Множества Последовательности

Ìíîæåñòâà
1. Óïîðÿäî÷åííîå àðõèìåäîâî ïîëå. Àêñèîìà ïîëíîòû. Âåùåñòâåííûå ÷èñëà . Òåîðåìà: ëþáûå äâà
àðõèìåäîâà óïîðÿäî÷åííûå ïîëÿ êàíîíè÷åñêè èçîìîðôíû.
2. Àêñèîìà Àðõèìåäà. Ïðèìåð óïîðÿäî÷åííîãî íåàðõèìåäîâà ïîëÿ.
3. Îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî, âåðõíÿÿ ãðàíü. Òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü (sup). Ñóùåñòâîâàíèå òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè ó îãðàíè÷åííîãî ñâåðõó ìíîæåñòâà. Ýêâèâàëåíòíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ
sup
àêñèîìå ïîëíî-
òû.
4. Òåîðåìà Êàíòîðà î âëîæåííûõ îòðåçêàõ. Ýêâèâàëåíòíîñòü àêñèîìå ïîëíîòû.
5. Äåñÿòè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå âåùåñòâåííîãî ÷èñëà. Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü äåñÿòè÷íîãî
ïðåäñòàâëåíèÿ. Ñâÿçü ñ äðóãèìè êîíñòðóêöèÿìè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë.
6. Îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâà. Ïåðåñå÷åíèå è îáúåäèíåíèå îòêðûòûõ ìíîæåñòâ. Äîïîëíåíèå ê
îòêðûòîìó ìíîæåñòâó
7. Çàìêíóòûå ìíîæåñòâà. Ïåðåñå÷åíèå è îáúåäèíåíèå çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ. Äîïîëíåíèå ê çàìêíóòîìó
ìíîæåñòâó.
8. Ñòðóêòóðà îòêðûòîãî ìíîæåñòâà íà ïðÿìîé.
9. Ïðåäåëüíûå òî÷êè ìíîæåñòâà. Èçîëèðîâàííûå òî÷êè. Çàìêíóòîñòü ìíîæåñòâà ïðåäåëüíûõ òî÷åê.
10. Ãðàíèöà è âíóòðåííîñòü ìíîæåñòâà. Âñþäó ïëîòíûå ìíîæåñòâà. Íèãäå íå ïëîòíûå ìíîæåñòâà. Ïðèìåðû. Ïëîòíîñòü ìíîæåñòâà ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë.
11. Êàíòîðîâî ìíîæåñòâî. Êîíñòðóêöèÿ. Íåñ÷åòíîñòü. Çàìêíóòîñòü. Íåïëîòíîñòü.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
1. Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: îïðåäåëåíèå è àðèôìåòè÷åñêèå ñâîéñòâà.
2. Åäèíñòâåííîñòü ïðåäåëà ñõîäÿùåéñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
3. Ïåðåõîä ê ïðåäåëó â íåðàâåíñòâàõ, ëåììà î äâóõ ìèëèöèîíåðàõ.
4. Îãðàíè÷åííûå, íåîãðàíè÷åííûå è ñòðåìÿùèåñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ôóíêöèè.
Îãðàíè÷åííîñòü ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
5. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ. Ñõîäèìîñòü, ðàñõîäèìîñòü, îãðàíè÷åííîñòü, íåîãðàíè÷åííîñòü.
6. Áåñêîíå÷íûå ïðåäåëû. Òåîðåìà: ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áåç íóëåâûõ ÷ëåíîâ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îáðàòíûõ âåëè÷èí ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè.
7. Ìîíîòîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Òåîðåìà Âåéåðøòðàññà: êàæäàÿ ìîíîòîííàÿ îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ.
8. Ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïðåäåëüíûå òî÷êè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Òåîðåìà: ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ, åñëè è òîëüêî åñëè ïðåäåëüíàÿ òî÷êà åäèíñòâåííàÿ.
9. Ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëüíîé òî÷êè ó îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Çàìêíóòîñòü ìíîæåñòâà ïðåäåëüíûõ òî÷åê.
10. Òåîðåìà Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà: èç êàæäîé îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî èçâëå÷ü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
11. ×èñëî
e:
îïðåäåëåíèå.
Ïðåäåëû ôóíêöèé, íåïðåðûâíîñòü
1. Ïðåäåë ôóíêöèè ïðè
x → x0
è ïðè
x → ∞, îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû. Îïðåäåëåíèå è àðèôìåòè÷åñêèå
ñâîéñòâà.
2. Ýêâèâàëåíòíîñòü îïðåäåëåíèé ïðåäåëà ôóíêöèè ïî Ãåéíå è Êîøè.
3. Ïåðåñòàíîâî÷íîñòü çíàêà ïðåäåëà ñî çíàêîì íåïðåðûâíîé ôóíêöèè.
4. Ïåðâûé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë. Íåïðåðûâíîñòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Ñóùåñòâîâàíèå è
íåïðåðûâíîñòü îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé.
5. Âòîðîé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë. Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàçëè÷íûå ïåðåôîðìóëèðîâêè.
6. Íåïðåðûâíîñòü: ðàçëè÷íûå îïðåäåëåíèÿ è àðèôìåòè÷åñêèå ñâîéñòâà.
7. Êëàññèôèêàöèÿ òî÷åê ðàçðûâà, ïðèìåðû.
8. Òî÷êè ðàçðûâà ìîíîòîííîé ôóíêöèè.
9. Òåîðåìà: åñëè ôóíêöèÿ
f (x)
íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè
íåïðåðûâíà â òî÷êå
x0
è
f (x0 ) > 0,
òî ýòà ôóíêöèÿ ïîëîæèòåëüíà â
x0 .
10. Íåïðåðûâíîñòü ñëîæíîé ôóíêöèè.
11. Òåîðåìà Âåéåðøòðàññà: íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå ôóíêöèÿ îãðàíè÷åíà.
12. Òåîðåìà: íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå ôóíêöèÿ äîñòèãàåò ñâîåãî ìàêñèìóìà.
13. Òåîðåìà î ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè.
14. Òåîðåìà: ìîíîòîííàÿ íà ïðîìåæóòêå ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà âåçäå, êðîìå êîíå÷íîãî èëè ñ÷åòíîãî
ìíîæåñòâà òî÷åê.
15. Îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Òåîðåìà îá îáðàòíîé ôóíêöèè: íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà îòðåçêå, äîïóñêàþùàÿ
îáðàòíóþ, ìîíîòîííà è îáðàòíàÿ ê íåé íåïðåðûâíà.
16. Òåîðåìà: ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ, ïðèíèìàþùàÿ âñå çíà÷åíèÿ, íåïðåðûâíà.
17. Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè. Íåïðåðûâíîñòü ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè.
18. Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà ñòåïåííîé ôóíêöèè. Íåïðåðûâíîñòü ñòåïåííîé ôóíêöèè.
o è O. Ýêâèâàëåíòíûå ïðè x → a âåëè÷èíû.
x → 0: sin x ∼ x, ex − 1 ∼ x, log(1 + x) ∼ x, (1 + x)α ∼ αx
19. Ñðàâíåíèå ïðåäåëüíîãî ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé. Ïîíÿòèÿ
Ïðèìåðû. Ýêâèâàëåíòíîñòè ïðè
20. Ñðàâíåíèå ïîðÿäêîâ ðîñòà ëîãàðèôìè÷åñêèõ, ñòåïåííûõ è ïîêàçàòåëüíûõ ôóíêöèé.
2