Ëèñòîê 3. Ïðåäåë ôóíêöèè, íåïðåðûâíîñòü.

3.
Ëèñòîê
Ïðåäåë ôóíêöèè, íåïðåðûâíîñòü.
Àíàëèç, 1 êóðñ, 23.10.2013
Ñðîê ñäà÷è ëèñòêà 13 íîÿáðÿ.
310
Ìàêñèìàëüíàÿ îöåíêà çà òðåòèé ëèñòîê ñòàâèòñÿ, åñëè ïî íåìó íàáðàíî íå ìåíåå 16 áàëëîâ. Ñäà÷à ðåøåíèÿ
êàæäîé çàäà÷è ñ íîëèêîì èëè ïóíêòà çàäà÷è áåç íîëèêà äàåò îäèí áàëë, çàäà÷è ñî çâåçäî÷êîé äâà áàëëà.
Êðîìå òîãî, çà êàæäóþ íåñäàííóþ çàäà÷ó ñ íîëèêîì ñíèìåòñÿ îäèí áàëë. Çàäà÷à ñ íîëèêîì ñäàåòñÿ òîëüêî
öåëèêîì, â îñòàëüíûõ çàäà÷àõ êàæäûé ïóíêò îöåíèâàåòñÿ îòäåëüíî.
Äîêàæèòå ýêâèâàëåíòíîñòü ñëåäóþùèõ îïðåäåëåíèé ïðåäåëà ôóíêöèè.
Çíà÷åíèå A íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè f (x), f : E → R, â òî÷êå x0 , åñëè
- (Êîøè) äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ òàêîå δ > 0, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ E òàêèõ, ÷òî 0 < |x − x0 | < δ
âûïîëíåíî |f (x) − A| < ε;
- (Ãåéíå) äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }∞
n=0 , xn ∈ E , ñõîäÿùåéñÿ ê x0 , íî íå ñîäåðæàùåé x0 ,
âûïîëíåíî limn→∞ f (xn ) = A;
- äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà D ⊂ E , íå ñîäåðæàùåãî òî÷êè x0 , íî ñîäåðæàùåãî åå â ñâîåì çàìûêàíèè
(x0 ∈
/ D, x0 ∈ D), âûïîëíåíî A ∈ f (D).
Ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå x0 , åñëè îíà îïðåäåëåíà, èìååò ïðåäåë â ýòîé òî÷êå è
f (x0 ) = limx→x0 f (x).
320
Ïóñòü èìåþòñÿ ôóíêöèè f (x), g(x) è f (x) 6 g(x) â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 , è îáå ôóíêöèè
èìåþò ïðåäåëû â ýòîé òî÷êå. Äîêàæèòå, ÷òî limx→x0 f (x) 6 limx→x0 g(x).
330
Ïóñòü ôóíêöèÿ g(x) → B , x → x0 è g(x) íå ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ B â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé
îêðåñòíîñòè x0 , à ôóíêöèÿ f (x) → A, x → B . Äîêàæèòå, ÷òî limx→x0 f (g(x)) ñóùåñòâóåò è ðàâåí A.
340
Äàéòå îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè f (x) â òî÷êå x0 ñëåâà, ñïðàâà è ïðåäåëà ïðè x → +∞ èëè
x → −∞.
Òî÷êîé ðàçðûâà 1-ãî ðîäà ôóíêöèè f (x) íàçûâàåòñÿ òî÷êà x0 , ãäå ñóùåñòâóþò ïðåäåëû limx→x0 −0 f (x)
è limx→x0 +0 f (x) è õîòÿ áû îäèí èç íèõ íå ñîâïàäàåò ñî çíà÷åíèåì ôóíêöèè f (x0 ). Âñå îñòàëüíûå òî÷êè
ðàçðûâà íàçûâàþòñÿ òî÷êàìè ðàçðûâà 2-ãî ðîäà.
350
Ïðèâåäèòå ïðèìåð ôóíêöèè à) èìåþùåé òî÷êó ðàçðûâà 2-ãî ðîäà; á) íåïðåðûâíîé òîëüêî â
îäíîé òî÷êå; â) ðàçðûâíîé âî âñåõ òî÷êàõ ïðÿìîé.
36 à0 ) Äîêàæèòå, ÷òî ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò èìåòü ðàçðûâû òîëüêî ïåðâîãî ðîäà, ò.å. â ëþáîé
òî÷êå x0 îíà èìååò ïðåäåë ñëåâà limx→x0 −0 f (x) è ïðåäåë ñïðàâà limx→x0 +0 f (x).
á) Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ìîíîòîííîé ôóíêöèè íå áîëåå, ÷åì ñ÷åòíî.
37  êàêèõ òî÷êàõ íåïðåðûâíà, è (
â êàêèõ èìååò ïðåäåë
à0 ) ôóíêöèÿ Äèðèõëå D(x) =
(
á) ôóíêöèÿ Ðèìàíà f (x) =
38
1
,
n
0,
1, x ∈ Q;
;
0, x ∈ R \ Q
x= m
, ÍÎÄ(m, n) = 1
n
?
x∈R\Q
Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿ f : R → R íåïðåðûâíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðîîáðàç f −1 (U ) =
{x | f (x) ∈ U } ëþáîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà U îòêðûò.
39 Îïèøèòå, êàêèì ìîæåò áûòü ìíîæåñòâî çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè, çàäàííîé íà èíòåðâàëå.
310
à) Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî óðîâíÿ MA = {x ∈ I | f (x) = A} íåïðåðûâíîé ôóíêöèè, çàäàííîé
íà îòðåçêå I , çàìêíóòî. á* ) Ïîêàæèòå, ÷òî ëþáîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî ìîæåò áûòü ìíîæåñòâîì
óðîâíÿ êàêîé-íèáóäü íåïðåðûâíîé ôóíêöèè.
311 Èìåþòñÿ äâå äîðîãè, âåäóùèå èç ïóíêòà A â ïóíêò B, ïðè÷åì äâà ÷åëîâåêà, ñâÿçàííûå âåðåâêîé
äëèíû 20 ìåòðîâ, èäóùèå ïî ðàçíûì äîðîãàì, ñìîãëè ïåðåéòè èç ïóíêòà A â ïóíêò B. Ñìîãóò ëè ïî
ýòèì äîðîãàì ðàçúåõàòüñÿ äâà âîçà ñ ñåíîì, åäóùèå ìåæäó ýòèìè æå ïóíêòàìè â ïðîòèâîïîëîæíûõ
íàïðàâëåíèÿõ, åñëè ðàäèóñû ïåðåâîçèìûõ ñòîãîâ áîëüøå 10 ìåòðîâ?
312 Äîêàæèòå, ÷òî íà ýêâàòîðå íàéäóòñÿ äâå ïðîòèâîïîëîæíûå òî÷êè ñ îäèíàêîâîé òåìïåðàòóðîé.
3130
Äîêàæèòå, ÷òî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà ïðîìåæóòêå, îáëàäàåò îáðàòíîé òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ñòðîãî ìîíîòîííà. Äîêàæèòå òàêæå, ÷òî ïðè ýòîì îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ áóäåò
íåïðåðûâíîé è ñòðîãî ìîíîòîííîé.
3140
à) Äîêàæèòå, ÷òî, åñëè îïðåäåëåííàÿ è íåïðåðûâíàÿ íà Q ôóíêöèÿ f ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíà
íà R íåïðåðûâíûì îáðàçîì, òî òàêîå ïðîäîëæåíèå åäèíñòâåííî. á) Ïðèâåäèòå ïðèìåð íåïðåðûâíîé
ôóíêöèè f : Q → R, êîòîðóþ íåëüçÿ ïðîäîëæèòü íà âñå R.
315* Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè, îïðåäåëåííîé íà ïðîìåæóòêå,
åñòü ìíîæåñòâî òèïà Fσ , ò. å. îáúåäèíåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ.
316 Îïðåäåëèòå ôóíêöèþ íà ïðîìåæóòêå I ñ çàäàííûì ìíîæåñòâîì òî÷åê ðàçðûâà E , åñëè:
à) E ïðîèçâîëüíîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî;
á) E = ∪n∈N En , ãäå En çàìêíóòûå ìíîæåñòâà.
317
à) Ïóñòü ôóíêöèÿ f : R → R ïåðåâîäèò êàæäûé îòðåçîê â îòðåçîê. Ñëåäóåò ëè îòñþäà, ÷òî îíà
íåïðåðûâíà?
318* Åñëè f : [0; 1] → [0; 1] ìîíîòîííî âîçðàñòàåò (íåïðåðûâíîñòü íå ïðåäïîëàãàåòñÿ!), òî óðàâíåíèå
f (x) = x èìååò ðåøåíèå.
319*
Äàíû äâà êîììóòèðóþùèõ (ò.å. f (g(x)) = g(f (x)) äëÿ ëþáîãî x) íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèÿ f è g
îòðåçêà â ñåáÿ, ïðè÷åì îäíî èç íèõ ìîíîòîííî. Äîêàæèòå, ÷òî ó íèõ åñòü îáùàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà.
Êàíòîðîâîé ëåñòíèöåé íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ f
: [0; 1] → [0; 1], çàäàííàÿ â òî÷êàõ 0 è 1 çíà÷åíèÿìè 0
îòðåçêà [0; 1] f ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 21 , äàëåå íà êàæäîì
è 1, ñîîòâåòñòâåííî, íà ñðåäíåé òðåòè
øàãå ó êàæäîãî îñòàâøåãîñÿ ïðîìåæóòêà áåðåòñÿ ñðåäíÿÿ òðåòü, è íà íåé ôóíêöèÿ f îïðåäåëÿåòñÿ
êàê ñðåäíåå çíà÷åíèå ìåæäó ñîñåäíèìè, óæå îïðåäåëåííûìè, çíà÷åíèÿìè f . Íà îñòàâøèõñÿ ïîñëå
ñ÷åòíîãî ÷èñëà øàãîâ òî÷êàõ îòðåçêà [0; 1] ôóíêöèÿ f îïðåäåëÿåòñÿ ïî íåïðåðûâíîñòè.
( 31 ; 23 )
320*
à) Äîêàæèòå, ÷òî ïîñòðîåííàÿ ôóíêöèÿ f äåéñòâèòåëüíî ìîæåò áûòü äîîïðåäåëåíà íà âåñü
îòðåçîê [0; 1] ïî íåïðåðûâíîñòè. á) Ïðèâåäèòå ïðèìåð íåïðåðûâíîé ôóíêöèè, êîòîðàÿ ïåðåâîäèò
ìíîæåñòâî íóëåâîé ìåðû â ìíîæåñòâî, êîòîðîå íå ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì íóëåâîé ìåðû. (Ìíîæåñòâî
íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì ìåðû íóëü, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 åãî ìîæíî ïîìåñòèòü â îáúåäèíåíèå
ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà èíòåðâàëîâ ñóììàðíîé äëèíû íå áîëüøåé, ÷åì ε.) â) Ïðèâåäèòå ïðèìåð ôóíêöèè,
êîòîðàÿ îáëàäàåò ñâîéñòâàìè èç ïðåäûäóùåãî ïóíêòà, íî åùå ÿâëÿåòñÿ âçàèìíîîäíîçíà÷íîé.
321* Âåðíî ëè, ÷òî ôóíêöèÿ f : R → R íåïðåðûâíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ïåðåâîäèò îòðåçêè
â îòðåçêè è ïðîîáðàç {f −1 (y)} ëþáîé òî÷êè y ∈ R çàìêíóò?
322*
Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿ íå ìîæåò èìåòü áîëåå ÷åì ñ÷åòíîå ÷èñëî òî÷åê ðàçðûâà 1-ãî ðîäà.
323* Ìîæåò ëè ôóíêöèÿ áûòü íåïðåðûâíîé âî âñåõ ðàöèîíàëüíûõ òî÷êàõ è ðàçðûâíà â èððàöèîíàëüíûõ?