Силы инерции

advertisement
ÈÞÍÜ
ÍÀÓ×ÍÎ-ÏÎÏÓËßÐÍÛÉ
2014
ÌÀÉ
Þ
¹3
ÔÈÇÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
ÆÓÐÍÀË
ÈÇÄÀÅÒÑß Ñ ßÍÂÀÐß 1970 ÃÎÄÀ
 íîìåðå:
!
Ðåêîíñòðóêöèÿ ãåíîìà: ãîëîâîëîìêà èç ìèëëèàðäà êóñî÷êîâ.
Ô.Êîìïî, Ï.Ïåâçíåð
Î÷åðê èñòîðèè èññëåäîâàíèé íåéòðèíî (îêîí÷àíèå). Þ.Ãàïîíîâ
'
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ»
Çàäà÷è Ì2341–Ì2348, Ô2348–Ô2354
Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2326–Ì2333, Ô2333–Ô2339
Ó×ÐÅÄÈÒÅËÜ
Ðîññèéñêàÿ àêàäåìèÿ íàóê
ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ
À.Ë.Ñåìåíîâ
ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß
Í.Í.Àíäðååâ, À.ß.Áåëîâ, Ê.Þ.Áîãäàíîâ,
Þ.Ì.Áðóê, À.À.Âàðëàìîâ, Ñ.Ä.Âàðëàìîâ,
À.Í.Âèëåíêèí, Â.È.Ãîëóáåâ,
Í.Ï.Äîëáèëèí, Ñ.À.Äîðè÷åíêî,
Â.Í.Äóáðîâñêèé,
À.À.Åãîðîâ, À.À.Çàñëàâñêèé,
Ï.À.Êîæåâíèêîâ (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî
ðåäàêòîðà), Ñ.Ï.Êîíîâàëîâ, À.À.Ëåîíîâè÷,
Þ.Ï.Ëûñîâ, Â.Â.Ïðîèçâîëîâ, Â.Þ.Ïðîòàñîâ,
Í.Õ.Ðîçîâ, À.Á.Ñîñèíñêèé, À.Ë.Ñòàñåíêî,
Â.Ã.Ñóðäèí, Â.Ì.Òèõîìèðîâ, Â.À.Òèõîìèðîâà,
À.È.×åðíîóöàí (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî
%
&
«ÊÂÀÍÒ» ÄËß ÌËÀÄØÈÕ ØÊÎËÜÍÈÊÎÂ
Çàäà÷è
Ýëåêòðîìàãíèòíîå èçëó÷åíèå íà ïàëüöàõ. Â.Ñûùåíêî
!
!$
Ñâåðõçâóêîâûå àâòîáóñû, ëîäêè è... äåðåâüÿ. Å.Ñîêîëîâ
Ñèðåíåâûé òóìàí... À.Ñòàñåíêî
!
ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ «ÊÂÀÍÒÀ»
Ñèëû èíåðöèè
!%
ÍÀØÀ ÎÁËÎÆÊÀ
Êàê Àðõèìåä âçâåñèë ïàðàáîëó?
!&
"
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ
Åùå ðàç î òî÷êå Òîððè÷åëëè. Ë.Ðàäçèâèëîâñêèé
Ñíîâà î ðûöàðÿõ è ëæåöàõ. Ë.Áîéêî, Ì.Áîéêî
"#
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
Ïàðû. Âëàæíîñòü. À.×åðíîóöàí
"'
ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß
Çàî÷íàÿ øêîëà ÑÓÍÖ ÍÃÓ
#
#$
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
XXII Ìåæäóíàðîäíàÿ îëèìïèàäà «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí»
Âñåðîññèéñêàÿ ñòóäåí÷åñêàÿ îëèìïèàäà ïî ôèçèêå 2014 ãîäà
#%
Îòâåòû, óêàçàíèÿ, ðåøåíèÿ
ðåäàêòîðà)
ØÊÎËÀ Â «ÊÂÀÍÒÅ»
ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÛÉ ÑÎÂÅÒ
À.Â.Àíäæàíñ, Ì.È.Áàøìàêîâ, Â.È.Áåðíèê,
Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, À.À.Áîðîâîé,
Í.Í.Êîíñòàíòèíîâ, Ã.Ë.Êîòêèí, Ñ.Ï.Íîâèêîâ,
Ë.Ä.Ôàääååâ
ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß
1970 ÃÎÄÀ
ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ
È.Ê.Êèêîèí
ÏÅÐÂÛÉ ÇÀÌÅÑÒÈÒÅËÜ
ÃËÀÂÍÎÃÎ ÐÅÄÀÊÒÎÐÀ
À.Í.Êîëìîãîðîâ
Ë.À.Àðöèìîâè÷, Ì.È.Áàøìàêîâ,
Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, È.Í.Áðîíøòåéí,
Í.Á.Âàñèëüåâ, È.Ô.Ãèíçáóðã, Â.Ã.Çóáîâ,
Ï.Ë.Êàïèöà, Â.À.Êèðèëëèí, Ã.È.Êîñîóðîâ,
Â.À.Ëåøêîâöåâ, Â.Ï.Ëèøåâñêèé,
À.È. Ìàðêóøåâè÷, Ì.Ä.Ìèëëèîíùèêîâ,
Í.À.Ïàòðèêååâà, Í.Õ.Ðîçîâ, À.Ï.Ñàâèí,
È.Ø.Ñëîáîäåöêèé, Ì.Ë.Ñìîëÿíñêèé,
ß.À.Ñìîðîäèíñêèé, Â.À.Ôàáðèêàíò,
ß.Å.Øíàéäåð
ÍÀ ÎÁËÎÆÊÅ
I
II
III
IV
Èëëþñòðàöèÿ ê ñòàòüå Þ.Ãàïîíîâà
Êîëëåêöèÿ ãîëîâîëîìîê
Øàõìàòíàÿ ñòðàíè÷êà
Ïðîãóëêè ñ ôèçèêîé
ÊÂÀÍT 2014/¹3
Ðåêîíñòðóêöèÿ ãåíîìà:
ãîëîâîëîìêà èç ìèëëèàðäà
êóñî÷êîâ
Ô.ÊÎÌÏÎ, Ï.ÏÅÂÇÍÅÐ
Ñ
ÎÂÐÅÌÅÍÍÀß ÁÈÎËÎÃÈß ÅÙÅ ÍÅ ÍÀÓ×ÈËÀÑÜ
÷èòàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íóêëåîòèäîâ â áîëüøèõ ìîëåêóëàõ ÄÍÊ áóêâó çà áóêâîé. Âìåñòî
ýòîãî ó÷åíûå ðàñøèôðîâûâàþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
êîðîòêèõ (äëèíîé ïðèìåðíî 100–300 íóêëåîòèäîâ)
êóñî÷êîâ ÄÍÊ, íàçûâàåìûõ ðèäàìè, íå èìåÿ íè ìàëåéøåãî ïðåäñòàâëåíèÿ, èç êàêîãî ìåñòà ãåíîìà áûë âûðåçàí êàæäûé êóñî÷åê. Ïðîöåññ ñáîðêè ãåíîìà èç òàêèõ
ðèäîâ, íàçûâàåìûé ïî-íàó÷íîìó ñåêâåíèðîâàíèåì ÄÍÊ,
ñðîäíè ïîïûòêå ñîáðàòü ãîëîâîëîìêó èç ìèëëèàðäà
êóñî÷êîâ. Ýòî ñåðüåçíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàäà÷à, è ìû
ðàññêàæåì óâëåêàòåëüíóþ èñòîðèþ åå ìàòåìàòè÷åñêîãî
è áèîëîãè÷åñêîãî àñïåêòîâ.
Ñåêâåíèðîâàíèå ÄÍÊ – ââåäåíèå
Ñåêâåíèðîâàíèå ÄÍÊ è çàäà÷à
î ïåðåêðûâàþùèõñÿ êóñî÷êàõ
Ïðåäñòàâüòå, ÷òî öåëûé òèðàæ êàêîé-òî ãàçåòû ëåæàë
â îäíîì ÿùèêå, à ïîòîì ýòîò ÿùèê âçîðâàëñÿ. Äîïóñòèì, ÷òî ãàçåòû íå ñãîðåëè, êàê ýòî ñëó÷èëîñü áû â
ðåàëüíîé æèçíè, à ðàçëåòåëèñü íà ìàëåíüêèå êóñî÷êè
íàïîäîáèå êîíôåòòè (ðèñ.1). Åñòåñòâåííûé âîïðîñ:
ìîæíî ëè ïî ýòèì îáðûâêàì âîññòàíîâèòü òî, ÷òî áûëî
íàïèñàíî â ãàçåòå?
Çàäà÷à èíòåðåñíåå, ÷åì ìîæåò ïîêàçàòüñÿ íà ïåðâûé
âçãëÿä, – îíà íå ñâîäèòñÿ ëèøü ê ñêëåèâàíèþ îáðûâêîâ
äðóã ñ äðóãîì, êàê áóäòî ýòî áûëè êóñî÷êè ïàçëà. Âîïåðâûõ, ìû âïîëíå ìîãëè ïîòåðÿòü ÷àñòü îáðûâêîâ. Âîâòîðûõ, â ñóíäóêå áûëî ìíîãî ýêçåìïëÿðîâ ãàçåòû, è
ïîýòîìó êàêèå-òî îáðûâêè ìîãóò ïåðåêðûâàòüñÿ ìåæäó
ñîáîé è ñîäåðæàòü êóñêè îäíèõ è òåõ æå ôðàç. Òàêèì
îáðàçîì, çàäà÷ó î âîññòàíîâëåíèè ãàçåòû ìîæíî íàçâàòü çàäà÷åé î ïåðåêðûâàþùèõñÿ êóñî÷êàõ.
Õîòü íàøà àíàëîãèÿ ñ îáðûâêàìè ãàçåò íåñêîëüêî
ïðèòÿíóòà çà óøè, çàäà÷à âîññòàíîâëåíèÿ òåêñòà ãàçåòû
ïî ñâîåé ñóòè àíàëîãè÷íà çàäà÷å ñáîðêè ÄÍÊ èç
ôðàãìåíòîâ.
Íàïîìíèì, ÷òî ÄÍÊ ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå êàê
öåïî÷êó èç çâåíüåâ (íóêëåîòèäîâ) ÷åòûðåõ òèïîâ,
îáîçíà÷àåìûõ áóêâàìè À, Ò, à è Ö. Ê ñîæàëåíèþ,
òåõíîëîãèÿ, êîòîðàÿ ïîçâîëèëà áû íàì ÷èòàòü öåëûé
ãåíîì ïîñëåäîâàòåëüíî, íóêëåîòèä çà íóêëåîòèäîì, åùå
íå ïðèäóìàíà. Òåì íå ìåíåå, ó÷åíûå íàó÷èëèñü îïðåäåëÿòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íóêëåîòèäîâ â êîðîòêèõ êóñî÷êàõ ÄÍÊ. Íà äàííûé ìîìåíò ñàìûå ðàñïðîñòðàíåííûå òåõíîëîãèè èìåþò äåëî ñ ðèäàìè äëèíîé
âñåãî ëèøü 100–300 íóêëåîòèäîâ (ðèñ.2).
Ïðî÷èòûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ðèäîâ èç íåñêîëüêèõ êîïèé îäíîãî ãåíîìà, è ïîëó÷àåòñÿ ãèãàíòñêèé ïàçë (â êîòîðîì êóñî÷êè ìîãóò ïåðåêðûâàòüñÿ). Íàïðèìåð, ãåíîì ìëåêîïèòàþùåãî äëèíîé â 3 ìèëëèàðäà íóêëåîòèäîâ
ïîòðåáóåò ñáîðêè ïàçëà èç ìèëëèàðäà êóñî÷êî⠖ êàæåòñÿ, ýòî ðåêîðä äëÿ ãîëîâîëîìîê
òàêîãî ðîäà.
Ðèñ.1. Ïîñëå âçðûâà ÿùèêà ñ ãàçåòàìè îò íèõ îñòàíåòñÿ ëèøü êó÷à îáðûâêîâ.
Ìîæíî ëè ïî íèì âîññòàíîâèòü ñîäåðæàíèå ãàçåòû?
Ïåðåâîä ñòàòüè ñ àíãëèéñêîãî Ä.Âèíîãðàäîâà.
Ðèñ.2. Ïðè ñåêâåíèðîâàíèè ÄÍÊ ìíîãî÷èñëåííûå (îáû÷íî èõ áîëüøå ìèëëèàðäà) êîïèè ýòîé
ìîëåêóëû «ðâóòñÿ» â ñëó÷àéíûõ ìåñòàõ, ÷òîáû
ïîëó÷èëèñü ãîðàçäî áîëåå êîðîòêèå ðèäû
ÐÅÊÎÍÑÒÐÓÊÖÈß
ÃÅÍÎÌÀ:
Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñåêâåíèðîâàíèÿ
ãåíîìà ñâîäèòñÿ ê ÷òåíèþ (ò.å. îïðåäåëåíèþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè) ðèäîâ (áèîëîãè÷åñêàÿ ÷àñòü) è ñáîðêå ôðàãìåíòîâ (ìàòåìàòè÷åñêàÿ ÷àñòü). Ïåðâàÿ çàäà÷à âåäåò
ñâîþ äîëãóþ è çàïóòàííóþ èñòîðèþ ñ
70-õ ãîäîâ, êîãäà Óîëòåð Ãèëáåðò (Walter
Hilbert) è Ôðåä Ñýíãåð (Fred Sanger)
ïîëó÷èëè Íîáåëåâñêóþ ïðåìèþ çà èçîáðåòåíèå ïåðâîãî ìåòîäà ÷òåíèÿ ðèäîâ. Â
íà÷àëå 1990-õ íà ðûíêå ïîÿâèëèñü ñîâðåìåííûå ñåêâåíàòîðû (ìàøèíû äëÿ îïðåäåëåíèÿ êóñî÷êîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ÄÍÊ), è ñ ýòîãî ìîìåíòà äëÿ çàäà÷è
ñåêâåíèðîâàíèÿ íà÷àëàñü íîâàÿ ýðà. Â
2000 ãîäó íåñêîëüêî ñîòåí òàêèõ ìàøèí,
ðàáîòàÿ áåç îñòàíîâêè áîëåå ãîäà, ïðî÷èòàëè äîñòàòî÷íî áîëüøîå ÷èñëî ðèäîâ,
÷òîáû óäàëîñü âîçìîæíî îïðåäåëèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ãåíîìà ÷åëîâåêà. Ñáîðêà ýòîãî ãåíîìà ïîòðåáîâàëà íåñêîëüêèõ
ìåñÿöåâ ðàáîòû îäíèõ èç ñàìûõ ïðîèçâîäèòåëüíûõ ñóïåðêîìïüþòåðîâ òîãî âðåìåíè.
Ñëîæíîñòè ñáîðêè ôðàãìåíòîâ
ÃÎËÎÂÎËÎÌÊÀ
ÈÇ
ÌÈËËÈÀÐÄÀ
ÊÓÑÎ×ÊÎÂ
!
Ðèñ.3. à) Ïðè âîññòàíîâëåíèè ãàçåòû ïîìîãàþò ëîãè÷åñêèå ñâÿçè ìåæäó
ñëîâàìè: õîòÿ ýòè äâà îáðûâêà è íå ïåðåñåêàþòñÿ, ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî
îíè äîëæíû áûòü ðàñïîëîæåíû áëèçêî äðóã ê äðóãó, ïîòîìó ÷òî ñëîâà «murder»
(«óáèéñòâî») è «suspect» («ïîäîçðåâàåìûé») ñâÿçàíû ïî ñìûñëó.
á)  ýòîì ñëó÷àå êóñî÷êè «oz» è «zone» ñêîðåå âñåãî ÿâëÿþòñÿ ÷àñòÿìè ñëîâà
«ozone» («îçîí»), è ìîæíî ýòè äâà îáðûâêà ñêëåèòü, äàæå íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî
îíè ïåðåñåêàþòñÿ âñåãî ïî îäíîé áóêâå.  çàäà÷å ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ, ãäå â
àëôàâèòå âñåãî 4 áóêâû, òàêèõ ïîäñêàçîê íå áóäåò – ïðàâèëà ýòîãî «ÿçûêà» íàì
ïîêà ïî÷òè íå èçâåñòíû.
â) Ïîâòîðÿþùèåñÿ ôðàãìåíòû óñëîæíÿþò çàäà÷ó, êàê âèäíî íà ïðèìåðå
ãîëîâîëîìêè «Triazzle», â êîòîðîé êàæäàÿ ðûáêà âñòðå÷àåòñÿ íå ìåíüøå òðåõ
ðàç.
ã) Ñåêâåíàòîðû ÄÍÊ íå èäåàëüíû: çäåñü êðàñíûé íóêëåîòèä «Ò» áûë îïðåäåëåí
íåïðàâèëüíî, è íà ñàìîì äåëå íà åãî ìåñòå äîëæåí áûòü «Ö». Îøèáêà âñåãî
â îäíîì íóêëåîòèäå ìîæåò ïðèâåñòè ê òîìó, ÷òî ìû áóäåì ñ÷èòàòü äâà ðèäà
ïåðåñåêàþùèìèñÿ, õîòÿ íà ñàìîì äåëå îíè òàêîâûìè íå ÿâëÿþòñÿ
×óòü ïîçæå ìû äîñòàòî÷íî ïîäðîáíî
ðàññêàæåì î òîì, êàê ÷èòàþò ðèäû, à ïîêà
îñòàíîâèìñÿ íà âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷å
ñáîðêè ôðàãìåíòî⠖ êàê, èñïîëüçóÿ
ïîëó÷åííûå ðèäû, îïðåäåëèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âñåãî ãåíîìà.
Õîòÿ è âîññòàíîâëåíèå ãàçåòû, è ñáîðêà
ôðàãìåíòîâ ñâîäÿòñÿ ê ñêëàäûâàíèÿ ïàçëà, çàäà÷à
ñáîðêè çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå, è íå òîëüêî èç-çà ñâîåãî
ãèãàíòñêîãî ìàñøòàáà (íàïîìíèì, ÷òî íàì ìîæåò ïîòðåáîâàòüñÿ îáðàáîòàòü ìèëëèàðä ðèäîâ). Âî-ïåðâûõ,
ãàçåòà íàïèñàíà íà íåêîòîðîì ïîíÿòíîì ÿçûêå. Åãî
ïðàâèëà áóäóò ïîäñêàçûâàòü íàì, ìîãóò ëè êàêèå-òî
äâà îòðûâêà íàõîäèòüñÿ ðÿäîì, âíå çàâèñèìîñòè îò
òîãî, ïåðåêðûâàþòñÿ îíè èëè íåò (ðèñ.3,à). Â òî æå
âðåìÿ ïðàâèëà «ÿçûêà» ÄÍÊ ïî áîëüøåé ÷àñòè íåèçâåñòíû áèîëîãàì, è èñõîäÿ èç îäíîé òîëüêî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî ïîíÿòü, ìîãóò ëè
äâà íåïåðåñåêàþùèõñÿ ðèäà ðàñïîëàãàòüñÿ áëèçêî èëè
äàëåêî äðóã îò äðóãà.
Âòîðàÿ ñëîæíîñòü ñáîðêè ôðàãìåíòîâ ñîñòîèò â òîì,
÷òî àëôàâèò ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ÄÍÊ ñîñòîèò âñåãî
èç 4 áóêâ: À, Ò, Ã è Ö. Ðàáîòà ñ ìàëåíüêèì àëôàâèòîì
óñëîæíÿåò âîññòàíîâëåíèå èñõîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ïîñêîëüêó áîëüøåå êîëè÷åñòâî ïåðåñå÷åíèé áóäåò
âûçâàíî ñëó÷àéíûìè ïðè÷èíàìè (ðèñ.3,á).
Â-òðåòüèõ, ëþáàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÄÍÊ ñîäåðæèò ìíîæåñòâî «êîíñåðâàòèâíûõ ó÷àñòêîâ» – íóêëåîòèäíûõ «ñëîâ», êîòîðûå ïîâòîðÿþòñÿ ìíîãî ðàç ïîäðÿä ïðàêòè÷åñêè áåç èçìåíåíèé. Íàïðèìåð, â ãåíîìå
÷åëîâåêà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òàê íàçûâàåìîãî Aluïîâòîðà (äëèíîé ïðèìåðíî 300 íóêëåîòèäîâ) âñòðå÷àåòñÿ ñâûøå ìèëëèîíà ðàç, ïðè÷åì â êàæäîì âõîæäåíèè
èçìåíåíû âñåãî íåñêîëüêî íóêëåîòèäîâ. Ïîýòîìó äëÿ
êîíêðåòíîãî ôðàãìåíòà áûâàåò òðóäíî îïðåäåëèòü, â
êàêîì èìåííî êîíñåðâàòèâíîì ó÷àñòêå ãåíîìà îí íàõîäèòñÿ. Ïîäõîäÿùåé èëëþñòðàöèåé ýòîãî çàòðóäíåíèÿ
ìîæåò áûòü ïîïóëÿðíàÿ êîãäà-òî â ÑØÀ ãîëîâîëîìêà
«Triazzle». Õîòÿ ïî ñóòè ýòî îáû÷íûé ïàçë âñåãî èç 16
êóñî÷êîâ, èñõîäíîå èçîáðàæåíèå ñîäåðæèò ìíîãî îäèíàêîâûõ ôèãóðîê, ïîâòîðÿþùèõñÿ íà ìíîãèõ êóñî÷êàõ, èç-çà ÷åãî ñîáðàòü «Triazzle» ñóùåñòâåííî ñëîæíåå, ÷åì îáû÷íûé ïàçë (ðèñ.3,â)
Íàêîíåö, ñîâðåìåííûå ñåêâåíàòîðû äàëåêî íå ñîâåðøåííû, è ñ÷èòûâàåìûå èìè ðèäû ñîäåðæàò ìíîãî
îøèáîê. Ïîýòîìó, íàïðèìåð, äâà ðèäà, íàõîäèâøèåñÿ
â ãåíîìå äàëåêî äðóã îò äðóãà, ìîãóò áûòü â ðåçóëüòàòå
îøèáêè èíòåðïðåòèðîâàíû êàê ïåðåñåêàþùèåñÿ
(ðèñ.3,ã).
Òåïåðü, êîãäà ìû âûÿñíèëè, êàêèå òðóäíîñòè ñâÿçàíû ñ ïðîöåññîì ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ, ìîæíî ðàññêàçàòü î ìàòåìàòè÷åñêîì àïïàðàòå, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî
ìîæíî ïîäîéòè ê çàäà÷å ñáîðêè ôðàãìåíòîâ.
Ìàòåìàòèêà ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ
Èñòîðè÷åñêèé ýêñêóðñ
Ïåðåä òåì êàê ïåðåéòè íåïîñðåäñòâåííî ê ìàòåìàòèêå, äàâàéòå íåìíîãî îòâëå÷åìñÿ, ÷òîáû ëó÷øå ïðåäñòàâèòü èñòîðè÷åñêèé êîíòåêñò. Íà÷íåì ñ XVIII âåêà è
ïðóññêîãî ãîðîäà Êåíèãñáåðãà (â íàñòîÿùåå âðåìÿ –
"
ÊÂÀÍT 2014/¹3
Êàëèíèãðàä). Êåíèãñáåðã ðàñïîëàãàëñÿ òîãäà íà äâóõ
áåðåãàõ ðåêè Ïðåãîëè è äâóõ åå îñòðîâàõ. Ýòè ÷åòûðå
÷àñòè ãîðîäà ñîåäèíÿëèñü ìåæäó ñîáîé ñåìüþ ìîñòàìè
(ðèñ.4,à). Æèòåëè Êåíèãñáåðãà ëþáèëè ïðîãóëèâàòüñÿ, è èì ñòàëî ëþáîïûòíî: ìîæíî ëè ïðîéòè ïî
êàæäîìó èç ñåìè ìîñòîâ ðîâíî îäèí ðàç è âåðíóòüñÿ
ïîñëå ýòîãî â èñõîäíóþ òî÷êó? Ýòîò âîïðîñ ñòàëè
íàçûâàòü «çàäà÷åé î Êåíèãñáåðñêèõ ìîñòàõ». Îêîí÷àòåëüíûé îòâåò íà íåãî äàë â 1735 ãîäó âåëèêèé ìàòåìàòèê Ëåîíàðä Ýéëåð (åãî ïîðòðåò ïðèâåäåí íà ðèñóíêå
14). Ðåøåíèå Ýéëåðà, êîòîðîå ìû îáñóäèì ÷óòü íèæå,
î÷åíü ëþáîïûòíî, ïîòîìó ÷òî åãî ìîæíî ïðèìåíèòü íå
òîëüêî ê ìîñòàì Êåíèãñáåðãà, íî è ê ëþáîé äðóãîé ñåòè
ìîñòîâ.
Âòîðàÿ èñòîðèÿ ñëó÷èëàñü â Äóáëèíå, ãäå â 1857 ãîäó
èðëàíäñêèé ìàòåìàòèê Óèëüÿì Ãàìèëüòîí (åãî ïîðòðåò
ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 14) èçîáðåë «Èêîñàýäðè÷åñêóþ 1
èãðó». Ýòà «èãðà», íàñëàæäàòüñÿ êîòîðîé äîâîëüíî
íåïðîñòî äàæå ïî ñîâðåìåííûì ìåðêàì, ñîñòîÿëà èç
äåðåâÿííîé äîñêè ñ 20 ëóíêàìè, íåêîòîðûå èç êîòîðûõ
áûëè ñîåäèíåíû ìåæäó ñîáîé ëèíèÿìè, è 20 ïðîíóìåðîâàííûõ ôèøåê, êîòîðûå ìîæíî áûëî âñòàâëÿòü â ýòè
ëóíêè (ðèñ.5,à). Öåëü èãðû çàêëþ÷àëàñü â ñëåäóþùåì:
êîé 1. Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè áû ìû øëè ïî ëèíèÿì îò
ôèøêè ê ôèøêå â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ íîìåðîâ, òî ìû
ïîáûâàëè áû ó êàæäîé ôèøêè ðîâíî îäèí ðàç è â êîíöå
âåðíóëèñü áû ê èñõîäíîé.
Ãðàôû
Çàêîí÷èâ ñ èñòîðè÷åñêèì ýêñêóðñîì, ïåðåéäåì ê
îïðåäåëåíèÿì. Íàçîâåì ãðàôîì íàáîð âåðøèí, ñîåäèíåííûõ ðåáðàìè, ãäå êàæäîå ðåáðî ñâÿçûâàåò äâå
âåðøèíû. Àáñòðàêòíîñòü ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ìîæåò
íåñêîëüêî îòïóãíóòü, ïîýòîìó ïîÿñíèì, ÷òî ãðàô âñåãäà ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå êàê êàðòó äîðîæíîé ñåòè,
ãäå ãîðîäà – ýòî âåðøèíû, à äîðîãè, èõ ñîåäèíÿþùèå,
– ðåáðà.
Òåîðèÿ ãðàôîâ (îáëàñòü ìàòåìàòèêè, çàíèìàþùàÿñÿ
èçó÷åíèåì ãðàôîâ) ïðèìåíèìà êî ìíîãèì òèïàì çàäà÷.
Ïðèëîæåíèÿ ýòîé òåîðèè âêëþ÷àþò â ñåáÿ íå òîëüêî
äîðîæíûå è òåëåôîííûå èëè êîìïüþòåðíûå ñåòè, íî è
ìåíåå î÷åâèäíûå ïðèìåðû, òàêèå êàê èçó÷åíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýïèäåìèé èëè ìîäåëèðîâàíèå ññûëîê ìåæäó
web-ñòðàíèöàìè â èíòåðíåòå.
 ÷àñòíîñòè, ìû ìîæåì ïðèìåíèòü òåîðèþ ãðàôîâ è
ê äâóì íàøèì èñòîðè÷åñêèì çàäà÷àì.  çàäà÷å î
Êåíèãñáåðñêèõ ìîñòàõ ìû ïîëó÷èì
ãðàô K, åñëè ñîïîñòàâèì êàæäîé èç
÷åòûðåõ ÷àñòåé ãîðîäà ïî âåðøèíå, à
çàòåì ïðîâåäåì ìåæäó äâóìÿ òàêèìè
âåðøèíàìè ïî îäíîìó ðåáðó äëÿ êàæäîãî ìîñòà, êîòîðûé ñâÿçûâàåò äâå
ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòè ãîðîäà
(ðèñ.4,á). À äëÿ «Èêîñàýäðè÷åñêîé
èãðû» ìû ïîñòðîèì ãðàô I, ñîïîñòàâèâ
êàæäîé ëóíêå âåðøèíó è ïðåâðàòèâ
ñîåäèíÿþùèå èõ ëèíèè â ñîîòâåòñòâóþùèå ðåáðà (ðèñ.5,á).
Ðèñ.4. à) Ñòàðûé Êåíèãñáåðã, èëëþñòðàöèÿ Éîàõèìà Áåðèíãà, 1613 ã.
á) «Ãðàô ìîñòîâ Êåíèãñáåðãà», êîòîðûé ïîëó÷àåòñÿ, åñëè ñæàòü êàæäûé îñòðîâ â
òî÷êó, à ìîñòû èçîáðàçèòü ëèíèÿìè
Ðèñ.5. à) «Èêîñàýäðè÷åñêàÿ èãðà». á) Ñîîòâåòñòâóþùèé ãðàô
ðàññòàâèòü ôèøêè ïî ëóíêàì òàê, ÷òîáû ôèøêà 1 áûëà
ñîåäèíåíà íà äîñêå ëèíèåé ñ ôèøêîé 2, òà, â ñâîþ
î÷åðåäü, ñîåäèíÿëàñü ñ ôèøêîé 3, è òàê äàëåå âïëîòü
äî ôèøêè 20, êîòîðàÿ äîëæíà áûòü ñâÿçàíà ñ ôèø1 Èíòåðåñíî, ÷òî õîòü èãðà è íàçûâàåòñÿ èêîñàýäðè÷åñêîé,
â äåéñòâèòåëüíîñòè â íåé ïðèõîäèòñÿ ñîâåðøàòü îáõîä ðåáåð
äîäåêàýäðà.
Ýéëåðîâû è ãàìèëüòîíîâû öèêëû
Òåïåðü ìû îáîáùèì äâå íàøè èñòîðè÷åñêèå çàäà÷è íà âñå âîçìîæíûå
ãðàôû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ó íàñ åñòü
íåêèé ãðàô, êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì G,
è ïðåäñòàâèì, ÷òî íà êàêîé-òî âåðøèíå
â G ñèäèò ìóðàâåé. Òàê æå, êàê æèòåëè
Êåíèãñáåðãà, õîäèâøèå ïî ìîñòàì ìåæäó ðàçíûìè ÷àñòÿìè ãîðîäà, ìóðàâåé
ìîæåò ïîëçàòü ïî ðåáðàì îò âåðøèíû
ê âåðøèíå. Åñëè ìóðàâåé âåðíóëñÿ
òóäà, îòêóäà íà÷àë, ðåçóëüòàòîì åãî
ïðîãóëêè áóäåò öèêë íà G. Ìû çàäàäèìñÿ äâóìÿ âîïðîñàìè î öèêëàõ íà G:
1. Ñóùåñòâóåò ëè öèêë íà G, ïðè
êîòîðîì ìóðàâåé ïðîïîëçåò ïî êàæäîìó ðåáðó â òî÷íîñòè îäèí ðàç?
2. Ñóùåñòâóåò ëè öèêë íà G, ïðè êîòîðîì ìóðàâåé
ïîáûâàåò â êàæäîé âåðøèíå ðîâíî îäèí ðàç?
Ïåðâûé âîïðîñ íàçûâàåòñÿ Çàäà÷åé ýéëåðîâà öèêëà
(ÇÝÖ) – çàìåòüòå, ÷òî ðåøåíèå ÇÝÖ â òîì ñëó÷àå,
êîãäà íàøèì ãðàôîì ÿâëÿåòñÿ K, ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèþ çàäà÷è î Êåíèãñáåðñêèõ ìîñòàõ. Ïîýòîìó ìû
îïðåäåëèì ýéëåðîâ öèêë íà ãðàôå G êàê öèêë íà G,
ÐÅÊÎÍÑÒÐÓÊÖÈß
ÃÅÍÎÌÀ:
ÃÎËÎÂÎËÎÌÊÀ
êîòîðûé ïðîõîäèò ïî êàæäîìó ðåáðó â G ðîâíî îäèí
ðàç.
Âòîðîé âîïðîñ íàçûâàåòñÿ Çàäà÷åé ãàìèëüòîíîâà
öèêëà (ÇÃÖ), ïîòîìó ÷òî âûèãðûø â ãàìèëüòîíîâîé
«Èêîñàýäðè÷åñêîé èãðå» áóäåò ïî ñóòè ðåøåíèåì ÇÃÖ
äëÿ ãðàôà I (ðèñ.6). Àíàëîãè÷íî, ãàìèëüòîíîâ öèêë
â ãðàôå G – ýòî öèêë íà G,
êîòîðûé ïðîõîäèò ÷åðåç
êàæäóþ âåðøèíó îäèí è
òîëüêî îäèí ðàç.
Íàêîíåö ìû îïðåäåëèì
ñâÿçíûé ãðàô êàê òàêîé, â
êîòîðîì ìóðàâåé, íà÷àâ
äâèæåíèå íà ïðîèçâîëüíîé
âåðøèíå, ìîæåò äîñòèãíóòü
Ðèñ.6. Ïðèìåð ãàìèëüòîíîâà
ëþáîé äðóãîé âåðøèíû ïî
öèêëà â «Èêîñàýäðè÷åñêîé
ðåáðàì ãðàôà. Äëÿ íàøèõ
èãðå»
öåëåé èìååò ñìûñë èçó÷àòü
ÇÝÖ è ÇÃÖ òîëüêî äëÿ ñâÿçíûõ ãðàôîâ. Âåäü ãðàô, íå
ÿâëÿþùèéñÿ ñâÿçíûì, àâòîìàòè÷åñêè íå ñîäåðæèò íè
ýéëåðîâà, íè ãàìèëüòîíîâà öèêëà. Ïîýòîìó â ýòîì
ðàçäåëå êàæäûé ãðàô áóäåò ïîäðàçóìåâàòüñÿ ñâÿçíûì.
Òåîðåìà Ýéëåðà
ÈÇ
ÌÈËËÈÀÐÄÀ
ÊÓÑÎ×ÊÎÂ
#
Êàê ïîíèìàòü òî, ÷òî äâà óòâåðæäåíèÿ ðàâíîñèëüíû? Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè îäíî óòâåðæäåíèå âåðíî, òî
è äðóãîå îáÿçàòåëüíî òîæå âåðíî, è íàîáîðîò. Ðàâíîñèëüíîñòü óòâåðæäåíèé î ñòåïåíÿõ âåðøèí è ñóùåñòâîâàíèè ýéëåðîâà öèêëà ÿâëÿåòñÿ î÷åíü ìîùíûì
ðåçóëüòàòîì, ïîòîìó ÷òî ñ åãî ïîìîùüþ äëÿ ëþáîãî
ãðàôà G ìû ñìîæåì îïðåäåëèòü, åñòü ëè ó G ýéëåðîâ
öèêë, íå ïåðåáèðàÿ âñå öèêëû. Âìåñòî ýòîãî äîñòàòî÷íî áóäåò ïðîâåðèòü ñòåïåíü êàæäîé âåðøèíû, à
ýòî äîâîëüíî ëåãêàÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ çàäà÷à äàæå äëÿ
áîëüøîãî ãðàôà.
Çàìåòèì, ÷òî ïðèìåíåíèå òåîðåìû Ýéëåðà íåìåäëåííî äàåò ðåøåíèå çàäà÷è î Êåíèãáåðñêèõ ìîñòàõ. Ìû
óæå ïîêàçàëè âûøå, ÷òî íå ó êàæäîé âåðøèíû K ÷åòíàÿ
ñòåïåíü. Ïîýòîìó K íå ñîäåðæèò ýéëåðîâà öèêëà, è
ìàðøðóò, î êîòîðîì ìå÷òàëè ãðàæäàíå Êåíèãñáåðãà, íå
ñóùåñòâóåò.
Ñ XVII âåêà â ïëàíèðîâêå Êåíèãñáåðãà ìíîãîå èçìåíèëîñü, íî îêàçûâàåòñÿ, ÷òî àíàëîãè÷íûé ãðàô, íàðèñîâàííûé äëÿ ñîâðåìåííîãî ãîðîäà Êàëèíèíãðàäà,
òîæå íå ñîäåðæèò ýéëåðîâà öèêëà (ðèñ.7); îäíàêî,
òåïåðü â ýòîì ãðàôå åñòü ýéëåðîâ ïóòü, ÷òî îçíà÷àåò,
÷òî îáèòàòåëü Êàëèíèíãðàäà ìîæåò ïðîéòèñü ïî êàæäîìó ìîñòó â òî÷íîñòè îäèí ðàç, íî íå ìîæåò ïðè ýòîì
âåðíóòüñÿ òóäà, îòêóäà íà÷àë. Òàêèì îáðàçîì, æèòåëè
Êàëèíèíãðàäà íàêîíåö-òî äîñòèãëè, ïî êðàéíåé ìåðå,
÷àñòè÷íî, öåëè æèòåëåé Êåíèãñáåðãà. Ïðàâäà, ñåé÷àñ
Ïåðåõîä îò êîíêðåòíûõ èñòîðè÷åñêèõ ïðèìåðîâ ê
îáùèì âîïðîñàì î ïðîèçâîëüíûõ ãðàôàõ î÷åíü ïîìîæåò íàì â äàëüíåéøåì èçëîæåíèè. Õîòÿ
ÇÝÖ è ÇÃÖ íà ïåðâûé âçãëÿä êàæóòñÿ
ïîõîæèìè, ñïåöèàëèñòû â îáëàñòè òåîðèè
àëãîðèòìîâ âñêîðå îáíàðóæèëè, ÷òî ó íèõ
ñîâåðøåííî ðàçíûå àëãîðèòìè÷åñêèå ñâîéñòâà: ÇÝÖ ìîæåò áûòü áûñòðî ðåøåíà
äàæå äëÿ îãðîìíûõ ãðàôîâ, â òî âðåìÿ
êàê ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì äëÿ ðåøåíèÿ
ÇÃÖ äëÿ áîëüøèõ ãðàôîâ îñòàåòñÿ íåèçâåñòíûì è, ìîæåò áûòü, âîâñå íå ñóùåñòâóåò.
Äëÿ íà÷àëà ìû îáñóäèì ÇÝÖ. Êàê ìû
óæå óïîìèíàëè, ðåøåíèå çàäà÷è î Êåíèãáåðñêèõ ìîñòàõ îáîáùàåòñÿ íà ïðîèçâîëüíóþ ñåòü èç ìîñòîâ. Ïîä ýòèì ìû èìåëè â
Ðèñ.7. à) Ñïóòíèêîâàÿ ôîòîãðàôèÿ ñîâðåìåííîãî Êàëèíèíãðàäà; ìîñòû
âèäó, ÷òî ðåøåíèå Ýéëåðà ñîäåðæèò ïðîâûäåëåíû ãîëóáûì öâåòîì.
ñòîå óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè ÇÝÖ äëÿ ïðîá) «Ãðàô ìîñòîâ Êàëèíèíãðàäà». Ëþáîïûòíûé âîïðîñ: ãäå íóæíî ïîñòðîèòü
èçâîëüíîãî ãðàôà.
íîâûå ìîñòû, ÷òîáû â ïîëó÷èâøåìñÿ ãðàôå áûë ýéëåðîâ öèêë?
Ïåðåä òåì êàê èçëîæèòü ðåçóëüòàò Ýéëåðà, íàì ïîíàäîáèòñÿ îäíî îïðåäåëåíèå.
ïðîãóëèâàòüñÿ ïî Êàëèíèíãðàäó äàëåêî íå òàê ïðèÿòÍàçîâåì ñòåïåíüþ âåðøèíû v ãðàôà G ÷èñëî ðåáåð,
íî, êàê ýòî áûëî â 1735, ïîñêîëüêó ñòàðûé Êåíèãñáåðã
ñîåäèíÿþùèõ v ñ äðóãèìè âåðøèíàìè G. Íàïðèìåð,
áûë ñèëüíî ðàçðóøåí àíãëèéñêîé áîìáàðäèðîâêîé â
äëÿ Êåíèãñáåðñêîãî ãðàôà K íà ðèñóíêå 4,á âåðõíÿÿ,
1944 è ïðàêòè÷åñêè ïîëíîñòüþ ïåðåñòðîåí.
íèæíÿÿ è ïðàâàÿ âåðøèíû èìåþò ñòåïåíü 3, à ó ëåâîé
âåðøèíû, îáîçíà÷àþùåé îñíîâíîé îñòðîâ ÊåíèãñáåðÒåîðåìà Ýéëåðà äëÿ îðèåíòèðîâàííûõ ãðàôîâ
ãà, ñòåïåíü ðàâíà 5. Òàêèì îáðàçîì, ñòåïåíü âåðøèíû
v ãðàôà K ðàâíà ÷èñëó ìîñòîâ ñîåäèíÿþùèõ ñîîòâåò×òîáû ïðèìåíèòü òåîðåìó Ýéëåðà äëÿ íàøåé çàäà÷è
ñòâóþùóþ ýòîé âåðøèíå ÷àñòü ãîðîäà ñ äðóãèìè ðàéîñáîðêè ôðàãìåíòîâ, íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåãêà èçìåíèòü
íàìè.
åå óòâåðæäåíèå. Âíà÷àëå ïðåäïîëîæèì, ÷òî ó íàñ åñòü
Ïåðâàÿ òåîðåìà Ýéëåðà. Íàëè÷èå ó ãðàôà G ýéëåîðèåíòèðîâàííûé ãðàô, ò.å. ãðàô, â êîòîðîì ó êàæäîãî
ðîâà öèêëà ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî ñòåïåíü êàæäîé
ðåáðà çàäàíî íàïðàâëåíèå: ðåáðî, âûõîäÿùåå èç v ê w,
âåðøèíû ãðàôà G ÷åòíà (íàïîìíèì, ÷òî ãðàô ïðåäïîîòëè÷àåòñÿ îò ðåáðà, âûõîäÿùåãî èç w ê v. Ìîæíî
ëàãàåòñÿ ñâÿçíûì).
ïðåäñòàâëÿòü ñåáå îðèåíòèðîâàííûé ãðàô êàê ñõåìó
$
ÊÂÀÍT 2014/¹3
óëèö ñ îäíîñòîðîííèì äâèæåíèåì; òîãäà íàø èñõîäíûé
íåîðèåíòèðîâàííûé ãðàô áóäåò ñõåìîé óëèö ñ äâóñòîðîííèì äâèæåíèåì. Ñîîòâåòñòâåííî, ýéëåðîâ öèêë â
îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå G – ýòî ïðîñòî ýéëåðîâ öèêë,
êîòîðûé ïðîõîäèò ïî óëèöàì â ïðàâèëüíîì íàïðàâëåíèè. Ãàìèëüòîíîâ öèêë â G îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî
(ðèñ.8).
Ðèñ.8. à) Ïðîñòîé ïðèìåð îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà. Ñòðåëêè
îïðåäåëÿþò îðèåíòàöèþ íà ðåáðàõ.
á) Ïðèìåð ýéëåðîâà öèêëà â îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå; ðåáðà
ïðîíóìåðîâàíû â ïîðÿäêå èõ îáõîäà ïî öèêëó.
â) Ïðèìåð ãàìèëüòîíîâà öèêëà (âûäåëåí êðàñíûì) â îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå
Äëÿ êàæäîé âåðøèíû v â îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå G
îïðåäåëèì âõîäÿùóþ ñòåïåíü âåðøèíû v êàê ÷èñëî
ðåáåð, âõîäÿùèõ â v, à èñõîäÿùóþ ñòåïåíü v êàê ÷èñëî
ðåáåð, âûõîäÿùèõ èç v. Òåïåðü ìû ãîòîâû ñôîðìóëèðîâàòü ðåçóëüòàò Ýéëåðà ïðèìåíèòåëüíî ê îðèåíòèðîâàííûì ãðàôàì.
Âòîðàÿ òåîðåìà Ýéëåðà. Íàëè÷èå ó îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà G ýéëåðîâà öèêëà ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî
ó êàæäîé âåðøèíû G ðàâíû âõîäÿùàÿ è èñõîäÿùàÿ
ñòåïåíè (íàïîìíèì, ÷òî ãðàô ïðåäïîëàãàåòñÿ ñâÿçíûì).
Äîêàçàòåëüñòâî âòîðîé òåîðåìû Ýéëåðà ïðèâåäåíî
â êîíöå ýòîé ñòàòüè âìåñòå ñ îáñóæäåíèåì òîãî, êàê
ìîæíî íàéòè ýéëåðîâ öèêë äîñòàòî÷íî «áûñòðî» â
ñìûñëå òåîðèè êîìïüþòåðíûõ âû÷èñëåíèé. Îñíîâíàÿ
èäåÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî íàì íå íàäî ïðîâåðÿòü ïî
î÷åðåäè âñå âîçìîæíûå öèêëû â îðèåíòèðîâàííîì
ãðàôå G äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîíÿòü, ñîäåðæèò ëè G
ýéëåðîâ öèêë. Äîñòàòî÷íî ëèøü ïîñ÷èòàòü âõîäÿùèå
è èñõîäÿùèå ñòåïåíè âñåõ âåðøèí: åñëè ó êàæäîé
âåðøèíû âõîäÿùàÿ è èñõîäÿùàÿ ñòåïåíè ñîâïàäàþò,
òî ýéëåðîâ öèêë ìîæíî ëåãêî ïîñòðîèòü; åñëè æå åñòü
õîòü îäíà âåðøèíà, ó êîòîðîé âõîäÿùàÿ è èñõîäÿùàÿ
ñòåïåíè ðàçëè÷íû, òî ïðîâåñòè ýéëåðîâ öèêë íåâîçìîæíî.
Ðåøàåìûå è íåðåøàåìûå çàäà÷è
Âäîõíîâëåííûå òåîðåìîé Ýéëåðà, ìû ìîæåì çàäàòüñÿ âîïðîñîì, ñóùåñòâóåò ëè ïîäîáíûé ïðîñòîé
ðåçóëüòàò äëÿ ðåøåíèÿ ÇÃÖ. Íî íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî
âûèãðàòü â «Èêîñàýäðè÷åñêóþ èãðó» íå òàê óæ ñëîæíî, ðåøåíèå ÇÃÖ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ãðàôà îñòàåòñÿ
íåèçâåñòíûì.
Ãëàâíàÿ òðóäíîñòü çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî åñëè äëÿ
ðåøåíèÿ ÇÝÖ ó íàñ åñòü òåîðåìà Ýéëåðà, òî äëÿ ÇÃÖ
àíàëîãè÷íîå ïðîñòîå óñëîâèå íåèçâåñòíî. Êîíå÷íî,
âû âñåãäà ìîæåòå çàäåéñòâîâàòü äëÿ ðåøåíèÿ ÇÃÖ
ìåòîä «ãðóáîé ñèëû», ò.å. çàïðîãðàììèðîâàòü êîìïüþòåð ïåðåáèðàòü âñå ïóòè ïî ãðàôó è ñîîáùàòü, êàê
òîëüêî îí íàéäåò ãàìèëüòîíîâ öèêë. Ïîíÿòü ýòîò
ìåòîä äîâîëüíî ëåãêî, íî ïðåäñòàâüòå ñåáå îãðîìíûé
ãðàô, â êîòîðîì íåò ãàìèëüòîíîâà öèêëà. Äëÿ ýòîãî
ãðàôà êîìïüþòåðó ïðèäåòñÿ ïðîâåðèòü êàæäûé ïóòü
ïî íåìó, ïåðåä òåì êàê ñîîáùèòü âàì, ÷òî ãàìèëüòîíîâà ïóòè íå ñóùåñòâóåò. Êàòàñòðîôè÷åñêèé íåäîñòàòîê ýòîãî ìåòîäà ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ñðåäíåì ãðàôå
âñåãî ëèøü èç òûñÿ÷è âåðøèí ðàçíûõ ïóòåé ñóùåñòâóåò áîëüøå, ÷åì àòîìîâ âî âñåëåííîé!
ÇÃÖ áûëà îäíîé èç ïåðâûõ àëãîðèòìè÷åñêèõ çàäà÷,
êîòîðóþ íå óäàëîñü ðåøèòü äàæå ñàìûì áëåñòÿùèì
ó÷åíûì. Ïîñëå ìíîãèõ ëåò áåñïëîäíûõ óñèëèé ñïåöèàëèñòû â îáëàñòè computer science íà÷àëè çàäóìûâàòüñÿ, ÿâëÿåòñÿ ëè ÇÃÖ ýôôåêòèâíî ðàçðåøèìîé.
Äðóãèìè ñëîâàìè, íå ìîæåò ëè îêàçàòüñÿ òàê, ÷òî èõ
íåóäà÷è â ïîèñêàõ áûñòðîãî àëãîðèòìà âûçâàíû íå
íåäîñòàòêîì ñîîáðàçèòåëüíîñòè, à òåì, ÷òî ýôôåêòèâíîãî àëãîðèòìà äëÿ ðåøåíèÿ ÇÃÖ ïðîñòî íå ñóùåñòâóåò. Áîëåå òîãî, â 1970-õ ãîäàõ ó÷åíûå-êîìïüþòåðùèêè îáíàðóæèëè åùå òûñÿ÷è ðàçíûõ àëãîðèòìè÷åñêèõ çàäà÷ ñ òîé æå ñóäüáîé, êàê ó ÇÃÖ: íåñìîòðÿ
íà òî, ÷òî îíè ÷ðåçâû÷àéíî ïðîñòî âûãëÿäÿò, íèêòî
íå ñìîã ïðèäóìàòü äëÿ íèõ ýôôåêòèâíîãî ðåøåíèÿ.
ÇÃÖ âìåñòå ñî ìíîãèìè èç ýòèõ çàäà÷ òåïåðü íàçûâàþò «NP-ïîëíûìè»2 çàäà÷àìè.
Åùå áîëüøå óñèëèë ðàçî÷àðîâàíèå, âûçâàííîå íåóäà÷åé âñåõ ïîïûòîê íàéòè ïðîñòîå óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè ÇÃÖ, òàêîé ôàêò: õîòÿ âñå NP-ïîëíûå çàäà÷è
ðàçëè÷íû, îêàçûâàåòñÿ, îíè âñå ýêâèâàëåíòíû äðóã
äðóãó – åñëè íàéòè áûñòðûé àëãîðèòì ðåøåíèÿ îäíîé òàêîé çàäà÷è, òî èç íåãî àâòîìàòè÷åñêè ïîëó÷èòñÿ áûñòðûé àëãîðèòì äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ! Çàäà÷à
ýôôåêòèâíîãî ðåøåíèÿ NP-ïîëíûõ çàäà÷ (èëè îêîí÷àòåëüíîãî äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî òàêîãî ðåøåíèÿ
íå ñóùåñòâóåò) íàñòîëüêî ôóíäàìåíòàëüíà äëÿ
computer science è ìàòåìàòèêè, ÷òî îíà âîøëà â ñïèñîê «Çàäà÷ Òûñÿ÷åëåòèÿ» îò Ìàòåìàòè÷åñêîãî Èíñòèòóòà Êëýÿ, îïóáëèêîâàííûé â 2000 ãîäó: íàéäèòå
ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì äëÿ êàêîé-íèáóäü NP-ïîëíîé
çàäà÷è èëè äîêàæèòå, ÷òî åãî íåò, è èíñòèòóò âðó÷èò
âàì ïðèç â ðàçìåðå ìèëëèîíà äîëëàðîâ.
Ñ ýòîãî ìîìåíòà ìû áóäåì íàçûâàòü ÇÝÖ «ïðîñòîé»,
à ÇÃÖ – «ñëîæíîé». Íå çàáûâàéòå îá ýòîì ðàçëè÷èè,
ïîñêîëüêó â ñêîðîì âðåìåíè îíî ñòàíåò êðèòè÷íûì.
2
NP – îò ñëîâ non-deterministic polynomial (àíãë.).
ÐÅÊÎÍÑÒÐÓÊÖÈß
ÃÅÍÎÌÀ:
ÃÎËÎÂÎËÎÌÊÀ
Îò Ýéëåðà è Ãàìèëüòîíà ê ñáîðêå ãåíîìà
Ñáîðêà ãåíîìà êàê çàäà÷à
ïîèñêà ãàìèëüòîíîâà öèêëà
Âîîðóæåííûå íåîáõîäèìîé ìàòåìàòèêîé, âåðíåìñÿ ê
ñáîðêå ôðàãìåíòîâ. Ïðåäïîëîæèì, ìû ïðî÷èòàëè âñå
íàøè ðèäû. Ñäåëàåì òåïåðü ÷åòûðå äîïóùåíèÿ, ÷òîáû
óïðîñòèòü èçëîæåíèå:
1. Ìû ðåêîíñòðóèðóåì êîëüöåâîé ãåíîì 3 .
2. Âñå ðèäû èìåþò îäèíàêîâóþ äëèíó l (áóäåì òàêæå
íàçûâàòü èõ l-ìåðàìè).
3. Âñå âîçìîæíûå ïîäñòðîêè äëèíû l, âñòðå÷àþùèåñÿ
â íàøåì ãåíîìå, áûëè ïðî÷èòàíû êàê ðèäû.
4. Ðèäû áûëè ïðî÷èòàíû áåç êàêèõ-ëèáî îøèáîê.
Íà ñàìîì äåëå ìîæíî îáîéòèñü è áåç ýòèõ óïðîùåíèé, íî òîãäà ïðèäåòñÿ îáñóæäàòü ñëèøêîì ìíîãî
òåõíè÷åñêèõ ìîìåíòîâ.
Íà çàðå ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ áûëà ïðåäëîæåíà
ñëåäóþùàÿ èäåÿ ñáîðêè ôðàãìåíòîâ. Ïîñòðîèì ãðàô
G, îáðàçîâàâ âåðøèíó äëÿ êàæäîãî ðèäà (l-ìåðà);
ñîåäèíèì l-ìåð R1 ñ l-ìåðîì R2 îðèåíòèðîâàííûì
ðåáðîì, åñëè ñòðîêà, îáðàçîâàííàÿ ïîñëåäíèìè l – 1
ñèìâîëàìè R1 (íàçûâàåìàÿ ñóôôèêñîì R1 ) ñîâïàäàåò
ñî ñòðîêîé îáðàçîâàííîé ïåðâûìè l – 1 ñèìâîëàìè R2
(íàçûâàåìîé ïðåôèêñîì R2 ). Íàïðèìåð, â ñëó÷àå l =
= 5 ìû ñîåäèíèì ÃÃÖÀÒ ñ ÃÖÀÒÖ îðèåíòèðîâàííûì
ðåáðîì, íî íå íàîáîðîò. Ïðèìåð òàêîãî ãðàôà G
ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 9,à.
Òåïåðü ðàññìîòðèì öèêë â G. Îí íà÷èíàåòñÿ ñ l-ìåðà
R1 è çàòåì ïî îðèåíòèðîâàííîìó ðåáðó ïåðåõîäèò ê
äðóãîìó l-ìåðó R2 ; áóäåì ïðåäñòàâëÿòü ñåáå ïåðåõîä
ïî ýòîìó ðåáðó êàê òî, ÷òî ìû íà÷àëè ñ R1 è,
ïðèñîåäèíèâ ê íåìó åäèíñòâåííûé íîâûé ñèìâîë èç
R2 , îáðàçîâàëè ñòðîêó S äëèíû l + 1.  ñëó÷àå
ïðèâåäåííîãî âûøå ïðèìåðà, ïåðåéäÿ îò ÃÃÖÀÒ ê
ÃÖÀÒÖ, ìû ïîëó÷èì ñòðîêó ÃÃÖÀÒÖ. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî ïåðâûå l ñèìâîëîâ ñòðîêè S îáðàçóþò R1 , à
ÈÇ
ÌÈËËÈÀÐÄÀ
ÊÓÑÎ×ÊÎÂ
%
åì ê S îäèí íîâûé ñèìâîë; ïðè ýòîì ïîñëåäíèå l
ñèìâîëîâ íàøåé ñòðîêè îáðàçóþò ðèä òåêóùåé âåðøèíû.  êîíöå öèêëà íàøà (öèêëè÷åñêàÿ) ñòðîêà S áóäåò
ñîäåðæàòü âñå l-ìåðû, ïî êîòîðûì ìû ïðîøëè ïî
äîðîãå. Ïðîäîëæàÿ ýòó ìûñëü, êàæäûé ãàìèëüòîíîâ
öèêë â G, êîòîðûé ïðîõîäèò ÷åðåç âñå âåðøèíû G,
äîëæåí ñîîòâåòñòâîâàòü ñòðîêå íóêëåîòèäîâ, êîòîðàÿ
ñîäåðæèò êàæäûé èç íàøèõ l-ìåðîâ. Äàëåå, òàê êàê
êàæäàÿ ïîäñòðîêà èç S äëèíû l ñîîòâåòñòâóåò êàêîìóòî l-ìåðó, òî S èìååò ìèíèìàëüíóþ âîçìîæíóþ äëèíó
è ÿâëÿåòñÿ êàíäèäàòîì äëÿ èñêîìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÄÍÊ (ðèñ.9,á).
Íåäîñòàòîê ýòîãî äîâîëüíî ýëåãàíòíîãî ìåòîäà â òîì,
÷òî îí îñíîâûâàåòñÿ íà ðåøåíèè ÇÃÖ è ïîòîìó íà
ïðàêòèêå íå ïðèãîäåí, êðîìå ñëó÷àåâ, êîãäà íàø ãðàô
G íåâåëèê. Ñòàëî áûòü, ýòîò ìåòîä íå ïîäõîäèò äëÿ
ãðàôîâ, ïîëó÷åííûõ èç ãåíîìîâ, êîòîðûå ìîãóò ñîäåðæàòü ìèëëèàðäû âåðøèí.
Ñáîðêà ãåíîìà êàê çàäà÷à
ïîèñêà ýéëåðîâà öèêëà
Íî íå âñå åùå ïîòåðÿíî. Äàâàéòå ïîñòóïèì äîâîëüíî
íåîæèäàííûì îáðàçîì è âìåñòî âåðøèíû ñîïîñòàâèì
êàæäîìó ðèäó ðåáðî. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ïðåôèêñû
è ñóôôèêñû âñåõ ðèäîâ. Çàìåòèì, ÷òî ó ðàçíûõ ðèäîâ
ìîãóò áûòü îáùèå ñóôôèêñû è ïðåôèêñû; íàïðèìåð ó
ðèäîâ ÖÀÃÖ è ÖÀÃÒ äëèíû 4 åñòü îáùèé ïðåôèêñ ÖÀÃ.
Ïîñòðîèì ãðàô E, ãäå âåðøèíû ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûì ïðåôèêñàì è ñóôôèêñàì; ñîåäèíèì (l – 1)-ìåð A
ñ (l – 1)-ìåðîì B îðèåíòèðîâàííûì ðåáðîì, åñëè åñòü
ðèä, ÷üèì ïðåôèêñîì ÿâëÿåòñÿ A, è ÷üèì ñóôôèêñîì
ÿâëÿåòñÿ B. Íà ðèñóíêå 10 ïðèâåäåí ýòîò ãðàô äëÿ òîãî
æå íàáîðà ðèäîâ, ÷òî è íà ðèñóíêå 9.
Ðåøàþùèé âîïðîñ: ÷åìó ñîîòâåòñòâóåò öèêë â E?
Ñíîâà ïðåäñòàâüòå ñåáå, ÷òî âû ìóðàâåé, âûïîëçàþùèé
èç êàêîé-òî âåðøèíû â E ïî îðèåíòèðîâàííîìó ðåáðó
â äðóãóþ âåðøèíó, äâèãàÿñü ïî íàïðàâëåíèþ ñòðåëîê.
Êàê è â ñëó÷àå ñ G, ñîñòàâëÿåì ïî äîðîãå
ñòðîêó S, çàïèñûâàÿ ïîñëåäíèé ñèìâîë èç
âòîðîé âåðøèíû ïîñëå òåõ, êîòîðûå áûëè
íàïèñàíû â ïåðâîé.
Ïîíÿòíî, ÷òî ñíà÷àëà S áóäåò ïðîñòî ðèäîì,
ñîîòâåòñòâóþùèì ðåáðó ìåæäó ïåðâûìè äâóìÿ âåðøèíàìè. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî íà
ðèñóíêå 10 ìû ïîìåòèëè êàæäîå ðåáðî ñîîòâåòñòâóþùèì 3-ìåðîì.
Áóäåì ïîâòîðÿòü ýòîò ïðîöåññ ïî ìåðå òîãî,
êàê ìóðàâåé ïîëçåò ïî E. Ñ êàæäûì íîâûì
ðåáðîì ìû äîáàâëÿåì åùå îäèí íóêëåîòèä ê
ñòðîêå S è, òàêèì îáðàçîì, óçíàåì åùå îäèí
ðèä. Ïîýòîìó ýéëåðîâ öèêë íà E áóäåò ïîðîæÐèñ.9. à) Ãðàô H äëÿ íàáîðà 3-ìåðîâ ÀÒÃ, ÖÃÒ, ÃÃÖ, ÀÀÒ, ÃÒÃ, ÒÃÃ, ÒÃÖ, ÖÀÀ,
äàòü (öèêëè÷åñêóþ) ñòðîêó S, êîòîðàÿ ñîäåðÃÖÀ è ÃÖÃ
æèò
âñå íàøè ðèäû, ïîýòîìó S áóäåò êàíäèá) Ãàìèëüòîíîâ ïóòü â H. Êàêàÿ öèêëè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áóêâ
äàòîì
äëÿ èñêîìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÄÍÊ.
ñîîòâåòñòâóåò ýòîìó öèêëó?
Íî òåïåðü, â îòëè÷èå îò òîãî, ÷òî áûëî ñ
ãðàôîì G, ó íàñ íåò âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðóäíåíèé:
ïîñëåäíèå l ñèìâîëîâ ñòðîêè S îáðàçóþò R2 . Â êàæäîé
ÇÝÖ ëåãêî ðåøàåòñÿ ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ýéëåðà.
íîâîé âåðøèíå, â êîòîðóþ ìû ïîïàäàåì, ìû äîïèñûâàÒàêèì îáðàçîì, ìû ñâåëè ñáîðêó ôðàãìåíòîâ ê ëåãêî
ðåøàåìîé âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷å – åñëè, êîíå÷íî, â
3 Ó áàêòåðèé îáû÷íî òàê îíî è åñòü.
ãðàôå E âîîáùå åñòü ýéëåðîâ öèêë!
&
ÊÂÀÍT 2014/¹3
Âñå ãðàôû äå Áð¸éíà îáëàäàþò âàæíûì ñâîéñòâîì:
êàæäûé èç íèõ ñîäåðæèò ýéëåðîâ öèêë. Íàïðèìåð, íà
ðèñóíêå 12 ìîæíî âèäåòü, ÷òî ó êàæäîé âåðøèíû
B (2, 4 ) åñòü äâà âõîäÿùèõ è äâà âûõîäÿùèõ ðåáðà, èç
Ðèñ.10. Ãðàô E äëÿ òîãî æå íàáîðà ðèäîâ, ÷òî è íà ðèñóíêå
9. Ìîæåòå ëè âû íàéòè ýéëåðîâ öèêë â ýòîì ãðàôå? Êàêàÿ
öèêëè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áóêâ ñîîòâåòñòâóåò ýòîìó
öèêëó?
Íà ñàìîì äåëå, ýòîò ìåòîä íóæäàåòñÿ â óòî÷íåíèè –
ïîãîâîðèì îá ýòîì ïîñëå íåáîëüøîãî îòñòóïëåíèÿ.
Îòñòóïëåíèå – ãðàôû äå Áð¸éíà
 1946 ãîäó ãîëëàíäñêèé ìàòåìàòèê Íèêîëàñ äå
Áð¸éí (åãî ïîðòðåò ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 14,â) çàèíòåðåñîâàëñÿ çàäà÷åé ïîñòðîåíèÿ êîëüöåâîé ñòðîêè ìèíèìàëüíîé äëèíû, ñîäåðæàùåé â êà÷åñòâå ïîäñòðîê âñå
âîçìîæíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç l äâîè÷íûõ öèôð.
Íàïðèìåð, çàêîëüöîâàííàÿ ñòðîêà 00011101 ñîäåðæèò
âñå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç 3 äâîè÷íûõ öèôð: 000, 001,
010, 011, 100, 101, 110 è 111. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî
00011101 – ýòî êðàò÷àéøàÿ òàêàÿ ñòðîêà, ïîòîìó ÷òî â
íåé íå ñîäåðæèòñÿ íèêàêèõ «ëèøíèõ» öèôð, ò.å.
êàæäàÿ ïîäñòðîêà äëèíû 3 ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì
âõîæäåíèåì îäíîãî èç
ïðèâåäåííûõ âûøå äâîè÷íûõ ÷èñåë (ðèñ.11).
Äå Áð¸éí èññëåäîâàë
êîíêðåòíûé êëàññ ãðàôîâ,
îïðåäåëåííûé ñëåäóþùèì
îáðàçîì. Ðàññìîòðèì àëôàâèò èç n áóêâ è ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî l. Âûïèøåì âñå nl −1 âîçìîæíûõ
ñëîâ äëèíû l – 1, ãäå ñëîâî
äëèíû l – 1 – ýòî ïðîñòî
Ðèñ.11. Ïîèñê ìèíèìàëüíîé ñòðîêà èç l – 1 ñèìâîëîâ
êîëüöåâîé ñòðîêè, ñîäåðæà- íàøåãî àëôàâèòà. Äå
ùåé â êà÷åñòâå ïîäñòðîê âñå Áð¸éí ïîñòðîèë ãðàô
B (n, l ) (íûíå íàçûâàåìûé
âîçìîæíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè çàäàííîé äëèíû. Çäåñü ãðàôîì äå Áð¸éíà), â êîïîêàçàíà äâîè÷íàÿ ñòðîêà òîðîì âåðøèíàì ñîîòâåò00011101 è âûäåëåíû âõîæ- ñòâóþò âñå nl −1 âîçìîæäåíèÿ â íåå ïîñëåäîâàòåëü- íûõ ñëîâ äëèíû l – 1;
íîñòåé 000 è 110. Çàìåòèì,
îðèåíòèðîâàííîå ðåáðî ñî÷òî â ýòó ñòðîêó âõîäÿò âñå
åäèíÿåò ñëîâà w1 è w2 ,
äâîè÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç òðåõ öèôð áåç ïîâòî- åñëè ñóùåñòâóåò l-áóêâåíðîâ, ïîýòîìó ñòðîêà 00011101 íîå ñëîâî W, äëÿ êîòîðîãî
w1 ÿâëÿåòñÿ ïðåôèêñîì, à
èìååò ìèíèìàëüíóþ âîçw2 – ñóôôèêñîì (ðèñ.12).
ìîæíóþ äëèíó
Ðèñ.12. Ãðàô äå Áð¸éíà B(2, 4) ñ «àëôàâèòîì» èç äâóõ
ñèìâîëî⠖ öèôð 0 è 1. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî èç òåîðåìû
Ýéëåðà ñëåäóåò, ÷òî â ýòîì ãðàôå åñòü ýéëåðîâ öèêë (ýòîò
öèêë ïîêàçàí íà ðèñóíêå 19)
÷åãî ñëåäóåò, ÷òî ó ýòîãî ãðàôà åñòü ýéëåðîâ öèêë.
×òîáû ïîíÿòü, ïî÷åìó ýòî âåðíî äëÿ âñåõ ãðàôîâ äå
Áð¸éíà B (n, l ) , ðàññìîòðèì âåðøèíó w, ñîîòâåòñòâóþùóþ ñëîâó äëèíû l – 1. Ñóùåñòâóåò n ñëîâ äëèíû l
ñ ïðåôèêñîì w (êàæäîå òàêîå ñëîâî ïîëó÷àåòñÿ äîáàâëåíèåì îäíîé èç n áóêâ â êîíåö w), è ïîýòîìó èñõîäÿùàÿ ñòåïåíü êàæäîé âåðøèíû â B (n, l ) ðàâíà n.
Ïîõîæèì îáðàçîì ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò n
ñëîâ äëèíû l ñ ñóôôèêñîì w (êàæäîå òàêîå ñëîâî
ïîëó÷àåòñÿ ïðèïèñûâàíèåì îäíîé èç n áóêâ ê íà÷àëó
w), è ïîýòîìó âõîäÿùàÿ ñòåïåíü êàæäîé âåðøèíû â
B (n, l ) òîæå ðàâíà n. Ñòàëî áûòü, ó êàæäîé âåðøèíû
â B (n, l ) èñõîäÿùàÿ è âõîäÿùàÿ ñòåïåíè ðàâíû n, è
òîãäà èç òåîðåìû Ýéëåðà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî ó B (n, l )
äîëæåí áûòü ýéëåðîâ öèêë.
Ñâÿçü ñ íàøåé áèîëîãè÷åñêîé çàäà÷åé ñòàíåò ÿñíîé
òîãäà, êîãäà ìû çàìåòèì, ÷òî ãðàô E ñîäåðæèòñÿ â
ãðàôå äå Áð¸éíà B (4, l ) .  ñàìîì äåëå: âåðøèíàìè E
ÿâëÿþòñÿ âñå (l – 1)-ìåðû âñòðå÷àþùèåñÿ â âèäå ïðåôèêñîâ èëè ñóôôèêñîâ íàøèõ ðèäîâ, à âåðøèíû
B (4, l ) – ýòî âñå âîçìîæíûå (l – 1)-ìåðû.
Êîïèéíîñòü ðèäîâ è äðóãèå óñëîæíåíèÿ
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàøåãî ãåíîìà – ÀÒÃÖÀÒÃÖ. Òîãäà ìû ïîëó÷èì 4 ðèäà äëèíû 3:
ÀÒÃ, ÒÃÖ, ÃÖÀ è ÖÀÒ, èç êîòîðûõ, ê ñîæàëåíèþ,
ìîæíî îøèáî÷íî ðåêîíñòðóèðîâàòü ýòîò ãåíîì êàê
ÀÒÃÖ. Âñå äåëî â òîì, ÷òî êàæäûé èç ýòèõ ðèäîâ â
ïðàâèëüíîì ãåíîìå âñòðå÷àåòñÿ äâàæäû. Ïîýòîìó íàì
ïîíàäîáèòñÿ ïåðåäåëàòü ïðîöåññ ñáîðêè ãåíîìà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì èçâåñòíû íå òîëüêî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âñåõ ðèäîâ, íî è òî, ñêîëüêî ðàç äàííûé l-ìåð
âñòðå÷àåòñÿ â ãåíîìå (ýòî ÷èñëî íàçûâàåòñÿ êîïèéíîñ-
ÐÅÊÎÍÑÒÐÓÊÖÈß
ÃÅÍÎÌÀ:
ÃÎËÎÂÎËÎÌÊÀ
òüþ ðèäà). Îêàçûâàåòñÿ, ìû ñìîæåì ñïðàâèòüñÿ ñî
ñáîðêîé ôðàãìåíòîâ è â ýòîì ñëó÷àå.
Ìû èñïîëüçóåì äëÿ ýòîãî ïðàêòè÷åñêè òîò æå ãðàô
E, ñ îäíèì ëèøü èçìåíåíèåì: åñëè êîïèéíîñòü êàêîãîòî l-ìåðà ðàâíà k, òî áóäåì ñîåäèíÿòü åãî ïðåôèêñ ñ
ñóôôèêñîì íå îäíèì, à k ðåáðàìè. Ïðîäîëæèì ðàçáèðàòü íàø ïðèìåð èç ðèñóíêà 10: åñëè âî âðåìÿ ÷òåíèÿ
ðèäîâ îáíàðóæèëîñü, ÷òî ó ÷åòûðåõ 3-ìåðîâ ÒÃÖ,
ÃÖÃ, ÖÃÒ è ÃÒÃ êîïèéíîñòü ðàâíà 2, à ó øåñòè 3ìåðîâ ÀÒÃ, ÒÃÖ, ÃÃÖ, ÃÖÀ, ÖÀÀ è ÀÀÒ êîïèéíîñòü
ðàâíà 1, òî ìû ïîñòðîèì ãðàô, èçîáðàæåííûé íà
Ðèñ.13. Ãðàô ñ ðèñóíêà 10, â êîòîðûé äîáàâèëèñü êðàòíûå
ðåáðà – áûëî ó÷òåíî, ÷òî êîïèéíîñòü íåêîòîðûõ ðèäîâ
áîëüøå 1. Ê ñ÷àñòüþ, òàêîå îáîáùåíèå íå óñëîæíÿåò çàäà÷ó
ïîèñêà ýéëåðîâà öèêëà, è öèêë äëÿ íîâîãî ãðàôà òàêæå áóäåò
äàâàòü êàíäèäàòà äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè «ÄÍÊ»
ðèñóíêå 13.  îáùåì ñëó÷àå, ëåãêî âèäåòü, ÷òî ãðàô ñ
ðåáðàìè, äîáàâëåííûìè ñîãëàñíî êîïèéíîñòè, òîæå
ýéëåðîâ, ïîñêîëüêó ïîëóñòåïåíè èñõîäà è çàõîäà âåðøèíû (ñîîòâåòñòâóþùåé (l – 1)-ìåðó) ðàâíû ÷èñëó
ðàç, êîòîðîå ýòîò (l – 1)-ìåð âñòðå÷àåòñÿ â ãåíîìå.
Íà ïðàêòèêå òî÷íóþ èíôîðìàöèþ î êîïèéíîñòè
(l – 1)-ìåðîâ â ãåíîìå ñ ïîìîùüþ ñîâðåìåííûõ òåõíîëîãèé ñåêâåíèðîâàíèÿ ïîëó÷èòü äîâîëüíî ñëîæíî. Òåì
íå ìåíåå, ó÷åíûå-àëãîðèòìèñòû íåäàâíî ïðèäóìàëè
ñïîñîá âîññòàíîâëåíèÿ ãåíîìíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
äàæå òîãäà, êîãäà ýòè äàííûå îòñóòñòâóþò.
Åñòü è äðóãèå îñëîæíåíèÿ: ìàøèíû, ñåêâåíèðóþùèå
ÄÍÊ, ïîäâåðæåíû îøèáêàì, äëèíà ðèäîâ ìîæåò ðàçëè÷àòüñÿ è òàê äàëåå. Îäíàêî, â
êîíå÷íîì ñ÷åòå, äëÿ âñåõ ìåòîäîâ
ñáîðêè ôðàãìåíòîâ îêàçûâàåòñÿ
î÷åíü ïîëåçíî ïðèìåíèòü êàêîé-íèáóäü âàðèàíò ãðàôîâ äå Áð¸éíà äëÿ
òîãî, ÷òîáû ñâåñòè åñòåñòâåííîå ïîñòðîåíèå ãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ ê
àëãîðèòìè÷åñêè áîëåå ïðîñòîé çàäà÷å îá ýéëåðîâûõ öèêëàõ.
ÈÇ
ÌÈËËÈÀÐÄÀ
ÊÓÑÎ×ÊÎÂ
'
ñàìè ïðè âñåì æåëàíèè íå ñìîãëè áû âñòðåòèòüñÿ äðóã
ñ äðóãîì. Çàòî â 1988 ãîäó âñòðåòèëèñü ïóòè òðåõ
äðóãèõ ó÷åíûõ (ðèñ.15). Ðàäîå Äðìàíàö (Radoje
Drmanac, Ñåðáèÿ), Àíäðåé Ìèðçàáåêîâ (Ðîññèÿ) è
Ýäâèí Ñàóçåðí (Edwin Southern, Âåëèêîáðèòàíèÿ)
îäíîâðåìåííî è íåçàâèñèìî ðàçðàáîòàëè ôóòóðèñòè÷åñêèé è íà òîò ìîìåíò ñîâåðøåííî íåâåðîÿòíûé ìåòîä
÷òåíèÿ ðèäîâ ñ èñïîëüçîâàíèåì ÄÍÊ-÷èïîâ. Íèêòî èç
ýòèõ òðåõ áèîëîãîâ íå çíàë î ðàáîòàõ Ýéëåðà, Ãàìèëüòîíà è äå Áð¸éíà; íèêòî íå ìîã è ïðåäïîëîæèòü, ÷òî
ðåçóëüòàòû èõ ñîáñòâåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ ñòîëêíóò èõ
ëèöîì ê ëèöó ñ ýòèìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ãèãàíòàìè.
 1977 ãîäó Ôðåä Ñýíãåð (Fred Sanger) ñ êîëëåãàìè îòñåêâåíèðîâàëè ïåðâûé âèðóñ – êðîøå÷íûé áàêòåðèîôàã ϕX174 äëèíîé 5375 íóêëåîòèäîâ. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî â êîíöå 1980-õ áèîëîãè ðåãóëÿðíî
ñåêâåíèðîâàëè âèðóñû äëèíîé â ñîòíè òûñÿ÷ íóêëåîòèäîâ, ìûñëü î ñåêâåíèðîâàíèè áàêòåðèàëüíîãî ãåíîìà (íå ãîâîðÿ î ÷åëîâå÷åñêîì) êàçàëàñü ïðåæäåâðåìåííîé è ñ ýêñïåðèìåíòàëüíîé, è ñ âû÷èñëèòåëüíîé
òî÷åê çðåíèÿ. Äðìàíàö, Ìèðçàáåêîâ è Ñàóçåðí ïîíÿëè, ÷òî âàæíåéøèì íåäîñòàòêîì èñõîäíîé òåõíîëîãèè ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ, ðàçðàáîòàííîé â 1970-õ,
ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî äëÿ áîëåå äëèííûõ ãåíîìîâ îíà
ñëèøêîì çàòðàòíà. Â ñàìîì äåëå, ÷òåíèå îäíîãî ðèäà
â êîíöå 1980-õ ñòîèëî áîëåå îäíîãî äîëëàðà è ïîýòîìó ñåêâåíèðîâàíèå ãåíîìà êàêîãî-íèáóäü ìëåêîïèòàþùåãî ñòîèëî áû ìèëëèàðäû äîëëàðîâ. Èç-çà ýòîé
âûñîêîé öåíû ïðî÷èòàòü âñå l-ìåðû ãåíîìà áûëî íåâîçìîæíî, à ýòî íåïðåìåííîå óñëîâèå óñïåøíîãî ïðèìåíåíèÿ ýéëåðîâà ïîäõîäà. ÄÍÊ-÷èïû áûëè èçîáðåòåíû äëÿ òîãî, ÷òîáû óäåøåâèòü ÷òåíèå âñåõ l-ìåðîâ
â ãåíîìå, ïóñòü è ñ ìåíüøåé, íåæåëè ó èñõîäíîé
òåõíîëîãèè ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ, äëèíîé ðèäà l. Íàïðèìåð, â òî âðåìÿ êàê òðàäèöèîííûå òåõíîëîãèè
ñåêâåíèðîâàíèÿ ñ÷èòûâàëè ðèäû äëèíîé ïðèáëèçèòåëüíî 500 íóêëåîòèäîâ, èçîáðåòàòåëè ÄÍÊ-÷èïîâ
îðèåíòèðîâàëèñü íà ÷òåíèå ðèäîâ äëèíîé îêîëî 15
íóêëåîòèäîâ.
ÄÍÊ-÷èïû óñòðîåíû òàê: ñíà÷àëà ñèíòåçèðóþò
âñå 4l âîçìîæíûõ l-ìåðîâ (ò.å. âñå ôðàãìåíòû ÄÍÊ
äëèíû l), ïîòîì èõ ïðèñîåäèíÿþò ê ÄÍÊ-ìèêðî÷èïó,
êîòîðûé ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ðåøåòêó ñ îòäåëüíîé
ÿ÷åéêîé äëÿ êàæäîãî l-ìåðà. Ïîòîì áåðóò (íåèçâåñò-
Êîðîòêàÿ èñòîðèÿ ÷òåíèÿ ðèäîâ
Ñêàçêà î òðåõ áèîëîãàõ: ÄÍÊ-÷èïû
Õîòÿ ìàòåìàòè÷åñêîå íàñëåäèå
Ýéëåðà, Ãàìèëüòîíà è äå Áð¸éíà
(ðèñ. 14) òåñíî ïåðåïëåëîñü, îíè
Ðèñ.14. Òðè ìàòåìàòèêà. Ñëåâà íàïðàâî: Ëåîíàðä Ýéëåð, Óèëüÿì Ãàìèëüòîí, Íèêîëàñ
äå Áð¸éí
ÊÂÀÍT 2014/¹3
íàïèñàë, ÷òî, ó÷èòûâàÿ îáúåì ðàáîòû, íåîáõîäèìûé äëÿ ïðîèçâîäñòâà ÄÍÊ-ìèêðî÷èïà, «ïðèìåíåíèå ÄÍÊ-÷èïîâ äëÿ ñåêâåíèðîâàíèÿ áûëî áû çàìåíîé îäíîé óñòðàøàþùåé çàäà÷è íà äðóãóþ». Êàê
îêàçàëîñü, «Science» îøèáàëñÿ: â
ñåðåäèíå 1990-õ íåáîëüøîå ÷èñëî
ìîëîäûõ êîìïàíèé óñîâåðøåíñòâîâàëè òåõíîëîãèþ ñîçäàíèÿ áîëüøèõ ÄÍÊ-ìèêðî÷èïîâ. Ê ñîæàëåíèþ, ÄÍÊ-÷èïû â êîíå÷íîì èòîãå
íå ñìîãëè îñóùåñòâèòü ìå÷òó ñâîèõ
Ðèñ.15. Òðè áèîëîãà. Ñëåâà íàïðàâî: Ðàäîå Äðìàíàö, Àíäðåé Ìèðçàáåêîâ, Ýäâèí
ñîçäàòåëåé. ×èïû íåïðèãîäíû äëÿ
Ñàóçåðí
ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ, ïîòîìó ÷òî
òî÷íîñòü ãèáðèäèçàöèè ÄÍÊ ñ ÷èïàìè ñëèøêîì íèçêà,
íûé) ôðàãìåíò ÄÍÊ, íà íåãî íàíîñÿò ôëþîðåñöåíòà çíà÷åíèå l – ñëèøêîì ìàëî.
íóþ4 ìåòêó, è ðàñòâîð ñ ýòèì ïîìå÷åííûì ôðàãìåíÒåì íå ìåíåå, íåóäà÷à ÄÍÊ-÷èïîâ èìåëà ïîëåçíûé
òîì ÄÍÊ íàíîñÿò íà ÄÍÊ-ìèêðî÷èï.  ðåçóëüòàòå
ïîáî÷íûé ýôôåêò: õîòÿ èñõîäíàÿ öåëü (ñåêâåíèðîâàíóêëåîòèäû ôðàãìåíòà ÄÍÊ ãèáðèäèçèðóþòñÿ (ñâÿíèå ÄÍÊ) è íå áûëà íà òîò ìîìåíò äîñòèãíóòà, âìåñòî
çûâàþòñÿ) ñ êîìïëåìåíòàðíûìè ïàðàìè íà ìèêðî÷èïå
íåå âîçíèêëè äâå íîâûõ íåîæèäàííûõ îáëàñòè ïðèìå(À ñâÿçûâàåòñÿ ñ Ò, Ö ñ Ã). Âñå ÷òî îñòàåòñÿ, –
íåíèÿ ìèêðî÷èïîâ. Ñåãîäíÿ ÷èïû èñïîëüçóþòñÿ äëÿ
âûÿñíèòü ñ ïîìîùüþ ñïåêòðîñêîïèè, â êàêèõ ìåñòàõ
èçìåðåíèÿ óðîâíÿ ýêñïðåññèè 5 ãåíîâ è äëÿ àíàëèçà
íà ìèêðî÷èïå ôëþîðåñöåíöèÿ ñàìàÿ ÿðêàÿ: òîãäà íàãåíåòè÷åñêèõ âàðèàöèé. Ýòè íîâûå ïðèëîæåíèÿ ïðèâåøèìè ðèäàìè áóäóò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, êîìïëåìåíëè ê ñîçäàíèþ ìíîãîìèëëèàðäíîé èíäóñòðèè ÄÍÊòàðíûå ê òåì, ÷òî ðàñïîëîæåíû â ñîîòâåòñòâóþùèõ
÷èïîâ, âêëþ÷àþùåé êîìïàíèè «Hyseq» (îñíîâàíà Ðàÿ÷åéêàõ ìèêðî÷èïà. Èçîáðàæåíèå ÄÍÊ-ìèêðî÷èïà äëÿ
äîå Äðìàíàöåì) è «Oxford Gene Technology» (îñíîâàíàáîðà ðèäîâ èç íàøåãî ïîñòîÿííîãî ïðèìåðà ïðèâåíà ñýðîì Ýäâèíîì Ñàóçåðíîì).
äåíî íà ðèñóíêå 16.
Íåäàâíÿÿ ðåâîëþöèÿ â ñåêâåíèðîâàíèè ÄÍÊ
Ðèñ.16. ÄÍÊ-ìèêðî÷èï, ñîäåðæàùèé âñå âîçìîæíûå 3-ìåðû.
 äåñÿòè êëåòî÷êàõ, êîòîðûå âûäåëåíû öâåòîì, ïðåäñòàâëåíû 3-ìåðû, äîïîëíèòåëüíûå ê ðèäàì ñ ðèñóíêîâ 9 è 10.
Íàïðèìåð, ÖÀÖ âûäåëåí, ïîýòîìó äîïîëíèòåëüíûé ê íåìó
ðèä ÃÒà áûë íà òåõ ðèñóíêàõ. Îòìåòèì, ÷òî ÄÍÊ-ìèêðî÷èï íå
ñîäåðæèò íèêàêîé èíôîðìàöèè î êîïèéíîñòè ðèäîâ
Ïîíà÷àëó ïî÷òè íèêòî íå âåðèë, ÷òî èäåÿ ìèêðî÷èïîâ
ñðàáîòàåò, ïîòîìó ÷òî è áèîõèìè÷åñêàÿ çàäà÷à ñèíòåçà
ìèëëèîíîâ êîðîòêèõ ôðàãìåíòîâ ÄÍÊ, è ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàäà÷à âîññòàíîâëåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êàçàëèñü ñëèøêîì ñëîæíûìè.  1988 ãîäó æóðíàë «Science»
4 Íà
ñàìîì äåëå â òî âðåìÿ ðå÷ü øëà íå î ôëþîðåñöåíòíîé,
à î ðàäèîàêòèâíîé ìåòêå.
Ïîñëå îñíîâàíèÿ êîìïàíèè «Hyseq» Ðàäîå Äðìàíàö íå îñòàâèë ñâîåé ìå÷òû îá èçîáðåòåíèè àëüòåðíàòèâíîãî ñïîñîáà ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ. Â 2005 îí
îñíîâàë êîìïàíèþ «Complete Genomics», êîòîðàÿ íåäàâíî ðàçðàáîòàëà òåõíîëîãèþ ÷òåíèÿ (ïî÷òè) âñåõ lìåðîâ â ãåíîìå, òåì ñàìûì ïîçâîëèâ, íàêîíåö, ïðèìåíåíèå ìåòîäà ýéëåðîâîé ñáîðêè. Õîòÿ èñïîëüçóåìàÿ Äðìàíàöåì òåõíîëîãèÿ ÷èïîâ ñ «íàíîøàðèêàìè»
äîñòàòî÷íî ñèëüíî îòëè÷àåòñÿ îò ïðåäëîæåííîé èì â
1988 ãîäó òåõíîëîãèè ÄÍÊ-÷èïîâ, íàñëåäèå òîé èäåè
â ÷èïàõ ñ íàíîøàðèêàìè äîâîëüíî îùóòèìî, ïîäòâåðæäàÿ òåì ñàìûì ñòàðóþ èñòèíó, ÷òî õîðîøèå èäåè íå
óìèðàþò, äàæå åñëè îíè ïðîâàëèâàþòñÿ. Áîëåå òîãî,
íåêîòîðûå äðóãèå êîìïàíèè, âêëþ÷àÿ «Illumina» è
«Life Technologies», ñîðåâíóþòñÿ ñ «Complete
Genomics», èñïîëüçóÿ ñâîè ñîáñòâåííûå òåõíîëîãèè
äëÿ ÷òåíèÿ (ïî÷òè) âñåõ l-ìåðîâ â ãåíîìå. ÄÍÊ-÷èïû
îêàçàëèñü íåñïîñîáíû âûäàâàòü òî÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðèäîâ äëèíîé õîòÿ áû 15 íóêëåîòèäîâ, íî
òåõíîëîãèè ñåêâåíèðîâàíèÿ ñëåäóþùåãî ïîêîëåíèÿ
÷èòàþò ðèäû äëèíû 25 íóêëåîòèäîâ 6 è äàæå áîëüøå
(ïðè ýòîì ñ÷èòûâàÿ ñîòíè ìèëëèîíîâ òàêèõ ðèäîâ çà
îäèí ýêñïåðèìåíò). Çà ïîñëåäíèå 5 ëåò ýòè ðàçðàáîòêè â îáëàñòè òåõíîëîãèé ñåêâåíèðîâàíèÿ ïîëíîñòüþ
ïðåîáðàçèëè ãåíîìèêó, è òåïåðü áèîëîãè ãîòîâÿòñÿ ê
ñáîðêå ãåíîìîâ âñåõ ìëåêîïèòàþùèõ íà Çåìëå
5 Ýêñïðåñèÿ
ãåíî⠖ ïðîöåññ ïðîèçâîäñòâà áåëêà, êîäèðóåìîãî ýòèì ãåíîì.
6  íàñòîÿùåå âðåìÿ – áîëåå 100.
ÐÅÊÎÍÑÒÐÓÊÖÈß
ÃÅÍÎÌÀ:
ÃÎËÎÂÎËÎÌÊÀ
ÈÇ
ÌÈËËÈÀÐÄÀ
ÊÓÑÎ×ÊÎÂ
øèíû èñõîäÿùàÿ è âõîäÿùàÿ ñòåïåíè ðàâíû, òî ýòî
óñëîâèå ñîõðàíÿåòñÿ è äëÿ
ãðàôà H. Òàê êàê G —
ñâÿçíûé, íàéäåòñÿ íåêîòîðàÿ âåðøèíà w èç H, èç
êîòîðîé åñòü èñõîäÿùèå
ðåáðà, ïðèíàäëåæàùèå êàê
ãðàôó H, òàê è C1 . Êàê è
âûøå, â ãðàôå H âûäåëèì
öèêë C2 , íà÷èíàþùèéñÿ â
âåðøèíå w. Òåïåðü ó íàñ
äâà öèêëà C1 è C2 , íå èìåþùèå îáùèõ ðåáåð, è îáà
îíè ïðîõîäÿò ÷åðåç âåðøèíó w. Ìû ìîæåì îáúåäèíèòü ýòè äâà öèêëà C1 è
Ðèñ.17. Ê 2010 ãîäó áûëè ðàñøèôðîâàíû ãåíîìû âñåãî äåâÿòè ìëåêîïèòàþùèõ: ÷åëîâåêà,
C2 â îäèí «ñóïåðöèêë» C
ìûøè, êðûñû, ñîáàêè, øèìïàíçå, ìàêàêè, îïîññóìà, ëîøàäè è êîðîâû. Ñ òåõ ïîð óæå ìíîãîå
(ðèñ. 18).
èçìåíèëîñü, íî ìíîãîå åùå âïåðåäè
Äàëåå ïðîâåðÿåì, ÿâëÿåòñÿ ëè öèêë C ýéëåðîâûì.
(ðèñ.17), âñå åùå îñíîâûâàÿñü íà ïðåêðàñíîé èäåå,
 ñëó÷àå åñëè íåò, ïîâòîðÿåì ïðîöåäóðó «íàðàùèâàêîòîðóþ Ëåîíàðä Ýéëåð ïðèäóìàë â 1735 ãîäó.
íèÿ» öèêëà.
Ýòà ïðîöåäóðà íå ìîæåò ïðîäîëæàòüñÿ áåñêîíå÷íî (â
Äîêàçàòåëüñòâî âòîðîé òåîðåìû Ýéëåðà
ãðàôå êîíå÷íîå ÷èñëî ðåáåð), ïîýòîìó íà î÷åðåäíîì
øàãå ìû ïîëó÷èì ýéëåðîâ öèêë.
Ìû äîêàæåì òåîðåìó â ñëó÷àå îðèåíòèðîâàííûõ
ãðàôîâ (òåîðåìà äëÿ íåîðèåíòèðîâàííûõ ãðàôîâ äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì).
Èòàê, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ìû äîëæíû ïðîâåðèòü,
÷òî (1) ó ãðàôà ñ ýéëåðîâûì öèêëîì èñõîäÿùàÿ è
âõîäÿùàÿ ñòåïåíè ëþáîé âåðøèíû ðàâíû, (2) åñëè â
ñâÿçíîì ãðàôå èñõîäÿùàÿ è âõîäÿùàÿ ñòåïåíè ëþáîé
âåðøèíû ðàâíû, òî äëÿ íåãî èìååòñÿ ýéëåðîâ öèêë.
1. Ïóñòü ãðàô èìååò ýéëåðîâ öèêë. Ðàññìîòðèì
íåêîòîðóþ âåðøèíó v. Ïðîéäåì ïî ýéëåðîâîìó öèêÐèñ.18. Îáúåäèíåíèå öèêëîâ. Åñëè äâà öèêëà ïðîõîäÿò ÷åðåç
ëó, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîé âåðøèíû, îòëè÷íîé îò v.
îäíó è òó æå âåðøèíó w, òî èõ ìîæíî îáúåäèíèòü â îäèí
Êàæäûé ðàç, êîãäà ìû âõîäèì ïî íåêîòîðîìó ðåáðó â
öèêë, ïðîñòî ïîìåíÿâ ïîðÿäîê ïðîõîäà âåðøèí, âûõîäÿùèõ
âåðøèíó, ìû âûõîäèì èç íåå ïî äðóãîìó ðåáðó. Òåì
èç w
ñàìûì, åñëè â âåðøèíå v ìû ïîáûâàëè k ðàç, òî
Çàìå÷àòåëüíàÿ îñîáåííîñòü äîêàçàòåëüñòâà, ïðåäâõîäÿùàÿ è âûõîäÿùàÿ ñòåïåíè ýòîé âåðøèíû
ñòàâëåííîãî âûøå, — åãî «êîíñòðóêòèâíîñòü». Âåäü
ðàâíû k, ò.å. ðàâíû.
ìû íå òîëüêî ïîëó÷èëè äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû, íî è
2. Íàîáîðîò, ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî â ñâÿçíîì
ïîëó÷èëè äîñòàòî÷íî ïðîñòîé àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ
ãðàôå èñõîäÿùàÿ è âõîäÿùàÿ ñòåïåíè ëþáîé âåðøèíû
ýéëåðîâà öèêëà.
ðàâíû. Áóäåì ÿâíî ñòðîèòü ýéëåðîâ îáõîä ñëåäóþùèì
Ýòîò àëãîðèòì â äåéñòâèòåëüíîñòè áóäåò áûñòðî
îáðàçîì. Âîçüìåì íåêîòîðóþ âåðøèíó v â ãðàôå G è
ðàáîòàòü è ïðèìåíèì ê ãðàôàì ãåíîìà, êîëè÷åñòâî
ëþáîå ðåáðî, âûõîäÿùåå èç v. Ïðîéäåì ïî ýòîìó
ðåáåð â êîòîðûõ ìîæåò ñîñòàâëÿòü ìèëëèàðäû. Íàêîðåáðó â ñëåäóþùóþ âåðøèíó. Ïðîäîëæèì ïóòü, êàæíåö ìû íàó÷èëèñü ñîáèðàòü íàø ãèãàíòñêèé ïàçë.
äûé ðàç âûáèðàÿ ðåáðî, ïî êîòîðîìó ìû åùå íå
Íà ðèñóíêå 19 ìû ïðèìåíÿåì àëãîðèòì ê ãðàôó äå
ïðîõîäèëè.  êîíöå êîíöîâ ìû ïðèäåì â íà÷àëüíóþ
Áð¸éíà ñ ðèñóíêà 12.
âåðøèíó v, ïðè ýòîì îáðàçóåòñÿ íåêîòîðûé öèêë
C1 . Ïî÷åìó íàøå «ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå» ïî ðåáðàì
Çàêëþ÷åíèå
ãðàôà çàâåðøèòñÿ ïîñòðîåíèåì öèêëà? Ýòî ñëåäóåò èç
óñëîâèÿ ðàâåíñòâà âõîäÿùåé è èñõîäÿùåé ñòåïåíåé:
Ìû ïîçíàêîìèëèñü ñ Ýéëåðîì, Ãàìèëüòîíîì è äå
âåäü êàæäûé ðàç ïîñëå òîãî, êàê ìû ïðèøëè â âåðøèíó,
Áð¸éíîì – òðåìÿ ìàòåìàòèêàìè òðåõ âåêîâ, æèâøèõ â
îòëè÷íóþ îò v, ìû ñìîæåì ïîêèíóòü åå ïî åùå íå
ðàçíûõ ñòðàíàõ è ñòàâèâøèõ ïåðåä ñîáîé ñîâåðøåííî
ïðîéäåííîìó ðåáðó.
ðàçíûå çàäà÷è.  èõ ðàáîòå è òîì, âî ÷òî îíà ïðåâðàÄëÿ öèêëà C1 åñòü äâå âîçìîæíîñòè: ëèáî C1 óæå
òèëàñü â íàñòîÿùèé ìîìåíò â ñîâðåìåííîé áèîëîãèè,
ÿâëÿåòñÿ ýéëåðîâûì öèêëîì, ëèáî íåò. Âî âòîðîì
ìû ìîæåì ïî÷óâñòâîâàòü äóõ íàñòîÿùåãî ïðèêëþ÷åñëó÷àå âðåìåííî óäàëèì ðåáðà C1 èç G. Ïîëó÷èì
íèÿ. Ïðè ýòîì ïåðâûå áèîëîãè, êîòîðûå ðàáîòàëè íàä
íîâûé ãðàô H. Òàê êàê â öèêëå C1 äëÿ êàæäîé âåðçàäà÷åé ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ, íå èìåëè íèêàêîãî
ÊÂÀÍT 2014/¹3
âòîðîé ïîëîâèíå XIX âåêà îíà
áûëà âîçâðàùåíà ê æèçíè âûäàþùèìèñÿ ìàòåìàòèêàìè,
ñðåäè ïðî÷èõ è Óèëüÿìîì Ãàìèëüòîíîì. Òåîðèÿ ãðàôîâ
îêîí÷àòåëüíî ðàñöâåëà â XX
âåêå, ñòàâ îäíèì èç îñíîâíûõ
íàïðàâëåíèé ìàòåìàòè÷åñêèõ
èññëåäîâàíèé.
Ïåðâûå ìåòîäû ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ áûëè íåçàâèñèìî
è îäíîâðåìåííî èçîáðåòåíû â
1977 ãîäó Ôðåäîì Ñýíãåðîì ñ
êîëëåãàìè ñ îäíîé ñòîðîíû è
Óîëòåðîì Ãèëüáåðòîì (Walter
Gilbert) ñ êîëëåãàìè – ñ äðóãîé. Ïîäõîä ê ñåêâåíèðîâàíèþ ÄÍÊ ñ ïîìîùüþ ãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ áûë âïåðâûå
ïðåäëîæåí â 1984 ãîäó
(H.Peltola, H.Soderlund,
E.Ukkonen), à âïîñëåäñòâèè
ðàçâèò Äæîíîì Êåñåñèîãëó
(John Kececioglu) è Þäæèíîì Ìàéåðñîì (Eugene Myers).
Ðèñ.19. Ïîèñê ýéëåðîâà öèêëà â ãðàôå B(2, 4)
Ðàçâèòèå ìåòîäîâ ñåêâåíèðîñ ðèñóíêà 12. Ñíà÷àëà ðàçáèâàåì ãðàô íà
âàíèÿ ÄÍÊ ïðèâåëî ê ðàñöèêëû (à). Çàòåì ïî î÷åðåäè îáúåäèíÿåì
øèôðîâêå ïîëíîãî ãåíîìà áàêýòè öèêëû, ïðèìåíÿÿ îïèñàííûé âûøå àëãîòåðèè H. influenzae äëèíîé
ðèòì (á).  èòîãå ïîëó÷èòñÿ åäèíñòâåííûé
1800 Êá â ñåðåäèíå 1990-õ.
ýéëåðîâ öèêë (â); öèôðû íà ðåáðàõ îáîçíàÃåíîì ÷åëîâåêà áûë îòñåêâå÷àþò ïîðÿäîê îáõîäà.  íàøåì ñëó÷àå öèêë
íèðîâàí ñ èñïîëüçîâàíèåì ãàäàåò ñòðîêó 0000110010111101
ìèëüòîíîâà ïîäõîäà â 2001.
Èñïîëüçîâàíèå ÄÍÊ-÷èïîâ
áûëî ïðåäëîæåíî îäíîâðåìåííî è íåçàâèñèìî â 1988 ãîäó Ðàäîå Äðìàíàöåì è êîëëåãàìè
ïðåäñòàâëåíèÿ î òîì, êàê ïðèìåíèòü äëÿ ýòîãî òåîðèþ
â Þãîñëàâèè, Àíäðååì Ìèðçàáåêîâûì è êîëëåãàìè â Ðîññèè
ãðàôîâ; áîëåå òîãî, ïåðâàÿ ñòàòüÿ, îáúåäèíèâøàÿ ìàòåè Ýäâèíîì Ñàóçåðíîì è êîëëåãàìè â Âåëèêîáðèòàíèè.
ìàòè÷åñêèå èäåè ýòîãî òðèî äëÿ ñáîðêè ôðàãìåíòîâ,
Ýéëåðîâ ïîäõîä ê ÄÍÊ-÷èïàì áûë îïèñàí Ï.Ïåâçíåðîì.
áûëà îïóáëèêîâàíà ñïóñòÿ ìíîãèå ãîäû ïîñëå ñìåðòè
Ýéëåðîâ ïîäõîä ê ñåêâåíèðîâàíèþ ÄÍÊ áûë îïèñàí R. Idury
Ýéëåðà è Ãàìèëüòîíà, êîãäà äå Áð¸éíó áûëî óæå çà 70.
è M. Waterman, à â äàëüíåéøåì ðàçâèò â 2001 ãîäó
Òàê ÷òî, âîçìîæíî, ñòîèò ïðåäñòàâëÿòü ñåáå ýòèõ òðîèõ
(P.A. Pevzner, H.Tang è M.Waterman), êîãäà óæå ïî÷òè
ó÷åíûõ íå êàê èñêàòåëåé ïðèêëþ÷åíèé, à êàê îäèíîêèõ
íèêòî íå âåðèë, ÷òî åãî ñòàíåò âîçìîæíî ïðèìåíèòü íà
ïðàêòèêå.
ñòðàííèêîâ. Êàæäûé èç íèõ ëþáèë ðåøàòü àáñòðàêòÏðèìåðíî â òî æå âðåìÿ Ñèäíè Áðåííåð (Sydney Brenner)
íûå ìàòåìàòè÷åñêèå çàäà÷è, äàæå íå ïðåäïîëàãàÿ (êàê
ñ êîëëåãàìè ïðåäñòàâèëè ìåòîä Massively Parallel Signature
ýòî ÷àñòî áûâàåò ó ìàòåìàòèêîâ), ÷òî èõ îòâåòû ìîãóò
Sequencing (MPSS, ìåòîä ñèëüíî ðàñïàðàëëåëåííîãî ñåêâåáûòü îäíàæäû ïðèìåíåíû â ðåàëüíîì ìèðå óæå áåç íèõ
íèðîâàíèÿ
ïîäïèñåé), êîòîðûé îçíàìåíîâàë íà÷àëî ýðû
ñàìèõ.
ñåêâåíèðîâàíèÿ íîâîãî ïîêîëåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì êîðîòêèõ ðèäîâ. Íà ïðîòÿæåíèè ïîñëåäíåãî äåñÿòèëåòèÿ MPSS
Ïðèìå÷àíèÿ
âìåñòå ñ òåõíîëîãèÿìè, ðàçðàáîòàííûìè òàêèìè êîìïàíèÿÐåøåíèå Ýéëåðà äëÿ çàäà÷è î Êåíèãñáåðñêèõ ìîñòàõ áûëî
ìè, êàê «Complete Genomics», «Illumina» è «Life Techïðåäñòàâëåíî â Àêàäåìèè íàóê è õóäîæåñòâ â Ñàíêò-Ïåòåðnologies», ñîâåðøèëè ïåðåâîðîò â ãåíîìèêå. Òåõíîëîãèè
áóðãå 26 àâãóñòà 1735 ãîäà. Ýéëåð áûë ñàìûì ïëîäîâèòûì
íîâîãî ïîêîëåíèÿ ñ÷èòûâàþò äîâîëüíî êîðîòêèå ðèäû, äëèàâòîðîì ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàáîò âñåõ âðåìåí: ïîìèìî òåîðèè
íîé îò 30 äî 100 íóêëåîòèäîâ, óñëîæíÿÿ ýòèì çàäà÷ó ñáîðêè
ãðàôîâ îí âïåðâûå èñïîëüçîâàë çàïèñü f ( x ) äëÿ îáîçíà÷åôðàãìåíòîâ. ×òîáû ðàçðåøèòü ýòîò âîïðîñ, áûëî ðàçðàáîòàíèÿ ôóíêöèè, i äëÿ êâàäðàòíîãî êîðíÿ èç –1 è ïîñòîÿííîé π
íî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ñðåäñòâ ñáîðêè, âñå èç êîòîðûõ
äëÿ âû÷èñëåíèÿ äëèíû îêðóæíîñòè. Íàïðÿæåííî ðàáîòàÿ
ñëåäóþò ýéëåðîâó ïîäõîäó.
âñþ ñâîþ æèçíü, îí îñëåï. Â 1735 ãîäó îí ïåðåñòàë âèäåòü
Çàèíòåðåñîâàííûé ÷èòàòåëü ìîæåò ïðîñëóøàòü â èíòåðíåïðàâûì ãëàçîì, íî íå áðîñèë çàíÿòèé ìàòåìàòèêîé.  1766
òå (áåñïëàòíî) êóðñ ïî áèîèíôîðìàöèîííûì àëãîðèòìàì,
ãîäó îí ïîòåðÿë çðåíèå è íà ëåâîì ãëàçó è âñå ðàâíî
êîòîðûé íà÷íåòñÿ 15 ñåíòÿáðÿ. Ïîäðîáíîñòè ïî ññûëêå
ïðîäîëæèë ðàáîòàòü, ñêàçàâ ëèøü, ÷òî «òåïåðü ó ìåíÿ áóäåò
https://www.coursera.org/course/bioinformatics
ìåíüøå ïîâîäîâ îòâëåêàòüñÿ». Óæå ñîâåðøåííî îñëåïíóâ, îí
Òàêæå ðåêîìåíäóåì êíèãó «Áèîèíôîðìàòèêà äëÿ áèîëîîïóáëèêîâàë ñîòíè ñòàòåé.
ãîâ» («Bioinformatics for biologists») ïîä ðåäàêöèåé Ï.ÏåâÏîñëå ðàáîòû Ýéëåðà, ðåøàþùåé çàäà÷ó î Êåíèãñáåðñêèõ
çíåðà è Ð.Øàìèðà, âûïóùåííóþ íà àíãëèéñêîì ÿçûêå
ìîñòàõ, î òåîðèè ãðàôîâ çàáûëè áîëåå ÷åì íà ñòî ëåò, íî âî
èçäàòåëüñòâîì «Cambridge university press» â 2011 ãîäó.
Î÷åðê èñòîðèè èññëåäîâàíèé
íåéòðèíî
Þ.ÃÀÏÎÍÎÂ
È
ÒÀÊ, Ê 1956 ÃÎÄÓ ÑÒÀËÎ ßÑÍÎ ÑËÅÄÓÞÙÅÅ.
×òî êàñàåòñÿ êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè, òî, â
ïðèíöèïå, îíà ïîñòðîåíà, îñòàâàëèñü òîëüêî
ïðîáëåìû ðàñõîäèìîñòåé, ñ êîòîðûìè ôèçèêà åùå
äîëãî âîçèëàñü è â êàêîé-òî ìåðå ïðîäîëæàåò âîçèòüñÿ
è ñåãîäíÿ. Íî ýòî óæå ïðîáëåìû, ñâÿçàííûå ñ âûñîêèìè
òî÷íîñòÿìè òåîðèé. Çàòåì âïåðâûå ôèçèêè îáðàòèëè
âíèìàíèå íà òàê íàçûâàåìûå äèñêðåòíûå ñèììåòðèè –
îòðàæåíèå ïðîñòðàíñòâåííîå, îòðàæåíèå âðåìåííóå è
ïðåîáðàçîâàíèå çàðÿäà (êîãäà âû ïåðåõîäèòå îò ÷àñòèö
ê àíòè÷àñòèöàì). Íó âîò, ýòè èäåè áûëè ðàçâèòû.
Äàëüøå – è ýòî áûëî ñàìîå èíòåðåñíîå – â K-ìåçîíàõ,
êîòîðûå â ýòî âðåìÿ óæå íàó÷èëèñü ðîæäàòü íà óñêîðèòåëÿõ, âîçíèêëà ñîâåðøåííî íîâàÿ ïðîáëåìà. Îïÿòü
ïàðàäîêñ, è îïÿòü îí ñâÿçàí â êàêîé-òî ìåðå, êàê ìû
óâèäèì äàëüøå, ñ ôèçèêîé ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ (â
äàííîì ñëó÷àå ýòî ôèçèêà ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, à íå
ñîâñåì íåéòðèíî, íî â íåéòðèíî èìååò ìåñòî òî æå
ñàìîå). À èìåííî, ýòî τ - θ -ïðîáëåìà. Èçìåðÿÿ Kìåçîííûå ðàñïàäû, íàøëè òàêèå ÷àñòèöû, êîòîðûå
ðàñïàäàþòñÿ íà äâà ïèîíà èëè íà òðè ïèîíà (ðàçíûå
÷àñòèöû, åñòåñòâåííî). Ïðè ýòîì ìàññû ýòèõ ÷àñòèö
ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàþò. Êàê ýòî ìîæåò áûòü? Âîò
ïðîáëåìà, êîòîðàÿ ìó÷èëà ôèçèêîâ ñ 1953 ïî 1956 ãîä,
à îòâåò íà íåå îêàçàëñÿ ñîâåðøåííî óíèêàëüíûì: â ýòèõ
ðàñïàäàõ íàðóøàåòñÿ ÷åòíîñòü, çàêîí ñîõðàíåíèÿ ÷åòíîñòè. È âîò, ýòà ãèïîòåçà áûëà âûäâèíóòà â 1956 ãîäó
Ëè è ßíãîì, è áóêâàëüíî çà ãîä ýêñïåðèìåíò ïî
ïðîâåðêå ñîõðàíåíèÿ ÷åòíîñòè â áåòà-ðàñïàäå áûë
ñäåëàí, ýòî âñå áûëî ïîäòâåðæäåíî, è âûÿñíèëîñü, ÷òî
ó íåéòðèíî åñòü ñîâåðøåííî íîâûå ñâîéñòâà. Ñåé÷àñ ÿ
âàì íåñêîëüêî ñëîâ íà ýòó òåìó ñêàæó.
×òî òàêîå ÷åòíîñòü? Íàïîìíþ. Âñå ôèçèêè çíàþò,
÷òî åñòü âåêòîðû: ðàäèóñ, ñêîðîñòü, èìïóëüñ… Åñòü
îïåðàöèÿ îòðàæåíèÿ. Íó âîò, íàðèñóåì, íàïðèìåð,
èìïóëüñ â íåêèõ êîîðäèíàòàõ x, y, z. Äàâàéòå ïðîèçâåäåì îòðàæåíèå. Åñëè ÿ ñäåëàþ ïîëíîå îòðàæåíèå âñåãî
– è îñåé, è ñàìîãî èìïóëüñà òîæå, òî ýòî áóäåò âàðèàíò
âîçìîæíûé, íî íå ñîâñåì òà îïåðàöèÿ, ñ êîòîðîé ìû
õîòèì ðàáîòàòü. ß æå õî÷ó îòðàçèòü èìïóëüñ, íî
ñîõðàíèòü êîîðäèíàòû, ò.å. ïðîâåñòè îòðàæåíèå â
ñòàðûõ êîîðäèíàòàõ. ßñíî, ÷òî âåêòîð ïðè òàêîé
îïåðàöèè ïðîñòî ïîìåíÿåò çíàê: r ïîìåíÿåòñÿ íà -r ,
v íà -v , p íà - p . Îäíàêî ñóùåñòâóþò äðóãèå
âåëè÷èíû, òèïà âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ âåêòîðîâ, êîòîðûå èìåþò äðóãèå ñâîéñòâà. Âîò, íàïðèìåð,
Îêîí÷àíèå. Íà÷àëî – â ïðåäûäóùåì íîìåðå æóðíàëà.
Þðèé Âëàäèìèðîâè÷ Ãàïîíîâ
ìîìåíò ñèëû èëè ìîìåíò èìïóëüñà. Åñëè âû äåëàåòå
îòðàæåíèå, òî, ïîñêîëüêó ó âàñ åñòü äâà âåêòîðà è îáà
çíàê ìåíÿþò, ýòè ïñåâäîâåêòîðû, êàê ìû èõ íàçûâàåì,
íå ìåíÿþò çíàêà.  ÷àñòíîñòè, ðàç åñòü ìîìåíò, òî,
åñòåñòâåííî, êðó÷åíèå ñàìîé ÷àñòèöû òîæå ìîæíî
ðàññìàòðèâàòü êàê íåêèé ìîìåíò, êîòîðûé òîæå íå
äîëæåí ìåíÿòü ñâîé çíàê ïðè îòðàæåíèè. È, íàêîíåö,
åñëè ÿ åå, ýòó ÷àñòèöó, ñâåäó â òî÷êó, ñäåëàþ åå
òî÷å÷íîé, òî âîçíèêàåò ïîíÿòèå ñïèíà. ß íå õî÷ó ñåé÷àñ
âëåçàòü â ýòè ïîíÿòèÿ, ôèçèêè çíàþò, ÷òî ýòî òàêîå, ÿ
ïðîñòî íåìíîãî ïðèìèòèâèçèðóþ êàðòèíó, ÷òîáû âàì
ïðîùå áûëî ïîíèìàòü ñèòóàöèþ. Ïîëÿðèçàöèÿ ñïèí÷àñòèö êàê ðàç èìååò òå æå ñâîéñòâà, ÷òî è âåêòîðíîå
ïðîèçâåäåíèå.
Äàâàéòå òåïåðü ðàññìîòðèì òàêîé ïðîöåññ. Ïóñêàé ó
íàñ åñòü íåéòðèíî, è ïóñêàé íåéòðèíî ëåòèò ïî èìïóëüñó
p , à ïîëÿðèçîâàíî ïðîòèâ èìïóëüñà.  äåéñòâèòåëüíîñòè ðåàëüíûå íåéòðèíî òàê è óñòðîåíû – îíè ïîëÿðèçîâàíû ïðîòèâ ñâîåãî èìïóëüñà. Ïðîâåäåì îòðàæåíèå.
Òîãäà â îòðàæåíèè, ò.å. â çåðêàëå, âû óâèäèòå, ÷òî
èìïóëüñ ó âàñ ïîìåíÿëñÿ, à ñïèí íå èçìåíèëñÿ. Ó âàñ
ïîÿâèëàñü ÷àñòèöà, ó êîòîðîé ñïèí è èìïóëüñ íàïðàâëåíû â îäíó è òó æå ñòîðîíó. À ñ òî÷êè çðåíèÿ
ñåãîäíÿøíåé ôèçèêè ýòî – àíòèíåéòðèíî. Çíà÷èò, â
"
ÊÂÀÍT 2014/¹3
çåðêàëå (âû ñìîòðèòå â çåðêàëî) âìåñòî íåéòðèíî âû
âèäèòå àíòèíåéòðèíî, à íå íåéòðèíî. Âîò ïàðàäîêñ, ñ
êîòîðûì ñòîëêíóëèñü ôèçèêè â 1956–57 ãîäàõ. Òî÷íî
òàê æå âû ìîæåòå ñäåëàòü, íàïðèìåð, òàêîé ýêñïåðèìåíò. Ðàññìîòðèòå ïîëÿðèçîâàííîå ÿäðî, êîòîðîå ó âàñ
ðàñïàäàåòñÿ, âûëåòàþò ýëåêòðîíû ïîä óãëîì θ , è âû
äåëàåòå îòðàæåíèå. Ó âàñ ïîëÿðèçîâàííîå ÿäðî îñòàíåòñÿ ïîëÿðèçîâàíî â òó æå ñòîðîíó, à èìïóëüñ ïîìåíÿåò
çíàê. Åñëè áû ó âàñ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ÷åòíîñòè âûïîëíÿëñÿ, òî îáà ïðîöåññà áûëè áû îäèíàêîâû. À íà ñàìîì
äåëå îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè áåòà-ðàñïàäå ÷àñòèöû âûëåòàþò â îñíîâíîì ïî èëè ïðîòèâ ìîìåíòà ÿäðà. Âîò ýòî
è åñòü çíàìåíèòûé ýêñïåðèìåíò Âó, êîòîðûé áûë ñäåëàí
â 1957 ãîäó áóêâàëüíî çà ïîëãîäà. È áûëî ïîêàçàíî: äà,
â ôèçèêå ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, ò.å. â íåéòðèííîé
ôèçèêå, íàðóøàåòñÿ ÷åòíîñòü. È âîò çäåñü âûÿñíèëîñü,
÷òî Íèëüñ Áîð áûë ïðàâ. Äåéñòâèòåëüíî, Íèëüñ Áîð ÷òî
ãîâîðèë? Îí ïðèäèðàëñÿ ê çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè,
íî îí áûë ïðàâ â ñâîåé ëîãèêå: íà óðîâíå â 10 -13 - 10 -17 ñì
çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ìîãóò áûòü äðóãèìè. È â ýòîì ïëàíå
åãî èäåÿ êàê áû îæèëà çàíîâî. Íè÷åãî íå ïðîïàäàåò,
õîðîøèå èäåè ñîõðàíÿþòñÿ è äàëüøå. Âîò ñåãîäíÿøíÿÿ
òî÷êà çðåíèÿ: áåçìàññîâîå íåéòðèíî ïîëÿðèçîâàíî ïðîòèâ èìïóëüñà, à àíòèíåéòðèíî – ïî èìïóëüñó. Ìèð
âíóòðè, â ñëàáîì âçàèìîäåéñòâèè, îêàçûâàåòñÿ íåñèììåòðè÷íûì.  çåðêàëå âû âèäèòå íå íåéòðèíî, à
àíòèíåéòðèíî. È åùå îäíî îòêðûòèå áûëî ñäåëàíî
âñêîðå ïîñëå ýòîãî: ïðîöåññû, ñâÿçàííûå ñ íàïðàâëåíèåì âðåìåíè, òîæå îêàçàëèñü ðàçíûìè. Áûëè îòêðûòû
ïðîöåññû â ðàñïàäå K -ìåçîíîâ, êîòîðûå ïî âðåìåíè è
ïðîòèâ (ñî ñìåíîé çíàêà âðåìåíè) – ðàçíûå.
Èòàê, âîò ÷òî ïðîèçîøëî â òåîðåòè÷åñêèé ïåðèîä ñ
1953 ïî 1967 ãîä. Ëè è ßíã ïðèäóìàëè ãèïîòåçó äëÿ
ðåøåíèÿ ïðîáëåìû τ - θ , ò.å. ãèïîòåçó î íàðóøåíèè
÷åòíîñòè. Îíî áûëî ýêñïåðèìåíòàëüíî îòêðûòî â 1957
ãîäó – ñíà÷àëà â áåòà-ðàñïàäå ÿäåð, ïîòîì â áåòà-ðàñïàäå
ðàçëè÷íûõ ÷àñòèö: µ -ìåçîíîâ, π -ìåçîíîâ, K-ìåçîíîâ;
íûíå ýòî òðèâèàëüíîñòü. È, íàêîíåö, ÷òî áûëî äåéñòâèòåëüíî íîâîñòüþ äëÿ ôèçèêîâ, îíî áûëî îáíàðóæåíî âî
âçàèìîäåéñòâèè íóêëîíîâ ñ íóêëîíàìè â ÿäðàõ. Êñòàòè,
ýòî äî ñèõ ïîð íåêîòîðàÿ çàãàäêà. Ìû ïðåêðàñíî çíàåì,
÷òî åñòü òàê íàçûâàåìûå íàðóøàþùèå ÷åòíîñòü ÿäåðíûå
ñèëû. Ýòè ñèëû ñóùåñòâóþò, îíè ýêñïåðèìåíòàëüíî
ïîêàçàíû. Ê ñëîâó ñêàçàòü, Ðîññèÿ çäåñü î÷åíü ìíîãî
ïîðàáîòàëà – íàïðèìåð Ëîáàø¸â (ýêñïåðèìåíòàòîð) è
Àáîâ Þðèé Ãåîðãèåâè÷. Íî ïî ñèþ ïîðó ýòà îáëàñòü
ÿâëåíèé íèêàê íå ñâÿçàíà ñ îñòàëüíûìè, âû íå ìîæåòå
ðàññ÷èòàòü åå, èñõîäÿ èç ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Ýëåìåíòàðíàÿ ÷àñòèöà æèâåò ñàìà ïî ñåáå, à ÿäåðíàÿ ôèçèêà
ñ åå íàðóøåíèåì íóêëîí-íóêëîííîãî ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ æèâåò ñàìà ïî ñåáå.
Íàêîíåö, áûëî îòêðûòî ñëàáîå âçàèìîäåéñòâèå è â
àòîìàõ òîæå – âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ÿäðîì è ýëåêòðîíàìè, êðîìå îáû÷íîãî êóëîíîâñêîãî, èìååò åùå íåêóþ
ìàëåíüêóþ äîáàâêó. Ýòà äîáàâêà ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî
ýëåêòðîí ñ íóêëîíàìè åùå âçàèìîäåéñòâóåò ñëàáûì
îáðàçîì. Âîò ýòè ïðîöåññû áûëè âïåðâûå òîãäà îòêðûòû. À òåîðèÿ, ïîñëå òîãî êàê áûëî îòêðûòî, ÷òî
íåéòðèíî íà ñàìîì äåëå èìååò ñòðîãî îïðåäåëåííóþ
ïîëÿðèçàöèþ, à àíòèíåéòðèíî èìååò ñîâåðøåííî äðó-
ãóþ ïîëÿðèçàöèþ, âåðíóëàñü ê Âåéëþ, ò.å. ê òîìó
ïðåäåëüíîìó ñëó÷àþ, êîòîðûé ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç
óðàâíåíèÿ Äèðàêà è êîòîðûé èãíîðèðîâàëñÿ â 1928–29
ãîäàõ. Îêàçàëîñü, ÷òî íåéòðèíî îïèñûâàåòñÿ èìåííî
óðàâíåíèåì Âåéëÿ. Âîçüìèòå óðàâíåíèå Äèðàêà, ïîëîæèòå ìàññó ðàâíîé íóëþ, ïîëó÷èòå íåéòðèíî. Âñå
ïðîñòî! Íî òîãäà ýòî îòðèöàëîñü. Îòðèöàëîñü, ïîòîìó
÷òî íàðóøåíèå ñîõðàíåíèÿ ÷åòíîñòè áûëî. Íèêòî íå
ìîã â ýòî ïîâåðèòü.
È âîò òåïåðü òàêàÿ èíòåðåñíàÿ ïàðàäîêñàëüíàÿ âåùü.
ß ãîâîðþ ïðî 1956 ãîä. Èòàê, âåðíóëèñü ê äâóõêîìïîíåíòíîìó íåéòðèíî. Áûëà ïîïûòêà Ëàíäàó ââåñòè
íàðóøåíèå ÷åòíîñòè, íî ñîõðàíèòü õîòÿ áû èäåþ î òîì,
÷òî åñëè âû ñìîòðèòå íà íåéòðèíî, òî â çåðêàëå ó âàñ
àíòèíåéòðèíî, ò.å. ââåñòè òàê íàçûâàåìîå CP-ñîõðàíåíèå 1 . Ýòî ñîõðàíåíèå, ê ñîæàëåíèþ, òîæå îêàçàëîñü
íàðóøåííûì, õîòÿ íàìíîãî â ìåíüøåé ñòåïåíè (òàê,
äîëÿ ðàñïàäîâ íåéòðàëüíûõ K-ìåçîíîâ ñ íàðóøåíèåì
ÑÐ-èíâàðèàíòíîñòè ñîñòàâëÿåò ïðèìåðíî 10-3 ). Çàòåì,
è ýòî áûëî ñôîðìóëèðîâàíî â îñíîâíîì Ôåéíìàíîì,
áûë ðåàëüíî íàïèñàí ãàìèëüòîíèàí 2 ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ñ íàðóøåíèåì ÷åòíîñòè (òàê íàçûâàåìîå V-A
ñëàáîå âçàèìîäåéñòâèå 3 ). È åùå áûëî îòêðûòî íàðóøåíèå CP-÷åòíîñòè (ò.å., åñëè õîòèòå, T-÷åòíîñòè 4 ) â
ýêñïåðèìåíòå – ýòî ñëåäóþùèé ìîìåíò.
È, íàêîíåö, ïðèáëèçèòåëüíî â 1963–66 ãîäû áûëà
ñôîðìóëèðîâàíà òàê íàçûâàåìàÿ Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü 5 .
Ýòî ìîäåëü, â êîòîðîé (ÿ íåìíîãî äàëüøå áóäó îá ýòîì
ãîâîðèòü) îáúåäèíåíû äâå âåùè: ýëåêòðîìàãíèòíîå
âçàèìîäåéñòâèå è ñëàáîå âçàèìîäåéñòâèå – òî, êîòîðîå
ïðîèñõîäèò ñ íåéòðèíî. Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü áûëà
ñôîðìóëèðîâàíà èìåííî â ýòî âðåìÿ, íî åùå ïîòðåáîâàëîñü äîñòàòî÷íî áîëüøîå âðåìÿ, ïîðÿäêà 20 ëåò,
÷òîáû äîêàçàòü, ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíîñòü.
1 CP-ñèììåòðèÿ, èëè êîìáèíèðîâàííàÿ ÷åòíîñòü, ýòî èíâà-
ðèàíòíîñòü ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïðè êîòîðîì ïðîèñõîäèò îäíîâðåìåííî ïðîñòðàíñòâåííîå (P) çåðêàëüíîå îòðàæåíèå ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû è çàìåíà
êàæäîé ÷àñòèöû íà ñîîòâåòñòâóþùóþ åé àíòè÷àñòèöó (C,
çàðÿäîâîå ñîïðÿæåíèå).
2 Ãàìèëüòîíèàí – îïåðàòîð ïîëíîé ýíåðãèè ñèñòåìû ïðè
êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîì îïèñàíèè.
3 V-A-òåîðèÿ – óíèâåðñàëüíàÿ òåîðèÿ ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, ó÷èòûâàþùàÿ íàðóøåíèå ÷åòíîñòè (P-ñèììåòðèè)
ïðè ñëàáîì âçàèìîäåéñòâèè. Ïðåäëîæåíà â 1957 ãîäó Ì.ÃåëëÌàííîì, Ð.Ôåéíìàíîì, Ð.Ìàðøàêîì è Äæ.Ñóäàðøàíîì.
4 T-ñèììåòðèÿ, èëè ñèììåòðèÿ ïî îòíîøåíèþ ê îáðàùåíèþ
âðåìåíè, ýòî èíâàðèàíòíîñòü ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ îòíîñèòåëüíî çàìåíû âðåìåíè t íà –t. Ïîñêîëüêó ôóíäàìåíòàëüíûì êà÷åñòâîì ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ ñ÷èòàåòñÿ CPT-ñèììåòðèÿ (ò.å. èíâàðèàíòíîñòü ïî îòíîøåíèþ ê îäíîâðåìåííîìó
ïðîñòðàíñòâåííîìó çåðêàëüíîìó îòðàæåíèþ ôèçè÷åñêîé
ñèñòåìû, çàðÿäîâîìó ñîïðÿæåíèþ è îáðàùåíèþ âðåìåíè),
òî íàðóøåíèå CP-ñèììåòðèè âîçìîæíî ëèøü ïðè îäíîâðåìåííîì íàðóøåíèè T-ñèììåòðèè.
5 Òî÷íåå, çäåñü èäåò ðå÷ü î òåîðèè ýëåêòðîñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, êîòîðàÿ áûëà ñôîðìóëèðîâàíà ê 1967 ãîäó Ñ.Âàéíáåðãîì, Ø.Ãëýøîó è À.Ñàëàìîì è ëåãëà â îñíîâó (íàðÿäó ñ
êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêîé) ñîçäàííîé â òå÷åíèå ñëåäóþùåãî äåñÿòèëåòèÿ Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè ôèçèêè ýëåìåíòàðíûõ
÷àñòèö.
Î×ÅÐÊ
ÈÑÒÎÐÈÈ
ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÉ
Íî âîò ÷òî èíòåðåñíî: íåñìîòðÿ íà òî ÷òî, êàçàëîñü
áû, âñå ñôîðìóëèðîâàíî è âñå îòêðûòî, îñòàâàëèñü äâà
îñòðîâêà â ýòî âðåìÿ, êîòîðûå áûëè íå ïîíÿòû. Ïåðâûé
– ýòî ãèïîòåçà Ïîíòåêîðâî î íåéòðèííûõ îñöèëëÿöèÿõ,
ïðî êîòîðûå ÿ ñåé÷àñ ñêàæó, è âòîðîé – ìàéîðàíîâñêàÿ
ãèïîòåçà.
Òàê âîò, òåïåðü ÿ õî÷ó ñêàçàòü íåñêîëüêî ñëîâ î
Áðóíî Ïîíòåêîðâî è åãî ãèïîòåçå 1957 ãîäà. Ýòî –
ãèïîòåçà îñöèëëÿöèé, îíà áûëà îïóáëèêîâàíà îïÿòü â
ïðåïðèíòå, òîëüêî òåïåðü â Äóáíå. Ïîìíÿ ïðî ðàáîòó
Ìàéîðàíà (Ïîíòåêîðâî â êàêîé-òî ìåðå áûë åãî ó÷åíèêîì), îí âñå âðåìÿ äóìàë î òîì, íåéòðèíî è àíòèíåéòðèíî ýòî îäíî è òî æå èëè íåò? Åñëè ýòî îäíî è òî æå,
òî ïîëó÷àþòñÿ îäíè ïðîöåññû, åñëè ýòî ðàçíûå âåùè,
òî – äðóãèå ïðîöåññû. È âîò, ðàçìûøëÿÿ íàä ýòèì,
Áðóíî Ïîíòåêîðâî ñôîðìóëèðîâàë òàêóþ î÷åíü ëþáîïûòíóþ ãèïîòåçó.  çàêëþ÷åíèè ñâîåé ñòàòüè îí ïèøåò, ÷òî åñëè ó âàñ íåò íåéòðèíî è àíòèíåéòðèíî, à åñòü
íàðóøåíèå ñîõðàíåíèÿ ëåïòîííîãî çàðÿäà (ò.å. åñëè
íåéòðèííûé çàðÿä íå ñîõðàíÿåòñÿ), òî ïðè ýòîì âîçìîæíî ïðåâðàùåíèå íåéòðèíî â àíòèíåéòðèíî â ïðîöåññå äâèæåíèÿ, ( ν ´ ν ), è òîãäà áóäóò ïðîèñõîäèòü
ïðîöåññû, ïîõîæèå íà òå, êîòîðûå áûëè îòêðûòû â K 0 ìåçîíàõ. À â K 0 -ìåçîíàõ â ýòî âðåìÿ áûëè îòêðûòû
îñöèëëÿöèè, êîãäà K 0 ïåðåõîäèò â àíòè- K 0 è àíòè- K 0
ïåðåõîäèò â K 0 . È Ïîíòåêîðâî íàïèñàë äàæå, ÷òî, ïîâèäèìîìó, ýòîò ïðîöåññ ìîæåò áûòü î÷åíü âåðîÿòíî
îòêðûò, êàê ìèíèìóì, â àñòðîôèçèêå, â àñòðîôèçè÷åñêèõ ìàñøòàáàõ. Áîëüøå òîãî, îí äàæå äàë îöåíêó
äëèíû ýòèõ îñöèëëÿöèé. Ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ íåéòðèíî,
êîòîðûå, íàïðèìåð, èñïóñêàåò Ñîëíöå, ýòî 1 ÌýÂ, è
òîãäà äëèíà îñöèëëÿöèé ïîðÿäêà 103 êì. À ñåãîäíÿ
îñöèëëÿöèè îòêðûòû, è èõ âåëè÷èíà ïîðÿäêà 100–
200 êì. Èíûìè ñëîâàìè, ìàññà íåéòðèíî íå ðàâíà
íóëþ (Ïîíòåêîðâî äëÿ ìàññû íåéòðèíî ïðåäïîëîæèë
âåëè÷èíó 10 -11 ýÂ). Òàêèì îáðàçîì, åñëè âñå â ýòî
âðåìÿ óâëåêàëèñü Âåéëåì è ñ÷èòàëè, ÷òî ìàññà íåéòðèíî íîëü è íå î ÷åì ãîâîðèòü, òî Ïîíòåêîðâî âûñêàçàë
âîò òàêóþ ãèïîòåçó. È ÿ åùå ðàç ïîä÷åðêèâàþ, ýòî áûëà
íà ñàìîì äåëå ëèíèÿ îò Ìàéîðàíà: ãèïîòåçà Ìàéîðàíà
– ýòî 1937 ãîä, 1946 ãîä – ðàçìûøëåíèÿ Ïîíòåêîðâî
îòíîñèòåëüíî íåéòðèííîé ôèçèêè, à â 1957 ãîäó, óæå
â Ðîññèè, îí âûñêàçûâàåò èäåþ íåéòðèííûõ îñöèëëÿöèé. Â òî âðåìÿ íåéòðèíî áûëî îäíî. Íî, êñòàòè, îí
ïèøåò, ÷òî åñëè íåéòðèíî áóäåò íå îäíî, à íåñêîëüêèõ
òèïîâ, òî òîæå ìîãóò áûòü íåéòðèííûå îñöèëëÿöèè 6 .
È â 1958 ãîäó Ïîíòåêîðâî âûñêàçûâàåò èäåþ, ÷òî
íåéòðèíî íà ñàìîì äåëå íå îäíî, à èõ ìîæåò áûòü äâà,
÷òî âîçìîæíû íåéòðèíî, ñâÿçàííûå ñ ýëåêòðîíàìè, è
íåéòðèíî, ñâÿçàííûå ñ ìþîíàìè. Ïî åãî èäåå â ÖÅÐÍå
áûë ïîñòàâëåí ýêñïåðèìåíò, â êîòîðîì áûëè îòêðûòû
äâà òèïà íåéòðèíî: íåéòðèíî ýëåêòðîííîå è íåéòðèíî
ìþîííîå (1962 ã.). Âîò òàê. À ïîòîì íàì ãîâîðÿò, ÷òî
ÿïîíöû â 1962 ãîäó ïåðâûå ñêàçàëè: «íåéòðèííûå
îñöèëëÿöèè».
Õîðîøî. Ïîéäåì äàëüøå.
Êàê âèäèòå, âñå íå ïðîñòî. Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü åñòü,
à îí (Ïîíòåêîðâî) – âñå ñâîå. Îí ãîâîðèò î òîì, ÷òî ó
6 Îñöèëëÿöèè óæå íå ìåæäó íåéòðèíî è àíòèíåéòðèíî, à
ìåæäó äâóìÿ òèïàìè íåéòðèíî.
ÍÅÉÒÐÈÍÎ
#
íåéòðèíî ìîãóò áûòü ñîâåðøåííî äðóãèå ñâîéñòâà. Ýòî
âðåìÿ, ïðèáëèçèòåëüíî ñ 1956 ïî 1966 ãîä, – «òåîðåòè÷åñêîå» âðåìÿ, âðåìÿ äèñêóññèé, òàì ìíîãî ÷åãî ñëîæèëîñü, ìíîãî áûëî âûñêàçàíî âñÿêèõ èäåé. Ïîñëå ýòîãî
òåîðåòèêè çàòèõëè, íà÷àëè ðàáîòàòü ýêñïåðèìåíòàòîðû. Ýêñïåðèìåíòàòîðû çà ñëåäóþùèå 20 ëåò äîêàçûâàþò, ÷òî Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü äåéñòâèòåëüíî ðàáîòàåò.
Âîçíèêàþò òðè ãëàâíûõ – òåïåðü óæå íàó÷èëèñü ñ
íåéòðèíî ðàáîòàòü – íàïðàâëåíèÿ â íåéòðèííîé ôèçèêå. Âî-ïåðâûõ, íåéòðèíî íèçêèõ ýíåðãèé – ðåàêòîðíûå
íåéòðèíî â îñíîâíîì èëè áåòà-ðàñïàä. Èäóò èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ íåéòðèíî, äåëàþòñÿ îöåíêè íà ìàññó
íåéòðèíî, ïîëÿðèçàöèþ íåéòðèíî, èùóòñÿ äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî íåéòðèíî íå ðàâíî àíòèíåéòðèíî. È,
íàêîíåö, áûë îòêðûò òàê íàçûâàåìûé íåéòðàëüíûé
êàíàë ðåàêöèè, êîãäà íåéòðèíî íå ðîæäàåò ýëåêòðîí â
îáðàòíîì ïðîöåññå, à ïðîñòî ðàññåèâàåòñÿ. Ðàññåèâàåòñÿ, è âñå. Ïðè÷åì îíî ìîæåò ðàññåèâàòüñÿ íà íóêëîíàõ
– íó, íà äåéòðîíå, íàïðèìåð, è íà ýëåêòðîíàõ. Ïðè
ýòîì îêàçàëîñü, ÷òî â òàêèõ ïðîöåññàõ ôèçèêè âûíóæäåíû ðàáîòàòü ñ ñîâåðøåííî ýêñòðåìàëüíî ìàëûìè
ñå÷åíèÿìè: 10 -43 ñì2 – ýòî åùå õîðîøî. Ñåé÷àñ ðàáîòàþò íà ãðàíè 10 -46 ñì2 . Ôàíòàñòè÷åñêè ìàëûå âåëè÷èíû
– íè÷åãî íèæå ìû íå ñìîæåì ìåðèòü. Íî èìåííî òîãäà
ýòî áûëî îñîçíàíî.
Âòîðîå íàïðàâëåíèå – íåéòðèíî âûñîêèõ ýíåðãèé.
Îíî âîçíèêëî, â ÷àñòíîñòè, â ñâÿçè ñ òåì, ÷òî ôèçèêè
íàó÷èëèñü ðàáîòàòü ñ óñêîðèòåëüíûìè ïó÷êàìè. Â
ïó÷êàõ ïè-ìåçîíîâ, íàïðèìåð, ó âàñ íåéòðèíî ðîæäàþòñÿ îò ðàñïàäà ïèîíîâ, è ýòè íåéòðèíî èìåþò ýíåðãèþ, óæå ãîðàçäî áîëüøóþ – íå ïîðÿäêà 1 ÌýÂ, êàê â
ðåàêòîðíîé ôèçèêå, à ïîðÿäêà 1 ÃýÂ è äàæå âûøå. À
ñå÷åíèå âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðèíî ñ íóêëîíàìè, è âîîáùå âñåõ ñëàáûõ ïðîöåññîâ â ýòîé îáëàñòè, ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ýíåðãèè ïàäàþùåãî íåéòðèíî. Ðàç
òàê, òî âû òåïåðü ìîæåòå, áåðÿ ïó÷êè íåéòðèíî äîñòàòî÷íî âûñîêèõ ýíåðãèé, âûõîäèòü íà áîëüøèå ñå÷åíèÿ.
Äåéñòâèòåëüíî, ýòî íàïðàâëåíèå ðàçâèâàëîñü, ïîÿâèëèñü íîâûå ìåòîäû ðåãèñòðàöèè íåéòðèíî, â ÷àñòíîñòè
– êàìåðû âñÿêèå, è áûëî äîêàçàíî, ÷òî íåéòðèíî
ýëåêòðîííîå íå ïîõîæå íà íåéòðèíî ìþîííîå, ÷òî
íåéòðèíî ìþîííîå íå ïîõîæå íà ñâîå àíòèíåéòðèíî è
÷òî ñóùåñòâóåò åùå òðåòèé òèï íåéòðèíî, òàê íàçûâàåìîå òàó-íåéòðèíî, îò ðàñïàäà òàó-ìåçîíà. Òàêèì îáðàçîì, ïîÿâèëèñü òðè ñåìåéñòâà íåéòðèíî. Áûëè èññëåäîâàíû ïðîöåññû ðàññåÿíèÿ íåéòðèíî íà ýëåêòðîíàõ è íà
íóêëîíàõ è â ïàðàëëåëü ñ ýòèì áûëè îòêðûòû íîâûå
êâàðêè, c, b, t, ïðè÷åì áûëà íàéäåíà íåêàÿ àíàëîãèÿ
ìåæäó íåéòðèíî è êâàðêàìè. Íåéòðèíî åñòü òðåõ
òèïîâ, è êâàðêîâ åñòü òðè ñåìåéñòâà. Íàêîíåö, ñàìûì
ìîùíûì äîêàçàòåëüñòâîì òîãî, ÷òî Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü ðåàëèçóåòñÿ â ïðèðîäå, áûëî äâà îòêðûòèÿ: ïåðâîå – îòêðûòèå íåéòðàëüíûõ ïðîöåññîâ 7 , êîòîðûå
ïðåäñêàçàíû òîëüêî â Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè, è âòîðîå –
7 Íåéòðàëüíûå òîêè – îäèí èç ìåõàíèçìîâ ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, îñóùåñòâëÿåìûé çà ñ÷åò îáìåíà âèðòóàëüíûìè Záîçîíàìè ìåæäó êâàðêàìè è ëåïòîíàìè áåç èçìåíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà íà÷àëüíûõ è êîíå÷íûõ ÷àñòèö. Ïðåäñêàçàíû â 1973 ãîäó À.Ñàëàìîì, Ø.Ãëýøîó è Ñ.Âàéíáåðãîì,
ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîäòâåðæäåíû â 1974 ãîäó â ÖÅÐÍå.
$
ÊÂÀÍT 2014/¹3
îòêðûòèå W- è Z-áîçîíîâ (ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö –
ïåðåíîñ÷èêîâ ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ), 1983 ãîä. Ïðè÷åì âûÿñíÿåòñÿ, ÷òî èõ ìàññà ñòðîãî ñîîòâåòñòâóåò
Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè. Âñå, ôèçèêè äîëæíû áûëè óñïîêîèòüñÿ, Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü ðàáîòàåò.
È ïàðàëëåëüíî âîçíèêàåò òðåòüå íàïðàâëåíèå – íåéòðèííàÿ àñòðîôèçèêà. Íà÷èíàþòñÿ ïîèñêè íåéòðèíî îò
Ñîëíöà, îò çâåçä, îò êîëëàïñà ñâåðõíîâûõ, âîçíèêàåò
èäåÿ î òîì, ÷òî âî Âñåëåííîé ñóùåñòâóåò íåéòðèííîå
ìîðå – íåéòðèíî î÷åíü íèçêèõ ýíåðãèé, êîòîðûå îáðàçóþò íåêèé ôîí. Íà÷èíàþòñÿ ñîëíå÷íûå ýêñïåðèìåíòû. Îäèí èç ïåðâûõ ýêñïåðèìåíòîâ êàê ðàç âåëñÿ ïî
ðåàêöèè, êîòîðóþ ïðåäëîæèë Ïîíòåêîðâî: íåéòðèíî
ïàäàåò íà õëîð, ïîëó÷àåòñÿ àðãîí. Ýòî ýêñïåðèìåíò
Äýâèñà, êîòîðûé äåëàëñÿ â òå÷åíèå 30 ëåò â Õîóìñòåéêå
â Àìåðèêå. È, íàêîíåö, âîçíèêàþò ïîäçåìíûå ëàáîðàòîðèè è ïåðâûå íåéòðèííûå òåëåñêîïû.
Èòàê, â ýòîò ïåðèîä íàøå çíàíèå î ñâîéñòâàõ íåéòðèíî ðàñøèðÿåòñÿ äî ïðîöåññîâ ðàññåÿíèÿ, èäóò èññëåäîâàíèÿ â ðàìêàõ Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè, íåéòðèíî ïðåâðàùàåòñÿ â èíñòðóìåíò èññëåäîâàíèÿ, ïîÿâëÿþòñÿ íåéòðèííûå ïó÷êè è íåéòðèííûå äåòåêòîðû. Âûÿâëÿåòñÿ
îñîáàÿ ðîëü íåéòðèíî â ìèðîâîé êàðòèíå Âñåëåííîé.
Âîò êàêàÿ ëþáîïûòíàÿ êàðòèíà âîçíèêëà, åñëè ïîñìîòðåòü íà÷èíàÿ ñ 30-õ ãîäîâ. Ïîÿâèëàñü ãèïîòåçà
íåéòðàëüíûõ ÷àñòèö, 1930 ãîä, ïðîèçîøëî îòêðûòèå
íåéòðîíà. Êâàíòîâàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà áûëà ñôîðìóëèðîâàíà, âîçíèêëà íåéòðîí-ïðîòîííàÿ ìîäåëü ÿäðà.
È ïàðàëëåëüíî íà÷èíàþòñÿ, ñ îäíîé ñòîðîíû, ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ, ïðàêòè÷åñêè íå çàâèñÿùèå
îò òåîðåòèêîâ, à ñ äðóãîé ñòîðîíû, òåîðåòè÷åñêèå
èññëåäîâàíèÿ. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ – áåòàðàñïàä ÿäåð, ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, íîâûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå ìåòîäû – èäóò íà÷èíàÿ ñ 1930–32 ãîäîâ è äî
êîíöà 1956 ãîäà. Çäåñü âîçíèêàåò òà ñàìàÿ ïðîáëåìà
τ − θ , î êîòîðîé ÿ ðàññêàçàë. Òåîðåòèêè òîæå, êàê
ãîâîðèòñÿ, íå äðåìëþò, ðàçâèâàþò ñâîè ñîáñòâåííûå
ìåòîäû, ðàçìûøëåíèÿ: Ôåðìè ïðèäóìàë ôåíîìåíîëîãè÷åñêóþ òåîðèþ áåòà-ðàñïàäà; âîçíèêàåò ãèïîòåçà
Ìàéîðàíà, êîòîðàÿ åùå âèñèò ñàìà ïî ñåáå, íèêòî
íè÷åãî íå ìîæåò ïðî íåå ñêàçàòü. Ïîÿâëÿåòñÿ èäåÿ î
òîì, ÷òî äîëæíà áûòü ñèììåòðèÿ ïî îòíîøåíèþ ê
ïðîñòðàíñòâåííûì ïðåîáðàçîâàíèÿì, êîòîðàÿ êàê ðàç
çäåñü è íàðóøèëàñü. Âîò òàê ñîøëèñü òåîðåòè÷åñêàÿ è
ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ôèçèêà.
 1956–58 ãîäû âîçíèêàåò ìîùíûé ñêà÷îê, êîãäà
ýêñïåðèìåíò íóæäàåòñÿ â òåîðèè, à òåîðèÿ íóæäàåòñÿ
â ýêñïåðèìåíòå. Íà÷èíàþòñÿ îïÿòü ñîâåðøåííî íåçàâèñèìûå ïðîöåññû, ÿ ýòî ïîä÷åðêèâàþ – î÷åíü ìàëî
âëèÿþùèå äðóã íà äðóãà: ñ îäíîé ñòîðîíû, ðàçâèòèå
ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ìåòîäîâ, ñ äðóãîé ñòîðîíû – ðàçâèòèå òåîðèè. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå ìåòîäû – â ÷èñòîé
ôèçèêå âûñîêèõ ýíåðãèé, ñ àñòðîôèçè÷åñêèìè îáúåêòàìè. À â ïëàíå òåîðèè – ýòî ñòðóêòóðà ÷àñòèö, Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü, íîâûå êâàðêè. È ê ñåðåäèíå 1980-õ ãîäîâ
ñêëàäûâàåòñÿ âîò òàêàÿ ñèòóàöèÿ: óòâåðæäåíà Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü è íà÷èíàåòñÿ ïîèñê âûõîäà èç Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè. Âîïðîñ – ÷òî äàëüøå? Íó íåëüçÿ æå
îñòàíîâèòüñÿ, äîëæíî áûòü ðàçâèòèå äàëüøå. Òîãäà –
÷òî? Åñòü ëè ÷òî-íèáóäü âíå Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè? Âîò
ýòîò âîïðîñ ñåáå âïåðâûå çàäàþò ôèçèêè. Íî äëÿ òîãî
÷òîáû î íåì ãîâîðèòü, ÿ íàïîìíþ âàì, ÷òî òàêîå
Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü ñ ñåãîäíÿøíåé òî÷êè çðåíèÿ.
Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü ýëåêòðîñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ,
ÿ áóäó î íåé â îñíîâíîì ãîâîðèòü, ñ òî÷êè çðåíèÿ
ìàòåìàòèêè – ñâîåîáðàçíàÿ âåùü. Âðåìÿ îò âðåìåíè â
ôèçèêå âîçíèêàþò òàêèå ìîäåëè, â êîòîðûõ îáúåäèíÿþòñÿ ìàòåìàòèêà è ôèçèêà. È ýòî êàê ðàç îñîáûå òî÷êè,
êîãäà äåéñòâèòåëüíî ïðîèñõîäèò êàêîé-òî âçðûâ íàøåãî ïîíèìàíèÿ. Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü ñ òî÷êè çðåíèÿ
ìàòåìàòèêè ýòî òàê íàçûâàåìàÿ SU(2)–U(1) ñèììåòðèÿ, êîòîðàÿ õîðîøî èçó÷åíà ìàòåìàòèêàìè óæå äàâíî,
åùå ñ êîíöà ïðîøëîãî âåêà. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ôèçèêè:
ñóùåñòâóþò ëåïòîíû, êîòîðûå îáðàçóþò äóáëåòû
ëåâûõ è ñèíãëåòû ïðàâûõ ÷àñòèö.8 Ñîîòâåòñòâåííî –
äëÿ ýëåêòðîííûõ, ìþîííûõ è òàó-ñåìåéñòâ. Âîò ìàññû
ýòèõ ÷àñòèö: 0,5 Ìý ó ýëåêòðîíà, 105 Ìý ó ìþîíà,
1777 Ìý ó òàó-÷àñòèöû. Íåéòðèíî æå ñóùåñòâóþò
òîëüêî ëåâûå, íèêàêèõ ïðàâûõ íåéòðèíî íåò â Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè. Åñòü ëè ìàññà ó íåéòðèíî? Âîò ïåðâûé
âîïðîñ, êîòîðûé âîçíèêàåò. Ïî Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè,
íà ýòîì óðîâíå, íåò ìàññû, íîëü, íåéòðèíî òîëüêî
ëåâûå, è íèêàêèõ âîïðîñîâ íåò.
Ó êâàðêî⠖ òî æå ñàìîå, åñòü äóáëåòû êâàðêîâ è åñòü
ñèíãëåòû, åñòü ïðàâûå è åñòü ëåâûå. Åñòü u- è d-êâàðêè,
c- è s-êâàðêè, t- è b-êâàðêè. Âîò ìàññû êâàðêîâ íà
ñåãîäíÿøíèé äåíü: îò 2–5 Ìý äëÿ u- è d-êâàðêîâ äî
180 ÃýÂ ó t-êâàðêîâ. Îíè íå òàê äàâíî îòêðûòû,
êñòàòè. Îêàçûâàåòñÿ (è ýòî ïåðâûé âîïðîñ ê òåîðèè),
÷àñòü ýòèõ êâàðêîâ, à èìåííî d, s, b, íå ñàìè ïî ñåáå
âõîäÿò â òåîðèþ, à ñìåøèâàþòñÿ. È ñóùåñòâóåò ÷èñòî
ôåíîìåíîëîãè÷åñêàÿ, íèêàê íå îáúÿñíÿåìàÿ ïîêà ìàòðèöà Êîáàÿøè–Ìàñêàâû, êîòîðàÿ îïèñûâàåò ýòè ñìåøèâàíèÿ. Îòêóäà îíà âçÿëàñü, ÷òî ýòî òàêîå? Âîïðîñ.
Íî âîçíèêàåò ñëåäóþùèé âîïðîñ: à åñòü ëè ñìåøèâàíèå
íåéòðèíî?
Äàëüøå. Âñå âçàèìîäåéñòâèÿ â Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè
óñòðîåíû î÷åíü ïðîñòî. Åñòü òàê íàçûâàåìîå êàëèáðîâî÷íîå âçàèìîäåéñòâèå è åñòü êîíñòàíòû, ñâÿçûâàþùèå
ðàçëè÷íûå âçàèìîäåéñòâèÿ.  íóëåâîì ïðèáëèæåíèè â
òåîðèè âñå áåçìàññîâîå, íè÷åãî íåò ìàññèâíîãî. Çàòåì
âêëþ÷àåòñÿ ìåõàíèçì ïîÿâëåíèÿ ìàññû, òàê íàçûâàåìûé õèããñîâñêèé ìåõàíèçì. Èñòî÷íèê ìàññû – âîò ýòîò
áîçîí Õèããñà, êîòîðûé äî ñèõ ïîð íå îòêðûò9 , à äàëüøå
÷àñòü èç ýòèõ ÷àñòèö, â ÷àñòíîñòè áîçîíîâ, ïîëó÷àåò
ìàññû. Ãàììà-êâàíò îñòàåòñÿ áåçìàññîâûé, à Z- è Wáîçîíû ïîëó÷àþò îïðåäåëåííóþ ìàññó. Çíà÷èò, äëÿ
òîãî ÷òîáû îõàðàêòåðèçîâàòü ýòè óïîìÿíóòûå êîíñòàíòû, äîñòàòî÷íî ââåñòè îäèí ýêñïåðèìåíòàëüíûé óãîë,
óãîë Âàéíáåðãà10 . Ïðè ýòîì âïåðâûå â ôèçèêå âîçíèêàåò íåêèé ìåõàíèçì ïîÿâëåíèÿ ìàññû. Ìû äî ñèõ ïîð
íå çíàåì, ïðàâèëüíûé èëè íåïðàâèëüíûé ìåõàíèçì
8
×àñòèöû ñ «ëåâîé» ñïèðàëüíîñòüþ – ýòî òå ÷àñòèöû, ó
êîòîðûõ ñïèí íàïðàâëåí ïðîòèâ íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ
÷àñòèöû. Ó «ïðàâûõ» ñïèí íàïðàâëåí ïî äâèæåíèþ ÷àñòèöû.
9 Áîçîí Õèããñà îòêðûò ýêñïåðèìåíòàëüíî â 2012 ãîäó (áûë
ïðåäñêàçàí áðèòàíñêèì ôèçèêîì Ï.Õèããñîì â 1964 ãîäó).
10 Ïàðàìåòð â òåîðèè ýëåêòðîñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ,
êîòîðûé îïðåäåëÿåò ñâÿçü ìåæäó êîíñòàíòàìè ñëàáîãî è
ýëåêòðîìàãíèòíîãî âçàèìîäåéñòâèé.
Î×ÅÐÊ
ÈÑÒÎÐÈÈ
ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÉ
ïðåäëîæåí, íî, âî âñÿêîì ñëó÷àå, íà òîì óðîâíå, íà
êîòîðîì ìû ñåãîäíÿ ôèçèêó ïîíèìàåì, ýòîò ìåõàíèçì
ðàáîòàåò.
Èòàê, ñóùåñòâóþò ëåïòîíû è êâàðêè, ýòî ÷àñòèöûôåðìèîíû, ò.å. ÷àñòèöû ñ ïîëîâèííûì ñïèíîì. Ñóùåñòâóþò ïåðåäàò÷èêè êàëèáðîâî÷íîãî âçàèìîäåéñòâèÿ –
γ -êâàíòû, W- è Z-áîçîíû, è âçàèìîäåéñòâèÿ ïðîèñõîäÿò óíèâåðñàëüíî: âîò ó âàñ ëåòèò êâàðê èëè ëåïòîí, îí
èñïóñêàåò ïðè âçàèìîäåéñòâèè îäèí èç ýòèõ áîçîíîâ è
ïåðåõîäèò â íîâîå ñîñòîÿíèå. Ýòî ñõåìà âñåõ âçàèìîäåéñòâèé, êîòîðûå ìû ñåé÷àñ çíàåì è êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ â Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè. Çíà÷èò, âîçíèêàåò óíèâåðñàëüíàÿ âçàèìîñâÿçü âñåõ ïîëåé, ò.å. âîçìîæíî, ÷òî
åñòü äàæå íåêàÿ îáùàÿ åäèíàÿ êîíñòàíòà, êîòîðàÿ
ïîñòåïåííî, çà ñ÷åò ðàçíûõ ýòàïîâ íàðóøåíèÿ ñïîíòàííîé ñèììåòðèè, ïåðåõîäèò â äðóãèå, è èñòî÷íèêîì
âîçíèêíîâåíèÿ ìàññû ÿâëÿåòñÿ ñïîíòàííîå íàðóøåíèå
ñèììåòðèè âàêóóìà. Âîò ÷òî ñåãîäíÿ ìû çíàåì.
Êàêèå íåäîñòàòêè ó ýòîé òåîðèè? Ïðåæäå âñåãî,
íåïîíÿòíî, êàê ýòè ïîêîëåíèÿ îáðàçîâàëèñü, ïî÷åìó ó
íèõ ñîâåðøåííî ðàçíûå ìàññû è ò.ï. Äàëüøå. Êàêîâà
ìàññà íåéòðèíî? Çäåñü (â Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè) îíà
íîëü, íî, ìîæåò áûòü, îíà íå íîëü? Ïî÷åìó ïðîèñõîäèò
ñìåøèâàíèå ýòèõ ïîêîëåíèé? È, íàêîíåö, îòêóäà âçÿëèñü âîò ýòî íàðóøåíèå è âîò ýòà êîíñòàíòà, êîòîðàÿ
ñâÿçàíà ñ ýòèìè íàðóøåíèÿìè (ò.å. óãîë Âàéíáåðãà)?
Çäåñü ÿ õî÷ó îáðàòèòü âàøå âíèìàíèå íà î÷åíü èíòåðåñíóþ àíàëîãèþ ìåæäó íüþòîíîâñêîé òåîðèåé, êîòîðóþ
âñå çíàþò, è Ñòàíäàðòíîé ìîäåëüþ. Â Ñòàíäàðòíîé
ìîäåëè âû èìååòå áåçìàññîâûå ÷àñòèöû, â íóëåâîì
ïðèáëèæåíèè. Áåçìàññîâûå ÷àñòèöû – ýòî âåùü, êîòîðàÿ îïèñûâàåò ãåîìåòðèþ. Íå íóæíî íèêàêîé ôèçèêè,
÷òîáû îïèñàòü áåçìàññîâûå ÷àñòèöû. ×èñòàÿ ãåîìåòðèÿ, ñ òî÷êè çðåíèÿ ñîâðåìåííîé âûñøåé ãåîìåòðèè.
Òî÷íî òàê æå â íüþòîíîâñêîé òåîðèè âû èìååòå èíåðöèîííîå äâèæåíèå – åñëè ó âàñ íåò íèêàêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, âñå âûêëþ÷åíî, òî ÷àñòèöû áóäóò äâèãàòüñÿ ïî
èíåðöèè ïî ïðÿìûì. Íî ïðÿìûå – ýòî îïÿòü æå ÷èñòàÿ
ãåîìåòðèÿ. Â îñíîâó è òîé, è äðóãîé òåîðèé ïîëîæåíà
÷èñòàÿ ãåîìåòðèÿ. À äàëüøå âêëþ÷àåòñÿ ôèçèêà. Â
íüþòîíîâñêîé ìåõàíèêå âêëþ÷àþòñÿ ñèëû, è âñå ÷àñòèöû íà÷èíàþò äâèãàòüñÿ ïî íåêîòîðûì òðàåêòîðèÿì, ò.å.
íà÷èíàåòñÿ íàðóøåíèå ãåîìåòðèè. Òî÷íî òàê æå â
ôèçèêå ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö âêëþ÷àþòñÿ êàëèáðîâî÷íûå âçàèìîäåéñòâèÿ, õèããñîâñêèé ìåõàíèçì, è ó âàñ âñå
íà÷èíàåòñÿ, âîçíèêàåò ôèçèêà. Ôèçèêà îòëè÷àåòñÿ îò
ìàòåìàòèêè òåì, ÷òî â íåé åñòü íàðóøåíèå ñèììåòðèè.
Âîò òàêèå ìàëåíüêèå ðàçìûøëåíèÿ…
Íó, òåïåðü ìû ïåðåõîäèì, äåëàåì øàã, ê ñîâðåìåííîé
òåîðèè, ê ñîâðåìåííîé ôèçèêå. Ñ 1980-õ ãîäîâ òåîðèÿ
íà÷èíàåò èñêàòü âûõîä èç Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè. Åñòü
äâà ïóòè, ïî êîòîðûì èäåò òåîðèÿ. Ïåðâàÿ èäåÿ áûëà
ñâÿçàíà ñ Âåëèêèì îáúåäèíåíèåì. Äàâàéòå â Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè, ãäå ó íàñ áûëà ïðîñòåéøàÿ ñèììåòðèÿ,
ââåäåì âñå áîëåå è áîëåå âûñîêèå ìàòåìàòè÷åñêèå
ñèììåòðèè – âìåñòî SO(2) ðàññìîòðèì SO(5) è ò.ä.
Èíûìè ñëîâàìè, ìàòåìàòè÷åñêè áóäåì âñå áîëåå è
áîëåå ðàñøèðÿòü ïîëå ýòèõ ÷àñòèö. Ïðè ýòîì ìû
íà÷íåì îáúåäèíÿòü ìåæäó ñîáîé ýëåêòðîäèíàìèêó ñ
ôèçèêîé ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, çàòåì ïðèñîåäèíèì ê
ÍÅÉÒÐÈÍÎ
%
íèì ñèëüíîå âçàèìîäåéñòâèå, ïîòîì äîáàâèì ãðàâèòàöèþ, è òàêèì îáðàçîì ó íàñ áóäåò ðàçâèâàòüñÿ òåîðèÿ.
Âîò îáùàÿ èäåÿ òåîðèè Âåëèêîãî îáúåäèíåíèÿ. Íî
âîçìîæåí äðóãîé ïóòü – è, ñêîðåå âñåãî, ïî ýòîìó ïóòè
ïîøëà Ïðèðîäà: à âäðóã ó íåéòðèíî (èìåííî ó íåéòðèíî â äàííîì ñëó÷àå) åñòü íåñòàíäàðòíûå ñâîéñòâà?
Íàïðèìåð, åñòü ìàéîðàíîâñêîå íåéòðèíî, ò.å. íåéòðèíî ðàâíî àíòèíåéòðèíî. Èëè ó âàñ åñòü îñöèëëÿöèè –
ïåðåõîä íåéòðèíî ýëåêòðîííîãî è ìþîííîãî â òàóíåéòðèíî. Èëè îñöèëëÿöèè â âåùåñòâå, êîòîðûå áûëè
ïðèäóìàíû íåìíîæêî ïîçæå. Ó íåéòðèíî åñòü ìàãíèòíûé ìîìåíò, à äàâàéòå ââîäèòü ïðåöåññèþ ýòîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà íåéòðèíî â âåùåñòâå. È òàê äàëåå, ò.å.
âòîðîé ïóòü – ýòî ïóòü, ñâÿçàííûé ñ íåñòàíäàðòíîñòüþ
íåéòðèíî.
È êàê íà ýòî íà÷èíàþò îòâå÷àòü ýêñïåðèìåíòû? Íàäî
ñêàçàòü, ÷òî î÷åíü èíòåðåñíûì ìîìåíòîì, ñâÿçàííûì ñ
ðàçâèòèåì ýêñïåðèìåíòà, îêàçàëñÿ âçðûâ ñâåðõíîâîé.
 1987 ãîäó, ñïåöèàëüíî äëÿ ôèçèêîâ, â Áîëüøîì
Ìàãåëëàíîâîì îáëàêå âçîðâàëàñü ñâåðõíîâàÿ. Â äåíü
Ñîâåòñêîé Àðìèè, 23 ôåâðàëÿ. Èìåííî ïî ýòîé ïðè÷èíå ðîññèéñêèå ôèçèêè íå âñå çàðåãèñòðèðîâàëè ýòîò
âçðûâ. Íàïðèìåð, â Êðàñíîÿðñêå ïîä çåìëåé áûë
âûõîäíîé äåíü â ÷åñòü 23 ôåâðàëÿ. È âïåðâûå â
èñòîðèè ÷åëîâå÷åñòâà áûë íàáëþäåí âçðûâ ñâåðõíîâîé
íå òîëüêî â ñâåòîâîé îáëàñòè, íî è â íåéòðèííîé
îáëàñòè. À èìåííî, áûëî çàðåãèñòðèðîâàíî ïðèáëèçèòåëüíî îêîëî äâóõ äåñÿòêîâ íåéòðèííûõ âñïûøåê,
íåéòðèííûõ ñëåäîâ â ïÿòè îñíîâíûõ äåòåêòîðàõ, êîòîðûå â ýòî âðåìÿ ðàáîòàëè íà çåìëå. Íî äàæå è çäåñü
âîçíèêëà î÷åíü çàáàâíàÿ ñèòóàöèÿ, åùå îäíà çàãàäêà
íåéòðèíî. Âñå çàðåãèñòðèðîâàëè ýòè âñïûøêè ïðèáëèçèòåëüíî â îäíî è òî æå âðåìÿ. Õîòÿ, íàäî ñêàçàòü,
âîçíèêëà ôàíòàñòè÷åñêàÿ ñèòóàöèÿ – ó ÿïîíöåâ(!)
÷àñû ñëîìàëèñü. Ïðè÷åì íå ïðîñòî ñëîìàëèñü – òàì íà
ìèíóòó ãäå-òî îòëè÷èå áûëî, õîòÿ âñå âñïûøêè â
ñåêóíäàõ ñ÷èòàþòñÿ. Íî, â êîíöå êîíöîâ, äîãîâîðèëèñü, ñäâèíóëè ÿïîíñêèå ÷àñû â íóæíîå ìåñòî, è âðîäå
âñå ñîøëîñü. Òàê âîò, çà ïÿòü ÷àñîâ äî ýòîé âñïûøêè –
ýòî çàðåãèñòðèðîâàëè ïÿòü äåòåêòîðî⠖ áûëî çàðåãèñòðèðîâàíî åùå ÷åòûðå ñîáûòèÿ. Âîò ýòî – çàãàäêà,
êîòîðàÿ ñóùåñòâóåò äî ñèõ ïîð, ïðàâäà â ïîñëåäíåå
âðåìÿ ìû íà÷èíàåì åå ðàçãàäûâàòü. Íèêòî ïðîñòî â ýòî
íå âåðèë â òå÷åíèå âñåõ äâàäöàòè ëåò.
Äàëüøå – ðåàêòîðíûå íåéòðèíî. Ê ýòîìó âðåìåíè
áûëè ïîìåðåíû âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðèíî ñ ïðîòîíàìè,
ñ äåéòðîíàìè, ñ ýëåêòðîíàìè, èçìåðåí ìàãíèòíûé
ìîìåíò íåéòðèíî, è íà÷àëè èñêàòü íåéòðèííûå îñöèëëÿöèè â ðåàêòîðíûõ íåéòðèíî. È, íàêîíåö, áûëà
ïðèäóìàíà ñîâñåì èíòåðåñíàÿ âåùü. Îêàçûâàåòñÿ, ñ
ïîìîùüþ íåéòðèíî ìîæíî äèàãíîñòèðîâàòü ðàáîòó
ðåàêòîðî⠖ íà ðàññòîÿíèè 100 ì ïîñòàâèòü äåòåêòîðû
è ñìîòðåòü, êàê ðàáîòàþò ðåàêòîðû.  Èðàíå, íàïðèìåð. È ñîîáùàòü â ÌÀÃÀÒÝ – ñåãîäíÿ îíè íàðàáàòûâàþò ïëóòîíèé èëè íå íàðàáàòûâàþò. Ýòî íàçûâàåòñÿ
íåéòðèííîé äèàãíîñòèêîé. Ê ñîæàëåíèþ, îíà ïîêà íå
ðåàëèçóåòñÿ, íî ïðèíöèïèàëüíî îíà ñóùåñòâóåò, îíà
âîçìîæíà.
Äàëüøå – ñîëíå÷íûå íåéòðèíî. Ïåðâûå ýêñïåðèìåíòû, êàê ÿ óæå ãîâîðèë, ýòî áûëè ýêñïåðèìåíòû Äýâèñà.
&
ÊÂÀÍT 2014/¹3
Ñîëíå÷íûå íåéòðèíî èçó÷àëèñü ñ ïîìîùüþ õëîð-àðãîíîâîãî ìåòîäà, ïîòîì áûë ñîçäàí áîëüøîé äåòåêòîð
Êàìèîêàíäà â ßïîíèè, è áûëî äîêàçàíî, ÷òî ñóùåñòâóåò äåôèöèò íåéòðèíî îò Ñîëíöà. Ýòîò äåôèöèò ïîòîì
áûë ïîäòâåðæäåí â ýêñïåðèìåíòàõ ó íàñ íà Áàêñàíå, íà
äåòåêòîðå Ñóïåð-Êàìèîêàíäà, è, íàêîíåö, â Ñîëíå÷íîé
íåéòðèííîé îáñåðâàòîðèè â Êàíàäå.
Äàëüøå – óñêîðèòåëüíûå íåéòðèíî. Äåéñòâèòåëüíî,
â óñêîðèòåëÿõ íà÷àëè ðàáîòàòü ñ âûñîêèìè ýíåðãèÿìè,
è áûë íàéäåí ýôôåêò, êîòîðûé äî ñèõ ïîð îñòàåòñÿ
íåïîíÿòûì. Â Àìåðèêå, íà óñêîðèòåëå â Ëîñ-Àëàìîñå,
áûëè çàðåãèñòðèðîâàíû íåîáû÷íûå íåéòðèííûå îñöèëëÿöèè. Åñòü îíè èëè íåò – ìû äî ñèõ ïîð íå çíàåì.
Ìîæåò áûòü, ýòî îøèáêà, ìîæåò áûòü – íåò. Íàêîíåö,
â óñêîðèòåëüíûõ íåéòðèíî íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ
òîæå ðàáîòàþò ñ îñöèëëÿöèÿìè, ñåãîäíÿ ýòî óæå ñòàíîâèòñÿ òðèâèàëüíîñòüþ.
Äàëüøå – àòìîñôåðíûå íåéòðèíî. Íåéòðèíî, êîòîðûå ðîæäàþòñÿ â ïðîöåññàõ â êîñìè÷åñêèõ ëó÷àõ,
ìîæíî òîæå ðåãèñòðèðîâàòü, è â 1998–99 ãîäàõ áûëè
íàéäåíû îñöèëëÿöèè ýòèõ íåéòðèíî. Ïîêà ýòî îñòàåòñÿ
çàãàäêîé, õîòÿ èäåò ìíîãî èññëåäîâàíèé ïî áåòà-ðàñïàäó íåéòðîíà. Òî îí âëåçàåò â Ñòàíäàðòíóþ ìîäåëü, òî
äåëàåòñÿ ñëåäóþùèé ýêñïåðèìåíò è îêàçûâàåòñÿ, ÷òî
òàì ðàñõîæäåíèå íà íåñêîëüêî ñèãìà11 . È òàê äî ñèõ
ïîð. Äî ïîñëåäíåãî âðåìåíè ìû áûëè óâåðåíû, ÷òî
âðåìÿ æèçíè íåéòðîíà ìåðÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ îäíîé
ñåêóíäû. À íåäàâíî Àíàòîëèé Ñåðåáðîâ èç Ëåíèíãðàäà
ñäåëàë ýêñïåðèìåíò è ïîêàçàë, ÷òî ó íåãî ïîëó÷èëîñü
îòëè÷èå íà 10 ñåêóíä.
Íó è, íàêîíåö, – ìàññà íåéòðèíî. Åùå Ïîíòåêîðâî
ïðåäëîæèë èñïîëüçîâàòü òðèòèé, äëÿ òîãî ÷òîáû èçìåðèòü ìàññó íåéòðèíî. Ñåé÷àñ ýòè ýêñïåðèìåíòû âåäóòñÿ, è îíè ïîçâîëèëè íàì ñêàçàòü, ÷òî ìàññà ýëåêòðîííîãî íåéòðèíî, êîòîðîå âûëåòàåò èç òðèòèÿ, âî âñÿêîì
ñëó÷àå ìåíüøå ÷åì 2 ýÂ. ×òî òîæå íåïëîõî.
ß çàêàí÷èâàþ ñâîé ðàññêàç îá èñòîðèè ðàçâèòèÿ
íàøèõ ïðåäñòàâëåíèé î íåéòðèíî. Êàê âèäèòå, î÷åíü
ìíîãî íîâîãî è íåîæèäàííîãî, ìíîãî êëþ÷åâûõ äëÿ
ôèçèêè èäåé ïðèíåñëà ýòà îáëàñòü. ß äóìàþ, ÷òî
èìåííî â íåé íàì è â áóäóùåì ñëåäóåò æäàòü ñþðïðèçîâ, íîâûõ èäåé è ïîâîðîòíûõ ìîìåíòîâ â ðàçâèòèè
ôèçèêè.
Èìåííîé êîììåíòàðèé
(ðàñïîëîæåíèå – ïî ìåðå óïîìèíàíèÿ â òåêñòå ñòàòüè )
×æýíäàî Ëè (ðîä. â 1926 ã.) – êèòàéñêèé è àìåðèêàíñêèé ôèçèê. Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ôèçèêå
(ñîâìåñòíî ñ ×.ßíãîì) «çà ïðèñòàëüíîå èçó÷åíèå òàê
íàçûâàåìûõ çàêîíîâ ÷åòíîñòè, êîòîðîå ïðèâåëî ê âàæíûì
îòêðûòèÿì â îáëàñòè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö» çà 1957 ãîä.
×æýíüíèí ßíã (ðîä. â 1922 ãîäó) – êèòàéñêèé è
àìåðèêàíñêèé ôèçèê. Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî
ôèçèêå (ñîâìåñòíî ñ ×.Ëè) çà 1957 ãîä.
Öçÿíüñþí Âó (1912–1997) – àìåðèêàíñêèé ôèçèê êèòàéñêîãî ïðîèñõîæäåíèÿ, ïîñòàâèëà çíàìåíèòûé «ýêñïåðèìåíò Âó», äîêàçàâøèé íåñîõðàíåíèå ïðîñòðàíñòâåííîé
÷åòíîñòè â ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ.
11
Ñèãìà ( σ ) – âåëè÷èíà ñòàíäàðòíîé îøèáêè èçìåðåíèÿ.
Âëàäèìèð Ìèõàéëîâè÷ Ëîáàø¸â (1934–2011) – ñîâåòñêèé è ðîññèéñêèé ôèçèê-ÿäåðùèê.
Þðèé Ãåîðãèåâè÷ Àáîâ (ðîä. â 1922 ã.) – ñîâåòñêèé è
ðîññèéñêèé ôèçèê, îòêðûâàòåëü ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ
íóêëîíîâ â ÿäðàõ.
Ðè÷àðä Ôèëëèïñ Ôåéíìàí (1918–1988) – âûäàþùèéñÿ
àìåðèêàíñêèé ó÷åíûé, îäèí èç àâòîðîâ çíàìåíèòûõ «Ôåéíìàíîâñêèõ ëåêöèé ïî ôèçèêå», ïðåêðàñíûé ïîïóëÿðèçàòîð íàóêè. Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ôèçèêå
(ñîâìåñòíî ñ Ñ.Òîìîíàãîé è Äæ.Øâèíãåðîì) çà 1965 ãîä.
Ðàéìîíä Äýâèñ ìëàäøèé (1914–2006) – àìåðèêàíñêèé
õèìèê è ôèçèê. Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ôèçèêå
«çà ñîçäàíèå íåéòðèííîé àñòðîíîìèè» çà 2002 ãîä.
Ñòèâåí Âàéíáåðã (ðîä. â 1933 ã.) – àìåðèêàíñêèé
ôèçèê. Óãîë Âàéíáåðãà – îäèí èç ïàðàìåòðîâ òåîðèè
ýëåêòðîñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ Ãëýøîó–Âàéíáåðãà–Ñàëàìà. Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ôèçèêå (ñîâìåñòíî
ñ Ø.Ãëýøîó è À.Ñàëàìîì) çà 1979 ãîä.
Ïèòåð Óýéð Õèããñ (ðîä. â 1929 ã.) – áðèòàíñêèé ôèçèêòåîðåòèê, ÷ëåí Ëîíäîíñêîãî Êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà. Â
1960-å ãîäû ïðåäñêàçàë ñóùåñòâîâàíèå íîâîé ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû, íàçûâàåìîé òåïåðü áîçîíîì Õèããñà. Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ôèçèêå (ñîâìåñòíî ñ Ô.Ýíãëåðîì) çà 2013 ãîä.
Àíàòîëèé Ïàâëîâè÷ Ñåðåáðîâ (ðîä. â 1944 ã.) –
ðîññèéñêèé ôèçèê, ñïåöèàëèñò â îáëàñòè èññëåäîâàíèÿ
ôóíäàìåíòàëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé è íåéòðîííîé ôèçèêè.
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà
1. Èñòîðèÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêà è ñâÿçàííûå ñ íèì ïðåäñòàâëåíèÿ è ñîáûòèÿ ôèçèêè òåõ ëåò îïèñàíû ñàìèì Ï. Äèðàêîì
â ñòàòüå «Ðåëÿòèâèñòñêîå âîëíîâîå óðàâíåíèå ýëåêòðîíà»
(Óñïåõè ôèçè÷åñêèõ íàóê, 1979, ò. 129, â. 4, ñ. 681–691). Â
ðóññêîì ïåðåâîäå ñòàòüÿ äîñòóïíà â èíòåðíåòå ïî àäðåñó:
http://ufn.ru/ufn79/ufn79_8/Russian/r798e.pdf
2. Îá èñòîðèè ãèïîòåçû Ëàíäàó î ñóùåñòâîâàíèè «ïëîòíûõ
çâåçä», êîòîðóþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïåðâîå ïðåäñêàçàíèå íåéòðîííûõ çâåçä (ñäåëàííîå äî îòêðûòèÿ íåéòðîíà),
ìîæíî ïðî÷èòàòü â ñòàòüå Ä.Ã.ßêîâëåâà, Ï.Õýíñåëÿ, Ã.Áåéìà è Ê.Ïåòèêà «Ë.Ä.Ëàíäàó è êîíöåïöèÿ íåéòðîííûõ çâåçä»
(Óñïåõè ôèçè÷åñêèõ íàóê, 2013, ò. 183, â. 3, ñ. 307–314).
Àäðåñ ñòàòüè â èíòåðíåòå: http://ufn.ru/ru/articles/2013/
3/f/
3. Ãèïîòåçà Ìàéîðàíà ïîäðîáíî îáñóæäàåòñÿ â ñòàòüå
ñàìîãî Ý.Ìàéîðàíà «Ñèììåòðè÷íàÿ òåîðèÿ ýëåêòðîíà è
ïîçèòðîíà» (Ôèçèêà ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö è àòîìíîãî ÿäðà,
2003, ò. 34, â. 1, ñ. 242–256), à òàêæå â ñòàòüå Þ.Â.Ãàïîíîâà
«Íà÷àëî ìàéîðàíîâñêîé ôèçèêè. Ïàìÿòè Ý.Ìàéîðàíû» (òàì
æå, ñ. 240–241). Îáå ñòàòüè äîñòóïíû â èíòåðíåòå ïî
àäðåñàì: http://www1.jinr.ru/Archive/Pepan/v-34-1/
7.htm; http://www1.jinr.ru/Archive/Pepan/v-34-1/v-341-6.pdf
4. Îá ýâîëþöèè Âñåëåííîé, ñóïåðãðàâèòàöèè è ñóïåðñòðóíàõ, î êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå, ïîïûòêàõ ïîñòðîåíèÿ
åäèíîé òåîðèè ïîëÿ è èõ ñîçäàòåëÿõ ïðåêðàñíî íàïèñàíî â
ïîïóëÿðíîé êíèãå Áàððè Ïàðêåðà «Ìå÷òà Ýéíøòåéíà. Â
ïîèñêàõ åäèíîé òåîðèè ñòðîåíèÿ Âñåëåííîé» (Ì.: Íàóêà,
Ãëàâíàÿ ðåäàêöèÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðû, 1991,
ïåðåâîä ñ àíãëèéñêîãî Â.È. è Î.È.Ìàöàðñêèõ, ïîä ðåäàêöèåé ß.À.Ñìîðîäèíñêîãî). Àäðåñ êíèãè â èíòåðíåòå: http://
www.ega-math.narod.ru/Reid/Parker.htm
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ»
Çàäà÷è
ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå
Ýòîò ðàçäåë âåäåòñÿ ó íàñ èç íîìåðà â íîìåð ñ ìîìåíòà îñíîâàíèÿ æóðíàëà. Ïóáëèêóåìûå â íåì çàäà÷è
íåñòàíäàðòíû, íî äëÿ èõ ðåøåíèÿ íå òðåáóåòñÿ çíàíèé, âûõîäÿùèõ çà ðàìêè øêîëüíîé ïðîãðàììû. Íàèáîëåå òðóäíûå
çàäà÷è îòìå÷àþòñÿ çâåçäî÷êîé. Ïîñëå ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è ìû îáû÷íî óêàçûâàåì, êòî íàì åå ïðåäëîæèë. Ðàçóìååòñÿ,
íå âñå ýòè çàäà÷è ïóáëèêóþòñÿ âïåðâûå.
Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ýòîãî íîìåðà ñëåäóåò îòïðàâëÿòü ïî àäðåñó: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò».
Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ðàçíûõ íîìåðîâ æóðíàëà èëè ïî ðàçíûì ïðåäìåòàì (ìàòåìàòèêå è ôèçèêå) ïðèñûëàéòå â ðàçíûõ
êîíâåðòàõ. Íà êîíâåðòå â ãðàôå «Êîìó» íàïèøèòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà» ¹3–2014» è íîìåðà çàäà÷, ðåøåíèÿ êîòîðûõ
Âû ïîñûëàåòå, íàïðèìåð «Ì2341» èëè «Ô2348».  ãðàôå «Îò êîãî» ôàìèëèþ è èìÿ ïðîñèì ïèñàòü ðàçáîð÷èâî.  ïèñüìî
âëîæèòå êîíâåðò ñ íàïèñàííûì íà íåì Âàøèì àäðåñîì è íåîáõîäèìûé íàáîð ìàðîê (â ýòîì êîíâåðòå Âû ïîëó÷èòå
ðåçóëüòàòû ïðîâåðêè ðåøåíèé). Ðåøåíèÿ çàäà÷ ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå ìîæíî ïðèñûëàòü òàêæå ïî ýëåêòðîííûì
àäðåñàì: math@kvant.ras.ru è phys@kvant.ras.ru ñîîòâåòñòâåííî.
Óñëîâèÿ êàæäîé îðèãèíàëüíîé çàäà÷è, ïðåäëàãàåìîé äëÿ ïóáëèêàöèè, ïðèñûëàéòå â îòäåëüíîì êîíâåðòå â äâóõ
ýêçåìïëÿðàõ âìåñòå ñ Âàøèì ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è (íà êîíâåðòå ïîìåòüòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî
ôèçèêå» èëè «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ìàòåìàòèêå»).
 íà÷àëå êàæäîãî ïèñüìà ïðîñèì óêàçûâàòü íîìåð øêîëû è êëàññ, â êîòîðîì Âû ó÷èòåñü.
Çàäà÷à M2345 ïðåäëàãàëàñü íà XII Óñòíîé îëèìïèàäå ïî ãåîìåòðèè, çàäà÷à Ì2346 – íà VII Þæíîì ìàòåìàòè÷åñêîì
òóðíèðå, çàäà÷à Ì2348 – íà XVII Êóáêå ïàìÿòè À.Í.Êîëìîãîðîâà.
Çàäà÷è Ì2341–Ì2348, Ô2348–Ô2354
M2341. Íà ñòîðîíàõ BC è AC òðåóãîëüíèêà âûáèðàþòñÿ òî÷êè M è N ñîîòâåòñòâåííî. Îòðåçêè AM è BN
äåëÿò òðåóãîëüíèê íà ÷åòûðå ÷àñòè. Ïóñòü s – íàèìåíüøàÿ èç ïëîùàäåé ýòèõ ÷àñòåé, à S – íàèáîëüøàÿ.
Íàéäèòå íàèáîëüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå îòíîøåíèÿ
s/S.
È.Àêóëè÷
M2342. Ðàññìàòðèâàþòñÿ ñëîâà, ñîñòîÿùèå èç áóêâ À
è Á. Íàéäèòå íàèìåíüøåå n, óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùåìó óñëîâèþ: â ëþáîì ñëîâå äëèíû n íàéäóòñÿ
äâà èäóùèõ ïîäðÿä îäèíàêîâûõ ïîäñëîâà äëèíû áîëüøå 1.
À.Ñïèâàê
M2343. Íà îêðóæíîñòè äëèíû 1 îòìå÷åíû m êðàñíûõ
òî÷åê – âåðøèí íåêîòîðîãî ïðàâèëüíîãî m-óãîëüíèêà è
n ñèíèõ òî÷åê – âåðøèí íåêîòîðîãî ïðàâèëüíîãî
n-óãîëüíèêà. Íàéäèòå íàèáîëüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå
ìèíèìàëüíîé äëèíû äóãè, äâà êîíöà êîòîðîé – êðàñíàÿ
è ñèíÿÿ òî÷êè.
Â.Øàðè÷
M2344. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî n íàçîâåì ïðàâèëüíûì,
åñëè äëÿ ëþáîãî 100-çíà÷íîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà a
âåðíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: ÷èñëî a n (â äåñÿòè÷íîé çàïèñè) îêàí÷èâàåòñÿ íà a òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà a2 îêàí÷èâàåòñÿ íà a. Íàéäèòå âñå ïðàâèëüíûå
÷èñëà.
Â.Ñåíäåðîâ
M2345. Îòðåçîê AD – äèàìåòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè
îñòðîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ABC. ×åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò ýòîãî òðåóãîëüíèêà ïðîâåëè ïðÿìóþ,
ïàðàëëåëüíóþ ñòîðîíå BC, êîòîðàÿ ïåðåñåêàåò ñòîðîíû AB è AC â òî÷êàõ E è F ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ.1).
Äîêàæèòå, ÷òî ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà DEF â äâà ðàçà
áîëüøå ñòîðîíû BC.
Ä.Ïðîêîïåíêî
M2346. Äëÿ èçîáðàæåíèÿ
ìíîæåñòâ ÷àñòî ðèñóþò òàê
íàçûâàåìûå êðóãè Ýéëåðà.
Íàïðèìåð, íà ðèñóíêå 2
èçîáðàæåíû òðè âûïóêëûå
ôèãóðû A, B, C, ãðàíèöû
êîòîðûõ äåëÿò ïëîñêîñòü íà Ðèñ. 1
îáëàñòè òàê, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïîäìíîæåñòâà ôèãóð åñòü îáëàñòü, ïðèíàäëåæàùàÿ
â òî÷íîñòè ôèãóðàì èç ýòîãî ïîäìíîæåñòâà. Âûÿñíèòå, ìîæíî ëè äëÿ
êàæäîãî íàòóðàëüíîãî n > 3 íàðèñîâàòü
àíàëîãè÷íóþ äèàãðàììó, èëëþñòðèðóþùóþ ïåðåñå÷åíèå n
ïîäìíîæåñòâ. Èíà÷å
ãîâîðÿ, ïðè êàêèõ
n > 3 íà ïëîñêîñòè
ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî âûïóêëûõ ôèÐèñ. 2
ãóð M1,…, Mn òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî
íåïóñòîãî ïîäìíîæåñòâà S ⊂ {1, 2, …, n} íàéäåòñÿ òî÷êà, êîòîðàÿ ëåæèò âíóòðè Mi ïðè i ∈ S è âíå Mi
ïðè i ∉ S ?
Ï.Êîæåâíèêîâ
M2347.  êàæäîé ãðàíè÷íîé êëåòêå òàáëèöû
2013 × 2013 ïîñòàâèëè ïî öåëîìó ÷èñëó. Äîêàæèòå,
÷òî ìîæíî çàïîëíèòü âñå îñòàëüíûå êëåòêè öåëûìè
ÊÂÀÍT 2014/¹3
÷èñëàìè òàê, ÷òîáû ñóììà ÷èñåë â êàæäîì êâàäðàòå
3 × 3 , ñîäåðæàùåìñÿ â òàáëèöå, áûëà ðàâíà íóëþ.
Ä.Õðàìöîâ
ñîñóäà èìååò ôîðìó êóáà ñ äëèíîé ðåáðà À, ïðè÷åì
êàæäîå ðåáðî ïàðàëëåëüíî îäíîé èç îñåé êîîðäèíàò.
Á.Ïàñêàëü
M2348. Äëÿ ÷èñåë x1, x2 , …, xn îáîçíà÷èì
1
.
[x1, x2 , …, xn ] =
1
x1 −
1
x2 −
1
−
xn
Ïóñòü a1, …, ak , b1, …, bn – íàòóðàëüíûå ÷èñëà, íå ìåíüøèå 2, äëÿ êîòîðûõ [a1, …, ak ] + [b1, …, bn ] > 1 . Äîêàæèòå, ÷òî íàéäóòñÿ òàêèå íàòóðàëüíûå ÷èñëà p ≤ k è
q ≤ n , ÷òî a1, …, ap  + b1, …, bq  = 1 .
À.Óñòèíîâ
Ô2351.  íåïîäâèæíîé ãîðèçîíòàëüíîé öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå ñ æåñòêèìè è íå ïðîâîäÿùèìè òåïëî ñòåíêàìè íàõîäèòñÿ ãàçîîáðàçíûé ãåëèé. Òåìïåðàòóðà ãàçà
î÷åíü ìàëà (íàïðèìåð, ïîðÿäêà 0,1 Ê). Êîíöåíòðàöèÿ
ìîëåêóë ãàçà n0 çíà÷èòåëüíî ìåíüøå âåëè÷èíû D-3 ,
ãäå D – õàðàêòåðíûé ðàçìåð ìîëåêóë ãåëèÿ. Âíåçàïíî
ïîðøåíü, ïåðåêðûâàþùèé òðóáó, ïðèõîäèò â äâèæåíèå
âäîëü îñè ñèììåòðèè òðóáû ñ áîëüøîé ïîñòîÿííîé
ñêîðîñòüþ v (ðàâíîé, íàïðèìåð, 3 êì/ñ). Êàêîé áóäåò
òåìïåðàòóðà ãàçà T ïåðåä ïîðøíåì? Êàêîå äàâëåíèå p
áóäåò îêàçûâàòü ãàç íà ïîðøåíü? Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ u
áóäåò óäàëÿòüñÿ îò ïîðøíÿ ãðàíèöà ðàçäåëà ìåæäó
îáëàñòüþ, çàíÿòîé ãàçîì ïðè íèçêîé òåìïåðàòóðå, è
îáëàñòüþ, ãäå ìîëåêóëû äâèãàþòñÿ ñ óïîðÿäî÷åííîé
ñêîðîñòüþ, ðàâíîé v? Êàêîé áóäåò êîíöåíòðàöèÿ n
ìîëåêóë âáëèçè ïîðøíÿ?
Â.Ñåðãååâ
Ô2348. Íà îäíîðîäíóþ øåðîõîâàòóþ ãîðèçîíòàëüíóþ
ïîâåðõíîñòü íåïîäâèæíîé äîñêè ìàññîé M è äëèíîé L
ïîïàë äâèãàâøèéñÿ ãîðèçîíòàëüíî è ïîñòóïàòåëüíî
ïëîñêèé ìàëåíüêèé áðóñîê, êîòîðûé ïðîñêîëüçèë ïîñòóïàòåëüíî âäîëü âñåé äîñêè è ñúåõàë ñ íåå. Äîñêà
íàõîäèëàñü íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè. Ñ
êàêèì óñêîðåíèåì äâèãàëàñü ïîñòóïàòåëüíî äîñêà, åñëè
çà âðåìÿ ñêîëüæåíèÿ ïî íåé áðóñêà âûäåëèëîñü êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q?
À.Øåðîíîâ
Ô2349. ×åòûðå ãëàäêèõ òîíêèõ ñòåðæíÿ çàêðåïëåíû
íåïîäâèæíî (ðèñ. 3). Äâà èç íèõ ïàðàëëåëüíû äðóã
äðóãó è ãîðèçîíòàëüíû, à
äâà äðóãèõ ïàðàëëåëüíû
äðóã äðóãó è âåðòèêàëüíû.
Äâà îäèíàêîâûõ ìàëåíüêèõ
øàðèêà ñîåäèíåíû íåâåñîìîé íåðàñòÿæèìîé íèòüþ
äëèíîé L. Äèàìåòðû øàðèêîâ áîëüøå ðàññòîÿíèé ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ñòåðæíÿìè.  íà÷àëüíûé ìîìåíò
øàðèêè óäåðæèâàþò òàê,
Ðèñ. 3
÷òî îíè íåïîäâèæíû, íèòü
ïðè ýòîì âûïðÿìëåíà è ïî÷òè ãîðèçîíòàëüíà. Ïîñëå
îòïóñêàíèÿ øàðèêè ïðèøëè â äâèæåíèå è óäàðèëèñü î
ãîðèçîíòàëüíûé ïîë îäíîâðåìåííî. Êàêîâî ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå H îò ãîðèçîíòàëüíûõ ñòåðæíåé äî
ïîëà? Êàêèìè áûëè ïðè òàêîì ðàññòîÿíèè ñêîðîñòè
øàðèêîâ çà ìãíîâåíèå äî èõ óäàðîâ î ïîë?
Ñ.Äìèòðèåâ
Ô2350. Ñîñóä ñ æåñòêèìè ñòåíêàìè çàïîëíåí íåñæèìàåìîé æèäêîñòüþ ïëîòíîñòüþ ρ . Âíóòðåííîñòü ñîñóäà
èìååò ôîðìó øàðà ðàäèóñîì R. Äåêàðòîâû îñè êîîðäèíàò âûáðàííîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà òàêîâû,
÷òî óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g èìååò êîîðäèíàòû 0, 0, –g. Ñîñóä äâèæåòñÿ ïîñòóïàòåëüíî ñ óñêîðåíè
åì a . Âñå ïðîåêöèè óñêîðåíèÿ ax , ay , az ïîëîæèòåëüíû. Ìèíèìàëüíîå äàâëåíèå æèäêîñòè âíóòðè ñîñóäà
ðàâíî pmin . Êàêîâî ìàêñèìàëüíîå äàâëåíèå æèäêîñòè
âíóòðè ñîñóäà? Íàéäèòå îòâåò íà ýòîò æå âîïðîñ â
ñëó÷àå, êîãäà âíóòðåííîñòü çàïîëíåííîãî æèäêîñòüþ
Ô2352. Îäèí ìîëü ãåëèÿ íàãðåâàëñÿ îò íà÷àëüíîé
òåìïåðàòóðû T0 = 200 Ê â ïðîöåññå ñ ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòüþ, êîòîðàÿ çàâèñåëà îò àáñîëþòíîé òåìïåðàòóðû T ïî çàêîíó C (T ) = RT T0 . (Çäåñü R – óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ.) Ïðè äîñòèæåíèè íåêîòîðîé
òåìïåðàòóðû ðàáîòà, êîòîðóþ ñîâåðøèë ãàç, îêàçàëàñü
ðàâíîé íóëþ. Íà ýòîì ïðîöåññ çàâåðøèëñÿ. Êàêóþ
ðàáîòó ñîâåðøèë ãàç íà ó÷àñòêå ïðîöåññà, êîãäà îí
ðàñøèðÿëñÿ? Íàéäèòå îòíîøåíèå îáúåìà ãàçà â êîíå÷íîé òî÷êå ïðîöåññà ê åãî íà÷àëüíîìó îáúåìó ïðè
òåìïåðàòóðå T0 .
À.Øåðîíîâ
Ô2353. Äâà ìàÿòíèêà èìåþò îäèíàêîâûå äëèíû ëåãêèõ íåðàñòÿæèìûõ íèòåé, êîíöû êîòîðûõ ïðèêðåïëåíû ê ïîòîëêó, è îäèíàêîâûå ìàëåíüêèå ãðóçû íà
êîíöàõ íèòåé. Ãðóçû îòâåëè îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ,
ñîõðàíÿÿ íàòÿíóòîñòü íèòåé, ïðè ýòîì íèòè ñîñòàâèëè
îäèíàêîâûå óãëû ñ âåðòèêàëüþ. Îäèí èç ãðóçîâ òîëêíóëè â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì íèòè, ê êîòîðîé ýòîò ãðóç ïðèêðåïëåí, è îäíîâðåìåííî îòïóñòèëè áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè âòîðîé ãðóç.
Òðåíèÿ â ñèñòåìå íåò. Íèòü ïåðâîãî ìàÿòíèêà â ïðîöåññå äâèæåíèÿ âñåãäà ñîñòàâëÿåò ñ âåðòèêàëüþ îäèí è òîò
æå óãîë. Îêàçàëîñü, ÷òî ýòè äâà ìàÿòíèêà îäíîâðåìåííî ïîïàäàþò êàæäûé â ñâîå íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå ïîñëå
òîãî, êàê ïðîéäåò âðåìÿ, ðàâíîå 100 ïåðèîäàì êîëåáàíèé ïåðâîãî ìàÿòíèêà è 101 ïåðèîäó êîëåáàíèé âòîðîãî
ìàÿòíèêà. Íà êàêîé óãîë áûëè îòêëîíåíû íèòè îò
âåðòèêàëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò? Ïåðèîä ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà äëèíîé L â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè ñ
óñêîðåíèåì ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g ïðè ìàëîì çíà÷åíèè
ìàêñèìàëüíîãî óãëà îòêëîíåíèÿ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ α ( α < 1 ) õîðîøî îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëîé
L
αˆ
1
Ê
.
T = T0 Á1 + sin2 ˜ , ãäå T0 = 2π
Ë
g
4
2¯
Ôîëüêëîð
Ô2354. Òîëñòîñòåííûé ñâåòîíåïðîíèöàåìûé ÿùèê óñòàíîâëåí ïîä îòêðûòûì íåáîì â ïàñìóðíûé äåíü, êîãäà
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
âñå íåáî îäèíàêîâî ñâåòëîå è ñîëíöà íå âèäíî. Â åãî
âåðõíåé ñòåíêå (êðûøêå) ïðîñâåðëåíî âåðòèêàëüíîå
îòâåðñòèå, è ÷åðåç íåãî â ÿùèê ïðîïóùåí äëèííûé
îäíîðîäíûé ïðîçðà÷íûé öèëèíäð (ñâåòîâîä) êðóãëîãî
ñå÷åíèÿ ðàäèóñîì r = 1 ñì. Ñòåíêè öèëèíäðà ãëàäêèå,
îíè íå êàñàþòñÿ ñòåíîê äûðêè, ïîêðàøåííûõ â ÷åðíûé
öâåò. Âåðõíèé òîðåö ñâåòîâîäà íàõîäèòñÿ ñíàðóæè, à
íèæíèé – âíóòðè ÿùèêà. Ïîä òîðöîì öèëèíäðà íà
ãîðèçîíòàëüíîì äíå ÿùèêà ëåæèò ïëîñêèé ýêðàí. Ðàññòîÿíèå îò íèæíåãî òîðöà öèëèíäðà äî ýêðàíà
L = 1 ì r . Íà ýêðàíå íàáëþäàåòñÿ ñâåòëîå ïÿòíî
ðàäèóñîì R = 1 ì. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ
ñâåò â ìàòåðèàëå, èç êîòîðîãî ñäåëàí öèëèíäð?
Å.Óóñòàëó
Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2326–Ì2333,
Ô2333–Ô2339
Ì2326. Íà øàõìàòíîé äîñêå ñòîÿò 8 íå áüþùèõ äðóã
äðóãà ëàäåé. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî êàæäóþ èç íèõ
ïåðåäâèíóòü õîäîì êîíÿ òàê, ÷òî îíè ïî-ïðåæíåìó íå
áóäóò áèòü äðóã äðóãà. (Âñå âîñåìü ëàäåé ïåðåäâèãàþòñÿ «îäíîâðåìåííî», ò.å. åñëè, íàïðèìåð, äâå ëàäüè
áüþò äðóã äðóãà õîäîì êîíÿ, òî èõ ìîæíî ïîìåíÿòü
ìåñòàìè.)
Ëàäüþ èç ïåðâîé ñòðîêè ïåðåñòàâèì âî âòîðóþ ñòðîêó,
èç âòîðîé – â ïåðâóþ. Àíàëîãè÷íî îáîéäåìñÿ ñ ëàäüÿìè
èç òðåòüåé è ÷åòâåðòîé, ïÿòîé è øåñòîé, ñåäüìîé è
âîñüìîé ñòðîê. Ëàäüþ èç ïåðâîãî ñòîëáöà ïåðåñòàâèì
â òðåòèé, èç òðåòüåãî – â ïåðâûé. Àíàëîãè÷íî îáîéäåì-
ñÿ ñ ëàäüÿìè èç âòîðîãî è ÷åòâåðòîãî, ïÿòîãî è ñåäüìîãî, øåñòîãî è âîñüìîãî ñòîëáöîâ. (Ïðèìåð òàêîé ïåðåñòàíîâêè ïîêàçàí íà ðèñóíêå.) Òîãäà êàæäàÿ ëàäüÿ
áóäåò ïåðåñòàâëåíà õîäîì êîíÿ, è â êàæäûõ ñòðîêå è
ñòîëáöå áóäåò ïî ëàäüå, òàê
÷òî îíè íå áóäóò áèòü äðóã
äðóãà.
Å.Áàêàåâ
Ì2327. Äàí ïðàâèëüíûé
òðåóãîëüíèê ABC ñ öåíòðîì O. Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç âåðøèíó C, ïåðåñåêàåò îïèñàííóþ îêðóæíîñòü òðåóãîëüíèêà AOB â
òî÷êàõ D è E. Äîêàæèòå,
÷òî òî÷êè A, O è ñåðåäèíû
îòðåçêîâ BD, BE ëåæàò
íà îäíîé îêðóæíîñòè.
«ÊÂÀÍÒÀ»
Ïóñòü C¢ , D¢ , E ¢ – ñåðåäèíû îòðåçêîâ BC, BD, BE
ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè òî÷êà D
ëåæèò ìåæäó Ñ è E (ñì. ðèñóíîê). Òîãäà òî÷êà D¢
ëåæèò íà ñðåäíåé ëèíèè C¢E ¢ òðåóãîëüíèêà CBE. Â
ïðàâèëüíîì òðåóãîëüíèêå ABC âåðøèíà A, öåíòð O è
òî÷êà C¢ òàêæå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Óãîë ABC
ðàâåí ïîëîâèíå äóãè AOB, ïîýòîìó BC – êàñàòåëüíàÿ.
Òîãäà
1
1
C¢E ¢ ◊ C¢D¢ = CE ◊ CD = CB2 = C ¢B2 = C ¢O ◊ C ¢A .
4
4
Èç ðàâåíñòâà C¢E ¢ ◊ C¢D¢ = C¢O ◊ C¢A ïî òåîðåìå, îáðàòíîé ê òåîðåìå î ïðîèçâåäåíèè îòðåçêîâ ñåêóùèõ, è
ñëåäóåò âïèñàííîñòü ÷åòûðåõóãîëüíèêà AOD ¢ E ¢ .
À.Çàñëàâñêèé
Ì2328. Êàæäîå ëè öåëîå ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
âèäå ñóììû êóáîâ íåñêîëüêèõ öåëûõ ÷èñåë, ñðåäè
êîòîðûõ íåò îäèíàêîâûõ?
Îòâåò. Äà, êàæäîå.
Çàìåòèì, ÷òî
(n + 7 )3 − (n + 6 )3 − (n + 5 )3 + (n + 4 )3 −
3
3
3
– (n + 3 ) + (n + 2 ) + ( n + 1) - n3 = 48 .
3
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ÷èñëî ( 48k + 1) ïðè ëþáîì k äàåò
ïðè äåëåíèè íà 48 îñòàòîê 1. Ñêëàäûâàÿ íåñêîëüêî
ðàçëè÷íûõ êóáîâ òàêîãî âèäà, ìû ìîæåì ïîëó÷èòü
ñóììó ñ ëþáûì íàïåðåä çàäàííûì îñòàòêîì îò äåëåíèÿ
íà 48, à ïîòîì, ïðèáàâëÿÿ èëè âû÷èòàÿ íóæíîå êîëè÷åñòâî ðàç óêàçàííûå âûøå êîìáèíàöèè, ðàâíûå 48
(ÿñíî, ÷òî âûáèðàòü n ìîæíî òàê, ÷òîáû âñå êóáû,
êîòîðûå âñòðå÷àþòñÿ â ñóììå, áûëè ðàçëè÷íûìè),
ïîëó÷èòü ëþáîå ÷èñëî ñ òàêèì îñòàòêîì.
Êîììåíòàðèé. Èçâåñòíî (ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðîáëåìû Âàðèíãà), ÷òî êàæäîå öåëîå ÷èñëî ïðåäñòàâèìî â
âèäå ñóììû íå áîëåå äåâÿòè òî÷íûõ êóáîâ. Íî ïîñêîëüêó íåêîòîðûå èç ýòèõ êóáîâ ìîãóò îêàçàòüñÿ ðàâíûìè,
çàäà÷à Ì2328 ñðàçó íå âûòåêàåò èç ýòîãî ôàêòà.
È.Ðóáàíîâ, À.Ñåìåíîâ, À.Øàïîâàëîâ, Ë.Ìåäíèêîâ
Ì2329. Â îêðóæíîñòü âïèñàí 101-óãîëüíèê. Èç êàæäîé åãî âåðøèíû îïóñòèëè ïåðïåíäèêóëÿð íà ïðÿìóþ,
ñîäåðæàùóþ ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó. Äîêàæèòå,
÷òî õîòÿ áû ó îäíîãî èç ïåðïåíäèêóëÿðîâ îñíîâàíèå
ïîïàäåò íà ñòîðîíó (à íå íà åå ïðîäîëæåíèå).
Äîêàæåì óòâåðæäåíèå çàäà÷è äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âïèñàííîãî (2n + 1) -óãîëüíèêà A1 A2 … A2n +1 . Ïðîâåäåì âñå
áîëüøèå äèàãîíàëè A1 An +1, A2 An + 2,… (ìû ñ÷èòàåì,
ÊÂÀÍT 2014/¹3
÷òî A2n + 2 = A1, A2n + 3 = A2,… ). Ïîëó÷èòñÿ «çâåçäà» ñ
2n + 1 ðåáðàìè. Îêðàñèì äèàãîíàëü Ak Ak + n â ñèíèé
öâåò, åñëè äóãà Ak Ak +1 Ak + n ìåíüøå ïîëîâèíû îêðóæíîñòè (ò.å. óãîë, íà íåå îïèðàþùèéñÿ, – îñòðûé), è â
êðàñíûé öâåò â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Îáîéäåì «çâåçäó»
ïî ðåáðàì (íà ðèñóíêå ïîêàçàí ïðèìåð äëÿ ñåìèóãîëüíèêà). Çàìåòèì, ÷òî äâà êðàñíûõ ðåáðà íå ìîãóò èäòè
ïîäðÿä, òàê êàê ñóììà äâóõ ñîîòâåòñòâóþùèõ èì äóã
ìåíüøå ïîëíîé îêðóæíîñòè. ×åðåäîâàòüñÿ öâåòà íå
ìîãóò èç-çà íå÷åòíîñòè ÷èñëà 2n + 1. Çíà÷èò, íàéäóòñÿ
äâå ñèíèå äèàãîíàëè, èäóùèå ïîäðÿä. Ïóñòü ýòî, íàïðèìåð, äèàãîíàëè An +2 A1 è A1 An +1 . Òîãäà â òðåóãîëüíèêå An + 2 A1 An +1 óãëû A1 An + 2 An +1 è A1 An +1 An + 2 –
îñòðûå, ñëåäîâàòåëüíî, âûñîòà, îïóùåííàÿ èç âåðøèíû A1 , ïîïàäàåò íà ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó
An +1 An + 2 .
È.Ðóáàíîâ, À.Ñåìåíîâ, À.Øàïîâàëîâ, Ë.Ìåäíèêîâ
Ì2330. à) Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò ðîâíî îäíà
áåñêîíå÷íàÿ âëåâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öèôð A =
= …625, îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâîì: ïðè âîçâåäåíèè â
êâàäðàò ÷èñëà, îêàí÷èâàþùåãîñÿ íà k ïîñëåäíèõ öèôð
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè A, ïîëó÷àåòñÿ òîæå ÷èñëî, îêàí÷èâàþùååñÿ íà k ïîñëåäíèõ öèôð ïîñëåäîâàòåëüíîñòè A.
á) Äîêàæèòå, ÷òî ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïåðèîäè÷íà.
Ïóñòü ïîñëåäíèå n öèôð îáðàçóþò n-çíà÷íîå ÷èñëî xn
(çäåñü äîïóñêàåì, ÷òîáû ÷èñëî íà÷èíàëîñü ñ íóëÿ),
ïðè÷åì x1 = 5 .
a) Óñëîâèå çàäà÷è îçíà÷àåò, ÷òî ÷èñëî xn2 - xn =
= xn ( xn - 1) äîëæíî äåëèòüñÿ íà 10n . Ïîñêîëüêó xn
äåëèòñÿ íà 5 è íå÷åòíî, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî xn äîëæíî
äåëèòüñÿ íà 5n , à ( xn − 1) — íà 2n . Ïîëîæèì xn = 5n tn ,
xn − 1 = 2n sn . ×èñëî xn +1 ïîëó÷àåòñÿ èç xn ïðèïèñûâàíèåì ñëåâà íåêîòîðîé öèôðû c: xn +1 = c ⋅ 10n + xn .
Óñëîâèå xn +1 5n +1 ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî 2n c + tn 5 .
Çíàÿ îñòàòêè îò äåëåíèÿ ÷èñåë 2n è tn íà 5, îäíîçíà÷íî
îïðåäåëÿåòñÿ îñòàòîê c ïðè äåëåíèè íà 5. Àíàëîãè÷íî,
xn +1 − 1 2n +1 ⇔ 5n c + sn − 1 2 , ïîýòîìó ÷åòíîñòü ÷èñëà c
ïðîòèâîïîëîæíà ÷åòíîñòè ÷èñëà sn . Òàêèì îáðàçîì, ïî
÷èñëó xn öèôðà c îïðåäåëÿåòñÿ, ïðè÷åì åäèíñòâåííûì
îáðàçîì.
á) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïåðèîäè÷íà,
ïóñòü A — ïåðèîä äëèíû k, B — ïðåäïåðèîä äëèíû n
( 0 ≤ B < 10n − 1 ïðè n > 0 ; â ñëó÷àå, êîãäà ïðåäïåðèîä
îòñóòñòâóåò, ñ÷èòàåì, ÷òî n = 0, B = 0).
Ïîëîæèì N = km + n . Òîãäà
…
xN = AA
AB =
m ðàç
(
)
n m 1k
n
n +k
+ … + 10 + ( − ) =
= B + A 10 + 10
= B + 10n A
10n A  10 N A
10km − 1 
−
B
.
=

+
10k − 1  10k − 1
10k − 1 
(
)
k
n
k
Ïîëîæèâ q = 10 − 1 , p = 10 − 1 B − 10 A , èìååì
p 10 N A
2
, qxN = p + 10 N A . Òàê êàê xN
xN = +
−
q
q
− xN 10 N , òî (qxN ) − q (qxN )10 N ⇒ p2 − qp 10 N .
Ïîñëåäíåå âûïîëíåíî ïðè N = km + n äëÿ âñåõ m, â òî
âðåìÿ êàê p è q íå çàâèñÿò îò m, çíà÷èò, p2 − pq = 0 ,
îòêóäà p = 0 èëè p = q.
k
n
Åñëè p = 0, òî 10 − 1 B = 10 A . Ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà ïîëîæèòåëüíà, ïîýòîìó B > 0. Íî òàê êàê
n
ÍÎÄ 10k − 1,10 = 1 , òî B10n ⇒ B ≥ 10 — ïðîòèâî2
(
(
)
)
(
)
ðå÷èå. Åñëè æå p = q, òî 10k - 1 ( B - 1) = 10n A , è èç
ýòîãî ðàâåíñòâà ïîëó÷àåì àíàëîãè÷íîå ïðîòèâîðå÷èå.
Çàìå÷àíèå. Çàäà÷ó á) ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü íà
ÿçûêå âûñøåé àëãåáðû òàê: â êîëüöå 10-àäè÷åñêèõ
÷èñåë íåò íåòðèâèàëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ x2 = x .
À.Êàíåëü-Áåëîâ
Ì2331*. Ïåòÿ è Âàñÿ èãðàþò â òàêóþ èãðó. Ñíà÷àëà
íà ñòîëå ëåæàò 11 êó÷åê ïî 10 êàìíåé. Èãðîêè õîäÿò
ïî î÷åðåäè, íà÷èíàåò Ïåòÿ. Êàæäûì õîäîì èãðîê
áåðåò 1, 2 èëè 3 êàìíÿ, íî Ïåòÿ êàæäûé ðàç âûáèðàåò
âñå êàìíè èç ëþáîé îäíîé êó÷è, à Âàñÿ âñåãäà âûáèðàåò âñå êàìíè èç ðàçíûõ êó÷åê (åñëè èõ áîëüøå îäíîãî).
Ïðîèãðûâàåò òîò, êòî íå ìîæåò ñäåëàòü õîä. Êòî
èç èãðîêîâ ìîæåò îáåñïå÷èòü ñåáå ïîáåäó, êàê áû íè
èãðàë åãî ñîïåðíèê?
Îòâåò. Âàñÿ.
Ðàñïîëîæèì êàìíè, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå, ãäå êó÷è
ñîîòâåòñòâóþò ñòîëáöàì. Ïåòÿ äîëæåí áðàòü íåñêîëüêî
êàìíåé èç îäíîãî ñòîëáöà, à Âàñÿ – èç ðàçíûõ. Ñòðàòåãèÿ Âàñè – äåëàòü õîäû, ñèììåòðè÷íûå Ïåòèíûì
îòíîñèòåëüíî ïóñòîé äèàãîíàëè. Èçíà÷àëüíî êàðòèíêà
ñèììåòðè÷íà. Ïîñêîëüêó ñòðîêà, ñèììåòðè÷íàÿ ñòîëáöó, íå èìååò ñ íèì îáùèõ êàìíåé, òî Âàñÿ êàæäûé ðàç
ñìîæåò âîññòàíàâëèâàòü íàðóøåííóþ ñèììåòðèþ, ò.å.
ó íåãî âñåãäà åñòü õîä. Òàê êàê èãðà êîíå÷íà, òî êîãäàòî Ïåòÿ ïðîèãðàåò.
Å.Áàêàåâ
Ì2332*. Ïóñòü òî÷êè I è O – öåíòðû âïèñàííîé è
îïèñàííîé îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêà ABC ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü OC – öåíòð îêðóæíîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îñíîâàíèÿ âûñîò òðåóãîëüíèêà AIB (ò.å.
îêðóæíîñòè äåâÿòè òî÷åê òðåóãîëüíèêà AIB). Ïóñòü
EC – òî÷êà, ñèììåòðè÷íàÿ òî÷êå OC îòíîñèòåëüíî
áèññåêòðèñû óãëà AIB. Îïðåäåëèì òî÷êè EA è EB
àíàëîãè÷íûì îáðàçîì. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè EA , EB
è EC ëåæàò íà ïðÿìîé OI.
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
Ïóñòü òî÷êè Ia , Ib , Ic – öåíòðû âíåâïèñàííûõ îêðóæíîñòåé, êàñàþùèõñÿ ñòîðîí BC, CA, AB ñîîòâåòñòâåííî (ñì. ðèñóíîê). Òàê êàê ïðÿìûå CIc è Ia Ib –
áèññåêòðèñû âíóòðåííåãî è âíåøíåãî óãëà ACB, òî
ïðÿìàÿ IcC – âûñîòà â òðåóãîëüíèêå Ia Ib Ic . Àíàëîãè÷íî, ïðÿìûå Ia A è Ib B ÿâëÿþòñÿ åãî âûñîòàìè.
Ïîýòîìó òðåóãîëüíèê ABC ÿâëÿåòñÿ îðòîòðåóãîëüíèêîì (ò.å. òðåóãîëüíèêîì ñ âåðøèíàìè â îñíîâàíèÿõ
âûñîò) òðåóãîëüíèêà Ia Ib Ic . Òàê êàê òî÷êà I ÿâëÿåòñÿ
îðòîöåíòðîì òðåóãîëüíèêà Ia Ib Ic , òî òðåóãîëüíèê ABC
ÿâëÿåòñÿ òàêæå îðòîòðåóãîëüíèêîì òðåóãîëüíèêà
IIa Ib .
Çàìåòèì, ÷òî òî÷êè A, B, Ia , Ib ëåæàò íà îäíîé
îêðóæíîñòè (ñ äèàìåòðîì Ia Ib ), ïîýòîìó òðåóãîëüíèêè
IIa Ib è IAB ñîâìåùàþòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì ïîäîáèÿ –
ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî áèññåêòðèñû óãëà AIB ñ
ïîñëåäóþùåé ãîìîòåòèåé ñ öåíòðîì I. Ñëåäîâàòåëüíî,
îêðóæíîñòü (ABC) (îïèñàííàÿ îêîëî îðòîòðåóãîëüíèêà
òðåóãîëüíèêà IIa Ib ) è îêðóæíîñòü, îïèñàííàÿ îêîëî
îðòîòðåóãîëüíèêà òðåóãîëüíèêà AIB, ñîâìåùàþòñÿ òåì
æå ïðåîáðàçîâàíèåì ïîäîáèÿ. Çíà÷èò, è èõ öåíòðû Î
è OC , è ëó÷è IOC è IO ïåðåâîäÿòñÿ äðóã â äðóãà ýòèì
æå ïðåîáðàçîâàíèåì. Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà EC ëåæèò
íà ïðÿìîé IO.
Àíàëîãè÷íî, òî÷êè EA è EB ëåæàò íà ïðÿìîé IO.
Ñ.Èëüÿñîâ
M2333*. Ãðàô – ýòî êîíå÷íîå ìíîæåñòâî âåðøèí,
íåêîòîðûå ïàðû âåðøèí ñîåäèíåíû ðåáðàìè. Ãîâîðÿò, ÷òî ãðàô ïðàâèëüíî ðàñêðàøåí â m öâåòîâ,
åñëè êàæäîé èç åãî âåðøèí ïðèïèñàí îäèí èç m
äàííûõ öâåòîâ òàê, ÷òî ëþáûå äâå âåðøèíû, ñîåäèíåííûå ðåáðîì, îêðàøåíû â ðàçíûå öâåòà. Âåðøèíû
íåêîòîðîãî ãðàôà ðàçáèòû íà òðè ìíîæåñòâà A, B,
C òàê, ÷òî âåðøèíû èç ìíîæåñòâà A íå ñâÿçàíû
ðåáðàìè ñ âåðøèíàìè èç ìíîæåñòâà C. Èçâåñòíî,
÷òî åñëè óäàëèòü èç ãðàôà âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà
C (âìåñòå ñ âûõîäÿùèìè ðåáðàìè), òî ïîëó÷åííûé
ãðàô ìîæíî ïðàâèëüíî ðàñêðàñèòü â k öâåòîâ, à åñëè
óäàëèòü èç íåãî âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà A – òî â n
öâåòîâ.  êàêîå ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî öâåòîâ
ìîæíî ñ ãàðàíòèåé ïðàâèëüíî ðàñêðàñèòü òàêîé
ãðàô?
«ÊÂÀÍÒÀ»
!
Îòâåò. k + n – 1.
Ïîêàæåì, ÷òî â k + n – 1 öâåò ïðàâèëüíî ðàñêðàñèòü âñå
âåðøèíû ìîæíî âñåãäà. Ðàñêðàñèì B » C â n öâåòîâ,
íàçîâåì îäèí èç ýòèõ öâåòîâ ïåðâûì, è ïóñòü D –
ñîâîêóïíîñòü âñåõ âåðøèí èç B, ïîêðàøåííûõ â ïåðâûé öâåò. Òåïåðü ðàñêðàñèì A » D â k öâåòîâ (ïðè
ýòîì âåðøèíû èç ìíîæåñòâà D ïåðåêðàøèâàåì), èñïîëüçîâàâ â êà÷åñòâå îäíîãî èç íèõ ïåðâûé öâåò (à
îñòàëüíûå k – 1 öâåòîâ âçÿâ îòëè÷íûìè îò óæå èñïîëüçîâàííûõ n öâåòîâ). Ó âåðøèí, íå âõîäÿùèõ â A » D ,
ñîõðàíèì ïðåæíþþ ðàñêðàñêó. Ïîñêîëüêó íèêàêèå
âåðøèíû èç A » D íå ñâÿçàíû ðåáðàìè ñ âåðøèíàìè
èç C, ïîêðàøåííûìè â ïåðâûé öâåò (èç D – â ñèëó
ïðàâèëüíîñòè ðàñêðàñêè B » C â n öâåòîâ, èç A – ïî
óñëîâèþ), ïîëó÷èòñÿ ïðàâèëüíàÿ ðàñêðàñêà ãðàôà â
k + n – 1 öâåò.
Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî ìåíüøåãî ÷èñëà öâåòîâ ìîæåò è
íå õâàòèòü. Ðàñïîëîæèì kn òî÷åê â âèäå ïðÿìîóãîëüíèêà èç n ñòðîê è k ñòîëáöîâ. Ïðèìåì ýòî ìíîæåñòâî
çà B. Ñíèçó äîáàâèì íóëåâóþ ñòðîêó èç k òî÷åê,
ïðèìåì åå çà A, ñëåâà äîáàâèì íóëåâîé ñòîëáåö,
ïðèìåì åãî çà C. Ðåáðàìè â B ñîåäèíèì ëþáûå äâå
òî÷êè, íå ëåæàùèå íè â îäíîé ñòðîêå, íè â îäíîì
ñòîëáöå.  A ñîåäèíèì ðåáðàìè êàæäûå äâå òî÷êè, â
C – òîæå. Êðîìå òîãî, ñîåäèíèì ðåáðàìè êàæäóþ
òî÷êó èç A ñî âñåìè òî÷êàìè èç B, íå ëåæàùèìè ñ
íåé â îäíîì ñòîëáöå, è êàæäóþ òî÷êó èç C ñî âñåìè
òî÷êàìè èç B, íå ëåæàùèìè ñ íåé â îäíîé ñòðîêå.
Î÷åâèäíû ïðàâèëüíûå ðàñêðàñêè A » B â k öâåòîâ
(ïî ñòîëáöàì) è C » B â n öâåòîâ (ïî ñòðîêàì).
Ïîêàæåì, ÷òî ïîëó÷åííûé ãðàô íåëüçÿ ðàñêðàñèòü
ìåíüøå ÷åì â k + n – 1 öâåò.
Äîïóñòèì, åñòü ïðàâèëüíàÿ ðàñêðàñêà A » B » C â
k + n – 2 öâåòà. Ïîñêîëüêó òî÷êè ìíîæåñòâà A ðàñêðàøåíû â k ðàçëè÷íûõ öâåòîâ, à òî÷êè ìíîæåñòâà C
– â n ðàçëè÷íûõ öâåòîâ, òî èìåþòñÿ m ≥ 2 öâåòîâ
(íàçîâåì èõ îáùèìè), â êîòîðûå ïîêðàøåíû òî÷êè
îáîèõ ýòèõ ìíîæåñòâ. Îòìåòèì ñòðîêè è ñòîëáöû, â
êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ òàêèå òî÷êè; íà èõ ïåðåñå÷åíèè
íàõîäèòñÿ m2 òî÷åê ìíîæåñòâà B. Çàìåòèì, ÷òî â
êàæäûé èç m îáùèõ öâåòîâ ìîæåò áûòü ïîêðàøåíî
íå áîëüøå îäíîé èç ýòèõ m2 òî÷åê, à èìåííî, òî÷êà,
ñòîÿùàÿ íà ïåðåñå÷åíèè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòîëáöà è
ñòðîêè. Ñòàëî áûòü, ñðåäè ýòèõ m2 òî÷åê åñòü m2 - m
òî÷åê, ðàñêðàøåííûõ â äðóãèå öâåòà. Ýòî íå ìîãóò
áûòü îáùèå öâåòà, íî íå ìîãóò áûòü è äðóãèå öâåòà,
èñïîëüçîâàííûå ïðè ðàñêðàñêå òî÷åê ìíîæåñòâ A è
Ñ, ïîòîìó ÷òî ñî âñåìè òî÷êàìè òàêèõ öâåòîâ òî÷êè
èç îòìå÷åííûõ ñòðîê è ñòîëáöîâ ñâÿçàíû ðåáðàìè.
Âñåãî ïðè ðàñêðàñêå òî÷åê èç A è Ñ áûëî èñïîëüçîâàíî k + n – m öâåòîâ. Èç óïîìÿíóòûõ âûøå m2 - m
òî÷åê ìîæíî âûáðàòü m òî÷åê, íèêàêèå äâå èç êîòîðûõ íå ëåæàò â îäíîé ñòðîêå èëè îäíîì ñòîëáöå.
Êàæäûå äâå èç ýòèõ m òî÷åê ñâÿçàíû ðåáðîì, ïîýòîìó îíè ðàñêðàøåíû íå ìåíåå ÷åì â m öâåòîâ. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî âñåãî èñïîëüçîâàíî íå ìåíåå k + n öâåòîâ.
Ïðîòèâîðå÷èå.
È.Áîãäàíîâ
"
ÊÂÀÍT 2014/¹3
Ô2333. Ïðèÿòåëè Âàñÿ è Ïåòÿ ïî óòðàì ãóëÿþò â
ïàðêå. Îäíàæäû âìåñòå ñ Ïåòåé íà ïðîãóëêó âûøåë
è åãî ïåñ Øàðèê. Âîò Âàñÿ, íå òîðîïÿñü, áåæèò
òðóñöîé ïî ïðÿìîé äîðîæêå íàâñòðå÷ó Ïåòå ñî ñêîðîñòüþ v = 2 ì/ñ, à Ïåòÿ èäåò ñ Øàðèêîì íàâñòðå÷ó
Âàñå ñî ñêîðîñòüþ u = 1 ì/ñ. Ðîâíî â 12:00:00 Ïåòÿ
óâèäåë Âàñþ, êîòîðûé â ýòîò ìîìåíò áûë îò íåãî íà
ðàññòîÿíèè L = 300 ì. Îí òóò æå îòïóñòèë Øàðèêà,
è òîò ñî âñåõ íîã ñî ñêîðîñòüþ 3 (u + v) = 9 ì/ñ
áðîñèëñÿ áåæàòü ê òîâàðèùó ñâîåãî õîçÿèíà. Øàðèê,
äîáåæàâ äî Âàñè, íåêîòîðîå âðåìÿ èäåò ðÿäîì ñ íèì,
à çàòåì áðîñàåòñÿ ê ñâîåìó õîçÿèíó. Äîáåæàâ äî íåãî
è ïðîéäÿñü íåìíîãî ðÿäîì ñ Ïåòåé, îí ñíîâà áåæèò ê
Âàñå, è òàê ïîâòîðÿåòñÿ íåñêîëüêî ðàç. Çà âðåìÿ
ñáëèæåíèÿ ïðèÿòåëåé Øàðèê ïðîâåë âîçëå êàæäîãî èç
íèõ îäíî è òî æå âðåìÿ. Îáùàÿ äëèíà ïóòè, êîòîðûé
óñïåë ïðîéòè è ïðîáåæàòü ïåñ, ðàâíà 2,5L = 750 ì.
Êàêóþ ÷àñòü ïðîìåæóòêà âðåìåíè îò 12:00:00 äî
12:01:40 Øàðèê áåæàë ñî ñêîðîñòüþ 9 ì/ñ? Ñêîðîñòè
ïðèÿòåëåé íå èçìåíÿëèñü.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç τ âðåìÿ, êîòîðîå Øàðèê íàõîäèëñÿ
ðÿäîì ñ êàæäûì èç ìàëü÷èêîâ. Òîãäà, äâèãàÿñü âìåñòå
ñ íèìè, îí ïðîøåë ÷àñòü ïóòè, ðàâíóþ
L1 = τ (v + u ) .
Âñå îñòàëüíîå âðåìÿ
L
- 2τ
t=
u+v
îí áåãàë ñî ñêîðîñòüþ V = 3 (u + v) è çà ýòî âðåìÿ
«íàáåãàë» ðàññòîÿíèå
êðàí îòêðîþò è óñòàíîâèòñÿ ðàâíîâåñèå? Ñâåðõó âñå ñîñóäû îòêðûòû. Îáúåìîì ñîåäèíèòåëüíîé
òðóáêè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ïëîùàäè ãîðèçîíòàëüíûõ ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé ñîñóäîâ
îäèíàêîâûå.
Òàê êàê æèäêîñòè íåñæèìàåìû, ïîñëå îòêðûòèÿ êðàíà â ëåâîì
ñîñóäå ñòîëá æèäêî- Ðèñ. 2
ñòè ïëîòíîñòüþ ρ ïîíèçèòñÿ íà x, à â ïðàâîì ïîäíèìåòñÿ íà x (ðèñ.2).
Çàïèøåì óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ, ïðèðàâíÿâ äàâëåíèÿ â
òî÷êàõ 1 è 2:
ρg (4h - 2x ) = 0,8ρg (3h - x ) ,
îòêóäà íàõîäèì x = 4h 3 . Ñëåäîâàòåëüíî, æèäêîñòè
ïëîòíîñòüþ 0,8ρ îñòàíåòñÿ ñòîëá âûñîòîé
4
5
H = 3h - h = h .
3
3
Ì.Çàìÿòíèí
Ô2335. Íà ëåãêîì æåñòêîì äâóõúÿðóñíîì ðû÷àãå
ñëîæíîé êîíñòðóêöèè óðàâíîâåøåíû 4 ãðóçà (ñì.
ðèñóíîê). Íàéäèòå ìàññó ãðóçà mx , åñëè ìàññû òðåõ
L2 = tV .
Èç óñëîâèÿ èçâåñòíî, ÷òî
L1 + L2 = 2,5L è V = 3 (u + v) .
Îòñþäà ïîëó÷àåì
L
1
τ=
= 10 c .
2 2V - u - v
Ñî ñêîðîñòüþ 9 ì/ñ øàðèê áåæàë âñå îñòàâøååñÿ
âðåìÿ, ò.å. 100 c - 2 ◊ 10 c = 80 c .
À.Âëàñîâ
Ô2334. Äâà ñîîáùàþùèõñÿ öèëèíäðè÷åñêèõ ñîñóäà
âûñîòîé 5h, ÷àñòè÷íî çàïîëíåííûå æèäêîñòüþ ïëîòíîñòüþ ρ äî âûñîò 4h
è 2h ñîîòâåòñòâåííî,
ñìåùåíû ïî âåðòèêàëè
íà âûñîòó 2h (ðèñ.1).
Êðàí â òðóáêå èçíà÷àëüíî çàêðûò.  ïðàâûé ñîñóä äîáàâëÿþò
æèäêîñòè ïëîòíîñòüþ
0,8ρ ñòîëüêî, ÷òî îíà
çàíèìàåò îáúåì âûñîòîé 3h. Êàêîé ïî âûñîòå ñòîëá æèäêîñòè
ïëîòíîñòüþ 0,8ρ îñòàíåòñÿ â ïðàâîì ñîñóäå ïîñëå òîãî, êàê
Ðèñ. 1
îñòàëüíûõ ãðóçîâ èçâåñòíû; m = 6 êã. Äëèíû ÷àñòåé
ðû÷àãà çàäàíû íà ðèñóíêå.
Íåñìîòðÿ íà ñëîæíóþ êîíñòðóêöèþ ðû÷àãà, äëÿ âñåé
ñèñòåìû ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðàâèëîì ìîìåíòîâ.
Áóäåì âû÷èñëÿòü ìîìåíòû ñèë îòíîñèòåëüíî òî÷êè
îïîðû ðû÷àãà. Òîãäà ïîëó÷èì
mg ◊ 3L + 3mg ◊ L = mg ◊ 4L + mx g ◊ 3L ,
îòêóäà íàéäåì
2
m = 4 êã .
3
Ç.Ìèõàéëîâ
mx =
Ô2336. Íà ðèñóíêå 1 ïðåäñòàâëåíà (â îòíîñèòåëüíûõ
åäèíèöàõ) çàâèñèìîñòü îáúåìà ïîðöèè âîçäóõà ìàññîé m =
= 10 ã îò åãî òåìïåðàòóðû
(ýòî ïðèìåðíî øåñòàÿ ÷àñòü
îêðóæíîñòè åäèíè÷íîãî ðàäèóñà). Íàéäèòå ìàêñèìàëüíîå äàâëåíèå pmax , êîòîðîãî
äîñòèãàë âîçäóõ â ïðîöåññå
íàãðåâàíèÿ, åñëè V0 = 1 ë, à
T0 = 300 Ê.  ýòîé çàäà÷å
âîçäóõ ìîæíî ñ÷èòàòü èäåàëüíûì ãàçîì.
Ðèñ. 1
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
Çàïèøåì óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà:
pV = νRT , èëè
Ðèñ. 2
V
νRT0 T
=
.
V0
pV0 T0
Âèäíî, ÷òî ïðîöåññ ñ ïîñòîÿííûì äàâëåíèåì (èçîáàðè÷åñêèé) â çàäàííûõ êîîðäèíàòàõ
ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ïðÿìóþ,
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. Ïðè÷åì ÷åì áîëüøå
äàâëåíèå, òåì áîëüøå óãîë α .
Òàêèì îáðàçîì, òî÷êó, â êîòîðîé äàâëåíèå áûëî ìàêñèìàëüíî, ìîæíî íàéòè, ïðîâåäÿ êàñàòåëüíóþ èç íà÷àëà êîîðäèíàò ê ãðàôèêó ïðîöåññà (òî÷êà A íà ðèñóíêå 2). Ïîñêîëüêó ðàäèóñ îêðóæíîñòè åäèíè÷íûé, sin α = 1 2 ; çíà÷èò,
α = 30∞ è
L = 2 cos α = 3 ,
x A = L sin α =
3
3
, y A = L cos α = .
2
2
#
«ÊÂÀÍÒÀ»
Òàê êàê ñèñòåìà çàìêíóòà, ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ
çàêîíàìè ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà è ýíåðãèè, ïðè÷åì
ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿäîâ âíóòðè ïàðû íå áóäåì
ó÷èòûâàòü, òàê êàê îíà íå èçìåíÿåòñÿ:
0 = 2mu1 - 2 ◊ 2mu2 ,
kq ◊ 2q kq ◊ 2q kq ◊ 2q kq ◊ 2q 2 ◊ mu12 2 ◊ 2mu22
+
+
+
=
+
,
2L
2L
3L
L
2
2
ãäå u1 – ñêîðîñòü ïðàâîé ïàðû, u2 – ñêîðîñòü ëåâîé
ïàðû. Èç ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ïîëó÷àåì
u1 =
2q 7k
q
è u2 =
3 Lm
3
7k
.
Lm
Ì.Èâàíîâ
Ô2338. Íà äâóõ ñòåíàõ òðåíàæåðíîãî çàëà âèñÿò
òðè îäèíàêîâûõ ïëîñêèõ çåðêàëà. Êàêîå ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ñâîèõ èçîáðàæåíèé âèäèò ñïîðòñìåí,
ñòîÿùèé â öåíòðå çàëà? Êàêîå ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî èçîáðàæåíèé ñïîðòñìåíà îäíîâðåìåííî ìîæåò
âèäåòü ñòîðîííèé íàáëþäàòåëü? Èçîáðàçèòå ïëàí
çàëà è âûäåëèòå íà íåì îáëàñòè, èç êîòîðûõ îí
ìîæåò âèäåòü èçîáðàæåíèå ñïîðòñìåíà. Äëÿ êàæäîé
îáëàñòè ñäåëàéòå îòäåëüíûé ðèñóíîê. Íà îòäåëüíîì
Çíàÿ êîîðäèíàòû òî÷êè íà ãðàôèêå, íàéäåì ìàêñèìàëüíîå äàâëåíèå:
m x AT0
pmax =
R
ª 5 ◊ 105 Ïà ,
Μ y AV0
ãäå Μ = 29 ã ìîëü – ìîëÿðíàÿ ìàññà âîçäóõà.
À.Áû÷êîâ
Ô2337. Âäîëü îäíîé ïðÿìîé ðàñïîëîæåíû äâå ïàðû
ñêðåïëåííûõ çàðÿäîâ. Âåëè÷èíû çàðÿäîâ è èõ ìàññû
óêàçàíû íà ðèñóíêå. Ñ êàêèìè óñêîðåíèÿìè íà÷íóò
ðàçëåòàòüñÿ ýòè
ïàðû? Êàêèå ñêîðîñòè îíè ïðèîáðåòóò ïîñëå ðàçëåòà íà áîëüøîå
ðàññòîÿíèå? Ñ÷èòàéòå äâèæåíèå
ïàð çàðÿäîâ ïîñòóïàòåëüíûì. Ðàññòîÿíèå L, çàðÿä q
è ìàññà m çàäàíû.
Çàïèøåì äëÿ ïðàâîé ïàðû çàðÿäîâ âòîðîé çàêîí Íüþòîíà:
Ê 1
2
1 ˆ
+
2kq2 Á 2 +
˜ = 2ma1 ,
2
(3L)2 ¯
Ë L (2L)
ãäå a1 – óñêîðåíèå ýòîé ïàðû. Îòñþäà íàõîäèì
29 kq2
.
a1 =
18 mL2
Ïî òðåòüåìó çàêîíó Íüþòîíà, íà ëåâóþ ïàðó çàðÿäîâ
ñî ñòîðîíû ïðàâîé äåéñòâóåò òàêàÿ æå ïî âåëè÷èíå
ñèëà. Îäíàêî ìàññà ëåâîé ïàðû â äâà ðàçà áîëüøå,
ïîýòîìó åå óñêîðåíèå áóäåò ðàâíî
a2 =
a1 29 kq2
=
.
2
36 mL2
Ðèñ. 1
ðèñóíêå èçîáðàçèòå îáëàñòü, èç êîòîðîé íàáëþäàòåëü ìîæåò âèäåòü ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî èçîáðàæåíèé. Ïëàí òðåíàæåðíîãî çàëà ñ çåðêàëàìè (âèä ñâåðõó)
ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 1. Ñ÷èòàéòå ñïîðòñìåíà íå
ñëèøêîì êðóïíûì (ïî÷òè òî÷å÷íûì).
Òî÷å÷íûé ïðåäìåò è åãî èçîáðàæåíèå â ïëîñêîì çåðêàëå ðàâíîóäàëåíû îò ïëîñêîñòè çåðêàëà. Îáà îíè ëåæàò
íà ïåðïåíäèêóëÿðå, ïðîâåäåííîì ê ïëîñêîñòè ýòîãî çåðêàëà. Íà ðèñóíêå 2 ïîêàçàíà
îáëàñòü À, èç êîòîðîé âèäíî
èçîáðàæåíèå S1 ñïîðòñìåíà
S. Íà ðèñóíêå 3 ïîêàçàíû äâå
îáëàñòè B, èç êîòîðûõ âèäíî
èçîáðàæåíèå ñïîðòñìåíà S2 . Ðèñ. 2
$
ÊÂÀÍT 2014/¹3
òðèòèÿ τ ) ðàñïàäóòñÿ
∆N = N0 - N ª N0
Ðèñ. 3
Ðèñ. 4
Íà ðèñóíêå 4 ïîêàçàíà îáëàñòü Ñ, èç êîòîðîé â çåðêàëå
1 âèäíî èçîáðàæåíèå S3 «ïðåäìåòà» S2 . Âñå òðè
èçîáðàæåíèÿ áóäóò âèäíû èç
òîé ÷àñòè êîìíàòû – îáëàñòü
D íà ðèñóíêå 5, – â êîòîðîé
ïåðåêðûâàþòñÿ îáëàñòè À, Â,
Ñ.
Èòàê, èç ïîñòðîåíèé âèäíî,
÷òî ñïîðòñìåí ìîæåò âèäåòü
Ðèñ. 5
òîëüêî îäíî ñâîå èçîáðàæåíèå S1 â çåðêàëå 1. À ñòîðîííèé íàáëþäàòåëü ìîæåò
âèäåòü 3 èçîáðàæåíèÿ èç îáëàñòè D.
Ì.Çàìÿòíèí
Ô2339. Â âàêóóìèðîâàííûé ñîñóä åìêîñòüþ V =
= 1,5 ë ñ æåñòêèìè è íå ïðîâîäÿùèìè òåïëî ñòåíêàìè âïðûñíóëè m = 1,1 ã æèäêîé òÿæåëîé âîäû T2O
ïðè òåìïåðàòóðå 0 ∞C è ãåðìåòèçèðîâàëè ñîñóä.
Ïåðèîä ïîëóðàñïàäà ÿäåð òðèòèÿ τ = 12,33 ãîäà.
Ïðè ðàñïàäå îäíîãî ìîëÿ ÿäåð òðèòèÿ âûäåëÿåòñÿ
E = 1,79 ÃÄæ ýíåðãèè. Ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü
òÿæåëîé âîäû òàêàÿ æå, êàê è ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü îáû÷íîé âîäû, ò.å. 75,6 Äæ ( ìîëü ◊ Ê ) . Òåïëîòà èñïàðåíèÿ òîæå òàêàÿ æå, êàê è äëÿ îáû÷íîé
âîäû, ò.å. L = 40 êÄæ/ìîëü. Êàêàÿ òåìïåðàòóðà
è êàêîå äàâëåíèå áóäóò âíóòðè ñîñóäà ÷åðåç âðåìÿ
t = 2 ÷ ïîñëå íà÷àëà ýêñïåðèìåíòà?
Ïðè óñëîâèè ÷òî ÿäðà êèñëîðîäà èìåþò àòîìíóþ ìàññó
16, ìîëÿðíàÿ ìàññà òÿæåëîé âîäû T2O ðàâíà
Μ = 22 ã ìîëü . Ñëåäîâàòåëüíî, â ñîñóä âïðûñíóëè
âñåãî 0,05 ìîëü âîäû. Êîëè÷åñòâî ÿäåð òðèòèÿ, â
ìîëÿõ, â ñîñóäå ðàâíî 2 (m Μ ) = 0,1 ìîëü .
ßäåðíûå ðåàêöèè ðàñïàäà ÿäåð òðèòèÿ ïðîèñõîäÿò ñ
âåðîÿòíîñòüþ, êîòîðàÿ íå çàâèñèò îò òîãî, â ñîñòàâ
êàêîãî õèìè÷åñêîãî âåùåñòâà âõîäÿò àòîìû ñ òàêèìè
ÿäðàìè. Ïðè êàæäîì ðàñïàäå îäíîãî ÿäðà òðèòèÿ
îáðàçóåòñÿ îäíî ÿäðî ãåëèÿ-3, âûñâîáîæäàåòñÿ îäèí
ýëåêòðîí è, êðîìå òîãî, âîçíèêàåò è ïîêèäàåò ñîñóä
àíòèíåéòðèíî:
3
1T
fi 23 He + e - + ν .
ßäðî ãåëèÿ-3, âîçëå êîòîðîãî äî ðàñïàäà ÿäðà òðèòèÿ
è òàê íàõîäèëñÿ îäèí ýëåêòðîí, òóò æå ïðèñîåäèíÿåò ê
ñåáå èç áëèæàéøåãî îêðóæåíèÿ åùå îäèí ýëåêòðîí, è
îáðàçóåòñÿ àòîì ãåëèÿ – õèìè÷åñêè èíåðòíîãî ãàçà.
 ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà
÷èñëî ðàäèîàêòèâíûõ ÿäåð â ñîñóäå áóäåò ìåíÿòüñÿ ñî
âðåìåíåì òàê:
N = N0 ◊ 2-t τ ,
ãäå N0 – èñõîäíîå êîëè÷åñòâî ðàäèîàêòèâíûõ ÿäåð. Çà
âðåìÿ t = 2 ÷ (t ãîðàçäî ìåíüøå âðåìåíè ïîëóðàñïàäà
t
ln 2
τ
ÿäåð òðèòèÿ.  íàøåì ñëó÷àå N0 = 0,1 ìîëü , è
∆N = 1,28 ◊ 10 -6 ìîëü . Â ðåçóëüòàòå ðàñïàäîâ âûäåëèòñÿ òåïëîâàÿ ýíåðãèÿ
U = E∆N = 2296 Äæ .
Ïðè ýòîì çà 2 ÷àñà â ñîñóäå ñ òÿæåëîé âîäîé íàêîïÿòñÿ
è ïðîäóêòû ðàñïàäà – àòîìû ãåëèÿ-3 â êîëè÷åñòâå
∆N = 1,28 ◊ 10 -6 ìîëü è íåêîòîðûå äðóãèå âåùåñòâà.
Íàïðèìåð, êàêîå-òî âðåìÿ æèâóò ïî îòäåëüíîñòè è
îáðàçîâàâøèåñÿ â ðåçóëüòàòå ðàñïàäîâ ÿäåð ýëåêòðîíû, êîòîðûå ìîãóò ïðèñîåäèíÿòüñÿ ê îêðóæàþùèì
ìîëåêóëàì âîäû, è õèìè÷åñêè àêòèâíûå ðàäèêàëû ÎÒ.
Ìîãóò îáðàçîâûâàòüñÿ (íàâåðíîå, ñ íåáîëüøîé âåðîÿòíîñòüþ) ìîëåêóëû êèñëîðîäà O2 , à òàêæå ìîëåêóëû
òÿæåëîãî âîäîðîäà T2 è ìîëåêóëû ïåðåêèñè òÿæåëîé
âîäû TO2 . Îáùåå êîëè÷åñòâî âñåõ ýòèõ âåùåñòâ çíà÷èòåëüíî ìåíüøå èñõîäíîãî êîëè÷åñòâà òÿæåëîé âîäû
(0,05 ìîëü).
Ïîíÿòíî, ÷òî òÿæåëàÿ âîäà (âìåñòå ñ íåáîëüøèì êîëè÷åñòâîì äðóãèõ âåùåñòâ) â òåïëîèçîëèðîâàííîì ñîñóäå
áóäåò íàãðåâàòüñÿ, èñïàðÿòüñÿ è ÷àñòè÷íî èëè âñÿ
ïåðåéäåò â ïàð. Îöåíèì êîëè÷åñòâî òåïëîòû, êîòîðîå
íåîáõîäèìî äëÿ èñïàðåíèÿ âñåé èìåþùåéñÿ â ñîñóäå
æèäêîé âîäû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû ïîìåñòèëè â ñîñóä
íå èìåþùèé òåïëîåìêîñòè ïîðøåíü, êîòîðûé óäåðæèâàåò âîäó ïîä äàâëåíèåì 105 Ïà. Òîãäà ñíà÷àëà âîäà
ïîäîãðååòñÿ äî 100 ∞C , è íà ýòî ïîòðåáóåòñÿ 378 Äæ
ýíåðãèè. Çàòåì âîäà ïåðåéäåò â ïàð ïðè òåìïåðàòóðå
100 ∞C , íà ÷òî ïîòðåáóåòñÿ 2000 Äæ ýíåðãèè. Ïðè
ýòîì îáúåì ïîä ïîðøíåì âûðàñòåò äî âåëè÷èíû
22,4 ë ◊ 0,05 ◊ 373 273 = 1,53 ë . Âñïîìíèì, ÷òî ïî óñëîâèþ çàäà÷è îáúåì ñîñóäà ðàâåí 1,5 ë – íàì ïîâåçëî!
Èòàê, ïðèìåðíî ÷åðåç 2 ÷àñà âñÿ âîäà â íàøåì «óñîâåðøåíñòâîâàííîì» ñîñóäå èñïàðèòñÿ, è ê ýòîìó ìîìåíòó
â ñîñóäå áóäåò òåìïåðàòóðà 100 ∞C è äàâëåíèå 105 Ïà.
«Âåðíåì» òåïåðü âîäÿíîìó ïàðó ýíåðãèþ, êîòîðàÿ
ïîøëà íà òî, ÷òîáû îí ñîâåðøèë ðàáîòó ïî ïðåîäîëåíèþ äåéñòâèÿ âíåøíèõ ñèë, ñîçäàâàâøèõ òî ñàìîå
äàâëåíèå 105 Ïà ñî ñòîðîíû ïîðøíÿ. Ýòà ðàáîòà ðàâíà
p∆V = 105 Ïà ◊ (1,53 - 0) ◊ 10 -3 ì3 = 153 Äæ . Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî äëÿ èñïàðåíèÿ âîäû â ñîñóäå áåç ïîðøíÿ
ïîòðåáóåòñÿ 378 Äæ + 2000 Äæ – 153 Äæ = 2225 Äæ
ýíåðãèè. Ýòà âåëè÷èíà ìåíüøå òîãî êîëè÷åñòâà òåïëîòû, ÷òî âûäåëèëîñü â ñîñóäå çà äâà ÷àñà. Îñòàâøàÿñÿ
ýíåðãèÿ (2296 - 2225) Äæ = 71 Äæ ïîéäåò íà èçîõîðíûé íàãðåâ âîäÿíîãî ïàðà. Ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü
âîäÿíîãî ïàðà ðàâíà 3R ª 25 Äæ (ìîëü ◊ Ê ) , ïîýòîìó
ïàð íàãðååòñÿ äî òåìïåðàòóðû
(
T = 373 Ê +
)
71 Äæ
ª 430 Ê .
25 Äæ (ìîëü ◊ Ê ) ◊ 0,05 ìîëü
Äàâëåíèå ïðè ýòîì äîñòèãíåò âåëè÷èíû
430 Ê
p = 105 Ïà ◊
ª 1,15 ◊ 105 Ïà .
373 Ê
Í.Óêëîíîâ
«ÊÂÀÍÒ»
1.
ÄËß
ÌËÀÄØÈÕ
ØÊÎËÜÍÈÊÎÂ
%
Çàäà÷è
Ìàøà õîòåëà êóïèòü áóëî÷êó öåíîé â öåëîå ÷èñëî
ðóáëåé. Ðîâíî îíà çàïëàòèòü íå ñìîãëà è ïðèãîòîâèëà
êàê ìîæíî ìåíüøóþ ñóììó, íî ÷òîáû íà áóëî÷êó
õâàòèëî. Â èòîãå îíà äàëà ïðîäàâùèöå 9 ðóáëåé è
ïîëó÷èëà ñäà÷ó. Ñêîëüêî ñòîèëà áóëî÷êà?
Ñ.Èâàíîâ, Á.Äðóæèíèí
4. Ïåòÿ õî÷åò ïðèäóìàòü àíàëîã èãðû «êàìåíü –
2.
Âåëîñèïåäèñòû Àëåøà, Áîðÿ è Âàñÿ îäíîâðåìåííî
ñòàðòóþò èç îäíîé è òîé æå òî÷êè êîëüöåâîãî òðåêà
(ñêîðîñòü êàæäîãî ïîñòîÿííà). Ïåðâûìè ïîñëå ñòàðòà
ïðîåõàëè äðóã ìèìî äðóãà Àëåøà è Áîðÿ (â îäíó
ñòîðîíó èëè â ðàçíûå – íåèçâåñòíî). Èçâåñòíî, ÷òî
íîæíèöû – áóìàãà» äëÿ 10 ïðåäìåòîâ.  íåé äîëæíû
âûïîëíÿòüñÿ äâà óñëîâèÿ: ïðî ëþáûå äâà ïðåäìåòà
ìîæíî ñêàçàòü, êàêîé èç íèõ êîãî áüåò; ëþáûå äâà
ïðåäìåòà ðàâíîïðàâíû (ò.å. êàæäûé ïðåäìåò áüåò îäíî
è òî æå ÷èñëî ïðåäìåòîâ). Ñìîæåò ëè Ïåòÿ ïðèäóìàòü
òàêóþ èãðó?
Ã.Æóêîâ
5.
Èëëþñòðàöèè Ä.Ãðèøóêîâîé
Àëåøà åäåò ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, à Âàñÿ – ïðîòèâ
÷àñîâîé ñòðåëêè.  êàêîì íàïðàâëåíèè åäåò Áîðÿ?
Á.Ôðåíêèí
3. Â ðÿä ñëåâà íàïðàâî ñòîÿëè íåñêîëüêî ñòîëáîâ,
ìåæäó êàæäûìè äâóìÿ ñîñåäíèìè áûë íàòÿíóò ïðîâîä. Ïîäóë âåòåð, âñå ñòîëáû óïàëè âëåâî, íî ïðîâîäà
ïðè ýòîì íå ïîðâàëèñü è ñíîâà îêàçàëèñü íàòÿíóòûìè.
Äîêàæèòå, ÷òî èçíà÷àëüíî âñå ïðîâîäà áûëè ïàðàëëåëüíû çåìëå.
Ñ.Äîðè÷åíêî
Ýòè çàäà÷è ïðåäíàçíà÷åíû ïðåæäå âñåãî ó÷àùèìñÿ 6–8
êëàññîâ.
Íà ñòàðîé ïå÷àòíîé ìàøèíêå Íåçíàéêè íà ïå÷àòü
êàæäîé êîíêðåòíîé öèôðû âñåãäà ðàñõîäóåòñÿ îäíî è
òî æå êîëè÷åñòâî ÷åðíèë. Íåçíàéêà ãîâîðèò, ÷òî íà ýòîé
ìàøèíêå íåëüçÿ íàïå÷àòàòü äâà íàòóðàëüíûõ ÷èñëà,
îäíî â 9 ðàç áîëüøåå äðóãîãî, èñòðàòèâ íà êàæäîå
÷èñëî îäíî è òî æå êîëè÷åñòâî ÷åðíèë. Ìîæíî ëè
óòâåðæäàòü, ÷òî îí íàâåðíÿêà îøèáàåòñÿ?
Å.Áàêàåâ
&
ÊÂÀÍT 2014/¹3
Ýëåêòðîìàãíèòíîå èçëó÷åíèå
íà ïàëüöàõ
(Óðîê ôèçèêè â Êîëëåäæå Ýéíøòåéíà1 )
Â.ÑÛÙÅÍÊÎ
Î
ÁÚßÂËÅÍÈÅ ÍÀ ÊËÀÑÑÍÎÉ ÄÎÑÊÅ ÂÎÇÂÅÙÀËÎ: «ÑÅ-
ãîäíÿøíåå çàíÿòèå ïðîâîäèò ïðîôåññîð Âàí-Òåëëåð». Ïðîçâåíåë çâîíîê, íàäïèñü ïîëûõíóëà ñèíèì
ïëàìåíåì è èñ÷åçëà, îñòàâèâ äîñêó áåçóïðå÷íî ÷èñòîé.
 òîò æå ìîìåíò äâåðü îòêðûëàñü, è â àóäèòîðèþ
âîøåë âûñîêèé ÷åëîâåê ñ êóñòèñòûìè áðîâÿìè. Íèêêè
íå ñðàçó óçíàëà ñòàðîãî ïðîôåññîðà, ïðîøåäøåãî êóðñ
îìîëîæåíèÿ.
– Çäðàâñòâóéòå! Êîëëåãà Äåðìþððåé óåõàë íà êîíôåðåíöèþ, è ñåãîäíÿøíèé óðîê ïðîâåäó ÿ. Ñóäÿ ïî
ïðîãðàììå, âû óæå îñâîèëè èçðÿäíûé êóñîê ýëåêòðîäèíàìèêè. – Ïðîôåññîð îáâåë âçãëÿäîì êëàññ. –
Ñåé÷àñ ïîñìîòðèì, êàê âû åå ïîíÿëè.
– Ïðîôåññîð, ñêîëüêî ìîæíî îáñóæäàòü ðåçóëüòàòû
ïîçàïðîøëîãî âåêà? – ñ ïðåòåíçèåé â ãîëîñå ïðîèçíåñ
ïðèíö Äèòáèò. – Ïåðâàÿ êîíòðîëüíàÿ, âòîðàÿ êîíòðîëüíàÿ, êîëëîêâèóì…
– Äà-äà, â ìîå âðåìÿ ïîñëå òðåõ äâîåê ïîäðÿä
ñòóäåíò âûëåòàë èç êîëëåäæà… – ïî ëèöó ïðîôåññîðà
ðàçëèëàñü áëàæåííàÿ óëûáêà, ðåçêî êîíòðàñòèðîâàâøàÿ ñ íåäîâîëüíîé ôèçèîíîìèåé ïðèíöà. – Èòàê, êòî
èç âàñ ñêàæåò, êàê ïîðîäèòü ýëåêòðîìàãíèòíóþ âîëíó?
 îòâåò ðàçäàëñÿ õîð ãîëîñîâ:
– Ïîäâèãàòü ýëåêòðîí ñ óñêîðåíèåì! Ïîêà÷àòü òóäàñþäà!
– À êòî âîçüìåòñÿ îáúÿñíèòü, ïî÷åìó óñêîðåííî
äâèæóùèéñÿ çàðÿä èçëó÷àåò?
– … óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà … çàïàçäûâàþùèå ïîòåíöèàëû … – ïîñëûøàëîñü ñ ðàçíûõ ñòîðîí, êòî-òî äàæå
íà÷àë ïåðåáðàñûâàòü ÷åðåç øêîëüíûé êîìïüþòåð
ôîðìóëû íà äîñêó è ñòåíû.
– Äîñòàòî÷íî, äîñòàòî÷íî! – Ïðîôåññîð ïîäíÿë
ëàäîíè ïåðåä ñîáîé. – ß âåðþ, ÷òî âû çíàåòå, êàê âñå
ýòî âûâîäèòñÿ, èíà÷å áû âû çäåñü íå ñèäåëè, – è
ïðîôåññîð îïÿòü ïëîòîÿäíî óëûáíóëñÿ. – Íî ñàìûå
âíèìàòåëüíûå èç âàñ ìîãëè çàìåòèòü, ÷òî ÿ çàäàë
íåñêîëüêî èíîé âîïðîñ: êòî ìîæåò ÎÁÚßÑÍÈÒÜ, ïî÷åìó óñêîðåííî äâèæóùèéñÿ çàðÿä èçëó÷àåò? Äîñòóïíî,
ïî ðàáî÷å-êðåñòüÿíñêè?
– Ïî ðàáî÷å-êàê?.. – ñêðèâèë ãóáû íå ïîâåðèâøèé
ñâîèì óøàì ïðèíö Äèòáèò.
Óëûáêà ñïîëçëà ñ ëèöà ïðîôåññîðà. Îêàçûâàåòñÿ, îí
è áåç äåðåâÿííîé êëþêè ìîã âûãëÿäåòü âåñüìà ãðîçíî.
– Êðåñòüÿíñêè! – ñ íàæèìîì ïîâòîðèë Âàí-Òåëëåð,
âïåðèâ â ïðèíöà òàêîé òÿæåëûé âçãëÿä, ÷òî ñ òîãî
1 Îá
ýòîì óäèâèòåëüíîì êîëëåäæå ìîæíî óçíàòü èç êíèãè
Í.Ãîðüêàâîãî «Àñòðîâèòÿíêà» (Ì.: ÀÑÒ, 2011). (Ïðèì. ðåä.)
ìèãîì ñëåòåëî ïðîöåíòîâ òðèäöàòü îáû÷íîé íàãëîñòè.
Ñêâîçü èñòîí÷èâøóþñÿ îáîëî÷êó íàñëåäíûé îòïðûñê
äèíàñòèè Äèòáèòîâ ïî÷óâñòâîâàë áóðàâÿùèå âçãëÿäû
ñâîèõ ïîäïåâàë, ÿñíåå âñÿêèõ ñëîâ ãîâîðèâøèå: «Óñòóïèøü – çíà÷èò ñëàáàê!»
Íåèçâåñòíî, ÷åì áû âñå ýòî êîí÷èëîñü, åñëè áû â òîò
æå ìîìåíò âåñü îñòàëüíîé êëàññ íå ïîâåðíóëñÿ, áóäòî
ïî êîìàíäå, óêàçûâàÿ íà äåâî÷êó ñ õð&oacute