Открытый урок "Тригонометрическая форма комплексного числа" Цели занятия: Межпредметные связи:

Открытый урок "Тригонометрическая форма комплексного числа"
Цели занятия:
Образовательная: систематизировать знания и умения, формировать у
обучающихся новые понятия с опорой на ранее полученные.
Развивающая: развивать мышление, познавательные умения, навыки
самостоятельной работы.
Воспитательная: воспитание положительного отношения к учебе, интереса
к будущей профессии.
Межпредметные связи: электротехника, электрооборудование,
электроснабжение, электроника.
Обеспечение занятия: Проектор, таблицы, фломастеры.
Ход урока
1. Организационный момент
2. Мотивация
Сообщение темы урока “Тригонометрическая форма комплексного числа.
Переход от алгебраической к тригонометрической форме”
3. Актуализация прежних знаний
На предыдущем уроке была проведена контрольная работа по теме
“Алгебраическая форма комплексного числа”. Где рассматривались задачи
на сложение, вычитание, умножение, деление комплексных чисел.
Проводится анализ контрольной работы, обращается внимание на
допущенные ошибки, проецируя правильное решение на экране.
4. Формирование новых знаний.
Комплексные числа имеют 3 формы, одну уже изучили - алгебраическую
Но в электротехнике, электрооборудовании, электронике, автоматике и
других дисциплинах комплексное число записывается в тригонометрической
форме. Например: при работе трансформатора идет нагрев обмоток активное сопротивление R, катушка выделяет электромагнитные волны реактивное сопротивление. Сняли замеры трансформатора
3+5i,
где 3 Ом - активное сопротивление,
5 Ом - реактивное сопротивление
Тригонометрическая форма комплексного числа
.
На любом трансформаторе стоит маркировка
. Это энергетический
показатель ГОС стандартов. Он показывает эффективность работы, КПД,
- активный показатель мощности, тока, напряжения.
- реактивный
показатель.
Любое комплексное число (кроме нуля)
тригонометрической форме:
можно записать в
, где – это модуль комплексного числа, а –
аргумент комплексного числа. Не разбегаемся, всё проще, чем кажется.
Изобразим на комплексной плоскости число
. Для определённости
и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти,
т.е. считаем, что
:
Модулем комплексного числа называется расстояние от начала
координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту
говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже
обозначен красным цветом.
Модуль комплексного числа
стандартно обозначают:
или
По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля
комплексного числа:
значений «а» и «бэ».
. Данная формула справедлива для любых
Аргументом комплексного числа называется угол между
положительной полуосью действительной оси
и радиус-вектором,
проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не
определён для единственного числа:
.
Аргумент комплексного числа
стандартно обозначают:
или
Из геометрических соображений получается следующая формула для
нахождения аргумента:
.
Внимание! Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если
комплексное число располагается не в 1-ой и не 4-ой координатной четверти,
то формула будет немного другой.
Для этого рассмотрим формулы для нахождения 𝜑 в зависимости от а и b.
1. 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑏
𝑎
2. 𝑎 > 0, 𝑏 < 0 𝜑 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑏
𝑎
3. 𝑎 < 0, 𝑏 > 0 𝜑 = 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑏
𝑎
4. 𝑎 < 0, 𝑏 < 0 𝜑 = −𝜋 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
5. 𝑎 = 0, 𝑏 > 0 𝜑 =
𝜋
2
6. 𝑎 = 0, 𝑏 < 0 𝜑 = −
7. 𝑎 > 0, 𝑏 = 0 𝜑 = 0
8. 𝑎 < 0, 𝑏 = 0 𝜑 = 𝜋
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1
√3
3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝜋
4
𝜋
6
𝜋
3
𝜋
2
𝑏
𝑎
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 0
0
Пример Представим в тригонометрической форме число
его модуль и аргумент.
Поскольку
. Найдем
(случай 2), то
– вот здесь
нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице
отсутствует значение
, поэтому в подобных случаях аргумент
приходится оставлять в громоздком виде:
– число
в тригонометрической
форме.
После некоторого времени подготовки начинается соревнование.
Задания для решения в группах:
1 группа. Вычислите
а)
б)
;
;
в)
;
г)
;
д)
;
2 группа. Вычислите:
а)
;
б)
;
в)
г)
д)
;
;
;
3 группа. Вычислите:
а)
;
б)
в)
г)
д)
;
;
;
;
По окончании соревнования подводятся итоги, проводится рефлексия, а
также оцениваются знания, умения и навыки, приобретенные студентами за
урок.
Дается домашнее задание (проецируется с помощью проектора).