16 - Физический факультет КемГУ

КЕМЕРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Фонд заданий для контроля остаточных знаний студентов
Дисциплина “ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА”
2 2 1
1.
Вычислить определитель: 1
2 1.
3 1 0
2.
Решить уравнение:
3
x
4
2
1
3  0.
x  10
1
1
2 x  2 1
3.
Решить неравенство: 1
5
4.
1
3
2  0 .
x
Используя операции над матрицами, решить уравнение:
1 2
 4 6 
X

 2 5
2 1 .




5.
Вычислить ранг матрицы:
 2 1 3 2 4 
 4 2 5 1 7  .


 2 1 1 8 2 


6.
Найти фундаментальную совокупность решений (базис в
пространстве решений) для системы уравнений:
 x1  x2  x3  0,

 x1  x2  x3  0.
7.
Найти общее решение системы уравнений:
 x1  2 x2  x3  3x4  2,

x2  x3  x4  1,

 x x
 2 x4  1.
 1 2
8.
Найти собственные значения и все собственные векторы
матрицы:
 2 1 1
 1 2 2 
 2 1 0 



 ; в)  0 1 1 .
а) 0 1 0 ; б) 0
1
0






0 2 1 
0 0 1
0 1 3 






9.
Методом Лагранжа привести квадратичную форму x1  x2 x3
к каноническому виду.
2
10.
В
линейной оболочке
произведение элементов
L  L(sin x, cos x)
скалярное
f1  a1 sin x  b1 cos x и f 2  a2 sin x  b2 cos x
введено формулой
1
2
 f1 , f 2   a1a2  b1b2   a1b2  a2b1  .
а)
Доказать, что элементы e1 
1
3
sin x 
1
3
cos x и
e1  sin x  cos x образуют ортонормированный базис в линейном
пространстве L.
б)
Найти матрицу оператора дифференцирования D̂ в
базисе e1 , e2 .
в)
Найти матрицу сопряжённого оператора D̂ в базисе e1 ,
e2 .
11. Пусть G – множество всех невырожденных матриц n - го
порядка с вещественными элементами, а групповой операцией
является операция умножения матриц. Образует ли множеством G с
указанной операцией группу?
12*. В пространстве P2 многочленов степени, не превосходящей 2,
введено скалярное произведение формулой
 f , g   f  1 g  1  f  0 g  0   f 1 g 1 .
Построить ортонормированный базис в этом евклидовом
пространстве.
13*. Пусть e1 и e2 - ортонормированный базис в унитарном
пространстве E2 . Линейный оператор Â , действующий в этом
пространстве, имеет в базисе f1  e1  e2 , f 2  e1  ie2 матрицу
1 i 
 2
Af  
.

1

i
1

i


Найти матрицу сопряжённого оператора Â в базисе f1 , f 2 .
14*. Дважды ковариантный тензор имеет в базисе e1 , …, en
линейного
i, j  1,
пространства
Rn
координаты
1 при i  j
,
0
при
i

j

 ij  
, n . Как преобразуются координаты этого тензора при
переходе к другому базису?
15*. Методом
ортогональных
преобразований
привести
квадратичную форму x1 x2  x1 x3 к каноническому виду.
16. Проверить, является ли заданный набор линейно зависимым и,
если да, то выразить каждый из заданных векторов через остальные:
a1  (1, 2,  1,  2) T , a 2  (2 ; 3; 0;  1) T ,
a 3  (1; 2; 1; 3) T , a1  (1, 3,  1, 0) T .
17. Найти матрицу перехода от базиса е к базису e , а также
координаты вектора х в указанных базисах, если


e  e1  3, 2, 3 , e2   4,  3,  5 , e3  5, 1,  1 ,
T
T
T



T

T

T
e  e1  3, 2,  1 , e2  2,  1, 2 , e3   1, 2, 3 ,
x  1, 2, 1 .
18.
Найти
размерности
и
базисы
сумм
и
подпространств L1  a1 , a2 , a3 и L2  b1 , b2 , b3 , где
a1  1, 2, 1 , a 2  1, 1,  1 , a3  1, 3, 3 ,
T
T
T
b1  2, 3,  1 , b2  1, 1,  3 , b3  1, 1,  3 .
T
T
T
пересечений
19. Ортогонализировать заданный набор векторов, считая, что они
заданы в ортогональном базисе:
1) a1  1, 2, 2,  1T , a 2  1, 1,  5, 3T , a3  3, 2, 8,  7T .
20.
Установить,
являются
ли
следующие
отображения
А
пространства V 3 в себя линейными операторами и выписать их
матрицы в базисе i, j, k.
а) Ax  x ;
б) Ax  ( x, e)e , где е – произвольный единичный вектор.
22. Найти дефект и ранг линейного оператора, заданного в R 3
матрицей А:
1 2 1 


а) A  1 0  1 ,
1 1 0 


1 1 1


б) A  1 1 1 ,
1 1 1


 2  1  1


в) A   1  2 1  .
 1 1  2


23. Найти каноническое разложение матрицы линейного оператора,
имеющего в некотором базисе евклидова пространства вид:
  1 3  1


а) A    3 5  1 ,
 3 3 1 


24.
Найти
1

0
в) A  
0

0

1 1 1


б) A  1 1 1 ,
1 1 1


ортогональное
3 

2 2 4 
,
0 1  2

0 0 2 
1 2
преобразование,
приводящее
квадратичную форму к диагональному виду:
а) x12  5 x 22  4 x32  2 x1 x 2  4 x1 x3 ;
б) x12  x 22  x32  4 x1 x 2  4 x 2 x3  4 x1 x3 ;
в) 11x12  5 x 22  2 x32  16 x1 x 2  4 x 2 x3  204 x1 x3 .
25.
Определить,
какие
квадратичные
формы
являются
положительно, отрицательно определёнными или имеют общий вид
а) x12  15 x 22  4 x1 x 2  2 x1 x3  6 x 2 x3 ;
б) 12 x1 x 2  12 x1 x3  6 x 2 x3  11x312  6 x 22  6 x32 ;
в) 9 x12  6 x 22  6 x32  12 x1 x 2  10 x1 x3  2 x 2 x3 .
26. Пусть даны матрица Грама базиса е и матрица А линейного
оператора в этом базисе:
 2 1 0 


Г   1 2 1 ,
 0 1 1 


 1 2 3 


A   2 3 1  .
 3 2 1 


Найти матрицу сопряженного оператора A* в этом базисе.
27.
Найти
ортогональную
проекцию
и
ортогональную
составляющую вектора у на линейное пространство L=  а1, а2 , а3 ,
если: y  14, 3, 6, 7 T , а1   3,0,7,6T , а2  1, 4,3, 2T , а3   2, 2, 2, 2T .
28. Привести, если возможно, действительные матрицы
 1

А1   3
 3

3
5
3
 1

1  ,
1 
0

A2   1
2

3 

8
6 .
 14 10 
3
к диагональному виду и построить для них канонические
разложения.
 5 2
29. Для матрицы А   2 6
 2
0

 2

0  построить такую диагональную
4 
матрицу В и невырожденную матрицу Q, чтобы B  QT AQ.
30. Найти канонический вид в главных осях для квадратичной
формы:
f ( x1, x2 , x3 )  2 x12  5x22  2 x32  4 x1x2  2 x1x3  4 x2 x3.