СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ КОДИРОВАНИß, КРИПТОЛОГИИ
advertisement
ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ ÐÔ
ÍÎÂÎÑÈÁÈÐÑÊÈÉ ÍÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÉ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÑÊÈÉ
ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ
ÔÀÊÓËÜÒÅÒ ÈÍÔÎÐÌÀÖÈÎÍÍÛÕ ÒÅÕÍÎËÎÃÈÉ
Ô. È. Ñîëîâüåâà, À. Â. Ëîñü, È. Þ. Ìîãèëüíûõ
ÑÁÎÐÍÈÊ ÇÀÄÀ×
ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÊÎÄÈÐÎÂÀÍÈß, ÊÐÈÏÒÎËÎÃÈÈ
È ÑÆÀÒÈÞ ÄÀÍÍÛÕ
Ó÷åáíîå ïîñîáèå
Íîâîñèáèðñê
2013
ÓÄÊ 519.725(075)
ÁÁÊ ç-811.4 ÿ 73-1
Ñ 603
Ñîëîâüåâà Ô. È., Ëîñü À. Â., Ìîãèëüíûõ È. Þ. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî òåîðèè
êîäèðîâàíèÿ, êðèïòîëîãèè è ñæàòèþ äàííûõ: Ó÷åáíîå ïîñîáèå / Íîâîñèá. ãîñ. óí-ò.
Íîâîñèáèðñê, 2013. 100 ñ.
ISBN 978-5-4437-0184-4
 èçäàíèè ñèñòåìàòè÷åñêè èçëîæåíû çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ïî âñåì ðàçäåëàì òåîðèè èíôîðìàöèè: ïî òåîðèè êîäèðîâàíèÿ, êðèïòîëîãèè è ñæàòèþ äàííûõ. Íàñòîÿùàÿ ðàçðàáîòêà îòðàæàåò è äîïîëíÿåò ñîäåðæàíèå ñåðèé êóðñîâ ëåêöèé, ÷èòàåìûõ
àâòîðàìè â êà÷åñòâå îñíîâíûõ è ñïåöèàëüíûõ êóðñîâ íà ôàêóëüòåòå èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé è ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîì ôàêóëüòåòå Íîâîñèáèðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà.  ó÷åáíîì ïîñîáèè ìåòîäè÷åñêè ïðîäóìàíû âñå ðàçäåëû,
èíôîðìàöèÿ ïî èçó÷åíèþ ïðåäìåòà ïîäàåòñÿ îò ïðîñòîãî ê ñëîæíîìó: ïðèâåäåíû
êàê çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ, ïðåäíàçíà÷åííûå äëÿ ïåðâîíà÷àëüíîãî îçíàêîìëåíèÿ ñ
ïðåäìåòàìè òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ, êðèïòîëîãèÿ è ñæàòèå äàííûõ, òàê è çàäà÷è äëÿ
óãëóáëåííîãî èçó÷åíèÿ òåîðèè èíôîðìàöèè. Âî ìíîãèõ ðàçäåëàõ òàêæå ïðèâåäåíû
íåðåøåííûå ïðîáëåìû, èññëåäîâàíèå êîòîðûõ ïîçâîëèò ñòóäåíòàì íà÷àòü ñïåöèàëèçàöèþ è èçó÷åíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ íàïðàâëåíèé ïåðåäîâîé ñîâðåìåííîé íàóêè òåîðèÿ èíôîðìàöèè. Ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ íàçâàííûõ âûøå ôàêóëüòåòîâ Íîâîñèáèðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà, à òàêæå ìîæåò áûòü ïîëåçíî ñòóäåíòàì
äðóãèõ âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé Ðîññèè.
Äàííîå èçäàíèå ïîäãîòîâëåíî â ðàìêàõ ðåàëèçàöèè Ìåðîïðèÿòèÿ 1 Ïðîãðàììû
ðàçâèòèÿ ÍÈÓ-ÍÃÓ íà 20092018 ãîäû, íàöåëåííîãî íà ñîâåðøåíñòâîâàíèå îáðàçîâàòåëüíûõ òåõíîëîãèé, ñâÿçàííûõ ñ òàêèìè òåìàòèêàìè, êàê ¾Òåõíîëîãèè îáðàáîòêè, õðàíåíèÿ, ïåðåäà÷è è çàùèòû èíôîðìàöèè; Äèñêðåòíàÿ è âû÷èñëèòåëüíàÿ
ìàòåìàòèêà; Òåõíîëîãèè ðàñïðåäåëåííûõ è âûñîêîïðîèçâîäèòåëüíûõ âû÷èñëåíèé è
ñèñòåì¿ íàïðàâëåíèÿ ¾Ìàòåìàòèêà, ôóíäàìåíòàëüíûå îñíîâû èíôîðìàòèêè è
èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè¿.
ISBN 978-5-4437-0184-4
c Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò, 2013
c Ñîëîâüåâà Ô. È., Ëîñü À. Â., Ìîãèëüíûõ È. Þ., 2013
Îãëàâëåíèå
Ââåäåíèå
5
I Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ
6
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Áóëåâ êóá. Ðàññòîÿíèå Õýììèíãà . . . . . . . .
Ëèíåéíûå êîäû . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ãðàíèöû îáúåìîâ êîäîâ . . . . . . . . . . . . . .
Ñîâåðøåííûå êîäû . . . . . . . . . . . . . . . .
Ñïîñîáû ïîñòðîåíèÿ êîäîâ . . . . . . . . . . . .
Äåêîäèðîâàíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ïîëÿ Ãàëóà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí . . . . . . . . . . . . .
Öèêëè÷åñêèå êîäû . . . . . . . . . . . . . . . . .
Êîäû Á×Õ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Áëîê-ñõåìû è êîäû . . . . . . . . . . . . . . . .
Ïðåîáðàçîâàíèå Àäàìàðà. Êîäû Àäàìàðà, êîäû
APN-ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II Êðèïòîëîãèÿ
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Ýëåìåíòû òåîðèè ÷èñåë . . . . . . . . . . .
Êðèïòîñèñòåìà Äèôôè è Õåëëìàíà . . . .
Êðèïòîñèñòåìà Øàìèðà . . . . . . . . . .
Êðèïòîñèñòåìà Ýëü-Ãàìàëÿ . . . . . . . . .
Êðèïòîñèñòåìà RSA . . . . . . . . . . . . .
Êðèïòîñèñòåìà Ìåðêëÿ Õåëëìàíà . . . .
Êðèïòîñèñòåìà íà ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ
Êðèïòîñèñòåìà Ìàê-Ýëèñà . . . . . . . . .
Êðèïòîñèñòåìà Íèäåððàéòåðà . . . . . . .
23.
24.
25.
26.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ýíòðîïèÿ, åå ñâîéñòâà. Òåîðåìà Øåííîíà . . . . . . . . .
Ïðåôèêñíîå è ðàçäåëèìîå êîäèðîâàíèå. Ãðàôû Ìàðêîâà
Îïòèìàëüíîñòü. Êîäû Ôàíî, Õàôôìåíà è Øåííîíà . . .
Àäàïòèâíîå êîäèðîâàíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
III Ñæàòèå äàííûõ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
Ðèäà Ìàëëåðà
. . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
9
13
15
19
20
23
26
28
30
32
35
39
41
41
43
44
45
47
50
52
55
58
60
60
63
65
67
Ðåøåíèÿ, îòâåòû, óêàçàíèÿ
69
Çàêëþ÷åíèå
96
Îòâåòû ïî òåîðèè êîäèðîâàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Îòâåòû ïî êðèïòîëîãèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Îòâåòû ïî ñæàòèþ äàííûõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3
4
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
Îãëàâëåíèå
97
Ââåäåíèå
¾Ñáîðíèê çàäà÷ ïî òåîðèè êîäèðîâàíèÿ, êðèïòîëîãèè è ñæàòèþ äàííûõ¿ ÿâëÿåòñÿ
íîâûì çàäà÷íèêîì. Çàäà÷è, âêëþ÷åííûå â íåãî, ñêîëëåêöèîíèðîâàíû â òå÷åíèå ìíîãèõ ëåò ïðåïîäàâàíèÿ ýòèõ ïðåäìåòîâ â Íîâîñèáèðñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî íà ñåãîäíÿøíèé äåíü íåò ïîäîáíûõ ñîâðåìåííûõ èñòî÷íèêîâ ïî òåîðèè èíôîðìàöèè, ó íåãî îòñóòñòâóþò àíàëîãè êàê äëÿ ñòóäåíòîâ ÍÃÓ, òàê è
äëÿ ñòóäåíòîâ äðóãèõ âóçîâ ñòðàíû. Îñíîâíàÿ öåëü ýòîãî ó÷åáíèêà ñïîñîáñòâîâàòü
óñâîåíèþ êàê ëåêöèîííîãî ìàòåðèàëà, òàê è óïðàæíåíèé è çàäà÷, ðàññìàòðèâàåìûõ
íà ñåìèíàðñêèõ çàíÿòèÿõ ïî ïðåäìåòàì ¾Ââåäåíèå â òåîðèþ êîäèðîâàíèÿ¿ (ÔÈÒ
ÍÃÓ), ¾Òåîðèÿ ïîìåõîóñòîé÷èâîãî êîäèðîâàíèÿ¿, ¾Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû çàùèòû
èíôîðìàöèè¿, ¾Êîäû è ñõåìû¿ (ÌÌÔ ÍÃÓ). Íàñòîÿùèé çàäà÷íèê ïîñëóæèò õîðîøèì ïîäñïîðüåì è äîïîëíåíèåì ñòóäåíòàì ê ó÷åáíîìó ïîñîáèþ Ô. È. Ñîëîâüåâîé
¾Ââåäåíèå â òåîðèþ êîäèðîâàíèÿ¿, ïåðåèçäàííîìó â ÍÃÓ â 2011 ã. Äàííûé ó÷åáíèê áóäåò ñïîñîáñòâîâàòü âûïîëíåíèþ ïîñòàâëåííîé â Ïðîãðàììå ðàçâèòèÿ ÍÃÓ
çàäà÷è íà ñîâåðøåíñòâîâàíèå îáðàçîâàòåëüíûõ òåõíîëîãèé, ñâÿçàííûõ ñ òàêèìè òåìàòèêàìè, êàê ¾òåõíîëîãèè îáðàáîòêè, õðàíåíèÿ, ïåðåäà÷è è çàùèòû èíôîðìàöèè¿
è ¾äèñêðåòíàÿ è âû÷èñëèòåëüíàÿ ìàòåìàòèêà¿.
Ñáîðíèê çàäà÷ ñîñòîèò èç òðåõ ãëàâ òåîðèè êîäèðîâàíèÿ, êðèïòîëîãèè è ñæàòèÿ äàííûõ, êîòîðûå ðàñïîëîæåíû èìåííî â òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Â ïåðâîé
ãëàâå, ïîñâÿùåííîé òåîðèè êîäèðîâàíèÿ, ïðåäñòàâëåíû çàäà÷è ïî ìíîãèì ðàçäåëàì
êëàññè÷åñêîé òåîðèè êîäîâ, êîððåêòèðóþùèõ îøèáêè â êàíàëàõ ñâÿçè ñ øóìàìè.
Îñíîâíûì òåîðåòè÷åñêèì ðóêîâîäñòâîì ïî ïåðâîé ãëàâå ÿâëÿåòñÿ ó÷åáíîå ïîñîáèå
Ô. È. Ñîëîâüåâîé ¾Ââåäåíèå â òåîðèþ êîäèðîâàíèÿ¿. Âî âòîðîé ãëàâå ðàññìîòðåíû
çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñ îñíîâíûìè ìåòîäàìè øèôðîâàíèÿ ñîîáùåíèé çà èñêëþ÷åíèåì
çàäà÷ èç ïîïóëÿðíîãî ðàçäåëà î êðèïòîñèñòåìàõ ñ ñåêðåòíûìè êëþ÷àìè, êîòîðûé
øèðîêî äîñòóïåí â îòêðûòîé ëèòåðàòóðå. È, íàêîíåö, â òðåòüåé ãëàâå ïðåäëîæåíû
çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñî ñâîéñòâàìè ýíòðîïèéíîé ôóíêöèè, çàäà÷è ïî àëôàâèòíîìó êîäèðîâàíèþ, îïòèìàëüíûì êîäàì è àäàïòèâíûì ìåòîäàì êîäèðîâàíèÿ.
Äëÿ óïðàæíåíèé, ïîìå÷åííûõ çíà÷êîì ¾0 ¿, äîñòàòî÷íî íà÷àëüíîãî óðîâíÿ çíàíèé, íåîáõîäèìî çíàòü òîëüêî îïðåäåëåíèÿ. Çàäà÷è, ïîìå÷åííûå çíà÷êîì ¾∗ ¿, òðåáóþò äîñòàòî÷íî ãëóáîêèõ ðàçìûøëåíèé è çíàíèÿ óíèâåðñèòåòñêèõ êóðñîâ àëãåáðû,
òåîðèè ÷èñåë, äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè (ðàçäåë êîìáèíàòîðèêà), òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.
 êàæäîì ðàçäåëå êðàòêî èçëîæåíû îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ, ñâîéñòâà è òåîðåìû,
íåîáõîäèìûå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ è óïðàæíåíèé. Äëÿ óäîáñòâà ïîëüçîâàíèÿ çàäà÷íèêîì ñïèñîê ëèòåðàòóðû ðàçäåëåí íà òðè ÷àñòè ñîãëàñíî èìåþùèìñÿ òðåì ãëàâàì.
Âñå ðåøåíèÿ, îòâåòû è óêàçàíèÿ ê çàäà÷àì ðàñïîëîæåíû â êîíöå ñáîðíèêà çàäà÷ â
ïîðÿäêå ñëåäîâàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ãëàâ è ðàçäåëîâ.
5
Ãëàâà I
Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ
1.
Áóëåâ êóá. Ðàññòîÿíèå Õýììèíãà
• Âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî âñåõ âåêòîðîâ x = (x1 , . . . , xn ) äëèíû n íàä êîíå÷íûì ïîëåì
GF (q) îáîçíà÷àåòñÿ Eqn .  äâîè÷íîì ñëó÷àå q áóäåì îïóñêàòü.
• Ðàññòîÿíèå Õýììèíãà d(x, y) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ÷èñëî êîîðäèíàò, â êîòîðûõ ðàçëè÷àþòñÿ
n
P
âåêòîðû x è y .  äâîè÷íîì ñëó÷àå d(x, y) =
xi ⊕ yi , äëÿ ëþáûõ x, y ∈ E n (äàëåå çíàê ⊕
i=1
îïóñêàåì, òàê êàê èç êîíòåêñòà âñåãäà áóäåò ÿñíî, î êàêîì ñëîæåíèè èäåò ðå÷ü).
• Âåñ Õýììèíãà w(x), x ∈ Eqn , ïî îïðåäåëåíèþ ðàâåí ÷èñëó íåíóëåâûõ êîîðäèíàò âåêòîðà
n
P
x.  äâîè÷íîì ñëó÷àå w(x) =
xi , äëÿ ëþáîãî x ∈ E n .
i=1
1.1. Äîêàçàòü, ÷òî:
a) x + E n = E n äëÿ ëþáîãî x ∈ E n ;
b) π(E n ) = E n äëÿ ëþáîãî π ∈ Sn .
• Ãîâîðÿò, ÷òî âåêòîð y ïðåäøåñòâóåò âåêòîðó x (îáîçíà÷àåòñÿ y x), åñëè ìíîæåñòâî
íîìåðîâ åäèíè÷íûõ êîîðäèíàò âåêòîðà y ñîäåðæèòñÿ â ìíîæåñòâå íîìåðîâ åäèíè÷íûõ êîîðäèíàò âåêòîðà x.
• Ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ x è y íàä ëþáûì ïîëåì îïðåäåëÿåòñÿ êàê âåêòîð x ∗ y =
(x1 y1 , . . . , xn yn ).
1.2. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ x, y ∈ E n ñïðàâåäëèâî:
a) d(x, y) = w(x + y);
b) w(x + y) = w(x) + w(y) − 2w(x ∗ y);
c) w(x + y) ≥ w(x) − w(y), ïðè÷åì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà âûïîëíÿåòñÿ y x;
d) Äîêàçàòü, ÷òî d(x, z) = d(x + y, z + y) äëÿ ëþáûõ x, y, z ∈ E n .
1.3. Äîêàçàòü, ÷òî ðàññòîÿíèå Õýììèíãà ÿâëÿåòñÿ ìåòðèêîé, à E n ìåòðè÷åñêèì
ïðîñòðàíñòâîì:
a) d(x, y) ≥ 0, ïðè÷åì d(x, y) = 0 ⇔ x = y (àêñèîìà òîæäåñòâà);
b) d(x, y) = d(y, x) (àêñèîìà ñèììåòðèè);
c) d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z) (àêñèîìà òðåóãîëüíèêà) äëÿ ëþáûõ x, y, z ∈ E n .
6
1. Áóëåâ êóá. Ðàññòîÿíèå Õýììèíãà
7
1.4. Äîêàçàòü, ÷òî ðàññòîÿíèå Õýììèíãà ÿâëÿåòñÿ ìåòðèêîé, à Eqn ìåòðè÷åñêèì
ïðîñòðàíñòâîì.
1.5. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ x, y ∈ E3n ñïðàâåäëèâî w(x + y) = w(x) +
w(y) − f (x ∗ y), ãäå f (x ∗ y) = a + 2b, åñëè âåêòîð x ∗ y ñîäåðæèò a åäèíèö è b äâîåê.
1.6. Íàéòè ÷èñëî âåêòîðîâ â ïðîñòðàíñòâå Eqn äëÿ ëþáîãî q ≥ 2.
1.7. Íàéòè ÷èñëî íåóïîðÿäî÷åííûõ ïàð ñîñåäíèõ âåêòîðîâ:
a) â ïðîñòðàíñòâå E n (ïàð âåêòîðîâ íà ðàññòîÿíèè 1 ïî Õýììèíãó);
b) â ïðîñòðàíñòâå Eqn .
1.8. Íàéòè ÷èñëî âåêòîðîâ:
à) â ñôåðå ðàäèóñà r â ïðîñòðàíñòâå E n , â ïðîñòðàíñòâå Eqn ;
b) â øàðå ðàäèóñà r â ïðîñòðàíñòâå E n , â ïðîñòðàíñòâå Eqn .
1.9. Íàéòè:
k;
a) ÷èñëî íåóïîðÿäî÷åííûõ ïàð âåêòîðîâ x, y â ïðîñòðàíñòâå E n òàêèõ, ÷òî d(x, y) =
b) àíàëîãè÷íî äëÿ ïðîñòðàíñòâà Eqn .
1.10. Ïóñòü x, y ∈ E n , d(x, y) = m. Íàéòè ÷èñëî âåêòîðîâ z , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëî-
âèþ:
à) d(x, z) + d(z, y) = d(x, y);
b) d(x, z) = k , d(y, z) = r;
c) d(x, z) ≤ k , d(y, z) = r;
d) d(x, z) ≤ k , d(y, z) ≥ r.
1.11. Ïîêàçàòü, ÷òî âñÿêîå ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà E n , ñîäåðæàùåå íå ìåíåå
n + 2 âåêòîðîâ, ñîäåðæèò ïàðó íåñðàâíèìûõ âåêòîðîâ (n ≥ 2).
1.12.* Ïîêàçàòü, ÷òî ìîùíîñòü ëþáîãî ïîäìíîæåñòâà ïîïàðíî íåñðàâíèìûõ âåêòîðîâ
bn/2c
ïðîñòðàíñòâà E n íå ïðåâîñõîäèò Cn
.
1.13. Íàéòè ÷èñëî ðàçëè÷íûõ áàç:
a) â ïðîñòðàíñòâå E n ;
b) â ïðîñòðàíñòâå Eqn .
• Îòîáðàæåíèå I èç ïðîñòðàíñòâà Eqn â ñåáÿ íàçûâàåòñÿ èçîìåòðèåé, åñëè
d(x, y) = d(I(x), I(y))
äëÿ ëþáûõ x, y ∈ Eqn .
• Ãðóïïà àâòîìîðôèçìîâ ïðîñòðàíñòâà Eqn îïðåäåëÿåòñÿ êàê ãðóïïà åãî èçîìåòðèé.
Èçâåñòíî, ÷òî ëþáîé àâòîìîðôèçì ïðîñòðàíñòâà Eqn , q ≥ 2, ìîæåò áûòü îïèñàí ïðåîáðàçîâàíèÿìè âèäà (π, τ1 , τ2 , . . . , τn ), ãäå π ïîäñòàíîâêà èç Sn (ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïû
ïîäñòàíîâîê äëèíû n) íà ìíîæåñòâå êîîðäèíàòíûõ ïîçèöèé, τ1 , . . . , τn n ïîäñòàíîâîê èç
Sq íà q ýëåìåíòàõ ïîëÿ GF (q), äåéñòâóþùèõ íà x ∈ Eqn ñëåäóþùèì îáðàçîì:
(π, τ1 , τ2 , . . . , τn )(x) = (τ1 (xπ (1)), . . . , τn (xπ (n)).
8
Ãëàâà I. Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ
Òàêèì îáðàçîì,
Aut(Eqn ) = {(π, τ1 , τ2 , . . . , τn ) : π ∈ Sn , τi ∈ Sq , i = 1, 2, . . . , n}.
Îòìåòèì, ÷òî â äâîè÷íîì ñëó÷àå ãðóïïó àâòîìîðôèçìîâ ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñ ïîìîùüþ
ïîäñòàíîâêè π íà ìíîæåñòâå êîîðäèíàò è ñäâèãîì íà íåêîòîðûé âåêòîð v ∈ E n , ò. å.
Aut(E n ) = E n h Sn = {(π, v) | π(E n ) + v = E n , v ∈ E n , π ∈ Sn },
ãäå h ïîëóïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå.
• Ãðóïïîé ñèììåòðèé Sym(Eqn ) ïðîñòðàíñòâà Eqn , q ≥ 2, íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
Sym(Eqn ) = {π : π ∈ Sn , π(Eqn ) = Eqn }.
1.14. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ ïîäñòàíîâêà π ∈ Sn ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðåîáðàçîâàíèåì
â ïðîñòðàíñòâå E n .
1.15. Íàéòè ïîðÿäîê ãðóïïû ñèììåòðèé è ãðóïïû àâòîìîðôèçìîâ:
a) ïðîñòðàíñòâà E n ;
b) ïðîñòðàíñòâà Eqn .
1.16.* Äîêàçàòü, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå ïðîñòðàíñòâà E n ÿâëÿåòñÿ èçîìåòðèåé òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî ïîëó÷åíî íåêîòîðîé ïåðåñòàíîâêîé êîîðäèíàò âñåõ âåêòîðîâ
â E n è ïðèáàâëåíèåì íåêîòîðîãî âåêòîðà v ∈ E n êî âñåì âåêòîðàì.
2. Ëèíåéíûå êîäû
2.
9
Ëèíåéíûå êîäû
• q -çíà÷íûì êîäîì íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà Eqn , ýëåìåíòû êîäà íàçûâàþòñÿ êîäîâûìè ñëîâàìè.
• Êîäîâûå ïàðàìåòðû êîäà C ýòî òðîéêà (n, |C|, d)q , ãäå:
n äëèíà êîäà;
|C| ìîùíîñòü êîäà;
d êîäîâîå ðàññòîÿíèå êîäà, d = min d(x, y).
x,y∈C,x6=y
 äâîè÷íîì ñëó÷àå ïàðàìåòðû êîäà áóäåì îáîçíà÷àòü (n, |C|, d), îïóñêàÿ q .
• Êîä íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì, åñëè îí îáðàçóåò ïîäïðîñòðàíñòâî â Eqn , åãî ïàðàìåòðû îáîçíà÷àþòñÿ òàêæå [n, k, d]q , ãäå k ðàçìåðíîñòü êîäà, ò. å. |C| = q k .  äâîè÷íîì ñëó÷àå
áóäåì îáîçíà÷àòü ïàðàìåòðû êîäà [n, k, d].
• Äâà êîäà C, C 0 ⊂ Eqn íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò ïîäñòàíîâêà π òàêàÿ,
÷òî C 0 = π(C) = {π(x) : x ∈ C}.
• Êîäû C, C 0 ⊂ Eqn íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò àâòîìîðôèçì Eqn , ïåðåâîäÿùèé C â C 0 , ò. å. íàéäóòñÿ n ïîäñòàíîâîê τ1 , . . . , τn íà q ýëåìåíòàõ {1, 2, . . . , q} è
ïîäñòàíîâêà π íà n êîîðäèíàòíûõ ïîçèöèÿõ òàêèå, ÷òî
C 0 = {π(τ1 (x1 ), τ2 (x2 ), . . . , τn (xn )) : x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ C}.
• Äâà âåêòîðà x, y ∈ E n íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè, åñëè èõ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íàä
GF (2) ðàâíî íóëþ, ò. å. x · y = x1 y1 ⊕ . . . ⊕ xn yn = 0.
2.1. Ïóñòü ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà ëèíåéíîãî êîäà çàäàíà â êàíîíè÷åñêîì âèäå H =
[An−k,k |En−k ]. Íàéòè âèä ïîðîæäàþùåé ìàòðèöû ýòîãî êîäà â êàíîíè÷åñêîì âèäå.
2.2. Ïîêàçàòü, ÷òî êîäîâîå ðàññòîÿíèå ëèíåéíîãî êîäà ðàâíî ìèíèìàëüíîìó èç âåñîâ
åãî íåíóëåâûõ êîäîâûõ ñëîâ.
2.3. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè H ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà êîäà äëèíû n, òî êîä èìååò êîäîâîå ðàññòîÿíèå d òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëþáûå d − 1 ñòîëáöîâ ìàòðèöû H
ëèíåéíî íåçàâèñèìû è íàéäóòñÿ d ëèíåéíî çàâèñèìûõ ñòîëáöîâ.
2.4. Ïîêàçàòü, ÷òî â äâîè÷íîì ëèíåéíîì êîäå ëèáî êàæäîå êîäîâîå ñëîâî èìååò ÷åòíûé âåñ, ëèáî ïîëîâèíà êîäîâûõ ñëîâ èìåþò ÷åòíûå âåñà è ïîëîâèíà íå÷åòíûå.
2.5. Íàéòè ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ëèíåéíûõ:
a) äâîè÷íûõ êîäîâ äëèíû n ðàçìåðíîñòè k ;
b) q -çíà÷íûõ êîäîâ äëèíû n ðàçìåðíîñòè k .
2.6. Íàéòè ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ëèíåéíûõ:
a) äâîè÷íûõ êîäîâ äëèíû n, ðàçìåðíîñòè k c èíôîðìàöèîííûìè ñèìâîëàìè â
ïåðâûõ k êîîðäèíàòàõ;
b) àíàëîãè÷íî äëÿ q -çíà÷íîãî ñëó÷àÿ.
2.7. Íàéòè ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ëèíåéíûõ:
a) äâîè÷íûõ êîäîâ äëèíû n, ðàçìåðíîñòè k , ñîäåðæàùèõ ôèêñèðîâàííûé âåêòîð
x, c èíôîðìàöèîííûìè ñèìâîëàìè â ïåðâûõ k êîîðäèíàòàõ;
b) àíàëîãè÷íî äëÿ q -çíà÷íîãî ñëó÷àÿ.
10
Ãëàâà I. Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ
2.8. Ïóñòü êîä çàäàí ñâîåé ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöåé
0 1 1 1 0 0
1 0 1 0 1 0 .
1 1 0 0 0 1
Íàéòè êîäîâîå ñëîâî, èíôîðìàöèîííûé áëîê êîòîðîãî ðàâåí âåêòîðó (1, 1, 0), ïðè
óñëîâèè, ÷òî ïåðâûå òðè êîîðäèíàòû êîäà ÿâëÿþòñÿ èíôîðìàöèîííûìè.
2.9. Ïîñòðîèòü êîäû ñ ïîìîùüþ ïðîâåðî÷íûõ ìàòðèö:
0 1 1 1 0 0
a) 1 1 1 0 1 0 ;
1 0 1 0 0 1
0 1 1 1 1 0 0
b) 1 1 0 1 0 1 0 .
1 0 1 1 0 0 1
Íàéòè ïîðîæäàþùèå ìàòðèöû ýòèõ êîäîâ.
2.10. Ýêâèâàëåíòíû ëè êîäû, çàäàííûå ïîðîæäàþùèìè ìàòðèöàìè
1
0
G=
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
;
0
1
1
0
G0 =
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
.
0
0
2.11. Ïîñòðîèòü êîäû ñ ïîìîùüþ ïðîâåðî÷íûõ ìàòðèö:
0 1 1 1 0 0
a) 1 1 1 0 1 0 ;
1 0 1 0 0 1
0 2 1 0 1 0
b) 1 1 0 0 2 2 ;
2 0 0 1 0 0
0 1 1 0 1
c) 0 0 0 1 1 .
1 1 0 0 1
Íàéòè ïîðîæäàþùèå ìàòðèöû ýòèõ êîäîâ.
2.12. Ïîñòðîèòü êîä ñ ïîìîùüþ ïîðîæäàþùåé ìàòðèöû:
1 1 0 0 1
0 0 1 0 1 1
a) 1 0 1 1 0 ; b) 1 1 0 0 0 1 .
1 0 0 1 0
0 1 0 1 1 1
Ïóñòü èíôîðìàöèîííûé áëîê u êîäèðóåòñÿ ïî ïðàâèëó x = uG. Íàéòè êîäîâîå ñëîâî
x, åñëè a) u = (101), b) u = (111). Íàéòè èíôîðìàöèîííûé áëîê êîäîâîãî ñëîâà: a)
x = (01101), b) x = (011101).
2.13. Íàéòè ïàðàìåòðû êîäîâ èç çàäà÷ 2.11 è 2.12.
2.14. Äîêàçàòü, ÷òî êîäû C1 = {0000, 1100, 1010, 0110} è C2 = {0000, 1100, 1010, 1001}
èçîìåòðè÷íû. Ýêâèâàëåíòíû ëè ýòè êîäû?
2.15. Íàéòè ãðóïïû ñèììåòðèé êîäîâ èç çàäà÷è 2.12.
2.16. Íàéòè êîäîâîå ñëîâî êîäà Õýììèíãà äëèíû 7, åñëè èíôîðìàöèîííûé áëîê
ðàâåí (0, 1, 1, 1) è êîä îïðåäåëåí ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöåé, çàäàííîé â ëåêñèêîãðàôè÷åñêîì âèäå.
2. Ëèíåéíûå êîäû
11
2.17. Èñïîëüçóÿ òåîðåìó î ñòîëáöàõ ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöû, íàéòè êîäîâîå ðàññòîÿíèå êîäîâ ñî
0
a) 0
1
ñëåäóþùèìè ïðîâåðî÷íûìè
0 0 1 1 1 1
1
1 1 0 0 1 1 ; b) 1
0 1 0 1 0 1
0
ìàòðèöàìè:
1 0 0 1
0 1 0 1 ;
1 1 1 0
1 1 0 1 0
c) 0 1 1 0 1 .
1 0 1 1 1
2.18. Íàéòè ïàðàìåòðû êîäà äëèíû n, çàäàííîãî ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöåé
1 1 ... 1 .
Îïèñàòü ñâîéñòâà ýòîãî êîäà.
2.19. Äîêàçàòü, ÷òî íåíóëåâîé ñòîëáåö êîäîâîé ìàòðèöû äâîè÷íîãî ëèíåéíîãî êîäà
ðàçìåðíîñòè k ñîäåðæèò ðîâíî 2k−1 åäèíèö.
2.20. Äîêàçàòü, ÷òî íåíóëåâîé ñòîëáåö êîäîâîé ìàòðèöû q -çíà÷íîãî ëèíåéíîãî êîäà
ðàçìåðíîñòè k ñîäåðæèò ðîâíî q k−1 åäèíèö.
2.21. Ïîêàçàòü, ÷òî êîäîâîå ðàññòîÿíèå äâîè÷íîãî ëèíåéíîãî êîäà äëèíû n, ðàçìåðk−1
c.
íîñòè k íå ïðåâîñõîäèò b n·2
2k −1
2.22. Êàêîâû ïàðàìåòðû êîäà, ïîëó÷åííîãî èç ëèíåéíîãî êîäà ñ êîäîâûì ðàññòîÿ-
íèåì d, çàäàííîãî ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöåé Hr×n äîáàâëåíèåì îäíîé èëè áîëåå ñòðîê.
Êàêîé èç ýòèõ êîäîâ ÿâëÿåòñÿ ïîäêîäîì äðóãîãî êîäà?
2.23. Íàéòè ïðîâåðî÷íóþ è ïîðîæäàþùóþ ìàòðèöû ïðîèçâîëüíîãî äâîè÷íîãî ëèíåéíîãî êîäà äëèíû n, ðàçìåðíîñòè 1 ñ ïîâòîðåíèåì (êîä, ó êîòîðîãî ïåðåäàâàåìûé
ñèìâîë ïîâòîðÿåòñÿ n ðàç).
2.24.* Äîêàçàòü òåîðåìó Ñèìîíèñà: äëÿ ëþáîãî ëèíåéíîãî [n, k, d]q -êîäà ñóùåñòâóåò
ëèíåéíûé êîä ñ òåìè æå ïàðàìåòðàìè òàêîé, ÷òî åãî áàçà ñîñòîèò èç êîäîâûõ ñëîâ
ìèíèìàëüíîãî âåñà d.
• Êîä C ⊥ = {y ∈ Eqn | x·y = x1 y1 +. . .+xn yn = 0 äëÿ âñåõ x ∈ C} íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì
êîäîì ê ëèíåéíîìó êîäó C äëèíû n.
• Ëèíåéíûé êîä C íàçûâàåòñÿ ñàìîîðòîãîíàëüíûì, åñëè C = C ⊥ .
2.25. Íàéòè ÷èñëî âåêòîðîâ, îðòîãîíàëüíûõ äàííîìó íåíóëåâîìó âåêòîðó èç E n .
2.26. Ïóñòü H , G ïðîâåðî÷íàÿ è ïîðîæäàþùàÿ ìàòðèöû ëèíåéíîãî êîäà ñîîòâåò-
ñòâåííî. Äîêàçàòü, ÷òî H · GT = 0 è G · H T = 0. Èññëåäóÿ ñâÿçü ìåæäó H è G, íàéòè
÷èñëî ïðîâåðî÷íûõ è ïîðîæäàþùèõ ìàòðèö äàííîãî [n, k]-êîäà.
2.27. Ïîêàçàòü, ÷òî (C ⊥ )⊥ = C äëÿ ëþáîãî ëèíåéíîãî êîäà èç E n .
2.28. Ïóñòü C + D = {x + y | x ∈ C, y ∈ D}, ãäå C, D ëèíåéíûå êîäû. Ïîêàçàòü, ÷òî
(C + D)⊥ = C ⊥ ∩ D⊥ .
2.29. Íàéòè êîä, îðòîãîíàëüíûé äâîè÷íîìó êîäó ñ ïîâòîðåíèåì äëèíû n.
2.30. Äîêàçàòü, ÷òî Sym(C ⊥ ) = Sym(C) äëÿ ëþáîãî äâîè÷íîãî ëèíåéíîãî êîäà C .
2.31. Ïîñòðîèòü âñå ñàìîîðòîãîíàëüíûå äâîè÷íûå êîäû äëèíû 4 è 8, óêàçàòü èõ
ïàðàìåòðû.
12
Ãëàâà I. Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ
2.32. Äîêàçàòü, ÷òî êîä ñ ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöåé H = [A | I] íàä ïîëåì GF (q) ÿâëÿåòñÿ ñàìîîðòîãîíàëüíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà, òàêàÿ
÷òî AA> = −I .
• Ìíîæåñòâî âñåõ îáðàòèìûõ (k × k)-ìàòðèö íàä ïîëåì Ãàëóà GF (q), q ≥ 2, îáðàçóåò ïîëíóþ ëèíåéíóþ ãðóïïó îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿ ìàòðèö. Ýòà ãðóïïà îáîçíà÷àåòñÿ
÷åðåç GL(k, q).
2.33. Íàéòè ïîðÿäîê ïîëíîé ëèíåéíîé ãðóïïû GL(k, q).
2.34. Äîêàçàòü, ÷òî ïîäñòàíîâêà êîîðäèíàò, çàäàâàåìàÿ íåêîòîðîé ïåðåñòàíîâî÷íîé
ìàòðèöåé P , ïðèíàäëåæèò ãðóïïå ñèììåòðèé íåêîòîðîãî äâîè÷íîãî ëèíåéíîãî êîäà
ñ ïîðîæäàþùåé ìàòðèöåé G òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà M G = GP äëÿ íåêîòîðîé
îáðàòèìîé ìàòðèöû M .
2.35. Áóäåò ëè ãðóïïà ñèììåòðèé ïðîèçâîëüíîãî äâîè÷íîãî ëèíåéíîãî êîäà ðàçìåðíîñòè k èçîìîðôíà ïîäãðóïïå ïîëíîé ëèíåéíîé ãðóïïû GL(k, 2)?
2.36.* Íàéòè ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ìàòðèö ðàçìåðà k × n ðàíãà r íàä GF (q).
3. Ãðàíèöû îáúåìîâ êîäîâ
3.
13
Ãðàíèöû îáúåìîâ êîäîâ
• Ãðàíèöà Õýììèíãà: |C| ≤
2n
,
t
P
i
Cn
ãäå t = b d−1
c.
2
i=0
Êîä, äîñòèãàþùèé ãðàíèöû Õýììèíãà, íàçûâàåòñÿ ñîâåðøåííûì.
• Ãðàíèöà Ñèíãëòîíà: |C| ≤ 2n−d+1 .
Êîä, äîñòèãàþùèé ãðàíèöû Ñèíãëòîíà, íàçûâàåòñÿ MDS-êîäîì (maximal distance
separable), èëè ìàêñèìàëüíî äèñòàíöèîííî ðàçäåëèìûì êîäîì, èíîãäà â ðóññêîÿçû÷íîé ëèòåðàòóðå åãî îáîçíà÷àþò êàê ÌÄÐ-êîä.
• Ãðàíèöà Âàðøàìîâà Ãèëáåðòà äëÿ ëèíåéíûõ êîäîâ:
d−2
P i
åñëè
Cn−1 < 2r , òî ñóùåñòâóåò ëèíåéíûé [n, k, d0 ]-êîä òàêîé, ÷òî k ≥ n − r è d0 ≥ d.
i=0
d
• Ãðàíèöà Ïëîòêèíà: |C| ≤ 2b 2d−n
c, åñëè n < 2d.
Äâîè÷íûå êîäû C è C 0 ýêâèâàëåíòíû, åñëè ñóùåñòâóþò òàêèå π ∈ Sn è x ∈ E n , ÷òî
x + π(C) = C 0 .
Êîä ìàêñèìàëåí, åñëè åãî ìîùíîñòü ìàêñèìàëüíà ïðè äàííûõ n è d.
3.1. Äîêàçàòü, ÷òî êîä ñ ìèíèìàëüíûì ðàññòîÿíèåì d ìîæåò èñïðàâëÿòü b(d − 1)/2c
îøèáîê. Åñëè d ÷åòíî, òî êîä ìîæåò îäíîâðåìåííî èñïðàâëÿòü (d − 2)/2 îøèáêè è
îáíàðóæèâàòü d/2 îøèáîê.
3.2. Âåðíî ëè, ÷òî êîä, èñïðàâëÿþùèé t îøèáîê, îáíàðóæèâàåò:
a) íå ìåíåå 2t + 1 îøèáîê;
b) íå ìåíåå 2t îøèáîê;
c) íå áîëåå 2t îøèáîê?
3.3. Ñóùåñòâóåò ëè äâîè÷íûé êîä ñ ïàðàìåòðàìè:
a) (16, 10, 9);
b) (10, 17, 7);
c) (14, 1024, 3)?
3.4. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò òðîè÷íûé [11, 6, 4]-êîä.
3.5. Ïîêàçàòü, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ìàêñèìàëüíûõ êîäîâ ìîùíîñòè 3.
3.6. Íàéòè ïàðàìåòðû êîäà, çàäàííîãî ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöåé H . Óáåäèòüñÿ, ÷òî
íàéäåííûå ïàðàìåòðû óäîâëåòâîðÿþò óïîìÿíóòûì
1
1 0 1 2 0
1
a) H = 2 2 1 1 0 ; b) H =
1
0 0 1 1 1
0
3.7. Îáîáùèòü äëÿ q -çíà÷íûõ êîäîâ ãðàíèöû:
a) Õýììèíãà;
b) Ñèíãëòîíà;
âûøå ãðàíèöàì îáúåìîâ êîäîâ.
0 1 0 1 0 0
1 0 1 1 0 0
.
0 0 0 1 1 1
1 1 0 1 1 0
14
Ãëàâà I. Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ
c) Âàðøàìîâà Ãèëáåðòà.
• Õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé êîäà C íàçûâàåòñÿ áóëåâà ôóíêöèÿ f : E n → {0, 1} òàêàÿ,
÷òî f (x1 , . . . , xn ) = 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âåêòîð (x1 , . . . , xn ) ïðèíàäëåæèò êîäó C .
• Ïóñòü A(n, d) îáîçíà÷àåò ìîùíîñòü ìàêñèìàëüíîãî äâîè÷íîãî êîäà äëèíû n ñ ðàññòîÿíèåì
d.
3.8. Ñêîëüêî îøèáîê èñïðàâëÿåò è îáíàðóæèâàåò êîä äëèíû n ñ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé
ôóíêöèåé f :
a) f (x1 , . . . , xn ) = x1 ⊕ . . . ⊕ xn ;
b) f (x1 , . . . , xn ) = x1 · . . . · xn ∨ x1 · . . . · xn ?
3.9. Ïðèâåñòè ïðèìåð ìàêñèìàëüíîãî êîäà ìîùíîñòè 2. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ìàêñèìàëüíûõ êîäîâ äëèíû n ñ êîäîâûì ðàññòîÿíèåì 2?
3.10. Ïîêàçàòü, ÷òî A(3k, 2k) ðàâíî 4.
3.11. Ïîêàçàòü, ÷òî:
a) A(n, 2r − 1) = A(n + 1, 2r);
b) A(n, d) ≤ 2A(n − 1, d).
• Îáîçíà÷èì ÷åðåç N (k, d) ìèíèìàëüíî âîçìîæíóþ äëèíó äâîè÷íîãî ëèíåéíîãî êîäà ðàçìåðíîñòè k ñ ìèíèìàëüíûì ðàññòîÿíèåì d.
3.12. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëèíåéíîãî [N (k, d), k, d]-êîäà ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ ãðàíèöà:
N (k, d) ≥ d + N (k − 1, dd/2e),
èìåíóåìàÿ ãðàíèöåé Ãðàéñìåðà.
Pk−1
dd/2i e.
3.13. Äîêàçàòü, ÷òî N (k, d) ≥ i=0
3.14. Íàéòè N (5, 7). Ñóùåñòâóåò ëè êîä, óäîâëåòâîðÿþùèé ãðàíèöå Ãðàéñìåðà?
3.15. Íàéòè N (k, 2k−1 ). Ñóùåñòâóåò ëè êîä, óäîâëåòâîðÿþùèé ãðàíèöå Ãðàéñìåðà?
3.16.* Ïóñòü C êîä ÷åòíîé äëèíû n, èñïðàâëÿþùèé äâå îøèáêè. Äîêàçàòü, ÷òî
|C| ≤
2n
.
n+2
4. Ñîâåðøåííûå êîäû
4.
15
Ñîâåðøåííûå êîäû
• Êîä ñ ðàññòîÿíèåì d = 2t + 1 íàçûâàåòñÿ ñîâåðøåííûì, åñëè øàðû ðàäèóñà t ñ öåíòðàìè
â êîäîâûõ ñëîâàõ, íå ïåðåñåêàÿñü, ïîêðûâàþò âñå ïðîñòðàíñòâî Eqn .
Ëèíåéíûé äâîè÷íûé êîä, ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà êîòîðîãî ñîñòîèò èç âñåâîçìîæíûõ ðàçëè÷íûõ íåíóëåâûõ ñòîëáöîâ äëèíû r, íàçûâàåòñÿ äâîè÷íûì êîäîì Õýììèíãà ñ r ïðîâåðêàìè
íà ÷åòíîñòü.
n−1
• Ïóñòü C 2 ëþáîé ñîâåðøåííûé äâîè÷íûé êîä äëèíû
{0, 1} ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ. Ìíîæåñòâî
C n = {(u, u + v, |u| + λ(v)) | u ∈ E
n−1
2
n−1
2
ñ ðàññòîÿíèåì 3, λ : C
,v ∈ C
n−1
2
n−1
2
→
},
ãäå |u| = u1 ⊕ . . . ⊕ u n−1 ÿâëÿåòñÿ ñîâåðøåííûì äâîè÷íûì êîäîì äëèíû n ñ ðàññòîÿíèåì 3
2
è íàçûâàåòñÿ êîäîì Âàñèëüåâà.
Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè ñîâåðøåííûõ êîäîâ (Çèíîâüåâ Â. À. è Ëåîíòüåâ Â. Ê.,
íåçàâèñèìî Òèåòâàéíåí À., 1972)
Íåòðèâèàëüíûé ñîâåðøåííûé êîä íàä ëþáûì ïîëåì Ãàëóà GF (q) äîëæåí èìåòü òå
æå ñàìûå ïàðàìåòðû, ÷òî è îäèí èç êîäîâ Õýììèíãà èëè Ãîëåÿ, ò. å.:
1) q -çíà÷íûé (n = (q m − 1)/(q − 1), q n−m , 3)-êîä Õýììèíãà;
2) äâîè÷íûé [23, 12, 7]-êîä Ãîëåÿ;
3) òðîè÷íûé [11, 6, 5]3 -êîä Ãîëåÿ.
4.1. Ñóùåñòâóåò ëè ñîâåðøåííûé äâîè÷íûé êîä äëèíû 149?
4.2. Äîêàçàòü, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ñîâåðøåííîãî äâîè÷íîãî êîäà äëèíû 21 ñ êîäîâûì
ðàññòîÿíèåì 7.
4.3. Íàéòè ïðîâåðî÷íûå ìàòðèöû äâîè÷íîãî êîäà Õýììèíãà äëèíû 7 â ëåêñèêîãðàôè÷åñêîì è êàíîíè÷åñêîì âèäàõ.
4.4. Ïîêàçàòü, ÷òî ñîâåðøåííûå äâîè÷íûå êîäû ñ ðàññòîÿíèåì 7 ñóùåñòâóþò òîëüêî
äëÿ äëèí n = 7 è n = 23.
4.5. Îïðåäåëèòü ïàðàìåòðû äâîè÷íîãî êîäà Õýììèíãà. Äîêàçàòü, ÷òî äâîè÷íûé êîä
Õýììèíãà åäèíñòâåí ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè.
4.6. Ïîñòðîèòü ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó ñ r ñòðîêàìè q -çíà÷íîãî êîäà Õýììèíãà, âû÷èñëèòü ïàðàìåòðû êîäà. Äîêàçàòü åäèíñòâåííîñòü êîäà ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè.
4.7. Äîêàçàòü, ÷òî q -çíà÷íûé êîä Õýììèíãà ÿâëÿåòñÿ ñîâåðøåííûì.
4.8. Íàéòè ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó:
a) ñ äâóìÿ ñòðîêàìè äëÿ òðîè÷íîãî êîäà Õýììèíãà, ïîñòðîèòü êîä;
b) ñ òðåìÿ ñòðîêàìè äëÿ òðîè÷íîãî êîäà Õýììèíãà.
4.9. Ïîñòðîèòü êîä Õýììèíãà äëèíû 4 íàä GF (3).
16
Ãëàâà I. Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ
4.10. Íàéòè ïîðîæäàþùóþ è ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöû êîäà Õýììèíãà äëèíû 6 íàä
GF (5). Îïðåäåëèòü ïàðàìåòðû ýòîãî êîäà.
4.11. Íàéòè êîä, îðòîãîíàëüíûé:
a) äâîè÷íîìó êîäó Õýììèíãà äëèíû 7;
b) òðîè÷íîìó êîäó Õýììèíãà äëèíû 4;
c) äâîè÷íîìó êîäó Õýììèíãà äëèíû 15.
• Äâîè÷íûé êîä C n îáëàäàåò ñâîéñòâîì àíòèïîäàëüíîñòè, åñëè äëÿ ëþáîãî êîäîâîãî ñëîâà
x ∈ C n âûïîëíÿåòñÿ x + 1n ∈ C n , ãäå 1n åäèíè÷íûé âåêòîð äëèíû n, ò. å. âåêòîð, âñå
êîîðäèíàòû êîòîðîãî ðàâíû 1.
4.12. Äîêàçàòü, ÷òî êîä Õýììèíãà îáëàäàåò ñâîéñòâîì àíòèïîäàëüíîñòè.
4.13. Èñïîëüçóÿ ïîðîæäàþùóþ ìàòðèöó êîäà Õýììèíãà, äîêàçàòü, ÷òî êîäîâîå ðàññòîÿíèå íå ìåíåå 3.
4.14. Âû÷èñëèòü íèæíèå îöåíêè ÷èñëà ðàçëè÷íûõ è ÷èñëà íåýêâèâàëåíòíûõ êîäîâ
Âàñèëüåâà äëèíû n.
4.15. Ïîêàçàòü, ÷òî èìååò ìåñòî ðàçáèåíèå E n =
êîäà C äëèíû n ñ ðàññòîÿíèåì 3.
n
S
(C +ei ) äëÿ ëþáîãî ñîâåðøåííîãî
i=0
4.16. Äîêàçàòü, ÷òî â êîäå, îðòîãîíàëüíîì äâîè÷íîìó êîäó Õýììèíãà äëèíû n, âñå
íåíóëåâûå âåêòîðû èìåþò âåñ (n + 1)/2.
4.17. Äîêàçàòü, ÷òî ðàñøèðåííûé êîä Õýììèíãà äëèíû 8 ñàìîîðòîãîíàëåí.
4.18. Äîêàçàòü, ÷òî äâîè÷íûé ðàñøèðåííûé êîä Õýììèíãà åäèíñòâåí ñ òî÷íîñòüþ
äî èçîìîðôèçìà.
4.19. Íàéòè êîíñòðóêòèâíî áàçó äâîè÷íîãî êîäà Õýììèíãà äëèíû n ñðåäè êîäîâûõ
ñëîâ âåñà 3.
4.20. Íàéòè ãðóïïó àâòîìîðôèçìîâ (íàéòè ïîðÿäîê è ïåðå÷èñëèòü âñå àâòîìîðôèçìû):
a) äâîè÷íîãî êîäà Õýììèíãà äëèíû 7;
b) äâîè÷íîãî ðàñøèðåííîãî êîäà Õýììèíãà äëèíû 8.
4.21. Íàéòè ãðóïïó àâòîìîðôèçìîâ òðîè÷íîãî êîäà {000, 111, 222}, ïåðå÷èñëèòü âñå
àâòîìîðôèçìû.
4.22. Íàéòè ãðóïïó àâòîìîðôèçìîâ (íàéòè ïîðÿäîê è ïåðå÷èñëèòü âñå àâòîìîðôèçìû) òðîè÷íîãî êîäà Õýììèíãà äëèíû 4.
4.23. Íàéòè ãðóïïó ñèììåòðèé è ãðóïïó àâòîìîðôèçìîâ:
a) äâîè÷íîãî êîäà Õýììèíãà äëèíû n;
b) äâîè÷íîãî ðàñøèðåííîãî êîäà Õýììèíãà äëèíû N.
4.24. Íàéòè ãðóïïó ïåðåñòàíîâî÷íûõ àâòîìîðôèçìîâ q -çíà÷íîãî êîäà Õýììèíãà äëèíû n.
4. Ñîâåðøåííûå êîäû
17
• Ñâèò÷èíãîì ïî i-é êîîðäèíàòå ïîäìíîæåñòâà R ñîâåðøåííîãî äâîè÷íîãî êîäà C íàçûâàåòñÿ çàìåíà çíà÷åíèÿ ýòîé êîîðäèíàòû âñåõ âåêòîðîâ ìíîæåñòâà R. Ïîëó÷åííîå ìíîæåñòâî
îáîçíà÷èì R + ei , ãäå ei âåêòîð âåñà 1 c íåíóëåâîé i-é êîîðäèíàòíîé ïîçèöèåé. Ìíîæåñòâî
R ⊆ C íàçûâàåòñÿ i-êîìïîíåíòîé ñîâåðøåííîãî êîäà C , åñëè O(R) = O(R + ei ), ãäå O(R) ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ èç E n , íàõîäÿùèõñÿ íà ðàññòîÿíèè íå áîëüøå 1 îò R. Â ðåçóëüòàòå
ïîëó÷àåòñÿ íîâûé ñîâåðøåííûé êîä C 0 = (C \ R) ∪ (R + ei ) ñ òåìè æå ïàðàìåòðàìè, ÷òî è
C .  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî êîä C 0 ïîëó÷åí èç êîäà C ñâèò÷èíãîì i-êîìïîíåíòû R.
4.25. Íàéòè i-êîìïîíåíòû êîäà Õýììèíãà äëèíû 7.
4.26. Äîêàçàòü, ÷òî êîíñòðóêöèÿ Âàñèëüåâà ÿâëÿåòñÿ ñâèò÷èíãîâîé. Âûïèñàòü (àíàëèòè÷åñêè) i-êîìïîíåíòó êîäà Âàñèëüåâà, ñîäåðæàùóþ íóëåâîé âåêòîð.
4.27. Íàéòè ðàçëîæåíèå êîäà Õýììèíãà äëèíû n íà i-êîìïîíåíòû.
4.28. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè n = 2k , k ≥ 2, ñóùåñòâóåò ðàçáèåíèå ïðîñòðàíñòâà E n íà
íåïåðåñåêàþùèåñÿ ñôåðû ðàäèóñà 1.
4.29. Äîêàçàòü, ÷òî â ñîâåðøåííîì äâîè÷íîì êîäå ÷èñëî êîäîâûõ ñëîâ ÷åòíîãî è
íå÷åòíîãî âåñîâ ñîâïàäàþò.
4.30. Äîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâîëüíûé ñîâåðøåííûé äâîè÷íûé êîä äëèíû n, ñîäåðæàùèé
íóëåâîé âåêòîð, îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì ñâîèõ êîäîâûõ ñëîâ âåñà (n +
1)/2.
• Êîä íàçûâàåòñÿ äèñòàíöèîííî èíâàðèàíòíûì, åñëè ÷èñëî âñåõ êîäîâûõ ñëîâ íà ðàññòîÿíèè k îò ôèêñèðîâàííîãî êîäîâîãî ñëîâà íå çàâèñèò îò âûáîðà ýòîãî êîäîâîãî ñëîâà.
4.31.* Äîêàçàòü, ÷òî ñîâåðøåííûé è ðàñøèðåííûé ñîâåðøåííûé äâîè÷íûå êîäû ñ
ðàññòîÿíèåì 3 äèñòàíöèîííî èíâàðèàíòíû. Âûâåñòè òî÷íûå ôîðìóëû ÷èñëà êîäîâûõ
ñëîâ âåñà k ïðè óñëîâèè, ÷òî êîä ñîäåðæèò íóëåâîé âåêòîð.
4.32. Äîêàçàòü, ÷òî ñîâåðøåííûé è ðàñøèðåííûé ñîâåðøåííûé äâîè÷íûå êîäû ñ
ðàññòîÿíèåì 3 àíòèïîäàëüíû.
4.33.* Äîêàçàòü, ÷òî q -çíà÷íûé ñîâåðøåííûé êîä ñ ðàññòîÿíèåì 3 äèñòàíöèîííî èí-
âàðèàíòåí. Âûâåñòè òî÷íûå ôîðìóëû ÷èñëà êîäîâûõ ñëîâ âåñà k ïðè óñëîâèè, ÷òî
êîä ñîäåðæèò íóëåâîé âåêòîð.
√
√
1
• Ôîðìóëà Ñòèðëèíãà nn e−n 2πn ≤ n! ≤ e 12n nn e1−n 2πn.
4.34. Äîêàçàòü íåðàâåíñòâî
n
(n − 1)/2
2n
≤√ .
n
4.35. Äîêàçàòü, ÷òî ÷èñëî A n−1
âñåõ êîäîâûõ ñëîâ âåñà
2
ïðîèçâîëüíîãî ñîâåðøåííîãî êîäà, ñîäåðæàùåãî íóëåâîå ñëîâî, óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó
2n
A n−1 ≤ c √ ,
2
n n
ãäå c íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà.
n−1
2
18
Ãëàâà I. Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ
4.36.* Äîêàçàòü, ÷òî ÷èñëî Nn ðàçëè÷íûõ ñîâåðøåííûõ äâîè÷íûõ êîäîâ äëèíû n
óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó
n− 3
2 log n+log log(en)
Nn ≤ 22
.
•ßäðî êîäà C , ñîäåðæàùåãî íóëåâîé âåêòîð, îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Ker(C) = {x | x ∈ C, x + C = C}.
4.37. Äîêàçàòü, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ñîâåðøåííîãî äâîè÷íîãî êîäà äëèíû n ñ ðàçìåðíîñòüþ ÿäðà dim(Ker(C)), ðàâíîé n − log(n + 1) − 1.
4.38. Äîêàçàòü, ÷òî Sym(C) ≤ Sym(Ker(C)).
•Ðàíã êîäà îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàçìåðíîñòü åãî ëèíåéíîé îáîëî÷êè.
4.39.* Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ñîâåðøåííîãî äâîè÷íîãî êîäà C äëèíû n ñïðàâåäëèâî dim(Ker(C)) + r(C) ≥ n + 1, ãäå dim(Ker(C)) è r(C) ðàçìåðíîñòü ÿäðà è
ðàíã êîäà C ñîîòâåòñòâåííî.
4.40.* Äîêàçàòü, ÷òî áàçó q -çíà÷íîãî, q ≥ 2, êîäà Õýììèíãà äëèíû n ìîæíî âûáðàòü
ñðåäè êîäîâûõ ñëîâ âåñà 3.
4.41.* Äîêàçàòü, ÷òî ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ðàñøèðåííûõ ñîâåðøåííûõ äâîè÷íûõ êîäîâ
äëèíû n + 1 ðîâíî âäâîå áîëüøå ÷èñëà ðàçëè÷íûõ ñîâåðøåííûõ äâîè÷íûõ êîäîâ
äëèíû n.
4.42.* Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî êîäîâîãî ñëîâà x êîäà < C >⊥ , ãäå C ïðîèçâîëüíûé ñîâåðøåííûé êîä, âûïîëíÿåòñÿ w(x) = (n + 1)/2.
4.43.* Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ñîâåðøåííîãî êîäà C äëèíû n = 2m − 1 ðàíãà
r = n − m − p, ãäå n − m + 1 ≤ r ≤ n − 1, íàéäåòñÿ ðàçáèåíèå
I0 ∪ I1 ∪ . . . ∪ It = {1, 2, . . . , n}, Ii ∩ Ij = ø
ïðè i 6= j , ãäå t = 2m−p − 1, |I0 | + 1 = |I1 | = . . . = |It | = 2p . Êðîìå òîãî, äëÿ
êàæäîãî x ∈< C >⊥ âûïîëíÿåòñÿ I0 ∩ x = ø è äëÿ êàæäîãî Ij , j = 1, 2, . . . , t ëèáî
Ij ∩ supp(x) = ø, ëèáî Ij ⊆ supp(x).
4.44. (Íåðåøåííàÿ ïðîáëåìà). Íàéòè íèæíþþ îöåíêó ÷èñëà ðàçëè÷íûõ äâîè÷íûõ ñîâåðøåííûõ êîäîâ ïîëíîãî ðàíãà äëèíû n > 15.
4.45. (Íåðåøåííàÿ ïðîáëåìà). Íàéòè íîâóþ âåðõíþþ îöåíêó ÷èñëà ðàçëè÷íûõ
äâîè÷íûõ ñîâåðøåííûõ êîäîâ äëèíû n > 15.
5. Ñïîñîáû ïîñòðîåíèÿ êîäîâ
5.
19
Ñïîñîáû ïîñòðîåíèÿ êîäîâ
• Ïóñòü C è D êîäû ñ ïàðàìåòðàìè ( n2 , M1 , d1 ) è ( n2 , M2 , d2 ) ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà ãîâîðÿò,
÷òî êîä C n = {(u, u + v) | u ∈ C, v ∈ D} ïîëó÷åí èç êîäîâ C è D ïðèìåíåíèåì êîíñòðóêöèè
Ïëîòêèíà. Îí èìååò ïàðàìåòðû (n, M1 · M2 , min{2d1 , d2 }).
5.1. Îïðåäåëèòü ïàðàìåòðû êîäà, ïîëó÷åííîãî èç (n, |C|, d)-êîäà C :
a) âûêàëûâàíèåì êîäîâîé êîîðäèíàòû;
b) âûáðàñûâàíèåì (âûáîðîì âñåõ êîäîâûõ ñëîâ ÷åòíîãî âåñà);
c) óêîðî÷åíèåì (âûáîðîì âñåõ êîäîâûõ ñëîâ ñ ôèêñèðîâàííûì çíà÷åíèåì â íåêîòîðîé êîîðäèíàòå è ïîñëåäóþùèì åå óäàëåíèåì).
5.2. Ïóñòü (n, |C|, d)-êîä C íå ñîäåðæèò âåêòîð u. Íàéòè ïàðàìåòðû êîäà C 0 , ïîëó-
÷åííîãî èç C ïîïîëíåíèåì ñ ïîìîùüþ âåêòîðà u, ò. å. C 0 = C ∪ (u + C).  ñëó÷àå
ëèíåéíîãî êîäà C ïîêàçàòü, ÷òî C 0 òàêæå ëèíååí.
5.3. Ïóñòü [n, k, d]-êîä C íå ñîäåðæèò âåêòîð u. Ïóñòü êîä C 0 ïîëó÷åí èç C óäëèíåíèåì ïóòåì äîáàâëåíèÿ èíôîðìàöèîííîãî ñèìâîëà, ò. å. ïîïîëíåíèåì ñ ïîìîùüþ
âåêòîðà u, à çàòåì ðàñøèðåíèåì ñ ïîìîùüþ îáùåé ïðîâåðêè íà ÷åòíîñòü. Íàéòè
ïàðàìåòðû êîäà C 0 è äîêàçàòü åãî ëèíåéíîñòü.
5.4. Íàéòè âñå êîäû, ïîëó÷åííûå èç êîäà Õýììèíãà äëèíû 7 ìåòîäàìè, îïèñàííûìè
â çàäà÷å 5.1.
5.5. Ïóñòü G1 è G2 ïîðîæäàþùèå ìàòðèöû ëèíåéíûõ êîäîâ ñ ïàðàìåòðàìè [n1 , k1 , d1 ]
è [n2 , k2 , d2 ] ñîîòâåòñòâåííî. Íàéòè ïàðàìåòðû êîäà ñ ïîðîæäàþùåé ìàòðèöåé
G1 0
a)
; b) G1 G2 ïðè k1 = k2 .
0 G2
5.6. Ïîñòðîèòü ìàêñèìàëüíûé äâîè÷íûé êîä äëèíû 7 òàêîé, ÷òîáû ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðîèçâîëüíîé ïàðîé êîäîâûõ ñëîâ áûëî ðàâíî 4.
5.7. Ïîñòðîèòü ðàñøèðåííûé êîä Õýììèíãà äëèíû 8 äîáàâëåíèåì îáùåé ïðîâåðêè
íà ÷åòíîñòü. Äîêàçàòü, ÷òî êîä èìååò ðàññòîÿíèå 4, îáíàðóæèâàåò 2 îøèáêè è èñïðàâëÿåò îäíó îøèáêó.
5.8. Ïîñòðîèòü ìàêñèìàëüíûé êîä äëèíû 8 ñ ïîïàðíûì ðàññòîÿíèåì ìåæäó êîäîâûìè ñëîâàìè, ðàâíûì 4.
5.9. Íàéòè ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó êîäà Õýììèíãà äëèíû 15, èñïîëüçóÿ ïðîâåðî÷íóþ
ìàòðèöó êîäà Õýììèíãà äëèíû 7. Àíàëîãè÷íî äëÿ ðàñøèðåííîãî êîäà Õýììèíãà
äëèíû 16, èñïîëüçóÿ ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó ðàñøèðåííîãî êîäà Õýììèíãà äëèíû 8.
Îáîáùèòü êîíñòðóêöèþ äëÿ ïðîèçâîëüíîé äëèíû êîäà n = 2r − 1.
5.10. Íàéòè ïîðîæäàþùóþ ìàòðèöó ðàñøèðåííîãî êîäà Õýììèíãà äëèíû 16, ïî-
ñòðîåííîãî ñ ïîìîùüþ êîíñòðóêöèè Ïëîòêèíà. Êàêèå êîäû äëÿ ýòîãî íóæíî èñïîëüçîâàòü?
• Èíîãäà ïîëåçíî ñòðîèòü êîäû, ðàññìàòðèâàÿ ñóæåíèå èçâåñòíûõ êîäîâ íàä íåêîòîðûì
àëôàâèòîì, çàòåì âîçìîæíî ïðèìåíåíèå ê ïîëó÷åííûì êîäàì êàñêàäíîé êîíñòðóêöèè ñ
öåëüþ ïîëó÷åíèÿ êîäîâ ñ õîðîøèìè ïàðàìåòðàìè.
5.11.* Äîêàçàòü, ÷òî ñóæåíèå êîäà Õýììèíãà äëèíû 6 íàä ïîëåì Ãàëóà GF (5) íàä
àëôàâèòîì {0, 1, . . . , 4} \ {i}, i 6= 0, èìååò ìîùíîñòü 164, à ñóæåíèå íàä àëôàâèòîì
{1, . . . , 4} ìîùíîñòü 160.
20
6.
Ãëàâà I. Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ
Äåêîäèðîâàíèå
I. Ïóñòü p âåðîÿòíîñòü îøèáêè (èñêàæåíèÿ îäíîãî ñèìâîëà) â êàíàëå ñâÿçè. Ïîÿâëåíèå
íåïðàâèëüíîãî êîäîâîãî ñëîâà íà âûõîäå äåêîäåðà íàçûâàåòñÿ îøèáêîé äåêîäèðîâàíèÿ, åå
âåðîÿòíîñòü ðàâíà
|C|
df 1 P
prob { âûõîä äåêîäåðà 6= xi | xi áûëî ïåðåäàíî}.
Pîø = |C|
i=1
• Ïðè äåêîäèðîâàíèè ïî ïðèíöèïó ìàêñèìóìà ïðàâäîïîäîáèÿ
n
P
αi pi (1 − p)n−i , ãäå αi ÷èñëî ëèäåðîâ âåñà i ñìåæíûõ êëàññîâ êîäà.
Pîø = 1 −
i=0
• Êîä ñ ðàññòîÿíèåì d = 2t + 2 íàçûâàåòñÿ êâàçèñîâåðøåííûì, åñëè øàðû ðàäèóñà t + 1
ñ öåíòðàìè â êîäîâûõ âåðøèíàõ ïîêðûâàþò âñ¼ ïðîñòðàíñòâî E n (ïðè ýòîì øàðû áóäóò
ïåðåñåêàòüñÿ).
6.1. Ìîæíî ëè äåêîäèðîâàòü ñîîáùåíèå, ïåðåäàííîå ïî äâîè÷íîìó ñèììåòðè÷íîìó
êàíàëó ñâÿçè, åñëè âåðîÿòíîñòü èñêàæåíèÿ ñèìâîëà ðàâíà p = 1/2?
6.2. Äîêàçàòü, ÷òî ñèíäðîì Sy âåêòîðà y ðàâåí íóëåâîìó âåêòîðó òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà y ÿâëÿåòñÿ êîäîâûì âåêòîðîì.
6.3. Äîêàçàòü, ÷òî ñèíäðîì ïîëó÷åííîãî âåêòîðà ðàâåí ñóììå òåõ ñòîëáöîâ ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöû êîäà, â êîòîðûõ ïðîèçîøëè îøèáêè.
6.4. Äîêàçàòü, ÷òî äâà âåêòîðà u è v ïðèíàäëåæàò îäíîìó è òîìó æå ñìåæíîìó
êëàññó ïî ëèíåéíîìó êîäó òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ ñèíäðîìû ðàâíû.
6.5. Äîêàçàòü, ÷òî èìååòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ñèíäðîìàìè è
ñìåæíûìè êëàññàìè.
6.6. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîëó÷åííûé âåêòîð îòëè÷àåòñÿ îò ïåðåäàííîãî âåêòîðà â k êîîðäèíàòíûõ ïîçèöèÿõ ïðè óñëîâèè ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè ïî äâîè÷íîìó
ñèììåòðè÷íîìó êàíàëó ñâÿçè ñ âåðîÿòíîñòüþ èñêàæåíèÿ ñèìâîëà 0 < p < 1/2.
6.7. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ñîâåðøåííîãî äâîè÷íîãî êîäà äëèíû n ñïðàâåäëèâî
Pîø = 1 −
t
X
Cni pi (1 − p)n−i .
i=0
6.8. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî êâàçèñîâåðøåííîãî êîäà äëèíû n âûïîëíÿåòñÿ
Pîø = 1 −
t
X
Cni pi (1 − p)n−i − αt+1 pt+1 (1 − p)n−t−1 .
i=0
6.9. Äëÿ ëèíåéíîãî êîäà, çàäàííîãî ïîðîæäàþùåé ìàòðèöåé
1 0 0 0 1 1
G = 0 1 0 1 0 1 ,
0 0 1 1 1 0
ïîñòðîèòü òàáëèöó ñòàíäàðòíîãî ðàñïîëîæåíèÿ. Äåêîäèðîâàòü ñëîâî (110111) ïî òàáëèöå ñòàíäàðòíîãî ðàñïîëîæåíèÿ è ñëîâî (101011) ñ ïîìîùüþ ñèíäðîìà.
6. Äåêîäèðîâàíèå
21
6.10. Ïóñòü êîä çàäàí ïîðîæäàþùåé ìàòðèöåé
1
1
G=
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
.
1
0
0
1
0
0
Äåêîäèðîâàòü ñîîáùåíèå:
a) (1110000);
b) (1010101).
6.11. Ïóñòü êîä çàäàí ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöåé
1
0
H=
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
.
1
1
Êàêîé âèä èìååò ñèíäðîì, åñëè â êàíàëå ñâÿçè ïðîèçîøëà 1 îøèáêà? À åñëè 2 îøèáêè? Ìîæíî ëè ñ ïîìîùüþ ýòîãî êîäà îáíàðóæèâàòü 2 îøèáêè? Åñëè äà, òî êàê ýòî
ñäåëàòü? Îïèñàòü äåêîäèðîâàíèå.
6.12. Âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòü îøèáêè äåêîäèðîâàíèÿ äëÿ êîäà èç çàäà÷è 6.11, åñëè
âåðîÿòíîñòü îøèáêè â êàíàëå ñâÿçè p = 0, 001.
6.13. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ëèäåðîâ ñìåæíûõ êëàññîâ äâîè÷íîãî êîäà Õýììèíãà äëèíû n è âåðîÿòíîñòü åãî îøèáêè äåêîäèðîâàíèÿ.
6.14. Ïîñòðîèòü òàáëèöó ñèíäðîìîâ äëÿ ðàñøèðåííîãî äâîè÷íîãî êîäà Õýììèíãà
äëèíû 8. Íàéòè âåðîÿòíîñòè ïðàâèëüíîãî äåêîäèðîâàíèÿ è îøèáêè äåêîäèðîâàíèÿ
äëÿ p = 0, 02.
Ôóíêöèÿ ýíòðîïèè H(x) äëÿ äâîè÷íîãî ñèììåòðè÷íîãî êàíàëà ñâÿçè îïðåäåëÿåòñÿ
ðàâåíñòâîì
H(x) = −x log x − (1 − x) log(1 − x)
II.
ïðè 0 < x < 1, ïðè x = 0 è x = 1 ïîëàãàþò H(0) = H(1) = 0. Îòìåòèì, ÷òî log x çäåñü è
äàëåå ðàññìàòðèâàåòñÿ ïî îñíîâàíèþ 2.
• Ïðîïóñêíàÿ ñïîñîáíîñòü C(p) äâîè÷íîãî ñèììåòðè÷íîãî êàíàëà ñ âåðîÿòíîñòüþ 0 ≤ p ≤
ðàâíà
C(p) = 1 − H(p) = 1 + p log p + (1 − p) log(1 − p).
1
2
• Ñêîðîñòüþ (n, M, d)-êîäà íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà (log M )/n.
Òåîðåìà Øåííîíà. Äëÿ ëþáîé ñêîëü óãîäíî ìàëîé âåëè÷èíû ε > 0 è ëþáîãî 0 < R < C(p)
ñóùåñòâóåò äâîè÷íûé êîä C äëèíû n ìîùíîñòè M è ñêîðîñòè R òàêîé, ÷òî âåðîÿòíîñòü
îøèáêè äåêîäèðîâàíèÿ PC óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó PC < ε, ãäå M îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ R = (log M )/n.
6.15. Ïîñòðîèòü ãðàôèêè ôóíêöèé ýíòðîïèè H(x) = −x log x − (1 − x) log(1 − x) è
ïðîïóñêíîé ñïîñîáíîñòè ïðè 0 < x < 1 äëÿ äâîè÷íîãî ñèììåòðè÷íîãî êàíàëà ñâÿçè.
6.16.0 Äîêàçàòü log n! = n log n − n + O(log n).
22
Ãëàâà I. Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ
6.17.0 Äîêàçàòü Cnm ≤
nn
.
mm (n−m)n−m
6.18. Ðàññìîòðèì øàð ðàäèóñà [pn] ñ öåíòðîì â íåêîòîðîé âåðøèíå x ∈ E n :
B[pn] (x) = {y ∈ E n | d(x, y) ≤ [pn]}.
Ïóñòü 0 ≤ p ≤ 21 . Äîêàçàòü, ÷òî åãî îáúåì
|B[pn] (x)| =
[pn]
X
Cni
i=0
ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè ýíòðîïèè H(p) îöåíèâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
[pn]
X
Cni ≤ 2nH(p) .
i=0
6.19. Ïóñòü 0 ≤ p ≤
D(τ )
ε/2
1/2
è ρ = [E(τ ) + b], ãäå b =
, çäåñü E(τ ) è D(τ ) ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû τ ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà
1
2
1 1
log |Bρ (x)| ≤ H(p) − O √
ïðè n → ∞.
n
n
6.20. Íàéòè âåðîÿòíîñòü Pi òîãî, ÷òî íà âûõîäå äåêîäåðà (äëÿ ïåðåäà÷è ñîîáùåíèÿ
èñïîëüçîâàëñÿ äâîè÷íûé êîä) ïîëó÷åíî ñëîâî, îòëè÷íîå îò ïåðåäàííîãî ñëîâà xi .
6.21. Äîêàçàòü, ÷òî âåðîÿòíîñòü îøèáêè PC äëÿ äàííîé ñõåìû äåêîäèðîâàíèÿ (äâîè÷íûé ñëó÷àé) óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó
M
1 XXX
ε
PC ≤ +
P (y | xi )f (y, xj ),
2 M i=1 y∈E n j6=i
ãäå ε íåêîòîðàÿ áåñêîíå÷íî ìàëàÿ âåëè÷èíà.
7. Ïîëÿ Ãàëóà
7.
23
Ïîëÿ Ãàëóà
• Ìíîæåñòâî GF (p) = { 0, 1, . . . , p − 1} ñ îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ + è óìíîæåíèÿ · ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëà p ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ïîëåì. Êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ F [x] ñîñòîèò èç âñåõ
ìíîãî÷ëåíîâ îò ïåðåìåííîé x ñ êîýôôèöèåíòàìè èç ïîëÿ GF (p). Ìíîãî÷ëåí g(x) ∈ F [x]
íåïðèâîäèì íàä GF (p), åñëè îí íå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ èç F [x] ìåíüøåé ñòåïåíè.
7.1. Íàéòè âñå íåïðèâîäèìûå íàä GF (2) ìíîãî÷ëåíû ñòåïåíè, íå ïðåâûøàþùåé 3.
7.2. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîãî÷ëåí M (x) = x5 + x2 + 1 íåïðèâîäèì íàä GF (2).
7.3. Íàéòè ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ íà íåïðèâîäèìûå íàä GF (2) ìíîæèòåëè:
a) x5 + x4 + x2 + x;
b) x16 − x.
7.4. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî K âñåõ êîðíåé ìíîãî÷ëåíà xp − x íàä ïîëåì GF (p).
m
Äîêàçàòü, ÷òî K ÿâëÿåòñÿ ïîëåì.
7.5. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî K âñåõ êîðíåé ìíîãî÷ëåíà xp − x íàä ïîëåì GF (p).
m
Äîêàçàòü, ÷òî âñå êîðíè ðàçëè÷íû è, ñëåäîâàòåëüíî, |K| = pm .
• Ïîñòðîåííîå â çàäà÷å 7.4 ïîëå K íàçûâàåòñÿ ðàñøèðåíèåì Ãàëóà ïîëÿ GF (p) è îáîçíà÷àåòñÿ GF (pm ). Îíî ñîäåðæèò GF (p) â êà÷åñòâå íàèìåíüøåãî ïîäïîëÿ, ÷èñëî p íàçûâàåòñÿ
åãî õàðàêòåðèñòèêîé.
7.6. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïðîñòîãî p â ïîëå õàðàêòåðèñòèêè p ñïðàâåäëèâî
ðàâåíñòâî (x − y)p = xp − y p .
• Ïîðÿäêîì ýëåìåíòà β êîíå÷íîãî ïîëÿ íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøåå öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî
k òàêîå, ÷òî β k = 1.
7.7.0 Äîêàçàòü, ÷òî ïîðÿäîê ëþáîãî ýëåìåíòà ïîëÿ Ãàëóà GF (pm ) íå äåëèòñÿ íà p.
7.8. 0 Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ýëåìåíò α íåêîòîðîé ãðóïïû èìååò ïîðÿäîê k è αn åñòü
åäèíèöà ýòîé ãðóïïû, òî k äåëèò n.
7.9. Ïóñòü ýëåìåíòû β è γ êîììóòàòèâíîé ãðóïïû èìåþò ïîðÿäêè m è n ñîîòâåòñòâåííî, ïðè÷åì (m, n) = 1. Äîêàçàòü, ÷òî ïîðÿäîê ýëåìåíòà β · γ ðàâåí mn.
7.10. Ïóñòü ïîðÿäîê ýëåìåíòà β êîììóòàòèâíîé ãðóïïû ðàâåí n. Äîêàçàòü, ÷òî ïî-
ðÿäîê ýëåìåíòà β k ðàâåí
n
.
(n,k)
m
• Íåíóëåâûå ýëåìåíòû ïîëÿ GF (pm ) îáðàçóþò öèêëè÷åñêóþ ãðóïïó {1, α, α2 , . . . , αp −2 }.
Ïîðîæäàþùèé ýëåìåíò ýòîé ãðóïïû (íàïðèìåð α) íàçûâàåòñÿ ïðèìèòèâíûì ýëåìåíòîì
ïîëÿ. Íåíóëåâîé ìíîãî÷ëåí g(x) ∈ F [x] íàèìåíüøåé ñòåïåíè, êîðíåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ
ïðèìèòèâíûé ýëåìåíò ïîëÿ, íàçûâàåòñÿ ïðèìèòèâíûì.
Òåîðåìà Ôåðìà. Êàæäûé ýëåìåíò ïîëÿ Ãàëóà GF (pm ) ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ
m
xp − x = 0.
24
Ãëàâà I. Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ
7.11. Äîêàçàòü, ÷òî ÷èñëî ïðèìèòèâíûõ ýëåìåíòîâ ïîëÿ
ϕ(p − 1), ãäå ϕ(x) ôóíêöèÿ Ýéëåðà ÷èñëà x.
Ãàëóà GF (pm )
ðàâíî
m
• Ñ ïîìîùüþ íåïðèâîäèìîãî íàä GF (p) ìíîãî÷ëåíà g(x) ñòåïåíè m ìîæíî ïîñòðîèòü ïîëå
Ãàëóà ñëåäóþùèì îáðàçîì: GF (pm ) åñòü ôàêòîð-êîëüöî êîëüöà F [x] ïî ìîäóëþ ìíîãî÷ëåíà
g(x).
m
Ìíîãî÷ëåí xp − x ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ âñåõ íîðìèðîâàííûõ íåïðèâîäèìûõ íàä GF (p)
ìíîãî÷ëåíîâ, ñòåïåíè êîòîðûõ äåëÿò m.
7.12. Íàéòè ýëåìåíò, îáðàòíûé ïî óìíîæåíèþ ê ýëåìåíòó x + 3 ïîëÿ Ãàëóà, ïîñòðîåííîãî ñ ïîìîùüþ íåïðèâîäèìîãî íàä GF (5) ìíîãî÷ëåíà x2 + 4x + 2. Ïîëå Ãàëóà íå
ñòðîèòü.
7.13. Ïóñòü β ýëåìåíò ïîëÿ Ãàëóà GF (23 ), ïîñòðîåííîãî ïî ìîäóëþ íåïðèâîäèìîãî
ìíîãî÷ëåíà x3 + x + 1. Äîêàçàòü, ÷òî ýëåìåíòû β 4 + β 2 + β è β 3 + β 5 + β 6 âñåãäà
ïðèíàäëåæàò ïðîñòîìó ïîäïîëþ GF (2), è âûÿñíèòü, â êàêèõ ñëó÷àÿõ îíè ðàâíû
íóëþ ïîëÿ, à â êàêèõ ñëó÷àÿõ åäèíèöå.
7.14. Ïîñòðîèòü ïîëå Ãàëóà GF (22 ), èñïîëüçóÿ íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí x2 + x + 1.
Íàéòè òàáëèöû ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ýëåìåíòîâ ïîëÿ.
7.15. Ïîñòðîèòü äâà ïðåäñòàâëåíèÿ ïîëÿ Ãàëóà GF (52 ), èñïîëüçóÿ íåïðèâîäèìûå
ìíîãî÷ëåíû x2 −1 è x2 +x+1. Óêàçàòü èçîìîðôèçì ýòèõ ïðåäñòàâëåíèé ïîëÿ GF (52 ).
• Ôóíêöèÿ ̼áèóñà öåëîãî
1,
(−1)r ,
µ(m) =
0,
ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà m îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
åñëè m = 1;
åñëè m ïðîèçâåäåíèå r ðàçëè÷íûõ ïðîñòûõ ÷èñåë;
â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ.
7.16.∗ Äîêàçàòü, ÷òî ÷èñëî íîðìèðîâàííûõ íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíîâ íàä GF (p)
ñòåïåíè m ðàâíÿåòñÿ
1 X
µ(d)pm/d .
m
d, d|m
7.17. Íàéòè ÷èñëî íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíîâ íàä GF (2) ñòåïåíè 4.
7.18. Ïîñòðîèòü äâà ïðåäñòàâëåíèÿ ïîëÿ Ãàëóà GF (23 ), èñïîëüçóÿ îäèí è òîò æå
íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí x3 + x + 1, íî ðàçíûå ïðèìèòèâíûå ýëåìåíòû. Óêàçàòü
èçîìîðôèçì ýòèõ äâóõ ïðåäñòàâëåíèé ïîëÿ Ãàëóà GF (23 ).
7.19. Ïîñòðîèòü ïîëÿ Ãàëóà:
a) GF (23 ), èñïîëüçóÿ íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí x3 + x2 + 1. Ïîêàçàòü èçîìîðôèçì
ìåæäó ïîñòðîåííûì ïîëåì è ïîëåì èç çàäà÷è 7.18;
b) GF (32 ), èñïîëüçóÿ íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí x2 + x + 2;
c) GF (33 ), èñïîëüçóÿ íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí x3 + 2x + 1.
7.20. Ïîñòðîèòü ïîëå Ãàëóà GF (32 ), èñïîëüçóÿ íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí x2 + 2x + 2.
Ïîñòðîèòü òàáëèöû ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ýëåìåíòîâ â ïîëå Ãàëóà. Â ïîëå íàéòè
ýëåìåíò, îáðàòíûé 2α, ãäå α ïðèìèòèâíûé ýëåìåíò.
7. Ïîëÿ Ãàëóà
25
7.21. ∗ Äîêàçàòü, ÷òî àâòîìîðôèçìû ïîëÿ GF (pm ) îáðàçóþò öèêëè÷åñêóþ ãðóïïó
ïîðÿäêà m.
7.22. Íàéòè ãðóïïû àâòîìîðôèçìîâ ïîëåé GF (24 ), GF (25 ), GF (26 ). Ðåøèòü çàäà÷ó
áåç èñïîëüçîâàíèÿ ÿâíûõ ïðåäñòàâëåíèé ïîëåé Ãàëóà.
7.23.∗ Ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò àâòîìîðôèçì (íåâûðîæäåííîå ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå) âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà GF (q)n ïîðÿäêà q n − 1.
26
8.
Ãëàâà I. Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ
Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí
• Ìèíèìàëüíûì ìíîãî÷ëåíîì ýëåìåíòà β èç GF (pm ) íàçûâàåòñÿ ïðèâåäåííûé ìíîãî÷ëåí
M (x) íàä ïîëåì GF (p) íàèìåíüøåé ñòåïåíè òàêîé, ÷òî M (β) = 0.
• Ñâîéñòâà ìèíèìàëüíîãî ìíîãî÷ëåíà M (x) ýëåìåíòà β èç GF (pm ).
1. Ìíîãî÷ëåí M (x) íåïðèâîäèì íàä GF (p).
2. Åñëè f (x) íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí òàêîé, ÷òî f (β) = 0, òî M (x) äåëèò f (x).
m
3. Ìíîãî÷ëåí M (x) äåëèò xp − x.
4. Ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà M (x) íå ïðåâîñõîäèò m.
5. Ìíîãî÷ëåí M (x) ìèíèìàëüíûé äëÿ ýëåìåíòîâ β è β p .
Ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë ïî ìîäóëþ pm − 1 ñëåäóþùèì îáðàçîì ðàñïàäàåòñÿ íà ïîäìíîæåñòâà, íàçûâàåìûå öèêëîòîìè÷åñêèìè êëàññàìè ïî ìîäóëþ pm − 1: öèêëîòîìè÷åñêèé êëàññ,
ñîäåðæàùèé s, èìååò âèä Cs = {s, ps, p2 s, p3 s, . . . , pms −1 s}, ãäå ms íàèìåíüøåå ïîëîæèòåëüíîå öåëîå ÷èñëî òàêîå, ÷òî pms · s ≡ s (mod pm − 1).
Ïóñòü M (i) (x) ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí ýëåìåíòà αi èç GF (pm ), ãäå α ïðèìèòèâíûé
ýëåìåíò ïîëÿ.
6. Åñëè i ëåæèò â êëàññå Cs , òî ñïðàâåäëèâî M (i) (x) =
Q
(x − αj ).
j∈Cs
• Èç òåîðåìû Ôåðìà ñëåäóåò ðàâåíñòâî
xp
m −1
−1=
Y
M (s) (x),
s
ãäå s ïðîáåãàåò âñå ìíîæåñòâî ïðåäñòàâèòåëåé öèêëîòîìè÷åñêèõ êëàññîâ ïî ìîäóëþ pm − 1.
8.1. 0 Ïóñòü α ýëåìåíò ïîëÿ GF (pm ), m ≤ 2. Êîãäà ìíîãî÷ëåí x − α ÿâëÿåòñÿ
ìèíèìàëüíûì äëÿ α?
8.2. Íàéòè öèêëîòîìè÷åñêèå êëàññû ïî ìîäóëÿì 7, 8, 15, 31.
8.3. Ïóñòü ïîëå Ãàëóà GF (23 ) çàäàíî ñ ïîìîùüþ íåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà
x3 + x2 + 1.
Íàéòè âûðàæåíèÿ äëÿ ìèíèìàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ âñåõ ýëåìåíòîâ ïîëÿ GF (23 ).
8.4. Íàéòè ÿâíûé âèä ìèíèìàëüíîãî ìíîãî÷ëåíà M (1) (x) ïðèìèòèâíîãî ýëåìåíòà α
ïîëÿ GF (24 ), åñëè ïîëå Ãàëóà ïîñòðîåíî ïî ìîäóëþ ìíîãî÷ëåíà x4 + x + 1.
8.5. Ïóñòü ïîëå GF (32 ) çàäàíî ñ ïîìîùüþ íåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà x2 + x + 2.
Íàéòè âûðàæåíèÿ äëÿ ìèíèìàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ âñåõ ýëåìåíòîâ ïîëÿ GF (32 ).
8.6. Ðàçëîæèòü ìíîãî÷ëåíû a) x8 − x, b) x16 − x â ïðîèçâåäåíèå ìèíèìàëüíûõ
ìíîãî÷ëåíîâ ýëåìåíòîâ a) ïîëÿ Ãàëóà GF (23 ); b) ïîëÿ Ãàëóà GF (24 ) ñîîòâåñòâåííî.
8.7. Íàéòè ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà x10 − x íà íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû íàä GF (2).
8. Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí
27
8.8. Íàéòè ðàçëîæåíèå x5 +x4 +x3 +2x2 +1 íà íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû íàä GF (3).
8.9. Íàéòè ìèíèìàëüíûå ìíîãî÷ëåíû ýëåìåíòîâ ïîëÿ Ãàëóà GF (24 ). Êàêèå èç íèõ
ÿâëÿþòñÿ ïîðîæäàþùèìè ìíîãî÷ëåíàìè êîäà Õýììèíãà?
8.10. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ýëåìåíòà β èç GF (pm ) ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí Mβ (x) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåí.
8.11. Ïóñòü β ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò ïîëÿ GF (pm ). Äîêàçàòü, ÷òî åñëè äëÿ íåêîòî-
ðîãî ìíîãî÷ëåíà f (x) ∈ F [x] âûïîëíåíî f (β) = 0, òî ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí Mβ (x)
äåëèò f (x).
8.12. Äîêàçàòü, ÷òî ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí Mβ (x) ïðîèçâîëüíîãî íåíóëåâîãî ýëåìåíòà β èç GF (pm ) äåëèò ìíîãî÷ëåí xp
m −1
− 1.
8.13. Äîêàçàòü, ÷òî ñòåïåíü ìèíèìàëüíîãî ìíîãî÷ëåíà ëþáîãî ýëåìåíòà ïîëÿ GF (pm )
íå ïðåâîñõîäèò m.
8.14. Äîêàçàòü, ÷òî ñòåïåíü ìèíèìàëüíîãî ìíîãî÷ëåíà ïðèìèòèâíîãî ýëåìåíòà ïîëÿ
GF (pm ) ðàâíà m.
8.15. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè i ëåæèò â êëàññå Cs , òî ñïðàâåäëèâî
M (i) (x) =
Y
j∈Cs
(x − αj ).
28
9.
Ãëàâà I. Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ
Öèêëè÷åñêèå êîäû
• Ëèíåéíûé êîä äëèíû n íàçûâàåòñÿ öèêëè÷åñêèì, åñëè äëÿ ëþáîãî êîäîâîãî ñëîâà (x1 , x2 ,
. . . , xn ) ñëîâî (x2 , . . . , xn , x1 ) òàêæå ÿâëÿåòñÿ êîäîâûì. Ïîäêîëüöî I êîëüöà F [x]/(xn − 1)
íàçûâàåòñÿ èäåàëîì, åñëè äëÿ ëþáûõ ìíîãî÷ëåíîâ u(x) ∈ F [x]/(xn − 1) è c(x) ∈ I ìíîãî÷ëåí
u(x) · c(x) ïðèíàäëåæèò I .
Òåîðåìà. Ïîäïðîñòðàíñòâî êîëüöà F [x]/(xn − 1) ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêèì êîäîì òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî îáðàçóåò èäåàë.
Ïðèâåäåííûé ìíîãî÷ëåí íàèìåíüøåé ñòåïåíè, ïðèíàäëåæàùèé öèêëè÷åñêîìó êîäó, íàçûâàåòñÿ ïîðîæäàþùèì ìíîãî÷ëåíîì êîäà.
• Êîä äëèíû n ðàçìåðíîñòè k íàä GF (q) íàçûâàåòñÿ ñèñòåìàòè÷åñêèì, åñëè ïîñëå âû÷åðêèâàíèÿ íåêîòîðûõ n − k ñòîëáöîâ èç åãî êîäîâîé ìàòðèöû îñòàþòñÿ â òî÷íîñòè âñå
ðàçëè÷íûå âåêòîðû äëèíû k èç Eqk .
Òåîðåìà (Ãðàíèöà Á×Õ). Ïóñòü C öèêëè÷åñêèé êîä ñ òàêèì ïîðîæäàþùèì ìíîãî-
÷ëåíîì g(x), ÷òî äëÿ íåêîòîðûõ öåëûõ ÷èñåë b ≥ 0, δ > 1 âûïîëíÿåòñÿ
g(αb ) = g(αb+1 ) = . . . = g(αb+δ−2 ) = 0,
ò. å. δ − 1 ïîñëåäîâàòåëüíûõ ñòåïåíåé ïðèìèòèâíîãî ýëåìåíòà α ïîëÿ Ãàëóà GF (pm )
ÿâëÿþòñÿ íóëÿìè êîäà. Òîãäà êîäîâîå ðàññòîÿíèå êîäà íå ìåíüøå δ .
9.1.0 Âûÿñíèòü, ÿâëÿþòñÿ ëè ñëåäóþùèå êîäû öèêëè÷åñêèìè:
a) äâîè÷íûé êîä {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)};
b) òðîè÷íûé êîä, ñîñòîÿùèé èç âñåõ òðîè÷íûõ âåêòîðîâ äëèíû 4;
c) äâîè÷íûé ëèíåéíûé êîä äëèíû 15, íàèìåíüøèé íåíóëåâîé ñòåïåíè êîäîâûé
ìíîãî÷ëåí êîòîðîãî ðàâåí x.
9.2. Ïîñòðîèòü öèêëè÷åñêèé êîä äëèíû 7 ñ êîäîâûì ðàññòîÿíèåì 3. Íàéòè ïîðîæäàþùèé ìíîãî÷ëåí êîäà.
9.3. ßâëÿåòñÿ ëè öèêëè÷åñêèì êîä, ïîëó÷åííûé èç öèêëè÷åñêîãî äîáàâëåíèåì îáùåé
ïðîâåðêè íà ÷åòíîñòü?
9.4. ßâëÿåòñÿ ëè öèêëè÷åñêèì äâîè÷íûé êîä ñ ïîðîæäàþùåé ìàòðèöåé
1 0 1 1 0 0
0 1 0 1 1 0 .
1 1 1 0 0 0
Íàéòè ïàðàìåòðû êîäà.
9.5. Èñïîëüçóÿ çàäà÷ó 8.6 a), ðàññìîòðåòü ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà x8 − x â ïðîèçâåäåíèå ìèíèìàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ è âûÿñíèòü:
a) êàêèå ýëåìåíòû ïîëÿ GF (23 ), ïîñòðîåííîãî ñ ïîìîùüþ íåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà x3 + x + 1, èì îòâå÷àþò;
b) ñêîëüêî äâîè÷íûõ öèêëè÷åñêèõ êîäîâ äëèíû 7 ìîæíî ïîñòðîèòü;
c) íàéòè ïîðîæäàþùèå è ïðîâåðî÷íûå ìàòðèöû ýòèõ êîäîâ.
9. Öèêëè÷åñêèå êîäû
29
9.6. Íàéòè ïðîâåðî÷íûé ìíîãî÷ëåí öèêëè÷åñêîãî êîäà Õýììèíãà ñ ïîðîæäàþùèì
ìíîãî÷ëåíîì g(x) = x4 + x + 1.
9.7. Íàéòè äâà ñèñòåìàòè÷åñêèõ êîäåðà êîäà äëèíû 7 ñ ïîðîæäàþùèì ìíîãî÷ëåíîì
g(x) = x3 + x + 1. Çàêîäèðîâàòü ñ èõ ïîìîùüþ âåêòîð (1101).
9.8. Íàéòè ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó öèêëè÷åñêîãî êîäà äëèíû 5 ñ ïîðîæäàþùèì ìíîãî÷ëåíîì g(x) = x + 1.
9.9. Íàéòè ïðîâåðî÷íóþ è ïîðîæäàþùóþ ìàòðèöû êîäà äëèíû 7 ñ ïîðîæäàþùèì
ìíîãî÷ëåíîì g(x) = (x + 1)(1 + x + x3 ). Ïîñòðîèòü êîä, íàéòè êîäîâîå ðàññòîÿíèå,
óêàçàòü ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó îðòîãîíàëüíîãî êîäà.
9.10. Íàéòè ñèñòåìàòè÷åñêèé êîäåð äëÿ êîäà èç çàäà÷è 9.9, äåêîäèðîâàòü ïîëó÷åííûå ñëîâà (1,0,1,1,0,1,1) è (1,1,1,0,0,1,1).
9.11. Ïóñòü äâîè÷íûé êîä çàäàí ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöåé
1 α α2 . . . α14
1 α3 α6 . . . α3×14
,
ãäå α åñòü âåêòîð-ñòîëáåö, ïðåäñòàâëÿþùèé ïðèìèòèâíûé ýëåìåíò ïîëÿ Ãàëóà GF (24 ),
çàäàííîãî íåïðèâîäèìûì ìíîãî÷ëåíîì f (x) = x4 + x + 1.
a) Êàêîâî ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå êîäà?
b) Ïóñòü ïîëó÷åííîå ñëîâî èìååò ñèíäðîì
α7
α14
. Êàêîâ íàèáîëåå âåðîÿòíûé
âåêòîð îøèáêè?
9.12. Äîêàçàòü, ÷òî â ãðóïïå ñèììåòðèé ïðîèçâîëüíîãî äâîè÷íîãî êîäà Õýììèíãà
äëèíû n ñóùåñòâóåò ñèììåòðèÿ ïîðÿäêà n.
9.13. Íàéòè íåöèêëè÷åñêèé äâîè÷íûé êîä Õýììèíãà äëèíû 7.
9.14. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè äëÿ ïîðîæäàþùåãî ìíîãî÷ëåíà g(x) öèêëè÷åñêîãî êîäà
íàä GF (p) âûïîëíÿåòñÿ g(1) 6= 0, òî åäèíè÷íûé âåêòîð ïðèíàäëåæèò êîäó. Íàéòè
óñëîâèå, êîãäà âåðíî îáðàòíîå.
9.15. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè â äâîè÷íîì öèêëè÷åñêîì êîäå ñîäåðæèòñÿ âåêòîð íå÷åòíîãî
âåñà, òî åäèíè÷íûé âåêòîð ïðèíàäëåæèò êîäó. Íàéòè óñëîâèå, êîãäà âåðíî îáðàòíîå.
9.16.∗ Äîêàçàòü, ÷òî â ëþáîì q -çíà÷íîì öèêëè÷åñêîì êîäå C äëèíû n, (n, q)=1, åñòü
åäèíñòâåííàÿ åäèíèöà äëÿ C , ò. å. òàêîé ìíîãî÷ëåí c(x), ÷òî c(x)c0 (x) = c0 (x) äëÿ
ëþáîãî êîäîâîãî ìíîãî÷ëåíà c0 (x).
9.17. Íàéòè åäèíèöó äâîè÷íîãî öèêëè÷åñêîãî êîäà äëèíû 15 ñ ïîðîæäàþùèì ìíîãî÷ëåíîì g(x) = x2 + x + 1.
9.18. Íàéòè âñå èäåìïîòåíòû, ò. å. âñå ìíîãî÷ëåíû c(x) ñî ñâîéñòâîì c2 (x) = c(x),
äâîè÷íîãî öèêëè÷åñêîãî êîäà äëèíû 15 ñ ïîðîæäàþùèì ìíîãî÷ëåíîì g(x) = x10 +
x5 + 1 .
30
10.
Ãëàâà I. Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ
Êîäû Á×Õ
• Êîäîì Á×Õ íàä ïîëåì GF (p) äëèíû n = pm − 1 ñ êîíñòðóêòèâíûì ðàññòîÿíèåì δ >
1 íàçûâàåòñÿ öèêëè÷åñêèé êîä ñ ïîðîæäàþùèì ìíîãî÷ëåíîì, íóëÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ
ýëåìåíòû
αb , αb+1 , . . . , αb+δ−2 ,
ãäå α ïðèìèòèâíûé ýëåìåíò ïîëÿ GF (pm ) è b íåêîòîðîå íåîòðèöàòåëüíîå öåëîå ÷èñëî.
Ïðèâåäåì äðóãîå ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå.
• Êîä Á×Õ íàä ïîëåì GF (p) äëèíû n = pm − 1 ýòî öèêëè÷åñêèé êîä ñ ïîðîæäàþùèì
ìíîãî÷ëåíîì
g(x) = {M (b) (x), M (b+1) (x), . . . , M (b+δ−2) (x)},
ãäå b íåêîòîðîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî. Ïðè b = 1 êîäû Á×Õ íàçûâàþòñÿ êîäàìè Á×Õ
â óçêîì ñìûñëå.
Òåîðåìà î êîäå Á×Õ. Êîä Á×Õ íàä GF (p) äëèíû n = pm − 1 ñ êîíñòðóêòèâíûì ðàññòî-
ÿíèåì δ > 1 èìååò ïàðàìåòðû [n = pm − 1, k ≥ n − (δ − 1)m, d ≥ δ].
10.1. Íàéòè êîäîâûå ñëîâà, ïðîâåðî÷íóþ è ïîðîæäàþùóþ ìàòðèöû êîäà Á×Õ äëèíû
8 íàä GF (3) ñ êîíñòðóêòèâíûì ðàññòîÿíèåì 2.
10.2. Íàéòè âûðàæåíèÿ äëÿ ïîðîæäàþùèõ ìíîãî÷ëåíîâ âñåõ êîäîâ Á×Õ äëèíû 8
íàä GF (3).
10.3. Íàéòè âûðàæåíèÿ äëÿ âñåõ ïîðîæäàþùèõ ìíîãî÷ëåíîâ, à òàêæå ïàðàìåòðû
âñåõ äâîè÷íûõ êîäîâ Á×Õ â óçêîì ñìûñëå äëèíû 7.
10.4. Íàéòè ïîðîæäàþùèå ìàòðèöû, êîäîâûå ñëîâà è ïàðàìåòðû êîäîâ Á×Õ â óçêîì
ñìûñëå äëèíû 15, èñïðàâëÿþùèõ 1, 3 è 5 îøèáîê.
10.5. Íàéòè âñå êîäîâûå ñëîâà ìèíèìàëüíîãî âåñà, ñîäåðæàùèå 1 â ïåðâîé êîîðäè-
íàòíîé ïîçèöèè, êîäà Á×Õ ñ ïàðàìåòðàìè [15,7,5]. Ïîëå Ãàëóà ïðåäñòàâèìî ìíîãî÷ëåíîì f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1.
10.6. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò êîäîâûõ ñëîâ ìèíèìàëüíîãî âåñà â êîäå Á×Õ äëèíû 15,
èñïðàâëÿþùåãî 2 îøèáêè. Ïîëå Ãàëóà ïîñòðîåíî ïî ìîäóëþ ìíîãî÷ëåíà f (x) = x4 +
x + 1. Íàéòè ýòè êîäîâûå ñëîâà.
10.7. Äîêàçàòü, ÷òî êîä Ðèäà Ñîëîìîíà ñ ïàðàìåòðàìè [3, 2, 2]4 äîïóñêàåò äâîéíóþ
ïðîâåðêó íà ÷åòíîñòü. Íàéòè ïîðîæäàþùèå è ïðîâåðî÷íûå ìíîãî÷ëåíû ýòîãî êîäà,
ïîñòðîèòü âñå òðè êîäà.
10.8. Ïóñòü H ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà êîäà Ðèäà Ñîëîìîíà ñ ïàðàìåòðàìè [n, k, d]q .
Äîêàçàòü, ÷òî îí äîïóñêàåò äâå ïðîâåðêè íà ÷åòíîñòü,
ãäå ïåðâàÿ
1
1 1
.
. .
ëÿåòñÿ êàê îáû÷íî, à âòîðàÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
α1q−k . .
Íàéòè ïàðàìåòðû êîäîâ, ïîëó÷åííûõ ñ ïîìîùüþ ýòèõ ïðîâåðîê.
ïðîâåðêà îïðåäå
1
. .
1
H .
.
0 .
q−k
. . αq−1 1
10.9. Ýêâèâàëåíòíû ëè êîäû, çàäàííûå ñëåäóþùèìè ïðîâåðî÷íûìè ìàòðèöàìè:
1 α α2 . . . α14
1 α3 α6 . . . α3×14
è
1 α α2 α3 α4 α5 α6 α7 α8 α9 α10 α11 α12 α13 α14
α12 α9 α6 α3 1 α12 α9 α6 α3 1 α12 α9 α6 α3 1
.
10. Êîäû Á×Õ
31
10.10. Íàéòè ïàðàìåòðû äâîè÷íîãî öèêëè÷åñêîãî êîäà äëèíû 15 ñ ïîðîæäàþùèì
ìíîãî÷ëåíîì a) M (1) (x)M (2) (x); b) M (1) (x)M (3) (x).
10.11. Ïóñòü äàí êîä Á×Õ äëèíû 15 ñ ïîðîæäàþùèì ìíîãî÷ëåíîì
g(x) = 1 + x2 + x5 + x6 + x8 + x9 + x10 ,
ïîëå Ãàëóà GF (24 ) ïîñòðîåíî ïî ìîäóëþ ìíîãî÷ëåíà x4 + x3 + 1. Ñêîëüêî îøèáîê
èñïðàâëÿåò êîä?
10.12. Ïóñòü äàí êîä Á×Õ äëèíû 15 ñ ïîðîæäàþùèì ìíîãî÷ëåíîì
g(x) = 1 + x2 + x5 + x6 + x8 + x9 + x10 ,
ïîëå Ãàëóà GF (24 ) ïîñòðîåíî ïî ìîäóëþ ìíîãî÷ëåíà x4 + x3 + 1. Äåêîäèðîâàòü ïîëó÷åííûå íèæå âåêòîðû, â êàæäîì ñëó÷àå îïèñàòü ïðîöåäóðû äåêîäèðîâàíèÿ, íàéòè
âåêòîðû îøèáîê:
a) x = (0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0);
b) y = (0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0);
c) z = (0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0).
10.13. Ïóñòü äëÿ ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè èñïîëüçîâàí êîä èç çàäà÷è 10.12. Äåêîäèðîâàòü ïîëó÷åííûå íèæå âåêòîðû, â êàæäîì ñëó÷àå îïèñàòü ïðîöåäóðû äåêîäèðîâàíèÿ,
íàéòè âåêòîðû îøèáîê:
a) x = (0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1);
b) y = (1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0);
c) z = (1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0).
10.14. Ïóñòü C öèêëè÷åñêèé êîä äëèíû n ñ òàêèì ïîðîæäàþùèì ìíîãî÷ëåíîì
g(x), ÷òî äëÿ íåêîòîðûõ öåëûõ ÷èñåë b ≥ 0, δ > 1 âûïîëíÿåòñÿ
g(αb ) = g(αb+r ) = . . . = g(αb+(δ−2)r ) = 0,
ãäå ÷èñëà r è n âçàèìíî ïðîñòû, α ïðèìèòèâíûé ýëåìåíò ïîëÿ Ãàëóà GF (pm ).
Äîêàçàòü, ÷òî êîäîâîå ðàññòîÿíèå öèêëè÷åñêîãî êîäà íå ìåíüøå δ .
32
11.
Ãëàâà I. Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ
Áëîê-ñõåìû è êîäû
• t − (n, k, λ) áëîê-ñõåìîé íàçûâàåòñÿ íàáîð k -ýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâ (èìåíóåìûõ áëîêàìè) n-ýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà, òàêîé ÷òî âñÿêîå t-ýëåìåíòíîå ïîäìíîæåñòâî ñîäåðæèòñÿ
ðîâíî λ ðàç â k -ýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâàõ.
• Ñèñòåìîé òðîåê ST S(n) (÷åòâåðîê) Øòåéíåðà (SQS(n) ñîîòâåòñòâåííî) ïîðÿäêà n íàçûâàåòñÿ 2 − (n, 3, 1) ñõåìà (3 − (n, 4, 1) ñõåìà ñîîòâåòñòâåííî).
• Ãðóïïîé àâòîìîðôèçìîâ t − (n, k, λ) áëîê-ñõåìû íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíàÿ ãðóïïà ïîäñòàíîâîê n-ýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà, ñòàáèëèçèðóþùàÿ ìíîæåñòâî áëîêîâ ñõåìû.
11.1. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ âåñà 3 â äâîè÷íîì (ðàñøèðåííîì) ñîâåðøåííîì êîäå äëèíû n, ñîäåðæàùåì íóëåâîé âåêòîð, îáðàçóåò ñèñòåìó òðîåê (÷åòâåðîê) Øòåéíåðà ïîðÿäêà n.
11.2. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ âåñà 3 â äâîè÷íîì êîäå Õýììèíãà äëèíû 7 îáðàçóåò ïðîåêòèâíóþ ïëîñêîñòü Ôàíî.
11.3. Íàéòè ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ñèñòåì òðîåê Øòåéíåðà ïîðÿäêà 7.
11.4. Ïîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ ñèñòåìà òðîåê Øòåéíåðà ïîðÿäêà 7 âëîæèìà â ñîâåðøåííûé êîä äëèíû 7.
11.5. Äîêàçàòü, ÷òî ST S(7) åäèíñòâåííà ñ òî÷íîñòüþ äî ïîäñòàíîâêè.
11.6. Íàéòè âñå ñèñòåìû òðîåê Øòåéíåðà ïîðÿäêà 7, íå ïåðåñåêàþùèåñÿ ñ çàäàííîé.
11.7. Ïîñòðîèòü ñèñòåìó òðîåê Øòåéíåðà ïîðÿäêà 9. Äîêàçàòü åå åäèíñòâåííîñòü.
11.8. Íàéòè ïîðÿäêè ãðóïï àâòîìîðôèçìîâ ST S(7) è ST S(9).
11.9. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ âåñà 3 â E 9 ìîæíî ðàçáèòü íà ñèñòåìû
òðîåê Øòåéíåðà ïîðÿäêà 9. Íàéòè âñå ýòè ñèñòåìû.
11.10. Äîêàçàòü, ÷òî t − (n, k, λ) áëîê-ñõåìà ÿâëÿåòñÿ (t − 1) − (n, k, λ(n − t + 1)/(k −
t + 1)) áëîê-ñõåìîé.
11.11. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ t−(n, k, λ) áëîê-ñõåìû c n > k ≥ 2 èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
Ôèøåðà: |D| ≥ n.
11.12. Äîêàçàòü, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ñèñòåìû òðîåê Øòåéíåðà ïîðÿäêà 12.
11.13. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñèñòåìà òðîåê Øòåéíåðà ñóùåñòâóåò, òî åå ïîðÿäîê ñðàâíèì ñ 1 è 3 ïî ìîäóëþ 6.
11.14. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñèñòåìà ÷åòâåðîê Øòåéíåðà ñóùåñòâóåò, òî åå ïîðÿäîê
ñðàâíèì ñ 2 è 4 ïî ìîäóëþ 6.
11.15. Ïîñòðîèòü ñèñòåìó ÷åòâåðîê Øòåéíåðà ïîðÿäêà 8, îïèñàòü åå ãðóïïó àâòîìîðôèçìîâ.
11.16. Ïîëó÷èòü îïèñàíèå êîíñòðóêöèè ñèñòåìû òðîåê Øòåéíåðà ïîðÿäêà n, îáðàçîâàííîé êîäîâûìè ñëîâàìè âåñà 3 â êîäå Âàñèëüåâà äëèíû n.
11. Áëîê-ñõåìû è êîäû
33
11.17. Îïèñàòü ãðóïïó àâòîìîðôèçìîâ ñèñòåìû òðîåê Øòåéíåðà ïîðÿäêà n, îáðàçîâàííîé êîäîâûìè ñëîâàìè ìèíèìàëüíîãî âåñà êîäà Õýììèíãà äëèíû n. Ïðèâåñòè
ïîäîáíîå îïèñàíèå äëÿ ñèñòåì ÷åòâåðîê Øòåéíåðà ïîðÿäêà N , îáðàçîâàííûõ êîäîâûìè ñëîâàìè ðàñøèðåííîãî ñîâåðøåííîãî êîäà Õýììèíãà äëèíû N .
11.18. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñóùåñòâóþò ñèñòåìû òðîåê Øòåéíåðà ïîðÿäêîâ n è m,
òî ñóùåñòâóåò ñèñòåìà òðîåê Øòåéíåðà ïîðÿäêà nm, ñîäåðæàùàÿ ïîäñèñòåìû, èçîìîðôíûå ñèñòåìàì ïîðÿäêîâ n è m. Íàéòè ýòó ñèñòåìó.
• Êîä, ó êîòîðîãî âñå êîäîâûå ñëîâà èìåþò îäèíàêîâûé âåñ, íàçûâàåòñÿ ðàâíîâåñíûì. Ìàêñèìàëüíî âîçìîæíàÿ ìîùíîñòü äâîè÷íûõ ðàâíîâåñíûõ êîäîâ îáîçíà÷àåòñÿ â ëèòåðàòóðå
÷åðåç A(n, d, w), ãäå n äëèíà êîäà, d êîäîâîå ðàññòîÿíèå, à w âåñ êîäîâûõ ñëîâ.
11.19. Äîêàçàòü:
a) A(n, 2δ − 1, w) = A(n, 2δ, w);
b) A(n, 2δ, w) = A(n, 2δ, n − w);
c) A(n, 2δ, w) = 1, åñëè w < δ ;
d) A(n, 2δ, w) = bn/δc;
e) A(n, 2, w) = Cnw .
11.20.* Äîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâà îöåíêà Äæîíñîíà:
δn
A(n, 2δ, w) =
2
w − wn + δn
ïðè óñëîâèè, ÷òî w2 − wn + δn > 0.
11.21. Äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü îöåíîê Äæîíñîíà:
a) A(n, 2δ, w) ≤ wn A(n − 1, 2δ, w − 1);
n
b) A(n, 2δ, w) ≤ n−w
A(n − 1, 2δ, w).
n−1
11.22. Äîêàçàòü A(n, 2δ, w) ≤ d wn d w−1
d. . . d n−w−δ
e . . .e.
δ
11.23. Äîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâî A(10, 6, 3) = 3, A(10, 6, 4) = 5, A(10, 6, 5) = 6,
A(11, 6, 4) = 6, A(11, 6, 5) = 11, A(12, 6, 4) = 9.
11.24.* Ïóñòü A(n, 2δ, w) = M . Ïóñòü öåëûå ÷èñëà k è t îïðåäåëåíû èç ðàâåíñòâà
wM = nk + t, 0 ≤ t < n.
Äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü îöåíêè
nk(k − 1) + 2kt ≤ (w − δ)M (M − 1).
11.25. Íàéòè A(9, 6, 4) è A(8, 6, 4).
11.26. Äîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâî A(20, 8, 7) ≤ 80.
11.27.* Äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü îöåíêè Äæîíñîíà:
A(n, 2δ + 1)(1 +
Cn1
+ ... +
Cnδ
δ
Cnδ+1 − C2δ+1
A(n, 2δ + 2, 2δ + 1)
+
) ≤ 2n .
n
d δ+1 e
34
Ãëàâà I. Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ
11.28.* Äîêàçàòü, ÷òî A(12, 6, 5) = 12.
11.29.* Äîêàçàòü, ÷òî A(13, 6, 5) = 18.
11.30. Îöåíèòü ñâåðõó A(12, 5).
11.31. Äëÿ ÷åòíîãî n ïîêàçàòü, ÷òî A(n, 3) ≤ 2n /(n + 2).
11.32.* Äîêàçàòü ìàêñèìàëüíîñòü êîäà Ïðåïàðàòû, ò. å. ïîêàçàòü, ÷òî äâîè÷íûé
êîä ñ ïàðàìåòðàìè (n = 4m , M = 2n /m2 , d = 6), m ≥ 2, ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì
ïî ìîùíîñòè êîäîì äëèíû n = 4m , èñïðàâëÿþùèì 2 îøèáêè è îáíàðóæèâàþùèì 3
îøèáêè.
12. Ïðåîáðàçîâàíèå Àäàìàðà. Êîäû Àäàìàðà, êîäû Ðèäà Ìàëëåðà
12.
35
Ïðåîáðàçîâàíèå Àäàìàðà. Äðóãèå êîäû
(êîäû Àäàìàðà, êîäû Ðèäà Ìàëëåðà)
• Ìàòðèöåé Àäàìàðà ïîðÿäêà n íàçûâàåòñÿ (n × n)-ìàòðèöà H , ýëåìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ +1 è −1, òàêàÿ, ÷òî
H · H T = nEn ,
ãäå En åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà ðàçìåðà n × n.
12.1.0 Äîêàçàòü, ÷òî ëþáûå äâå ñòðîêè ìàòðèöû Àäàìàðà îðòîãîíàëüíû (íàä ïîëåì
äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë).
12.2. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ìàòðèöû Àäàìàðà ñïðàâåäëèâî det H · H T = (det H)2 = nn .
12.3.0 Äîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöû Àäàìàðà ïîðÿäêîâ 2 è 4 åäèíñòâåííû ñ òî÷íîñòüþ äî
ýêâèâàëåíòíîñòè.
12.4. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñóùåñòâóåò ìàòðèöà Àäàìàðà ïîðÿäêà n, òî n ðàâíî 1, 2
èëè êðàòíî 4.
• Ïðÿìûì, èëè êðîíåêåðîâûì, ïðîèçâåäåíèåì äâóõ ìàòðèö
A = (aij ) ïîðÿäêà m × m è B = (bij ) ïîðÿäêà n × n
íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà A × B ïîðÿäêà (mn × mn):
a11 B a12 B . . .
·
·
·
A×B =
am1 B am2 B . . .
a1m B
.
·
amm B
12.5. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñóùåñòâóþò ìàòðèöû Àäàìàðà ïîðÿäêîâ m è n, òî èõ ïðÿìîå (êðîíåêåðîâî) ïðîèçâåäåíèå ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé Àäàìàðà ïîðÿäêà mn.
12.6. Äëÿ ëþáîãî äîïóñòèìîãî ïîðÿäêà ïîñòðîèòü ìàòðèöó Àäàìàðà ïî òèïó Ñèëüâåñòðà.
12.7. Íàéòè ñâÿçü ìåæäó êîäîì Õýììèíãà è êîäîì Àäàìàðà, ïîñòðîåííûì èç ìàòðèöû Àäàìàðà ïî òèïó Ñèëüâåñòðà.
12.8. Íàéòè ãðóïïó àâòîìîðôèçìîâ êîäà Àäàìàðà, ïîñòðîåííîãî èç ìàòðèöû Àäàìàðà ïî òèïó Ñèëüâåñòðà.
• Äâîè÷íûé êîä Ðèäà Ìàëëåðà RM(r, m) ïîðÿäêà r, 0 ≤ r ≤ m, ýòî ñîâîêóïíîñòü
âåêòîðîâ äëèíû 2m , îòâå÷àþùèõ ïîëèíîìàì îò m ïåðåìåííûõ ñòåïåíè íå áîëüøå r.
12.9. Äîêàçàòü, ÷òî êîä Ðèäà Ìàëëåðà RM(1, m) ïåðâîãî ïîðÿäêà îðòîãîíàëåí
ðàñøèðåííîìó êîäó Õýììèíãà è ñîâïàäàåò ñ êîäîì Àäàìàðà Bm .
12.10. Äîêàçàòü, ÷òî ðàñøèðåííûé êîä Õýììèíãà ÿâëÿåòñÿ êîäîì Ðèäà Ìàëëåðà
RM(m − 2, m) ïîðÿäêà m − 2.
12.11. Íàéòè ðàçìåðíîñòü êîäà Ðèäà Ìàëëåðà RM(r, m) ïîðÿäêà r.
36
Ãëàâà I. Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ
12.12. Äîêàçàòü, ÷òî êîä Ðèäà Ìàëëåðà RM(r, m) ëþáîãî ïîðÿäêà r, 0 ≤ r ≤ m,
ìîæåò áûòü îïèñàí ñ ïîìîùüþ êîíñòðóêöèè Ïëîòêèíà.
12.13. Ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå êîäà Ðèäà Ìàëëåðà RM(r, m) ïîðÿäêà r, 0 ≤ r ≤
m, ðàâíî d = 2m−r .
12.14. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ r, 0 ≤ r ≤ (m − 1), êîä Ðèäà Ìàëëåðà RM(m −
r − 1, m) îðòîãîíàëåí êîäó Ðèäà Ìàëëåðà RM(r, m).
12.15.* Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò øèðîêèé êëàññ êîäîâ ñ ïàðàìåòðàìè êîäà Ðèäà Ìàëëåðà, êîòîðûé ìîæíî ïîëó÷èòü ïðèìåíåíèåì êîíñòðóêöèè Âàñèëüåâà.
• Ïóñòü F äåéñòâèòåëüíîçíà÷íûé âåêòîð äëèíû n = 2m , à H ìàòðèöà Àäàìàðà ïîðÿäêà
n ïî òèïó Ñèëüâåñòðà. Äèñêðåòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå Àäàìàðà (êðàòêî ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå Àäàìàðà) âåêòîðà F íàçûâàåòñÿ âåêòîð
F̂ = F H,
ãäå H ìàòðèöà Àäàìàðà. ×àñòî óäîáíî ðàññìàòðèâàòü ìàòðèöó Àäàìàðà ïî òèïó Ñèëüâåñòðà (ìàòðèöó Ñèëüâåñòðà).
12.16. Äîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöà Ñèëüâåñòðà ïîðÿäêà n = 2m èìååò ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå:
Hn = {hij }n×n , ãäå hij = (−1)uv ,
à u, v ∈ E m .
12.17. Äîêàçàòü ôîðìóëó îáðàùåíèÿ äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå Àäàìàðà:
F =
1
F̂ H.
n
• Ïóñòü f : E m → {0, 1} ïðîèçâîëüíàÿ áóëåâà ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà E m . Ýòîé ôóíêöèè
îòâå÷àåò äâîè÷íûé âåêòîð f äëèíû n = 2m , êîìïîíåíòû êîòîðîãî èíäåêñèðîâàíû âåêòîðàìè
èç E m : â ïîçèöèè u ñòîèò f (u). Ââåäåì âåêòîð F, ïîëó÷àþùèéñÿ èç f çàìåíîé 1 íà 1 è 0
íà 1. Òàêèì îáðàçîì, êîîðäèíàòà âåêòîðà F, ñîîòâåòñòâóþùàÿ âåêòîðó u èç E m , ðàâíà
F (u) = (−1)f (u) , u ∈ E m .
Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Àäàìàðà âåêòîðà F ïðèìåò âèä
F̂ (u) =
X
(−1)uv F (v) =
v∈E m
X
(−1)uv+f (v) , u ∈ E m .
v∈E m
Ôîðìóëà îáðàùåíèÿ ïðèìåò âèä
F (v) =
1 X
(−1)uv F̂ (u), v ∈ E m .
2m
m
u∈E
12.18. Ïóñòü m = 2, ðàññìîòðèì áóëåâó ôóíêöèþ f (v1 , v2 ) = v1 v2 . Íàéòè âåêòîð F,
åãî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Àäàìàðà F̂ è îáðàùåíèå ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.
12. Ïðåîáðàçîâàíèå Àäàìàðà. Êîäû Àäàìàðà, êîäû Ðèäà Ìàëëåðà
37
12.19. Äîêàçàòü, ÷òî êîýôôèöèåíòû ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå Àäàìàðà íåêîòîðîãî
âåêòîðà F ñ êîîðäèíàòàìè ±1 óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùåìó ñâîéñòâó îðòîãîíàëüíîñòè:
2m
X
2 , åñëè v=0;
F̂ (u)F̂ (u + v) =
0,
åñëè v 6= 0.
m
u∈E
12.20. Äîêàçàòü ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ:
X
F̂ 2 (u) = 22m .
u∈Em
12.21. Ïîêàçàòü, ÷òî êîä Ðèäà Ìàëëåðà ïåðâîãî ïîðÿäêà R(1, m) ñîñòîèò èç âñåõ
âåêòîðîâ
m
X
ui vi , ui + u0 1 = 0 èëè 1,
i=1
ñîîòâåòñòâóþùèõ ëèíåéíûì áóëåâûì ôóíêöèÿì, îïðåäåëåííûì íà E m . Çäåñü ÷åðåç
vi îáîçíà÷åí âåêòîð çíà÷åíèé ôóíêöèè f (x1 , x2 , . . . , xm ) = xi íà ìíîæåñòâå E m .
12.22. Ïóñòü Am ëèíåéíûé [2m , m, 2m−1 ]-êîä, ñîñòîÿùèé èç âåêòîðîâ âèäà
ui ∈ {0, 1}. Ïîêàçàòü, ÷òî R(1, m) = Am ∪ {1 + Am }.
m
P
u i vi ,
i=1
12.23. Äîêàçàòü, ÷òî âåñîâîé ñïåêòð ñìåæíîãî êëàññà ïî êîäó R(1, m), ñîäåðæàùåãî
âåêòîð f, ðàâåí
1 m
{2 ± F̂(u)}, u ∈ E m .
2
12.24. Ïóñòü áóëåâû ôóíêöèè îò m ïåðåìåííûõ f è g ñâÿçàíû àôôèííûì ïðåîáðàçîâàíèåì, ò. å. äëÿ íåêîòîðîé äâîè÷íîé îáðàòèìîé ìàòðèöû B è íåêîòîðîãî áóëåâîãî
âåêòîðà b âûïîëíÿåòñÿ
g(v) = f (Bv + b).
Äîêàçàòü, ÷òî ñìåæíûå êëàññû, ñîäåðæàùèå f è g, èìåþò îäèíàêîâûå âåñîâûå ñïåêòðû.
12.25. Ïóñòü C äâîè÷íûé ëèíåéíûé [n, k]-êîä, C ⊥ îðòîãîíàëüíûé åìó êîä, à
f ïðîèçâîëüíîå âåùåñòâåííîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå, îïðåäåëåííîå íà E n . Äîêàçàòü
ñïðàâåäëèâîñòü
X
1 Xˆ
f (u).
f (v) =
|C|
⊥
u∈C
v∈C
12.26. Äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü ñîîòíîøåíèÿ
n
Y
(ai + bi ) =
i=1
n
XY
i vi
a1−v
bi ,
i
v∈E n i=1
ãäå ai , bi ∈ {0, 1}.
12.27. Äîêàçàòü òåîðåìó ÌàêÂèëüÿìñ äëÿ ëèíåéíûõ êîäîâ: ïóñòü C äâîè÷íûé
ëèíåéíûé [n, k]-êîä. Òîãäà ñïðàâåäëèâî
WC ⊥ (x, y) =
1
WC (x + y, x − y).
|C|
38
Ãëàâà I. Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ
12.28. Äîêàçàòü WC (x, y) =
1
WC ⊥ (x
|C ⊥ |
+ y, x − y).
12.29. Íàéòè ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ âåñîâîé ôóíêöèè êîäà èç çàäà÷è 12.18.
12.30. Íàéòè ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ âåñîâîé ôóíêöèè êîäà Õýììèíãà äëèíû 7.
12.31. Íàéòè ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ âåñîâîé ôóíêöèè êîäà Õýììèíãà ïðîèçâîëüíîé
äîïóñòèìîé äëèíû n.
• Ìíîãî÷ëåí Pk (x, n) =
ìíîãî÷ëåíîì Êðàâ÷óêà.
k
P
j=0
x
j
n−x
k−j
, k = 0, 1, 2, . . ., îò ïåðåìåííîé x íàçûâàåòñÿ
12.32. Íàéòè ïåðâûå ÷åòûðå ìíîãî÷ëåíà Êðàâ÷óêà.
12.33. Äîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìíîãî÷ëåíîâ Êðàâ÷óêà Pk (x, n) èìååò
âèä
(x + y)n−i (x − y)i =
n
X
Pk (i)xn−k y k .
k=0
12.34. Äîêàçàòü, ÷òî âåñîâîé ñïåêòð äóàëüíîãî êîäà ê ëèíåéíîìó êîäó îïðåäåëÿåòñÿ
ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè:
n
A0k =
1 X
Ai Pk (i).
|C| i=0
13. APN-ôóíêöèè
13.
39
APN-ôóíêöèè
• Ïóñòü F : E m → E m ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ F (0m ) = 0m . Ôóíêöèÿ F
íàçûâàåòñÿ APN-ôóíêöèåé (ïî÷òè ñîâåðøåííî íåëèíåéíîé), åñëè äëÿ ëþáîãî a ∈ E m \{0m }
è êàæäîãî b ∈ E m óðàâíåíèå
F (x) + F (x + a) = b
èìååò íå áîëåå äâóõ ðåøåíèé â E m .
• Îïðåäåëèì ïàðàìåòð δ(F ) ñëåäóþùèì îáðàçîì:
δ(F ) =
max
b∈E m , a∈E m \{0m }
|{x ∈ E m : F (x) + F (x + a) = b.
• Ïóñòü F : E m → E m ôóíêöèÿ. Äëÿ ëþáîãî a ∈ E m ïðîèçâîäíàÿ F ïî a åñòü ôóíêöèÿ
Da F èç E m â E m , îïðåäåëåííàÿ êàê
Da F (x) = F (x) + F (x + a) äëÿ ëþáîãî x ∈ E m .
13.1.0 Äîêàçàòü, ÷òî δ(F ) ≥ 2 äëÿ ëþáîé ôóíêöèè F : E m → E m , óäîâëåòâîðÿþùåé
óñëîâèþ F (0m ) = 0m . Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ, äëÿ êîòîðîé äîñòèãàåòñÿ δ(F ) = 2,
ÿâëÿåòñÿ APN-ôóíêöèåé.
13.2. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ F : E m → E m , óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ F (0m ) = 0m ,
ÿâëÿåòñÿ APN-ôóíêöèåé, åñëè åå îãðàíè÷åíèå äî ëþáîé äâóìåðíîé ïëîñêîñòè (ò. å.
àôôèííîãî ïîäïðîñòðàíñòâà) â E m íå ÿâëÿåòñÿ àôôèííûì.
13.3. Ïðè êàêèõ m ôóíêöèÿ F : E m → E m , óäîâëåòâîðÿþùàÿ F : x → x3 , ÿâëÿåòñÿ
APN-ôóíêöèåé? Êàêîìó êîäó îòâå÷àåò ýòà ôóíêöèÿ?
13.4. Ïóñòü ôóíêöèÿ F : E m → E m óäîâëåòâîðÿåò F (0m ) = 0m , m ≥ 4. Ïóñòü CF äâîè÷íûé ëèíåéíûé êîä ñ ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöåé
Hm
···
x
···
HF =
=
,
(F )
· · · F (x) · · ·
Hm
ãäå x ∈ E m , x 6= 0m , à Hm ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà êîäà Õýììèíãà ñ m ïðîâåðêàìè íà
÷åòíîñòü. Äîêàçàòü, ÷òî ðàçìåðíîñòü k êîäà CF óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó n − 2m ≤
k ≤ n − m.
13.5. ßâëÿåòñÿ ëè ôóíêöèÿ, îòâå÷àþùàÿ ëèíåéíîìó êîäó ñ ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöåé
0
0
1
H=
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
,
1
1
1
APN-ôóíêöèåé?
13.6. Äîêàçàòü, ÷òî êîäîâîå ðàññòîÿíèå dCF êîäà CF , îïðåäåëåííîãî â çàäà÷å 13.4,
óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì 3 ≤ dCF ≤ 5.
40
Ãëàâà I. Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ
13.7.∗ Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ F ÿâëÿåòñÿ APN-ôóíêöèåé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
êîäîâîå ðàññòîÿíèå êîäà CF , îïðåäåëåííîãî â çàäà÷å 13.4, ðàâíî 5.
13.8.∗ Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ F ÿâëÿåòñÿ APN-ôóíêöèåé, òî êîä CF , îïðåäå-
ëåííûé â çàäà÷å 13.4, èìååò ðàçìåðíîñòü n − 2m.
• Äëÿ ëþáîãî äâîè÷íîãî êîäà C ðàäèóñ ïîêðûòèÿ ρC îïðåäåëÿåòñÿ êàê
ρC = maxn min{d(x, C)}.
x∈E
c∈C
13.9.∗ Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ F ÿâëÿåòñÿ APN-ôóíêöèåé, òî êîä CF , îïðåäåëåííûé â çàäà÷å 13.4, èìååò ðàäèóñ ïîêðûòèÿ ρC ∈ {3, 4}.
• Ââåäåì îòíîøåíèå ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà íà ìíîæåñòâå ôóíêöèé F : E m → E m ñëåäóþùèì îáðàçîì: F 0 F , åñëè êîä CF0 ÿâëÿåòñÿ ïîäêîäîì êîäà CF .
13.10. Ïóñòü ôóíêöèÿ F ÿâëÿåòñÿ APN-ôóíêöèåé. Òîãäà ëþáàÿ ôóíêöèÿ F 0 , óäî-
âëåòâîðÿþùàÿ F 0 F , ÿâëÿåòñÿ APN-ôóíêöèåé.
13.11. Ïóñòü ôóíêöèÿ F ÿâëÿåòñÿ APN-ôóíêöèåé. Òîãäà åäèíè÷íûé âåêòîð íå ÿâëÿåòñÿ êîäîâûì ñëîâîì êîäà CF⊥ .
13.12. Äîêàçàòü, ÷òî ëèíåéíûé êîä, çàäàííûé ñâîåé ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöåé
m
1 α α2 . . .
α2 −2
m
1 α3 α6 . . . α3×(2 −2)
,
çàäàåò ïîäñòàíîâî÷íóþ APN-ôóíêöèþ äëÿ íå÷åòíîãî m, ò. å. âòîðàÿ ñòðîêà ýòîé
ìàòðèöû ÿâëÿåòñÿ ïåðåñòàíîâêîé ïåðâîé. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ êàæäîãî ÷åòíîãî m êîä
òàêæå çàäàåò APN-ôóíêöèþ, êîòîðàÿ óæå íå ÿâëÿåòñÿ ïîäñòàíîâî÷íîé ôóíêöèåé.
Ãëàâà II
Êðèïòîëîãèÿ
14.
Ýëåìåíòû òåîðèè ÷èñåë
• Ôóíêöèÿ Ýéëåðà ϕ(n) îïðåäåëÿåòñÿ êàê êîëè÷åñòâî ÷èñåë îò 1 äî n, âçàèìíî ïðîñòûõ ñ n. Åñëè ÷èñëî n èìååò êàíîíè÷åñêîå ðàçëîæåíèå n = ps11 ps22 . . . pskk , òî ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
k Y
1
ϕ(n) = n
1−
.
pi
i=1
Òåîðåìà (ìàëàÿ òåîðåìà Ôåðìà). Åñëè p ïðîñòîå è a íå äåëèòñÿ íà p, òî
ap−1 ≡ 1
(mod p).
Òåîðåìà (Ýéëåð). Åñëè íàòóðàëüíûå ÷èñëà x è n âçàèìíî ïðîñòû è n > 1, òî
âûïîëíÿåòñÿ
xϕ(n) ≡ 1
(mod n).
Òåîðåìà (êèòàéñêàÿ òåîðåìà îá îñòàòêàõ). Åñëè íàòóðàëüíûå ÷èñëà m1 , m2 , . . . ,
mk ïîïàðíî âçàèìíî ïðîñòû, òî ñèñòåìà ñðàâíåíèé
x ≡ a1
(mod m1 ), x ≡ a2
(mod m2 ), . . . , x ≡ ak
(mod mk )
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ïî ìîäóëþ n = m1 m2 . . . mk ïðè ëþáûõ öåëûõ ÷èñëàõ
a1 , a2 , . . . , ak .
14.1. Íàéòè îñòàòêè îò äåëåíèÿ 15345 − 1 íà 9.
14.2. Íàéòè îñòàòêè îò äåëåíèÿ:
a) 1910 íà 66;
b) 1914 íà 70;
c) 179 íà 48;
14
d) 1414
íà 100.
14.3. Ïóñòü p ïðîñòîå ÷èñëî. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè a ≡ b (mod pn ), òî ap ≡ bp
(mod pn+1 ).
41
42
Ãëàâà II. Êðèïòîëîãèÿ
14.4. Âû÷èñëèòü 128343 (mod 527).
14.5. Ïóñòü (m, n) = 1. Äîêàçàòü, ÷òî ñðàâíåíèå a ≡ b (mod mn) ðàâíîñèëüíî îäíîâðåìåííîìó âûïîëíåíèþ äâóõ ñðàâíåíèé a ≡ b (mod m) è a ≡ b (mod n).
14.6. Äîêàçàòü ñëåäóþùèé âàðèàíò òåîðåìû Ýéëåðà: åñëè p è q ïðîñòûå ÷èñëà,
p 6= q , òî akϕ(pq)+1 (mod pq) = a.
14.7. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî íå÷åòíîãî ÷èñëà n ñóùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå
÷èñëî m, ÷òî 2m − 1 äåëèòñÿ íà n.
14.8. Ïóñòü p ïðîñòîå ÷èñëî, à α íàòóðàëüíîå ÷èñëî. ×åìó ðàâíà ñóììà
ϕ(1) + ϕ(p) + ϕ(p2 ) + · · · + ϕ(pα )?
14.9. Äîêàçàòü ñëåäóþùåå ýêâèâàëåíòíîå ìàëîé òåîðåìå Ôåðìà óòâåðæäåíèå: åñëè
p ïðîñòîå ÷èñëî, òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî a ñïðàâåäëèâî ñðàâíåíèå ap ≡ a
(mod p).
14.10. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè p è q ïðîñòûå îòëè÷íûå äðóã îò äðóãà ÷èñëà, òî
pq−1 + q p−1 ≡ 1
(mod pq).
14.11. Ðåøèòü ñðàâíåíèå:
a) 3x ≡ 8 (mod 13);
b) 156x ≡ 41 (mod 221);
c) 271x ≡ 25 (mod 119).
14.12. Ðåøèòü ñèñòåìó ñðàâíåíèé:
3x ≡ 1
4x ≡ 3
2x ≡ 7
(mod 10);
(mod 5);
(mod 9).
14.13. Ðåøèòü â öåëûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå 45x − 37y = 25.
15. Êðèïòîñèñòåìà Äèôôè è Õåëëìàíà
15.
43
Êðèïòîñèñòåìà Äèôôè è Õåëëìàíà
Êàê îòêðûòîå ðàñïðåäåëåíèå êëþ÷åé Äèôôè è Õåëëìàíà, òàê è êðèïòîñèñòåìà Øàìèðà
áàçèðóþòñÿ íà ñëîæíîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è äèñêðåòíîãî ëîãàðèôìèðîâàíèÿ.
• Ïóñòü y = αx (mod p) ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ â êîíå÷íîì ïîëå Ãàëóà GF (p). Ôóíêöèÿ
äèñêðåòíîãî ëîãàðèôìà îïðåäåëÿåòñÿ êàê x = logα y , ãäå y ∈ GF (p).
Àëãîðèòì ôîðìèðîâàíèÿ îáùåãî ñåêðåòíîãî êëþ÷à ñ ïîìîùüþ
êðèïòîñèñòåìû Äèôôè è Õåëëìàíà
Äëÿ ðàáîòû àëãîðèòìà îáå ñòîðîíû ñîâìåñòíî óñòàíàâëèâàþò îòêðûòûå ïàðàìåòðû p è g
(îáû÷íî çíà÷åíèÿ p è g âûáèðàþòñÿ íà îäíîé ñòîðîíå è ïåðåäàþòñÿ äðóãîé), ãäå p ÿâëÿåòñÿ
ñëó÷àéíûì ïðîñòûì ÷èñëîì, à g ïðèìèòèâíûì ýëåìåíòîì ïîëÿ Ãàëóà GF (p).
1. Àëèñà âûáèðàåò ïðîèçâîëüíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî xA òàêîå, ÷òî 1 < xA < p − 1.
2. Áîá âûáèðàåò ïðîèçâîëüíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî xB òàêîå, ÷òî 1 < xB < p − 1.
3. Àëèñà âû÷èñëÿåò îòêðûòûé êëþ÷ yA = g xA (mod p) è ïåðåäàåò åãî Áîáó ïî îòêðûòîìó êàíàëó ñâÿçè.
4. Áîá âû÷èñëÿåò îòêðûòûé êëþ÷ yB = g xB (mod p) è ïåðåäàåò åãî Àëèñå ïî îòêðûòîìó
êàíàëó ñâÿçè.
5. Àëèñà ñ ïîìîùüþ ïîëó÷åííîãî îòêðûòîãî êëþ÷à yB âû÷èñëÿåò îáùèé ñåêðåòíûé
xA
êëþ÷ K = yB
(mod p).
6. Áîá ñ ïîìîùüþ ïîëó÷åííîãî îòêðûòîãî êëþ÷à yA âû÷èñëÿåò îáùèé ñåêðåòíûé êëþ÷
xB
K = yA
(mod p).
 ïðàêòè÷åñêèõ ðåàëèçàöèÿõ â êà÷åñòâå ÷èñåë xA è xB èñïîëüçóþòñÿ ÷èñëà ïîðÿäêà
è p ïîðÿäêà 10300 . ×èñëî g íå îáÿçàíî áûòü áîëüøèì è îáû÷íî èìååò çíà÷åíèå â
ïðåäåëàõ ïåðâîãî äåñÿòêà.
10100
15.1. Íàéòè äèñêðåòíûé ëîãàðèôì ÷èñëà 7 ïî îñíîâàíèþ 2 â ãðóïïå G = Z19 .
15.2. Ïóñòü α ∈ GF (32 ) ïðèìèòèâíûé ýëåìåíò ïîëÿ GF (32 ), ïîñòðîåííîãî ñ ïîìî-
ùüþ íåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà x2 − x − 1. Íàéòè äèñêðåòíûé ëîãàðèôì ýëåìåíòà
−1 ïî îñíîâàíèþ α.
15.3. Ìîæíî ëè â àëãîðèòìå îòêðûòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ êëþ÷åé Äèôôè è Õåëëìàíà
âìåñòî GF (p) áðàòü GF (pk )?
15.4. Äîêàçàòü êðèïòîñòîéêîñòü îòêðûòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ êëþ÷åé Äèôôè è Õåëëìàíà.
15.5. Ïóñòü îòêðûòûé êëþ÷ ðàâåí {GF (37), 2}. Êàêèì îáðàçîì Àëèñà è Áîá ñîçäàäóò
ñåêðåòíûé êëþ÷?
15.6. Ïóñòü îòêðûòûé êëþ÷ {GF (33 ), α}, ãäå α êîðåíü ïðèìèòèâíîãî ìíîãî÷ëå-
íà f (x). Èñïîëüçóÿ îòêðûòîå ðàñïðåäåëåíèå êëþ÷åé Äèôôè è Õåëëìàíà, ïîëó÷èòü
îáùèé ñåêðåòíûé êëþ÷, åñëè Àëèñà çàäóìàëà ÷èñëî 7, à Áîá ÷èñëî 5. Äàíû ñëåäóþùèå ìíîãî÷ëåíû:
44
Ãëàâà II. Êðèïòîëîãèÿ
a) f (x) = x3 + x2 − 1;
b) f (x) = x3 − x2 + 1.
15.7. Îïèñàòü àëãîðèòì îòêðûòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ êëþ÷åé íà îñíîâå èñïîëüçîâàíèÿ
äâóõ êîììóòàòèâíûõ ïîäïîëóãðóïï íåêîòîðîé íåêîììóòàòèâíîé ïîëóãðóïïû G áîëüøîãî ïîðÿäêà. Îòêðûòûé êëþ÷ {G, σ}, ãäå σ ýëåìåíò ïîëóãðóïïû G. Îáîñíîâàòü
ñëîæíîñòü âû÷èñëåíèÿ îáùåãî êëþ÷à.
16.
Êðèïòîñèñòåìà Øàìèðà
Àëãîðèòì øèôðîâàíèÿ êðèïòîñèñòåìû Øàìèðà
Äëÿ ðàáîòû àëãîðèòìà íà îñíîâå çàäà÷è äèñêðåòíîãî ëîãàðèôìèðîâàíèÿ îáå ñòîðîíû ñîâìåñòíî óñòàíàâëèâàþò îáùèé îòêðûòûé êëþ÷ p, ãäå p ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíûì ïðîñòûì ÷èñëîì.
Ñîîáùåíèÿ m ïðåäñòàâëÿþòñÿ öåëûìè ÷èñëàìè èç èíòåðâàëà 1 < m < p.
1. Àëèñà âûáèðàåò íàòóðàëüíûå âçàèìíî îáðàòíûå ïî ìîäóëþ p − 1 ÷èñëà xA è yA ,
ïðèíàäëåæàùèå èíòåðâàëó 1 < xA < p, 1 < yA < p, ò. å. óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ
xA · yA ≡ 1 (mod p − 1).
2. Áîá àíàëîãè÷íî è íåçàâèñèìî âûáèðàåò íàòóðàëüíûå âçàèìíî îáðàòíûå ïî ìîäóëþ
p − 1 ÷èñëà xB è yB èç èíòåðâàëà 1 < xB < p, 1 < yB < p, ò. å. óäîâëåòâîðÿþùèå
óñëîâèþ xB · yB ≡ 1 (mod p − 1).
3. Äëÿ ïåðåäà÷è ñîîáùåíèÿ m Àëèñà âû÷èñëÿåò x1 = mxA (mod p) è ïåðåäàåò åãî Áîáó
ïî îòêðûòîìó êàíàëó ñâÿçè.
4. Áîá âû÷èñëÿåò x2 = xx1 B (mod p) è ïåðåäàåò åãî Àëèñå ïî îòêðûòîìó êàíàëó ñâÿçè.
5. Àëèñà âû÷èñëÿåò x3 = xy2A (mod p) è ñíîâà ïåðåäàåò åãî Áîáó ïî îòêðûòîìó êàíàëó
ñâÿçè.
6. Áîá âû÷èñëÿåò
x4 ≡ xy3B
(mod p).
16.1. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ êðèïòîñèñòåìû Øàìèðà x4 ≡ m (mod p).
16.2. Ïåðåäàòü ñåêðåòíî ñîîáùåíèå m, èñïîëüçóÿ êðèïòîñèñòåìó Øàìèðà, åñëè çàäàí îòêðûòûé êëþ÷ p:
a) m = 2, p = 13;
b) m = 17, p = 23;
c) m = 20, p = 31.
16.3. Îïèñàòü àëãîðèòì Øàìèðà äëÿ êîíå÷íîé öèêëè÷åñêîé ãðóïïû G ñ ïîðîæäà-
þùèì ýëåìåíòîì g .
16.4. Ìîæíî ëè çàäàòü àëãîðèòì Øàìèðà äëÿ:
a) ãðóïïû âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëà;
b) ãðóïïû ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ ïðîñòîãî ïîðÿäêà;
17. Êðèïòîñèñòåìà Ýëü-Ãàìàëÿ
45
c) öèêëè÷åñêèõ ïîäãðóïï áîëüøîãî ïîðÿäêà â Zn , ãäå n ñîñòàâíîå?
16.5. Îáîñíîâàòü êðèïòîñòîéêîñòü àëãîðèòìà Øàìèðà.
16.6.  ÷åì ñîñòîÿò ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå ñâîéñòâà êðèïòîñèñòåìû Øàìèðà?
17.
Êðèïòîñèñòåìà Ýëü-Ãàìàëÿ
Ñõåìà Ýëü-Ãàìàëÿ ÿâëÿåòñÿ êðèïòîñèñòåìîé ñ îòêðûòûì êëþ÷îì, îñíîâàííîé íà òðóäíîñòè
âû÷èñëåíèÿ äèñêðåòíîãî ëîãàðèôìà â êîíå÷íîì ïîëå. Êðèïòîñèñòåìà âêëþ÷àåò àëãîðèòì
øèôðîâàíèÿ è àëãîðèòì öèôðîâîé ïîäïèñè. Ñõåìà áûëà ïðåäëîæåíà Òàõåðîì Ýëü-Ãàìàëåì
â 1984 ã. è ëåæèò â îñíîâå ñòàíäàðòîâ ýëåêòðîííîé öèôðîâîé ïîäïèñè â ÑØÀ (DSA) è
Ðîññèè (ÃÎÑÒ Ð 34.10-94).
Àëãîðèòì øèôðîâàíèÿ êðèïòîñèñòåìû Ýëü-Ãàìàëÿ
Ïðîöåññ ãåíåðàöèè êëþ÷åé çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùèõ äåéñòâèÿõ.
1. Ãåíåðèðóåòñÿ ñëó÷àéíîå ïðîñòîå ÷èñëî p.
2. Âûáèðàåòñÿ ñëó÷àéíûé ïðèìèòèâíûé ýëåìåíò g ïîëÿ Zp .
3. Âûáèðàåòñÿ ñëó÷àéíîå öåëîå ÷èñëî x òàêîå, ÷òî 1 < x < p − 1.
4. Âû÷èñëÿåòñÿ y = g x (mod p).
 ðåçóëüòàòå ïóáëè÷íûì êëþ÷îì ÿâëÿåòñÿ òðîéêà (p, g, y), à ñåêðåòíûì êëþ÷îì ÷èñëî x.
Äàëåå ñîîáùåíèå m øèôðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.
5. Âûáèðàåòñÿ ñåññèîííûé êëþ÷ ñëó÷àéíîå öåëîå ÷èñëî k òàêîå, ÷òî 1 < k < p − 1.
6. Âû÷èñëÿþòñÿ ÷èñëà a = g k (mod p) è b = y k · m (mod p).
Ïàðà ÷èñåë (a, b) ÿâëÿåòñÿ øèôðîòåêñòîì.
Çíàÿ ñåêðåòíûé êëþ÷ x, èñõîäíîå ñîîáùåíèå ìîæíî âû÷èñëèòü èç øèôðîòåêñòà (a, b)
ïî ôîðìóëå m = b · (ax )−1 (mod p).
17.1. Äîêàçàòü, ÷òî äëèíà øèôðîòåêñòà â ñõåìå Ýëü-Ãàìàëÿ âäâîå äëèííåå èñõîäíîãî
ñîîáùåíèÿ.
17.2. Îáîñíîâàòü êðèïòîñòîéêîñòü àëãîðèòìà øèôðîâàíèÿ Ýëü-Ãàìàëÿ.
17.3. Îïèñàòü àëãîðèòì äåøèôðîâàíèÿ êðèïòîñèñòåìû Ýëü-Ãàìàëÿ. Îáîñíîâàòü êðèïòîñòîéêîñòü.
17.4. Ïóñòü Kopen = {p = 29, g = 3} è KB.,secret = {cB = 13}. Êàê Àëèñà ïåðåäàñò
ñîîáùåíèå m = 11 Áîáó (ïóñòü äëÿ øèôðîâàíèÿ îíà âûáèðàåò k = 2, ãäå 1 < k <
p − 1)?
17.5. Ïðîâåñòè øèôðîâàíèå ñ ïîìîùüþ ñõåìû Ýëü-Ãàìàëÿ ïðè ñëåäóþùèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ:
a) p = 11, g = 2;
b) p = 23, g = 5.
17.6. Äîêàçàòü, ÷òî, ïðèìåíÿÿ àëãîðèòì äåøèôðîâàíèÿ ñõåìû Ýëü-Ãàìàëÿ, ïîëó÷àòåëü âîññòàíîâèò èñõîäíîå ñîîáùåíèå.
46
Ãëàâà II. Êðèïòîëîãèÿ
Ýëåêòðîííàÿ ïîäïèñü íà êðèïòîñèñòåìå Ýëü-Ãàìàëÿ
Èñïîëüçîâàíèå ýëåêòðîííîé ïîäïèñè ïîçâîëÿåò îñóùåñòâëÿòü êîíòðîëü öåëîñòíîñòè ïåðåäàâàåìîãî äîêóìåíòà, çàùèòó îò èçìåíåíèé èëè ïîääåëêè äîêóìåíòà, íåâîçìîæíîñòü îòêàçà
îò àâòîðñòâà, à òàêæå ïîäòâåðæäåíèå àâòîðñòâà äîêóìåíòà.
Ïîäïèñü ñîîáùåíèé
Äëÿ ïîäïèñè ñîîáùåíèÿ m âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå îïåðàöèè.
1. Âûáèðàåòñÿ ñëó÷àéíîå ÷èñëî 1 < k < p − 1 âçàèìíî ïðîñòîå ñ p − 1 è âû÷èñëÿåòñÿ
r = g k (mod p).
2. Âû÷èñëÿåòñÿ ÷èñëî s = (m − xr)k −1 (mod p − 1).
Ïîäïèñüþ ñîîáùåíèÿ m ÿâëÿåòñÿ ïàðà (r, s).
17.7. Îáîñíîâàòü êðèïòîñòîéêîñòü ýëåêòðîííîé ïîäïèñè íà îñíîâå êðèïòîñèñòåìû
Ýëü-Ãàìàëÿ.
17.8. Îïèñàòü è îáîñíîâàòü ïðîöåäóðó ïðîâåðêè ïîäïèñè ñîîáùåíèÿ äëÿ êðèïòîñè-
ñòåìû Ýëü-Ãàìàëÿ.
17.9. Ñôîðìèðîâàòü ýëåêòðîííóþ ïîäïèñü íà îñíîâå ñõåìû Ýëü-Ãàìàëÿ ïðè çàäàííûõ ïàðàìåòðàõ p è g ñ ïîìîùüþ ñåêðåòíîãî êëþ÷à x. Îñóùåñòâèòü ïðîâåðêó ïîäëèííîñòè ñîîáùåíèÿ m:
a) p = 23, g = 5, x = 7, m = 3;
b) p = 29, g = 7, x = 3, m = 2.
18. Êðèïòîñèñòåìà RSA
18.
47
Êðèïòîñèñòåìà RSA
RSA êðèïòîãðàôè÷åñêèé àëãîðèòì ñ îòêðûòûì êëþ÷îì, îñíîâûâàþùèéñÿ íà âû÷èñëèòåëüíîé ñëîæíîñòè çàäà÷è ôàêòîðèçàöèè áîëüøèõ öåëûõ ÷èñåë. Àááðåâèàòóðà RSA îáðàçîâàíà èç ïåðâûõ áóêâ ôàìèëèé òðåõ ó÷åíûõ R. Rivest, A. Shamir è
L. Adleman, ðàçðàáîòàâøèõ äàííóþ ñèñòåìó øèôðîâàíèÿ â 1978 ã.
Àëãîðèòì øèôðîâàíèÿ êðèïòîñèñòåìû RSA
Àëãîðèòì øèôðîâàíèÿ RSA îñíîâàí íà ñëåäóþùåé ïðîöåäóðå.
1. Ãåíåðàöèÿ äâóõ ðàçëè÷íûõ ïðîñòûõ ÷èñåë p è q .
2. Âû÷èñëåíèå ÷èñëà n = p · q è ôóíêöèè Ýéëåðà ϕ(n) = (p − 1) · (q − 1).
3. Ïîèñê öåëîãî ÷èñëà e, 1 < e < ϕ(n), òàêîãî, ÷òîáû ÍÎÄ(e, ϕ(n)) = 1.
Ñîîáùåíèå â ýòîé ñèñòåìå ïðåäñòàâëåíî â âèäå ÷èñëà, ïðèíàäëåæàùåãî èíòåðâàëó
[0, n − 1]. Øèôðóåìûé òåêñò ïðîèçâîëüíûì îáðàòèìûì ñïîñîáîì ïðåîáðàçîâûâàåòñÿ
â ñîîáùåíèÿ (÷èñëà, ïðèíàäëåæàùèå èíòåðâàëó [0, n−1]). ×òîáû çàøèôðîâàòü òåêñò,
äëÿ êàæäîãî ñîîáùåíèÿ m íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü c = me (mod n).
18.1. Îïèñàòü àëãîðèòì äåøèôðîâàíèÿ êðèïòîñèñòåìû RSA.
18.2. Äîêàçàòü, ÷òî, ïðèìåíÿÿ àëãîðèòì äåøèôðîâàíèÿ êðèïòîñèñòåìû RSA, ïîëó÷àòåëü âîññòàíîâèò èñõîäíîå ñîîáùåíèå. Îáîñíîâàòü êðèïòîñòîéêîñòü äàííîé êðèïòîñèñòåìû.
18.3. Ïðîâåñòè øèôðîâàíèå â ñèñòåìå RSA ïðè ñëåäóþùèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ:
a) p = 7, q = 11;
b) p = 11, q = 13.
18.4. Äëÿ ïåðåäà÷è ñåêðåòíîé èíôîðìàöèè âûáðàíà êðèïòîñèñòåìà RSA. Èñïîëüçóÿ
îòêðûòûé êëþ÷ {n, e}, ïåðåäàòü Àëèñå ñåêðåòíîå ñîîáùåíèå m. Äåøèôðîâàòü åãî ñ
ïîìîùüþ ñåêðåòíîãî êëþ÷à. Äàíû ñëåäóþùèå ïàðàìåòðû êðèïòîñèñòåìû:
a) p = 11, q = 17, e = 9, m = 3;
b) p = 17, q = 31, e = 7, m = 2;
c) p = 5, q = 11, e = 3, m = 9;
d) p = 3, q = 11, e = 3, m = 8.
18.5. Äîêàçàòü, ÷òî â ñèñòåìàõ RSA ñ ìîäóëÿìè n1 = 21 è n2 = 35 âñå âîçìîæíûå
êëþ÷è øèôðîâàíèÿ e ñîâïàäàþò ñ êëþ÷àìè äåøèôðîâàíèÿ d.
18.6. Ïðè øèôðîâàíèè â ñèñòåìå RSA (n = pq, e, d) îêàçàëîñü, ÷òî ïîâòîðíîå øèô-
ðîâàíèå âñåãäà ïðèâîäèò ê èñõîäíîìó òåêñòó.  ÷åì ïðè÷èíà? Ïðèâåñòè ïðèìåð êîíå÷íîãî ïðîñòîãî ïîëÿ, â êîòîðîì ýòî ñâîéñòâî âûïîëíåíî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà e.
48
Ãëàâà II. Êðèïòîëîãèÿ
Ýëåêòðîííàÿ ïîäïèñü íà êðèïòîñèñòåìå RSA
Îòìåòèì, ÷òî ñõåìà RSA îáëàäàåò äâóìÿ äîïîëíèòåëüíûìè î÷åíü ïîëåçíûìè ñâîéñòâàìè.
1. Ìíîæåñòâî èñõîäíûõ ñîîáùåíèé S ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì çàêîäèðîâàííûõ
ñîîáùåíèé T .  êà÷åñòâå ýòîãî ìíîæåñòâà èñïîëüçóåòñÿ êîëüöî âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ
n, ãäå n ïðîèçâåäåíèå äâóõ áîëüøèõ ïðîñòûõ ÷èñåë (äåñÿòè÷íàÿ çàïèñü ÷èñëà n
èìååò äëèíó íå ìåíüøå 200 ñèìâîëîâ).
2. Íå òîëüêî e · d = 1, íî è d · e = 1! Òàêèì îáðàçîì, âëàäåëåö ñåêðåòíîãî êëþ÷à d
ìîæåò ïðèìåíÿòü åãî íå òîëüêî äëÿ äåøèôðîâàíèÿ, íî è äëÿ øèôðîâàíèÿ. Ïðè ýòîì
ëþáîé ìîæåò äåêîäèðîâàòü ýòî ñîîáùåíèå, èñïîëüçóÿ îòêðûòûé êëþ÷ e, íî ïîñëàòü
åãî ìîæåò òîëüêî âëàäåëåö ñåêðåòíîãî êëþ÷à d. Òàêàÿ ¾îáðàòíàÿ¿ ñõåìà ïðèìåíåíèÿ
îòêðûòîãî êëþ÷à ïîçâîëÿåò óäîñòîâåðèòü îòïðàâèòåëÿ ñîîáùåíèÿ.  ïðàêòè÷åñêèõ
ïðèìåíåíèÿõ äëÿ àóòåíòèôèêàöèè îòïðàâèòåëÿ îáðàòíàÿ ñõåìà äàæå áîëåå âàæíà,
÷åì ïðÿìàÿ.
18.7. Äëÿ ýëåêòðîííîé ïîäïèñè èñïîëüçóåòñÿ êðèïòîñèñòåìà RSA. Ñåêðåòíûé êëþ÷
áàíêèðà Áîáà ñîñòàâëÿþò ÷èñëà pB è qB , à ñåêðåòíûé êëþ÷ âêëàä÷èêà Àëèñû ÷èñëà
pA è qA . Ïóñòü îòêðûòûìè êëþ÷àìè Áîáà è Àëèñû ÿâëÿþòñÿ ïàðû {nB = pB ·qB , eB } è
{nA = pA · qA , eA } ñîîòâåòñòâåííî, ãäå (eB , ϕ(nB )) = (eA , ϕ(nA )) = 1. Íåîáõîäèìî ïåðåäàòü Áîáó ñåêðåòíîå ïîðó÷åíèå m îò Àëèñû, à òàêæå óäîñòîâåðèòüñÿ â ïîäëèííîñòè
äàííîãî ñîîáùåíèÿ. Äàíû ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ êðèïòîñèñòåìû:
a) pA = 11, qA = 23, eA = 31, pB = 7, qB = 13, eB = 5, m = 41;
b) pA = 7, qA = 11, eA = 7, pB = 3, qB = 5, eB = 7, m = 13;
c) pA = 11, qA = 2, eA = 3, pB = 5, qB = 3, eB = 7, m = 3.
18.8. Àëèñà è Áîá èñïîëüçóþò ðàçëè÷íûå ñèñòåìû RSA c îáùèì ìîäóëåì n è ïóá-
ëè÷íûìè ýêñïîíåíòàìè øèôðîâàíèÿ eA è eB (äåðæàò â ñåêðåòå ñâîè ýêñïîíåíòû
äåøèôðîâàíèÿ dA è dB ).
1. Äîêàçàòü, ÷òî Àëèñà ìîæåò äåøèôðîâûâàòü ñîîáùåíèÿ, ïîñëàííûå Áîáó.
2. Êðîìå òîãî, ïîêàçàòü, ÷òî êðèïòîàíàëèòèê Åâà ìîæåò äåøèôðîâûâàòü ñîîáùåíèÿ, ïîñëàííûå Àëèñå è Áîáó, åñëè ÍÎÄ(eA , eB ) = 1.
Îòêðûòûå ñîîáùåíèÿ
Ïðè èñïîëüçîâàíèè àëãîðèòìà êðèïòîñèñòåìû RSA ñóùåñòâóþò òàêèå çíà÷åíèÿ e è
m, ÷òî me (mod n) = m. Ñîîáùåíèÿ m, äëÿ êîòîðûõ me (mod n) = m, íàçûâàþòñÿ
îòêðûòûìè. Ïðîáëåìà âûáîðà e ñîñòîèò â òîì, ÷òî íå äîëæíî áûòü ñëèøêîì ìíîãî
îòêðûòûõ ñîîáùåíèé.
Ïðèìåð 18.1. Ïóñòü p = 19 è q = 37. Òîãäà n = 19 · 37 = 703 è ϕ(n) = 18 · 36 = 648.
Åñëè âûáåðåì e = 181, òî, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ÍÎÄ(181, 648) = 1, îêàæåòñÿ, ÷òî âñå
âîçìîæíûå ñîîáùåíèÿ m (0 ≤ m ≤ n − 1) áóäóò îòêðûòûìè ïîñëå âû÷èñëåíèÿ me
(mod n).
18. Êðèïòîñèñòåìà RSA
49
Äëÿ ëþáîãî âåðíîãî âûáîðà e ñóùåñòâóþò íåêîòîðûå îòêðûòûå ñîîáùåíèÿ. Âàæíî, ÷òîáû ÷èñëî òàêèõ îòêðûòûõ ñîîáùåíèé áûëî ìèíèìàëüíûì.
18.9. Çàäà÷à èç ïðîåêòà Ýéëåðà 1821 . Äàíî: p = 1009 è q = 3643. Íàéäèòå
ñóììó âñåõ çíà÷åíèé e, 1 < e < ϕ(p · q) è ÍÎÄ(e, ϕ(p · q)) = 1, äëÿ êîòîðûõ ÷èñëî
îòêðûòûõ ñîîáùåíèé áóäåò ìèíèìàëüíûì.
18.10. Ïîêàçàòü, ÷òî ÷èñëî îòêðûòûõ ñîîáùåíèé ðàâíî
(1 + ÍÎÄ(p − 1)(e − 1))(1 + ÍÎÄ(q − 1)(e − 1)).
Êàêèå ðåêîìåíäàöèè ìîãóò áûòü âûðàáîòàíû äëÿ ïðàâèëüíîãî âûáîðà ïàðàìåòðîâ
p, q è e ?
18.11. Íåðåøåííàÿ ïðîáëåìà. Ñóùåñòâóåò ãèïîòåçà, ïîäòâåðæäåííàÿ íåêîòîðû-
ìè êîñâåííûìè ñîîáðàæåíèÿìè, ÷òî çàäà÷à RSA íà ñàìîì äåëå ëåã÷å çàäà÷è ôàêòîðèçàöèè.  íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðîâåðêà ýòîé ãèïîòåçû îäèí èç îòêðûòûõ âîïðîñîâ
êðèïòîëîãèè.
1 URL:
http://projecteuler.net/index.php?section=problems&id=182
50
Ãëàâà II. Êðèïòîëîãèÿ
19.
Êðèïòîñèñòåìà Ìåðêëÿ Õåëëìàíà
Ðàíöåâàÿ êðèïòîñèñòåìà Ìåðêëà Õåëëìàíà, îñíîâàííàÿ íà ¾çàäà÷å î ðþêçàêå¿,
áûëà ðàçðàáîòàíà Ðàëüôîì Ìåðêëåì è Ìàðòèíîì Õåëëìàíîì â 1978 ã.
Óñëîâèå ¾çàäà÷è î ðþêçàêå¿ çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: çíàÿ ïîäìíîæåñòâî ãðóçîâ, óëîæåííûõ â ðàíåö, ëåãêî ïîäñ÷èòàòü ñóììàðíûé âåñ ðþêçàêà, íî, çíàÿ âìåñòèìîñòü ðþêçàêà, íåïðîñòî îïðåäåëèòü ïîäìíîæåñòâî ãðóçîâ, íàïîëíÿþùèõ åãî.
Ãåíåðàöèÿ êëþ÷åé
1. Àëèñà âûáèðàåò ñóïåðâîçðàñòàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç n íåíóëåâûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë w = (w1 , w2 , . . . , wn ), ò. å. òàêóþ, ÷òî êàæäûé ïîñëåäóþùèé ÷ëåí
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áîëüøå ñóììû âñåõ ïðåäûäóùèõ.
2. Äàëåå Àëèñà ñëó÷àéíûì
îáðàçîì âûáèðàåò öåëûå âçàèìíî ïðîñòûå ÷èñëà q è r
Pn
òàêèå, ÷òî q > i=1 wi .
3. Àëèñà âû÷èñëÿåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü a = (a1 , a2 , . . . , an ), ãäå êàæäûé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå ai = r · wi (mod q).
Òàêèì îáðàçîì, îòêðûòûì êëþ÷îì áóäåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü a. Ñåêðåòíûì êëþ÷îì
ÿâëÿåòñÿ íàáîð (w, q, r).
Øèôðîâàíèå ñîîáùåíèÿ
Ïóñòü Áîáó íåîáõîäèìî ïåðåäàòü Àëèñå ñîîáùåíèå m = (m1 , m2 , . . . , mn ), ïðåäñòàâëåííîå â âèäå äâîè÷íîãî âåêòîðà äëèíû
P n.
? Áîá âû÷èñëÿåò øèôðîòåêñò s = ni=1 ai mi è ïåðåäàåò åãî Àëèñå.
19.1. Ïóñòü âåêòîð ãðóçà w è âåñ ðþêçàêà S , íàéòè âåêòîð a, óäîâëåòâîðÿþùèé
S = wa:
a) w = (171, 197, 459, 1191, 2410), S = 3798;
b) w = (2, 3, 7, 15, 31), S = 24.
19.2. Îïèñàòü àëãîðèòì äåøèôðîâàíèÿ ñîîáùåíèÿ äëÿ êðèïòîñèñòåìû Ìåðêëÿ Õåëëìàíà.
19.3. Ïóñòü ýëåìåíòàìè îòêðûòîãî òåêñòà ÿâëÿþòñÿ áóêâû ëàòèíñêîãî àëôàâèòà îò
0 äî 25, êîòîðûì îòâå÷àþò äâîè÷íûå ÷èñëà îò 0 = (0, 0, 0, 0, 0) äî 25 = (1, 0, 0, 1, 1)
ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü ñåêðåòíûé
êëþ÷ äàí âûøå, ñì. çàäà÷ó 19.1 b). Ïóñòü q = 61,
P5
÷òî óäîâëåòâîðÿåò q > i=1 Wi , ïóñòü r = 17. Íàéòè ñåêðåòíûé è îòêðûòûé êëþ÷
Àëèñû è îïèñàòü ïåðåäà÷ó ñîîáùåíèÿ ¾WHY¿.
19.4. Ïóñòü äëÿ ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè èñïîëüçóåòñÿ êðèïòîñèñòåìà, îñíîâàííàÿ íà
¾çàäà÷å î ðþêçàêå¿. ×àñòü âàøåãî ñåêðåòíîãî êëþ÷à ñîñòàâëÿþò ñóïåðâîçðàñòàþùèé
âåêòîð w = (1, 2, 4, 9, 17, 34), ÷èñëî q = 69 è ÷èñëî r = 31. Êàæäàÿ áóêâà ðóññêîãî
àëôàâèòà (áåç áóêâû ¾¼¿) êîäèðóåòñÿ äâîè÷íûì íàáîðîì äëèíû 6, ñîîòâåòñòâóþùèì
ïîðÿäêîâîìó íîìåðó áóêâû (áóêâà ¾à¿ èìååò íîìåð 1). Ñ÷èòàåì, ÷òî ïåðâûé áèò â
íàáîðå ÿâëÿåòñÿ ñòàðøèì. Ïðè øèôðîâàíèè, èñïîëüçóÿ îòêðûòûé êëþ÷, îòïðàâèòåëü
êàæäîé áóêâå ñîïîñòàâèë öåëîå ÷èñëî.
19. Êðèïòîñèñòåìà Ìåðêëÿ Õåëëìàíà
51
a) Íàéòè îòêðûòûé è ïîëíûé ñåêðåòíûé êëþ÷è.
âî.
b) Äåøèôðîâàòü ñîîáùåíèå x = 62, 19, 81, 121, 58, 180. Îïðåäåëèòü ïåðåäàííîå ñëî-
19.5. Ïóñòü äëÿ ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè èñïîëüçóåòñÿ êðèïòîñèñòåìà, îñíîâàííàÿ íà
¾çàäà÷å î ðþêçàêå¿. ×àñòü âàøåãî ñåêðåòíîãî êëþ÷à ñîñòàâëÿþò ñóïåðâîçðàñòàþùèé
âåêòîð w = (3, 5, 9, 19, 45), ÷èñëî q = 100 è ÷èñëî r = 21. Êàæäàÿ áóêâà ðóññêîãî
àëôàâèòà (áåç áóêâû ¾¼¿) êîäèðóåòñÿ äâîè÷íûì íàáîðîì äëèíû 6, ñîîòâåòñòâóþùèì
ïîðÿäêîâîìó íîìåðó áóêâû (áóêâà ¾à¿ èìååò íîìåð 1). Ñ÷èòàåì, ÷òî ïåðâûé áèò â
íàáîðå ÿâëÿåòñÿ ñòàðøèì. Ïðè øèôðîâàíèè, èñïîëüçóÿ îòêðûòûé êëþ÷, îòïðàâèòåëü
êàæäîé áóêâå ñîïîñòàâèë öåëîå ÷èñëî.
a) Íàéòè îòêðûòûé è ïîëíûé ñåêðåòíûé êëþ÷è.
b) Äåøèôðîâàòü ñîîáùåíèå x = 193, 104, 162, 301, 45, 63, 167. Îïðåäåëèòü ïåðåäàííîå ñëîâî.
19.6. Ïóñòü äëÿ ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè èñïîëüçóåòñÿ êðèïòîñèñòåìà, îñíîâàííàÿ íà
¾çàäà÷å î ðþêçàêå¿. ×àñòü âàøåãî ñåêðåòíîãî êëþ÷à ñîñòàâëÿþò ñóïåðâîçðàñòàþùèé
âåêòîð a0 = (1, 2, 4, 9, 18, 35), ÷èñëî q = 80, à ÷èñëî r = 29. Êàæäàÿ áóêâà ðóññêîãî
àëôàâèòà (áåç áóêâû ¾¼¿) êîäèðóåòñÿ äâîè÷íûì íàáîðîì äëèíû 6, ñîîòâåòñòâóþùèì
ïîðÿäêîâîìó íîìåðó áóêâû (áóêâà ¾à¿ èìååò íîìåð 1). Ñ÷èòàåì, ÷òî ïåðâûé áèò â
íàáîðå ÿâëÿåòñÿ ñòàðøèì. Ïðè øèôðîâàíèè, èñïîëüçóÿ îòêðûòûé êëþ÷, îòïðàâèòåëü
êàæäîé áóêâå ñîïîñòàâèë öåëîå ÷èñëî.
a) Íàéòè îòêðûòûé è ïîëíûé ñåêðåòíûé êëþ÷è.
âî.
b) Äåøèôðîâàòü ñîîáùåíèå x = 55, 97, 21, 79, 100, 155. Îïðåäåëèòü ïåðåäàííîå ñëî-
19.7.  ÷åì ñîñòîèò ñëàáîñòü êðèïòîñèñòåìû Ìåðêëÿ Õýëëìàíà?
52
Ãëàâà II. Êðèïòîëîãèÿ
20.
Êðèïòîñèñòåìà íà ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ
 êðèïòîãðàôèè ñ èñïîëüçîâàíèåì ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ âñå çíà÷åíèÿ âû÷èñëÿþòñÿ
ïî ìîäóëþ p, ãäå p ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ÷èñëîì. Ýëåìåíòàìè ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé
ÿâëÿþòñÿ ïàðû íåîòðèöàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë, êîòîðûå ìåíüøå p è óäîâëåòâîðÿþò
÷àñòíîìó âèäó óðàâíåíèÿ ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé: y 2 = x3 + ax + b (mod p). Òàêóþ
êðèâóþ áóäåì îáîçíà÷àòü Ep (a, b). Ïðè ýòîì ÷èñëà a è b äîëæíû áûòü ìåíüøå p è
óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ 4a3 + 27b2 (mod p) 6= 0. Ìíîæåñòâî òî÷åê íà ýëëèïòè÷åñêîé
êðèâîé âû÷èñëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.
1. Äëÿ êàæäîãî òàêîãî çíà÷åíèÿ x, ÷òî 0 ≤ x ≤ p, âû÷èñëÿåòñÿ x3 +ax+b (mod p).
2. Äëÿ êàæäîãî èç ïîëó÷åííûõ íà ïðåäûäóùåì øàãå çíà÷åíèé âûÿñíÿåòñÿ, èìååò ëè ýòî çíà÷åíèå êâàäðàòíûé êîðåíü ïî ìîäóëþ p. Åñëè íåò, òî â Ep (a, b)
íåò òî÷åê ñ ýòèì çíà÷åíèåì x. Åñëè êîðåíü ñóùåñòâóåò, èìååòñÿ äâà çíà÷åíèÿ y ,
ñîîòâåòñòâóþùèõ îïåðàöèè èçâëå÷åíèÿ êâàäðàòíîãî êîðíÿ (èñêëþ÷åíèåì ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà åäèíñòâåííûì çíà÷åíèåì îêàçûâàåòñÿ y = 0). Ýòè çíà÷åíèÿ
(x, y) è áóäóò òî÷êàìè êðèâîé Ep (a, b).
Ìíîæåñòâî òî÷åê Ep (a, b) îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè.
1. P + 0 = P .
2. Åñëè P = (x, y), òî P + (x, −y) = 0. Òî÷êà (x, −y) ÿâëÿåòñÿ îòðèöàòåëüíûì
çíà÷åíèåì òî÷êè P è îáîçíà÷àåòñÿ −P . Çàìåòèì, ÷òî (x, −y) ëåæèò íà ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé è ïðèíàäëåæèò Ep (a, b).
3. Åñëè P = (x1 , y1 ) è Q = (x2 , y2 ), ãäå P 6= Q, òî R = P +Q = (x3 , y3 ) îïðåäåëÿåòñÿ
ïî ñëåäóþùèì ôîðìóëàì:
x3 = λ2 − x1 − x2
y3 = λ(x1 − x3 ) − y1
ãäå
(mod p),
(mod p),
(
(y2 − y1 )/(x2 − x1 ), åñëè P 6= Q,
λ=
(3x21 + a)/2y1 , åñëè P = Q.
×èñëî λ åñòü óãëîâîé êîýôôèöèåíò ñåêóùåé, ïðîâåäåííîé ÷åðåç òî÷êè P = (x1 , y1 )
è Q = (x2 , y2 ). Ïðè P = Q ñåêóùàÿ ïðåâðàùàåòñÿ â êàñàòåëüíóþ, ÷åì è îáúÿñíÿåòñÿ
íàëè÷èå äâóõ ôîðìóë äëÿ âû÷èñëåíèÿ λ.
Çàäà÷à, êîòîðóþ äîëæåí ðåøèòü â ýòîì ñëó÷àå àòàêóþùèé, ÿâëÿåòñÿ ñâîåãî ðîäà
çàäà÷åé äèñêðåòíîãî ëîãàðèôìèðîâàíèÿ íà ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé, è ôîðìóëèðóåòñÿ îíà ñëåäóþùèì îáðàçîì. Äàíû òî÷êè P è Q íà ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé Ep (a, b).
Íåîáõîäèìî íàéòè êîýôôèöèåíò k < p òàêîé, ÷òî P = [k]Q. Òî÷êó P ïî äàííûì k è
Q âû÷èñëèòü îòíîñèòåëüíî ëåãêî, íî äîâîëüíî òðóäíî âû÷èñëèòü k , çíàÿ òî÷êè P è
Q.
20.1. Îïèñàòü àíàëîã àëãîðèòìà Äèôôè Õåëëìàíà íà ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ.
20.2. Îïèñàòü ïðîöåäóðó øèôðîâàíèÿ è äåøèôðîâàíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ.
20. Êðèïòîñèñòåìà íà ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ
53
20.3.0 Äàíû òî÷êè P , Q è R íà ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé E751 (−1, 1). Íàéòè òî÷êó
[2]P + [3]Q − R:
a) P = (58, 139), Q = (67, 667), R = (82, 481);
b) P = (73, 72), Q = (56, 332), R = (85, 35);
c) P = (62, 379), Q = (53, 474), R = (110, 622).
20.4.0 Äàíà òî÷êà P íà ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé E751 (−1, 1) è íàòóðàëüíîå ÷èñëî n.
Íàéòè òî÷êó [n]P :
a) P = (62, 372), n = 128;
b) P = (33, 355), n = 111;
c) P = (73, 72), n = 103.
Òåîðåìà (Õàññå, 1934 ã.) ×èñëî òî÷åê #Ep (a, b) ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé Ep (a, b)
óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó
√
√
p − 1 + 2 p ≤ #Ep (a, b) ≤ p + 1 + 2 p.
20.5.0 Íàéòè âñå òî÷êè ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé
a) E7 (2, 6);
b) E11 (5, 7).
20.6. Äàíà ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿ E11 (2, 9) è ïðèíàäëåæàùàÿ åé òî÷êà G = (1, 1).
Ïåðåäàòü ñåêðåòíî ñîîáùåíèå m = 5 îò Àëèñû Áîáó ïðè óñëîâèè, ÷òî âûáðàíû ñåêðåòíûå êëþ÷è cA = 3 è cB = 4.
20.7. Ïóñòü ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿ E11 (2, 9) íàä GF (24 ) (ïîëå çàäàíî ìíîãî÷ëåíîì
x4 + x3 + 1) îïðåäåëåíà óðàâíåíèåì y 2 = x3 + αx + 1. Ëåæèò ëè òî÷êà (α2 , α14 ) íà
ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé? Ñêîëüêî òî÷åê ëåæèò íà ýòîé êðèâîé?
20.8. Ðàññìîòðèì êðèâóþ y 2 + xy = x3 + x2 + 1 íàä ïîëåì GF (25 ), çàäàííûì ìíîãî÷ëåíîì x5 + x2 + 1. Óáåäèòüñÿ, ÷òî òî÷êà P = (00101, 10110) ëåæèò íà ýëëèïòè÷åñêîé
êðèâîé. Íàéòè åå ïîðÿäîê. Íàéòè k , ãäå kP = (01101, 00101).
20.9. Ïîëå GF (2m ) çàäàíî ïîñðåäñòâîì ìíîãî÷ëåíà f (x), g = x ïðèìèòèâíûé
ýëåìåíò ïîëÿ GF (2m ). Íàéòè ìíîæåñòâî òî÷åê ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé y 2 + xy = x3 +
ax2 + b, ãäå:
a) m = 3, f (x) = x3 + x + 1, a = g 3 , b = g 0 = 1;
b) m = 4, f (x) = x4 + x + 1, a = g 4 , b = g 0 = 1.
20.10. Äëÿ çàäà÷è 20.9 b) ïðèäóìàòü îòêðûòûé êëþ÷, îòêðûòûé è ñåêðåòíûé êëþ÷è
Áîáà. Ïåðåäàòü ñîîáùåíèå (0, 1, 1, 0) Áîáó. Êàê îí äåøèôðóåò ýòî ñîîáùåíèå?
20.11. Äëÿ çàäà÷è 20.9 b) ïóñòü îòêðûòûé êëþ÷ èìååò âèä Kopen = {GF (24 ), a = g 4 =
(0, 0, 1, 1), b = g 0 = (0, 0, 0, 1), (.)G = (g 5 , g 3 )}, KBsecret = {cB = 3}. Íàéòè îòêðûòûé
êëþ÷ Áîáà è ïåðåäàòü ñîîáùåíèå (0, 0, 1, 0) Áîáó. Äåøèôðîâàòü ýòî ñîîáùåíèå.
54
Ãëàâà II. Êðèïòîëîãèÿ
Ýëåêòðîííàÿ ïîäïèñü íà ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ
Äëÿ ýëåêòðîííîé ïîäïèñè ñîîáùåíèé ñ ïîìîùüþ êðèïòîñèñòåìû íà ýëëèïòè÷åñêèõ
êðèâûõ, êàê è â ñëó÷àå èñïîëüçîâíèÿ äðóãèõ êðèïòîñèñòåì, íåîáõîäèìû îòêðûòûé
è ñåêðåòíûé êëþ÷è. Ïðè ýòîì ñåêðåòíûì êëþ÷îì äîëæåí îáëàäàòü òîëüêî òîò, êòî
ïîäïèñûâàåò ñîîáùåíèå, â òî âðåìÿ êàê îòêðûòûé êëþ÷ äîëæåí áûòü â ñâîáîäíîì
äîñòóïå äëÿ ëþáîãî æåëàþùåãî óäîñòîâåðèòüñÿ â ïîäëèííîñòè ñîîáùåíèÿ. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî, íåñìîòðÿ íà ñâîáîäíûé äîñòóï ê îòêðûòîìó êëþ÷ó, ñðåäñòâà åãî
ïóáëèêàöèè íå äîëæíî âûçûâàòü ñîìíåíèé â åãî ïðîèñõîæäåíèè. Òàêæå îáùåäîñòóïíûìè ÿâëÿþòñÿ ïàðàìåòðû ñàìîãî àëãîðèòìà, ò. å. ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿ Ep (a, b) è
òî÷êà ýòîé êðèâîé G.
Äîïóñòèì, ÷òî âëàäåëüöåì êðèïòîñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ Àëèñà, à çàäà÷à Áîáà óáåäèòüñÿ â ïîäëèííîñòè ñîîáùåíèÿ m îò Àëèñû. Ïðè ôîðìèðîâàíèè êðèïòîñèñòåìû
Àëèñà âûáðàëà ñâîé ñåêðåòíûé êëþ÷ è îïóáëèêîâàëà îòêðûòûé êëþ÷ D = [c ]G.
Ïîäïèñü ñîîáùåíèé
Äëÿ ïîäïèñè ñîîáùåíèÿ m âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå îïåðàöèè.
1. Àëèñà âûáèðàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî 0 < k < q , âçàèìíî ïðîñòîå ñ q − 1, ãäå
ïðîñòîå ÷èñëî q ïîðÿäîê öèêëè÷åñêîé ïîäãðóïïû, ïîðîæäåííîé òî÷êîé G,
ãðóïïû òî÷åê ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé Ep (a, b).
2. Àëèñà âû÷èñëÿåò òî÷êó [k]G = (x, y) è ÷èñëî r = x (mod q).
3. Àëèñà âû÷èñëÿåò ÷èñëî s = (m + cr)k −1 (mod q).
Ïîäïèñüþ ñîîáùåíèÿ m ÿâëÿåòñÿ ïàðà (r, s). Çàìåòèì, ÷òî åñëè ÷èñëî r èëè s ïîëó÷èëîñü ðàâíûì íóëþ, òî íåîáõîäèìî âûïîëíèòü âñå ïðîöåäóðû çàíîâî, âûáðàâ íîâîå
÷èñëî k .
20.12. Îáîñíîâàòü êðèïòîñòîéêîñòü ýëåêòðîííîé ïîäïèñè íà îñíîâå êðèïòîñèñòåìû
íà ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ.
20.13. Îïèñàòü è îáîñíîâàòü ïðîöåäóðó ïðîâåðêè ýëåêòðîííîé ïîäïèñè ñîîáùåíèÿ
äëÿ êðèïòîñèñòåìû íà ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ.
20.14. Âû÷èñëèòü ýëåêòðîííóþ ïîäïèñü ñîîáùåíèÿ m è ïðîâåðèòü åãî ïîäëèííîñòü
ñ ïîìîùüþ êðèïòîñèñòåìû íà ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé Ep (a, b) ïðè óñëîâèè, ÷òî Àëèñà âûáðàëà ñåêðåòíûé êëþ÷ c è ïîðîæäàþùóþ òî÷êó G, à òàêæå çàäàí ïîðÿäîê q
ãðóïïû òî÷åê.
a) Ïàðàìåòðû êðèâîé: a = 1, b = 1, p = 11. Ïîðÿäîê ïîäãðóïïû òî÷åê: q = 7.
Òî÷êà G = (0, 1). Ñåêðåòíûé êëþ÷ c = 4. Ñëó÷àéíîå ÷èñëî Àëèñû k = 5. Ñîîáùåíèå
m = 5.
b) Ïàðàìåòðû êðèâîé: a = 2, b = 6, p = 11. Òî÷êà G = (10, 5). Ñåêðåòíûé êëþ÷
c = 5. Ñëó÷àéíîå ÷èñëî Àëèñû k = 4. Ñîîáùåíèå m = 10.
c) Ïàðàìåòðû êðèâîé: a = 2, b = 7, p = 11. Òî÷êà G = (7, 10). Ñåêðåòíûé êëþ÷
c = 6. Ñëó÷àéíîå ÷èñëî Àëèñû k = 5. Ñîîáùåíèå m = 2.
21. Êðèïòîñèñòåìà Ìàê-Ýëèñà
21.
55
Êðèïòîñèñòåìà Ìàê-Ýëèñà
 îñíîâå êðèïòîñèñòåìû Ìàê-Ýëèñà, ðàçðàáîòàííîé â 1978 ã. Ðîáåðòîì Ìàê-Ýëèñîì,
ëåæèò òåîðèÿ ëèíåéíûõ êîäîâ. Ýòî áûëà ïåðâàÿ ñõåìà, èñïîëüçóþùàÿ ðàíäîìèçàöèþ
â ïðîöåññå øèôðîâàíèÿ. Àëãîðèòì îñíîâàí íà ñëîæíîñòè äåêîäèðîâàíèÿ ëèíåéíûõ
êîäîâ (îáùàÿ çàäà÷à äåêîäèðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ NP-ñëîæíîé).
Äëÿ îïèñàíèÿ çàêðûòîãî êëþ÷à âûáðàí ëèíåéíûé êîä, èñïðàâëÿþùèé t îøèáîê,
äëÿ êîòîðîãî èçâåñòåí ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì äåêîäèðîâàíèÿ. Àëãîðèòì èñïîëüçóåò
äâîè÷íûå êîäû Ãîïïû, êîòîðûå ýôôåêòèâíî äåêîäèðóþòñÿ áëàãîäàðÿ àëãîðèòìó Ïèòåðñîíà. Îòêðûòûé êëþ÷ ïîëó÷àåòñÿ ïðè ïîìîùè ìàñêèðîâêè âûáðàííîãî êîäà êàê
ïðîèçâîëüíîãî ëèíåéíîãî êîäà ñ äàííûìè ïàðàìåòðàìè. Äëÿ ýòîãî ïîðîæäàþùàÿ
ìàòðèöà óìíîæàåòñÿ íà äâå ñëó÷àéíûå íåâûðîæäåííûå ìàòðèöû S è P íàä ïîëåì
GF (q) (ñì. ñõåìó øèôðîâàíèÿ).
Àëãîðèòì øèôðîâàíèÿ êðèïòîñèñòåìû Ìàê-Ýëèñà
Ïîëüçîâàòåëè ñèñòåìû ñîâìåñòíî èñïîëüçóþò ïàðàìåòðû áåçîïàñíîñòè: n äëèíà
êîäà; k ðàçìåðíîñòü êîäà; t ÷èñëî èñïðàâëÿåìûõ êîäîì îøèáîê. Âñå âû÷èñëåíèÿ
îñóùåñòâëÿþòñÿ â k -ìåðíîì ïîäïðîñòðàíñòâå n-ìåðíîãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà Fn2
íàä ïîëåì Ãàëóà GF (2).
Ãåíåðàöèÿ êëþ÷åé
1. Àëèñà âûáèðàåò äâîè÷íûé [n, k]-ëèíåéíûé êîä C , èñïðàâëÿþùèé t îøèáîê. Äëÿ
êîäà C âûáèðàåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ ïîðîæäàþùàÿ ìàòðèöà G.
2. Äëÿ òîãî ÷òîáû èñõîäíûé êîä áûëî ñëîæíî âîññòàíîâèòü, Àëèñà ãåíåðèðóåò
ñëó÷àéíóþ (k × k)-íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó S .
3. Àëèñà ãåíåðèðóåò ñëó÷àéíóþ (n × n)-ìàòðèöó ïåðåñòàíîâêè P .
4. Àëèñà âû÷èñëÿåò (k × n)-ìàòðèöó G0 = SGP .
Òàêèì îáðàçîì, îòêðûòûì êëþ÷îì ÿâëÿåòñÿ ïàðà (G0 , t), à ñåêðåòíûì êëþ÷îì íàáîð (S, G, P ).
Øèôðîâàíèå ñîîáùåíèÿ
Ïóñòü Áîá õî÷åò ïåðåäàòü Àëèñå ñîîáùåíèå m, ïðåäñòàâëåííîå â âèäå äâîè÷íîãî
âåêòîðà äëèíû k .
1. Áîá âû÷èñëÿåò âåêòîð c0 = mG0 .
2. Áîá ãåíåðèðóåò ñëó÷àéíûé âåêòîð îøèáîê z äëèíû n, èìåþùèé âåñ íå áîëåå t.
3. Áîá âû÷èñëÿåò øèôðîòåêñò êàê c = c0 + z è ïåðåäàåò åãî Àëèñå.
21.1. Îïèñàòü àëãîðèòì äåøèôðîâàíèÿ ñîîáùåíèÿ ñ ïîìîùüþ êðèïòîñèñèòåìû ÌàêÝëèñà.
21.2. Äîêàçàòü êîððåêòíîñòü àëãîðèòìà äåøèôðîâàíèÿ êðèïòîñèñòåìû Ìàê-Ýëèñà.
56
Ãëàâà II. Êðèïòîëîãèÿ
21.3. Ïóñòü äëÿ ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè èñïîëüçóåòñÿ êðèïòîñèñòåìà Ìàê-Ýëèñà. Âàø
ñåêðåòíûé êëþ÷ ñîñòàâëÿþò íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà S , ïîðîæäàþùàÿ ìàòðèöà G
è ìàòðèöà P , ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïåðåñòàíîâêå π .
Ñåêðåòíàÿ èíôîðìàöèÿ ïðåäñòàâëåíà äâîè÷íûìè áëîêàìè äëèíû 3.
a) Íàéòè îòêðûòûé êëþ÷ êðèïòîñèñòåìû. Äåøèôðîâàòü ïîëó÷åííîå ñîîáùåíèå
x = (101100) è âîññòàíîâèòü ñåêðåòíóþ èíôîðìàöèþ ïðè óñëîâèè, ÷òî âàø ñåêðåòíûé
êëþ÷ ñîñòàâëÿþò ìàòðèöû
1 0 1
1 0 0 1 1 0
S = 0 1 0 ,G = 0 1 0 1 0 1
0 1 1
0 0 1 0 1 1
è ïåðåñòàíîâêà π = (142536).
b) Ïåðåäàòü ñåêðåòíóþ èíôîðìàöèþ m = (100) ïðè
êëþ÷ ñîñòàâëÿþò ìàòðèöû
0 1 1
1 0 1 1
S = 1 0 0 ,G = 0 1 0 1
1 0 1
0 0 1 0
óñëîâèè, ÷òî âàø ñåêðåòíûé
1 0 0
1 1 0
1 1 1
è ïåðåñòàíîâêà π = (1346752).
21.4. Ïåðåäàòü ñåêðåòíî ñîîáùåíèå m = (1101) ñ ïîìîùüþ êðèïòîñèñòåìû Ìàê-
Ýëèñà, åñëè äëÿ åå ïîñòðîåíèÿ íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ïîðîæäàþùóþ ìàòðèöó êîäà
Õýììèíãà äëèíû 7, çàäàííóþ â êàíîíè÷åñêîé ôîðìå, à òàêæå ïåðåñòàíîâêó π =
(4152763) è íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó
1 1 0 1
1 0 0 1
S=
0 1 1 1 .
1 1 0 0
21.5. Ïóñòü äëÿ ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè èñïîëüçóåòñÿ êðèïòîñèñòåìà Ìàê-Ýëèñà. Âàø
ñåêðåòíûé êëþ÷ ñîñòàâëÿþò íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà S , ïîðîæäàþùàÿ ìàòðèöà G:
1 1 0 1
1 0 0 0 1 1 1 0
0 1 0 0
, G = 0 1 0 0 1 1 0 1
S=
1 0 1 0
0 0 1 0 1 0 1 1
0 0 0 1
0 0 0 1 0 1 1 1
è ìàòðèöà P , ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîäñòàíîâêå π = (13578642). Ñåêðåòíàÿ èíôîðìàöèÿ
êîäèðóåòñÿ ñ ïîìîùüþ îòêðûòîãî êëþ÷à äâîè÷íûìè áëîêàìè äëèíû 4. Êàæäûé áëîê
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâîè÷íóþ çàïèñü íåêîòîðîãî ÷èñëà îò 0 äî 15.
a) Íàéòè îòêðûòûé êëþ÷ êðèïòîñèñòåìû.
b) Äåøèôðîâàòü ïîëó÷åííîå ñîîáùåíèå x = (10111100) è âîññòàíîâèòü ñåêðåòíóþ
èíôîðìàöèþ.
21.6. Îïèñàòü ãåíåðàöèþ êëþ÷åé è àëãîðèòìû øèôðîâàíèÿ è äåøèôðîâàíèÿ ñîîá-
ùåíèé ñ ïîìîùüþ êðèïòîñèñòåìû Ìàê-Ýëèñà, èñïîëüçóÿ ïðîèçâîëüíûé q -çíà÷íûé
êîä, èñïðàâëÿþùèé äîñòàòî÷íî áîëüøîå êîëè÷åñòâî îøèáîê t.
21. Êðèïòîñèñòåìà Ìàê-Ýëèñà
57
21.7. Îïèñàòü ïåðåäà÷ó èíôîðìàöèè ñ ïîìîùüþ êðèïòîñèñòåìû Ìàê-Ýëèñà, èñïîëüçóÿ êîä Õýììèíãà äëèíû 6 íàä GF (5). Ñîîáùåíèå m, íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó S ,
ïåðåñòàíîâî÷íóþ è äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöû âûáðàòü ïî ñâîåìó óñìîòðåíèþ. Îïèñàòü
ïðîöåäóðó äåøèôðîâàíèÿ.
21.8. Îïèñàòü ïåðåäà÷ó èíôîðìàöèè ñ ïîìîùüþ êðèïòîñèñòåìû Ìàê-Ýëèñà, èñïîëü-
çóÿ äâîè÷íûé êîä Á×Õ äëèíû 15 ñ êîäîâûì ðàññòîÿíèåì 7. Ñîîáùåíèå m, íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó S è ïåðåñòàíîâêó âûáðàòü ïî ñâîåìó óñìîòðåíèþ. Îïèñàòü ïðîöåäóðó äåøèôðîâàíèÿ.
58
Ãëàâà II. Êðèïòîëîãèÿ
22.
Êðèïòîñèñòåìà Íèäåððàéòåðà
Ïîëüçîâàòåëè ñèñòåìû ñîâìåñòíî èñïîëüçóþò ïàðàìåòðû áåçîïàñíîñòè: n äëèíà
êîäà; k ðàçìåðíîñòü êîäà; t ÷èñëî èñïðàâëÿåìûõ êîäîì îøèáîê. Âñå âû÷èñëåíèÿ
îñóùåñòâëÿþòñÿ â k -ìåðíîì ïîäïðîñòðàíñòâå n-ìåðíîãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà Fnq
íàä ïîëåì Ãàëóà GF (q), ãäå q ñòåïåíü ïðîñòî ÷èñëà.
Ãåíåðàöèÿ êëþ÷åé
1. Àëèñà âûáèðàåò ëèíåéíûé [n, k]-êîä C , èñïðàâëÿþùèé t îøèáîê. Äëÿ êîäà C
âûáèðàåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà ðàçìåðà r × n, ãäå r = n − k .
2. Äëÿ òîãî ÷òîáû èñõîäíûé êîä áûëî ñëîæíî âîññòàíîâèòü, Àëèñà ãåíåðèðóåò
ñëó÷àéíóþ íåâûðîæäåííóþ (r × r)-ìàòðèöó S íàä ïîëåì Ãàëóà GF (q).
3. Àëèñà ãåíåðèðóåò ñëó÷àéíóþ äèàãîíàëüíóþ (n×n)-ìàòðèöó D íàä ïîëåì Ãàëóà
GF (q).
4. Àëèñà ãåíåðèðóåò ñëó÷àéíóþ (n × n)-ìàòðèöó ïåðåñòàíîâêè P íàä ïîëåì Ãàëóà
GF (2).
5. Àëèñà âû÷èñëÿåò r × n ìàòðèöó H 0 = SHDP .
Òàêèì îáðàçîì, îòêðûòûì êëþ÷îì ÿâëÿåòñÿ ïàðà (H 0 , t), à ñåêðåòíûì êëþ÷îì íàáîð (S, H, D, P ).
22.1. Îïèñàòü ïðîöåäóðó øèôðîâàíèÿ ñîîáùåíèÿ ñ ïîìîùüþ êðèïòîñèñòåìû Íèäåððàéòåðà.
22.2. Îïèñàòü àëãîðèòì äåøèôðîâàíèÿ ñîîáùåíèÿ ñ ïîìîùüþ êðèïòîñèñòåìû Íèäåððàéòåðà.
22.3. Äîêàçàòü êîððåêòíîñòü àëãîðèòìà äåøèôðîâàíèÿ êðèïòîñèñòåìû Íèäåððàéòåðà.
22.4. Ïóñòü äëÿ ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè èñïîëüçóåòñÿ êðèïòîñèñòåìà Íèäåððàéòåðà.
Âàø ñåêðåòíûé êëþ÷ ñîñòàâëÿþò íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà S , ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà
H ëèíåéíîãî êîäà, èñïðàâëÿþùåãî 1 îøèáêó, è ìàòðèöà P , ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïåðåñòàíîâêå π .
Ñåêðåòíàÿ èíôîðìàöèÿ ïðåäñòàâëåíà äâîè÷íûìè áëîêàìè âåñà 1.
a) Íàéòè îòêðûòûé êëþ÷ êðèïòîñèñòåìû, çàøèôðîâàòü ñîîáùåíèå m = (0100000)
è äåøèôðîâàòü ïîëó÷åííûé øèôðîòåêñò ïðè óñëîâèè, ÷òî âàø ñåêðåòíûé êëþ÷ ñîñòàâëÿþò ìàòðèöû
1 0 0
0 1 1 1 1 0 0
S = 0 1 1 , H = 1 0 1 1 0 1 0
1 1 0
1 1 0 1 0 0 1
è ïåðåñòàíîâêà π = (2143567).
22. Êðèïòîñèñòåìà Íèäåððàéòåðà
59
b) Íàéòè îòêðûòûé êëþ÷ êðèïòîñèñòåìû, çàøèôðîâàòü ñîîáùåíèå m = (00010000)
è äåøèôðîâàòü ïîëó÷åííûé øèôðîòåêñò ïðè óñëîâèè, ÷òî âàø ñåêðåòíûé êëþ÷ ñîñòàâëÿþò ìàòðèöû
1 0 1 0
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1
, H = 0 0 1 1 0 0 1 1
S=
1 0 0 1
0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1
è ïåðåñòàíîâêà π = (78465312).
22.5. Ïóñòü äàí òðîè÷íûé êîä Õýììèíãà äëèíû 4 ñ ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöåé
H=
Ïóñòü
0
0
P =
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1 1 1 0
1 2 0 1
.
0
1 0
0
1 2
0 2
, S=
, D=
1
2 1
0 0
0
0 0
0
0
2
0
0
0
.
0
1
Íàéòè îòêðûòûé êëþ÷ êðèïòîñèñòåìû, çàøèôðîâàòü ñîîáùåíèå x = (1000) è äåøèôðîâàòü ïîëó÷åííûé øèôðîòåêñò.
Ãëàâà III
Ñæàòèå äàííûõ
23.
Ýíòðîïèÿ, åå ñâîéñòâà. Òåîðåìà Øåííîíà
• Ïóñòü f (x) âûïóêëàÿ ââåðõ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà ïîëîæèòåëüíîé
ïîëóîñè. Äëÿ
P
ïðîèçâîëüíûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë βi , i = 1, . . . , k , òàêèõ, ÷òî ki=1 βi = 1, è ëþáûõ
x1 , . . . , xk èç ó÷àñòêà âûïóêëîñòè ôóíêöèè f (x) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî Éåíñåíà
!
k
k
X
X
βi f (xi ) ≤ f
βi xi ,
i=1
i=1
ïðè÷åì ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
x1 = . . . = xk .
• Ýíòðîïèÿ ïî Øåííîíó H(A) èñòî÷íèêà A îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
H(A) = −
k
X
pi log pi .
i=1
Ýíòðîïèÿ ìåðà íåîïðåäåëåííîñòè îïûòà, ïîíÿòèå, ïðîòèâîïîëîæíîå ïîíÿòèþ èíôîðìàöèÿ, êîòîðîå ïîíèìàåòñÿ êàê ñòåïåíü èëè ìåðà çíàíèÿ îá îïûòå, îáúåêòå. Â îïðåäåëåííîé
âûøå ýíòðîïèè H(x) äëÿ äâîè÷íîãî ñèììåòðè÷íîãî êàíàëà ñâÿçè (ñì. ðàçä. 6.) èìåëè äâà
èñõîäà ñ âåðîÿòíîñòÿìè p è 1 − p ñîîòâåòñòâåííî.
23.1.0 Êàêîâà ýíòðîïèÿ îïûòà ñ k ðàâíîâåðîÿòíûìè èñõîäàìè?
23.2.0 Ñêîëüêî ìàêñèìàëüíûõ áèò èíôîðìàöèè ìîãëî áû ïðèõîäèòüñÿ íà îäíó áóêâó
òåêñòà, èñïîëüçóþùåãî êèðèëëèöó?
23.3. Â ïåðâîé óðíå ñîäåðæèòñÿ 25 êðàñíûõ, 7 ñèíèõ è 3 çåëåíûõ øàðà, âî âòîðîé
óðíå 11 êðàñíûõ, 15 ñèíèõ è 9 çåëåíûõ øàðîâ. Èç êàæäîé óðíû èçâëåêàþò ïî
îäíîìó øàðó. Èñõîä êàêîãî èç ýòèõ äâóõ îïûòîâ áîëåå íåîïðåäåëåí?
23.4. Ñîãëàñíî ïðîãíîçó gismeteo.ru âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çàâòðà â Íîâîñèáèðñêå
áóäåò æàðêàÿ ïîãîäà ðàâíà 0,3. Ñîãëàñíî ïðîãíîçó íà yandex.ru çàâòðà ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,5 áóäåò æàðêàÿ ñóõàÿ ïîãîäà, à ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,1 áóäåò ïðîõëàäíî è äîæäü.
Êàêîé ïðîãíîç áîëåå äîñòîâåðåí?
23.5. Äîêàçàòü, ÷òî ýíòðîïèÿ H(A) èñòî÷íèêà Áåðíóëëè A íåîòðèöàòåëüíà è ðàâ-
íà 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îäíà èç âåðîÿòíîñòåé áóêâ ðàâíà 1, à îñòàëüíûå
âåðîÿòíîñòè ðàâíû 0.
60
23. Ýíòðîïèÿ, åå ñâîéñòâà. Òåîðåìà Øåííîíà
23.6. Äàí èñòî÷íèê Áåðíóëëè A ñ âåðîÿòíîñòÿìè áóêâ {p1 , . . . , pk }, ãäå
61
Pk
i=1 pi = 1.
Äîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî H(A) ≤ log k . Âûÿñíèòü óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ H(A) = log k.
P
23.7. Äàí èñòî÷íèê Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòÿìè áóêâ {p1 , . . . , pk }, ãäå ki=1 pi = 1.
P
Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë qi , i = 1, . . . , k , òàêèõ ÷òî ki=1 qi =
P
P
1, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî − ki=1 pi log qi ≥ − ki=1 pi log pi .
23.8. Íàéòè îöåíêó ñâåðõó ñòîèìîñòè ïîáóêâåííîãî êîäèðîâàíèÿ ÷åðåç ýíòðîïèþ,
ãàðàíòèðóåìóþ êîäèðîâàíèåì Øåííîíà.
• ×åðåç AN îáîçíà÷èì ïðîèçâåäåíèå N èñòî÷íèêîâ A, îïðåäåëÿåìîå êàê
(ai1 , . . . , aiN )
, aij ∈ A, j ∈ {1, . . . , N }.
AN = H =
pi1 · · · piN
• Ñòîèìîñòü áëî÷íîãî êîäèðîâàíèÿ (A) èñòî÷íèêà AN îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
N
C(A) =
n
X
p(ui )li ,
i=1
ãäå p(ui ) âåðîÿòíîñòü áëîêà p(ui ) = (ai1 , . . . , aiN ), à li äëèíà åãî êîäîâîãî ñëîâà.
23.9. Íàéòè ñòîèìîñòü êîäèðîâàíèÿ íà áóêâó ñîîáùåíèÿ, èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå ñòîèìîñòè áëî÷íîãî êîäèðîâàíèÿ.
23.10. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ ñëó÷àéíûõ îïûòîâ A è B ñïðàâåäëèâî
H(AB) ≤ H(A) + H(B),
ïðè÷åì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîëüêî òîãäà, êîãäà îïûòû A è B íåçàâèñèìû.
23.11. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ ñëó÷àéíûõ îïûòîâ A1 , A2 , . . . , AN ñïðàâåäëèâî
H(A1 A2 · · · AN ) ≤ H(A1 ) + . . . H(AN ).
Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ áåðíóëëèåâñêèõ èñòî÷íèêîâ ñïðàâåäëèâî
H(AN ) = N · H(A)
äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî N .
23.12. Íàéòè ñðåäíþþ äëèíó êîëè÷åñòâà ñèìâîëîâ âûõîäíîãî àëôàâèòà, ïðèõîäÿùèõñÿ íà áóêâó ñîîáùåíèÿ, èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå ñòîèìîñòè áëî÷íîãî êîäèðîâàíèÿ.
23.13. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ áëî÷íîãî êîäèðîâàíèÿ Øåííîíà ñïðàâåäëèâî
(N )
CShannon < H(A) + εN ,
ãäå εN −→ 0 ïðè N −→ ∞.
23.14. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ äàííîãî èñòî÷íèêà A ñòîèìîñòü ëþáîãî ðàçäåëèìîãî áëî÷íîãî êîäèðîâàíèÿ ïðè ëþáîì N óäîâëåòâîðÿåò îöåíêå C (N ) ≥ H(A).
62
Ãëàâà III. Ñæàòèå äàííûõ
23.15. Íàéòè îöåíêó:
m
a) ñâåðõó äëÿ áèíîìèàëüíîãî êîýôôèöèåíòà CN
÷åðåç ôóíêöèþ ýíòðîïèè;
b) ñâåðõó ïîëèíîìèàëüíîãî êîýôôèöèåíòà
N!
m1 ! m2 !···mk !
÷åðåç ôóíêöèþ ýíòðîïèè
k
H(
ãäå
Pk
mi
i=1 N
X mi
m1
mk
mi
,...,
)=−
log
,
N
N
N
N
i=1
= 1.
23.16.* Äîêàçàòü ñëåäóþùèé ÷àñòíûé ñëó÷àé íåðàâåíñòâà Éåíñåíà: ïóñòü y = f (x) âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå. Ïóñòü x1 , x2 , . . . , xk íåêîòîðûå k çíà÷åíèé â ýòîì èíòåðâàëå, íå âñå ðàâíûå ìåæäó ñîáîé. Òîãäà
f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xk )
x 1 + x2 + · · · + xk
< f(
).
k
k
23.17.* Äîêàçàòü íåðàâåíñòâî Éåíñåíà.
24. Ïðåôèêñíîå è ðàçäåëèìîå êîäèðîâàíèå. Ãðàôû Ìàðêîâà
24.
63
Ïðåôèêñíîå è ðàçäåëèìîå êîäèðîâàíèå.
Ãðàôû Ìàðêîâà
• Ðàññìîòðèì k -áóêâåííûé àëôàâèò A = {a1 , . . . , ak }, B = {0, . . . , q − 1} êîäèðóþùèé
àëôàâèò. ×åðåç B ∗ îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ ñëîâ êîíå÷íîé äëèíû â àëôàâèòå B . Îòîáðàæåíèå Σ : A → B ∗ íàçûâàåòñÿ àëôàâèòíûì êîäèðîâàíèåì. Ïóñòü li äëèíà i-ãî êîäîâîãî
ñëîâà, ò. å. li = |Σ(ai )|.
• Êîäèðîâàíèå Σ íàçûâàåòñÿ ðàçäåëèìûì, åñëè èç ðàâåíñòâà
Σ(ai1 ) . . . Σ(aim ) = Σ(aj1 ) . . . Σ(ajn )
ñëåäóåò, ÷òî m = n è it = jt äëÿ âñåõ t = 1, . . . , m (äðóãèìè ñëîâàìè, ëþáàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîäîâûõ ñëîâ åäèíñòâåííûì îáðàçîì ðàçäåëèìà íà êîäîâûå ñëîâà).
• Êîäèðîâàíèå Σ íàçûâàåòñÿ ïðåôèêñíûì, åñëè íèêàêîå êîäîâîå ñëîâî íå ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì
(ïðåôèêñîì) íèêàêîãî äðóãîãî êîäîâîãî ñëîâà. Ëþáîé ïðåôèêñíûé êîä, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ
ðàçäåëèìûì. Îáðàòíîå íåâåðíî.
• Âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà Êðàôòà Ìàêìèëëàíà
k
X
q −li ≤ 1
i=1
ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ q -çíà÷íûõ ïðåôèêñíîãî
è ðàçäåëèìîãî êîäîâ ñ çàäàííûì íàáîðîì äëèí L.
• Äëÿ ðàçäåëèìîñòè çàäàííîãî êîäèðîâàíèÿ Σ íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî íàëè÷èå õîòÿ áû
îäíîé öåïè â ãðàôå Ìàðêîâà êîäèðîâàíèÿ Σ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âåðøèíó, ñîîòâåòñòâóþùóþ
ïóñòîìó ñèìâîëó.
24.1. Ïðèâåñòè êîíñòðóêöèþ ïðåôèêñíîãî êîäà k-áóêâåííîãî àëôàâèòà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî çàäàííîãî k .
24.2. Ïóñòü êîäîì êàæäîãî èç äàííûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ åãî äâîè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå
íàèìåíüøåé âîçìîæíîé äëèíû (áåç íóëåé ñëåâà), íàïðèìåð, 1 → 1, 2 → 10, 4 → 100
è ò. ä. ßâëÿåòñÿ ëè êîäèðîâàíèå ðàçäåëèìûì?
a) L = {1, 2, 4, 9, 50};
b) L = {1, 2, 4, 17, 98}.
24.3. Ïîñòðîèòü äâîè÷íûé ïðåôèêñíûé êîä ñ çàäàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ äëèí
êîäîâûõ ñëîâ:
a) L = {1, 2, 3, 3};
b) L = {1, 2, 4, 4, 4};
c) L = {1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4}.
24.4. Ìîæåò ëè íàáîð ÷èñåë L áûòü íàáîðîì äëèí êîäîâûõ ñëîâ ðàçäåëèìîãî êîäà
â q -çíà÷íîì àëôàâèòå?
a) L = {1, 2, 2, 3};
b) L = {2, 2, 2, 4, 4, 4}.
24.5. Ïóñòü â àëôàâèòíîì äâîè÷íîì êîäå C òàêîì, ÷òî |C| > 2n , êàæäîå ñëîâî èìååò
äëèíó, íå ïðåâûøàþùóþ n. Ìîæåò ëè êîä C áûòü ðàçäåëèìûì?
64
Ãëàâà III. Ñæàòèå äàííûõ
24.6. Ïðåôèêñíîå q -çíà÷íîå êîäèðîâàíèå Σ íàçûâàåòñÿ ïîëíûì, åñëè äëÿ ëþáîãî
ñëîâà v â êîäèðóþùåì àëôàâèòå ñïðàâåäëèâî îäíî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé:
1) ñëîâî v ÿâëÿåòñÿ ïðåôèêñîì (íåîáÿçàòåëüíî ñîáñòâåííûì) íåêîòîðîãî ñëîâà èç
êîäà Σ;
2) íåêîòîðîå ñëîâî èç Σ ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì ïðåôèêñîì ñëîâà v .
Äîêàçàòü, ÷òî ïðåôèêñíûé êîä ñ q -çíà÷íûì êîäèðóþùèì
àëôàâèòîì ïîëíûé òîãäà
Pr
−li
è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
= 1, ãäå l1 , . . . , lr äëèíû
i=1 q
êîäîâûõ ñëîâ.
24.7. Ïî çàäàííîìó àëôàâèòíîìó êîäó Σ(A) ïîñòðîèòü ãðàô Ìàðêîâà GΣ è âûÿñíèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè êîä ðàçäåëèìûì:
a) Σ(A) = {ab, dc, a, bcadd, ca};
b) Σ(A) = {ddac, dd, cddab, a, cddd, b};
c) Σ(A) = {abc, abb, bcc, ccaa, bcabbbcc, bbccaaabca, abcabbabbbcca}.
24.8. Ïåðå÷èñëèòü âñå íåîäíîçíà÷íî äåêîäèðóåìûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîäîâûõ ñëîâ:
a) Σ = {0, (10)2013 , (01)2014 };
b) Σ = {010, 101, 01010, (01)2014 };
c) Σ = {0, 10, 11, (101)k }.
25. Îïòèìàëüíîñòü. Êîäû Ôàíî, Õàôôìåíà è Øåííîíà
25.
65
Îïòèìàëüíîñòü. Êîäû Ôàíî, Õàôôìåíà
è Øåííîíà
• Äàí èñòî÷íèê Áåðíóëëè A = {a1 , . . . , ak } ñ âåðîÿòíîñòÿìè áóêâ
P P = {p1 , . . . , pk }. Ñòîèìîñòüþ êîäèðîâàíèÿ Σ : A → B ∗ íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà C(Σ) = ki=1 pi · li .
• Êîäèðîâàíèå Σ îïòèìàëüíî â íåêîòîðîì êëàññå êîäîâ, åñëè åãî ñòîèìîñòü êîäèðîâàíèÿ
ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøåé ñðåäè âñåõ êîäîâ ýòîãî êëàññà.
Òåîðåìà Õàôôìåíà. Êîä Õàôôìåíà ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì â êëàññå ðàçäåëèìûõ êîäîâ.
Òåîðåìà Øåííîíà. Äëÿ çàäàííîãî èñòî÷íèêà A èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå îöåíêè:
H(A) ≤ Cø (AN )/N < H(A) + (1/N ),
ãäå Cø (AN ) åñòü ñòîèìîñòü êîäèðîâàíèÿ Øåííîíà èñòî÷íèêà AN .
Ïðè ïîñòðîåíèè êîäà Øåííîíà òðåáóåòñÿ íàéòè q -è÷íîå ïðåäñòàâëåíèå äåñÿòè÷íîãî ÷èñëà,
íå ïðåâîñõîäÿùåãî 1, äëÿ ïîèñêà êîòîðîãî óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèì àëãîðèòìîì.
1. Ïóñòü x èñõîäíîå ÷èñëî, i = 1.
2. Âû÷èñëÿåòñÿ x ∗ q , èìåþùåå öåëóþ ÷àñòü x0 è äðîáíóþ ÷àñòü x00 .
3. ×èñëî x0 åñòü i-é çíàê ïîñëå çàïÿòîé â q -è÷íîì ðàçëîæåíèè. Åñëè x00 ðàâíî 0, òî q è÷íîå ïðåäñòàâëåíèå íàéäåíî, èíà÷å x ðàâíûì x00 , i óâåëè÷èâàåòñÿ íà 1 è àëãîðèòì
ïåðåõîäèò íà øàã 1.
25.1. Ïîñòðîèòü êîäû Ôàíî, Õàôôìåíà è Øåííîíà, íàéòè è ñðàâíèòü ñòîèìîñòè
êîäîâ èñòî÷íèêîâ Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòÿìè áóêâ:
a) P = {0, 5; 0, 2; 0, 1; 0, 09; 0, 08; 0, 03};
b) P = {0, 4; 0, 2; 0, 1; 0, 1; 0, 1; 0, 1};
c) P = {0, 4; 0, 3; 0, 1; 0, 07; 0, 06; 0, 04; 0, 03}.
25.2. Äîêàçàòü, ÷òî êîäèðîâàíèå Ôàíî ïðåôèêñíîå.
25.3. Äëÿ èñòî÷íèêîâ Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòÿìè áóêâ
P = {0, 35; 0, 15; 0, 15; 0, 15; 0, 1; 0, 05; 0, 05},
ïîñòðîèòü äâîè÷íûé è òðîè÷íûé êîäû Õàôôìåíà, íàéòè èõ ñòîèìîñòè.
25.4. Ïîñòðîèòü îïòèìàëüíûé êîä äëÿ q -çíà÷íîãî èñòî÷íèêà Áåðíóëëè ñ äàííûìè
âåðîÿòíîñòÿìè áóêâ:
a) P = {0, 3; 0, 2; 0, 2; 0, 2; 0, 05; 0, 05}, q = 3;
b) P = {0, 4; 0, 2; 0, 1; 0, 1; 0, 1; 0, 05; 0, 05}, q = 3.
25.5. Äëÿ çàäàííîãî q óêàçàòü íàáîð âåðîÿòíîñòåé P , ïðè êîòîðîì ñóùåñòâóåò q -
çíà÷íûé ïðåôèêñíûé êîä ñ çàäàííûì íàáîðîì äëèí êîäîâûõ ñëîâ L, ÿâëÿþùèéñÿ
îïòèìàëüíûì. Ïîñòðîèòü ýòîò êîä.
a) q = 2, L = {1, 3, 3, 3, 4, 4};
66
Ãëàâà III. Ñæàòèå äàííûõ
b) q = 3, L = {1, 2, 2, 3, 3, 3}.
25.6. Äîêàçàòü, ÷òî êîäû Ôàíî è Õàôôìåíà ñîâïàäàþò äëÿ èñòî÷íèêà
Áåðíóëëè ñ
P
ñóïåðóáûâàþùèì íàáîðîì âåðîÿòíîñòåé (ò. å. äëÿ ëþáîãî i pi ≥
j>i
pj ).
25.7. Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Êðàôòà äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò êîäèðîâàíèå ëþáîãî
èñòî÷íèêà Áåðíóëëè A, ñòîèìîñòü êîòîðîãî íå ïðåâîñõîäèò H(A) + 1.
25.8. Ïîñòðîèòü äâîè÷íûå è òðîè÷íûå êîäû Øåííîíà äëÿ èñòî÷íèêà Áåðíóëëè ñ
çàäàííûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè âåðîÿòíîñòåé áóêâ:
a) P = {0, 6; 0, 1; 0, 09; 0, 08; 0, 07; 0, 06};
b) P = {0, 4; 0, 4; 0, 1; 0, 03; 0, 03; 0, 02; 0, 02};
c) P = {0, 34; 0, 18; 0, 17; 0, 16; 0, 15};
d) P = {1/3; 1/3; 1/6; 1/6};
e) P = {4/15; 1/3; 1/5; 2/15; 1/15}.
Íàéòè ñòîèìîñòè êîäèðîâàíèé.
25.9. Íàéòè q -è÷íîå ïðåäñòàâëåíèå äðîáè s/t, (s, t) = 1, åñëè:
a) (t, q) = 1;
b) (t, q) = m, m > 1.
25.10. Ïîñòðîèòü êîäû Ôàíî, Õàôôìåíà è Øåííîíà äëÿ èñòî÷íèêîâ A, A2 è A3 , åñëè
P (A) = {0, 4; 0, 3; 0, 3}. Íàéòè Cø (A1 ), Cø (A2 )/2, Cø (A3 )/3 ñðåäíåå ÷èñëî ñèìâîëîâ, çàòðà÷èâàåìûõ êàæäûì èç êîäîâ äëÿ êîäèðîâàíèÿ îäíîãî ñèìâîëà èñõîäíîãî
àëôàâèòà A. Ñðàâíèòü ðåçóëüòàòû ñ òåîðåòè÷åñêèìè äàííûìè.
25.11. Äîêàçàòü, ÷òî êîä Øåííîíà ïðåôèêñíûé.
25.12. Äîêàçàòü, ÷òî êîäû, îïòèìàëüíûå â êëàññå ïðåôèêñíûõ è ðàçäåëèìûõ äëÿ
îäíîãî è òîãî æå èñòî÷íèêà, èìåþò îäèíàêîâóþ ñòîèìîñòü.
26. Àäàïòèâíîå êîäèðîâàíèå
26.
67
Àäàïòèâíîå êîäèðîâàíèå
• Èñòî÷íèê A = {a1 , a2 , . . . , ak } íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííûì, åñëè âåðîÿòíîñòè áóêâ óïîðÿäî÷åíû ïî íåâîçðàñòàíèþ, ò. å. p1 ≥ p2 ≥ . . . ≥ pk .
26.1. Ïóñòü äàí àëôàâèò A = {1, 2, 3}. Ïåðåäàòü ñëîâî ω = 221312233112 ñ ïîìîùüþ
êîäà ¾ñòîïêà êíèã¿. Äåêîäèðîâàòü ïîëó÷åííîå ñëîâî.
26.2. Ïóñòü äàí àëôàâèò A = {a, b, c, d}. Ïåðåäàòü ñëîâî ω ñ ïîìîùüþ êîäà ¾ñòîïêà
êíèã¿. Äåêîäèðîâàòü ïîëó÷åííîå ñëîâî:
a) ω = cbbacccdbb;
b) ω = ccabbaaccc.
26.3. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ, íàëîæåííûõ íà ïåðåäàâàåìûå ñîîáùåíèÿ, ýôôåêòèâåí
ìåòîä êîäà ¾ñòîïêà êíèã¿?
(i−1)
• Îïðåäåëèì n(0) = 0, n(i) = 2n
, i = 1, 2, . . ..
Îïðåäåëèì òàêæå ïðè x ≥ 0 öåëî÷èñëåííóþ ôóíêöèþ log∗x, ïîëàãàÿ
log x = i, åñëè n(i) ≤ x < n(i+1) .
Ôóíêöèÿ log∗x ÿâëÿåòñÿ ìåäëåííî ðàñòóùåé.
Ñëîâî Bin0 x îïðåäåëÿåòñÿ èç äâîè÷íîãî ñëîâà Binx óäàëåíèåì ïåðâîé öèôðû, ðàâíîé åäèíèöå, íàïðèìåð, Bin0 2 = 0, Bin0 3 = 1.
• Êîä Ëåâåíøòåéíà Lev(x) îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
log∗x
Lev(x) = 1
0
∗
log
Yx
∗
Bin0 blog(log x−i) xc.
i=1
26.4.0 Íàéòè n(i) , i = 1, 2, . . . , 6.
26.5. Íàéòè log∗37, log∗100, log∗210 .
4
26.6.0 Íàéòè log∗37, log∗100, log∗210 .
4
26.7.0 ×åìó ðàâíà äëèíà Bin0 (x)?
26.8. Íàéòè
a) Lev(37);
b) Lev(57).
26.9. Îïèñàòü ïðîöåäóðó äåêîäèðîâàíèÿ êîäà Ëåâåíøòåéíà. Äåêîäèðîâàòü ñëîâî
111100100010111101001.
26.10. Íàéòè äëèíó êîäà Ëåâåíøòåéíà.
26.11. Äîêàçàòü ïðåôèêñíîñòü êîäà Ëåâåíøòåéíà.
26.12. Ïåðåäàòü ñîîáùåíèå ω ñ ïîìîùüþ ìåòîäà Ëåìïåëà Çèâà LZ77 ñ çàäàííûì
ðàçìåðîì îêíà. Äåêîäèðîâàòü ïîëó÷åííîå ñëîâî:
a) ω = (abbaabbb)aabcab;
68
Ãëàâà III. Ñæàòèå äàííûõ
b) ω = (abcabbcc)cabbaabd;
c) ω = (01200211)300213013.
26.13. Íàéòè êîä ñîîáùåíèÿ ω ñ ïîìîùüþ ìåòîäà Ëåìïåëà Çèâà LZ78:
a) ω = babaabababaaabab;
b) ω = aaababaabaaabab.
26.14. Ïóñòü äàí èñòî÷íèê Áåðíóëëè A ñ ðàñïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòåé P . Íàéòè
êîä ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ω ñ ïîìîùüþ àðèôìåòè÷åñêîãî êîäèðîâàíèÿ:
a) A = {a1 , a2 , a3 , a4 }, P = {0, 1; 0, 4; 0, 2; 0, 3}, ω = a3 a2 a3 a1 ;
b) A = {a1 , a2 , a3 , a4 }, P = {0, 2; 0, 3; 0, 1; 0, 4}, ω = a4 a2 a2 a1 .
26.15. Äîêàçàòü ïðåôèêñíîñòü àðèôìåòè÷åñêîãî êîäà.
26.16. Íàéòè ñ ïîìîùüþ àäàïòèâíîãî êîäà Õàôôìàíà êîä ñîîáùåíèÿ
ω = a1 a1 a4 a3 a1 a1 a2 a4 a3 a3 .
Äåêîäèðîâàòü ïîëó÷åííîå ñëîâî.
26.17. Äåêîäèðîâàòü ñëîâî 111 c ïîìîùüþ àäàïòèâíîãî êîäà Õàôôìàíà, åñëè îêíî
èìååò âèä (a1 a1 a4 a3 a1 a1 a2 a4 ) = (00101110011010).
Ðåøåíèÿ, îòâåòû, óêàçàíèÿ
Îòâåòû ïî òåîðèè êîäèðîâàíèÿ
Áóëåâ êóá. Ðàññòîÿíèå Õýììèíãà
1.7. a) ×èñëî ïàð ñîñåäíèõ âåêòîðîâ â ïðîñòðàíñòâå E n ðàâíî n2n−1 .
1.9. a) ×èñëî íåóïîðÿäî÷åííûõ ïàð âåêòîðîâ â ïðîñòðàíñòâå ∈ E n íà ðàññòîÿíèè
k ðàâíî Cnk 2n−1 .
m+k−r
2
1.10. a) 2m ; b) Cm
d)
Pk
j=0
Pm−r+k
i=0
m+r−j
+i
2
Cm
k−m+r
2
; c)
Cn−m
j−m+r
Pk
m+r−j
2
j=0 Cm
j−m+r
2
;
Cn−m
−i
2
Cn−m−1
.
1.13. a) ×èñëî áàç â ïðîñòðàíñòâå E n ðàâíî
1.15. à) n!, n!2n .
(2n −1)(2n −2)...(2n −2n−1 )
.
n!
Ëèíåéíûå êîäû
2.5. a) ×èñëî ðàçëè÷íûõ ëèíåéíûõ äâîè÷íûõ êîäîâ äëèíû n ðàçìåðíîñòè k ðàâíî
(2n − 1)(2n − 2) · · · (2n − 2k−1 )
.
(2k − 1)(2k − 2) · · · (2k − 2k−1 )
2.6. a) ×èñëî ðàçëè÷íûõ ëèíåéíûõ äâîè÷íûõ êîäîâ äëèíû n ðàçìåðíîñòè k c
èíôîðìàöèîííûìè ñèìâîëàìè â ïåðâûõ k êîîðäèíàòàõ ðàâíî 2(n−k)k .
2.7. a) ×èñëî ðàçëè÷íûõ ëèíåéíûõ äâîè÷íûõ êîäîâ äëèíû n ðàçìåðíîñòè k, ñîäåðæàùèõ ôèêñèðîâàííûé âåêòîð x, c èíôîðìàöèîííûìè ñèìâîëàìè â ïåðâûõ k
êîîðäèíàòàõ ðàâíî 2(n−k)(k−1) .
2.8. Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû î ñâÿçè ïðîâåðî÷íîé è ïîðîæäàþùåé ìàòðèö, çàäàííûõ
â êàíîíè÷åñêîì âèäå, ìû íàõîäèì
1 0 0 0 1 1
G = 0 1 0 1 0 1 .
0 0 1 1 1 0
Êîäîâîå ñëîâî ñ òðåáóåìûì ñâîéñòâîì åñòü (1, 1, 0)G = (110110).
2.9. Óêàçàíèå. Ìîæíî èñïîëüçîâàòü òåîðåìó î ñâÿçè ïðîâåðî÷íîé è ïîðîæäàþùåé
ìàòðèö.
2.10. Êîäû íåýêâèâàëåíòíû, ïåðâûé êîä èìååò ÷åòíîå êîäîâîå ðàññòîÿíèå, à âòîðîé ðàâíîå 1.
2.11. b) Íàïðèìåð, ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó, çàòåì èñïîëüçîâàòü òåîðåìó î ñâÿçè ïðîâåðî÷íîé è ïîðîæäàþùåé ìàòðèö è
âîñïîëüçîâàòüñÿ îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì. Ñâîéñòâî ìàòðèöû áûòü ïðîâåðî÷íîé
69
70
Ðåøåíèÿ, îòâåòû, óêàçàíèÿ
ìàòðèöåé îäíîãî è òîãî æå êîäà íå èçìåíèòñÿ, åñëè ñ åå ñòðîêàìè ïðîèçâåñòè íåâûðîæäåííûå ëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Íàïðèìåð, óìíîæèâ âòîðóþ ñòðîêó ìàòðèöó
0 2 1 0 1 0
H = 1 1 0 0 2 2
2 0 0 1 0 0
íà 2, ïîëó÷èì ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó
0 2 1 0 1 0
e = 2 2 0 0 1 1
H
2 0 0 1 0 0
e ïåðåñòàíîâêîé ñòîëáöîâ, çàäàííóþ ñëåäóþùèì
òîãî æå êîäà. Ïóñòü H 0 ïîëó÷åíà èç H
0
öèêëîì π = (3465). Çàìåòèì, ÷òî H , ðàâíàÿ
0 2 1 1 0 0
2 2 1 0 1 0 ,
2 0 0 0 0 1
áóäåò ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöåé êîäà C 0 , ýêâèâàëåíòíîãî (âîçìîæíî, íåðàâíîãî) êîäó C
ñ ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöåé H . Ìàòðèöà H 0 â êàíîíè÷åñêîì âèäå, ïîýòîìó ïîðîæäàþùóþ ìàòðèöó G0 êîäà C 0 ìîæíî ëåãêî íàéòè, èñïîëüçóÿ òåîðåìó î ñâÿçè ïðîâåðî÷íîé
è ïîðîæäàþùåé ìàòðèö, çàäàííûõ â êàíîíè÷åñêîì âèäå. ×òîáû ïîëó÷èòü ïîðîæäàþùóþ ìàòðèöó
1 0 1 0 1 0
G = 0 1 1 0 0 1
0 0 2 1 0 2
êîäà C , äîñòàòî÷íî ïåðåñòàâèòü ñòîëáöû
1 0
0
G = 0 1
0 0
ìàòðèöû
0 0 1 1
0 1 1 0
1 2 2 0
ñ ïîìîùüþ ïåðåñòàíîâêè π −1 = (3564). 33 êîäîâûõ ñëîâ êîäà C ïîëó÷àþòñÿ âñåâîçìîæíûìè ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè ñòðîê G.
2.25. ×èñëî âåêòîðîâ, îðòîãîíàëüíûõ äàííîìó íåíóëåâîìó âåêòîðó èç E n , ðàâíî
2n−1 .
2.29. Êîä ñ ïîâòîðåíèåì èìååò ïàðàìåòðû [n, 1, n]. Êîäîì, îðòîãîíàëüíûì äàííîìó êîäó, ÿâëÿåòñÿ ïîëíûé ÷åòíîâåñîâîé êîä [n, n − 1, 2].
2.33. Ïîðÿäîê ïîëíîé ëèíåéíîé ãðóïïû GL(k, q) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó
|GL(k, q)| = (q k − 1)(q k − q)(q k − q 2 ) . . . (q k − q k−1 ).
2.34. Ìàòðèöà GP ÿâëÿåòñÿ ïîðîæäàþùåé ìàòðèöåé ëèíåéíîãî êîäà C òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà îòâå÷àþùàÿ ìàòðèöå P ïîäñòàíîâêà ïðèíàäëåæèò ãðóïïå ñèììåòðèé ëèíåéíîãî êîäà C . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìàòðèöà GP ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà
èç ìàòðèöû G íåâûðîæäåííûì ëèíåéíûì ïðåîáðàçîâàíèåì ïîñðåäñòâîì íåêîòîðîé
íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû M .
Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ
71
Ãðàíèöû îáúåìîâ äâîè÷íûõ êîäîâ
3.1. Óêàçàíèå. Ðàññìîòðåòü ãåîìåòðè÷åñêóþ ìîäåëü ïðîöåäóðû äåêîäèðîâàíèÿ
êîäà ñ ìèíèìàëüíûì ðàññòîÿíèåì d.
3.13. Ìíîãîêðàòíî ïðèìåíÿÿ çàäà÷ó 3.12, ïîëó÷àåì
N (k,
N (k − 1, ed/2d) ≥ d+ed/2d+N
(k − 2, ed/4d) ≥ . . . ≥
P d) ≥ d +
Pk−1
i
k−1
i
≥ k−2
ed/2
d+N
(1,
ed/2
d)
≥
ed/2
d).
i=0
i=0
3.14. N (5, 7) = 15, ñóùåñòâóåò [15, 5, 7]-êîä Á×Õ, î ñóùåñòâîâàíèè òàêèõ êîäîâ
ñì. ðàçäåë 10.
3.15. N (k, 2k−1 ) = 2k−1 + 2k−2 + . . . + 2 + 1 = 2k − 1, ñóùåñòâóåò êîä ñ ïàðàìåòðàìè
[2k − 1, k, 2k−1 ], íà êîòîðîì äîñòèãàåòñÿ ýòà ãðàíèöà.
3.16. Ïîäñ÷èòàåì ÷èñëî ïàð (y, x) òàêèõ, ÷òî y ∈ E n , x ∈ C , d(y, x) = 2. Ñ îäíîé
ñòîðîíû, ÷èñëî ïàð ðàâíî |C| · Cn2 . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äëÿ ôèêñèðîâàííîãî y ∈ E n
íàéäåòñÿ ðîâíî 2Cn2 /n âåêòîðîâ ñ ïîïàðíûì ðàññòîÿíèåì õîòÿ áû 2 ìåæäó ñîáîé.
Ñîïîñòàâëÿÿ ýòè äâà çíà÷åíèÿ, ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.
Ñîâåðøåííûå êîäû
4.19. Óêàçàíèå. Äîêàçàòü ïî èíäóêöèè, èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå êîäà Õýììèíãà
ñ ïîìîùüþ êîíñòðóêöèè Âàñèëüåâà äëÿ ñîâåðøåííûõ êîäîâ.
4.20. a) Ïîðÿäîê ãðóïïû àâòîìîðôèçìîâ äâîè÷íîãî êîäà Õýììèíãà äëèíû 7 ðàâåí
2688.
4.21. Ïîðÿäîê ãðóïïû àâòîìîðôèçìîâ òðîè÷íîãî êîäà {000, 111, 222} ðàâåí 12.
4.22. Ïîðÿäîê ãðóïïû àâòîìîðôèçìîâ òðîè÷íîãî êîäà Õýììèíãà äëèíû 4 ðàâåí
48, èç íèõ 24 ïåðåñòàíîâêè êîîðäèíàòíûõ ïîçèöèé.
4.34 4.36. Óêàçàíèå. Èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó Ñòèðëèíãà.
4.39. Èñïîëüçîâàòü ñâÿçü ðàçìåðíîñòè êîäà, äâîéñòâåííîãî ñîâåðøåííîìó äâîè÷íîìó êîäó C ñ ðàçìåðíîñòüþ ÿäðà è ñ ðàíãîì êîäà C .
4.40. Óêàçàíèå. Èñïîëüçîâàòü òåîðåìó Ñèìîíèñà, ñì. çàäà÷ó 2.24.
Ñïîñîáû ïîñòðîåíèÿ êîäîâ
5.6. Óêàçàíèå. Âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé î ñòîëáöàõ ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöû. Íà-
ïðèìåð, â êà÷åñòâå òàêîé ìàòðèöû ìîæíî âçÿòü
1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1
0 0 1 1 1 0
ìàòðèöó
1
1
.
1
1
5.8. Óêàçàíèå. Êîä èìååò 8 êîäîâûõ ñëîâ. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ êîäà ðàññìîòðèì âñå
êîäîâûå ñëîâà âåñà 3 êîäà Õýììèíãà äëèíû 7, çàòåì ðàñøèðèì êîä îáùåé ïðîâåðêîé
íà ÷åòíîñòü è äîáàâèì íóëåâîå êîäîâîå ñëîâî. Îñòàåòñÿ äîêàçàòü ìàêñèìàëüíîñòü
êîäà.
Äåêîäèðîâàíèå
6.11. a) Ñëîâî (1110000) íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè 2 îò ñëåäóþùèõ êîäîâûõ ñëîâ:
(1100100), (0110001), (0111000), (1100100), âñå îñòàëüíûå êîäîâûå ñëîâà íàõîäÿòñÿ íà
ðàññòîÿíèè, áîëüøåì 2. Ïîýòîìó (1110000) ïî ïðèíöèïó ìàêñèìóìà ïðàâäîïîäîáèÿ
ìîæíî äåêîäèðîâàòü â ëþáîå èç âûøåïåðå÷èñëåííûõ êîäîâûõ ñëîâ.
b) Ñëîâî (1010101) ÿâëÿåòñÿ êîäîâûì è ïîýòîìó â èñïðàâëåíèè îøèáîê íå íóæäàåòñÿ.
72
Ðåøåíèÿ, îòâåòû, óêàçàíèÿ
6.16. Óêàçàíèå. Èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó Ñòèðëèíãà.
6.17. Óêàçàíèå
. Èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó áèíîìà Íüþòîíà.
P
6.20. Pi = y∈E n P (y 6= xi |xi ).
Ïîëÿ Ãàëóà
7.1. Íåïðèâîäèìûå íàä GF (2) ìíîãî÷ëåíû ñòåïåíè, íå ïðåâûøàþùåé 3, ñëåäóþ-
ùèå: 0, 1, x, x + 1, x2 + x + 1, x3 + x2 + 1, x3 + x + 1.
7.2. Íàéäåì íåïîñðåäñòâåííûì èñïûòàíèåì äåëèìîñòè íà ìíîãî÷ëåíû ñòåïåíè,
íå ïðåâûøàþùåé 2, ÿâëÿþùèåñÿ íåïðèâîäèìûìè íàä GF (2).
7.3.
a) x5 + x4 + x2 + x = x(x + 1)2 (x2 + x + 1);
b) x16 − x = x(x + 1)(x2 + x + 1)(x4 + x + 1)(x4 + x3 + 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1).
7.6. Óêàçàíèå. Âîñïîëüçîâàòüñÿ áèíîìîì Íüþòîíà.
7.9. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî βγ ýëåìåíò ïîðÿäêà k. Èìååì k|mn ïî çàäà÷å 7.8. Òàê
êàê β k = γ −k , òî β km = γ −km = 1, îòêóäà âíîâü ïî çàäà÷å 7.8 ïîëó÷àåì, ÷òî ïîðÿäîê n ýëåìåíòà γ äåëèò km. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî (n, m) = 1, èìååì n|k . Àíàëîãè÷íî
ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî m|k . Ñëåäîâàòåëüíî, k = mn.
7.11. Ïóñòü α ïðèìèòèâíûé ýëåìåíò ïîëÿ Ãàëóà GF (pm ), ò. å. ïîðîæäàþùèé
ýëåìåíò ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïû G ïîðÿäêà pm − 1, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé. Åñëè i è pm − 1 èìåþò îáùèå äåëèòåëè, òî ãðóïïà, ïîðîæäåííàÿ αi , áóäåò ñîáñòâåííîé ïîäãðóïïîé G.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå αi ïîðîæäàåò G. Äåéñòâèòåëüíî, èíà÷å
íàéäåòñÿ k, k < pm − 1, òàêîå, ÷òî αik = 1, k < pm − 1 è, ñëåäîâàòåëüíî, pm − 1|ik ,
÷åãî íå ìîæåò áûòü, ïîñêîëüêó i è pm − 1 âçàèìíî ïðîñòû.
7.12. Ìíîãî÷ëåí x + 1.
7.13. Óêàçàíèå. ×òîáû äîêàçàòü, ÷òî β 4 + β 2 + β è β 3 + β 5 + β 6 ïðèíàäëåæàò ïðîñòîìó ïîäïîëþ, äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü òåîðåìó Ôåðìà. Âîñïîëüçîâàâøèñü ìåòîäîì
íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ äëÿ β = a0 + a1 x + a2 x2 , íåñëîæíî óñòàíîâèòü, ÷òî
β 4 + β 2 + β = a0 , à β 3 + β 5 + β 6 = a0 + a2 .
7.14. Ëþáîé ýëåìåíò GF (22 ), îòëè÷íûé îò íóëÿ è åäèíèöû, ÿâëÿåòñÿ ïðèìèòèâíûì ýëåìåíòîì ïîëÿ GF (22 ). Íàïðèìåð, ýëåìåíò α = x, ñòåïåíè êîòîðîãî çàäàþò âñå
ðàçëè÷íûå íåíóëåâûå ýëåìåíòû ïîëÿ: α2 = x + 1, α3 = 1.
7.15. Óêàçàíèå. Ýëåìåíò α = 2x + 1 (mod x2 + x + 1) óäîâëåòâîðÿåò ñðàâíåíèþ
α2 ≡ 2 (mod x2 + x + 1). Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî îòîáðàæåíèå ax + b (mod x2 − 2) →
a(2x + 1) + b (mod x2 + x + 1) åñòü èñêîìûé èçîìîðôèçì.
7.17. ×èñëî íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíîâ íàä GF (2) ñòåïåíè 4 ðàâíî 3.
7.18. Óêàçàíèå.  êà÷åñòâå èçîìîðôèçìà ðàññìîòðåòü îòîáðàæåíèå, ïåðåâîäÿùåå
ïðèìèòèâíûé ýëåìåíò îäíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ïîëÿ â äðóãîé.
7.19. à)  êà÷åñòâå ïðèìèòèâíîãî ýëåìåíòà êîíå÷íîãî ïîëÿ GF (2)[x]/(x3 + x2 + 1)
ìîæíî âûáðàòü α = x. Äåéñòâèòåëüíî, α2 = x2 , α3 = x2 +1, α4 = x2 +x+1, α5 = x+1,
α6 = x2 + x, α7 = 1.
b), ñ)  êà÷åñòâå ïðèìèòèâíîãî ýëåìåíòà ìîæíî âçÿòü ëþáîé ìíîãî÷ëåí ïåðâîé
ñòåïåíè.
7.21. Óêàçàíèå. Ïîðîæäàþùèì ãðóïïû áóäåò àâòîìîðôèçì, îïðåäåëÿåìûé ïî
ïðàâèëó α → αp , íàçûâàåìûé Ôðîáåíèóñîâûì àâòîìîðôèçìîì äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà
α ïîëÿ GF (pm ). Ïîìèìî ýòîãî, âñÿêèé àâòîìîðôèçì ïîëÿ ñîõðàíÿåò êàæäûé ýëåìåíò
ïðîñòîãî ïîäïîëÿ íà ìåñòå.
7.22. Ïî çàäà÷å 7.21, ãðóïïû àâòîìîðôèçìîâ ïîëåé Ãàëóà GF (24 ), GF (25 ), GF (26 )
ÿâëÿþòñÿ öèêëè÷åñêèìè ãðóïïàìè Z4 , Z5 , Z6 ïîðÿäêîâ 4, 5, 6 ñîîòâåòñòâåííî.
Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ
73
7.23. Óêàçàíèå. Ðàññìîòðèì ìóëüòèïëèêàòèâíóþ ãðóïïó ïîëÿ GF (q n ), ïîëó÷åííî-
ãî äîîïðåäåëåíèåì áèíàðíîé îïåðàöèè óìíîæåíèÿ â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå GF (q)n .
Ïîðîæäàþùèé ýòîé ãðóïïû α çàäàåò òðåáóåìûé àâòîìîðôèçì âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà GF (q)n : α(x) = α ∗ x.
Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí
8.3. Íàéäåì öèêëîòîìè÷åñêèå êëàññû ïî ìîäóëþ 7: C0 = {0}, C1 = {1, 2, 4}, C3 =
{3, 6, 5}. Îòñþäà ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ ìèíèìàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ:
M 0 (y) = y + 1,
M 1 (y) = M 2 (y) = (y − α)(y − α2 )(y − α4 ) = y 3 + y 2 (α + α2 + α4 ) + y(α3 + α5 + α6 ) + α7 ,
M 3 (y) = (y − α3 )(y − α6 )(y − α5 ) = y 3 + y 2 (α3 + α6 + α5 ) + y(α + α2 + α4 ) + α7 ,
ãäå α ïðèìèòèâíûé ýëåìåíò ïîëÿ Ãàëóà GF (23 ), ïîñòðîåííîãî ïî ìîäóëþ x3 +x2 +1.
 êà÷åñòâå ïðèìèòèâíîãî ýëåìåíòà ïîëÿ Ãàëóà ðàññìîòðèì α = x, ÷òî äàåò ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíîâ M 1 è M 3 (ñì. çàäà÷ó
7.19): α + α2 + α4 = 0, α3 + α6 + α5 = 1. Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî M 0 (y) = y + 1, M 1 (y) =
y 3 + y + 1, M 3 (y) = y 3 + y 2 + 1. Çàìåòèì, ÷òî åñëè âçÿòü â êà÷åñòâå ïðèìèòèâíîãî
ýëåìåíòà α = x + 1, òî âûðàæåíèÿ äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ M 1 è M 3 ïîìåíÿþòñÿ ìåñòàìè.
8.5.  äàííîì ñëó÷àå ìèíèìàëüíûå ìíîãî÷ëåíû ïðîùå âñåãî ïîëó÷èòü, îòîáðàâ
ìíîãî÷ëåíû íàä GF (3) ñòåïåíè íå áîëüøå 2, îáëàäàþùèå ñâîéñòâîì íåïðèâîäèìîñòè.
Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðåäñòàâëåíèåì GF (32 ) êàê ôàêòîð-êîëüöà ïî èäåàëó, ïîðîæäåííîìó x2 + x + 2 ñ ïðèìèòèâíûì ýëåìåíòîì α = x (ñì. 7.19), òî ïðè èñïîëüçîâàíèè
øåñòîãî ñâîéñòâà ìèíèìàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ âûðàæåíèÿ äëÿ ìèíèìàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ áóäóò ñëåäóþùèìè: M 0 (y) = y + 2, M 1 (y) = M 3 (y) = y 2 + y + 2, M 2 (y) =
M 6 (y) = y 2 + 1, M 4 (y) = y + 1, M 5 (y) = M 7 (y) = y 2 + 2y + 2.
8.6. a) x8 − x = x(x + 1)(x3 + x2 + 1)(x3 + x + 1);
b) x16 − x = x(x + 1)(x2 + x + 1)(x4 + x + 1)(x4 + x3 + 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1).
8.7. x10 − x = x(x + 1)(x2 + x + 1)(x6 + x3 + 1).
8.13. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ñóììû: a0 + a1 β + a2 β 2 + . . . + am β m , ãäå ai ýëåìåíòû ïðîñòîãî ïîäïîëÿ GF (p). Åñëè ñóììà ðàâíà 0 äëÿ
P íåêîòîðîãî íàáîðà (ai : i =
0, . . . , m), òî β ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà f (x) =
i=0,...,m ai , ñëåäîâàòåëüíî, ïî
çàäà÷å 8.11 ñòåïåíü ìèíèìàëüíîãî ìíîãî÷ëåíà β íå ïðåâîñõîäèò m.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà a0 +a1 β +a2 β 2 +. . .+am β m íå ðàâíî íóëþ íè ïðè êàêèõ
ai ∈ GF (p). Òîãäà, â ñèëó àëãåáðàè÷åñêîé çàìêíóòîñòè ïðîñòîãî ïîäïîëÿ, èìååì äâå
îòëè÷íûõ äðóã îò äðóãà ñóììû, ò. å. a0 + a1 β + a2 β 2 + . . . + am β m 6= a00 + a01 β + a02 β 2 +
. . . + a0m β m , åñëè ñîîòâåòñòâóþùèå èì óïîðÿäî÷åííûå íàáîðû (ai : i = 0, . . . , m) è
(a0i : i = 0, . . . , m) ðàçëè÷íû. Èíûìè ñëîâàìè, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â GF (pm ) íå ìåíåå
pm+1 ýëåìåíòîâ. Ïðîòèâîðå÷èå.
8.15. Óêàçàíèå. Âîñïîëüçîâàòüñÿ çàäà÷åé 7.6, ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî
M (i) (xp ) = (M (i) )p (x).
Öèêëè÷åñêèå êîäû
9.4. Íåò, äàííûé ëèíåéíûé (6, 3, 1)-êîä íå ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêèì, òàê êàê âñå åãî
êîäîâûå ñëîâà èìåþò íîëü â ïîñëåäíåé êîîðäèíàòíîé ïîçèöèè.
9.6. Èçâåñòíî, ÷òî ïàðàìåòðû êîäà Õýììèíãà âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ÷èñëî ïðîâåðîê r
ñëåäóþùèì îáðàçîì: n = 2r −1, k = n−r. Òàê êàê ñòåïåíü ïîðîæäàþùåãî ìíîãî÷ëåíà
g(x) öèêëè÷åñêîãî êîäà ðàâíà ÷èñëó ïðîâåðîê, òî â äàííîì ñëó÷àå ðå÷ü èäåò î êîäå
Õýììèíãà äëèíû n = 24 − 1 = 15. Ïîýòîìó ïðîâåðî÷íûé ìíîãî÷ëåí ýòîãî êîäà ðàâåí
h(x) = (x15 − 1)/(x4 + x + 1) = x11 + x8 + x7 + x5 + x3 + x2 + x + 1.
9.8. H = (1, 1, 1, 1, 1), h(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 .
74
Ðåøåíèÿ, îòâåòû, óêàçàíèÿ
9.11. a) Ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå êîäà ðàâíî 5;
b) âåêòîð e7 + e11 ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå âåðîÿòíûì âåêòîðîì îøèáêè.
9.13. Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ëþáîé äîïóñòèìîé äëèíû n ñóùåñòâóåò öèêëè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå êîäà Õýììèíãà, â ãðóïïå ñèììåòðèé êîòîðîãî, î÷åâèäíî, åñòü öèêëè÷åñêîå
ïðåîáðàçîâàíèå, èìåþùåå ïîðÿäîê n. Òàê êàê âñå êîäû Õýììèíãà äëèíû n ýêâèâàëåíòíû (áîëåå òîãî, îíè èçîìîðôíû), òî â ãðóïïå ñèììåòðèé âñÿêîãî êîäà Õýììèíãà
íàéäåòñÿ ñèììåòðèÿ ïîðÿäêà n.
9.13. Óêàçàíèå. Äîñòàòî÷íî, íàïðèìåð, çàäàòü ïðîâåðî÷íóþ (èëè ïîðîæäàþùóþ)
ìàòðèöó òàê, ÷òîáû êîä ñîäåðæàë êîäîâîå ñëîâî (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0). Î÷åâèäíî, öèêëè÷åñêèé ñäâèã òàêîãî êîäîâîãî ñëîâà íå áóäåò êîäîâûì ñëîâîì.
9.14. Ïóñòü g(1) 6= 0. Ïîñêîëüêó êîä öèêëè÷åñêèé, òî ìíîãî÷ëåí g(x) äåëèò ìíîãî÷ëåí xn −1, ò. å. xn −1 = g(x)q(x) äëÿ íåêîòîðîãî ìíîãî÷ëåíà q(x). Ïîäñòàâëÿÿ x = 1,
ïîëó÷èì g(1)q(1) = 0 è, ïîñêîëüêó g(1) 6= 0, èìååì q(1) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå Áåçó âûïîëíÿåòñÿ q(x) = (x−1)u(x). Îòñþäà xn −1 = (x−1)(1+x+x2 +. . .+xn−1 ) =
(x−1)g(x)u(x). Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ïîëó÷àåì, ÷òî ìíîãî÷ëåí 1+x+x2 +. . .+xn−1 ,
êîòîðîìó îòâå÷àåò åäèíè÷íûé âåêòîð, ïðåäñòàâèì â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ êîäîâîãî ìíîãî÷ëåíà g(x) íà ìíîãî÷ëåí u(x), ò. å. ìíîãî÷ëåí 1+x+x2 +. . .+xn−1 ÿâëÿåòñÿ êîäîâûì.
Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî, êîãäà äëèíà êîäà n íå äåëèò õàðàêòåðèñòèêó ïîëÿ p.
9.15. Óêàçàíèå. Èñïîëüçîâàòü çàäà÷ó 9.14. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå âûïîëíÿåòñÿ
òîëüêî, êîãäà äëèíà êîäà n ÿâëÿåòñÿ íå÷åòíîé.
9.16. Ïåðåôîðìóëèðóåì ñâîéñòâî áûòü åäèíèöåé öèêëè÷åñêîãî êîäà ñ çàäàííûì
ïîðîæäàþùèì ìíîãî÷ëåíîì g(x). Íåñëîæíî âèäåòü, ÷òî êîäîâûé ìíîãî÷ëåí
f (x)g(x) åäèíèöà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f (x)g 2 (x) = g(x). Ïóñòü g(x) ïîðîæäàþùèé ìíîãî÷ëåí öèêëè÷åñêîãî êîäà C äëèíû n. Òîãäà g(x)|xn − 1. Òàê
êàê (q, n) = 1, òî ìíîãî÷ëåí xn − 1 íå èìååò êðàòíûõ äåëèòåëåé. Ñëåäîâàòåëüíî,
(g 2 (x), xn − 1) = g(x), ò. å. íàéäóòñÿ a(x) è b(x) : (xn − 1)a(x) + g 2 (x)b(x) = g(x). Ðàññìàòðèâàÿ ðàâåíñòâî â Fq [x], ïîëó÷àåì, ÷òî g 2 (x)b(x) = g(x), ò. å. g(x)b(x) åäèíèöà
êîäà C .
9.17. x14 + x13 + x11 + x10 + x8 + x7 + x5 + x2 + x. ×òîáû íàéòè ÿâíûé âèä åäèíèöû
f (x)g(x) êîäà ñ ïîðîæäàþùèì ìíîãî÷ëåíîì g(x), ìîæíî èëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è 9.16 è âçÿòü â êà÷åñòâå f (x) ìíîãî÷ëåí b(x): (xn − 1)a(x) + g 2 (x)b(x) =
g(x), èëè ïðèìåíèòü ìåòîä íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ ê ðàâåíñòâó f (x)g 2 (x) =
g(x).
9.18. Âñå èäåìïîòåíòû êîäà èìåþò âèä (x10 + x5 + 1)(f0 + f1 (x + x2 + x3 + x4 )) äëÿ
íåêîòîðûõ äâîè÷íûõ f0 è f1 .
10.14. Ïîñêîëüêó (r, n) = 1, òî ýëåìåíò β = αr òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïðèìèòèâíûì
ýëåìåíòîì ïîëÿ Ãàëóà GF (pm ). Ñëåäîâàòåëüíî, íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëî k , ÷òî αb = β k ,
è öèêëè÷åñêèé êîä èìååò δ − 1 ïîäðÿä èäóùèõ ñòåïåíåé ïðèìèòèâíîãî ýëåìåíòà β :
g(β k ) = g(β k+1 ) = . . . = g(β k+δ−2 ) = 0.
Äàëåå îñòàåòñÿ ïðèìåíèòü òåîðåìó î ãðàíèöå Á×Õ.
Êîäû Á×Õ
10.5. Èìååòñÿ 18 êîäîâûõ ñëîâ ìèíèìàëüíîãî âåñà, ñîäåðæàùèõ 1 â ïåðâîé êîîð-
äèíàòíîé ïîçèöèè.
10.9. Äà, êîäû ýêâèâàëåíòíû.
10.11. Äàííûé êîä èñïðàâëÿåò òðè îøèáêè.
Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ
75
10.12.
a) Âåêòîð îøèáêè e15 , êîäîâîå ñëîâî x + e15 .
b) Âåêòîð îøèáêè e1 + e2 , êîäîâîå ñëîâî y + e1 + e2 .
c) Âåêòîð îøèáêè e3 + e4 + e5 , êîäîâîå ñëîâî z + e3 + e4 + e5 .
10.13.
a) Âåêòîð îøèáêè e2 , êîäîâîå ñëîâî x + e2 .
b) Âåêòîð îøèáêè e11 + e13 , êîäîâîå ñëîâî y + e11 + e13 .
c) Âåêòîð îøèáêè e6 + e7 + e9 , êîäîâîå ñëîâî z + e6 + e7 + e9 .
Áëîê-ñõåìû è êîäû
11.6. Óêàçàíèå. Ñóùåñòâóåò 2 íåïåðåñåêàþùèåñÿ ñèñòåìû.
11.8. |Aut(ST S(7))| = 168.
11.21. a) Âûêàëûâàÿ åäèíè÷íóþ êîîðäèíàòó ó âñåõ êîäîâûõ ñëîâ, èìåþùèõ åäè-
íèöó â i-é êîîðäèíàòå, ïîëó÷èì êîä äëèíû n−1 ñ ðàññòîÿíèåì íå ìåíåå 2δ âåñà w −1.
Ìîùíîñòü òàêîãî êîäà íå áîëåå A(n − 1, 2δ, w − 1). Ñ ó÷åòîì îáùåãî ÷èñëà åäèíèö â
ïåðâîíà÷àëüíîì êîäå ïîëó÷èì íå áîëåå
nA(n − 1, 2δ, w − 1)
êîäîâûõ ñëîâ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îáùåå ÷èñëî åäèíèö ðàâíî wA(n, 2δ, w), ïîñêîëüêó
êàæäîå êîäîâîå ñëîâî èìååò âåñ w, à êîäîâûõ ñëîâ â ïåðâîíà÷àëüíîì êîäå áûëî
A(n, 2δ, w). Îòñþäà ïîëó÷àåì îöåíêó
wA(n, 2δ, w) ≤ nA(n − 1, 2δ, w − 1),
èç êîòîðîé ñëåäóåò òðåáóåìàÿ îöåíêà.
b) Óêàçàíèå. Èñïîëüçóÿ çàäà÷ó 11.19 b), ïîëó÷èòü òðåáóåìîå íåðàâåíñòâî, ïðè
ýòîì â îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ a) ñ÷èòàòü íå åäèíèöû, à íóëè.
11.22. Óêàçàíèå. Ïðèìåíèòü ïîñëåäîâàòåëüíî îöåíêè èç çàäà÷è 11.21, çàòåì èñïîëüçîâàòü îöåíêó èç çàäà÷è 11.19 d), ïîëó÷èòü òðåáóåìîå íåðàâåíñòâî, ïðè ýòîì â
îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ a) ñ÷èòàòü íå åäèíèöû, à íóëè.
11.25. Óêàçàíèå. Èñïîëüçîâàòü êîìáèíàöèè îöåíîê èç çàäà÷ 11.20 è 11.24, ïîëó÷èòü A(9, 6, 4) = 3 è A(8, 6, 4) = 2.
11.26. Óêàçàíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèìåíèòü äâà ðàçà îöåíêó èç çàäà÷è 11.21 a),
çàòåì îöåíêè èç çàäà÷ 11.20 è 11.24.
11.30. A(12, 5) ≤ 39. Èñïîëüçîâàòü çàäà÷è 11.27 è 11.28.
11.31. Èñïîëüçîâàòü çàäà÷ó 11.27 è èçâåñòíóþ îöåíêó
n n−1
d 3 d 2 ee − 1 äëÿ n ≡ 5 (mod 6),
A(n, 4, 3) =
d n3 d n−1
ee
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
2
11.32. Óêàçàíèå. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî óòâåðæäåíèÿ (òåîðåìà Äîäóíåêîâà è
Çèíîâüåâà) èñïîëüçîâàòü ãðàíèöó Äæîíñîíà èç çàäà÷è 11.27.
Äðóãèå êîäû (ïðåîáðàçîâàíèå Àäàìàðà, ìàòðèöû Àäàìàðà, êîäû Àäàìàðà, êîäû Ðèäà Ìàëëåðà)
12.2. Èìååì
H −1 · H · H T = nH −1 ,
îòñþäà H T = nH −1 è H T · H = nH −1 · H = nEn , ñëåäîâàòåëüíî, H T · H = nEn ,
îòêóäà ñëåäóåò òðåáóåìîå.
76
Ðåøåíèÿ, îòâåòû, óêàçàíèÿ
12.4. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî H ïðåäñòàâëåíà â íîðìàëèçîâàííîì âèäå è ïóñòü n > 2. Íàéäåòñÿ ìàòðèöà, ýêâèâàëåíòíàÿ ìàòðèöå H , ïåðâûå
òðè ñòðîêè êîòîðîé èìåþò âèä
1 1 ···
1 1 ···
1 1 ···
|
{z
i
1
1
1 ···
1
1 ···
1
1 −1 −1 · · ·
} |
{z
j
1
1
1 ···
1
1
1 ···
1
1 −1 −1 · · · −1 −1 −1 · · · −1 .
−1
1
1 ···
1 −1 −1 · · · −1
} |
{z
} |
{z
}
k
l
Òîãäà èç îðòîãîíàëüíîñòè ñòðîê èìååì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé:
i + j + k + l = n;
i + j − k − l = 0 (óìíîæàÿ 1 è 2-þ ñòðîêè);
i
− j − k + l = 0 (óìíîæàÿ 2 è 3-þ ñòðîêè);
i − j + k − l = 0 (óìíîæàÿ 1 è 3-þ ñòðîêè).
Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó, ïîëó÷àåì i = j = k = l = n/4, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî 4 äåëèò n.
12.5. Ïóñòü Hm è Hn äâå ìàòðèöû Àäàìàðà ïîðÿäêîâ m è n ñîîòâåòñòâåííî.
Òîãäà
T
(Hm × Hn )(Hm × Hn )T = (Hm × Hn )(Hm
× HnT ) =
T
= Hm · Hm
× Hn · HnT = mEm × nEn = mnEmn .
12.11. Èç îïðåäåëåíèÿ êîäà Ðèäà Ìàëëåðà ïîðÿäêà r âûòåêàåò, ÷òî îí ñîñòîèò
èç âñåõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé âåêòîðîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîèçâåäåíèÿì
1, x1 , . . . , xm , x1 x2 , . . . , xm−1 xm , . . . , xm−r+1 xm−r+2 . . . xm .
Ýòè ïðîèçâåäåíèÿ çàäàþò áàçèñ êîäà Ðèäà Ìàëëåðà ïîðÿäêà r. Îòñþäà ñëåäóåò,
÷òî ðàçìåðíîñòü êîäà ðàâíà
m
m
k =1+
+ ··· +
,
1
r
âñå êîäîâûå ñëîâà èìåþò ÷åòíûé âåñ.
12.12. Óêàçàíèå. Ïî èíäóêöèè äîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâî
RM(r + 1, m + 1) = { (u, u + v) | u ∈ RM(r + 1, m), v ∈ RM(r, m) }.
12.13. Óêàçàíèå. Äîêàçàòü èíäóêöèåé ïî m, èñïîëüçóÿ çàäà÷ó 12.12.
12.14. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûå âåêòîðû f ∈ RM(m−r −1, m) è g ∈ RM(r, m).
Èç îïðåäåëåíèÿ êîäîâ Ðèäà Ìàëëåðà âûòåêàåò, ÷òî ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíîâ f è g
îò m ïåðåìåííûõ íå ïðåâîñõîäÿò m − r − 1 è r ñîîòâåòñòâåííî. Îòñþäà ñòåïåíü
ìíîãî÷ëåíà f (x1 , . . . , xm ) · g(x1 , . . . , xm ) íå ïðåâîñõîäèò m − 1 è îòâå÷àþùèé ýòîìó
ìíîãî÷ëåíó âåêòîð ïðèíàäëåæèò êîäó RM(m − 1, m). Ïîñêîëüêó â êîäå RM(m −
1, m) âñå âåðøèíû èìåþò ÷åòíûé âåñ, ò. å. ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ f è g
ðàâíî íóëþ, òî ïîëó÷àåì RM(m − r − 1, m) ⊆ RM(r, m)⊥ . Îáîçíà÷èì ÷åðåç dim(C)
ðàçìåðíîñòü êîäà C. Ñïðàâåäëèâî
dimRM(m − r − 1, m) + dimRM(r, m) = 2m ,
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
RM(m − r − 1, m) = RM(r, m)⊥ ,
Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ
77
÷òî òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
12.16. Ïîêàæåì, ÷òî ìàòðèöó Hn ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: ñòðîêè è ñòîëáöû ìàòðèöû ïîìå÷åíû âñåâîçìîæíûìè áóëåâûìè âåêòîðàìè äëèíû m, à
ýëåìåíò, ñòîÿùèé íà ïåðåñå÷åíèè ñòðîêè, ïîìå÷åííîé âåêòîðîì u è ñòîëáöà, ïîìå÷åííîãî âåêòîðîì v, ðàâåí â òî÷íîñòè (−1)uv . Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì èíäóêöèåé
ïî m. Ïðè m = 1, ò. å. n = 2, óòâåðæäåíèå âåðíî:
1 1
(−1)(0)(0) (−1)(0)(1)
H2 =
=
.
1 −1
(−1)(1)(0) (−1)(1)(1)
Äîïóñòèì, ÷òî óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ n = 2m−1 , ò. å. H n2 = {hij } n2 × n2 , ãäå hij =
(−1)xy , x, y ∈ E m−1 . Ïîêàæåì èñòèííîñòü óòâåðæäåíèÿ äëÿ n = 2m .
Ïî ïîñòðîåíèþ ìàòðèöû Ñèëüâåñòðà âûïîëíÿåòñÿ
H n2 H n2
.
Hn =
H n2 −H n2
Ïðè ýòîì ìåòêè ñòðîê (ñòîëáöîâ) ìàòðèöû Hn ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç ìåòîê H n2
ñëåäóþùèì îáðàçîì: ìåòêà ñòðîêè (ñòîëáöà) Hn ñ íîìåðîì îò 0 äî 2m−1 − 1 èìååò
âèä (0u), ãäå u ìåòêà îäíîèìåííîé ñòðîêè (ñòîëáöà) ìàòðèöû H n2 . Ìåòêà ñòðîêè
(ñòîëáöà) ñ íîìåðîì i îò 2m−1 äî 2m −1 èìååò âèä (1u), ãäå u ìåòêà ñòðîêè (ñòîëáöà)
ïîä íîìåðîì i − 2m−1 ìàòðèöû H n2 . Â ñèëó (0u)(0v) = (0u)(1v) = (1u)(0v) = uv è
(1u)(1v) = uv + 1 ïîëó÷àåì èñêîìîå.
12.17. Ôîðìóëà îáðàùåíèÿ F = n1 F̂ H äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå Àäàìàðà
âûòåêàåò èç îïðåäåëåíèÿ ìàòðèöû Àäàìàðà, à èìåííî èç H 2 = nE è òîãî ôàêòà, ÷òî
H ⊥ = H äëÿ ñèììåòðè÷åñêîé ìàòðèöû H :
F̂ H = F H 2 = nF ⇒ F =
.
1
F̂ H,
n
12.18. Ðàññìîòðèì áóëåâó ôóíêöèþ f (v1 , v2 ) = v1 v2 , m = 2. Íàéäåì âåêòîð F, åãî
ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Àäàìàðà F̂ è îáðàùåíèå ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.
Ôóíêöèÿ f îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî â òî÷êå (1, 1), ïîýòîìó âåêòîð F áóäåò èìåòü
âèä (1, 1, 1, −1). Òîãäà
1 1
1
1
1 −1 1 −1
= 2 2 2 −2 .
F̂ = F H4 = 1 1 1 −1
1 1 −1 −1
1 −1 −1 1
Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé óáåæäàåìñÿ, ÷òî F = n1 F̂ H. Äåéñòâèòåëüíî,
1 1
1
1
1 −1 1 −1 1
1
1
=
2 2 2 −2
4 4 4 −4 = F.
F̂ H =
1 1 −1 −1
n
4
4
1 −1 −1 1
12.19.
X
u∈Em
F̂ (u)F̂ (u + v) =
X X
u∈Em y∈Em
(−1)uy F (y)
X
x∈Em
(−1)(u+v)x F (x) =
78
Ðåøåíèÿ, îòâåòû, óêàçàíèÿ
X
=
X
(−1)vx F (y)F (x)
y, x∈Em
(−1)u(x+y) .
u∈Em
Îáîçíà÷èì x + y ÷åðåç z è ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ñóììó
P
u∈Em
(−1)uz . Î÷åâèäíî,
ïðè z = 0 âñå ñëàãàåìûå ðàâíû 1, è ïîýòîìó ñóììà ðàâíà 2m . Ïóñòü âåêòîð z îòëè÷åí
îò íóëÿ.  ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóþò âåêòîðû, êàê îðòîãîíàëüíûå, òàê è íåîðòîãîíàëüíûå z: U1 = {u| uz = 1}, U0 = {u| uz = 0}. Çàôèêñèðóåì i ∈ supp (z), ÷åðåç ei
îáîçíà÷èì i-é êîîðäèíàòíûé îðò. Çàìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâà U1 è U0 îáðàçóþò ðàçáèåíèå E m è ìîùíîñòè èõ îäèíàêîâû (åñëè u ∈ U0 , òî ei + u ∈ U1 , è íàîáîðîò). Ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî
X
X
X
(−1)uz =
(−1)0 +
(−1)1 = 2m−1 − 2m−1 = 0.
u∈Em
Ïîýòîìó ñóììà
u∈U0
P
u∈Em
u∈U1
(−1)u(x+y) ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 2m ïðè x = y è 0 â ïðîòèâíîì
ñëó÷àå. Ñëåäîâàòåëüíî,
X
F̂ (u)F̂ (u + v) = 2
X
m
u∈Em
vy
2
X
m
(−1) F (y) = 2
y∈Em
(−1)
vy
y∈Em
=
22m , åñëè v=0;
0,
åñëè v 6= 0.
12.23. Äåéñòâèòåëüíî, çíà÷åíèå F̂ (u) ðàâíî ðàçíîñòè ìåæäó ÷èñëîì íóëåé è åäèíèö â äâîè÷íîì âåêòîðå f +
m
P
ui vi . ×èñëî åäèíèö â âåêòîðå x + y ðàâíî ðàññòîÿíèþ
i=1
îò x äî y, ïîýòîìó ÷èñëî íóëåé â f +
m
P
à ÷èñëî åäèíèö ýòî d{f ,
m
P
m
P
ui vi åñòü íå ÷òî èíîå, êàê 2m − d{f ,
i=1
ui vi },
i=1
ui vi }, çäåñü d îáîçíà÷àåò ðàññòîÿíèå ìåæäó âåêòîðàìè.
i=1
Òàêèì îáðàçîì, âåðíî ñîîòíîøåíèå
m
F̂ (u) = (2 − d{f ,
m
X
ui vi }) − d{f ,
i=1
Èëè
d{f ,
m
X
m
ui vi } = 2 − 2d{f ,
m
X
i=1
m
X
i=1
ui vi }.
i=1
1
ui vi } = {2m − F̂ (u)}.
2
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì, ÷òî
d{f , 1 +
m
X
i=1
1
ui vi } = {2m + F̂ (u)}.
2
Ïîýòîìó ðàññòîÿíèå îò íóëÿ äî âåêòîðà f + u0 1 +
m
P
ui vi èç êëàññà f + R(1, m)
i=1
ðàâíî 21 {2m − F̂ (u)}, åñëè u0 = 0, è 12 {2m + F̂ (u)}, åñëè u0 = 1.
12.24. Ñîãëàñíî çàäà÷å 12.23 äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâà {±Ĝ(u)| u ∈
m
E } è {±F̂ (u)| u ∈ E m } ñîâïàäàþò. Äåéñòâèòåëüíî,
Ĝ(u) =
X
v∈E m
(−1)uv G(v) =
X
v∈E m
(−1)uv F (Av + b).
Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ
79
Ïîëîæèì v = B−1 x + B−1 b. Òîãäà
X
X
−1
−1
−1
Ĝ(u) =
(−1)uB x (−1)uB b F (x) = ±
(−1)uB x F (x) = ±F̂ (uB−1 ).
x∈E m
x∈E m
12.25. Âåðíà ñëåäóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàâåíñòâ:
X
f (v)
v∈E n
X
(−1)uv f (v) =
u∈C v∈E n
u∈C
X
X X
fˆ(u) =
(−1)uv =
X
f (v)
v∈C ⊥
u∈C
X
(−1)uv +
X
X
f (v)
v∈C
/ ⊥
u∈C
(−1)uv .
u∈C
Ïî îïðåäåëåíèþ äóàëüíîãî êîäà ïåðâîå ñëàãàåìîå ðàâíî |C|
P
f (v). Ðàññìîò-
v∈C ⊥
ðèì ïîäðîáíåå âòîðîå ñëàãàåìîå. Çàôèêñèðóåì íåêîòîðûé âåêòîð v ∈
/ C ⊥ è âû÷èñëèì âíóòðåííþþ ñóììó. Êîä C ðàçáèâàåòñÿ íà äâà ïîäìíîæåñòâà: C0 , ñîñòîÿùåå èç
âåêòîðîâ, îðòîãîíàëüíûõ v (íàïðèìåð íóëåâîãî), è C1 , âêëþ÷àþùåå âåêòîðû, íå îðòîãîíàëüíûå v (ýòî ìíîæåñòâî òàêæå íåïóñòî, èíà÷å v ïîïàäàë áû â C ⊥ ). Âûáåðåì
ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò y ∈ C1 :
y + C0 ⊆ C1 ⇒ |C0 | ≤ |C1 |, y + C1 ⊆ C0 ⇒ |C1 | ≤ |C0 |.
Çíà÷èò, |C0 | = |C1 | è âíóòðåííÿÿ ñóììà ñîäåðæèò îäèíàêîâîå ÷èñëî åäèíèö è ìèíóñ åäèíèö. Ñëåäîâàòåëüíî, âòîðîå ñëàãàåìîå ðàâíî íóëþ, îòêóäà ñëåäóåò òðåáóåìîå.
12.26. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì èíäóêöèåé ïî n. Ïðè n = 1 ýòî âåðíî: a1 + b1 =
1
P
v
a1−v
1 b1 . Äîïóñòèì, ÷òî óòâåðæäåíèå èñòèííî äëÿ n − 1. Òîãäà
v=0
n
Y
(ai + bi ) = (an +bn )
i=1
n−1
Y
X n−1
Y
(ai + bi ) = (an +bn )
+
bn
v∈E n−1
n−1
Y
i vi
bi
a1−v
i
n
XY
=
i vi
a1−v
bi
i
+
=
ai1−vi bvi i
an
n
XY
=
v∈E n i=1
vn =1
v∈E n i=1
vn =0
i=1
n
XY
X
v∈E n−1
v∈E n−1 i=1
i=1
X
i vi
bi
a1−v
i
n−1
Y
ai1−vi bvi i +
i=1
ai1−vi bvi i .
v∈E n i=1
12.27. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå f (v) = xn−w(v) y w(v) .
fˆ(u) =
X
uv n−w(v) w(v)
(−1) x
y
=
v∈E n
X
u1 v1 +u2 v2 +···+un vn
(−1)
v∈E n
=
n
XY
ui vi 1−vi vi
(−1)
x
y =
v∈E n i=1
n
Y
x1−vi y vi =
i=1
n
Y
(x + (−1)ui y).
i=1
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç çàäà÷è 12.26, ïðèìåíåííîé â ñëó÷àå ai = x è
bi = (−1)ui y . Åñëè ui = 1, òî âíóòðåííÿÿ ñóììà ðàâíà x − y .  ñëó÷àå æå ui = 0 îíà
ðàâíà x + y . Ïîýòîìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàâåíñòâ ìîæíî ïðîäîëæèòü:
fˆ(u) =
n
Y
i=1
(x + (−1)ui y) =
Y
i| ui =0
(x + y)
Y
(x − y) = (x + y)n−w(u) (x − y)w(u) .
i| ui =1
Âîñïîëüçîâàâøèñü òåïåðü çàäà÷åé 12.25, ïîëó÷èì
80
Ðåøåíèÿ, îòâåòû, óêàçàíèÿ
X
xn−w(u) y w(u) =
u∈C ⊥
1 X
(x + y)n−w(u) (x − y)w(u) ,
|C| u∈C
ò. å. ñïðàâåäëèâî òðåáóåìîå.
12.28. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü çàäà÷ó 12.27 ê êîäó C ⊥ è èñïîëüçîâàòü ñâîéñòâî (C ⊥ )⊥ = C.
12.29. Ïðèìåíèì çàäà÷ó 12.27 ê êîäó èç çàäà÷è 12.18: èìååì WC (x, y) = x3 +3xy 2 .
Òîãäà
1
1
WC (x + y, x − y) = ((x + y)3 + 3(x + y)(x − y)2 ) = x3 + y 3 = WC ⊥ (x, y).
|C|
4
12.30. Ïðèìåíèì çàäà÷ó 12.27 ê êîäó èç çàäà÷è 12.19: èìååì WC (x, y) = x3 +3xy 2 .
Òîãäà äëÿ êîäà Õýììèíãà WH 7 (x, y) = x7 + 7x4 y 3 + 7x3 y 4 + y 7 . Îòñþäà
1
1
WH 7 (x + y, x − y) = 16
((x + y)7 + 7(x + y)4 (x − y)3 + 7(x + y)3 (x − y)4 + (x − y)7 ) =
|H 7 |
1
= 16
((x + y)7 + (x − y)7 + 7(x + y)3 (x − y)3 (x + y + x − y)) = 81 x((x + y)6 + (x − y)6 −
4
4
2
2
2
2
3
3
−(x+y)(x−y)((x+y) +(x−y) )+(x+y) (x−y) ((x+y) +(x−y) )+6(x+y) (x−y) ) =
= 81 x((2x2 +2y 2 −x2 +y 2 )((x+y)4 +(x−y)4 )+6(x+y)3 (x−y)3 ) = 81 x(((x+y)(x2 +3y 2 )+
+3(x − y)3 )(x + y)3 + ((x − y)(x2 + 3y 2 ) + 3(x + y)3 ) × (x − y)3 ) =
= 81 x((4x3 − 8x2 y + 12xy 2 )(x + y)3 + (4x3 + 8x2 y + 12xy 2 )(x − y)3 ) =
= 21 x2 ((x2 + 3y 2 ) × ((x + y)3 + (x − y)3 ) − 2xy((x + y)3 − (x − y)3 )) =
= x3 ((x2 + 3y 2 )2 − 2y 2 (3x2 + y 2 )) = x7 + 7x3 y 4 .
Òàêèì îáðàçîì, äåéñòâèòåëüíî
1
WH 7 (x + y, x − y) = W(H 7 )⊥ (x, y).
|H 7 |
12.31. Ðàññìîòðèì êîä (H n )⊥ . Åãî ïîðîæäàþùåé ìàòðèöåé (îáîçíà÷èì åå G) ÿâ-
ëÿåòñÿ ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà êîäà H n , ñòîëáöû êîòîðîé âñå íåíóëåâûå âåêòîðû êóáà E m . Ïîìåòèì ñòîëáöû âåêòîðàìè èç E m \0. Òîãäà ñòðîêó i ìîæíî ðàññìàòðèâàòü
êàê çíà÷åíèÿ ôóíêöèè xi íà ìíîæåñòâå E m \0: äåéñòâèòåëüíî, ýëåìåíò G(i, u) = 1 â
òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà i-ÿ êîîðäèíàòà âåêòîðà u ðàâíà åäèíèöå. Òàêèì îáðàçîì, êîä (H n )⊥ ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ìíîæåñòâîì ëèíåéíûõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà E m \0. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ íåòðèâèàëüíóþ ôóíêöèþ f èç ýòîãî ìíîæåñòâà
è ðàññìîòðèì ìíîæåñòâà åå íóëåé U0 è åäèíèö U1 . Îíè íåïóñòû â ñèëó íåòðèâèàëüíîñòè f , à çíà÷èò, îáðàçóþò ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà E m \0. Åñëè áû f áûëà îïðåäåëåíà íà
âñåì E m , òî ìîùíîñòè U0 è U1 áûëè áû ðàâíû: òàê êàê äëÿ êàæäîãî âåêòîðà u ∈ U1
âûïîëíÿëîñü áû
u + U0 ⊆ U1 ⇒ |U0 | ≤ |U1 | è u + U1 ⊆ U0 ⇒ |U1 | ≤ |U0 |.
 äàííîì ñëó÷àå ìîùíîñòü ìíîæåñòâà U0 áóäåò íà åäèíèöó ìåíüøå, òàê êàê íîëü
íå ïðèíàäëåæèò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ f . Ïîýòîìó |U0 | = 2m−1 − 1 è |U1 | = 2m−1 .
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå íåòðèâèàëüíûå êîäîâûå ñëîâà èç (H n )⊥ èìåþò îäèíàêîâûé
. Êîä (H n )⊥ ñîäåðæèò 2m = n + 1 êîäîâûõ ñëîâ,
âåñ, ðàâíûé |U1 | = 2m−1 = n+1
2
ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî âûïèñàòü åãî âåñîâîé ñïåêòð: A00 = 1, A0n+1 = n, âñå îñòàëüíûå
2
A0i ðàâíû íóëþ. Òàêèì îáðàçîì,
W(H n )⊥ (x, y) = xn + nx
n−1
2
y
n+1
2
.
Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ
81
Îòñþäà ñ ó÷åòîì çàäà÷è 12.28 èìååì
WH n (x, y) =
n−1
n+1
1
((x + y)n + n(x + y) 2 (x − y) 2 ).
n+1
12.32. Ïåðâûå ÷åòûðå ìíîãî÷ëåíà Êðàâ÷óêà âûãëÿäÿò ñëåäóþùèì îáðàçîì:
P0 (x, n) = 1;
P1 (x, n) = n
− 2x;
n
P2 (x, n) =
− 2xn + 2x2 ;
2
n
P3 (x, n) =
− (n2 − n + 2/3)x + 2nx2 − 4x3 /3.
3
12.33. Óêàçàíèå. Èç ñâîéñòâ áèíîìèàëüíûõ ðÿäîâ ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìíîãî÷ëåíîâ Êðàâ÷óêà Pk (x, n) èìååò âèä
(x + y)n−i (x − y)i =
n
X
Pk (i)xn−k y k .
k=0
12.34. Ïî òåîðåìå ÌàêÂèëüÿìñ (ñì. çàäà÷ó 12.27) ñîîòíîøåíèå ìåæäó âåñîâûìè
ôóíêöèÿìè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàâåíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ, åãî ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ
îáíàðóæåíèÿ ñâÿçè ìåæäó âåñîâûìè ñïåêòðàìè {Ai } è {A0i } âçàèìíî äóàëüíûõ êîäîâ.
Òîãäà
n
n
n
1 X
1 X X
1
n−i
i
WC (x + y, x − y) =
Pk (i)xn−k y k =
Ai (x + y) (x − y) =
Ai
|C|
|C| i=0
|C| i=0
k=0
=
n
X
k=0
!
n
n
X
1 X
n−k k
A0k xn−k y k .
Ai Pk (i) x y =
|C| i=0
k=0
Òàêèì îáðàçîì, âåñîâîé ñïåêòð äóàëüíîãî êîäà îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè:
n
1 X
0
Ak =
Ai Pk (i), k = 0, 1, 2, . . .
|C| i=0
APN-ôóíêöèè
13.3. Ôóíêöèÿ F : E m → E m , óäîâëåòâîðÿþùàÿ F : x → x3 , ÿâëÿåòñÿ
APN-ôóíêöèåé ïðè ëþáûõ íàòóðàëüíûõ m. Ýòà ôóíêöèÿ îòâå÷àåò Á×Õ-êîäó, èñïðàâëÿþùåìó äâå îøèáêè ïðè m ≡ 1 (mod 2).
13.4. Ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà HF èìååò 2m ñòðîê, îòñþäà k ≥ n − 2m. Ïîñêîëüêó
ìàòðèöà HF ñîäåðæèò â êà÷åñòâå ïîäìàòðèöû ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó êîäà Õýììèíãà
Hm ñ m ïðîâåðêàìè íà ÷åòíîñòü, ïîëó÷àåì k ≤ n − m.
13.5. Äà, ýòà ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ APN-ôóíêöèåé.
13.6. Äëÿ ëþáîãî îòîáðàæåíèÿ F ðàçìåðíîñòü k êîäà CF óäîâëåòâîðÿåò k ≥
n − 2m (ñì. çàäà÷ó 13.4). Ïîñêîëüêó ëþáûå äâà ñòîëáöà â HF ðàçëè÷íû, èìååì dCF ≥
3. Ïóñòü dCF ≥ 6. Èç ñóùåñòâîâàíèÿ ëèíåéíîãî [n, k, d]-êîäà âûêàëûâàíèåì ëþáîé
êîîðäèíàòíîé ïîçèöèè ïîëó÷àåòñÿ êîä ñ ïàðàìåòðàìè [n − 1, k, d − 1]. Ñëåäîâàòåëüíî,
èç ëèíåéíîãî êîäà ñ ïàðàìåòðàìè [n = 2m − 1, k, d = 6] ïîëó÷èì êîä ñ ïàðàìåòðàìè
[n = 2m − 2, k, d = 5]. Íî ïî òåîðåìå Äîäóíåêîâà è Çèíîâüåâà (ñì. çàäà÷ó 11.32) òàêîé
êîä íå ñóùåñòâóåò.
82
Ðåøåíèÿ, îòâåòû, óêàçàíèÿ
13.8. Óêàçàíèå. Èñïîëüçîâàòü 13.4 è òåîðåìó Äîäóíåêîâà è Çèíîâüåâà (ñì. çàäà÷ó
11.32).
13.9. Óêàçàíèå. Èñïîëüçîâàòü òåîðåìó î ñóùåñòâîâàíèè ñîâåðøåííûõ êîäîâ è
òåîðåìó Äîäóíåêîâà è Çèíîâüåâà (ñì. çàäà÷ó 11.32).
13.10. Ïóñòü ýòî íå òàê è ôóíêöèÿ F 0 íå ÿâëÿåòñÿ APN-ôóíêöèåé. Òîãäà ïî çàäà÷å
13.7 èìååì dCF0 ≥ 4. Ïîñêîëüêó êîä CF0 ÿâëÿåòñÿ ïîäêîäîì êîäà CF , òî âûïîëíÿåòñÿ
dCF ≥ 4. Ïîñëåäíåå ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî ôóíêöèÿ F ÿâëÿåòñÿ APN-ôóíêöèåé.
13.11. Òàê êàê ôóíêöèÿ F 0 ÿâëÿåòñÿ APN-ôóíêöèåé, òî ïî çàäà÷å 13.7 èìååì
dCF = 5. Ñëåäîâàòåëüíî, êîä CF ñîäåðæèò êîäîâûå ñëîâà âåñà 5. Î÷åâèäíî, åäèíè÷íûé âåêòîð íå ìîæåò áûòü îðòîãîíàëåí íè îäíîìó êîäîâîìó ñëîâó íå÷åòíîãî âåñà.
Êðèïòîëîãèÿ
83
Îòâåòû ïî êðèïòîëîãèè
Ýëåìåíòû òåîðèè ÷èñåë
14.1. Ïîñêîëüêó 15345 ≡ 45 (mod 9) ≡ 210 (mod 9) ≡ 1024 (mod 9) ≡ 7 (mod 9),
òî, âû÷èòàÿ èç ýòîãî ñðàâíåíèÿ òðèâèàëüíîå ñðàâíåíèå 1 ≡ 1 (mod 9), ïîëó÷èì
15345 − 1 ≡ 6 (mod 9).
14.2. a) Îáîçíà÷èì îñòàòîê îò äåëåíèÿ 1910 íà 66 ÷åðåç r. Èç ñðàâíåíèé 19 ≡
1 (mod 2), 19 ≡ 1 (mod 3), 19 ≡ −2 (mod 11) ñëåäóåò, ÷òî r ≡ 1 (mod 2), r ≡ 1
(mod 3), r ≡ (−2)10 (mod 11). Ïî ìàëîé òåîðåìå Ôåðìà (−2)10 ≡ 1 (mod 11). Îòñþäà
r = 1.
b) 11;
c) 17;
d) 36.
14.3. Èç a = b (mod pn ) èìååì a = b + kpn äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî k.
Ñëåäîâàòåëüíî,
ap = (b + kpn )p = bp + pbp−1 kpn + . . . + k p ppn = bp + bp−1 kpn+1 + . . . + k p ppn ,
îòêóäà ñëåäóåò ap ≡ bp (mod pn+1 ).
14.4. Óêàçàíèå. Ñíà÷àëà ðàçëîæèòü 343 ïî ñòåïåíÿì äâîéêè, çàòåì ïðèìåíèòü
òåîðèþ. Îòâåò. 2.
14.7.  êà÷åñòâå m ìîæíî âçÿòü, íàïðèìåð, ϕ(n).
14.8. Ñóììà ðàâíà pα .
14.9. Óêàçàíèå. Èñïîëüçîâàòü èíäóêöèþ.
14.10. Óêàçàíèå. Èñïîëüçîâàòü ìàëóþ òåîðåìó Ôåðìà.
14.11. a) Óêàçàíèå. Ïîñêîëüêó (3, 13) = 1, ìîæíî ïðèìåíèòü ìåòîä Ýéëåðà äëÿ
ñðàâíåíèÿ ax ≡ b (mod n), ãäå (a, n) = 1: ðåøåíèå (åäèíñòâåííîå) èùåì â âèäå x =
baϕ(n)−1 (mod n). Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ a, b è n, ïðåîáðàçîâûâàÿ, ïîëó÷èì x = 7
(mod 13).
b) Íåò ðåøåíèÿ, ïîñêîëüêó (156, 221) = 13.
c) Óêàçàíèå. Óïðîñòèòü è ïðèìåíèòü ìåòîä íåïðåðûâíûõ äðîáåé.
14.12. x = 17 (mod 90).
14.13. Óêàçàíèå. Ðåøèòü ñèñòåìó ñ ïîìîùüþ ñðàâíåíèé.
Îòâåò.
x = 17 + 37t
y = 20 + 45t.
Êðèïòîñèñòåìà Äèôôè è Õåëëìàíà
6.
15.1. Äèñêðåòíûé ëîãàðèôì ÷èñëà 7 ïî îñíîâàíèþ 2 â ãðóïïå G = Z/19Z ðàâåí
15.2. Äèñêðåòíûé ëîãàðèôì ýëåìåíòà −1 ïî îñíîâàíèþ α ðàâåí 4.
15.6. a) Íàéäåì K = (α5 )7 = (α7 )5 = α35 = α9 , ïîñêîëüêó â ïîëå Ãàëóà GF (33
äëÿ ïðèìèòèâíîãî ýëåìåíòà α âûïîëíÿåòñÿ α26 = 1. Â ñèëó α3 + α2 − 1 = 0 èìååì
α9 = (1 − α2 )3 = 1 − 3α2 + 3α4 − α6 = 1 − α6 = 1 − (α3 )2 = 1 − (1 − α2 )2 = 2α2 − α4 =
2α2 − α(1 − α2 ) = 2α2 − α + α3 = 2α2 − α + 1 − α2 = α2 + 2α + 1.
15.7. Êðèïòîñòîéêîñòü àëãîðèòìà îñíîâàíà íà ñëîæíîñòè âû÷èñëåíèÿ ñëåäóþùåé
çàäà÷è (Â. Ì. Ñèäåëüíèêîâ, Ì. À. ×åðåïíåâ, Â. Â. ßùåíêî, 1993 ã.): ïî èçâåñòíûì
84
Ðåøåíèÿ, îòâåòû, óêàçàíèÿ
ýëåìåíòàì ga è gb èç ïîëóãðóïïû G, äîïóñêàþùèì ðàçëîæåíèÿ âèäà ga = ha · σ · ra
è gb = hb · σ · rb (ñàìè ðàçëîæåíèÿ íåèçâåñòíû!), íàéòè íåèçâåñòíûé ýëåìåíò g âèäà
g = ha · ga · ra = hb · gb · rb .
16.1. x4 = xB3 (mod p) = mxA xB yA yB (mod p) = mxA yA xB yB (mod p) = m1+e·ϕ(p)
(mod p) = m · meϕ(p) (mod p) = m (mod p), ãäå e íåêîòîðîå öåëîå ÷èñëî, à ϕ(p) ôóíêöèÿ Ýéëåðà.
16.2. a) Íàéäåì ôóíêöèþ Ýéëåðà ÷èñëà 13: ϕ(13) = 12. Àëèñà, ðåøàÿ ñðàâíåíèå
5x ≡ 1 (mod 12), íàõîäèò x = 5. Àíàëîãè÷íî Áîá, ðåøàÿ ñðàâíåíèå 7y ≡ 1 (mod 12),
íàõîäèò y = 7. Äàëåå èìååì ñëåäóþùèå äåéñòâèÿ Àëèñû (A.) è Áîáà (B.):
À.: m1 = 25 (mod 13) = 32 (mod 13) = 6 (mod 13);
B.: m2 = 67 (mod 13) = 279936 (mod 13) = 7 (mod 13);
À.: m3 = 75 (mod 13) = 16807 (mod 13) = 11 (mod 13);
B.: m4 = 117 (mod 13) = 19487171 (mod 13) = 2 (mod 13), m4 = m.
Êðèïòîñèñòåìà Ýëü-Ãàìàëÿ
17.3. Çíàÿ ñåêðåòíûé êëþ÷ x, èñõîäíîå ñîîáùåíèå ìîæíî âû÷èñëèòü èç øèôðîòåêñòà (a, b) ïî ôîðìóëå m = b · (ax )−1 (mod p).
17.4. Àëèñà ïîñûëàåò Áîáó èíôîðìàöèþ (9, 27).
17.8.
Ãåíåðàöèÿ êëþ÷åé
1. Âûáåðåì x = 8 ñëó÷àéíîå öåëîå ÷èñëî x òàêîå, ÷òî 1 < x < p − 1.
2. Âû÷èñëèì y = g x (mod p) = 28 (mod 11) = 3.
Èòàê, îòêðûòûì êëþ÷îì ÿâëÿåòñÿ òðîéêà (p, g, y) = (11, 2, 3), à çàêðûòûì êëþ÷îì ÷èñëî x = 8. Äîïóñòèì, ÷òî íóæíî ïåðåäàòü ñîîáùåíèå m = 5.
Øèôðîâàíèå
1. Âûáèðàåì ñëó÷àéíîå öåëîå ÷èñëî k òàêîå, ÷òî 1 < k < p − 1. Ïóñòü k = 9.
2. Âû÷èñëÿåì ÷èñëî a = g k (mod p) = 29 (mod 11) = 512 (mod 11) = 6.
3. Âû÷èñëÿåì ÷èñëî b = y k · m (mod p) = 39 · 5 (mod 11) = 19683 · 5 (mod 11) = 9.
Ïîëó÷åííàÿ ïàðà (a, b) = (6, 9) ÿâëÿåòñÿ øèôðîòåêñòîì.
Äåøèôðîâàíèå
1. Ïîëó÷àåì ñîîáùåíèå m ïî èçâåñòíîìó øèôðîòåêñòó (a, b) = (6, 9) è ñåêðåòíîìó
êëþ÷ó k = 9.
2. Âû÷èñëÿåì m ïî ôîðìóëå m = b · (ax )−1 (mod p) = 9 · (68 )−1 (mod 11) = 5.
Ïîëó÷èì èñõîäíîå ñîîáùåíèå m = 5.
Ýëåêòðîííàÿ ïîäïèñü íà êðèïòîñèñòåìå Ýëü-Ãàìàëÿ
17.8. Ïðè èçâåñòíîì îòêðûòîì êëþ÷å (p, g, y) è ïîäïèñè (r, s) ñîîáùåíèÿ m ïðîâåðêà ïðîâîäèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.
1. Ïðîâåðÿåòñÿ âûïîëíèìîñòü óñëîâèé 0 < r < p è 0 < s < p − 1. Åñëè õîòÿ áû
îäíî èç íèõ íå âûïîëíÿåòñÿ, òî ïîäïèñü ñ÷èòàåòñÿ íåäåéñòâèòåëüíîé.
2. Ïîäïèñü ñ÷èòàåòñÿ âåðíîé, åñëè âûïîëíÿåòñÿ ñðàâíåíèå y r rs ≡ g m (mod p).
Êðèïòîëîãèÿ
85
17.9.
a) Äëÿ ïîäïèñè ñîîáùåíèÿ m = 3 âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå îïåðàöèè.
1. Âûáèðàåòñÿ ñëó÷àéíîå ÷èñëî 1 < k < p − 1 òàêîå, ÷òî (p − 1, k) = 1, íàïðèìåð,
k = 5.
2. Âû÷èñëÿåòñÿ ÷èñëî r = g k (mod p) = 55 (mod 23) = 20.
3. Âû÷èñëÿåòñÿ ÷èñëî
s = (m−xr)k −1 (mod p−1) = (3−7·20)·5−1 (mod 22) = (−137)·9 (mod 22) = 21.
Ïîäïèñüþ ñîîáùåíèÿ m = 3 ÿâëÿåòñÿ ïàðà (r, s) = (20, 21).
Çíàÿ îòêðûòûé êëþ÷ (p, g, y), ãäå y = g x (mod p) = 57 (mod 23) = 17, îñóùåñòâëÿåì ïðîâåðêó ïîäïèñè (r, s) ñîîáùåíèÿ m.
1. Ïðîâåðÿåòñÿ âûïîëíèìîñòü óñëîâèé 0 < r < p è 0 < s < p − 1. Óñëîâèÿ âûïîëíåíû.
2. Ïðîâåðÿåòñÿ ñðàâíåíèå y r rs ≡ g m (mod p).
L = y r rs (mod p) = 1720 · 2021 (mod 23) = 85 · 197 (mod 23) = 16 · 15 (mod 23) =
= 10.
R = g m (mod p) = 53 (mod 23) = 10.
Ïîñêîëüêó ëåâàÿ L è ïðàâàÿ R ÷àñòè ðàâíû, ïîäëèííîñòü ñîîáùåíèÿ m = 3 ïðîâåðåíà.
Êðèïòîñèñòåìà RSA
18.1. Äëÿ äåøèôðîâêè òåêñòà âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ ïðîöåäóðà.
1. Íàéòè òàêîå d, ÷òîáû e · d ≡ 1 (mod ϕ(n)).
2. Çàòåì äëÿ êàæäîãî çàøèôðîâàííîãî ñîîáùåíèÿ c âû÷èñëèòü m = cd (mod n).
18.3. Âû÷èñëèì n = p · q = 77 è ôóíêöèþ Ýéëåðà ϕ(n) = 60. Âûáåðåì îòêðûòûé
êëþ÷ e = 37, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå âçàèìíîé ïðîñòîòû (37, 60) = 1.
Âû÷èñëèì ñåêðåòíûé êëþ÷ d = e−1 (mod ϕ(n)) = 13. Âûáåðåì èñõîäíîå ñîîáùåíèå m = 2. Âû÷èñëèì øèôðîòåêñò íà îñíîâå îòêðûòîãî êëþ÷à
c = me
(mod n) = 237
(mod 77) = 51.
Çàìåòèì, ÷òî âû÷èñëåíèå îñòàòêà ïî ìîäóëþ 77 ìîæíî ïðîâåñòè âðó÷íóþ èëè ñ
ïîìîùüþ êàëüêóëÿòîðà. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïðîèñõîäèò ïðîöåññ äåøèôðîâàíèÿ
ñ ïîìîùüþ ñåêðåòíîãî êëþ÷à
m = 5113
18.4.
(mod 77) = 2.
a)
1. Àëèñà ôîðìèðóåò ñâîè ñåêðåòíûé è îòêðûòûé êëþ÷è:
n = p · q = 11 · 17 = 187,
ϕ(n) = 10 · 16 = 160,
d = e−1 (mod ϕ(n)) ⇒ d = 89.
86
Ðåøåíèÿ, îòâåòû, óêàçàíèÿ
2. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åíû îòêðûòûé è ñåêðåòíûé êëþ÷è Àëèñû:
KA,pub = {n = 187, e = 9};
KA,priv = {p = 11, q = 17, d = 89}.
3. Äëÿ ïåðåäà÷è ñîîáùåíèÿ m = 3 Áîá âûïîëíÿåò ïðîöåäóðó øèôðîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ îòêðûòîãî êëþ÷à Àëèñû:
x = me
(mod n) = 39
(mod 187) = 48.
4. Äàëåå Áîá ïåðåäàåò øèôðîòåêñò x = 48 Àëèñå ïî îòêðûòîìó êàíàëó ñâÿçè.
5. Àëèñà äëÿ ïðî÷òåíèÿ øèôðîòåêñòà x = 48 âûïîëíÿåò ïðîöåäóðó äåøèôðîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ ñâîåãî ñåêðåòíîãî êëþ÷à:
m = xd
(mod n) = 4889
(mod 187) = 3.
6. Òàêèì îáðàçîì, Áîá ñåêðåòíî ïåðåäàë Àëèñå ñâîå ñîîáùåíèå.
Ýëåêòðîííàÿ ïîäïèñü íà êðèïòîñèñòåìå RSA
18.7. a)
1. Àëèñà ôîðìèðóåò ñâîé ñåêðåòíûé êëþ÷:
nA = pA · qA = 11 · 23 = 253;
ϕ(nA ) = 10 · 22 = 220;
dA = e−1
(mod ϕ(nA )) ⇒ dA = 71.
A
2. Àíàëîãè÷íî Áîá ôîðìèðóåò ñâîé ñåêðåòíûé êëþ÷:
nB = pB · qB = 7 · 13 = 91;
ϕ(nB ) = 6 · 12 = 72;
dB = e−1
(mod ϕ(nB )) ⇒ dB = 29.
B
3. Òàêèì îáðàçîì, èìåþòñÿ îòêðûòûå êëþ÷è Àëèñû è Áîáà:
KA,pub = {nA = 253, eA = 31};
KB,pub = {nB = 91, eB = 5}.
À òàêæå ñåêðåòíûå êëþ÷è Àëèñû è Áîáà:
KA,priv = {pA = 11, qA = 23, dA = 71};
KB,priv = {pB = 7, qB = 13, dB = 29}.
4. Äëÿ ïåðåäà÷è ðàñïîðÿæåíèÿ m = 41 îò Àëèñû Áîáó ñ âîçìîæíîñòüþ àóòåíòèôèêàöèè îòïðàâèòåëÿ Àëèñà âûïîëíÿåò ñëåäóþùèå ïðîöåäóðû.
? Øèôðîâàíèå ïîðó÷åíèÿ îòêðûòûì êëþ÷îì Áîáà:
m1 = meB
(mod nB ) = 415
(mod 91) = 6.
? Ïîäïèñü øèôðîòåêñòà ïîðó÷åíèÿ ñåêðåòíûì êëþ÷îì Àëèñû:
m2 = md1A
(mod nA ) = 67 1
(mod 253) = 94.
Êðèïòîëîãèÿ
87
5. Äàëåå Àëèñà îòïðàâëÿåò Áîáó øèôðîòåêñò ñ ïîäïèñüþ {m1 = 6, m2 = 94}.
6. Ïðè ïîëó÷åíèè çàøèôðîâàííîãî ïîðó÷åíèÿ Áîá âûïîëíÿåò ñëåäóþùèå ïðîöåäóðû.
? Àóòåíòèôèêàöèÿ îòïðàâèòåëÿ øèôðîòåêñòà: ïðîâåðÿåòñÿ ñîâïàäåíèå øèôðîòåêñòà ñ ïîäïèñüþ, ê êîòîðîé ïðèìåíÿåòñÿ àëãîðèòì äåøèôðîâêè ñ ïîìîùüþ
îòêðûòîãî êëþ÷à Àëèñû
m3 = me2A
(mod nA ) = 943 1
(mod 253) = 6.
Ñîâïàäåíèå m1 è m3 ïðîâåðåíî, çíà÷èò, ðàñïîðÿæåíèå äåéñòâèòåëüíî îòïðàâëåíî Àëèñîé.
? Äåøèôðîâàíèå ðàñïîðÿæåíèÿ m1 ñ ïîìîùüþ ñåêðåòíîãî êëþ÷à Áîáà
m4 = md1B
(mod nB ) = 62 9
(mod 91) = 41.
7. Òàêèì îáðàçîì, Áîá óáåäèëñÿ â ïîäëèííîñòè îòïðàâèòåëÿ, à Àëèñà ñåêðåòíî
ïåðåäàëà ñâîå ïîðó÷åíèå.
b) Ïîðó÷åíèå Àëèñû 13, ïîäïèñü 7.
c) Ïîðó÷åíèå Àëèñû 3, ïîäïèñü 48.
Êðèïòîñèñòåìà Ìåðêëÿ Õåëëìàíà
19.1. a) Ïóñòü âåêòîð ãðóçà w = (171, 197, 459, 1191, 2410) è âåñ ðþêçàêà S = 3798,
íàéäåì âåêòîð a, óäîâëåòâîðÿþùèé S = wa: î÷åâèäíî, ÷òî êîîðäèíàòà a5 äîëæíà
áûòü ðàâíà 1, òàê êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, äàæå åñëè âñå îñòàëüíûå êîîðäèíàòû
âåêòîðà a ðàâíû 1, èìååì wa < 3798. Òàêèì îáðàçîì, a5 = 1 è S − w5 = 3798 − 2410 =
1387. Àíàëîãè÷íî a4 = 1. Äåéñòâóÿ òàêèì îáðàçîì äàëåå, ïîëó÷èì a = (0, 1, 0, 1, 1).
19.2. Àëãîðèòì äåøèôðîâàíèÿ ñîîáùåíèÿ äëÿ êðèïòîñèñòåìû Ìåðêëÿ Õåëëìàíà âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ïîñëå ïîëó÷åíèÿ ñîîáùåíèÿ s Àëèñà âûïîëíÿåò ñëåäóþùèå äåéñòâèÿ äëÿ åãî äåøèôðîâàíèÿ.
1. Àëèñà âû÷èñëÿåò ìóëüòèïëèêàòèâíîå îáðàòíîå ïî ìîäóëþ q ê ÷èñëó r. Ïîñêîëüêó r âçàèìíî ïðîñòî ñ q , íàéòè r−1 âîçìîæíî ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàñøèðåííîãî
àëãîðèòìà Åâêëèäà.
2. Àëèñà âû÷èñëÿåò ÷èñëî
P
P
P
s0 = sr−1 (mod q) = ni=1 ai mi r−1 (mod q) = ni=1 wi mi (mod q) = ni=1 wi mi .
3. Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà Àëèñà âû÷èñëÿåò ñîîáùåíèå m, è ýòà çàäà÷à íå ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé, ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü w ñóïåðâîçðàñòàþùàÿ. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ m èñïîëüçóåòñÿ ¾æàäíûé¿ àëãîðèòì.
19.4. a) Îòêðûòûé êëþ÷ a = (31, 62, 55, 3, 44, 19).
Ïîëíûé ñåêðåòíûé êëþ÷ w = (1, 2, 4, 9, 17, 34), q = 69, r = 31, r−1 = 49.
b) Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ ñåêðåòíîãî êëþ÷à ïîëó÷àåòñÿ ñîîáùåíèå
y = 2, 34, 36, 64, 13, 57, ïåðåäàííîå ñëîâî åñòü ¾ÏÀÐÎËÜ¿.
19.5. a) Îòêðûòûé êëþ÷ a = (63, 5, 89, 99, 45). Ïîëíûé ñåêðåòíûé êëþ÷ w =
(3, 5, 9, 19, 45), q = 100, r = 21, r−1 = 81.
88
Ðåøåíèÿ, îòâåòû, óêàçàíèÿ
b) Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ ñåêðåòíîãî êëþ÷à ïîëó÷àåòñÿ ñîîáùåíèå
y = 33, 24, 22, 81, 45, 3, 27, ïåðåäàííîå ñëîâî åñòü ¾ÎÊÒßÁÐÜ¿.
19.6. a) Îòêðûòûé êëþ÷ a = (29, 58, 36, 21, 42, 55).
Ïîëíûé ñåêðåòíûé êëþ÷ a0 = (1, 2, 4, 9, 18, 35), m = 80, ω = 29, ω −1 = 69
b) Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñåêðåòíîãî êëþ÷à ïîëó÷àåòñÿ ñîîáùåíèå
y = 35, 53, 9, 11, 20, 55,
ïåðåäàííîå ñëîâî åñòü ¾ÀÂÃÓÑÒ¿.
Êðèïòîñèñòåìà íà ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ
20.1. Àíàëîã àëãîðèòìà Äèôôè Õåëëìàíà íà ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ âûãëÿäèò
ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Îáìåí êëþ÷àìè ñ èñïîëüçîâàíèåì ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ ìîæåò áûòü âûïîëíåí
ñëåäóþùèì îáðàçîì.
1. Âûáèðàåòñÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîå ïðîñòîå ÷èñëî p è ïàðàìåòðû a è b äëÿ óðàâíåíèÿ ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé. Ýòî çàäàåò ìíîæåñòâî òî÷åê Ep (a, b).
2. Çàòåì â Ep (a, b) âûáèðàåòñÿ ãåíåðèðóþùàÿ òî÷êà G = (x1 , y1 ). Ïðè âûáîðå G
âàæíî, ÷òîáû íàèìåíüøåå çíà÷åíèå n, ïðè êîòîðîì [n]G = 0, îêàçàëîñü î÷åíü
áîëüøèì ïðîñòûì ÷èñëîì. Ïàðàìåòðû êðèâîé Ep (a, b) è òî÷êà G ÿâëÿþòñÿ ïóáëè÷íûì êëþ÷îì êðèïòîñèñòåìû, èçâåñòíûì âñåì ó÷àñòíèêàì.
3. Äàëåå ïðîèñõîäèò îáìåí êëþ÷àìè ìåæäó àáîíåíòàìè Àëèñîé è Áîáîì.  êà÷åñòâå çàêðûòîãî êëþ÷à Àëèñà âûáèðàåò öåëîå ÷èñëî cA , ìåíüøåå n. Çàòåì îíà
âû÷èñëÿåò îòêðûòûé êëþ÷ DA = [cA ]G, êîòîðûé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêîòîðóþ
òî÷êó íà Ep (a, b).
4. Àíàëîãè÷íî Áîá âûáèðàåò çàêðûòûé êëþ÷ cB è âû÷èñëÿåò îòêðûòûé êëþ÷
DB = [cB ]G.
5. Ó÷àñòíèêè îáìåíèâàþòñÿ îòêðûòûìè êëþ÷àìè, ïîñëå ÷åãî âû÷èñëÿþò îáùèé
ñåêðåòíûé êëþ÷ K .
Àëèñà: K = [cA ]DB . Áîá: K = [cB ]DA .
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî îáùèé ñåêðåòíûé êëþ÷ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïàðó ÷èñåë.
Åñëè äàííûé êëþ÷ ïðåäïîëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå ñåàíñîâîãî êëþ÷à äëÿ
àëãîðèòìà ñèììåòðè÷íîãî øèôðîâàíèÿ, òî èç ýòîé ïàðû íåîáõîäèìî ñîçäàòü îäíî
çíà÷åíèå.
20.2. Ïðîöåäóðà øèôðîâàíèÿ è äåøèôðîâàíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ýëëèïòè÷åñêèõ
êðèâûõ âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Òðåáóåòñÿ çàøèôðîâàòü ñîîáùåíèå 0 < m < p. Êàê è â ñëó÷àå îáìåíà êëþ÷îì,
â ñèñòåìå øèôðîâàíèÿ/äåøèôðîâàíèÿ â êà÷åñòâå ïàðàìåòðîâ ðàññìàòðèâàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿ Ep (a, b) è òî÷êà G íà íåé. Áîá âûáèðàåò çàêðûòûé êëþ÷ cB
è âû÷èñëÿåò îòêðûòûé êëþ÷ DB = [cB ]G. ×òîáû çàøèôðîâàòü ñîîáùåíèå m, èñïîëüçóåòñÿ îòêðûòûé êëþ÷ ïîëó÷àòåëÿ Áîáà DB . Àëèñà âûáèðàåò ñëó÷àéíîå öåëîå
ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî cA è âû÷èñëÿåò òî÷êè DA = [cA ]G è R = [cA ]DB = (x, y).
Çàøèôðîâàííûì ñîîáùåíèåì ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ ïàðà:
Cm = {DA , e = mx
(mod p)}.
Êðèïòîëîãèÿ
89
×òîáû äåøèôðîâàòü ñîîáùåíèå, Áîá óìíîæàåò ïîëó÷åííóþ òî÷êó DA íà ñâîé
çàêðûòûé êëþ÷: R = [cB ]DA = (x, y), à äàëåå âû÷èñëÿåò èñõîäíîå ñîîáùåíèå m =
ex−1 (mod p).
Àëèñà çàøèôðîâàëà ñîîáùåíèå, ïðèìåíÿÿ ê íåìó [cA ]DB . Íèêòî íå çíàåò çíà÷åíèÿ cA , ïîýòîìó, õîòÿ DB è ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì êëþ÷îì, íèêòî íå çíàåò [cA ]DB .
Çëîóìûøëåííèêó äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ ñîîáùåíèÿ ïðèäåòñÿ âû÷èñëèòü cA , çíàÿ òî÷êè
G è [cA ]G. Ñäåëàòü ýòî áóäåò íåëåãêî.
Áîá òàêæå íå çíàåò cA , íî åìó â êà÷åñòâå ïîäñêàçêè ïîñûëàåòñÿ [cA ]G. Óìíîæèâ [cA ]G íà ñâîé çàêðûòûé êëþ÷, Áîá ïîëó÷èò çíà÷åíèå, êîòîðîå áûëî ïðèìåíåíî
Àëèñîé ê íåçàøèôðîâàííîìó ñîîáùåíèþ. Òåì ñàìûì Áîá, íå çíàÿ cA , íî èìåÿ ñâîé
çàêðûòûé êëþ÷, ìîæåò âîññòàíîâèòü èñõîäíîå ñîîáùåíèå.
20.3. a) (446, 227);
b) (326, 675);
c) (109, 200).
20.4. a) (188, 658);
b) (33, 396);
c) (73, 679).
20.5. a) Ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿ E7 (2, 6) ñîñòîèò èç 11 òî÷åê: (1, 3), (1, 4), (2, 2),
(2, 5), (3, 2), (3, 5), (4, 1), (4, 6), (5, 1), (5, 6) è áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿ òî÷êà.
b) Ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿ E11 (5, 7) ñîñòîèò èç 14 òî÷åê.
20.6. Øèôðîòåêñò, îòïðàâëåííûé Àëèñîé, ðàâåí ñëåäóþùåé ïàðå: {(4, 2); 20}.
20.8. Ïîðÿäîê òî÷êè P ðàâåí 22; k = 19.
20.9.
a) Ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿ ñîñòîèò èç 10 òî÷åê: (0, 1), (g 2 , 1), (g 2 , g 6 ), (g 3 , g 2 ),
(g , g ), (g 5 , 1), (g 5 , g 4 ), (g 6 , 1), (g 6 , g 5 ) è áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿ òî÷êà.
b) Ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿ ñîñòîèò èç 16 òî÷åê: (1, g 13 ), (g 3 , g 13 ), (g 5 , g 11 ), (g 6 , g 14 ),
9 13
(g , g ), (g 10 , g 8 ), (g 12 , g 12 ), (1, g 6 ), (g 3 , g 8 ), (g 5 , g 3 ), (g 6 , g 8 ), (g 9 , g 10 ), (g 10 , g), (g 12 , 0),
(0, 1) è áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿ òî÷êà.
20.10. Îòêðûòûé êëþ÷ Áîáà ðàâåí KBopen = DB = [3]G = (g 10 , g). Àëèñà âûïîëíÿåò ñëåäóþùèå äåéñòâèÿ.
3
5
1. k = 3.
2. (.) Q = [k]G = [3]G = (g 10 , g).
3. (.) R = [k]DB = [3]DB = (g 5 , g 3 ).
4. z = mxR = gg 5 = g 6 .
5. Ïàðó {Q, z} Àëèñà ïîñûëàåò Áîáó, ò. å. {(g 10 , g), g 6 } → B èëè
{((0111), (0010)), (1100)} → B.
20.13. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðîâåðèòü ïîäëèííîñòü ñîîáùåíèÿ m ñ ïîìîùüþ ïîäïèñè
(r, s), ïîëüçîâàòåëü Áîá äîëæåí âûïîëíèòü ñëåäóþùèå ïðîöåäóðû.
1. Ïðîâåðèòü âûïîëíèìîñòü óñëîâèé 0 < r < q è 0 < s < q . Åñëè õîòÿ áû îäíî èç
íèõ íå âûïîëíÿåòñÿ, òî ïîäïèñü ñ÷èòàåòñÿ íåäåéñòâèòåëüíîé.
2. Âû÷èñëèòü ÷èñëà u1 = s−1 m (mod q) è u2 = s−1 r (mod q).
3. Âû÷èñëèòü òî÷êó [u1 ]G + [u2 ]D = (x1 , y1 ) è ÷èñëî v = x1 (mod q).
90
Ðåøåíèÿ, îòâåòû, óêàçàíèÿ
4. Ïîäïèñü ñ÷èòàåòñÿ âåðíîé, åñëè âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî r = v .
20.14. a) Ïîäïèñü ñîîáùåíèÿ (r, s) = (3, 2).
Êðèïòîñèñòåìà Ìàê-Ýëèñà
21.1. Àëãîðèòì äåøèôðîâàíèÿ ñîîáùåíèÿ ñ ïîìîùüþ êðèïòîñèñèòåìû Ìàê-Ýëèñà
âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ïîñëå ïîëó÷åíèÿ ñîîáùåíèÿ c Àëèñà äëÿ åãî äåøèôðîâàíèÿ âûïîëíÿåò ñëåäóþùèå äåéñòâèÿ.
1. Àëèñà âû÷èñëÿåò îáðàòíóþ ìàòðèöó P −1 ê ìàòðèöå ïåðåñòàíîâêè P .
2. Àëèñà âû÷èñëÿåò âåêòîð c0 = cP −1 .
3. Àëèñà èñïîëüçóåò àëãîðèòì äåêîäèðîâàíèÿ äëÿ êîäà C , ÷òîáû ïîëó÷èòü èíôîðìàöèîííûé áëîê m0 èç âåêòîðà c0 .
4. Àëèñà îñóùåñòâëÿåò ïîïðàâêó èíôîðìàöèîííîãî áëîêà m0 ñ ïîìîùüþ îáðàòíîé
ìàòðèöû S −1 : m = m0 S −1 .
21.5.
a) Îòêðûòûé êëþ÷ ìàòðèöà
1
0
G0 =
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
.
0
0
b) Áûëî ïåðåäàíî ñîîáùåíèå ¾11¿, ïðåäñòàâëåííîå âåêòîðîì (1011). Ïðè ïåðåäà÷å
èñïîëüçîâàëñÿ âåêòîð îøèáîê e = (10000000).
Êðèïòîñèñòåìà Íèäåððàéòåðà
22.1. Ïðîöåäóðà øèôðîâàíèÿ ñîîáùåíèÿ ñ ïîìîùüþ êðèïòîñèñòåìû Íèäåððàé-
òåðà âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ïóñòü Áîáó íåîáõîäèìî ïåðåäàòü Àëèñå ñîîáùåíèå m, ïðåäñòàâëåííîå â âèäå âåêòîðà äëèíû n, ïðèíàäëåæàùåãî øàðó ðàäèóñà t ñ öåíòðîì â íóëåâîé âåðøèíå nìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä ïîëåì Ãàëóà GF (q).
Áîá âû÷èñëÿåò øèôðîòåêñò êàê ñèíäðîì σ = H 0 m> è ïåðåäàåò åãî Àëèñå.
22.2. Àëãîðèòì äåøèôðîâàíèÿ ñîîáùåíèÿ ñ ïîìîùüþ êðèïòîñèñòåìû Íèäåððàéòåðà âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ïîñëå ïîëó÷åíèÿ ñîîáùåíèÿ σ Àëèñà äëÿ åãî äåøèôðîâàíèÿ âûïîëíÿåò ñëåäóþùèå äåéñòâèÿ.
1. Àëèñà âû÷èñëÿåò îáðàòíóþ ìàòðèöó S −1 ê îáðàòèìîé ìàòðèöå S .
2. Àëèñà âû÷èñëÿåò âåêòîð σ 0 = S −1 σ = S −1 H 0 m> = S −1 SHDP m> = HDP m> .
3. Äàëåå Àëèñà èñïîëüçóåò àëãîðèòì äåêîäèðîâàíèÿ äëÿ êîäà C , ÷òîáû ïîëó÷èòü
âåêòîð îøèáîê m0> = DP m> èç ñèíäðîìà σ 0 .
4. Àëèñà îñóùåñòâëÿåò ïîïðàâêó íàéäåííîãî âåêòîðà îøèáîê m0 ñ ïîìîùüþ îáðàòíûõ ìàòðèö P −1 è D−1 : P −1 D−1 m0> = P −1 D−1 DP m> = m> .
Êðèïòîëîãèÿ
91
22.4. a) Îòêðûòûé êëþ÷ êðèïòîñèñòåìû
1 0 1 1 1 0 0
H0 = 1 0 0 1 0 1 1 .
1 1 0 0 1 1 0
b) Îòêðûòûé êëþ÷ êðèïòîñèñòåìû
1 0
1 0
H0 =
0 0
0 0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
.
1
0
92
Ðåøåíèÿ, îòâåòû, óêàçàíèÿ
Îòâåòû ïî ñæàòèþ äàííûõ
Ýíòðîïèÿ, åå ñâîéñòâà. Òåîðåìà Øåííîíà
23.1. H(A) = log k.
23.2. 5 áèò èíôîðìàöèè.
23.3. Ïðè èçâëå÷åíèè øàðà èç ïåðâîé óðíû èìååì ñëåäóþùèå âåðîÿòíîñòè: âåðî-
3
. Ïðè èçâëå÷åíèè
ÿòíîñòü èçâëå÷ü êðàñíûé øàð ðàâíà 57 , ñèíèé 51 , çåëåíûé øàð 35
øàðà èç âòîðîé óðíû èìååì ñëåäóþùèå âåðîÿòíîñòè: âåðîÿòíîñòü èçâëå÷ü êðàñíûé
9
øàð ðàâíà 11
, ñèíèé 37 , çåëåíûé øàð 35
.
35
Ïî îïðåäåëåíèþ ýíòðîïèè ïðè ïåðâîì îïûòå A1 èìååì
5 1
1
3
3
5
log
< 1, 11;
H(A1 ) = − log − log −
7
7 5
5 35
35
ýíòðîïèÿ âòîðîãî îïûòà A2 ðàâíà
H(A2 ) = −
11
11 3
3
9
9
log
− log −
log
> 1, 54.
35
35 7
7 35
35
Ïîñêîëüêó H(A2 ) > H(A1 ), òî èñõîä âòîðîãî îïûòà áîëåå íåîïðåäåëåí, ÷åì èñõîä
ïåðâîãî.
23.4. Óêàçàíèå. Íåîáõîäèìî ïîñ÷èòàòü ýíòðîïèè îáîèõ îïûòîâ è ñðàâíèòü èõ. Òîò
îïûò, ýíòðîïèÿ êîòîðîãî ìåíüøå, áîëåå äîñòîâåðåí.
23.5. Äåéñòâèòåëüíî, èç 0 ≤ pi ≤ 1 èìååì p1i ≥ 1 è log p1i ≥ 0, ò. å. − log pi ≥ 0,
îòñþäà −pi log pi ≥ 0. Ïîñêîëüêó, ïî îïðåäåëåíèþ, −pi log pi = 0 ïðè pi = 0, òî äëÿ
ëþáîãî pi ≥ 0 âûïîëíÿåòñÿ −pi log pi ≥ 0 è, ñëåäîâàòåëüíî,
H(A) = −
k
X
pi log pi ≥ 0.
i=1
Ïðè H(A) = 0 êàæäîå
Pkñëàãàåìîå ðàâíî íóëþ, à çíà÷èò, ëèáî pi = 0, ëèáî log pi = 0,
ò. å. pi = 1. Òàê êàê
i=1 pi = 1, òî ñðåäè âåðîÿòíîñòåé pi ïðèíÿòü çíà÷åíèå 1
ìîæåò ëèøü îäíà, îñòàëüíûå ðàâíû íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, íåîïðåäåëåííîñòü ñîáûòèÿ
ðàâíà íóëþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èñõîä ñîáûòèÿ çàðàíåå èçâåñòåí, â îñòàëüíûõ
ñëó÷àÿõ ýíòðîïèÿ ïîëîæèòåëüíà.
23.6. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = log x. Îíà âûïóêëà ââåðõ ïðè x >P
0, ïîñêîëüêó
åå âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ìåíüøå íóëÿ. Ïîëîæèì βi = pi . Òîãäà ñ ó÷åòîì ki=1 pi = 1 è
íåðàâåíñòâà Éåíñåíà èìååì
!
k
k
k
X
X
X
1
1
≤ log
= log k.
H(A) = −
pi log pi =
pi log
pi
pi
pi
i=1
i=1
i=1
23.7. Ðàññìîòðèì äîêàçàòåëüñòâî â ñëó÷àå, êîãäà âñå pi ïîëîæèòåëüíû (ïðè pi = 0
äëÿ íåêîòîðîãî i = 1, . . . , k äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî ñ íåêîòîðûìè ìîäèôèêàöèÿìè). Âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîì Éåíñåíà ïðè βi = pi , xi = qi /pi , i = 1, . . . , k, äëÿ
ôóíêöèè f (x) = log x:
!
!
k
k
k
X
X
X
qi
qi
pi log ≤ log
pi ·
= log
qi = log 1 = 0.
pi
pi
i=1
i=1
i=1
Ñæàòèå äàííûõ
93
Îòñþäà èìååì
k
X
pi log qi −
k
X
i=1
pi log pi ≤ 0,
i=1
îòêóäà âûòåêàåò òðåáóåìîå. Íåðàâåíñòâî Éåíñåíà ïåðåõîäèò â ðàâåíñòâî òîëüêî òîãäà, êîãäà x1 = . . . = xk , èëè â íàøåì ñëó÷àå ïðè q1 /p1 = . . . = qk /pk , ò. å. êîãäà
âåêòîðû (q1 , . . . , qk ) è (p1 , . . . , pk ) ïðîïîðöèîíàëüíû, è, ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó
k
X
qi =
i=1
k
X
pi = 1
i=1
èìååì qi = pi .
23.8. Èç íåðàâåíñòâà pi ≤ 2li1−1 èìååì 2li −1 · pi < 1, îòêóäà ñëåäóåò 2li −1 < p1i . Ëîãàðèôìèðóÿ, ïîëó÷àåì li − 1 < − log pi + 1. Âû÷èñëèì ñòîèìîñòü CShannon ïîáóêâåííîãî
êîäèðîâàíèÿ, ãàðàíòèðóåìóþ êîäèðîâàíèåì Øåííîíà:
CShannon =
k
X
i=1
â ñèëó
pi li < −
k
X
pi log pi +
i=1
k
X
pi = H(A) + 1
i=1
Pk
pi = 1.
P
23.10. H(A) + H(B) = − AB p(x, y)(log p(x) + log p(y), ãäå AB ïðîèçâåäåíèå
èñòî÷íèêîâ
A è B è p(x, y) âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ áóêâû (a, b) ∈ AB . Ïîñêîëüêó
P
p(x)p(y)
= 1, èñïîëüçóÿ çàäà÷ó 23.7, èìååì
AB
X
X
p(x, y)(log p(x, y) = H(AB).
p(x, y)(log(p(x)p(y)) ≥ −
−
i=1
AB
AB
Äîêàçàòü, ÷òî ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà p(x)p(y) = p(x, y),
ò. å. â ñëó÷àå áåðíóëëèåâñêèõ èñòî÷íèêîâ.
23.11. Ïðèìåíèòü èíäóêöèþ, èñïîëüçóÿ çàäà÷ó 23.10.
23.12. Ñòîèìîñòü êîäèðîâàíèÿ íà áóêâó ñîîáùåíèÿ â äàííîì ñëó÷àå ðàâíà ñðåäíåìó ÷èñëó êîäîâûõ ñèìâîëîâ, çàòðà÷èâàåìûõ íà áóêâó ñîîáùåíèÿ, ò. å. C (N ) = C(A)
=
N
PnN
1
i=1 p(ui )li .
N
23.15. a) CNm ≤ N H( Nm ).
b) Óêàçàíèå. Äîêàçàòü èíäóêöèåé ïî N , ÷òî ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
mk !
m1 !
N!
≤ 2N ·H( N ,..., N ) .
m1 ! m2 ! · · · mk !
Äàëåå, ïðîëîãàðèôìèðîâàâ ýòî íåðàâåíñòâî, ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èòü òðåáóåìîå íåðàâåíñòâî.
Ïðåôèêñíîå è ðàçäåëèìîå êîäèðîâàíèå. Ãðàôû Ìàðêîâà
24.8. a) (0(10)2014×2013 )∗ ;
b) ëþáàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëîâ èç ìíîæåñòâà 01010101010((01)2014 010)∗ ;
c) ëþáàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëîâ èç ìíîæåñòâà (101)k−1 10(11)∗ 0.
Îïòèìàëüíîñòü. Êîäû Ôàíî, Õàôôìåíà è Øåííîíà
25.5. a) Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíûå ðåäóêöèè íàáîðà äëèí (ïîëó÷åí-
íûå çàìåíîé äâóõ íàèáîëüøèõ ÷èñåë L â íàáîðå íà L − 1): {1, 3, 3, 3, 4, 4} ïîñëåäîâàòåëüíî ðåäóöèðóåòñÿ äî {1, 3, 3, 3, 3}, {1, 3, 3, 2}, {1, 2, 2}, {1, 1}. Ñîãëàñíî êîíñòðóêöèè
94
Ðåøåíèÿ, îòâåòû, óêàçàíèÿ
Õàôôìåíà, ïî ýòèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿì ëåãêî âîññòàíîâèòü äåðåâî è ñîîòâåòñòâóþùèé åìó îïòèìàëüíûé êîä, íà÷èíàÿ ñ ïîñëåäíåãî íàáîðà è çàêàí÷èâàþùåãî ïåðâûì:
{0, 1}, {0, 10, 11}, {0, 101, 100, 11}, {0, 101, 100, 110, 111}, {0, 101, 100, 110, 1110, 1111}.
Íàáîð âåðîÿòíîñòåé òàêæå ìîæíî âîññòàíîâèòü, àíàëèçèðóÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðåäóêöèé íàáîðà äëèí. Íàáîðó {1, 1} ìîæíî ñîïîñòàâèòü ëþáóþ ïàðó âåðîÿòíîñòåé ñ
óñëîâèåì íåâîçðàñòàíèÿ, íàïðèìåð {0.6, 0.4}, äàëåå âåðîÿòíîñòü 0.4 ðàçáèâàåòñÿ íà
äâà ÷èñëà, íàïðèìåð, ðàâíûõ 0.2, ñîãëàñíî ïåðåõîäó ê ïðåäûäóùåìó íàáîðó: {1, 2, 2}.
Ïðîäîëæàÿ ïðîöåññ òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èì íàáîðû: {0.6, 0.2, 0.2}, {0.6, 0.1, 0.1, 0.2},
{0.6, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1}, {0.6, 0.1, 0.1, 0.1, 0.05, 0.0.5}.
b) Íàïðèìåð, {1/2, 1/6, 1/6, 1/18, 1/18, 1/18}.
25.8. d) Âû÷èñëèì êóìóëÿòèâíûå âåðîÿòíîñòè èñòî÷íèêà {1/3, 1/3, 1/6, 1/6}: P1 =
0, P2 = 1/3, P3 = 2/3, P4 = 5/6. Îïðåäåëèì äëèíû ñëîâ äâîè÷íîãî êîäà:
l1 = l2 = d−log2 (1/3)e = 2, l3 = l4 = d−log2 (1/6)e = 3.
Íàéäåì ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿ êóìóëÿòèâíûõ âåðîÿòíîñòåé â äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ. Ïðåäñòàâëåíèÿ ÷èñåë 1/3 è 2/3 ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóëû äëÿ áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè: q0 /1 − q = 1/3, ãäå q0 = 1/4 è
1/2 ñîîòâåòñòâåííî. ×òîáû ïîëó÷èòü äâîè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå 5/6, ëó÷øå âîñïîëüçîâàòüñÿ àëãîðèòìîì, îïèñàííûì â òåîðåòè÷åñêîì ðàçäåëå çàäà÷íèêà. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì, ÷òî (P1 )2 = 0.0, (P2 )2 = 0.(01), (P3 )2 = 0.1(01), (P4 )2 = 0.1(10). Òàê
êàê ïî îïðåäåëåíèþ êîäà Øåííîíà i-å êîäîâîå ñëîâî åñòü li çíàêîâ ïîñëå çàïÿòîé
â äâîè÷íîì ðàçëîæåíèè Pi , òî èìååì ñëåäóþùèå êîäîâûå ñëîâà: {00, 01, 101, 110}.
Ñòîèìîñòü êîäà ðàâíà 7/3. Äëèíû òðîè÷íîãî êîäà ðàâíû: l1 = l2 = 1, l3 = l4 = 2.
Ðàññìîòðèì êóìóëÿòèâíûå âåðîÿòíîñòè â òðîè÷íîé ñèñòåìå èñ÷èñëåíèÿ: (P1 )3 = 0.0,
(P2 )3 = 0.1, (P3 )3 = 0.2, (P4 )3 = 0.2(1). Îòêóäà ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ äëÿ êîäîâûõ
ñëîâ: {0, 1, 20, 21}. Ñòîèìîñòü êîäà ðàâíà 4/3.
e) Ïðåæäå âñåãî, ïåðåóïîðÿäî÷èì âåðîÿòíîñòè ïî íåâîçðàñòàíèþ: {1/3, 4/15, 1/5,
2/15, 1/15}. Êóìóëÿòèâíûå âåðîÿòíîñòè ýòîãî èñòî÷íèêà ðàâíû: P1 = 0, P2 = 1/3,
P3 = 3/5, P4 = 4/5, P4 = 14/15. Äëèíû äâîè÷íîãî è òðîè÷íûõ êîäîâ ðàâíû: l1 =
2, l2 = 2, l3 = 3, l4 = 3, l5 = 4 è l1 = 1, l2 = 2, l3 = 2, l4 = 2, l5 = 3 cîîòâåòñòâåííî.
Âûäåëÿÿ íóæíîå êîëè÷åñòâî çíàêîâ ïîñëå çàïÿòîé â äâîè÷íîì ðàçëîæåíèè êóìóëÿòèâíûõ âåðîÿòíîñòåé, ó÷èòûâàÿ èçìåíåííûé ïîðÿäîê âåðîÿòíîñòåé, ïîëó÷èì ñëåäóþùèå äâîè÷íûå è òðîè÷íûå êîäû: {01, 00, 100, 110, 1110}, {10, 0, 12, 21, 220}. Ñòîèìîñòè
êîäîâ ðàâíû 37/15 è 9/5 ñîîòâåòñòâåííî.
Àäàïòèâíîå êîäèðîâàíèå
26.1. Óêàçàíèå. Äëÿ êîäèðîâàíèÿ èñïîëüçîâàòü ìîíîòîííûé êîä {0, 10, 11}. Ïðè
äåêîäèðîâàíèè èñïîëüçîâàòü òàêóþ æå ¾ñòîïêó êíèã¿ , íàõîäÿùóþñÿ â íà÷àëüíûé
ìîìåíò âðåìåíè â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè.  äàëüíåéøåì íàä íåé ïðîâåñòè òå æå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ÷òî è ïðè êîäèðîâàíèè, ÷òî ãàðàíòèðóåò îäíîçíà÷íîñòü âîññòàíîâëåíèÿ
èñõîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðè îòñóòñòâèè ïîìåõ â êàíàëå ñâÿçè.
26.3. Ìåòîä ¾ñòîïêà êíèã¿ îñîáåííî ýôôåêòèâåí ïðè êîäèðîâàíèè ñåðèé îäèíàêîâûõ áóêâ ñîîáùåíèÿ, ïîñêîëüêó ÷àñòî âñòðå÷àþùèåñÿ áóêâû ñîîáùåíèÿ íàõîäÿòñÿ
â âåðõíèõ ïîçèöèÿõ ¾ñòîïêè¿ è, ñëåäîâàòåëüíî, êîäèðóþòñÿ áîëåå êîðîòêèìè êîäîâûìè ñëîâàìè.
16
26.4. n(1) = 1, n(2) = 2, n(3) = 4, n(5) = 16, n(5) = 216 , n(6) = 22 .
4
26.5. log∗37 = 4, log∗100 = 4, log∗210 = 5.
4
26.6. log∗37 = 4, log∗100 = 4, log∗210 = 5.
Ñæàòèå äàííûõ
95
26.7. Äëèíà Bin0 (x) ðàâíà blog xc.
26.8. a) Lev(37) = 1111000100101.
26.9. 75.
P ∗x (i)
26.10. |Lev(x)| = log∗x + 1 + log
x.
i=1 log
26.17. Èìååì (a1 a1 a4 a3 a1 a1 a2 a4 )111. Ïî ÷àñòîòå âñòðå÷àåìîñòè áóêâ íåñëîæíî âè-
äåòü, ÷òî áóêâà a1 èìååò êîä 0, áóêâà a4 êîä 10, áóêâà a2 êîä 110, à áóêâà a3
èìååò êîä 111. Ñëåäîâàòåëüíî, x = a3 .
Çàêëþ÷åíèå
Íàñòîÿùèé ñáîðíèê çàäà÷ íå ïðåòåíäóåò íà ïîëíîòó îñâåùåíèÿ âñåõ îáëàñòåé òåîðèè
èíôîðìàöèè áóðíî ðàçâèâàþùåéñÿ â ïîñëåäíèå äåñÿòèëåòèÿ íàóêå, âêëþ÷àþùåé
òåîðèþ êîäîâ, êîððåêòèðóþùèõ îøèáêè â êàíàëàõ ñâÿçè ñ øóìàìè, êðèïòîëîãèþ
è ñæàòèå èíôîðìàöèè. Öåëü çàäà÷íèêà ïîçíàêîìèòü ÷èòàòåëÿ ñ àçàìè ñîâðåìåííîé òåîðèè èíôîðìàöèè ïîñðåäñòâîì ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷, ïîäãîòîâèòü åãî
ê ÷òåíèþ ñïåöèàëüíîé íàó÷íîé ëèòåðàòóðû ïî òåîðèè êîäèðîâàíèÿ, êðèïòîëîãèè è
ñæàòèþ äàííûõ. Äëÿ ïîíèìàíèÿ èçëîæåííîãî â êíèãå ìàòåðèàëà äîñòàòî÷íî çíàíèé
îñíîâ òåîðèè èíôîðìàöèè, ëèíåéíîé àëãåáðû, òåîðèè ãðóïï, òåîðèè ÷èñåë, êîìáèíàòîðèêè è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Âïðî÷åì, âñå íåîáõîäèìûå äëÿ ïîíèìàíèÿ îñíîâíîãî
ìàòåðèàëà îïðåäåëåíèÿ è óòâåðæäåíèÿ èìåþòñÿ â òåêñòå. Â ñáîðíèêå çàäà÷ òàêæå
ïðèâåäåíû íåêîòîðûå íåðåøåííûå ïðîáëåìû.
Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî âûáîð ìàòåðèàëà, èçëîæåííîãî â íàñòîÿùåì ïîñîáèè,
îòâå÷àåò â íåêîòîðîì ñìûñëå âêóñàì àâòîðîâ è ñîîòâåòñòâóåò òåì òåìàì è ðàçäåëàì
òåîðèè èíôîðìàöèè, êîòîðûå èçëàãàþòñÿ â ðàçíûõ êóðñàõ àâòîðîâ â Íîâîñèáèðñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå íà ôàêóëüòåòå èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé è
ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîì ôàêóëüòåòå. Àâòîðû ñî âñåé îòâåòñòâåííîñòüþ îñîçíàþò
ôàêò îòñóòñòâèÿ íåêîòîðûõ ðàçäåëîâ òåîðèè èíôîðìàöèè â äàííîì çàäà÷íèêå è â
äàëüíåéøèõ ïåðåèçäàíèÿõ çàäà÷íèêà âîçìîæíî âîñïîëíåíèå ýòèõ ïðîáåëîâ è ïîïîëíåíèå èìåþùèõñÿ íîâûìè êîëëåêöèÿìè çàäà÷. Íåêîòîðûå ðàçäåëû îïóùåíû íàìåðåííî, íàïðèìåð, êðèïòîñèñòåìû ñ ñåêðåòíûìè êëþ÷àìè, ïîñêîëüêó èìååòñÿ äîñòàòî÷íîå êîëè÷åñòâî äîñòóïíîé è äàæå ïîïóëÿðíîé ëèòåðàòóðû ïî äàííîìó ðàçäåëó.
Ïîñîáèå íàïèñàíî ïî ìíîãî÷èñëåííûì ïðîñüáàì ñòóäåíòîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà è ôàêóëüòåòà èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé Íîâîñèáèðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà. Èçëîæåííûé ìàòåðèàë áûë àïðîáèðîâàí ïðè ïðîâåäåíèè ñåìèíàðñêèõ çàíÿòèé íà ôàêóëüòåòå èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé, à òàêæå ïðè ÷òåíèè
ëåêöèé â òå÷åíèå ðÿäà ëåò â Íîâîñèáèðñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå íà óêàçàííûõ âûøå ôàêóëüòåòàõ. Ïîìèìî ñòóäåíòîâ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôàêóëüòåòîâ è ôàêóëüòåòîâ èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé óíèâåðñèòåòîâ, çàäà÷íèê òàêæå ìîæåò áûòü
ïîëåçåí ñòóäåíòàì ôèçè÷åñêèõ è òåõíè÷åñêèõ ôàêóëüòåòîâ, èíòåðåñóþùèìñÿ ìàòåìàòè÷åñêèìè îñíîâàìè ïðîáëåì ïåðåäà÷è äàííûõ ïî êàíàëàì ñâÿçè.
Àâòîðû âûðàæàþò ïðèçíàòåëüíîñòü âñåì êîëëåãàì Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè ÑÎ
ÐÀÍ, àñïèðàíòàì, ñòóäåíòàì, êîòîðûå ïîìîãàëè øëèôîâàòü â äèñêóññèÿõ ïðåçåíòàöèè ìíîãèõ òåì, ðåøåíèé çàäà÷. Àâòîðû ïîëüçóþòñÿ ñëó÷àåì âûðàçèòü áëàãîäàðíîñòü òåì ñòóäåíòàì, êîòîðûå ïðèäóìûâàëè çàäà÷è è (èëè) ïðèíÿëè ó÷àñòèå â ñîçäàíèè ðÿäà çàäà÷. ×àñòü èç íàèáîëåå ñëîæíûõ è èíòåðåñíûõ òàêèõ çàäà÷ òàêæå
âêëþ÷åíà â íàñòîÿùèé ñáîðíèê çàäà÷.
96
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
Êíèæíàÿ ïîëêà ïî òåîðèè êîäèðîâàíèÿ
Îñíîâíàÿ ëèòåðàòóðà
1. Ìàê-Âèëüÿìñ Ô. Äæ. À.., Ñëîýí Í. Äæ. À. Òåîðèÿ êîäîâ, èñïðàâëÿþùèõ îøèáêè: Ïåð. ñ àíãë. Ì.: Ñâÿçü, 1979. 744 ñ.
2. Ñîëîâüåâà Ô. È. Ââåäåíèå â òåîðèþ êîäèðîâàíèÿ: ó÷åá. ïîñîáèå. Íîâîñèáèðñê,
2011. 123 ñ.
3. Ñèäåëüíèêîâ Â. Ì. Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2008. 324 ñ.
4. Ñàãàëîâè÷ Þ. Ë. Ââåäåíèå â àëãåáðàè÷åñêèå êîäû: ó÷åá. ïîñîáèå. Ì.: Èçä. ÈÏÏÈ ÐÀÍ, 2010. 302 ñ.
5. Êîëåñíèê Â. Ä. Êîäèðîâàíèå ïðè ïåðåäà÷å è õðàíåíèè èíôîðìàöèè (àëãåáðàè÷åñêàÿ òåîðèÿ áëîêîâûõ êîäîâ). Ì.: Âûñø. øê., 2009. 550 ñ.
6. Øîëîìîâ Ë. À. Îñíîâû òåîðèè äèñêðåòíûõ ëîãè÷åñêèõ è âû÷èñëèòåëüíûõ óñòðîéñòâ. Ì.: Íàóêà, 1980. 399 ñ.
7. Ïèòåðñîí Ó., Óýëäîí Ý. Êîäû, èñïðàâëÿþùèå îøèáêè: Ïåð. ñ àíãë. Ì.: Ìèð,
1976. 594 ñ.
8. Áëåéõóò Ð. Òåîðèÿ è ïðàêòèêà êîäîâ, êîíòðîëèðóþùèõ îøèáêè: Ïåð. ñ àíãë.
Ì.: Ìèð, 1986. 576 ñ.
9. Êàñàìè Ò., Òîêóðà Í., Èâàäàðè Å., Èíàãàêè ß. Òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ: Ïåð. ñ ÿï.
Ì.: Ìèð, 1978. 576 ñ.
10. van Lint J. H. Introduction to coding theory: 3rd rev. Springer-Verlag Berlin Heidelberg; N. Y., 1999. 227 p.
Äîïîëíèòåëüíàÿ ëèòåðàòóðà
11. Øåííîí Ë. À. Ðàáîòû ïî òåîðèè èíôîðìàöèè è êèáåðíåòèêå. Ì.: ÈË, 1963.
829 ñ.
12. Êîíâåé Äæ. Í., Ñëîýí Í. Äæ. À. Óïàêîâêè øàðîâ, ðåøåòêè è ãðóïïû: Ïåð. ñ
àíãë. Ì.: Ìèð, 1990. Ò. 1, 2.
13. Áåðëåêýìï Ý. Àëãåáðàè÷åñêàÿ òåîðèÿ êîäèðîâàíèÿ: Ïåð. ñ àíãë. Ì.: Ìèð, 1971.
477 ñ.
97
98
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
14. Ãàâðèëîâ Ã. Ï., Ñàïîæåíêî À. À. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ïî äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêå. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2005. 416 ñ.
15. Öûìáàë Â. Ï. Òåîðèÿ èíôîðìàöèè è êîäèðîâàíèå. Êèåâ: Âèùà øê., 1992, 263 ñ.
16. Solov'eva F. I. On perfect codes and related topics: Lecture Notes. Pohang University
of Science and Technology (POSTECH), Republik of Korea, 2004. 80 p.
Êíèæíàÿ ïîëêà ïî êðèïòîëîãèè
Îñíîâíàÿ ëèòåðàòóðà
1. Ðÿáêî Á. ß., Ôèîíîâ À. Í. Îñíîâû ñîâðåìåííîé êðèïòîãðàôèè äëÿ ñïåöèàëèñòîâ â èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèÿõ. Ì.: Íàó÷íûé Ìèð, 2004. 172 ñ.
2. Ðÿáêî Á. ß., Ôèîíîâ À. Í. Îñíîâû ñîâðåìåííîé êðèïòîãðàôèè è ñòåãàíîãðàôèè.
Ì.: Ãîðÿ÷àÿ ëèíèÿ-Òåëåêîì, 2010. 232 ñ.
3. Çåìîð Æ. Êóðñ êðèïòîãðàôèè. Ì.Èæåâñê: ÍÈÖ ¾Ðåãóëÿðíàÿ è õàîòè÷åñêàÿ
äèíàìèêà¿; Èí-ò êîìï. èñ-íèé, 2006. 256 ñ.
4. Àëôåðîâ À. Ï., Çóáîâ À. Þ., Êóçüìèí À. Ñ., ×åðåìóøêèí À. Â. Îñíîâû êðèïòîãðàôèè. Ì.: Ãåëèîñ ÀÐÂ, 2002. 480 ñ.
5. Íå÷àåâ Â. È. Ýëåìåíòû êðèïòîãðàôèè. Îñíîâû òåîðèè çàùèòû èíôîðìàöèè.
Ì.: Âûñø. øê., 1999. 109 ñ.
6. ßùåíêî Â. Â. Ââåäåíèå â êðèïòîãðàôèþ. Ì.: ÌÖÍÌÎ ¾×åÐî¿, 1999.
7. Ñàëîìàà À. Êðèïòîãðàôèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì: Ïåð. ñ àíãë. Ì.: Ìèð, 1996.
318 ñ.
8. âàí Òèëáîðã Õ. Ê. À. Îñíîâû êðèïòîëîãèè: Ïåð. ñ àíãë. Ì.: Ìèð, 2006. 472 ñ.
Äîïîëíèòåëüíàÿ ëèòåðàòóðà
9. Øåííîí Ë. À. Ðàáîòû ïî òåîðèè èíôîðìàöèè è êèáåðíåòèêå. Ì.: ÈË, 1963.
10. Ââåäåíèå â êðèïòîãðàôèþ. Ïîä îáù. ðåä. Â. Â. ßùåíêî. Ì.: ÌÖÍÌÎ ¾×åÐî¿,
2000. 272 ñ.
11. Ñàëîìàà À. Êðèïòîãðàôèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì: Ïåð. ñ àíãë. Ì.: Ìèð, 1996.
318 ñ.
12. Áàðè÷åâ Ñ., Ñåðîâ Ð. Îñíîâû ñîâðåìåííîé êðèïòîãðàôèè. Ì., 2001. 121 ñ.
13. Êîáëèö Í. Îñíîâû òåîðèè ÷èñåë è êðèïòîãðàôèè: Ïåð. ñ àíãë. Ì.: ÒÂÏ, 2001.
260 ñ.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
99
Êíèæíàÿ ïîëêà ïî ñæàòèþ äàííûõ
Îñíîâíàÿ ëèòåðàòóðà
1. Êðè÷åâñêèé Ð. Å. Ñæàòèå è ïîèñê èíôîðìàöèè. Ì.: Íàóêà, 1986.
2. Êóäðÿøîâ Á. Ä. Òåîðèÿ èíôîðìàöèè. ÑÏá.: Ïèòåð, 2009. 213 ñ.
3. Øîëîìîâ Ë. À. Îñíîâû òåîðèè äèñêðåòíûõ ëîãè÷åñêèõ è âû÷èñëèòåëüíûõ óñòðîéñòâ. Ì.: Íàóêà, 1980. 399 ñ.
4. Ïîòàïîâ Â. Í. Òåîðèÿ èíôîðìàöèè. Êîäèðîâàíèå äèñêðåòíûõ âåðîÿòíîñòíûõ
èñòî÷íèêîâ. Íîâîñèáèðñê: Èçä. öåíòð ÍÃÓ, 1999. 71 ñ.
Äîïîëíèòåëüíàÿ ëèòåðàòóðà
5. Øåííîí Ë. À. Ðàáîòû ïî òåîðèè èíôîðìàöèè è êèáåðíåòèêå. Ì.: ÈË, 1963.
6. Ãàâðèëîâ Ã. Ï., Ñàïîæåíêî À. À. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ïî äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêå. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2005. 416 ñ.
7. Öûìáàë Â. Ï. Òåîðèÿ èíôîðìàöèè è êîäèðîâàíèå. Êèåâ: Âèùà øê., 1992, 263 ñ.
8. ßãëîì À. Ì., ßãëîì È. Ì. Âåðîÿòíîñòü è èíôîðìàöèÿ. Ì.: Íàóêà, 1973. 511 ñ.
Èíòåðíåò-ðåñóðñû
1. Ñàéò ïî òåîðèè èíôîðìàöèè â ÍÃÓ:
http://www.codingtheory.nsu.ru.
2. Ïîòàïîâ Â. Í. Ââåäåíèå â òåîðèþ èíôîðìàöèè. 102 c.
http://math.nsc.ru/~potapov/.
Ó÷åáíîå èçäàíèå
Ñîëîâüåâà Ôàèíà Èâàíîâíà,
Ëîñü Àíòîí Âàñèëüåâè÷,
Ìîãèëüíûõ Èâàí Þðüåâè÷
ÑÁÎÐÍÈÊ ÇÀÄÀ×
ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÊÎÄÈÐÎÂÀÍÈß, ÊÐÈÏÒÎËÎÃÈÈ
È ÑÆÀÒÈÞ ÄÀÍÍÛÕ
Ó÷åáíîå ïîñîáèå
Ðåäàêòîð Ê. Â. Øìóãóðîâà
Îðèãèíàë-ìàêåò àâòîðîâ
Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 16.12.13.
×84
Ôîðìàò 60
1/8. Îôñåòíàÿ ïå÷àòü.
Ó÷.-èçä. ë. 12,5. Óñë. ïå÷. ë. 11,6. Òèðàæ 200 ýêç.
Çàêàç
Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèé öåíòð ÍÃÓ.
630090, Íîâîñèáèðñê, óë. Ïèðîãîâà, 2.
