§7. Лин-е пр-во (к-ты вектора). §8. Простейшие задачи в.а.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Тема:
Понятие линейного пространства
(координаты вектора)
Простейшие задачи векторной алгебры
Лектор Рожкова С.В.
2012 г.
4. Координаты вектора
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по
базису называются координатами этого вектора в данном
базисе.
КООРДИНАТЫ СВОБОДНЫХ ВЕКТОРОВ В
ДЕКАРТОВОМ ПРЯМОУГОЛЬНОМ БАЗИСЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямую, на которой выбрано направление,
называют осью.
B
Пусть ℓ – ось, AB – некоторый вектор.
Пусть A1 и B1– ортогональные проекции A
l
на ось ℓ точек A и B соответственно.
A1
B1
Вектор A 1 B1 назовем векторной проекцией вектора AB на
ось ℓ .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Проекцией (ортогональной проекцией)
вектора ā на ось ℓ называется
• длина его векторной проекции A 1 B1 на ось ℓ, взятая со
знаком плюс, если вектор A 1 B1 и ось ℓ сонаправлены,
• длина его векторной проекции A 1 B1 на ось ℓ, взятая со
знаком минус, если вектор A 1 B1 и ось ℓ противоположно
направлены.
Обозначают: Пр l⊥ AB ,
Пр l AB
ТЕОРЕМА 7 (геометрический смысл координат свободного
вектора в декартовом прямоугольном базисе).
Координаты вектора
ā∈V(2) (V(3)) в декартовом
прямоугольном базисе i, j (i, j, k) есть проекции этого
вектора на соответствующие координатные оси.
ТЕОРЕМА 8.
Пусть {α1 , α2, … , αn} – координаты вектора
e1,e2, …, en ,
{β1 , β2, … , βn} – координаты вектора
базисе.
Тогда
1) вектор a + b будет иметь в базисе e1,e2, …, en
{α1 + β1, α2 + β2, … , αn + βn};
2) ∀λ∈ℝ вектор λa будет иметь в базисе
координаты
{λα1 , λα2, … , λαn} .
a в базисе
b в том же
координаты
e1,e2, …, en
ТЕОРЕМА 9 (критерий коллинеарности свободных векторов в
координатной форме).
Векторы ā = {α1 ; α2 ; α3} и b̄ = {β1 ; β2 ; β3} коллинеарны ⇔
их координаты пропорциональны, т.е.
α1 α 2 α 3
=
=
= k.
β1 β 2 β3
Причем, если коэффициент пропорциональности k > 0 , то
векторы ā и b̄ – сонаправлены; если k < 0, то ā и b̄ –
противоположно направлены .
ТЕОРЕМА 10 (связь координат вектора в разных базисах).
Пусть e1, e2 , …, en и f1 , f2 , …, fn два базиса линейного
пространства L . Причем имеют место равенства
f1 = τ11e1 + τ21e2 + … + τn1en ,
f2 = τ12e1 + τ22e2 + … + τn2en ,
……………………………
fn = τ1ne1 + τ2ne2 + … + τnnen .
Если вектор a имеет в базисе e1, e2 , …, en координаты
{α1 , α2, … , αn}, а в базисе f1 , f2 , …, fn – координаты
{β1 , β2, … , βn}, то справедливо равенство A = TB , где
⎛ α1 ⎞
⎛ τ11 τ12 K τ1n ⎞
⎛ β1 ⎞
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟
α
τ
τ
τ
K
β
2n ⎟
A =⎜ 2⎟ , B =⎜ 2⎟ ,
T = ⎜ 21 22
⎜K⎟
⎜K K K K⎟
⎜K⎟
⎜α ⎟
⎜τ τ K τ ⎟
⎜β ⎟
⎝ n⎠
nn ⎠
⎝ n1 n 2
⎝ n⎠
Матрицу T называют матрицей перехода от базиса e1, e2 , …, en
к базису f1 , f2 , …, fn .
§8. Простейшие задачи векторной алгебры
Пусть на плоскости (в пространстве) задана декартова
прямоугольная система координат. Выберем в пространстве
V(3) (V(2)) декартов прямоугольный базис i, j, k (i, j).
ЗАДАЧА 1. Найти координаты вектора AB , если известны
декартовы координаты начала и конца вектора.
y
O
A
B
x
ЗАДАЧА
2.
Найти длину вектора, если известны его
координаты в декартовом прямоугольном базисе.
y
B
A
O
ay
ax
C
x
ЗАДАЧА 3. Известны координаты вектора. Найти координаты
его орта.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ортом вектора ā называется вектор ā0,
сонаправленный с вектором ā и имеющий единичную длину .
Геометрический смысл координат орта вектора
Пусть α , β и γ – углы, которые вектор ā образует с координатными осями Ox , Oy и Oz соответственно .
cosα , cosβ и cosγ называются направляющими косинусами
вектора ā .
a
a
α
α1
x
B1
α
x
A1
Координаты орта вектора ā являются его направляющими
косинусами.
Замечание. Так как | ā0 | =1 и ā0 ={cosα ; cosβ ; cosγ } , то
cos2α + cos2β + cos2γ = 1 .
Это равенство называют основным тождеством для
направляющих косинусов вектора.
ЗАДАЧА 4. Известны координаты концов отрезка. Найти
координаты точки, которая делит отрезок в заданном
отношении.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что точка M0 делит отрезок
M1M2 в отношении λ (λ ≠ –1) если
M1M 0 = λ ⋅ M 0M 2
Если λ > 0 , то точка M0 лежит между точками M1 и M2 .
В этом случае говорят, что точка M0 делит отрезок M1M2 во
внутреннем отношении.
Если λ < 0 , то точка M0 лежит на продолжении отрезка M1M2.
В этом случае говорят, что точка M0 делит отрезок M1M2 во
внешнем отношении.
M1
r1
O
r0
M0
M2
r2