Алгебра и геометрия_1 БПМИ_2 сем

Алгебра и геометрия 1 курс 2 семестр БПМИ
Примерный перечень вопросов к экзамену (семестр II)
1. Определение линейного (векторного) пространства над полем. Примеры векторных
пространств. Простейшие свойства векторных пространств.
2. Линейная зависимость и независимость векторов векторного пространства.
Свойства линейной зависимости и независимости системы векторов.
3. Понятие подпространства. Примеры подпространств. Свойства подпространств.
4. Пересечение подпространств. Линейная оболочка множества векторов.
5. Сумма подпространств. Свойства суммы подпространств. Прямая сумма
подпространств.
6. Базис и ранг конечной системы векторов. Свойства рангов конечной системы
векторов. Конечномерные векторные пространства. Базис векторного
пространства.
7. Теорема о существовании базиса ненулевых конечномерных пространств, теорема
о том, что все базисы состоят из одинакового числа векторов.
8. Подпространства конечномерных пространств. Дополнение линейно независимой
системы векторов пространства до базиса пространства. Представление
пространства в виде прямой суммы двух подпространств.
9. Размерность векторного пространства. Свойства размерности. Размерность прямой
суммы.
10. Связь между размерностями суммы и пересечения подпространств.
11. Координаты вектора в базисе. Координатная строка вектора относительно данного
базиса. Изоморфизм векторных пространств. Свойства изоморфизма.
12. Понятие билинейной функции. Общие свойства. Понятие формы.
13. Матрица билинейной формы.
14. Изменение матрицы билинейной формы при изменении базисов. Ранг билинейной
формы.
15. Определение квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичных форм.
16. Матрица и ранг квадратичной формы.
17. Эквивалентность билинейных форм и квадратичных форм.
18. Канонический и нормальный вид квадратичных и симметричных билинейных
форм.
19. Закон инерции для квадратичных форм.
20. Критерий Сильвестра.
21. Линейные отображения и операторы, примеры линейных отображений.
22. Теорема о единственности линейного отображения заданного на базисе. Ядро и
образ линейного оператора.
23. Пространство образов и ядерное пространство.
24. Ранг и дефект линейного оператора. Теорема о сумме ранга и дефекта линейного
оператора.
25. Операции над линейными отображениями. Пространство линейных отображений.
26. Матрица линейного оператора. Биективное отображение множества всех линейных
операторов на множество всех квадратных матриц.
27. Связь между координатными столбцами векторов a и f (a ) .
28. Матрица суммы линейных операторов, матрица линейного оператора,
умноженного на скаляр.
29. Равенство ранга линейного оператора и ранга матрицы этого оператора.
30. Связь между координатными столбцами вектора относительно различных базисов.
31. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах.
32. Подобие матриц и свойства подобия.
33. Алгебры линейных операторов.
34. Изоморфизм алгебры линейных операторов полной матричной алгебре.
35. Условия обратимости линейного оператора. Матрица обратимого оператора.
36. Полная линейная группа.
37. Изоморфизм полной линейной группы группе обратимых матриц.
38. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Простейшие
свойства собственных векторов и собственных значений линейного оператора.
39. Нахождение собственных векторов и собственных значений линейного оператора.
Характеристическое уравнение.
40. Линейная независимость собственных векторов, принадлежащих различным
собственным значениям.
41. Линейные операторы с простым спектром. Необходимые и достаточные условия
для того, чтобы оператор имел простой спектр.
42. Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице.