ìåõàíèêè êîíñòðóêöèé, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ñ àãðåññèâíûìè ñðåäàìè¿: ìàðò 2000, Ñàðà-

ìåõàíèêè êîíñòðóêöèé, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ñ àãðåññèâíûìè ñðåäàìè¿: ìàðò 2000, Ñàðàòîâ. 2000. C. 82-89.
12.
Êîíòàðåâ À,À., Ìàðêóøèí À.Ã., Ñàäîâíè÷àÿ Å.Â.
Ìåòîä äîïîëíèòåëüíûõ äåôîð-
ìàöèé â ðåøåíèè çàäà÷è èñòå÷åíèÿ ñûïó÷åãî òåëà // Ìàòåðèàëû ìåæâóçîâñêîé íàó÷íîé
êîíôåðåíöèè ¾Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû íåëèíåéíîé ìåõàíèêè êîíñòðóêöèé, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ñ àãðåññèâíûìè ñðåäàìè¿: ìàðò 2000, Ñàðàòîâ. 2000. C. 89-102.
13.
Ìàðêóøèí À.Ã.
Ê ðàçðàáîòêå äèíàìè÷åñêîé òåîðèè ñûïó÷åãî òåëà ñ òâåðäûì çåð-
íîì // Àýðîäèíàìèêà. Âûï. 15 (18). Ñàðàòîâ: Èçä. Ñàðàò. óí-òà. 2001. Ñ. 96.
14.
Ìàðêóøèí À.Ã.
Êâàçèñòàòè÷åñêèé ïîäõîä â ðåøåíèè çàäà÷è èñòå÷åíèÿ ñûïó÷åãî
òåëà ñ òâåðäûì çåðíîì // Ìåæâóç. íàó÷í. ñá. ¾Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè ýëåìåíòîâ êîíñòðóêöèé ïîä äåéñòâèåì íàãðóçîê è ðàáî÷èõ ñðåä¿. Ñàðàòîâ: Èçä. ÑÃÒÓ, 2004. Ñ. 136
ÓÄÊ 531.381
531.395
Â.Þ. Îëüøàíñêèé, Ä.Ñ. Ñòåïàíåíêî
ÓÑËÎÂÈß ÑÓÙÅÑÒÂÎÂÀÍÈß ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÎÃÎ
ÈÍÒÅÃÐÀËÀ È ÏÐÈÂÎÄÈÌÎÑÒÜ ÈÇÌÅÍßÅÌÎÉ
ÑÈÑÒÅÌÛ Ñ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÈÌÌÅÒÐÈÅÉ
 ÖÅÍÒÐÀËÜÍÎÌ ÏÎËÅ
Ðàññìàòðèâàåòñÿ äâèæåíèå ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ïîñòîÿííîãî ñîñòàâà
è èçìåíÿåìîé êîíôèãóðàöèè â öåíòðàëüíîì ïîëå. Åñëè ðàçìåðû ñèñòåìû
çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ðàññòîÿíèÿ äî öåíòðà ïîëÿ, òî äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ
ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñèñòåìó [1]
y • = y × x + pg3 × Jg3 , gi• = gi × (x − Ω), i = 1, 2, 3.
(1)
Çäåñü J(t) îïåðàòîð èíåðöèè ñèñòåìû â åå öåíòðå ìàññ, ()• ïðîèçâîäíàÿ
ïî âðåìåíè â ãëàâíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, y = Jx + K , x óãëîâàÿ ñêîðîñòü
ãëàâíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà, K(t) êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò äâèæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ãëàâíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà, g1, g2, g3, Ω îðòû è óãëîâàÿ ñêîðîñòü
îðáèòàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà, Ω = k2g2 + k3g3, p = p(r).
Ïðè èçó÷åíèè äâèæåíèÿ ñèñòåìû èçìåíÿåìîé êîíôèãóðàöèè è ñîñòàâà
áåç äèíàìè÷åñêîé ñèììåòðèè â öåíòðàëüíîì ïîëå ïîëó÷åíû [1] íåîáõîäèìûå
è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ êâàäðàòè÷íîãî èíòåãðàëà. Ïîêàçàíî,
â ÷àñòíîñòè, ÷òî äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà íåîáõîäèìî, ÷òîáû òðàåêòîðèÿ öåíòðà ìàññ íàõîäèëàñü íà ïîâåðõíîñòè íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî â
èíåðöèàëüíîì ïðîñòðàíñòâå êðóãîâîãî êîíóñà ñ âåðøèíîé â öåíòðå ñèëîâîãî
ïîëÿ.
Äëÿ ñëó÷àÿ äèíàìè÷åñêîé ñèììåòðèè A1 = A2 6= A3 (Ai ñîáñòâåííûå
çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà J ) äîêàçàíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà. Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ êâàäðàòè÷íîãî èíòåãðàëà íåîáõîäèìî,
÷òîáû òðàåêòîðèÿ öåíòðà ìàññ íàõîäèëàñü íà ïîâåðõíîñòè êðóãîâîãî êîíóñà ñ âåðøèíîé â öåíòðå ïîëÿ.  ñëó÷àå, êîãäà òðàåêòîðèÿ íå ñîâïàäàåò
126
ñ îáðàçóþùåé êîíóñà è êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò
K
íå êîëèíåàðåí îñè äèíà-
ìè÷åñêîé ñèììåòðèè, ìîæåò ñóùåñòâîâàòü òîëüêî îäèí êâàäðàòè÷íûé
èíòåãðàë ïðè âûïîëíåíèè íåîáõîäèìûõ è äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé:
1) k3 = c1k2, 2) k2 = constp1/2, 3) J = (p0/p)1/2J0,
4) K1 = Kýcos θ, K2 = Kýsin θ, Ký = const,
1/2
.
5) θ• = A−1
3 K3 + const/p
Çäåñü J0 ïîñòîÿííûé â ãëàâíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà îïåðàòîð, Ki êîìïîíåíòû K â ãëàâíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà. Êâàäðàòè÷íûé èíòåãðàë â äàííîì ñëó÷àå
ìîæíî çàïèñàòü â îäíîé èç ôîðì:
p−1/2 [(Jx, x) − 2(Jx + K, Ω) + p(g3 , Jg3 ) + 2θ• A3 x3 + A3 (θ• )2 ] = const; (2)
p−1/2 [A1 (x21 + x22 ) + A3 (x3 + θ• )2 − 2(Jx + K, Ω) + p(g3 , Jg3 )] = const.
Äîêàçàòåëüñòâî.
çàïèñàòü â âèäå
(y, F y)+
3
X
(3)
Ïðîèçâîëüíûé êâàäðàòè÷íûé èíòåãðàë ÎÄÑ ìîæíî
[(gi , Pi gi )+(Qi y, gi )+(ni , gi ))]+(m, y)+h(t)+Σ(Ri gj , gk ) = const.
i=1
(4)
Äèôôåðåíöèðóÿ èíòåãðàë (4) â ñèëó ñèñòåìû (1) ïîëó÷èì òîæäåñòâî,
ïðèâåäåííîå â [1]. Êàê è ïðåæäå (ñì. [1]), ïðîâåðÿåì óòâåðæäåíèå: îïåðàòîðû
P1 , P2 , Ri (i = 1,2,3) ïðîïîðöèîíàëüíû òîæäåñòâåííîìó îïåðàòîðó E , Qi =
νi E , ν1 = 0. Èíòåãðàë (4) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
(y, F y) + (g3 , P3 g3 ) + (y, ν2 g2 + ν3 g3 ) + Σ(ni , gi ) + (m, y) + h = const
(5)
Îñíîâíîå òîæäåñòâî ïðèíèìàåò âèä
(2F y+m, y×x+pg3 ×Jg3 )+pν2 (g1 , Jg3 )+(2P3 g3 +n3 , g3 , x)+k2 (2P3 g3 +n3 , g1 )+
+(n2 , g2 , x)−k3 (n2 , g1 )−(n1 , g1 , x)−k2 (n1 , g3 )+k3 (n1 , g2 )+(ν3 k2 −ν2 k3 )(y, g1 )+
+
(y, F • y) + (g3 , P3• g3 ) + (y, ν2 • g2 + ν3 • g3 ) + Σ(ni • , gi ) + (m• , y) + h• ≡ 0. (6)
Âûäåëÿÿ â òîæäåñòâå ñëàãàåìûå ñ x3, ïîëó÷èì, ÷òî îïåðàòîð F äîëæåí èìåòü
âèä F = ψ1J −1 + ψ2E ; âûäåëÿÿ ñëàãàåìûå ñ xg32, ïîëó÷èì, ÷òî îïåðàòîð P3
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå P3 = p(ψ1J − ψ2A1A2A3J −1). Àíàëèç ÷ëåíîâ ñ
g3 2 ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè ïîñòîÿíñòâà îïåðàòîðà P3 â áàçèñå E3 è ïðåäñòàâëåíèþ ïàðàìåòðà m â âèäå m = −2F K + λe3. Ñëàãàåìûå â òîæäåñòâå
127
g1 g3 , îáðàùàþòñÿ â íîëü òîëüêî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé
ν2 = −2k2 ψ1 , k2 ψ2 = 0. Òðåáóÿ îáðàùåíèÿ â íîëü ñâîáîäíîãî ÷ëåíà â òîæäå(6), ñîäåðæàùèå
ñòâå (6), ïîêàæåì, ÷òî ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå
(y, F y) + (m, y) + h(t) = (Jx, F Jx) + λA3 x3 +
Zt
λK3• dξ + const.
(7)
0
Àíàëèç ñëàãàåìûõ ñ
gi x
ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè óñëîâèé
n1 = 0, k3 ν2 = k2 ν3 , n2 = 0, n3 = 0, ν2• = 0, ν3• = 0.
k2 ≡ 0 ñîîòâåòñòâóåò äâèæåíèþ öåíòðà ìàññ ïî ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé
öåíòð ïîëÿ, èñêëþ÷àÿ çäåñü ýòîò ñëó÷àé, ïðè k2 6= 0 ïîëó÷èì
Ñëó÷àé
÷åðåç
νi = −2ki ψ1 , ki ψ1 = const, i = 2, 3, k3 = c1 k2 .
Îòñþäà ñëåäóåò (ñì. [1]), ÷òî
Ω = k2 a, (a)•0 = 0 è òðàåêòîðèÿ öåíòðà ìàññ
äîëæíà íàõîäèòüñÿ íà êðóãîâîì êîíóñå. Òîæäåñòâî (6) ïðè ó÷åòå ïîëó÷åííûõ
óñëîâèé çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
(y, (ψ1 J −1 )• y) + λ(K, x, e3 ) + ((−2ψ1 J −1 K + λe3 )• , y) + h• ≡ 0.
Âûäåëèâ ñëàãàåìûå ñ
x2 ,
(8)
ïîëó÷èì óñëîâèÿ
ψ1 = c2 p−1/2 , J = (p0 /p)1/2 J0 , k2 = constp1/2 .
λ• A3 = 2ψ1 K3• ,
λK2 + 2ψ1 K1• = 0, λK1 − 2ψ1 K2• = 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî (K1 )2 + (K2 )2 =
(Ký )2 = const è ìîæíî ïîëîæèòü K1 = Ký cosθ, K2 = Ký sinθ. Ïðè Ký 6= 0
Ïðèðàâíèâàÿ íóëþ ñëàãàåìûå ñ
x,
ïîëó÷èì óñëîâèÿ
ïîëó÷àåì óñëîâèå 5 òåîðåìû. Ñâîáîäíûé ÷ëåí â òîæäåñòâå (8) îáðàùàåòñÿ â
íîëü. Ïóñòü
Zt
0
Ký 6= 0,
λK3• dξ =
Zt
òîãäà
λλ• /(2ψ1 )A3 dξ =
0
= A3 /(4ψ1 )
Zt
(λ• )2 dξ = A3 λ2 /(4ψ1 ) + C = A3 ψ1 (θ• )2 + C.
(10)
0
Èíòåãðàë (5) ïðè ó÷åòå ïðåäñòàâëåíèÿ (7) òåïåðü ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
îäíîé èç ôîðì (2) èëè (3). Òåîðåìà äîêàçàíà.
Îòìåòèì, ÷òî ïåðåõîäÿ ê ïåðåìåííûì
dτ = p1/2 dt, x = p1/2 z ,
ñèñòåìó (1)
ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó
dy/dτ = y × z + (p0 )1/2 g3 × J0 g3 , dgi /dτ = gi × (x − Ωa ),
128
Ωa = c3 (g2 + c1 g3 ), i = 1, 2, 3
(9)
Çäåñü y = Jx + K = (p0)1/2J0z + K , è ïðè K = const ñèñòåìà (9) ñòàíîâèòñÿ àâòîíîìíîé [2-4].
ÁÈÁËÈÎÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÈÉ ÑÏÈÑÎÊ
1.
Êâàäðàòè÷íûå èíòåãðàëû è ïðèâîäèìîñòü óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñëîæíîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû â öåíòðàëüíîì ïîëå // Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è
ìåõàíèêà. Ò.65, âûï. 1. 2001. Ñ. 36-50.
2.
Rotation kring en x punkt. Ofversigt of Kongl Svenska Vetenskaps Akademiens Vorhandlingar. Stookholm. 1893.
3.
Sur le probleme de la rotation d un corps autour d un point xe. Bulletin de
la Societe Mathematique. 1895. V. 23.
4.
Î äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè â öåíòðàëüíîì íüþòîíîâñêîì ïîëå ñèë. Èçâ. Ñèáèð. îòä. ÀÍ ÑÑÑÐ. 1959. 6.
Îëüøàíñêèé Â.Þ.
F.de Brun.
Koob G.
Õàðëàìîâà Å.È.
ÓÄÊ 629
È.À. Ïàíêðàòîâ, Þ. Í. ×åëíîêîâ
Ê ÇÀÄÀ×Å ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÉ Â ÑÌÛÑËÅ
ÁÛÑÒÐÎÄÅÉÑÒÂÈß ÏÅÐÅÎÐÈÅÍÒÀÖÈÈ ÊÐÓÃÎÂÎÉ
ÎÐÁÈÒÛ ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÀÏÏÀÐÀÒÀ
 [1] áûëî ïîêàçàíî, ÷òî â ñëó÷àå ïåðåîðèåíòàöèè êðóãîâîé îðáèòû êîñìè÷åñêîãî àïïàðàòà (ÊÀ) èñõîäíàÿ äèôôåðåíöèàëüíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, èìåþùàÿ ðàçìåðíîñòü, ðàâíóþ 10, ìîæåò áûòü ñâåäåíà
( â ñëó÷àå áûñòðîäåéñòâèÿ ) ê êðàåâîé çàäà÷å ðàçìåðíîñòè 3, îïèñûâàåìîé
äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ëèíèè ïåðåêëþ÷åíèÿ
dν2
dν3
dν1
= ν2 ,
= −ν1 + κν3 ,
= −κν2 ,
dϕ
dϕ
dϕ
(1)
ãäå κ = rc u, r = por = const.
 óðàâíåíèÿõ (1) r ìîäóëü ðàäèóñà-âåêòîðà r öåíòðà ìàññ ÊÀ, c ïîñòîÿííàÿ ïëîùàäåé, ϕ èñòèííàÿ àíîìàëèÿ, por ïàðàìåòð îðáèòû,
óïðàâëåíèå u àëãåáðàè÷åñêàÿ âåëè÷èíà ðåàêòèâíîãî óñêîðåíèÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ïëîñêîñòè îðáèòû ÊÀ (−umax ≤ u ≤ umax); νj ïåðåìåííûå,
ñâÿçàííûå ñ ôàçîâîé êâàòåðíèîíííîé ïåðåìåííîé λ è ñîïðÿæ¼ííîé êâàòåðíèîííîé ïåðåìåííîé µ ñîîòíîøåíèåì ν = vect(λ̃ ◦ µ).
Òàê êàê ïåðåìåííûå νk , k = 1, 2, 3 åñòü ôóíêöèè ñîïðÿæ¼ííûõ ïåðåìåííûõ, òî èõ íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ νk0 íåèçâåñòíû. Äëÿ èõ íàõîæäåíèÿ áûëî
ïðîàíàëèçèðîâàíî àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå ñèñòåìû (1) íà ðàçëè÷íûõ ó÷àñòêàõ óïðàâëÿåìîãî äâèæåíèÿ. Áûë íàéäåí ïåðèîä T ôóíêöèè ïåðåêëþ÷åíèÿ
óïðàâëåíèÿ:
2
T = 2[π ± 2 arcsin(−D/a)]/k,
129