тригонометрическая форма записи комплексного числа 10 класс

Тригонометрическая форма
записи комплексного числа.
-новая форма представления
комплексного числа;
-свойства модуля комплексного
числа;
Учитель математики
МОУ СОШ №2
Чернышова Ирина Сергеевна
Определение 1:
Модулем комплексного числа
z=a+bi называют число
.
Обозначение
y
z
b
0
a
x
y
2
x
0
y
-3
z
1
0
z
2
x
Свойства модуля комплексного числа:
Связь между числовой окружностью на
координатной плоскости и модулем
комплексного числа.
Модуль комплексного числа равен 1 тогда и
только тогда, когда соответствующая ему
точка на координатной плоскости лежит на
числовой окружности. Точки числовой
окружности М(х;у) можно записать в виде
комплексного числа (учитывая, что х=cosα ,
у=sinα) , то z=cosα+isinα.
Важно знать!
1. Если комплексное число z лежит на числовой
окружности, то z=cosα+isinα для некоторого
действительного числа α и наоборот, если
z=cosα+isinα , то z лежит на числовой
у
окружности.
z
sinα
0
-1
cosα 1
х
Важно знать!
2. Если комплексное число z лежит на единичной
окружности, то
. Обратно,
если
, то z лежит на единичной окружности.
у
z
0
х
Определение 2.
Тригонометрической формой комплексного
числа z (не равного нулю), называют его запись
виде z=ρ(cosα+isinα), где ρ-положительное
действительное число.
Всякое отличное от нуля комплексное число z
может быть записано в виде z=lZl(cosα+isinα),
где α-некоторое действительное число. Если
z=ρ(cosα+isinα) – другая тригонометрическая
запись числа z, то ρ=lZl и βα=2πk, kЄΖ
Определение 3
Аргументом отличного от нуля комплексного
числа z называют действительное число α, такое,
что 1) αЄ(π;π]
2) z=lZl(cosα+isinα).
arg z
α=arg z
Геометрический смысл аргумента
комплексного числа:
это угол в пределах (π;π] , образованный
вектором z с положительным z
lΖl
arg z
направлением оси абсцисс.
Обозначение:
Важно знать!
• Соединение вместе модуля и аргумента
комплексного числа приводит к
стандартной тригонометрической
форме записи комплексного числа.
• Два комплексных числа равны между
собой тогда и только тогда, когда равны
их модули и равны их аргументы!
Умножение и деление комплексных
чисел:
Если z =ρ (cosα+isinα), и z =ρ (cosα+isinα), то:
1
1)
1
2
2
z z =ρ ρ (cos(αβ)+isin(α+β))
1
2
1
2
2)
а) при умножении комплексных чисел модули
перемножаются, а аргументы складываются;
б) при делении комплексных чисел модули
делятся, а аргументы вычитаются.