Использование жесткого диска в матричных вычислениях

N p ÷èñëî îïåðàöèé óìíîæåíèÿ â àëãîðèòìå ñ ïîëèíîìèàëüíîé ñëîæíîñòüþ,
Rp íèæíÿÿ îöåíêà ÷èñëà îïåðàöèé óìíîæåíèÿ â àëãîðèòìå ñ ýêñïîíåíöèàëüíîé ñëîæíîñòüþ,
N t âðåìÿ âû÷èñëåíèÿ ìàòðè÷íîé ñòåïåíè â àëãîðèòìå ñ ïîëèíîìèàëüíîé ñëîæíîñòüþ,
Rt âðåìÿ âû÷èñëåíèÿ ìàòðè÷íîé ñòåïåíè ïðè èñïîëüçîâàíèè àëãîðèòìà ñ ýêñïîíåíöèàëüíîé ñëîæíîñòüþ,
N Rt âðåìÿ âû÷èñëåíèÿ ìàòðè÷íîé ñòåïåíè ïðè èñïîëüçîâàíèè àëãîðèòìà ñ ïîëèíîìèàëüíîé
ñëîæíîñòüþ,
N Rp îöåíêà ÷èñëà îïåðàöèé óìíîæåíèÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè àëãîðèòìà ñ ïîëèíîìèàëüíîé ñëîæíîñòüþ.
Ëèòåðàòóðà
1. Robuk V.N. A constructive formula for function of matrix. Alternative to the Lagrange-Silvester
formula. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A 534 (2004) 319-323.
2. Ëàíêàñòåð Ï. Òåîðèÿ ìàòðèö. Ì.: Íàóêà, 1973, c. 280.
3. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ/ Ãë. ðåä. È.Ì. Âèíîãðàäîâ. Ì.: Ñîâ. Ýíöèêëîïåäèÿ, 1979.
Ò.5.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 15 äåêàáðÿ 2007ã.
Èñïîëüçîâàíèå æåñòêîãî äèñêà â ìàòðè÷íûõ âû÷èñëåíèÿõ
c
Ì.Ñ.Çóåâ
Âû÷èñëåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì æåñòêîãî äèñêà ðåàëèçîâàíû, íàïðèìåð, â èçâåñòíîì ïàêåòå ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ POOCLAPACK (Parallel out-of-core Linear algebra package, ñì. [5]).
 äàííîì ïàêåòå ðåàëèçîâàíû äâà ñïîñîáà õðàíåíèÿ ìàòðèö íà äèñêå, îäèí èç êîòîðûõ ïîâòîðÿåò
ñïîñîá õðàíåíèÿ ìàòðèö â ÎÇÓ ïî ñòðîêàì èëè ñòîëáöàì, à âòîðîé ïðåäïîëàãàåò õðàíåíèå ìàòðèöû
ïî áëîêàì. Âî âòîðîì ñëó÷àå òðåáóåòñÿ èñïîëüçîâàíèå áëî÷íûõ ìàòðè÷íûõ àëãîðèòìîâ.
 ñîâðåìåííîé ëèòåðàòóðå áëî÷íûå è áëî÷íî-ðåêóðñèâíûå ìàòðè÷íûå ìåòîäû ðàññìàòðèâàþòñÿ
êàê îäíè èç ñàìûõ ýôôåêòèâíûõ.  îòëè÷èå îò ñòàíäàðòíûõ ñòðî÷íî-îðèåíòèðîâàííûõ ìåòîäîâ,
òàêèå ìåòîäû áîëåå ýôôåêòèâíî èñïîëüçóþò ïðîöåññîðíûé êýø, è ïîýòîìó ïîçâîëÿþò äîñòèãàòü
ïðîèçâîäèòåëüíîñòè ïðîöåññîðà, áëèçêîé ê ïèêîâîé (ñì. [2-4]). Íàïðèìåð, â ðàáîòå [2] óêàçûâàåòñÿ
äîñòèæåíèå 92 % ïðîèçâîäèòåëüíîñòè ïðîöåññîðà IBM Power 3 ñ áëî÷íîé ïðîöåäóðîé ðàçëîæåíèÿ
Õîëåöêîãî è 76 % ñ ñîîòâåòñòâóþùåé ïîýëåìåíòíîé ïðîöåäóðîé.
Åñëè ïðîöåäóðà èñïîëüçóåò æåñòêèé äèñê, òî îíà ìîæåò ýôôåêòèâíî èñïîëüçîâàòü îïåðàòèâíóþ
ïàìÿòü. Ñ÷èòûâàíèå áëîêîâ èç ôàéëà öåëèêîì è âîçìîæíîñòü âàðüèðîâàòü èõ ðàçìåð ïîçâîëÿåò
îïðåäåëèòü áàëàíñ ìåæäó ýêîíîìèåé îïåðàòèâíîé ïàìÿòè è ìèíèìèçàöèåé êîëè÷åñòâà îáðàùåíèé
ê äèñêó. Ïðè ñ÷èòûâàíèè áëîêà èç ôàéëà òðåáóåòñÿ îäíî îáðàùåíèå ê òàáëèöå ðàçìåùåíèÿ ôàéëîâ
(ñóïåðáëîêó) è îäíî îáðàùåíèå ê ôàéëó. Åñëè áû áëîêè õðàíèëèñü â âèðòóàëüíîé ïàìÿòè, òî äëÿ
èõ ñ÷èòûâàíèÿ òðåáîâàëîñü áû áîëüøåå êîëè÷åñòâî îáðàùåíèé ê äèñêó.
Ñóììèðóÿ âñå ñêàçàííîå âûøå, ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî áëî÷íûå ìàòðè÷íûå àëãîðèòìû ñ
èñïîëüçîâàíèåì æåñòêîãî äèñêà ìîãóò áûòü ýôôåêòèâíûìè.
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ýôôåêòèâíîñòè òàêèõ àëãîðèòìîâ áûëè ïðîâåäåíû âû÷èñëèòåëüíûå ýêñïåðèìåíòû íà îäíîïðîöåññîðíîé ìàøèíå. Ñðàâíèâàëèñü àëãîðèòìû óìíîæåíèÿ è îáðàùåíèÿ ìàòðèö
(îäíîñòîðîííåå îáðàùåíèå, ñì. [1]) ðàçìåðà 4096 × 4096 â êîíå÷íîì ïîëå ïî 28-áèòíîìó ïðîñòîìó
ìîäóëþ. Êàê è â POOCLAPACK, ìàòðèöà ðàçáèâàåòñÿ íà áëîêè ôèêñèðîâàííîãî ðàçìåðà, êîòîðûå
çàïèñûâàþòñÿ â îòäåëüíûå ôàéëû. Ìàòðèöå ñîïîñòàâëÿåòñÿ ïàïêà íà äèñêå. Åñëè ðàçáèòü ìàòðèöó
íà ÷åòûðå ðàâíûõ áëîêà, òî âîçìîæíî èõ õðàíåíèå â îòäåëüíûõ ïàïêàõ.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ëó÷øåãî àëãîðèòìà óìíîæåíèÿ áûëè ðàññìîòðåíû ÷åòûðå àëãîðèòìà: ñòàíäàðòíûé áëî÷íûé àëãîðèòì (àëãîðèòì 0), ñòàíäàðòíûé áëî÷íûé àëãîðèòì ñ çàïèñüþ áëîêîâ íà
Ðèñ. 1. Ñðàâíåíèå ñêîðîñòè âûïîëíåíèÿ àëãîðèòìà 3 ñ ðàçëè÷íûìè ïàðàìåòðàìè
äèñê (àëãîðèòì 1), àëãîðèòì Øòðàññåíà ñ ëèñòîì ïåðåìåííîãî ðàçìåðà (àëãîðèòì 2) è îí æå ñ
çàïèñüþ áëîêîâ íà äèñê (àëãîðèòì 3).
Ïîä ñòàíäàðòíûì àëãîðèòìîì áóäåì ïîíèìàòü àëãîðèòì óìíîæåíèÿ ìàòðè÷íûõ ñòðîê íà ìàòðè÷íûå ñòîëáöû. Ðàññìîòðåíû òðè ðåàëèçàöèè ýòîãî àëãîðèòìà: ïîýëåìåíòíàÿ, ò.å. âû÷èñëåíèå ïðîèçâåäåíèÿ ïî îäíîìó ýëåìåíòó, áëî÷íàÿ, ò.å. âû÷èñëåíèå ïðîèçâåäåíèÿ ïî áëîêàì ôèêñèðîâàííîãî
ðàçìåðà è áëî÷íî-ðåêóðñèâíàÿ, ò.å. âû÷èñëåíèå ïðîèçâåäåíèÿ ïî áëîêàì, ïîðÿäîê êîòîðûõ ðàâåí
ïîëîâèíå ïîðÿäêà ìàòðèöû, ñ ïîìîùüþ ðåêóðñèâíîé ôîðìóëû. Ñàìûì áûñòðûì îêàçûâàåòñÿ âòîðîé àëãîðèòì, ïîýòîìó ýêñïåðèìåíòû áûëè ïðîâåäåíû ñ íèì. Îí îáîçíà÷åí êàê àëãîðèòì 0. Ýòîìó
àëãîðèòìó ïåðåäàåòñÿ îäèí ïàðàìåòð ðàçìåð áëîêà.
Àëãîðèòì 1 ñòàíäàðòíûé áëî÷íûé àëãîðèòì ñ èñïîëüçîâàíèåì æåñòêîãî äèñêà. Îí èìååò òó æå
âû÷èñëèòåëüíóþ ñòðóêòóðó, ÷òî è àëãîðèòì 0: áëî÷íûå ñòðîêè ôèêñèðîâàííîãî ðàçìåðà óìíîæàþòñÿ íà áëî÷íûå ñòîëáöû. Êàæäûé áëîê õðàíèòñÿ â îòäåëüíîì ôàéëå.  òåêóùèé ìîìåíò âû÷èñëåíèé
â ïàìÿòè õðàíÿòñÿ òîëüêî òåêóùèå áëîêè îïåðàíäîâ è áëîê ðåçóëüòàòà. Ïðîèçâåäåíèå áëîêîâ âû÷èñëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíîãî ïîýëåìåíòíîãî àëãîðèòìà. Àëãîðèòìó ïåðåäàåòñÿ îäèí ïàðàìåòð ðàçìåð áëîêà, õðàíÿùåãîñÿ â îäíîì ôàéëå.
Àëãîðèòì 2 àëãîðèòì Øòðàññåíà äëÿ ìàòðèö, ýëåìåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ áëîêè ôèêñèðîâàííîãî ðàçìåðà. Ýòè áëîêè, â ñâîþ î÷åðåäü, óìíîæàþòñÿ ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíîãî ïîýëåìåíòíîãî
àëãîðèòìà. Àëãîðèòìó ïåðåäàåòñÿ îäèí ïàðàìåòð ðàçìåð áëîêà.
Àëãîðèòì 3 èìååò âû÷èñëèòåëüíóþ ñòðóêòóðó, àíàëîãè÷íóþ àëãîðèòìó 2. Áëîêè ìàòðèö õðàíÿòñÿ â ôàéëàõ. Èõ ïðîèçâåäåíèå âû÷èñëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà 1. Àëãîðèòìó ïåðåäàþòñÿ 2
ïàðàìåòðà ðàçìåð áëîêà ìàòðèöû, õðàíÿùåãîñÿ â îäíîì ôàéëå, è ðàçìåð áëîêîâ ìàòðèö, ïðîèçâåäåíèå êîòîðûõ âû÷èñëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà 1.
Ðåçóëüòàòû âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ ñ àëãîðèòìîì 3 ïðèâåäåíû íà ðèñ. 1. Âû÷èñëåíèÿ
ïðîèçâîäèëèñü ñ ìàøèíîé íà áàçå Athlon-3800, 1 Ãá ÎÇÓ, ÎÑ WinXP, äëÿ çàïèñè íà äèñê èñïîëüçîâàëñÿ ïóñòîé NTFS-ðàçäåë. Íà ðèñóíêå ïðèâåäåíû òîëüêî ñàìûå áûñòðûå àëãîðèòìû, ñî âðåìåíåì
âûïîëíåíèÿ íå áîëåå 2000 ñ. Ïî îñè îòëîæåí ðàçìåð áëîêîâ ìàòðèö, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ
óìíîæåíèå ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà 1, ïî îñè âðåìÿ âûïîëíåíèÿ ïðîãðàììû â ñåêóíäàõ. Ñïëîøíàÿ
ëèíèÿ ñîîòâåòñòâóåò âðåìåíè âûïîëíåíèÿ ïðîãðàìì ñ áëîêîì ìàòðèö, õðàíÿùèõñÿ â îäíîì ôàéëå,
ðàâíûì 64, äàëåå â ïîðÿäêå ó÷àùåíèÿ ïóíêòèðíûõ ëèíèé 128, 256 è 512. Ëó÷øàÿ ñêîðîñòü ïîëó÷åíà ïðè õðàíåíèè áëîêîâ ïîðÿäêà 128 â îäíîì ôàéëå è âû÷èñëåíèè ïðîèçâåäåíèÿ áëîêîâ ïîðÿäêà
2048 ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà 1 (ñì. ðèñ. 1). Àëãîðèòì ñ ïàðàìåòðàìè (128, ·) ó÷àñòâîâàë â ñëåäóþùåì
ýêñïåðèìåíòå â êà÷åñòâå àëãîðèòìà 3.
Ðåçóëüòàòû ñðàâíåíèÿ âñåõ àëãîðèòìîâ ïðèâåäåíû íà ðèñ. 2. Ïî îñè îòëîæåí ðàçìåð ëèñòà äåðåâà àëãîðèòìà, ïî îñè âðåìÿ âûïîëíåíèÿ ïðîãðàììû â ñåêóíäàõ. Äëÿ àëãîðèòìîâ 0-2 ðàçìåð
ëèñòà äåðåâà àëãîðèòìà ïðèíèìàåì ðàâíûì ðàçìåðó áëîêîâ, ïðîèçâåäåíèå êîòîðûõ âû÷èñëÿåòñÿ ñ
ïîìîùüþ ñòàíäàðòíîãî ïîýëåìåíòíîãî àëãîðèòìà, à äëÿ àëãîðèòìà 3 àëãîðèòìà 1. Íà ðèñóíêå
ïðèâåäåíû òîëüêî ñàìûå áûñòðûå àëãîðèòìû, ñî âðåìåíåì âûïîëíåíèÿ íå áîëåå 2600 ñ. Ñïëîøíàÿ
ëèíèÿ ñîîòâåòñòâóåò âðåìåíàì âûïîëíåíèÿ àëãîðèòìîâ 0, îñòàëüíûå â ïîðÿäêå ó÷àùåíèÿ ïóíêòèð-
Ðèñ. 2. Âûáîð ëó÷øåãî àëãîðèòìà óìíîæåíèÿ
íûõ ëèíèé àëãîðèòìàì 1-3.
Ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòîâ 1-2:
• Ëó÷øèì àëãîðèòìîì îêàçàëñÿ àëãîðèòì 2, âòîðûì àëãîðèòì 3, äàëåå àëãîðèòìû 1 è 0.
Àëãîðèòìû ñ èñïîëüçîâàíèåì æåñòêîãî äèñêà íå îêàçàëèñü ñàìûìè ìåäëåííûìè, êàê îæèäàëîñü.
• Ñòàíäàðòíûé àëãîðèòì ñ ðàçìåðîì áëîêà 1 (ò.å. ñòàíäàðòíîå ïîýëåìåíòíîå óìíîæåíèå) âûïîëíÿëñÿ 9787 ñ., à àëãîðèòì Øòðàññåíà ñ ðàçìåðîì ëèñòà 1 (îáû÷íûé) 6544 ñ. Áëî÷íûå è
áëî÷íî-ðåêóðñèâíûå àëãîðèòìû ñ èñïîëüçîâàíèåì áëîêîâ íà íèæíåì óðîâíå è àëãîðèòìû ñ
èñïîëüçîâàíèåì æåñòêîãî äèñêà ñóùåñòâåííî áûñòðåå àëãîðèòìîâ â îáùåïðèíÿòîé çàïèñè.
• Ñòàíäàðòíûé áëî÷íûé àëãîðèòì ñ èñïîëüçîâàíèåì æåñòêîãî äèñêà îêàçàëñÿ áûñòðåå àëãîðèòìà áåç èñïîëüçîâàíèÿ æåñòêîãî äèñêà. Âîçìîæíî, ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî áëî÷íûå âû÷èñëåíèÿ ñ
èñïîëüçîâàíèåì äèñêà ïîçâîëÿþò ñîêðàòèòü êîëè÷åñòâî çàïðîñîâ ê îïåðàòèâíîé ïàìÿòè, åñëè
ñ÷èòàííûå ñ äèñêà áëîêè óìåùàþòñÿ â êýø ïðîöåññîðà.
•  îòëè÷èå îò ñòàíäàðòíîãî àëãîðèòìà, àëãîðèòì Øòðàññåíà ñ èñïîëüçîâàíèåì äèñêà îêàçàëñÿ
ìåäëåííåå àëãîðèòìà Øòðàññåíà áåç èñïîëüçîâàíèÿ äèñêà. Âîçìîæíî, ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî
àëãîðèòì Øòðàññåíà èñïîëüçóåò ìíîãî áëî÷íûõ ñëîæåíèé ñ èñïîëüçîâàíèåì äèñêà, à ñòàíäàðòíûé àëãîðèòì òàêèõ ñëîæåíèé íå èñïîëüçóåò. Ïîýòîìó ïðîèãðûø àëãîðèòìîâ ñ èñïîëüçîâàíèåì äèñêà ñòàíäàðòíûì àëãîðèòìàì ìîæíî îæèäàòü è äëÿ îáðàùåíèÿ ìàòðèö.
Ñðàâíèâàëèñü àëãîðèòìû îäíîñòîðîííåãî îáðàùåíèÿ ìàòðèö: àëãîðèòì, èñïîëüçóþùèé áëî÷íûé
ñòàíäàðòíûé àëãîðèòì ìàòðè÷íîãî óìíîæåíèÿ (àëãîðèòì 0) è àëãîðèòì, èñïîëüçóþùèé çàïèñü áëîêîâ ìàòðèö íà äèñê (àëãîðèòì 1). Áëîêè ìàòðèö, ñ÷èòûâàåìûå ñ äèñêà, óìíîæàþòñÿ ñ ïîìîùüþ
ñòàíäàðòíîãî àëãîðèòìà. Àëãîðèòìó 0 ïåðåäàåòñÿ îäèí ïàðàìåòð ðàçìåð áëîêà, èñïîëüçóåìîãî
áëî÷íûì àëãîðèòìîì óìíîæåíèÿ. Àëãîðèòìó 1 ïåðåäàåòñÿ îäèí ïàðàìåòð ðàçìåð áëîêà, õðàíÿùåãîñÿ â îäíîì ôàéëå.
Íà ðèñ. 3 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû èõ ñðàâíåíèÿ. Ïî îñè îòëîæåí ðàçìåð áëîêà àëãîðèòìà óìíîæåíèÿ, ïî îñè âðåìÿ âûïîëíåíèÿ ïðîãðàììû. Ñïëîøíàÿ ëèíèÿ ñîîòâåòñòâóåò âðåìåíè âûïîëíåíèÿ
àëãîðèòìà 0, ïóíêòèðíàÿ âðåìåíè âûïîëíåíèÿ àëãîðèòìà 1.
Çàìåòèì, ÷òî àëãîðèòì 0 ñ ïàðàìåòðîì 512 ðàáîòàåò â äâà ðàçà áûñòðåå àëãîðèòìà 1 ñ ïàðàìåòðîì 256, à îí, â ñâîþ î÷åðåäü, ðàáîòàåò â äâà ðàçà áûñòðåå àëãîðèòìà, èñïîëüçóþùåãî ñòàíäàðòíîå
ïîýëåìåíòíîå óìíîæåíèå ìàòðè÷íûõ áëîêîâ (ýòîò àëãîðèòì âûïîëíÿëñÿ 2635 ñåêóíä).
Ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòîâ 1-3 ïîçâîëÿþò ñäåëàòü âûâîä îá ýôôåêòèâíîñòè àëãîðèòìîâ, èñïîëüçóþùèõ õðàíåíèå ìàòðèö â ôàéëàõ. Òàêèå àëãîðèòìû ýôôåêòèâíî èñïîëüçóþò îïåðàòèâíóþ ïàìÿòü
è êýø ïðîöåññîðà, ïîýòîìó ñðàâíèìû ñ áëî÷íûìè àëãîðèòìàìè ïî ýôôåêòèâíîñòè. Ïîýòîìó òàêèå
àëãîðèòìû ìîãóò ïðåäñòàâëÿòü èíòåðåñ äëÿ ðåàëüíûõ âûñîêîïðîèçâîäèòåëüíûõ âû÷èñëåíèé
Ðèñ. 3. Âûáîð ëó÷øåãî àëãîðèòìà îäíîñòîðîííåãî îáðàùåíèÿ
Ëèòåðàòóðà
1. Ìàëàøîíîê Ã. È., Çóåâ Ì. Ñ. Îáîáùåííûé àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû // XI
Äåðæàâèíñêèå ÷òåíèÿ. Òåç. äîêë. Òàìáîâ: Èçä-âî ÒÃÓ èì. Ã.Ð.Äåðæàâèíà, 2006. Ñ. 48-50.
2. Gustavson F. G. High-performance linear algebra algorithms using new generalized data structures
for matrices // IBM Journal for Research and development. January 2003. V. 41. Issue 1. P. 31-55.
3. Gustavson F. G. Recursion leads to automatic variable blocking for dense linear-algebra algorithms
// IBM Journal for Research and development. November 1997. V. 41. Issue 6. P. 737-756.
4. Lorton K. P., Wise D. S. Analyzing Block Locality in Morton-Order and Morton-Hybrid Matrices
// Proc. MEDEA Workshop'06. New York: ACM Press, 2006. P. 5-12.
5. Reiley W. C., van de Geijn R. A. POOCLAPACK: Parallel Out-of-Core Linear Algebra Package.
Technical report CS-TR-99-33. Austin, TX, USA: University of Texas at Austin. 1999.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 15 äåêàáðÿ 2007ã.
Î âû÷èñëåíèè ÿäðà îïåðàòîðà, äåéñòâóþùåãî â ìîäóëå
c
Ã.È. Ìàëàøîíîê
Ïóñòü R îáëàñòü ñ åäèíèöåé, Rn ìîäóëü íàä R ðàçìåðíîñòè n, M ∈ Rn×n - îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â Rn . Ñ÷èòàåòñÿ ôèêñèðîâàííûì áàçèñ ìîäóëÿ è îïåðàòîð ïðåäñòàâëåí ìàòðèöåé. Òðåáóåòñÿ
íàéòè ÿäðî îïåðàòîðà. Ïðåäëàãàåòñÿ àëãîðèòì, ñîñòîÿùèé èç äâóõ ýòàïîâ. Ñíà÷àëà íàõîäèòñÿ îáîáùåííàÿ ïðèñîåäèíåííàÿ ìàòðèöà A, òàêàÿ, ÷òî ìàòðèöà S = AM èìååò ñòóïåí÷àòûé âèä. Çàòåì ïî
ìàòðèöå S íàõîäèòñÿ ÿäðî îïåðàòîðà M . Ââåäåì íåêîòîðûå îáîçíà÷åíèÿ.
Ïóñòü ïîëóãðóïïà Pn îáðàçîâàíà ìàòðèöàìè, ó êîòîðûõ ÷èñëî åäèíè÷íûõ ýëåìåíòîâ ñîâïàäàåò
ñ ðàíãîì ìàòðèöû, à îñòàëüíûå ýëåìåíòû ðàâíû íóëþ. Ïîëóãðóïïà Dn îáðàçîâàíà äèàãîíàëüíûìè
ìàòðèöàìè ïîðÿäêà n ñ ýëåìåíòàìè 0 è 1 íà äèàãîíàëè, |Dn |=2n è åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà I åäèíèöà
â Dn è â Pn . Íà Dn ââåäåì ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê: I < J ⇔ J − I ∈ Dn è ÷åðòîé áóäåì îáîçíà÷àòü
èíâîëþöèþ íà Dn : I¯ = I − I . Äëÿ êàæäîé ìàòðèöû E ∈ Pn îïðåäåëèì äèàãîíàëüíûå ìàòðèöû:
IE = EE T ∈ Dn , JE = E T E ∈ Dn . Äëÿ ìàòðèöû E ìàòðèöà I¯E ÿâëÿåòñÿ ëåâûì àííóëÿòîðîì, à
ìàòðèöà J¯E ïðàâûì àííóëÿòîðîì.
Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî ñòóïåí÷àòûõ ìàòðèö ïîðÿäêà n: Sn = {S |∃E ∈ Pn , ∃d ∈ R\0 : S =
IE S, dE = SJE }. Äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ êàæäîé ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöû S ∈ Sn íàéäåòñÿ ìàòðèöà