Комплексные числа. Определение: Комплексным числом z называется упорядоченная пара (x, y) действительных чисел, первое из которых x называется действительной частью, а второе y – мнимой частью этого комплексного числа. При этом число (1,0) =1, (0,1) = i (мнимая единица); x (1,0) =(x,0) =x, y (0,1) = (0, y) =i y; (x,0) + (0, y) = (x, y) = x +i y. Алгебраическая форма комплексного числа Выражение вида (1), где х, у , называется алгебраической формой комплексного числа. х - действительная часть и обозначается ,а у – мнимая часть и обозначается . Если , то – чисто мнимое число. Если , то . Определение: Два комплексных числа и называются взаимно сопряжёнными. Они отличаются друг от друга только знаками мнимой части. Определение: Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их мнимые и действительные части. Замечание: 1. Для комплексных чисел не существует отношений больше или меньше. 2. Комплексное число равно 0 тогда и только тогда, когда действительная и мнимая части равны 0. Действия с комплексными числами в алгебраической форме Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел производится по тем же правилам, что и действия с многочленами, учитывая при этом, что . Пусть , тогда , . Пример: , ; , Для того, чтобы разделить два комплексных числа в алгебраической форме, необходимо числитель и знаменатель умножить на число, сопряжённое знаменателю. Комплексные числа в алгебраической форме можно возводить в любую степень и извлекать корни любой степени. Определение: n-ной степенью комплексного числа Z называется произведение n сомножителей, каждое из которых равно Z. Из определения следует, что при возведении в степень комплексных чисел можно использовать изученные в средней школе формулы сокращённого умножения. Пример: выполнить действия: Тригонометрическая форма комплексного числа. Пусть дано комплексное число z=(x,y) или Z . Геометрически каждое М(х;у) уМ комплексное число изображается точкой M(x,y) координатной плоскости OXY. Проведём радиус-вектор . Таким образом, любое комплексное число геометрически также представляет собой , координаты х радиус-вектор точки которой соответственно – действительная и 0 хМ мнимая части. Точки, лежащие на Оу изображают чисто мнимые комплексные числа. Ось Оу называется мнимой осью у Определение: Модулем комплексного числа Z называется длина радиус-вектора задающего это комплексное число. Обозначается , . Определение: Аргументом комплексного числа Z называется угол, образованный радиус-вектором с положительным направлением оси Ох. Обозначается . Аргумент Z считается положительным, если отсчёт ведётся против часовой стрелки, и отрицательным, если отсчёт ведётся по часовой стрелке. При решении задач условимся считать в промежутке Причём для вычисления аргумента удобно пользоваться формулами: Тригонометрическая форма комплексного числа. Из геометрического изображения комплексного числа следует, что Подставим эти значения в алгебраическую форму комплексного числа: Таким образом, любое комплексное число полностью определяется своими модулем r и аргументом : Пример: Дано комплексное число аргумент. у Z х 2 0 . Найти модуль и Ответ: ; ; . Из арифметических действий, производимых над тригонометрической формой комплексного числа, наиболее интересными являются действия умножения, деления, возведения в степень и извлечение корня. Пусть даны и . Тогда Правило: Чтобы умножить два комплексных числа в тригонометрической форме, необходимо перемножить их модули, а аргументы сложить. Возведение в степень. Из определения n-ной степени комплексного числа и правила произведения следует, что для того, чтобы возвести комплексное число в тригонометрической форме в n- ую степень, необходимо в эту степень возвести модуль, а аргумент увеличить в n раз. Деление. Пусть даны и . Тогда Извлечение корня. Рассмотрим формулу, позволяющую извлекать корни различной степени из комплексного числа. Определение: Корнем n-ной степени из комплексного числа Z называется такое комплексное число, n-ная степень которого равна подкоренному выражению. Найдём это число Z1. Пусть ,а . Из определения n-ной степени из комплексного числа Z следует, что , отсюда Из периодичности функций sin и cos следует, что аргументы равных комплексных чисел отличаются на число, кратное . где Таким образом, имеет место равенство
