Линейная алгебра

Линейная алгебра.
1.Векторы: действие с векторами. Компланарность векторов.
Вектор – направленный отрезок, имеющий определенную длину, одна точка
которого называется началом, а другая концом.
Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и
направление.
Единичным вектором называется вектор, длина которого равна 1.
Операции над векторами:
Сумма векторов:
  
ав с


а  (а )  0
Разность векторов:
  
а в  с
Умножение вектора на число:


а  в


если:   0 – вектор а сонаправлен с вектором в ,
  0 – векторы противоположно направлены.




  (а  в )  а  в



(1  2 )  а  1а  2 а


(1  2 )а  1  (2 а)
Не линейные операции:
   
1.Скалярное произведение двух векторов: а  в  а  в  cos aв
  
2.Векторное произведение: с  а  в

Свойства вектора с :

1) длина с равна площади параллелограмма, т.е.
  
с  а  в  sin ав .
   
2) с  а ; с  в .

3) направление вектора с должно быть таким,


чтобы ближайший поворот от а к в был направлен
против часовой стрелки.
3. Смешанное произведение векторов:
     
(а  в )  с  а  в  с .
Компланарность
векторов:
  
(а  в )  с  0
2.Скалярное произведение векторов.
Скалярное произведение двух векторов – это число равное произведению
модулей этих векторов на косинус угла между ними, т.е.
   
а  в  а  в  cos ав
Свойства:
   
1) а  в  в  а
  
2
2) а  а  а 2  а
 
 
3)   (а  в )    а  в
  
   
4) а  (в  с )  а  в  а  с
Условие перпендикулярности двух векторов:
 
а в  0.
3. Векторное произведение векторов.
Векторное произведение – вектор, обладающий следующими свойствами:



1) длина с равна площади параллелограмма, построенного на а и в ;
   
2) с  а; с  в ;



3) направление с должно быть таким, что если смотреть с конца с на а и



в , то кротчайший поворот от а к в должен быть направлен против хода
часовой стрелки.
Свойства векторного произведения:
 
 
1) а  в  (в  а )
 
  

2)  (а  в )  а  в  а  в
  
 
3) с  (а  в )  с а  с в
 


 
4) если а  в  0 , то а  0 или в  0 , тогда а и в – коллинеарны.
4. Смешанное произведение векторов
Смешанное произведение –
     
число (а  в )  с  а  в  с
1. 0     2
      
а  в  с  d  с  d  с  cos   S  h  V

  
2.  2     ; с  cos   h  а  в  с  V .
Смешанное произведение – число, абсолютная величина которого выражает
  
объем параллелепипеда на векторах а , в , с ; причем, со знаком «+», если обход
 

от а к в , с происходит против часовой стрелки; со знаком «–», если обход
осуществляется по ходу часовой стрелки.
Свойства смешанного произведения:
        
1) а  в  с  в  с  а  с  а  в (по круговому принципу)
  
  
  
2) а  в  с  в  а  с  с  в  а (если меняем попарно)
  
3) а  в  с  0 (вектора компланарны).
5. Неравенство Буняковского-Коши
  
ав с
6. Линейное уравнение. Однородная система
AX  L  0 – линейное уравнение
L0
AX  0 – однородная система.
7. Матрицы: квадратная, диагональная, единичная, нулевая
Матрица размера m n – прямоугольная таблица чисел, расположенных в
определенном порядке: в m – строках и n – столбцах.
1) m  n – квадратная матрица;
2) Квадратная матрица А , у которой все диагональные элементы равны 1, а
остальные равны 0, называется единичной.
3) Нулевая матрица – матрица, все элементы которой равны 0.
 а11 а12 а13 


А   а 21 а 22 а 23  ,
а а а 
 31 32 33 
где а11а22 а33 – главная диагональ.
Диагональная матрица:
 а11 0 0 


 0 а 22 0  .
0 0 а 
33 

8. Транспонирование, сложение матриц, производная
1. Транспонирование: ( Аmn ) Т  Аnm – меняем местами столбцы и строки.
2. Сложение матриц:
С mn  Аmn  Вmn
 а11  в11 а12  в12 ... а1n  в1n 


 ..........................................



...........................................


 а  в а  в ... а  в 
m1
m2
m2
mn
mn 
 m1
3.Производная матрица:
 х 2 х3 х5 


 2 х 3х 4  – исходная


 2 х 3х 2 5 х 4

2 3 0


 – производная.


9.Законы умножения матриц
 в1 
 
а) А  (а1а2 а3 ) В   в 2 
в 
 3
А  В  а1в1  а2 в2  а3в3   аi вi
 а11а12 а13 
 в1 


 
б) А   а21а 22 а 23  В   в 2 
а а а 
в 
 3
 31 32 33 




 а11 а12 а13   в1    а1 j  b j 

  
А  В   а 21 а 22 а 23    в 2     a 2 j  b j 
а а а  в  

 31 32 33   3 
  a3 j  b j 


в) Аmn  Вn p  С m p
С m p
 а11 а12 а13   в11 в12 в13    а1к  в к1  а1к  в к 2  а1к  в кр 

 

 а 21 а 22 а 23   в 21 в 22 в 23    а 2 к  в к1  а 2 к  в к 2  а 2 к  в кр 




...................   .................  ........................................................... 

 

а а а  в в в  

 m1 m 2 m 3   п1 п 2 п 3    а тк  в к1  а тк  в к 2  а тк  в кр 
10.Определитель матрицы. Алгебраическое дополнение. След матрицы
Определитель матрицы – число, подсчитанное по формуле:
а а 
А22   11 12 
 а 21 а 22 
А  а11  а22  а12  а21
 а11 а12 а13 


А33   а 21 а 22 а 23 
а а а 
 31 32 33 
А  а11  а22  а33  а21  а32  а13  а12  а 23  а31  а13  а 22  а31  а23  а32  а11  а12  а21  а33
Алгебраическое дополнение элемента Аik – определитель, равный минору,
взятый со знаком (1) i k .
а11 а12 а13
а а 
Минор: М 22  а21 а22 а 23   11 13 
 а31 а33 
а31 а32 а33
Аik  (1) i  k  М ik
След матрицы  Q11  Q22  Q33  ...  Qmm
11. Неособенная матрица, обратная, симметричная, ортогональная
Неособенная матрица – нормальная матрица, у которой определитель не
равен «0». ( А  0)
Обратной называется такая матрица Аnn , для которой Аnn  Аn1n  Е , где Е –
единичная матрица.
1 3 2 


Симметричная:  3 1 4  .
 2 4 1


Ортогональная – такая квадратная матрица А, для которой: А1  А  А  А1  Е .
12. Ранг матрицы. Ранг произведения матрицы
Ранг матрицы – это число линейно независимых строк или столбцов.
r ( А) – ранг матрицы
r ( А)  К
Каждый столбец или строка – вектор.
Например: А34
1 2 3 2 


  2 3 5 1
1 3 4 5 


123
12 2
13 2
232
12
 3  4  1 ( 0)  r ( А)  2
2 3 5  0 2 31  0 2 51  0 3 51  0
23
13 4
13 5
145
345
Элемент преобразования не меняет ранга матрицы.
 2 3
 
 4  3  7
     


1 6 
Например:   , тогда с  а1  2  а2  1   2    6    8 
0 1
 0  1  1 
     
а1 а 2
 2 3 7


1 6 8   rang  2 .
 0 11 


Ранг произведения матриц:
А В  С
rА  2
rВ  3
rangС  min( rА , rВ )  rС  2
13.Квадратичные формы
1) х12  х22  .....
п
х
i 1
2
i
n

i 1
2
i
2) ХК х Х Т .
14. Решение систем линейных уравнений
АХ  L  0
АХ   L
А 1  А  Х   А 1  L
А 1  А  Е
Х   А 1  L