Задача 1. найдём пересечение плоскостей Необходимо перейти

Задача 1.
найдём пересечение плоскостей
7 x  2 y  z  4  0

 x  4y  z  2  0
Необходимо перейти к каноническому уравнению прямое, то есть
x  x1 y  y1 z  z1


,
l
m
n
где q  l , m, n   направляющий вектор прямой
Найдём q
i
j
k
q  7 2 1  2i  6 j  26k
1 4 1
Теперь необходимо найти M  x1 , y1 , z1 
Для этого примем x1  0 и решим систему уравнений
2 y1  z1  4  0

 y1  z  2  0
y1  2
z1  0
Тогда
x y2
z


2
6
26
Задача 2
Написать уравнение прямой, проходящей через точку C параллельно прямой AB и
найти расстояние между этими параллельными прямыми.
A(4,-3,1)
B(2,3,-1)
C(6,1,-5)
Уравнение прямой AB:
x  xa
y  ya
z  za


xb  xa yb  ya zb  za
x  4 y  3 z 1


2  4 3  3 1  1
x  4 y  3 z 1


2
6
2
Тогда уравнение прямой, параллельной АВ и проходящей через точку С выглядит так:
x  xc y  yc z  zc


2
6
2
x  6 y 1 z  5


2
6
2
Теперь вычислим расстояние между этими прямыми. Будем искать длину отрезка CH ,
перпендикулярного обеим прямым
C(6,1,-5)
АВ:
x  4 y  3 z 1


2
6
2
Направляющий вектор прямой АВ b  2,6, 2 
Теперь найдём координаты вектора AC :
AC  xc  xa , yc  ya , zc  za , 
AC  6  4,1  3, 5  1
AC  2,4, 6 
Найдём векторное произведение векторов b и AC :
i
j
k
b  AC   2 6 2  28i  16 j  20k  b  AC    28, 16, 20 




2 4 6
Тогда расстояние от точки C до прямой АВ
b  AC 


MH 

b
 28   16    20
2
2
 2   62   2 
2
2
2
6
10
11
Задача 3
По координатам вершин треугольника ABC найти канонические уравнения высоты,
опущенной из вершины A.
A(5,-3,-10)
B(12,-2,2)
C(9,7,-4)
Прямая ВС:
x  xb
y  yb
z  zb


xc  xb yc  yb zc  zb
x  12 y  2 z  2


9  12 7  2 4  2
x  12 y  2 z  2


3
9
6
Параметрическое уравнение:
 x  3t  12

 y  9t  2
 z  6t  2

Тогда, если координаты точки Н – основания высоты  x0 , y0 , z0  , то этой точке
соответствуют определённые значения параметра t 0
H  3t0  12,9t0  2, 6t0  2 
Вектор AH имеет следующие координаты
AH  3t0  12  5, 9t0  2  3,  6t0  2  10 
AH  3t0  7,9t0  1, 6t0  12 
Вектора АН и направляющий вектор прямой BC перпендикулярны, значит их скалярное
произведение равно 0.
AH  3t0  7,9t0  1, 6t0  12 
p  3,9, 6 
AH  p  0
 3t0  7    3   9t0  1  9   6t0  12    6   0
t0 
2
3
Тогда координаты вектора АН
2
2
2


AH  3   7,9   1, 6   12 
3
3
3


AH  5,7,8
Уравнение прямой найдём по точке A(5,-3,-10) и направляющему вектору AH  5,7,8
x  5 y  3 z  10


5
7
8
Задача 4
Найти точку пересечения прямой L и плоскости P.
P: 6x + 5y - 4z + 7 = 0
L: (x+3)/4=(y-5)/6=(z-1)/11
Найдём первое уравнение для системы из первого равенства для прямой
x3 y 5

4
6
3x  9  2 y  10
3x  2 y  19
Второе уравнение – из второго равенства для прямой:
z 1 y  5

11
6
6 z  6  11y  55
6 z  11y  49
Третье уравнение – уравнение плоскости
6x + 5y - 4z + 7 = 0
Система:
 3x  2 y  0  z  19

0  z  11y  6 z  49
 6 x  5 y  4 z  7

 x  7

 y  1
 z  10

Подробное решение этой системы методом гаусса можно посмотреть вот здесь, введя
значения из системы
http://ru.onlinemschool.com/math/assistance/equation/gaus/
Задача 5
Найти точку, симметричную данной точке A относительно прямой, проходящей через
данную точку B и перпендикулярной данной плоскости P.
A(18,18,20)
B(7,7,9)
P: x-y-3z+15=0
Для начала найдём искомую прямую. Назовём её l
Направляющий вектор этой прямой – коэффициенты плоскости при переменных х,у,z:
a 1, 1, 3
Тогда уравнение прямой l :
x7 y 7 z 9


1
1
3
Теперь найдём координаты вектора AH , перпендикулярного прямой l . Алгоритм
аналогичен описанному в задаче 3.
Параметрическое уравнение:
x  t  7

 y  t  7
 z  3t  9

Тогда, если координаты точки Н –  x0 , y0 , z0  , то этой точке соответствуют определённые
значения параметра t 0
H  t0  7, t0  7, 3t0  9 
Вектор AH имеет следующие координаты
AH  t0  7  18,  t0  7  18,  3t0  9  20 
AH  t0  11, t0  11, 3t0  11
Вектора АН и направляющий вектор прямой l перпендикулярны, значит их скалярное
произведение равно 0.
AH  t0  11, t0  11, 3t0  11
a 1, 1, 3
AH  a  0
 t0  11 1   t0  11   1   3t0  11   3  0
t0  3
Тогда координаты вектора АН
AH  3  11,3  11,9  11
AH  14, 8, 2 
Точка, симметричная точке А относительно прямой l имеет координаты, рассчитанные по
формуле А1 = А+2АН
A1 18  2   14  ,18  2   8  ,20  2   2  
A1  10,2,16 