Оценка равновесия в модели фон Неймана

Îöåíêà ðàâíîâåñèÿ
â ìîäåëè ôîí Íåéìàíà
À.Â. Ïàíþêîâ, À.Ò. Ëàòèïîâà
Þæíî-Óðàëüñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò, ×åëÿáèíñê, Ðîññèÿ
Ýëåêòðîííûå àäðåñà:
[email protected], [email protected]
Àííîòàöèÿ
 ðàáîòå èññëåäóåòñÿ ïðîáëåìà íàõîæäåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â ìîäåëè ôîí Íåéìàíà
(A, B)
â òî÷å÷íîé è èíòåðâàëüíîé ïîñòàíîâêàõ.
Äëÿ òî÷å÷íîé ìîäåëè ôîí Íåéìàíà ïðåäëîæåíû óñòîé÷èâûå ÷èñëåííûå ìåòîäû
îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, êîòîðûå ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû íà âû÷èñëèòåëüíûõ ñèñòåìàõ, èñïîëüçóþùèõ âû÷èñëåíèÿ ñ ïëàâàþùåé òî÷êîé.  îñíîâå ïðåäëîæåííûõ ìåòîäîâ ëåæèò ñâåäåíèå ïðîáëåìû îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ê
ðåøåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòðè÷íûõ èãð.
Äëÿ èíòåðâàëüíîé ìîäåëè ôîí Íåéìàíà ïîêàçàíî, ÷òî â ñëó÷àå ìóëüòèïëèêàòèâíîé íåîïðåäåëåííîñòè êàê ïðÿìîé, òàê è äâîéñòâåííûé ëó÷è ôîí Íåéìàíà îïðåäåëÿþòñÿ òî÷å÷íîé ìîäåëüþ ôîí Íåéìàíà ñ ìàòðèöàìè öåíòðîâ èíòåðâàëîâ, à èíòåðâàë
÷èñëà Ôðîáåíèóñà ìîäåëè - äâóìÿ òî÷å÷íûìè çàäà÷àìè ôîí Íåéìàíà ñ ìàòðèöàìè
âåðõíèõ è íèæíèõ ãðàíèö èíòåðâàëîâ.
1
Ââåäåíèå
Ìíîãîîòðàñëåâàÿ ìîäåëü ýêîíîìèêè Äæ. ôîí Íåéìàíà îêàçàëà áîëüøîå âëèÿíèå íà òåîðèþ ýêîíîìè÷åñêîãî ðîñòà è íàêîïëåíèÿ êàïèòàëà, äàëà òîë÷îê èíòåíñèâíîìó ðàçâèòèþ
ñîâðåìåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ýêîíîìèêè [1], [2]. Îäíàêî, âî ìíîãèõ ïóáëèêàöèÿõ, íàïðèìåð
â [3], ìîäåëü ôîí Íåéìàíà îïðåäåëÿåòñÿ êàê íåâû÷èñëèìàÿ ÷èñòî òåîðåòè÷åñêàÿ ìîäåëü, à
âûõîä ê ïðàêòè÷åñêèì ðåçóëüòàòàì îñóùåñòâëÿåòñÿ ÷åðåç ìîäåëü Ëåîíòüåâà, ÿâëÿþùóþñÿ
÷àñòíûì ñëó÷àåì ìîäåëè ôîí Íåéìàíà.
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî îáùíîñòü ìîäåëè ôîí Íåéìàíà ñîñòîèò â åå ïðèìåíèìîñòè íå
òîëüêî ê àíàëèçó ìíîãîîòðàñëåâîé ýêîíîìèêè, íî è ê äðóãèì ïðîáëåìàì, â ÷àñòíîñòè,
ê ïðîáëåìå ôîðìèðîâàíèÿ áþäæåòà ïðîäàæ â óñëîâèÿõ öåíîâîé äèâåðñèôèêàöèè [4]-[7].
 ñâÿçè ñ ýòèì àêòóàëüíûì ÿâëÿåòñÿ ðàçâèòèå ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ àíàëèçà ìîäåëè ôîí
Íåéìàíà, ðåàëèçóåìûõ íà ïîïóëÿðíûõ êîììåð÷åñêèõ ïðîãðàììíûõ ñèñòåìàõ, òàêèõ êàê
Excel, Matlab, Project Expert è 1Ñ Áóõãàëòåðèÿ.  ðàáîòå ïðåäëîæåíû óñòîé÷èâûå ÷èñëåííûå ìåòîäû îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, êîòîðûå ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû íà âû÷èñëèòåëüíûõ ñèñòåìàõ, èñïîëüçóþùèõ âû÷èñëåíèÿ ñ ïëàâàþùåé òî÷êîé. Â
1
Îöåíêà ðàâíîâåñèÿ â ìîäåëè ôîí Íåéìàíà
2
îñíîâå ïðåäëîæåííûõ ìåòîäîâ ëåæèò ñâåäåíèå ïðîáëåìû îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ê ðåøåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòðè÷íûõ èãð.
×èñëåííûå çíà÷åíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèö çàòðàò è âûïóñêà â ôîííåéìàíîâñêèõ ìîäåëÿõ
ïîëó÷àþò íà îñíîâå ñòàòèñòèêè è ýêñïåðòíûõ îöåíîê, ïîýòîìó îíè ìîãóò èìåòü íåîïðåäåëåííîñòü, êîòîðàÿ, ñêîðåå âñåãî, áóäåò èíòåðâàëüíîé.  ñòàòüå ðàññìîòðåíà ïðîáëåìà
íàõîæäåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â ìîäåëè ôîí Íåéìàíà (A, B), êîãäà èçâåñòíû ëèøü èíòåðâàëû,
êîòîðûì ïðèíàäëåæàò ýëåìåíòû ìàòðèö ìîäåëè. Ïîêàçàíî, ÷òî â ñëó÷àå ìóëüòèïëèêàòèâíîé íåîïðåäåëåííîñòè êàê ïðÿìîé, òàê è äâîéñòâåííûé ëó÷è ôîí Íåéìàíà îïðåäåëÿþòñÿ
ìîäåëüþ ôîí Íåéìàíà ñ ìàòðèöàìè öåíòðîâ èíòåðâàëîâ, à èíòåðâàë ÷èñëà Ôðîáåíèóñà
ìîäåëè äâóìÿ çàäà÷àìè ôîí Íåéìàíà ñ ìàòðèöàìè âåðõíèõ è íèæíèõ ãðàíèö èíòåðâàëîâ.
2
Ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ â ìîäåëè ôîí Íåéìàíà
ïðè òî÷å÷íûõ ìàòðèöàõ çàòðàò è âûïóñêà
Îáùèì ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ äëÿ ìîäåëè Íåéìàíà (A, B), ãäå A è B çàäàííûå m × n
÷èñëîâûå ìàòðèöû çàòðàò è âûïóñêà ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ýëåìåíòàìè (A ≥ 0, B ≥ 0),
íàçûâàþò ðåøåíèå (λ, x, p) ñèñòåìû áèëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ è óðàâíåíèé
(A − λB) x ≤ 0, (x, em ) = 1, x ≥ 0,
(1)
(A − λB)T p ≥ 0, (p, en ) = 1, p ≥ 0.
(2)
Íåâûðîæäåííûì ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè íàçûâàþò ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ (λ, x, p), óäîâëåòâîðÿþùåå äîïîëíèòåëüíîìó óñëîâèþ
(3)
pT A x > 0.
 äàííîé ðàáîòå ìû îãðàíè÷èìñÿ àëãîðèòìàìè íàõîæäåíèÿ îáùåãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ò.å. ðåøåíèÿ (λ, x, p) ñèñòåìû (1)-(2).
Ýêñòðåìàëüíûå äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ λ ìîãóò áûòü íàéäåíû ñ ïîìîùüþ ðåøåíèÿ çàäà÷
áèëèíåéíîé îïòèìèçàöèè
λ = min {λ : (A − λB) x ≤ 0, (x, em ) = 1, x ≥ 0} ,
n
o
T
n
λ = max λ : (A − λB) p ≥ 0, (p, e ) = 1, p ≥ 0 .
(4)
(5)
×èñëà λ è λ íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî ÷èñëîì ôîí Íåéìàíà è ÷èñëîì Ôðîáåíèóñà
ìîäåëè ôîí Íåéìàíà. Ïðè ýòîì ÷èñëî ôîí Íåéìàíà λ îïðåäåëÿåò ìàêñèìàëüíûé òåìï
ñáàëàíñèðîâàííîãî ðîñòà, à ÷èñëî Ôðîáåíèóñà λ - ìèíèìàëüíûé òåìï ñáàëàíñèðîâàííîãî
ðîñòà è ïðîäóêòèâíîñòü ìîäåëè [1], [2]. Âåêòîðû x,p â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ (λ, x, p) íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî ïðÿìûì è äâîéñòâåííûì ëó÷àìè ôîí Íåéìàíà, ñîîòâåòñòâóþùèìè
çíà÷åíèþ λ .
Èñõîäÿ èç ðàâåíñòâ (1), (2) è (5), äëÿ îöåíêè ïðîäóêòèâíîñòè ìîäåëè, ò.å. íàõîæäåíèÿ
÷èñëà Ôðîáåíèóñà λ, à òàêæå õàðàêòåðèñòèê óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü
ñëåäóþùóþ çàäà÷ó áèëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ
(λ, x, w) = arg
max
λ,x,w∈D(A,B)
λ,
(6)
Îöåíêà ðàâíîâåñèÿ â ìîäåëè ôîí Íåéìàíà


D(A, B) = (λ, x, w)

3

(A − λB)x ≤ 0, (A − λB)T w ≥ 0, 
(x, em ) = 1, (w, en ) = 1,

x ≥ 0, w ≥ 0, λ ≥ 0
(7)
×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷è (6)-(7) ðàññìîòðåíû â ðàáîòå [9]. Îíè áàçèðóþòñÿ
íà âû÷èñëåíèè êîðíåé ìîíîòîííîé ôóíêöèè
u(λ) =
min
m
x: (x,e )=1, x≥0
max
i=1,2,...n
m
X
(aij − λbij ) xj
j=1
èëè
v(λ) =
max
w: (w,en )=1, w≥0
min
j=1,2,...m
n
X
(aij − λbij ) wi
i=1
ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ λ. Ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè λ çíà÷åíèÿ ôóíêöèé u(λ) è
v(λ) ðàâíû çíà÷åíèÿì ñëåäóþùèõ âçàèìíî äâîéñòâåííûõ çàäà÷ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ
min {u : (A − λB) x ≤ u, (x, em ) = 1, x ≥ 0} ,
(8)
n
o
max v : (A − λB)T w ≥ v, (w, en ) = 1, w ≥ 0 .
(9)
Òàêèì îáðàçîì, óïîìÿíóòûé àëãîðèòì òðåáóåò ðåøåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè çàäà÷ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ (8) è/èëè (9).
Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî ïðè çíà÷åíèÿõ λ áëèçêèõ ê èñêîìûì, ò.å. êîãäà u(λ), v(λ) → 0 , ñîîòâåòñòâóþùèå çàäà÷è ñòàíîâÿòñÿ âûðîæäåííûìè, ÷òî âëå÷åò íåâîçìîæíîñòü èõ ðåøåíèÿ
ñ ïîìîùüþ òðàäèöèîííûõ ñðåäñòâ, èñïîëüçóþùèõ âû÷èñëåíèÿ ñ ïëàâàþùåé òî÷êîé.
Äëÿ óñòîé÷èâîãî íàõîæäåíèÿ êîðíåé ôóíêöèé u(λ) è u(λ) ìîæíî ïðèìåíèòü ÷èñëåííûå
ìåòîäû ðåøåíèÿ ìàòðè÷íûõ èãð. Îñíîâàíèåì ýòîãî ÿâëÿåòñÿ
Ïóñòü à ìàòðè÷íàÿ èãðà ñ ïëàòåæíîé ìàòðèöåé (A − λB)T , ïóñòü òàêæå x , p îïòèìàëüíûå ñìåøàííûå ñòðàòåãèè ïåðâîãî è âòîðîãî èãðîêîâ ñîîòâåòñòâåííî, u∗ öåíà èãðû Ã. Òîãäà (u∗ , x∗ ) è (u∗ , p∗ ) îïòèìàëüíûå ðåøåíèÿ çàäà÷ (8) è
(9) ñîîòâåòñòâåííî.
Òåîðåìà 1.
∗
∗
Äîêàçàòåëüñòâî ñïðàâåäëèâîñòè òåîðåìû òðèâèàëüíî. Îíî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì èãðîâîé èíòåðïðåòàöèè äâîéñòâåííîñòè â ëèíåéíîì ïðîãðàììèðîâàíèè.
Äëÿ ðåøåíèÿ ìàòðè÷íûõ èãð èçâåñòíû âïîëíå óñòîé÷èâûå èòåðàöèîííûå àëãîðèòìû.
Ïðèìåíåíèå äëÿ ðåøåíèÿ ìàòðè÷íûõ èãð ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ îñíîâàíî íà òîì,
÷òî èãðà Ã ñ ïëàòåæíîé ìàòðèöåé (A − λB)T = (A − λB)T + γI , ãäå I (n × m)-ìàòðèöà,
âñå ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû 1, γ = min{aij − λbij : i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n}, èìååò
çíà÷åíèå u∗ = u∗ + γ è îïòèìàëüíûå ðåøåíèÿ x∗ = x∗ , p∗ = p∗ , à ñîîòâåòñòâóþùèå
çàäà÷è ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ äëÿ èãðû ñ ïëàòåæíîé ìàòðèöåé (A − λB)T èìåþò
íåâûðîæäåííîå îïòèìàëüíîå ðåøåíèå.
Îöåíêà ðàâíîâåñèÿ â ìîäåëè ôîí Íåéìàíà
3
4
Îöåíêà ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ
ïðè èíòåðâàëüíûõ ìàòðèöàõ çàòðàò è âûïóñêà
Äàëåå îáîçíà÷èì ÷åðåç A è B ìàòðèöû çàòðàò è âûïóñêà, ýëåìåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ
÷èñëîâûå èíòåðâàëû. ×åðåç midA è midB îáîçíà÷èì òî÷å÷íûå ìàòðèöû, ýëåìåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ öåíòðû èíòåðâàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèö A è B ñîîòâåòñòâåííî. ×åðåç A
è B îáîçíà÷èì òî÷å÷íûå ìàòðèöû, ñîñòîÿùèå èç íèæíèõ ãðàíèö èíòåðâàëüíûõ ýëåìåíòîâ
ìàòðèö A è B ñîîòâåòñòâåííî; à ÷åðåç A è B - òî÷å÷íûå ìàòðèöû, ñîñòîÿùèå èç âåðõíèõ
ãðàíèö èíòåðâàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèö A è B ñîîòâåòñòâåííî [8].
Òåîðåìà 2.
Ïóñòü βA è βB óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì
à = βA · midA ∈ A, B̃ = βB · midB ∈ B;
ïóñòü òàêæå
(λ∗ , x∗ , w∗ ) = arg
max
λ.
λ,x,w∈D(midA,midB)
Òîãäà
Äîêàçàòåëüñòâî.
åò âèä
λ∗ βA ∗ ∗
, x, w
βB
= arg
max
λ.
λ,x,w∈D(Ã,B̃)
Çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ ðàâíîâåñèÿ äëÿ ìîäåëè (Ã, B̃) èìå-
(λ̃∗ , x̃, w̃) = arg
max
(10)
λ̃,
λ̃,x,w∈D(Ã,B̃)


D(Ã, B̃) = (λ̃, x, w)


(Ã − λ̃B̃)x ≤ 0, (Ã − λ̃B̃)T w ≥ 0, 
(x, em ) = 1, (w, en ) = 1,
.

x ≥ 0, w ≥ 0, λ̃ ≥ 0
(11)
e = λβA /βB , ïîëó÷èì:
Ñäåëàâ â çàäà÷å (10)-(11) çàìåíó ïåðåìåííîé λ
(λ∗ , x̃, w̃) = arg
max
(12)
λ,
λ,x,w∈D(Ã,B̃)




D(Ã, B̃) = (λ, x, w)



(Ã − λβA /βB B̃)x ≤ 0,
(Ã − λβA /βB B̃)T w ≥ 0,
(x, em ) = 1, (w, en ) = 1,
x ≥ 0, w ≥ 0, λ ≥ 0




(13)
.



Ïåðåïèñàâ çàäà÷ó (12)-(13) ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ òåîðåìû â òåðìèíàõ ìàòðèö midA è midB,
áóäåì èìåòü ðàâíîñèëüíóþ çàäà÷ó
(λ∗ , x∗ , w∗ ) = arg
max
(14)
λ,
λ,x,w∈D(midA,midB)




D(midA, midB) = (λ, x, w)



(midA − λmidB)x ≤ 0,
(midA − λmidB)T w ≥ 0,
(x, em ) = 1, (w, en ) = 1,
x ≥ 0, w ≥ 0, λ ≥ 0







.
(15)
Îöåíêà ðàâíîâåñèÿ â ìîäåëè ôîí Íåéìàíà
5
Ïîëó÷åííàÿ çàäà÷à ñîâïàäàåò ñ çàäà÷åé íàõîæäåíèÿ ïàðàìåòðîâ (λ∗ , x∗ , w∗ ) äëÿ òî÷å÷íîé
ìîäåëè ôîí Íåéìàíà (midA, midB). Ó÷èòûâàÿ ñäåëàííóþ çàìåíó ïåðåìåííûõ, ïðèõîäèì ê
çàêëþ÷åíèþ, ÷òî êîðòåæ (λ∗ βA /βB , x∗ , w∗ ) ÿâëÿåòñÿ ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ äëÿ ìîäåëè
ôîí Íåéìàíà (Ã, B̃). Òåîðåìà äîêàçàíà.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè íåîïðåäåëåííîñòü ÿâëÿåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé è ñîñòîèò â íåçíàíèè êîýôôèöèåíòîâ ïðîïîðöèîíàëüíîñòè βA è βB , òî êàê ïðÿìîé, òàê è äâîéñòâåííûé ëó÷
ôîí Íåéìàíà ìîãóò áûòü íàéäåíû ïî ìàòðèöàì öåíòðîâ èíòåðâàëîâ.
Òåîðåìà 3.
Ïóñòü òî÷å÷íûå ìàòðèöû (Ã, B̃) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ
(16)
à ∈ A, B̃ ∈ B;
ïóñòü òàêæå
(λ̃, x̃, w̃) = arg
max
λ;
(17)
λ;
(18)
λ.
(19)
λ,x,w∈D(Ã,B̃)
(λ, x, w) = arg
max
λ,x,w∈D(A,B)
(λ, x, w) = arg
max
λ,x,w∈D(A,B)
Òîãäà λ ≤ λ̃ ≤ λ.
Èç óñëîâèÿ (16) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáûõ
Äîêàçàòåëüñòâî.
i = 1, 2, . . . , n;
j = 1, 2, . . . , m
âûïîëíÿåòñÿ:
(20)
aij ≥ ãij , bij ≥ b̃ij , aij ≤ ãij , bij ≤ b̃ij .
Îòêóäà ñëåäóåò âîçìîæíîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ
à = A + A0 = A − A00 ,
B̃ = B + B 0 = B̃ − B 00 ,
ãäå
0
A =
a0ij
= ãij − aij ,
A00 = a00ij = (aij − ãij ) ,
0
b0ij
= b̃ij − bij ,
B 00 = b00ij = bij − b̃ij ,
B =
ïðè÷åì âñå ýëåìåíòû ìàòðèö A0 , B 0 , A00 è B 00 íåîòðèöàòåëüíû.
Ñäåëàâ çàìåíó ìàòðèö à = A − A00 è B̃ = B + B 0 â çàäà÷å (17)áóäåì èìåòü ýêâèâàëåíòíóþ çàäà÷ó
(λ̃, x̃, w̃) = arg
max
λ,
(21)
(λ,x,w)∈D(Ã,B̃)




D(Ã, B̃) = (λ, x, w)



(A − A00 − λ(B + B 0 ))x ≤ 0,
(A − A00 − λ(B + B 0 ))T w ≥ 0,
(x, em ) = 1, (w, en ) = 1,
x ≥ 0, w ≥ 0, λ ≥ 0







(22)
Îöåíêà ðàâíîâåñèÿ â ìîäåëè ôîí Íåéìàíà
6
Èç íåîòðèöàòåëüíîñòè ìàòðèö A00 è B 0 âòîðîãî íåðàâåíñòâà â (22) ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü
íåðàâåíñòâà
(A − λ̃B)T w̃ ≥ 0.
Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî j = 1, 2, . . . , m
n
P
λ̃ ≤
n
P
aij w̃i
i=1
n
P
≤
b ij w̃i
i=1
i=1
n
P
aij wi
(23)
b ij wi
i=1
Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî â äàííîé öåïî÷êå ñëåäóåò èç óñëîâèÿ (18) òåîðåìû, â ñîîòâåòñòâèè
ñ êîòîðûì
n
P
aij wi
i=1
w = arg
max
min
.
n
j=1,2,...,m P
w:(w,en )=1,w≥0
b ij wi
i=1
Ïîñêîëüêó
n
P
λ=
max
w:(w,en )=1,w≥0
i=1
min P
j=1,2,...,m n
aij wi
,
b ij wi
i=1
òî èìååì: λ̃ ≤ λ. Íåðàâåíñòâî λ̃ ≥ λ äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñëå
çàìåíû ìàòðèö à = A + A0 è B̃ = B − B 00 â çàäà÷å (17) ïîëó÷èì çàäà÷ó
(λ̃, x̃, w̃) = arg
max
(24)
λ,
(λ,x,w)∈D(Ã,B̃)




D(Ã, B̃) = (λ, x, w)



(A + A0 − λ(B − B 00 ))x ≤ 0,
(A + A0 − λ(B − B 00 ))T w ≥ 0,
(x, em ) = 1, (w, en ) = 1, x ≥ 0,
w ≥ 0, λ ≥ 0




.
(25)



Èç íåîòðèöàòåëüíîñòè ìàòðèö A0 è B 00 b è ïåðâîãî íåðàâåíñòâà â (25) ñëåäóåò (A − λ̃B)x̃ ≤
0, ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî i = 1, 2, . . . , n èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî:
m
P
λ̃ ≥
j=1
m
P
m
P
a ij x̃j
≥
bij x̃j
j=1
j=1
m
P
a ij x j
(26)
bij x j
j=1
Ïîcëåäíåå íåðàâåíñòâî â äàííîé öåïî÷êå ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî
m
P
x = arg
min
x:(x,em )=1,x≥0
j=1
max P
i=1,2,...,n m
j=1
a ij xj
.
bij xj
Îöåíêà ðàâíîâåñèÿ â ìîäåëè ôîí Íåéìàíà
Ïîñêîëüêó
7
m
P
λ=
min
x:(x,em )=1,x≥0
j=1
max P
i=1,2,...,n m
a ij xj
,
bij xj
j=1
òî λ̃ ≥ λ . Òåîðåìà äîêàçàíà.
4
Çàêëþ÷åíèå
 òî÷å÷íîé ìîäåëè ôîí Íåéìàíà ïîèñê ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñëåäóåò îñóùåñòâëÿòü ñ
ïîìîùüþ óñòîé÷èâûõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ìàòðè÷íûõ èãð.
Ìîäåëü ôîí Íåéìàíà (midA, midB) îïðåäåëÿåò êàê ïðÿìîé, òàê è äâîéñòâåííûé ëó÷
ôîí Íåéìàíà äëÿ ìîäåëè ôîí Íåéìàíà ñ ìóëüòèïëèêàòèâíîé íåîïðåäåëåííîñòüþ â ýëåìåíòàõ ìàòðèö çàòðàò A è âûïóñêà B .
×èñëî Ôðîáåíèóñà ìîäåëè ôîí Íåéìàíà (A, B) ñ èíòåðâàëüíûìè ìàòðèöàìè çàòðàò è
âûïóñêà îãðàíè÷åíî ñâåðõó ÷èñëîì Ôðîáåíèóñà äëÿ ìîäåëè ôîí Íåéìàíà (A, B), ñíèçó
- ÷èñëîì Ôðîáåíèóñà äëÿ ìîäåëè ôîí Íåéìàíà (A, B), ãäå A, B òî÷å÷íûå ìàòðèöû
âåðõíèõ ãðàíèö èíòåðâàëîâ ìàòðèö A è B ñîîòâåòñòâåííî, A, B òî÷å÷íûå ìàòðèöû
íèæíèõ ãðàíèö èíòåðâàëîâ ýòèõ æå ìàòðèö.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1]
Àøìàíîâ Ñ.À.
[2]
Àëüñåâè÷ Â.Â.
[3]
Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ýêîíîìèêó : Ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ ñïåö.
¾Ïðèêë. ìàòåìàòèêà¿. Ì. : Íàóêà, 1984. 293 ñ.
Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ýêîíîìèêó. Êîíñòðóêòèâíàÿ òåîðèÿ. Ì : Åäèòîðèàë ÓÐÑÑ, 2005. 256 ñ.
Öèñàðü È.Ô. Êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå ýêîíîìèêè / È.Ô. Öèñàðü, Â.Ã. Íåéìàí.
Ì.: Äèàëîã-ÌÈÔÈ, 2002. 304 c.
[4]
Ëàòèïîâà
À.Ò.
Ìîäåëü îïòèìèçàöèè áþäæåòèðîâàíèÿ äëÿ ïðåäïðèÿòèé
ìèíåðàëüíî-ñûðüåâîãî êîìïëåêñà // Ñòðàòåãèÿ ðàçâèòèÿ ìèíåðàëüíî-ñûðüåâîãî
êîìïëåêñà â XXI âåêå. Ìàòåðèàëû ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè. Ìîñêâà-Áèøêåê.
Ì : Èçä-âî ÐÓÄÍ, 2004. Ñ. 206208.
[5]
Ëàòèïîâà À.Ò.
[6]
Ëàòèïîâà À.Ò.
Ìîäåëü îïòèìèçàöèè öåíîâîé ñòðàòåãèè äëÿ çàäà÷ áþäæåòèðîâàíèÿ
// Ðîññèéñêàÿ êîíôåðåíöèÿ ¾Äèñêðåòíûé àíàëèç è èññëåäîâàíèå îïåðàöèé¿. Ìàòåðèàëû êîíôåðåíöèé (Íîâîñèáèðñê, 28 èþíÿ 2 èþëÿ 2004). Íîâîñèáèðñê : Èçä-âî Èí-òà
ìàòåìàòèêè, 2004. Ñ. 206.
Öåíîâàÿ äèâåðñèôèêàöèÿ â áþäæåòèðîâàíèè // Ýêîíîìèêà è ìåíåäæìåíò: ïðîáëåìû è ïåðñïåêòèâû: Òðóäû Ìåæäóíàðîäíîé íàó÷íî-ïðàêòè÷åñêîé
êîíôåðåíöèè. 611 èþíÿ 2005 ãîäà. ÑÏá : Èçä-âî Ïîëèòåõí. óí-òà, 2005. Ñ. 562566.
Îöåíêà ðàâíîâåñèÿ â ìîäåëè ôîí Íåéìàíà
[7]
[8]
[9]
8
Îïòèìèçàöèÿ áþäæåòà ïðîäàæ // Âåñòíèê ÞæíîÓðàëüñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà. Ñåðèÿ: Ðûíîê: Òåîðèÿ è ïðàêòèêà. ×åëÿáèíñê : ÞÓðÃÓ, 2006. - Âûï. 4, N 15(170). Ñ. 116120.
Ëàòèïîâà À.Ò., Ïàíþêîâ À.Â.
Ïðèêëàäíîé èíòåðâàëüíûé àíàëèç.
Ì. : Èæåâñê : Èíñòèòóò êîìïüþòåðíûõ èññëåäîâàíèé, 2005. 468 ñ.
Æîëåí Ë., Êèôåð Ì., Äèäðè Î., Âàëüòåð Ý.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü áþäæåòèðîâàíèÿ // Ïðîáëåìû òåîðåòè÷åñêîé è ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè: Òðóäû 37-é ðåãèîíàëüíîé ìîëîäåæíîé êîíôåðåíöèè.
Åêàòåðèíáóðã : ÓðÎ ÐÀÍ, 2006. Ñ. 391397.
Ëàòèïîâà À.Ò.