ЛЯПУНОВСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ И 16-Я

ÓÄÊ
519.688
Ã.À. Ëåîíîâ, Í.Â. Êóçíåöîâ, Å.Â. Êóäðÿøîâà,
Î.À. Êóçíåöîâà
ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÛÅ ÌÅÒÎÄÛ ÑÈÌÂÎËÜÍÛÕ
ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÉ: ËßÏÓÍÎÂÑÊÈÅ
ÂÅËÈ×ÈÍÛ È 16-ß ÏÐÎÁËÅÌÀ
ÃÈËÜÁÅÐÒÀ
Ñîâðåìåííûå ìåòîäû ñèìâîëüíûõ âû÷èñëåíèé: ëÿïóíîâñêèå âåëè÷èíû è 16-ÿ
ïðîáëåìà Ãèëüáåðòà.
Àííîòàöèÿ.
Ëåîíîâ Ã.À., Êóçíåöîâ Í.Â., Êóäðÿøîâà Å.Â., Êóçíåöîâà Î.À.
Äàííàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà ðàçëè÷íûì ìåòîäàì âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí è ðåàëèçàöèÿì îñíîâàííûõ íà íèõ àëãîðèòìîâ ñèìâîëüíûõ
âû÷èñëåíèé â ïàêåòå Ìàòëàá.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñèìâîëüíûå âû÷èñëåíèÿ, ëÿïóíîâñêèå âåëè÷èíû, ñëàáûé
ôîêóñ, 16-ÿ ïðîáëåìà Ãèëüáåðòà, ìàëûå ïðåäåëüíûå öèêëû.
Modern
symbolic computation methods: Lyapunov quantities and 16th Hilbert
problem.
Abstract.
Leonov G.A., Kuznetsov N.V., Kudryashova E.V., Kuznetsova O.A.
In this work various methods of Lyapunov quantities computation
are discussed and implementations of symbolic computation algorithms, based on
them, in Matlab are shown.
Keywords: symbolic computations, Lyapunov quantities, weak focus, 16th Hilbert
problem, small limit cycles.
1. Ââåäåíèå.
Ðàçâèòèå ìåòîäîâ âû÷èñëåíèÿ è àíàëèçà ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí ñòèìóëèðîâàëîñü êàê ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêèìè
ïðîáëåìàìè (16-ÿ ïðîáëåìà Ãèëüáåðòà, çàäà÷à ðàçëè÷åíèÿ öåíòðà
è ôîêóñà, îïðåäåëåíèå öèêëè÷íîñòè ôîêóñà, àíàëèç óñòîé÷èâîñòè
äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì), òàê è ïðèêëàäíûìè èíæåíåðíûìè çàäà÷àìè (èññëåäîâàíèå ãðàíèö îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè è âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé). Ïðèìåíåíèå ñîâðåìåííîé êîìïüþòåðíîé òåõíèêè è ïàêåòîâ ñèìâîëüíûõ âû÷èñëåíèé ïîçâîëèëî ñóùåñòâåííî ïðîäâèíóòüñÿ â èçó÷åíèè ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí.  òî âðåìÿ êàê ñèìâîëüíûå
âûðàæåíèÿ äëÿ ïåðâîé è âòîðîé ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èíû áûëè ïîëó÷åíû â 19401950-å ãã. [1, 2], à ïåðâàÿ ïðîãðàììà èõ âû÷èñëåíèÿ
äëÿ ÝÂÌ áûëà ñîçäàíà â 1968 ã. [3], âûðàæåíèå äëÿ òðåòüåé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû â îáùåì âèäå áûëî âïåðâûå âû÷èñëåíî òîëüêî â
2008 ã. [47]. Ýòî ñòàëî âîçìîæíûì áëàãîäàðÿ ðàçâèòèþ àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí, ðåàëèçàöèè ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ íà èõ îñíîâå è ïðèìåíåíèþ ñîâðåìåííûõ
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
5
ìåòîäîâ êîìïüþòåðíûõ âû÷èñëåíèé.  íàñòîÿùåé ñòàòüå îïèñàíû
ðàçëè÷íûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí, ïðèâåäåíû
ïðèìåðû èõ êîìïüþòåðíûõ ðåàëèçàöèé.
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì â ñëó÷àå äâóõ ÷èñòî ìíèìûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ (òàê
íàçûâàåìûé êðèòè÷åñêèé ñëó÷àé, êîãäà îêàçûâàåòñÿ íåäîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü ëèíåéíîå ïðèáëèæåíèå ñèñòåìû äëÿ îïðåäåëåíèÿ óñòîé÷èâîñòè èñõîäíîé íåëèíåéíîé ñèñòåìû) â êëàññè÷åñêèõ
ðàáîòàõ À. Ïóàíêàðå [8] è À.Ì. Ëÿïóíîâà [9] áûë ïðåäëîæåí ìåòîä
âû÷èñëåíèÿ òàê íàçûâàåìîé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû (ôîêóñíîé âåëè÷èíû èëè êîíñòàíòû ÏóàíêàðåËÿïóíîâà). Çíàê ëÿïóíîâñêîé
âåëè÷èíû õàðàêòåðèçóåò çàêðóòêó/ðàñêðóòêó ðåøåíèé ñèñòåìû â
ìàëîé îêðåñòíîñòè ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ è óñòîé÷èâîñòü/íåóñòîé÷èâîñòü ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
Ðàññìîòðèì äîñòàòî÷íî ãëàäêóþ äâóìåðíóþ ñèñòåìó
2. Ëÿïóíîâñêèå âåëè÷èíû.
dx
= F (x, y),
dt
dy
= G(x, y),
dt
(1)
ãäå F (0, 0) = G(0, 0) = 0 (ò. å. òî÷êà (0, 0) ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíîé
òî÷êîé ñèñòåìû). Çàïèøåì ñèñòåìó (1) â âèäå
dx
= f10 x + f01 y + f (x, y),
dt
dy
= g10 x + g01 y + g(x, y),
dt
(2)
ãäå ðàçëîæåíèå ôóíêöèé f è g íà÷èíàåòñÿ ñ ÷ëåíîâ íå íèæå âòîðîãî ïîðÿäêà.
Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî â îòêðûòîé îêðåñòíîñòè U ðàäèóñà
RU òî÷êè (x, y) = (0, 0) ïðàâàÿ ÷àñòü ñèñòåìû èìååò íåïðåðûâíûå
÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå n-ãî ïîðÿäêà
f (·, ·), g(·, ·) : R × R → R ∈ C n (U )
6
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
(3)
è âûïîëíåíî ïðåäñòàâëåíèå
f (x, y) =
g(x, y) =
n
X
k+j=2
n
X
fkj xk y j + o (|x| + |y|)n = fn (x, y) + o (|x| + |y|)n ,
gkj xk y j + o (|x| + |y|)n = gn (x, y) + o (|x| + |y|)n .
k+j=2
(4)
Ðàññìîòðèì ìàòðèöó ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ñèñòåìû â íóëåâîé
ñòàöèîíàðíîé òî÷êå
f10 f01
A(0,0) =
(5)
g10 g01
è, ââåäÿ îáîçíà÷åíèÿ
σ = TrA(0,0) = f10 + g01 ,
∆ = det A(0,0) = f10 g01 − f01 g10 ,
çàïèøåì åå ñîáñòâåííûå ÷èñëà:
λ1,2
σ
= ±
2
r
σ2
− ∆.
4
Ïóñòü ìàòðèöà A(0,0) ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ñèñòåìû èìååò äâà
÷èñòî ìíèìûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñëà (ò. å. σ = 0 è ∆ > 0).  ýòîì
ñëó÷àå, íå óìàëÿÿ îáùíîñòè (ò. å. âñåãäàñóùåñòâóån òàêàÿ íåîñîáàÿ
ëèíåéíàÿ çàìåíà ïåðåìåííûõ), ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
f10 = 0,
f01 = −1,
g10 = 1,
g01 = 0
è ðàññìàòðèâàòü ñèñòåìó
dx
= −y + f (x, y),
dt
dy
= x + g(x, y).
dt
(6)
Çäåñü â ñèñòåìå ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ
dx
= −y,
dt
dy
=x
dt
(7)
äëÿ ñèñòåìû (6) ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû ðàâíû ±i è âñå òðàåêòîðèè ñèñòåìû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ çàìêíóòûìè, à
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
7
Ðèñ. 1: Öåíòð (a) è ôîêóñ (b) ïðè îïðåäåëåíèè ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû.
ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà (0, 0) íàçûâàåòñÿ öåíòðîì (ðèñ. 1, (a)). Äëÿ
èññëåäîâàíèÿ âëèÿíèÿ íåëèíåéíûõ ÷ëåíîâ f (x, y) è g(x, y) íà ïîâåäåíèå òðàåêòîðèé ñèñòåìû (6) â ìàëîé îêðåñòíîñòè ñòàöèîíàðíîé
òî÷êè ðàññìîòðèì, ñëåäóÿ ìåòîäó Ïóàíêàðå, ïåðåñå÷åíèÿ òðàåêòîðèè (6) ñ ïðÿìîé x = 0.
Âûïóñòèì â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 èç òî÷êè (0, h) íà ïðÿìîé
x = 0 òðàåêòîðèþ x(t, h), y(t, h)
x(0, h), y(0, h) = 0, h
è îáîçíà÷èì ÷åðåç T (h) âðåìÿ îáîðîòà òðàåêòîðèè âðåìÿ äî ñëåäóþùåãî ïåðåñå÷åíèÿ òðàåêòîðèè ñ ïðÿìîé x = 0 (äëÿ äîñòàòî÷íî
ìàëûõ h òàêîå âðåìÿ ñóùåñòâóåò è êîíå÷íî, òàê êàê ïðàâûå ÷àñòè
ñèñòåì (6) è (7) ðàçòëè÷àþòñÿ íà o(|x| + |y|) â îêðåñòíîñòè íóëÿ).
Òîãäà
x(T (h)) = 0,
à y(T (h)) ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèáëèæàòü îòðåçêîì ðÿäà ïî
ñòåïåíÿì h
e 2 h2 + L
e 3 h3 + ...
y(T (h)) = h + L
(8)
e m íàçûâàåòñÿ ëÿïóíîâÇäåñü ïåðâûé íåíóëåâîé êîýôôèöèåíò L
ñêîé âåëè÷èíîé, îïðåäåëÿåò óñòîé÷èâîñòü èëè íåóñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíîé òî÷êè è õàðàêòåðèçóåò çàêðóòêó/ðàñêðóòêó òðàåêòîðèè
8
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
(ðèñ. 1, b). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïåðâûé íåíóëåâîé êîýôôèöèåíò
áóäåò îáÿçàòåëüíî èìåòü íå÷åòíûé íîìåð m = (2k + 1). Çíà÷åíèå
L2k+1 íàçûâàþò k -é ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíîé:
e 2k+1 ,
Lk = L
à ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ ñëàáûì ôîêóñîì k -ãî ïîðÿäêà.
Àíàëîãè÷íî ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû è äëÿ
êîìïëåêñíûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ
(5) â ñëó÷àå σ 6= 0.  ýòîì ñëó÷àå ââîäèòñÿ ïîíÿòèå íóëåâîé ëÿïóe1 :
íîâñêîé âåëè÷èíû L0 = L
e 1 )h + o(h),
y(T (h)) = (1 + L
êîòîðàÿ õàðàêòåðèçóåò ýêñïîíåíöèàëüíûé ðîñò ðåøåíèé ñèñòåìû
(àíàëîãè÷íî ëÿïóíîâñêèì ýêñïîíåíòàì èëè õàðàêòåðèñòè÷åñêèì
ïîêàçàòåëÿì, ñì. [10]), îáóñëîâëåííûé âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë.
Îòìåòèì, ÷òî, ñëåäóÿ ðàáîòå À.Ì. Ëÿïóíîâà [9], àíàëîãè÷íóþ
ïðîöåäóðó èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ìîæíî ïðîâîäèòü è äëÿ ñèñòåì áîëüøåé ðàçìåðíîñòè (â ñëó÷àå, êîãäà ó ëèíåéíîé ñèñòåìû
äâà ÷èñòî ìíèìûõ êîðíÿ è îñòàëüíûå îòðèöàòåëüíûå). Íåêîòîðûå
ðåçóëüòàòû ïî âû÷èñëåíèþ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí äëÿ ñèñòåì áîëüøåé ðàçìåðíîñòè ñîäåðæàòñÿ, íàïðèìåð, â [1].
Ðàçâèòèå
ìåòîäîâ âû÷èñëåíèÿ è àíàëèçà ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí ñòèìóëèðîâàëîñü è ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêèìè ïðîáëåìàìè (16-é ïðîáëåìîé Ãèëüáåðòà, îïðåäåëåíèåì öèêëè÷íîñòè ôîêóñà, ðàçëè÷åíèåì öåíòðà è
ôîêóñà), è ïðèêëàäíûìè çàäà÷àìè (èññëåäîâàíèåì ãðàíèö îáëàñòè
óñòîé÷èâîñòè è âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé).
Òàê, ìåòîä Í.Í. Áàóòèíà [11], îñíîâàííûé íà íåçàâèñèìîì
ðàçíîíàïðàâëåííîì èçìåíåíèè çíà÷åíèé ïîñëåäîâàòåëüíûõ íóëåâûõ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí ïðè ïîìîùè âîçìóùåíèé êîýôôèöèåíòîâ, ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü àíàëèòè÷åñêèå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ â
îêðåñòíîñòè ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ìàëûõ ïðåäåëüíûõ öèêëîâ (òàê
íàçûâàåìàÿ ëîêàëüíàÿ 16-ÿ ïðîáëåìà Ãèëüáåðòà [12]) â òåðìèíàõ
êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ ïðàâîé ÷àñòè ñèñòåìû. Äëÿ äâóìåðíûõ êâàäðàòè÷íûõ ñèñòåì ýòà òåõíèêà ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü òðè
ìàëûõ ïðåäåëüíûõ öèêëà âîêðóã îäíîãî èç ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ
(ñëàáîãî ôîêóñà) [11], à äëÿ äâóìåðíûõ ñèñòåì ñ ïðàâîé ÷àñòüþ â
3. Ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí.
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
9
âèäå ïîëèíîìîâ n-îé ñòåïåíè ïîëó÷èòü îöåíêó ñíèçó ÷èñëà ïðåäåëüíûõ öèêëîâ (ñì., íàïðèìåð, îáçîðû [1315]). Çäåñü îñíîâíîé
ïðîáëåìîé (ñì., íàïðèìåð, [16,17]) ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìûõ íóëåé â âûðàæåíèÿõ äëÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí (îïðåäåëåíèå
òàê íàçûâàåìîãî áàçèñà èäåàëà Áàóòèíà, îñíîâàííîãî íà ïîëèíîìèàëüíûõ âûðàæåíèÿõ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû).
 èíæåíåðíîé ìåõàíèêå ñ âû÷èñëåíèåì ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí
ñâÿçàí âàæíûé âîïðîñ î ïîâåäåíèè äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ïðè çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà, áëèçêèõ ê ãðàíèöå îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè. Ñëåäóÿ ðàáîòå Í.Í. Áàóòèíà [1], ðàçëè÷àþò ¾îïàñíûå¿ è ¾áåçîïàñíûå¿
ãðàíèöû, ìàëîå íàðóøåíèå êîòîðûõ âëå÷åò ìàëûå (îáðàòèìûå) èëè
íåîáðàòèìûå èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû. Òàêèå èçìåíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþò, íàïðèìåð, ñöåíàðèÿì ¾ìÿãêîãî¿ è ¾æåñòêîãî¿ âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé, ðàññìîòðåííûì À.À. Àíäðîíîâûì [18]. Òàê, â
ñëó÷àå äâóõ êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ëèíåéíîé ÷àñòè äâóìåðíîé ñèñòåìû â îêðåñòíîñòè ñòàöèîíàðíîé òî÷êè
ïðè ïåðåñå÷åíèè ãðàíèöû îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè îò îòðèöàòåëüíûõ
çíà÷åíèé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè êîðíåé ê ïîëîæèòåëüíûì, åñëè
ïåðâàÿ ëÿïóíîâñêàÿ âåëè÷èíà îòðèöàòåëüíà, òî ïîÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûé óñòîé÷èâûé ïðåäåëüíûé öèêë, êîòîðûé ñòÿãèâàåòñÿ â
òî÷êó ïðè îáðàòíîì èçìåíåíèè ïàðàìåòðà, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ¾áåçîïàñíîé¿ ãðàíèöå. Íàïðîòèâ, åñëè ïåðâàÿ ëÿïóíîâñêàÿ âåëè÷èíà
ïîëîæèòåëüíà, òî ïðè ìàëûõ èçìåíåíèÿõ òðàåêòîðèÿ ìîæåò îòîéòè áåñêîíå÷íî äàëåêî îò ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò
¾îïàñíîé¿ ãðàíèöå.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ìåòîäîâ íàõîæäåíèÿ
ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí è èõ êîìïüþòåðíûõ ðåàëèçàöèé, êîòîðûå
ïîçâîëÿþò îïðåäåëÿòü äàííûå âåëè÷èíû â âèäå ñèìâîëüíûõ âûðàæåíèé, çàâèñÿùèõ îò êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ ïðàâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé ñèñòåìû. Ýòè ìåòîäû ðàçëè÷àþòñÿ ïî ñëîæíîñòè ðåàëèçàöèè àëãîðèòìîâ, ïðîñòðàíñòâó, â êîòîðîì ïðîâîäÿòñÿ âû÷èñëåíèÿ, è êîìïàêòíîñòè ïîëó÷àåìûõ ñèìâîëüíûõ âûðàæåíèé [14, 15, 1923].
Ïåðâûé ìåòîä íàõîæäåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí áûë ïðåäëîæåí â ðàáîòàõ [8] è [9]. Îí áàçèðóåòñÿ íà ïîñëåäîâàòåëüíîì ïîñòðîåíèè ôóíêöèè Ëÿïóíîâà íà îñíîâå èíòåãðàëà ëèíåéíîé ÷àñòè
ñèñòåìû.
 äàëüíåéøåì áûëè ðàçðàáîòàíû ðàçëè÷íûå ìåòîäû âû÷èñëå10
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
íèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí, èñïîëüçóþùèå ïðèâåäåíèå ñèñòåìû ê
íîðìàëüíîé ôîðìå [14, 24]. Îäíàêî ïðè ðåàëèçàöèè ýòèõ ìåòîäîâ
âîçíèêàþò ñëîæíîñòè, ñâÿçàííûå ñ íåîäíîçíà÷íîñòüþ ïðîöåññà ïîñòðîåíèÿ íîðìàëüíîé ôîðìû ñèñòåìû.
Äðóãîé ïîäõîä ê âû÷èñëåíèþ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí ñâÿçàí ñ
íàõîæäåíèåì ïðèáëèæåíèé ðåøåíèÿ ñèñòåìû. Òàê, â ðàáîòå [9] èñïîëüçóåòñÿ ïåðåõîä ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì è ïðîöåäóðà ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåíèé ðåøåíèÿ.
 ðàáîòàõ [46] áûë ïðåäëîæåí íîâûé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí, îñíîâàííûé íà ïîñòðîåíèè ïðèáëèæåíèé ðåøåíèÿ (â âèäå êîíå÷íîé ñóììû ïî ñòåïåíÿì íà÷àëüíûõ äàííûõ) â
èñõîäíîé åâêëèäîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò è âî âðåìåííîé îáëàñòè.
Ïðåèìóùåñòâîì äàííîãî ìåòîäà ÿâëÿåòñÿ èäåîëîãè÷åñêàÿ ïðîñòîòà
è íàãëÿäíîñòü. Ýòîò ïîäõîä òàêæå ìîæåò ïðèìåíÿòüñÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è îïðåäåëåíèÿ èçîõðîííîãî öåíòðà [25], òàê êàê ïîçâîëÿåò
íàéòè ïðèáëèæåíèå âðåìåíè ¾îáîðîòà¿ òðàåêòîðèè â çàâèñèìîñòè
îò íà÷àëüíûõ äàííûõ.
×àñòî äëÿ óïðîùåíèÿ àëãîðèòìà âû÷èñëåíèÿ è êîíå÷íûõ âûðàæåíèé ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè÷íûå ìîäèôèêàöèè ðàññìîòðåííûõ âûøå ìåòîäîâ, ñâÿçàííûå ñ ïðåîáðàçîâàíèåì ñèñòåìû ê êîìïëåêñíûì ïåðåìåííûì [3, 14, 23, 26]. Òàê, íà îñíîâå ìîäèôèêàöèè äëÿ êîìïëåêñíîé îáëàñòè ìåòîäà ïîñòðîåíèÿ
ôóíêöèè Ëÿïóíîâà â 1968 ã. áûëà ðàçðàáîòàíà, ïî-âèäèìîìó, ñàìàÿ ïåðâàÿ êîìïüþòåðíàÿ ïðîãðàììà âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí [3].
Îòìåòèì, ÷òî àíàëèç è âû÷èñëåíèå ñèìâîëüíûõ âûðàæåíèé ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí ìîãóò áûòü òàêæå ñâåäåíû ê ïðèìåíåíèþ ðåêóððåíòíûõ ôîðìóë [15], èñïîëüçîâàíèþ àëãåáðàè÷åñêèõ ìåòîäîâ
ïîñòðîåíèÿ è èññëåäîâàíèÿ ñïåöèàëüíûõ ïîëèíîìîâ [12, 17].
Êðîìå òîãî, îòìåòèì, ÷òî â òî âðåìÿ êàê ñèìâîëüíûå âûðàæåíèÿ ïåðâîé è âòîðîé ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí äëÿ ñèñòåì îáùåãî
âèäà áûëè âû÷èñëåíû åùå â 19401950-å ãã. ñîîòâåñòâåííî Í.Í. Áàóòèíûì [1] è Í.Í. Ñåðåáðÿêîâîé [2], âû÷èñëåíèå âûðàæåíèé äëÿ
ïîñëåäóþùèõ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí ñòàëî âîçìîæíûì ëèøü ìíîãî ïîçæå áëàãîäàðÿ ïîÿâëåíèþ ìîùíîé âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè.
Òàê, âûðàæåíèå äëÿ òðåòüåé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû â îáùåì âèäå
â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ ïðàâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé
ñèñòåìû ïîëó÷åíî â 2008 ã. ïðè ïîìîùè ïàêåòîâ ñèìâîëüíûõ âû÷èñëåíèé [46] è çàíèìàåò íåñêîëüêî ñòðàíèö.
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
11
Ìåòîä ÏóàíêàðåËÿïóíîâà: ïîñòðîåíèå ôóíêöèè Ëÿïóíîâà.
Ñëåäóÿ êëàññè÷åñêèì ðàáîòàì [8,9], ðàññìîòðèì çàäà÷ó ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ëÿïóíîâà äëÿ ñèñòåìû (6). Çàìåòèì, ÷òî
V2 (x, y) =
(x2 + y 2 )
2
ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì ñèñòåìû (7) (ëèíåéíàÿ ñèñòåìà ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ ñèñòåìû (6)), è áóäåì äëÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû (6)
èñêàòü â îêðåñòíîñòè íóëåâîãî ñîñòîÿíèÿ ôóíêöèþ Ëÿïóíîâà â âèäå
x2 + y 2
V (x, y) =
+ V3 (x, y) + ... + Vn+1 (x, y),
(9)
2
ãäå Vk (x, y) îäíîðîäíûå ïîëèíîìû
X
Vk (x, y) =
Vij xi y j , k = 3, ..., n + 1
i+j=k
ñ íåèçâåñòíûìè êîýôôèöèåíòàìè {Vij }i+j=k . Äëÿ ïðîèçâîäíîé
V (x, y) â ñèëó ñèñòåìû (6) ñ ó÷åòîì ïðåäñòàâëåíèÿ (4) èìååì
V̇ (x, y) =
∂V (x, y)
∂V (x, y)
(−y + fn (x, y)) +
(x + gn (x, y))+
∂x
∂y
(10)
+o (|x| + |y|)n+1 .
Îáîçíà÷àÿ â ïîëó÷èâøåìñÿ âûðàæåíèè îäíîðîäíûå ÷ëåíû ïîðÿäêà
k ÷åðåç Wk (x, y) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ñèëó ðàâåíñòâà
V̇2 (x, y) = xf (x, y) + yg(x, y) = o (|x| + |y|)2 ,
âûïîëíåíî V̇ (x, y) = o (|x| + |y|)2 , ïîëó÷èì
V̇ (x, y) = W3 (x, y) + ... + Wn+1 (x, y) + o (|x| + |y|)n+1 .
(11)
Çäåñü
Wk (x, y) =
∂Vk (x, y)
∂Vk (x, y)
x
−y
∂y
∂x
+ uk (x, y),
ãäå êîýôôèöèåíòû ôîðìû uk (x, y) çàâèñÿò îò {Vij }i+j<k è
{fij , gij }i+j<k .
12
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
Êîýôôèöèåíòû {Vij }i+j=k ìîãóò áûòü ïîñëåäîâàòåëüíî îïðåäåëåíû äëÿ k = 3, 4, ... òàê, ÷òîáû ïðîèçâîäíàÿ V (x, y) â ñèëó ñèñòåìû
(11) ïðèíÿëà âèä
V̇ (x, y) = w1 (x2 + y 2 )2 + w2 (x2 + y 2 )3 + ...,
ãäå wi íåêîòîðûå âûðàæåíèÿ, ñîäåðæàùèå òîëüêî êîýôôèöèåíòû {fij , gij } ðàçëîæåíèÿ ïðàâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé ñèñòåìû.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ {Vij }i+j=k ïðè íå÷åòíûõ k
íåîáõîäèìî ðåøèòü âîîáùå ãîâîðÿ íåîäíîðîäíóþ ëèíåéíóþ ñèñòåìó (ïîëó÷åííóþ èç óðàâíåíèÿ W2m+1 (x, y) = 0) èç (k+1) óðàâíåíèÿ
îòíîñèòåëüíî (k + 1) íåèçâåñòíîãî êîýôôèöèåíòà, êîòîðàÿ âñåãäà
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
Ïðè ÷åòíûõ k = (2m+2) ðåøàåòñÿ âîîáùå ãîâîðÿ íåîäíîðîäíàÿ
ëèíåéíàÿ ñèñòåìà (ïîëó÷åííàÿ èç ðàâåíñòâà W2m+2 (x, y)−wm (x2 +
y 2 )m+1 = 0) èç (k + 1) óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî (k + 2) íåèçâåñòíûõ
êîýôôèöèåíòîâ (k + 1) êîýôôèöèåíòà {Vij }i+j=k è wm . ×òîáû
íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû îïðåäåëÿëèñü åäèíñòâåííûì îáðàçîì,
ê ñèñòåìå äîáàâëÿþò [15] îäíî èç óðàâíåíèé:
V(m+1) (m+1) = 0, åñëè m íå÷åòíîå,
V(m) (m+2) + V(m+2) (m) = 0, åñëè m ÷åòíîå.
Îòìåòèì çäåñü, ÷òî ðàâåíñòâî W2m+2 (x, y) = 0 ïðèâîäèò ê ëèíåéíîé ñèñòåìå, ó êîòîðîé ðàíã ìàòðèöû ðàâåí 2m + 1 (â îòëè÷èå
îò íå÷åòíûõ íîìåðîâ).
Ïåðâûé íåíóëåâîé êîýôôèöèåíò wm íàçûâàåòñÿ êîíñòàíòîé
Ëÿïóíîâà èëè ÏóàíêàðåËÿïóíîâà [19, 25] (2πwm ðàâíÿåòñÿ m-é
ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíå [27]). Åñëè òàêàÿ êîíñòàíòà wm 6= 0 íàéäåíà,
òî â íåêîòîðîé ìàëîé îêðåñòíîñòè íóëÿ ïðîèçâîäíàÿ V (x, y) â ñèëó ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ çíàêîîïðåäåëåííîé (çíàê ñîâïàäàåò ñî çíàêîì
wm ), à ñàìà V (x, y) ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåííî-ïîëîæèòåëüíîé (ò. å. ïîñòðîåíà ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì òåîðåìû Ëÿïóíîâà
îá óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè):
V (x, y) =
x2 + y 2
+ o (|x| + |y|)2 ,
2
V̇ (x, y) = wm (x2 + y 2 )m+1 + o (|x| + |y|)2m+2 .
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
13
Åñëè äëÿ ñèñòåìû ñ àíàëèòè÷åñêèìè ïðàâûìè ÷àñòÿìè âñå
wk = 0, òî â ðàññìàòðèâàåìîé îêðåñòíîñòè âñå òðàåêòîðèè ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè, ñ ïåðèîäîì, çàâèñÿùåì îò íà÷àëüíûõ äàííûõ.
Ïðèìåð ðåàëèçàöèè â MatLab.
14
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
Ìåòîä Ëÿïóíîâà: ïðèâåäåíèå ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì.
Ðàññìîòðèì, ñëåäóÿ ðàáîòå [9], ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåíèé
ðåøåíèÿ â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.
Ñäåëàåì â ñèñòåìå (6) çàìåíó ïåðåìåííûõ
x = r cos φ, y = r sin φ
è, âûðàæàÿ ïðîèçâîäíûå r è φ, ïåðåéäåì ê ñèñòåìå
ṙ = f (r cos φ, r sin φ) cos φ + g(r cos φ, r sin φ) sin φ,
φ̇ = 1 −
f (r cos φ, r sin φ) sin φ g(r cos φ, r sin φ) cos φ
+
.
r
r
Çäåñü, ñîãëàñíî (4), ïîêà r äîñòàòî÷íî ìàëî, φ áóäåò íåïðåðûâíî âîçðàñòàþùåé ôóíêöèåé è ìîæåò èãðàòü ðîëü ¾âðåìåíè¿. Ïîäåëèâ ïåðâîå óðàâíåíèå íà âòîðîå, äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ r ïîëó÷èì
óðàâíåíèå
dr
=
dφ
f (r cos φ, r sin φ) cos φ + g(r cos φ, r sin φ) sin φ
= R(r, φ),
f (r cos φ, r sin φ) sin φ g(r cos φ, r sin φ) cos φ
1−
+
r
r
(12)
ãäå R(0, 0) = 0.
Çäåñü ôóíêöèÿ R(r, φ) ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ïî φ ñ ïåðèîäîì
2π , à òàêæå, ñîãëàñíî (4), èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå
äî ïîðÿäêà n è âûïîëíåíà îöåíêà R(r, φ) = o(r). Òîãäà ñïðàâåäëèâî
ïðåäñòàâëåíèå
dr
er (φ)r2 + ... + R
er (φ)rn + o(rn ).
=R
dφ
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
(13)
15
Çäåñü φ ∈ [0, 2π] è íå ïðèíèìàåòñÿ âî âíèìàíèå çàâèñèìîñòü
îñòàòî÷íîãî
÷ëåíà o(rn
) îò φ (ýòî ñïðàâåäëèâî, íàïðèìåð, êîãäà
n
P
ke
R(r, φ) −
r Rr (φ) ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé ôóíêöèåé è, ñîîòâåòk=1
ñòâåííî, ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííîé ïî φ íà ðàññìàòðèâàåìîì ìíîæåñòâå).
Ó÷èòûâàÿ ïðåäñòàâëåíèå ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (13), áóäåì
èñêàòü ðåøåíèå r(φ, h), ãäå r(0, h) = h, â âèäå
r(φ, h) = h + reh (φ)h2 + reh (φ)h3 + ... + reh (φ)hn + o(hn ).
(14)
Ïîäñòàâëÿÿ ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ (14) â óðàâíåíèå (13) è ïðèðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòåïåíÿõ h, ïîëó÷èì
óðàâíåíèÿ
de
rh (φ)
er (φ),
=R
dφ
de
rh (φ)
er (φ) + 2R
er (φ)e
=R
rh (φ),
dφ
···
de
rh (φ)
er (φ) + 2R
er (φ)e
=R
rh
dφ
(15)
(φ) + ...
äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî îïðåäåëåíèÿ reh (φ) òàêèõ, ÷òî reh (0) = 0.
Ðàññìàòðèâàÿ r(φ, h) ïðè φ = 2π ïîëó÷èì ôóíêöèþ ïîñëåäîâàíèÿ
r(2π, h) = h + re2 h2 + re3 h3 + ...,
rek = reh (2π),
ãäå rek íàçûâàþòñÿ ôîêóñíûìè âåëè÷èíàìè. Åñëè re2 = ... = re2m =
0, òî re2m+1 ðàâíÿåòñÿ m-îé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíå.
Ïðèìåð ðåàëèçàöèè â MatLab.
16
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
Ìåòîä àïïðîêñèìàöèè ðåøåíèé è âðåìåíè îáîðîòà â
Åâêëèäîâûõ êîîðäèíàòàõ è âî âðåìåííîé îáëàñòè.
 ðàáîòàõ [46] áûë ïðåäëîæåí íîâûé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí, îñíîâàííûé íà ïîñòðîåíèè ïðèáëèæåíèé ðåøåíèÿ â èñõîäíîé åâêëèäîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò è âî âðåìåííîé
îáëàñòè, ïðåèìóùåñòâîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ èäåîëîãè÷åñêàÿ ïðîñòîòà è íàãëÿäíîñòü.
Ïóñòü x(t, x(0), y(0)), y(t, x(0), y(0)) ðåøåíèå ñèñòåìû (6) ñ
íà÷àëüíûìè äàííûìè
x(0) = 0, y(0) = h.
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
(16)
17
Îáîçíà÷èì
x(t, h) = x(t, 0, h), y(t, h) = y(t, 0, h).
Ðàññìîòðèì
âðåìÿ
T (h)
ïåðâîãî
ïåðåñå÷åíèÿ ðåøåíèÿ x(t, h), y(t, h) ñ ïîëóîñüþ {x = 0, y > 0} è
äîîïðåäåëèì (ïî íåïðåðûâíîñòè) åãî â íóëå: T (0) = 2π . Èç óñëîâèÿ
ãëàäêîñòè (3) äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ h ñëåäóåò, ÷òî âðåìÿ îáîðîòà
T (h) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
T (h) = 2π + ∆T (h) = 2π +
n
X
k=1
1 dk T (h)
Tek hk + o(hn ), Tek =
, (17)
k! dhk
à ðåøåíèå ñèñòåìû ïðåäñòàâèìî â âèäå
x(t, h) = xh (t, h) + o(hn ) =
n
X
x
eh (t)hk + o(hn ),
k=1
k
x
eh (t) =
1 ∂ x(t, h)
,
k! ∂hk
n
y(t, h) = yh (t, h) + o(h ) =
n
X
(18)
k
n
yeh (t)h + o(h ),
k=1
yeh (t) =
1 ∂ k y(t, h)
.
k! ∂hk
Çäåñü t ∈ [0, T (h)] è íå ïðèíèìàåòñÿ âî âíèìàíèå çàâèñèìîñòü
îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà o(hn ) îò t (ýòî ñïðàâåäëèâî, íàïðèìåð, êîãäà
x(t, h) − xh (t, h) ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé ôóíêöèåé è ñîîòâåòñòâåííî
ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííîé ïî t íà ðàññìàòðèâàåìîì ìíîæåñòâå).
Äëÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ðåøåíèÿ ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè
(16) èìååì
xh (t, h) = x
eh (t)h = −h sin(t), yh (t, h) = yeh (t)h = h cos(t), (19)
à ïîñëåäóþùèå ïðèáëèæåíèÿ (xh (t, h), yh (t, h)) îïðåäåëÿþòñÿ
èç ðåêóððåíòíîé ïðîöåäóðû. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ k ãî ïðèáëèæåíèÿ ðåøåíèÿ ïðè ïîäñòàíîâêå x(t, h) = xh (t, h) +
o(hk ) è y(t, h) = xh (t, h) + o(hk ) â f (x, y) è g(x, y) ïîëó÷èâøèåñÿ âûðàæåíèÿ ïðè hk (îáîçíà÷èì èõ ÷åðåç ufh è ugh ñîîòâåòñòâåííî) áóäóò çàâèñåòü òîëüêî îò ïðåäûäóùèõ ïðèáëèæåíèé
18
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
{xh (t, h), yh (t, h)}m<k (ò. å. â ðàìêàõ ðåêóððåíòíîé ïðîöåäóðû
áóäóò èçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè) è íå áóäóò çàâèñåòü îò
íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé x
eh (t) è yeh (t):
f xh (t, h) + o(hk ), yh (t, h) + o(hk ) = ufh (t)hk + o(hk ),
g xh (t, h) + o(hk ), yh (t, h) + o(hk ) = ugh (t)hk + o(hk ).
(20)
Òîãäà ïîñëå ïîäñòàíîâêè (18) â (6) äëÿ îïðåäåëåíèÿ x
eh (t) è
yeh (t) ïîëó÷èì ñèñòåìó
de
xh (t)
= −e
yh (t) + ufh (t),
dt
de
yh (t)
=x
eh (t) + ugh (t).
dt
(21)
Ëåììà 1 Äëÿ ðåøåíèé ñèñòåìû (21) ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè
x
eh (0) = 0,
(22)
yeh (0) = 0
èìååì
Z t
x
eh (t) = ugh (0) cos(t) + cos(t)
cos(τ ) (ugh (τ )) + ufh (τ ) dτ +
0
Z t
+ sin(t)
sin(τ ) (ugh (τ )) + ufh (τ ) dτ − ugh (t),
0
Z t
yeh (t) = ugh (0) sin(t) + sin(t)
cos(τ ) (ugh (τ )) + ufh (τ ) dτ −
0
Z t
g
− cos(t)
sin(τ ) (uh (τ )) + ufh (τ ) dτ.
0
(23)
Òàêèì îáðàçîì, èñïîëüçóÿ (20) è (23), ïîñëåäîâàòåëüíî îïðåäåëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ (18).
Ðàññìîòðèì âðåìÿ t = 2π+∆T (h) è ïðåäñòàâèì, ó÷èòûâàÿ óñëîâèå ãëàäêîñòè (3), íàéäåííûå êîýôôèöèåíòû â âèäå
x
eh (2π + ∆T (h)) = x
eh (2π) +
n
X
m=1
(m)
x
eh (2π)
(∆T (h))m
+
m!
+o((∆T (h))n ), k = 1, ..., n.
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
19
Òîãäà, ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ ñ ó÷åòîì (17), â ïåðâîå óðàâíåíèå (18) è îáîçíà÷àÿ êîýôôèöèåíòû ïðè hk ÷åðåç x
ek ,
ïîëó÷èì ðàçëîæåíèå x(T (h), h) ïî ñòåïåíÿì h:
x(T (h), h) =
n
X
x
ek hk + o(hn ).
(24)
k=1
Èç ðàâåíñòâà x(T (h), h) = 0 äëÿ êîýôôèöèåíòîâ {e
xk } ïîëó÷èì
h:
0=x
e1 = x
eh (2π),
h2 :
0=x
e2 = x
eh (2π) + x
eh (2π)Te1 ,
h3 :
1
1
eh (2π)Te1 + x
e (2π)Te12 ,
0=x
e3 = x
eh (2π) + x
eh (2π)Te2 + x
2
2 h
···
hn :
0=x
en = x
eh (2π) + x
eh (2π)Ten
1
+ ...
Îòñþäà ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíòû
Tek=1,...,n 1 ÷åðåç êîýôôèöèåíòû fij è gij , òàê êàê â âûðàæåíèå
äëÿ x
ek âõîäÿò êîýôôèöèåíòû Te1 m<k 1 è ñëàãàåìîå x
eh (2π)Tek 1 =
e
−Tk 1 (çäåñü îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè t).
Ïðîâîäÿ àíàëîãè÷íóþ ïðîöåäóðó äëÿ y(T (h), h), ïîëó÷èì èç ðàâåíñòâà
n
X
y(T (h), h) =
yek hk + o(hn )
k=1
ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:
h:
2
ye1 = yeh (2π),
h :
ye2 = yeh (2π) + yeh (2π)Te1 ,
h3 :
1
1
ye3 = yeh (2π) + yeh (2π)Te2 , + yeh (2π)Te1 + yeh (2π)Te12 ,
2
2
···
hn : yen = yeh (2π) + yeh (2π)Ten
1
+ ...
äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî îïðåäåëåíèÿ yek=1,...,n . Çäåñü yeh (2π) = 1,
çíà÷åíèÿ Tek=1,..,n 1 è ôóíêöèè yeh
(t) îïðåäåëåíû âûøå. Åñëè
ïðè ýòîì ye2 = ... = ye2m = 0, òî ye2m+1 ÿâëÿåòñÿ m-é ëÿïóíîâñêîé
âåëè÷èíîé Lm .
20
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
Îòìåòèì çäåñü, ÷òî èç ðàâåíñòâ x
eh (2π) = 0 è yh (2π, h) = 0
ñëåäóåò, ÷òî L1 íå çàâèñèò îò ∆T (h), òàê êàê T1 = 0 è yeh (2π)Te2 = 0,
à Lm 2 çàâèñèò îò {Tek }2 k 2m 1 .
Ïðèìåð ðåàëèçàöèè â MatLab.
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
21
Ïðèìåíåíèå ôóíêöèè Ëÿïóíîâà íà ïîñëåäíåì øàãå âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû.
Ïóñòü èçâåñòíû ïðèáëèæåíèÿ ðåøåíèÿ
(x(t, h) = xh
(t, h) + o(h2m ), y(t, h) = yh
(t, h) + o(h2m ))
è âðåìåíè ïåðåñå÷åíèÿ T (h) = 2π + ∆T2m (h) + o(h2m ) ñ òî÷íîñòüþ
äî o(h2m ). Òîãäà â ñëó÷àå
ye2 = ... = ye2m = 0
(25)
äëÿ îïðåäåëåíèÿ êà÷åñòâåííîãî ïîâåäåíèÿ òðàåêòîðèé â îêðåñòíîñòè íóëÿ ðàññìîòðèì ôóíêöèþ Ëÿïóíîâà è åå ïðîèçâîäíóþ â ñèëó
ñèñòåìû (6)
V (x, y) =
(x2 + y 2 )
,
2
V̇ (x, y) = xf (x, y) + yg(x, y).
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå
T
Z(h)
L(h)
V̇ x(t, h), y(t, h) dt.
=
0
Òîãäà âûïîëíåíî ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:
22
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
Ëåììà 2
2π+∆T
Z
L(h)
(h)
xh
=
(t, h)f xh
(t, h), yh
(t, h) +
(26)
0
+yh
(t, h)g xh
(t, h), yh
(t, h)
dt + o(h2m+2 ).
Ïîäñòàâëÿÿ â âûðàæåíèå (26) äëÿ L(h) íàéäåííûå â âèäå ðÿäà (18) è (17) ïî ñòåïåíÿì h ïðèáëèæåíèÿ ðåøåíèÿ
(xh (t, h), yh (t, h)) è âðåìåíè ïåðåñå÷åíèÿ T2m (h) ñîîòâåòñòâåííî, èíòåãðèðóÿ è ñîáèðàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ
h, ïîëó÷èì
2m+2
X
e k hk + o(h2m+2 ).
L(h) =
L
k=3
e 3,...,2m+1 = 0 è L
e 2m+2 = Lm .
Çäåñü, ñîãëàñíî (25), ïîëó÷èì L
4. Ìàëûå ïðåäåëüíûå öèêëû.
Åñëè L1,...,n 1 = 0 è Ln 6= 0, òîãäà, ñëåäóÿ ìåòîäó Áàóòèíà [1,11],
ìîæíî â îáùåì ñëó÷àå ïîñòðîèòü n ¾ìàëûõ¿ ïðåäåëüíûõ öèêëîâ
ñ ïîìîùüþ ìàëûõ âîçìóùåíèé êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû (ñì., íàïðèìåð [15]).
Òàê, åñëè L1 = 0 è L2 > 0, ìîæíî, ñëàáî âîçìóùàÿ êîýôôèöèåíòû ñèñòåìû, äîáèòüñÿ, ÷òîáû â âîçìóùåííîé ñèñòåìå âûïîëíÿëèñü
íåðàâåíñòâà
L1 < 0, L2 > 0.
Òîãäà äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ íà÷àëüíûõ äàííûõ h = r0 I òðàåêòîðèè âîçìóùåííîé ñèñòåìû áóäóò çàêðó÷èâàòüñÿ âîêðóã ñòàöèîíàðíîé òî÷êè, à äëÿ íåêîòîðûõ íà÷àëüíûõ äàííûõ h = r0 II
(r0 II >> r0 I ) òðàåêòîðèè ñèñòåìû áóäóò ðàñêðó÷èâàòüñÿ. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îïèñàííîãî âîçìóùåíèÿ ïîëó÷àåòñÿ ¾ìàëûé¿
íåóñòîé÷èâûé ïðåäåëüíûé öèêë (Ðèñ. 2) âîêðóã íóëåâîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, âîçìóùàÿ íåñêîëüêî ïåðâûõ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí, â âîçìóùåííîé ñèñòåìå ìîæíî ïîëó÷èòü íåñêîëüêî
¾ìàëûõ¿ ïðåäåëüíûõ öèêëîâ.
Òàê, äëÿ êâàäðàòè÷íîé ñèñòåìû ýòà òåõíèêà ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü 3 ¾ìàëûõ¿ ïðåäåëüíûõ öèêëà, åñëè êîýôôèöèåíòû ñèñòåìû
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
23
Ðèñ. 2: . Ïîñòðîåíèå ¾ìàëîãî¿ ïðåäåëüíîãî öèêëà.
ïîäîáðàíû òàêèì îáðàçîì, ÷òî L1,2 = 0 è L3 6= 0 (çàìåòèì, ÷òî
åñëè â êâàäðàòè÷íîé ñèñòåìå L1,2,3 = 0, òî L4,5,... = 0).
Äàëüíåéøåå ïðèìåíåíèå ãëîáàëüíîãî àíàëèçà ïîçâîëÿåò ïðîâîäèòü
àíàëèç
îáëàñòåé
ïàðàìåòðîâ,
ñîîòâåòñòâóþùèõ
ñî-ñóùåñòâîâàíèþ ¾ìàëûõ¿ è ¾áîëüøèõ¿ ïðåäåëüíûõ öèêëîâ (ñì.,
íàïðèìåð, [2838]).
 îáùåì ñëó÷àå ìåòîä îïðåäåëåíèÿ è âîçìóùåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ
âåëè÷èí ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü äëÿ ðàçëè÷íûõ ñèñòåì îöåíêè ñíèçó
âîçìîæíîãî ÷èñëà ïðåäåëüíûõ öèêëîâ â 16-é ïðîáëåìå Ãèëüáåðòà
(ñì., íàïðèìåð, [15]).
5. Ïðèìåðû.
Óðàâíåíèå Äóôôèíãà.
Çàïèøåì óðàâíåíèå Äóôôèíãà ẍ + x + x3 = 0 â âèäå ñèñòåìû
ẋ = −y,
ẏ = x + x3 .
(27)
Òîãäà äëÿ ðåøåíèé ñèñòåìû (x(t), y(t)) ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè
x0 = 0, y0 = h èìååì
1
y(t)2 + x(t)2 + x(t)4 = h2 ,
(28)
2
è, ñëåäîâàòåëüíî, òðàåêòîðèè ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ çàìêíóòûìè è ïåðèîäè÷åñêèìè. Îòñþäà â êâàäðàíòå (x < 0 < y) ïîëó÷èì
q
p
x(t) = − −1 + 1 + 2h2 − 2y(t)2 ,
24
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
è èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (27) ñëåäóåò
1
dt
=
=
dy
x(1 + x2 )
1
q
.
p
p
− −1 + 1 + 2h2 − 2y 2 1 + 2h2 − 2y 2
Òîãäà, ðàññìàòðèâàÿ ÷åòâåðòü îáîðîòà òðàåêòîðèè äî ïåðåñå÷åíèÿ ðåøåíèÿ ñ ïîëóîñüþ x < 0, y = 0, äëÿ ïîëíîãî âðåìåíè îáîðîòà
(ïåðèîäà) òðàåêòîðèè T (h) ïîëó÷èì
0
Z
T (h) = 4
h
dy
q
.
p
p
− −1 + 1 + 2h2 − 2y 2 1 + 2h2 − 2y 2
×òîáû èíòåðâàë èíòåãðèðîâàíèÿ íå çàâèñåë îò h, ñäåëàåì çàìåíó
y
y = h cos(z) ⇒ z = arccos , dy = −h sin(z)dz
h
π
y = h ⇒ z = 0, y = 0 ⇒ z =
2
è ïîëó÷èì
Z
T (h) = 4
0
π/2
q
−1 +
h sin(z)dz
.
p
1 + 2h2 sin2 z 1 + 2h2 sin2 z
p
Çäåñü, ðàñêëàäûâàÿ ôóíêöèþ T (h) â ñóììó ïî ñòåïåíÿì h
T (h) = 2π + Te1 h + Te2 h2 + Te3 h3 + Te4 h4 + Te5 h5 + Te6 h6 + ...
ìîæíî àíàëèòè÷åñêè ïîëó÷èòü çíà÷åíèÿ âðåìåííûõ êîíñòàíò
3π
105π e
1155π
Te1 = 0, Te2 = − , Te3 = 0, Te4 =
, T5 = 0, Te6 =
, ...
4
128
1024
Äëÿ ðàçëîæåíèÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû (27) ïî ñòåïåíÿì h
x(t, h) = x
eh (t)h + x
eh (t)h2 + x
eh (t)h3 + x
eh (t)h4 + ...
y(t, h) = yeh (t)h + yeh (t)h2 + yeh (t)h3 + yeh (t)h4 + ...
ïîëó÷èì
x
eh (t) = − sin(t),
yeh (t) = cos(t);
x
eh (t) = yeh (t) = 0;
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
25
3
1
1
cos(t)2 sin(t) − t cos(t) + sin(t),
8
8
4
3
3
3
yeh (t) = − t sin(t) + cos(t) − cos(t)3 ,
8
8
8
x
eh (t) = yeh (t) = 0.
x
eh (t) =
Òàêèì îáðàçîì, ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå çäåñü ïðèáëèæàåòñÿ îòðåçêîì ðÿäà ïî ñòåïåíÿì íà÷àëüíîãî äàííîãî ñ íåïåðèîäè÷åñêèìè
êîýôôèöèåíòàìè. Ïðè ýòîì, âñå ëÿïóíîâñêèå âåëè÷èíû ñèñòåìû
ðàâíû íóëþ
L1 = L2 = ... = 0,
÷òî ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèþ (28) çàìêíóòîñòè òðàåêòîðèé.
Ïðèìåð ðåàëèçàöèè â MatLab âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ
âåëè÷èí è âðåìåííûõ êîíñòàíò äëÿ óðàâíåíèÿ Äóôôèíãà.
Âûðàæåíèÿ äëÿ Ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí â îáùåì âèäå.
Ðàññìîòðèì ïîëíóþ äâóìåðíóþ ñèñòåìó ñ ðàçëîæåíèåì ïðàâûõ
÷àñòåé äî ïÿòîãî ïîðÿäêà:
ẋ = − y + f20 x2 + f11 xy + f02 y 2 + f30 x3 + f21 x2 y + f12 xy 2 + f03 y 3 +
+ f40 x4 + f31 x3 y + f22 x2 y 2 + f13 xy 3 + f04 y 4 + f50 x5 + f41 x4 y+
+ f32 x3 y 2 + f23 x2 y 3 + f14 xy 4 + f05 y 5 + o (|x| + |y|)5 ,
ẏ =x + g20 x2 + g11 xy + g02 y 2 + g30 x3 + g21 x2 y + g12 xy 2 + g03 y 3 +
+ g40 x4 + g31 x3 y + g22 x2 y 2 + g13 xy 3 + g04 y 4 + g50 x5 + g41 x4 y+
+ g32 x3 y 2 + g23 x2 y 3 + g14 xy 4 + g05 y 5 + o (|x| + |y|)5 .
(29)
Äëÿ ïåðâîé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû èìååì [1]
π
L1 = (g21 + f12 + 3f30 + 3g03 + f20 f11 + f02 f11 −
4
−g11 g20 + 2g02 f02 − 2f20 g20 − g02 g11 ).
26
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âòîðîé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû íàéäåì êîýôôèöèåíòû Te2 è Te3 ðàçëîæåíèÿ íåâÿçêè âðåìåíè ïåðåñå÷åíèÿ:
π
2
2
2
2
(−9g30 + 4f20
+ 9f03 − 3g12 + 10g20
+ 10f02
+ 4g02
+
Te2 =
12
2
2
+ g11
+ f11
+ 3f21 − 5f20 g11 − f11 g20 − 5f11 g02 + 10g02 g20 −
− f02 g11 + 10f20 f02 ),
π
2
2
Te3 = − (2f20 + f02 + g11 )(−9g30 + 4f20
+ 9f03 − 3g12 + 10g20
+
18
2
2
2
2
+ 10f02
+ 4g02
+ g11
+ f11
+ 3f21 − 5f20 g11 − f11 g20 − 5f11 g02 +
+ 10g02 g20 − f02 g11 + 10f20 f02 ).
Âûáåðåì êîýôôèöèåíò g03 òàê, ÷òîáû L1 = 0,
1
g03 = − (g21 +f12 +3f30 +f20 f11 +f02 f11 −g11 g20 +2g02 f02 −2f20 g20 −
3
g02 g11 )
è ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ âòîðîé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû [2]:
π
L2 = − (−66f20 g04 − 3f11 g30 f20 − 24g20 g02 g21 + 12f30 g11 f02 +
72
2
3
4f11 f20
g11 − 12f11 f21 f20 + 2g20 g11
− 9g11 g02 g12 − 12f20 f11 f03 −
2
12g11 g02 f03 + 3g20 f12 f11 + 9g21 g30 − 6f02 f11 g12 + 9g20 g11 g02
+
2
3
30f20 g02 g12 + 30g02 f21 f20 − 60g04 f02 + g11 f11 f20 − 5f11 f20 − 21f20 f13 −
2
2
3
+5f02
f11 f20 −3g11 g20 f21 +
f20 −9g02 g21 f11 +7g11 g21 f02 −5f11 g11 f02
3f11
2
2
6g02 f20 f11 + 9g21 f03 − 3f30 f11 + 15f11 f40 − 21g11 g30 g02 − 6g11 f03 f11 +
2
2
f11 f02 g11
− 18g20 f03 f20 − 42g20 g02 f30 − 6g11 g12 g20 − 30f02
g20 f20 +
2
2
g02 +
3f11 g02 f02 +60f40 g20 +9g11 g40 +24f20 g20 f21 −9g11 g20 f03 −10g11 f20
18g02 g12 f02 − 6g11 f11 g30 − 24f20 f03 g02 − 30f03 f02 g02 − 24g11 g20 g30 −
2
2
+
12f11 f30 g02 − 3g12 f11 f20 + f12 g11
− 9f21 f30 + 27f30 g30 + 3f30 g11
2
2
2
2
−
15f30 g02 − 9f02 f31 − 28g20 f02 f20 − 2g11 g21 − 3f22 f11 − 14f12 f20
3
2
2
6f12 g12 + 27g13 g02 − 3f02 f11
+ 7f20 g21 g11 + 3g20
f11 f20 − 10g02 g11
f20 −
2
10f02 f12 f20 − 12g20 f30 f11 + 6f02 f21 g20 + 18f02 f11 g02 + 3f12 g02 f11 +
2
2
2
f30 − 15f13 f02 +
6g20 g02 f12 + 18g02
f12 + 9g13 g20 − 3f12 f11
− 45g20
2
3
2
3
+
+ 3f02 g20 f11
30f20 g20 − 18g02 f04 + 18f20 g40 − 21g20 f20 g11 + 2g02 g11
2
2
2
20f02 f20 g02 − 9g02 g21 − 9g21 g20 f11 − 9f04 f11 + 6f22 g20 + 45f30 f02 +
3
15g11 g20
− 15g11 g04 + 12f02 g02 f21 − 5f12 g11 f20 + 18g12 g20 f20 −
2
5f12 g11 f02 + 20f02 g21 f20 + 21g02 g31 − 30g20 g02
f20 + 6g20 g12 f02 +
3
2
2
12f22 g02 + 3f21 g21 + 18f20 g02 + 24g11 g20 g02 + 18f20 g02 g20
+ 6f11 g31 −
3
6g22 f02 + 15g31 g20 + 3g22 g11 − 12g22 f20 − 9f30 g12 − 18f20 g02
−
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
27
2
2
24f20 g02 g30 + 15f20 f11 g02
− 7g20 f02 g11
+ 6g20 f02 f11 g02 − 6g11 f13 −
28f02 g11 g20 f20 − 12g11 f20 g02 f02 + 9g02 g11 f11 g20 − 9f02 f21 f11 −
2
2
2
f11 g11 f02 f20 − 15f30 f20
+ 10f02
f20 g02 − 8g11
f02 g02 + 42f20 f30 f02 −
2
2
15g11 g20 f02 + 6f20 g20 f11 g02 − 6f21 f12 + 6g20 f11
f20 + 66f40 g02 +
2
27f30 f03 − 45g05 − 9g23 + 15g21 f02 − 27f20 f31 − 9g41 + 3g21 g12 +
2
3
9g11 g20
f11 −15f11 f02 f03 −45f50 +12f30 g11 f20 +10g20 f20
−48f20 g20 g30 −
2
2
2
2
10g02 f02 g11 − 9g11 g20 f20 + 13g21 f20 − 9f14 − 9f32 − 15g21 g20
).
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ L3 è L4 â îáùåì âèäå íåîáõîäèìî ðàññìàòðèâàòü ðàçëîæåíèÿ ïðàâûõ ÷àñòåé ñèñòåìû äî 7-ãî è 9-ãî ïîðÿäêîâ, ñîîòâåòñòâåííî. Âûðàæåíèå äëÿ L3 çàíèìàåò áîëåå 4 ñòðàíèö
(21617 ñèìâîëîâ) è ïðèâåäåíî â [4, 6, 7].
Óðàâíåíèå Ëüåíàðà.
Ðàññìîòðèì ïðàâóþ ÷àñòü â ñèñòåìå (2) ñïåöèàëüíîãî âèäà
f10 = 0, f01 = −1, f (x, y) ≡ 0,
g01 = 0, g(x, y) = gx1 (x)y + gx0 (x),
ãäå
gx1 (x) = g11 x + g21 x2 + ... ,
gx0 (x) = g20 x2 + g30 x3 + ...
Òîãäà ìû ïîëó÷èì òàê íàçûâàåìóþ ñèñòåìó Ëüåíàðà (êîòîðàÿ
ñîîòâåòñòâóåò øèðîêî èçâåñòíîìó óðàâíåíèþ Ëüåíàðà) â îáùåì âèäå
ẋ = −y, ẏ = g10 x + gx1 (x)y + gx0 (x).
(30)
Çäåñü, äëÿ òîãî ÷òîáû ìàòðèöà ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ â íóëå
èìåëà äâà ÷èñòî ìíèìûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñëà, íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå óñëîâèÿ g10 > 0.
Òàê êàê ðàññìîòðåííûå âûøå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ
âåëè÷èí ïðèâåäåíû äëÿ ñëó÷àÿ g10 = 1, òî äëÿ èõ èñïîëüçîâàíèÿ
â ñèñòåìå íåîáõîäèìî ñäåëàòü çàìåíó
r
r
1
1
t→
t, x →
x,
g10
g10
òîãäà ïîñëå çàìåíû êîýôôèöèåíò g10 → 1. Îòìåòèì, ÷òî ýòà çàìåíà
íå ìåíÿåò y , òàê êàê
q
1
g dx
dx
y=−
→−q
= y.
1
dt
dt
g
28
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
Ñëåäîâàòåëüíî, íå ìåíÿåòñÿ ðàçëîæåíèå (8), à çíà÷èò, âûðàæåíèÿ
äëÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí ñîâïàäàþò â ñòàðûõ è íîâûõ ïåðåìåííûõ.
Íèæå, â ñîîòñòâåñòâèè ñ [29, 39, 40], ïðèâåäåíû ñèìâîëüíûå âûðàæåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí Li=1,...,4 äëÿ îáùåãî âèäà ñèñòåìû
Ëüåíàðà.
Äëÿ ïåðâîé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû èìååì
π
(g21 g10 − g11 g20 ) .
L1 =
5/2
4 (g10 )
g11 g20
Åñëè g21 =
, òî L1 = 0 è
g10
L2 =
−π
24 (g10 )
9/2
Åñëè g41 =
L2 = 0 è
L3
3 g11 g10 g40 − 3 g41 g10 2 + 5 g20 g10 g31 − 5 g30 g11 g20 .
3 g11 g10 g40 + 5 g20 g10 g31 − 5 g30 g11 g20
, òî ïîëó÷èì
3g10 2
−π
(63 g40 g10 3 g31 − 70 g20 3 g10 g31 −
15/2
576 (g10 )
105 g50 g10 2 g11 g20 + 105 g20 g10 3 g51 − 45 g61 g10 4 − 105 g30 g10 2 g20 g31 −
63 g30 g10 2 g11 g40 + 105 g30 2 g10 g11 g20 + 70 g20 3 g30 g11 + 45 g11 g10 3 g60 ).
=
Ïðèìåð ðåàëèçàöèè â MatLab âû÷èñëåíèÿ äâóõ ïåðâûõ
ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí äëÿ ñèñòåìû Ëüåíàðà.
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
29
Ïîëó÷åííûå çäåñü ñèìâîëüíûå âûðàæåíèÿ ìîãóò áûòü îôîðìëåíû â âèäå îòäåëüíûõ ôóíêöèé äëÿ äàëüíåéøåãî èñïîëüçîâàíèÿ
Ôóíêöèÿ ïåðâîé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû äëÿ ñèñòåìû
Ëüåíàðà.
Ëèòåðàòóðà
1.
Áàóòèí Í.Í. Ïîâåäåíèå äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì âáëèçè ãðàíèö îáëàñòè
óñòîé÷èâîñòèþ Ë.: ÎÃÈÇ: Ãîñòåõèçäàò, 1949.
2.
Ñåðåáðÿêîâà Í.Í. Î ïîâåäåíèè äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ñ îäíîé ñòå-
3.
Ùóêî Ñ.Ä. Âû÷èñëåíèå ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí àí ÝÂÖÌ. // Òðóäû
Ãîðüêîâñêîãî èíñò. èíæ. âîäíîãî òðàíñïîðòà, 94, 1968, ñòð. 97109.
4.
Kuznetsov N.V. and Leonov G.A. Computation of Lyapunov
quantities. 6th EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference
ïåíüþ ñâîáîäû âáëèçè òåõ òî÷åê ãðàíèöû îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè, ãäå
áåçîïàñíàÿ ãðàíèöà ïåðåõîäèò â îïàñíóþ. // Èçâåñòèÿ ÀÍ ÑÑÑÐ.
ÎÒÍ Ìåõàíèêà è ìàøèíîñòðîåíèå, 2, 1959, pp. 178182.
(http://lib.physcon.ru/?item=1802), 2008.
30
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
5.
Kuznetsov N.V. and Leonov G.A. Limit cycles and strange behavior
of trajectories in two dimension quadratic systems. // Journal of
Vibroengineering, Vol. 10, Iss. 4, 2008, pp. 460467.
6.
Leonov G.A., Kuznetsov, N.V. and Kudryashova E.V. Limit cycles of
two dimensional systems. Calculations, proofs, experiments. // Vestnik
St.Petersburg University. Mathematics, 41(3), 2008, pp. 216250.
7.
Kuznetsov N.V. Stability and Oscillations of Dynamical Systems: Theory
8.
Poincare H. Memoire sur les courbes denies par lesequations
dieentielles. // J. de. Mathematiques Pures et Appliquees, 4, Vol. 1,
1885, pp. 167244.
9.
10.
11.
12.
and Applications. Jyv
askyl
a University Printing House, Jyvaskyl
a, 2008.
Ëÿïóíîâ À.Ì. Îáùàÿ çàäà÷à îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ. Õàðüêîâ,
1892.
Leonov G.A. and Kuznetsov N.V. Time-Varying Linearization and
journal of bifurcation and chaos Vol. 17,
Perron eects. // International
issue 4, 2007, pp. 129.
Áàóòèí Í.Í. Î ÷èñëå ïðåäåëüíûõ öèêëîâ, ðîæäàþùèõñÿ ïðè èçìåíåíèè êîýôôèöèåíòîâ èç ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ òèïà ôîêóñ èëè
öåíòð. // Ìàò. Ñáîðíèê (Í.Ñ.), 30(72), âûï. 1, 1952, ñòð. 181196.
[Transl. into English: AMS Transl., (1)5, 1962, pp. 396413.]
Hauser H., Risler J.-J. and Teissier B. The reduced Bautin index of
Duke Math. J. 100, 1999, pp. 425445.
planar vector elds. //
13.
Lloyd N.G. Limit cycles of polynomial systems - some recent
developments. In New Direction in Dynamical Systems. Cambridge
University Press, 1988, pp. 182234.
14.
Li J. Hilbert's 16th problem and bifurcation of planar polynomial vector
elds. // Int. J. Bifurcation Chaos, 13, 2003, pp. 47106.
15.
Lynch S. Symbolic computation of Lyapunov quantities and the second
part of Hilbert's sixteenth problem. Chapter in the book Dierential
Equations with Symbolic Computations, 2005, pp. 1-26.
16.
Âàðèí Â.Ï. Îòîáðàæåíèå ïîñëåäîâàíèÿ íåêîòîðûõ ïîëèíîìèàëüíûõ
ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. // Ìàòåì. Ñáîðíèê, 195(7),
2004, ñòð. 320.
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
31
17.
18.
19.
Romanovski V.G., Jarrah A.S. , Laubenbacher R. The cyclicity problem
Dierential Equations and
for two-dimensional polynomial systems. //
Control Processes, 2, 2008.
Àíäðîíîâ À.À., Âèòò À.À., Õàéêèí, Ñ.Ý. Òåîðèÿ êîëåáàíèé, Ì.:
Ôèçìàòãèç, 1959.
Chavarriga J., Grau M. Some open problems related to 16th Hilbert
Sci. Ser. A Math. Sci. N.S., 9, 2003, pp. 126.
problem. //
20.
Dumortier F., Llibre J. and Artes J. Qualitative Theory of Planar
Dierential Systems. Berlin: Springer, 2006.
21.
Christopher C. and Li Ch. Limit cycles of dierential equations.
Advanced Courses in Mathematics. CRM Barcelona. Basel: Birkhauser
Verlag, 2007.
22.
Gine J. On some problems in planar dierential systems and Hilbert's
16th problem. // Chaos, Solutions and Fractals, Vol. 31, 2007, pp. 1118
1134.
23.
Yu P., Chen G. Computation of focus values with applications. //
Nonlinear Dynamics, 51(3), 2008, pp. 409427.
24.
Yu P. Computation of normal forms via a perturbation technique. // J.
Sound Vibr., 211, 1998, pp. 1938.
25.
Sabatini M. & Chavarriga J. A survey of isochronous centers. //
Qualitative Theory of Dynamical Systems, 1, 1999, pp. 170.
26.
Gasull A., Guillamon A. and Manosa V. An explicit expression of the
rst Liapunov and period constants with applications, J. Math. Anal.
Appl., 211, 1997, pp. 190212.
27.
Frommer M. Uber das Auftreten von Wirbeln und Strudeln
(geschlossener und spiraligerIntegralkurven) in der Umgebung Rationalre
Unbestimmtkeitssellen. // Math. Annalen 109, 1934, pp. 395424.
28.
Ëåîíîâ Ã.À. Ïðåäåëüíûå öèêëû óðàâíåíèÿ Ëüåíàðà ñ ðàçðûâíûìè
êîýôôèöèåíòàìè, // Äîêëàäû Àêàäåìèè íàóê, ñåð. Ìåõàíèêà, 2009,
òîì 426, 1, ñ. 47-50
29.
Leonov G.A. and Kuznetsova O.A. Lyapunov quantities and limit cycles
of two-dimensional dynamical systems. Analytical methods and symbolic
computation. // Regualr and chaotic dynamics, 2010. [in print]
32
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
30.
Ëåîíîâ Ã.À. Ýôôåêòèâíûå ìåòîäû ïîèñêà ïåðèîäè÷åñêèõ êîëåáàíèé
â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ, // Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà,
Òîì 74, Âûï. 1, 2010, ñòð. 37-73
31.
Leonov G.À. Attractors, limit cycles and homoclinic orbits of low
dimensional quadratic systems. analytical methods, // Canadian Applied
Math Quarterly, Volume 17, 1, 2010, 121-159
32.
Ëåîíîâ Ã.À. ×åòûðå ïðåäåëüíûõ öèêëà â êâàäðàòè÷íûõ äâóìåðíûõ
ñèñòåìàõ ñ âîçìóùåííûì ñëàáûì ôîêóñîì ïåðâîãî ïîðÿäêà, // Äîêëàäû àêàäåìèè íàóê, ñåð. Ìàòåìàòèêà, 2010, òîì 431,  4, ñ. 447-449
33.
Ëåîíîâ Ã.À. Ïðåäåëüíûå öèêëû â êâàäðàòè÷íûõ ñèñòåìàõ ñî ñëàáûì
ôîêóñîì ïåðâîãî ïîðÿäêà, // Äîêëàäû àêàäåìèè íàóê, ñåð. Ìàòåìàòèêà, 2010, òîì 435,  4, ñ. 1-4
34.
Ëåîíîâ Ã.À. Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ îãðàíè÷åííîñòè
ðåøåíèé äâóìåðíûõ êâàäðàòè÷íûõ ñèñòåì â ïîëîæèòåëüíî èíâàðèàíòíîé ïîëóïëîñêîñòè, // Äîêëàäû àêàäåìèè íàóê, ñåð. Ìàòåìàòèêà,
2010, òîì 430,  2, ñòð. 157-159
35.
Ëåîíîâ Ã.À. Ñèíòåç äâóìåðíûõ êâàäðàòè÷íûõ ñèñòåì ñ ïðåäåëüíûì
öèêëîì, èìåþùèì çàäàííûå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, // Äîêëàäû àêàäåìèè íàóê, ñåð. Ìàòåìàòèêà, 2010, òîì 431,  3, ñòð. 316-318
36.
Ëåîíîâ Ã.À., Êóçíåöîâ Í.Â., Êóäðÿøîâà Å.Â. Ïðÿìîé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí äâóìåðíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, //
Òðóäû Èíñòèòóòà Ìàòåìàòèêè è Ìåõàíèêè ÓðÎ ÐÀÍ, Òîì 16, 1,
2010, ñòð. 119-126
37.
Ëåîíîâ Ã.À., Êóçíåöîâ Í.Â. Ïðåäåëüíûå öèêëû êâàäðàòè÷íûõ ñèñòåì ñ âîçìóùåííûì ñëàáûì ôîêóñîì 3-ãî ïîðÿäêà è ñåäëîâûì ñîñòîÿíèåì ðàâíîâåñèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè, // Äîêëàäû àêàäåìèè íàóê,
ñåð. Ìàòåìàòèêà, òîì 434, 1, 2010, ñòð. 21-24
38.
Ëåîíîâ Ã.À. Êðèòåðèé ñóùåñòâîâàíèÿ ÷åòûðåõ ïðåäåëüíûõ öèêëîâ
â êâàäðàòè÷íûõ ñèñòåìàõ, // Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà,
Ò. 74, N2, 2010, ñòð. 191-201
39.
Leonov G.A. and Kuznetsova O.A. Evaluation of the First Five
Lyapunov Exponents for the Lienard System. Doklady Physics, 54(3),
2009, pp. 131133.
40.
Êóçíåöîâà Î.À. Øåñòàÿ è ñåäüìàÿ ëÿïóíîâñêèå âåëè÷èíû äëÿ ñèñòåìû Ëüåíàðà, // Âåñòíèê Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî óíèâåðñèòåòà, Ñåðèÿ
10, 4, 2010, 25-29
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
33
Ëåîíîâ Ãåííàäèé Àëåêñååâè÷ äåêàí ìàòåìàòèêî-ìåõàíè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà (ÑÏáÃÓ), çàâ.
êàô. ïðèêëàäíîé êèáåðíåòèêè, ÷ëåí-êîðð. ÐÀÍ. [email protected]; ÑÏáÃÓ, Óíèâåðñèòåòñêèé ïð., ä. 28, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, 198504, ÐÔ; ð.ò. +7(812)4286944, ôàêñ +7(812)428-6944.
Gennady A. Leonov Dean of Mathematics and Mechanics Faculty of St.
Petersburg State University.
[email protected]; Universitetsky pr., 28., St. Petersburg, 198504, Russia; oce
phone +7(812)428-6944, fax +7(812)428-6944.
Êóçíåöîâ Íèêîëàé Âëàäèìèðîâè÷ ê.ô.-ì.í., äîöåíò; äîöåíò êàôåäðû ïðèêëàäíîé êèáåðíåòèêè ìàòåìàòèêî-ìåõàíè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÑàíêòÏåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà (ÑÏáÃÓ).
[email protected], http://www.math.spbu.ru/user/nk/; ÑÏáÃÓ, Óíèâåðñèòåòñêèé ïð., ä. 28, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, 198504, ÐÔ; ð.ò. +7(812)428-6944, ôàêñ
+7(812)428-6944.
Nikolay V. Kuznetsov PhD, Associate Professor of Applied Cybernetics
Department, St.Petersburg State University.
[email protected],
http://www.math.spbu.ru/user/nk/;
SPbGU,
Universitetsky pr., 28., St. Petersburg, 198504, Russia; oce phone +7(812)4286944, fax +7(812)428-6944.
Êóäðÿøîâà Åëåíà Âëàäèìèðîâíà ê.ô.-ì.í., ì.í.ñ ìàòåìàòèêîìåõàíè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà (ÑÏáÃÓ).
ÑÏáÃÓ, Óíèâåðñèòåòñêèé ïð., ä. 28, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, 198504, ÐÔ; ð.ò.
+7(812)428-6944, ôàêñ +7(812)428-6944.
Elena V. Kudryashova PhD, researcher, St.Petersburg State University.
SPbGU, Universitetsky pr., 28., St. Petersburg, 198504, Russia; oce phone
+7(812)428-6944, fax +7(812)428-6944.
Êóçíåöîâà Îëüãà Àëåêñàíäðîâíà ì.í.ñ ìàòåìàòèêî-ìåõàíè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà (ÑÏáÃÓ).
ÑÏáÃÓ, Óíèâåðñèòåòñêèé ïð., ä. 28, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, 198504, ÐÔ; ð.ò.
+7(812)428-6944, ôàêñ +7(812)428-6944.
Olga A. Kuznetsova researcher, St.Petersburg State University.
SPbGU, Universitetsky pr., 28., St. Petersburg, 198504, Russia; oce phone
+7(812)428-6944, fax +7(812)428-6944.
Ïîääåðæêà èññëåäîâàíèé. Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå
Ìèíèñòåðñòâà îáðàçîâàíèÿ è íàóêè ÐÔ è Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà.
Ðåêîìåíäîâàíî ËÏÈ ÑÏÈÈÐÀÍ, çàâ. ëàá. Þñóïîâ Ð.Ì., ÷ëåí-êîððåñïîíäåíò
ÐÀÍ.
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 15.02.2011.
34
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
ÐÅÔÅÐÀÒ
Ëåîíîâ Ã.À., Êóçíåöîâ Í.Â., Êóäðÿøîâà Å.Â., Êóçíåöîâà Î.À. Ñîâðåìåííûå ìåòîäû ñèìâîëüíûõ âû÷èñëåíèé: ëÿïóíîâñêèå
âåëè÷èíû è 16-ÿ ïðîáëåìà Ãèëüáåðòà.
Ðàçâèòèå ìåòîäîâ âû÷èñëåíèÿ è àíàëèçà ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí ñòèìóëèðîâàëîñü êàê ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêèìè ïðîáëåìàìè (16-é ïðîáëåìîé
Ãèëüáåðòà, çàäà÷åé ðàçëè÷åíèÿ öåíòðà è ôîêóñà, îïðåäåëåíèåì öèêëè÷íîñòè ôîêóñà, àíàëèçà óñòîé÷èâîñòè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì), òàê è
ïðèêëàäíûìè èíæåíåðíûìè çàäà÷àìè (èññëåäîâàíèåì ãðàíèö îáëàñòè
óñòîé÷èâîñòè è âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé). Ïðèìåíåíèå ñîâðåìåííîé êîìïüþòåðíîé òåõíèêè è ïàêåòîâ ñèìâîëüíûõ âû÷èñëåíèé ïîçâîëèëî ñóùåñòâåííî ïðîäâèíóòüñÿ â èçó÷åíèè ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí.  òî âðåìÿ
êàê ñèìâîëüíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ïåðâîé è âòîðîé ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èíû áûëè ïîëó÷åíû â 1940-1950-å ãã., à ïåðâàÿ ïðîãðàììà èõ âû÷èñëåíèÿ
äëÿ ÝÂÌ áûëà ñîçäàíà â 1968 ãîäó, âûðàæåíèå äëÿ òðåòüåé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû (â îáùåì âèäå è â èñõîäíîì ïðîñòðàíñòâå) áûëî âïåðâûå
âû÷èñëåíî òîëüêî â 2008 ã. Ýòî ñòàëî âîçìîæíûì áëàãîäàðÿ ðàçâèòèþ
àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí, ðåàëèçàöèè
ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ íà èõ îñíîâå è ïðèìåíåíèþ ñîâðåìåííûõ ìåòîäîâ êîìïüþòåðíûõ âû÷èñëåíèé.  íàñòîÿùåé ñòàòüå îïèñàíû ðàçëè÷íûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí, èõ êîìïüþòåðíàÿ ðåàëèçàöèÿ.
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru
35
SUMMARY
Leonov G.A., Kuznetsov N.V., Kudryashova E.V., Kuznetsova O.A.
Modern symbolic computation methods: Lyapunov quantities
and 16th Hilbert problem.
Development of methods for computation and analysis of Lyapunov
quantities was stimulated by as purely mathematical problems (the centerand-focus problem, Hilbert's sixteenth problem, and isochronous centers
problem) as many applied problems (the oscillations of electronic generators
and electrical machines, the dynamics of populations). Application of
modern computer technologies and the symbolic computation packages
allows to achieve signicant progress in studying of Lyapunov quantities.
While the general expressions for the rst and second Lyapunov quantities
were obtained in the 4050s of last century and the rst computer
program for Lyapunov quantities computation was created in 1968, the third
Lyapunov quantity (general form in initial space) was computed only in
2008. This begins possible by the development of analytical methods for
computation Lyapunov quantities, realization of ecient algorithms based
on them and the application of modern methods of computing. This article
describes various methods for computing Lyapunov quantities, and their
computer implementation.
36
Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн)
SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online)
www.proceedings.spiiras.nw.ru