×ÅÁÛØÅÂÑÊÈÉ ÑÁÎÐÍÈÊ Òîì 12 Âûïóñê 4 (2011) ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÃÎ ÎÑÒÀÒÊÀ ÍÀ ÄÂÓÌÅÐÍÎÌ ÒÎÐÅ

×ÅÁÛØÅÂÑÊÈÉ ÑÁÎÐÍÈÊ
Òîì 12 Âûïóñê 4 (2011)
ÓÄÊ 511.2
ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÃÎ ÎÑÒÀÒÊÀ
ÍÀ ÄÂÓÌÅÐÍÎÌ ÒÎÐÅ
À. À. Àáðîñèìîâà (ã. Âëàäèìèð)
Àííîòàöèÿ
 ðàáîòå ðàññìîòðåíû ðàçáèåíèÿ äâóìåðíûõ òîðîâ íà ìíîæåñòâà îãðàíè÷åííîãî îñòàòêà. Äëÿ ýòèõ ìíîæåñòâ íàéäåíû îöåíêè îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà
ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è äëÿ íåãî âû÷èñëåíî ñðåäíåå çíà÷åíèå.
1 Ââåäåíèå
Âïåðâûå ïîíÿòèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé ïî ìîäóëþ 1, áûëî ââåäåíî Ã. Âåéëåì â ðàáîòå [10], à òàêæå äîêàçàí êðèòåðèé ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Â òîé æå ðàáîòå áûëè ïðèâåäåíû ïåðâûå ïðèìåðû
ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûõ ïî ìîäóëþ 1. Ïðîñòåéøåé
òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {iα}i>1 ïðè èððàöèîíàëüíîì α .
Ïóñòü X íåêîòîðûé èíòåðâàë è
r(α, i, X) = ♯{j : 0 ≤ j < i, {jα} ∈ X},
ñ÷èòàþùàÿ ôóíêöèÿ, ãäå {x} îáîçíà÷àåò äðîáíóþ äîëþ. Òîãäà òåîðåìà Âåéëÿ
î ðàâíîìåðíîì ðàñïðåäåëåíèè ýêâèâàëåíòíà àñèìïòîòè÷åñêîé ôîðìóëå
r(α, i, X) = i|X| + o(i),
ãäå |X| äëèíà èíòåðâàëà X.
Ïóñòü
δ(α, i, X) = r(α, i, X) − i|X|
îñòàòî÷íûé ÷ëåí ýòîé ôîðìóëû èëè îòêëîíåíèå ñ÷èòàþùåé ôóíêöèè îò îæèäàåìîé âåëè÷èíû.
Ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì îãðàíè÷åííîãî îñòàòêà, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà C , ÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
|δ(α, i, X)| 6 C
12
À. À. ÀÁÐÎÑÈÌÎÂÀ
äëÿ âñåõ i.
Ïåðâûå ïðèìåðû òàêèõ ìíîæåñòâ áûëè ïîñòðîåíû â ðàáîòå Ý. Ãåêêå [5],
êîòîðûé äîêàçàë, ÷òî èíòåðâàëû I äëèíû âèäà a + bα, ãäå a, b ∈ Z, ÿâëÿþòñÿ
èíòåðâàëàìè îãðàíè÷åííîãî îñòàòêà è äëÿ íèõ ñïðàâåäëèâà îöåíêà
|δ(α, i, I)| 6 |b|.
Ïîëíîå îïèñàíèå âñåõ èíòåðâàëîâ îãðàíè÷åííîãî îñòàòêà áûëî íàéäåíî â [6], à â
ðàáîòå [4] áûëè ïîëó÷åíû íåóëó÷øàåìûå ïî ïîðÿäêó îöåíêè îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà.
Áîëåå ñëîæíîé ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à î ìíîæåñòâàõ îãðàíè÷åííîãî îñòàòêà â ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå. Áîëüøèíñòâî èçâåñòíûõ ïðèìåðîâ ñòðîÿòñÿ íà îñíîâå ðåçóëüòàòîâ ýðãîäè÷åñêîé òåîðèè, îíè ðàññìîòðåíû â ðàáîòàõ [7], [8], íî äàííàÿ òåîðèÿ íå ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ÿâíûõ îöåíîê îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà. Âïåðâûå ÷àñòíûé ñëó÷àé äëÿ äâóìåðíûõ òîðîâ áûë ðàññìîòðåí R. Sz
usz â ðàáîòå [9], çàòåì
Â. Ã. Æóðàâëåâ â ðàáîòå [2] ðàññìîòðåë ìíîæåñòâà îãðàíè÷åííîãî îñòàòêà äëÿ
ôðàêòàëüíûõ ðàçáèåíèé Ðîçè, äëÿ ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè ýòî áûëî ñäåëàíî
â ðàáîòå [3], ãäå áûëà äîêàçàíà ìíîãîìåðíàÿ òåîðåìà Ãåêêå äëÿ ðàçáèåíèÿ òîðà.
 ðàáîòå [1] àâòîðà ïîñòðîåíû ìíîæåñòâà îãðàíè÷åííîãî îñòàòêà â äâóìåðíîì ñëó÷àå, ïîëó÷åíû ÿâíûå îöåíêè îñòàòêà èëè îòêëîíåíèÿ íà ýòèõ ìíîæåñòâàõ, à òàêæå âûñ÷èòàíû ñðåäíèå çíà÷åíèÿ îòêëîíåíèé äëÿ äàííûõ ìíîæåñòâ.
Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ðàáîòû [1], â íåé ïîñòðîåí öåëûé êëàññ
ìíîæåñòâ îãðàíè÷åííîãî îñòàòêà íà äâóìåðíîì òîðå, îñíîâàííûé íà ãåêñîãîíàëüíûõ ðàçâåðòêàõ, à òàêæå ðàññìîòðåí ñëó÷àé îðáèòû ñ ïðîèçâîëüíîé íà÷àëüíîé òî÷êîé.
Àâòîð âûðàæàåò áëàãîäàðíîñòü ñâîåìó íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ Â. Ã. Æóðàâëåâó çà ïîñòàíîâêó çàäà÷è è âíèìàíèå ê ðàáîòå.
2 Ðàçâåðòêà òîðà
Ïîñòðîèì øåñòèóãîëüíóþ ðàçâåðòêó T 2 (c) åäèíè÷íîãî òîðà T2 = R2 /Z2 .
Äëÿ ýòîãî â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå (e1 , e2 ) ïîñòðîèì âåêòîð c = (c1 , c2 ) ,
òàêîé ÷òî c ∈ C = {c = (c1 , c2 ) ∈ R2 ; ci ≥ 0, min(c1 , c2 ) 6 1}.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðàçâåðòêè T 2 (c) îòëîæèì âåêòîð −c îò òî÷åê (0, 1), (1, 1),
(1, 0) (ðèñ.1), ýòî ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü øåñòèóãîëüíèê ñ êîîðäèíàòàìè âåðøèí
(0, 0) , (−c1 , 1 − c2 ) , (0, 1) , (1 − c1 , 1 − c2 ) , (1, 0) , (1 − c1 , −c2 ) .
Ó ïîëó÷åííîãî øåñòèóãîëüíèêà ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ïîïàðíî ïàðàëëåëüíû è ðàâíû (ðèñ. 1).
Ââåäåì ôóíêöèþ σ(x) , êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé σ(x) = x1 + x2 , ãäå
x1 è x2 êîîðäèíàòû òî÷êè x â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå (e1 , e2 ).
Åñëè σ(c) > 1, òî T 2 (c) íåâûïóêëûé, è âûïóêëûé, åñëè σ(c) 6 1 (ðèñ. 2).
ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÃÎ ÎÑÒÀÒÊÀ ÍÀ ÄÂÓÌÅÐÍÎÌ ÒÎÐÅ 13
(0;1)
(1;1)
e2
(-c1;1-c2)
(0;1)
e2
(1-с1;1-с2)
(1;1)
-с(-c1;-c2)
-с(-c1;-c2)
2
T (с)
с (с1;с2)
e1
(0;0)
e1
(1;0)
(0;0)
-с(-c1;-c2)
(1;0)
(1-с1;-с2)
Ðèñóíîê 1.
Åñëè σ(c) > 1, òî T 2 (c) íåâûïóêëûé, è âûïóêëûé, åñëè σ(c) 6 1 (ðèñ. 2).
(0;1)
(0;1)
(1;1)
e2
(1;1)
e2
2
T (с)
2
T (с)
с(с1;с2)
с (с1;с2)
e1
(0;0)
(1;0)
e1
(0;0)
(1;0)
Ðèñóíîê 2.
Ïàðàëëåëüíûìè ïåðåíîñàìè íà âåêòîðû l ⨿
èç êâàäðàòíîé ðåøåòêè Z2 øåñòèóãîëüíèêîì T 2 (c) ìîæíî çàìîñòèòü T = l∈Z2 T 2 [l] ïëîñêîñòü R2 . Òàêèì
îáðàçîì øåñòèóãîëüíèê T 2 (c) ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé îáëàñòüþ äëÿ êâàäðàòíîé ðåøåòêè Z2 è åãî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàçâåðòêó òîðà T2 .
Ïîñòðîèì òåïåðü âåêòîð α = (α1 , α2 ) òàêîé, ÷òî α = tc, ãäå 0 < t 6 1 äëÿ
âûïóêëîãî øåñòèóãîëüíèêà. Äëÿ íåâûïóêëîãî øåñòèóãîëüíèêà σ(α) äîëæíî
1
áûòü ìåíüøå 1 , ïîýòîìó 0 < t < σ(c)
.
Ñäâèíåì ðàçáèåíèå T íà âåêòîð −α = (−α1 , −α2 ) , ïðè ýòîì îñòàâèâ ñàìó
îáëàñòü T 2 (c) íåïîäâèæíîé. Ïîëó÷èì ðàçáèåíèå îáëàñòè T 2 (c) íà òðè ôèãóðû
Tk2 , k = 0, 1, 2, ïëîùàäè êîòîðûõ ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû
a0 = 1 − α1 − α2 = α0 , a1 = α1 , a2 = α2 .
(1)
Ôèãóðà T 2 (c) áóäåò ÿâëÿòüñÿ ïåðåêëàäûâàþùåéñÿ ðàçâåðòêîé òîðà (ðèñ.3),
òî åñòü ñóùåñòâóåò ïðåîáðàçîâàíèå
14
À. À. ÀÁÐÎÑÈÌÎÂÀ
Sv : T 2 (c) → T 2 (c) : x → Sv (x) = x + vk ,
(2)
ãäå vk âåêòîðà ïåðåêëàäûâàíèÿ äëÿ îáëàñòåé Tk2 , k=0, 1, 2 è îíè ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû
v0 = (α1 , α2 ), v1 = (α1 − 1, α2 ), v2 = (α1 , α2 − 1).
e2
(3)
e2
T1
-a
T2
T0
T0
T2
e1
e1
T1
Ðèñóíîê 3.
Ïåðåêëàäûâàíèå Sv îáëàñòåé Tk2 ðàçâåðòêè òîðà T 2 (c) ñîîòâåòñòâóåò ñäâèãó
Sα òîðà T2 íà âåêòîð α , òî åñòü âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
Sv (T 2 (c)) = Sα (T2 )mod Z2 ,
(4)
ãäå Sα : T2 → T2 : x 7−→ Sα (x) = x + αmod Z2 .
Ýòî óòâåðæäåíèå äîêàçàíî â ðàáîòå [1].
3 Îòêëîíåíèÿ ñ÷åòíûõ ôóíêöèé
Ìíîãîêðàòíîå ïîâòîðåíèå ñäâèãà òîðà íà âåêòîð α , çàäàåò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå òî÷åê íà íåì. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü îðáèòû ñ ïðîèçâîëüíîé íà÷àëüíîé òî÷êîé x0 = (x01 , x02 ) , îòëè÷íîé îò 0. Òàê êàê òîðó T2 ñîîòâåòñòâóåò åãî
ðàçâåðòêà T 2 (c) , îïðåäåëèì äëÿ êàæäîé åå îáëàñòè Tk2 , k = 0, 1, 2 êîëè÷åñòâî
ïîïàäàíèé â íåå òî÷åê ðàñïðåäåëåíèÿ èëè ñ÷èòàþùèå ôóíêöèè
rk (i, x0 ) = ♯{j : Sαj (x0 ) ∈ Tk2 , 0 ≤ j < i}.
Òàêæå îïðåäåëèì îòêëîíåíèÿ δk (i, x0 ) ñ÷èòàþùèõ ôóíêöèé rk (i, x0 ) îò îæèäàåìîé âåëè÷èíû iak
δk (i, x0 ) = rk (i, x0 ) − iak ,
(5)
ãäå ak ïëîùàäü îáëàñòè Tk2 .
Îòíîñèòåëüíî îòêëîíåíèé δk (i, x0 ) â äâóìåðíîì ñëó÷àå äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ
òåîðåìà.
ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÃÎ ÎÑÒÀÒÊÀ ÍÀ ÄÂÓÌÅÐÍÎÌ ÒÎÐÅ 15
1 Ïóñòü äàí ñäâèã òîðà Sα íà âåêòîð α , è α èððàöèîíàëüíûé, òî åñòü ÷èñëà α1, α2, 1 ëèíåéíî íåçàâèñèìû íàä Z , ïóñòü òîð T2
ðàçáèò íà îáëàñòè T2k : T2 = T20 ⊔ T21 ⊔ T22 . Òîãäà äëÿ îòêëîíåíèé âûïîëíÿþòñÿ
íåðàâåíñòâà:
Òåîðåìà
.
−x01 − x02 − σ(c) 6 δ0 (i, x0 ) 6 2 − x01 − x02
(6)
−x01 − x02 + 1 − σ(c) 6 δ0 (i, x0 ) 6 1 − x01 − x02
(7)
x01 − 1 6 δ1 (i, x0 ) 6 x01 + c1 ,
x02 − 1 6 δ2 (i, x0 ) 6 x01 + c2 .
(8)
äëÿ σ(c) 6 1,
äëÿ σ(c) > 1,
Ôóíêöèè rk (i, x0 ) ýòî êîëëè÷åñòâî ïîïàäàíèé òî÷åê
6 j < 1 â îáëàñòü Tk2 , è èõ ñóììà
Äîêàçàòåëüñòâî.
Sαj (x0 ), 0
r0 (i, x0 ) + r1 (i, x0 ) + r2 (i, x0 ) = i.
(9)
Òàê êàê ðàçâåðòêà T 2 (c) ÿâëÿåòñÿ ïåðåêëàäûâàþùåéñÿ, òî
x0 + r0 (i, x0 )v0 + r1 (i, x0 )v1 + r2 (i, x0 )v2 ∈ T 2 (c).
Íàéäåì ïðîåêöèè äàííîãî ñîîòíîøåíèÿ íà íàïðàâëåíèÿ çàäàâàåìûå âåêòîðàìè e0 = (−1, −1), e1 = (1, 0) è e2 = (0, 1) ñîîòâåòñòâåííî
−1 6 −x01 − x02 − (r0 (i, x0 ) + r2 (i, x0 ))α1 − (r0 (i, x0 ) + r1 (i, x0 ))(α2 )+
+r1 (i, x0 )(1 − α1 ) + r2 (i, x0 )(1 − α2 ) 6 σ(c)
(10)
äëÿ ñëó÷àÿ σ(c) 6 1,
−c1 6 x01 + (r0 (i, x0 ) + r2 (i, x0 ))α1 − r1 (i, x0 )(1 − α1 ) 6 1,
−c2 6 x02 + (r0 (i, x0 ) + r1 (i, x0 ))α2 − r2 (i, x0 )(1 − α2 ) 6 1.
(11)
Ôîðìóëû (7) è (8) ïîëó÷àþòñÿ ïðè ðåøåíèè íåðàâåíñòâ (10), (11) ñ ó÷åòîì
ñîîòíîøåíèé (5) è (9). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âûðàæåíèÿ (6) íåîáõîäèìî äîïîëíèòåëüíî ïðîñóììèðîâàòü íåðàâåíñòâà ñèñòåìû (11). Òàêèì îáðàçîì, êàê è â ñëó÷àå, êîãäà íà÷àëüíàÿ òî÷êà x0 = 0 [1], ãðàíèöû îòêëîíåíèé δk (i, x0 ) íå çàâèñÿò íå òîëüêî îò i , íî è îò âåêòîðà ñäâèãà, à
îïðåäåëÿþòñÿ òîëüêî ðàçìåðàìè ðàçâåðòêè T 2 (c) , à îáëàñòè Tk2 , ãäå k = 0, 1, 2
ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâàìè îãðàíè÷åííîãî îñòàòêà îòíîñèòåëüíî ñäâèãà íà âåêòîð
α.
16
À. À. ÀÁÐÎÑÈÌÎÂÀ
4 Ñðåäíèå çíà÷åíèÿ îòêëîíåíèé
Ðàññìîòðèì ïîíÿòèÿ âåêòîðíîé äðîáíîé ÷àñòè F r(x) è ñóìàðíîãî âåêòîðíîãî îòêëîíåíèÿ δ(i, x0 ) íåîáõîäèìûå äëÿ äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèé.
Äëÿ ëþáîãî x ∈ R2 ìîæíî îïðåäåëèòü âåêòîðíóþ äðîáíóþ ÷àñòü F r(x) ,
ïîëàãàÿ F r(x) = x′ , ãäå x′ = xmod Z2 è x′ ∈ T 2 [3]. Êîððåêòíîñòü
ýòîãî îïðåäå⨿
2
ëåíèÿ âûòåêàåò èç ôàêòà ñóùåñòâîâàíèÿ ðàçáèåíèÿ T = l∈Z2 T [l].
Ïðåäëîæåíèå
1.
Ïóñòü
△F r(x) = F r(x + α) − F r(x)
(12)
âåêòîðíî-çíà÷íàÿ ðàçíîñòíàÿ ôóíêöèÿ ñ øàãîì α, ãäå α âåêòîð ñäâèãà òîðà
Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
T2 .
△F r(x) = v(x)
(13)
v(x) = α + l(x),
(14)
äëÿ ëþáîãî x ∈ R2, ãäå âåêòîð
ïðè ýòîì l(x) = lk , åñëè x ∈ Tk2, äëÿ k = 0, 1, 2. Çäåñü lk = vk − v0.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Äëÿ ëþáîãî x èç ðàçâåðòêè T 2 (c) èìååì ïðåäñòàâëåíèå
Sα (x) = x + v(x),
(15)
ïðè ýòîì v(x) = vk äëÿ x ∈ Tk2 è k = 0, 1, 2.
Òàê êàê vk ≡ αmod Z2 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (14), ãäå l(x) = lk äëÿ x ∈ Tk2
è k = 0, 1, 2, òî èç (15) âûòåêàåò ôîðìóëà
Sα (x) = x + α + l(x),
ïðè÷åì äëÿ ëþáîãî x èç T 2 (c) åãî îáðàç x + α + l(x) ïðèíàïäëåæèò òîðè÷åñêîé
ðàçâåðòêå T 2 (c).
Îòñþäà ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà
F r(x + α) = x + α + l(x) = x + v(x),
(16)
ñïðàâåäëèâûå ïðè ëþáîì x ∈ T 2 (c).
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (13) çàìåòèì, ÷òî
x + α = x + α + l(x)mod Z2 ,
(17)
ãäå l(x) ∈ Z2 è â ñèëó (15) âûïîëíÿåòñÿ âêëþ÷åíèå
x + α + l(x) ∈ T 2 (c).
(18)
ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÃÎ ÎÑÒÀÒÊÀ ÍÀ ÄÂÓÌÅÐÍÎÌ ÒÎÐÅ 17
Èç (16) ñëåäóåò
△F r(x) = F r(x + α) − F r(x) = x + α + l(x) − x = α + l(x) = v(x)
äëÿ ëþáîãî x ∈ T 2 (c).
⨿ 2
Ðàññìîòðèì òåïåðü îáùèé ñëó÷àé x ∈ R2 . Ñîãëàñíî ðàçáèåíèþ T =
T [l]
′
′
l∈Z2
ëþáîå x ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå x = x +l äëÿ íåêîòîðûõ x ∈ T (c) è l ∈ Z2 ,
è òîãäà
F r(x) = x′ .
(19)
2
Ïî (17) è (18) èìååì
△F r(x) = F r(x + α) − F r(x) = x′ + α + l(x) − x′ = α + l(x) = v(x),
òî åñòü ñíîâà ïîëó÷èëè ðàâåíñòâî (13). Òåïåðü îïðåäåëèì ñóììàðíîå âåêòîðíîå îòêëîíåíèå, êàê âåêòîðíî-çíà÷íóþ
ôóíêöèþ
∑
△F r(x0 + jα)
(20)
δ(i, x0 ) =
06j<i
äëÿ i = 0, 1, 2, . . . .
Èç ðàâåíñòâ (13) è (14) ìîæåì ôóíêöèþ (20) çàïèñàòü
∑
∑
δ(i, x0 ) =
(α+l(x0 +jα)) = iα+
l(x0 +jα) == iα+
06j<i
06j<i
∑
1, (21)
06j<i
F r(x0 + jα)
èëè â äðóãîé ôîðìå
δ(i, x0 ) = iα + r1 (i, x0 )l1 + r2 (i, x0 )l2 .
(22)
Ñïðîåêòèðîâàâ âûðàæåíèå (22) íà íàïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ e0 = (−1, −1) ,
e1 = (1, 0) è e2 = (0, 1) ïîëó÷èì
δ0 (i, x0 ) = δ(i, x0 )e0 ,
(23)
ãäå δ(i, x0 )e0 ïðîåêöèè âåêòîðà δ(i, x0 ) íà íàïðàâëåíèe çàäàâàåìîå âåêòîðîì e0 ,
è
δk (i, x0 ) = −δ(i, x0 )ek ,
(24)
ãäå δ(i, x0 )ek ïðîåêöèè âåêòîðà δ(i, x0 ) íà íàïðàâëåíèÿ çàäàâàåìûå âåêòîðàìè
ek , â ñëó÷àå k = 1, 2.
Îïðåäåëèì ñðåäíåå çíà÷åíèå âåêòîðíîãî îòêëîíåíèÿ
1 ∑
⟨δ(x0 )⟩ = lim
δ(i, x0 ),
(25)
N →+∞ N
16i6N
åñëè ïðåäåë ñóùåñòâóåò.
Îòíîñèòåëüíî ñðåäíèõ çíà÷åíèé îòêëîíåíèé äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
18
À. À. ÀÁÐÎÑÈÌÎÂÀ
2 Ïóñòü äàí ñäâèã òîðà íà âåêòîð α . Ïóñòü âåêòîð α èððàöèîíàëüíûé, ò. å. ÷èñëà α1, α2, 1 ëèíåéíî íåçàâèñèìû íàä Z .
1. Òîãäà ñóùåñòâóåò ñðåäíåå çíà÷åíèå ⟨δ(x0)⟩ (25) ñóìàðíîãî âåêòîðíîãî
îòêëîíåíèÿ δ(i) , è îíî âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
Òåîðåìà
.
⟨δ(x0 )⟩ = CT 2 (c) − x0 ,
(26)
ãäå CT (c) = ( 1−c2 , 1−c2 ) öåíòð òÿæåñòè ôèãóðû T 2(c).
2. Òàêæå äëÿ ëþáîãî k = 0, 1, 2 ñóùåñòâóþò ñðåäíèå çíà÷åíèÿ îòêëîíåíèé
2
1
2
1 ∑
δk (i, x0 ),
N →+∞ N
16i6N
⟨δk (x0 )⟩ = lim
è îíè ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû
2
⟨δ0 (x0 )⟩ = 1 − c1 +c
− x01 − x02 ,
2
1
⟨δ1 (x0 )⟩ = x01 − 1−c
,
2
1−c2
⟨δ2 (x0 )⟩ = x02 − 2 .
Èç îïðåäåëåíèÿ (13), ôîðìóë (12)è (25) ñëåäóåò
∑
∑
δ(i, x0 ) =
(F r(x0 + iα) − F r(x0 )).
(27)
Äîêàçàòåëüñòâî.
16i6N
(28)
16i6N
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (26) âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (28) è êðèòåðèåì Âåéëÿ
∑
∑
1
limN →+∞ N1 16i6N δ(i,
∫ x0 ) = limN∫→+∞ N 16i6N (F r(x0 + iα) − F r(x0 ) =
=
xdx − x0
dx = CT 2 − x0 aT 2 (c) ,
T 2 (c)
T 2 (c)
ãäå aT 2 (c) ïëîùàäü ðàçâåðòêè òîðà T 2 (c) , è îíà ðàâíà 1. Òàêèì îáðàçîì óòâåðæäåíèå (26) äîêàçàíî.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóëû (27) âîñïîëüçóåìñÿ âûðàæåíèÿìè (23), (24) è
ôîðìóëîé (26). Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 2.
Åñëè íà÷àëüíàÿ òî÷êà
ðàñïðåäåëåíèÿ x0 = (x01, x02) ðàñ1−c 1−c
ïîëîæåíà â öåíòðå òÿæåñòè CT (c) = ( 2 , 2 ) , òî
1. ñðåäíåå ñóììàðíîå âåêòîðíîå îòêëîíåíèå
Ñëåäñòâèå 4.1.
2
1
2
⟨δ(x0 )⟩ = 0,
2. ñðåäíèå îòêëîíåíèÿ
⟨δk (x0 )⟩ = 0, k = 0, 1, 2.
ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÃÎ ÎÑÒÀÒÊÀ ÍÀ ÄÂÓÌÅÐÍÎÌ ÒÎÐÅ 19
ÑÏÈÑÎÊ ÖÈÒÈÐÎÂÀÍÍÎÉ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
[1] Àáðîñèìîâà À. À.Ñðåäíèå çíà÷åíèÿ îòêëîíåíèé äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ òî÷åê
íà òîðå // Íàó÷íûå âåäîìîñòè ÁåëÃÓ. Ñåðèÿ: Ìàòåìàòèêà,Ôèçèêà. 2011
ã. ïå÷àòè.
[2] Æóðàâëåâ Â. Ã., Ðàçáèåíèÿ Ðîçè è ìíîæåñòâà îãðàíè÷åííîãî îñòàòêà //
Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, 2005, òîì 322, Ñ. 83-106.
[3] Æóðàâëåâ Â. Ã., Ìíîãîìåðíîå îáîáùåíèå òåîðåìû Ãåêêå // Àëãåáðà è àíàëèç, 2012, òîì 24, âûï. 1, C. 1-33.
[4] Øóòîâ À. Â., Îïòèìàëüíûå îöåíêè â ïðîáëåìå ðàñïðåäåëåíèÿ äðîáíûõ äîëåé íà ìíîæåñòâàõ îãðàíè÷åííîãî îñòàòêà // Âåñòíèê ÑàìÃÓ. Åñòåñòâåííîíàó÷íàÿ ñåðèÿ, 2007, òîì 5, âûï. 3, Ñ. 112-121.
[5] Hecke E., Eber Analytische Funktionen und die Verteilung von Zahlen mod.
eins. Math. Sem. Hamburg. Univ. Bd. 1 (1921), P. 54-76.
usz related to uniform distribution
[6] Kesten H. On a conjecture of Erdos and Sz
mod 1 // Acta Arithmetica. -1966. -V. 12. P. 193-212.
[7] Liardet P. Regularities of distribution // Compositio Math. -1987. -V. 61. -P.
267-293.
[8] Rauzy G. Nombres algebriques et substitutions // Bull. Soc. Math. France, 110
(1982), 147-178.
[9] Sz
usz R., Uber
die Verteilung der Vielfachen einer komplexen Zahl nach dem
Modul des Einheitsquadrats // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 5 (1954), 35-39.
die Gibbs'sche Erscheinung und verwandte Konvergenzph
a[10] Weyl H. Uber
nomene // Rendicontidel Circolo Mathematico di Palermo. -1910. -V. 30. -P.
377-407.
Âëàäèìèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. À. Ã. è Í. Ã. Ñòîëåòîâûõ.
Ïîñòóïèëî 13.12.2011