сфера) приведено распределение плотности ~р =р2 (я, 0/рг(0, 0

<сфера) приведено распределение плотности ~ р = р 2 ( я , 0 / р г ( 0 , 0) и давления р =
=Р2.{х, 0 / ^ 2 ( 0 , 0) на оси симметрии течения п р и р а з н ы х временах ( М о о — 6 , 1 = 1 , 4 ) .
Видно, что сначала плотность возрастает от волны к телу, в согласии с [ 6 ] , а затем
на кривой возникает максимум, п е р е м е щ а ю щ и й с я к поверхности тела.
Литература
1 Грудницкий
В. Г., Прохорчук
Ю. А. Расчет д и ф р а к ц и и ударной волны на криво­
линейной поверхности.— Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1975, т. 15, № 5,
с. 1525-1534.
2. Moran J. P., Van-Moorhem
W. К. Diffraction of a plane shock by a n analytic b l u n t
b o d y . - J. Fluid Mech., 1969, v. 38, № 1, p. 127-137.
3 . Васильев
M. M. Отражение сферической ударной волны от п л о с к о с т и . - В кн.:
Вычисл. матем. М.: Изд-во АН СССР, 1960, № 6, с. 8 7 - 9 9 .
4. Носенко Н. И., Сысоев Ц. Н., Шугаев Ф. В. Н а ч а л ь н а я стадия о т р а ж е н и я плоской
ударной волны от цилиндра, сферы и эллипсоида в р а щ е н и я . — И з в . АН СССР.
Механ. жидкости и газа, 1980, № 2, с. 94-100.
3 . Курант Р., Фридрихе
К.
Сверхзвуковое течение и ударные волны. М.: Изд-во
иностр. лит., 1950.
6. Знаменская
И. А., Рязин А. П., Шугаев Ф. В. Об особенности распределения параметров газа н а начальной стадии о т р а ж е н и я ударной волны от сферы и
цилиндра.— Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа, 1979, № 3, с. 103—110.
;
'"
,
Поступила в редакцию 8.Х.1981
У Д К 519.7
Н И Ж Н Я Я ОЦЕНКА ЧИСЛА НЕРАВЕНСТВ, ПРЕДСТАВЛЯЮЩИХ
МОНОТОННУЮ Б У Л Е В У Ф У Н К Ц И Ю ОТ п П Е Р Е М Е Н Н Ы Х
ЗУЕВ
Ю. А., ТРИШИН
В. Н.
С Москва)
Показывается, что существует монотонная булева ф у н к ц и я от п пе­
ременных, д л я представления которой в виде системы линейных нера­
венств с п булевыми переменными требуется не менее /
\ п~* нера\ [п/2] J
венств.
I
Пусть дана система линейных неравенств
N
!
•
п
(1)
'^aijXj^bi,
г=1,2,...,т,
где коэффициенты ац, Ь -, i = l , 2,
, га, / = 1, 2,
д г , - н е о т р и ц а т е л ь н ы е действи­
тельные числа, а переменные х^ / = 1 , 2, . . . , щ булевы.
С к а ж д о й такой системой можно связать монотонную булеву функцию (м.б.ф.)
(p(#i,
х )=у(х)
такую, чтб ф ( я ) = 0 , если я - допустимое решение системы не­
равенств (1), и ф ( £ ) = 1 в противном случае. Обратно: д л я любой м.б.ф. <р(£) найдет­
ся система неравенств вида (1), вообще говоря неединственная, п р е д с т а в л я ю щ а я
<p(£) (см. [ 1 ] ) .
В связи с этим возникает вопрос, к а к и м минимальным числом L(n) неравенств
можно обойтись, чтобы записать любую м.б.ф. <р(х) в виде (1). Из [1] следует, что
г
п
L(ri)<(
\ . Результатом н а с т о я щ е й работы я в л я е т с я
Теорема.
754
Справедливо
неравенство
L(n)^
I
\{п/2]
\ и
)
- 1
.
1
Д л я доказательства н а м потребуются две вспомогательные леммы, приводимыен и ж е . Напомним некоторые определения.
Булев гс-мерный вектор . а = (at, . . . . ,
а)
п
н а з ы в а е т с я н и ж н е й единицей м.б.ф. ф ( £ ) , если ф ( а ) = 1 , и д л я всякого булева я-мерного вектора р и з р < а вытекает, что ф ( Р ) = 0 . Множество всех векторов единичного*
гс-мерного куба, и м е ю щ и х ровно к единил,, н а з ы в а е т с я к-м слоем. Расстоянием Хем­
минга между булевыми га-мерными векторами а и р н а з ы в а е т с я число
р ( а ^ ) = - ^ - | а ф | ,
равное числу координат, в которых они различаются.
Л е м м а 1. Пусть все нижние единицы м.б.ф.'ф(х)
лежат в к-м слое и расстоя­
ние Хемминга между любыми двумя из них не меньше 4. Тогда для
представления.
ф(я) в виде ( 1 ) требуется число неравенств, не меньшее числа ее нижних
единиц*
Д о к а з а т е л ь с т в о . Покажем, что л ю б а я гиперплоскость отделяет не более*
одной н и ж н е й единицы м.б.ф! ф ( £ ) от множества векторов, н а которых эта ф у н к ц и я
принимает значение 0. Допустим противное, т. е. существуют две н и ж н и е е д и н и ц ы
a, р и гиперплоскость
п
ajXj = b
|
т а к а я , что
j=i
а для любого вектора
>=i
где ф!(ч) = 0 , в ы п о л н я е т с я неравенство
Пусть а и р в координатах с номерами г и s различаются и a = l , . p = 0 ,
r
a =0
r
s
T
.' I
p =l.
s
Если a ^a ,
то для векто|ра 1 = (Pi, . . . , $> -u a , p + i , . . . , Р«-ь a , * p i , . . . , p )>
л е ж а щ е г о в /с-м слое, с одной| стороны, в ы п о л н я е т с я строгое неравенство
r
а с
s
r
другой стороны, так к а к р.(т,
Р ) = 2 , имеем
r
r
8
фОу)=0.
Получили
s+
n
противоречие.
В случае a <a
следует рассмотреть вектор 1 = (cti, . . . . , a . - i , Pr, a + i ,
, a _i, p
<x +i, . . . , a ) .
Л е м м а 2. В к-м слое существует множество векторов, мощностью: не менее
r
s
s
r
s
S r
n
таких, что расстояние
Q
r
N
~
Хемминга
между любыми
двумя
из них не
меньше
L
4 (см. [ 2 ] ) .
|
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим отображение Т (а) векторов k-то слоя на мно­
жество классов вычетов по модулю п:
Т (а) =
./а ( m o d тг).
r
1
Легко проверить, что для любого S, 0<£<и—1,- множество 6 i = r - ( i ) обладает требуе­
м ы м свойством.
755
Так к а к | С | + . . . +
0
= ^ ^j ,
то по крайней мере д д я одного i имеем
Положив к=[п/2],
из лемм 1 и 2 получаем утверждение теоремы.
. • '
Д а н н а я оценка свидетельствует, в частности, о том, что возможность точного
Агрегирования неравенств в многомерной задаче о ранце в общем случае весьма
ограничена. Так, например, существует многомерная задача о ранце с 20 булевыми
переменными и числом неравенств не менее 9238, множество доцустимых р е ш е н и й
которой н е л ь з я задать меньшим числом неравенств.
Литература
1 Коробков В. К. О некоторых целочисленных задачах линейного программирова­
н и я . - В кн.: Пробл. кибернетики. Вып. 14. М.: Наука, 1965, с. 297-299.
2. Graham R. L., Sloane N. J. A. Lower bounds for constant w e i g h t codes.— I E E E T r a n s .
!
Inform. Theory, 1980, v. 26, № 1, p. 3 7 - 4 3 .
Поступила в редакцию 24.1П. 1982
Переработанный вариант 24.XI.1982
УДК 519.854.2
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОРГАНИЗАЦИИ О Б Р А Б О Т К И Д А Н Н Ы Х НА ЭВМ
БРУШЛИНСКАЯ
Н. II.,
ДОРОФЕЕВА
М. П.,
О ВС ЯН КИП
Б. Н-,ШНЕНЕВ
В.
М.
(Москва)
Описан способ построения всех допустимых расписаний для р е ш е н и я
. на однопроцессорной ЭВМ п р и разрешении прерываний системы задач
с известными временами р е ш е н и я и директивными сроками н а ч а л а и *
окончания решения.
Пусть S={z
z } - множество задач, для к а ж д о й из которых задано время
р е ш е н и я U и директивные сроки начала р е ш е н и я 6* и окончания р е ш е н и я
/г. Рассматривается
вопрос построения
допустимых
расписаний д л я реше­
н и я задач множества S на однопроцессорной ЭВМ. Предполагается, что в процессе
выполнения р а з р е ш е н ы п р е р ы в а н и я любой задачи, на прерывание не расходуется
Дополнительное время и все числа hi, f% и U целые.
Если д л я любой задачи zi^S выполнено условие 0 < ^ < / г & г , то описанное мно­
жество задач S будем называть GM-системой.
Построение допустимых расписаний для такого рода систем рассматривалось в
работах [1] —[7]. Известны различные необходимые и достаточные условия суще­
ствования допустимых расписаний [1] —[5] и различные методы построения некото­
рых допустимых расписаний [ 1 ] - [ 6 ] .
;
В н а с т о я щ е й работе приводится конструктивное доказательство теоремы, анало­
гичной теореме из [4], [5], о существовании допустимых расписаний, которое содер­
ж и т алгоритм построения всех допустимых расписаний.
Пусть задачи ОМнсистемы S занумерованы по неубыванию директивных сроков
окончания р е ш е н и я . Д л я удобства будем считать, что минимальное из чисел &г=0,
а макдимальное из чисел /г обозначим через Т.
О п р е д е л е н и е 1. Функцию Р: [0, т]-> {0, 1, . . . , N}, где 0 < т < 7 \ назовем т-допустимым расписанием д л я GM-системы S, если Р я в л я е т с я кусочно-постоянной,
непрерывной оправа функцией, все ее точки разрывов - целые числа и выполняются
u
N
_
756
-