2 2010 Î íóëÿõ ôóíêöèé êëàññîâ

2
2010
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
ÓÄÊ 517
Ð. Â. Äàëëàêÿí
Î íóëÿõ ôóíêöèé êëàññîâ X¸1
(Ïðåäñòàâëåíî àêàäåìèêîì Â.Ñ. Çàõàðÿíîì 19/I 2010)
Êëþ÷åâûå ñëîâà:
ïîðÿäîê ôóíêöèè ¸, êëàññû X¸1 , íåðàâåíñòâî Éåíñåíà,
ïðîèçâåäåíèÿ Ì. Ì. Äæðáàøÿíà
Ïóñòü D – åäèíè÷íûé êðóã íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, H( D) –
ìíîæåñòâî âñåõ ãîëîìîðôíûõ â D ôóíêöèé.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ¸ –
ìîíîòîííî ðàñòóùàÿ, íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ íà [1 ; +1) . Ñ ôóíêöèåé ¸
ñâÿæåì êëàññ
½
·
µ
¶¸
¾
1
1
X¸ = f 2 H( D) ; jf( z) j · exp Cf ¢ ¸
; z2D :
1 ¡ jzj
Åñëè f 2 H( D) , òî ñèìâîë Zf , êàê îáû÷íî, áóäåò îçíà÷àòü ìíîæåñòâî
íóëåé f â D. Óãëîì Øòîëüöà áóäåì íàçûâàòü óãîë ðàñòâîðà ìåíüøå ¼, c
âåðøèíîé íà îêðóæíîñòè, áèññåêòðèñà êîòîðîãî ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð êðóãà.
Ì.Ì. Äæðáàøÿíîì â [1] äîêàçàíî, ÷òî åñëè ¸( t) = ln t, f 2 X¸1 , f 6´ 0 è Zf
íàõîäèòñÿ â íåêîòîðîì óãëå Øòîëüöà, òî
X
( 1 ¡ j»j) < +1:
(1 )
»2Zf
 [2] óñòàíîâëåíî, ÷òî åñëè Zf íå íàõîäèòñÿ â óãëàõ Øòîëüöà, òî äëÿ ¸( t) ,
¸( t) " +1, ( t ! +1) ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ f 2 X¸1 , f 6´ 0 , òàêàÿ, ÷òî ðÿä (1)
ðàñõîäèòñÿ. Õåéìàíîì è Êîðåíáëþìîì â [3] äîêàçàíî, ÷òî åñëè
J=
Z1 µ
1
¸( t)
t3
¶1=2
1 1 3
dt < +1;
òî äëÿ âñåõ f , f 2 X¸1 , f 6´ 0 , íóëè êîòîðîãî íàõîäÿòñÿ â óãëå Øòîëüöà,
óñëîâèå (1) âûïîëíÿåòñÿ. Åñëè æå J = +1, òî òàêîå óòâåðæäåíèå ìîæåò è
íå èìåòü ìåñòà. Ïîðÿäêîì ôóíêöèè ¸ áóäåì íàçûâàòü ñëåäóþùèé ïðåäåë:
x¸0 ( x)
®¸ = lim
. Ïðè 1 < ®¸ < +1 ïîëíàÿ õàðàêòåðèñòèêà íóëåé ôóíêöèé
x!1 ¸( x)
êëàññà X¸1 ïîëó÷åíà Ô. À. Øàìîÿíîì â [4]. Ïðè ®¸ = 1 è J = +1 îäèí âàæíûé
ðåçóëüòàò (íî íå ïîëíàÿ õàðàêòåðèñòèêà íóëåé êëàññà X¸1 ) ïîëó÷åí â ðàáîòå
[5].
 íàñòîÿùåé ðàáîòå òàêæå èññëåäóþòñÿ íóëè ôóíêöèé êëàññîâ X¸1 , êîãäà
®¸ êîíå÷íà. Íî ñíà÷àëà äîêàçûâàåòñÿ òåîðåìà, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì
íåðàâåíñòâà Éåíñåíà. Îòìåòèì, ÷òî çäåñü ®¸ ìîæåò áûòü êàê áåñêîíå÷íûì,
òàê è ëþáûì ïîëîæèòåëüíûì ÷èñëîì.
µ
¶
1
Òåîðåìà 1. Ïóñòü k( r) = ¸
– íåîòðèöàòåëüíàÿ, ìîíîòîííî
1 ¡r
k 0 ( r)
ðàñòóùàÿ, äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ íà [0 ; 1 ) è
òàêæå ÿâëÿåòñÿ
k( r)
ìîíîòîííî ðàñòóùåé ôóíêöèåé. Òîãäà, åñëè f 2 Xk1 , f 6´ 0 , òî
n( r) · c o n s t ¢k 0 ( r) ;
(2 )
ãäå n( t) – ÷èñëî íóëåé ôóíêöèè f â êðóãå jzj · t.
Çàìå÷àíèå. Êîãäà ®¸ êîíå÷íî è ïîëîæèòåëüíî, òî (2) ìîæíî íàïèñàòü è
â ñëåäóþùåé ôîðìå:
k( r)
:
(3 )
1 ¡r
Ïðè 1 < ®¸ < +1 òàêîé ðåçóëüòàò ïîëó÷åí è â [4].
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè f 2 X¸1 , f 6´ 0 , òî èç íåðàâåíñòâà Éåíñåíà èìååì
n( r) · c o n s t ¢
Zr
n( t)
dt · c o n s t ¢¸
t
0
µ
1
1 ¡r
¶
;
0 <r<1 :
Îòñþäà ñëåäóåò âåðíîñòü ñëåäóþùåãî íåðàâåíñòâà:
Zx+"
n( t)
dt · c o n s t ¢¸
t
x
µ
1
1 ¡ ( x + ")
¶
;
0 <x <x+"<1 :
À èç ïîñëåäíåãî ñëåäóåò, ÷òî
¸
n( x) · c o n s t ¢ in f
">0
Íî òàê êàê " > 1 ¡ e¡" , òî ïîëó÷àåì
³
´
1
¸ 1¡(x+")
n( x) · c o n s t ¢ in f
;
">0
"
1 1 4
³
1
1¡(x+")
"
´
:
0 <x<x+"<1 :
(4 )
Ïóñòü Ã( x) = ln ¸
µ
¶
1
, òîãäà (4) ïðèìåò âèä:
1 ¡x
eÃ(x+")
;
">0 1 ¡ e¡"
n( x) · c o n s t ¢ in f
0 <x <x+"<1 :
(5 )
Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî íàïèñàííàÿ â (5) íèæíÿÿ ãðàíü äîñòèãàåòñÿ â
òîé òî÷êå "x , ãäå âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî:
¶
µ
1
:
(6 )
"x = ln 1 + 0
à ( x + "x )
Èç (5), èñïîëüçóÿ (6), ïîëó÷àåì
n( x) · c o n s t ¢
Íî 1 ¡ e¡"x =
1
1 + Ã 0 ( x + "x )
>
eÃ(x+"x )
:
1 ¡ e¡"x
1
à 0 ( x + "x )
(7 )
, ñëåäîâàòåëüíî èç (7) èìååì
n( x) · c o n s t ¢Ã 0( x + "x ) ¢ eÃ(x+"x ) :
(8 )
Ïîëüçóÿñü (6) è òåîðåìîé î ñðåäíåì, ìîæåì íàïèñàòü
·
¸
à 00 ( »)
0
0
à ( x + "x ) = e xp ln à ( x) + "x ¢ 0
=
à ( »)
µ
¶¸
·
1
Ã00( »)
0
ln 1 + 0
·
= e xp ln à ( x) + 0
à ( ») ¸
à ( x + "x )
·
Ã00( »)
· e xp ln Ã0 ( x) + 0
; 0 < x < " < x + "x < 1 :
à ( »)
À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
à 0( x + "x ) · c o n s t ¢Ã0 ( x) :
(9 )
Èç òåîðåìû î ñðåäíåì, èñïîëüçóÿ (6), òàêæå èìååì
e xp Ã( x + "x ) = ( e xp· Ã( x) ) ¢ e xp ( "xµÃ0 ( ») ) ·
¶¸
1
0
· ( e xp Ã( x) ) ¢ e xp à ( x + "x ) ¢ ln 1 + 0
=
à ( x + "x )
µ
¶Ã0 (»+"x )
1
· c o n s t ¢eÃ(x) :
= eÃ(x) ¢ 1 + 0
à ( » + "x )
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èëè
e xp Ã( x + "x ) · c o n s t ¢ e xp Ã( x) :
Èç (8), ïîëüçóÿñü (9) è (10), ïîëó÷àåì
n( x) · c o n s t ¢Ã 0( x) ¢ eÃ(x) :
1 1 5
(1 0 )
Îòêóäà, èñïîëüçóÿ âèä ôóíêöèè Ã, ïîëó÷àåì
µ
¶ µ
µ
¶¶0
1
1
n( x) · c o n s t ¢¸
¢ ln ¸
:
1 ¡x
1 ¡x
Çíà÷èò, óòâåðæäåíèå òåîðåìû âåðíî.
1
Òåîðåìà 2. Ïóñòü k( r) = ¸(
) , r 2 [0 ; 1 ) , – íåîòðèöàòåëüíàÿ, ìîíîòîííî
1 ¡r
ðàñòóùàÿ, äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ êîíå÷íîãî ïîðÿäêà ®¸ . Òîãäà,
åñëè f 2 X¸1 , f 6´ 0 è fzk g ÿâëÿþòñÿ íóëÿìè ýòîé ôóíêöèè, òî äëÿ ëþáîãî s,
s > 1 , è äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà m âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå óñëîâèå:
1
X
k=1
ãäå ln
k( jzn j) ¢
m¡1
Q
j=0
1 ¡ jzk j
³
´ ³
1
ln j 1¡jz
¢ ln
kj
m
³
1
1¡jzk j
´´s < +1;
(1 1 )
x = ln ( ln j¡1 x) , j ¸ 2 , ln 0 x = 1 , ln 1 x = ln x.
È îáðàòíî, åñëè äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà m è äëÿ íåêîòîðîãî
÷èñëà s, s > 1 , âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (11), òî ñóùåñòâóþò f , f 6´ 0 èç êëàññà X¸1
è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fzk0 g, òàêàÿ, ÷òî jzk0 j = jzk j è f( zk0 ) = 0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïåðâîé ÷àñòè òåîðåìû çàìåòèì, ÷òî
j
1
X
k=1
=
k( jzk j) ¢
Z1
0
k( t) ¢
m¡1
Q
j=1
m¡1
Q
j=1
1 ¡ jzk j
³
´³
1
ln j 1¡jzk j ln
ln
j
1 ¡t
¡ 1 ¢¡
1¡t
ln
m
¡
m
³
1
1¡t
1
1¡jzk j
¢¢s
´´s =
(1 2 )
dn( t) :
Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì è ïîëüçóÿñü ðåçóëüòàòîì ñëåäñòâèÿ òåîðåìû 1,
íåòðóäíî äîêàçàòü ñõîäèìîñòü ïîñëåäíåãî èíòåãðàëà. Îòêóäà è ñëåäóåò, ÷òî
ïåðâàÿ ÷àñòü òåîðåìû äàêàçàíà.
Òåïåðü äîêàæåì îáðàòíîå. Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà m
è äëÿ íåêîòîðîãî s, s > 1 , âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (11). Òîãäà èç (12) ñëåäóåò,
k( t)
÷òî ìîæåì âçÿòü n( t) =
. Ì.Ì. Äæðáàøÿíîì [1, 6] ââåäåíî ñëåäóþùåå
1 ¡t
áåñêîíå÷íîå ïðîèçâåäåíèå:
¯
¯3
2
¯
1 Z¼
½eiµ ¯
µ
¶
2 ®
Z
1
( 1 ¡ ½ ) ln ¯1 ¡ zk ¯
Y
z
2 ( ®+1 )
5 ; z 2 D;
¼® ( z; zk ) =
1 ¡
¢ e xp 4¡
¡iµ ) ®+2
z
¼
(
1
¡
z½e
k
k=1
0 ¡¼
ïðè÷åì óñòàíîâëåíî, ÷òî îíî ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ âíóòðè êðóãà D, åñëè èìååò
ìåñòî ñëåäóþùåå óñëîâèå:
1
X
( 1 ¡ jzk j)
k=1
1 1 6
®+2
< +1:
(1 3 )
 ýòèõ ðàáîòàõ îñîáî îòìå÷åíî, ÷òî ïðè öåëûõ ®, ® = p ïðîèçâåäåíèå
¼p ( z; zk ) ïðèíèìàåò âèä
" p
¶
µ
¶j+1#
1 µ
X 1
Y
1 ¡ jzn j2
1 ¡ jzn j2
1 ¡
¢ e xp
:
¼p ( z; zk ) =
1
¡
z
j
+
1
1
¡
z
z
nz
n
j=0
k=1
Êàê è â [4], ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñëåäóþùèå ïðÿìîóãîëüíèêè:
¾
½
1
1
¼l
¼( l + 1 )
;
¢ k;l = z; 1 ¡ k < jzj · 1 ¡ k+1 ; k < a r g z ·
2
2
2
2 k
 êðóãå jzj · 1 ¡
2
îöåíêó
1
¡2
k+1
k
·l·2
k
¡1 ;
(1 4 )
h = 1 ;2 ;:::
äëÿ êîëè÷åñòâà òî÷åê zk áóäåì èìåòü ñëåäóþùóþ
µ
n 1 ¡
2
1
k+1
¶
·2
k+1
¢ ¸( 2
k+1
):
(1 5 )
¢ ¸( 2 k ) :
(1 6 )
Òàê êàê ¸ – ôóíêöèÿ êîíå÷íîãî ïîðÿäêà,
¸( 2
k+1
) = ¸( 2 ¢ 2 k ) · c o n s t ¢2
Ó÷èòûâàÿ ýòîò ôàêò, èç (15) ïîëó÷àåì
µ
¶
1
n 1 ¡ k+1 · c o n s t ¢2
2
k
k
¢ ¸( 2 k ) :
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìîæíî âûáðàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fzk0 g òàêóþ, ÷òî jzk0 j = jzk j,
à àðãóìåíòû òî÷åê zk0 òàêèå, ÷òî âî âñåõ ïðÿìîóãîëüíèêàõ (14) êîëè÷åñòâî òî÷åê
zk0 íå ïðåâûøàåò c o n s t ¢¸( 2 k ) . Òîãäà âûáðàííàÿ íàìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fzk0 g
òàêàÿ, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà m è äëÿ íåêîòîðîãî ÷èñëà s, s > 1 ,
èìååò ìåñòî (12) è êîëè÷åñòâî òî÷åê zk0 â êàæäîì èç ïðÿìîóãîëüíèêîâ ¢ k;l íå
ïðåâîñõîäèò c o n s t ¢¸( 2 k ) . Òåïåðü ðàññìîòðèì ïðîèçâåäåíèå Ì.Ì. Äæðáàøÿíà,
íóëÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ âûáðàííûå íàìè òî÷êè zk0 .
 [4] (ñ. 416) äîêàçàíî, ÷òî åñëè 0 < ®¸ < +1 è fzk0 g ½ D ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê, ÷èñëî êîòîðûõ â êàæäîì ïðÿìîóãîëüíèêå íå ïðåâîñõîäèò
c o n s t ¢¸( 2 k ) , òî ïðîèçâåäåíèå ¼®( z; zn ) ïðèíàäëåæèò êëàññó X¸1 äëÿ âñåõ ® >
®¸ + 1 .
Òàêèì îáðàçîì, âòîðàÿ ÷àñòü òåîðåìû òîæå äîêàçàíà.
Ïðÿìûì
ñëåäñòâèåì ýòîé òåîðåìû ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå
µ
¶ óòâåðæäåíèå. µ
¶
1
1
Òåîðåìà 3. Ïóñòü K( r) = ¸
è K1 ( r) = ¸1
– äâå
1 ¡r
1 ¡r
íåîòðèöàòåëüíûå, ìîíîòîííî ðàñòóùèå, äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè
K( r)
êîíå÷íîãî ïîðÿäêà íà [0 ; 1 ) . Òîãäà, åñëè lim
= +1, òî ñóùåñòâóåò
r!1 K1 ( r)
1 1 7
1
1
ôóíêöèÿ f , f 6´ 0 , f 2 XK
, òàêàÿ, ÷òî êàæäàÿ ôóíêöèÿ g , g 2 XK
, èìåþùàÿ òå
1
æå íóëè, ÷òî è f , òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ.
Äîêàçàòåëüñòâî.  êà÷åñòâå ôóíêöèè f áóäåì áðàòü ïîñòðîåííîå íàìè
ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 2 ïðîèçâåäåíèå Ì.Ì. Äæðáàøÿíà. Çàìåòèì, ÷òî
K( r)
ìû áðàëè n( r) =
. Íî èç ñëåäñòâèÿ òåîðåìû 1 ñëåäóåò, ÷òî íè îäíà
1 ¡r 1
ôóíêöèÿ g èç êëàññà XK1 , çà èñêëþ÷åíèåì g ´ 0 , íå ìîæåò èìåòü ñòîëüêî
íóëåé â êðóãå jzj · r. Òåîðåìà äîêàçàíà.
Çàìåòèì, ÷òî êîãäà m = 1 , òåîðåìà 1 ïðèíèìàåò äîâîëüíî ïðîñòîé âèä,
óäîáíûé äëÿ ïðèìåíåíèÿ, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå (11) ïðèìåò âèä
1
X
k=1
1 ¡ jzn j
< +1;
1
K( jzn j) ¢ ln s 1¡jz
j
n
s>1 :
(1 7 )
r 2 ( 0 ;1 ) :
(1 8 )
Ïóñòü, êàê è â [5],
Zr à ¡ 1 ¢ !1=2
¸ 1¡t
J( r) =
dt;
1 ¡t
0
Òîãäà ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå
óòâåðæäåíèå:
µ
¶
1
Òåîðåìà 4. Ïóñòü K( r) = ¸
, r 2 [0 ; 1 ) , íåîòðèöàòåëüíàÿ, ìîíîòîííî
1 ¡r
ðàñòóùàÿ, äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ êîíå÷íîãî è îòëè÷íîãî îò
íóëÿ ïîðÿäêà. Òîãäà ñóùåñòâóåò f , f 2 X¸1 , f 6´ 0 , f( zk ) = 0 , òàêàÿ, ÷òî êàæäàÿ
ôóíêöèÿ g , g 2 X¸1 , äëÿ êîòîðîé g( jzk j) = 0 , òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè 1 < ®¸ < +1 òàêîé ïðèìåð ïðèâåäåí â [4]. Ïóñòü
®¸ = 1 è J = +1. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
fzk g òàêàÿ, ÷òî ðÿä (16) ñõîäèòñÿ è
1
X
k=1
( J( jzn j) )
2
¢
m¡1
Q
j=0
1 ¡ jzk j
= +1;
ln j ( J( jzn j) ) ¢ ( ln
m
J( jzn j) )
a>1 :
a
 êà÷åñòâå f âîçüìåì ïîñòðîåííîå íàìè ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû
2 ïðîèçâåäåíèå Ì.Ì. Äæðáàøÿíà. Èç ðåçóëüòàòà [5] ñëåäóåò, ÷òî ëþáàÿ
ôóíêöèÿ g, g 2 X¸1 , äëÿ êîòîðîé g( jzk j) = 0 , òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ.
Òåïåðü ïóñòü I < +1. Òîãäà ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fzk g òàêàÿ,
÷òî ðÿä (16) ñõîäèòñÿ, à ðÿä (1) ðàñõîäèòñÿ. Êàê è âûøå, â êà÷åñòâå f áóäåì
áðàòü ïðîèçâåäåíèå Ì.Ì. Äæðáàøÿíà, ïîñòðîåííîå â òåîðåìå 2. Òîãäà, åñëè
g 2 X¸1 , g( jzk j) = 0 , òî g( z) ´ 0 .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ãîñóäàðñòâåííûé èíæåíåðíûé óíèâåðñèòåò Àðìåíèè
1 1 8
Ð. Â. Äàëëàêÿí
Î íóëÿõ ôóíêöèé êëàññîâ X¸1
Ïîëó÷åíà õàðàêòåðèñòèêà íóëåé ôóíêöèé êëàññà X¸1 , êîãäà ¸ ÿâëÿåòñÿ
ôóíêöèåé êîíå÷íîãî ïîðÿäêà, è êàê ñëåäñòâèå ïðèâåäåíà îäíà òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè äëÿ ýòèõ êëàññîâ.
è. ì. ¸³ÉɳùÛ³Ý
X¸1 -¹³ëÇ ½ñáÝ»ñÇ Ù³ëÇÝ
îñí³Í ¿ X¸1 ¹³ë»ñÇ µÝáõó·ÇñÁ, áñï»Õ ¸-Ý í»ñç³íáñ ϳñ·Ç ýáõÝÏódz ¿, »õ áñå»ë
Ñ»ï»õ³Ýù µ»ñí³Í ¿ Ù»Ï Ã»áñ»Ù ³Û¹ ¹³ë»ñáõÙ ÙdzÏáõÃÛ³Ý Ù³ëÇÝ:
R. V. Dallakyan
About the Zeros of X¸1 Classes
The characteristic of the zeros of X¸1 classes is given in the word, where ¸ is a
function of bounded order and as a consequence it is given a theorem of the unity for
these classes.
Ëèòåðàòóðà
1. Äæðáàøÿí Ì.Ì. - Ñîîáù. Èí-òà ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÀÍ ÀðìÑÑÐ. 1948.
Âûï. 2. Ñ. 3-55.
2. Bagemihl F., Erdos P., Seidel W. - Ann. Sci. Ecole Norm. 1953. Sup. 3. V. 70.
P. 135-147.
3. Hayman W.K., Korenblum B. - Michigan Math. J. 1980. V. 27. P. 21-304.
4. Øàìîÿí Ô.À. - Èçâ. ÀÍ ÀðìÑÑÐ. Ìàòåìàòèêà. 1987. Ò. 13. N 5-6. Ñ. 405422.
5. Äàëëàêÿí Ð. Â. - ÄÀÍ ÀðìÑÑÐ. 1988. Ò. 87. N 3. Ñ. 99-103.
6. Äæðáàøÿí Ì.Ì. - ÄÀÍ ÀðìÑÑÐ. 1945. Ò. 3. N 1. Ñ. 3-9.
1 1 9