на рисугке ниже, решением задачи коммивояжера является цикл, обведенный линией.
125
Графическое решение задачи коммивояжера.
****
ЗАДАНИЯ
1). Для заданного графа построить матрицу смежности.
Проверить , является ли граф эйлеровым, построить линию
гамильтона.
m2
m3
m1
****
2). Построить граф по заданной матрице смежности.
Проверить, является ли граф эйлеровым.
m1
m2
m3
m1
1
2
3
m2
2
0
1
m3
3
1
2
****
126
3). Для заданного графа построить матрицу смежности.
Проверить , является ли граф эйлеровым, построить линию
гамильтона.
m2
m1
m3
****
4). Построить граф по заданной матрице смежности.
Проверить, является ли граф эйлеровым.
m1
m2
m3
m1
0
3
2
m2
3
2
1
m3
2
1
1
5). Решить задачу коммивояжера для городов А( начало),
В, С, Д, Е.
.
127
.
6). Достроить графы до эйлеровых графов (построить дополнительные ребра):
****
7). На заданных графах выделить эйлерову и гамильтонову
линии:
128
Раздел 5.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
20. Случайные события.
20.1. Случайные явления и события.
Теорией вероятностей называется математическая наука,
изучающая закономерности в случайных явлениях.
Случайное явление – это такое явление, которое в серии однотипных экспериментов под действием случайных факторов
может приводить к различным результатам. В природе нет ни одного явления, которое не было бы под действием случайных факторов.
Наблюдение над случайным явлением назовем случайным
экспериментом.
ПРИМЕРЫ
1. Спортсмен проводит серию выстрелов по мишени. Результаты
выстрелов могут отличаться друг от друга, несмотря на постоянство условий стрельбы.
2. Игрок в одинаковых условиях бросает игральную кость. В зависимости от случайных факторов ( сила и высота броска, способ броска и т.д.) могут выпадать различные цифры: 1, 2, 3, 4,
5, 6.
3. Автоматический пресс штампует детали. В зависимости от
структуры металла, небольших сбоев в работе оборудования и
т.д. малое число деталей изготовляется с браком.
Практика показывает, что действие массы случайных факторов определяет свойство устойчивости случайного явления.
Например, частота выпадения грани с цифрой 3 при многократном бросании игральной кости приближается к 1/6. Частота выпадения "решки" при многократном бросании монеты примерно
равна 1/2.
Теория вероятностей занимается только такими случайными
явлениями, для которых предполагается устойчивость частот.
Пусть проводится случайный эксперимент, результат кото-
129
рого точно нельзя предугадать заранее. В зависимости от случайных факторов возможны различные исходы этого эксперимента.
Тогда этому эксперименту можно сопоставить пространство элементарных событий П , которое включает всевозможные исходы этого эксперимента (рис. 5.1).
Элементарное событие является одним из элементов этого
пространства П и определяет один из возможных исходов
случайного эксперимента.
Случайное событие А является подмножеством пространства элементарных событий П и включает одно или группу элементарных событий, каждое из которых благоприятствует
А
(обладает свойством А) :
А = U( : ~ А)
Рис. 5.1.Случайное событие (СС) А на
пространстве элементарных событий П.
ПРИМЕРЫ
1).Эксперимент состоит в случайном выборе одной карты из
колоды 36 карт.
Можно выделить СС Т – появление при этом выборе туза.
СС Т состоит из четырех элементарных событий ( тузы пик,
бубны, черви, вины).
Можно выделить СС П - появление карты пики.
СС П состоит из 9 элементарных событий ( 6 пик, …...туз пик).
2).Эксперимент состоит в бросание игральной кости и фиксировании очков на верхней грани.
Выделим СС Ч - выпадание четного числа очков.
СС Ч объединяет элементарные события – выпадание 2, 4, 6.
130
20.2. Вероятность случайного события.
Рассмотрим случайный эксперимент, в котором наблюдается событие А. Повторим эксперимент n раз, и пусть событие А
наблюдалось k раз. Отношение νn = k/n называется частотой события А в этой серии экспериментов.
Если при увеличении n число νn стремится к пределу р, то
говорят, что событие А устойчиво, а число р является вероятностью события А.Вероятность р может принимать значения:
0 р 1.
Другими словами, если эксперименту можно сопоставить
пространство, состоящее из n возможных элементарных исходов
этого эксперимента, а случайному событию А благоприятствует k
из этих элементарных исходов, то вероятность случайного события А равна
k
p(A ) =
.
(5.1)
n
Условной вероятностью события А при условии, что произошло событие В, называют отношение
P(A B)
,
(5.2)
P(A/B)
P(B)
где А В – случайное событие, которое включает элементарные
исходы, принадлежащие одновременно событиям А и В.
Теорема сложения вероятностей.
Для случайных событий А и В справедливо:
Р(А+В) =
Р(А) +
Р(В) -
Р(А В),
где Р(А+В) - вероятность появления одного из двух события А,
либо В; Р(А В) – вероятность совместного появления событий
А и В.
Вероятность появления события А или В или С равна:
Р(А+В+С) = Р(А) +
Р(В) + Р(С) - Р(А В) - Р(А С) -
Р(В С) + Р(А В С) .
131
(5.3)
Два события А и В называют несовместными, если Р(А В) =0.
Для несовместных случайных событий А и В справедливо:
Р(А + В) =
Р(А) + Р(В) .
(5.4)
Группа случайных событий A1, A2, ... An образуют полную
группу событий, если :
а) объединение этих событий включает все возможные элементарные исходы эксперимента,
б) ни одна пара случайных событий не имеет общих элементарных исходов.
Так как объединение событий полной группы является событием достоверным, то для таких событий имеет место равенство:
P(A1) + Р(А2) + ... Р(Аn) = 1.
(5.5)
Два события A1 и А2 называются независимыми, если условная вероятность одного из них по отношению к другому равна
безусловной вероятности этого же события:
P(A2/A1) = Р(А2).
(5.6)
Теорема умножения вероятностей.
Для независимых событий вероятность их совмещения равна произведению их вероятностей:
P(A1·A2) =
P(A2)· P(A1)
(5.7)
Вероятность совмещения n событий, независимых в их совокупности, равна произведению вероятностей:
P(A1 ·A2 ·…·An) = P(A1) · P(A2) ·… P(An).
132
(5.8)
ПРИМЕР 1
Найти вероятность p(А), что при бросании игральной кости выпадет число, которое делится на 3.
Решение
При бросании на верхней грани кости могут выпасть числа:
1, 2, 3, 4, 5, 6. При этом событию А благоприятствуют исходы,
когда выпадают грани с цифрами 3 и 6.
Следовательно, число благоприятных исходов k = 2.
Тогда вероятность р(А) = 2/6 = 1/3.
****
ПРИМЕР 2
В коробке 2 синих и 4 черных карандаша. Случайным образом из
коробки выбирают 3 карандаша. Найти вероятность Р, что среди
них окажутся 1 синий и 2 черных карандаша.
Решение.
Всего выриантов выбора 3-х карандашей из 6-ти :
N = С36 = (6!/ 3! 3!) = 20
Число благоприятных вариантов:
к
Тогда :
= С12
к
Р = -------N
С 24 = 2
6 = 12.
12
= --------- = 0,6.
20
****
ПРИМЕР 3
На опыте предыдущих сессий студент с вероятностью р1 = 0,8
может успешно сдать экзамен, а с р2 = 0,9 - сдать зачет.
Найти Р1, что он успешно сдаст экзамен, а зачет не сдаст .
Вероятность Р2, что он сдаст успешно и экзамен и зачет.
133
Решение.
Событие Э – результат экзамена и З – результат зачета – являются независимыми.
Для независимых событий вероятность их совместного появления (совмещения) равна :
Р1 = р1 (1-р2) = 0,8 0,1 = 0,08.
Р2
=
р1 р2 = 0,8
0,9 = 0,72.
****
ПРИМЕР 4
Снайпер поражает одним выстрелом цель с р = 0,8.
На соревнованиях он должен совершить 3 выстрела по целям .
Найти Р1, что он попадет первые два выстрела, а третий -мимо.
Найти Р2 , что он не попадет по целям ни разу.
Решение.
Результаты выстрелов являются независимыми, результат каждого выстрела не влияет на результаты остальных выстрелов.
Отметим, что 1-р вероятность того, что стрелок промажет по
цели.
Тогда Р1 = р р (1-р) – вероятность того, что стрелок первые два
выстрела попадет, а третий – промажет.
Р1 = р р (1-р) = 0,8 0,8 (1-0,8) = 0,128
Тогда : Р2= (1- р)3 = (0,2)3 = 0,008.
****
ПРИМЕР 5
Из колоды в 36 карт выбирают случайно 1 карту.
Найти Р, что это будет либо туз или карта масти пика.
Решение.
Воспользуемся формулой сложения вероятностей:
Р(Т +П) =
Р(Т) + Р(П) - Р(Т П) =
= 4/36 + 9/36 – 1/36 = 1/3.
134
ЗАДАНИЕ
1). Из колоды в 36 карт случайным образом вытаскивают 1 карту.
Определить вероятность р(В), что вытащен валет.
2). В пачке 2 фальшивые денежные купюры и 8 настоящих. Из
пачки вытащили одну за другой 2 купюры. Найти вероятность, что обе они окажутся фальшивыми.
3). В студенческой группе учатся 8 человек: 3 отличника и 5 двоечников. Случайным образом из группы выбраны 6 студентов.
Найти вероятность Р, что среди отобранных студентов окажутся 2 отличника и 4 двоечника.
4). В коробке находятся 9 карандашей: 2 красных, 3 синих и 4
черных. Случайным образом из коробки отбирают 6 карандашей. Найти вероятность Р, что среди отобранных карандашей
окажутся : 1 красный, 2 синих и 3 черных карандаша.
5). Два стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания для
первого р 1 = 0,9, для второго р2 =0,8 . Найти вероятности, что
а). В цель попадут оба стрелка.
б). Первый стрелок попадет в цель второй выстрелит мимо.
в). Оба стрелка выстрелят мимо.
6). В сессию студент сдает один экзамен с вероятностью р = 0,8.
Найти вероятности, что из трех экзаменов :
а). Первые два экзамена он сдаст, а третий завалит.
б). Успешно сдаст все экзамены.
7). Спортсмен с вероятностью p1 = 0,9 преодолевает первое
препятствие, с р2 = 0,8 – второе и с вероятностью р3 = 0,85 –
третье. Найти вероятность Р1, что он в ходе соревнования преодолеет все три препятствия. Найти Р2, что он преодолеет
только первые два препятствия, а третье он не сможет преодолеть.
8). Из колоды в 36 карт выбирают случайно 1 карту.
Найти Р, что это будет либо дама или карта масти черви.
135
20.3. Формула Бернулли. Формула Пуассона
Пусть производится N независимых испытаний, в каждом из
которых вероятность появления события А равна р.
Тогда вероятность того, что событие А появится в этих N
испытаниях ровно m раз, выражается формулой Бернулли:
РN(m) =
где
CN
m
CNm
pm
( 1- p)N – m
( 5.9)
N!
= ----------------m! ( N – m)!
Если р отлично от 0 или 1, то наивероятнейшее число m0 наступлений события А в серии из N испытаний равно
где g = 1- р.
N·p - g < m0 < N·p + р,
(5.10)
Если число испытаний N велико, а вероятность появления
события А мало ( р ~ 0) , то, обозначив N· p = а , получаем формулу Пуассона:
( -a)
Р(m)
am e
= -----------------m!
(5.11)
Формула Пуассона определяет вероятность появления события А ровно m раз в большой серии испытаний с малой вероятностью наступления этого события в каждом эксперименте.
****
ПРИМЕР 1
1. Баскетболист попадает в корзину со штрафного броска с вероятностью р= 0,8. Найти вероятность Р, что в серии из
N = 5 бросков он попадет ровно m = 4 раза.
136
Решение.
Согласно формуле Бернулли:
C54
Р5(4) =
p4
( 1- p)1
=
5!
=
---------- · ( 0,8 )4 · ( 0,2 )l 0,41.
4! ·1!
Наивероятнейшее число попаданий равно:
5 · 4/5 - 1/5 < m0 < 5 · 4/5 + 4/5, т.е. 3 < М0 < 5.
****
ПРИМЕР 2
Как правило, спортсмен побеждает в каждом 5-ом забеге , который он проводит в течение сезона.
Найти Р, что в этом году он победит в 2-х забегах из 4-х?
Решение.
Вероятность победы в 1-ом забеге р = 1/5 = 0,2.
Тогда :
Р4(2) = C42 p2 ( 1- p)2 = 6 (0,2)2 (1-0,2)2 0,154.
****
ПРИМЕР 3
Как правило, проверку на допинг-контроль успешно проходит
99% спортсменов. Найти вероятность, что при проверке 100
спортсменов будет получено ровно два положительных результа.
Решение.
Вероятность положительного результата при проверке од
ного спортсмена p = 1 – 0,99 = 0,01.
В этом случае
:
а = 100 · 0,01 = 1.
-2
Тогда Р(2)
=
12 e
-------------2!
****
137
1
-------- 0,06.
15
20.4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
Формула полной вероятности
Если A1,A2,..An – полная группа событий, то для любого
случайного события В из этого пространства элементарных событий выполняется:
n
Р(В) = P(Ai) P(B/Ai).
(5.12)
i 1
ПРИМЕР 1
Турист равновероятно выбирает один из трех маршрутов:
конный, водный и горный. Вероятность, что он успешно преодолеет путь при выборе конного способа передвижения, равна Р1=
0,8, при выборе водного пути – p2 = 0,9, при выборе горного маршрута р3 = 0,4. Найти вероятность Р, что турист успешно преодолеет весь путь при любом выборе маршрута.
Решение.
Поскольку выбор маршрута равновероятен, то вероятности
выбора каждого маршрута P1 = Р2 = P3 =1/3. По формуле полной
вероятности:
`Р = P1p1 + P2р2 + P3р3 = (1/3)0,8 + (1/3)0,9 + (1/3)0,4 0,7.
****
ПРИМЕР 2
В группе студентов 12 юношей и 8 девушек. Экзамен по математике сдает, как правило, 70 % юношей и 80 % девушек. Найти вероятность того, что первый человек, вышедший из аудитории, сдал экзамен по математике.
Решение.
Вероятность того, что первый вышедший из аудитории является юношей, равна p1 = 12/(12+8) = 3/5. Вероятность того, что
первой из адитории выйдет девушка равна, р2 = 8/(12+8) = 2/5.
Вероятность, что юноша сдаст экзамен равна Р1 = 0,7. Вероятность, что экзамен равна, сдаст девушка – Р2 = 0,8. Тогда искомая
вероятность сдачи экзамена человеком, первым вышедшим из аудитории, равна :
Р = P1p1 + p2P2 = 3/5 · 0,7 + 2/5 · 0,8 0,74
138
Формула Бейеса
Пусть А1, А2, ..., Аn – полная группа событий. Тогда для
любого случайного события В вероятность, что оно произойдет
при условии, что произошло событие А, определяется соотношением
Р(А i ) Р(В/А i )
P(Ai/B) = n
.
(5.13)
P(A k ) P(B/A k )
k 1
ПРИМЕР 3
В условиях примера 1 стало известно, что турист успешно
добрался до конца своего маршрута. Найти вероятность Р(2/А),
что он воспользовался водным маршрутом.
Решение.
По формуле Бейеса :
P(2 /A)
P2 p2
1 / 3 (0,9)
0,9
0,42
P1p1 p 2 P2 P3p3 1 / 3(0,8 0,9 0,4) 0,8 0,9 0,4
****
ПРИМЕР 4
В условиях примера 2 стало известно, что человек, вышедший из аудитории, сдал экзамен. Найти вероятность Р(1/А),что
это юноша.
Решение.
По формуле Бейеса
P(1 /A)
P1p1
0,7 (3 / 5)
0,55 .
P1p1 P2 p 2 0,7 (3 / 5) 0,8(2 / 5)
****
139
ЗАДАНИЕ
1. Лекарство с вероятностью р=0,8 излечивает болезнь. Найти вероятность, что из 4 больных, принявших лекарство, вылечатся
ровно 3 человека.
2), На предварительных соревнованиях гонщик одержал 6 побед
в 10-ти заездах. Найти вероятность Р, что в финальных гонках
из трех заездов он выигрывает ровно два.
3). Среди семян ржи имеется 0,3 % семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 семян обнаружить 2 семяни
сорняков.
4). Фабрика выпускает приборы, процент брака среди которых
составляет 0,2%. Найти вероятность Р, что в контрольной
партии из 1000 приборов окажется ровно 3 бракованные.
5). Студент подготовил к экзаменам 80% всех вопросов.
На подготовленный вопрос он правильно ответит с вероятностью р1 = 0,9 , на неподготовленный с р2 = 0,3.
Найти вероятность Р , что студент правильно ответит на произвольный вопрос.
6). Банк с вероятностью p1=0,7 готов вложить свои финансы в
ГКО и с вероятностью р2 =0,3 предложить кредит крупной торговой фирме. В первом случае вероятность финансового успеха
составляет p11= 0,9, а во втором случае p21 = 0,8. Найти вероятность финансового успеха при участии в этих финансовых операциях.
7). В одной студенческой группе 2 отличника и 18 двоечников.
Во второй группе 3 отличника и 6 двоечников.
Из первой группы перевели во вторую одного студента.
Найти Р1, что если теперь из второй группы случайно выбрать
одного студента, то он окажется –отличником.
Найти вероятность Р2, что если случайно выбранный студент
из второй группы окажется отличником, то предварительно из
первой группы был переведен двоечник.
140
21. Случайные величины
21.1. Определение случайной величины
Рассмотрим случайный эксперимент, которому сопоставляется пространство элементарных событий – возможных исходов
этого эксперимента. На этом пространстве элементарных событий задана случайная величина X, если задан закон или правило,
по которому каждому элементарному событию сопоставляется
число. Таким образом, случайную величину Х можно рассматривать как функцию, заданную на пространстве элементарных событий (рис. 5.2).
X=X(A)
*******
случайные события
(
А
*******
x
)
R
Числовое множество
Пространство
элементарных событий
Рис. 5.2. Определение случайной величины
Случайная величина может принимать значения из некоторого числового множества, однако заранее неизвестно, какое
именно. Случайные величины принято обозначать прописными
буквами (Х, У и т.д.), а принимаемые ими значения – строчными
(х, у, ... ).
Например, при бросании игральной кости случайная величина сопоставляет каждой грани этой кости числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
Температура тела является случайной величиной и сопоставляет
состоянию организма человека определенные значения, измеряемые градусником.
141
21.2. Непрерывные и дискретные случайные величины
Если случайная величина Х принимает только дискретные
значения, т.е. значения x1, x2, ..., хn, ..., то такая случайная величина называется дискретной.
Если же значения случайной величины Х занимают некоторый отрезок (с, d), то она называется непрерывной.
Соотношение, которое устанавливает связь между возможными значениями случайной величины Х и вероятностями их появления при испытаниях, называется законом распределения случайной величины.
Каждому значению дискретной случайной величины xn отвечает вероятность рn. Тогда закон распределения дискретной
случайной величины обычно задается рядом распределения:
х1
х2
х3
……….
хi
хn
p1
p2
p3
pi
При этом p1 + p2 + pЗ + ... pn = 1.
……….
pn
Пусть непрерывная случайная величина Х принимает значения на отрезке (c, d). Тогда говорят о вероятности Р(а < Х < b) ее
попадания на промежуток (а, b), который принадлежит отрезку
(c, d).
Закон распределения непрерывной случайной величины
удобно задавать при помощи так называемой функции плотности вероятности – f(x). В этом случае вероятность Р(а < Х < b)
попадания случайной величины Х на промежуток (а, b) определяется равенством:
b
P(a < X < b) = f(x) dx .
a
(5.14)
График функции f(x) называется кривой распределения.
Геометрически вероятность попадания случайной величины Х в
промежуток (а, b) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения y = f(x), осью Ох и прямыми х =
а и х = b (рис. 5.3).
142
Рис. 5.3. Кривая распределения y = f(x)
Функция плотности вероятности f(x) обладает следующими
свойствами:
1. f(x) 0.
2. f(x) 1.
Введем теперь функцию распределения вероятности F(x) =
P(X < x). Функция F(x) существует как для дискретных, так и для
непрерывных случайных величин.
Для непрерывных случайных величин F(x) связана с функцией плотности вероятности следующим образом:
x
F(x) = f(x) dx.
(5.15)
Свойства функции распределения вероятности:
1. F(x) – неубывающая функция.
2. F() 0 .
3. F() 1.
Для непрерывных и дискретных случайных величин функции распределения вероятности имеют вид (рис. 5.4.).
143
Рис. 5.4. Функция распределения вероятности F(x)
для непрерывных и дискретных СВ
ПРИМЕР 1
1. Случайная величина X имеет закон распределения с плотностью
0, если x 0
а · (2x-x2), при 0 < x 2
f(x) =
0, при x > 2
Требуется:
А). Найти коэффициент "а";
Б). Построить график распределения плотности у = f(x);
С). Найти вероятность, что случайная величина Х попадет в
промежуток ( 0,5; 1).
Решение.
А). Согласно свойствам функции плотности вероятности f(x)
2
2
a (2 x x ) dx 1.
0
Проводя интегрирование, получаем:
x3
а(х )
3
2
2
0
8
= а∙(4 - ) = 1, откуда а = 3/4.
3
144
Б). График y = f(x) имеет вид:
В). Вероятность попадания величины Х на интервал (0, 5, 1)
равна:
1
1
0,5
0,5
P(0,5 < X < 1) = 3 / 4 (2 x x 2 ) dx 3 / 4 (x 2 x 3/ 3)
=
11
32
ПРИМЕР 2
Дан ряд распределения дискретной случайной величины:
xi
2
3
5
6
8
pi
0,1
0,2
0,4
0,2
0,1
Построить функцию распределения вероятности этой случайной величины X. Найти вероятность, что случайная величина
Х находится в интервале 4 < x < 7, т.е. p (4 < x < 7).
Решение.
Если х 2 , то F(x) = Р(Х < х) = 0.
Если 2 < х 3 , то F(x) = P(X < x) = 0,1.
Если 3 < х 5, то F(x) = 0,1 + 0,2 = 0,3.
Если 5 < х 6, то F(x) = 0,1 + 0,2 + 0,4 = 0,7.
145
Если 6 < х 8, то F(x) = 0,1 + 0,2 + 0,4 + 0,2 = 0,9.
Если х > 8, то F(x) = 0,9 + 0,1 = 1.
F(x)
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
тогда, p (4 < x < 7) = F(7) – F(4) = 0,9 - 0,3 = 0,6.
21.3. Числовые характеристики
случайных величин
Функция распределения вероятности F(X) полностью характеризует случайную величину X. Однако получить в аналитическом виде такую характеристику случайной величины довольно
сложно, да и не всегда это нужно. Между тем, для решения многих задач достаточно знать числовые характеристики случайной
величины. К ним относятся: математическое ожидание, дисперсия, моменты, мода и медиана и т.д. Отметим главные из них.
Математическое ожидание М(Х) случайной величины Х
можно считать центром распределения этой случайной величины.
Определение. Если Х – дискретная случайная величина,
принимающая значения x1, x2, ..., хn с вероятностями p1, p2, …, рn,
то математическое ожидание М(Х) определяется по формуле:
n
М(Х) = х1р1+ х2р2 + … + хnрn = x i p i .
i 1
146
(5.16)
Определение. Пусть непрерывная случайная величина Х
имеет плотность вероятности f(x), тогда математическое ожидание М(Х) непрерывной случайной величины Х равна:
M(X) x f(x) dx .
(5.17)
Дисперсия D(X) случайной величины Х характеризует степень разброса значений этой величины около ее математического
ожидания.
Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее
математического ожидания:
D(X) = М[Х-М(Х)]2.
(5.18)
Если ввести обозначение М(Х) = m, то формула для вычисления дисперсии дискретной случайной величины Х запишется в
виде:
n
D(X) = pi (x i m) 2 .
(5.19)
i 1
Для непрерывной случайной величины Х дисперсия запишется в виде:
D(X) (x m) 2 f(x) dx .
(5.20)
ПРИМЕР
Случайная величина Х характеризуется рядом распределения:
xi
pi
0
0,2
1
0,4
2
0,3
3
0,1
Определить математическое ожидание и дисперсию.
Решение.
Математическое ожидание:
М(Х) = 0·0,2 + 1·0,4 + 2·0,3 +3·0,1 = 1,3.
Дисперсия:
D(X) = 0,2·(0-1,3)2 +0,4·(1-1,3)2 +0,3·(2-1,3)2 + 0,1·(3-1,3)2 = 0,8.
147
ЗАДАНИЕ
1). Непрерывная случайная величина (СВ) Х имеет функцию плотности вероятности:
0,
f(x) =
если х < 1 и при х > 4
2х
---------- ,
если
1 < x< 4
15
Найти вероятность Р, что СВ Х примет значение от 1 до 2.
Определить математическое ожидание М(Х).
2). Непрерывная СВ Х имеет функцию плотности вероятности:
0,
если х <0 и при х > 2
2
f(x) =
3х
---------- ,
если 0 < x< 2
8
Найти вероятность Р, что СВ Х примет значение от 0 до 1.
Определить математическое ожидание М(Х).
3). Пусть F(x) – функция распределения вероятонстей случайной
величины Х. Известно, что при х = 7 функция F(x) принимает
значение: F(7) = 0,8.
Сколько примерно значений больших чем 7 примет величина Х
при 1000 ее измерениях?
4). Охотник два раза стреляет по стае уток. Вероятность попаданияпри одном выстреле равна р = 0,8. Введена дискретная
СВ Х - число сбитых уток при двух выстрелах.
Построить ряд распределения и функцию распределения вероятностей случайной величины Х.
5). Студент первый экзамен сдаст с р1= 0,8, второй с р2 = 0,9.
Введем дискретную СВ Х - число успешно сданных экзаменов при этих двух попытках.
Построить ряд распределения и функцию распределения вероятностей случайной величины Х.
148
21.4. Нормальный закон распределения
случайной величины.
Нормальный закон распределения характеризуется плотностью:
1
(x m) 2
(5.21)
f(x)
EXP[
].
2
σ 2
2σ
Математическое ожидание СВ с нормальным законом распределения М(Х)= m, дисперсия D(X) = 2.
Кривая у = f(x) имеет вид, представленный на рисунке 5.5.
f(x)
x m
f(x)
EXP
2
2 2
1
2
x
x=m
Рис. 5.5. Кривая распределения СВ
с нормальным законом распределения
Введем обозначение функции
1 x
2
Ф(x)
EXP( t / 2) dt ,
2π 0
(5.22)
называемой функцией Лапласа (или интегралом
вероятностей).
149
С помощью этой функции вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Х на интервал (а, b) выражается простой формулой:
bm
am
(5.23)
) Ф(
).
Для вычисления функции Лапласа используются специальные таблицы (Приложение 1).
P(a < X < b) = Ф(
ПРИМЕР 1
Автомат штампует детали. Средний размер детали 40 мм.
Разброс размеров деталей характеризуется дисперсией
2 = 16 ( мм)2 .
Найти вероятность Р того, что размер случайно отобранной
детали примет значения от 38 до 42 мм.
Решение
Согласно (14.10):
42 40
38 40
) Ф(
) 2Ф(0,5) .
4
4
По таблице 1 : Ф(0,5)≈0,19.
Следовательно,
Р(38< X < 42) = 2Ф(0,5) ≈ 0,38.
P(38 < X < 42) = Ф(
В экономике и технике многие величины являются случайными величинами с нормальным законом распределения. Это
объясняется тем, что эти величины образуются в результате суммирования многих случайных величин: Х = X i и согласно
центральной предельной теореме имеют закон распределения,
близкий к нормальному.
Центральная предельная теорема.
Каковы бы ни были законы распределения отдельных случайных величин X1, X2, …, Xn, закон распределения их суммы
Х = Xi будет близок к нормальному при увеличении числа n
слагаемых случайных величин.
150
Теорема Муавра-Лапласа.
Пусть проводится большое число N независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равно р. Тогда для оценки вероятности того, что событие А в этих N
испытаниях появится не менее М и не более К раз, используется
формула:
Р(М < Х < К) = Ф
K N p
N p(1 p)
Ф
M N p
N p(1 p)
.
(5.24)
****
ПРИМЕР 2
Вероятность выхода из строя детали во время испытаний
р = 0,05. Какова вероятность того, что при испытании N=100 деталей из строя выйдет от 5 до 10 деталей?
Решение.
P(5 X 10) Ф[(10 100 0,05) /( 100 0,05 0,95)]
Ф[(5 100 0,05) /( 100 0,05 0,95)] Ф(5 / 4,75 ) Ф(2,3) 0,49
21.5. Закон больших чисел
При определении вероятности случайного события было отмечено, что при увеличении числа испытаний средний их результат становится устойчивым, при этом частота приближается к
вероятности случайного события, а среднее арифметическое наблюдений за какой-либо случайной величиной Х – к ее математическому ожиданию М(Х).
Эти положения легли в основу закона больших чисел:
при большом числе испытаний средний их результат перестает
быть случайным и может быть предсказан с большой степенью
определенности.
В аналитической форме закон больших чисел опирается на
неравенство Чебышева: для любой случайной величины Х,
имеющей математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X),
справедливо неравенство:
D( X )
Р{| Х - М(Х)| }
(5.25)
α2
151
или
Р{| Х - М(Х)| < } > 1 -
D( X )
2
.
(5.26)
α
Пользуясь неравенством Чебышева, оценим вероятность того, что случайная величина Х будет отклонена от своего математического ожидания более чем на 3, где = D(X) .
В этом случае имеем:
Р{|Х - М(Х)| 3·2} 2/(3· б) 2 = 1/9.
(5.27)
То есть для любой случайной величины Х вероятность Р ее
попадания на расстояние от математического ожидания, большее
чем "три сигмы", оказывается меньшим 1/9.
Закон больших чисел лежит в основе практических применений
теории вероятностей. Следствием является теорема Бернулли.
ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ
При увеличении числа n испытаний частота случайного соm
бытия
сходится по вероятности к вероятности р этого случайn
ного события, т.е.
m
Р{|
(5.28)
p | < } 0 при n ,
n
где n - число испытаний, m - число испытаний, в которых наблюдалось случайное событие (число успехов).
ЗАДАНИЕ
1). Случайная величина X имеет нормальный закон распределения, ее математическое ожидание m = 10, а дисперсия
D2(X) = 1. Представить примерный график функции плотности
вероятности y = f(x) этой случайной величины. Обозначить
на этом графике вероятность Р( 12< X <14).
2). Цех выпускает трубы со средним диаметром Д = 600 мм.
Разброс этого показателя характеризуется дисперсией характеризуется
2 = 16 ( мм)2 . Найти Р, что диаметр случайно выбранной трубы примет значение от 592 до 602 мм.
3). Группа из 30 студентов сдает экзамен по математике. Вероятность сдачи экзамена для каждого студента равна р = 0,8.
Найти вероятность Р , что экзамен успешно сдадут от 20 до 25
студентов группы.
152
22. Элементы математической статистики
22.1. Основные задачи математической статистики
Математическая статистика занимается разработкой приемов
статистических наблюдений и анализом статистических данных.
Основные задачи математической статистики:
1. Задача ставится так: в результате N независимых испытаний над случайной величиной Х получены следующие ее значения:
х1, х2, …, хn.
Требуется определить, хотя бы и приближенно, неизвестную
функцию распределения F(x) этой случайной величины.
2. Пусть из общих соображений известна функция распределения F(x) некоторой случайной величины. По результатам N независимых испытаний: х1, х2, …, хn требуется оценить параметры
этого распределения и точность этих оценок. Например, установить числовые значения математического ожидания и дисперсии
этой случайной величины X.
3. Задача ставится так: на основании некоторых соображений выдвигается гипотеза о виде распределения или о параметрах
распределения некоторой случайной величины. Затем проводится
n испытаний случайной величины X и получают ее значения:
х1,х2…, хn. Спрашивается, совместимы ли результаты наблюдений
х1, х2, …, хn с выдвинутой гипотезой.
22.2. Построение эмпирической функции распределения.
Выборка
Пусть в результате N независимых испытаний получаем
значения случайной величины X : х1, х2, … хn – это выборка
объема n из генеральной совокупности с рапределением F(x).
Запишем эту последовательность в виде вариационного ряда:
х1 х2 … хn.
Построим эмпирическую функцию распределения F(x):
153
О, при х x1
Fn(x) =
k
, при хк < х хк+1,
n
1, при х > хn
(5.29)
Тогда функция Fn(x) – монотонна, непрерывна слева, имеет
конечное число точек разрыва со скачками 1/n
(рис. 5.5).
Согласно теореме Гливенко, при увеличении числа независимых испытаний происходит сближение эмпирической функции
распределения Fn(x) с теоретической функцией распределения
F(x).
Рис. 5.5. Эмпирическая функция распределения Fn(x)
22.3. Оценка параметров случайной величины
Для нахождения закона распределения случайной величины
требуется достаточно большое число эксперементальных данных.
Однако на практике нередко приходится иметь дело с двумя-тремя
десятками наблюдений. Такого количества данных явно недостаточно для нахождения неизвестного закона распределения случайной величины. Однако эти данные могут быть использованы
154
для оценки основных числовых харастеристик случайной величины: математического ожидания и дисперсии. Оценка параметров случайной величины необходима и в том случае, если закон ее распределения известен заранее из самой поставки задачи.
Оценки параметров случайной величины могут быть точечными (определяться одним числом) или интервальными (задаваться на определенном интервале).
Рассмотрим точечные оценки математического ожидания и
дисперсии случайной величины Х по результатам ее наблюдений:
х1, х2, … хn - выборка объемом n.
Точечной оценкой математического ожидания СВ Х является:
n
xi
М(Х) i 1 ;
n
(5.30)
n
[xi M(X)]2
дисперсии: D(X) i 1
n 1
.
(5.31)
***
При интервальной оценке устанавливаются размеры интервала, на котором с задаваемой вероятностью α расположены значения оцениваемых параметров распределения случайной величины.
Доверительным интервалом называется интервал, который с заданной доверительной вероятностью α включает в себя
оцениваемый параметр (М(х) или D(x)).
Для оценки математического ожидания М(х) нормально
распределенной случайной величины Х по результатам ее наблюдений x1,х2,...хn. служит доверительный интервал:
(5.32)
xt
M( x ) x t
,
n
n
где
x
1 n
xi ,
n i 1
n
1
( xi x ) 2 ,
n 1 i 1
t находят по таблице II по известной n и выбранной α
(Приложение 2).
155
ПРИМЕР 1
Машина показала следующие скорости V на трассе:
V = … 140, 142, 144, 146, 148, 150, 150, 154, 156, 158, 160… км/ч
Определить вероятность Р, что на основных испытаниях скорость машины на этой трассе составит от 149 до 152 км/ч.
Решение
Принимаем, что скорость машины V является непрерывной
случайной величиной с нормальным законом распределения .
По результатам замеров проведем оценку характеристик СВ V:
1). Математическое ожинание
1
11
а = М(V) = ----- Vi
11
i=1
= 150 км/ч.
2). Дисперсия
2
1
= D(V) = --------( 11- 1)
11
2
(Vi – a)
44 км/ч
i=1
Тогда среднеквадратическое отклонение
=
44
6,6 км/ч
Тогда:
152 - 150
149 - 150
Р(149 < V< 152) = Ф( ----------) - Ф(-------------) =
6,6
6,6
= Ф(0,3) - Ф(- 0,15) = Ф(0,3) + Ф(0,15) = 0,12+ 0,05 = 0,18.
Ответ:
Р(149 < V< 152) = 0,18.
****
156
ПРИМЕР 2
Продавец за n = 9 рабочих дней продал 20 автомобилей.
Дни работы продавца
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Количество проданных машин, xi 2 1 3 2 3 2 3 3 1
Найти с вероятностью α = 0,99 доверительный интервал для
математического ожидания Х количества продаж машин в день.
Полагаем, что эта случайная величина имеет нормальный закон
распределения.
Решение
1 9
Определим оценки: x x i 2,2.
9 i 1
1 9
2 ( x i 2,2) 2 0,7.
8 i 1
Тогда :
0,84.
Для интервальной оценки Х воспользуемся формулой:
xt
M( X) x t
.
n
n
Из таблицы II следует, что: t(0,99; 9) = 2,36.
В результате: получаем интервальную оценку:
0,84
0,84
.
2,2 2,36
M(X) 2,2 2,36
3
3
В итоге: 1,5 < М(X) < 2,9.
Ответ: С вероятностью α < 0,99 количество проданных машин в день изменяется в пределах от 1,5 до 2,9.
Следовательно, можно ожидать, что в последующие десять
дней с вероятностью α < 0,99 будет продано от 15 до 29 машин.
157
22.4. Проверка статистических гипотез
Пусть в результате замеров случайной величины Х получена
выборка x1,х2,...хn. На основании этой выборки требуется проверить нулевую гипотезу Н0. Гипотеза Н0 может быть, например,
гипотезой о неизвестном законе распределения случайной величины X или гипотезой о параметрах известных законов распределения.
Наряду с гипотезой Н0, рассматривается альтернативная
(конкурирующая) гипотеза Н1, которая противоречит Н0. Например, если проверяется гипотеза о равенстве математического
ожидания некоторому значению А, т.е. Н0 : М(Х) = А, то в качестве альтернативной гипотезы можно рассмотреть гипотезу
Н1 : М(Х) А.
Правило, по которому принимается решение принять или
отклонить гипотезу Н0, называется критерием К. Далее необходимо выбрать подходящую величину (называемую статистикой Z критерия К), которая служит для проверки критерия с использованием выборки. Например, при проверки гипотезы, что
М(Х)= А, в качестве статистики можно принять среднюю Z = (x1
+ х2+ ... хn)/n .
Принцип проверки статистической гипотезы. Перед
анализом выборки фиксируется некоторая малая вероятность ,
называемая уровнем значимости. Пусть R - множество значений
статистики Z, а Rкр - такое подмножество R, что при условии истинности гипотезы Н0 вероятность попадания статистики Z В Rкp
равна , т.е. P[ZRкр/Н0] = . Rкр называется критической областью.
Обозначим через m значение статистики Z, вычисленное по
выборке x1,x2....хn наблюдений. Критерий формулируется следующим образом: отклонить гипотезу Н0, если mRкр, и принять
нулевую гипотезу, если mR/Rкр (рис. 5.6).
158
Рис. 5.6. Расположение критической области Rкр
и области принятия гипотезы R/Rкр
При этом возможны следующие ошибки:
1) ошибка первого рода - отвергнуть верную гипотезу;
2) ошибка второго рода -принять неверную гипотезу.
Критическая область Rкр выбирается таким образом, чтобы
минимизировать ошибки первого и второго рода.
К известным критериям относятся: t-критерий, Fкритерий, критерий Уилкоксона и т.д.
22.5. Корреляционный анализ
Рассмотрим случай, при котором какие-то факторы Х1, Х2,
…, Хn оказывают влияние на признак Y.
Например, количество выпавших осадков за сезон (X1),
средняя температура (Х2) оказывают влияние на урожай картофеля (Y) в конкретном хозяйстве.
Задача корреляционного анализа – установление степени
влияния факторов на признак. Корреляционный анализ позволяет
выявить неизвестные связи между факторами и признаком, установить факторы, оказывающие наибольшее влияние на изменение значений признака.
159
Рассмотрим наиболее простой случай, когда фактор Х влияет на признак Y.
По данным парных экспериментальных замеров получаем
корреляционную таблицу:
Х
Y
х1
у1
х2
у2
х3
у3
………..
………..
хn
уn
Для количественной оценки тесноты связи между Х и Y используют коэффициент корреляции:
1 n
x у x y
n i 1 i i
R ху
,
(5.33)
σ х σ у
1 n
1 n
где: х х i , y yi ,
n i 1
n i 1
σх
2
1 n
1 n
2
2
(х i х) , σ х
(у i у) 2
n 1 i 1
n 1 i 1
(5.34)
Коэффициент Rxy принимает значения от -1 до +1.
Принято считать, что если
|Rxy| < 0,3 , то корреляционная связь слабая,
|Rxy| = 0,3 ÷ 0,7 - средняя,
0,7 < |Rxy| 1 , то корреляционная связь сильная.
При коэффициенте корреляции Rxy > 0
возрастание Х
приводит к росту и Y и, наоборот, уменьшение значений Х
приводит к снижению значений и Y.
Если же Rxy < 0, то изменение Х в одну сторону приводит
к противоположному изменению Y.
Если на признак Y действует несколько факторов, то рассматривают тесноту связи между изменениями всех факторов
Х1,Х2,…, Хn и изменениями Y.
160
22.6. Регрессионный анализ
Регрессионный анализ предназначен для представления
влияния факторов X1, Х2, …, Хn на признак Y в виде уравнения
регрессии:
У = f(xl, x2, ..., xn).
(5.35)
В случае парной корреляции, т.е. влияния одного фактора Х
на признак Y, уравнение регрессии выбирают в виде:
у = а0 + a1·x, или
у = а0 + a1·x + a2·x2, или
(5.36)
у = а0 · EXP(a1·x).
В случае множественной линейной регрессии в качестве модели выбирают уравнение вида:
у = а0 + a1·x1 + a2·x2 + ... + an·хn.
(5.37)
Для определения неизвестных коэффициентов а0 или ai применяют метод наименьших квадратов (МНК).
Согласно этому методу, коэффициенты а0 и ai должны быть
выбраны такими, чтобы обеспечить наименьшее значение суммы
квадратов отклонений теоретических значений уравнения регрессии от экспериментальных, выбранных из корреляционной таблицы. То есть требуется выполнение условия:
n
[f(x i , a 0 , a1 ) уi ]2 min .
i 1
(5.38)
Графически отклонения теоретических значений признака
от его замеров в случае линейной модели регрессии можно представить следующим образом (рис. 5.7).
Обозначим через hi2 = [ f(xi, a0, a1) - yi ]2.
Тогда условие (5.38) запишем в виде:
h12 + h22 + ... + hn 2 = min.
161
(5.39)
Y
y2
f(xn)
h2
hn
yn
f(x2)
f(x1)
h1
y1
x1
0
x2
…
xn
X
Рис. 5.7. Геометрическая интерпретация МНК
Рассмотрим применение МНК для определения неизвестных
коэффициентов а0 и a1 в случае выбора линейной модели
уравнения регрессии :
y = а0 + a1·x..
Запишем функционал (5.38) для случая линейной модели:
n
F(a 0 , a1 ) (a 0 a1 x i уi ) 2 min
i 1
(5.40)
Для определения минимального значения функционала
F(a0, a1) необходимо приравнять его частные производные по переменным а0 и a1 к нулю.
В результате получаем:
n
F
2 (a 0 a1 x i уi ) 1 0
a0
i 1
(5.41)
n
F
2 (a 0 a 1 x i у i ) x i 0
a1
i 1
Отсюда получаем систему линейных уравнений для определения неизвестных коэффициентов а0 и a1:
n
n
n a 0 a 1 x i y i
i 1
n
n
i 1
i 1
i 1
n
a 0 x i a1 x i 2 x i y i
162
i 1
(5. 42)
Замечание
Если Rxy > 0 ( или Rxy < 0) , то в случае построения линейного регрессионного уравнения y = а + bх его график
может иметь вид
Rxy > 0
Rxy < 0
Y
*
Rxy = 0,8-0,9
*
* Rxy = -0,9 -0,8
*
*
*
*
*
*
*
*
* Rxy = 0,4-0,6
*
*
*
*
Rxy = -0,6 -0,4
*
*
*
X
Рис. 5.8. Разброс экспериментальных значений ( точки *)
относительно регрессионных прямых для различных Rxy.
****
ПРИМЕР 1
Выработка бригады (Y) зависит от ее численности (X) согласно следующей таблице:
Х
Y
1
5
2
11
3
14
4
21
5
24
6
31
7
34
8
41
Определить коэффициент корреляции Rху между этими случайными величинами и построить линейное уравнение регрессии.
Решение.
По формулам (5.30), ( 5.31) находим:
x 4,5 ; у 22,6 ;
n
x у/n 128 ;
x у 101,7 ;
i 1
σ х 2,45 ; σ у 12,3 .
163
128 101,7
0,88.
2,45 12,3
Cледовательно, между Х и Y - сильная корреляционная
связь.
Далее для определения коэффициентов а и b в выбранном
линейном регрессионном уравнении:
у = а + b·x
воспользуемся формулами (5.42).
В результате получаем:
Окончательно, R ху
8·а + 36·b =181
36·а + 204·b = 1024.
В результате решения этой системы находим а 0, b
В результате регрессионное уравнение примет вид: у = 5·х.
****
5.
ПРИМЕР 2
Характеризовать степень влияния СВ Х на СВ Y, если
коэффициент корреляции между ними равен:
а). Rxy = 0,5
б). Rxy = - 0,8
Изобразить графически линейные уравнения связи y=f(x) и
примерное расположение экспериментальных точек для обоих
случаев.
Решение
а). Rxy =
б). Rxy = - 0,8
0,5
Y
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
164
X
ПРИМЕР 3
Бригада из N тракторов за некоторое время Т вспахивает поле.
Оценить коэффициент корреляции RNT .
Решение
Заметим, что при увеличении числа N тракторов время Т
выполнения работы будет снижаться, т.е. RNT < 0.
Если тракторы одинаковой марки и работники одинаковой
квалификации, то RNT = - 0,8 (– 0,9).
Если тракторы разных марок, то возможен разброс в производительности труда трактористов, нарушается пропорциональность их вклада в общий объем работы и RNT = - 0,7 (– 0,8).
****
ПРИМЕР 4
Автосалон за первые 8 месяцев года (Т= 1,2,3,4,5,6,7,8) продал
соответственно N = 54, 56, 57, 59, 62, 64, 66 , 68 машин.
Оценить (не считая) коэффициент корреляции RTN .
Решение
Если бы прирост продаж машин был бы строго пропорциональным ( т.е. увеличивался каждый месяц ровно на 2 машины),
то RTN = 1.
Однако в марте (Т=3 ) и в мае (Т = 5) произошло изменение
этой строгой пропорциональности ( прирост составил 1 и 3 машины).
Вследствие незначительного нарушения этой пропорциональности можно предположить, что коэффициент корреляции
составит RTN = 0,85 – 0,95.
Больший разброс в числах реализации машин по месяцам
приводит к снижению ( по абсолютной величине) коэффициента
корреляции RTN.
165
ЗАДАНИЕ
1). На метеорологической станции проводились замеры
пературы Т за некоторый период времени прошлого года:
тем-
Т = ……, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, ….. C
Определить вероятность Р, что в этом году в этот же период
времени Т будет находиться в пределах 18 < T < 21 C.
****
2). На полигоне проводились замеры скорости V
дели трактора:
новой мо-
V = ……, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, ….. км/ч.
Определить вероятность Р, что на основных испытаниях этот
трактор покажет скорость в пределах 48 < V < 54 км/ч.
****
3). В результате статистических исследований производительности труда n = 36 рабочих цеха установлено, что один рабочий в
среднем выпускает в смену р = 50 деталей.
Разброс числа выпускаемых деталей одним рабочим характеризуется дисперсией 2 = 64 (дет.)2. Найти с вероятностью
= 0,95 доверительный интервал для математического ожидания М(р) производительности труда рабочих цеха.
****
4). Определить коэффициент корреляции Rxy и построить уравнение регрессии между случайными величинами Х и Y, заданными
таблицей:
Y
2
4
6
9
10
11
X
1
2
4
5
6
6
****
5). Грузовой машине требуется за несколько рейсов доставить
груз со склада на станцию. Оценить ( не считая) коэффициенты
корреляции : а). RГN между грузоподъемностью машины Г и
количества необходимых рейсов N; b). RLN между Г и длиной L
маршрута от склада до станции.
****
166
6).Характеризовать степень влияния случайной величины Х на
случайную величину Y, если коэффициенты корреляции между
ними :
а). Rxy = - 0,5
b) Rxy = 0,9.
Представить графически линейные уравнения регрессии
y = a + bx для обоих случаев а) и b) и примерное расположение точек экспериментальных замеров на графике.
****
7).Характеризовать степень влияния случайной величины Х на
случайную величину Y, если коэффициенты корреляции между
ними :
а). Rxy = - 0,9
b) Rxy = 0,5.
Представить графически уравнения регрессии (параболы)
y = a + bx2 для обоих случаев а) и b) и примерное расположение точек экспериментальных замеров на графике
****
8). Утеряны некоторые результаты замеров зависимости случайной величины Y от случайной величины Х.
Y
10
y2
y3
y4
y5
y6
X
1
2
4
5
6
6
Восстановить (примерно) значения y2 , y3 , y4 , y5 , y6 : если коэффициент корреляции между Х и Y равен:
а). Rxy = 0,6
b) Rxy = - 0,9.
****
8). Утеряны некоторые результаты замеров зависимости случайной величины Y от случайной величины Х.
Y
-8
y2
y3
y4
y5
y6
X
4
2
0
-2
-4
-6
Восстановить (примерно) значения y2 , y3 , y4 , y5 ,
ли коэффициент корреляции между Х и Y равен:
а). Rxy = 0,9
b) Rxy = - 0,6.
****
167
y6 : ес-
22.7. Временные ряды
Временные (динамические) ряды представляют собой числовые данные, характеризующие исследуемые процессы и явления. В зависимости от порядка их регистрации ряды динамики
являются дискретными или непрерывными.
Дискретные ряды получаются путем регистрации данных
через определенные промежутки времени – через месяц, год и т.д.
Непрерывные ряды динамики получаются в случае непрерывной записи изменения явления.
На практике чаще всего встречаются дискретные представления исследуемых процессов. В этом случае ряд динамики можно представить в виде:
Уровень ряда
Время
x1
t1
x2
t2
x3
t3
…
…
xn
tn
При анализе временных рядов пользуются статистическими
показателями, определяющими характер и интенсивность количественных изменений явлений. К этим показателям относятся:
уровень ряда, средний уровень, абсолютный прирост, темпы роста и прироста, автоковариация и автокорреляция.
Уровнем ряда (xi) является каждый член ряда динамики.
Различают начальный (x0), конечный (xn) и средний (xср) уровни
ряда. Уровень ряда, относительно которого предполагается рассматривать изменение процесса, выбирается в качестве базисного
(xб).
Абсолютный прирост (di б, di) характеризует размер изменения исследуемого явления во времени и определяется разностью двух уровней. Абсолютные приросты могут быть базисными и цепными:
di б = xi – xб, di = xi – xi-1,
(5.43)
где xi – уровень ряда в период i, xб – уровень ряда в базисный период.
168
Темпом роста (ki б, ki) является отношение двух уровней
ряда динамики, выраженное в процентах. Различают базисные и
цепные темпы роста:
x
x
Ki б = 1 100% ; Ki = i 100% .
(5.44)
xб
x i 1
Темпом прироста (Тiб, Тi) называется отношение абсолютного прироста к базисному или предыдущему уровню, выраженное в процентах:
d
d
Ti б = iб 100% ;
Тi = i 100% .
(5.45)
xб
x i 1
Темпы роста и прироста связаны следующим образом:
Кi = Ti + 100.
(5.46)
Исследование рядов динамики в целях анализа и прогнозирования является довольно сложной проблемой, решение которой
требует применения различных методов обработки и статистического анализа.
При статистическом подходе к исследованию и моделированию явлений особое место занимает корреляционный и регрессивный анализ. Применение корреляционного и регрессионного
анализа требует соблюдения ряда известных условий этих методов.
Основной предпосылкой можно считать то, что изучаемая
совокупность должна быть случайной выборкой из бесконечной
генеральной совокупности; в этом случае анализ временных рядов принципиально ничем не отличается от анализа данных случайной выборки.
Кроме того, требуется выполнение условий независимости,
случайности и нормального распределения данных наблюдений.
Следует отметить, что в результате корреляционного анализа рядов динамики, имеющих вполне определенные тенденции
развития, получаются завышенные значения показателей корреляции (проблема ложной корреляции). Это объясняется тем, что в
результате анализа сопоставляются не случайные колебания, а
статистические совокупности особого рода – реализация детерминированных частей и случайных процессов.
169
Для исследования временных рядов и выявления причин их
вариации вокруг определенного уровня используются методы
теории случайных процессов.
При анализе временных рядов исходят из расчленения динамики процесса на три составляющие, которые связаны между
собой аддитивно:
1). Тенденция (тренд) хтр(t), представляющая собой долговременное направление развития процесса.
2). Систематические периодические колебания g(t), связанные
с влиянием сезонности или цикличности развития процесса.
3). Случайная составляющая z(t), которая является результатом
влияния на динамику процесса случайных факторов.
Следует отметить, что не всегда ряды динамики состоят из
всех рассмотренных компонент. Единственной составляющей,
которая всегда встречается в рядах, является случайная составляющая z(t), но и она может быть только в сочетании с одной или
обеими составляющими.
В результате ряд динамики представим в виде:
х(t) = xтр(t) + g(t) + z(t).
(5.47)
Геометрическая интерпретация модели (5.47) ряда динамики
представлена на рисунке 5.9.
xтр(t) a 0 a1t
g(t) A0 cos( 2..t )
T
прогноз
Рис. 5.9. Временной ряд xi = x(ti) и его составляющие
170
Процедуру статистического анализа рядов динамики целесообразно подразделять на три компоненты:
1-я компонента – определение характеристик исследуемых
рядов и их разложение на три составляющие;
2-я компонента – всесторонний анализ отдельных составляющих и разработка модели процесса;
3-я компонента – прогнозирование исследуемого ряда динамики на основе полученной модели.
1. Анализ тренда.
Важнейшей задачей анализа временных рядов является определение основной закономерности изменения изучаемого явления во времени. Обычно считают, что основная тенденция
(тренд) есть результат влияния комплекса причин, действующих
постоянно на изучаемый процесс в течение длительного периода,
т.е. она характеризуется детерминированной составляющей временного ряда.
Для решения этой задачи применяются различные методы
сглаживания, наиболее известным из которых является метод
наименьших квадратов. Согласно МНК в качестве тренда выбирается кривая y = f(t), сумма квадратов расстояния от точек которой до уровней ряда xi (i = 1, 2 … n) является минимальной.
Основной проблемой при определении тенденции с помощью МНК является выбор формы кривой f(t). Обычно для решения этой задачи анализируется набор статистических данных или
сам процесс.
2. Исследование периодических колебаний.
Во временных рядах динамики наряду с основными долговременными тенденциями иногда проявляются более или менее
регулярные колебания, связанные с цикличностью или сезонностью развития явления.
Для определения периодических колебаний следует прибегать к гармоническому анализу, в котором анализ рядов динамики производится при помощи линейных комбинаций функции
времени – синусов и косинусов, причем коэффициенты линейных
комбинаций рассматриваются как неизвестные параметры.
171
Как известно, любой ряд динамики можно с помощью преобразований Фурье представить суммой определенного числа
гармоник. Но задача гармонического анализа состоит в определении только основных гармоник, содержащих главные закономерности развития процесса.
Общую задачу гармонического анализа – выявление периодичности процесса – можно сформулировать следующим образом. Допустим, что на конечном интервале (-L, L) задана функция
x(t). Выдвигают гипотезу о том, что функция x(t) содержит периодическую компоненту g(t), так что
x(t) = g(t) + z(t),
(5.48)
где z(t) – случайная функция с нормальным распределением.
Задача, по существу, сводится к аппроксимации процесса
x(t) процессом y(t) определенным соотношением:
n
y(t) = A0 + [Ak cos(ωk t) Bk sin( ωk t)] ,
k 1
(5.49)
где неизвестные параметры Аk, Bk и ωk определяются методом наименьших квадратов, минимизирующим функцию
(5.50)
[x(t) y(t)] 2 min.
В результате получаем следующие оценки параметров:
1 L
1 L
А0 =
x(t) dt , Ak = x(t) cos (2kt/T)dt, (5.51)
2 L L
L L
1 L
Bk = x(t) sin(2 π kt/T) dt .
L L
Введем амплитуду k-ой гармоники: Rk = (A k 2 Bk 2 )
Тогда вклад каждой гармоники равен:
– для нулевой и n-ой соответственно R02 и Rn2,
– для k-й – 2Rk2.
3. Анализ случайного компонента.
При исследовании случайного компонента проводится его
статистический анализ при помощи теории случайных процессов.
.
172
Раздел 6.
ИЗБРАННЫЕ РАЗДЕЛЫ ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКИ
23. Задачи математического программирования.
23.1. Постановка задачи математического
программирования
Математическое программирование – раздел математики,
изучающий экстремальные задачи и методы их решения.
В общем виде постановка экстремальной задачи состоит в
определении наибольшего или наименьшего значения целевой
функции F(Х) = F(x1, …, xn) при условии, что ее переменные x1,
…, xn удовлетворяют системе неравенств и уравнений:
g i x1,..., x n bi
g i x1,..., x n bi
i 1,..., k
i k 1,..., m
(6.1)
здесь F(x1, …, xn) и gi(x1, …, xn) – известные функции n переменных, bi – заданные числа.
Указанная система неравенств и уравнений определяет неn
которую область D в n-мерном пространстве R . Среди точек
M(x1, …, xn) этой области D и ищется экстремальное значение
функции F(x1, x2, …, xn).
Если F(x1, …, xn), gi(x1, …, xn) – линейные функции, то получаем задачу линейного программирования.
Если F(x1, …, xn), gi(x1, …, xn) (i = 1, ..., m) – нелинейные
функции, то получаем задачу нелинейного программирования.
173
23.2. Основные понятия линейного программирования.
Общей задачей линейного программирования (ЛП) называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции
F(X) = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
(6.2)
при условиях:
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn b1;
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn b2;
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn bm;
(6.3)
x1 0, x2 0, … xn 0,
где аi j, bi, cj – заданные постоянные величины,
x = (х1, х2, … xn).
Система неравенств (6.3) определяет некоторое множество,
на котором и ищется максимальное (или минимальное) значение
F(Х).
Функция F(X) – целевая функция, условия (6.3) – ограничения данной задачи.
Совокупность точек Х = (x1, x2, ..., xn), удовлетворяющих ограничениям (6.3) задачи ЛП, называется допустимым решением
(или планом).
План X* = (x1, x2, ..., xn) , при котором целевая функция
принимает свое максимальное (или минимальное) значение, называется оптимальным. То есть F(X) F(X) (при поиске минимального значения целевой функции F(X) F(X)).
Множество планов задачи ЛП, которое задается системой
неравенств (6.3), образует выпуклый многогранник. Каждая из
вершин этого многогранника определяет так называемый опорный план. В одной из вершин многогранника решений, т.е. для
одного из опорных планов, значение целевой функции является
максимальным. Если максимальное значение функция принимает
174
более чем в одной вершине, то это значение она принимает в любой точке, являющейся выпуклой комбинацией данных вершин.
Вершину многогранника решений, в которой целевая функция принимает максимальное значение, найти сравнительно просто, если задача содержит не более двух-трех свободных переменных, т.е. n-r 2-3 , где n – число переменных, r – ранг матрицы А.
Например, найдем решение задачи, состоящей в определении максимального значения функции
F(х1, х2) = c1x1 + c2 x2
при условиях:
(6.4)
а11х1 + а12х2 b1
а21х1 + а22x2 b2;
(6.5)
x1 0; x2 0.
Каждое из неравенств (6.5) системы ограничений геометрически определяет полуплоскость, ограниченную прямыми
ai1 x1 + ai2 x2 = bi, x1 = 0, x2 = 0.
(6.6)
В том случае если система неравенств (6.5) совместна, область ее решений есть множество точек, принадлежащих всем
указанным полуплоскостям. Так как множество точек пересечения данных полуплоскостей выпуклое, то областью допустимых
решений задачи (6.5) является выпуклое множество, которое называется многоугольником решений (рис. 6.1). Стороны этого
многоугольника лежат на прямых (6.6).
175
Рис. 6.1. Геометрическая интерпретация
задачи линейного программирования
Таким образом, исходная задача ЛП состоит в нахождении
такой точки многоугольника решений, в которой целевая функция F принимает максимальное значение. Эта точка существует
тогда, когда многоугольник решений не пуст и на нем целевая
функция ограничена сверху. При указанных условиях в одной из
вершин многоугольника решений целевая функция принимает
максимальное значение.
Для геометрической интерпретации этого объяснения построим линию уровня c1x1 + c2x2 = h, где h – некоторая постоянная. Пусть эта линия пересекает многоугольник решений и передвигается в направлении вектора C(c1, c2) до тех пор, пока она не
пройдет через последнюю точку многоугольника решений
(см. рис.6.1).
Отметим, что максимальное значение целевая функция может принимать только в одной точке или в любой точке отрезка
(см. рис. (6.1).
Нахождение минимального значения линейной функции при
176
данной системе ограничений отличается от нахождения ее максимального значения при тех же ограничениях лишь тем, что линия уровня c1x1 + с2х2 = h передвигается не в направлении вектора С = (c1, с2), а в противоположном направлении.
Итак, решение задачи линейного программирования на основе ее
геометрической интерпретации включает следующие этапы:
1. Проведение прямых, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях (6.5) знаков неравенства на знаки точных равенств (6.6).
2. Нахождение полуплоскостей, определяемых каждым из
ограничений.
3. Нахождение многоугольника решений.
4. Построение вектора С(с1, с2) .
5. Построение прямой c1x1 + с2х2 = h, проходящей через
многогранник решений.
6. Передвижение прямой c1x1 + с2х2 = h в направлении вектора С. В результате необходимо найти точку (линию), в которой
целевая функция принимает максимальное значение, либо установить неограниченность сверху функции на множестве планов.
7. Определение координат точки максимума функции и вычисление значения целевой функции в этой точке.
ПРИМЕР 1
Для производства мороженого и шербета небольшому цеху
требуются молоко и сахар.
Нормы расхода продуктов для производства 1 порции мороженого или шербета представлены в таблице.
Вид продукта
Нормы расхода продуктов
Количество
на 1 порцию, кг или л
продуктов,
отпускаемых
Мороженое
Шербет
на смену
1. Молоко
0,15
0,05
50
2. Сахар
0,1
0,15
50
Прибыль от
1
1,2
продажи 1-й
порции, руб.
Найти количество порций мороженого x1и шербета x2, выпуск и реализация которых обеспечат максимальную прибыль
цеху.
177
Решение.
Постановка задачи:
найти MAX(l·x1 + 1,2·х2) при ограничениях:
0,15 · x1 + 0,05 · x2 50;
0,1 · x1 + 0,15 · x2 60.
Решение задачи представлено на рисунке ниже.
x2
1000
400
C (1; 1,2)
220
260
600
x1
Графическое решение задачи дает x1 = 260, x2 = 220.
СИМПЛЕКС-МЕТОД
Одним из основных методов решения задачи ЛП является
симплекс-метод. Метод основан на том, что решением задачи
ЛП является одна из вершин выпуклого многогранника (оптимальный опорный план). Следовательно, решение задачи ЛП
следует искать среди вершин этого многогранника решений.
Симплекс-метод предусматривает поэтапный перебор вершин многогранника, который обеспечивает возрастание значения
целевой функции F(x) до полного решения задачи (определения
оптимального плана).
Пусть на первом этапе выбрана вершина Вк (координаты которой называются базисным решением задачи). Тогда переход из
вершины Вк в соседнюю вершину выбирают в направлении того
178
из ребер, выходящих из Вк, вдоль которого целевая функция F(x)
быстрее всего возрастает. Например, если функция F(x) быстрее
всего возрастает вдоль ребра Вк Вк+1, то переход осуществляется
в вершину Вк+1, и на следующем этапе рассматривается значение
функции в этой вершине (рис. 6.2).
Рис. 6.2. Геометрическая интерпретация симплекс-метода
Алгоритм продолжается до определения вершины В*, координаты которой и являются решением задачи ЛП: F(B*) F(B).
179
ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА
Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного
груза из m пунктов отправления A1, A2, ..., Am в n пунктов назначения В1, B2, ..., Bn.
При этом в качестве критерия оптимальности обычно берется либо минимальная стоимость перевозок всего груза, либо минимальное время его доставки.
Рассмотрим транспортную задачу, в качестве критерия оптимальности которой взята минимальная стоимость перевозок
груза. Обозначим через cij тарифы перевозки единицы груза из
i-го пункта отправления в j-й пункт назначения, через ai – запасы
груза в i-м складе, через bj – потребности в грузе в j-м пункте назначения. Пусть также xij – количество груза, перевозимого из iго склада в j-й пункт назначения (рис. 6.3).
Пункты отправления груза
А1
.....
Аi
.....
Аm
c
i1
c
- тариф
xi1 - количество пере-
x i1
В1
i1
возимого груза
.....
Вj
.....
Пункты назначения
Рис. 6.3. Транспортная задача
180
Вn
Тогда математическая формулировка транспортной задачи
состоит в определении минимального значения функции
m n
F cij x ij
( 6.7)
i 1 j1
при условиях:
m
x ij b j
i 1
n
x ij a i
(j = 1, …, n);
(i = 1, …, m);
(6.8)
j1
xij 0.
Всякое неотрицательное решение системы линейных уравнений (6.8), определяемое матрицей Х = (хi j), называется планом
транспортной задачи. План X, при котором функция (6.7) принимает свое минимальное значение, называется оптимальным
планом транспортной задачи.
Обычно исходные данные транспортной задачи записываются в виде следующей таблицы.
Таблица 6.1
Пункты
отправления В1 …
A1
Пункты назначения
Вj …
Вn …
c11
x11
…
…
Аi
…
…
Am
Потребности
ci1
c1j
x1j
x1n
cin
xi1
ai
xij
cmj
xin
cmn
xm1
b1
a1
c1n
cij
cm1
Запасы
am
xmj
bj
181
xmn
bn
m
Очевидно, что общее количество груза у поставщиков a i ,
i 1
n
а общая потребность в этом грузе в пунктах назначения b i .
j1
Если общая потребность в грузе в пунктах назначения равна
запасу груза в пунктах отправления, т.е.
m
n
ai b j ,
i 1
(6.9)
j1
то модель такой транспортной задачи называется закрытой.
Если вышеуказанное условие не соблюдается, то модель транспортной задачи называется открытой.
ТЕОРЕМА
Для разрешимости транспортной задачи необходимо, чтобы
запасы груза на складах были равны потребностям в грузе в
пунктах назначения.
Замечание. В случае превышения запасов над потребностью
вводится фиктивный (n+1)-й пункт назначения, потребности которого полностью "закрывали" бы транспортную задачу, а соответствующие тарифы в этот пункт назначения считались бы равными нулю.
В случае превышения потребностей над запасами вводится
фиктивный склад с запасами, покрывающими потребности потребителей. Тарифы по поставкам груза с этого склада считываются равными нулю.
ЗАДАНИЕ
Задача 1. На ферме выращивают лисиц и песцов. Для их выращивания требуются три вида кормов. Нормы расхода кормов в
месяц представлены в таблице. Требуется определить количество
лисиц и песцов, выращивание которых обеспечит максимальную
прибыль ферме.
182
Таблица условий залачи .
Вид кормов
1
2
3
Прибыль от
реализации 1-го
зверька, руб.
Количество единиц корма,
которые должны получать
в неделю, кг
лисица
песец
2
3
3
4
4
8
160
120
Корма,
отпускаемые
ферме
в неделю, кг
1800
2600
4000
Задача 2. Песок поставляется с двух карьеров на 3
комбината по производству строительных конструкций.
Тарифы на перевозку грузов одинаковы и пропорциональны
расстояниям. Производительность карьеров: К1= 60 т/сутки и
К2 = 80 т/сутки.
Потребности комбинатов:
С1= 30 т/сутки, С2 = 50 т/сутки, С3 = 60 т/сутки.
Расстояния между карьерами (первый индекс) и
комбинатами (второй индекс) равны:
r11 = 5 км, r12 = 6 км, r13 = 8 км;
r21 = 7 км, r22 = 5 км, r23 = 5 км.
Определить, какое количество песка необходимо поставлять
с каждого карьера на каждый комбинат, чтобы обеспечить
минимальные расходы на транспортировку.
183
23.3. Задачи нелинейного и динамического
программирования
Задача нелинейного программирования (ЗНП) состоит в
определении максимального или минимального (экстремального)
значения функции F(X) = F(x1 … xn) при условии, что ее переменные удовлетворяют соотношениям:
gi(x1 … xn) bi (i = 1 … k);
gi(x1 … xn) = bi (i = k+1 … m).
(6.10)
Здесь F(Х) и gi(Х) –известные функции n переменных (в
общем случае нелинейные), bi – заданные числа.
Соотношения (6.10) задают область допустимых значений
ЗНП. В отличие от задачи линейного программирования, эта область не всегда является выпуклой.
Решение ЗНП состоит в определении такой точки
X* = (x1 … xn) области допустимых решений, в которой функция
F(x) достигает экстремального значения, т.е. F(X*) F(X) или
F(X*) F(X) для любых точек Х = (х1 … xn) из области допустимых решений ЗНП. В общем случае решение задачи сводится к
определению такой точки Х* области допустимых решений, через которую проходит гиперповерхность максимального (или
минимального) уровня: F(X) = Hmax (или Hmin). Указанная точка
может находиться как на границе области допустимых решений,
так и внутри ее.
Для случая двух переменных решение ЗНП можно получить
с использованием ее геометрической интерпретации путем реализации следующих этапов:
1. Построить область допустимых решений.
2. Построить гиперповерхность F(X) = H.
3. Определить гиперповерхность максимального (минимального) уровня или установить неразрешимость задачи
из-за неограниченности функции F(X) на множестве допустимых решений.
4. Найти точку X* области допустимых решений, через которую проходит гиперповерхность экстремального значения и определить значение функции F(X) в этой точке –
F(X*).
184
ПРИМЕР
Фирма готова инвестировать не более 200 млн. руб. в два
проекта А и В. Прибыль от вложения Х млн. руб. в проект А составит X млн. руб. от его реализации, прибыль от вложения Y
млн. руб. в проект В составит 2 Y млн. руб.
Определить оптимальное распределение суммы инвестиций
между проектами А и В, которое обеспечит максимальную прибыль в результате реализации обоих проектов.
Решение.
Требуется найти максимальное значение функции
F = X + 2 Y.
Область допустимых решений задачи – треугольник АВC,
ограниченный прямой X + Y = 200 и отрезками [0, 200] на оси
ОХ и [0, 200] на оси OY.
Полагая значение функции F(X, Y) равным некоторому числу Н, получаем линии уровня, представленные на рисунке 16.5.
С увеличением Н значения функции F увеличиваются.
Гиперповерхность максимального значения F(X, Y) = 32 достигает последнего контакта с областью допустимых решений в
граничной точке области допустимых решений Х* = 40, Y* = 160.
Ниже приведена геометрическая интерпретация решения задачи.
Y
240
200
.
160
..
- X + 2 Y = 32
120
80
-X + Y = 200
40
0
40
80
120
160
.
200
185
X
240
280
320
360
Для аналитического решения ЗПН можно применить метод
множителей Лагранжа.
Задача динамического программирования (ЗДН) является
многоэтапной, на каждом этапе определяется решение некоторой
частной задачи.
Предположим,
что
некоторая
организационноэкономическая система ОЭС в начальный момент времени t0 находится в определенном состоянии S0. В результате управления U
система переходит из своего начального состояния S0 в конечное
состояние Sкон. Для оценки качества управления системой выбирается функция W = W(U).
Задача состоит в том, чтобы из множества возможных
управлений (U) найти такое U*, при котором функция W(U) принимает экстремальное значение W(U*).
Дадим геометрическую интерпретацию ЗДН (рис. 6.4).
Предположим, что состояние ОЭС характеризуется некоторой точкой S на множестве X1OX2 параметров этой точки. Под
действием управления U эта точка переходит из одного состояния в другое, перемещаясь вдоль линии, определяемой значениями параметров системы S = S(X1, X2). Каждому управлению U
движением точки, т.е. каждой траектории движения точки, поставим в соответствие значение некоторой функции W(U) (например, прибыль предприятия, полученная за планируемое количество лет его работы). Тогда задача состоит в том, чтобы из всех
допустимых траекторий развития ОЭС найти такую, которая в
результате реализации управления U* обеспечит экстремальное
значение функции W(U).
X2
S0
S
1
S
2
Sко
н
Рис. 6.4. Геометрическая интерпретация ЗДП
186
X
1
ПРИМЕР
Фирме принадлежит n рентабельных предприятий. В начале
каждого года она перераспределяет прибыль, полученную от этих
предприятий, на финансирование их хозяйственной деятельности
в размере (x1 … xn). Планируется деятельность фирмы на ближайшие m лет.
Задача состоит в определении таких значений (x11 … xni),
(i = 1, 2 … m), т.е. в нахождении таких распределений финансовых средств между предприятиями на каждый i-й год (i = 1, 2 …
m), при которых за m лет обеспечивается получение максимальной прибыли всем предприятиям фирмы.
Постановка задачи
Распределение средств между n предприятиями на i-й год
(x1i … xni) будем рассматривать как реализацию некоторого
управления u1. Тогда совокупность векторов (x11 … xni), (i = 1, 2 …
m) определяет всю совокупность управлений u1, u2 … um на m шагах
распределения средств.
В качестве критерия оценки качества управления взята суммарная прибыль за m лет, которая зависит от всей совокупности
управлений: W = W(u1 … um).
Следовательно, задача состоит в выборе таких управлений
u*, т.е. в таком распределении средств, при котором функция W
принимает максимальное значение.
***
Рассмотрим в общем виде решение ЗДП. Будем считать, что
состояние рассматриваемой ОЭС на каждом шаге определяется
совокупностью ее параметров Xk = (x1k, x2k … xnk). Эти параметры были получены в результате реализации управления uk, обеспечивающего переход системы из (k-1)-го состояния в k-е состояние. При этом будем полагать, что k-е состояние зависит от
предыдущего (k-1)-го состояния и выбранного управления uk и не
зависит от того, каким образом система перешла в это (k-1)-е состояние. Напомним, что каждое состояние системы характеризуется набором своих параметров.
187
Далее будем считать, что если в результате реализации k-го
шага получен определенный доход, также зависящий от предыдущего (k-1)-го состояния системы и выбранного управления и равный W(Xk-1, uk), то общий доход за n шагов составляет
n
F = W(x k 1 , u k ) .
(6.11)
k 1
Эти два условия позволяют сформулировать для ЗДП принцип оптимальности, позволяющий устанавливать правило построения для этой задачи оптимальной стратегии управления,
т.е. такой совокупности управлений (u1, u2 … un), в результате
реализации которой система за n шагов переходит из начального
положения в конечное, и при этом функция W принимает максимальное значение.
ПРИНЦИП ОПТИМАЛЬНОСТИ БЕЛЛМАНА
Каково бы ни было состояние системы перед очередным
шагом, надо выбрать управление на этом шаге таким, чтобы выигрыш на данном шаге и оптимальный выигрыш на всех последующих шагах были максимальными.
Отсюда следует, что оптимальную стратегию управления
можно получить, если сначала найти оптимальную стратегию
управления на последнем k-м шаге, затем на двух последних шагах и т.д. вплоть до первого шага.
Дадим математическую формулировку принципа оптимальности. Для этого обозначим через Fn(X0) максимальный доход,
полученный за n шагов при переходе системы из начального состояния X0 в конечное состояние Xn при реализации оптимальной
стратегии управления U = (u1 … un), а через Fn-k(Xk) – максимальный доход, полученный при переходе из любого состояния
Xk в конечное состояние Xn при оптимальной стратегии управления на оставшихся (n-k) шагах. Тогда можно получить основное
функциональное уравнение Беллмана:
Fn-k(Xk) = max [Wk+1(Xk, uk+1) + Fn-k-1(Xk+ 1)] (6.12)
u k 1
(k = 0, 1, …n-1).
В результате решения этого уравнения путем определенной
итерационной процедуры и получаем решение ЗДП.
188
24. Введение в теорию исследования операций
Характерной особенностью организационно-экономической
системы является наличие цели – достижение какого-либо экономического результата.
Операцией называется совокупность действий, направленных на достижение этой цели.
Наличие цели в операции подразумевает существование активных участников, которые и занимаются реализацией этой цели. Оперирующей стороной называется совокупность лиц, которые стремятся в данной операции к поставленной цели.
В любой операции для достижения цели оперирующая сторона должна иметь некоторый запас ресурсов (например, сырье,
оборудование, финансовые средства, рабочую силу и т.д.). Этот
элемент называют активными средствами и обозначают вектором а.
Способы использования активных средств для достижения
цели называют стратегией и обозначают переменной x (она может быть скалярной величиной, вектором или функцией). К стратегиям можно отнести выбор источника финансирования проекта, распределение рабочей силы и сырья между предприятиями.
Стратегии контролируются оперирующей стороной, т.е. выбираются ею по своему усмотрению с учетом более эффективного
решения поставленной цели.
Кроме них существуют неконтролируемые факторы,
влияющие на ход операции и которыми оперирующая сторона не
распоряжается (например, природные условия). Неконтролируемые факторы будем обозначать переменной y.
Степень соответствия хода операции поставленной цели определяется критерием эффективности W. Критерий эффективности представляет собой некоторую функцию, зависящую главным образом от стратегий х и неконтролируемых факторов у:
W = F(x, y).
(6.13)
В общем случае стратегии и неконтролируемые факторы являются функциями времени.
Тогда достижение цели операции эквивалентно требованию
минимизации или максимизации критерия эффективности (на189
пример, максимизация прибыли предприятия, минимизация затрат ресурсов и т.д.).
Классификация задач исследования операций проводится по
двум признакам: 1) по видам неконтролируемых факторов, 2) по
видам критерия эффективности и пространствам стратегий.
Наиболее простую группу задач исследования операций составляют задачи, в которых неконтролируемые факторы отсутствуют или имеются только фиксированные неконтролируемые
факторы. Задачи этого класса называются задачами математического программирования.
Внутренняя классификация в разделе математического программирования связана уже с видом критерия эффективности и
пространства стратегий.
Если критерий эффективности представляет собой линейную функцию от переменных, описывающих стратегию, а пространство стратегий задается системой линейных неравенств, задающих многогранник решений, то получаем задачу линейного
программирования.
Если критерии эффективности или ограничения, задающие
пространство стратегий, являются нелинейными функциями, то
имеем задачу нелинейного программирования.
Если в задаче математического программирования имеется
переменная времени, а критерий эффективности входит в уравнения, описывающие развитие процесса операции во времени, то
такая задача относится к динамическому программированию.
При наличии неконтролируемых факторов наиболее важными являются задачи, в которых неопределенность связана с
действиями других участников операции, преследующих свои
цели. Раздел исследования операций, занимающийся изучением
подобных задач, называется теорией игр.
Также значительный интерес среди задач с неконтролируемыми факторами представляют задачи теории массового обслуживания, задачи теории надежности и задачи управления запасами.
190
25. Теория массового обслуживания
Системой массового обслуживания (СМО) называется
любая система, предназначенная для обслуживания каких-либо
заявок (требований), поступающих на нее в случайные моменты
времени. Примерами СМО могут служить: телефонная станция,
бюро ремонта, билетная касса, ЭВМ.
Теория массового обслуживания занимается изучением случайных процессов, протекающих в СМО.
Любое устройство, непосредственно занимающееся обслуживанием заявок, называется каналом обслуживания.
СМО делятся на одноканальные и многоканальные.
Различают СМО с отказами, когда заявка, пришедшая в
момент, когда каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в
дальнейшем в его работе не участвует.
Различают СМО с очередью, когда заявка, пришедшая в
момент занятости канала, становится в очередь и ждет, когда
один из каналов освободится. Число мест в очереди m может
быть ограниченным или неограниченным. При m = 0 СМО с очередью превращается в СМО с отказами.
Очередь может быть ограниченной не только по количеству
стоящих в ней заявок (длина очереди), но и по времени ожидания
– «СМО с нетерпеливыми клиентами».
СМО с очередью различаются по дисциплине обслуживания:
1) заявки обслуживаются в порядке поступления;
2) некоторые заявки обслуживаются вне очереди – «СМО с
приоритетом».
Аналитически СМО наиболее легко исследовать, если все
потоки событий, переводящие ее из одного состояния в другое, –
простейшие (стационарные пуассоновские). Это значит, что: 1)
интенсивность потока становится постоянной (свойство стационарности), 2) каждое событие появляется независимо от того, что
и когда произошло до него (свойство отсутствия последствия), 3)
вероятность попадания на малый интервал времени двух и более
заявок пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него одной заявки (свойство ординарности).
В этом случае интервалы времени между событиями в потоках
имеют показательное распределение с интенсивностью потока q.
191
Поток обслуживания заявок является простейшим, если
время обслуживания заявки Т – случайная величина, имеющая
показательное распределение. Параметр этого обслуживания
z = 1/ tср., где tср. – среднее время обслуживания клиента.
При выполнении некоторых условий для простейших потоков существует финальный стационарный режим, при котором
характеристики процесса не зависят от времени.
Рассмотрим две основные задачи ТМО.
1. Многоканальная СМО с отказами (задача Эрланга).
Задача Эрланга описывает поведение СМО с отказами (в
случае, когда все каналы заняты, клиент выходит из СМО).
Простейсший
поток
заявок с
интенсивностью q
СМО с отказами и параметром
обслуживания z = 1/tср
n каналов обслуживания
Рис. 6.5. Задача Эрланга
Состояния СМО:
1) S0 – СМО свободна;
2) S1 – занят только 1 канал;
………..
к) Sk – занято k каналов, (n-k) каналов свободны;
………..
n) Sn – заняты все n каналов.
В стационарном режиме финальные вероятности определяются формулой
1
p0 =
,
(6.14)
r r2
rn
1 ...
1! 2!
n!
192
где r = q/z.
rk
pk = p0 ∙ (k = 1, 2, …, n),
k!
ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ СМО
1) Среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу
времени
N = q (1 – pn).
(6.15)
2) Вероятность обслуживания поступившей заявки
Q = A /q.
(6.16)
3) Вероятность отказа поступившей заявки
pотк = pn.
(6.17)
4) Среднее число занятых каналов
K = r ∙ (1 - pn).
(6.18)
ПРИМЕР
В гараже – ремонтная база с четырьмя боксами. На нее обращается примерно 2 машины в день. Среднее время обслуживания tср = 1 день. В случае, когда все боксы заняты, вновь прибывшая машина покидает гараж. Найти финальные вероятности
системы и ее характеристики.
Решение.
В нашем случае q = 2, z = 1/tср = 1, r = q/z = 2.
Тогда p0 =
1
0,14 ;
2 4 8 16
1
1! 2! 3! 4!
2
p1 = p0 = 0,28;
1
193
22
p2 = p0
= 0,28;
2!
23
24
p3 = p0
= 0,18;
p4 = p0
= 0,1.
4!
3!
Среднее число заявок А, обслуживаемых СМО в день,
А = q (1 – p4) = 2(1 – 0,1) = 1,8.
Вероятность обслуживания заявки
Q = 1 – p4 = 0,9.
Вероятность отказа поступившей заявки
ротк = р4 = 0,1.
Среднее число занятых заявок
K = r (1 – p4) = 2(1 – 0,1) = 1,8.
За месяц отказов
q ∙ N ∙ pотк = 2 ∙ 30 ∙ 0,1 = 6 отказов/ месяц.
2. Многоканальная СМО с ограничением по длине очереди.
q - интенсивность
потока заявок
m - длина
очереди
n каналов
z = 1/tср - параметр
потока
обслуживания
Рис. 6.6. СМО с ограничением по длине очереди
Состояния системы:
S0 – СМО свободна;
S1 – занят 1 канал, очереди нет;
………..
Sn – заняты все n каналов, очереди нет;
………..
Sn+m – заняты все n каналов, очередь длиной m полностью занята.
Финальные вероятности:
194
1
P0 =
2
n
n 1
m
,
(6.19)
r r
r
r
1 x
...
1! 2!
n! n n! 1 x
где r = q/z, x = r/n;
r n s
rk
pk =
pn+s = s p 0
p 0 (1 k n),
k!
n n!
(1 s m).
1
ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ
1) Среднее число заявок А, обслуживаемых в СМО в единицу времени
A = q (1 – pn+m).
(6.20)
2) Вероятность обслуживания заявки
Q = 1 – pn+m.
(6.21)
3) Вероятность отказа
Pотк = pn+m.
4) Среднее число занятых каналов
K = r (1 – pn+m).
(6.22)
(6.23)
ЗАДАЧА
В стоматологическом кабинете работают два врача. В холле
3 кресла для ожидания. Поток посетителей – 4 человека в час,
среднее время обслуживания одного больного – 0,5 часа. Найти
количество больных, которые не были обслужены в стоматологическом кабинете потому, что все места в холле на момент их прибытия были заняты.
195
26. Введение в теорию игр
В качестве неконтролируемых факторов могут выступать
другие активные участники операции. В этом случае можно сделать предположения об их принципах поведения. Ситуацию, в
которой сталкиваются интересы нескольких участников, принято
называть конфликтной.
Конфликт – операция, в которой участвуют несколько сторон, преследующих свои интересы и обладающих определенными возможностями действия.
Теория игр – раздел теории исследования операций, занимающийся математическими моделями принятия оптимальных
решений в условиях конфликтов.
Участники игры – игроки.
В антагонистических играх игроки действуют друг против
друга.
В некоторых играх игроки объединяются в коалиции действия. В ряде задач выделяют коалиции интересов.
Если в игре коалиции вообще недопустимы, то игра называется бескоалиционной.
Численная оценка каждого исхода игры, т.е. критерий эффективности, называется в теории игр функцией выигрыша.
Тройка Г = ‹X, Y, H›, где X и Y – множества, H – функция от
двух переменных x и у, называется антагонистической игрой.
Если множества X и Y конечны, то тройка Г = ‹X, Y, H› называется конечной антагонистической игрой. Множества X и Y
называются множествами стратегий, а их элементы х и у –
чистыми стратегиями игрока 1 и 2 соответственно.
Функция Н = Н(х, у) – функция выигрыша игрока 1 в ситуации (х, у), когда первый игрок выбирает стратегию х, второй игрок выбирает стратегию у. В этом случае пара (х, у) образует ситуацию в чистых стратегиях.
Процесс разыгрывания конечной антагонистической игры
состоит в том, что игроки 1 и 2 независимо друг от друга выбирают соответственно некоторым чистым стратегиям х и у, в результате чего складывается ситуация (х, у). После чего игрок 1
196
получает выигрыш Н(х, у), игрок 2 столько же проигрывает. Поэтому величину Н(х, у) называют также проигрышем игрока 2.
Понятие выигрыша и проигрыша чисто условны, так как величина Н(х, у) может быть отрицательной.
Считая, в силу антагонистичности игры Г, выигрыш игрока
2 равным величине его проигрыша с обратным знаком, функцию
-Н(х, у) называют функцией выигрыша игрока 2.
Поскольку число возможных действий каждого из игроков
конечно, то значения функции Н естественно представить в виде
матрицы с элементами Н(i, j), в i-ой строке которой последовательно расположены выигрыши игрока i в ситуациях (i, 1), (i, 2),
(i, n), а в столбце j – его выигрыши в ситуациях (1, j), (2, j), , (m,
j).
Таким образом, всякую конечную антагонистическую игру
можно задать вещественной матрицей, которая называется матрицей выигрыша. В этой терминологии конечная антагонистическая игра называется матричной, выбор игроком 1 стратегии i
означает выбор строки i, а выбор игроком 2 стратегии j – выбор
столбца j. Выигрыш игрока i будет при этом равен элементу матрицы H, стоящему на пересечении i-ой строки и j-го столбца.
Если игрок 1 выбирает стратегию х* из Х, то игрок 2 может
выбрать такую стратегию у из Y, при которой выигрыш игрока 1
будет равен наименьшему из чисел Н(х*, у) при различных у из Y.
Поэтому игрок 1 будет склонен выбрать свою стратегию х* так,
чтобы этот минимальный выигрыш был наибольшим, т.е. равным
max min H(x, y) = v(Г).
(6.24)
x y
Величину v(Г) будем называть нижним значением игры Г = ‹X, Y,
H›. Такую стратегию игрока 1 называют его максимальной чистой
стратегией. Применяя эту стратегию, игрок 1 при любом поведении
игрока 2 обеспечивает себе выигрыш, не меньший чем v(Г).
Это можно записать в виде неравенства:
H(x*, y) v(Г) для любого у из Y.
Аналогично стратегия у*, определяемая из равенства
197
(6.25)
(6.26
max min H(x, y) = w(Г),
x y
называется минимаксной чистой стратегией игрока 2.
Применяя ее, он при любых действиях игрока 1 проигрывает
ему не больше w(Г), что соответствует неравенству
Н(х, у*) w(Г) для любого х из Х.
(6.27)
Величина w(Г) – верхнее значение игры Г = ‹X, Y, H›.
Для любых х и у из Х и Y соответственно имеем:
v(Г) Н(x, у) w(Г).
(6.28)
Придерживаясь стратегии х*, игрок 1 поступает очень осторожно: он желает получить величину v(Г) независимо от действия игрока 2. Принцип, по которому он следует, называется
принцип максимина. При этом гарантированный выигрыш игрока 1 как раз равен величине max min H(x, y).
При этом проигрыш второго игрока 2 не превосходит W(Г)
при любых действиях игрока 1.
Принцип максимина был впервые сформулирован Дж. фон
Нейманом в 1928 году. Это принцип широко используется в теории игр.
Ситуация, когда v(Г) = w(Г) при некоторой стратегии (х*,
у*) обоих игроков, называется ситуацией равновесия в чистых
стратегиях.
Для нахождения ситуации равновесия (седловых точек) вначале определяют минимумы элементов матрицы выигрышей Н =
hijпо строкам: min hij, min h2j, …, min hmj, а затем среди этих
элементов выбирается максимальный max min hij.
Общее значение максимина и минимакса будем называть
матричной игрой с матрицей выигрышей Н.
Если ситуация равновесия в чистых стратегиях отсутствует,
то игрок может ввести случайную величину на множестве чистых
стратегий, т.е. функцию на этом множестве. Это будет вещественная функция Х = Х(х), для которой Х(х) 0 и X(x) = 1. Такие стратегии называются смешанными.
198
ТЕОРЕМА
В смешанных стратегиях любая матричная игра имеет ситуацию равновесия. В результате каждый игрок имеет хотя бы
одну оптимальную стратегию, а множество всех ситуаций равновесия является прямым произведением множества оптимальных
стратегий первого игрока и множества оптимальных стратегий
второго игрока. Множество оптимальных стратегий первого игрока равно множеству его максиминных стратегий, а множество
оптимальных стратегий второго игрока – множеству его минимаксных стратегий в игре Г. Выигрыши во всех ситуациях равновесия одинаковы и равны значению игры.
ПРИМЕР
Фирма планирует выпуск трех видов изделий в количестве
X, Y, Z общим числом N.
Cебестоимость каждого изделия примерно одинаковая и
равна а. В зависимости от ситуации на рынке рентабельность по
каждому виду продукции равна:
Ситуация
Рентабельность по каждому виду продукции
на рынке
Х
Y
Z
1-я ситуация
x1
y1
z1
2-я ситуация
x2
y2
z2
3-я ситуация
x3
y3
z3
Определить такое количество каждого из изделий X, Y, Z,
которое способно обеспечить прибыль независимо от ситуации
на рынке.
Решение.
Оптимальную стратегию (X*, Y*, Z*) определяем в результате решения неравенств
a(xiX + yiY + ziZ) U (i = 1, 2, 3)
X + Y + Z = N,
где U – цена игры, а - себестоимость единицы любого изделия.
199
Очевидно, что фирма, выбрав выпуск изделий в количестве X, Y,
Z, получит при любой ситуации на рынке прибыль не менее U.
Решение неравенств (14.18) позволяет определить оптимальную
стратегию:
X* =
w1 v 2 w 2 u 2
,
u1 v 2 u 2 v1
Y* =
w1 v1 w 2 u1
,
u 2 v1 u1 v 2
Z* = N – X* - Y*,
где
u1 = x1 + z3 – z1 – x3,
u2 = y1 + z3 – z1 – y3,
v1 = x2 + z3 – z2 – x3,
v2 = y2 + z3 – z2 – y3,
w1 = N(z3 – z1),
w2 = N(z3 – z2).
Тогда обеспеченная прибыль от реализации изделий равна:
U* = (xiX* + yiY* + ziZ*)a.
Для любого i = 1, 2, 3.
Пусть планируется выпуск N = 10000 изделий трех видов в
количестве X, Y и Z соответственно. Рентабельность по каждому
виду в зависимости от ситуации на рынке равна x1 = 0,1; x2 = 0,2;
x3 = 0,3; y1 = 0,2; y2 = 0,3; y3 = 0,1; z1 = 0,3; z2 = 0,1; z3 = 0,2. В результате решения системы (4.18) получаем, что оптимальная стратегия соответствует следующим значениям: Х* = 3333; Y* = 5000; Z*
= 1667 изделиям.
Гарантированная прибыль при любой ситуации на рынке равна: U = 1833a (ден. един.).
200
Приложение 1
201
Приложение 2
n\α
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0,95
2,78
2,59
2,45
2,37
2,31
2,26
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,11
2,10
Таблица значений tα = t(α, n)
0,99
0,999
n\α
0,95
4,60
8,61
20
2,093
4,03
6,86
25
2,064
3,71
5,96
30
2,045
3,50
5,41
35
2,032
2,36
5,04
40
2,023
3,25
4,78
45
2,016
3,17
4,59
50
2,009
3,11
4,44
60
2,001
3,06
4,32
70
1,996
3,01
4,22
80
1,001
2,98
4,14
90
1,987
2,95
4,07
100
1,984
2,92
4,02
120
1,980
2,90
3,97
∞
1,960
2,88
3,92
202
0,99
2,861
2,797
2,756
2,720
2,708
2,692
2,679
2,662
2,649
2,640
2,633
2,627
2,617
2,576
0,999
3,883
3,745
3,659
3,600
3,558
3,527
3,502
3,464
3,439
3,418
3,403
3,392
3,374
3,291
Список литературы
1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. I и II: Уч. пособие для студентов вузов. – М.: Высшая школа, 1980.
2. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Математический анализ. – М.: Наука, 1984. – 448 с.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980. – 176 с.
4. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные уравнения и основы вариационного исчисления. - М.: Наука, 1980.
5. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. – М.: Наука, 1988. – 480 с.
6. Носов Н.П. Математика и информатика. Ч. 1. Основы теории
множеств и информационные отношения: Учебное пособие.
– М.: МГИУ, 1997. – 110 с.
7. Носов Н.П. Математика и информатика. Ч. 2. Основы математической логики и теории графов. Вычислительные системы и сети: Учебное пособие. – М.: МГИУ, 1997. – 241 с.
8. Горбатов В.А. Основы дискретной математики: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1986. – 311 с.
9. Нефедов В.Н. Курс дискретной математики: Учебное пособие. – М.: Изд-во МАИ, 1992. – 264 с.
10. Браунли К.А. Статистическая теория и методология в науке и
технике. – М.: Наука, 1977. – 408 с.
11. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Физматгиз,
1988. – 406 с.
12. Вентцель E.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. –М.: Радио и связь, 1983. – 416 с.
13. Горелик В.А., Ушаков И.А. Исследование операций. – М.:
Машиностроение, 1986. – 288 с.
203
Павел Анатольевич Кочетков
КРАТКИЙ КУРС
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Учебное пособие
5-е издание, стереотипное
Редактор З.И. Фадеева, К.В. Шмат
Подписано в печать 09.10.07
Формат бумаги 60 84/16. Изд. № 3-21/04 (07).
Усл. печ. л. 11,75. Уч.-изд. л. 12,5. Тираж 500 (доп).
Заказ № 1064
Издательство МГИУ, 115280, Москва, Автозаводская, 16.
тел. 677-23-15
204
