Сложность пропозициональных доказательств

Ñëîæíîñòü ïðîïîçèöèîíàëüíûõ äîêàçàòåëüñòâ
Ýäóàðä Àëåêñååâè÷ Ãèðø
http://logic.pdmi.ras.ru/~hirsch
ÏÎÌÈ ÐÀÍ
7 îêòÿáðÿ 2010 ã.
1/7
Íåïåðåñåêàþùèåñÿ
I
I
NP-ïàðû
Ïàðà (A, B ) ìíîæåñòâ A, B ∈ NP ò.÷.
A ∩ B = ∅.
Çàäà÷à ðàçäåëèòü A è B :
ïî x ðåøèòü, ÷òî âåðíî: x ∈ A èëè x ∈ B
(åñëè íè òî, íè äðóãîå, îòâåòèòü ÷òî óãîäíî).
2/7
Íåïåðåñåêàþùèåñÿ
I
I
I
NP-ïàðû
Ïàðà (A, B ) ìíîæåñòâ A, B ∈ NP ò.÷.
A ∩ B = ∅.
Çàäà÷à ðàçäåëèòü A è B :
ïî x ðåøèòü, ÷òî âåðíî: x ∈ A èëè x ∈ B
(åñëè íè òî, íè äðóãîå, îòâåòèòü ÷òî óãîäíî).
Åñëè
A = B , ýòî âîïðîñ î ÿçûêå èç NP ∩ co -NP.
2/7
Íåïåðåñåêàþùèåñÿ
I
I
NP-ïàðû
Ïàðà (A, B ) ìíîæåñòâ A, B ∈ NP ò.÷.
A ∩ B = ∅.
Çàäà÷à ðàçäåëèòü A è B :
ïî x ðåøèòü, ÷òî âåðíî: x ∈ A èëè x ∈ B
(åñëè íè òî, íè äðóãîå, îòâåòèòü ÷òî óãîäíî).
I
A = B , ýòî âîïðîñ î ÿçûêå èç NP ∩ co -NP.
Ñâåäåíèå (A, B ) → (C , D ):
ïîëèíîìèàëüíî âû÷èñëèìàÿ f , ò.÷. f (A) ⊆ C , f (B ) ⊆ D .
I
∃ ïîëíûå ïàðû?..
I
Åñëè
2/7
Íåïåðåñåêàþùèåñÿ
I
I
NP-ïàðû
Ïàðà (A, B ) ìíîæåñòâ A, B ∈ NP ò.÷.
A ∩ B = ∅.
Çàäà÷à ðàçäåëèòü A è B :
ïî x ðåøèòü, ÷òî âåðíî: x ∈ A èëè x ∈ B
(åñëè íè òî, íè äðóãîå, îòâåòèòü ÷òî óãîäíî).
I
A = B , ýòî âîïðîñ î ÿçûêå èç NP ∩ co -NP.
Ñâåäåíèå (A, B ) → (C , D ):
ïîëèíîìèàëüíî âû÷èñëèìàÿ f , ò.÷. f (A) ⊆ C , f (B ) ⊆ D .
I
∃ ïîëíûå ïàðû?..
I
I
Åñëè
∃ ïîëíàÿ =⇒ ∃ ïîëíàÿ (A, B ) ñ
NP-ïîëíûìè
A, B .
2/7
Îòêóäà áåðóòñÿ
Ïðèìåð (
NP-ïàðû
NP-ïàðà êðèïòîñèñòåìû)
A = {êîäû 0},
B = {êîäû 1}.
Íå äîëæíà áûòü ðàçäåëèìà çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ!
3/7
Îòêóäà áåðóòñÿ
Ïðèìåð (
NP-ïàðû
NP-ïàðà êðèïòîñèñòåìû)
A = {êîäû 0},
B = {êîäû 1}.
Íå äîëæíà áûòü ðàçäåëèìà çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ!
Ïðèìåð (Êàíîíè÷åñêàÿ
NP-ïàðà. . . )
. . . äëÿ ñèñòåìû äîê-â Π äëÿ SAT.
SAT∗ = {(F , 1t ) | F ∈ SAT},
REFΠ = {(F , 1t ) | F ∈ SAT, ∃ Π-äîê-âî ðàçìåðà ≤ t äëÿ
F }.
3/7
Îòêóäà áåðóòñÿ
Ïðèìåð (
NP-ïàðû
NP-ïàðà êðèïòîñèñòåìû)
A = {êîäû 0},
B = {êîäû 1}.
Íå äîëæíà áûòü ðàçäåëèìà çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ!
Ïðèìåð (Êàíîíè÷åñêàÿ
NP-ïàðà. . . )
. . . äëÿ ñèñòåìû äîê-â Π äëÿ SAT.
SAT∗ = {(F , 1t ) | F ∈ SAT},
REFΠ = {(F , 1t ) | F ∈ SAT, ∃ Π-äîê-âî ðàçìåðà ≤ t äëÿ
Ðàçäåëèìîñòü ñëàáàÿ àâòîìàòèçèðóåìîñòü!
F }.
Îïðåäåëåíèå
Π àâòîìàòèçèðóåìà, åñëè äîê-âà ìîæíî íàéòè çà ïîëèíîìèàëüíîå
âðåìÿ îò äëèíû êðàò÷àéøåãî.
Π ñëàáî àâòîìàòèçèðóåìà, åñëè Π0 àâòîìàòèçèðóåìà, ãäå Π0 ≤ Π.
3/7
Ìîäåëèðîâàíèå ñèñòåì vs ñâîäèìîñòü
NP-ïàð
Òåîðåìà
S ≤W
=⇒ (SAT∗ , REFW ) → (SAT∗ , REFS ).
4/7
Ìîäåëèðîâàíèå ñèñòåì vs ñâîäèìîñòü
NP-ïàð
Òåîðåìà
S ≤W
=⇒ (SAT∗ , REFW ) → (SAT∗ , REFS ).
Êàíîíè÷åñêàÿ
NP-ïàðà
îïò. ñèñòåìû äîê-â ïîëíàÿ.
4/7
Ìîäåëèðîâàíèå ñèñòåì vs ñâîäèìîñòü
NP-ïàð
Òåîðåìà
S ≤W
=⇒ (SAT∗ , REFW ) → (SAT∗ , REFS ).
Êàíîíè÷åñêàÿ
I
I
NP-ïàðà
îïò. ñèñòåìû äîê-â ïîëíàÿ.
Ðàññìîòðèì (F , 1t ) ∈ REFW .
Íàäî èç (F , 1t ), ò.å. åñòü Π1 -äîê-âî ðàçìåðà ≤ t ñäåëàòü (F , 1s ), ò.å. åñòü Π2 -äîê-âî ðàçìåðà ≤ s .
4/7
Ìîäåëèðîâàíèå ñèñòåì vs ñâîäèìîñòü
NP-ïàð
Òåîðåìà
S ≤W
=⇒ (SAT∗ , REFW ) → (SAT∗ , REFS ).
Êàíîíè÷åñêàÿ
I
I
I
NP-ïàðà
îïò. ñèñòåìû äîê-â ïîëíàÿ.
Ðàññìîòðèì (F , 1t ) ∈ REFW .
Íàäî èç (F , 1t ), ò.å. åñòü Π1 -äîê-âî ðàçìåðà ≤ t ñäåëàòü (F , 1s ), ò.å. åñòü Π2 -äîê-âî ðàçìåðà ≤ s .
S ≤ W =⇒ s ïîëèíîìèàëüíî îò t .
Ýòîò ïîëèíîì p è èñïîëüçóåì: (F , 1t ) → (F , 1p(t ) ).
4/7
Ìîäåëèðîâàíèå ñèñòåì vs ñâîäèìîñòü
NP-ïàð
Òåîðåìà
S ≤W
=⇒ (SAT∗ , REFW ) → (SAT∗ , REFS ).
Êàíîíè÷åñêàÿ
I
I
I
I
NP-ïàðà
îïò. ñèñòåìû äîê-â ïîëíàÿ.
Ðàññìîòðèì (F , 1t ) ∈ REFW .
Íàäî èç (F , 1t ), ò.å. åñòü Π1 -äîê-âî ðàçìåðà ≤ t ñäåëàòü (F , 1s ), ò.å. åñòü Π2 -äîê-âî ðàçìåðà ≤ s .
S ≤ W =⇒ s ïîëèíîìèàëüíî îò t .
Ýòîò ïîëèíîì p è èñïîëüçóåì: (F , 1t ) → (F , 1p(t ) ).
Äëÿ (F , 1t ) ∈ SAT∗ èçìåíåíèÿ â 1... íåñóùåñòâåííû.
4/7
Ìîäåëèðîâàíèå ñèñòåì vs ñâîäèìîñòü
NP-ïàð
Òåîðåìà
S ≤W
=⇒ (SAT∗ , REFW ) → (SAT∗ , REFS ).
Êàíîíè÷åñêàÿ
I
I
I
I
NP-ïàðà
îïò. ñèñòåìû äîê-â ïîëíàÿ.
Ðàññìîòðèì (F , 1t ) ∈ REFW .
Íàäî èç (F , 1t ), ò.å. åñòü Π1 -äîê-âî ðàçìåðà ≤ t ñäåëàòü (F , 1s ), ò.å. åñòü Π2 -äîê-âî ðàçìåðà ≤ s .
S ≤ W =⇒ s ïîëèíîìèàëüíî îò t .
Ýòîò ïîëèíîì p è èñïîëüçóåì: (F , 1t ) → (F , 1p(t ) ).
Äëÿ (F , 1t ) ∈ SAT∗ èçìåíåíèÿ â 1... íåñóùåñòâåííû.
Çàìå÷àíèå
Îáðàòíîé èìïëèêàöèè íåò (êîíòðïðèìåð!).
4/7
Ìîäåëèðîâàíèå ñèñòåì vs ñâîäèìîñòü
NP-ïàð
Òåîðåìà
S ≤W
=⇒ (SAT∗ , REFW ) → (SAT∗ , REFS ).
Êàíîíè÷åñêàÿ
I
I
I
I
NP-ïàðà
îïò. ñèñòåìû äîê-â ïîëíàÿ.
Ðàññìîòðèì (F , 1t ) ∈ REFW .
Íàäî èç (F , 1t ), ò.å. åñòü Π1 -äîê-âî ðàçìåðà ≤ t ñäåëàòü (F , 1s ), ò.å. åñòü Π2 -äîê-âî ðàçìåðà ≤ s .
S ≤ W =⇒ s ïîëèíîìèàëüíî îò t .
Ýòîò ïîëèíîì p è èñïîëüçóåì: (F , 1t ) → (F , 1p(t ) ).
Äëÿ (F , 1t ) ∈ SAT∗ èçìåíåíèÿ â 1... íåñóùåñòâåííû.
Çàìå÷àíèå
Îáðàòíîé èìïëèêàöèè íåò (êîíòðïðèìåð!).
CP2 = CP + {ax ,y = x ∧ y | äëÿ êàæäîé ïàðû
ñòàðûõ ïåðåìåííûõ x , y }
4/7
Òàâòîëîãèè î ðàñêðàñêå ãðàôà ñ êëèêîé
Â
G
íåò
n êëèêè
∨
G
íå ðàñêðàøèâàåì â
n − 1 öâåò,
5/7
Òàâòîëîãèè î ðàñêðàñêå ãðàôà ñ êëèêîé
íå ðàñêðàøèâàåì â n − 1 öâåò,
q
r
ò.å. 6 ∃ äâóõ ãîìîìîðôèçìîâ Kn −→ G −→ Kn−1 .
Â
G
íåò
n êëèêè
∨
G
5/7
Òàâòîëîãèè î ðàñêðàñêå ãðàôà ñ êëèêîé
Â
G
íå ðàñêðàøèâàåì â n − 1 öâåò,
q
r
ò.å. 6 ∃ äâóõ ãîìîìîðôèçìîâ Kn −→ G −→ Kn−1 .
G
= (V , E ),
I
I
I
I
I
I
íåò
n êëèêè
∨
G
|V | = m,
pij ≡ ({i , j } ∈ E ).
Pn
Êàæäàÿ âåðøèíà êëèêè îòïðàâëåíà â ãðàô:
i =1 qki ≥ 1.
Pm
. . . íà ñâî¼ ïåðñîíàëüíîå ìåñòî:
k =1 qki ≤ 1.
Pn
. . . è òîëüêî íà îäíî:
i =1 qki ≤ 1.
Ìåæäó äâóìÿ âåðøèíàìè êëèêè åñòü ðåáðî:
qki + qk 0 ,j ≤ pij + 1
(k 6= k 0 ,
Pm−1
Êàæäàÿ âåðøèíà ïîêðàøåíà:
`=1 ri ` ≥ 1.
Êîððåêòíîñòü ðàñêðàñêè: pij + ri ` + rj ` ≤ 2
(i < j ).
i < j ).
5/7
Òàâòîëîãèè î ðàñêðàñêå ãðàôà ñ êëèêîé
Â
G
íå ðàñêðàøèâàåì â n − 1 öâåò,
q
r
ò.å. 6 ∃ äâóõ ãîìîìîðôèçìîâ Kn −→ G −→ Kn−1 .
G
= (V , E ),
I
I
I
I
I
I
íåò
n êëèêè
∨
G
|V | = m,
pij ≡ ({i , j } ∈ E ).
Pn
Êàæäàÿ âåðøèíà êëèêè îòïðàâëåíà â ãðàô:
i =1 qki ≥ 1.
Pm
. . . íà ñâî¼ ïåðñîíàëüíîå ìåñòî:
k =1 qki ≤ 1.
Pn
. . . è òîëüêî íà îäíî:
i =1 qki ≤ 1.
Ìåæäó äâóìÿ âåðøèíàìè êëèêè åñòü ðåáðî:
qki + qk 0 ,j ≤ pij + 1
(k 6= k 0 ,
Pm−1
Êàæäàÿ âåðøèíà ïîêðàøåíà:
`=1 ri ` ≥ 1.
Êîððåêòíîñòü ðàñêðàñêè: pij + ri ` + rj ` ≤ 2
(i < j ).
Êîìïîçèöèÿ
qèr
i < j ).
ïðèíöèï Äèðèõëå!
5/7
Èíòåðïîëÿöèîííàÿ òåîðåìà (Craig)
Ïðîïîçèöèîíàëüíûé ñëó÷àé
Òåîðåìà
Åñëè A(~x , ~y ) ⊃ B (~x ,~z ), òî ìîæíî ïîñòðîèòü
A(~x , ~y ) ⊃ C (~x ) è C (~x ) ⊃ B (~x ,~z ).
Ðàçìåð
C
C (~x ), ò.÷.
â îáùåì ñëó÷àå ýêñïîíåíöèàëåí!
6/7
Èíòåðïîëÿöèîííàÿ
NP ïàðà
Îïðåäåëåíèå
Ib = {(F0 , F1 , π) | Vars(F0 ) ∩ Vars(F1 ) = ∅,
Π(F0 ∨ F1 , π) = 1,
Fb 6∈ TAUT}.
Ìîæíî ëè ïîëèíîìèàëüíî ðàçäåëèòü (I0 , I1 )?
7/7
Èíòåðïîëÿöèîííàÿ
NP ïàðà
Îïðåäåëåíèå
Ib = {(F0 , F1 , π) | Vars(F0 ) ∩ Vars(F1 ) = ∅,
Π(F0 ∨ F1 , π) = 1,
Ìîæíî ëè ïîëèíîìèàëüíî ðàçäåëèòü (I0 , I1 )?
Ìîæíî ëè ïî äîê-âó G0 (~x , ~y ) ∨ G1 (~x ,~z ) ïîñòðîèòü ñõåìó
Fb 6∈ TAUT}.
C : GC (~x ) ∈ TAUT?
7/7
Èíòåðïîëÿöèîííàÿ
NP ïàðà
Îïðåäåëåíèå
Ib = {(F0 , F1 , π) | Vars(F0 ) ∩ Vars(F1 ) = ∅,
Π(F0 ∨ F1 , π) = 1,
Ìîæíî ëè ïîëèíîìèàëüíî ðàçäåëèòü (I0 , I1 )?
Ìîæíî ëè ïî äîê-âó G0 (~x , ~y ) ∨ G1 (~x ,~z ) ïîñòðîèòü ñõåìó
Fb 6∈ TAUT}.
C : GC (~x ) ∈ TAUT?
Îïðåäåëåíèå
Reection property: ïîëèíîìèàëüíûå äîêàçàòåëüñòâà äëÿ
Π(F , π) 6= 1
ãäå ôîðìóëà F , äîê-âî π , íàáîð
ïåðåìåííûõ íóæíîé äëèíû.
∨
F [A] 6= 1,
A çàäàíû âåêòîðàìè áóëåâûõ
Reection =⇒ (I0 , I1 ) ∼ (SAT∗ , REFΠ ).
7/7