Листок 17

Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç II
Ëèñòîê 17
Ïîñëåäíèé ñðîê ñäà÷è çàäà÷: 12 àïðåëÿ 2011 ãîäà.
Ýëåìåíò äëèíû è ýëåìåíò îáúåìà.
1) Íàéäèòå äëèíó êðèâîé, çàäàííîé óðàâíåíèåì x2/3 + y 2/3 = 1.
2) Íàéäèòå ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè â R3 , çàäàííîé óñëîâèÿìè z = xy , x2 + y 2 6 1.
3) Íàéäèòå ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè â R3 , çàäàííîé óñëîâèÿìè z 2 = 2xy , x > 0, y > 0, z > 0,
x + y 6 1.
4) Íàéäèòå ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè òîðà â R4 , çàäàííîãî óðàâíåíèÿìè x21 + x22 = 1, x23 + x24 = 1.
5) Íàéäèòå ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè òîðà â R3 , ïîëó÷åííîãî âðàùåíèåì îêðóæíîñòè ñ óðàâíåíèÿìè (x − 2)2 + y 2 = 1, z = 0 âîêðóã îñè Oy .
6) Íàéäèòå ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè, ïîëó÷åííîé âðàùåíèåì ãðàôèêà ôóíêöèè y = tg x, 0 6 x 6
π
, âîêðóã îñè Ox.
4
7) Ïóñòü X åäèíè÷íàÿ ñôåðà â R3 , çàäàííàÿ óðàâíåíèåì x2 + y 2 + z 2 = 1, ds ýëåìåíò
ïëîùàäè íà ñôåðå. Íàéäèòå
∫
(x + y + z)ds.
X
8) Ïóñòü X åäèíè÷íàÿ ñôåðà â R3 è ïóñòü Y öèëèíäð â R3 , çàäàííûé óðàâíåíèåì
x2 + y 2 = 1; ÷åðåç dsX è dsY îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòû ïëîùàäè. ×åðåç φ
îáîçíà÷èì ïðîåêöèþ ñôåðû íà öèëèíäð èç ïðÿìîé Oz ïåðïåíäèêóëÿðíî ýòîé ïðÿìîé.
Ñðàâíèòå ôîðìû dsX è φ∗ dsY .
9) Ðàññìîòðèì â Rn ôîðìó
ω = x1 dx2 ∧ · · · ∧ dxn − x2 dx1 ∧ dx3 ∧ · · · ∧ dxn + · · · + (−1)n−1 xn dx1 ∧ · · · ∧ dxn−1 .
(â k -ì ñëàãàåìîì ïðîïóùåíî dxk è èìååòñÿ êîýôôèöèåíò xk , çíàêè ÷åðåäóþòñÿ). Äîêàæèòå,
÷òî îãðàíè÷åíèå ω íà åäèíè÷íóþ ñôåðó ñîâïàäàåò ñ ôîðìîé îáúåìà íà íåé.
Èíêàðíàöèè òåîðåìû Ñòîêñà.
10) Ïóñòü v âåêòîðíîå ïîëå íà ïëîñêîñòè V = R2 èëè â ïðîñòðàíñòâå V = R3 , è ïóñòü
γ : [a, b] → V êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ. Áóêâà r áóäåò îáîçíà÷àòü ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè
â V (òî åñòü r = (x, y) èëè r = (x, y, z)). Ëèíåéíûì èíòåãðàëîì ïîëÿ v âäîëü êðèâîé
∫
∫b
γ íàçûâàåòñÿ èíòåãðàë γ v(r)dr = a (v, γ̇(t))dt. Åñëè êðèâàÿ γ çàìêíóòà, òî ëèíåéíûé
èíòåãðàë ïî íåé íàçûâàåòñÿ öèðêóëÿöèåé v âäîëü γ . Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîé ãëàäêîé
ôóíêöèè f , çàäàííîé íà îáëàñòè D ⊆ V , è ëþáîé êóñî÷íî-ãëàäêîé êðèâîé γ â D, ìû
èìååì
∫
grad f (r) dr = f (γ(b)) − f (γ(a)).
γ
 ÷àñòíîñòè, öèðêóëÿöèÿ ãðàäèåíòà ïî çàìêíóòîé êðèâîé ðàâíà íóëþ.
11) Ïóñòü v(x, y) = (v 1 (x, y), v 2 (x, y)) âåêòîðíîå ïîëå íà ïëîñêîñòè. Åãî âèõðåì íàçûâàåòñÿ
2
1
ôóíêöèÿ curl v = ∂v
− ∂v
. Äîêàæèòå ôîðìóëó Ãðèíà:
∂x
∂y
∫
∫
v(r) dr =
curl v dx dy,
C
D
ãäå D îáëàñòü, îãðàíè÷åííàÿ êóñî÷íî-ãëàäêèì çàìêíóòûì êîíòóðîì C (âîçìîæíî, èç
íåñêîëüêèõ êîìïîíåíò), è ïðè èíòåãðèðîâàíèè êîíòóð C ïðîõîäèòñÿ â òàêîì íàïðàâëåíèè,
÷òîáû îáëàñòü D îñòàâàëàñü
ñëåâà.
∫
12) Âû÷èñëèòå èíòåãðàë C (xy 2 dx − x2 ydy), ãäå C = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = R2 } îêðóæíîñòü
ðàäèóñà R.
13) Ïóñòü v âåêòîðíîå ïîëå â ïðîñòðàíñòâå. Ïîòîêîì
âåêòîðíîãî ïîëÿ v ÷åðåç îðèåíòèðî∫
âàííóþ ïîâåðõíîñòü S íàçûâàåòñÿ èíòåãðàë S (v, n)ds, ãäå n âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ê
S åäèíè÷íîé äëèíû, à ds ýëåìåíò ïëîùàäè íà ïîâåðõíîñòè S .
∂
∂
∂
Ïîëîæèì ∇ = ( ∂x
, ∂y
, ∂z
) (òðåõìåðíûé âåêòîð, ñîñòîÿùèé èç îïåðàòîðîâ). Äèâåðãåíöèåé
âåêòîðíîãî ïîëÿ v íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ div v = ∇ · v (ôîðìàëüíîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
âåêòîðîâ). Äîêàæèòå ôîðìóëó ÃàóññàÎñòðîãðàäñêîãî
∫
∫
(v, n) ds =
div v dx dy dz,
S
D
ãäå D îáëàñòü â ïðîñòðàíñòâå, îãðàíè÷åííàÿ çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ S .
14) Íàéäèòå îáúåì ïîëíîòîðèÿ òåëà, îãðàíè÷åííîãî ïîâåðõíîñòüþ èç çàäà÷è 5.
15) Ðîòîðîì âåêòîðíîãî ïîëÿ v íàçûâàåòñÿ âåêòîðíîå ïîëå rot v = ∇ × v (ôîðìàëüíîå âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàñêðûâàåòñÿ êàê îáû÷íî). Äîêàæèòå ôîðìóëó Ñòîêñà
∫
∫
v dr = (rot v, n) ds,
C
S
ãäå S îðèåíòèðîâàííàÿ ïîâåðõíîñòü â ïðîñòðàíñòâå, çàòÿãèâàþùàÿ çàìêíóòûé êîíòóð
C , (ñôîðìóëèðóéòå óñëîâèå ñîãëàñîâàíèÿ îðèåíòàöèé S è C ).
16) Âû÷èñëèòå èíòåãðàë
∫
(x2 − yz)dx + (y 2 − xz)dy + (z 2 − xy)dz
γ
ïî îòðåçêó âèíòîâîé ëèíèè
x = a cos t,
y = a sin t,
z=
2
h
t,
2π
0 6 t 6 2π.