Византийское соглашение и покер по телефону

Âèçàíòèéñêîå ñîãëàøåíèå è ïîêåð ïî
òåëåôîíó
Þ. Ëèôøèö∗.
1 îêòÿáðÿ 2005 ã.
Ïëàí ëåêöèè
1. Íåôîðìàëüíàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷
2. Âèçàíòèéñêîå ñîãëàøåíèå
3. Ïîêåð ïî òåëåôîíó
4. Ïðèìåð ðàáîòû âèçàíòèéñêîãî ïðîòîêîëà
1 Íåôîðìàëüíàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷
1.1 Àâòîïèëîòû
Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî ïî íåáó ëåòèò ñàìîëåò. Íà àâòîïèëîòå. À òåïåðü ïðåäñòàâèì, ÷òî ýòîò àâòîïèëîò ñëîìàëñÿ. Íè÷åãî õîðîøåãî íå ïðîèçîéäåò, íå
òàê ëè? Êàê áîðîòüñÿ ñ òàêîé ñèòóàöèåé? ßñíîå äåëî, ïîñòàâèòü åùå îäèí
íåçàâèñèìûé àâòîïèëîò. Íî êîòîðîãî èç íèõ ñëóøàòüñÿ, êîãäà îíè äàþò ðàçíûå óêàçàíèÿ? Èç äâóõ àâòîïèëîòîâ íè îäèí íå ñïîñîáåí îáðàçîâàòü áîëüøèíñòâî. Çíà÷èò, íàäî ïîñòàâèòü òðè àâòîïèëîòà! Äàæå åñëè îäèí èç íèõ
ñëîìàåòñÿ, îñòàëüíûõ âñå ðàâíî áóäåò áîëüøå, è îíè ñìîãóò ïðèíÿòü ïðàâèëüíîå ðåøåíèå ãîëîñîâàíèåì! Íî êòî áóäåò ïðîâîäèòü ýòî ãîëîñîâàíèå?
Íåêèé êîíòðîëüíûé öåíòð? Íî åñëè ñëîìàåòñÿ îí, òî âñå óñèëèÿ ïîéäóò
íàñìàðêó. Çíà÷èò, àâòîïèëîòû äîëæíû äîãîâîðèòüñÿ ìåæäó ñîáîé è ñàìè
ïðèéòè ê ïðàâèëüíîìó ðåøåíèþ.
Ê ñîæàëåíèþ, ýòî íåâîçìîæíî. Âåðíåå, ýòî íåâîçìîæíî äëÿ òðåõ àâòîïèëîòîâ. À âîò äëÿ ÷åòûðåõ, èç êîòîðûõ èñïîðòèëîñü íå áîëåå îäíîãî, íåîáõîäèìûé ïðîòîêîë ñóùåñòâóåò, è îí áóäåò ïðåäúÿâëåí.
∗ Çàêîíñïåêòèðîâàë
À. Äèåâñêèé.
1
1.2 Êàðòû ïî òåëåôîíó
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåóãîìîííûå Àëèñà è Áîá ðåøèëè ñûãðàòü â êàðòû. Âîò
òîëüêî îíè æèâóò â ðàçíûõ ãîðîäàõ, è èç ñðåäñòâ ñâÿçè ó íèõ åñòü òîëüêî
òåëåôîí. Êàçàëîñü áû, ñûãðàòü ÷åñòíóþ ïàðòèþ ïî òåëåôîíó íåâîçìîæíî.
È ýòî äåéñòâèòåëüíî íåâîçìîæíî. Íî, ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðîòîêîë äëÿ òàêîé
èãðû èçâåñòåí äîâîëüíî äàâíî, è îí áóäåò ïðåäúÿâëåí. Ïî÷åìó â ýòèõ äâóõ
óòâåðæäåíèÿõ íåò ïðîòèâîðå÷èÿ? Ïîïðîáóéòå äîãàäàòüñÿ ñàìè, à åñëè íå
äîãàäàåòåñü - â êîíöå òðåòüåãî ðàçäåëà ìû âàì ðàññêàæåì.
2 Âèçàíòèéñêîå ñîãëàøåíèå
2.1 Âèçàíòèéñêèå ãåíåðàëû
 èçíà÷àëüíîé ïîñòàíîâêå çàäà÷è íèêàêèõ àâòîïèëîòîâ íå áûëî, à áûëî
n âèçàíòèéñêèõ îòðÿäîâ, îñàæäàþùèõ âðàæåñêèé ãîðîä. Êàæäûì îòðÿäîì
êîìàíäîâàë íåçàâèñèìûé ãåíåðàë. Ãåíåðàëû ìîãëè îáùàòüñÿ äðóã ñ äðóãîì
ïî çàêðûòîìó êàíàëó, íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ ãîëóáèíîé ïî÷òû. Âñå âìåñòå
îíè îáùàòüñÿ íå ìîãëè, ïîòîìó ÷òî îòðÿäû ñòîÿëè äàëåêî äðóã îò äðóãà, à
ðàäèî è Èíòåðíåò åùå íå èçîáðåëè. Âñå çíàëè, ÷òî âðàã õèòåð è êîâàðåí, è
âïîëíå ìîã ïîäêóïèòü êîãî-íèáóäü èç ãåíåðàëîâ; îñòàâàëîñü íàäåÿòüñÿ, ÷òî
ãåíåðàëîâ-ïðåäàòåëåé íå î÷åíü ìíîãî. Òåì âðåìåíåì îñàäà çàòÿãèâàëàñü,
ïîðà áûëî ïåðåõîäèòü ê ðåøèòåëüíûì äåéñòâèÿì. Äà âîò áåäà - ãåíåðàëû
íå ìîãëè ñîáðàòüñÿ âìåñòå è âûðàáîòàòü åäèíûé ïëàí. Åñëè áû íå óãðîçà
ïðåäàòåëüñòâà, âñå áûëî áû ïðîñòî - êàæäûé ãåíåðàë èçëîæèë áû îñòàëüíûì ñâîé ïëàí ñ ïîìîùüþ ãîëóáåé, à çàòåì êàæäûé âûáðàë áû íàèáîëåå
ïîïóëÿðíûé ïëàí è äåéñòâîâàë áû ñîãëàñíî åìó. Íî òàê ïîñòóïèòü íåëüçÿ
- à íó êàê ïðåäàòåëü ñêàæåò îäíîìó ãåíåðàëó, ÷òî ïîðà íàñòóïàòü, à äðóãîìó - ÷òî ëó÷øå îòîéòè? Ïîëîâèíà ãåíåðàëîâ ðâàíåòñÿ â áîé, ïîëîâèíà
îòñòóïèò, è ïîëó÷èòñÿ ÷åðò çíàåò ÷òî.
Òàêèì îáðàçîì, íóæåí áûë ïðîòîêîë, îòâå÷àþùèé äâóì òðåáîâàíèÿì:
1. Âñå ÷åñòíûå ãåíåðàëû äîëæíû â èòîãå ïðèíÿòü îäíî è òî æå ðåøåíèå.
2. Åñëè ïðåäàòåëåé íå î÷åíü ìíîãî, òî ýòî ðåøåíèå äîëæíî îêàçàòüñÿ
ïðàâèëüíûì.
Ñàì ïðîòîêîë, ïî-âèäèìîìó, äîëæåí ñîñòîÿòü èç äâóõ ôàç:
Ôàçà 1. Ãåíåðàëû îáìåíèâàþòñÿ èíôîðìàöèåé.
Ôàçà 2. Ãåíåðàëû ïðèíèìàþò ðåøåíèå íà îñíîâå ïîëó÷åííîé èíôîðìàöèè.
Åñëè ìû â õîäå ïåðâîé ôàçû ñäåëàåì òàê, ÷òîáû âñå ãåíåðàëû ïîëó÷èëè
îäèíàêîâóþ ñâîäêó èíôîðìàöèè, òî âòîðàÿ ôàçà áóäåò î÷åíü ïðîñòîé - âûáðàòü íàèáîëåå ïîïóëÿðíûé ïëàí èç n ïðåäëîæåííûõ. Òàêèì îáðàçîì, îò
ïåðâîé ôàçû ìû òðåáóåì äâà óñëîâèÿ:
2
1À. Èíôîðìàöèÿ ÷åñòíûõ ãåíåðàëîâ äîëæíà äîéòè äî îñòàëüíûõ íåèñêàæåííîé.
1Á. Îò ëþáîãî ãåíåðàëà âñå äîëæíû ïîëó÷èòü îäèíàêîâóþ èíôîðìàöèþ,
äàæå åñëè îí ïîïûòàåòñÿ ñîîáùèòü ðàçíóþ.
Äàëåå ìû äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êàæäûé ãåíåðàë äåëàåò áèíàðíûé âûáîð, íàïðèìåð, âûáèðàåò ìåæäó àòàêîé è îòñòóïëåíèåì.
2.2 Êîìàíäèð è åãî çàìåñòèòåëè
ßñíî, ÷òî èçëîæåííàÿ âûøå çàäà÷à ðàçáèâàåòñÿ íà n îäèíàêîâûõ ïîäçàäà÷
- êàæäûé ãåíåðàë äîëæåí ïåðåäàòü ñâîé âûáîð îñòàëüíûì. Ýòè ïîäçàäà÷è
ýêâèâàëåíòíû çàäà÷å î êîìàíäèðå, êîòîðûé äîëæåí ïåðåäàòü ñâîé ïðèêàç
n−1 çàìåñòèòåëÿì, ïðè÷åì ïðåäàòåëÿìè ìîãóò áûòü êàê çàìåñòèòåëè, òàê è
êîìàíäèð. Îò òàêîãî ïðîòîêîëà ìû îïÿòü ïîòðåáóåì äâà ïîõîæèõ ñâîéñòâà:
1. Ñîãëàñîâàííîñòü Âñå ÷åñòíûå çàìåñòèòåëè äîëæíû ïîñòóïèòü îäèíàêîâî.
2. Èñïîëíèòåëüíîñòü Åñëè âäîáàâîê êîìàíäèð ÷åñòåí, òî åñòü îòäàë
âñåì îäèíàêîâûé ïðèêàç, à ñðåäè çàìåñòèòåëåé íå ñëèøêîì ìíîãî ïðåäàòåëåé, òî âñå ÷åñòíûå çàìåñòèòåëè äîëæíû ïîñòóïèòü òàê, êàê ïðèêàçàë êîìàíäèð.
 ýòîé ñõåìå êàæäûé ìîæåò îáùàòüñÿ ñ êàæäûì. Äîêàæåì îò ïðîòèâíîãî, ÷òî äëÿ n = 3 è íå áîëåå ÷åì îäíîãî ïðåäàòåëÿ òðåáóåìûé ïðîòîêîë
íåâîçìîæåí.
Ïåðâàÿ ñèòóàöèÿ. Ïóñòü êîìàíäèð è ïåðâûé çàìåñòèòåëü - ÷åñòíû, à
âòîðîé çàìåñòèòåëü - ïðåäàòåëü. Êîìàíäèð îòäàåò ïðèêàç àòàêîâàòü, îäíàêî âòîðîé çàìåñòèòåëü, æåëàÿ çàïóòàòü ïåðâîãî, ãîâîðèò åìó, ÷òî êîìàíäèð ïðèêàçàë îòñòóïàòü. Íàø ïðåäïîëàãàåìûé ïðîòîêîë äîëæåí îáëàäàòü
èñïîëíèòåëüíîñòüþ, ïîýòîìó ÷åñòíûé ïåðâûé çàìåñòèòåëü äîëæåí âûïîëíèòü ïðèêàç êîìàíäèðà, òî åñòü ïîéòè â àòàêó, èãíîðèðóÿ ñâîåãî êîëëåãó.
Òàêèì îáðàçîì, âûõîäèò, ÷òî çàìåñòèòåëü äîëæåí â ëþáîì ñëó÷àå ñëóøàòüñÿ êîìàíäèðà.
Âòîðàÿ ñèòóàöèÿ. Ïóñòü òåïåðü ïðåäàòåëü - êîìàíäèð. Îí îòäàåò ïåðâîìó çàìåñòèòåëþ ïðèêàç àòàêîâàòü, à âòîðîìó - îòñòóïàòü. ×åñòíûå çàìåñòèòåëè ÷åñòíî ñîîáùàþò äðóã äðóãó ýòè ïðèêàçû, íî, ñîãëàñíî ïðåäûäóùåìó
âûâîäó, èãíîðèðóþò ðàçíî÷òåíèÿ, òàê ÷òî ïåðâûé çàìåñòèòåëü èäåò â àòàêó,
à âòîðîé îòñòóïàåò. Ñòîï! Ìû ïîòåðÿëè ñîãëàñîâàííîñòü.
Ýòî è äîêàçûâàåò íåâîçìîæíîñòü òàêîãî ïðîòîêîëà.
2.3 Ïðîòîêîë äëÿ n ≥ 3m + 1
 ïðåäûäóùåì ïóíêòå áåäà áûëà â òîì, ÷òî ïðåäàòåëåé áûëî íå ìåíåå îäíîé
òðåòè. Ñåé÷àñ ìû ïîñòðîèì ïðîòîêîë, îáëàäàþùèé íóæíûìè ñâîéñòâàìè,
åñëè ïðåäàòåëåé ìåíåå îäíîé òðåòè. Ñòðîèòü áóäåì ïî èíäóêöèè ïî ÷èñëó
3
m, ãäå, êàê ïîòîì îêàæåòñÿ, m - ýòî ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ïðåäàòåëåé, äëÿ
êîòîðîãî ïðîòîêîë âñå åùå ðàáîòàåò. Íàïîìíèì, ÷òî ìû ñåé÷àñ ðàññìàòðèâàåì íå çàäà÷ó î ãåíåðàëàõ, à áîëåå ïðîñòóþ çàäà÷ó î êîìàíäèðå è çàìåñòèòåëÿõ, ïðè÷åì ñ áèíàðíûì âûáîðîì ïðèêàçà.
Ïðîòîêîë BG(0).
1. Êîìàíäèð ðàññûëàåò çàìåñòèòåëÿì ïðèêàç.
2. Çàìåñòèòåëè ïîñòóïàþò â ñîîòâåòñòâèè ñ ïîëó÷åííûì îò êîìàíäèðà
ïðèêàçîì.
Çàìåòèì âñêîëüçü, ÷òî äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ïðåäàòåëåé íåò, ïðîòîêîë ïðåêðàñíî ðàáîòàåò.
Ïðîòîêîë BG(m).
1. Êîìàíäèð ðàññûëàåò çàìåñòèòåëÿì ïðèêàç.
2. Êàæäûé çàìåñòèòåëü ðàññûëàåò ýòîò ïðèêàç ñâîèì êîëëåãàì, èñïîëüçóÿ ïðîòîêîë BG(m − 1). Íà âðåìÿ ðàññûëêè ðàññûëàþùèé çàìåñòèòåëü èãðàåò ðîëü ¾êîìàíäèðà¿ ñðåäè ñâîèõ êîëëåã.
3. Êàæäûé çàìåñòèòåëü èç n−1 ïðèêàçà (îäíîãî ¾ñâîåãî¿ è n−2 ïîëó÷åííûõ îò êîëëåã) âûáèðàåò íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèéñÿ è ïîñòóïàåò
â ñîîòâåòñòâèè ñ íèì.
Òóò íåîáõîäèìî ñäåëàòü îäíó îãîâîðêó. Ê ñîæàëåíèþ, ìîæåò ñëó÷èòüñÿ
òàê, ÷òî íàèáîëåå ÷àñòîãî ïëàíà íå áóäåò (ðàññìîòðèòå ñàìîñòîÿòåëüíî ñëó÷àé, êîãäà êîìàíäèð-ïðåäàòåëü ïðèêàçûâàåò îäíîé ïàðå ÷åñòíûõ çàìåñòèòåëåé àòàêîâàòü, à äðóãîé - îòñòóïàòü, èñïîëüçóÿ ïðîòîêîë BG(1)). Ïîýòîìó
ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî çàðàíåå îãîâîðåí ¾ïëàí ïî óìîë÷àíèþ¿, êîòîðîìó
âñå ñëåäóþò â ñëó÷àå ¾íè÷üåé¿.
Ëåììà. Äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë k, m ïðîòîêîë BG(m) îáëàäàåò
èñïîëíèòåëüíîñòüþ, åñëè n ≥ 2k + m + 1, à ïðåäàòåëåé íå áîëüøå k .
Äîêàçàòåëüñòâî. Èíäóêöèÿ ïî m.
Áàçà: m = 0.  ñàìîì äåëå, âñå ÷åñòíûå çàìåñòèòåëè ïîñòóïÿò â ñîîòâåòñòâèè ñ ïîëó÷åííûì ïðàâèëüíûì ïðèêàçîì.
Ïåðåõîä: m − 1 7→ m. Âñÿêèé ÷åñòíûé çàìåñòèòåëü, ïîëó÷èâ ïðèêàç,
ðàññûëàåò åãî êîëëåãàì ïî BG(m − 1). Ïðè ýòîì ó÷àñòíèêîâ ýòîé ðàññûëêè
n − 1 (âñå, êðîìå êîìàíäèðà), òî åñòü íå ìåíåå 2k + m, à ïðåäàòåëåé ñðåäè
íèõ ïî ïðåæíåìó íå áîëåå k . Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè, â ýòîì ñëó÷àå
BG(m−1) îáëàäàåò èñïîëíèòåëüíîñòüþ, à ñòàëî áûòü, ÷åñòíûå çàìåñòèòåëè
ïðàâèëüíî ïåðåäàäóò êîëëåãàì ïðàâèëüíûé ïðèêàç êîìàíäèðà.  ýòîì ñëó÷àå ó êàæäîãî çàìåñòèòåëÿ îêàæåòñÿ íå ìåíåå k + m + 1 ïðàâèëüíûõ êîïèé
ïðèêàçà (íå áîëåå ÷åì k ïðåäàòåëüñêèõ êîïèé îêàæóòñÿ íåïðàâèëüíûìè),
à ýòî â ëþáîì ñëó÷àå áîëüøå ïîëîâèíû. Òàêèì îáðàçîì, êàæäûé ÷åñòíûé
çàìåñòèòåëü âûïîëíèò ïðàâèëüíûé ïðèêàç.
4
Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.
Òåïåðü äîêàæåì îñíîâíóþ òåîðåìó.
Òåîðåìà î êîððåêòíîñòè BG(m). Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî m ïðîòîêîë BG(m) îáëàäàåò ñîãëàñîâàííîñòüþ è èñïîëíèòåëüíîñòüþ, åñëè n ≥
3m + 1, à ïðåäàòåëåé íå áîëåå m.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëíèòåëüíîñòü ñëåäóåò èç ëåììû ïðè k = m. Ñîãëàñîâàííîñòü áóäåì äîêàçûâàòü ïî èíäóêöèè ïî m.
Áàçà: m = 0. Ðàç ïðåäàòåëåé íåò âîâñå, òî âñå ïîëó÷àò îäèíàêîâûé
ïðèêàç è âûïîëíÿò åãî.
Ïåðåõîä: m−1 7→ m. Åñëè êîìàíäèð ÷åñòåí, òî ñîãëàñîâàííîñòü ñëåäóåò
èç èñïîëíèòåëüíîñòè (âñå ïðàâèëüíûå ïðèêàçû îäèíàêîâû), à èñïîëíèòåëüíîñòü óæå äîêàçàíà. Ïóñòü òåïåðü êîìàíäèð ïðåäàòåëü. Çàìåñòèòåëåé íå
ìåíåå 3m, à ïðåäàòåëåé ñðåäè íèõ - íå áîëåå m − 1, ïîýòîìó ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè ïðîòîêîë BG(m−1) ñðåäè çàìåñòèòåëåé îáëàäàåò ñîãëàñîâàííîñòüþ. Ïîýòîìó êîïèÿ ïðèêàçà, ïåðåñëàííàÿ êàæäûì èç çàìåñòèòåëåé êîëëåãàì, áóäåò ïðèíÿòà âñåìè îäèíàêîâî. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå ÷åñòíûå çàìåñòèòåëè ïîëó÷àò îäíî è òî æå ïðåäñòàâëåíèå î ïðèêàçàõ, ïîëó÷åííûõ äðóãèìè çàìåñòèòåëÿìè. Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, îçíà÷àåò, ÷òî ó ÷åñòíûõ çàìåñòèòåëåé áóäåò ñîâïàäàòü ¾ñâîäêà ïðèêàçîâ¿. Íî â ýòîì ñëó÷àå îíè âñå ïðèìóò
îäèíàêîâîå ðåøåíèå.
Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.
Êàê ìû âèäèì, ïîñòðîåííûé íàìè ïðîòîêîë ðàáîòàåò è îòâå÷àåò âñåì
òðåáîâàíèÿì ïðè ñîáëþäåíèè ïðèâåäåííûõ âûøå óñëîâèé (ìåíåå òðåòè ïðåäàòåëåé). Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ïðåäàòåëåé íå ìåíåå òðåòè, ïðîòîêîë òàêîãî âèäà íåâîçìîæåí. Ýòî äîêàçàòåëüñòâî ñâîäèòñÿ ê óæå
ðàññìîòðåííîìó ñëó÷àþ ¾îäèí èç òðåõ¿.
Êàê ëåãêî âèäåòü, ïðîòîêîë äîâîëüíî ãðîìîçäîê. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî
ïðè ôèêñèðîâàííîì m ÷èñëî ñîîáùåíèé â ïðîòîêîëå BG(m) àñèìïòîòè÷åñêè ðàâíî nm+1 (â ñëó÷àå êîìàíäèðà è çàìåñòèòåëåé) èëè nm+2 (â ñëó÷àå
ãåíåðàëîâ) ïðè áîëüøîì n.
 êîíöå êîíñïåêòà ïðèâåäåíî äâà ïðèìåðà äëÿ n = 4, m = 1.
3 Ïîêåð ïî òåëåôîíó
3.1 Òðåáîâàíèÿ ê ïðîòîêîëó
Èòàê, âòîðîé íàøåé çàäà÷åé áûëî èçó÷èòü âîçìîæíîñòü ñûãðàòü ïàðòèþ â
êàðòû ïî òåëåôîíó. Îñíîâíîé òðóäíîñòüþ çäåñü, êîíå÷íî, ÿâëÿåòñÿ ðàçäà÷à
êàðò. Ìû ïðåäúÿâèì ê íåé âïîëíå î÷åâèäíûå òðåáîâàíèÿ:
• Ðàçäà÷à äîëæíà áûòü ñëó÷àéíîé.
• Êàðòû èãðîêîâ íå äîëæíû ïåðåñåêàòüñÿ.
• Èãðîê íå äîëæåí èìåòü âîçìîæíîñòè óçíàòü ÷òî-ëèáî î êàðòàõ äðóãèõ
èãðîêîâ, êðîìå òîãî, ÷òî ó íèõ äðóãèå êàðòû, ÷åì ó íåãî.
5
• Äîëæíà áûòü âîçìîæíîñòü ïî õîäó ïàðòèè äîáèðàòü êàðòû.
• Äîëæíà áûòü âîçìîæíîñòü â êîíöå ïàðòèè ïðîâåðèòü ÷åñòíîñòü èãðîêîâ.
3.2 Íåâîçìîæíîñòü
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû ïðèäóìàëè òàêîé ïðîòîêîë. ßñíî, ÷òî ðàçäà÷à êàðò
äîëæíà ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé îáìåí ñîîáùåíèÿìè M1 , M2 , . . . , Mn ìåæäó Àëèñîé è Áîáîì, ïðè ýòîì ó íèõ îáîèõ ìîæåò áûòü ñâîÿ ñåêðåòíàÿ èíôîðìàöèÿ
(íàïðèìåð, çàêðûòûé êëþ÷ øèôðîâàíèÿ) RA è RB . Òîãäà ðåçóëüòàò ðàçäà÷è äîëæåí áûòü ïðåäñòàâëåí êàê ôóíêöèÿ fA (RA , M1 , . . . , Mn ) äëÿ Àëèñû è
fB (RB , M1 , . . . , Mn ) äëÿ Áîáà. Äëÿ âîçìîæíîñòè ïðîâåðêè ÷åñòíîñòè ôóíêöèè fA , fB äîëæíû áûòü çàðàíåå îãîâîðåíû îáîèìè èãðîêàìè.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â èãðå âñåãî òðè êàðòû {X, Y, Z}, è â ðåçóëüòàòå ðàç0
äà÷è Àëèñå äîñòàëñÿ X , à Áîáó Y . Çàìåòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå RA
, ÷òî
0
fA (RA , M1 , . . . , Mn ) = Z - èíà÷å Áîá ïî èçâåñòíûì åìó ñîîáùåíèÿì Mk è
ïî òîìó, ÷òî ó íåãî êàðòà Y , ìîã áû äîãàäàòüñÿ, ÷òî ó Àëèñû Z . Îäíàêî
0
0
èç òåõ æå ñîîáðàæåíèé ñóùåñòâóåò òàêîå RB
, ÷òî fB (RB
, M1 , . . . , Mn ) = Z .
0
0
Òàêèì îáðàçîì, åñëè Àëèñà è Áîá îäíîâðåìåííî çàäóìàþò RA
è RB
ñîîòâåòñòâåííî, òî îáà ïîëó÷àò êàðòó Z , ÷òî ÿâíî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ î
íåïåðåñåêàåìîñòè êàðò.
Ýòî äîêàçûâàåò ïðèíöèïèàëüíóþ íåâîçìîæíîñòü òðåáóåìîãî ïðîòîêîëà.
3.3 Ïðåäúÿâëåíèå
Îäíàêî ñåé÷àñ ìû ïðåäúÿâèì ïðîòîêîë, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî ìîæíî èãðàòü
â êàðòû ïî òåëåôîíó. Äëÿ ýòîãî íàì ïîòðåáóåòñÿ ïîíÿòèå êîììóòàòèâíîãî
øèôðîâàíèÿ.
Âîò çàäà÷à íà ñîîáðàçèòåëüíîñòü. Ïóñòü íà îäíîì áåðåãó ðåêè ñòîèò
Àëèñà, êîòîðàÿ ïðîèãðàëà Áîáó â êàðòû ïî òåëåôîíó áîëüøîé àëìàç. Áîá,
åñòåñòâåííî, ñòîèò íà äðóãîì áåðåãó. Åäèíñòâåííîå ñðåäñòâî ñîîáùåíèÿ ìåæäó íèìè - ïàðîì ñî âñòðîåííûì â íåãî ñåéôîì áåç çàìêà. Ïðè÷åì ïàðîìùèê óæå æàäíî çàãëÿäûâàåòñÿ íà àëìàç â ðóêàõ Àëèñû. Îäíàêî ïî
ñ÷àñòëèâîé ñëó÷àéíîñòè ó Àëèñû è Áîáà åñòü ïî íàâåñíîìó çàìêó ñ êëþ÷îì
(ó êàæäîãî ñâîé). Êàê ïåðåïðàâèòü àëìàç, íå äàâ ïàðîìùèêó øàíñà åãî
ïðèñâîèòü?
Îòâåò ïðîñò: Àëèñà êëàäåò àëìàç â ñåéô, çàïèðàåò åãî íà çàìîê è îòïðàâëÿåò Áîáó. Áîá íå ïûòàåòñÿ âçëîìàòü ñåéô, à âìåñòî ýòîãî íàâåøèâàåò
ðÿäîì ñ àëèñèíûì çàìêîì ñâîé è îòïðàâëÿåò ïàðîì ê Àëèñå. Àëèñà, óâèäåâ,
÷òî ñåéô çàêðûò íà çàìîê Áîáà, ñíèìàåò ñâîé çàìîê è îòïðàâëÿåò ñåéô
îáðàòíî. Áîá, íàêîíåö, ñíèìàåò ñâîé çàìîê è çàáèðàåò æåëàííûé àëìàç.
Âïîëíå âîçìîæíî, ÷òî èìåííî ýòà çàäà÷êà ïîñëóæèëà îòïðàâíîé òî÷êîé ïðè ñîçäàíèè ìåòîäîâ êîììóòàòèâíîãî øèôðîâàíèÿ. Çäåñü âàæíî, ÷òî
çàìêè íà ñåéô ìîæíî íàâåøèâàòü è ñíèìàòü íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà.
6
Òî÷íî òàê æå, åñëè èìåþòñÿ äâå êðèïòîñèñòåìû E1 è E2 (ôóíêöèè, ñîïîñòàâëÿþùèå èñõîäíîìó ñîîáùåíèþ øèôðîâàííîå), îáëàäàþùèå ñâîéñòâîì
E1 ◦ E2 = E2 ◦ E1 , òî òàêèå ñèñòåìû íàçûâàþòñÿ êîììóòèðóþùèìè.
Ïðèìåðîì òàêèõ ñèñòåì ìîãóò ñëóæèòü äâå ñèñòåìû RSA ïî îäèíàêîâîìó ìîäóëþ, òàê êàê (te1 )e2 = (te2 )e1 .
Èòàê, âîò íàø ïðîòîêîë äëÿ èãðû â ïîêåð.
1. Àëèñà è Áîá òàéíî äðóã îò äðóãà âûáèðàþò äâå êîììóòèðóþùèå êðèïòîñèñòåìû.
2. Àëèñà çàøèôðîâûâàåò ñâîèì êëþ÷îì âñå 52 êàðòû, ïåðåìåøèâàåò èõ
è îòïðàâëÿåò øèôðîãðàììû Áîáó.
3. Áîá ñëó÷àéíûì îáðàçîì âûáèðàåò èç íèõ 5 øèôðîãðàìì äëÿ Àëèñû
è îòïðàâëÿåò èõ åé.
4. Àëèñà ñ ïîìîùüþ ñâîåé êðèïòîñèñòåìû ðàñøèôðîâûâàåò ñâîè êàðòû.
5. Áîá ñëó÷àéíûì îáðàçîì âûáèðàåò èç îñòàâøèõñÿ øèôðîãðàìì 5 äëÿ
ñåáÿ, çàøèôðîâûâàåò èõ ñâîèì êëþ÷îì è îòïðàâëÿåò Àëèñå.
6. Àëèñà ðàñøèôðîâûâàåò èõ ñâîèì êëþ÷îì è îòïðàâëÿåò èõ Áîáó.
7. Áîá îêîí÷àòåëüíî ðàñøèôðîâûâàåò ñâîè êàðòû ñâîèì êëþ÷îì.
8. Åñëè èãðîêàì ïîòðåáóåòñÿ äîáðàòü êàðòû èç êîëîäû, ïðèìåíÿåòñÿ àíàëîãè÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâèé.
Ýòîò ïðîòîêîë, êàçàëîñü áû, õîðîø. Áîá íå çíàåò, êàêèå êàðòû ó Àëèñû,
ïîñêîëüêó îí âèäåë òîëüêî øèôðîãðàììû, çàøèôðîâàííûå àëèñèíûì êëþ÷îì. Àëèñà íå çíàåò, êàêèå êàðòû ó Áîáà, ïîñêîëüêó îíà âèäåëà òîëüêî
øèôðîãðàììû, çàøèôðîâàííûå êëþ÷îì Áîáà. Íî ýòî âñå â èäåàëå. Ê ñîæàëåíèþ, òðåáîâàíèå êîììóòàòèâíîñòè ñèñòåì íàêëàäûâàåò ñèëüíûå îãðàíè÷åíèÿ íà èõ âûáîð. Íàïðèìåð, åñëè ìû ïîëüçóåìñÿ RSA (êëþ÷ Àëèñû - a,
Áîáà - b), òî äëÿ êàæäîé êàðòû Áîáà t Áîáó èçâåñòíû tb (îí ïîëó÷àåò èõ îò
Àëèñû ïåðåä òåì, êàê îêîí÷àòåëüíî ðàñøèôðîâàòü), tab (îí îòïðàâëÿåò èõ
Àëèñå) è ta (îí ïîëó÷àåò èõ îò Àëèñû). Ïðè äîñòàòî÷íîé âû÷èñëèòåëüíîé
ìîùíîñòè Áîá ìîæåò ðåøèòü ïðîáëåìó äèñêðåòíîãî ëîãàðèôìà è âçëîìàòü
êîä Àëèñû ñî âñåìè âûòåêàþùèìè ïîñëåäñòâèÿìè.
Èìåííî ïîýòîìó ìåæäó âòîðîé è òðåòüåé ÷àñòÿìè ýòîé ãëàâû íåò ïðîòèâîðå÷èÿ. Àáñîëþòíî íàäåæíûé ïðîòîêîë íåâîçìîæåí, çàòî âîçìîæåí êðèïòîãðàôè÷åñêè íàäåæíûé.
4 Ïðèìåð ðàáîòû âèçàíòèéñêîãî ïðîòîêîëà
Ïóñòü n = 4, m = 1. Ìîæåò áûòü äâà ïðèíöèïèàëüíî ðàçëè÷íûõ ñëó÷àÿ:
êîãäà ïðåäàòåëü - êîìàíäèð è êîãäà ïðåäàòåëü - îäèí èç çàìåñòèòåëåé.
7
Êîìàíäèð. Æåëàÿ îñëàáèòü íàñòóïëåíèå, êîìàíäèð ïðèêàçûâàåò äâóì çàìåñòèòåëÿì àòàêîâàòü, à òðåòüåìó - îòñòóïàòü. Ñîãëàñíî ïðîòîêîëó BG(1),
çàìåñòèòåëè ðàññûëàþò äðóã äðóãó êîïèè ïðèêàçà, èñïîëüçóÿ ïðîòîêîë BG(0), òî åñòü, ïîñûëàþò èõ ïðÿìûì òåêñòîì. Â èòîãå ïåðâûé
çàìåñòèòåëü ïîëó÷àåò ñëåäóþùóþ ñâîäêó:
Êîìàíäèð
Âòîðîé çàì.
Òðåòèé çàì.
Àòàêîâàòü!
Êîìàíäèð ïðèêàçàë àòàêîâàòü!
Êîìàíäèð ïðèêàçàë îòñòóïàòü!
Ñîãëàñíî BG(1), ïåðâîìó çàìåñòèòåëþ ñëåäóåò àòàêîâàòü. Àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ ñêëàäûâàåòñÿ ó âòîðîãî çàìåñòèòåëÿ. À âîò ñâîäêà äëÿ
òðåòüåãî:
Êîìàíäèð
Ïåðâûé çàì.
Âòîðîé çàì.
Îòñòóïàòü!
Êîìàíäèð ïðèêàçàë àòàêîâàòü!
Êîìàíäèð ïðèêàçàë àòàêîâàòü!
Òàêèì îáðàçîì, òðåòèé çàìåñòèòåëü òîæå áóäåò àòàêîâàòü, íåñìîòðÿ
íà ïðåñòóïíûé ïðèêàç êîìàíäèðà, è òåì ñàìûì îáåñïå÷èò ñîãëàñîâàííîñòü.
Çàìåñòèòåëü. Ïóñòü ïðåäàòåëåì ÿâëÿåòñÿ òðåòèé çàìåñòèòåëü. Æåëàÿ çàïóòàòü îñòàëüíûõ, îí ãîâîðèò, ÷òî êîìàíäèð ïðèêàçàë åìó îòñòóïàòü, êîãäà íà
ñàìîì äåëå ïðèêàç áûë àòàêîâàòü.  òàêîì ñëó÷àå ïåðâûé çàìåñòèòåëü
ïîëó÷àåò ñëåäóþùóþ ñâîäêó:
Êîìàíäèð
Âòîðîé çàì.
Òðåòèé çàì.
Àòàêîâàòü!
Êîìàíäèð ïðèêàçàë àòàêîâàòü!
Êîìàíäèð ïðèêàçàë îòñòóïàòü!
Ñâîäêà âòîðîãî çàìåñòèòåëÿ áóäåò âûãëÿäåòü òàê æå. Êàê ìû âèäèì,
ãíóñíîìó ïðåäàòåëþ íå óäàëîñü çàïóòàòü äîáëåñòíûõ âîèíîâ, êîòîðûå
ñìåëî ïîéäóò â àòàêó.
Áûëî áû èíòåðåñíåå, êîíå÷íî, ïðèâåñòè ïðîòîêîë BG(2), íî îí, êàê èçâåñòíî, ðàáîòàåò ïðè n ≥ 7, òàê ÷òî â íåì ó÷àñòâóåò íå ìåíåå 156 ñîîáùåíèé.
8