Задача 12 Написать разложение вектора по

1 Индивидуальные задания
Задача 1 Пусть в универсальном множестве U заданы три непустые
взаимно пересекающихся множества A , B , C следующим образом:
8.
Изобразить множество
C \ B   A  B \ C .
Задача 2 Произвести действия над комплексными числами z1  2  i ,
z 2  i , z3  1  i , z 4  2  i , z5  1  3i .
z 4  z1
10.
z 2  z3
Задача 3 Найти корни уравнения
12.
z 3  3  3i ;
Задача 4 Найти общий делитель многочленов и представить его в
линейной форме.
f ( x )  x 4  x 3  3 x 2  4 x  1,
g ( x)  x 3  x 2  x  1 .
8.
Задача 5 Даны две матрицы A и B .
Найти: а) AB ; б) BA ;
в) A1 ;
г) AA1 ;
д) A1 A .
 2  1  3
 2  1  2




A   8  7  6
B  3  5
4
 3
1
4
2 
2
1 


1.
,
.
Задача 6 Дан определитель.
1) Найти миноры и алгебраические дополнения элементов ai 2 , a3 j .
2) Вычислить данный определитель
а) разложив его по элементам первой строки;
б) приведением определителя к треугольному виду;
в) методом опорного элемента.
3 1 2
3
4 1 2
4
1 1 1
1;
4 1 2  5
8.
i  1, j  3
Задача 7 Найти ранг матрицы.
15.










1
2
3
0
1
2
0
0
0
1
1
1
1
1
0
2
3
1
2
2
4
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
2
3
1
2
3










Задача 8 Проверить совместность системы уравнений и в случае
совместности решить ее:
а) по формулам Крамера;
б) с помощью обратной матрицы (матричным методом);
в) методом Гаусса.
4 x1  x2  3x3  1,

12.
3x1  x2  x3  2,
 x
 2 x3  5.
 1
Задача 9 Решить однородную систему линейных алгебраических
уравнений.
4 x1  x2  10 x3  0,

8.
 x1  2 x2  x3  0,
2 x  3x  4 x  0.
2
3
 1
Задача 10 Найти ФСР и общее решение системы уравнений.
12.
6 x1  3x2  2 x3  3x4  4 x5  0,

4 x1  2 x2  x3  2 x4  3x5  0,
2 x  x  x  x  x  0.
2
3
4
5
 1
Задача 11 По координатам точек A, B, C для указанных векторов
найти: а) модуль вектора a ; б) скалярное произведение векторов a, b ; в)
проекцию вектора c на вектор d ; г) координаты точки M , делящей отрезок
l в отношении  /  .
11.12 A(10,6,3), B(2,4,5), C (3,4,6), а  5 АС  2СВ , b  с  ВА,
d  AС , l  СВ ,   1,   5.
Задача 12 Написать разложение вектора x по векторам p, q , r .
12.1
x   2, 0, 9,
p  0,  1, 2,
q  1, 0,  1,
r   1, 2, 4.
Задача 13 Вычислить площадь параллелограмма построенного на
векторах a и b ,  p, q - угол между векторами p, q .
13.8
  
a  p  q,
b  p  4q ,
p  7,
q  1,  pq    4.
 
Задача 14 Компланарны ли векторы a , b , c ?
14.15
15
Задача a   3, 5,  1,
b   2,1,  2,
c   1, 2,  1.
Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1 , A2 , A3 , A4 и
его высоту, опущенную из A4 на грань A1 A2 A3 .
15. 8
A1 5, 2,1,
A2 4, 5, 4,
A3 8, 3,  3,
A4  7,12,  4.
2 Индивидуальные задания
Задача 1 Даны вершины треугольника АВС : А(4,3), В(3,3), С (2,7) .
Найти:
а) уравнение стороны АВ;
б) уравнение высоты СН;
в) уравнение медианы АМ;
г) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно
стороне АВ;
е) расстояние от точки С до прямой АВ.
1.8 А(4,3),
В(7,3),
С (1,10) .
Задача 2 Составить канонические уравнения: а) эллипса; б)
гиперболы; в) параболы ( А, В - точки лежащие на кривой, F - фокус, a большая (действительная) полуось, b - малая (мнимая) полуось,  эксцентриситет, y   kx - уравнение асимптот гиперболы, d - директриса
кривой, 2c - фокусное расстояние).
2.10
а)   7 / 8, A(8,0) ; б) A(3,  3 / 5 ), B( 13 / 5 ,6) ; в) d : y  4 .
Задача 3 Построить кривую, заданную уравнением в полярной
системе координат.
  1 2  sin   .
3.12
Задача 4 Даны четыре точки A1  x1 , y1 , z1  , A2  x2 , y 2 , z 2  , A3  x3 , y3 , z3  ,
A4  x 4 , y 4 , z 4 . Составить уравнения:
а) плоскости A1 A2 A3 ;
б) прямой A1 A2 ;
в) прямой A4 M перпендикулярной плоскости A1 A2 A3 ;
г) прямой A4 N , параллельной прямой A1 A2 ;
Вычислить:
е) синус угла между прямой A1 A4 и плоскостью A1 A2 A3 ;
ж) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью
A1 A2 A3 .
A1 6,1,1, A2 4,6,6, A3 4,2,0, A4 1,2,6.
4.8
Задача 5 Найти расстояние от точки M 0 до плоскости, проходящей
через точки M 1 , M 2 , M 3 .
M 2 4, 8,  1,
M 3  2,1, 3,
M 0  9,10, 2.
5.1 M1 0, 7,  4,
Задача 6 Написать канонические уравнения прямой, заданной как
линия пересечения двух плоскостей.
 3x  4 y  3z  1  0,
6.8

2 x  4 y  2 z  4  0.
Задача 7 Найти координаты точки, симметричной точке
относительно заданной прямой.
x  0,5 y  1 z  4
P 1, 0,1,


7.15
.
0
0
2
P
Задача 8 Записать уравнение и определить вид поверхности,
полученной при вращении данной линии вокруг указанной оси координат,
сделать рисунок.
8.12
а) 5 x 2  6 z 2  30 , Ox ;
б) x  3, z  2 , Oy .
Задача 9 Найти координаты вектора x в базисе e1 , e2 , e3  , если он
задан в базисе e1 , e2 , e3  .
e1  e1  e2  2 3e3 ,

e2  2e1  e2 ,
9.8
e  e  e  e ,
1
2
3
 3
x  12, 3,  1.
Задача 10 Пусть V  R 3 заданы три вектора v1 ,v2 , v3 . Выяснить,
образуют ли элементы v1 ,v2 , v3 базис в R 3 , и если да, то найти координаты
строки x в базисе v1 , v2 , v3 .
10.12
v1   2,0,1, v2  1,3, 1,
v3  0,4,1,
x   5, 5,5.
Задача 11 Пусть V1  u1 , u2 , u3  R 4 (линейная оболочка строк u1 , u 2
, u 3 ), V2  v1 , v2 , v3  R 4 (линейная оболочка строк v1 , v 2 , v3 ). Найти
базисы линейных пространств V1  V2 и V1  V2 , при этом строки u1 , u 2 , u3 , v1
, v2 , v3 выразить через базис пространства V1  V2 .
u3 1, 1, 0, 0 ,
11.12 u1 1, 0 , 1, 1 , u 2 1, 1, 1, 0  ,
v3 1, 0 , 2 , 2  .
v1 1, 0, 0, 0 ,
v2 0, 2, 1, 1 ,
Задача 12 Найти собственные векторы и собственные значения
симметричного оператора f , действующего в евклидовом пространстве  5 и
имеющего в ортонормированном базисе e1 , e2 , e3 матрицу Ae .
3 5 1


12.1 Ae   2 3 0  .
 0 0 2


Задача 13 Выяснить, можно ли матрицу A линейного оператора 
действительного пространства R 3 привести к диагональному виду путем
перехода к новому базису, и если можно, то найти этот базис и
соответствующую ему диагональную матрицу.
5  2 2


A  6  7 2 ;
13.8
6  6 1


Задача 14 Привести, если возможно, действительные матрицы A1 и
A2 к диагональному виду и построить для них канонические разложения.
 1 1 1
3 5 1




A2   2 3 0  .
14.15 A1   0 1 1 ,
 0 0 1
 0 0 2




Задача 15 Найти ортогональное преобразование, приводящее к
каноническому виду квадратичную форму двух переменных x1 , x2 .
15.8
f  x1 , x2   4 x12  3 x1 x2  x22 .