ÈÞÍÜ ÍÀÓ×ÍÎ-ÏÎÏÓËßÐÍÛÉ 2014 ÌÀÉ Þ ¹3 ÔÈÇÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÆÓÐÍÀË ÈÇÄÀÅÒÑß Ñ ßÍÂÀÐß 1970 ÃÎÄÀ  íîìåðå: ! Ðåêîíñòðóêöèÿ ãåíîìà: ãîëîâîëîìêà èç ìèëëèàðäà êóñî÷êîâ. Ô.Êîìïî, Ï.Ïåâçíåð Î÷åðê èñòîðèè èññëåäîâàíèé íåéòðèíî (îêîí÷àíèå). Þ.Ãàïîíîâ ' ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ» Çàäà÷è Ì2341Ì2348, Ô2348Ô2354 Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2326Ì2333, Ô2333Ô2339 Ó×ÐÅÄÈÒÅËÜ Ðîññèéñêàÿ àêàäåìèÿ íàóê ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ À.Ë.Ñåìåíîâ ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß Í.Í.Àíäðååâ, À.ß.Áåëîâ, Ê.Þ.Áîãäàíîâ, Þ.Ì.Áðóê, À.À.Âàðëàìîâ, Ñ.Ä.Âàðëàìîâ, À.Í.Âèëåíêèí, Â.È.Ãîëóáåâ, Í.Ï.Äîëáèëèí, Ñ.À.Äîðè÷åíêî, Â.Í.Äóáðîâñêèé, À.À.Åãîðîâ, À.À.Çàñëàâñêèé, Ï.À.Êîæåâíèêîâ (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî ðåäàêòîðà), Ñ.Ï.Êîíîâàëîâ, À.À.Ëåîíîâè÷, Þ.Ï.Ëûñîâ, Â.Â.Ïðîèçâîëîâ, Â.Þ.Ïðîòàñîâ, Í.Õ.Ðîçîâ, À.Á.Ñîñèíñêèé, À.Ë.Ñòàñåíêî, Â.Ã.Ñóðäèí, Â.Ì.Òèõîìèðîâ, Â.À.Òèõîìèðîâà, À.È.×åðíîóöàí (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî % & «ÊÂÀÍÒ» ÄËß ÌËÀÄØÈÕ ØÊÎËÜÍÈÊΠÇàäà÷è Ýëåêòðîìàãíèòíîå èçëó÷åíèå íà ïàëüöàõ. Â.Ñûùåíêî ! !$ Ñâåðõçâóêîâûå àâòîáóñû, ëîäêè è... äåðåâüÿ. Å.Ñîêîëîâ Ñèðåíåâûé òóìàí... À.Ñòàñåíêî ! ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ «ÊÂÀÍÒÀ» Ñèëû èíåðöèè !% ÍÀØÀ ÎÁËÎÆÊÀ Êàê Àðõèìåä âçâåñèë ïàðàáîëó? !& " ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ Åùå ðàç î òî÷êå Òîððè÷åëëè. Ë.Ðàäçèâèëîâñêèé Ñíîâà î ðûöàðÿõ è ëæåöàõ. Ë.Áîéêî, Ì.Áîéêî "# ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ Ïàðû. Âëàæíîñòü. À.×åðíîóöàí "' ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß Çàî÷íàÿ øêîëà ÑÓÍÖ ÍÃÓ # #$ ÎËÈÌÏÈÀÄÛ XXII Ìåæäóíàðîäíàÿ îëèìïèàäà «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí» Âñåðîññèéñêàÿ ñòóäåí÷åñêàÿ îëèìïèàäà ïî ôèçèêå 2014 ãîäà #% Îòâåòû, óêàçàíèÿ, ðåøåíèÿ ðåäàêòîðà) ØÊÎËÀ  «ÊÂÀÍÒÅ» ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÛÉ ÑÎÂÅÒ À.Â.Àíäæàíñ, Ì.È.Áàøìàêîâ, Â.È.Áåðíèê, Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, À.À.Áîðîâîé, Í.Í.Êîíñòàíòèíîâ, Ã.Ë.Êîòêèí, Ñ.Ï.Íîâèêîâ, Ë.Ä.Ôàääååâ ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß 1970 ÃÎÄÀ ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ È.Ê.Êèêîèí ÏÅÐÂÛÉ ÇÀÌÅÑÒÈÒÅËÜ ÃËÀÂÍÎÃÎ ÐÅÄÀÊÒÎÐÀ À.Í.Êîëìîãîðîâ Ë.À.Àðöèìîâè÷, Ì.È.Áàøìàêîâ, Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, È.Í.Áðîíøòåéí, Í.Á.Âàñèëüåâ, È.Ô.Ãèíçáóðã, Â.Ã.Çóáîâ, Ï.Ë.Êàïèöà, Â.À.Êèðèëëèí, Ã.È.Êîñîóðîâ, Â.À.Ëåøêîâöåâ, Â.Ï.Ëèøåâñêèé, À.È. Ìàðêóøåâè÷, Ì.Ä.Ìèëëèîíùèêîâ, Í.À.Ïàòðèêååâà, Í.Õ.Ðîçîâ, À.Ï.Ñàâèí, È.Ø.Ñëîáîäåöêèé, Ì.Ë.Ñìîëÿíñêèé, ß.À.Ñìîðîäèíñêèé, Â.À.Ôàáðèêàíò, ß.Å.Øíàéäåð ÍÀ ÎÁËÎÆÊÅ I II III IV Èëëþñòðàöèÿ ê ñòàòüå Þ.Ãàïîíîâà Êîëëåêöèÿ ãîëîâîëîìîê Øàõìàòíàÿ ñòðàíè÷êà Ïðîãóëêè ñ ôèçèêîé ÊÂÀÍT 2014/¹3 Ðåêîíñòðóêöèÿ ãåíîìà: ãîëîâîëîìêà èç ìèëëèàðäà êóñî÷êîâ Ô.ÊÎÌÏÎ, Ï.ÏÅÂÇÍÅÐ Ñ ÎÂÐÅÌÅÍÍÀß ÁÈÎËÎÃÈß ÅÙÅ ÍÅ ÍÀÓ×ÈËÀÑÜ ÷èòàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íóêëåîòèäîâ â áîëüøèõ ìîëåêóëàõ ÄÍÊ áóêâó çà áóêâîé. Âìåñòî ýòîãî ó÷åíûå ðàñøèôðîâûâàþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîðîòêèõ (äëèíîé ïðèìåðíî 100300 íóêëåîòèäîâ) êóñî÷êîâ ÄÍÊ, íàçûâàåìûõ ðèäàìè, íå èìåÿ íè ìàëåéøåãî ïðåäñòàâëåíèÿ, èç êàêîãî ìåñòà ãåíîìà áûë âûðåçàí êàæäûé êóñî÷åê. Ïðîöåññ ñáîðêè ãåíîìà èç òàêèõ ðèäîâ, íàçûâàåìûé ïî-íàó÷íîìó ñåêâåíèðîâàíèåì ÄÍÊ, ñðîäíè ïîïûòêå ñîáðàòü ãîëîâîëîìêó èç ìèëëèàðäà êóñî÷êîâ. Ýòî ñåðüåçíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàäà÷à, è ìû ðàññêàæåì óâëåêàòåëüíóþ èñòîðèþ åå ìàòåìàòè÷åñêîãî è áèîëîãè÷åñêîãî àñïåêòîâ. Ñåêâåíèðîâàíèå ÄÍÊ ââåäåíèå Ñåêâåíèðîâàíèå ÄÍÊ è çàäà÷à î ïåðåêðûâàþùèõñÿ êóñî÷êàõ Ïðåäñòàâüòå, ÷òî öåëûé òèðàæ êàêîé-òî ãàçåòû ëåæàë â îäíîì ÿùèêå, à ïîòîì ýòîò ÿùèê âçîðâàëñÿ. Äîïóñòèì, ÷òî ãàçåòû íå ñãîðåëè, êàê ýòî ñëó÷èëîñü áû â ðåàëüíîé æèçíè, à ðàçëåòåëèñü íà ìàëåíüêèå êóñî÷êè íàïîäîáèå êîíôåòòè (ðèñ.1). Åñòåñòâåííûé âîïðîñ: ìîæíî ëè ïî ýòèì îáðûâêàì âîññòàíîâèòü òî, ÷òî áûëî íàïèñàíî â ãàçåòå? Çàäà÷à èíòåðåñíåå, ÷åì ìîæåò ïîêàçàòüñÿ íà ïåðâûé âçãëÿä, îíà íå ñâîäèòñÿ ëèøü ê ñêëåèâàíèþ îáðûâêîâ äðóã ñ äðóãîì, êàê áóäòî ýòî áûëè êóñî÷êè ïàçëà. Âîïåðâûõ, ìû âïîëíå ìîãëè ïîòåðÿòü ÷àñòü îáðûâêîâ. Âîâòîðûõ, â ñóíäóêå áûëî ìíîãî ýêçåìïëÿðîâ ãàçåòû, è ïîýòîìó êàêèå-òî îáðûâêè ìîãóò ïåðåêðûâàòüñÿ ìåæäó ñîáîé è ñîäåðæàòü êóñêè îäíèõ è òåõ æå ôðàç. Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷ó î âîññòàíîâëåíèè ãàçåòû ìîæíî íàçâàòü çàäà÷åé î ïåðåêðûâàþùèõñÿ êóñî÷êàõ. Õîòü íàøà àíàëîãèÿ ñ îáðûâêàìè ãàçåò íåñêîëüêî ïðèòÿíóòà çà óøè, çàäà÷à âîññòàíîâëåíèÿ òåêñòà ãàçåòû ïî ñâîåé ñóòè àíàëîãè÷íà çàäà÷å ñáîðêè ÄÍÊ èç ôðàãìåíòîâ. Íàïîìíèì, ÷òî ÄÍÊ ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå êàê öåïî÷êó èç çâåíüåâ (íóêëåîòèäîâ) ÷åòûðåõ òèïîâ, îáîçíà÷àåìûõ áóêâàìè À, Ò, à è Ö. Ê ñîæàëåíèþ, òåõíîëîãèÿ, êîòîðàÿ ïîçâîëèëà áû íàì ÷èòàòü öåëûé ãåíîì ïîñëåäîâàòåëüíî, íóêëåîòèä çà íóêëåîòèäîì, åùå íå ïðèäóìàíà. Òåì íå ìåíåå, ó÷åíûå íàó÷èëèñü îïðåäåëÿòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íóêëåîòèäîâ â êîðîòêèõ êóñî÷êàõ ÄÍÊ. Íà äàííûé ìîìåíò ñàìûå ðàñïðîñòðàíåííûå òåõíîëîãèè èìåþò äåëî ñ ðèäàìè äëèíîé âñåãî ëèøü 100300 íóêëåîòèäîâ (ðèñ.2). Ïðî÷èòûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ðèäîâ èç íåñêîëüêèõ êîïèé îäíîãî ãåíîìà, è ïîëó÷àåòñÿ ãèãàíòñêèé ïàçë (â êîòîðîì êóñî÷êè ìîãóò ïåðåêðûâàòüñÿ). Íàïðèìåð, ãåíîì ìëåêîïèòàþùåãî äëèíîé â 3 ìèëëèàðäà íóêëåîòèäîâ ïîòðåáóåò ñáîðêè ïàçëà èç ìèëëèàðäà êóñî÷êîâ êàæåòñÿ, ýòî ðåêîðä äëÿ ãîëîâîëîìîê òàêîãî ðîäà. Ðèñ.1. Ïîñëå âçðûâà ÿùèêà ñ ãàçåòàìè îò íèõ îñòàíåòñÿ ëèøü êó÷à îáðûâêîâ. Ìîæíî ëè ïî íèì âîññòàíîâèòü ñîäåðæàíèå ãàçåòû? Ïåðåâîä ñòàòüè ñ àíãëèéñêîãî Ä.Âèíîãðàäîâà. Ðèñ.2. Ïðè ñåêâåíèðîâàíèè ÄÍÊ ìíîãî÷èñëåííûå (îáû÷íî èõ áîëüøå ìèëëèàðäà) êîïèè ýòîé ìîëåêóëû «ðâóòñÿ» â ñëó÷àéíûõ ìåñòàõ, ÷òîáû ïîëó÷èëèñü ãîðàçäî áîëåå êîðîòêèå ðèäû ÐÅÊÎÍÑÒÐÓÊÖÈß ÃÅÍÎÌÀ: Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñåêâåíèðîâàíèÿ ãåíîìà ñâîäèòñÿ ê ÷òåíèþ (ò.å. îïðåäåëåíèþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè) ðèäîâ (áèîëîãè÷åñêàÿ ÷àñòü) è ñáîðêå ôðàãìåíòîâ (ìàòåìàòè÷åñêàÿ ÷àñòü). Ïåðâàÿ çàäà÷à âåäåò ñâîþ äîëãóþ è çàïóòàííóþ èñòîðèþ ñ 70-õ ãîäîâ, êîãäà Óîëòåð Ãèëáåðò (Walter Hilbert) è Ôðåä Ñýíãåð (Fred Sanger) ïîëó÷èëè Íîáåëåâñêóþ ïðåìèþ çà èçîáðåòåíèå ïåðâîãî ìåòîäà ÷òåíèÿ ðèäîâ.  íà÷àëå 1990-õ íà ðûíêå ïîÿâèëèñü ñîâðåìåííûå ñåêâåíàòîðû (ìàøèíû äëÿ îïðåäåëåíèÿ êóñî÷êîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÄÍÊ), è ñ ýòîãî ìîìåíòà äëÿ çàäà÷è ñåêâåíèðîâàíèÿ íà÷àëàñü íîâàÿ ýðà.  2000 ãîäó íåñêîëüêî ñîòåí òàêèõ ìàøèí, ðàáîòàÿ áåç îñòàíîâêè áîëåå ãîäà, ïðî÷èòàëè äîñòàòî÷íî áîëüøîå ÷èñëî ðèäîâ, ÷òîáû óäàëîñü âîçìîæíî îïðåäåëèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ãåíîìà ÷åëîâåêà. Ñáîðêà ýòîãî ãåíîìà ïîòðåáîâàëà íåñêîëüêèõ ìåñÿöåâ ðàáîòû îäíèõ èç ñàìûõ ïðîèçâîäèòåëüíûõ ñóïåðêîìïüþòåðîâ òîãî âðåìåíè. Ñëîæíîñòè ñáîðêè ôðàãìåíòîâ ÃÎËÎÂÎËÎÌÊÀ ÈÇ ÌÈËËÈÀÐÄÀ ÊÓÑÎ×ÊΠ! Ðèñ.3. à) Ïðè âîññòàíîâëåíèè ãàçåòû ïîìîãàþò ëîãè÷åñêèå ñâÿçè ìåæäó ñëîâàìè: õîòÿ ýòè äâà îáðûâêà è íå ïåðåñåêàþòñÿ, ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî îíè äîëæíû áûòü ðàñïîëîæåíû áëèçêî äðóã ê äðóãó, ïîòîìó ÷òî ñëîâà «murder» («óáèéñòâî») è «suspect» («ïîäîçðåâàåìûé») ñâÿçàíû ïî ñìûñëó. á)  ýòîì ñëó÷àå êóñî÷êè «oz» è «zone» ñêîðåå âñåãî ÿâëÿþòñÿ ÷àñòÿìè ñëîâà «ozone» («îçîí»), è ìîæíî ýòè äâà îáðûâêà ñêëåèòü, äàæå íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî îíè ïåðåñåêàþòñÿ âñåãî ïî îäíîé áóêâå.  çàäà÷å ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ, ãäå â àëôàâèòå âñåãî 4 áóêâû, òàêèõ ïîäñêàçîê íå áóäåò ïðàâèëà ýòîãî «ÿçûêà» íàì ïîêà ïî÷òè íå èçâåñòíû. â) Ïîâòîðÿþùèåñÿ ôðàãìåíòû óñëîæíÿþò çàäà÷ó, êàê âèäíî íà ïðèìåðå ãîëîâîëîìêè «Triazzle», â êîòîðîé êàæäàÿ ðûáêà âñòðå÷àåòñÿ íå ìåíüøå òðåõ ðàç. ã) Ñåêâåíàòîðû ÄÍÊ íå èäåàëüíû: çäåñü êðàñíûé íóêëåîòèä «Ò» áûë îïðåäåëåí íåïðàâèëüíî, è íà ñàìîì äåëå íà åãî ìåñòå äîëæåí áûòü «Ö». Îøèáêà âñåãî â îäíîì íóêëåîòèäå ìîæåò ïðèâåñòè ê òîìó, ÷òî ìû áóäåì ñ÷èòàòü äâà ðèäà ïåðåñåêàþùèìèñÿ, õîòÿ íà ñàìîì äåëå îíè òàêîâûìè íå ÿâëÿþòñÿ ×óòü ïîçæå ìû äîñòàòî÷íî ïîäðîáíî ðàññêàæåì î òîì, êàê ÷èòàþò ðèäû, à ïîêà îñòàíîâèìñÿ íà âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷å ñáîðêè ôðàãìåíòîâ êàê, èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå ðèäû, îïðåäåëèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âñåãî ãåíîìà. Õîòÿ è âîññòàíîâëåíèå ãàçåòû, è ñáîðêà ôðàãìåíòîâ ñâîäÿòñÿ ê ñêëàäûâàíèÿ ïàçëà, çàäà÷à ñáîðêè çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå, è íå òîëüêî èç-çà ñâîåãî ãèãàíòñêîãî ìàñøòàáà (íàïîìíèì, ÷òî íàì ìîæåò ïîòðåáîâàòüñÿ îáðàáîòàòü ìèëëèàðä ðèäîâ). Âî-ïåðâûõ, ãàçåòà íàïèñàíà íà íåêîòîðîì ïîíÿòíîì ÿçûêå. Åãî ïðàâèëà áóäóò ïîäñêàçûâàòü íàì, ìîãóò ëè êàêèå-òî äâà îòðûâêà íàõîäèòüñÿ ðÿäîì, âíå çàâèñèìîñòè îò òîãî, ïåðåêðûâàþòñÿ îíè èëè íåò (ðèñ.3,à).  òî æå âðåìÿ ïðàâèëà «ÿçûêà» ÄÍÊ ïî áîëüøåé ÷àñòè íåèçâåñòíû áèîëîãàì, è èñõîäÿ èç îäíîé òîëüêî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî ïîíÿòü, ìîãóò ëè äâà íåïåðåñåêàþùèõñÿ ðèäà ðàñïîëàãàòüñÿ áëèçêî èëè äàëåêî äðóã îò äðóãà. Âòîðàÿ ñëîæíîñòü ñáîðêè ôðàãìåíòîâ ñîñòîèò â òîì, ÷òî àëôàâèò ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ÄÍÊ ñîñòîèò âñåãî èç 4 áóêâ: À, Ò, à è Ö. Ðàáîòà ñ ìàëåíüêèì àëôàâèòîì óñëîæíÿåò âîññòàíîâëåíèå èñõîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ïîñêîëüêó áîëüøåå êîëè÷åñòâî ïåðåñå÷åíèé áóäåò âûçâàíî ñëó÷àéíûìè ïðè÷èíàìè (ðèñ.3,á). Â-òðåòüèõ, ëþáàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÄÍÊ ñîäåðæèò ìíîæåñòâî «êîíñåðâàòèâíûõ ó÷àñòêîâ» íóêëåîòèäíûõ «ñëîâ», êîòîðûå ïîâòîðÿþòñÿ ìíîãî ðàç ïîäðÿä ïðàêòè÷åñêè áåç èçìåíåíèé. Íàïðèìåð, â ãåíîìå ÷åëîâåêà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òàê íàçûâàåìîãî Aluïîâòîðà (äëèíîé ïðèìåðíî 300 íóêëåîòèäîâ) âñòðå÷àåòñÿ ñâûøå ìèëëèîíà ðàç, ïðè÷åì â êàæäîì âõîæäåíèè èçìåíåíû âñåãî íåñêîëüêî íóêëåîòèäîâ. Ïîýòîìó äëÿ êîíêðåòíîãî ôðàãìåíòà áûâàåò òðóäíî îïðåäåëèòü, â êàêîì èìåííî êîíñåðâàòèâíîì ó÷àñòêå ãåíîìà îí íàõîäèòñÿ. Ïîäõîäÿùåé èëëþñòðàöèåé ýòîãî çàòðóäíåíèÿ ìîæåò áûòü ïîïóëÿðíàÿ êîãäà-òî â ÑØÀ ãîëîâîëîìêà «Triazzle». Õîòÿ ïî ñóòè ýòî îáû÷íûé ïàçë âñåãî èç 16 êóñî÷êîâ, èñõîäíîå èçîáðàæåíèå ñîäåðæèò ìíîãî îäèíàêîâûõ ôèãóðîê, ïîâòîðÿþùèõñÿ íà ìíîãèõ êóñî÷êàõ, èç-çà ÷åãî ñîáðàòü «Triazzle» ñóùåñòâåííî ñëîæíåå, ÷åì îáû÷íûé ïàçë (ðèñ.3,â) Íàêîíåö, ñîâðåìåííûå ñåêâåíàòîðû äàëåêî íå ñîâåðøåííû, è ñ÷èòûâàåìûå èìè ðèäû ñîäåðæàò ìíîãî îøèáîê. Ïîýòîìó, íàïðèìåð, äâà ðèäà, íàõîäèâøèåñÿ â ãåíîìå äàëåêî äðóã îò äðóãà, ìîãóò áûòü â ðåçóëüòàòå îøèáêè èíòåðïðåòèðîâàíû êàê ïåðåñåêàþùèåñÿ (ðèñ.3,ã). Òåïåðü, êîãäà ìû âûÿñíèëè, êàêèå òðóäíîñòè ñâÿçàíû ñ ïðîöåññîì ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ, ìîæíî ðàññêàçàòü î ìàòåìàòè÷åñêîì àïïàðàòå, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî ìîæíî ïîäîéòè ê çàäà÷å ñáîðêè ôðàãìåíòîâ. Ìàòåìàòèêà ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ Èñòîðè÷åñêèé ýêñêóðñ Ïåðåä òåì êàê ïåðåéòè íåïîñðåäñòâåííî ê ìàòåìàòèêå, äàâàéòå íåìíîãî îòâëå÷åìñÿ, ÷òîáû ëó÷øå ïðåäñòàâèòü èñòîðè÷åñêèé êîíòåêñò. Íà÷íåì ñ XVIII âåêà è ïðóññêîãî ãîðîäà Êåíèãñáåðãà (â íàñòîÿùåå âðåìÿ " ÊÂÀÍT 2014/¹3 Êàëèíèãðàä). Êåíèãñáåðã ðàñïîëàãàëñÿ òîãäà íà äâóõ áåðåãàõ ðåêè Ïðåãîëè è äâóõ åå îñòðîâàõ. Ýòè ÷åòûðå ÷àñòè ãîðîäà ñîåäèíÿëèñü ìåæäó ñîáîé ñåìüþ ìîñòàìè (ðèñ.4,à). Æèòåëè Êåíèãñáåðãà ëþáèëè ïðîãóëèâàòüñÿ, è èì ñòàëî ëþáîïûòíî: ìîæíî ëè ïðîéòè ïî êàæäîìó èç ñåìè ìîñòîâ ðîâíî îäèí ðàç è âåðíóòüñÿ ïîñëå ýòîãî â èñõîäíóþ òî÷êó? Ýòîò âîïðîñ ñòàëè íàçûâàòü «çàäà÷åé î Êåíèãñáåðñêèõ ìîñòàõ». Îêîí÷àòåëüíûé îòâåò íà íåãî äàë â 1735 ãîäó âåëèêèé ìàòåìàòèê Ëåîíàðä Ýéëåð (åãî ïîðòðåò ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 14). Ðåøåíèå Ýéëåðà, êîòîðîå ìû îáñóäèì ÷óòü íèæå, î÷åíü ëþáîïûòíî, ïîòîìó ÷òî åãî ìîæíî ïðèìåíèòü íå òîëüêî ê ìîñòàì Êåíèãñáåðãà, íî è ê ëþáîé äðóãîé ñåòè ìîñòîâ. Âòîðàÿ èñòîðèÿ ñëó÷èëàñü â Äóáëèíå, ãäå â 1857 ãîäó èðëàíäñêèé ìàòåìàòèê Óèëüÿì Ãàìèëüòîí (åãî ïîðòðåò ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 14) èçîáðåë «Èêîñàýäðè÷åñêóþ 1 èãðó». Ýòà «èãðà», íàñëàæäàòüñÿ êîòîðîé äîâîëüíî íåïðîñòî äàæå ïî ñîâðåìåííûì ìåðêàì, ñîñòîÿëà èç äåðåâÿííîé äîñêè ñ 20 ëóíêàìè, íåêîòîðûå èç êîòîðûõ áûëè ñîåäèíåíû ìåæäó ñîáîé ëèíèÿìè, è 20 ïðîíóìåðîâàííûõ ôèøåê, êîòîðûå ìîæíî áûëî âñòàâëÿòü â ýòè ëóíêè (ðèñ.5,à). Öåëü èãðû çàêëþ÷àëàñü â ñëåäóþùåì: êîé 1. Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè áû ìû øëè ïî ëèíèÿì îò ôèøêè ê ôèøêå â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ íîìåðîâ, òî ìû ïîáûâàëè áû ó êàæäîé ôèøêè ðîâíî îäèí ðàç è â êîíöå âåðíóëèñü áû ê èñõîäíîé. Ãðàôû Çàêîí÷èâ ñ èñòîðè÷åñêèì ýêñêóðñîì, ïåðåéäåì ê îïðåäåëåíèÿì. Íàçîâåì ãðàôîì íàáîð âåðøèí, ñîåäèíåííûõ ðåáðàìè, ãäå êàæäîå ðåáðî ñâÿçûâàåò äâå âåðøèíû. Àáñòðàêòíîñòü ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ìîæåò íåñêîëüêî îòïóãíóòü, ïîýòîìó ïîÿñíèì, ÷òî ãðàô âñåãäà ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå êàê êàðòó äîðîæíîé ñåòè, ãäå ãîðîäà ýòî âåðøèíû, à äîðîãè, èõ ñîåäèíÿþùèå, ðåáðà. Òåîðèÿ ãðàôîâ (îáëàñòü ìàòåìàòèêè, çàíèìàþùàÿñÿ èçó÷åíèåì ãðàôîâ) ïðèìåíèìà êî ìíîãèì òèïàì çàäà÷. Ïðèëîæåíèÿ ýòîé òåîðèè âêëþ÷àþò â ñåáÿ íå òîëüêî äîðîæíûå è òåëåôîííûå èëè êîìïüþòåðíûå ñåòè, íî è ìåíåå î÷åâèäíûå ïðèìåðû, òàêèå êàê èçó÷åíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýïèäåìèé èëè ìîäåëèðîâàíèå ññûëîê ìåæäó web-ñòðàíèöàìè â èíòåðíåòå.  ÷àñòíîñòè, ìû ìîæåì ïðèìåíèòü òåîðèþ ãðàôîâ è ê äâóì íàøèì èñòîðè÷åñêèì çàäà÷àì.  çàäà÷å î Êåíèãñáåðñêèõ ìîñòàõ ìû ïîëó÷èì ãðàô K, åñëè ñîïîñòàâèì êàæäîé èç ÷åòûðåõ ÷àñòåé ãîðîäà ïî âåðøèíå, à çàòåì ïðîâåäåì ìåæäó äâóìÿ òàêèìè âåðøèíàìè ïî îäíîìó ðåáðó äëÿ êàæäîãî ìîñòà, êîòîðûé ñâÿçûâàåò äâå ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòè ãîðîäà (ðèñ.4,á). À äëÿ «Èêîñàýäðè÷åñêîé èãðû» ìû ïîñòðîèì ãðàô I, ñîïîñòàâèâ êàæäîé ëóíêå âåðøèíó è ïðåâðàòèâ ñîåäèíÿþùèå èõ ëèíèè â ñîîòâåòñòâóþùèå ðåáðà (ðèñ.5,á). Ðèñ.4. à) Ñòàðûé Êåíèãñáåðã, èëëþñòðàöèÿ Éîàõèìà Áåðèíãà, 1613 ã. á) «Ãðàô ìîñòîâ Êåíèãñáåðãà», êîòîðûé ïîëó÷àåòñÿ, åñëè ñæàòü êàæäûé îñòðîâ â òî÷êó, à ìîñòû èçîáðàçèòü ëèíèÿìè Ðèñ.5. à) «Èêîñàýäðè÷åñêàÿ èãðà». á) Ñîîòâåòñòâóþùèé ãðàô ðàññòàâèòü ôèøêè ïî ëóíêàì òàê, ÷òîáû ôèøêà 1 áûëà ñîåäèíåíà íà äîñêå ëèíèåé ñ ôèøêîé 2, òà, â ñâîþ î÷åðåäü, ñîåäèíÿëàñü ñ ôèøêîé 3, è òàê äàëåå âïëîòü äî ôèøêè 20, êîòîðàÿ äîëæíà áûòü ñâÿçàíà ñ ôèø1 Èíòåðåñíî, ÷òî õîòü èãðà è íàçûâàåòñÿ èêîñàýäðè÷åñêîé, â äåéñòâèòåëüíîñòè â íåé ïðèõîäèòñÿ ñîâåðøàòü îáõîä ðåáåð äîäåêàýäðà. Ýéëåðîâû è ãàìèëüòîíîâû öèêëû Òåïåðü ìû îáîáùèì äâå íàøè èñòîðè÷åñêèå çàäà÷è íà âñå âîçìîæíûå ãðàôû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ó íàñ åñòü íåêèé ãðàô, êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì G, è ïðåäñòàâèì, ÷òî íà êàêîé-òî âåðøèíå â G ñèäèò ìóðàâåé. Òàê æå, êàê æèòåëè Êåíèãñáåðãà, õîäèâøèå ïî ìîñòàì ìåæäó ðàçíûìè ÷àñòÿìè ãîðîäà, ìóðàâåé ìîæåò ïîëçàòü ïî ðåáðàì îò âåðøèíû ê âåðøèíå. Åñëè ìóðàâåé âåðíóëñÿ òóäà, îòêóäà íà÷àë, ðåçóëüòàòîì åãî ïðîãóëêè áóäåò öèêë íà G. Ìû çàäàäèìñÿ äâóìÿ âîïðîñàìè î öèêëàõ íà G: 1. Ñóùåñòâóåò ëè öèêë íà G, ïðè êîòîðîì ìóðàâåé ïðîïîëçåò ïî êàæäîìó ðåáðó â òî÷íîñòè îäèí ðàç? 2. Ñóùåñòâóåò ëè öèêë íà G, ïðè êîòîðîì ìóðàâåé ïîáûâàåò â êàæäîé âåðøèíå ðîâíî îäèí ðàç? Ïåðâûé âîïðîñ íàçûâàåòñÿ Çàäà÷åé ýéëåðîâà öèêëà (ÇÝÖ) çàìåòüòå, ÷òî ðåøåíèå ÇÝÖ â òîì ñëó÷àå, êîãäà íàøèì ãðàôîì ÿâëÿåòñÿ K, ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèþ çàäà÷è î Êåíèãñáåðñêèõ ìîñòàõ. Ïîýòîìó ìû îïðåäåëèì ýéëåðîâ öèêë íà ãðàôå G êàê öèêë íà G, ÐÅÊÎÍÑÒÐÓÊÖÈß ÃÅÍÎÌÀ: ÃÎËÎÂÎËÎÌÊÀ êîòîðûé ïðîõîäèò ïî êàæäîìó ðåáðó â G ðîâíî îäèí ðàç. Âòîðîé âîïðîñ íàçûâàåòñÿ Çàäà÷åé ãàìèëüòîíîâà öèêëà (ÇÃÖ), ïîòîìó ÷òî âûèãðûø â ãàìèëüòîíîâîé «Èêîñàýäðè÷åñêîé èãðå» áóäåò ïî ñóòè ðåøåíèåì ÇÃÖ äëÿ ãðàôà I (ðèñ.6). Àíàëîãè÷íî, ãàìèëüòîíîâ öèêë â ãðàôå G ýòî öèêë íà G, êîòîðûé ïðîõîäèò ÷åðåç êàæäóþ âåðøèíó îäèí è òîëüêî îäèí ðàç. Íàêîíåö ìû îïðåäåëèì ñâÿçíûé ãðàô êàê òàêîé, â êîòîðîì ìóðàâåé, íà÷àâ äâèæåíèå íà ïðîèçâîëüíîé âåðøèíå, ìîæåò äîñòèãíóòü Ðèñ.6. Ïðèìåð ãàìèëüòîíîâà ëþáîé äðóãîé âåðøèíû ïî öèêëà â «Èêîñàýäðè÷åñêîé ðåáðàì ãðàôà. Äëÿ íàøèõ èãðå» öåëåé èìååò ñìûñë èçó÷àòü ÇÝÖ è ÇÃÖ òîëüêî äëÿ ñâÿçíûõ ãðàôîâ. Âåäü ãðàô, íå ÿâëÿþùèéñÿ ñâÿçíûì, àâòîìàòè÷åñêè íå ñîäåðæèò íè ýéëåðîâà, íè ãàìèëüòîíîâà öèêëà. Ïîýòîìó â ýòîì ðàçäåëå êàæäûé ãðàô áóäåò ïîäðàçóìåâàòüñÿ ñâÿçíûì. Òåîðåìà Ýéëåðà ÈÇ ÌÈËËÈÀÐÄÀ ÊÓÑÎ×ÊΠ# Êàê ïîíèìàòü òî, ÷òî äâà óòâåðæäåíèÿ ðàâíîñèëüíû? Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè îäíî óòâåðæäåíèå âåðíî, òî è äðóãîå îáÿçàòåëüíî òîæå âåðíî, è íàîáîðîò. Ðàâíîñèëüíîñòü óòâåðæäåíèé î ñòåïåíÿõ âåðøèí è ñóùåñòâîâàíèè ýéëåðîâà öèêëà ÿâëÿåòñÿ î÷åíü ìîùíûì ðåçóëüòàòîì, ïîòîìó ÷òî ñ åãî ïîìîùüþ äëÿ ëþáîãî ãðàôà G ìû ñìîæåì îïðåäåëèòü, åñòü ëè ó G ýéëåðîâ öèêë, íå ïåðåáèðàÿ âñå öèêëû. Âìåñòî ýòîãî äîñòàòî÷íî áóäåò ïðîâåðèòü ñòåïåíü êàæäîé âåðøèíû, à ýòî äîâîëüíî ëåãêàÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ çàäà÷à äàæå äëÿ áîëüøîãî ãðàôà. Çàìåòèì, ÷òî ïðèìåíåíèå òåîðåìû Ýéëåðà íåìåäëåííî äàåò ðåøåíèå çàäà÷è î Êåíèãáåðñêèõ ìîñòàõ. Ìû óæå ïîêàçàëè âûøå, ÷òî íå ó êàæäîé âåðøèíû K ÷åòíàÿ ñòåïåíü. Ïîýòîìó K íå ñîäåðæèò ýéëåðîâà öèêëà, è ìàðøðóò, î êîòîðîì ìå÷òàëè ãðàæäàíå Êåíèãñáåðãà, íå ñóùåñòâóåò. Ñ XVII âåêà â ïëàíèðîâêå Êåíèãñáåðãà ìíîãîå èçìåíèëîñü, íî îêàçûâàåòñÿ, ÷òî àíàëîãè÷íûé ãðàô, íàðèñîâàííûé äëÿ ñîâðåìåííîãî ãîðîäà Êàëèíèíãðàäà, òîæå íå ñîäåðæèò ýéëåðîâà öèêëà (ðèñ.7); îäíàêî, òåïåðü â ýòîì ãðàôå åñòü ýéëåðîâ ïóòü, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî îáèòàòåëü Êàëèíèíãðàäà ìîæåò ïðîéòèñü ïî êàæäîìó ìîñòó â òî÷íîñòè îäèí ðàç, íî íå ìîæåò ïðè ýòîì âåðíóòüñÿ òóäà, îòêóäà íà÷àë. Òàêèì îáðàçîì, æèòåëè Êàëèíèíãðàäà íàêîíåö-òî äîñòèãëè, ïî êðàéíåé ìåðå, ÷àñòè÷íî, öåëè æèòåëåé Êåíèãñáåðãà. Ïðàâäà, ñåé÷àñ Ïåðåõîä îò êîíêðåòíûõ èñòîðè÷åñêèõ ïðèìåðîâ ê îáùèì âîïðîñàì î ïðîèçâîëüíûõ ãðàôàõ î÷åíü ïîìîæåò íàì â äàëüíåéøåì èçëîæåíèè. Õîòÿ ÇÝÖ è ÇÃÖ íà ïåðâûé âçãëÿä êàæóòñÿ ïîõîæèìè, ñïåöèàëèñòû â îáëàñòè òåîðèè àëãîðèòìîâ âñêîðå îáíàðóæèëè, ÷òî ó íèõ ñîâåðøåííî ðàçíûå àëãîðèòìè÷åñêèå ñâîéñòâà: ÇÝÖ ìîæåò áûòü áûñòðî ðåøåíà äàæå äëÿ îãðîìíûõ ãðàôîâ, â òî âðåìÿ êàê ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì äëÿ ðåøåíèÿ ÇÃÖ äëÿ áîëüøèõ ãðàôîâ îñòàåòñÿ íåèçâåñòíûì è, ìîæåò áûòü, âîâñå íå ñóùåñòâóåò. Äëÿ íà÷àëà ìû îáñóäèì ÇÝÖ. Êàê ìû óæå óïîìèíàëè, ðåøåíèå çàäà÷è î Êåíèãáåðñêèõ ìîñòàõ îáîáùàåòñÿ íà ïðîèçâîëüíóþ ñåòü èç ìîñòîâ. Ïîä ýòèì ìû èìåëè â Ðèñ.7. à) Ñïóòíèêîâàÿ ôîòîãðàôèÿ ñîâðåìåííîãî Êàëèíèíãðàäà; ìîñòû âèäó, ÷òî ðåøåíèå Ýéëåðà ñîäåðæèò ïðîâûäåëåíû ãîëóáûì öâåòîì. ñòîå óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè ÇÝÖ äëÿ ïðîá) «Ãðàô ìîñòîâ Êàëèíèíãðàäà». Ëþáîïûòíûé âîïðîñ: ãäå íóæíî ïîñòðîèòü èçâîëüíîãî ãðàôà. íîâûå ìîñòû, ÷òîáû â ïîëó÷èâøåìñÿ ãðàôå áûë ýéëåðîâ öèêë? Ïåðåä òåì êàê èçëîæèòü ðåçóëüòàò Ýéëåðà, íàì ïîíàäîáèòñÿ îäíî îïðåäåëåíèå. ïðîãóëèâàòüñÿ ïî Êàëèíèíãðàäó äàëåêî íå òàê ïðèÿòÍàçîâåì ñòåïåíüþ âåðøèíû v ãðàôà G ÷èñëî ðåáåð, íî, êàê ýòî áûëî â 1735, ïîñêîëüêó ñòàðûé Êåíèãñáåðã ñîåäèíÿþùèõ v ñ äðóãèìè âåðøèíàìè G. Íàïðèìåð, áûë ñèëüíî ðàçðóøåí àíãëèéñêîé áîìáàðäèðîâêîé â äëÿ Êåíèãñáåðñêîãî ãðàôà K íà ðèñóíêå 4,á âåðõíÿÿ, 1944 è ïðàêòè÷åñêè ïîëíîñòüþ ïåðåñòðîåí. íèæíÿÿ è ïðàâàÿ âåðøèíû èìåþò ñòåïåíü 3, à ó ëåâîé âåðøèíû, îáîçíà÷àþùåé îñíîâíîé îñòðîâ ÊåíèãñáåðÒåîðåìà Ýéëåðà äëÿ îðèåíòèðîâàííûõ ãðàôîâ ãà, ñòåïåíü ðàâíà 5. Òàêèì îáðàçîì, ñòåïåíü âåðøèíû v ãðàôà K ðàâíà ÷èñëó ìîñòîâ ñîåäèíÿþùèõ ñîîòâåò×òîáû ïðèìåíèòü òåîðåìó Ýéëåðà äëÿ íàøåé çàäà÷è ñòâóþùóþ ýòîé âåðøèíå ÷àñòü ãîðîäà ñ äðóãèìè ðàéîñáîðêè ôðàãìåíòîâ, íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåãêà èçìåíèòü íàìè. åå óòâåðæäåíèå. Âíà÷àëå ïðåäïîëîæèì, ÷òî ó íàñ åñòü Ïåðâàÿ òåîðåìà Ýéëåðà. Íàëè÷èå ó ãðàôà G ýéëåîðèåíòèðîâàííûé ãðàô, ò.å. ãðàô, â êîòîðîì ó êàæäîãî ðîâà öèêëà ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî ñòåïåíü êàæäîé ðåáðà çàäàíî íàïðàâëåíèå: ðåáðî, âûõîäÿùåå èç v ê w, âåðøèíû ãðàôà G ÷åòíà (íàïîìíèì, ÷òî ãðàô ïðåäïîîòëè÷àåòñÿ îò ðåáðà, âûõîäÿùåãî èç w ê v. Ìîæíî ëàãàåòñÿ ñâÿçíûì). ïðåäñòàâëÿòü ñåáå îðèåíòèðîâàííûé ãðàô êàê ñõåìó $ ÊÂÀÍT 2014/¹3 óëèö ñ îäíîñòîðîííèì äâèæåíèåì; òîãäà íàø èñõîäíûé íåîðèåíòèðîâàííûé ãðàô áóäåò ñõåìîé óëèö ñ äâóñòîðîííèì äâèæåíèåì. Ñîîòâåòñòâåííî, ýéëåðîâ öèêë â îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå G ýòî ïðîñòî ýéëåðîâ öèêë, êîòîðûé ïðîõîäèò ïî óëèöàì â ïðàâèëüíîì íàïðàâëåíèè. Ãàìèëüòîíîâ öèêë â G îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî (ðèñ.8). Ðèñ.8. à) Ïðîñòîé ïðèìåð îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà. Ñòðåëêè îïðåäåëÿþò îðèåíòàöèþ íà ðåáðàõ. á) Ïðèìåð ýéëåðîâà öèêëà â îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå; ðåáðà ïðîíóìåðîâàíû â ïîðÿäêå èõ îáõîäà ïî öèêëó. â) Ïðèìåð ãàìèëüòîíîâà öèêëà (âûäåëåí êðàñíûì) â îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå Äëÿ êàæäîé âåðøèíû v â îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå G îïðåäåëèì âõîäÿùóþ ñòåïåíü âåðøèíû v êàê ÷èñëî ðåáåð, âõîäÿùèõ â v, à èñõîäÿùóþ ñòåïåíü v êàê ÷èñëî ðåáåð, âûõîäÿùèõ èç v. Òåïåðü ìû ãîòîâû ñôîðìóëèðîâàòü ðåçóëüòàò Ýéëåðà ïðèìåíèòåëüíî ê îðèåíòèðîâàííûì ãðàôàì. Âòîðàÿ òåîðåìà Ýéëåðà. Íàëè÷èå ó îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà G ýéëåðîâà öèêëà ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî ó êàæäîé âåðøèíû G ðàâíû âõîäÿùàÿ è èñõîäÿùàÿ ñòåïåíè (íàïîìíèì, ÷òî ãðàô ïðåäïîëàãàåòñÿ ñâÿçíûì). Äîêàçàòåëüñòâî âòîðîé òåîðåìû Ýéëåðà ïðèâåäåíî â êîíöå ýòîé ñòàòüè âìåñòå ñ îáñóæäåíèåì òîãî, êàê ìîæíî íàéòè ýéëåðîâ öèêë äîñòàòî÷íî «áûñòðî» â ñìûñëå òåîðèè êîìïüþòåðíûõ âû÷èñëåíèé. Îñíîâíàÿ èäåÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî íàì íå íàäî ïðîâåðÿòü ïî î÷åðåäè âñå âîçìîæíûå öèêëû â îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå G äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîíÿòü, ñîäåðæèò ëè G ýéëåðîâ öèêë. Äîñòàòî÷íî ëèøü ïîñ÷èòàòü âõîäÿùèå è èñõîäÿùèå ñòåïåíè âñåõ âåðøèí: åñëè ó êàæäîé âåðøèíû âõîäÿùàÿ è èñõîäÿùàÿ ñòåïåíè ñîâïàäàþò, òî ýéëåðîâ öèêë ìîæíî ëåãêî ïîñòðîèòü; åñëè æå åñòü õîòü îäíà âåðøèíà, ó êîòîðîé âõîäÿùàÿ è èñõîäÿùàÿ ñòåïåíè ðàçëè÷íû, òî ïðîâåñòè ýéëåðîâ öèêë íåâîçìîæíî. Ðåøàåìûå è íåðåøàåìûå çàäà÷è Âäîõíîâëåííûå òåîðåìîé Ýéëåðà, ìû ìîæåì çàäàòüñÿ âîïðîñîì, ñóùåñòâóåò ëè ïîäîáíûé ïðîñòîé ðåçóëüòàò äëÿ ðåøåíèÿ ÇÃÖ. Íî íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî âûèãðàòü â «Èêîñàýäðè÷åñêóþ èãðó» íå òàê óæ ñëîæíî, ðåøåíèå ÇÃÖ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ãðàôà îñòàåòñÿ íåèçâåñòíûì. Ãëàâíàÿ òðóäíîñòü çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî åñëè äëÿ ðåøåíèÿ ÇÝÖ ó íàñ åñòü òåîðåìà Ýéëåðà, òî äëÿ ÇÃÖ àíàëîãè÷íîå ïðîñòîå óñëîâèå íåèçâåñòíî. Êîíå÷íî, âû âñåãäà ìîæåòå çàäåéñòâîâàòü äëÿ ðåøåíèÿ ÇÃÖ ìåòîä «ãðóáîé ñèëû», ò.å. çàïðîãðàììèðîâàòü êîìïüþòåð ïåðåáèðàòü âñå ïóòè ïî ãðàôó è ñîîáùàòü, êàê òîëüêî îí íàéäåò ãàìèëüòîíîâ öèêë. Ïîíÿòü ýòîò ìåòîä äîâîëüíî ëåãêî, íî ïðåäñòàâüòå ñåáå îãðîìíûé ãðàô, â êîòîðîì íåò ãàìèëüòîíîâà öèêëà. Äëÿ ýòîãî ãðàôà êîìïüþòåðó ïðèäåòñÿ ïðîâåðèòü êàæäûé ïóòü ïî íåìó, ïåðåä òåì êàê ñîîáùèòü âàì, ÷òî ãàìèëüòîíîâà ïóòè íå ñóùåñòâóåò. Êàòàñòðîôè÷åñêèé íåäîñòàòîê ýòîãî ìåòîäà ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ñðåäíåì ãðàôå âñåãî ëèøü èç òûñÿ÷è âåðøèí ðàçíûõ ïóòåé ñóùåñòâóåò áîëüøå, ÷åì àòîìîâ âî âñåëåííîé! ÇÃÖ áûëà îäíîé èç ïåðâûõ àëãîðèòìè÷åñêèõ çàäà÷, êîòîðóþ íå óäàëîñü ðåøèòü äàæå ñàìûì áëåñòÿùèì ó÷åíûì. Ïîñëå ìíîãèõ ëåò áåñïëîäíûõ óñèëèé ñïåöèàëèñòû â îáëàñòè computer science íà÷àëè çàäóìûâàòüñÿ, ÿâëÿåòñÿ ëè ÇÃÖ ýôôåêòèâíî ðàçðåøèìîé. Äðóãèìè ñëîâàìè, íå ìîæåò ëè îêàçàòüñÿ òàê, ÷òî èõ íåóäà÷è â ïîèñêàõ áûñòðîãî àëãîðèòìà âûçâàíû íå íåäîñòàòêîì ñîîáðàçèòåëüíîñòè, à òåì, ÷òî ýôôåêòèâíîãî àëãîðèòìà äëÿ ðåøåíèÿ ÇÃÖ ïðîñòî íå ñóùåñòâóåò. Áîëåå òîãî, â 1970-õ ãîäàõ ó÷åíûå-êîìïüþòåðùèêè îáíàðóæèëè åùå òûñÿ÷è ðàçíûõ àëãîðèòìè÷åñêèõ çàäà÷ ñ òîé æå ñóäüáîé, êàê ó ÇÃÖ: íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî îíè ÷ðåçâû÷àéíî ïðîñòî âûãëÿäÿò, íèêòî íå ñìîã ïðèäóìàòü äëÿ íèõ ýôôåêòèâíîãî ðåøåíèÿ. ÇÃÖ âìåñòå ñî ìíîãèìè èç ýòèõ çàäà÷ òåïåðü íàçûâàþò «NP-ïîëíûìè»2 çàäà÷àìè. Åùå áîëüøå óñèëèë ðàçî÷àðîâàíèå, âûçâàííîå íåóäà÷åé âñåõ ïîïûòîê íàéòè ïðîñòîå óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè ÇÃÖ, òàêîé ôàêò: õîòÿ âñå NP-ïîëíûå çàäà÷è ðàçëè÷íû, îêàçûâàåòñÿ, îíè âñå ýêâèâàëåíòíû äðóã äðóãó åñëè íàéòè áûñòðûé àëãîðèòì ðåøåíèÿ îäíîé òàêîé çàäà÷è, òî èç íåãî àâòîìàòè÷åñêè ïîëó÷èòñÿ áûñòðûé àëãîðèòì äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ! Çàäà÷à ýôôåêòèâíîãî ðåøåíèÿ NP-ïîëíûõ çàäà÷ (èëè îêîí÷àòåëüíîãî äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî òàêîãî ðåøåíèÿ íå ñóùåñòâóåò) íàñòîëüêî ôóíäàìåíòàëüíà äëÿ computer science è ìàòåìàòèêè, ÷òî îíà âîøëà â ñïèñîê «Çàäà÷ Òûñÿ÷åëåòèÿ» îò Ìàòåìàòè÷åñêîãî Èíñòèòóòà Êëýÿ, îïóáëèêîâàííûé â 2000 ãîäó: íàéäèòå ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì äëÿ êàêîé-íèáóäü NP-ïîëíîé çàäà÷è èëè äîêàæèòå, ÷òî åãî íåò, è èíñòèòóò âðó÷èò âàì ïðèç â ðàçìåðå ìèëëèîíà äîëëàðîâ. Ñ ýòîãî ìîìåíòà ìû áóäåì íàçûâàòü ÇÝÖ «ïðîñòîé», à ÇÃÖ «ñëîæíîé». Íå çàáûâàéòå îá ýòîì ðàçëè÷èè, ïîñêîëüêó â ñêîðîì âðåìåíè îíî ñòàíåò êðèòè÷íûì. 2 NP îò ñëîâ non-deterministic polynomial (àíãë.). ÐÅÊÎÍÑÒÐÓÊÖÈß ÃÅÍÎÌÀ: ÃÎËÎÂÎËÎÌÊÀ Îò Ýéëåðà è Ãàìèëüòîíà ê ñáîðêå ãåíîìà Ñáîðêà ãåíîìà êàê çàäà÷à ïîèñêà ãàìèëüòîíîâà öèêëà Âîîðóæåííûå íåîáõîäèìîé ìàòåìàòèêîé, âåðíåìñÿ ê ñáîðêå ôðàãìåíòîâ. Ïðåäïîëîæèì, ìû ïðî÷èòàëè âñå íàøè ðèäû. Ñäåëàåì òåïåðü ÷åòûðå äîïóùåíèÿ, ÷òîáû óïðîñòèòü èçëîæåíèå: 1. Ìû ðåêîíñòðóèðóåì êîëüöåâîé ãåíîì 3 . 2. Âñå ðèäû èìåþò îäèíàêîâóþ äëèíó l (áóäåì òàêæå íàçûâàòü èõ l-ìåðàìè). 3. Âñå âîçìîæíûå ïîäñòðîêè äëèíû l, âñòðå÷àþùèåñÿ â íàøåì ãåíîìå, áûëè ïðî÷èòàíû êàê ðèäû. 4. Ðèäû áûëè ïðî÷èòàíû áåç êàêèõ-ëèáî îøèáîê. Íà ñàìîì äåëå ìîæíî îáîéòèñü è áåç ýòèõ óïðîùåíèé, íî òîãäà ïðèäåòñÿ îáñóæäàòü ñëèøêîì ìíîãî òåõíè÷åñêèõ ìîìåíòîâ. Íà çàðå ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ áûëà ïðåäëîæåíà ñëåäóþùàÿ èäåÿ ñáîðêè ôðàãìåíòîâ. Ïîñòðîèì ãðàô G, îáðàçîâàâ âåðøèíó äëÿ êàæäîãî ðèäà (l-ìåðà); ñîåäèíèì l-ìåð R1 ñ l-ìåðîì R2 îðèåíòèðîâàííûì ðåáðîì, åñëè ñòðîêà, îáðàçîâàííàÿ ïîñëåäíèìè l 1 ñèìâîëàìè R1 (íàçûâàåìàÿ ñóôôèêñîì R1 ) ñîâïàäàåò ñî ñòðîêîé îáðàçîâàííîé ïåðâûìè l 1 ñèìâîëàìè R2 (íàçûâàåìîé ïðåôèêñîì R2 ). Íàïðèìåð, â ñëó÷àå l = = 5 ìû ñîåäèíèì ÃÃÖÀÒ ñ ÃÖÀÒÖ îðèåíòèðîâàííûì ðåáðîì, íî íå íàîáîðîò. Ïðèìåð òàêîãî ãðàôà G ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 9,à. Òåïåðü ðàññìîòðèì öèêë â G. Îí íà÷èíàåòñÿ ñ l-ìåðà R1 è çàòåì ïî îðèåíòèðîâàííîìó ðåáðó ïåðåõîäèò ê äðóãîìó l-ìåðó R2 ; áóäåì ïðåäñòàâëÿòü ñåáå ïåðåõîä ïî ýòîìó ðåáðó êàê òî, ÷òî ìû íà÷àëè ñ R1 è, ïðèñîåäèíèâ ê íåìó åäèíñòâåííûé íîâûé ñèìâîë èç R2 , îáðàçîâàëè ñòðîêó S äëèíû l + 1.  ñëó÷àå ïðèâåäåííîãî âûøå ïðèìåðà, ïåðåéäÿ îò ÃÃÖÀÒ ê ÃÖÀÒÖ, ìû ïîëó÷èì ñòðîêó ÃÃÖÀÒÖ. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî ïåðâûå l ñèìâîëîâ ñòðîêè S îáðàçóþò R1 , à ÈÇ ÌÈËËÈÀÐÄÀ ÊÓÑÎ×ÊΠ% åì ê S îäèí íîâûé ñèìâîë; ïðè ýòîì ïîñëåäíèå l ñèìâîëîâ íàøåé ñòðîêè îáðàçóþò ðèä òåêóùåé âåðøèíû.  êîíöå öèêëà íàøà (öèêëè÷åñêàÿ) ñòðîêà S áóäåò ñîäåðæàòü âñå l-ìåðû, ïî êîòîðûì ìû ïðîøëè ïî äîðîãå. Ïðîäîëæàÿ ýòó ìûñëü, êàæäûé ãàìèëüòîíîâ öèêë â G, êîòîðûé ïðîõîäèò ÷åðåç âñå âåðøèíû G, äîëæåí ñîîòâåòñòâîâàòü ñòðîêå íóêëåîòèäîâ, êîòîðàÿ ñîäåðæèò êàæäûé èç íàøèõ l-ìåðîâ. Äàëåå, òàê êàê êàæäàÿ ïîäñòðîêà èç S äëèíû l ñîîòâåòñòâóåò êàêîìóòî l-ìåðó, òî S èìååò ìèíèìàëüíóþ âîçìîæíóþ äëèíó è ÿâëÿåòñÿ êàíäèäàòîì äëÿ èñêîìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÄÍÊ (ðèñ.9,á). Íåäîñòàòîê ýòîãî äîâîëüíî ýëåãàíòíîãî ìåòîäà â òîì, ÷òî îí îñíîâûâàåòñÿ íà ðåøåíèè ÇÃÖ è ïîòîìó íà ïðàêòèêå íå ïðèãîäåí, êðîìå ñëó÷àåâ, êîãäà íàø ãðàô G íåâåëèê. Ñòàëî áûòü, ýòîò ìåòîä íå ïîäõîäèò äëÿ ãðàôîâ, ïîëó÷åííûõ èç ãåíîìîâ, êîòîðûå ìîãóò ñîäåðæàòü ìèëëèàðäû âåðøèí. Ñáîðêà ãåíîìà êàê çàäà÷à ïîèñêà ýéëåðîâà öèêëà Íî íå âñå åùå ïîòåðÿíî. Äàâàéòå ïîñòóïèì äîâîëüíî íåîæèäàííûì îáðàçîì è âìåñòî âåðøèíû ñîïîñòàâèì êàæäîìó ðèäó ðåáðî. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ïðåôèêñû è ñóôôèêñû âñåõ ðèäîâ. Çàìåòèì, ÷òî ó ðàçíûõ ðèäîâ ìîãóò áûòü îáùèå ñóôôèêñû è ïðåôèêñû; íàïðèìåð ó ðèäîâ ÖÀÃÖ è ÖÀÃÒ äëèíû 4 åñòü îáùèé ïðåôèêñ ÖÀÃ. Ïîñòðîèì ãðàô E, ãäå âåðøèíû ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûì ïðåôèêñàì è ñóôôèêñàì; ñîåäèíèì (l 1)-ìåð A ñ (l 1)-ìåðîì B îðèåíòèðîâàííûì ðåáðîì, åñëè åñòü ðèä, ÷üèì ïðåôèêñîì ÿâëÿåòñÿ A, è ÷üèì ñóôôèêñîì ÿâëÿåòñÿ B. Íà ðèñóíêå 10 ïðèâåäåí ýòîò ãðàô äëÿ òîãî æå íàáîðà ðèäîâ, ÷òî è íà ðèñóíêå 9. Ðåøàþùèé âîïðîñ: ÷åìó ñîîòâåòñòâóåò öèêë â E? Ñíîâà ïðåäñòàâüòå ñåáå, ÷òî âû ìóðàâåé, âûïîëçàþùèé èç êàêîé-òî âåðøèíû â E ïî îðèåíòèðîâàííîìó ðåáðó â äðóãóþ âåðøèíó, äâèãàÿñü ïî íàïðàâëåíèþ ñòðåëîê. Êàê è â ñëó÷àå ñ G, ñîñòàâëÿåì ïî äîðîãå ñòðîêó S, çàïèñûâàÿ ïîñëåäíèé ñèìâîë èç âòîðîé âåðøèíû ïîñëå òåõ, êîòîðûå áûëè íàïèñàíû â ïåðâîé. Ïîíÿòíî, ÷òî ñíà÷àëà S áóäåò ïðîñòî ðèäîì, ñîîòâåòñòâóþùèì ðåáðó ìåæäó ïåðâûìè äâóìÿ âåðøèíàìè. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî íà ðèñóíêå 10 ìû ïîìåòèëè êàæäîå ðåáðî ñîîòâåòñòâóþùèì 3-ìåðîì. Áóäåì ïîâòîðÿòü ýòîò ïðîöåññ ïî ìåðå òîãî, êàê ìóðàâåé ïîëçåò ïî E. Ñ êàæäûì íîâûì ðåáðîì ìû äîáàâëÿåì åùå îäèí íóêëåîòèä ê ñòðîêå S è, òàêèì îáðàçîì, óçíàåì åùå îäèí ðèä. Ïîýòîìó ýéëåðîâ öèêë íà E áóäåò ïîðîæÐèñ.9. à) Ãðàô H äëÿ íàáîðà 3-ìåðîâ ÀÒÃ, ÖÃÒ, ÃÃÖ, ÀÀÒ, ÃÒÃ, ÒÃÃ, ÒÃÖ, ÖÀÀ, äàòü (öèêëè÷åñêóþ) ñòðîêó S, êîòîðàÿ ñîäåðÃÖÀ è ÃÖà æèò âñå íàøè ðèäû, ïîýòîìó S áóäåò êàíäèá) Ãàìèëüòîíîâ ïóòü â H. Êàêàÿ öèêëè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áóêâ äàòîì äëÿ èñêîìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÄÍÊ. ñîîòâåòñòâóåò ýòîìó öèêëó? Íî òåïåðü, â îòëè÷èå îò òîãî, ÷òî áûëî ñ ãðàôîì G, ó íàñ íåò âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðóäíåíèé: ïîñëåäíèå l ñèìâîëîâ ñòðîêè S îáðàçóþò R2 .  êàæäîé ÇÝÖ ëåãêî ðåøàåòñÿ ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ýéëåðà. íîâîé âåðøèíå, â êîòîðóþ ìû ïîïàäàåì, ìû äîïèñûâàÒàêèì îáðàçîì, ìû ñâåëè ñáîðêó ôðàãìåíòîâ ê ëåãêî ðåøàåìîé âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷å åñëè, êîíå÷íî, â 3 Ó áàêòåðèé îáû÷íî òàê îíî è åñòü. ãðàôå E âîîáùå åñòü ýéëåðîâ öèêë! & ÊÂÀÍT 2014/¹3 Âñå ãðàôû äå Áð¸éíà îáëàäàþò âàæíûì ñâîéñòâîì: êàæäûé èç íèõ ñîäåðæèò ýéëåðîâ öèêë. Íàïðèìåð, íà ðèñóíêå 12 ìîæíî âèäåòü, ÷òî ó êàæäîé âåðøèíû B (2, 4 ) åñòü äâà âõîäÿùèõ è äâà âûõîäÿùèõ ðåáðà, èç Ðèñ.10. Ãðàô E äëÿ òîãî æå íàáîðà ðèäîâ, ÷òî è íà ðèñóíêå 9. Ìîæåòå ëè âû íàéòè ýéëåðîâ öèêë â ýòîì ãðàôå? Êàêàÿ öèêëè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áóêâ ñîîòâåòñòâóåò ýòîìó öèêëó? Íà ñàìîì äåëå, ýòîò ìåòîä íóæäàåòñÿ â óòî÷íåíèè ïîãîâîðèì îá ýòîì ïîñëå íåáîëüøîãî îòñòóïëåíèÿ. Îòñòóïëåíèå ãðàôû äå Áð¸éíà  1946 ãîäó ãîëëàíäñêèé ìàòåìàòèê Íèêîëàñ äå Áð¸éí (åãî ïîðòðåò ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 14,â) çàèíòåðåñîâàëñÿ çàäà÷åé ïîñòðîåíèÿ êîëüöåâîé ñòðîêè ìèíèìàëüíîé äëèíû, ñîäåðæàùåé â êà÷åñòâå ïîäñòðîê âñå âîçìîæíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç l äâîè÷íûõ öèôð. Íàïðèìåð, çàêîëüöîâàííàÿ ñòðîêà 00011101 ñîäåðæèò âñå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç 3 äâîè÷íûõ öèôð: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 è 111. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî 00011101 ýòî êðàò÷àéøàÿ òàêàÿ ñòðîêà, ïîòîìó ÷òî â íåé íå ñîäåðæèòñÿ íèêàêèõ «ëèøíèõ» öèôð, ò.å. êàæäàÿ ïîäñòðîêà äëèíû 3 ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì âõîæäåíèåì îäíîãî èç ïðèâåäåííûõ âûøå äâîè÷íûõ ÷èñåë (ðèñ.11). Äå Áð¸éí èññëåäîâàë êîíêðåòíûé êëàññ ãðàôîâ, îïðåäåëåííûé ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ðàññìîòðèì àëôàâèò èç n áóêâ è ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî l. Âûïèøåì âñå nl −1 âîçìîæíûõ ñëîâ äëèíû l 1, ãäå ñëîâî äëèíû l 1 ýòî ïðîñòî Ðèñ.11. Ïîèñê ìèíèìàëüíîé ñòðîêà èç l 1 ñèìâîëîâ êîëüöåâîé ñòðîêè, ñîäåðæà- íàøåãî àëôàâèòà. Äå ùåé â êà÷åñòâå ïîäñòðîê âñå Áð¸éí ïîñòðîèë ãðàô B (n, l ) (íûíå íàçûâàåìûé âîçìîæíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè çàäàííîé äëèíû. Çäåñü ãðàôîì äå Áð¸éíà), â êîïîêàçàíà äâîè÷íàÿ ñòðîêà òîðîì âåðøèíàì ñîîòâåò00011101 è âûäåëåíû âõîæ- ñòâóþò âñå nl −1 âîçìîæäåíèÿ â íåå ïîñëåäîâàòåëü- íûõ ñëîâ äëèíû l 1; íîñòåé 000 è 110. Çàìåòèì, îðèåíòèðîâàííîå ðåáðî ñî÷òî â ýòó ñòðîêó âõîäÿò âñå åäèíÿåò ñëîâà w1 è w2 , äâîè÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç òðåõ öèôð áåç ïîâòî- åñëè ñóùåñòâóåò l-áóêâåíðîâ, ïîýòîìó ñòðîêà 00011101 íîå ñëîâî W, äëÿ êîòîðîãî w1 ÿâëÿåòñÿ ïðåôèêñîì, à èìååò ìèíèìàëüíóþ âîçw2 ñóôôèêñîì (ðèñ.12). ìîæíóþ äëèíó Ðèñ.12. Ãðàô äå Áð¸éíà B(2, 4) ñ «àëôàâèòîì» èç äâóõ ñèìâîëîâ öèôð 0 è 1. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî èç òåîðåìû Ýéëåðà ñëåäóåò, ÷òî â ýòîì ãðàôå åñòü ýéëåðîâ öèêë (ýòîò öèêë ïîêàçàí íà ðèñóíêå 19) ÷åãî ñëåäóåò, ÷òî ó ýòîãî ãðàôà åñòü ýéëåðîâ öèêë. ×òîáû ïîíÿòü, ïî÷åìó ýòî âåðíî äëÿ âñåõ ãðàôîâ äå Áð¸éíà B (n, l ) , ðàññìîòðèì âåðøèíó w, ñîîòâåòñòâóþùóþ ñëîâó äëèíû l 1. Ñóùåñòâóåò n ñëîâ äëèíû l ñ ïðåôèêñîì w (êàæäîå òàêîå ñëîâî ïîëó÷àåòñÿ äîáàâëåíèåì îäíîé èç n áóêâ â êîíåö w), è ïîýòîìó èñõîäÿùàÿ ñòåïåíü êàæäîé âåðøèíû â B (n, l ) ðàâíà n. Ïîõîæèì îáðàçîì ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò n ñëîâ äëèíû l ñ ñóôôèêñîì w (êàæäîå òàêîå ñëîâî ïîëó÷àåòñÿ ïðèïèñûâàíèåì îäíîé èç n áóêâ ê íà÷àëó w), è ïîýòîìó âõîäÿùàÿ ñòåïåíü êàæäîé âåðøèíû â B (n, l ) òîæå ðàâíà n. Ñòàëî áûòü, ó êàæäîé âåðøèíû â B (n, l ) èñõîäÿùàÿ è âõîäÿùàÿ ñòåïåíè ðàâíû n, è òîãäà èç òåîðåìû Ýéëåðà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî ó B (n, l ) äîëæåí áûòü ýéëåðîâ öèêë. Ñâÿçü ñ íàøåé áèîëîãè÷åñêîé çàäà÷åé ñòàíåò ÿñíîé òîãäà, êîãäà ìû çàìåòèì, ÷òî ãðàô E ñîäåðæèòñÿ â ãðàôå äå Áð¸éíà B (4, l ) .  ñàìîì äåëå: âåðøèíàìè E ÿâëÿþòñÿ âñå (l 1)-ìåðû âñòðå÷àþùèåñÿ â âèäå ïðåôèêñîâ èëè ñóôôèêñîâ íàøèõ ðèäîâ, à âåðøèíû B (4, l ) ýòî âñå âîçìîæíûå (l 1)-ìåðû. Êîïèéíîñòü ðèäîâ è äðóãèå óñëîæíåíèÿ Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàøåãî ãåíîìà ÀÒÃÖÀÒÃÖ. Òîãäà ìû ïîëó÷èì 4 ðèäà äëèíû 3: ÀÒÃ, ÒÃÖ, ÃÖÀ è ÖÀÒ, èç êîòîðûõ, ê ñîæàëåíèþ, ìîæíî îøèáî÷íî ðåêîíñòðóèðîâàòü ýòîò ãåíîì êàê ÀÒÃÖ. Âñå äåëî â òîì, ÷òî êàæäûé èç ýòèõ ðèäîâ â ïðàâèëüíîì ãåíîìå âñòðå÷àåòñÿ äâàæäû. Ïîýòîìó íàì ïîíàäîáèòñÿ ïåðåäåëàòü ïðîöåññ ñáîðêè ãåíîìà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì èçâåñòíû íå òîëüêî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âñåõ ðèäîâ, íî è òî, ñêîëüêî ðàç äàííûé l-ìåð âñòðå÷àåòñÿ â ãåíîìå (ýòî ÷èñëî íàçûâàåòñÿ êîïèéíîñ- ÐÅÊÎÍÑÒÐÓÊÖÈß ÃÅÍÎÌÀ: ÃÎËÎÂÎËÎÌÊÀ òüþ ðèäà). Îêàçûâàåòñÿ, ìû ñìîæåì ñïðàâèòüñÿ ñî ñáîðêîé ôðàãìåíòîâ è â ýòîì ñëó÷àå. Ìû èñïîëüçóåì äëÿ ýòîãî ïðàêòè÷åñêè òîò æå ãðàô E, ñ îäíèì ëèøü èçìåíåíèåì: åñëè êîïèéíîñòü êàêîãîòî l-ìåðà ðàâíà k, òî áóäåì ñîåäèíÿòü åãî ïðåôèêñ ñ ñóôôèêñîì íå îäíèì, à k ðåáðàìè. Ïðîäîëæèì ðàçáèðàòü íàø ïðèìåð èç ðèñóíêà 10: åñëè âî âðåìÿ ÷òåíèÿ ðèäîâ îáíàðóæèëîñü, ÷òî ó ÷åòûðåõ 3-ìåðîâ ÒÃÖ, ÃÖÃ, ÖÃÒ è ÃÒà êîïèéíîñòü ðàâíà 2, à ó øåñòè 3ìåðîâ ÀÒÃ, ÒÃÖ, ÃÃÖ, ÃÖÀ, ÖÀÀ è ÀÀÒ êîïèéíîñòü ðàâíà 1, òî ìû ïîñòðîèì ãðàô, èçîáðàæåííûé íà Ðèñ.13. Ãðàô ñ ðèñóíêà 10, â êîòîðûé äîáàâèëèñü êðàòíûå ðåáðà áûëî ó÷òåíî, ÷òî êîïèéíîñòü íåêîòîðûõ ðèäîâ áîëüøå 1. Ê ñ÷àñòüþ, òàêîå îáîáùåíèå íå óñëîæíÿåò çàäà÷ó ïîèñêà ýéëåðîâà öèêëà, è öèêë äëÿ íîâîãî ãðàôà òàêæå áóäåò äàâàòü êàíäèäàòà äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè «ÄÍÊ» ðèñóíêå 13.  îáùåì ñëó÷àå, ëåãêî âèäåòü, ÷òî ãðàô ñ ðåáðàìè, äîáàâëåííûìè ñîãëàñíî êîïèéíîñòè, òîæå ýéëåðîâ, ïîñêîëüêó ïîëóñòåïåíè èñõîäà è çàõîäà âåðøèíû (ñîîòâåòñòâóþùåé (l 1)-ìåðó) ðàâíû ÷èñëó ðàç, êîòîðîå ýòîò (l 1)-ìåð âñòðå÷àåòñÿ â ãåíîìå. Íà ïðàêòèêå òî÷íóþ èíôîðìàöèþ î êîïèéíîñòè (l 1)-ìåðîâ â ãåíîìå ñ ïîìîùüþ ñîâðåìåííûõ òåõíîëîãèé ñåêâåíèðîâàíèÿ ïîëó÷èòü äîâîëüíî ñëîæíî. Òåì íå ìåíåå, ó÷åíûå-àëãîðèòìèñòû íåäàâíî ïðèäóìàëè ñïîñîá âîññòàíîâëåíèÿ ãåíîìíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äàæå òîãäà, êîãäà ýòè äàííûå îòñóòñòâóþò. Åñòü è äðóãèå îñëîæíåíèÿ: ìàøèíû, ñåêâåíèðóþùèå ÄÍÊ, ïîäâåðæåíû îøèáêàì, äëèíà ðèäîâ ìîæåò ðàçëè÷àòüñÿ è òàê äàëåå. Îäíàêî, â êîíå÷íîì ñ÷åòå, äëÿ âñåõ ìåòîäîâ ñáîðêè ôðàãìåíòîâ îêàçûâàåòñÿ î÷åíü ïîëåçíî ïðèìåíèòü êàêîé-íèáóäü âàðèàíò ãðàôîâ äå Áð¸éíà äëÿ òîãî, ÷òîáû ñâåñòè åñòåñòâåííîå ïîñòðîåíèå ãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ ê àëãîðèòìè÷åñêè áîëåå ïðîñòîé çàäà÷å îá ýéëåðîâûõ öèêëàõ. ÈÇ ÌÈËËÈÀÐÄÀ ÊÓÑÎ×ÊΠ' ñàìè ïðè âñåì æåëàíèè íå ñìîãëè áû âñòðåòèòüñÿ äðóã ñ äðóãîì. Çàòî â 1988 ãîäó âñòðåòèëèñü ïóòè òðåõ äðóãèõ ó÷åíûõ (ðèñ.15). Ðàäîå Äðìàíàö (Radoje Drmanac, Ñåðáèÿ), Àíäðåé Ìèðçàáåêîâ (Ðîññèÿ) è Ýäâèí Ñàóçåðí (Edwin Southern, Âåëèêîáðèòàíèÿ) îäíîâðåìåííî è íåçàâèñèìî ðàçðàáîòàëè ôóòóðèñòè÷åñêèé è íà òîò ìîìåíò ñîâåðøåííî íåâåðîÿòíûé ìåòîä ÷òåíèÿ ðèäîâ ñ èñïîëüçîâàíèåì ÄÍÊ-÷èïîâ. Íèêòî èç ýòèõ òðåõ áèîëîãîâ íå çíàë î ðàáîòàõ Ýéëåðà, Ãàìèëüòîíà è äå Áð¸éíà; íèêòî íå ìîã è ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ðåçóëüòàòû èõ ñîáñòâåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ ñòîëêíóò èõ ëèöîì ê ëèöó ñ ýòèìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ãèãàíòàìè.  1977 ãîäó Ôðåä Ñýíãåð (Fred Sanger) ñ êîëëåãàìè îòñåêâåíèðîâàëè ïåðâûé âèðóñ êðîøå÷íûé áàêòåðèîôàã ϕX174 äëèíîé 5375 íóêëåîòèäîâ. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî â êîíöå 1980-õ áèîëîãè ðåãóëÿðíî ñåêâåíèðîâàëè âèðóñû äëèíîé â ñîòíè òûñÿ÷ íóêëåîòèäîâ, ìûñëü î ñåêâåíèðîâàíèè áàêòåðèàëüíîãî ãåíîìà (íå ãîâîðÿ î ÷åëîâå÷åñêîì) êàçàëàñü ïðåæäåâðåìåííîé è ñ ýêñïåðèìåíòàëüíîé, è ñ âû÷èñëèòåëüíîé òî÷åê çðåíèÿ. Äðìàíàö, Ìèðçàáåêîâ è Ñàóçåðí ïîíÿëè, ÷òî âàæíåéøèì íåäîñòàòêîì èñõîäíîé òåõíîëîãèè ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ, ðàçðàáîòàííîé â 1970-õ, ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî äëÿ áîëåå äëèííûõ ãåíîìîâ îíà ñëèøêîì çàòðàòíà.  ñàìîì äåëå, ÷òåíèå îäíîãî ðèäà â êîíöå 1980-õ ñòîèëî áîëåå îäíîãî äîëëàðà è ïîýòîìó ñåêâåíèðîâàíèå ãåíîìà êàêîãî-íèáóäü ìëåêîïèòàþùåãî ñòîèëî áû ìèëëèàðäû äîëëàðîâ. Èç-çà ýòîé âûñîêîé öåíû ïðî÷èòàòü âñå l-ìåðû ãåíîìà áûëî íåâîçìîæíî, à ýòî íåïðåìåííîå óñëîâèå óñïåøíîãî ïðèìåíåíèÿ ýéëåðîâà ïîäõîäà. ÄÍÊ-÷èïû áûëè èçîáðåòåíû äëÿ òîãî, ÷òîáû óäåøåâèòü ÷òåíèå âñåõ l-ìåðîâ â ãåíîìå, ïóñòü è ñ ìåíüøåé, íåæåëè ó èñõîäíîé òåõíîëîãèè ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ, äëèíîé ðèäà l. Íàïðèìåð, â òî âðåìÿ êàê òðàäèöèîííûå òåõíîëîãèè ñåêâåíèðîâàíèÿ ñ÷èòûâàëè ðèäû äëèíîé ïðèáëèçèòåëüíî 500 íóêëåîòèäîâ, èçîáðåòàòåëè ÄÍÊ-÷èïîâ îðèåíòèðîâàëèñü íà ÷òåíèå ðèäîâ äëèíîé îêîëî 15 íóêëåîòèäîâ. ÄÍÊ-÷èïû óñòðîåíû òàê: ñíà÷àëà ñèíòåçèðóþò âñå 4l âîçìîæíûõ l-ìåðîâ (ò.å. âñå ôðàãìåíòû ÄÍÊ äëèíû l), ïîòîì èõ ïðèñîåäèíÿþò ê ÄÍÊ-ìèêðî÷èïó, êîòîðûé ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ðåøåòêó ñ îòäåëüíîé ÿ÷åéêîé äëÿ êàæäîãî l-ìåðà. Ïîòîì áåðóò (íåèçâåñò- Êîðîòêàÿ èñòîðèÿ ÷òåíèÿ ðèäîâ Ñêàçêà î òðåõ áèîëîãàõ: ÄÍÊ-÷èïû Õîòÿ ìàòåìàòè÷åñêîå íàñëåäèå Ýéëåðà, Ãàìèëüòîíà è äå Áð¸éíà (ðèñ. 14) òåñíî ïåðåïëåëîñü, îíè Ðèñ.14. Òðè ìàòåìàòèêà. Ñëåâà íàïðàâî: Ëåîíàðä Ýéëåð, Óèëüÿì Ãàìèëüòîí, Íèêîëàñ äå Áð¸éí ÊÂÀÍT 2014/¹3 íàïèñàë, ÷òî, ó÷èòûâàÿ îáúåì ðàáîòû, íåîáõîäèìûé äëÿ ïðîèçâîäñòâà ÄÍÊ-ìèêðî÷èïà, «ïðèìåíåíèå ÄÍÊ-÷èïîâ äëÿ ñåêâåíèðîâàíèÿ áûëî áû çàìåíîé îäíîé óñòðàøàþùåé çàäà÷è íà äðóãóþ». Êàê îêàçàëîñü, «Science» îøèáàëñÿ: â ñåðåäèíå 1990-õ íåáîëüøîå ÷èñëî ìîëîäûõ êîìïàíèé óñîâåðøåíñòâîâàëè òåõíîëîãèþ ñîçäàíèÿ áîëüøèõ ÄÍÊ-ìèêðî÷èïîâ. Ê ñîæàëåíèþ, ÄÍÊ-÷èïû â êîíå÷íîì èòîãå íå ñìîãëè îñóùåñòâèòü ìå÷òó ñâîèõ Ðèñ.15. Òðè áèîëîãà. Ñëåâà íàïðàâî: Ðàäîå Äðìàíàö, Àíäðåé Ìèðçàáåêîâ, Ýäâèí ñîçäàòåëåé. ×èïû íåïðèãîäíû äëÿ Ñàóçåðí ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ, ïîòîìó ÷òî òî÷íîñòü ãèáðèäèçàöèè ÄÍÊ ñ ÷èïàìè ñëèøêîì íèçêà, íûé) ôðàãìåíò ÄÍÊ, íà íåãî íàíîñÿò ôëþîðåñöåíòà çíà÷åíèå l ñëèøêîì ìàëî. íóþ4 ìåòêó, è ðàñòâîð ñ ýòèì ïîìå÷åííûì ôðàãìåíÒåì íå ìåíåå, íåóäà÷à ÄÍÊ-÷èïîâ èìåëà ïîëåçíûé òîì ÄÍÊ íàíîñÿò íà ÄÍÊ-ìèêðî÷èï.  ðåçóëüòàòå ïîáî÷íûé ýôôåêò: õîòÿ èñõîäíàÿ öåëü (ñåêâåíèðîâàíóêëåîòèäû ôðàãìåíòà ÄÍÊ ãèáðèäèçèðóþòñÿ (ñâÿíèå ÄÍÊ) è íå áûëà íà òîò ìîìåíò äîñòèãíóòà, âìåñòî çûâàþòñÿ) ñ êîìïëåìåíòàðíûìè ïàðàìè íà ìèêðî÷èïå íåå âîçíèêëè äâå íîâûõ íåîæèäàííûõ îáëàñòè ïðèìå(À ñâÿçûâàåòñÿ ñ Ò, Ö ñ Ã). Âñå ÷òî îñòàåòñÿ, íåíèÿ ìèêðî÷èïîâ. Ñåãîäíÿ ÷èïû èñïîëüçóþòñÿ äëÿ âûÿñíèòü ñ ïîìîùüþ ñïåêòðîñêîïèè, â êàêèõ ìåñòàõ èçìåðåíèÿ óðîâíÿ ýêñïðåññèè 5 ãåíîâ è äëÿ àíàëèçà íà ìèêðî÷èïå ôëþîðåñöåíöèÿ ñàìàÿ ÿðêàÿ: òîãäà íàãåíåòè÷åñêèõ âàðèàöèé. Ýòè íîâûå ïðèëîæåíèÿ ïðèâåøèìè ðèäàìè áóäóò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, êîìïëåìåíëè ê ñîçäàíèþ ìíîãîìèëëèàðäíîé èíäóñòðèè ÄÍÊòàðíûå ê òåì, ÷òî ðàñïîëîæåíû â ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷èïîâ, âêëþ÷àþùåé êîìïàíèè «Hyseq» (îñíîâàíà Ðàÿ÷åéêàõ ìèêðî÷èïà. Èçîáðàæåíèå ÄÍÊ-ìèêðî÷èïà äëÿ äîå Äðìàíàöåì) è «Oxford Gene Technology» (îñíîâàíàáîðà ðèäîâ èç íàøåãî ïîñòîÿííîãî ïðèìåðà ïðèâåíà ñýðîì Ýäâèíîì Ñàóçåðíîì). äåíî íà ðèñóíêå 16. Íåäàâíÿÿ ðåâîëþöèÿ â ñåêâåíèðîâàíèè ÄÍÊ Ðèñ.16. ÄÍÊ-ìèêðî÷èï, ñîäåðæàùèé âñå âîçìîæíûå 3-ìåðû.  äåñÿòè êëåòî÷êàõ, êîòîðûå âûäåëåíû öâåòîì, ïðåäñòàâëåíû 3-ìåðû, äîïîëíèòåëüíûå ê ðèäàì ñ ðèñóíêîâ 9 è 10. Íàïðèìåð, ÖÀÖ âûäåëåí, ïîýòîìó äîïîëíèòåëüíûé ê íåìó ðèä ÃÒà áûë íà òåõ ðèñóíêàõ. Îòìåòèì, ÷òî ÄÍÊ-ìèêðî÷èï íå ñîäåðæèò íèêàêîé èíôîðìàöèè î êîïèéíîñòè ðèäîâ Ïîíà÷àëó ïî÷òè íèêòî íå âåðèë, ÷òî èäåÿ ìèêðî÷èïîâ ñðàáîòàåò, ïîòîìó ÷òî è áèîõèìè÷åñêàÿ çàäà÷à ñèíòåçà ìèëëèîíîâ êîðîòêèõ ôðàãìåíòîâ ÄÍÊ, è ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàäà÷à âîññòàíîâëåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êàçàëèñü ñëèøêîì ñëîæíûìè.  1988 ãîäó æóðíàë «Science» 4 Íà ñàìîì äåëå â òî âðåìÿ ðå÷ü øëà íå î ôëþîðåñöåíòíîé, à î ðàäèîàêòèâíîé ìåòêå. Ïîñëå îñíîâàíèÿ êîìïàíèè «Hyseq» Ðàäîå Äðìàíàö íå îñòàâèë ñâîåé ìå÷òû îá èçîáðåòåíèè àëüòåðíàòèâíîãî ñïîñîáà ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ.  2005 îí îñíîâàë êîìïàíèþ «Complete Genomics», êîòîðàÿ íåäàâíî ðàçðàáîòàëà òåõíîëîãèþ ÷òåíèÿ (ïî÷òè) âñåõ lìåðîâ â ãåíîìå, òåì ñàìûì ïîçâîëèâ, íàêîíåö, ïðèìåíåíèå ìåòîäà ýéëåðîâîé ñáîðêè. Õîòÿ èñïîëüçóåìàÿ Äðìàíàöåì òåõíîëîãèÿ ÷èïîâ ñ «íàíîøàðèêàìè» äîñòàòî÷íî ñèëüíî îòëè÷àåòñÿ îò ïðåäëîæåííîé èì â 1988 ãîäó òåõíîëîãèè ÄÍÊ-÷èïîâ, íàñëåäèå òîé èäåè â ÷èïàõ ñ íàíîøàðèêàìè äîâîëüíî îùóòèìî, ïîäòâåðæäàÿ òåì ñàìûì ñòàðóþ èñòèíó, ÷òî õîðîøèå èäåè íå óìèðàþò, äàæå åñëè îíè ïðîâàëèâàþòñÿ. Áîëåå òîãî, íåêîòîðûå äðóãèå êîìïàíèè, âêëþ÷àÿ «Illumina» è «Life Technologies», ñîðåâíóþòñÿ ñ «Complete Genomics», èñïîëüçóÿ ñâîè ñîáñòâåííûå òåõíîëîãèè äëÿ ÷òåíèÿ (ïî÷òè) âñåõ l-ìåðîâ â ãåíîìå. ÄÍÊ-÷èïû îêàçàëèñü íåñïîñîáíû âûäàâàòü òî÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðèäîâ äëèíîé õîòÿ áû 15 íóêëåîòèäîâ, íî òåõíîëîãèè ñåêâåíèðîâàíèÿ ñëåäóþùåãî ïîêîëåíèÿ ÷èòàþò ðèäû äëèíû 25 íóêëåîòèäîâ 6 è äàæå áîëüøå (ïðè ýòîì ñ÷èòûâàÿ ñîòíè ìèëëèîíîâ òàêèõ ðèäîâ çà îäèí ýêñïåðèìåíò). Çà ïîñëåäíèå 5 ëåò ýòè ðàçðàáîòêè â îáëàñòè òåõíîëîãèé ñåêâåíèðîâàíèÿ ïîëíîñòüþ ïðåîáðàçèëè ãåíîìèêó, è òåïåðü áèîëîãè ãîòîâÿòñÿ ê ñáîðêå ãåíîìîâ âñåõ ìëåêîïèòàþùèõ íà Çåìëå 5 Ýêñïðåñèÿ ãåíîâ ïðîöåññ ïðîèçâîäñòâà áåëêà, êîäèðóåìîãî ýòèì ãåíîì. 6  íàñòîÿùåå âðåìÿ áîëåå 100. ÐÅÊÎÍÑÒÐÓÊÖÈß ÃÅÍÎÌÀ: ÃÎËÎÂÎËÎÌÊÀ ÈÇ ÌÈËËÈÀÐÄÀ ÊÓÑÎ×ÊΠøèíû èñõîäÿùàÿ è âõîäÿùàÿ ñòåïåíè ðàâíû, òî ýòî óñëîâèå ñîõðàíÿåòñÿ è äëÿ ãðàôà H. Òàê êàê G ñâÿçíûé, íàéäåòñÿ íåêîòîðàÿ âåðøèíà w èç H, èç êîòîðîé åñòü èñõîäÿùèå ðåáðà, ïðèíàäëåæàùèå êàê ãðàôó H, òàê è C1 . Êàê è âûøå, â ãðàôå H âûäåëèì öèêë C2 , íà÷èíàþùèéñÿ â âåðøèíå w. Òåïåðü ó íàñ äâà öèêëà C1 è C2 , íå èìåþùèå îáùèõ ðåáåð, è îáà îíè ïðîõîäÿò ÷åðåç âåðøèíó w. Ìû ìîæåì îáúåäèíèòü ýòè äâà öèêëà C1 è Ðèñ.17. Ê 2010 ãîäó áûëè ðàñøèôðîâàíû ãåíîìû âñåãî äåâÿòè ìëåêîïèòàþùèõ: ÷åëîâåêà, C2 â îäèí «ñóïåðöèêë» C ìûøè, êðûñû, ñîáàêè, øèìïàíçå, ìàêàêè, îïîññóìà, ëîøàäè è êîðîâû. Ñ òåõ ïîð óæå ìíîãîå (ðèñ. 18). èçìåíèëîñü, íî ìíîãîå åùå âïåðåäè Äàëåå ïðîâåðÿåì, ÿâëÿåòñÿ ëè öèêë C ýéëåðîâûì. (ðèñ.17), âñå åùå îñíîâûâàÿñü íà ïðåêðàñíîé èäåå,  ñëó÷àå åñëè íåò, ïîâòîðÿåì ïðîöåäóðó «íàðàùèâàêîòîðóþ Ëåîíàðä Ýéëåð ïðèäóìàë â 1735 ãîäó. íèÿ» öèêëà. Ýòà ïðîöåäóðà íå ìîæåò ïðîäîëæàòüñÿ áåñêîíå÷íî (â Äîêàçàòåëüñòâî âòîðîé òåîðåìû Ýéëåðà ãðàôå êîíå÷íîå ÷èñëî ðåáåð), ïîýòîìó íà î÷åðåäíîì øàãå ìû ïîëó÷èì ýéëåðîâ öèêë. Ìû äîêàæåì òåîðåìó â ñëó÷àå îðèåíòèðîâàííûõ ãðàôîâ (òåîðåìà äëÿ íåîðèåíòèðîâàííûõ ãðàôîâ äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì). Èòàê, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ìû äîëæíû ïðîâåðèòü, ÷òî (1) ó ãðàôà ñ ýéëåðîâûì öèêëîì èñõîäÿùàÿ è âõîäÿùàÿ ñòåïåíè ëþáîé âåðøèíû ðàâíû, (2) åñëè â ñâÿçíîì ãðàôå èñõîäÿùàÿ è âõîäÿùàÿ ñòåïåíè ëþáîé âåðøèíû ðàâíû, òî äëÿ íåãî èìååòñÿ ýéëåðîâ öèêë. 1. Ïóñòü ãðàô èìååò ýéëåðîâ öèêë. Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ âåðøèíó v. Ïðîéäåì ïî ýéëåðîâîìó öèêÐèñ.18. Îáúåäèíåíèå öèêëîâ. Åñëè äâà öèêëà ïðîõîäÿò ÷åðåç ëó, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîé âåðøèíû, îòëè÷íîé îò v. îäíó è òó æå âåðøèíó w, òî èõ ìîæíî îáúåäèíèòü â îäèí Êàæäûé ðàç, êîãäà ìû âõîäèì ïî íåêîòîðîìó ðåáðó â öèêë, ïðîñòî ïîìåíÿâ ïîðÿäîê ïðîõîäà âåðøèí, âûõîäÿùèõ âåðøèíó, ìû âûõîäèì èç íåå ïî äðóãîìó ðåáðó. Òåì èç w ñàìûì, åñëè â âåðøèíå v ìû ïîáûâàëè k ðàç, òî Çàìå÷àòåëüíàÿ îñîáåííîñòü äîêàçàòåëüñòâà, ïðåäâõîäÿùàÿ è âûõîäÿùàÿ ñòåïåíè ýòîé âåðøèíû ñòàâëåííîãî âûøå, åãî «êîíñòðóêòèâíîñòü». Âåäü ðàâíû k, ò.å. ðàâíû. ìû íå òîëüêî ïîëó÷èëè äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû, íî è 2. Íàîáîðîò, ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî â ñâÿçíîì ïîëó÷èëè äîñòàòî÷íî ïðîñòîé àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ãðàôå èñõîäÿùàÿ è âõîäÿùàÿ ñòåïåíè ëþáîé âåðøèíû ýéëåðîâà öèêëà. ðàâíû. Áóäåì ÿâíî ñòðîèòü ýéëåðîâ îáõîä ñëåäóþùèì Ýòîò àëãîðèòì â äåéñòâèòåëüíîñòè áóäåò áûñòðî îáðàçîì. Âîçüìåì íåêîòîðóþ âåðøèíó v â ãðàôå G è ðàáîòàòü è ïðèìåíèì ê ãðàôàì ãåíîìà, êîëè÷åñòâî ëþáîå ðåáðî, âûõîäÿùåå èç v. Ïðîéäåì ïî ýòîìó ðåáåð â êîòîðûõ ìîæåò ñîñòàâëÿòü ìèëëèàðäû. Íàêîðåáðó â ñëåäóþùóþ âåðøèíó. Ïðîäîëæèì ïóòü, êàæíåö ìû íàó÷èëèñü ñîáèðàòü íàø ãèãàíòñêèé ïàçë. äûé ðàç âûáèðàÿ ðåáðî, ïî êîòîðîìó ìû åùå íå Íà ðèñóíêå 19 ìû ïðèìåíÿåì àëãîðèòì ê ãðàôó äå ïðîõîäèëè.  êîíöå êîíöîâ ìû ïðèäåì â íà÷àëüíóþ Áð¸éíà ñ ðèñóíêà 12. âåðøèíó v, ïðè ýòîì îáðàçóåòñÿ íåêîòîðûé öèêë C1 . Ïî÷åìó íàøå «ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå» ïî ðåáðàì Çàêëþ÷åíèå ãðàôà çàâåðøèòñÿ ïîñòðîåíèåì öèêëà? Ýòî ñëåäóåò èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà âõîäÿùåé è èñõîäÿùåé ñòåïåíåé: Ìû ïîçíàêîìèëèñü ñ Ýéëåðîì, Ãàìèëüòîíîì è äå âåäü êàæäûé ðàç ïîñëå òîãî, êàê ìû ïðèøëè â âåðøèíó, Áð¸éíîì òðåìÿ ìàòåìàòèêàìè òðåõ âåêîâ, æèâøèõ â îòëè÷íóþ îò v, ìû ñìîæåì ïîêèíóòü åå ïî åùå íå ðàçíûõ ñòðàíàõ è ñòàâèâøèõ ïåðåä ñîáîé ñîâåðøåííî ïðîéäåííîìó ðåáðó. ðàçíûå çàäà÷è.  èõ ðàáîòå è òîì, âî ÷òî îíà ïðåâðàÄëÿ öèêëà C1 åñòü äâå âîçìîæíîñòè: ëèáî C1 óæå òèëàñü â íàñòîÿùèé ìîìåíò â ñîâðåìåííîé áèîëîãèè, ÿâëÿåòñÿ ýéëåðîâûì öèêëîì, ëèáî íåò. Âî âòîðîì ìû ìîæåì ïî÷óâñòâîâàòü äóõ íàñòîÿùåãî ïðèêëþ÷åñëó÷àå âðåìåííî óäàëèì ðåáðà C1 èç G. Ïîëó÷èì íèÿ. Ïðè ýòîì ïåðâûå áèîëîãè, êîòîðûå ðàáîòàëè íàä íîâûé ãðàô H. Òàê êàê â öèêëå C1 äëÿ êàæäîé âåðçàäà÷åé ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ, íå èìåëè íèêàêîãî ÊÂÀÍT 2014/¹3 âòîðîé ïîëîâèíå XIX âåêà îíà áûëà âîçâðàùåíà ê æèçíè âûäàþùèìèñÿ ìàòåìàòèêàìè, ñðåäè ïðî÷èõ è Óèëüÿìîì Ãàìèëüòîíîì. Òåîðèÿ ãðàôîâ îêîí÷àòåëüíî ðàñöâåëà â XX âåêå, ñòàâ îäíèì èç îñíîâíûõ íàïðàâëåíèé ìàòåìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé. Ïåðâûå ìåòîäû ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ áûëè íåçàâèñèìî è îäíîâðåìåííî èçîáðåòåíû â 1977 ãîäó Ôðåäîì Ñýíãåðîì ñ êîëëåãàìè ñ îäíîé ñòîðîíû è Óîëòåðîì Ãèëüáåðòîì (Walter Gilbert) ñ êîëëåãàìè ñ äðóãîé. Ïîäõîä ê ñåêâåíèðîâàíèþ ÄÍÊ ñ ïîìîùüþ ãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ áûë âïåðâûå ïðåäëîæåí â 1984 ãîäó (H.Peltola, H.Soderlund, E.Ukkonen), à âïîñëåäñòâèè ðàçâèò Äæîíîì Êåñåñèîãëó (John Kececioglu) è Þäæèíîì Ìàéåðñîì (Eugene Myers). Ðèñ.19. Ïîèñê ýéëåðîâà öèêëà â ãðàôå B(2, 4) Ðàçâèòèå ìåòîäîâ ñåêâåíèðîñ ðèñóíêà 12. Ñíà÷àëà ðàçáèâàåì ãðàô íà âàíèÿ ÄÍÊ ïðèâåëî ê ðàñöèêëû (à). Çàòåì ïî î÷åðåäè îáúåäèíÿåì øèôðîâêå ïîëíîãî ãåíîìà áàêýòè öèêëû, ïðèìåíÿÿ îïèñàííûé âûøå àëãîòåðèè H. influenzae äëèíîé ðèòì (á).  èòîãå ïîëó÷èòñÿ åäèíñòâåííûé 1800 Êá â ñåðåäèíå 1990-õ. ýéëåðîâ öèêë (â); öèôðû íà ðåáðàõ îáîçíàÃåíîì ÷åëîâåêà áûë îòñåêâå÷àþò ïîðÿäîê îáõîäà.  íàøåì ñëó÷àå öèêë íèðîâàí ñ èñïîëüçîâàíèåì ãàäàåò ñòðîêó 0000110010111101 ìèëüòîíîâà ïîäõîäà â 2001. Èñïîëüçîâàíèå ÄÍÊ-÷èïîâ áûëî ïðåäëîæåíî îäíîâðåìåííî è íåçàâèñèìî â 1988 ãîäó Ðàäîå Äðìàíàöåì è êîëëåãàìè ïðåäñòàâëåíèÿ î òîì, êàê ïðèìåíèòü äëÿ ýòîãî òåîðèþ â Þãîñëàâèè, Àíäðååì Ìèðçàáåêîâûì è êîëëåãàìè â Ðîññèè ãðàôîâ; áîëåå òîãî, ïåðâàÿ ñòàòüÿ, îáúåäèíèâøàÿ ìàòåè Ýäâèíîì Ñàóçåðíîì è êîëëåãàìè â Âåëèêîáðèòàíèè. ìàòè÷åñêèå èäåè ýòîãî òðèî äëÿ ñáîðêè ôðàãìåíòîâ, Ýéëåðîâ ïîäõîä ê ÄÍÊ-÷èïàì áûë îïèñàí Ï.Ïåâçíåðîì. áûëà îïóáëèêîâàíà ñïóñòÿ ìíîãèå ãîäû ïîñëå ñìåðòè Ýéëåðîâ ïîäõîä ê ñåêâåíèðîâàíèþ ÄÍÊ áûë îïèñàí R. Idury Ýéëåðà è Ãàìèëüòîíà, êîãäà äå Áð¸éíó áûëî óæå çà 70. è M. Waterman, à â äàëüíåéøåì ðàçâèò â 2001 ãîäó Òàê ÷òî, âîçìîæíî, ñòîèò ïðåäñòàâëÿòü ñåáå ýòèõ òðîèõ (P.A. Pevzner, H.Tang è M.Waterman), êîãäà óæå ïî÷òè ó÷åíûõ íå êàê èñêàòåëåé ïðèêëþ÷åíèé, à êàê îäèíîêèõ íèêòî íå âåðèë, ÷òî åãî ñòàíåò âîçìîæíî ïðèìåíèòü íà ïðàêòèêå. ñòðàííèêîâ. Êàæäûé èç íèõ ëþáèë ðåøàòü àáñòðàêòÏðèìåðíî â òî æå âðåìÿ Ñèäíè Áðåííåð (Sydney Brenner) íûå ìàòåìàòè÷åñêèå çàäà÷è, äàæå íå ïðåäïîëàãàÿ (êàê ñ êîëëåãàìè ïðåäñòàâèëè ìåòîä Massively Parallel Signature ýòî ÷àñòî áûâàåò ó ìàòåìàòèêîâ), ÷òî èõ îòâåòû ìîãóò Sequencing (MPSS, ìåòîä ñèëüíî ðàñïàðàëëåëåííîãî ñåêâåáûòü îäíàæäû ïðèìåíåíû â ðåàëüíîì ìèðå óæå áåç íèõ íèðîâàíèÿ ïîäïèñåé), êîòîðûé îçíàìåíîâàë íà÷àëî ýðû ñàìèõ. ñåêâåíèðîâàíèÿ íîâîãî ïîêîëåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì êîðîòêèõ ðèäîâ. Íà ïðîòÿæåíèè ïîñëåäíåãî äåñÿòèëåòèÿ MPSS Ïðèìå÷àíèÿ âìåñòå ñ òåõíîëîãèÿìè, ðàçðàáîòàííûìè òàêèìè êîìïàíèÿÐåøåíèå Ýéëåðà äëÿ çàäà÷è î Êåíèãñáåðñêèõ ìîñòàõ áûëî ìè, êàê «Complete Genomics», «Illumina» è «Life Techïðåäñòàâëåíî â Àêàäåìèè íàóê è õóäîæåñòâ â Ñàíêò-Ïåòåðnologies», ñîâåðøèëè ïåðåâîðîò â ãåíîìèêå. Òåõíîëîãèè áóðãå 26 àâãóñòà 1735 ãîäà. Ýéëåð áûë ñàìûì ïëîäîâèòûì íîâîãî ïîêîëåíèÿ ñ÷èòûâàþò äîâîëüíî êîðîòêèå ðèäû, äëèàâòîðîì ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàáîò âñåõ âðåìåí: ïîìèìî òåîðèè íîé îò 30 äî 100 íóêëåîòèäîâ, óñëîæíÿÿ ýòèì çàäà÷ó ñáîðêè ãðàôîâ îí âïåðâûå èñïîëüçîâàë çàïèñü f ( x ) äëÿ îáîçíà÷åôðàãìåíòîâ. ×òîáû ðàçðåøèòü ýòîò âîïðîñ, áûëî ðàçðàáîòàíèÿ ôóíêöèè, i äëÿ êâàäðàòíîãî êîðíÿ èç 1 è ïîñòîÿííîé π íî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ñðåäñòâ ñáîðêè, âñå èç êîòîðûõ äëÿ âû÷èñëåíèÿ äëèíû îêðóæíîñòè. Íàïðÿæåííî ðàáîòàÿ ñëåäóþò ýéëåðîâó ïîäõîäó. âñþ ñâîþ æèçíü, îí îñëåï.  1735 ãîäó îí ïåðåñòàë âèäåòü Çàèíòåðåñîâàííûé ÷èòàòåëü ìîæåò ïðîñëóøàòü â èíòåðíåïðàâûì ãëàçîì, íî íå áðîñèë çàíÿòèé ìàòåìàòèêîé.  1766 òå (áåñïëàòíî) êóðñ ïî áèîèíôîðìàöèîííûì àëãîðèòìàì, ãîäó îí ïîòåðÿë çðåíèå è íà ëåâîì ãëàçó è âñå ðàâíî êîòîðûé íà÷íåòñÿ 15 ñåíòÿáðÿ. Ïîäðîáíîñòè ïî ññûëêå ïðîäîëæèë ðàáîòàòü, ñêàçàâ ëèøü, ÷òî «òåïåðü ó ìåíÿ áóäåò https://www.coursera.org/course/bioinformatics ìåíüøå ïîâîäîâ îòâëåêàòüñÿ». Óæå ñîâåðøåííî îñëåïíóâ, îí Òàêæå ðåêîìåíäóåì êíèãó «Áèîèíôîðìàòèêà äëÿ áèîëîîïóáëèêîâàë ñîòíè ñòàòåé. ãîâ» («Bioinformatics for biologists») ïîä ðåäàêöèåé Ï.ÏåâÏîñëå ðàáîòû Ýéëåðà, ðåøàþùåé çàäà÷ó î Êåíèãñáåðñêèõ çíåðà è Ð.Øàìèðà, âûïóùåííóþ íà àíãëèéñêîì ÿçûêå ìîñòàõ, î òåîðèè ãðàôîâ çàáûëè áîëåå ÷åì íà ñòî ëåò, íî âî èçäàòåëüñòâîì «Cambridge university press» â 2011 ãîäó. Î÷åðê èñòîðèè èññëåäîâàíèé íåéòðèíî Þ.ÃÀÏÎÍÎÂ È ÒÀÊ, Ê 1956 ÃÎÄÓ ÑÒÀËÎ ßÑÍÎ ÑËÅÄÓÞÙÅÅ. ×òî êàñàåòñÿ êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè, òî, â ïðèíöèïå, îíà ïîñòðîåíà, îñòàâàëèñü òîëüêî ïðîáëåìû ðàñõîäèìîñòåé, ñ êîòîðûìè ôèçèêà åùå äîëãî âîçèëàñü è â êàêîé-òî ìåðå ïðîäîëæàåò âîçèòüñÿ è ñåãîäíÿ. Íî ýòî óæå ïðîáëåìû, ñâÿçàííûå ñ âûñîêèìè òî÷íîñòÿìè òåîðèé. Çàòåì âïåðâûå ôèçèêè îáðàòèëè âíèìàíèå íà òàê íàçûâàåìûå äèñêðåòíûå ñèììåòðèè îòðàæåíèå ïðîñòðàíñòâåííîå, îòðàæåíèå âðåìåííóå è ïðåîáðàçîâàíèå çàðÿäà (êîãäà âû ïåðåõîäèòå îò ÷àñòèö ê àíòè÷àñòèöàì). Íó âîò, ýòè èäåè áûëè ðàçâèòû. Äàëüøå è ýòî áûëî ñàìîå èíòåðåñíîå â K-ìåçîíàõ, êîòîðûå â ýòî âðåìÿ óæå íàó÷èëèñü ðîæäàòü íà óñêîðèòåëÿõ, âîçíèêëà ñîâåðøåííî íîâàÿ ïðîáëåìà. Îïÿòü ïàðàäîêñ, è îïÿòü îí ñâÿçàí â êàêîé-òî ìåðå, êàê ìû óâèäèì äàëüøå, ñ ôèçèêîé ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ (â äàííîì ñëó÷àå ýòî ôèçèêà ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, à íå ñîâñåì íåéòðèíî, íî â íåéòðèíî èìååò ìåñòî òî æå ñàìîå). À èìåííî, ýòî τ - θ -ïðîáëåìà. Èçìåðÿÿ Kìåçîííûå ðàñïàäû, íàøëè òàêèå ÷àñòèöû, êîòîðûå ðàñïàäàþòñÿ íà äâà ïèîíà èëè íà òðè ïèîíà (ðàçíûå ÷àñòèöû, åñòåñòâåííî). Ïðè ýòîì ìàññû ýòèõ ÷àñòèö ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàþò. Êàê ýòî ìîæåò áûòü? Âîò ïðîáëåìà, êîòîðàÿ ìó÷èëà ôèçèêîâ ñ 1953 ïî 1956 ãîä, à îòâåò íà íåå îêàçàëñÿ ñîâåðøåííî óíèêàëüíûì: â ýòèõ ðàñïàäàõ íàðóøàåòñÿ ÷åòíîñòü, çàêîí ñîõðàíåíèÿ ÷åòíîñòè. È âîò, ýòà ãèïîòåçà áûëà âûäâèíóòà â 1956 ãîäó Ëè è ßíãîì, è áóêâàëüíî çà ãîä ýêñïåðèìåíò ïî ïðîâåðêå ñîõðàíåíèÿ ÷åòíîñòè â áåòà-ðàñïàäå áûë ñäåëàí, ýòî âñå áûëî ïîäòâåðæäåíî, è âûÿñíèëîñü, ÷òî ó íåéòðèíî åñòü ñîâåðøåííî íîâûå ñâîéñòâà. Ñåé÷àñ ÿ âàì íåñêîëüêî ñëîâ íà ýòó òåìó ñêàæó. ×òî òàêîå ÷åòíîñòü? Íàïîìíþ. Âñå ôèçèêè çíàþò, ÷òî åñòü âåêòîðû: ðàäèóñ, ñêîðîñòü, èìïóëüñ Åñòü îïåðàöèÿ îòðàæåíèÿ. Íó âîò, íàðèñóåì, íàïðèìåð, èìïóëüñ â íåêèõ êîîðäèíàòàõ x, y, z. Äàâàéòå ïðîèçâåäåì îòðàæåíèå. Åñëè ÿ ñäåëàþ ïîëíîå îòðàæåíèå âñåãî è îñåé, è ñàìîãî èìïóëüñà òîæå, òî ýòî áóäåò âàðèàíò âîçìîæíûé, íî íå ñîâñåì òà îïåðàöèÿ, ñ êîòîðîé ìû õîòèì ðàáîòàòü. ß æå õî÷ó îòðàçèòü èìïóëüñ, íî ñîõðàíèòü êîîðäèíàòû, ò.å. ïðîâåñòè îòðàæåíèå â ñòàðûõ êîîðäèíàòàõ. ßñíî, ÷òî âåêòîð ïðè òàêîé îïåðàöèè ïðîñòî ïîìåíÿåò çíàê: r ïîìåíÿåòñÿ íà -r , v íà -v , p íà - p . Îäíàêî ñóùåñòâóþò äðóãèå âåëè÷èíû, òèïà âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ âåêòîðîâ, êîòîðûå èìåþò äðóãèå ñâîéñòâà. Âîò, íàïðèìåð, Îêîí÷àíèå. Íà÷àëî â ïðåäûäóùåì íîìåðå æóðíàëà. Þðèé Âëàäèìèðîâè÷ Ãàïîíîâ ìîìåíò ñèëû èëè ìîìåíò èìïóëüñà. Åñëè âû äåëàåòå îòðàæåíèå, òî, ïîñêîëüêó ó âàñ åñòü äâà âåêòîðà è îáà çíàê ìåíÿþò, ýòè ïñåâäîâåêòîðû, êàê ìû èõ íàçûâàåì, íå ìåíÿþò çíàêà.  ÷àñòíîñòè, ðàç åñòü ìîìåíò, òî, åñòåñòâåííî, êðó÷åíèå ñàìîé ÷àñòèöû òîæå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íåêèé ìîìåíò, êîòîðûé òîæå íå äîëæåí ìåíÿòü ñâîé çíàê ïðè îòðàæåíèè. È, íàêîíåö, åñëè ÿ åå, ýòó ÷àñòèöó, ñâåäó â òî÷êó, ñäåëàþ åå òî÷å÷íîé, òî âîçíèêàåò ïîíÿòèå ñïèíà. ß íå õî÷ó ñåé÷àñ âëåçàòü â ýòè ïîíÿòèÿ, ôèçèêè çíàþò, ÷òî ýòî òàêîå, ÿ ïðîñòî íåìíîãî ïðèìèòèâèçèðóþ êàðòèíó, ÷òîáû âàì ïðîùå áûëî ïîíèìàòü ñèòóàöèþ. Ïîëÿðèçàöèÿ ñïèí÷àñòèö êàê ðàç èìååò òå æå ñâîéñòâà, ÷òî è âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå. Äàâàéòå òåïåðü ðàññìîòðèì òàêîé ïðîöåññ. Ïóñêàé ó íàñ åñòü íåéòðèíî, è ïóñêàé íåéòðèíî ëåòèò ïî èìïóëüñó p , à ïîëÿðèçîâàíî ïðîòèâ èìïóëüñà.  äåéñòâèòåëüíîñòè ðåàëüíûå íåéòðèíî òàê è óñòðîåíû îíè ïîëÿðèçîâàíû ïðîòèâ ñâîåãî èìïóëüñà. Ïðîâåäåì îòðàæåíèå. Òîãäà â îòðàæåíèè, ò.å. â çåðêàëå, âû óâèäèòå, ÷òî èìïóëüñ ó âàñ ïîìåíÿëñÿ, à ñïèí íå èçìåíèëñÿ. Ó âàñ ïîÿâèëàñü ÷àñòèöà, ó êîòîðîé ñïèí è èìïóëüñ íàïðàâëåíû â îäíó è òó æå ñòîðîíó. À ñ òî÷êè çðåíèÿ ñåãîäíÿøíåé ôèçèêè ýòî àíòèíåéòðèíî. Çíà÷èò, â " ÊÂÀÍT 2014/¹3 çåðêàëå (âû ñìîòðèòå â çåðêàëî) âìåñòî íåéòðèíî âû âèäèòå àíòèíåéòðèíî, à íå íåéòðèíî. Âîò ïàðàäîêñ, ñ êîòîðûì ñòîëêíóëèñü ôèçèêè â 195657 ãîäàõ. Òî÷íî òàê æå âû ìîæåòå ñäåëàòü, íàïðèìåð, òàêîé ýêñïåðèìåíò. Ðàññìîòðèòå ïîëÿðèçîâàííîå ÿäðî, êîòîðîå ó âàñ ðàñïàäàåòñÿ, âûëåòàþò ýëåêòðîíû ïîä óãëîì θ , è âû äåëàåòå îòðàæåíèå. Ó âàñ ïîëÿðèçîâàííîå ÿäðî îñòàíåòñÿ ïîëÿðèçîâàíî â òó æå ñòîðîíó, à èìïóëüñ ïîìåíÿåò çíàê. Åñëè áû ó âàñ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ÷åòíîñòè âûïîëíÿëñÿ, òî îáà ïðîöåññà áûëè áû îäèíàêîâû. À íà ñàìîì äåëå îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè áåòà-ðàñïàäå ÷àñòèöû âûëåòàþò â îñíîâíîì ïî èëè ïðîòèâ ìîìåíòà ÿäðà. Âîò ýòî è åñòü çíàìåíèòûé ýêñïåðèìåíò Âó, êîòîðûé áûë ñäåëàí â 1957 ãîäó áóêâàëüíî çà ïîëãîäà. È áûëî ïîêàçàíî: äà, â ôèçèêå ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, ò.å. â íåéòðèííîé ôèçèêå, íàðóøàåòñÿ ÷åòíîñòü. È âîò çäåñü âûÿñíèëîñü, ÷òî Íèëüñ Áîð áûë ïðàâ. Äåéñòâèòåëüíî, Íèëüñ Áîð ÷òî ãîâîðèë? Îí ïðèäèðàëñÿ ê çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, íî îí áûë ïðàâ â ñâîåé ëîãèêå: íà óðîâíå â 10 -13 - 10 -17 ñì çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ìîãóò áûòü äðóãèìè. È â ýòîì ïëàíå åãî èäåÿ êàê áû îæèëà çàíîâî. Íè÷åãî íå ïðîïàäàåò, õîðîøèå èäåè ñîõðàíÿþòñÿ è äàëüøå. Âîò ñåãîäíÿøíÿÿ òî÷êà çðåíèÿ: áåçìàññîâîå íåéòðèíî ïîëÿðèçîâàíî ïðîòèâ èìïóëüñà, à àíòèíåéòðèíî ïî èìïóëüñó. Ìèð âíóòðè, â ñëàáîì âçàèìîäåéñòâèè, îêàçûâàåòñÿ íåñèììåòðè÷íûì.  çåðêàëå âû âèäèòå íå íåéòðèíî, à àíòèíåéòðèíî. È åùå îäíî îòêðûòèå áûëî ñäåëàíî âñêîðå ïîñëå ýòîãî: ïðîöåññû, ñâÿçàííûå ñ íàïðàâëåíèåì âðåìåíè, òîæå îêàçàëèñü ðàçíûìè. Áûëè îòêðûòû ïðîöåññû â ðàñïàäå K -ìåçîíîâ, êîòîðûå ïî âðåìåíè è ïðîòèâ (ñî ñìåíîé çíàêà âðåìåíè) ðàçíûå. Èòàê, âîò ÷òî ïðîèçîøëî â òåîðåòè÷åñêèé ïåðèîä ñ 1953 ïî 1967 ãîä. Ëè è ßíã ïðèäóìàëè ãèïîòåçó äëÿ ðåøåíèÿ ïðîáëåìû τ - θ , ò.å. ãèïîòåçó î íàðóøåíèè ÷åòíîñòè. Îíî áûëî ýêñïåðèìåíòàëüíî îòêðûòî â 1957 ãîäó ñíà÷àëà â áåòà-ðàñïàäå ÿäåð, ïîòîì â áåòà-ðàñïàäå ðàçëè÷íûõ ÷àñòèö: µ -ìåçîíîâ, π -ìåçîíîâ, K-ìåçîíîâ; íûíå ýòî òðèâèàëüíîñòü. È, íàêîíåö, ÷òî áûëî äåéñòâèòåëüíî íîâîñòüþ äëÿ ôèçèêîâ, îíî áûëî îáíàðóæåíî âî âçàèìîäåéñòâèè íóêëîíîâ ñ íóêëîíàìè â ÿäðàõ. Êñòàòè, ýòî äî ñèõ ïîð íåêîòîðàÿ çàãàäêà. Ìû ïðåêðàñíî çíàåì, ÷òî åñòü òàê íàçûâàåìûå íàðóøàþùèå ÷åòíîñòü ÿäåðíûå ñèëû. Ýòè ñèëû ñóùåñòâóþò, îíè ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîêàçàíû. Ê ñëîâó ñêàçàòü, Ðîññèÿ çäåñü î÷åíü ìíîãî ïîðàáîòàëà íàïðèìåð Ëîáàø¸â (ýêñïåðèìåíòàòîð) è Àáîâ Þðèé Ãåîðãèåâè÷. Íî ïî ñèþ ïîðó ýòà îáëàñòü ÿâëåíèé íèêàê íå ñâÿçàíà ñ îñòàëüíûìè, âû íå ìîæåòå ðàññ÷èòàòü åå, èñõîäÿ èç ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Ýëåìåíòàðíàÿ ÷àñòèöà æèâåò ñàìà ïî ñåáå, à ÿäåðíàÿ ôèçèêà ñ åå íàðóøåíèåì íóêëîí-íóêëîííîãî ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ æèâåò ñàìà ïî ñåáå. Íàêîíåö, áûëî îòêðûòî ñëàáîå âçàèìîäåéñòâèå è â àòîìàõ òîæå âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ÿäðîì è ýëåêòðîíàìè, êðîìå îáû÷íîãî êóëîíîâñêîãî, èìååò åùå íåêóþ ìàëåíüêóþ äîáàâêó. Ýòà äîáàâêà ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî ýëåêòðîí ñ íóêëîíàìè åùå âçàèìîäåéñòâóåò ñëàáûì îáðàçîì. Âîò ýòè ïðîöåññû áûëè âïåðâûå òîãäà îòêðûòû. À òåîðèÿ, ïîñëå òîãî êàê áûëî îòêðûòî, ÷òî íåéòðèíî íà ñàìîì äåëå èìååò ñòðîãî îïðåäåëåííóþ ïîëÿðèçàöèþ, à àíòèíåéòðèíî èìååò ñîâåðøåííî äðó- ãóþ ïîëÿðèçàöèþ, âåðíóëàñü ê Âåéëþ, ò.å. ê òîìó ïðåäåëüíîìó ñëó÷àþ, êîòîðûé ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç óðàâíåíèÿ Äèðàêà è êîòîðûé èãíîðèðîâàëñÿ â 192829 ãîäàõ. Îêàçàëîñü, ÷òî íåéòðèíî îïèñûâàåòñÿ èìåííî óðàâíåíèåì Âåéëÿ. Âîçüìèòå óðàâíåíèå Äèðàêà, ïîëîæèòå ìàññó ðàâíîé íóëþ, ïîëó÷èòå íåéòðèíî. Âñå ïðîñòî! Íî òîãäà ýòî îòðèöàëîñü. Îòðèöàëîñü, ïîòîìó ÷òî íàðóøåíèå ñîõðàíåíèÿ ÷åòíîñòè áûëî. Íèêòî íå ìîã â ýòî ïîâåðèòü. È âîò òåïåðü òàêàÿ èíòåðåñíàÿ ïàðàäîêñàëüíàÿ âåùü. ß ãîâîðþ ïðî 1956 ãîä. Èòàê, âåðíóëèñü ê äâóõêîìïîíåíòíîìó íåéòðèíî. Áûëà ïîïûòêà Ëàíäàó ââåñòè íàðóøåíèå ÷åòíîñòè, íî ñîõðàíèòü õîòÿ áû èäåþ î òîì, ÷òî åñëè âû ñìîòðèòå íà íåéòðèíî, òî â çåðêàëå ó âàñ àíòèíåéòðèíî, ò.å. ââåñòè òàê íàçûâàåìîå CP-ñîõðàíåíèå 1 . Ýòî ñîõðàíåíèå, ê ñîæàëåíèþ, òîæå îêàçàëîñü íàðóøåííûì, õîòÿ íàìíîãî â ìåíüøåé ñòåïåíè (òàê, äîëÿ ðàñïàäîâ íåéòðàëüíûõ K-ìåçîíîâ ñ íàðóøåíèåì ÑÐ-èíâàðèàíòíîñòè ñîñòàâëÿåò ïðèìåðíî 10-3 ). Çàòåì, è ýòî áûëî ñôîðìóëèðîâàíî â îñíîâíîì Ôåéíìàíîì, áûë ðåàëüíî íàïèñàí ãàìèëüòîíèàí 2 ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ñ íàðóøåíèåì ÷åòíîñòè (òàê íàçûâàåìîå V-A ñëàáîå âçàèìîäåéñòâèå 3 ). È åùå áûëî îòêðûòî íàðóøåíèå CP-÷åòíîñòè (ò.å., åñëè õîòèòå, T-÷åòíîñòè 4 ) â ýêñïåðèìåíòå ýòî ñëåäóþùèé ìîìåíò. È, íàêîíåö, ïðèáëèçèòåëüíî â 196366 ãîäû áûëà ñôîðìóëèðîâàíà òàê íàçûâàåìàÿ Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü 5 . Ýòî ìîäåëü, â êîòîðîé (ÿ íåìíîãî äàëüøå áóäó îá ýòîì ãîâîðèòü) îáúåäèíåíû äâå âåùè: ýëåêòðîìàãíèòíîå âçàèìîäåéñòâèå è ñëàáîå âçàèìîäåéñòâèå òî, êîòîðîå ïðîèñõîäèò ñ íåéòðèíî. Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü áûëà ñôîðìóëèðîâàíà èìåííî â ýòî âðåìÿ, íî åùå ïîòðåáîâàëîñü äîñòàòî÷íî áîëüøîå âðåìÿ, ïîðÿäêà 20 ëåò, ÷òîáû äîêàçàòü, ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíîñòü. 1 CP-ñèììåòðèÿ, èëè êîìáèíèðîâàííàÿ ÷åòíîñòü, ýòî èíâà- ðèàíòíîñòü ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïðè êîòîðîì ïðîèñõîäèò îäíîâðåìåííî ïðîñòðàíñòâåííîå (P) çåðêàëüíîå îòðàæåíèå ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû è çàìåíà êàæäîé ÷àñòèöû íà ñîîòâåòñòâóþùóþ åé àíòè÷àñòèöó (C, çàðÿäîâîå ñîïðÿæåíèå). 2 Ãàìèëüòîíèàí îïåðàòîð ïîëíîé ýíåðãèè ñèñòåìû ïðè êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîì îïèñàíèè. 3 V-A-òåîðèÿ óíèâåðñàëüíàÿ òåîðèÿ ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, ó÷èòûâàþùàÿ íàðóøåíèå ÷åòíîñòè (P-ñèììåòðèè) ïðè ñëàáîì âçàèìîäåéñòâèè. Ïðåäëîæåíà â 1957 ãîäó Ì.ÃåëëÌàííîì, Ð.Ôåéíìàíîì, Ð.Ìàðøàêîì è Äæ.Ñóäàðøàíîì. 4 T-ñèììåòðèÿ, èëè ñèììåòðèÿ ïî îòíîøåíèþ ê îáðàùåíèþ âðåìåíè, ýòî èíâàðèàíòíîñòü ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ îòíîñèòåëüíî çàìåíû âðåìåíè t íà t. Ïîñêîëüêó ôóíäàìåíòàëüíûì êà÷åñòâîì ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ ñ÷èòàåòñÿ CPT-ñèììåòðèÿ (ò.å. èíâàðèàíòíîñòü ïî îòíîøåíèþ ê îäíîâðåìåííîìó ïðîñòðàíñòâåííîìó çåðêàëüíîìó îòðàæåíèþ ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû, çàðÿäîâîìó ñîïðÿæåíèþ è îáðàùåíèþ âðåìåíè), òî íàðóøåíèå CP-ñèììåòðèè âîçìîæíî ëèøü ïðè îäíîâðåìåííîì íàðóøåíèè T-ñèììåòðèè. 5 Òî÷íåå, çäåñü èäåò ðå÷ü î òåîðèè ýëåêòðîñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, êîòîðàÿ áûëà ñôîðìóëèðîâàíà ê 1967 ãîäó Ñ.Âàéíáåðãîì, Ø.Ãëýøîó è À.Ñàëàìîì è ëåãëà â îñíîâó (íàðÿäó ñ êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêîé) ñîçäàííîé â òå÷åíèå ñëåäóþùåãî äåñÿòèëåòèÿ Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè ôèçèêè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Î×ÅÐÊ ÈÑÒÎÐÈÈ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÉ Íî âîò ÷òî èíòåðåñíî: íåñìîòðÿ íà òî ÷òî, êàçàëîñü áû, âñå ñôîðìóëèðîâàíî è âñå îòêðûòî, îñòàâàëèñü äâà îñòðîâêà â ýòî âðåìÿ, êîòîðûå áûëè íå ïîíÿòû. Ïåðâûé ýòî ãèïîòåçà Ïîíòåêîðâî î íåéòðèííûõ îñöèëëÿöèÿõ, ïðî êîòîðûå ÿ ñåé÷àñ ñêàæó, è âòîðîé ìàéîðàíîâñêàÿ ãèïîòåçà. Òàê âîò, òåïåðü ÿ õî÷ó ñêàçàòü íåñêîëüêî ñëîâ î Áðóíî Ïîíòåêîðâî è åãî ãèïîòåçå 1957 ãîäà. Ýòî ãèïîòåçà îñöèëëÿöèé, îíà áûëà îïóáëèêîâàíà îïÿòü â ïðåïðèíòå, òîëüêî òåïåðü â Äóáíå. Ïîìíÿ ïðî ðàáîòó Ìàéîðàíà (Ïîíòåêîðâî â êàêîé-òî ìåðå áûë åãî ó÷åíèêîì), îí âñå âðåìÿ äóìàë î òîì, íåéòðèíî è àíòèíåéòðèíî ýòî îäíî è òî æå èëè íåò? Åñëè ýòî îäíî è òî æå, òî ïîëó÷àþòñÿ îäíè ïðîöåññû, åñëè ýòî ðàçíûå âåùè, òî äðóãèå ïðîöåññû. È âîò, ðàçìûøëÿÿ íàä ýòèì, Áðóíî Ïîíòåêîðâî ñôîðìóëèðîâàë òàêóþ î÷åíü ëþáîïûòíóþ ãèïîòåçó.  çàêëþ÷åíèè ñâîåé ñòàòüè îí ïèøåò, ÷òî åñëè ó âàñ íåò íåéòðèíî è àíòèíåéòðèíî, à åñòü íàðóøåíèå ñîõðàíåíèÿ ëåïòîííîãî çàðÿäà (ò.å. åñëè íåéòðèííûé çàðÿä íå ñîõðàíÿåòñÿ), òî ïðè ýòîì âîçìîæíî ïðåâðàùåíèå íåéòðèíî â àíòèíåéòðèíî â ïðîöåññå äâèæåíèÿ, ( ν ´ ν ), è òîãäà áóäóò ïðîèñõîäèòü ïðîöåññû, ïîõîæèå íà òå, êîòîðûå áûëè îòêðûòû â K 0 ìåçîíàõ. À â K 0 -ìåçîíàõ â ýòî âðåìÿ áûëè îòêðûòû îñöèëëÿöèè, êîãäà K 0 ïåðåõîäèò â àíòè- K 0 è àíòè- K 0 ïåðåõîäèò â K 0 . È Ïîíòåêîðâî íàïèñàë äàæå, ÷òî, ïîâèäèìîìó, ýòîò ïðîöåññ ìîæåò áûòü î÷åíü âåðîÿòíî îòêðûò, êàê ìèíèìóì, â àñòðîôèçèêå, â àñòðîôèçè÷åñêèõ ìàñøòàáàõ. Áîëüøå òîãî, îí äàæå äàë îöåíêó äëèíû ýòèõ îñöèëëÿöèé. Ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ íåéòðèíî, êîòîðûå, íàïðèìåð, èñïóñêàåò Ñîëíöå, ýòî 1 ÌýÂ, è òîãäà äëèíà îñöèëëÿöèé ïîðÿäêà 103 êì. À ñåãîäíÿ îñöèëëÿöèè îòêðûòû, è èõ âåëè÷èíà ïîðÿäêà 100 200 êì. Èíûìè ñëîâàìè, ìàññà íåéòðèíî íå ðàâíà íóëþ (Ïîíòåêîðâî äëÿ ìàññû íåéòðèíî ïðåäïîëîæèë âåëè÷èíó 10 -11 ýÂ). Òàêèì îáðàçîì, åñëè âñå â ýòî âðåìÿ óâëåêàëèñü Âåéëåì è ñ÷èòàëè, ÷òî ìàññà íåéòðèíî íîëü è íå î ÷åì ãîâîðèòü, òî Ïîíòåêîðâî âûñêàçàë âîò òàêóþ ãèïîòåçó. È ÿ åùå ðàç ïîä÷åðêèâàþ, ýòî áûëà íà ñàìîì äåëå ëèíèÿ îò Ìàéîðàíà: ãèïîòåçà Ìàéîðàíà ýòî 1937 ãîä, 1946 ãîä ðàçìûøëåíèÿ Ïîíòåêîðâî îòíîñèòåëüíî íåéòðèííîé ôèçèêè, à â 1957 ãîäó, óæå â Ðîññèè, îí âûñêàçûâàåò èäåþ íåéòðèííûõ îñöèëëÿöèé.  òî âðåìÿ íåéòðèíî áûëî îäíî. Íî, êñòàòè, îí ïèøåò, ÷òî åñëè íåéòðèíî áóäåò íå îäíî, à íåñêîëüêèõ òèïîâ, òî òîæå ìîãóò áûòü íåéòðèííûå îñöèëëÿöèè 6 . È â 1958 ãîäó Ïîíòåêîðâî âûñêàçûâàåò èäåþ, ÷òî íåéòðèíî íà ñàìîì äåëå íå îäíî, à èõ ìîæåò áûòü äâà, ÷òî âîçìîæíû íåéòðèíî, ñâÿçàííûå ñ ýëåêòðîíàìè, è íåéòðèíî, ñâÿçàííûå ñ ìþîíàìè. Ïî åãî èäåå â ÖÅÐÍå áûë ïîñòàâëåí ýêñïåðèìåíò, â êîòîðîì áûëè îòêðûòû äâà òèïà íåéòðèíî: íåéòðèíî ýëåêòðîííîå è íåéòðèíî ìþîííîå (1962 ã.). Âîò òàê. À ïîòîì íàì ãîâîðÿò, ÷òî ÿïîíöû â 1962 ãîäó ïåðâûå ñêàçàëè: «íåéòðèííûå îñöèëëÿöèè». Õîðîøî. Ïîéäåì äàëüøå. Êàê âèäèòå, âñå íå ïðîñòî. Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü åñòü, à îí (Ïîíòåêîðâî) âñå ñâîå. Îí ãîâîðèò î òîì, ÷òî ó 6 Îñöèëëÿöèè óæå íå ìåæäó íåéòðèíî è àíòèíåéòðèíî, à ìåæäó äâóìÿ òèïàìè íåéòðèíî. ÍÅÉÒÐÈÍÎ # íåéòðèíî ìîãóò áûòü ñîâåðøåííî äðóãèå ñâîéñòâà. Ýòî âðåìÿ, ïðèáëèçèòåëüíî ñ 1956 ïî 1966 ãîä, «òåîðåòè÷åñêîå» âðåìÿ, âðåìÿ äèñêóññèé, òàì ìíîãî ÷åãî ñëîæèëîñü, ìíîãî áûëî âûñêàçàíî âñÿêèõ èäåé. Ïîñëå ýòîãî òåîðåòèêè çàòèõëè, íà÷àëè ðàáîòàòü ýêñïåðèìåíòàòîðû. Ýêñïåðèìåíòàòîðû çà ñëåäóþùèå 20 ëåò äîêàçûâàþò, ÷òî Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü äåéñòâèòåëüíî ðàáîòàåò. Âîçíèêàþò òðè ãëàâíûõ òåïåðü óæå íàó÷èëèñü ñ íåéòðèíî ðàáîòàòü íàïðàâëåíèÿ â íåéòðèííîé ôèçèêå. Âî-ïåðâûõ, íåéòðèíî íèçêèõ ýíåðãèé ðåàêòîðíûå íåéòðèíî â îñíîâíîì èëè áåòà-ðàñïàä. Èäóò èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ íåéòðèíî, äåëàþòñÿ îöåíêè íà ìàññó íåéòðèíî, ïîëÿðèçàöèþ íåéòðèíî, èùóòñÿ äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî íåéòðèíî íå ðàâíî àíòèíåéòðèíî. È, íàêîíåö, áûë îòêðûò òàê íàçûâàåìûé íåéòðàëüíûé êàíàë ðåàêöèè, êîãäà íåéòðèíî íå ðîæäàåò ýëåêòðîí â îáðàòíîì ïðîöåññå, à ïðîñòî ðàññåèâàåòñÿ. Ðàññåèâàåòñÿ, è âñå. Ïðè÷åì îíî ìîæåò ðàññåèâàòüñÿ íà íóêëîíàõ íó, íà äåéòðîíå, íàïðèìåð, è íà ýëåêòðîíàõ. Ïðè ýòîì îêàçàëîñü, ÷òî â òàêèõ ïðîöåññàõ ôèçèêè âûíóæäåíû ðàáîòàòü ñ ñîâåðøåííî ýêñòðåìàëüíî ìàëûìè ñå÷åíèÿìè: 10 -43 ñì2 ýòî åùå õîðîøî. Ñåé÷àñ ðàáîòàþò íà ãðàíè 10 -46 ñì2 . Ôàíòàñòè÷åñêè ìàëûå âåëè÷èíû íè÷åãî íèæå ìû íå ñìîæåì ìåðèòü. Íî èìåííî òîãäà ýòî áûëî îñîçíàíî. Âòîðîå íàïðàâëåíèå íåéòðèíî âûñîêèõ ýíåðãèé. Îíî âîçíèêëî, â ÷àñòíîñòè, â ñâÿçè ñ òåì, ÷òî ôèçèêè íàó÷èëèñü ðàáîòàòü ñ óñêîðèòåëüíûìè ïó÷êàìè.  ïó÷êàõ ïè-ìåçîíîâ, íàïðèìåð, ó âàñ íåéòðèíî ðîæäàþòñÿ îò ðàñïàäà ïèîíîâ, è ýòè íåéòðèíî èìåþò ýíåðãèþ, óæå ãîðàçäî áîëüøóþ íå ïîðÿäêà 1 ÌýÂ, êàê â ðåàêòîðíîé ôèçèêå, à ïîðÿäêà 1 Ãý è äàæå âûøå. À ñå÷åíèå âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðèíî ñ íóêëîíàìè, è âîîáùå âñåõ ñëàáûõ ïðîöåññîâ â ýòîé îáëàñòè, ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ýíåðãèè ïàäàþùåãî íåéòðèíî. Ðàç òàê, òî âû òåïåðü ìîæåòå, áåðÿ ïó÷êè íåéòðèíî äîñòàòî÷íî âûñîêèõ ýíåðãèé, âûõîäèòü íà áîëüøèå ñå÷åíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ýòî íàïðàâëåíèå ðàçâèâàëîñü, ïîÿâèëèñü íîâûå ìåòîäû ðåãèñòðàöèè íåéòðèíî, â ÷àñòíîñòè êàìåðû âñÿêèå, è áûëî äîêàçàíî, ÷òî íåéòðèíî ýëåêòðîííîå íå ïîõîæå íà íåéòðèíî ìþîííîå, ÷òî íåéòðèíî ìþîííîå íå ïîõîæå íà ñâîå àíòèíåéòðèíî è ÷òî ñóùåñòâóåò åùå òðåòèé òèï íåéòðèíî, òàê íàçûâàåìîå òàó-íåéòðèíî, îò ðàñïàäà òàó-ìåçîíà. Òàêèì îáðàçîì, ïîÿâèëèñü òðè ñåìåéñòâà íåéòðèíî. Áûëè èññëåäîâàíû ïðîöåññû ðàññåÿíèÿ íåéòðèíî íà ýëåêòðîíàõ è íà íóêëîíàõ è â ïàðàëëåëü ñ ýòèì áûëè îòêðûòû íîâûå êâàðêè, c, b, t, ïðè÷åì áûëà íàéäåíà íåêàÿ àíàëîãèÿ ìåæäó íåéòðèíî è êâàðêàìè. Íåéòðèíî åñòü òðåõ òèïîâ, è êâàðêîâ åñòü òðè ñåìåéñòâà. Íàêîíåö, ñàìûì ìîùíûì äîêàçàòåëüñòâîì òîãî, ÷òî Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü ðåàëèçóåòñÿ â ïðèðîäå, áûëî äâà îòêðûòèÿ: ïåðâîå îòêðûòèå íåéòðàëüíûõ ïðîöåññîâ 7 , êîòîðûå ïðåäñêàçàíû òîëüêî â Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè, è âòîðîå 7 Íåéòðàëüíûå òîêè îäèí èç ìåõàíèçìîâ ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, îñóùåñòâëÿåìûé çà ñ÷åò îáìåíà âèðòóàëüíûìè Záîçîíàìè ìåæäó êâàðêàìè è ëåïòîíàìè áåç èçìåíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà íà÷àëüíûõ è êîíå÷íûõ ÷àñòèö. Ïðåäñêàçàíû â 1973 ãîäó À.Ñàëàìîì, Ø.Ãëýøîó è Ñ.Âàéíáåðãîì, ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîäòâåðæäåíû â 1974 ãîäó â ÖÅÐÍå. $ ÊÂÀÍT 2014/¹3 îòêðûòèå W- è Z-áîçîíîâ (ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ïåðåíîñ÷èêîâ ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ), 1983 ãîä. Ïðè÷åì âûÿñíÿåòñÿ, ÷òî èõ ìàññà ñòðîãî ñîîòâåòñòâóåò Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè. Âñå, ôèçèêè äîëæíû áûëè óñïîêîèòüñÿ, Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü ðàáîòàåò. È ïàðàëëåëüíî âîçíèêàåò òðåòüå íàïðàâëåíèå íåéòðèííàÿ àñòðîôèçèêà. Íà÷èíàþòñÿ ïîèñêè íåéòðèíî îò Ñîëíöà, îò çâåçä, îò êîëëàïñà ñâåðõíîâûõ, âîçíèêàåò èäåÿ î òîì, ÷òî âî Âñåëåííîé ñóùåñòâóåò íåéòðèííîå ìîðå íåéòðèíî î÷åíü íèçêèõ ýíåðãèé, êîòîðûå îáðàçóþò íåêèé ôîí. Íà÷èíàþòñÿ ñîëíå÷íûå ýêñïåðèìåíòû. Îäèí èç ïåðâûõ ýêñïåðèìåíòîâ êàê ðàç âåëñÿ ïî ðåàêöèè, êîòîðóþ ïðåäëîæèë Ïîíòåêîðâî: íåéòðèíî ïàäàåò íà õëîð, ïîëó÷àåòñÿ àðãîí. Ýòî ýêñïåðèìåíò Äýâèñà, êîòîðûé äåëàëñÿ â òå÷åíèå 30 ëåò â Õîóìñòåéêå â Àìåðèêå. È, íàêîíåö, âîçíèêàþò ïîäçåìíûå ëàáîðàòîðèè è ïåðâûå íåéòðèííûå òåëåñêîïû. Èòàê, â ýòîò ïåðèîä íàøå çíàíèå î ñâîéñòâàõ íåéòðèíî ðàñøèðÿåòñÿ äî ïðîöåññîâ ðàññåÿíèÿ, èäóò èññëåäîâàíèÿ â ðàìêàõ Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè, íåéòðèíî ïðåâðàùàåòñÿ â èíñòðóìåíò èññëåäîâàíèÿ, ïîÿâëÿþòñÿ íåéòðèííûå ïó÷êè è íåéòðèííûå äåòåêòîðû. Âûÿâëÿåòñÿ îñîáàÿ ðîëü íåéòðèíî â ìèðîâîé êàðòèíå Âñåëåííîé. Âîò êàêàÿ ëþáîïûòíàÿ êàðòèíà âîçíèêëà, åñëè ïîñìîòðåòü íà÷èíàÿ ñ 30-õ ãîäîâ. Ïîÿâèëàñü ãèïîòåçà íåéòðàëüíûõ ÷àñòèö, 1930 ãîä, ïðîèçîøëî îòêðûòèå íåéòðîíà. Êâàíòîâàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà áûëà ñôîðìóëèðîâàíà, âîçíèêëà íåéòðîí-ïðîòîííàÿ ìîäåëü ÿäðà. È ïàðàëëåëüíî íà÷èíàþòñÿ, ñ îäíîé ñòîðîíû, ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ, ïðàêòè÷åñêè íå çàâèñÿùèå îò òåîðåòèêîâ, à ñ äðóãîé ñòîðîíû, òåîðåòè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ áåòàðàñïàä ÿäåð, ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, íîâûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå ìåòîäû èäóò íà÷èíàÿ ñ 193032 ãîäîâ è äî êîíöà 1956 ãîäà. Çäåñü âîçíèêàåò òà ñàìàÿ ïðîáëåìà τ − θ , î êîòîðîé ÿ ðàññêàçàë. Òåîðåòèêè òîæå, êàê ãîâîðèòñÿ, íå äðåìëþò, ðàçâèâàþò ñâîè ñîáñòâåííûå ìåòîäû, ðàçìûøëåíèÿ: Ôåðìè ïðèäóìàë ôåíîìåíîëîãè÷åñêóþ òåîðèþ áåòà-ðàñïàäà; âîçíèêàåò ãèïîòåçà Ìàéîðàíà, êîòîðàÿ åùå âèñèò ñàìà ïî ñåáå, íèêòî íè÷åãî íå ìîæåò ïðî íåå ñêàçàòü. Ïîÿâëÿåòñÿ èäåÿ î òîì, ÷òî äîëæíà áûòü ñèììåòðèÿ ïî îòíîøåíèþ ê ïðîñòðàíñòâåííûì ïðåîáðàçîâàíèÿì, êîòîðàÿ êàê ðàç çäåñü è íàðóøèëàñü. Âîò òàê ñîøëèñü òåîðåòè÷åñêàÿ è ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ôèçèêà.  195658 ãîäû âîçíèêàåò ìîùíûé ñêà÷îê, êîãäà ýêñïåðèìåíò íóæäàåòñÿ â òåîðèè, à òåîðèÿ íóæäàåòñÿ â ýêñïåðèìåíòå. Íà÷èíàþòñÿ îïÿòü ñîâåðøåííî íåçàâèñèìûå ïðîöåññû, ÿ ýòî ïîä÷åðêèâàþ î÷åíü ìàëî âëèÿþùèå äðóã íà äðóãà: ñ îäíîé ñòîðîíû, ðàçâèòèå ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ìåòîäîâ, ñ äðóãîé ñòîðîíû ðàçâèòèå òåîðèè. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå ìåòîäû â ÷èñòîé ôèçèêå âûñîêèõ ýíåðãèé, ñ àñòðîôèçè÷åñêèìè îáúåêòàìè. À â ïëàíå òåîðèè ýòî ñòðóêòóðà ÷àñòèö, Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü, íîâûå êâàðêè. È ê ñåðåäèíå 1980-õ ãîäîâ ñêëàäûâàåòñÿ âîò òàêàÿ ñèòóàöèÿ: óòâåðæäåíà Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü è íà÷èíàåòñÿ ïîèñê âûõîäà èç Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè. Âîïðîñ ÷òî äàëüøå? Íó íåëüçÿ æå îñòàíîâèòüñÿ, äîëæíî áûòü ðàçâèòèå äàëüøå. Òîãäà ÷òî? Åñòü ëè ÷òî-íèáóäü âíå Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè? Âîò ýòîò âîïðîñ ñåáå âïåðâûå çàäàþò ôèçèêè. Íî äëÿ òîãî ÷òîáû î íåì ãîâîðèòü, ÿ íàïîìíþ âàì, ÷òî òàêîå Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü ñ ñåãîäíÿøíåé òî÷êè çðåíèÿ. Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü ýëåêòðîñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, ÿ áóäó î íåé â îñíîâíîì ãîâîðèòü, ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòèêè ñâîåîáðàçíàÿ âåùü. Âðåìÿ îò âðåìåíè â ôèçèêå âîçíèêàþò òàêèå ìîäåëè, â êîòîðûõ îáúåäèíÿþòñÿ ìàòåìàòèêà è ôèçèêà. È ýòî êàê ðàç îñîáûå òî÷êè, êîãäà äåéñòâèòåëüíî ïðîèñõîäèò êàêîé-òî âçðûâ íàøåãî ïîíèìàíèÿ. Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòèêè ýòî òàê íàçûâàåìàÿ SU(2)U(1) ñèììåòðèÿ, êîòîðàÿ õîðîøî èçó÷åíà ìàòåìàòèêàìè óæå äàâíî, åùå ñ êîíöà ïðîøëîãî âåêà. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ôèçèêè: ñóùåñòâóþò ëåïòîíû, êîòîðûå îáðàçóþò äóáëåòû ëåâûõ è ñèíãëåòû ïðàâûõ ÷àñòèö.8 Ñîîòâåòñòâåííî äëÿ ýëåêòðîííûõ, ìþîííûõ è òàó-ñåìåéñòâ. Âîò ìàññû ýòèõ ÷àñòèö: 0,5 Ìý ó ýëåêòðîíà, 105 Ìý ó ìþîíà, 1777 Ìý ó òàó-÷àñòèöû. Íåéòðèíî æå ñóùåñòâóþò òîëüêî ëåâûå, íèêàêèõ ïðàâûõ íåéòðèíî íåò â Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè. Åñòü ëè ìàññà ó íåéòðèíî? Âîò ïåðâûé âîïðîñ, êîòîðûé âîçíèêàåò. Ïî Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè, íà ýòîì óðîâíå, íåò ìàññû, íîëü, íåéòðèíî òîëüêî ëåâûå, è íèêàêèõ âîïðîñîâ íåò. Ó êâàðêîâ òî æå ñàìîå, åñòü äóáëåòû êâàðêîâ è åñòü ñèíãëåòû, åñòü ïðàâûå è åñòü ëåâûå. Åñòü u- è d-êâàðêè, c- è s-êâàðêè, t- è b-êâàðêè. Âîò ìàññû êâàðêîâ íà ñåãîäíÿøíèé äåíü: îò 25 Ìý äëÿ u- è d-êâàðêîâ äî 180 Ãý ó t-êâàðêîâ. Îíè íå òàê äàâíî îòêðûòû, êñòàòè. Îêàçûâàåòñÿ (è ýòî ïåðâûé âîïðîñ ê òåîðèè), ÷àñòü ýòèõ êâàðêîâ, à èìåííî d, s, b, íå ñàìè ïî ñåáå âõîäÿò â òåîðèþ, à ñìåøèâàþòñÿ. È ñóùåñòâóåò ÷èñòî ôåíîìåíîëîãè÷åñêàÿ, íèêàê íå îáúÿñíÿåìàÿ ïîêà ìàòðèöà ÊîáàÿøèÌàñêàâû, êîòîðàÿ îïèñûâàåò ýòè ñìåøèâàíèÿ. Îòêóäà îíà âçÿëàñü, ÷òî ýòî òàêîå? Âîïðîñ. Íî âîçíèêàåò ñëåäóþùèé âîïðîñ: à åñòü ëè ñìåøèâàíèå íåéòðèíî? Äàëüøå. Âñå âçàèìîäåéñòâèÿ â Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè óñòðîåíû î÷åíü ïðîñòî. Åñòü òàê íàçûâàåìîå êàëèáðîâî÷íîå âçàèìîäåéñòâèå è åñòü êîíñòàíòû, ñâÿçûâàþùèå ðàçëè÷íûå âçàèìîäåéñòâèÿ.  íóëåâîì ïðèáëèæåíèè â òåîðèè âñå áåçìàññîâîå, íè÷åãî íåò ìàññèâíîãî. Çàòåì âêëþ÷àåòñÿ ìåõàíèçì ïîÿâëåíèÿ ìàññû, òàê íàçûâàåìûé õèããñîâñêèé ìåõàíèçì. Èñòî÷íèê ìàññû âîò ýòîò áîçîí Õèããñà, êîòîðûé äî ñèõ ïîð íå îòêðûò9 , à äàëüøå ÷àñòü èç ýòèõ ÷àñòèö, â ÷àñòíîñòè áîçîíîâ, ïîëó÷àåò ìàññû. Ãàììà-êâàíò îñòàåòñÿ áåçìàññîâûé, à Z- è Wáîçîíû ïîëó÷àþò îïðåäåëåííóþ ìàññó. Çíà÷èò, äëÿ òîãî ÷òîáû îõàðàêòåðèçîâàòü ýòè óïîìÿíóòûå êîíñòàíòû, äîñòàòî÷íî ââåñòè îäèí ýêñïåðèìåíòàëüíûé óãîë, óãîë Âàéíáåðãà10 . Ïðè ýòîì âïåðâûå â ôèçèêå âîçíèêàåò íåêèé ìåõàíèçì ïîÿâëåíèÿ ìàññû. Ìû äî ñèõ ïîð íå çíàåì, ïðàâèëüíûé èëè íåïðàâèëüíûé ìåõàíèçì 8 ×àñòèöû ñ «ëåâîé» ñïèðàëüíîñòüþ ýòî òå ÷àñòèöû, ó êîòîðûõ ñïèí íàïðàâëåí ïðîòèâ íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû. Ó «ïðàâûõ» ñïèí íàïðàâëåí ïî äâèæåíèþ ÷àñòèöû. 9 Áîçîí Õèããñà îòêðûò ýêñïåðèìåíòàëüíî â 2012 ãîäó (áûë ïðåäñêàçàí áðèòàíñêèì ôèçèêîì Ï.Õèããñîì â 1964 ãîäó). 10 Ïàðàìåòð â òåîðèè ýëåêòðîñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, êîòîðûé îïðåäåëÿåò ñâÿçü ìåæäó êîíñòàíòàìè ñëàáîãî è ýëåêòðîìàãíèòíîãî âçàèìîäåéñòâèé. Î×ÅÐÊ ÈÑÒÎÐÈÈ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÉ ïðåäëîæåí, íî, âî âñÿêîì ñëó÷àå, íà òîì óðîâíå, íà êîòîðîì ìû ñåãîäíÿ ôèçèêó ïîíèìàåì, ýòîò ìåõàíèçì ðàáîòàåò. Èòàê, ñóùåñòâóþò ëåïòîíû è êâàðêè, ýòî ÷àñòèöûôåðìèîíû, ò.å. ÷àñòèöû ñ ïîëîâèííûì ñïèíîì. Ñóùåñòâóþò ïåðåäàò÷èêè êàëèáðîâî÷íîãî âçàèìîäåéñòâèÿ γ -êâàíòû, W- è Z-áîçîíû, è âçàèìîäåéñòâèÿ ïðîèñõîäÿò óíèâåðñàëüíî: âîò ó âàñ ëåòèò êâàðê èëè ëåïòîí, îí èñïóñêàåò ïðè âçàèìîäåéñòâèè îäèí èç ýòèõ áîçîíîâ è ïåðåõîäèò â íîâîå ñîñòîÿíèå. Ýòî ñõåìà âñåõ âçàèìîäåéñòâèé, êîòîðûå ìû ñåé÷àñ çíàåì è êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ â Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè. Çíà÷èò, âîçíèêàåò óíèâåðñàëüíàÿ âçàèìîñâÿçü âñåõ ïîëåé, ò.å. âîçìîæíî, ÷òî åñòü äàæå íåêàÿ îáùàÿ åäèíàÿ êîíñòàíòà, êîòîðàÿ ïîñòåïåííî, çà ñ÷åò ðàçíûõ ýòàïîâ íàðóøåíèÿ ñïîíòàííîé ñèììåòðèè, ïåðåõîäèò â äðóãèå, è èñòî÷íèêîì âîçíèêíîâåíèÿ ìàññû ÿâëÿåòñÿ ñïîíòàííîå íàðóøåíèå ñèììåòðèè âàêóóìà. Âîò ÷òî ñåãîäíÿ ìû çíàåì. Êàêèå íåäîñòàòêè ó ýòîé òåîðèè? Ïðåæäå âñåãî, íåïîíÿòíî, êàê ýòè ïîêîëåíèÿ îáðàçîâàëèñü, ïî÷åìó ó íèõ ñîâåðøåííî ðàçíûå ìàññû è ò.ï. Äàëüøå. Êàêîâà ìàññà íåéòðèíî? Çäåñü (â Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè) îíà íîëü, íî, ìîæåò áûòü, îíà íå íîëü? Ïî÷åìó ïðîèñõîäèò ñìåøèâàíèå ýòèõ ïîêîëåíèé? È, íàêîíåö, îòêóäà âçÿëèñü âîò ýòî íàðóøåíèå è âîò ýòà êîíñòàíòà, êîòîðàÿ ñâÿçàíà ñ ýòèìè íàðóøåíèÿìè (ò.å. óãîë Âàéíáåðãà)? Çäåñü ÿ õî÷ó îáðàòèòü âàøå âíèìàíèå íà î÷åíü èíòåðåñíóþ àíàëîãèþ ìåæäó íüþòîíîâñêîé òåîðèåé, êîòîðóþ âñå çíàþò, è Ñòàíäàðòíîé ìîäåëüþ.  Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè âû èìååòå áåçìàññîâûå ÷àñòèöû, â íóëåâîì ïðèáëèæåíèè. Áåçìàññîâûå ÷àñòèöû ýòî âåùü, êîòîðàÿ îïèñûâàåò ãåîìåòðèþ. Íå íóæíî íèêàêîé ôèçèêè, ÷òîáû îïèñàòü áåçìàññîâûå ÷àñòèöû. ×èñòàÿ ãåîìåòðèÿ, ñ òî÷êè çðåíèÿ ñîâðåìåííîé âûñøåé ãåîìåòðèè. Òî÷íî òàê æå â íüþòîíîâñêîé òåîðèè âû èìååòå èíåðöèîííîå äâèæåíèå åñëè ó âàñ íåò íèêàêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, âñå âûêëþ÷åíî, òî ÷àñòèöû áóäóò äâèãàòüñÿ ïî èíåðöèè ïî ïðÿìûì. Íî ïðÿìûå ýòî îïÿòü æå ÷èñòàÿ ãåîìåòðèÿ.  îñíîâó è òîé, è äðóãîé òåîðèé ïîëîæåíà ÷èñòàÿ ãåîìåòðèÿ. À äàëüøå âêëþ÷àåòñÿ ôèçèêà.  íüþòîíîâñêîé ìåõàíèêå âêëþ÷àþòñÿ ñèëû, è âñå ÷àñòèöû íà÷èíàþò äâèãàòüñÿ ïî íåêîòîðûì òðàåêòîðèÿì, ò.å. íà÷èíàåòñÿ íàðóøåíèå ãåîìåòðèè. Òî÷íî òàê æå â ôèçèêå ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö âêëþ÷àþòñÿ êàëèáðîâî÷íûå âçàèìîäåéñòâèÿ, õèããñîâñêèé ìåõàíèçì, è ó âàñ âñå íà÷èíàåòñÿ, âîçíèêàåò ôèçèêà. Ôèçèêà îòëè÷àåòñÿ îò ìàòåìàòèêè òåì, ÷òî â íåé åñòü íàðóøåíèå ñèììåòðèè. Âîò òàêèå ìàëåíüêèå ðàçìûøëåíèÿ Íó, òåïåðü ìû ïåðåõîäèì, äåëàåì øàã, ê ñîâðåìåííîé òåîðèè, ê ñîâðåìåííîé ôèçèêå. Ñ 1980-õ ãîäîâ òåîðèÿ íà÷èíàåò èñêàòü âûõîä èç Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè. Åñòü äâà ïóòè, ïî êîòîðûì èäåò òåîðèÿ. Ïåðâàÿ èäåÿ áûëà ñâÿçàíà ñ Âåëèêèì îáúåäèíåíèåì. Äàâàéòå â Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè, ãäå ó íàñ áûëà ïðîñòåéøàÿ ñèììåòðèÿ, ââåäåì âñå áîëåå è áîëåå âûñîêèå ìàòåìàòè÷åñêèå ñèììåòðèè âìåñòî SO(2) ðàññìîòðèì SO(5) è ò.ä. Èíûìè ñëîâàìè, ìàòåìàòè÷åñêè áóäåì âñå áîëåå è áîëåå ðàñøèðÿòü ïîëå ýòèõ ÷àñòèö. Ïðè ýòîì ìû íà÷íåì îáúåäèíÿòü ìåæäó ñîáîé ýëåêòðîäèíàìèêó ñ ôèçèêîé ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, çàòåì ïðèñîåäèíèì ê ÍÅÉÒÐÈÍÎ % íèì ñèëüíîå âçàèìîäåéñòâèå, ïîòîì äîáàâèì ãðàâèòàöèþ, è òàêèì îáðàçîì ó íàñ áóäåò ðàçâèâàòüñÿ òåîðèÿ. Âîò îáùàÿ èäåÿ òåîðèè Âåëèêîãî îáúåäèíåíèÿ. Íî âîçìîæåí äðóãîé ïóòü è, ñêîðåå âñåãî, ïî ýòîìó ïóòè ïîøëà Ïðèðîäà: à âäðóã ó íåéòðèíî (èìåííî ó íåéòðèíî â äàííîì ñëó÷àå) åñòü íåñòàíäàðòíûå ñâîéñòâà? Íàïðèìåð, åñòü ìàéîðàíîâñêîå íåéòðèíî, ò.å. íåéòðèíî ðàâíî àíòèíåéòðèíî. Èëè ó âàñ åñòü îñöèëëÿöèè ïåðåõîä íåéòðèíî ýëåêòðîííîãî è ìþîííîãî â òàóíåéòðèíî. Èëè îñöèëëÿöèè â âåùåñòâå, êîòîðûå áûëè ïðèäóìàíû íåìíîæêî ïîçæå. Ó íåéòðèíî åñòü ìàãíèòíûé ìîìåíò, à äàâàéòå ââîäèòü ïðåöåññèþ ýòîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà íåéòðèíî â âåùåñòâå. È òàê äàëåå, ò.å. âòîðîé ïóòü ýòî ïóòü, ñâÿçàííûé ñ íåñòàíäàðòíîñòüþ íåéòðèíî. È êàê íà ýòî íà÷èíàþò îòâå÷àòü ýêñïåðèìåíòû? Íàäî ñêàçàòü, ÷òî î÷åíü èíòåðåñíûì ìîìåíòîì, ñâÿçàííûì ñ ðàçâèòèåì ýêñïåðèìåíòà, îêàçàëñÿ âçðûâ ñâåðõíîâîé.  1987 ãîäó, ñïåöèàëüíî äëÿ ôèçèêîâ, â Áîëüøîì Ìàãåëëàíîâîì îáëàêå âçîðâàëàñü ñâåðõíîâàÿ.  äåíü Ñîâåòñêîé Àðìèè, 23 ôåâðàëÿ. Èìåííî ïî ýòîé ïðè÷èíå ðîññèéñêèå ôèçèêè íå âñå çàðåãèñòðèðîâàëè ýòîò âçðûâ. Íàïðèìåð, â Êðàñíîÿðñêå ïîä çåìëåé áûë âûõîäíîé äåíü â ÷åñòü 23 ôåâðàëÿ. È âïåðâûå â èñòîðèè ÷åëîâå÷åñòâà áûë íàáëþäåí âçðûâ ñâåðõíîâîé íå òîëüêî â ñâåòîâîé îáëàñòè, íî è â íåéòðèííîé îáëàñòè. À èìåííî, áûëî çàðåãèñòðèðîâàíî ïðèáëèçèòåëüíî îêîëî äâóõ äåñÿòêîâ íåéòðèííûõ âñïûøåê, íåéòðèííûõ ñëåäîâ â ïÿòè îñíîâíûõ äåòåêòîðàõ, êîòîðûå â ýòî âðåìÿ ðàáîòàëè íà çåìëå. Íî äàæå è çäåñü âîçíèêëà î÷åíü çàáàâíàÿ ñèòóàöèÿ, åùå îäíà çàãàäêà íåéòðèíî. Âñå çàðåãèñòðèðîâàëè ýòè âñïûøêè ïðèáëèçèòåëüíî â îäíî è òî æå âðåìÿ. Õîòÿ, íàäî ñêàçàòü, âîçíèêëà ôàíòàñòè÷åñêàÿ ñèòóàöèÿ ó ÿïîíöåâ(!) ÷àñû ñëîìàëèñü. Ïðè÷åì íå ïðîñòî ñëîìàëèñü òàì íà ìèíóòó ãäå-òî îòëè÷èå áûëî, õîòÿ âñå âñïûøêè â ñåêóíäàõ ñ÷èòàþòñÿ. Íî, â êîíöå êîíöîâ, äîãîâîðèëèñü, ñäâèíóëè ÿïîíñêèå ÷àñû â íóæíîå ìåñòî, è âðîäå âñå ñîøëîñü. Òàê âîò, çà ïÿòü ÷àñîâ äî ýòîé âñïûøêè ýòî çàðåãèñòðèðîâàëè ïÿòü äåòåêòîðîâ áûëî çàðåãèñòðèðîâàíî åùå ÷åòûðå ñîáûòèÿ. Âîò ýòî çàãàäêà, êîòîðàÿ ñóùåñòâóåò äî ñèõ ïîð, ïðàâäà â ïîñëåäíåå âðåìÿ ìû íà÷èíàåì åå ðàçãàäûâàòü. Íèêòî ïðîñòî â ýòî íå âåðèë â òå÷åíèå âñåõ äâàäöàòè ëåò. Äàëüøå ðåàêòîðíûå íåéòðèíî. Ê ýòîìó âðåìåíè áûëè ïîìåðåíû âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðèíî ñ ïðîòîíàìè, ñ äåéòðîíàìè, ñ ýëåêòðîíàìè, èçìåðåí ìàãíèòíûé ìîìåíò íåéòðèíî, è íà÷àëè èñêàòü íåéòðèííûå îñöèëëÿöèè â ðåàêòîðíûõ íåéòðèíî. È, íàêîíåö, áûëà ïðèäóìàíà ñîâñåì èíòåðåñíàÿ âåùü. Îêàçûâàåòñÿ, ñ ïîìîùüþ íåéòðèíî ìîæíî äèàãíîñòèðîâàòü ðàáîòó ðåàêòîðîâ íà ðàññòîÿíèè 100 ì ïîñòàâèòü äåòåêòîðû è ñìîòðåòü, êàê ðàáîòàþò ðåàêòîðû.  Èðàíå, íàïðèìåð. È ñîîáùàòü â ÌÀÃÀÒÝ ñåãîäíÿ îíè íàðàáàòûâàþò ïëóòîíèé èëè íå íàðàáàòûâàþò. Ýòî íàçûâàåòñÿ íåéòðèííîé äèàãíîñòèêîé. Ê ñîæàëåíèþ, îíà ïîêà íå ðåàëèçóåòñÿ, íî ïðèíöèïèàëüíî îíà ñóùåñòâóåò, îíà âîçìîæíà. Äàëüøå ñîëíå÷íûå íåéòðèíî. Ïåðâûå ýêñïåðèìåíòû, êàê ÿ óæå ãîâîðèë, ýòî áûëè ýêñïåðèìåíòû Äýâèñà. & ÊÂÀÍT 2014/¹3 Ñîëíå÷íûå íåéòðèíî èçó÷àëèñü ñ ïîìîùüþ õëîð-àðãîíîâîãî ìåòîäà, ïîòîì áûë ñîçäàí áîëüøîé äåòåêòîð Êàìèîêàíäà â ßïîíèè, è áûëî äîêàçàíî, ÷òî ñóùåñòâóåò äåôèöèò íåéòðèíî îò Ñîëíöà. Ýòîò äåôèöèò ïîòîì áûë ïîäòâåðæäåí â ýêñïåðèìåíòàõ ó íàñ íà Áàêñàíå, íà äåòåêòîðå Ñóïåð-Êàìèîêàíäà, è, íàêîíåö, â Ñîëíå÷íîé íåéòðèííîé îáñåðâàòîðèè â Êàíàäå. Äàëüøå óñêîðèòåëüíûå íåéòðèíî. Äåéñòâèòåëüíî, â óñêîðèòåëÿõ íà÷àëè ðàáîòàòü ñ âûñîêèìè ýíåðãèÿìè, è áûë íàéäåí ýôôåêò, êîòîðûé äî ñèõ ïîð îñòàåòñÿ íåïîíÿòûì.  Àìåðèêå, íà óñêîðèòåëå â Ëîñ-Àëàìîñå, áûëè çàðåãèñòðèðîâàíû íåîáû÷íûå íåéòðèííûå îñöèëëÿöèè. Åñòü îíè èëè íåò ìû äî ñèõ ïîð íå çíàåì. Ìîæåò áûòü, ýòî îøèáêà, ìîæåò áûòü íåò. Íàêîíåö, â óñêîðèòåëüíûõ íåéòðèíî íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ òîæå ðàáîòàþò ñ îñöèëëÿöèÿìè, ñåãîäíÿ ýòî óæå ñòàíîâèòñÿ òðèâèàëüíîñòüþ. Äàëüøå àòìîñôåðíûå íåéòðèíî. Íåéòðèíî, êîòîðûå ðîæäàþòñÿ â ïðîöåññàõ â êîñìè÷åñêèõ ëó÷àõ, ìîæíî òîæå ðåãèñòðèðîâàòü, è â 199899 ãîäàõ áûëè íàéäåíû îñöèëëÿöèè ýòèõ íåéòðèíî. Ïîêà ýòî îñòàåòñÿ çàãàäêîé, õîòÿ èäåò ìíîãî èññëåäîâàíèé ïî áåòà-ðàñïàäó íåéòðîíà. Òî îí âëåçàåò â Ñòàíäàðòíóþ ìîäåëü, òî äåëàåòñÿ ñëåäóþùèé ýêñïåðèìåíò è îêàçûâàåòñÿ, ÷òî òàì ðàñõîæäåíèå íà íåñêîëüêî ñèãìà11 . È òàê äî ñèõ ïîð. Äî ïîñëåäíåãî âðåìåíè ìû áûëè óâåðåíû, ÷òî âðåìÿ æèçíè íåéòðîíà ìåðÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ îäíîé ñåêóíäû. À íåäàâíî Àíàòîëèé Ñåðåáðîâ èç Ëåíèíãðàäà ñäåëàë ýêñïåðèìåíò è ïîêàçàë, ÷òî ó íåãî ïîëó÷èëîñü îòëè÷èå íà 10 ñåêóíä. Íó è, íàêîíåö, ìàññà íåéòðèíî. Åùå Ïîíòåêîðâî ïðåäëîæèë èñïîëüçîâàòü òðèòèé, äëÿ òîãî ÷òîáû èçìåðèòü ìàññó íåéòðèíî. Ñåé÷àñ ýòè ýêñïåðèìåíòû âåäóòñÿ, è îíè ïîçâîëèëè íàì ñêàçàòü, ÷òî ìàññà ýëåêòðîííîãî íåéòðèíî, êîòîðîå âûëåòàåò èç òðèòèÿ, âî âñÿêîì ñëó÷àå ìåíüøå ÷åì 2 ýÂ. ×òî òîæå íåïëîõî. ß çàêàí÷èâàþ ñâîé ðàññêàç îá èñòîðèè ðàçâèòèÿ íàøèõ ïðåäñòàâëåíèé î íåéòðèíî. Êàê âèäèòå, î÷åíü ìíîãî íîâîãî è íåîæèäàííîãî, ìíîãî êëþ÷åâûõ äëÿ ôèçèêè èäåé ïðèíåñëà ýòà îáëàñòü. ß äóìàþ, ÷òî èìåííî â íåé íàì è â áóäóùåì ñëåäóåò æäàòü ñþðïðèçîâ, íîâûõ èäåé è ïîâîðîòíûõ ìîìåíòîâ â ðàçâèòèè ôèçèêè. Èìåííîé êîììåíòàðèé (ðàñïîëîæåíèå ïî ìåðå óïîìèíàíèÿ â òåêñòå ñòàòüè ) ×æýíäàî Ëè (ðîä. â 1926 ã.) êèòàéñêèé è àìåðèêàíñêèé ôèçèê. Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ôèçèêå (ñîâìåñòíî ñ ×.ßíãîì) «çà ïðèñòàëüíîå èçó÷åíèå òàê íàçûâàåìûõ çàêîíîâ ÷åòíîñòè, êîòîðîå ïðèâåëî ê âàæíûì îòêðûòèÿì â îáëàñòè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö» çà 1957 ãîä. ×æýíüíèí ßíã (ðîä. â 1922 ãîäó) êèòàéñêèé è àìåðèêàíñêèé ôèçèê. Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ôèçèêå (ñîâìåñòíî ñ ×.Ëè) çà 1957 ãîä. Öçÿíüñþí Âó (19121997) àìåðèêàíñêèé ôèçèê êèòàéñêîãî ïðîèñõîæäåíèÿ, ïîñòàâèëà çíàìåíèòûé «ýêñïåðèìåíò Âó», äîêàçàâøèé íåñîõðàíåíèå ïðîñòðàíñòâåííîé ÷åòíîñòè â ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ. 11 Ñèãìà ( σ ) âåëè÷èíà ñòàíäàðòíîé îøèáêè èçìåðåíèÿ. Âëàäèìèð Ìèõàéëîâè÷ Ëîáàø¸â (19342011) ñîâåòñêèé è ðîññèéñêèé ôèçèê-ÿäåðùèê. Þðèé Ãåîðãèåâè÷ Àáîâ (ðîä. â 1922 ã.) ñîâåòñêèé è ðîññèéñêèé ôèçèê, îòêðûâàòåëü ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ íóêëîíîâ â ÿäðàõ. Ðè÷àðä Ôèëëèïñ Ôåéíìàí (19181988) âûäàþùèéñÿ àìåðèêàíñêèé ó÷åíûé, îäèí èç àâòîðîâ çíàìåíèòûõ «Ôåéíìàíîâñêèõ ëåêöèé ïî ôèçèêå», ïðåêðàñíûé ïîïóëÿðèçàòîð íàóêè. Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ôèçèêå (ñîâìåñòíî ñ Ñ.Òîìîíàãîé è Äæ.Øâèíãåðîì) çà 1965 ãîä. Ðàéìîíä Äýâèñ ìëàäøèé (19142006) àìåðèêàíñêèé õèìèê è ôèçèê. Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ôèçèêå «çà ñîçäàíèå íåéòðèííîé àñòðîíîìèè» çà 2002 ãîä. Ñòèâåí Âàéíáåðã (ðîä. â 1933 ã.) àìåðèêàíñêèé ôèçèê. Óãîë Âàéíáåðãà îäèí èç ïàðàìåòðîâ òåîðèè ýëåêòðîñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ÃëýøîóÂàéíáåðãàÑàëàìà. Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ôèçèêå (ñîâìåñòíî ñ Ø.Ãëýøîó è À.Ñàëàìîì) çà 1979 ãîä. Ïèòåð Óýéð Õèããñ (ðîä. â 1929 ã.) áðèòàíñêèé ôèçèêòåîðåòèê, ÷ëåí Ëîíäîíñêîãî Êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà.  1960-å ãîäû ïðåäñêàçàë ñóùåñòâîâàíèå íîâîé ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû, íàçûâàåìîé òåïåðü áîçîíîì Õèããñà. Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ôèçèêå (ñîâìåñòíî ñ Ô.Ýíãëåðîì) çà 2013 ãîä. Àíàòîëèé Ïàâëîâè÷ Ñåðåáðîâ (ðîä. â 1944 ã.) ðîññèéñêèé ôèçèê, ñïåöèàëèñò â îáëàñòè èññëåäîâàíèÿ ôóíäàìåíòàëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé è íåéòðîííîé ôèçèêè. Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà 1. Èñòîðèÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêà è ñâÿçàííûå ñ íèì ïðåäñòàâëåíèÿ è ñîáûòèÿ ôèçèêè òåõ ëåò îïèñàíû ñàìèì Ï. Äèðàêîì â ñòàòüå «Ðåëÿòèâèñòñêîå âîëíîâîå óðàâíåíèå ýëåêòðîíà» (Óñïåõè ôèçè÷åñêèõ íàóê, 1979, ò. 129, â. 4, ñ. 681691).  ðóññêîì ïåðåâîäå ñòàòüÿ äîñòóïíà â èíòåðíåòå ïî àäðåñó: http://ufn.ru/ufn79/ufn79_8/Russian/r798e.pdf 2. Îá èñòîðèè ãèïîòåçû Ëàíäàó î ñóùåñòâîâàíèè «ïëîòíûõ çâåçä», êîòîðóþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïåðâîå ïðåäñêàçàíèå íåéòðîííûõ çâåçä (ñäåëàííîå äî îòêðûòèÿ íåéòðîíà), ìîæíî ïðî÷èòàòü â ñòàòüå Ä.Ã.ßêîâëåâà, Ï.Õýíñåëÿ, Ã.Áåéìà è Ê.Ïåòèêà «Ë.Ä.Ëàíäàó è êîíöåïöèÿ íåéòðîííûõ çâåçä» (Óñïåõè ôèçè÷åñêèõ íàóê, 2013, ò. 183, â. 3, ñ. 307314). Àäðåñ ñòàòüè â èíòåðíåòå: http://ufn.ru/ru/articles/2013/ 3/f/ 3. Ãèïîòåçà Ìàéîðàíà ïîäðîáíî îáñóæäàåòñÿ â ñòàòüå ñàìîãî Ý.Ìàéîðàíà «Ñèììåòðè÷íàÿ òåîðèÿ ýëåêòðîíà è ïîçèòðîíà» (Ôèçèêà ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö è àòîìíîãî ÿäðà, 2003, ò. 34, â. 1, ñ. 242256), à òàêæå â ñòàòüå Þ.Â.Ãàïîíîâà «Íà÷àëî ìàéîðàíîâñêîé ôèçèêè. Ïàìÿòè Ý.Ìàéîðàíû» (òàì æå, ñ. 240241). Îáå ñòàòüè äîñòóïíû â èíòåðíåòå ïî àäðåñàì: http://www1.jinr.ru/Archive/Pepan/v-34-1/ 7.htm; http://www1.jinr.ru/Archive/Pepan/v-34-1/v-341-6.pdf 4. Îá ýâîëþöèè Âñåëåííîé, ñóïåðãðàâèòàöèè è ñóïåðñòðóíàõ, î êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå, ïîïûòêàõ ïîñòðîåíèÿ åäèíîé òåîðèè ïîëÿ è èõ ñîçäàòåëÿõ ïðåêðàñíî íàïèñàíî â ïîïóëÿðíîé êíèãå Áàððè Ïàðêåðà «Ìå÷òà Ýéíøòåéíà.  ïîèñêàõ åäèíîé òåîðèè ñòðîåíèÿ Âñåëåííîé» (Ì.: Íàóêà, Ãëàâíàÿ ðåäàêöèÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðû, 1991, ïåðåâîä ñ àíãëèéñêîãî Â.È. è Î.È.Ìàöàðñêèõ, ïîä ðåäàêöèåé ß.À.Ñìîðîäèíñêîãî). Àäðåñ êíèãè â èíòåðíåòå: http:// www.ega-math.narod.ru/Reid/Parker.htm ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ» Çàäà÷è ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå Ýòîò ðàçäåë âåäåòñÿ ó íàñ èç íîìåðà â íîìåð ñ ìîìåíòà îñíîâàíèÿ æóðíàëà. Ïóáëèêóåìûå â íåì çàäà÷è íåñòàíäàðòíû, íî äëÿ èõ ðåøåíèÿ íå òðåáóåòñÿ çíàíèé, âûõîäÿùèõ çà ðàìêè øêîëüíîé ïðîãðàììû. Íàèáîëåå òðóäíûå çàäà÷è îòìå÷àþòñÿ çâåçäî÷êîé. Ïîñëå ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è ìû îáû÷íî óêàçûâàåì, êòî íàì åå ïðåäëîæèë. Ðàçóìååòñÿ, íå âñå ýòè çàäà÷è ïóáëèêóþòñÿ âïåðâûå. Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ýòîãî íîìåðà ñëåäóåò îòïðàâëÿòü ïî àäðåñó: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò». Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ðàçíûõ íîìåðîâ æóðíàëà èëè ïî ðàçíûì ïðåäìåòàì (ìàòåìàòèêå è ôèçèêå) ïðèñûëàéòå â ðàçíûõ êîíâåðòàõ. Íà êîíâåðòå â ãðàôå «Êîìó» íàïèøèòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà» ¹32014» è íîìåðà çàäà÷, ðåøåíèÿ êîòîðûõ Âû ïîñûëàåòå, íàïðèìåð «Ì2341» èëè «Ô2348».  ãðàôå «Îò êîãî» ôàìèëèþ è èìÿ ïðîñèì ïèñàòü ðàçáîð÷èâî.  ïèñüìî âëîæèòå êîíâåðò ñ íàïèñàííûì íà íåì Âàøèì àäðåñîì è íåîáõîäèìûé íàáîð ìàðîê (â ýòîì êîíâåðòå Âû ïîëó÷èòå ðåçóëüòàòû ïðîâåðêè ðåøåíèé). Ðåøåíèÿ çàäà÷ ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå ìîæíî ïðèñûëàòü òàêæå ïî ýëåêòðîííûì àäðåñàì: [email protected] è [email protected] ñîîòâåòñòâåííî. Óñëîâèÿ êàæäîé îðèãèíàëüíîé çàäà÷è, ïðåäëàãàåìîé äëÿ ïóáëèêàöèè, ïðèñûëàéòå â îòäåëüíîì êîíâåðòå â äâóõ ýêçåìïëÿðàõ âìåñòå ñ Âàøèì ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è (íà êîíâåðòå ïîìåòüòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ôèçèêå» èëè «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ìàòåìàòèêå»).  íà÷àëå êàæäîãî ïèñüìà ïðîñèì óêàçûâàòü íîìåð øêîëû è êëàññ, â êîòîðîì Âû ó÷èòåñü. Çàäà÷à M2345 ïðåäëàãàëàñü íà XII Óñòíîé îëèìïèàäå ïî ãåîìåòðèè, çàäà÷à Ì2346 íà VII Þæíîì ìàòåìàòè÷åñêîì òóðíèðå, çàäà÷à Ì2348 íà XVII Êóáêå ïàìÿòè À.Í.Êîëìîãîðîâà. Çàäà÷è Ì2341Ì2348, Ô2348Ô2354 M2341. Íà ñòîðîíàõ BC è AC òðåóãîëüíèêà âûáèðàþòñÿ òî÷êè M è N ñîîòâåòñòâåííî. Îòðåçêè AM è BN äåëÿò òðåóãîëüíèê íà ÷åòûðå ÷àñòè. Ïóñòü s íàèìåíüøàÿ èç ïëîùàäåé ýòèõ ÷àñòåé, à S íàèáîëüøàÿ. Íàéäèòå íàèáîëüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå îòíîøåíèÿ s/S. È.Àêóëè÷ M2342. Ðàññìàòðèâàþòñÿ ñëîâà, ñîñòîÿùèå èç áóêâ À è Á. Íàéäèòå íàèìåíüøåå n, óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùåìó óñëîâèþ: â ëþáîì ñëîâå äëèíû n íàéäóòñÿ äâà èäóùèõ ïîäðÿä îäèíàêîâûõ ïîäñëîâà äëèíû áîëüøå 1. À.Ñïèâàê M2343. Íà îêðóæíîñòè äëèíû 1 îòìå÷åíû m êðàñíûõ òî÷åê âåðøèí íåêîòîðîãî ïðàâèëüíîãî m-óãîëüíèêà è n ñèíèõ òî÷åê âåðøèí íåêîòîðîãî ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà. Íàéäèòå íàèáîëüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå ìèíèìàëüíîé äëèíû äóãè, äâà êîíöà êîòîðîé êðàñíàÿ è ñèíÿÿ òî÷êè. Â.Øàðè÷ M2344. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî n íàçîâåì ïðàâèëüíûì, åñëè äëÿ ëþáîãî 100-çíà÷íîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà a âåðíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: ÷èñëî a n (â äåñÿòè÷íîé çàïèñè) îêàí÷èâàåòñÿ íà a òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà a2 îêàí÷èâàåòñÿ íà a. Íàéäèòå âñå ïðàâèëüíûå ÷èñëà. Â.Ñåíäåðîâ M2345. Îòðåçîê AD äèàìåòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè îñòðîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ABC. ×åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò ýòîãî òðåóãîëüíèêà ïðîâåëè ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ ñòîðîíå BC, êîòîðàÿ ïåðåñåêàåò ñòîðîíû AB è AC â òî÷êàõ E è F ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ.1). Äîêàæèòå, ÷òî ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà DEF â äâà ðàçà áîëüøå ñòîðîíû BC. Ä.Ïðîêîïåíêî M2346. Äëÿ èçîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâ ÷àñòî ðèñóþò òàê íàçûâàåìûå êðóãè Ýéëåðà. Íàïðèìåð, íà ðèñóíêå 2 èçîáðàæåíû òðè âûïóêëûå ôèãóðû A, B, C, ãðàíèöû êîòîðûõ äåëÿò ïëîñêîñòü íà Ðèñ. 1 îáëàñòè òàê, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïîäìíîæåñòâà ôèãóð åñòü îáëàñòü, ïðèíàäëåæàùàÿ â òî÷íîñòè ôèãóðàì èç ýòîãî ïîäìíîæåñòâà. Âûÿñíèòå, ìîæíî ëè äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî n > 3 íàðèñîâàòü àíàëîãè÷íóþ äèàãðàììó, èëëþñòðèðóþùóþ ïåðåñå÷åíèå n ïîäìíîæåñòâ. Èíà÷å ãîâîðÿ, ïðè êàêèõ n > 3 íà ïëîñêîñòè ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî âûïóêëûõ ôèÐèñ. 2 ãóð M1,…, Mn òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî íåïóñòîãî ïîäìíîæåñòâà S ⊂ {1, 2, …, n} íàéäåòñÿ òî÷êà, êîòîðàÿ ëåæèò âíóòðè Mi ïðè i ∈ S è âíå Mi ïðè i ∉ S ? Ï.Êîæåâíèêîâ M2347.  êàæäîé ãðàíè÷íîé êëåòêå òàáëèöû 2013 × 2013 ïîñòàâèëè ïî öåëîìó ÷èñëó. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî çàïîëíèòü âñå îñòàëüíûå êëåòêè öåëûìè ÊÂÀÍT 2014/¹3 ÷èñëàìè òàê, ÷òîáû ñóììà ÷èñåë â êàæäîì êâàäðàòå 3 × 3 , ñîäåðæàùåìñÿ â òàáëèöå, áûëà ðàâíà íóëþ. Ä.Õðàìöîâ ñîñóäà èìååò ôîðìó êóáà ñ äëèíîé ðåáðà À, ïðè÷åì êàæäîå ðåáðî ïàðàëëåëüíî îäíîé èç îñåé êîîðäèíàò. Á.Ïàñêàëü M2348. Äëÿ ÷èñåë x1, x2 , …, xn îáîçíà÷èì 1 . [x1, x2 , …, xn ] = 1 x1 − 1 x2 − 1 − xn Ïóñòü a1, …, ak , b1, …, bn íàòóðàëüíûå ÷èñëà, íå ìåíüøèå 2, äëÿ êîòîðûõ [a1, …, ak ] + [b1, …, bn ] > 1 . Äîêàæèòå, ÷òî íàéäóòñÿ òàêèå íàòóðàëüíûå ÷èñëà p ≤ k è q ≤ n , ÷òî a1, …, ap + b1, …, bq = 1 . À.Óñòèíîâ Ô2351.  íåïîäâèæíîé ãîðèçîíòàëüíîé öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå ñ æåñòêèìè è íå ïðîâîäÿùèìè òåïëî ñòåíêàìè íàõîäèòñÿ ãàçîîáðàçíûé ãåëèé. Òåìïåðàòóðà ãàçà î÷åíü ìàëà (íàïðèìåð, ïîðÿäêà 0,1 Ê). Êîíöåíòðàöèÿ ìîëåêóë ãàçà n0 çíà÷èòåëüíî ìåíüøå âåëè÷èíû D-3 , ãäå D õàðàêòåðíûé ðàçìåð ìîëåêóë ãåëèÿ. Âíåçàïíî ïîðøåíü, ïåðåêðûâàþùèé òðóáó, ïðèõîäèò â äâèæåíèå âäîëü îñè ñèììåòðèè òðóáû ñ áîëüøîé ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v (ðàâíîé, íàïðèìåð, 3 êì/ñ). Êàêîé áóäåò òåìïåðàòóðà ãàçà T ïåðåä ïîðøíåì? Êàêîå äàâëåíèå p áóäåò îêàçûâàòü ãàç íà ïîðøåíü? Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ u áóäåò óäàëÿòüñÿ îò ïîðøíÿ ãðàíèöà ðàçäåëà ìåæäó îáëàñòüþ, çàíÿòîé ãàçîì ïðè íèçêîé òåìïåðàòóðå, è îáëàñòüþ, ãäå ìîëåêóëû äâèãàþòñÿ ñ óïîðÿäî÷åííîé ñêîðîñòüþ, ðàâíîé v? Êàêîé áóäåò êîíöåíòðàöèÿ n ìîëåêóë âáëèçè ïîðøíÿ? Â.Ñåðãååâ Ô2348. Íà îäíîðîäíóþ øåðîõîâàòóþ ãîðèçîíòàëüíóþ ïîâåðõíîñòü íåïîäâèæíîé äîñêè ìàññîé M è äëèíîé L ïîïàë äâèãàâøèéñÿ ãîðèçîíòàëüíî è ïîñòóïàòåëüíî ïëîñêèé ìàëåíüêèé áðóñîê, êîòîðûé ïðîñêîëüçèë ïîñòóïàòåëüíî âäîëü âñåé äîñêè è ñúåõàë ñ íåå. Äîñêà íàõîäèëàñü íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè. Ñ êàêèì óñêîðåíèåì äâèãàëàñü ïîñòóïàòåëüíî äîñêà, åñëè çà âðåìÿ ñêîëüæåíèÿ ïî íåé áðóñêà âûäåëèëîñü êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q? À.Øåðîíîâ Ô2349. ×åòûðå ãëàäêèõ òîíêèõ ñòåðæíÿ çàêðåïëåíû íåïîäâèæíî (ðèñ. 3). Äâà èç íèõ ïàðàëëåëüíû äðóã äðóãó è ãîðèçîíòàëüíû, à äâà äðóãèõ ïàðàëëåëüíû äðóã äðóãó è âåðòèêàëüíû. Äâà îäèíàêîâûõ ìàëåíüêèõ øàðèêà ñîåäèíåíû íåâåñîìîé íåðàñòÿæèìîé íèòüþ äëèíîé L. Äèàìåòðû øàðèêîâ áîëüøå ðàññòîÿíèé ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ñòåðæíÿìè.  íà÷àëüíûé ìîìåíò øàðèêè óäåðæèâàþò òàê, Ðèñ. 3 ÷òî îíè íåïîäâèæíû, íèòü ïðè ýòîì âûïðÿìëåíà è ïî÷òè ãîðèçîíòàëüíà. Ïîñëå îòïóñêàíèÿ øàðèêè ïðèøëè â äâèæåíèå è óäàðèëèñü î ãîðèçîíòàëüíûé ïîë îäíîâðåìåííî. Êàêîâî ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå H îò ãîðèçîíòàëüíûõ ñòåðæíåé äî ïîëà? Êàêèìè áûëè ïðè òàêîì ðàññòîÿíèè ñêîðîñòè øàðèêîâ çà ìãíîâåíèå äî èõ óäàðîâ î ïîë? Ñ.Äìèòðèåâ Ô2350. Ñîñóä ñ æåñòêèìè ñòåíêàìè çàïîëíåí íåñæèìàåìîé æèäêîñòüþ ïëîòíîñòüþ ρ . Âíóòðåííîñòü ñîñóäà èìååò ôîðìó øàðà ðàäèóñîì R. Äåêàðòîâû îñè êîîðäèíàò âûáðàííîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà òàêîâû, ÷òî óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g èìååò êîîðäèíàòû 0, 0, g. Ñîñóä äâèæåòñÿ ïîñòóïàòåëüíî ñ óñêîðåíè åì a . Âñå ïðîåêöèè óñêîðåíèÿ ax , ay , az ïîëîæèòåëüíû. Ìèíèìàëüíîå äàâëåíèå æèäêîñòè âíóòðè ñîñóäà ðàâíî pmin . Êàêîâî ìàêñèìàëüíîå äàâëåíèå æèäêîñòè âíóòðè ñîñóäà? Íàéäèòå îòâåò íà ýòîò æå âîïðîñ â ñëó÷àå, êîãäà âíóòðåííîñòü çàïîëíåííîãî æèäêîñòüþ Ô2352. Îäèí ìîëü ãåëèÿ íàãðåâàëñÿ îò íà÷àëüíîé òåìïåðàòóðû T0 = 200 Ê â ïðîöåññå ñ ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòüþ, êîòîðàÿ çàâèñåëà îò àáñîëþòíîé òåìïåðàòóðû T ïî çàêîíó C (T ) = RT T0 . (Çäåñü R óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ.) Ïðè äîñòèæåíèè íåêîòîðîé òåìïåðàòóðû ðàáîòà, êîòîðóþ ñîâåðøèë ãàç, îêàçàëàñü ðàâíîé íóëþ. Íà ýòîì ïðîöåññ çàâåðøèëñÿ. Êàêóþ ðàáîòó ñîâåðøèë ãàç íà ó÷àñòêå ïðîöåññà, êîãäà îí ðàñøèðÿëñÿ? Íàéäèòå îòíîøåíèå îáúåìà ãàçà â êîíå÷íîé òî÷êå ïðîöåññà ê åãî íà÷àëüíîìó îáúåìó ïðè òåìïåðàòóðå T0 . À.Øåðîíîâ Ô2353. Äâà ìàÿòíèêà èìåþò îäèíàêîâûå äëèíû ëåãêèõ íåðàñòÿæèìûõ íèòåé, êîíöû êîòîðûõ ïðèêðåïëåíû ê ïîòîëêó, è îäèíàêîâûå ìàëåíüêèå ãðóçû íà êîíöàõ íèòåé. Ãðóçû îòâåëè îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ñîõðàíÿÿ íàòÿíóòîñòü íèòåé, ïðè ýòîì íèòè ñîñòàâèëè îäèíàêîâûå óãëû ñ âåðòèêàëüþ. Îäèí èç ãðóçîâ òîëêíóëè â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì íèòè, ê êîòîðîé ýòîò ãðóç ïðèêðåïëåí, è îäíîâðåìåííî îòïóñòèëè áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè âòîðîé ãðóç. Òðåíèÿ â ñèñòåìå íåò. Íèòü ïåðâîãî ìàÿòíèêà â ïðîöåññå äâèæåíèÿ âñåãäà ñîñòàâëÿåò ñ âåðòèêàëüþ îäèí è òîò æå óãîë. Îêàçàëîñü, ÷òî ýòè äâà ìàÿòíèêà îäíîâðåìåííî ïîïàäàþò êàæäûé â ñâîå íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå ïîñëå òîãî, êàê ïðîéäåò âðåìÿ, ðàâíîå 100 ïåðèîäàì êîëåáàíèé ïåðâîãî ìàÿòíèêà è 101 ïåðèîäó êîëåáàíèé âòîðîãî ìàÿòíèêà. Íà êàêîé óãîë áûëè îòêëîíåíû íèòè îò âåðòèêàëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò? Ïåðèîä ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà äëèíîé L â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè ñ óñêîðåíèåì ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g ïðè ìàëîì çíà÷åíèè ìàêñèìàëüíîãî óãëà îòêëîíåíèÿ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ α ( α < 1 ) õîðîøî îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëîé L αˆ 1 Ê . T = T0 Á1 + sin2 ˜ , ãäå T0 = 2π Ë g 4 2¯ Ôîëüêëîð Ô2354. Òîëñòîñòåííûé ñâåòîíåïðîíèöàåìûé ÿùèê óñòàíîâëåí ïîä îòêðûòûì íåáîì â ïàñìóðíûé äåíü, êîãäà ÇÀÄÀ×ÍÈÊ âñå íåáî îäèíàêîâî ñâåòëîå è ñîëíöà íå âèäíî.  åãî âåðõíåé ñòåíêå (êðûøêå) ïðîñâåðëåíî âåðòèêàëüíîå îòâåðñòèå, è ÷åðåç íåãî â ÿùèê ïðîïóùåí äëèííûé îäíîðîäíûé ïðîçðà÷íûé öèëèíäð (ñâåòîâîä) êðóãëîãî ñå÷åíèÿ ðàäèóñîì r = 1 ñì. Ñòåíêè öèëèíäðà ãëàäêèå, îíè íå êàñàþòñÿ ñòåíîê äûðêè, ïîêðàøåííûõ â ÷åðíûé öâåò. Âåðõíèé òîðåö ñâåòîâîäà íàõîäèòñÿ ñíàðóæè, à íèæíèé âíóòðè ÿùèêà. Ïîä òîðöîì öèëèíäðà íà ãîðèçîíòàëüíîì äíå ÿùèêà ëåæèò ïëîñêèé ýêðàí. Ðàññòîÿíèå îò íèæíåãî òîðöà öèëèíäðà äî ýêðàíà L = 1 ì r . Íà ýêðàíå íàáëþäàåòñÿ ñâåòëîå ïÿòíî ðàäèóñîì R = 1 ì. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñâåò â ìàòåðèàëå, èç êîòîðîãî ñäåëàí öèëèíäð? Å.Óóñòàëó Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2326Ì2333, Ô2333Ô2339 Ì2326. Íà øàõìàòíîé äîñêå ñòîÿò 8 íå áüþùèõ äðóã äðóãà ëàäåé. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî êàæäóþ èç íèõ ïåðåäâèíóòü õîäîì êîíÿ òàê, ÷òî îíè ïî-ïðåæíåìó íå áóäóò áèòü äðóã äðóãà. (Âñå âîñåìü ëàäåé ïåðåäâèãàþòñÿ «îäíîâðåìåííî», ò.å. åñëè, íàïðèìåð, äâå ëàäüè áüþò äðóã äðóãà õîäîì êîíÿ, òî èõ ìîæíî ïîìåíÿòü ìåñòàìè.) Ëàäüþ èç ïåðâîé ñòðîêè ïåðåñòàâèì âî âòîðóþ ñòðîêó, èç âòîðîé â ïåðâóþ. Àíàëîãè÷íî îáîéäåìñÿ ñ ëàäüÿìè èç òðåòüåé è ÷åòâåðòîé, ïÿòîé è øåñòîé, ñåäüìîé è âîñüìîé ñòðîê. Ëàäüþ èç ïåðâîãî ñòîëáöà ïåðåñòàâèì â òðåòèé, èç òðåòüåãî â ïåðâûé. Àíàëîãè÷íî îáîéäåì- ñÿ ñ ëàäüÿìè èç âòîðîãî è ÷åòâåðòîãî, ïÿòîãî è ñåäüìîãî, øåñòîãî è âîñüìîãî ñòîëáöîâ. (Ïðèìåð òàêîé ïåðåñòàíîâêè ïîêàçàí íà ðèñóíêå.) Òîãäà êàæäàÿ ëàäüÿ áóäåò ïåðåñòàâëåíà õîäîì êîíÿ, è â êàæäûõ ñòðîêå è ñòîëáöå áóäåò ïî ëàäüå, òàê ÷òî îíè íå áóäóò áèòü äðóã äðóãà. Å.Áàêàåâ Ì2327. Äàí ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ABC ñ öåíòðîì O. Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç âåðøèíó C, ïåðåñåêàåò îïèñàííóþ îêðóæíîñòü òðåóãîëüíèêà AOB â òî÷êàõ D è E. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè A, O è ñåðåäèíû îòðåçêîâ BD, BE ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè. «ÊÂÀÍÒÀ» Ïóñòü C¢ , D¢ , E ¢ ñåðåäèíû îòðåçêîâ BC, BD, BE ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè òî÷êà D ëåæèò ìåæäó Ñ è E (ñì. ðèñóíîê). Òîãäà òî÷êà D¢ ëåæèò íà ñðåäíåé ëèíèè C¢E ¢ òðåóãîëüíèêà CBE.  ïðàâèëüíîì òðåóãîëüíèêå ABC âåðøèíà A, öåíòð O è òî÷êà C¢ òàêæå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Óãîë ABC ðàâåí ïîëîâèíå äóãè AOB, ïîýòîìó BC êàñàòåëüíàÿ. Òîãäà 1 1 C¢E ¢ ◊ C¢D¢ = CE ◊ CD = CB2 = C ¢B2 = C ¢O ◊ C ¢A . 4 4 Èç ðàâåíñòâà C¢E ¢ ◊ C¢D¢ = C¢O ◊ C¢A ïî òåîðåìå, îáðàòíîé ê òåîðåìå î ïðîèçâåäåíèè îòðåçêîâ ñåêóùèõ, è ñëåäóåò âïèñàííîñòü ÷åòûðåõóãîëüíèêà AOD ¢ E ¢ . À.Çàñëàâñêèé Ì2328. Êàæäîå ëè öåëîå ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû êóáîâ íåñêîëüêèõ öåëûõ ÷èñåë, ñðåäè êîòîðûõ íåò îäèíàêîâûõ? Îòâåò. Äà, êàæäîå. Çàìåòèì, ÷òî (n + 7 )3 − (n + 6 )3 − (n + 5 )3 + (n + 4 )3 − 3 3 3 (n + 3 ) + (n + 2 ) + ( n + 1) - n3 = 48 . 3 Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ÷èñëî ( 48k + 1) ïðè ëþáîì k äàåò ïðè äåëåíèè íà 48 îñòàòîê 1. Ñêëàäûâàÿ íåñêîëüêî ðàçëè÷íûõ êóáîâ òàêîãî âèäà, ìû ìîæåì ïîëó÷èòü ñóììó ñ ëþáûì íàïåðåä çàäàííûì îñòàòêîì îò äåëåíèÿ íà 48, à ïîòîì, ïðèáàâëÿÿ èëè âû÷èòàÿ íóæíîå êîëè÷åñòâî ðàç óêàçàííûå âûøå êîìáèíàöèè, ðàâíûå 48 (ÿñíî, ÷òî âûáèðàòü n ìîæíî òàê, ÷òîáû âñå êóáû, êîòîðûå âñòðå÷àþòñÿ â ñóììå, áûëè ðàçëè÷íûìè), ïîëó÷èòü ëþáîå ÷èñëî ñ òàêèì îñòàòêîì. Êîììåíòàðèé. Èçâåñòíî (ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðîáëåìû Âàðèíãà), ÷òî êàæäîå öåëîå ÷èñëî ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû íå áîëåå äåâÿòè òî÷íûõ êóáîâ. Íî ïîñêîëüêó íåêîòîðûå èç ýòèõ êóáîâ ìîãóò îêàçàòüñÿ ðàâíûìè, çàäà÷à Ì2328 ñðàçó íå âûòåêàåò èç ýòîãî ôàêòà. È.Ðóáàíîâ, À.Ñåìåíîâ, À.Øàïîâàëîâ, Ë.Ìåäíèêîâ Ì2329.  îêðóæíîñòü âïèñàí 101-óãîëüíèê. Èç êàæäîé åãî âåðøèíû îïóñòèëè ïåðïåíäèêóëÿð íà ïðÿìóþ, ñîäåðæàùóþ ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó. Äîêàæèòå, ÷òî õîòÿ áû ó îäíîãî èç ïåðïåíäèêóëÿðîâ îñíîâàíèå ïîïàäåò íà ñòîðîíó (à íå íà åå ïðîäîëæåíèå). Äîêàæåì óòâåðæäåíèå çàäà÷è äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âïèñàííîãî (2n + 1) -óãîëüíèêà A1 A2 … A2n +1 . Ïðîâåäåì âñå áîëüøèå äèàãîíàëè A1 An +1, A2 An + 2,… (ìû ñ÷èòàåì, ÊÂÀÍT 2014/¹3 ÷òî A2n + 2 = A1, A2n + 3 = A2,… ). Ïîëó÷èòñÿ «çâåçäà» ñ 2n + 1 ðåáðàìè. Îêðàñèì äèàãîíàëü Ak Ak + n â ñèíèé öâåò, åñëè äóãà Ak Ak +1 Ak + n ìåíüøå ïîëîâèíû îêðóæíîñòè (ò.å. óãîë, íà íåå îïèðàþùèéñÿ, îñòðûé), è â êðàñíûé öâåò â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Îáîéäåì «çâåçäó» ïî ðåáðàì (íà ðèñóíêå ïîêàçàí ïðèìåð äëÿ ñåìèóãîëüíèêà). Çàìåòèì, ÷òî äâà êðàñíûõ ðåáðà íå ìîãóò èäòè ïîäðÿä, òàê êàê ñóììà äâóõ ñîîòâåòñòâóþùèõ èì äóã ìåíüøå ïîëíîé îêðóæíîñòè. ×åðåäîâàòüñÿ öâåòà íå ìîãóò èç-çà íå÷åòíîñòè ÷èñëà 2n + 1. Çíà÷èò, íàéäóòñÿ äâå ñèíèå äèàãîíàëè, èäóùèå ïîäðÿä. Ïóñòü ýòî, íàïðèìåð, äèàãîíàëè An +2 A1 è A1 An +1 . Òîãäà â òðåóãîëüíèêå An + 2 A1 An +1 óãëû A1 An + 2 An +1 è A1 An +1 An + 2 îñòðûå, ñëåäîâàòåëüíî, âûñîòà, îïóùåííàÿ èç âåðøèíû A1 , ïîïàäàåò íà ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó An +1 An + 2 . È.Ðóáàíîâ, À.Ñåìåíîâ, À.Øàïîâàëîâ, Ë.Ìåäíèêîâ Ì2330. à) Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò ðîâíî îäíà áåñêîíå÷íàÿ âëåâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öèôð A = = 625, îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâîì: ïðè âîçâåäåíèè â êâàäðàò ÷èñëà, îêàí÷èâàþùåãîñÿ íà k ïîñëåäíèõ öèôð ïîñëåäîâàòåëüíîñòè A, ïîëó÷àåòñÿ òîæå ÷èñëî, îêàí÷èâàþùååñÿ íà k ïîñëåäíèõ öèôð ïîñëåäîâàòåëüíîñòè A. á) Äîêàæèòå, ÷òî ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïåðèîäè÷íà. Ïóñòü ïîñëåäíèå n öèôð îáðàçóþò n-çíà÷íîå ÷èñëî xn (çäåñü äîïóñêàåì, ÷òîáû ÷èñëî íà÷èíàëîñü ñ íóëÿ), ïðè÷åì x1 = 5 . a) Óñëîâèå çàäà÷è îçíà÷àåò, ÷òî ÷èñëî xn2 - xn = = xn ( xn - 1) äîëæíî äåëèòüñÿ íà 10n . Ïîñêîëüêó xn äåëèòñÿ íà 5 è íå÷åòíî, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî xn äîëæíî äåëèòüñÿ íà 5n , à ( xn − 1) íà 2n . Ïîëîæèì xn = 5n tn , xn − 1 = 2n sn . ×èñëî xn +1 ïîëó÷àåòñÿ èç xn ïðèïèñûâàíèåì ñëåâà íåêîòîðîé öèôðû c: xn +1 = c ⋅ 10n + xn . Óñëîâèå xn +1 5n +1 ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî 2n c + tn 5 . Çíàÿ îñòàòêè îò äåëåíèÿ ÷èñåë 2n è tn íà 5, îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ îñòàòîê c ïðè äåëåíèè íà 5. Àíàëîãè÷íî, xn +1 − 1 2n +1 ⇔ 5n c + sn − 1 2 , ïîýòîìó ÷åòíîñòü ÷èñëà c ïðîòèâîïîëîæíà ÷åòíîñòè ÷èñëà sn . Òàêèì îáðàçîì, ïî ÷èñëó xn öèôðà c îïðåäåëÿåòñÿ, ïðè÷åì åäèíñòâåííûì îáðàçîì. á) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïåðèîäè÷íà, ïóñòü A ïåðèîä äëèíû k, B ïðåäïåðèîä äëèíû n ( 0 ≤ B < 10n − 1 ïðè n > 0 ; â ñëó÷àå, êîãäà ïðåäïåðèîä îòñóòñòâóåò, ñ÷èòàåì, ÷òî n = 0, B = 0). Ïîëîæèì N = km + n . Òîãäà … xN = AA AB = m ðàç ( ) n m 1k n n +k + … + 10 + ( − ) = = B + A 10 + 10 = B + 10n A 10n A 10 N A 10km − 1 − B . = + 10k − 1 10k − 1 10k − 1 ( ) k n k Ïîëîæèâ q = 10 − 1 , p = 10 − 1 B − 10 A , èìååì p 10 N A 2 , qxN = p + 10 N A . Òàê êàê xN xN = + − q q − xN 10 N , òî (qxN ) − q (qxN )10 N ⇒ p2 − qp 10 N . Ïîñëåäíåå âûïîëíåíî ïðè N = km + n äëÿ âñåõ m, â òî âðåìÿ êàê p è q íå çàâèñÿò îò m, çíà÷èò, p2 − pq = 0 , îòêóäà p = 0 èëè p = q. k n Åñëè p = 0, òî 10 − 1 B = 10 A . Ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà ïîëîæèòåëüíà, ïîýòîìó B > 0. Íî òàê êàê n ÍÎÄ 10k − 1,10 = 1 , òî B10n ⇒ B ≥ 10 ïðîòèâî2 ( ( ) ) ( ) ðå÷èå. Åñëè æå p = q, òî 10k - 1 ( B - 1) = 10n A , è èç ýòîãî ðàâåíñòâà ïîëó÷àåì àíàëîãè÷íîå ïðîòèâîðå÷èå. Çàìå÷àíèå. Çàäà÷ó á) ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü íà ÿçûêå âûñøåé àëãåáðû òàê: â êîëüöå 10-àäè÷åñêèõ ÷èñåë íåò íåòðèâèàëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ x2 = x . À.Êàíåëü-Áåëîâ Ì2331*. Ïåòÿ è Âàñÿ èãðàþò â òàêóþ èãðó. Ñíà÷àëà íà ñòîëå ëåæàò 11 êó÷åê ïî 10 êàìíåé. Èãðîêè õîäÿò ïî î÷åðåäè, íà÷èíàåò Ïåòÿ. Êàæäûì õîäîì èãðîê áåðåò 1, 2 èëè 3 êàìíÿ, íî Ïåòÿ êàæäûé ðàç âûáèðàåò âñå êàìíè èç ëþáîé îäíîé êó÷è, à Âàñÿ âñåãäà âûáèðàåò âñå êàìíè èç ðàçíûõ êó÷åê (åñëè èõ áîëüøå îäíîãî). Ïðîèãðûâàåò òîò, êòî íå ìîæåò ñäåëàòü õîä. Êòî èç èãðîêîâ ìîæåò îáåñïå÷èòü ñåáå ïîáåäó, êàê áû íè èãðàë åãî ñîïåðíèê? Îòâåò. Âàñÿ. Ðàñïîëîæèì êàìíè, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå, ãäå êó÷è ñîîòâåòñòâóþò ñòîëáöàì. Ïåòÿ äîëæåí áðàòü íåñêîëüêî êàìíåé èç îäíîãî ñòîëáöà, à Âàñÿ èç ðàçíûõ. Ñòðàòåãèÿ Âàñè äåëàòü õîäû, ñèììåòðè÷íûå Ïåòèíûì îòíîñèòåëüíî ïóñòîé äèàãîíàëè. Èçíà÷àëüíî êàðòèíêà ñèììåòðè÷íà. Ïîñêîëüêó ñòðîêà, ñèììåòðè÷íàÿ ñòîëáöó, íå èìååò ñ íèì îáùèõ êàìíåé, òî Âàñÿ êàæäûé ðàç ñìîæåò âîññòàíàâëèâàòü íàðóøåííóþ ñèììåòðèþ, ò.å. ó íåãî âñåãäà åñòü õîä. Òàê êàê èãðà êîíå÷íà, òî êîãäàòî Ïåòÿ ïðîèãðàåò. Å.Áàêàåâ Ì2332*. Ïóñòü òî÷êè I è O öåíòðû âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêà ABC ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü OC öåíòð îêðóæíîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îñíîâàíèÿ âûñîò òðåóãîëüíèêà AIB (ò.å. îêðóæíîñòè äåâÿòè òî÷åê òðåóãîëüíèêà AIB). Ïóñòü EC òî÷êà, ñèììåòðè÷íàÿ òî÷êå OC îòíîñèòåëüíî áèññåêòðèñû óãëà AIB. Îïðåäåëèì òî÷êè EA è EB àíàëîãè÷íûì îáðàçîì. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè EA , EB è EC ëåæàò íà ïðÿìîé OI. ÇÀÄÀ×ÍÈÊ Ïóñòü òî÷êè Ia , Ib , Ic öåíòðû âíåâïèñàííûõ îêðóæíîñòåé, êàñàþùèõñÿ ñòîðîí BC, CA, AB ñîîòâåòñòâåííî (ñì. ðèñóíîê). Òàê êàê ïðÿìûå CIc è Ia Ib áèññåêòðèñû âíóòðåííåãî è âíåøíåãî óãëà ACB, òî ïðÿìàÿ IcC âûñîòà â òðåóãîëüíèêå Ia Ib Ic . Àíàëîãè÷íî, ïðÿìûå Ia A è Ib B ÿâëÿþòñÿ åãî âûñîòàìè. Ïîýòîìó òðåóãîëüíèê ABC ÿâëÿåòñÿ îðòîòðåóãîëüíèêîì (ò.å. òðåóãîëüíèêîì ñ âåðøèíàìè â îñíîâàíèÿõ âûñîò) òðåóãîëüíèêà Ia Ib Ic . Òàê êàê òî÷êà I ÿâëÿåòñÿ îðòîöåíòðîì òðåóãîëüíèêà Ia Ib Ic , òî òðåóãîëüíèê ABC ÿâëÿåòñÿ òàêæå îðòîòðåóãîëüíèêîì òðåóãîëüíèêà IIa Ib . Çàìåòèì, ÷òî òî÷êè A, B, Ia , Ib ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè (ñ äèàìåòðîì Ia Ib ), ïîýòîìó òðåóãîëüíèêè IIa Ib è IAB ñîâìåùàþòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì ïîäîáèÿ ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî áèññåêòðèñû óãëà AIB ñ ïîñëåäóþùåé ãîìîòåòèåé ñ öåíòðîì I. Ñëåäîâàòåëüíî, îêðóæíîñòü (ABC) (îïèñàííàÿ îêîëî îðòîòðåóãîëüíèêà òðåóãîëüíèêà IIa Ib ) è îêðóæíîñòü, îïèñàííàÿ îêîëî îðòîòðåóãîëüíèêà òðåóãîëüíèêà AIB, ñîâìåùàþòñÿ òåì æå ïðåîáðàçîâàíèåì ïîäîáèÿ. Çíà÷èò, è èõ öåíòðû Î è OC , è ëó÷è IOC è IO ïåðåâîäÿòñÿ äðóã â äðóãà ýòèì æå ïðåîáðàçîâàíèåì. Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà EC ëåæèò íà ïðÿìîé IO. Àíàëîãè÷íî, òî÷êè EA è EB ëåæàò íà ïðÿìîé IO. Ñ.Èëüÿñîâ M2333*. Ãðàô ýòî êîíå÷íîå ìíîæåñòâî âåðøèí, íåêîòîðûå ïàðû âåðøèí ñîåäèíåíû ðåáðàìè. Ãîâîðÿò, ÷òî ãðàô ïðàâèëüíî ðàñêðàøåí â m öâåòîâ, åñëè êàæäîé èç åãî âåðøèí ïðèïèñàí îäèí èç m äàííûõ öâåòîâ òàê, ÷òî ëþáûå äâå âåðøèíû, ñîåäèíåííûå ðåáðîì, îêðàøåíû â ðàçíûå öâåòà. Âåðøèíû íåêîòîðîãî ãðàôà ðàçáèòû íà òðè ìíîæåñòâà A, B, C òàê, ÷òî âåðøèíû èç ìíîæåñòâà A íå ñâÿçàíû ðåáðàìè ñ âåðøèíàìè èç ìíîæåñòâà C. Èçâåñòíî, ÷òî åñëè óäàëèòü èç ãðàôà âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà C (âìåñòå ñ âûõîäÿùèìè ðåáðàìè), òî ïîëó÷åííûé ãðàô ìîæíî ïðàâèëüíî ðàñêðàñèòü â k öâåòîâ, à åñëè óäàëèòü èç íåãî âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà A òî â n öâåòîâ.  êàêîå ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî öâåòîâ ìîæíî ñ ãàðàíòèåé ïðàâèëüíî ðàñêðàñèòü òàêîé ãðàô? «ÊÂÀÍÒÀ» ! Îòâåò. k + n 1. Ïîêàæåì, ÷òî â k + n 1 öâåò ïðàâèëüíî ðàñêðàñèòü âñå âåðøèíû ìîæíî âñåãäà. Ðàñêðàñèì B » C â n öâåòîâ, íàçîâåì îäèí èç ýòèõ öâåòîâ ïåðâûì, è ïóñòü D ñîâîêóïíîñòü âñåõ âåðøèí èç B, ïîêðàøåííûõ â ïåðâûé öâåò. Òåïåðü ðàñêðàñèì A » D â k öâåòîâ (ïðè ýòîì âåðøèíû èç ìíîæåñòâà D ïåðåêðàøèâàåì), èñïîëüçîâàâ â êà÷åñòâå îäíîãî èç íèõ ïåðâûé öâåò (à îñòàëüíûå k 1 öâåòîâ âçÿâ îòëè÷íûìè îò óæå èñïîëüçîâàííûõ n öâåòîâ). Ó âåðøèí, íå âõîäÿùèõ â A » D , ñîõðàíèì ïðåæíþþ ðàñêðàñêó. Ïîñêîëüêó íèêàêèå âåðøèíû èç A » D íå ñâÿçàíû ðåáðàìè ñ âåðøèíàìè èç C, ïîêðàøåííûìè â ïåðâûé öâåò (èç D â ñèëó ïðàâèëüíîñòè ðàñêðàñêè B » C â n öâåòîâ, èç A ïî óñëîâèþ), ïîëó÷èòñÿ ïðàâèëüíàÿ ðàñêðàñêà ãðàôà â k + n 1 öâåò. Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî ìåíüøåãî ÷èñëà öâåòîâ ìîæåò è íå õâàòèòü. Ðàñïîëîæèì kn òî÷åê â âèäå ïðÿìîóãîëüíèêà èç n ñòðîê è k ñòîëáöîâ. Ïðèìåì ýòî ìíîæåñòâî çà B. Ñíèçó äîáàâèì íóëåâóþ ñòðîêó èç k òî÷åê, ïðèìåì åå çà A, ñëåâà äîáàâèì íóëåâîé ñòîëáåö, ïðèìåì åãî çà C. Ðåáðàìè â B ñîåäèíèì ëþáûå äâå òî÷êè, íå ëåæàùèå íè â îäíîé ñòðîêå, íè â îäíîì ñòîëáöå.  A ñîåäèíèì ðåáðàìè êàæäûå äâå òî÷êè, â C òîæå. Êðîìå òîãî, ñîåäèíèì ðåáðàìè êàæäóþ òî÷êó èç A ñî âñåìè òî÷êàìè èç B, íå ëåæàùèìè ñ íåé â îäíîì ñòîëáöå, è êàæäóþ òî÷êó èç C ñî âñåìè òî÷êàìè èç B, íå ëåæàùèìè ñ íåé â îäíîé ñòðîêå. Î÷åâèäíû ïðàâèëüíûå ðàñêðàñêè A » B â k öâåòîâ (ïî ñòîëáöàì) è C » B â n öâåòîâ (ïî ñòðîêàì). Ïîêàæåì, ÷òî ïîëó÷åííûé ãðàô íåëüçÿ ðàñêðàñèòü ìåíüøå ÷åì â k + n 1 öâåò. Äîïóñòèì, åñòü ïðàâèëüíàÿ ðàñêðàñêà A » B » C â k + n 2 öâåòà. Ïîñêîëüêó òî÷êè ìíîæåñòâà A ðàñêðàøåíû â k ðàçëè÷íûõ öâåòîâ, à òî÷êè ìíîæåñòâà C â n ðàçëè÷íûõ öâåòîâ, òî èìåþòñÿ m ≥ 2 öâåòîâ (íàçîâåì èõ îáùèìè), â êîòîðûå ïîêðàøåíû òî÷êè îáîèõ ýòèõ ìíîæåñòâ. Îòìåòèì ñòðîêè è ñòîëáöû, â êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ òàêèå òî÷êè; íà èõ ïåðåñå÷åíèè íàõîäèòñÿ m2 òî÷åê ìíîæåñòâà B. Çàìåòèì, ÷òî â êàæäûé èç m îáùèõ öâåòîâ ìîæåò áûòü ïîêðàøåíî íå áîëüøå îäíîé èç ýòèõ m2 òî÷åê, à èìåííî, òî÷êà, ñòîÿùàÿ íà ïåðåñå÷åíèè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòîëáöà è ñòðîêè. Ñòàëî áûòü, ñðåäè ýòèõ m2 òî÷åê åñòü m2 - m òî÷åê, ðàñêðàøåííûõ â äðóãèå öâåòà. Ýòî íå ìîãóò áûòü îáùèå öâåòà, íî íå ìîãóò áûòü è äðóãèå öâåòà, èñïîëüçîâàííûå ïðè ðàñêðàñêå òî÷åê ìíîæåñòâ A è Ñ, ïîòîìó ÷òî ñî âñåìè òî÷êàìè òàêèõ öâåòîâ òî÷êè èç îòìå÷åííûõ ñòðîê è ñòîëáöîâ ñâÿçàíû ðåáðàìè. Âñåãî ïðè ðàñêðàñêå òî÷åê èç A è Ñ áûëî èñïîëüçîâàíî k + n m öâåòîâ. Èç óïîìÿíóòûõ âûøå m2 - m òî÷åê ìîæíî âûáðàòü m òî÷åê, íèêàêèå äâå èç êîòîðûõ íå ëåæàò â îäíîé ñòðîêå èëè îäíîì ñòîëáöå. Êàæäûå äâå èç ýòèõ m òî÷åê ñâÿçàíû ðåáðîì, ïîýòîìó îíè ðàñêðàøåíû íå ìåíåå ÷åì â m öâåòîâ. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî âñåãî èñïîëüçîâàíî íå ìåíåå k + n öâåòîâ. Ïðîòèâîðå÷èå. È.Áîãäàíîâ " ÊÂÀÍT 2014/¹3 Ô2333. Ïðèÿòåëè Âàñÿ è Ïåòÿ ïî óòðàì ãóëÿþò â ïàðêå. Îäíàæäû âìåñòå ñ Ïåòåé íà ïðîãóëêó âûøåë è åãî ïåñ Øàðèê. Âîò Âàñÿ, íå òîðîïÿñü, áåæèò òðóñöîé ïî ïðÿìîé äîðîæêå íàâñòðå÷ó Ïåòå ñî ñêîðîñòüþ v = 2 ì/ñ, à Ïåòÿ èäåò ñ Øàðèêîì íàâñòðå÷ó Âàñå ñî ñêîðîñòüþ u = 1 ì/ñ. Ðîâíî â 12:00:00 Ïåòÿ óâèäåë Âàñþ, êîòîðûé â ýòîò ìîìåíò áûë îò íåãî íà ðàññòîÿíèè L = 300 ì. Îí òóò æå îòïóñòèë Øàðèêà, è òîò ñî âñåõ íîã ñî ñêîðîñòüþ 3 (u + v) = 9 ì/ñ áðîñèëñÿ áåæàòü ê òîâàðèùó ñâîåãî õîçÿèíà. Øàðèê, äîáåæàâ äî Âàñè, íåêîòîðîå âðåìÿ èäåò ðÿäîì ñ íèì, à çàòåì áðîñàåòñÿ ê ñâîåìó õîçÿèíó. Äîáåæàâ äî íåãî è ïðîéäÿñü íåìíîãî ðÿäîì ñ Ïåòåé, îí ñíîâà áåæèò ê Âàñå, è òàê ïîâòîðÿåòñÿ íåñêîëüêî ðàç. Çà âðåìÿ ñáëèæåíèÿ ïðèÿòåëåé Øàðèê ïðîâåë âîçëå êàæäîãî èç íèõ îäíî è òî æå âðåìÿ. Îáùàÿ äëèíà ïóòè, êîòîðûé óñïåë ïðîéòè è ïðîáåæàòü ïåñ, ðàâíà 2,5L = 750 ì. Êàêóþ ÷àñòü ïðîìåæóòêà âðåìåíè îò 12:00:00 äî 12:01:40 Øàðèê áåæàë ñî ñêîðîñòüþ 9 ì/ñ? Ñêîðîñòè ïðèÿòåëåé íå èçìåíÿëèñü. Îáîçíà÷èì ÷åðåç τ âðåìÿ, êîòîðîå Øàðèê íàõîäèëñÿ ðÿäîì ñ êàæäûì èç ìàëü÷èêîâ. Òîãäà, äâèãàÿñü âìåñòå ñ íèìè, îí ïðîøåë ÷àñòü ïóòè, ðàâíóþ L1 = τ (v + u ) . Âñå îñòàëüíîå âðåìÿ L - 2τ t= u+v îí áåãàë ñî ñêîðîñòüþ V = 3 (u + v) è çà ýòî âðåìÿ «íàáåãàë» ðàññòîÿíèå êðàí îòêðîþò è óñòàíîâèòñÿ ðàâíîâåñèå? Ñâåðõó âñå ñîñóäû îòêðûòû. Îáúåìîì ñîåäèíèòåëüíîé òðóáêè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ïëîùàäè ãîðèçîíòàëüíûõ ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé ñîñóäîâ îäèíàêîâûå. Òàê êàê æèäêîñòè íåñæèìàåìû, ïîñëå îòêðûòèÿ êðàíà â ëåâîì ñîñóäå ñòîëá æèäêî- Ðèñ. 2 ñòè ïëîòíîñòüþ ρ ïîíèçèòñÿ íà x, à â ïðàâîì ïîäíèìåòñÿ íà x (ðèñ.2). Çàïèøåì óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ, ïðèðàâíÿâ äàâëåíèÿ â òî÷êàõ 1 è 2: ρg (4h - 2x ) = 0,8ρg (3h - x ) , îòêóäà íàõîäèì x = 4h 3 . Ñëåäîâàòåëüíî, æèäêîñòè ïëîòíîñòüþ 0,8ρ îñòàíåòñÿ ñòîëá âûñîòîé 4 5 H = 3h - h = h . 3 3 Ì.Çàìÿòíèí Ô2335. Íà ëåãêîì æåñòêîì äâóõúÿðóñíîì ðû÷àãå ñëîæíîé êîíñòðóêöèè óðàâíîâåøåíû 4 ãðóçà (ñì. ðèñóíîê). Íàéäèòå ìàññó ãðóçà mx , åñëè ìàññû òðåõ L2 = tV . Èç óñëîâèÿ èçâåñòíî, ÷òî L1 + L2 = 2,5L è V = 3 (u + v) . Îòñþäà ïîëó÷àåì L 1 τ= = 10 c . 2 2V - u - v Ñî ñêîðîñòüþ 9 ì/ñ øàðèê áåæàë âñå îñòàâøååñÿ âðåìÿ, ò.å. 100 c - 2 ◊ 10 c = 80 c . À.Âëàñîâ Ô2334. Äâà ñîîáùàþùèõñÿ öèëèíäðè÷åñêèõ ñîñóäà âûñîòîé 5h, ÷àñòè÷íî çàïîëíåííûå æèäêîñòüþ ïëîòíîñòüþ ρ äî âûñîò 4h è 2h ñîîòâåòñòâåííî, ñìåùåíû ïî âåðòèêàëè íà âûñîòó 2h (ðèñ.1). Êðàí â òðóáêå èçíà÷àëüíî çàêðûò.  ïðàâûé ñîñóä äîáàâëÿþò æèäêîñòè ïëîòíîñòüþ 0,8ρ ñòîëüêî, ÷òî îíà çàíèìàåò îáúåì âûñîòîé 3h. Êàêîé ïî âûñîòå ñòîëá æèäêîñòè ïëîòíîñòüþ 0,8ρ îñòàíåòñÿ â ïðàâîì ñîñóäå ïîñëå òîãî, êàê Ðèñ. 1 îñòàëüíûõ ãðóçîâ èçâåñòíû; m = 6 êã. Äëèíû ÷àñòåé ðû÷àãà çàäàíû íà ðèñóíêå. Íåñìîòðÿ íà ñëîæíóþ êîíñòðóêöèþ ðû÷àãà, äëÿ âñåé ñèñòåìû ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðàâèëîì ìîìåíòîâ. Áóäåì âû÷èñëÿòü ìîìåíòû ñèë îòíîñèòåëüíî òî÷êè îïîðû ðû÷àãà. Òîãäà ïîëó÷èì mg ◊ 3L + 3mg ◊ L = mg ◊ 4L + mx g ◊ 3L , îòêóäà íàéäåì 2 m = 4 êã . 3 Ç.Ìèõàéëîâ mx = Ô2336. Íà ðèñóíêå 1 ïðåäñòàâëåíà (â îòíîñèòåëüíûõ åäèíèöàõ) çàâèñèìîñòü îáúåìà ïîðöèè âîçäóõà ìàññîé m = = 10 ã îò åãî òåìïåðàòóðû (ýòî ïðèìåðíî øåñòàÿ ÷àñòü îêðóæíîñòè åäèíè÷íîãî ðàäèóñà). Íàéäèòå ìàêñèìàëüíîå äàâëåíèå pmax , êîòîðîãî äîñòèãàë âîçäóõ â ïðîöåññå íàãðåâàíèÿ, åñëè V0 = 1 ë, à T0 = 300 Ê.  ýòîé çàäà÷å âîçäóõ ìîæíî ñ÷èòàòü èäåàëüíûì ãàçîì. Ðèñ. 1 ÇÀÄÀ×ÍÈÊ Çàïèøåì óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà: pV = νRT , èëè Ðèñ. 2 V νRT0 T = . V0 pV0 T0 Âèäíî, ÷òî ïðîöåññ ñ ïîñòîÿííûì äàâëåíèåì (èçîáàðè÷åñêèé) â çàäàííûõ êîîðäèíàòàõ ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. Ïðè÷åì ÷åì áîëüøå äàâëåíèå, òåì áîëüøå óãîë α . Òàêèì îáðàçîì, òî÷êó, â êîòîðîé äàâëåíèå áûëî ìàêñèìàëüíî, ìîæíî íàéòè, ïðîâåäÿ êàñàòåëüíóþ èç íà÷àëà êîîðäèíàò ê ãðàôèêó ïðîöåññà (òî÷êà A íà ðèñóíêå 2). Ïîñêîëüêó ðàäèóñ îêðóæíîñòè åäèíè÷íûé, sin α = 1 2 ; çíà÷èò, α = 30∞ è L = 2 cos α = 3 , x A = L sin α = 3 3 , y A = L cos α = . 2 2 # «ÊÂÀÍÒÀ» Òàê êàê ñèñòåìà çàìêíóòà, ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ çàêîíàìè ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà è ýíåðãèè, ïðè÷åì ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿäîâ âíóòðè ïàðû íå áóäåì ó÷èòûâàòü, òàê êàê îíà íå èçìåíÿåòñÿ: 0 = 2mu1 - 2 ◊ 2mu2 , kq ◊ 2q kq ◊ 2q kq ◊ 2q kq ◊ 2q 2 ◊ mu12 2 ◊ 2mu22 + + + = + , 2L 2L 3L L 2 2 ãäå u1 ñêîðîñòü ïðàâîé ïàðû, u2 ñêîðîñòü ëåâîé ïàðû. Èç ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ïîëó÷àåì u1 = 2q 7k q è u2 = 3 Lm 3 7k . Lm Ì.Èâàíîâ Ô2338. Íà äâóõ ñòåíàõ òðåíàæåðíîãî çàëà âèñÿò òðè îäèíàêîâûõ ïëîñêèõ çåðêàëà. Êàêîå ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ñâîèõ èçîáðàæåíèé âèäèò ñïîðòñìåí, ñòîÿùèé â öåíòðå çàëà? Êàêîå ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî èçîáðàæåíèé ñïîðòñìåíà îäíîâðåìåííî ìîæåò âèäåòü ñòîðîííèé íàáëþäàòåëü? Èçîáðàçèòå ïëàí çàëà è âûäåëèòå íà íåì îáëàñòè, èç êîòîðûõ îí ìîæåò âèäåòü èçîáðàæåíèå ñïîðòñìåíà. Äëÿ êàæäîé îáëàñòè ñäåëàéòå îòäåëüíûé ðèñóíîê. Íà îòäåëüíîì Çíàÿ êîîðäèíàòû òî÷êè íà ãðàôèêå, íàéäåì ìàêñèìàëüíîå äàâëåíèå: m x AT0 pmax = R ª 5 ◊ 105 Ïà , Μ y AV0 ãäå Μ = 29 ã ìîëü ìîëÿðíàÿ ìàññà âîçäóõà. À.Áû÷êîâ Ô2337. Âäîëü îäíîé ïðÿìîé ðàñïîëîæåíû äâå ïàðû ñêðåïëåííûõ çàðÿäîâ. Âåëè÷èíû çàðÿäîâ è èõ ìàññû óêàçàíû íà ðèñóíêå. Ñ êàêèìè óñêîðåíèÿìè íà÷íóò ðàçëåòàòüñÿ ýòè ïàðû? Êàêèå ñêîðîñòè îíè ïðèîáðåòóò ïîñëå ðàçëåòà íà áîëüøîå ðàññòîÿíèå? Ñ÷èòàéòå äâèæåíèå ïàð çàðÿäîâ ïîñòóïàòåëüíûì. Ðàññòîÿíèå L, çàðÿä q è ìàññà m çàäàíû. Çàïèøåì äëÿ ïðàâîé ïàðû çàðÿäîâ âòîðîé çàêîí Íüþòîíà: Ê 1 2 1 ˆ + 2kq2 Á 2 + ˜ = 2ma1 , 2 (3L)2 ¯ Ë L (2L) ãäå a1 óñêîðåíèå ýòîé ïàðû. Îòñþäà íàõîäèì 29 kq2 . a1 = 18 mL2 Ïî òðåòüåìó çàêîíó Íüþòîíà, íà ëåâóþ ïàðó çàðÿäîâ ñî ñòîðîíû ïðàâîé äåéñòâóåò òàêàÿ æå ïî âåëè÷èíå ñèëà. Îäíàêî ìàññà ëåâîé ïàðû â äâà ðàçà áîëüøå, ïîýòîìó åå óñêîðåíèå áóäåò ðàâíî a2 = a1 29 kq2 = . 2 36 mL2 Ðèñ. 1 ðèñóíêå èçîáðàçèòå îáëàñòü, èç êîòîðîé íàáëþäàòåëü ìîæåò âèäåòü ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî èçîáðàæåíèé. Ïëàí òðåíàæåðíîãî çàëà ñ çåðêàëàìè (âèä ñâåðõó) ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 1. Ñ÷èòàéòå ñïîðòñìåíà íå ñëèøêîì êðóïíûì (ïî÷òè òî÷å÷íûì). Òî÷å÷íûé ïðåäìåò è åãî èçîáðàæåíèå â ïëîñêîì çåðêàëå ðàâíîóäàëåíû îò ïëîñêîñòè çåðêàëà. Îáà îíè ëåæàò íà ïåðïåíäèêóëÿðå, ïðîâåäåííîì ê ïëîñêîñòè ýòîãî çåðêàëà. Íà ðèñóíêå 2 ïîêàçàíà îáëàñòü À, èç êîòîðîé âèäíî èçîáðàæåíèå S1 ñïîðòñìåíà S. Íà ðèñóíêå 3 ïîêàçàíû äâå îáëàñòè B, èç êîòîðûõ âèäíî èçîáðàæåíèå ñïîðòñìåíà S2 . Ðèñ. 2 $ ÊÂÀÍT 2014/¹3 òðèòèÿ τ ) ðàñïàäóòñÿ ∆N = N0 - N ª N0 Ðèñ. 3 Ðèñ. 4 Íà ðèñóíêå 4 ïîêàçàíà îáëàñòü Ñ, èç êîòîðîé â çåðêàëå 1 âèäíî èçîáðàæåíèå S3 «ïðåäìåòà» S2 . Âñå òðè èçîáðàæåíèÿ áóäóò âèäíû èç òîé ÷àñòè êîìíàòû îáëàñòü D íà ðèñóíêå 5, â êîòîðîé ïåðåêðûâàþòñÿ îáëàñòè À, Â, Ñ. Èòàê, èç ïîñòðîåíèé âèäíî, ÷òî ñïîðòñìåí ìîæåò âèäåòü Ðèñ. 5 òîëüêî îäíî ñâîå èçîáðàæåíèå S1 â çåðêàëå 1. À ñòîðîííèé íàáëþäàòåëü ìîæåò âèäåòü 3 èçîáðàæåíèÿ èç îáëàñòè D. Ì.Çàìÿòíèí Ô2339.  âàêóóìèðîâàííûé ñîñóä åìêîñòüþ V = = 1,5 ë ñ æåñòêèìè è íå ïðîâîäÿùèìè òåïëî ñòåíêàìè âïðûñíóëè m = 1,1 ã æèäêîé òÿæåëîé âîäû T2O ïðè òåìïåðàòóðå 0 ∞C è ãåðìåòèçèðîâàëè ñîñóä. Ïåðèîä ïîëóðàñïàäà ÿäåð òðèòèÿ τ = 12,33 ãîäà. Ïðè ðàñïàäå îäíîãî ìîëÿ ÿäåð òðèòèÿ âûäåëÿåòñÿ E = 1,79 ÃÄæ ýíåðãèè. Ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü òÿæåëîé âîäû òàêàÿ æå, êàê è ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü îáû÷íîé âîäû, ò.å. 75,6 Äæ ( ìîëü ◊ Ê ) . Òåïëîòà èñïàðåíèÿ òîæå òàêàÿ æå, êàê è äëÿ îáû÷íîé âîäû, ò.å. L = 40 êÄæ/ìîëü. Êàêàÿ òåìïåðàòóðà è êàêîå äàâëåíèå áóäóò âíóòðè ñîñóäà ÷åðåç âðåìÿ t = 2 ÷ ïîñëå íà÷àëà ýêñïåðèìåíòà? Ïðè óñëîâèè ÷òî ÿäðà êèñëîðîäà èìåþò àòîìíóþ ìàññó 16, ìîëÿðíàÿ ìàññà òÿæåëîé âîäû T2O ðàâíà Μ = 22 ã ìîëü . Ñëåäîâàòåëüíî, â ñîñóä âïðûñíóëè âñåãî 0,05 ìîëü âîäû. Êîëè÷åñòâî ÿäåð òðèòèÿ, â ìîëÿõ, â ñîñóäå ðàâíî 2 (m Μ ) = 0,1 ìîëü . ßäåðíûå ðåàêöèè ðàñïàäà ÿäåð òðèòèÿ ïðîèñõîäÿò ñ âåðîÿòíîñòüþ, êîòîðàÿ íå çàâèñèò îò òîãî, â ñîñòàâ êàêîãî õèìè÷åñêîãî âåùåñòâà âõîäÿò àòîìû ñ òàêèìè ÿäðàìè. Ïðè êàæäîì ðàñïàäå îäíîãî ÿäðà òðèòèÿ îáðàçóåòñÿ îäíî ÿäðî ãåëèÿ-3, âûñâîáîæäàåòñÿ îäèí ýëåêòðîí è, êðîìå òîãî, âîçíèêàåò è ïîêèäàåò ñîñóä àíòèíåéòðèíî: 3 1T fi 23 He + e - + ν . ßäðî ãåëèÿ-3, âîçëå êîòîðîãî äî ðàñïàäà ÿäðà òðèòèÿ è òàê íàõîäèëñÿ îäèí ýëåêòðîí, òóò æå ïðèñîåäèíÿåò ê ñåáå èç áëèæàéøåãî îêðóæåíèÿ åùå îäèí ýëåêòðîí, è îáðàçóåòñÿ àòîì ãåëèÿ õèìè÷åñêè èíåðòíîãî ãàçà.  ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà ÷èñëî ðàäèîàêòèâíûõ ÿäåð â ñîñóäå áóäåò ìåíÿòüñÿ ñî âðåìåíåì òàê: N = N0 ◊ 2-t τ , ãäå N0 èñõîäíîå êîëè÷åñòâî ðàäèîàêòèâíûõ ÿäåð. Çà âðåìÿ t = 2 ÷ (t ãîðàçäî ìåíüøå âðåìåíè ïîëóðàñïàäà t ln 2 τ ÿäåð òðèòèÿ.  íàøåì ñëó÷àå N0 = 0,1 ìîëü , è ∆N = 1,28 ◊ 10 -6 ìîëü .  ðåçóëüòàòå ðàñïàäîâ âûäåëèòñÿ òåïëîâàÿ ýíåðãèÿ U = E∆N = 2296 Äæ . Ïðè ýòîì çà 2 ÷àñà â ñîñóäå ñ òÿæåëîé âîäîé íàêîïÿòñÿ è ïðîäóêòû ðàñïàäà àòîìû ãåëèÿ-3 â êîëè÷åñòâå ∆N = 1,28 ◊ 10 -6 ìîëü è íåêîòîðûå äðóãèå âåùåñòâà. Íàïðèìåð, êàêîå-òî âðåìÿ æèâóò ïî îòäåëüíîñòè è îáðàçîâàâøèåñÿ â ðåçóëüòàòå ðàñïàäîâ ÿäåð ýëåêòðîíû, êîòîðûå ìîãóò ïðèñîåäèíÿòüñÿ ê îêðóæàþùèì ìîëåêóëàì âîäû, è õèìè÷åñêè àêòèâíûå ðàäèêàëû ÎÒ. Ìîãóò îáðàçîâûâàòüñÿ (íàâåðíîå, ñ íåáîëüøîé âåðîÿòíîñòüþ) ìîëåêóëû êèñëîðîäà O2 , à òàêæå ìîëåêóëû òÿæåëîãî âîäîðîäà T2 è ìîëåêóëû ïåðåêèñè òÿæåëîé âîäû TO2 . Îáùåå êîëè÷åñòâî âñåõ ýòèõ âåùåñòâ çíà÷èòåëüíî ìåíüøå èñõîäíîãî êîëè÷åñòâà òÿæåëîé âîäû (0,05 ìîëü). Ïîíÿòíî, ÷òî òÿæåëàÿ âîäà (âìåñòå ñ íåáîëüøèì êîëè÷åñòâîì äðóãèõ âåùåñòâ) â òåïëîèçîëèðîâàííîì ñîñóäå áóäåò íàãðåâàòüñÿ, èñïàðÿòüñÿ è ÷àñòè÷íî èëè âñÿ ïåðåéäåò â ïàð. Îöåíèì êîëè÷åñòâî òåïëîòû, êîòîðîå íåîáõîäèìî äëÿ èñïàðåíèÿ âñåé èìåþùåéñÿ â ñîñóäå æèäêîé âîäû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû ïîìåñòèëè â ñîñóä íå èìåþùèé òåïëîåìêîñòè ïîðøåíü, êîòîðûé óäåðæèâàåò âîäó ïîä äàâëåíèåì 105 Ïà. Òîãäà ñíà÷àëà âîäà ïîäîãðååòñÿ äî 100 ∞C , è íà ýòî ïîòðåáóåòñÿ 378 Äæ ýíåðãèè. Çàòåì âîäà ïåðåéäåò â ïàð ïðè òåìïåðàòóðå 100 ∞C , íà ÷òî ïîòðåáóåòñÿ 2000 Äæ ýíåðãèè. Ïðè ýòîì îáúåì ïîä ïîðøíåì âûðàñòåò äî âåëè÷èíû 22,4 ë ◊ 0,05 ◊ 373 273 = 1,53 ë . Âñïîìíèì, ÷òî ïî óñëîâèþ çàäà÷è îáúåì ñîñóäà ðàâåí 1,5 ë íàì ïîâåçëî! Èòàê, ïðèìåðíî ÷åðåç 2 ÷àñà âñÿ âîäà â íàøåì «óñîâåðøåíñòâîâàííîì» ñîñóäå èñïàðèòñÿ, è ê ýòîìó ìîìåíòó â ñîñóäå áóäåò òåìïåðàòóðà 100 ∞C è äàâëåíèå 105 Ïà. «Âåðíåì» òåïåðü âîäÿíîìó ïàðó ýíåðãèþ, êîòîðàÿ ïîøëà íà òî, ÷òîáû îí ñîâåðøèë ðàáîòó ïî ïðåîäîëåíèþ äåéñòâèÿ âíåøíèõ ñèë, ñîçäàâàâøèõ òî ñàìîå äàâëåíèå 105 Ïà ñî ñòîðîíû ïîðøíÿ. Ýòà ðàáîòà ðàâíà p∆V = 105 Ïà ◊ (1,53 - 0) ◊ 10 -3 ì3 = 153 Äæ . Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî äëÿ èñïàðåíèÿ âîäû â ñîñóäå áåç ïîðøíÿ ïîòðåáóåòñÿ 378 Äæ + 2000 Äæ 153 Äæ = 2225 Äæ ýíåðãèè. Ýòà âåëè÷èíà ìåíüøå òîãî êîëè÷åñòâà òåïëîòû, ÷òî âûäåëèëîñü â ñîñóäå çà äâà ÷àñà. Îñòàâøàÿñÿ ýíåðãèÿ (2296 - 2225) Äæ = 71 Äæ ïîéäåò íà èçîõîðíûé íàãðåâ âîäÿíîãî ïàðà. Ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü âîäÿíîãî ïàðà ðàâíà 3R ª 25 Äæ (ìîëü ◊ Ê ) , ïîýòîìó ïàð íàãðååòñÿ äî òåìïåðàòóðû ( T = 373 Ê + ) 71 Äæ ª 430 Ê . 25 Äæ (ìîëü ◊ Ê ) ◊ 0,05 ìîëü Äàâëåíèå ïðè ýòîì äîñòèãíåò âåëè÷èíû 430 Ê p = 105 Ïà ◊ ª 1,15 ◊ 105 Ïà . 373 Ê Í.Óêëîíîâ «ÊÂÀÍÒ» 1. ÄËß ÌËÀÄØÈÕ ØÊÎËÜÍÈÊΠ% Çàäà÷è Ìàøà õîòåëà êóïèòü áóëî÷êó öåíîé â öåëîå ÷èñëî ðóáëåé. Ðîâíî îíà çàïëàòèòü íå ñìîãëà è ïðèãîòîâèëà êàê ìîæíî ìåíüøóþ ñóììó, íî ÷òîáû íà áóëî÷êó õâàòèëî.  èòîãå îíà äàëà ïðîäàâùèöå 9 ðóáëåé è ïîëó÷èëà ñäà÷ó. Ñêîëüêî ñòîèëà áóëî÷êà? Ñ.Èâàíîâ, Á.Äðóæèíèí 4. Ïåòÿ õî÷åò ïðèäóìàòü àíàëîã èãðû «êàìåíü 2. Âåëîñèïåäèñòû Àëåøà, Áîðÿ è Âàñÿ îäíîâðåìåííî ñòàðòóþò èç îäíîé è òîé æå òî÷êè êîëüöåâîãî òðåêà (ñêîðîñòü êàæäîãî ïîñòîÿííà). Ïåðâûìè ïîñëå ñòàðòà ïðîåõàëè äðóã ìèìî äðóãà Àëåøà è Áîðÿ (â îäíó ñòîðîíó èëè â ðàçíûå íåèçâåñòíî). Èçâåñòíî, ÷òî íîæíèöû áóìàãà» äëÿ 10 ïðåäìåòîâ.  íåé äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ äâà óñëîâèÿ: ïðî ëþáûå äâà ïðåäìåòà ìîæíî ñêàçàòü, êàêîé èç íèõ êîãî áüåò; ëþáûå äâà ïðåäìåòà ðàâíîïðàâíû (ò.å. êàæäûé ïðåäìåò áüåò îäíî è òî æå ÷èñëî ïðåäìåòîâ). Ñìîæåò ëè Ïåòÿ ïðèäóìàòü òàêóþ èãðó? Ã.Æóêîâ 5. Èëëþñòðàöèè Ä.Ãðèøóêîâîé Àëåøà åäåò ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, à Âàñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè.  êàêîì íàïðàâëåíèè åäåò Áîðÿ? Á.Ôðåíêèí 3.  ðÿä ñëåâà íàïðàâî ñòîÿëè íåñêîëüêî ñòîëáîâ, ìåæäó êàæäûìè äâóìÿ ñîñåäíèìè áûë íàòÿíóò ïðîâîä. Ïîäóë âåòåð, âñå ñòîëáû óïàëè âëåâî, íî ïðîâîäà ïðè ýòîì íå ïîðâàëèñü è ñíîâà îêàçàëèñü íàòÿíóòûìè. Äîêàæèòå, ÷òî èçíà÷àëüíî âñå ïðîâîäà áûëè ïàðàëëåëüíû çåìëå. Ñ.Äîðè÷åíêî Ýòè çàäà÷è ïðåäíàçíà÷åíû ïðåæäå âñåãî ó÷àùèìñÿ 68 êëàññîâ. Íà ñòàðîé ïå÷àòíîé ìàøèíêå Íåçíàéêè íà ïå÷àòü êàæäîé êîíêðåòíîé öèôðû âñåãäà ðàñõîäóåòñÿ îäíî è òî æå êîëè÷åñòâî ÷åðíèë. Íåçíàéêà ãîâîðèò, ÷òî íà ýòîé ìàøèíêå íåëüçÿ íàïå÷àòàòü äâà íàòóðàëüíûõ ÷èñëà, îäíî â 9 ðàç áîëüøåå äðóãîãî, èñòðàòèâ íà êàæäîå ÷èñëî îäíî è òî æå êîëè÷åñòâî ÷åðíèë. Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî îí íàâåðíÿêà îøèáàåòñÿ? Å.Áàêàåâ & ÊÂÀÍT 2014/¹3 Ýëåêòðîìàãíèòíîå èçëó÷åíèå íà ïàëüöàõ (Óðîê ôèçèêè â Êîëëåäæå Ýéíøòåéíà1 ) Â.ÑÛÙÅÍÊÎ Î ÁÚßÂËÅÍÈÅ ÍÀ ÊËÀÑÑÍÎÉ ÄÎÑÊÅ ÂÎÇÂÅÙÀËÎ: «ÑÅ- ãîäíÿøíåå çàíÿòèå ïðîâîäèò ïðîôåññîð Âàí-Òåëëåð». Ïðîçâåíåë çâîíîê, íàäïèñü ïîëûõíóëà ñèíèì ïëàìåíåì è èñ÷åçëà, îñòàâèâ äîñêó áåçóïðå÷íî ÷èñòîé.  òîò æå ìîìåíò äâåðü îòêðûëàñü, è â àóäèòîðèþ âîøåë âûñîêèé ÷åëîâåê ñ êóñòèñòûìè áðîâÿìè. Íèêêè íå ñðàçó óçíàëà ñòàðîãî ïðîôåññîðà, ïðîøåäøåãî êóðñ îìîëîæåíèÿ. Çäðàâñòâóéòå! Êîëëåãà Äåðìþððåé óåõàë íà êîíôåðåíöèþ, è ñåãîäíÿøíèé óðîê ïðîâåäó ÿ. Ñóäÿ ïî ïðîãðàììå, âû óæå îñâîèëè èçðÿäíûé êóñîê ýëåêòðîäèíàìèêè. Ïðîôåññîð îáâåë âçãëÿäîì êëàññ. Ñåé÷àñ ïîñìîòðèì, êàê âû åå ïîíÿëè. Ïðîôåññîð, ñêîëüêî ìîæíî îáñóæäàòü ðåçóëüòàòû ïîçàïðîøëîãî âåêà? ñ ïðåòåíçèåé â ãîëîñå ïðîèçíåñ ïðèíö Äèòáèò. Ïåðâàÿ êîíòðîëüíàÿ, âòîðàÿ êîíòðîëüíàÿ, êîëëîêâèóì Äà-äà, â ìîå âðåìÿ ïîñëå òðåõ äâîåê ïîäðÿä ñòóäåíò âûëåòàë èç êîëëåäæà ïî ëèöó ïðîôåññîðà ðàçëèëàñü áëàæåííàÿ óëûáêà, ðåçêî êîíòðàñòèðîâàâøàÿ ñ íåäîâîëüíîé ôèçèîíîìèåé ïðèíöà. Èòàê, êòî èç âàñ ñêàæåò, êàê ïîðîäèòü ýëåêòðîìàãíèòíóþ âîëíó?  îòâåò ðàçäàëñÿ õîð ãîëîñîâ: Ïîäâèãàòü ýëåêòðîí ñ óñêîðåíèåì! Ïîêà÷àòü òóäàñþäà! À êòî âîçüìåòñÿ îáúÿñíèòü, ïî÷åìó óñêîðåííî äâèæóùèéñÿ çàðÿä èçëó÷àåò? óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà çàïàçäûâàþùèå ïîòåíöèàëû ïîñëûøàëîñü ñ ðàçíûõ ñòîðîí, êòî-òî äàæå íà÷àë ïåðåáðàñûâàòü ÷åðåç øêîëüíûé êîìïüþòåð ôîðìóëû íà äîñêó è ñòåíû. Äîñòàòî÷íî, äîñòàòî÷íî! Ïðîôåññîð ïîäíÿë ëàäîíè ïåðåä ñîáîé. ß âåðþ, ÷òî âû çíàåòå, êàê âñå ýòî âûâîäèòñÿ, èíà÷å áû âû çäåñü íå ñèäåëè, è ïðîôåññîð îïÿòü ïëîòîÿäíî óëûáíóëñÿ. Íî ñàìûå âíèìàòåëüíûå èç âàñ ìîãëè çàìåòèòü, ÷òî ÿ çàäàë íåñêîëüêî èíîé âîïðîñ: êòî ìîæåò ÎÁÚßÑÍÈÒÜ, ïî÷åìó óñêîðåííî äâèæóùèéñÿ çàðÿä èçëó÷àåò? Äîñòóïíî, ïî ðàáî÷å-êðåñòüÿíñêè? Ïî ðàáî÷å-êàê?.. ñêðèâèë ãóáû íå ïîâåðèâøèé ñâîèì óøàì ïðèíö Äèòáèò. Óëûáêà ñïîëçëà ñ ëèöà ïðîôåññîðà. Îêàçûâàåòñÿ, îí è áåç äåðåâÿííîé êëþêè ìîã âûãëÿäåòü âåñüìà ãðîçíî. Êðåñòüÿíñêè! ñ íàæèìîì ïîâòîðèë Âàí-Òåëëåð, âïåðèâ â ïðèíöà òàêîé òÿæåëûé âçãëÿä, ÷òî ñ òîãî 1 Îá ýòîì óäèâèòåëüíîì êîëëåäæå ìîæíî óçíàòü èç êíèãè Í.Ãîðüêàâîãî «Àñòðîâèòÿíêà» (Ì.: ÀÑÒ, 2011). (Ïðèì. ðåä.) ìèãîì ñëåòåëî ïðîöåíòîâ òðèäöàòü îáû÷íîé íàãëîñòè. Ñêâîçü èñòîí÷èâøóþñÿ îáîëî÷êó íàñëåäíûé îòïðûñê äèíàñòèè Äèòáèòîâ ïî÷óâñòâîâàë áóðàâÿùèå âçãëÿäû ñâîèõ ïîäïåâàë, ÿñíåå âñÿêèõ ñëîâ ãîâîðèâøèå: «Óñòóïèøü çíà÷èò ñëàáàê!» Íåèçâåñòíî, ÷åì áû âñå ýòî êîí÷èëîñü, åñëè áû â òîò æå ìîìåíò âåñü îñòàëüíîé êëàññ íå ïîâåðíóëñÿ, áóäòî ïî êîìàíäå, óêàçûâàÿ íà äåâî÷êó ñ õðóñòàëüíûìè âîëîñàìè: Íèêêè! Îíà çíàåò! Îíà íà ñâîåì àñòåðîèäå êàðòîøêó âûðàùèâàëà! «È áàîáàáû âûïàëûâàëà!» ïðîâîð÷àëà ïðî ñåáÿ Íèêêè, à âñëóõ ïðîèçíåñëà: Âîîáùå-òî ïîìèäîðû, ïðîôåññîð Ïîìèäîðû òîæå ïàñëåíîâûå, òîæå íåïëîõî Èòàê, ìèññ Ãðèíâè÷? Åñëè ýëåêòðîí äâèæåòñÿ ïðÿìîëèíåéíî è ðàâíîìåðíî, òî âñåãäà ìîæíî íàéòè èíåðöèàëüíóþ ñèñòåìó îòñ÷åòà, â êîòîðîé îí ïîêîèòñÿ. À ó ïîêîÿùåãîñÿ ýëåêòðîíà ýíåðãèÿ ìèíèìàëüíà, åìó ïðîñòî íå÷åãî èçëó÷àòü. À òàê êàê ôèçèêà ÿâëåíèÿ íå ìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåõîäå èç îäíîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà â äðóãóþ, òî è ðàâíîìåðíî äâèæóùèéñÿ ýëåêòðîí èçëó÷àòü íå áóäåò. Çíà÷èò, äëÿ âîçìîæíîñòè èçëó÷àòü îñòàåòñÿ òîëüêî óñêîðåííîå äâèæåíèå. Íó ÷òî æ, ìèññ Íèêêè. Âñå ïðàâèëüíî, ïðèâëå÷åíèå «ÊÂÀÍÒ» ÄËß ÌËÀÄØÈÕ ïðèíöèïà îòíîñèòåëüíîñòè âïîëíå äîñòîéíî ó÷åíèöû øêîëû Ýéíøòåéíà. Òîëüêî âîò ïîñëåäíÿÿ ôðàçà ìíå íå î÷åíü íðàâèòñÿ, îíà íå îòâå÷àåò íà ïîñòàâëåííûé âîïðîñ. Òîò ôàêò, ÷òî ðàâíîìåðíî äâèæóùèéñÿ çàðÿä èçëó÷àòü íå ìîæåò, ñàì ïî ñåáå åùå íå îçíà÷àåò, ÷òî åãî óñêîðåííî äâèæóùèéñÿ ñîáðàò èçëó÷àòü ÁÓÄÅÒ. Ïîïðîáóéòå åùå ðàç. Ïî÷åìó æå óñêîðåííî äâèæóùèéñÿ çàðÿä èçëó÷àåò? «Äà, âúåäëèâîñòè ó ïðîôåññîðà íå óáàâèëîñü!» ïîäóìàëà Íèêêè, à âñëóõ îáðàòèëàñü ê øêîëüíîìó êîìïüþòåðó: Âèáðàòîð Ãåðöà, ïîæàëóéñòà! Íà áîëüøîì ýêðàíå ïîÿâèëàñü êëàññè÷åñêàÿ êàðòèíêà (ðèñ.1). Ðèñ. 1 Âîçüìåì äâà ìåòàëëè÷åñêèõ øàðà, ñîåäèíåííûõ ïðîâîäÿùèì ñòåðæíåì. Ïóñòü ïîä äåéñòâèåì ãåíåðàòîðà (íà ðèñóíêå íå ïîêàçàí) íåêîòîðàÿ ÷àñòü ýëåêòðîíîâ ñêîíöåíòðèðóåòñÿ â íèæíåì øàðå. Òîãäà ìåæäó øàðàìè âîçíèêíåò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. Åñëè òåïåðü ïîçâîëèòü ýëåêòðîíàì ïåðåòåêàòü èç íèæíåãî øàðà â âåðõíèé, òî â ñòåðæíå âîçíèêíåò ýëåêòðè÷åñêèé òîê, ñîçäàþùèé ìàãíèòíîå ïîëå. Çàòåì ñèòóàöèÿ ïîâòîðèòñÿ ñ èçìåíåíèåì ïîëÿðíîñòè. Ãåíåðàòîð áóäåò ïîääåðæèâàòü íåçàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ ýëåêòðîíîâ. Õîðîøî, à òåïåðü êàâåðçíûé âîïðîñ. Ïðîôåññîð ñíîâà óëûáíóëñÿ. Âáëèçè âàøåãî äèïîëÿ ìàãíèòíîå ïîëå äîñòèãàåò ìàêñèìóìà, êîãäà ìàêñèìóìà äîñòèãàåò òîê â ñîåäèíÿþùåì øàðû ñòåðæíå, ò.å. êîãäà çàðÿäû â îáîèõ øàðàõ îáðàùàþòñÿ â íîëü, à ñ íèìè è ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â ïðèëåãàþùåé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà. Èíûìè ñëîâàìè, ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå ïîëÿ âáëèçè äèïîëÿ ñäâèíóòû ïî ôàçå íà 90° äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà. Íî âåäü â ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíå, óíîñÿùåéñÿ ïðî÷ü îò äèïîëÿ, ýòè ïîëÿ êîëåáëþòñÿ ñèíÐèñ. 2 ôàçíî (ðèñ.2), îäíîâðåìåííî äîñòèãàÿ ìàêñèìóìà â âûáðàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà è îäíîâðåìåííî æå îáðàùàÿñü â íîëü! Íî âåäü ýòî íå âîïðîñ, à óòâåðæäåíèå, ïðîôåññîð! âåðíûé ðûöàðü Äæåððè, ñèäåâøèé ñ Íèêêè çà îäíîé ïàðòîé, ìóæåñòâåííî ïðèíÿë îãîíü íà ñåáÿ. Âåðíî, þíîøà! Âîïðîñ ìîã áû áûòü òàêèì: «Êàê æå òàê ïîëó÷àåòñÿ?», íî ÿ íå ñòàë åãî ôîðìóëèðîâàòü ïî òîé ïðîñòîé ïðè÷èíå, ÷òî íà íåãî íåâîçìîæíî îòâåòèòü áåç àíàëèçà óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà. È âîîáùå, ïðîñëå- ØÊÎËÜÍÈÊΠ' äèòü ïåðåñòðîéêó ïîëÿ âáëèçè àíòåííû â ïîëå èçëó÷åíèÿ íå òàêàÿ ïðîñòàÿ çàäà÷à. À ìû âåäü ñåãîäíÿ äîãîâîðèëèñü îáõîäèòüñÿ áåç ñëîæíîé ìàòåìàòèêè, íå òàê ëè? È âñå-òàêè, ïðîôåññîð ñíîâà îáðàòèëñÿ ê Íèêêè, â âàøåì ðàññóæäåíèè îïÿòü åñòü ïðèâëåêàòåëüíûé äëÿ íàøèõ ñåãîäíÿøíèõ öåëåé ýëåìåíò. Âû ïîïûòàëèñü èçîáðàçèòü ïîëå èçëó÷åíèÿ ñèëîâûìè ëèíèÿìè. Ïîñëå Ãåðöà ýòî äåëàëè ðåäêî, õîòÿ íè÷åãî áîëåå íàãëÿäíîãî â îáëàñòè ýëåêòðîäèíàìèêè íå ïðèäóìàíî. È ïîýòîìó ñåé÷àñ ÿ âàì êîå-÷òî ïîêàæó. Ëîâêîñòü ðóê è íèêàêîãî ìîøåííè÷åñòâà! Ïðîôåññîð âñêèíóë ðóêè è ïðîäåìîíñòðèðîâàë àóäèòîðèè ïóñòûå ëàäîíè. Âíèìàíèå íà äîñêó! È ïðîôåññîð ïðûæêîì âñêî÷èë íà ýñòðàäó. Ýíòóçèàçì ïðîôåññîðà ìàëî-ïîìàëó ïåðåäàâàëñÿ ó÷åíèêàì. ×òî òàêîãî óäèâèòåëüíîãî îí ñìîæåò èì ïîêàçàòü ïîñëå ïðîåêöèé ìíîãîìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé, ôîòîãðàôèé äàëåêèõ ãàëàêòèê è óïàêîâàííûõ â óìîïîìðà÷èòåëüíûå ñòðóêòóðû áåëêîâûõ ìîëåêóë? Èòàê, ïóñòü ñíà÷àëà íàø çàðÿä ïîêîèòñÿ. Ðèñóåì ðàñõîäÿùèåñÿ îò íåãî ñèëîâûå ëèíèè. Ïðîôåññîð ïðîâåë ðàç äâàäöàòü ñòèëîñîì ïî äîñêå, îñòàâëÿÿ ñëåãêà êîðÿâûå ëèíèè. Øêîëüíûé êîìïüþòåð òóò æå ïîäïðàâèë èõ è ñíàáäèë ñòðåëî÷Ðèñ. 3 êàìè (ðèñ.3). À òåïåðü ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî ñêîðîñòü çàðÿäà ìãíîâåííî, ñêà÷êîì èçìåíèëàñü îò íóëÿ äî íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî çíà÷åíèÿ v Ïðîôåññîð, à ðàçâå òàê áûâàåò? ñïðîñèë ìàëü÷èê â î÷êàõ ñ ïåðâîé ïàðòû. Íó, êîíå÷íî æå, íåò. Ýòî íåêîå ïðèáëèæåíèå, èäåàëèçàöèÿ. Åñëè ó íàñ îñòàíåòñÿ âðåìÿ, ìû îáñóäèì ïðåäåëû åãî ïðèìåíèìîñòè. Òàê âîò, ïîïðîáóåì ïîíÿòü, êàê áóäåò âûãëÿäåòü íàøà êàðòèíêà ñïóñòÿ âðåìÿ t ïîñëå ñòàðòà. Ñèãíàë î òîì, ÷òî çàðÿä ïðèøåë â äâèæåíèå, ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà c. Íàðèñóåì ñôåðó ðàäèóñîì ct ñ öåíòðîì â òî÷êå, îòêóäà ñòàðòîâàë çàðÿä (ðèñ.4). Ïîëå ñíàðóæè ýòîé ñôåðû åùå íå «çíàåò» î òîì, ÷òî Ðèñ. 4 ïðîèçîøëî, è îñòàåòñÿ òàêèì æå, êàêèì îíî áûëî äî íà÷àëà äâèæåíèÿ çàðÿäà. È ïðîôåññîð ñäåëàë íåîæèäàííûé âûïàä â ñòîðîíó Íèêêè: À ÷òî áóäåò âíóòðè ñôåðû? Ïîëå ðàâíîìåðíî äâèæóùåãîñÿ çàðÿäà! íå äàëà çàñòàòü ñåáÿ âðàñïëîõ Íèêêè. Âåðíî! Ïóñòü äëÿ ïðîñòîòû äâèæåíèå åãî ìåäëåííîå, ò.å. v c . Òîãäà ñèëîâûå ëèíèè áóäóò âûãëÿäåòü òî÷íî òàê æå, êàê è ó íåïîäâèæíîãî çàðÿäà. Òîëüêî èñõîäèòü îíè áóäóò èç òîãî ìåñòà, êóäà çà âðåìÿ t ! ÊÂÀÍT 2014/¹3 ïåðåìåñòèëñÿ çàðÿä. Ïðîôåññîð ïðîâåë ëàäîíüþ âíóòðè îêðóæíîñòè, è êîìïüþòåð ñòåð ïðåæíèå ëèíèè (ðèñ.5), òàêòè÷íî ïîäîæäàë, ïîêà ïðîôåññîð íàðèñóåò íîâûå, ïîñëå ÷åãî ïîäïðàâèë èõ (ðèñ.6). Ðèñ. 5 Ðèñ. 6 À òåïåðü âñïîìíèì, ÷òî ñèëîâûå ëèíèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íåïðåðûâíû, íà÷èíàòüñÿ è çàêàí÷èâàòüñÿ îíè ìîãóò òîëüêî íà çàðÿäàõ, à íà íàøåé ñôåðå íèêàêèõ çàðÿäîâ íåò. «Íó äà, òåîðåìà Ãàóññà, ÷åòâåðòîå óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà», ïîäóìàëà Íèêêè. «Âñå-òàêè ñîâñåì áåç óðàâíåíèé îí íå îáîøåëñÿ». À ðàç òàê, ïðîäîëæàë ïðîôåññîð, ïî ãîëîñó êîòîðîãî ìîæíî áûëî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ðàññêàç äîñòèã êóëüìèíàöèè, òî êàæäàÿ èç íàøèõ ñèëîâûõ ëèíèé âíóòðè ñôåðû ñîåäèíèòñÿ âîò òàêèì êóñî÷êîì (öåëèêîì ëåæàùèì íà ñôåðå) ñ ñîîòâåòñòâóþùåé ëèíèåé ñíàðóæè (ðèñ.7). Òàê ÷òî íà ñôåðå ìû ïîëó÷àåì áåñêîíå÷íóþ ãóñòîòó ñèëîâûõ ëèíèé, à çíà÷èò, áåñêîíå÷íóþ íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ. Íî íå ñòîèò áåñïîêîèòüñÿ, ýòî ïðîñòî ñëåäñòâèå íàøåé èäåàëèçàöèè ñ ìãíîâåííûì óñêîðåíèåì. À òåïåðü ñàìîå ãëàâíîå. Ýòà ñôåðà ñ ëåæàùèìè íà íåé ñèëîâûìè ëèíèÿìè Ðèñ. 7 ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ «ðàñïóõàåò» ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà. Ñêàæèòå ìíå, ÷òî ýòî çà ïîëå òàêîå, êîòîðîå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà è íàïðÿæåííîñòü êîòîðîãî ïåðïåíäèêóëÿðíà íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ?  îòâåò ðàçäàëñÿ äðóæíûé õîð ãîëîñîâ: Ýòî ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà! È äàæå âûñîêîìåðíûå àðèñòîêðàòû îùóòèëè â ýòîò ìèã ðàäîñòü ìàëåíüêîãî îòêðûòèÿ. Ïðîôåññîð ñèÿë, äîâîëüíûé ïðîèçâåäåííûì âïå÷àòëåíèåì. Âîò òàê óñêîðåíèå çàðÿäà è ïîðîæäàåò èçëó÷åíèå! Çíàê óñêîðåíèÿ íå âàæåí, ïîäîáíóþ êàðòèíêó ìîæíî íàðèñîâàòü è äëÿ ìãíîâåííîãî òîðìîæåíèÿ çàðÿäà. Ñ ïîìîùüþ ýòîãî ðèñóíêà ìîæíî äàæå äåëàòü êîå-êàêèå êîëè÷åñòâåííûå ïðåäñêàçàíèÿ. Íàïðèìåð, ÿ ìîãó ñ óâåðåííîñòüþ óòâåðæäàòü, ÷òî â íàïðàâëåíèè óñêîðåíèÿ èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ áóäåò íóëåâîé. Ñìîòðèòå, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñèëîâàÿ ëèíèÿ íå ïðåòåðïåâàåò èçëîìà, è ãóñòîòà ëèíèé íà ñôåðå, ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîëþ èçëó÷åíèÿ, áóäåò â ýòîì ìåñòå íóëåâîé. À òåïåðü îáðàòèòå âíèìàíèå âîò íà ÷òî. Èçëó÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí ýòî ïðÿìîå ñëåäñòâèå òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè, êîòîðàÿ ãëàñèò, ÷òî âñÿêîå âçàèìîäåéñòâèå (â íàøåì ñëó÷àå ýòî ñèãíàë îá èçìåíåíèè ñêîðîñòè ÷àñòèöû) ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ÍÅ ìãíîâåííî. Åñëè áû èçìåíåíèå ïîëÿ âñëåä çà èçìåíåíèåì ïîëîæåíèÿ çàðÿäà ïðîèñõîäèëî áû ìãíîâåííî âî âñåì ïðîñòðàíñòâå, êàê ñ÷èòàëè âî âðåìåíà Íüþòîíà, íàøà êàðòèíêà áûëà áû íåïðàâèëüíîé. Íå áûëî áû íèêàêîé ñôåðû, íà êîòîðîé ôîðìèðóåòñÿ ïîïåðå÷íîå ïîëå èçëó÷åíèÿ, è íèêàêîãî èçëó÷åíèÿ âîîáùå íå áûëî áû. Íî òîãäà ñâÿçü áûëà áû ìãíîâåííîé: ïîäâèãàë çàðÿä çäåñü, è âñå îá ýòîì ñðàçó çíàþò, ïîñëûøàëàñü ðåïëèêà èç ãëóáèíû àóäèòîðèè. À òî ñ Ìàðñîì ïî òåëåôîíó ãîâîðèòü îäíî ìó÷åíèå! À âîò è íåò! âîçðàçèë ïðîôåññîð. Òîëüêî ïîëå èçëó÷åíèÿ óáûâàåò ñ ðàññòîÿíèåì êàê 1/r. Ñòàòè÷åñêèå ïîëÿ (êîòîðûå òîëüêî áû è îñòàëèñü â âàøåì âîîáðàæàåìîì ìèðå) óáûâàþò íå ìåäëåííåå ÷åì ïî çàêîíó îáðàòíûõ êâàäðàòîâ, òàê ÷òî íèêàêîé äàëüíåé ñâÿçè íå ïîëó÷èòñÿ. Ñîâñåì êàê ëþáîâü, âñòàâèëà ïðèíöåññà Äçèíòàðà, êîãäà ïðåäìåò ëþáâè íàõîäèòñÿ âäàëè îò òåáÿ äâà äíÿ, ëþáîâü îñëàáåâàåò â ÷åòûðå ðàçà, à êîãäà öåëûõ òðè äíÿ óæå â äåâÿòü ðàç! Ïîñëå òîãî êàê êëàññ îòñìåÿëñÿ, äåâî÷êà, äîâîëüíàÿ ïðîèçâåäåííûì ýôôåêòîì, äîáàâèëà: Òàê ïèñàëè â íàó÷íî-ïîïóëÿðíûõ êíèãàõ âîñåìíàäöàòîãî âåêà! Ìàëü÷èê â î÷êàõ ñ ïåðâîé ïàðòû íå äàë äèñêóññèè óéòè â ñòîðîíó: Òàê ÷òî æå ñ ïðèìåíèìîñòüþ òåîðèè, ïðîôåññîð? «Ìãíîâåííîñòü» èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè îçíà÷àåò, ÷òî ïðîìåæóòîê âðåìåíè, â òå÷åíèå êîòîðîãî çàðÿä äâèãàëñÿ óñêîðåííî, íàìíîãî êîðî÷å äðóãèõ õàðàêòåðíûõ âðåìåí äàííîé çàäà÷è. À êàêîå âðåìÿ ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðíûì â çàäà÷å îá èçëó÷åíèè ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû? Ïåðèîä âîëíû? ïðåäïîëîæèëà Íèêêè. Âåðíî! Òàê ÷òî íàøà èäåàëèçàöèÿ ñ ìãíîâåííûì óñêîðåíèåì çàðÿäà âïîëíå çàêîííà, åñëè ìû èíòåðåñóåìñÿ èçëó÷åíèåì äîñòàòî÷íî íèçêèõ ÷àñòîò. À íàìíîãî êîðî÷å ýòî ñêîëüêî?  õîðîøåé òåîðèè â äåñÿòü ðàç ìåíüøå, à â ïëîõîé â äâà. Êëàññ îòðåàãèðîâàë îæèäàåìûì ñìåõîì. Íî çà÷åì íóæíû ïëîõèå òåîðèè? Íèêêè áûëà ñëåãêà ðàçî÷àðîâàíà. À åñëè äðóãèõ íåò? Ñîçäàéòå ëó÷øóþ âñå â âàøèõ ðóêàõ! Ïðîçâåíåë çâîíîê. Ïðîôåññîð îçàðèë êëàññ çàêëþ÷èòåëüíîé óëûáêîé. Äî ñâèäàíèÿ! è, îáåðíóâøèñü îò ñàìîé äâåðè, äîáàâèë: À ñàæàòü êàðòîøêó ñåé÷àñ ñàìîå âðåìÿ! ß äîãîâîðþñü, ÷òîáû âàì âûäåëèëè ó÷àñòîê. Ïîñëå òàêèõ óïðàæíåíèé óìñòâåííàÿ ðàáîòà äîñòàâëÿåò åùå áîëüøåå íàñëàæäåíèå! ØÊÎËÀ  «ÊÂÀÍÒÅ» Ñâåðõçâóêîâûå àâòîáóñû, ëîäêè è äåðåâüÿ Ãðèáíèêè è àâòîáóñ Õîòÿ ãðèáíèêè è óòâåðæäàþò, ÷òî ãðèáû íà÷èíàþò ïîïàäàòüñÿ êàê ðàç òîãäà, êîãäà îïàçäûâàåøü íà àâòîáóñ, âñå-òàêè ëó÷øå íå äîâîäèòü äåëî äî êðèòè÷åñêîé îòìåòêè. Ñëåäóåò ÷åòêî ñëåäèòü çà âðåìåíåì è ðàññ÷èòûâàòü ñâîé ãðàôèê äâèæåíèÿ. Âîò êëàññè÷åñêàÿ çàäà÷à íà òàêîé ðàñ÷åò. Çàäà÷à 1. Ïî ïðÿìîìó øîññå äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ àâòîáóñ (ðèñ.2). Íàðèñóéòå òàê íàçûâàåìóþ Å.ÑÎÊÎËΠ ÑÒÀÒÜÅ «ÑÂÅÐÕÇÂÓÊÎÂÛÅ ÑÀÌÎËÅÒÛ È ÊÎÍÓÑ ÌÀÕÀ» («Êâàíò» ¹3 çà 2010 ã.) áûëî ïîêàçàíî, íàñêîëüêî ïîëåçíî èñïîëüçîâàòü ïîíÿòèå êîíóñà Ìàõà ïðè èññëåäîâàíèè êèíåìàòèêè ñâåðõçâóêîâûõ ñàìîëåòîâ. Íàïîìíèì, ÷òî ýòî òàêîé êîíóñ, ó êîòîðîãî óãîë α ïðè âåðøèíå îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì sin α = c v , ãäå â ÷èñëèòåëå è â çíàìåíàòåëå ñòîÿò ñêîðîñòè çâóêà è ñàìîëåòà ñîîòâåòñòâåííî. Êîíóñû Ìàõà âïîëíå ðåàëüíûå îáðàçîâàíèÿ, ñîïðîâîæäàþùèå áûñòðî äâèæóùèåñÿ ïðåäìåòû: ðåàêòèâíûå ñàìîëåòû, ïóëè è ñíàðÿäû, ìåòåîðèòû. Îíè ïðîÿâëÿþòñÿ êàê óïëîòíåíèÿ âîçäóõà, êîòîðûå ìîæíî âèäåòü íà ôîòîãðàôèÿõ. Ïåðâóþ òàêóþ ôîòîãðàôèþ ïîëó÷èë ñàì Ýðíñò Ìàõ (èíòåðåñíî, ÷òî äëÿ ýòîãî åìó ïðèøëîñü ñêîíñòðóèðîâàòü îñîáûé ôîòîàïïàðàò). Êîíóñû Ìàõà ìîæíî óâèäåòü è â îáû÷íîé æèçíè (ðèñ.1), íàäî òîëüêî âíèìàòåëüíî ñìîòðåòü. Îñîáåííî õîðîøî îíè âèäíû íà ìåëêîé âîäå. Íàïðèìåð ïîñëå äîæäÿ ïî óëèöàì áåãóò øèðîêèå, íî ìåëêèå ïîòîêè âîäû. Åñëè íà èõ ïóòè ïîïàäàåò êàìåíü, òî îáòåêàþùàÿ åãî âîäà îáðàçóåò íà ïîâåðõíîñòè ïîòîêà äâå ëèíèè âîçâûøåíèÿ êîíóñ Ìàõà. À áûâàåò, âîëíà íàáåæèò íà ïåñ÷àíûé áåðåã è ïðè åå îòñòóïëåíèè çà êàæäîé ðàêóøêîé îáðàçóåòñÿ ñâîé ëè÷íûé ìàëåíüêèé êîíóñ Ìàõà. À ÿ âèäåë, êàê âîðîíà øëà ïî ìåëêîé ëóæå, èùà ìåñòî, ãäå ïîïèòü, è âîëíû îò åå ëàï ñëîæèëèñü â êîíóñ Ìàõà. À ÿ âèäåëà, êàê êàïëè âîäû, ïàäàþùèå ñ âåñëà, îáðàçîâûâàëè íà ïîâåðõíîñòè âîäû êîíóñû Ìàõà. Ýòî î÷åíü õîðîøèå ïðèìåðû. Äîáàâëþ, ÷òî åùå ìîæíî ïðîñòî ïðîâåñòè ïî ïîâåðõíîñòè ëóæè ïðóòèêîì, è ïðè ýòîì òîæå îáðàçóåòñÿ êîíóñ Ìàõà. À òî ÷òî âåðøèíû äåðåâüåâ èìåþò êîíè÷åñêóþ ôîðìó, ýòî òîæå êîíóñû Ìàõà? Åñëè áîòàíèêè ïîäòâåðäÿò, ÷òî ïîáåãè ðàñòóò ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, òî äà. À âîò â çàäà÷àõ êîíóñû Ìàõà âñòðå÷àþòñÿ íå òîëüêî ïðè äâèæåíèè ñâåðõçâóêîâûõ ñàìîëåòîâ, ìåòåîðèòîâ è ïóëü, íî è ïðè äâèæåíèè îáû÷íûõ àâòîáóñîâ èëè ëîäîê. Ðèñ. 1 Ðèñ. 2 îáëàñòü äîñòèæèìîñòè àâòîáóñà, ò.å. îáëàñòü, èç êîòîðîé ãðèáíèê åùå ìîæåò óñïåòü íà íåãî. Ïðèìèòå, ÷òî ñêîðîñòü ãðèáíèêà â ïÿòü ðàç ìåíüøå ñêîðîñòè àâòîáóñà. Îáñóæäåíèå. Ïðèêèíåì, ÷òî íàì íàäî ñäåëàòü äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü îòâåò. Âî-ïåðâûõ, â êàæäóþ òî÷êó ïëîñêîñòè (à èõ áåñêîíå÷íî ìíîãî) íàì íàäî ïîìåñòèòü ïî ãðèáíèêó. Âî-âòîðûõ, íàì íàäî ðàçðåøèòü êàæäîìó ãðèáíèêó äâèãàòüñÿ âî âñåõ âîçìîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ (à èõ òîæå áåñêîíå÷íî ìíîãî), ÷òîáû âûÿñíèòü, ñìîæåò ëè îí õîòü ïðè êàêîìíèáóäü íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ óñïåòü íà àâòîáóñ. Ìíå ëè÷íî êàæåòñÿ, ÷òî ãðèáíèêó íàäî âñåãäà èäòè ïî ïåðïåíäèêóëÿðó ÎÀ ê äîðîãå (ðèñ.3). Ýòî ñàìûé êîðîòêèé ïóòü, è îí çàéìåò ìåíüøå âñåãî âðåìåíè. Äà, ïóòü ÎÀ ñàìûé êîðîòêèé, íî äëÿ ãðèáíèêà îí íå ëó÷øèé âåäü ó ãðèáíèêà íåò öåëè Ðèñ. 3 âûéòè íà äîðîãó êàê ìîæíî áûñòðåå, à åñòü öåëü âûéòè íà äîðîãó ðàíüøå àâòîáóñà. Ïðè òàêîì óñëîâèè ïóòü OA1 , êîòîðûé èäåò ÷óòü ïðàâåå, áóäåò äëÿ ãðèáíèêà ÿâíî ïðåäïî÷òèòåëüíåå. À ìíå íå î÷åíü ïîíÿòíî, ïî÷åìó áîëåå äëèííûé ïóòü OA1 ïðåäïî÷òèòåëüíåå äëÿ ãðèáíèêà. È ñîâñåì íå ïîíÿòíî, ïî÷åìó ýòî ÿâíî âèäíî! Íó ÷òî æå, äàâàéòå íàáåðåìñÿ òåðïåíèÿ è ïîñëóøàåì îáúÿñíåíèÿ.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ãðèáíèê îêàçûâàåòñÿ ñîâñåì ðÿäîì ñ äîðîãîé, åìó ïðàêòè÷åñêè âñå ðàâíî êóäà èäòè, ëèøü áû íå â ñòîðîíó îò äîðîãè. Íî âîò êîãäà îí íàõîäèòñÿ äàëåêî îò äîðîãè, ìîæåò ñëó÷èòüñÿ òàê, ÷òî, èäÿ ïî ïåðïåíäèêóëÿðó ÎÀ, îí îïîçäàåò íà àâòîáóñ, à èäÿ ïî òðîïå OA1 , óñïååò, õîòÿ è áóäåò èäòè äîëüøå. Âîçüìåì êîíêðåòíûé ïðèìåð. Ïóñòü îòðåçîê ÎÀ èìååò äëèíó 10 êì, à òî÷êà A1 ëåæèò íà 100 ì ïðàâåå òî÷êè À, è ïóñòü ãðèáíèê, èäóùèé ïî òðîïå ÎÀ, ÷óòü-÷óòü îïîçäàë íà àâòîáóñ. À âîò ó ãðèáíèêà, èäóùåãî ê òî÷êå A1 , åùå åñòü âðåìÿ âåäü àâòîáóñó íàäî åùå ïðîåõàòü äî ýòîé òî÷êè öåëûõ 100 ì. Íó òàê è ãðèáíèêó íàäî áîëüøå ïðîéòè! Êîíå÷íî, íî íà ñêîëüêî áîëü(Ïðîäîëæåíèå ñì. íà ñ. 34) äâèæåíèÿ äðóã ïî îòíîøåíèþ ê äðóãó òåë, çàêëþ÷åííûõ â êàêîì-ëèáî ïðîñòðàíñòâå, îäèíàêîâû, ïîêîèòñÿ ëè ýòî ïðîñòðàíñòâî èëè äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî áåç âðàùåíèÿ. Èñààê Íüþòîí öåíòðîáåæíûå ñèëû íåîäèíàêîâûõ òåë, äâèæóùèõñÿ ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ ïî ðàâíûì îêðóæíîñòÿì, îòíîñÿòñÿ ìåæäó ñîáîé êàê âåñà ýòèõ òåë, ò.å. êàê êîëè÷åñòâà âåùåñòâà â íèõ Õðèñòèàí Ãþéãåíñ Åñëè â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ê êàæäîé èç òî÷åê ñèñòåìû, êðîìå ôàêòè÷åñêè äåéñòâóþùèõ íà íåå âíåøíèõ è âíóòðåííèõ ñèë, ïðèëîæèòü ñîîòâåòñòâóþùèå ñèëû èíåðöèè, òî ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà ñèë áóäåò íàõîäèòüñÿ â ðàâíî- âåñèè è ê íåé ìîæíî áóäåò ïðèìåíÿòü âñå óðàâíåíèÿ ñòàòèêè. Æàí Ëåðîí ÄÀëàìáåð Âðÿä ëè ìîæíî íàçâàòü äðóãóþ òåîðåìó ìåõàíèêè, êîòîðàÿ âûçûâàëà áû ñòîëüêî ðàçíîãî ðîäà íåäîðàçóìåíèé, êàê íà÷àëî ÄÀëàìáåðà. Ðåàëüíû èëè ôèêòèâíû òå ñèëû èíåðöèè, î êîòîðûõ ãîâîðèòñÿ â ýòîì íà÷àëå? Åâãåíèé Íèêîëàè ×òîáû ðàáîòàòü ñ çàêîíàìè Íüþòîíà, [íàäî] ïîäïðàâèòü ñèëû, ââåñòè â íèõ äîáàâî÷íûé ÷ëåí. Äðóãèìè ñëîâàìè, ïîÿâëÿåòñÿ êàæóùàÿñÿ, ìèñòè÷åñêàÿ, íîâàÿ ñèëà íåâåäîìîãî ïðîèñõîæäåíèÿ Ðè÷àðä Ôåéíìàí ? À òàê ëè õîðîøî çíàêîìû âàì ñèëû èíåðöèè Îïÿòü èíåðöèÿ? Âåäü ñîâñåì íåäàâíî â ïðîøëîì âûïóñêå «Êàëåéäîñêîïà» î íåé óæå øëà ðå÷ü. Âåðíî, òåìàòè÷åñêè ýòè âûïóñêè ñâÿçàíû. Ìîæíî ñêàçàòü, îäèí ïðîäîëæàåò äðóãîé, íî íå çàìåíÿåò åãî è íå ïîâòîðÿåò. Îáðàòèòå âíèìàíèå íà äîáàâëåíèå â çàãîëîâîê ëèøü îäíîãî ñëîâà «ñèëû». Îáñóäèòü, êàê ýòà äîáàâêà ðàñøèðÿåò ðàçãîâîð îá èíåðöèè è âûâîäèò åãî çà ðàìêè ñôîðìóëèðîâàííîãî â ïðîøëûé ðàç ïîíÿòèÿ, è ïðèçâàíû ñåãîäíÿøíèå ñþæåòû. ×òî æå ýòî çà òàèíñòâåííûå ñèëû, íå äàþùèå ïîêîÿ è òåîðåòèêàì, è ïðàêòèêàì? Ìîæíî ëè èìè óïðàâëÿòü, ïîñòàâèòü íàì íà ñëóæáó, åñëè äåñÿòèëåòèÿìè íå óäàâàëîñü ïðèéòè ê îáùåìó ïîíÿòèéíîìó çíàìåíàòåëþ? Íå áåñïîêîéòåñü: è îáóçäàòü ñèëû èíåðöèè, è íàó÷èòüñÿ îáåçîïàñèòü ìàøèíû è ìåõàíèçìû, ãäå îíè ìîãëè áû ïðîÿâèòü ñâîé «áóéíûé íðàâ», ÷åëîâåê íàëîâ÷èëñÿ. È íàéòè èì ïðèìåíåíèå â ñàìûõ ñîâðåìåííûõ óñòðîéñòâàõ ìèêðîìåõàíèêè îò ðîáîòîòåõíèêè äî ñèñòåì âèðòóàëüíîé ðåàëüíîñòè ñìîã. È îáúÿñíèòü ñ èõ ïîìîùüþ ìíîãèå ïðèðîäíûå ÿâëåíèÿ ñóìåë. Áîëåå òîãî, äîòîøíûé ðàçáîð ïî êîñòî÷êàì êàçàâøèõñÿ êîìóòî ÿñíûìè, à êîìó-òî çàãàäî÷íûìè âîïðîñîâ ïðèâåë ê îñìûñëåíèþ ñàìûõ îñíîâ óñòðîéñòâà ìèðà è ê ïîÿâëåíèþ íîâûõ îïèñûâàþùèõ ýòîò ìèð ôóíäàìåíòàëüíûõ òåîðèé. Âîò êàê íàñ «ïî èíåðöèè» äàëåêî çàíåñëî! Îòäàäèì æå äîëæíîå ýòîìó êàâåðçíîìó, íî çàìå÷àòåëüíîìó ïîíÿòèþ, à òàêæå è âåëèêîìó ó÷åíîìó, äàâíûì-äàâíî çàòåÿâøåìó ñâÿçàííóþ ñ ýòèì ïîíÿòèåì èñòîðèþ, Ãàëèëåî Ãàëèëåþ. Òåì áîëåå â ãîä åãî 450ëåòíåãî þáèëåÿ. Âîïðîñû è çàäà÷è 1.  àâòîìîáèëå, äâèæóùåìñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, ðîíÿþò êàìåíü. Íàáëþäàòåëè â àâòîìîáèëå è íà äîðîãå âèäÿò, ÷òî åãî äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ïî ðàçíûì òðàåêòîðèÿì. Êàêàÿ èç íèõ ÿâëÿåòñÿ èñòèííîé? 2. ×åëîâåê äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî ïëàòôîðìû ïðÿìîëèíåéíî, íî íåðàâíîìåðíî, à ïëàòôîðìà äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî çåìëè ïðÿìîëèíåéíî è ðàâíîìåðíî. Êàêîé ìîæåò áûòü òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ ÷åëîâåêà îòíîñèòåëüíî çåìíîãî íàáëþäàòåëÿ? 3. Íà ëèøåííîì òðåíèÿ ïîëó äâèæóùåãîñÿ òðàìâàÿ íåïîäâèæíî ëåæèò áèëüÿðäíûé øàð. Âðåìÿ îò âðåìåíè øàð íà÷èíàåò íåðàâíîìåðíî êàòàòüñÿ ïî ïîëó. Êîãäà ýòî ïðîèñõîäèò? 4. Êàêàÿ ñèëà F äîëæíà äåéñòâîâàòü íà òåëî ìàññîé m, ÷òîáû îíî äâèãàëîñü ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî îòíîñèòåëüíî âàãîíà, äâèæóùåãîñÿ ïîñòóïàòåëüíî ñ óñêîðåíèåì a ? 5. ×åìó ðàâåí óãîë α îòêëîíåíèÿ îò âåðòèêàëè íèòè ñ ïîäâåøåííûì íà íåé òÿæåëûì ãðóçèêîì ìàññîé m â âàãîíå, äâèæóùåìñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîìó ïóòè ñ óñêîðåíèåì a? Çàâèñèò ëè ýòîò óãîë îò ìàññû ãðóçèêà? 6. Ñîñóä, ÷àñòè÷íî çàïîëíåííûé ðòóòüþ, äâèæåòñÿ ñ ãîðèçîíòàëüíûì óñêîðåíèåì, èç-çà ÷åãî ïîâåðõíîñòü ðòóòè íàêëîíåíà ê ãîðèçîíòó ïîä íåêîòîðûì óãëîì α . Èçìåíèòñÿ ëè ýòîò óãîë, åñëè ïîâåðõ ðòóòè íàëèòü âîäó? 7. Êàê áóäåò âåñòè ñåáÿ âîçäóøíûé øàðèê, çàïîëíåííûé ãåëèåì, â çàêðûòîì àâòîìîáèëå, óñêîðÿþùåìñÿ âïåðåä? 8. Ñîñóä ñ âîäîé ñêîëüçèò âíèç ïî ãëàäêîé íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñ óãëîì íàêëîíà α . Êàêîé óãîë ñ ãîðèçîíòîì îáðàçóåò ïîâåðõíîñòü âîäû? Èçìåíèòñÿ ëè îòâåò, åñëè ñêîëüæåíèå áóäåò ïðîèñõîäèòü ñ òðåíèåì? 9. Ñ íåêîòîðîé âûñîòû íà÷èíàåò ïàäàòü ñîñóä ñ âîäîé, â êîòîðîì â íà÷àëüíûé ìîìåíò íà íåêîòîðîé ãëóáèíå íàõîäèòñÿ êóñî÷åê ïðîáêè. Êàê áóäåò äâèãàòüñÿ ïðîáêà îòíîñèòåëüíî ñòåíîê ñîñóäà, åñëè ïðåíåáðå÷ü ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà? 10. Îïðîêèíóòàÿ ïðîáèðêà óêðåïëåíà íåïîäâèæíî íàä ñîñóäîì ñ âîäîé, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Êàê èçìåíèòñÿ óðîâåíü âîäû â íåé, åñëè âñÿ ñèñòåìà íà÷íåò ñâîáîäíî ïàäàòü? 11. Ïåðèîä êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà, íàõîäÿùåãîñÿ â íåïîäâèæíîé ðàêåòå, ðàâåí T. Êàêèì ñòàíåò ýòîò ïåðèîä ïðè âåðòèêàëüíîì ñïóñêå ðàêåòû ñ óñêîðåíèåì 2g? 12. Ñàìîëåò ëåòèò ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, îïèñûâàÿ îêðóæíîñòü íà ïîñòîÿííîé âûñîòå. Êàêîå íàïðàâëåíèå áóäåò óêàçûâàòü íèòü îòâåñà, ïîäâåøåííîãî â ñàëîíå ñàìîëåòà? 13. Âåëîñèïåäèñò äâèæåòñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîé, âðàùàþùåéñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè ïëîñêîñòè â òàêîì íàïðàâëåíèè è ñ òàêîé ñêîðîñòüþ, ÷òî îòíîñèòåëüíî çåìëè îí îñòàåòñÿ íåïîäâèæíûì. Äîëæåí ëè îí íàêëîíÿòüñÿ ïî íàïðàâëåíèþ ê îñè âðàùåíèÿ ïëîñêîñòè? 14. Ñ ïîìîùüþ ðû÷àæíûõ âåñîâ âçâåñèëè 10 êèëîãðàììîâ àïåëüñèíîâ íà ýêâàòîðå. Èçìåíèòñÿ ëè ðåçóëüòàò âçâåøèâàíèÿ íà ïîëþñå? 15.  öèëèíäðå, íàïîëíåííîì âîäîé è çàêðûòîì ñî âñåõ ñòîðîí, íàõîäÿòñÿ ïðîáêà, êóñî÷åê ñâèíöà è íåêîòîðîå òåëî A, ïëîòíîñòü êîòîðîãî ðàâíà ïëîòíîñòè âîäû. Öèëèíäð ïðèâîäÿò â áûñòðîå âðàùåíèå âîêðóã åãî îñè. Êàê áóäóò ðàñïîëîæåíû òåëà â öèëèíäðå, åñëè îñü âðàùåíèÿ âåðòèêàëüíà? 16. Âîçäóõ èç ñóáòðîïè÷åñêîãî ïîÿñà ïîâûøåííîãî äàâëåíèÿ ïåðåõîäèò â ýêâàòîðèàëüíûé ïîÿñ ïîíèæåííîãî äàâëåíèÿ.  êàêóþ ñòîðîíó íà çàïàä èëè íà âîñòîê îí áóäåò îòêëîíÿòüñÿ ïðè ñâîåì äâèæåíèè? Ìèêðîîïûò Ïîïðîáóéòå ðàñêðóòèòü íåáîëüøîå âåäðî ñ âîäîé â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè ñ òàêîé ñêîðîñòüþ, ÷òîáû âîäà íå âûëèâàëàñü. Ïîëó÷èëîñü? Òîãäà îáúÿñíèòå ÿâëåíèå. Ëþáîïûòíî, ÷òî î ñóùåñòâîâàíèè öåíòðîáåæíîé ñèëû èíåðöèè äîãàäûâàëñÿ åùå Àðèñòîòåëü, à Ïòîëåìåé ñ÷èòàë, ÷òî åñëè áû Çåìëÿ âðàùàëàñü âîêðóã ñâîåé îñè, òî èç-çà öåíòðîáåæíîé ñèëû ìû íå ñìîãëè áû óäåðæèâàòüñÿ íà åå ïîâåðõíîñòè. Êåïëåð è Ãàëèëåé îïðîâåðãëè ýòó òî÷êó çðåíèÿ, îäíàêî ïîëàãàëè, ÷òî ïðè óäàëåíèè îò öåíòðà âðàùåíèÿ öåíòðîáåæíàÿ ñèëà äîëæíà óìåíüøàòüñÿ. èçó÷àÿ äâèæåíèå ìàÿòíèêà, Ãþéãåíñ óñòàíîâèë, ÷òî åñëè ìàññèâíîå òåëî, ïîäâåøåííîå íà íèòè, äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè, òî íèòü íà÷èíàåò ðàñòÿãèâàòüñÿ êàê áû åùå îäíîé ñèëîé, äîïîëíèòåëüíîé ê ñèëå òÿæåñòè. Îí íàçâàë åå öåíòðîáåæíûì ñòðåìëåíèåì è ïðèâåë îïðåäåëÿþùèå åå çàêîíîìåðíîñòè, ñîõðàíèâøèå ñâîå çíà÷åíèå äî ñèõ ïîð. Ïðè÷åì äëÿ Ãþéãåíñà ýòî áûëà îòíþäü íå ôèêòèâíàÿ, à âïîëíå ðåàëüíàÿ ñèëà òîé æå ïðèðîäû, ÷òî è ñèëà òÿæåñòè. íà òî, ÷òî â ïðîöåññå ïàäåíèÿ íà âðàùàþùóþñÿ Çåìëþ òåëî äîëæíî ñìåùàòüñÿ íà âîñòîê, óêàçàë åùå â 1679 ãîäó Íüþòîí íà çàñåäàíèè Ëîíäîíñêîãî Êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà.  îáñóæäåíèè âûñòóïèë ïåðâûé Êîðîëåâñêèé àñòðîíîì Äæîí Ôëåìñòèä, óòâåðæäàâøèé, ÷òî ýòîò ýôôåêò äàâíî èçâåñòåí â àðòèëëåðèè. Òàê, ïðè óãëå âîçâûøåíèÿ îðóäèÿ â 87° âûïóùåííîå ÿäðî ïàäàåò îáðàòíî â æåðëî, íà ïîêîÿùåéñÿ æå Çåìëå ýòîò óãîë äîëæåí áûë áû ðàâíÿòüñÿ 90° . èäåàëüíî òî÷íûå, ðèòìè÷íî èäóùèå ÷àñû íàçûâàþò èíåðöèàëüíûìè. Õîä âñåõ ïîäîáíûõ ÷àñîâ âî âñåõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà îäèíàêîâ â ìèðå ñóùåñòâóåò åäèíîå, âñåîáùåå è óíèâåðñàëüíîå âðåìÿ, èìåíóåìîå àáñîëþòíûì. Ýòî ïîëîæåíèå âàæíåéøèé ðåçóëüòàò êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè ÃàëèëåÿÍüþòîíà, ïðèíèìàåìûé â íåé â êà÷åñòâå àêñèîìû. âåëèêèé ôðàíöóçñêèé ó÷åíûé ÄÀëàìáåð áûë øèðîêî îáðàçîâàííûì ÷åëîâåêîì ìàòåìàòèêîì, ìåõàíèêîì è ôèëîñîôîì-ïðîñâåòèòåëåì. Åãî èçáðàëè âî âñå ñóùåñòâóþùèå â òî âðåìÿ Àêàäåìèè íàóê, â òîì ÷èñëå è â Ïåòåðáóðãñêóþ. Ïðèâåäåííûé â ýïèãðàôå çíàìåíèòûé ïðèíöèï, ïîçâîëÿâøèé ñâîäèòü äèíàìè÷åñêèå çàäà÷è ê ñòàòè÷åñêèì, ÄÀëàìáåð ñôîðìóëèðîâàë â 1743 ãîäó â «Òðàêòàòå î äèíàìèêå», êîãäà åìó áûëî âñåãî 26 ëåò. â íåèíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà ïðè ó÷åòå ñèë èíåðöèè ê íèì íåëüçÿ ïðèìåíÿòü òðåòèé çàêîí Íüþòîíà, òàê êàê íåò íèêàêèõ ñèë ïðîòèâîäåéñòâèÿ, ïðèëîæåííûõ ê äðóãîìó òåëó ñî ñòîðîíû äàííîãî, äà íåò è ñàìîãî «äðóãîãî» òåëà. Òàêæå â ýòèõ ñèñòåìàõ íåñïðàâåäëèâû è ñëåäñòâèÿ èç òðåòüåãî çàêîíà, â òîì ÷èñëå çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà. ñïîðû îá èñòèííîñòè èëè ôèêòèâíîñòè ñèë èíåðöèè ïðîäîëæàëèñü áîëåå äâóõñîò ëåò. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ïåðåõîäå ê èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà îò íèõ ìîæíî ïðîñòî èçáàâèòüñÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îíè âûçûâàþò âïîëíå ðåàëüíûå ñîáûòèÿ ðàçðûâ ìàõîâèêîâ, ñõîä ñ ðåëüñîâ è êðóøåíèÿ ïîåçäîâ è òàê äàëåå. àâñòðèéñêèé ôèçèê è ôèëîñîô Ýðíñò Ìàõ ñ÷èòàë èñòî÷íèêîì ïðîèñõîæäåíèÿ ñèë èíåðöèè âðàùàþùóþñÿ âîêðóã íàáëþäàòåëÿ Âñåëåííóþ. Ïðè òàêîì ïîäõîäå èíåðòíàÿ ìàññà ëþáîãî òåëà áûëà îáóñëîâëåíà âëèÿíèåì âñåõ òåë îêðóæàþùåãî ìèðà. Ýòó òî÷êó çðåíèÿ, íàçâàííóþ ïðèíöèïîì Ìàõà, ïåðâîíà÷àëüíî ðàçäåëÿë è Ýéíøòåéí, íî âïîñëåäñòâèè îò íåå îòêàçàëñÿ. â ïðèðîäå äåéñòâèå ñèë èíåðöèè îñîáåííî ÿðêî ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè äâèæåíèè îãðîìíûõ ìàññ âîäû è âîçäóõà â îêåàíå è â àòìîñôåðå. Òàê, òå÷åíèå Ãîëüôñòðèì, äâèãàÿñü íà ñåâåð â ñåâåðíîì ïîëóøàðèè, ïîä äåéñòâèåì êîðèîëèñîâîé ñèëû èíåðöèè îòêëîíÿåòñÿ âïðàâî, îáåäíÿÿ òåïëîì Êàíàäó è îáîãðåâàÿ Åâðîïó. Ýòîé æå ñèëå îáÿçàíû ñâîèì ïîÿâëåíèåì ãèãàíòñêèå öèêëîíè÷åñêèå âèõðè, çàêðó÷èâàþùèåñÿ â ñåâåðíîì ïîëóøàðèè ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè è ïî ÷àñîâîé â þæíîì. áåç èíåðöèàëüíîé íàâèãàöèè íåìûñëèìû ñåãîäíÿ êàê ïîëåòû êîñìè÷åñêèõ êîðàáëåé è àâèàëàéíåðîâ, òàê è ïëàâàíèå ñóäîâ íàäâîäíîãî è îñîáåííî ïîäâîäíîãî ôëîòà. Îäíèì èç ïðèìåíÿåìûõ â èíåðöèàëüíîé íàâèãàöèè ïðèáîðîâ ÿâëÿåòñÿ ÷óâñòâèòåëüíåéøèé àêñåëåðîìåòð, ïîçâîëÿþùèé èçìåðÿòü óñêîðåíèÿ ïîäâèæíûõ îáúåêòîâ ñ òî÷íîñòüþ äî 10−7 g . ×òî ÷èòàòü â «Êâàíòå» î ñèëàõ èíåðöèè (ïóáëèêàöèè ïîñëåäíèõ ëåò) 1. «Ïðèíöèï Òîððè÷åëëè è öåíòðîáåæíàÿ ñèëà èíåðöèè» 2005, ¹3, ñ.35; 2. «Ïîäâîäíûå êàìíè» ñèëû Àðõèìåäà» 2009, ¹2, ñ.46; 3. «Çàäà÷è ìåõàíèêè â íåèíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà» 2010, ¹2, ñ.51; 4. «Ôèçè÷åñêèé êàëåéäîñêîï. Âûïóñê 3» 2012, Ïðèëîæåíèå ¹3, ñ.16, 126; 5. «Êàëåéäîñêîï «Êâàíòà» 2014, ¹1, ñ.32. Ìàòåðèàë ïîäãîòîâèë À.Ëåîíîâè÷ !" ÊÂÀÍT 2014/¹3 (Íà÷àëî ñì. íà ñ. 31) øå? Íà ñêîëüêî òðîïà OA1 äëèííåå ïåðïåíäèêóëÿðà: íà 100, íà 50, íà 20 ì? Îêàçûâàåòñÿ, âñåãî íà 50 ñì! (Óáåäèòåñü â ýòîì, íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ êàëüêóëÿòîðà.) Ïîýòîìó âòîðîé ãðèáíèê âûéäåò íà äîðîãó â òî÷êå A1 , ìîæåò, íà ïîëñåêóíäû ïîçæå ïåðâîãî. À âîò àâòîáóñó åùå åõàòü è åõàòü! À òî ÷òî ïóòü OA1 áîëåå âûèãðûøíûé, äëÿ îïûòíîãî ÷åëîâåêà ñðàçó î÷åâèäíî ïî ñëåäóþùåé ïðè÷èíå. Ïåðïåíäèêóëÿð ÎÀ ñàìûé êîðîòêèé èç âñåõ îòðåçêîâ, âåäóùèõ ê äîðîãå, è âñå áëèçêèå ê íåìó îòðåçêè ëèøü ÷óòü-÷óòü äëèííåå åãî. Ïîýòîìó, ñìåùàÿ êîíå÷íóþ òî÷êó òðîïû ïåðïåíäèêóëÿðíî îòðåçêó ÎÀ âïðàâî, ìû ëèøü íåìíîãî óâåëè÷èâàåì ïóòü ãðèáíèêà, íî ñóùåñòâåííî óâåëè÷èâàåì ïóòü àâòîáóñà. Èòàê, ìû ïîêàçàëè, ÷òî äâèæåíèå ïåðïåíäèêóëÿðíî äîðîãå íå ñàìûé ëó÷øèé âûáîð äëÿ ãðèáíèêà. À êàêîé æå ïóòü ëó÷øèé? Óâû, ìû ýòîãî ïîêà íå çíàåì, è ïîýòîìó ñòàíäàðòíûé ïîäõîä îñòàåòñÿ äëÿ íàñ ïî-ïðåæíåìó íåïðèñòóïíûì. Íàäî èñêàòü ÷òî-òî íåñòàíäàðòíîå. Ïîäñêàçêà ó íàñ óæå åñòü ãäå-òî çäåñü äîëæåí ïîÿâèòüñÿ êîíóñ Ìàõà. Ðåøåíèå. Ïîñòóïèì íàîáîðîò ïîñàäèì â àâòîáóñ ìíîãîìíîãî ãðèáíèêîâ è ïîâåçåì èõ èç ãîðîäà â ëåñ. È ïðè ýòîì äîãîâîðèìñÿ, ÷òî â êàæäîé òî÷êå øîññå ìíîãî-ìíîãî ãðèáíèêîâ (íî íå âñå) áóäóò âûõîäèòü èç àâòîáóñà è ðàñõîäèòüñÿ âî âñå ñòîðîíû. Òàêèì îáðàçîì, àâòîáóñ åäåò ïî äîðîãå ñî Ðèñ. 5 À òåïåðü çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ. Çàäà÷à 2. Ãðèáíèêè Åãîð, Ïåòð è Èâàí âîçâðàùàëèñü èç ëåñà. Åãîð ïîøåë ïî ëåâîé òðîïèíêå (ðèñ.5). Îí øåë äî äîðîãè 30 ìèí è óñïåë òî÷íî ê àâòîáóñó. Èâàí ïîøåë ïðàâîé òðîïèíêîé. Øåë îí 40 ìèí è òîæå óñïåë ïðÿìî ê àâòîáóñó. À Ïåòð ïîøåë ïî ñàìîé êîðîòêîé òðîïèíêå è äîøåë äî äîðîãè çà 24 ìèí. Ñêîëüêî âðåìåíè Ïåòð æäàë àâòîáóñà? Ñêîðîñòè âñåõ ãðèáíèêîâ îäèíàêîâû. Çàäà÷à 3. À åùå áûë ñ ãðèáíèêàìè Ñèäîð, êîòîðûé ðàññóäèë òàê: «Çà÷åì õîäèòü íå îïòèìàëüíûìè ïóòÿìè? ß ïîéäó îïòèìàëüíûì ïóòåì, à âðåìÿ, êîòîðîå ó ìåíÿ ñåé÷àñ åñòü â çàïàñå, ïîòðà÷ó ëó÷øå íà ñáîð ãðèáîâ. Íå çðÿ ãîâîðÿò îïûòíûå ãðèáíèêè ÷åì ìåíüøå âðåìåíè äî àâòîáóñà, òåì áîëüøå ãðèáîâ â ëåñó!» Ñêàæèòå: ñêîëüêî âðåìåíè åñòü ó Ñèäîðà â çàïàñå, åñëè îí äåéñòâèòåëüíî çíàåò îïòèìàëüíûé ïóòü? Ðèñ. 4 ñêîðîñòüþ v, à îò íåãî âî âñå ñòîðîíû, êàê çâóê îò ñàìîëåòà, ðàñõîäÿòñÿ ñî ñêîðîñòüþ ñ ãðèáíèêè. È ó íàñ îáðàçóåòñÿ êîíóñ Ìàõà (ðèñ.4) ñ óãëîì ðàñòâîðà α = arcsin (c v ) , ãäå ñ ñêîðîñòü ãðèáíèêà, à v ñêîðîñòü àâòîáóñà.  êàæäîé òî÷êå âíóòðè êîíóñà îêàæåòñÿ ïî äâà ãðèáíèêà, íà ñàìîì êðàþ îäèí, à çà êðàåì íèêîãî. Êîíóñ Ìàõà è áóäåò òîé îáëàñòüþ, èç êîòîðîé ïóòíèê ìîæåò óñïåòü íà àâòîáóñ. Äîêàçàòü? Ïîæàëóéñòà. Ëþáîé ïóòíèê, íàõîäÿùèéñÿ âíóòðè èëè íà êðàþ êîíóñà Ìàõà, ìîæåò óñïåòü íà àâòîáóñ. Äëÿ ýòîãî åìó äîñòàòî÷íî ïðîñòî ïîéòè â íàïðàâëåíèè, ïðîòèâîïîëîæíîì òîìó, ïî êîòîðîìó â äàííóþ òî÷êó ïðèøåë îäèí èç ãðèáíèêîâ. Ïðè÷åì ïóòíèê âûéäåò íà äîðîãó êàê ðàç ê ïîäõîäó àâòîáóñà. Òî÷íî òàê æå íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî íè îäèí ïóòíèê, ñòîÿùèé âíå ïîñòðîåííîãî íàìè êîíóñà Ìàõà, íè çà ÷òî íå óñïååò íà àâòîáóñ (ïðîâåäèòå ýòî äîêàçàòåëüñòâî ñàìîñòîÿòåëüíî). Èòàê, îòâåò ê íàøåé çàäà÷å òàêîâ: îáëàñòü äîñòèæèìîñòè àâòîáóñà ýòî êîíóñ Ìàõà ñ âåðøèíîé â àâòîáóñå è óãëîì ïðè âåðøèíå 2α = 2 arcsin (c v ) . Êàæäûé ïóòíèê, íàõîäÿùèéñÿ âíóòðè ýòîãî êîíóñà, èìååò âûáîð ó íåãî åñòü äâà ïóòè, ïî êîòîðûì îí ìîæåò âûéòè íà äîðîãó òî÷íî ê ïîäõîäó àâòîáóñà, à òàêæå îí ìîæåò âûáðàòü ëþáîé ïóòü, ëåæàùèé ìåæäó íèìè. Ïðàâäà, â ýòîì ñëó÷àå åìó ïðèäåòñÿ íåêîòîðîå âðåìÿ ïîäîæäàòü àâòîáóñ. Äëÿ ïóòíèêà æå, ñòîÿùåãî íà îáðàçóþùåé êîíóñà, åñòü òîëüêî îäèí âàðèàíò âîçâðàùåíèÿ åìó íàäî èäòè ïåðïåíäèêóëÿðíî ýòîé îáðàçóþùåé. Ðèñ. 6 Çàäà÷à 4. Ïîñòðîéòå îáëàñòü äîñòèæèìîñòè àâòîáóñà, äëÿ ñëó÷àåâ: à) äîðîãà äåëàåò ïîâîðîò íà 90° (ðèñ.6,à); á) âîäèòåëü áåðåò ïàññàæèðîâ ñòðîãî íà îñòàíîâêàõ O1, O2, O3 (ðèñ.6,á). ×èñëî Ìàõà äëÿ àâòîáóñà è ïóòíèêà ñ÷èòàéòå ðàâíûì äâóì. Ïåðåïðàâà ÷åðåç ðåêó Ïðåäñòàâèì, ÷òî ìû ñòîèì íà áåðåãó áûñòðîé øèðîêîé ðåêè (ðèñ.7). Ïðèìåì, ÷òî øèðèíà ðåêè L = 120 ì, ñêîðîñòü åå òå÷åíèÿ v = 4 ì/ñ, à â íàøåì ðàñïîðÿæåíèè åñòü âåñåëüíàÿ ëîäêà, íà êîòîðîé ìû ìîæåì ïëûòü ñî ñêîðîñòüþ ñ = = 3 ì/ñ. Èòàê, ñ ýòîãî ìîìåíòà âåëè÷èíû L, v è ñ ôèêñèðîâàíû. Ìû ñâîáîäíû ëèøü â îäíîì â âûáîðå êóðñà ëîäêè, ò.å. â âûáîðå íàïðàâëåíèÿ, â êîòîðîì ìû áóäåì ãðåñòè. Ðèñ. 7 ØÊÎËÀ Õîòèì ñðàçó æå ïðåäóïðåäèòü ÷èòàòåëÿ âîò î ÷åì.  ñïîêîéíîé âîäå (íà îçåðå) êóäà ìû íàïðàâëÿåì ëîäêó (ãðåáåì), òóäà æå îíà è äâèæåòñÿ. À âîò íà ðåêå ýòî óæå ðàçíûå íàïðàâëåíèÿ. Íà ðèñóíêå 7 ïîêàçàíî, ÷òî ïðîèñõîäèò íà ðåêå ñ ëîäêîé çà îäíó ñåêóíäó. Ìû ãðåáåì (íàïðàâëÿåì ëîäêó) ïîä óãëîì β ê áåðåãó è ïåðåìåùàåìñÿ îòíîñèòåëüíî âîäû íà ðàññòîÿíèå ñ. Íî êðîìå ýòîãî åñòü òå÷åíèå, è îíî ñíîñèò íàñ çà ñåêóíäó íà ðàññòîÿíèå v.  ðåçóëüòàòå ìû äâèæåìñÿ îòíîñèòåëüíî áåðåãà ïîä ñîâñåì äðóãèì óãëîì α è ñîâñåì ñ äðóãîé ñêîðîñòüþ u. Âîò íåñêîëüêî çàäà÷, ñâÿçàíûõ c ïåðåïðàâîé ÷åðåç ðåêó. Çàäà÷à 5. Çà êàêîå ìèíèìàëüíîå âðåìÿ íàøà ëîäêà (ñì. ðèñ.7) ìîæåò ïåðåïðàâèòüñÿ ÷åðåç ðåêó? Êàêîé êóðñ (óãîë β ) ñëåäóåò ïðè ýòîì âûáèðàòü ãðåáöó? Íà êàêîå ðàññòîÿíèå d åå ñíåñåò âäîëü áåðåãà? Êàêîâ ïóòü s ëîäêè îòíîñèòåëüíî áåðåãà? Îáñóæäåíèå. Ìû äóìàåì, ÷òî ó èçëèøíå ñàìîóâåðåííûõ ðåáÿò åñòü ëè÷íûé îïûò îòíîñèòåëüíî ýòîé ñèòóàöèè, è îíè ñðàçó æå äîãàäàþòñÿ, êàê ñëåäóåò âåñòè ëîäêó, ÷òîáû âðåìÿ ïåðåïðàâû áûëî ìèíèìàëüíûì. «Èçëèøíå ñàìîóâåðåííûìè» ìû íàçûâàåì òåõ ðåáÿò, êîòîðûå, åäâà íàó÷èâøèñü ïëàâàòü â ïðóäó èëè áàññåéíå, íà÷èíàþò ïîêîðÿòü íàñòîÿùèå ðåêè ñ áûñòðûì òå÷åíèåì. Õîðîøî, åñëè ðå÷êà ìàëåíüêàÿ è ñèë õâàòàåò. À åñëè äåëî ïðèíèìàåò íåøóòî÷íûé îáîðîò: ñèëû íà èñõîäå, à ïðîòèâîïîëîæíûé áåðåã åùå äàëåêî? Âîò çäåñü ìû è ïîïàäàåò â ñèòóàöèþ, êîãäà íàì íàäî êàê ìîæíî áûñòðåå îêàçàòüñÿ íà äðóãîì áåðåãó. Êàê æå íàäî ñåáÿ âåñòè? Êîíå÷íî, ïëûòü ïåðïåíäèêóëÿðíî òå÷åíèþ, ò.å. äåðæàòü êóðñ β = 90° . È íè÷åãî, ÷òî òå÷åíèå ñíîñèò âíèç, ãëàâíîå, ÷òîáû êàæäûé ãðåáîê ïðèáëèæàë íàñ ê æåëàííîìó áåðåãó. Èòàê, ìû âìåñòå ñ âàìè îòâåòèëè íà ñàìûé ãëàâíûé âîïðîñ çàäà÷è. Îñòàëüíûå îòâåòû ïðåäëàãàåì âàì ïîëó÷èòü ñàìîñòîÿòåëüíî. À òåïåðü çàäà÷à ïîñëîæíåå. Çàäà÷à 6. Ëîäî÷íèêó íàäî ïåðåïðàâèòüñÿ ÷åðåç ðåêó òàê, ÷òîáû ñíîñ ëîäêè áûë ìèíèìàëüíûì. Êàêîé êóðñ (óãîë β ) åìó ñëåäóåò äëÿ ýòîãî âûáðàòü? Êàêîé óãîë (óãîë α ) îáðàçóåò òðàåêòîðèÿ ëîäêè ñ áåðåãîì? Ñêîëüêî âðåìåíè (t) ïîíàäîáèòñÿ ëîäî÷íèêó äëÿ òàêîé ïåðåïðàâû? Íà êàêîå ðàññòîÿíèå (d) ñíåñåò ëîäêó? Êàêîé ïóòü (s) ïðîäåëàåò ëîäêà îòíîñèòåëüíî áåðåãà?  ýòîé ñèòóàöèè íàì óæå âðÿä ëè ïîìîæåò ëè÷íûé îïûò. Äàæå åñëè êòî-òî è ïåðåïðàâëÿëñÿ ÷åðåç ðåêó, ïûòàÿñü ïëûòü ñ íàèìåíüøèì ñíîñîì, íå ôàêò, ÷òî îí íàøåë ïðàâèëüíûé êóðñ. Ïîýòîìó ïðè ðåøåíèè ýòîé çàäà÷è ñëåäóåò ïðèáåãíóòü ê ðàññóæäåíèÿì. À ðàññóæäåíèÿ ëó÷øå ïðîâîäèòü, êîãäà ïåðåä ãëàçàìè ðèñóíîê, íà êîòîðîì ñðàçó âèäíû âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû ïåðåïðàâû. À åñòü ëè òàêîé ÷óäî-ðèñóíîê? Åñòü! È ãëàâíûé åãî ýëåìåíò êîíóñ Ìàõà. Íà÷èíàåì êîíñòðóèðîâàíèå. Ïðè÷åì íå ñî ñêîðîñòè ñ, à ñî ñêîðîñòè v (ðèñ.8). Çà ñåêóíäó ðåêà ñíåñåò ëîäêó âïðàâî íà ðàññòîÿíèå v. Ïîñëå ýòîãî ìû ñàìè äîëæíû ïåðåìåñòèòü ëîäêó íà ðàññòîÿíèå ñ, ïðè ýòîì íàïðàâèòü åå ìû ìîæåì â ëþáóþ ñòîðîíó. Ïîýòîìó ðèñóåì ïîëóîêðóæíîñòü ðàäèóñîì ñ. Êàæäàÿ òî÷êà ýòîé êðèâîé ñîîòâåòñòâóåò êîíêðåòíîìó âûáîðó êóðñà. À ñêîðîñòü ëîäêè îòíîñèòåëüíî áåðåãà ýòî âåêòîð, ñîåäèíÿþùèé òî÷êó Î è âûáðàííóþ íàìè òî÷êó íà îêðóæíîñòè. Ðèñ. 8 Ðèñ. 9  «ÊÂÀÍÒÅ» !# Èòàê, âñå âàðèàíòû íàëèöî. Ïðàâäà, êîíóñà Ìàõà ïîêà åùå íà ðèñóíêå íåò. Ïîðàáîòàåì íåìíîãî ñ íàøèì ðèñóíêîì ïîãîâîðèì î ðàçíûõ òî÷êàõ íà íåì (ðèñ.9). Òî÷êà 1 ( β = 180° ), êàê áû âû íàçâàëè åå? Òàêîé âûáîð ïåðåïðàâû ìîæíî íàçâàòü ñàìûì áûñòðûì ñïîñîáîì äâèæåíèÿ. Ñêîðîñòü ëîäêè â ýòîì ñëó÷àå îòíîñèòåëüíî áåðåãà ñàìàÿ áîëüøàÿ: umax = v + c . Õîòÿ ïîíÿòíî, ÷òî ïðè òàêîì âûáîðå íàïðàâëåíèÿ ìû íèêîãäà íå ïåðåïðàâèìñÿ ÷åðåç ðåêó. Òî÷êó 2 ( β = 0 ) ìîæíî íàçâàòü ñàìûì ìåäëåííûì óäàëåíèåì îò èñõîäíîé òî÷êè. Ëîäêà çäåñü äâèæåòñÿ ñ ñàìîé ìàëåíüêîé ñêîðîñòüþ: umin = v − c . À òî÷êà 3 ( β = 90° ) ýòî òî÷êà èç ïðåäûäóùåé çàäà÷è, ò.å. òî÷êà íàèáûñòðåéøåé ïåðåïðàâû. Îñòàëîñü ñîâñåì íåìíîãî: íàéòè íà îêðóæíîñòè òî÷êó ìèíèìàëüíîãî ñíîñà. Îòâåò ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì, åñëè ïîìåñòèòü íàø ðèñóíîê íà êàðòó ðåêè (ðèñ.10). Òîãäà ñðàçó Ðèñ. 10 âèäíî, ÷òî ñíîñ áóäåò ìèíèìàëåí, åñëè òðàåêòîðèÿ ëîäêè êàñàåòñÿ íàøåé îêðóæíîñòè âûáîðà.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ òî÷êà 4 òî÷êà ïåðåïðàâû ñ ìèíèìàëüíûì ñíîñîì. Òåïåðü íà íàøåé ðèñóíêå ïîÿâèëñÿ êîíóñ Ìàõà ñ óãëîì ïðè îñíîâàíèè α = arcsin (c v ) . Îñòàëüíûå îòâåòû, ñâÿçàííûå ñ ïåðåïðàâîé ñ ìèíèìàëüíûì ñíîñîì, ïîëó÷èòå ñàìè. Èñïîëüçóÿ íàøè ïîëåçíûå ðàññóæäåíèÿ è ðèñóíêè, ðåøèòå ñàìîñòîÿòåëüíî ñëåäóþùèå çàäà÷è. Çàäà÷à 7. Ïðè ïåðåïðàâå ëîäî÷íèê âåë ëîäêó òàê, ÷òîáû ïåðåïëûòü ðåêó êàê ìîæíî áûñòðåå. À îáðàòíî îí âîçâðàùàëñÿ òàê, ÷òîáû ñíîñ ëîäêè áûë ìèíèìàëåí. Èçâåñòíî, ÷òî íà îáðàòíûé ïóòü îí çàòðàòèë â äâà ðàçà áîëüøå âðåìåíè. Íàéäèòå, âî ñêîëüêî ðàç ñêîðîñòü òå÷åíèÿ áîëüøå ñêîðîñòè ëîäêè. Âî ñêîëüêî ðàç ïóòü ëîäêè òóäà áîëüøå, ÷åì ïóòü îòòóäà? Çàäà÷à 8. Îáû÷íî ëîäî÷íèê ïåðåïðàâëÿåòñÿ ÷åðåç ðåêó çà 12 ìèí. À êîãäà îí âûáèðàåò äëÿ ïåðåïðàâû íîâûé êóðñ, ñîñòàâëÿþùèé óãîë 90° ïî îòíîøåíèþ ê ïåðâîìó, òî îí òðàòèò íà ïåðåïðàâó âñåãî 9 ìèí. 1) Ñêîëüêî âðåìåíè ëîäî÷íèê áóäåò òðàòèòü íà ïåðåïðàâó, åñëè áóäåò äåðæàòü êóðñ ïåðïåíäèêóëÿðíî áåðåãîâîé ëèíèè? 2) ×åìó ðàâíî îòíîøåíèå ñêîðîñòè òå÷åíèÿ ê ñêîðîñòè ëîäêè, åñëè è ïðè ñòàðîì è ïðè íîâîì êóðñå ëîäî÷íèêà ñíîñèò íà îäíî è òî æå ðàññòîÿíèå? Çàäà÷à 9. Äâà ëîäî÷íèêà âûáèðàþò ðàçíûå êóðñû äëÿ ñâîèõ ëîäîê, íî ïðåñåêàþò ðåêó çà îäíî è òî æå âðåìÿ t0 . Ïðè ýòîì âòîðóþ ëîäêó ñíîñèò ïðè ïåðåïðàâå â n ðàç äàëüøå, ÷åì ïåðâóþ. 1) Çà êàêîå ìèíèìàëüíîå âðåìÿ ëîäî÷íèêè ìîãëè áû ïåðåïðàâëÿòüñÿ ÷åðåç ðåêó, åñëè ñêîðîñòü òå÷åíèÿ â Ì ðàç áîëüøå ñêîðîñòè ëîäêè? 2) Ïðè êàêîì ìàêñèìàëüíîì Ì ýòî âîçìîæíî? Ñêîðîñòè îáåèõ ëîäîê â ñïîêîéíîé âîäå îäèíàêîâû. À åñëè ñêîðîñòü ëîäêè áîëüøå ñêîðîñòè ðåêè, åñòü òàêèå çàäà÷è? Êîíå÷íî, åñòü. Òîëüêî òåïåðü êàðòèíêà, íà êîòîðîé âèäíû âñå âàðèàíòû íàøåãî âûáîðà, âûãëÿäèò íåñêîëüêî èíà÷å (ðèñ.11). Íî ìíîãîå íà ýòîé êàðòèíêå îñòàåòñÿ è îò ñòàðîãî ñëó÷àÿ. Òî÷êà 1, ïî-ïðåæíåìó, òî÷êà ñàìîé áîëüøîé ñêîðîñòè ëîäêè îòíîñèòåëüíî áåðåãà, òî÷êà 2 òî÷êà ñàìîé ìàëåíüêîé ñêîðîñòè ëîäêè, òî÷êà 3 òî÷êà íàèáûñòðåéøåé !$ ÊÂÀÍT 2014/¹3 Æàëêî òîëüêî, ÷òî òåïåðü íà ðèñóíêå íåò íàøåãî õîðîøåãî çíàêîìîãî êîíóñà Ìàõà! Íó ÷òî æå, êîëè êîíóñ Ìàõà ñòàë âàì õîðîøèì çíàêîìûì, ýòî î÷åíü ïðèÿòíî. Îäíàêî âîçìîæíî, ÷òî âû è áåç íåãî óæå ñìîæåòå ðåøàòü ñëîæíûå çàäà÷è. Íàïðèìåð, òàêóþ. Ðèñ. 11 ïåðåïðàâû, à âîò òî÷êó 4 òåïåðü ñëåäóåò íàçûâàòü íåñêîëüêî èíà÷å òî÷êà ïåðåïðàâû áåç ñíîñà. Âåäü òåïåðü, êîãäà ñêîðîñòü ëîäêè áîëüøå ñêîðîñòè òå÷åíèÿ, íàì âïîëíå ïî ñèëàì íà ðàâíûõ áîðîòüñÿ ñ íèì è äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû ëîäêó ñîâñåì íå ñíîñèëî. Ñèðåíåâûé òóìàí À.ÑÒÀÑÅÍÊÎ È ÌÅÍÍÎ ÒÀÊ ÍÀ×ÈÍÀÅÒÑß ÈÇÂÅÑÒÍÀß ÑÒÀÐÀß ÏÅÑÍß: «Ñèðåíåâûé òóìàí íàä íàìè ïðîïëûâàåò, Íàä òàìáóðîì ãîðèò ïîëíî÷íàÿ çâåçäà » Íî ïî÷åìó òóìàí îêàçàëñÿ ñèðåíåâûì? Èëè âîò åùå èç À.Ñ.Ïóøêèíà («Áóðÿ»): Çàäà÷à 10. Ëîäî÷íèê âçÿë çà ïðàâèëî ïåðåïðàâëÿòü ñâîèõ ïàññàæèðîâ íà äðóãîé áåðåã ñòðîãî ïåðïåíäèêóëÿðíî áåðåãîâîé ëèíèè (áåç ñíîñà). Ñêîëüêî âðåìåíè áóäåò äëèòüñÿ òàêàÿ ïåðåïðàâà, åñëè øèðèíà ðåêè L = 120 ì, ñêîðîñòü ëîäêè â ñïîêîéíîé âîäå ñ = 5 ì/ñ, ñêîðîñòü òå÷åíèÿ v = 4 ì/ñ? Ïîä êàêèì óãëîì îòíîñèòåëüíî áåðåãà ëîäî÷íèêó ñëåäóåò íàïðàâëÿòü ñâîþ ëîäêó, ÷òîáû ñíîñà íå áûëî? Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ áóäåò ïåðåìåùàòüñÿ ëîäêà îòíîñèòåëüíî áåðåãà? ñâåòà ñ òî÷êè çðåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè äîëæíî áûòü îäèíàêîâûì íà ëþáîì ðàññòîÿíèè ìÿ÷à îò ñòåíêè. À ÷òî åñëè íà ïóòè òåõ æå ïàðàëëåëüíûõ ëó÷åé ïîìåñòèòü íåïðîçðà÷íûé ýêðàí c îòâåðñòèåì ðàäèóñîì r (ðèñ.1,á)?  ýòîì ñëó÷àå íà áåëîé ñòåíå ïîëó÷èì êàðòèíó, äîïîëíèòåëüíóþ ê ïåðâîé. Äîïîëíèòåëüíóþ â òîì ñìûñëå, ÷òî åñëè âñòàâèòü ìÿ÷ â îòâåðñòèå, òî ñóììàðíàÿ èíòåíñèâíîñòü ñâåòà ñòàíåò ðàâíîé íóëþ. Îäíàêî, ýòî ñïðàâåäëèâî ñ òî÷êè çðåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè.  íåé íè ñëîâà íåò î äëèíå âîëíû ñâåòà λ , à âåäü èìåííî îíà îïðåäåëÿåò âîñïðèÿòèå öâåòà ñèðåíåâûé, àëûé, êðàñíûé, ñèíèé... ×åì áîëüøå λ , òåì âîëíà «êðàñíåå», ÷åì ìåíüøå òåì «ñèíåå». Ïðåäñòàâèì ñåáå òî æå ñàìîå îòâåðñòèå ðàäèóñîì r â íåïðîçðà÷íîì ýêðàíå ñîñòîÿùèì èç äâóõ ïîëîâèíîê ïëîùàäüþ πr 2 2 êàæäàÿ (ðèñ.2). Ñîãëàñíî ïðèíöèïàì âîëíîâîé (óæå íå ãåîìåòðè÷åñêîé!) îïòèêè, ýòè äâå «Òû âèäåë äåâó íà ñêàëå  îäåæäå áåëîé íàä âîëíàìè Êîãäà ëó÷ ìîëíèé îçàðÿë Åå âñå÷àñíî áëåñêîì àëûì » Êàê æå òàê: îäåæäû áåëûå, ëó÷ ìîëíèé åùå áåëåå, à â ðåçóëüòàòå áëåñê àëûé! Íå ñâÿçàíî ëè ýòî ñ òåì, ÷òî «áóøóÿ â áóðíîé ìãëå, èãðàëî ìîðå ñ áåðåãàìè è âåòåð áèëñÿ è ìåòàë», ò.å. ñ ïðèñóòñòâèåì ìîðñêèõ áðûçã è êàïåëü? Íî çàãëÿíåì åùå äàëüøå íàçàä â ãëóáü âåêîâ.  êèòàéñêèõ è ðèìñêèõ (îöåíèòå ðàññòîÿíèå!) õðîíèêàõ 186 ãîäà ñîîáùàåòñÿ î êðàñíîì íåáå. È ÷òî æå? Îêàçûâàåòñÿ, â òó ïîðó ïðîèçîøëî èçâåðæåíèå âóëêàíà â Íîâîé Çåëàíäèè! âîîáùå â äðóãîì ïîëóøàðèè. À â áîëåå áëèçêèå ê íàì âðåìåíà, â 1950 ãîäó, íà áîëüøåé ÷àñòè Åâðîïû Ñîëíöå è Ëóíà êàçàëèñü ãîëóáûìè ïîñëå ïîæàðîâ â ëåñàõ Êàíàäû! Òóò óæ ÿâíî âîçíèêàåò ïîäîçðåíèå î âçàèìîäåéñòâèè ñâåòà ñ ìåëêèìè ÷àñòèöàìè. Íî âñå ïî ïîðÿäêó. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî ôóòáîëüíûé ìÿ÷ ðàäèóñîì r îñâåùàåòñÿ ïàðàëëåëüíûìè ëó÷àìè ñâåòà èíòåíñèâíîñòè I (ðèñ.1,à). Òîãäà íà áåëîé ñòåíå ïîÿâèòñÿ ÷åòêèé äèñê òåíè, ïðè÷åì Ðèñ.1. Ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ñâåòà çà ìÿ÷îì è çà îòâåðñòèåì (ãåîìåòðè÷åñ- ýòî ñòóïåí÷àòîå ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè êàÿ îïòèêà) Ðèñ.2. Èíòåðôåðåíöèÿ îò äâóõ ïîëóäèñêîâ. Ñëåâà ïàäàþùèé ôðîíò âîëíû (ñ äëèíîé λ ), ñïðàâà êàðòèíà ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè çà îòâåðñòèåì ïîëîâèíêè ôðîíòà âîëíû, ïàäàþùåé ñëåâà íà îòâåðñòèå, ìîæíî ñ÷èòàòü äâóìÿ íåçàâèñèìûìè èñòî÷íèêàìè âòîðè÷íûõ âîëí. Ñ ýòîé èäåè è íà÷èíàåòñÿ èçëîæåíèå ïðèíöèïà Ôðåíåëÿ âåëèêîãî îïòèêà, æèâøåãî âî âðåìåíà Íàïîëåîíà, Àëåêñàíäðà I è Ïóøêèíà. Ðàññìàòðèâàÿ ýòó êàðòèíó èçäàëåêà, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòè äâå ïîëîâèíêè èçëó÷àþò âòîðè÷íûå âîëíû êàê äâà òî÷å÷íûõ èñòî÷íèêà, ðàñïîëîæåííûõ â «öåíòðå òÿæåñòè» êàæäîãî èç ïîëóäèñêîâ. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè äâóìÿ òî÷êàìè îáîçíà÷èì áóêâîé d. Òîãäà â íàïðàâëåíèè, ñîîòâåòñòâóþùåì óãëó θ , îäíà èç ýòèõ äâóõ âîëí îòñòàíåò îò äðóãîé íà îòðåçîê ∆ = d sin θ (ñì. çàøòðèõîâàííûé ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê íà ðèñóíêå 2). È òóò âîçíèêàþò äâå âîçìîæíîñòè ýòà ðàçíîñòü õîäà ìîæåò ñòàòü ðàâíîé öåëîìó ÷èñëó äëèí âîëí (÷åòíîìó ÷èñëó ïîëóâîëí): ∆ = mλ = 2mλ 2 èëè íå÷åòíîìó ÷èñëó äëèí ïîëóâîëí: ∆ = (2n + 1) λ 2 . ßñíî, ÷òî â ïåðâîì ñëó÷àå â íàïðàâëåíèÿõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ óãëàì mλ θm , (∗ ) max = arcsin d ýòè äâå âîëíû óñèëÿò äðóã äðóãà, âî âòîðîì ïîãàñÿò. Òàêèì îáðàçîì, êàðòèíà ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè ñâåòà, ïðî- ÍÀØÀ øåäøåãî ÷åðåç îòâåðñòèå, ò.å. òàê íàçûâàåìàÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà, ïðèíöèïèàëüíî îòëè÷àåòñÿ îò òîé, ÷òî ïðåäñêàçûâàåò ãåîìåòðè÷åñêàÿ îïòèêà. Ãäå æå ïðàâäà!? Ñ îäíîé ñòîðîíû, ìû ÿñíî âèäèì ðåçêóþ òåíü îò ëó÷à íà ñòåíå. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òå, êòî çàíèìàþòñÿ ðàäèîôèçèêîé, òî÷íî çíàþò, ÷òî êðóãëàÿ àíòåííà ðàäèóñîì r, ïîñûëàþùàÿ âîëíó íà ñïóòíèê, ñîáèðàåò ýíåðãèþ â ïó÷îê ñ õàðàêòåðíûì λ ïðè n = 0 (íàïðàâïîëóóãîëîì ðàñòâîðà ïîðÿäêà arcsin 2r ëåíèå íà 1-é ìèíèìóì), à íå â âèäå «ñòóïåíüêè», êàê íà ðèñóíêå 1,á. ßñíî, ÷òî òóò äåëî â îòíîøåíèÿõ ðàçìåðîâ. Îäíî èõ íèõ ìû óæå çíàåì ýòî äèôðàêöèîííûé ïàðàìåòð λ . Î÷åâèäíî, ÷òî äðóãîå îòíîøåíèå äîëæíî áûòü ñâÿçàíî ñ r òåì, «áëèçêî» èëè «äàëåêî» íàõîäèòñÿ ýêðàí îò îòâåðñòèÿ. Èçìåðåííîå â ðàäèóñàõ îòâåðñòèÿ ýòî ðàññòîÿíèå x äàåò åùå x . È â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ, îäèí áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð r λx ÷òî ãåîìåòðè÷åñêàÿ îïòèêà ïðàâà ïðè 2 1 , à âîëíîâàÿ r λx ïðè 2 1 . (Êñòàòè çàìåòèì, ÷òî â «Êâàíòå» ¹1 çà 2014 ãîä r â ñòàòüå «Çà÷åì «áëèçîðóêî ùóðèòüñÿ»?» äîïóùåíà îïå÷àòêà. Íà ñòðàíèöå 42 ïîñëåäíþþ ôîðìóëó ñëåäóåò ÷èòàòü òàê: p= λ x ◊ .) Íåêîòîðûå ãîâîðÿò, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêàÿ îïòèêà d d âåðíà ïðè λ → 0 . Ïîíÿòíî, ÷òî ýòî óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî ïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ x è r. Íî âåðíåìñÿ ê ñèðåíåâîìó òóìàíó, äåâå íà ñêàëå, ñèíåìó è êðàñíîìó íåáó. Åñëè ðàññìîòðåííîå âûøå îòâåðñòèå çàêðûòü äèñêîì èëè øàðèêîì òîãî æå ðàäèóñà, òî ñâåò âñþäó çà âîññòàíîâëåííûì íåïðîçðà÷íûì ýêðàíîì èñ÷åçíåò. Çíà÷èò, ñ òî÷êè çðåíèÿ äîïîëíèòåëüíîé êàðòèíû, íà îñè çà îäèíîêèì øàðèêîì äîëæíà áûòü âîëíà, â òî÷íîñòè êîìïåíñèðóþùàÿ (ãàñÿùàÿ) âîëíó, êîòîðàÿ áûëà çà îòâåðñòèåì â ýêðàíå. Èíòåíñèâíîñòè ýòèõ äâóõ âîëí îäèíàêîâû, à ôàçû ïðîòèâîïîëîæíû. Äâåñòè ëåò íàçàä ìûñëü î òîì, ÷òî çà íåïðîçðà÷íûì ýêðàíîì äîëæíî áûòü ñâåòëîå ïÿòíî, êàçàëàñü íåëåïîé. Òåì áîëåå ïîòðÿñàþùèì îêàçàëñÿ äåìîíñòðàöèîííûé îïûò Àðàãî, ñäåëàâøèé ýòîò ôàêò î÷åâèäíûì. Èòàê, âîëíû îãèáàþò êðàÿ øàðèêà. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ äèôðàêöèåé âîëí íà êðàþ ïðåïÿòñòâèÿ. Áîëåå òîãî, îêàçàëîñü, ÷òî â äèôðàêöèîííîì ïðåäåëå ( r λx ) èç !% ÎÁËÎÆÊÀ ïàðàëëåëüíîãî ïó÷êà ëó÷åé äèôðàêöèÿ «èçûìàåò» ñòîëüêî ýíåðãèè, ÷òî øàðèê ïðåäñòàâëÿåòñÿ èìåþùèì ïëîùàäü ñå÷åíèÿ 2πr 2 , ò.å. âäâîå áîëüøóþ, ÷åì ñ òî÷êè çðåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè. Ãîâîðÿò ïðè ýòîì, ÷òî êîýôôèöèåíò ðàññåÿíèÿ ðàâåí äâóì: Qs = 2 . Äàëåå. ßñíî, ÷òî ñ óìåíüøåíèåì ðàçìåðà øàðèêà äîëæíà óìåíüøàòüñÿ è äîëÿ ðàññåèâàåìîé èì ýíåðãèè âåäü ïðè ñòðåìëåíèè åãî ðàçìåðà ê ìîëåêóëÿðíîìó ýòà äîëÿ äîëæíà ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ èíà÷å àòìîñôåðà áûëà áû íåïðîçðà÷íà äëÿ ñîëíå÷íûõ ëó÷åé. À â ðåçóëüòàòå ñâÿçü ñå÷åíèÿ ðàññåÿíèÿ ñ êîýôôèöèåíòîì ðàññåÿíèÿ èìååò âèä, êà÷åñòâåííî ïîêàçàííûé íà ðèñóíêå 3. Òóò íåò íè÷åãî óäèâèòåëüíîãî: âèäíà ïåðèîäè÷íîñòü ïî r , òàê íàïîìèíàþùàÿ Ðèñ.3. Êà÷åñòâåííàÿ êàðòèíà âçàèìîñâÿλ çè êîýôôèöèåíòà ðàññåÿíèÿ è äèôðàêñîîòíîøåíèå ( * ); âèäöèîííîãî ïàðàìåòðà íî ñòðåìëåíèå ê íóëþ r → 0 . È, êîíå÷íî, âèäåí âïîëíå îæèäàåìûé ìàêñèïðè λ ìóì, êîãäà äëèíà âîëíû ñðàâíèìà ñ ðàçìåðîì øàðèêà. Êñòàòè, â ñëó÷àå âîäÿíûõ êàïåëü ýòîò ìàêñèìóì ïî÷òè â ÷åòûðå ðàçà ïðåâûøàåò ãåîìåòðè÷åñêîå ñå÷åíèå áîëüøîãî êðóãà (Qs ≈ 4 ) . Òåïåðü âñå ïîíÿòíî. Ïîñêîëüêó áåëûé ñâåò ìîëíèé èëè Ñîëíöà ñîäåðæèò íåïðåðûâíûé íàáîð äëèí âîëí, ðàäèóñ ÷àñòèö èëè êàïåëü, ðàññåèâàþùèõ ýòîò ñâåò, ìîæåò îêàçàòüñÿ ñîîòâåòñòâóþùèì ìàêñèìàëüíîìó çíà÷åíèþ A íà ðèñóíêå 3 ïðè äëèíå âîëíû êðàñíîãî ñâåòà, â òî âðåìÿ êàê ñîñåäíèé ìèíèìóì B îêàæåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèì ñèíåìó öâåòó ( λ ñèí < λ êðàñí ) âîò è ïîëó÷àåòñÿ «áëåñê àëûé». À ñèðåíåâûé öâåò ýòî ñìåñü êðàñíîãî è ôèîëåòîâîãî (ïðîâåðüòå íà àêâàðåëüíûõ êðàñêàõ). Îí ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ, êîãäà ðàçìåðû êàïåëü òàêîâû, ÷òî ìû ïîïàäàåì â äâà ñîñåäíèõ ìàêñèìóìà A è Ñ. Îñòàëüíûå ñëó÷àè íåîáû÷íûõ îêðàñîê çàïûëåííîãî íåáà ×èòàòåëü ñìîæåò òåïåðü îáúÿñíèòü ñàìîñòîÿòåëüíî. ÍÀØÀ ÎÁËÎÆÊÀ Êàê Àðõèìåä âçâåñèë ïàðàáîëó? (Íà÷àëî ñì. íà 4-é ñòðàíèöå îáëîæêè) «Àðõèìåä æåëàåò ÷èòàòåëþ ðàäîâàòüñÿ», òàê íà÷èíàëàñü áû ýòà ñòàòüÿ, åñëè áû åå àâòîðîì áûë Àðõèìåä. Âû÷èñëåíèþ ïëîùàäè (êâàäðàòóðû) ñåãìåíòà ïàðàáîëû áûëî ïîñâÿùåíî ïèñüìî Àðõèìåäà Äîñèôåþ â Àëåêñàíäðèþ.  íåì Àðõèìåä ïðèâåë äâà ñïîñîáà âû÷èñëåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèé è ìåõàíè÷åñêèé. Ñ ãåîìåòðè÷åñêèì ñïîñîáîì, â êîòîðîì ïëîùàäü ñåãìåíòà ïàðàáîëû ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âïèñàííûõ â íåãî òðåóãîëüíèêîâ, ìîæíî ïîçíàêîìèòüñÿ, íàïðèìåð, â ñòàòüå À.Áåíäóêèäçå, îïóáëèêîâàííîé â «Êâàíòå» ¹7 çà 1971 ãîä. Çäåñü æå ïðèâîäèòñÿ ïîïóëÿðíîå èçëîæåíèå ìåõàíè÷åñêîãî ñïîñîáà, êîòîðûé èíîãäà íàçûâàþò ìåõàíè÷åñêèì èíòåãðèðîâàíèåì. Íàðèñóåì ïàðàáîëó y = ax2 íà ëèñòå ïëîòíîé áóìàãè è âûðåæåì ÷àñòü ëèñòà ìåæäó êðèâîé è îñüþ õ â äèàïàçîíå îò õ = 0 äî õ = l. Òåïåðü ïîëîæèì âûðåçàííóþ ôèãóðó íà ïðàâóþ ÷àøó âåñîâ òàê, ÷òîáû åå öåíòð òÿæåñòè íàõîäèëñÿ ïîä òî÷êîé ïîäâåñà ÷àøè, è óðàâíîâåñèì åå ãðóçîì íà ëåâîé ÷àøå (ðèñ.1). Î÷åâèäíî, åñëè çíàòü âåñ Ðèñ.1 åäèíèöû ïëîùàäè èñïîëüçîâàííîãî ëèñòà áóìàãè, òî «âåñ ïàðàáîëû» äàñò íàì âåëè÷èíó åå ïëîùàäè S. ×òîáû íàéòè çàâèñèìîñòü «âåñà ïàðàáîëû» îò âåëè÷èí a è l, âìåñòî ëåâîé ÷àøè ïðèêðåïèì ê ðû÷àãó òðåóãîëüíèê ÀÎÂ, âûðåçàííûé èç òîé æå áóìàãè, ÷òî è íàøà ïàðàáîëà (ðèñ.2). (Ïðîäîëæåíèå ñì. íà ñ. 44) ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ Çàäà÷à î òî÷êå Òîððè÷åëëè êðàñèâàÿ è åñòåñòâåííàÿ, íàñòîÿùàÿ æåì÷óæèíà ãåîìåòðèè. Îíà óæå íå ðàç îáñóæäàëàñü íà ñòðàíèöàõ «Êâàíòà» (ñì., íàïðèìåð, ñòàòüþ Â.Ïðîòàñîâà è Â.Òèõîìèðîâà «Ïðîñòðàíñòâî Lp è çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè òðåóãîëüíèêà» â «Êâàíòå» ¹2 çà 2012 ã.). Íî èíîãäà èíòåðåñíî ñîáðàòü âìåñòå ðàçëè÷íûå ïîäõîäû ê òàêèì çàäà÷àì, ÷òîáû óâèäåòü ñâÿçü ìåæäó ðàçíûìè îáëàñòÿìè è îùóòèòü åäèíñòâî ìàòåìàòèêè. Èìåííî â òàêîì êëþ÷å àâòîð ïóáëèêóåìîé íèæå ñòàòüè è ïðåäëàãàåò âçãëÿíóòü íà òî÷êó Òîððè÷åëëè. Åùå ðàç î òî÷êå Òîððè÷åëëè Ë.ÐÀÄÇÈÂÈËÎÂÑÊÈÉ Ââåäåíèå Âîò îäíà èç ìîèõ ëþáèìûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷: Çàäà÷à. Äàí òðåóãîëüíèê ABC. Íàéäèòå òàêóþ òî÷êó Ò, ÷òî ñóììà ðàññòîÿíèé îò íåå äî âåðøèí òðåóãîëüíèêà, ÀÒ + BT + CT, áóäåò íàèìåíüøåé. ß êîëëåêöèîíèðóþ åå ðåøåíèÿ, ïîêà ÷òî â êîëëåêöèè 6 øòóê. Åñëè âåðèòü Âèêèïåäèè (à ïåðâîèñòî÷íèêîâ ÿ íå ÷èòàë), òî Ïüåð Ôåðìà ïðåäëîæèë ýòó çàäà÷ó, à Ýâàíäæåëèñòà Òîððè÷åëëè åå ðåøèë. Ðåøåíèÿ 1 è 2 ÿ ïðî÷åë â ñòàðûõ âûïóñêàõ «Êâàíòà», ðåøåíèå 3 ïîíÿòíî òåì, êòî èçó÷àë âûñøóþ ìàòåìàòèêó, ðåøåíèå 4 íàøåë À.Ãëàäêèõ, ðåøåíèå 5 ïðèäóìàë ìîé îòåö, à ðåøåíèå 6 ÿ óçíàë èç ñòàòüè Ã.Ãàí÷åâà è Í.Íèêîëîâà â æóðíàëå «Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðîñâåùåíèå» (òðåòüÿ ñåðèÿ, âûïóñê 12). Î øåñòîì ðåøåíèè ìíå ñîîáùèë À.Çàñëàâñêèé, êîãäà ñòàòüÿ óæå áûëà ÷àñòè÷íî íàïèñàíà, îí æå âûñêàçàë ðÿä öåííûõ çàìå÷àíèé ïî ïîâîäó ýòîé ñòàòüè, çà ÷òî ÿ åìó î÷åíü ïðèçíàòåëåí. Êîíå÷íî, êàêèå-òî èç ýòèõ ðåøåíèé, âèäèìî, áûëè ïðèäóìàíû ãîðàçäî ðàíüøå, ïîñêîëüêó çàäà÷à î÷åíü ñòàðàÿ. Çà ïîñëåäíèå 350 ëåò åå ðåøàëî ìíîãî ëþäåé, ïîýòîìó óñòàíîâèòü ïåðâîãî àâòîðà òîé èëè èíîé èäåè íåâîçìîæíî. Êàêîâ æå îòâåò? Îêàçûâàåòñÿ, îòâåò â ýòîé çàäà÷å ðàçáèâàåòñÿ íà äâà ñëó÷àÿ. Ïåðâûé ñëó÷àé (îí ìåíåå èíòåðåñåí) êîãäà ó òðåóãîëüíèêà åñòü óãîë, íå ìåíüøèé 120° (îáðàçíî ãîâîðÿ, «î÷åíü òóïîé óãîë»). Òîãäà âåðøèíà ýòîãî óãëà è áóäåò èñêîìîé òî÷êîé. Âòîðîé ñëó÷àé, êîãäà âñå óãëû òðåóãîëüíèêà ìåíüøå 120° , áîëåå èíòåðåñåí.  ýòîì ñëó÷àå òî÷êà Ò çàäàåòñÿ óñëîâèåì: âñå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà âèäíû èç íåå ïîä óãëîì 120° (òàêàÿ òî÷êà íîñèò èìÿ Òîððè÷åëëè, èíîãäà åå íàçûâàþò òî÷Ðèñ. 1 êîé Ôåðìà). Äðóãèìè ñëî- âàìè, ∠ATB = ∠ATC = ∠BTC = 120° . Ïîñòðîèòü åå ëåãêî. Äåëî â òîì, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, èç êîòîðûõ îòðåçîê À âèäåí ïîä îäíèì è òåì æå óãëîì, ñîñòîèò èç äâóõ äóã îêðóæíîñòåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êè A è B (ðèñ. 1). Èñêîìàÿ òî÷êà ëåæèò âíóòðè òðåóãîëüíèêà, ïîýòîìó îñòàåòñÿ îäíà äóãà èëè åå ÷àñòü. Ýòî äóãà îêðóæíîñòè, îïèñàííîé âîêðóã ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà, ïðèìûêàþùåãî ê ñòîðîíå ÀÂ. Èòàê, ñòðîèì íà ñòîðîíàõ òðåóãîëüíèêà âîâíå ðàâíîñòîðîííèå òðåóãîëüíèêè, îïèñûâàåì âîêðóã íèõ îêðóæíîñòè è ñìîòðèì íà èõ äóãè, ëåæàùèå âíóòðè èñõîäíîãî òðåóãîëüíèêà. Êàæäàÿ èç ýòèõ äóã ñîäåðæèò Ðèñ. 2 íàøó òî÷êó (ðèñ. 2).  äåéñòâèòåëüíîñòè, ìîæíî îïðåäåëèòü íàøó òî÷êó êàê ïåðåñå÷åíèå ëþáûõ äâóõ èç ýòèõ äóã. Âåäü åñëè óãëû, ïîä êîòîðûìè âèäíû äâå ñòîðîíû, ðàâíû 120° , òî íà òðåòüþ ñòîðîíó îñòàåòñÿ òîò æå óãîë. Ïîýòîìó ýòè òðè äóãè ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Îñíîâíàÿ òðóäíîñòü äîêàçàòü, ÷òî ïîñòðîåííàÿ òî÷êà è åñòü òà, êîòîðóþ òðåáóåòñÿ íàéòè â çàäà÷å. Ñëó÷àé «î÷åíü òóïîãî óãëà» Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïåðâûé, ìåíåå èíòåðåñíûé âàðèàíò, ÷òîáû ïîòîì ïðî íåãî çàáûòü (âïðî÷åì, êàæäîå èç ïðèâåäåííûõ íèæå øåñòè äîêàçàòåëüñòâ ìîæíî, íåñêîëüêî âèäîèçìåíèâ, ïðèìåíèòü è ê ýòîìó ñëó÷àþ). Ïðåäïîëîæèì ÷òî ∠ABC ≥ 120° . Òîãäà íóæíî äîêàçàòü, ÷òî äëÿ âñÿêîé òî÷êè Õ, îòëè÷íîé îò Â, áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî A + C < ÀÕ + BÕ + CÕ. Ïóñòü P, Q ïðîåêöèè òî÷êè Õ íà ïðÿìûå AB, BC ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè òî÷êà  íàõîäèòñÿ ìåæäó À è P (ðèñ.3), òî ÀX ≥ ÀP > AB, BX + CX ≥ BC. Ðèñ. 3 Ñêëàäûâàÿ ýòè íåðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì òðåáóåìîå. Çíà÷èò, íåî÷åâèäåí òîëüêî òîò ñëó÷àé, êîãäà P íàõîäèòñÿ íà ëó÷å ÂÀ. Ïî òåì æå ïðè÷èíàì áóäåì ñ÷è- Ðèñ. 4 òàòü, ÷òî Q íàõîäèòñÿ íà ëó÷å ÂÑ (ðèñ.4). Òîãäà â ÷åòûðåõóãîëüíèêå XPBQ óãëû P è Q ïðÿìûå, ∠B ≥ 120° , à ∠X ≤ 60° . Ìû äîêàæåì ÷òî BX ≥ BP + BQ . (∗ ) Ïðèáàâèâ ê íåðàâåíñòâó ( ∗ ) î÷åâèäíûå íåðàâåíñòâà AX ≥ AP , CX ≥ CQ , ïîëó÷èì èñêîìîå óòâåðæäåíèå. Ðàâåíñòâî â ïîñëåäíèõ äâóõ íåðàâåíñòâàõ äîñòèãàåòñÿ, òîëüêî åñëè òî÷êà Õ ëåæèò è íà ïðÿìîé ÀÂ, è íà ïðÿìîé ÂÑ, ò.å. ñîâïàäàåò ñ èõ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ B. Èòàê, îñòàëîñü äîêàçàòü íåðàâåíñòâî ( ∗ ). Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, íàïðèìåð, òàêèìè äâóìÿ ñïîñîáàìè. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ Ïåðâûé ñïîñîá Ïîâåðíåì òðåóãîëüíèê BXP âîêðóã òî÷êè X òàê, ÷òîáû åãî ñòîðîíà XP ïîïàëà íà ïðÿìóþ XQ. Îáîçíà÷èì ïîëó÷åííûé òðåóãîëüíèê B′XP′ (ðèñ.5). Çàìåòèì, ÷òî ∠PXQ = = 180° − ∠PBQ ≤ 60° . Ïî ïîñòðîåíèþ, ∠P′XP = ∠PXB + + ∠BXP′ = ∠P′XB′ + ∠P′XB = ∠B′XB , ò.å. è ∠B′XB ≤ 60° . Çíà÷èò, B′B íå ìîæåò áûòü íàèáîëüøåé ñòîðîíîé òðåóãîëüíèêà B′XB , è ïîñêîëüêó îòðåçêè ÂÕ è B′X ðàâíû, òî B′B ≤ BX . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îòðåçîê BB′ íå ìåíüøå åãî ïðîåêöèè íà ïðÿìóþ BQ, ò.å. íå ìåíüøå ñóììû BQ + P′B′ . Èòàê, BX ≥ BB′ ≥ BQ + B′P′ = BQ + Ðèñ. 5 + BP , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Âòîðîé ñïîñîá Ïóñòü u, v åäèíè÷íûå âåêòîðû, âûõîäÿùèå èç òî÷êè  â íàïðàâëåíèè òî÷åê À, Ñ ñîîòâåòñòâåííî. Ïîñêîëüêó óãîë ìåæäó ýòèìè âåêòîðàìè íå ìåíüøå 120° , òî äëèíà âåêòîðà u + v íå áîëüøå 1. Ïîëüçóÿñü ñâîéñòâàìè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ, ïîëó÷àåì BP + BQ = BX, u + BX, v = BX, u + v ≤ BX , ( ) ( ) ( ) ÷òî è òðåáîâàëîñü. Áîëåå èíòåðåñíûé ñëó÷àé Ïåðåôîðìóëèðóåì íàøó çàäà÷ó òàê: Åñëè èç âíóòðåííåé òî÷êè Ò òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ âñå ñòîðîíû âèäíû ïîä ðàâíûìè óãëàìè, òî ñóììà ðàññòîÿíèé îò Ò äî âåðøèí À, Â, Ñ ìåíüøå, ÷åì îò ëþáîé äðóãîé òî÷êè. Ïåðåéäåì ê ðåøåíèÿì. Ïåðâîå ðåøåíèå (ôèçèêà) Ìîæåò, ýòî è íå ðåøåíèå â ïîëíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ñòðîãîñòè, à èíòóèòèâíîå îáúÿñíåíèå? Ñóäèòå ñàìè, íî ìíå îíî íðàâèòñÿ. Èòàê, ïóñòü íàø òðåóãîëüíèê íàðèñîâàí íà ãîðèçîíòàëüíîé äîñêå. Ñäåëàåì â êàæäîé âåðøèíå îòâåðñòèå. ×åðåç êàæäîå îòâåðñòèå ïðîòÿíåì âåðåâêó è ñâÿæåì ýòè òðè âåðåâêè ãäå-íèáóäü âíóòðè òðåóãîëüíèêà. Ê ïðîòèâîïîëîæíûì êîíöàì âåðåâîê ïðèêðåïèì îäèíàêîâûå ãèðè ïî 1 êã (ðèñ.6). Òåïåðü îòïóñòèì ýòó ñèñòåìó, è îíà, ñîãëàñíî çàêîíàì ôèçèêè, ïðèäåò â ïîëîæåíèå ñ ìèíèìóìîì ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè. Ðèñ. 6 Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ñóììàðíîé âûñîòå ãðóçîâ íàä çåìëåé. Çíà÷èò, ñóììàðíàÿ âûñîòà ãðóçîâ áóäåò ìèíèìàëüíà, ò.å. ñóììàðíàÿ äëèíà âåðåâîê îò îòâåðñòèé äî ãèðü ìàêñèìàëüíà. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóììàðíàÿ äëèíà âåðåâîê âíóòðè òðåóãîëüíèêà, ðàâíàÿ ñóììå ðàññòîÿíèé îò óçëà äî âåðøèí, ìèíèìàëüíà. Òàêèì îáðàçîì, ýòà ôèçè÷åñêàÿ ñèñòåìà ðåøàåò íàøó çàäà÷ó. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñóììà ñèë, äåéñòâóþùèõ íà óçåë, áóäåò ðàâíà íóëþ. Ñèëà ðàâíà íàòÿæåíèþ âåðåâêè è íàïðàâëåíà âäîëü âåðåâêè. Íàòÿæåíèå âåðåâêè ðàâíî âåñó ãðóçà, ïîñêîëüêó âåñ è íàòÿæåíèå, íåéòðàëèçóÿ äðóã äðóãà, äåðæàò ãðóç â íåïîäâèæíîñòè. Çíà÷èò, ñèëû, äåéñòâóþùèå íà óçåë, ýòî òðè âåêòîðà îäèíàêîâîé äëèíû, â ñóììå äàþùèå íîëü. ÊÐÓÆÎÊ !' Óïðàæíåíèå 1. Åñëè ñóììà òðåõ åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ ðàâíà íóëþ, òî óãëû ìåæäó íèìè ðàâíû ïî 120∞. Èç ïðåäûäóùèõ ðàññóæäåíèé è óïðàæíåíèÿ 1 ñëåäóåò, ÷òî óãëû ìåæäó âåðåâêàìè ðàâíû 120°, ÷òî è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî. Âòîðîå ðåøåíèå (êëàññè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ: ïîâîðîò) Ïóñòü Õ ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. Ïîñòðîèì íà ñòîðîíå AB âî âíåøíþþ ñòîðîíó ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ABF (ðèñ.7). Ðàññìîòðèì ïîâîðîò âîêðóã âåðøèíû À íà 60° , êîòîðûé ïåðåâîäèò âåðøèíó B â òî÷êó F. Òîò æå ïîâîðîò ïåðåâåäåò òî÷êó Õ â íåêóþ òî÷êó Í. Òðåóãîëüíèêè ABF è AXH, î÷åâèäíî, ðàâíîñòîðîííèå, à BX = FH, ïîñêîëüêó íàø Ðèñ. 7 ïîâîðîò ïåðåâîäèò BX â FH. Çíà÷èò, ÀÕ + BX + CX = HX + FH + CX ≥ FC , ïîñêîëüêó ïðÿìîé ïóòü FÑ, êîíå÷íî, íå äëèííåå, ÷åì ïóòü âäîëü ëîìàíîé FÍÕÑ. Ðàâåíñòâî ìîæåò äîñòèãàòüñÿ, òîëüêî åñëè òî÷êè Í, Õ ëåæàò íà îòðåçêå FÑ. Íî òîãäà ∠CXA äîïîëíÿåò äî ðàçâåðíóòîãî óãëà óãîë ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà, à çíà÷èò, îí ðàâåí 120° . Ïî òîé æå ïðè÷èíå, ∠FHA = 120° . Íî ∠FHA = ∠BXA . Èòàê, ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ, êîãäà ∠BXA è ∠CXA ðàâíû 120° , ÷òî è òðåáîâàëîñü. Ðàññìàòðèâàÿ ýòó êàðòèíêó, ìîæíî óâèäåòü äðóãèå ñïîñîáû ïîñòðîåíèÿ òî÷êè Òîððè÷åëëè. Íàïðèìåð, èç ýòîãî ðåøåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî îíà ëåæèò íà ïðÿìîé ÑF. Âïðî÷åì, ýòî ìîæíî áûëî çàìåòèòü è ðàíüøå: ïî òåîðåìå î âïèñàííîì óãëå (â îêðóæíîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè A, B, F, T), ∠FTA = 60° , ïîýòîìó óãëû FTA è ATC ñìåæíûå. Êðîìå òîãî, îòðåçîê ÑF ðàâåí òîé ñàìîé ìèíèìàëüíîé ñóììå ðàññòîÿíèé. Àíàëîãè÷íî, åñëè ìû ïîñòðîèì ðàâíîñòîðîííèå òðåóãîëüíèêè BCD è ACE âîâíå íà äðóãèõ äâóõ ñòîðîíàõ òðåóãîëüíèêà, òî îòðåçêè AD è BE áóäóò èìåòü òàêóþ æå äëèíó è áóäóò ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó Òîððè÷åëëè, ïðè÷åì îòðåçêè AD, BE, CF áóäóò ïåðåñåêàòüñÿ â òî÷êå T ïîä ðàâíûìè óãëàìè (ðèñ.8). Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ÷åðåç òî÷êó Òîððè÷åëëè ïðîõîäÿò óæå 6 ëèíèé: ïðÿìûå AD, BE, CF è îêðóæíîñòè, îïèñàííûå âîêðóã òðåóãîëüíèêîâ ABF, BCD, Ðèñ. 8 ACE! Òåì ñàìûì, ìîæíî ñòðîèòü òî÷êó Òîððè÷åëëè êàê ïåðåñå÷åíèå ëþáûõ äâóõ èç ýòèõ ëèíèé íàïðèìåð, äâóõ ïðÿìûõ. Óïðàæíåíèå 2. Ïóñòü KLM ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê, Z òî÷êà íà äóãå KM åãî îïèñàííîé îêðóæíîñòè. Äîêàæèòå, ÷òî ZK + ZM = ZL. Óêàçàíèå: KLM ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê, ïîñòðîåííûé íà ñòîðîíå KM òðåóãîëüíèêà KZM. Òðåòüå ðåøåíèå (ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç) Äëÿ òðåòüåãî ðåøåíèÿ íàì ïîíàäîáÿòñÿ íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ èç ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà (êòî áîèòñÿ ïðîèçâîäíûõ, ìîæåò åãî ïðîïóñòèòü). Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ îò äâóõ ïåðåìåííûõ f ( x, y ) , îïðåäåëåííóþ äëÿ òî÷åê X ïëîñêîñòè ñ êîîðäèíàòàìè ( x, y ) . Åñëè ñ÷èòàòü ïåðåìåííóþ y ïîñòîÿí- " ÊÂÀÍT 2014/¹3 íîé, ýòà ôóíêöèÿ ïðåâðàùàåòñÿ â îáû÷íóþ ôóíêöèþ îò îäíîé ïåðåìåííîé x. Ïðîèçâîäíàÿ ïîëó÷åííîé ôóíêöèè (åñëè îíà ñóùåñòâóåò) íàçûâàåòñÿ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé ïî x ôóíêöèè f (îáîçíà÷åíèå: ∂f ∂x ). Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî y. Ãðàäèåíòîì ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ âåêòîð, ñîñòàâëåííûé èç ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ: ∂f ∂x ∇f = . ∂f ∂y Âñïîìíèì, ÷òî äëÿ ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé f ( x ) (îïðåäåëåííîé íà ÷èñëîâîé ïðÿìîé) â òî÷êå ìàêñèìóìà èëè ìèíèìóìà ïðîèçâîäíàÿ äîëæíà îáðàùàòüñÿ â íîëü (åñëè îíà ñóùåñòâóåò). Àíàëîãè÷íî, â òî÷êàõ ìàêñèìóìà èëè ìèíèìóìà ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ åå ãðàäèåíò äîëæåí îáðàùàòüñÿ â íîëü. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè À, ò.å. ôóíêöèþ f ( X ) = AX. Åå ãðàäèåíò èìååò äëèíó 1 è ñîíàïðàâëåí ñ âåêòîðîì AX. Çíà÷èò, ãðàäèåíò ôóíêöèè ñóììû ðàññòîÿíèé AX + BX + CX ðàâåí ñóììå òðåõ åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ, ñìîòðÿùèõ â íàïðàâëåíèÿõ ÀÕ, ÂÕ, ÑÕ.  òî÷êå ìèíèìóìà ýòîé ôóíêöèè ñóììà ýòèõ òðåõ åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ. Ñîãëàñíî óïðàæíåíèþ 1, ýòî âîçìîæíî, òîëüêî åñëè óãëû ìåæäó ýòèìè âåêòîðàìè ðàâíû ïî 120° . Íà ñàìîì äåëå, ïðèâåäåííîå ðàññóæäåíèå íå ïîëíî, òàê êàê ðàâåíñòâî ãðàäèåíòà íóëþ ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì, íî íå äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ìèíèìóìà (ìîæåò áûòü ìàêñèìóì èëè âîâñå îòñóòñòâèå ýêñòðåìóìà). Çàâåðøèòü ðåøåíèå ìîæíî, èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå âûïóêëîñòè ôóíêöèè (ôóíêöèè ÀÕ, ÂÕ, ÑÕ âûïóêëû âíèç, è çíà÷èò, èõ ñóììà òàêæå âûïóêëà âíèç, à â òîé òî÷êå, ãäå ãðàäèåíò ðàâåí íóëþ, äîñòèãàåòñÿ ãëîáàëüíûé ìèíèìóì âûïóêëîé âíèç ôóíêöèè). ×åòâåðòîå ðåøåíèå (ãåîìåòðèÿ êîíèê) Äëÿ ÷åòâåðòîãî äîêàçàòåëüñòâà íàì ïîòðåáóåòñÿ îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî ýëëèïñà. Ýëëèïñ ýòî ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê Õ, äëÿ êîòîðûõ ïðè íåêîòîðûõ ôèêñèðîâàííûõ òî÷êàõ À,  è ðàññòîÿíèè l > AB âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî AX + BX = l. Òî÷êè À,  íàçûâàþòñÿ ôîêóñàìè ýëëèïñà. Îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî ýëëèïñà. Ïóñòü Õ òî÷êà íà ýëëèïñå, À è  ôîêóñû ýòîãî ýëëèïñà. Òîãäà îòðåçêè ÀÕ è ÂÕ ïåðåñåêàþò êàñàòåëüíóþ â òî÷êå Õ ïîä îäíèì è òåì æå óãëîì. Ó ýòîãî ôàêòà ìîæíî íàéòè íåñêîëüêî ðàçíûõ ôèçè÷åñêèõ ñìûñëîâ. Íàïðèìåð: áèëüÿðäíûé øàðèê, âûïóùåííûé èç îäíîãî ôîêóñà ýëëèïòè÷åñêîãî áèëüÿðäíîãî ñòîëà, îòðàçèâøèñü îò ñòåíêè, ïðîéäåò ÷åðåç âòîðîé ôîêóñ. Èëè: äâà ÷åëîâåêà, íàõîäÿùèåñÿ â ðàçíûõ ôîêóñàõ áîëüøîé ýëëèïòè÷åñêîé ñêîðëóïû, ñìîãóò ìåæäó ñîáîé ãîâîðèòü áåç ìèêðîôîíà ÷òî îäèí ñêàæåò, òî äðóãîé è óñëûøèò, ñ òîé æå ãðîìêîñòüþ. Èëè: åñëè çàæå÷ü ñâå÷êó â ôîêóñå çåðêàëüíîé ýëëèïòè÷åñêîé ñêîðëóïû, òî ìû è âî âòîðîì ôîêóñå óâèäèì òàêóþ æå ãîðÿùóþ ñâå÷êó, ïîñêîëüêó âñå ëó÷è, âûõîäÿùèå èç «íàñòîÿùåé» ñâå÷êè, ïðîéäóò è ÷åðåç âòîðîé ôîêóñ. Ïîâèäèìîìó, èìåííî ïîñëåäíèé ïðèìåð äàë íàçâàíèå ýòîé òåîðåìå. Çàìåòèì, ÷òî èç-çà âîëíîâîé ñòðóêòóðû ñâåòà è çâóêà, äëÿ ïîñëåäíèõ äâóõ ýôôåêòîâ âàæíî è ïåðâîå ñâîéñòâî ýëëèïñà, êîòîðîå ìû âçÿëè çà îïðåäåëåíèå. Ëó÷è, âûïóùåííûå èç îäíîãî ôîêóñà, íå ïðîñòî ïðîéäóò ÷åðåç äðóãîé ôîêóñ, íî è ïðèäóò òóäà â îäèíàêîâîé ôàçå. Äîêàçàòåëüñòâî îïòè÷åñêîãî ñâîéñòâà ýëëèïñà. Ïóñòü À è  ôîêóñû, Õ òî÷êà íà ýëëèïñå (ðèñ.9). Ïðîâåäåì ÷åðåç òî÷êó Õ êàñàòåëüíóþ ê ýëëèïñó è îòðàçèì òî÷êó  îòíîñè- òåëüíî ýòîé êàñàòåëüíîé, ïîëó÷èì òî÷êó B′ . Ïî ñóòè, íóæíî äîêàçàòü, ÷òî Õ ëåæèò íà îòðåçêå AB′ . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî íå òàê. Òîãäà âîçüìåì òî÷êó Ò ïåðåñå- Ðèñ. 9 ÷åíèÿ AB′ è êàñàòåëüíîé. Çàìåòèì, ÷òî AT + TB = ÀÒ + T B′ < ÀX + XB′ = AX + XB. Çíà÷èò, òî÷êà íà êàñàòåëüíîé ëåæèò âíóòðè ýëëèïñà ïðîòèâîðå÷èå. Ïðèìå÷àíèå. Íà ñàìîì äåëå, ìû çäåñü âîñïîëüçîâàëèñü èíòóèòèâíî î÷åâèäíûì ôàêòîì, ÷òî ýëëèïñ âûïóêëàÿ ôèãóðà. Ýòî ìîæíî âûâåñòè, íàïðèìåð, èç èçâåñòíîãî ôàêòà î òîì, ÷òî ýëëèïñ ÿâëÿåòñÿ ñå÷åíèåì öèëèíäðà èëè êîíóñà. Ïåðåéäåì ê ðåøåíèþ. Ïóñòü T′ òî÷êà, ñóììà ðàññòîÿíèé îò êîòîðîé äî âåðøèí À, Â, Ñ òðåóãîëüíèêà ìèíèìàëüíà. (Êîíå÷íî, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ òàêîé òî÷êè íóæíî ïðèìåíèòü íåêîòîðûå ôàêòû èç àíàëèçà.) Íàðèñóåì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â Ñ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç T′ , à òàêæå ýëëèïñ ñ ôîêóñàìè À, Â, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç T′ (ðèñ.10). Åñëè áû ó ýòèõ êðóãà è ýëëèïñà áûëà îáùàÿ âíóòðåííÿÿ òî÷êà Õ, òî âûïîëíÿëèñü áû íåðàâåíñòâà CX < CT′, ÀÕ + ÂÕ < AT′ + BT′ , à çíà÷èò, ñóììà ðàññòîÿíèé îò Õ äî Ðèñ. 10 âåðøèí òðåóãîëüíèêà áûëà áû ìåíüøå, ÷åì îò T′, ÷åãî íå ìîæåò áûòü. Ïîýòîìó îêðóæíîñòü êàñàåòñÿ ýëëèïñà. Îáùàÿ êàñàòåëüíàÿ îáðàçóåò ðàâíûå óãëû ñ À T ′ è ÂT′ è ïåðïåíäèêóëÿðíà ðàäèóñó. Çíà÷èò ∠AT′C = ∠BT′C . Àíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ∠AT′B = ∠BT′C , ò.å. òî÷êà T′ ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé Òîððè÷åëëè. Ïÿòîå ðåøåíèå (êëàññè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ: ïëîùàäè) Íàì ïîíàäîáèòñÿ èçâåñòíàÿ ëåììà: Ëåììà 1. Ïóñòü òî÷êà Õ íàõîäèòñÿ âíóòðè (èëè íà ñòîðîíàõ) ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà KLM è h âûñîòà ýòîãî òðåóãîëüíèêà, à k, l, m ðàññòîÿíèÿ îò Õ äî ïðÿìûõ LM, KM, KL ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà k + l + m = h. Åñëè æå Õ íàõîäèòñÿ ñíàðóæè òðåóãîëüíèêà KLM, òî k + l + m > h. Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 1. Ïóñòü ñòîðîíà ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà à. Åñëè X íàõîäèòñÿ âíóòðè, òî òðåóãîëüíèê KLM, ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà ah/2, ñîñòîèò èç òðåóãîëüíèêîâ XLM, XKM, XKL, ïëîùàäè êîòîðûõ ðàâíû ak/2, al/2, am/2 ñîîòâåòñòâåííî. Ïîýòîìó ak al am ah + + = . 2 2 2 2 Îñòàëîñü óìíîæèòü îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà íà 2 è ðàçäåëèòü íà à. Åñëè æå Õ íàõîäèòñÿ ñíàðóæè, òî òðåóãîëüíèêè XLM, XKM, XKL âìåñòå ïîêðûâàþò òðåóãîëüíèê KLM, íî òàêæå ñîäåðæàò êóñî÷êè âíå KLM, òàê ÷òî ðàâåíñòâî ïðåâðàùàåòñÿ â ñòðîãîå íåðàâåíñòâî. Óïðàæíåíèå 3. Òî÷êè A1, A2, …, A2 M äåëÿò îêðóæíîñòü íà 2Ì ðàâíûõ äóã. Ïóñòü Õ ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà âíóòðè êðóãà. Îòðåçêè XA1, XA2, …, XA2 M äåëÿò êðóã íà 2Ì îáëàñòåé. Êàæäóþ îáëàñòü êðàñÿò â ÷åðíûé èëè áåëûé öâåò òàê, ÷òîáû ñîñåäíèå îáëàñòè èìåëè ðàçíûå öâåòà. Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà áåëûõ ïëîùàäåé ðàâíà ñóììå ÷åðíûõ ïëîùàäåé. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ Òåïåðü ìû ãîòîâû ê ðåøåíèþ. Ïðîâåäåì ê ïðÿìûì ÀÒ, ÂÒ, ÑÒ ïåðïåíäèêóëÿðû â òî÷êàõ À, Â, Ñ ñîîòâåòñòâåííî. Ïîëó÷èì òðè ïðÿìûå, êîòîðûå çàäàþò ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê KLM (ðèñ. 11). Ðàññìîòðèì òî÷êó Õ, îòëè÷íóþ îò Ò. Ñóììà ðàññòîÿíèé îò Õ äî ñòîðîí òðåóãîëüíèêà KLM òàêàÿ æå èëè äàæå áîëüøå, ÷åì îò Ò. Ðèñ. 11 Ðàññòîÿíèÿ îò Õ äî òî÷åê À, Â, Ñ íå ìåíüøå, ÷åì ñîîòâåòñòâóþùèå ðàññòîÿíèÿ îò X äî ñòîðîí KLM (ñêàæåì, ðàññòîÿíèå îò Õ äî ïðÿìîé LM íå áîëüøå, ÷åì ÕA). Ïîýòîìó AX + BX + CX ≥ AT + BT + CT . Ýòî íåðàâåíñòâî ìîæåò îáðàòèòüñÿ â ðàâåíñòâî, òîëüêî åñëè îñíîâàíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðîâ, îïóùåííûõ èç Õ íà ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà KLM, ýòî òî÷êè À, Â, Ñ. Íî ýòî áû îçíà÷àëî, ÷òî Õ ëåæèò îäíîâðåìåííî íà ÀÒ, ÂÒ, ÑÒ, ò.å. ÷òî Õ ýòî è åñòü Ò. Óïðàæíåíèå 4. Ïóñòü A1 A2 … An ïðàâèëüíûé n-óãîëüíèê, R ðàäèóñ îïèñàííîé âîêðóã íåãî îêðóæíîñòè, Õ ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. Äîêàæèòå, ÷òî XA1 + XA2 + … + XAn ≥ nR . Øåñòîå ðåøåíèå (ãåîìåòðèÿ: èçîãîíàëüíîå ñîïðÿæåíèå) Äëÿ øåñòîãî äîêàçàòåëüñòâà ïîíàäîáèòñÿ èçîãîíàëüíîå ñîïðÿæåíèå. Ïóñòü äàí òðåóãîëüíèê ABC. Çàäàäèì êàæäóþ òî÷êó íà ïëîñêîñòè òðîéêîé ÷èñåë ( x, y, z ) : ðàññòîÿíèÿìè äî ïðÿìûõ ÂÑ, ÀÑ, À ñîîòâåòñâåííî. Ðàññòîÿíèÿ âîçüìåì ñî çíàêàìè: áóäåì ñ÷èòàòü ðàññòîÿíèå äî ñòîðîíû ïîëîæèòåëüíûì, åñëè îíî íàõîäèòñÿ ïî òó æå ñòîðîíó ïëîñêîñòè, ÷òî è òðåòüÿ âåðøèíà, è îòðèöàòåëüíûì, åñëè íàîáîðîò. " ÊÐÓÆÎÊ ×àñòî èìåííî íà îñíîâå ïîñëåäíåãî ãåîìåòðè÷åñêîãî ôàêòà äàþò îïðåäåëåíèå èçîãîíàëüíîãî ñîïðÿæåíèÿ. Óïðàæíåíèå 7*. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ýëëèïñ ñ ôîêóñàìè F, G âïèñàí â òðåóãîëüíèê ÀÂÑ, òî F, G èçîãîíàëüíî ñîïðÿæåíû îòíîñèòåëüíî ýòîãî òðåóãîëüíèêà. Ìíîãî èíòåðåñíîãî ïðî èçîãîíàëüíîå ñîïðÿæåíèå ìîæíî ïðî÷èòàòü â êíèãå Â.Â.Ïðàñîëîâà «Òî÷êè Áðîêàðà è èçîãîíàëüíîå ñîïðÿæåíèå». Äîêàæåì ñëåäóþùóþ èçâåñòíóþ ëåììó: Ëåììà 2. Ïóñòü òî÷êè P è Q èçîãîíàëüíî ñîïðÿæåíû îòíîñèòåëüíî òðåóãîëüíèêà ABC, à K, L, M îñíîâàíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðîâ, îïóùåííûõ èç Q íà ïðÿìûå BC, CA, AB. Òîãäà ïðÿìàÿ AP ïåðïåíäèêóëÿðíà LM, ïðÿìàÿ BP ïåðïåíäèêóëÿðíà KM, ïðÿìàÿ CP ïåðïåíäèêóëÿðíà KL. Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 2. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ïðÿìàÿ AP ïåðïåíäèêóëÿðíà LM, îñòàëüíîå àíàëîãè÷íî. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà òî÷êè P è Q ëåæàò âíóòðè òðåóãîëüíèêà, à M è L íà åãî ñòîðîíàõ (ðèñ.12), îñòàëüíûå ñëó÷àè ðàçáèðàþòñÿ àíàëîãè÷íî. Êàê ìû çíàåì, óãëû MAP è QAL ðàâíû. À ïîñêîëüêó ÷åòûðåõóãîëüíèê MALQ âïèñàííûé (â îêðóæíîñòü ñ äèàìåòðîì AQ), óãëû QML è QAL òàêæå ðàâíû. Òàê êàê óãëû MAP è QML ðàâíû, òî óãîë ìåæäó AP è ML ðàâåí óãëó ìåæäó AM è MQ, ÷òî è òðåáîâàëîñü. Ëåììà äîêàçàíà. Åùå íàì ïîòðåáóåòñÿ òîò ôàêò, êîòîðûé ñðàçó âûòåêàåò èç ôîðìóëû ïëîùàäè ÷åòûðåõóãîëüíèêà: ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà íå áîëüøå, ÷åì ïîëîâèíà ïðîèçâåäåíèÿ åãî äèàãîíàëåé, ïðè÷åì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äèàãîíàëè ïåðïåíäèêóëÿðíû. Óïðàæíåíèÿ 5. Äîêàæèòå, ÷òî ñîîòíîøåíèå x/k = y/l ïðè çàäàííûõ k, l çàäàåò ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç Ñ. 6. Äîêàæèòå, ÷òî ñîîòíîøåíèå x/k = y/l = z/m ïðè çàäàííûõ k, l, m çàäàåò òî÷êó. Åñëè ÷èñëà k, l, m ïîëîæèòåëüíû, òî ýòà òî÷êà íàõîäèòñÿ âíóòðè òðåóãîëüíèêà. Ïîýòîìó òðîéêà ( x, y, z ) çàäàåò òî÷êó îäíîçíà÷íî. Áîëåå òîãî, íå âñÿêàÿ òðîéêà çàäàåò òî÷êó, à òîëüêî òàêàÿ, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó xa + yb + zc = 2S, ãäå a, b, c ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, à S åãî ïëîùàäü. Åñëè âû ðåøèëè ïîñëåäíèå äâà óïðàæíåíèÿ, òî âàì áóäåò ëåãêî ïîíÿòü ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå: Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü ðàññòîÿíèÿ (ñî çíàêàìè) îò òî÷êè P äî ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ðàâíû x, y, z, à ðàññòîÿíèÿ (ñî çíàêàìè) îò òî÷êè Q äî ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ðàâíû k, l, m. Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî òî÷êè P è Q èçîãîíàëüíî ñîïðÿæåíû äðóã äðóãó (îòíîñèòåëüíî òðåóãîëüíèêà ABC), åñëè kx = = ly = mz. Èç óïðàæíåíèÿ 5 âèäíî, ÷òî åñëè P è Q èçîãîíàëüíî ñîïðÿæåíû, òî ïðÿìûå ÀP è AQ ñèììåòðè÷íû äðóã äðóãó îòíîñèòåëüíî áèññåêòðèñû óãëà À òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ (è àíàëîãè÷íî, ÂP è BQ ñèììåòðè÷íû äðóã äðóãó îòíîñèòåëüíî áèññåêòðèñû óãëà Â, à ÑP è ÑQ ñèììåòðè÷íû äðóã äðóãó îòíîñèòåëüíî áèññåêòðèñû óãëà Ñ). Îòñþäà ïîëó÷àåòñÿ âûâîä, êîòîðûé ðàíüøå ìîã ïîêàçàòüñÿ íåî÷åâèäíûì: Ïóñòü P ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà, îòëè÷íàÿ îò âåðøèí òðåóãîëüíèêà ABC. Åñëè îòðàçèòü ïðÿìûå ÀP, ÂP, ÑP îòíîñèòåëüíî ñîîòâåòñòâóþùèõ áèññåêòðèñ òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ, òî òðè ïîëó÷åííûå ïðÿìûå ëèáî áóäóò ïåðåñåêàòüñÿ â îäíîé òî÷êå (è òîãäà ýòà òî÷êà èçîãîíàëüíî ñîïðÿæåíà ê Q), ëèáî áóäóò ïàðàëëåëüíû. Ðèñ. 12 Ðèñ. 13 Âîçâðàòèìñÿ ê íàøåé çàäà÷å î òî÷êå Òîððè÷åëëè T è îáîçíà÷èì ÷åðåç N èçîãîíàëüíî ñîïðÿæåííóþ ê íåé òî÷êó (ýòà òî÷êà íàçûâàåòñÿ òî÷êîé Àïîëëîíèÿ). Ïóñòü K, L, M îñíîâàíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðîâ, îïóùåííûõ èç òî÷êè N íà ïðÿìûå BC, CA, AB ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ.13). Ïî äîêàçàííîé íàìè ëåììå, ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà KLM ïåðïåíäèêóëÿðíû ïðÿìûì ÀÒ, ÂÒ, ÑÒ, à çíà÷èò, îíè îáðàçóþò ìåæäó ñîáîé óãëû â 60° . Ñëåäîâàòåëüíî, KLM ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê, äëèíó åãî ñòîðîíû îáîçíà÷èì ÷åðåç k. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè X èìååì k ⋅ ( AX + BX + CX ) = LM ⋅ AX + KM ⋅ BX + KL ⋅ CX ≥ ≥ 2 ( SLAMX + SKBMX + SKCLX ) ≥ 2SABC . Çíà÷èò, AX + BX + CX ≥ 2S ABC k . Ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ, êîãäà ïðÿìûå ÀÕ, ÂÕ, ÑÕ ïåðïåíäèêóëÿðíû LM, KM, KL ñîîòâåòñòâåííî, ò.å. ñîâïàäàþò ñ ïðÿìûìè ÀÒ, ÂÒ, ÑÒ. À ýòî è çíà÷èò, ÷òî Õ è Ò ñîâïàäàþò. ×èòàòåëü ìîæåò óñìîòðåòü ñâÿçü ìåæäó ïîñëåäíèìè äâóìÿ ðåøåíèÿìè (òðåóãîëüíèêè, îáîçíà÷åííûå KLM â ýòèõ ðåøåíèÿõ, ãîìîòåòè÷íû). Óïðàæíåíèÿ 8. Ïóñòü a, b, c ñòîðîíû íåêîòîðîãî òðåóãîëüíèêà, ïðè÷åì à ñàìàÿ ìàëåíüêàÿ ñòîðîíà. Îáîçíà÷èì ðàññòîÿíèÿ îò íåêîòî- " ÊÂÀÍT 2014/¹3 ðîé âíóòðåííåé òî÷êè òðåóãîëüíèêà äî åãî âåðøèí ÷åðåç p, q, r. Äîêàæèòå, ÷òî p + q + r < b + c. 9. Íàéäèòå òî÷êó, ñóììà ðàññòîÿíèé îò êîòîðîé äî ÷åòûðåõ äàííûõ òî÷åê ìèíèìàëüíà (íóæíî ðàññìîòðåòü äâà ñëó÷àÿ: êîãäà òî÷êè îáðàçóþò âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê è êîãäà îäíà òî÷êà ëåæèò â òðåóãîëüíèêå èç òðåõ äðóãèõ òî÷åê). Ñíîâà î ðûöàðÿõ è ëæåöàõ Ë.ÁÎÉÊÎ, Ì.ÁÎÉÊÎ Í ÀÂÅÐÍßÊÀ ×ÈÒÀÒÅËÜ ÂÑÒÐÅ×ÀË ÇÀÍÈÌÀÒÅËÜÍÛÅ ÇÀ- äà÷è î ðûöàðÿõ, êîòîðûå âñåãäà ãîâîðÿò ïðàâäó, è ëæåöàõ, êîòîðûå âñåãäà âðóò. Èíîãäà â ïîäîáíûõ çàäà÷àõ ïîÿâëÿþòñÿ è äðóãèå ïåðñîíàæè. Êòî òàêèå õèòðåöû? Çàäà÷à 1 (XXVIII Òóðíèð ãîðîäîâ). Èçâåñòíî, ÷òî ëæåöû âñåãäà âðóò, ðûöàðè âñåãäà ãîâîðÿò ïðàâäó, à õèòðåöû ìîãóò è âðàòü, è ãîâîðèòü ïðàâäó. Âû ìîæåòå çàäàâàòü âîïðîñû, íà êîòîðûå âîçìîæåí îòâåò «äà» èëè «íåò» (íàïðèìåð: «Âåðíî ëè, ÷òî ýòîò ÷åëîâåê õèòðåö?»). Ïåðåä âàìè òðîå ëæåö, ðûöàðü è õèòðåö, êîòîðûå çíàþò, êòî èç íèõ êòî. Êàê è âàì ýòî óçíàòü? Ó ýòîé çàäà÷è åñòü íåñêîëüêî ðåøåíèé. Ïåðåä òåì êàê ïðî÷åñòü îäíî èç íèõ â ñëåäóþùåì àáçàöå, ïîïðîáóéòå ïðèäóìàòü ñâîå! Êëþ÷îì ê ðåøåíèþ ìîæåò ñòàòü íåêîòîðûé âîïðîñ, çàäàííûé êàæäîìó èç òðåõ ëþäåé, îòâåò íà êîòîðûé îòëè÷èò ðûöàðÿ îò ëæåöà. Íàïðèìåð, ñïðîñèì ó êàæäîãî èç òðåõ ëþäåé: «Âû õèòðåö?» Ðûöàðü îòâåòèò «íåò», ëæåö îòâåòèò «äà». ×òî áû íè îòâåòèë õèòðåö, ñðåäè òðåõ ïîëó÷åííûõ íàìè îòâåòîâ åñòü ëèáî åäèíñòâåííîå «íåò», ëèáî åäèíñòâåííîå «äà».  ïåðâîì ñëó÷àå ìû îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåì ðûöàðÿ, ñïðàøèâàÿ êîòîðîãî äàëåå ëåãêî äîáûòü èíôîðìàöèþ ïðî îñòàëüíûõ äâóõ ëþäåé. Âî âòîðîì ñëó÷àå ìû îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåì ëæåöà. Äàëåå, ñïðàøèâàÿ åãî ïðî îñòàëüíûõ ëþäåé (ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî îòâåòû ëæåöà ïðîòèâîïîëîæíû èñòèíå), ìû îïÿòü óçíàåì èíôîðìàöèþ ïðî îñòàëüíûõ ëþäåé. Óïðàæíåíèå (XXVIII Òóðíèð ãîðîäîâ). Ïóñòü â óñëîâèÿõ çàäà÷è 1 ïåðåä âàìè ÷åòâåðî ëæåö, ðûöàðü è äâà õèòðåöà (âñå ÷åòâåðî çíàþò, êòî èç íèõ êòî). Äîêàæèòå, ÷òî õèòðåöû ìîãóò äîãîâîðèòüñÿ îòâå÷àòü òàê, ÷òî âû, ñïðàøèâàÿ ýòèõ ÷åòâåðûõ, íè ïðî êîãî èç íèõ íå óçíàåòå íàâåðíÿêà, êòî îí. ßçûêîâûå òðóäíîñòè Íî ÷òî, åñëè âû íå âïîëíå õîðîøî çíàåòå ìåñòíûé ÿçûê? Çàäà÷à 2. ×àñòü æèòåëåé íåêîãî îñòðîâà ðûöàðè, îñòàëüíûå ëæåöû. Îñòðîâèòÿíå ïîíèìàþò íàø ÿçûê, à ìû ïðî ÿçûê îñòðîâèòÿí çíàåì ëèøü, ÷òî â íåì îäíî èç ñëîâ «éà» è «âà» îçíà÷àåò «äà», à äðóãîå «íåò» (íî íå ïîìíèì òî÷íî, êàê èìåííî). Ïóñòü ìû âñòðåòèëè äâóõ àáîðèãåíîâ, îäèí èç êîòîðûõ ðûöàðü, à äðóãîé ëæåö. Ñìîæåì ëè ìû, çàäàâ âñåãî îäèí âîïðîñ (ïðåäïîëàãàþùèé îòâåò «äà» èëè «íåò», ò.å. «éà» èëè «âà»), óçíàòü, êòî èç íèõ êòî? Õîòåëîñü áû ðàñøèðèòü ñâîþ êîëëåêöèþ ðåøåíèé çàìå÷àòåëüíîé çàäà÷è î òî÷êå Òîððè÷åëëè. Åñëè âû íàéäåòå åùå îäíî êðàñèâîå ðåøåíèå, ïðèñûëàéòå åãî, ïîæàëóéñòà, àâòîðó ïî àäðåñó [email protected] Íàø âîïðîñ äîëæåí áûòü «èíäèêàòîðîì» ðûöàðåé è ëæåöîâ: ò.å. ëèáî ðûöàðè âñåãäà íà íåãî äîëæíû îòâå÷àòü «éà», à ëæåöû âñåãäà «âà», ëèáî íàîáîðîò. Çàäàäèì ëþáîìó èç àáîðèãåíîâ âîïðîñ «Éà ýòî Äà?» Âàðèàíò 1. Ïóñòü «éà» îçíà÷àåò «äà». Òîãäà ðûöàðü íà òàêîé âîïðîñ äîëæåí îòâå÷àòü «äà», ò.å. «éà». Ëæåö æå äîëæåí îòâåòèòü íà òàêîé âîïðîñ «íåò», ò.å. «âà». Âàðèàíò 2. Ïóñòü «éà» îçíà÷àåò «íåò». Òîãäà ðûöàðü íà òàêîé âîïðîñ îòâå÷àåò «íåò», ò.å. ýòî îïÿòü æå «éà»! À ëæåö äîëæåí îòâåòèòü «äà», ò.å. ñíîâà «âà»! Èòàê, ðûöàðü íà íàø âîïðîñ âñåãäà îòâå÷àåò «éà», à ëæåö «âà». Çàäà÷à ðåøåíà. Íåìíîãî èñòîðèè  1992 ãîäó àìåðèêàíñêèé ôèëîñîô è ëîãèê Äæîðäæ Áóëîñ îïóáëèêîâàë çàäà÷ó, êîòîðóþ îí íàçâàë «Càìîé ñëîæíîé ëîãè÷åñêîé çàäà÷åé». Âíåøíå «Ñàìàÿ ñëîæíàÿ çàäà÷à» ïîõîæà íà ðàçîáðàííóþ âûøå çàäà÷ó 1, íî â íåé èìååòñÿ äîïîëíèòåëüíàÿ ñëîæíîñòü, êîòîðàÿ áûëà â çàäà÷å 2: ïåðñîíàæè ïîíèìàþò íàø ÿçûê, íî îòâå÷àþò íàì èñêëþ÷èòåëüíî íà ñâîåì ÿçûêå, êîòîðûé íåïîíÿòåí íàì. Äæ.Áóëîñ íàçûâàåò ïåðñîíàæåé ìèôè÷åñêèìè áîãàìè, ìû æå ïîçâîëèì ñåáå ñîõðàíèòü áîëåå ïðèâû÷íûå ïåðñîíàæè. Êðîìå òîãî, ýòî êàæåòñÿ íàì áîëåå åñòåñòâåííûì, ïîñêîëüêó àâòîðîì «Càìîé ñëîæíîé çàäà÷è» Äæ.Áóëîñ óêàçûâàåò Ðýéìîíäà Ñìàëëèàíà. Íàì íåèçâåñòíî, äåéñòâèòåëüíî ëè ýòî òàê, íî áåçóñëîâíî Ð.Ñìàëëèàí íàèáîëåå èçâåñòíûé ïîïóëÿðèçàòîð çàäà÷ òàêîãî ðîäà. Àâòîðû íàñòîÿùåé ñòàòüè ñ áîëüøèì èíòåðåñîì â øêîëå ðåøàëè ëîãè÷åñêèå çàäà÷è èç êíèã Ð.Ñìàëëèàíà.  ðóññêîì ïåðåâîäå ýòîé êíèãè, êàê ïðàâèëî, èñïîëüçîâàëèñü èìåííî òàêèå ïåðñîíàæè: ðûöàðè è ëæåöû. Ïîñòàíîâêà «Ñàìîé ñëîæíîé ëîãè÷åñêîé çàäà÷è» Èòàê, äàäèì òî÷íóþ ôîðìóëèðîâêó «Ñàìîé ñëîæíîé ëîãè÷åñêîé çàäà÷è». Çàäà÷à 3. Íà îñòðîâå Éàâà ëþäè äåëÿòñÿ íà òðè òèïà: ðûöàðè òå, êòî âñåãäà ãîâîðÿò ïðàâäó; ëæåöû òå, êòî âñåãäà âðóò; è õèòðåöû òå, êòî ìîãóò ãîâîðèòü êàê ïðàâäó, òàê è ëîæü. Ïðåäïîëîæèì, ïåðåä íàìè òðè ÷åëîâåêà ìèñòåð A, ìèñòåð Á, ìèñòåð Â. Ìû çíàåì, ÷òî ñðåäè íèõ ðîâíî îäèí ðûöàðü, îäèí ëæåö è îäèí õèòðåö, íî ìû íå çíàåì, êòî èç íèõ êòî. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü, êòî èç ëþäåé ðûöàðü, êòî ëæåö, à êòî õèòðåö, çàäàâ íå áîëåå òðåõ âîïðîñîâ. Âîïðîñû äîëæíû áûòü òàêèìè, ÷òîáû íà íèõ ìîæíî áûëî îòâåòèòü «äà» èëè «íåò». Êàæäûé âîïðîñ çàäàåòñÿ òîëüêî îäíîìó ÷åëîâåêó. Äîïîëíèòåëüíàÿ ñëîæíîñòü ñîñòîèò â òîì, ÷òî îñòðîâèòÿíå ïîíèìàþò íàø ÿçûê, íî îòâå÷àþò íàì èñêëþ÷èòåëüíî íà ñâîåì ÿçûêå. Ìû çíàåì, ÷òî â ýòîì ÿçûêå åñòü äâà ñëîâà «éà» è «âà», êîòîðûå îçíà÷àþò «äà» è «íåò», íî ìû íå çíàåì, êàêîå èìåííî ñëîâî îçíà÷àåò «äà», à êàêîå «íåò». Äàäèì íåñêîëüêî ïîÿñíåíèé ê ôîðìóëèðîâêå, êîòîðûå óêàçûâàåò â ñâîåé ñòàòüå Äæ.Áóëîñ. i Ìîæíî çàäàâàòü îäíîìó ÷åëîâåêó áîëåå ÷åì îäèí âîïðîñ (â òàêîì ñëó÷àå äðóãèì ëþäÿì ìîæåò áûòü íå çàäàíî íè îäíîãî âîïðîñà). ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ i Êàêîâ áóäåò ñëåäóþùèé âîïðîñ è êîìó îí áóäåò çàäàí, ìîæåò çàâèñåòü îò îòâåòà íà ïðåäûäóùèé âîïðîñ. i Íåëüçÿ çàäàâàòü âîïðîñû-ïàðàäîêñû, íà êîòîðûå ìîæíî îòâåòèòü è «äà» è «íåò» èëè íèêàê íåëüçÿ îòâåòèòü. Íàïðèìåð, «Òû ñåé÷àñ îòâåòèøü «éà»?» i Õèòðåö îòâå÷àåò íà âîïðîñû ñîâåðøåííî ïðîèçâîëüíî. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî êàæäûé ðàç îí ïîäáðàñûâàåò ìûñëåííî ìîíåòêó è åñëè âûïàäàåò îðåë îí îòâå÷àåò ïðàâäó, à åñëè ðåøêà ëæåò. Äîáàâèì ê ýòîìó, ÷òî, êîíå÷íî æå, ìèñòåðû À, Á è  çíàþò äðóã äðóãà è çíàþò, êòî èç íèõ ëæåö, êòî ðûöàðü, à êòî õèòðåö. Ïåðåä òåì êàê èçëîæèòü ðåøåíèå, ââåäåì äâå ìûñëåííûå êîíñòðóêöèè. Ìèñòåð Éà, ìèñòåð Âà è ìèñòåð Õè Âûøå ìû íàçâàëè ðûöàðåì ÷åëîâåêà, êîòîðûé âñåãäà ãîâîðèò ïðàâäó. Äðóãèìè ñëîâàìè ìîæíî ñêàçàòü òàê: ðûöàðü ýòî ÷åëîâåê, êîòîðûé îòâå÷àåò «äà», åñëè óòâåðæäåíèå, ñôîðìóëèðîâàííîå â âîïðîñå, èñòèííî.  òî æå âðåìÿ ëæåö ýòî òîò, êòî îòâå÷àåò íà òàêîå óòâåðæäåíèå «íåò». Âñïîìíèì, ÷òî îñòðîâèòÿíå èñïîëüçóþò ñâîé ÿçûê. Òàêèì îáðàçîì, íà âîïðîñ, â êîòîðîì ñôîðìóëèðîâàíî èñòèííîå óòâåðæäåíèå, è ëæåö è ðûöàðü îòâå÷àþò ëèáî âñåãäà «éà», ëèáî âñåãäà «âà». Òîìó, êòî îòâå÷àåò «éà», äàäèì âòîðîå èìÿ ìèñòåð Éà. À òîãî, êòî îòâå÷àåò âñåãäà «âà», áóäåì íàçûâàòü ìèñòåð Âà. Íàêîíåö, õèòðåöà áóäåì íàçûâàòü ìèñòåð Õè. Çàìåòèì, ÷òî ìû íå ìîæåì çíàòü î ìèñòåðå Éà, ðûöàðü îí èëè ëæåö, íî ñàìè îñòðîâèòÿíå À, Á è  äîëæíû çíàòü, êòî èç íèõ êòî. Ïîýòîìó ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü íîâûå èìåíà â âîïðîñàõ. Íàïðèìåð, ìû ìîæåì ñïðîñèòü ó ìèñòåðà À: «Òû ÿâëÿåøüñÿ ìèñòåðîì Éà?» èëè ñïðîñèòü ó íåãî æå: «Ìèñòåð Á ýòî ìèñòåð Âà?» Êîëîäà êàðò Òåïåðü âîçüìåì òðè îäèíàêîâûõ ëèñòî÷êà áóìàãè è íà ïåðâîì íàïèøåì «ìèñòåð Éà», íà âòîðîì «ìèñòåð Âà», íà òðåòüåì «ìèñòåð Õè». Ïîëó÷èì òðè êàðòû êàðòó Éà, êàðòó Âà è êàðòó Õè. Åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïîëó÷àåòñÿ ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ëþäüìè è êàðòàìè. Òàêèì îáðàçîì, åñëè â âîïðîñå âñòðåòèòñÿ ïîíÿòèå «êàðòà ìèñòåðà À», îñòðîâèòÿíå äîëæíû ïîíèìàòü ýòî òàê: íóæíî ïîñìîòðåòü, êòî òàêîé ìèñòåð À ìèñòåð Éà, Âà èëè Õè, è íàéòè êàðòó, íà êîòîðîé íàïèñàíî ñîîòâåòñòâóþùåå èìÿ. Àíàëîãè÷íî íàäî ïîñòóïàòü, åñëè â âîïðîñå ïðèñóòñòâóåò ïîíÿòèå «òâîÿ êàðòà». Òåïåðü ñëîæèì ýòè òðè êàðòû â êîëîäó: ñâåðõó êàðòà Éà, ïîòîì êàðòà Âà è íèæíÿÿ êàðòà Õè. Åñëè ó íàñ íåò áóìàãè è ìû íå ìîæåì èçãîòîâèòü òàêóþ êîëîäó, ìû äîëæíû ïîïðîñèòü îñòðîâèòÿí ñäåëàòü ìûñëåííûé ýêñïåðèìåíò: ïðåäñòàâèòü ýòè òðè êàðòû èìåííî â òàêîì ïîðÿäêå. Ïî÷åìó âûáðàí èìåííî òàêîé ïîðÿäîê êàðò? ×óòü ïîçæå ìû äàäèì ýòîìó ïîÿñíåíèå.  äàëüíåéøåì â âîïðîñàõ áóäåò âñòðå÷àòüñÿ ïîíÿòèå «îäíà êàðòà ëåæèò â êîëîäå íà äðóãîé».  äàííîì ñëó÷àå ìû "! ÊÐÓÆÎÊ ïîíèìàåì ýòî òàê: êàðòà íàõîäèòñÿ â êîëîäå âûøå äðóãîé, è ýòè äâå êàðòû ÿâëÿþòñÿ ñîñåäíèìè â êîëîäå. Òàêèì îáðàçîì, â íàøåé êîëîäå êàðòà Éà ëåæèò íà êàðòå Âà, à êàðòà Âà ëåæèò íà êàðòå Õè. Íî êàðòà Éà ÍÅ ëåæèò íà êàðòå Õè. Òåïåðü ìû ìîæåì ïåðåéòè íåïîñðåäñòâåííî ê âîïðîñàì, êîòîðûå äîëæíû îïðåäåëèòü, êòî èç îñòðîâèòÿí êòî. Ðåøåíèå çàäà÷è 3 Ïåðâûé âîïðîñ Ñïðîñèì ó ìèñòåðà À ñëåäóþùåå: «Ëåæèò ëè òâîÿ êàðòà â êîëîäå íà êàðòå ìèñòåðà Á?» Äîêàæåì, ÷òî â ñëó÷àå îòâåòà «éà» íà ýòîò âîïðîñ, ìèñòåð Á íå õèòðåö (îí ðûöàðü èëè ëæåö), à â ñëó÷àå îòâåòà «âà» íà ýòîò âîïðîñ ìèñòåð  íå Õè. Çàìåòèì, ÷òî åñëè À ìèñòåð Õè, òî íè Á, íè  íå ìîãóò áûòü Õè, ÷òî íàì è íóæíî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìèñòåð À íå Õè, è ðàññìîòðèì âàðèàíòû åãî îòâåòîâ íà âîïðîñ. Ïóñòü À îòâåòèë «éà». Âàðèàíò 1: ìèñòåð À ýòî ìèñòåð Éà. Òîãäà óòâåðæäåíèå â âîïðîñå èñòèííî, è êàðòà ìèñòåðà À ýòî êàðòà Éà. Òàê êàê â êîëîäå êàðòà Éà ëåæèò íà êàðòå Âà, òî ìèñòåð Á ýòî ìèñòåð Âà. Âàðèàíò 2: ìèñòåð À ýòî ìèñòåð Âà. Ðàç ìèñòåð Âà îòâåòèë «éà», òî óòâåðæäåíèå «êàðòà ìèñòåðà À ëåæèò íà êàðòå ìèñòåðà Á» ëîæíî. Çíà÷èò, êàðòà Âà íå ëåæèò íà êàðòå ìèñòåðà Á. Ïî îïðåäåëåíèþ êîëîäû êàðòà Âà ëåæèò íà êàðòå Õè. Çíà÷èò, ìèñòåð Á íå Õè. Ïóñòü À îòâåòèë «âà». Âàðèàíò 1: ìèñòåð À ýòî ìèñòåð Éà. Óòâåðæäåíèå â âîïðîñå ëîæíî. Êàðòà Éà ëåæèò â êîëîäå íà êàðòå Âà è íå ëåæèò íà êàðòå Õè. Çíà÷èò, ìèñòåð Á ýòî Õè, à ìèñòåð  ýòî ìèñòåð Âà. Âàðèàíò 2: ìèñòåð À ýòî ìèñòåð Âà. Óòâåðæäåíèå èñòèííî. Êàðòà Âà ëåæèò â êîëîäå íà êàðòå Õè. Çíà÷èò, ìèñòåð Á ýòî Õè, à ìèñòåð  ýòî ìèñòåð Éà. Âòîðîé âîïðîñ Ïåðâûì âîïðîñîì ìû èç ìèñòåðîâ Á è  îïðåäåëèëè òîãî, êîòîðûé òî÷íî íå ÿâëÿåòñÿ õèòðåöîì. Âòîðîé âîïðîñ íóæíî çàäàòü èìåííî ýòîìó, íå ÿâëÿþùåìóñÿ õèòðåöîì, îñòðîâèòÿíèíó.  îáîèõ ñëó÷àÿõ âîïðîñ áóäåò îäèí è òîò æå è áóäåò î÷åíü ïîõîæ íà ïðåäûäóùèé: «Ëåæèò ëè òâîÿ êàðòà â êîëîäå íà êàðòå ìèñòåðà À?» Êàê ìû âèäåëè âûøå, îòâåò íà ýòîò âîïðîñ óêàçûâàåò íàì ñðåäè äâóõ îñòðîâèòÿí (òåõ, êîòîðûì íå àäðåñîâàí òåêóùèé âîïðîñ) îäíîãî, êîòîðûé òî÷íî íå ÿâëÿåòñÿ ìèñòåðîì Õè. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà âîïðîñ çàäàåòñÿ Á. Òîãäà èëè À, èëè  íå Õè. Ïóñòü Â. Òîãäà Õè ýòî ìèñòåð À. Àíàëîãè÷íî âî âñåõ âîçìîæíûõ ñëó÷àÿõ ìû óçíàåì òîãî, êòî ÿâëÿåòñÿ ìèñòåðîì Õè. Òðåòèé âîïðîñ Èòàê, ïðåäûäóùèìè äâóìÿ âîïðîñàìè ìû íàøëè ñðåäè îñòðîâèòÿí ìèñòåðà Õè. Êàê è â ðåøåíèè çàäà÷è 2, çàäàäèì ëþáîìó èç äâóõ îñòàâøèõñÿ æèòåëåé îñòðîâà âîïðîñ-«èíäèêàòîð» ðûöàðåé è ëæåöîâ «Éà ýòî Äà?» è òåì ñàìûì óçíàåì, êòî åñòü êòî. Àëãîðèòì ïðåäúÿâëåí è çàäà÷à ðåøåíà! Ïðèâåäåííîå ðåøåíèå èäåéíî áëèçêî ê îðèãèíàëüíîìó ðåøåíèþ Äæ. Áóëîñà. Îäíàêî äâå ìûñëåííûå êîíñòðóêöèè íîâûå èìåíà ëþäåé è êîëîäà êàðò (îòíîøåíèå ñðåäè íîâûõ èìåí) ïîçâîëèëè èçáåæàòü óñëîâíûõ âûñêàçûâàíèé, à "" ÊÂÀÍT 2014/¹3 òàêæå ãðîìîçäêèõ êîíñòðóêöèé ïðè ïîñòðîåíèè âîïðîñîâ, çàäàâàåìûõ îñòðîâèòÿíàì, â îðèãèíàëüíîì ðåøåíèè. Íàïîñëåäîê íåáîëüøîå çàêëþ÷åíèå, êîòîðîå ìû àäðåñóåì ÷èòàòåëÿì, æåëàþùèì ðàçîáðàòüñÿ, îòêóäà âçÿëîñü òàêîå ðåøåíèå è êàê ìîæíî áûëî åãî ïðèäóìàòü. Ïîÿñíåíèå ê âûáîðó êîëîäû è ôîðìóëèðîâêå âîïðîñîâ Ïåðâûé è âòîðîé âîïðîñû Êàê ìû âèäåëè, öåëü ïåðâîãî âîïðîñà, êàê è â ðåøåíèè Äæ. Áóëîñà, íàéòè îñòðîâèòÿíèíà, êîòîðûé íå ìèñòåð Õè (ò.å. èëè ðûöàðü, èëè ëæåö). Ïåðâûé âîïðîñ ìû çàäàâàëè ìèñòåðó À. Ñëó÷àé, êîãäà ìèñòåð À ýòî ìèñòåð Õè, ìåíåå èíòåðåñåí. Êàêîé áû âîïðîñ ìû íè çàäàâàëè, îòâåò íà íåãî ìèñòåðà À íå èìååò áîëüøîé öåííîñòè äëÿ íàñ (ìû íå çíàåì, ñêàçàë îí ïðàâäó èëè ëîæü). Áîëåå òîãî, ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ïåðâûì âîïðîñîì ìû íå ìîæåì èñêëþ÷èòü ìèñòåðà À èç ñïèñêà âîçìîæíûõ êàíäèäàòîâ äëÿ ìèñòåðà Õè. Çíà÷èò, íàøà öåëü: ïåðâûì âîïðîñîì óçíàòü, ÷òî èëè ìèñòåð Á íå Õè, èëè  íå Õè. Öåííîñòü æå ñëó÷àÿ, êîãäà ìèñòåð À ýòî ìèñòåð Õè, êàê ðàç â òîì, ÷òî òîãäà îáà ìèñòåðà (è Á, è Â) íå ÿâëÿþòñÿ ìèñòåðîì Õè! Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìèñòåð À ýòî èëè ìèñòåð Éà, èëè ìèñòåð Âà. Åñëè áû ìû ïðèäóìàëè òàêîé âîïðîñ, ÷òî îòâåò «éà» íà íåãî îçíà÷àë áû, ÷òî ìèñòåð Á íå ìèñòåð Õè, à îòâåò «âà» îçíà÷àë áû, ÷òî ìèñòåð  íå ìèñòåð Õè, òî ìû äîñòèãëè áû ïîñòàâëåííîé öåëè. Ïðåäïîëîæèì, ìû íàøëè òàêîé âîïðîñ, çàäàëè åãî è ïîëó÷èëè îòâåò «éà». Ðàññìîòðèì, êàêèå âàðèàíòû ìîãóò áûòü äëÿ ìèñòåðà À. Ïóñòü ìèñòåð À ýòî ìèñòåð Éà. Îòâåò «éà» íà êàêîé-ëèáî âîïðîñ òîãäà îçíà÷àåò, ÷òî óòâåðæäåíèå â âîïðîñå èñòèííî. Ìû õîòèì, ÷òîáû îíî Êàê Àðõèìåä âçâåñèë ïàðàáîëó? (Íà÷àëî ñì. íà ñ. 37) Ïðè ýòîì çàäà÷ó ñôîðìóëèðóåì íåñêîëüêî äðóãèì îáðàçîì: êàêîé äîëæíà áûòü ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ÀΠâ ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ, ñ÷èòàÿ âåñ ñàìîé ÷àøè è òðîñèêîâ ïðåíåáðåæèìî ìàëûì? Ðåøèì ýòó çàäà÷ó ñ ïîìîùüþ ïðàâèëà ðû÷àãà, ïðèìåíÿÿ åãî ê âûäåëåííûì áåëûì öâåòîì âåðòèêàëüíûì ôðàãìåíòàì òðåóãîëüíèêà è ïàðàáîëû. Çàìåòèì, ÷òî ïàðàÐèñ.2 áîëà îñòàåòñÿ ëåæàòü íà ïðàâîé ÷àøå, è ïîýòîìó ïëå÷î ðû÷àãà äëÿ êàæäîãî èç åå ôðàãìåíòîâ ðàâíî l, òàê êàê ñèëà òÿæåñòè ýòîãî ôðàãìåíòà ïåðåäàåòñÿ ÷åðåç ñèëó íàòÿæåíèÿ íèòåé â òî÷êó Ñ è íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî âíèç. Åñëè ñ÷èòàòü øèðèíó ôðàãìåíòîâ ðàâíîé ∆x , òî ðàâåíñòâî ìîìåíòîâ ñèë îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î ñëåâà è ñïðàâà áóäåò èìåòü âèä x h ∆x ⋅ x = ax2∆x ⋅ l , îòêóäà h = al 2 . l Çíà÷èò, ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ÀΠäîëæíà áûòü ðàâíà SAOB = al 3 . 2 îçíà÷àëî: ìèñòåð Á íå ìèñòåð Õè, ò.å. îí ìèñòåð Âà (âåäü ìèñòåð Éà â íàøåì ñëó÷àå ýòî ìèñòåð À). Äðóãèìè ñëîâàìè, óòâåðæäåíèå äîëæíî îçíà÷àòü: «Åñëè À ýòî Éà, òî Á Âà». Ïóñòü òåïåðü ìèñòåð À ýòî ìèñòåð Âà. Çíà÷èò, óòâåðæäåíèå â âîïðîñå ëîæíî. Ìû õîòèì ÷òîáû ýòà ëîæü è â ýòîì ñëó÷àå îçíà÷àëà, ÷òî ìèñòåð Á ýòî íå Õè. Ñòðîÿ îòðèöàíèå, ïîëó÷àåì, ÷òî èçíà÷àëüíûé âîïðîñ äîëæåí çâó÷àòü òàê: «Åñëè À ýòî Âà, òî Á Õè». Îñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ ñàìîñòîÿòåëüíî ïðîâåðèòü, ÷òî â ñëó÷àå îòâåòà «âà», èìåííî ýòè óòâåðæäåíèÿ â îáîèõ âàðèàíòàõ îçíà÷àþò, ÷òî ìèñòåð Á ýòî Õè, à çíà÷èò  ýòî íå ìèñòåð Õè. Èòàê, ìû óñòàíîâèëè, ÷òî äëÿ äîñòèæåíèÿ íàøåé öåëè è íàõîæäåíèÿ íóæíîãî âîïðîñà ìû äîëæíû íàéòè íåêóþ ñâÿçü (óñòàíîâèòü êàêîå-òî îòíîøåíèå) ìåæäó Éà è Âà, à òàêæå ìåæäó Âà è Õè. Ïðè÷åì, êàê ìû âèäèì, ñâÿçü äîëæíà áûòü îäíîñòîðîííÿÿ. Âîò ïî÷åìó íàì ïîíàäîáèëàñü êîëîäà êàðò, â êîòîðîé ïîíÿòèå «îäíà êàðòà ëåæèò íà äðóãîé» ýòî êàê ðàç íåîáõîäèìàÿ íàì ñâÿçü! Âòîðîé âîïðîñ áûë âûáðàí òàêèì æå, ïîñêîëüêó îí, î÷åâèäíî, ïîìîãàåò îïðåäåëèòü ìèñòåðà Õè. Ñâÿçü ìîæíî áûëî áû îïèñàòü è ïî-äðóãîìó, ñ ïîìîùüþ îäíîñòîðîííåãî çíàêîìñòâà (êîãäà ïåðâûé ÷åëîâåê çíàåò âòîðîãî, íî âòîðîé ìîæåò íå çíàòü ïåðâîãî). Ïðè ýòîì âîïðîñû èç ðåøåíèÿ ñòàíóò áîëåå ëàêîíè÷íûìè, ñêàæåì «Òû çíàåøü ìèñòåðà Á?» âìåñòî «Ëåæèò ëè òâîÿ êàðòà â êîëîäå íà êàðòå ìèñòåðà Á?» Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî óñëîâèþ âñå òðè îñòðîâèòÿíèíà çíàêîìû äðóã ñ äðóãîì âîçíèêàåò ïóòàíèöà ñ ïîíÿòèåì «çíàêîìñòâî». Òðåòèé âîïðîñ Âîïðîñîâ-«èíäèêàòîðîâ» ðûöàðåé è ëæåöîâ ìíîãî. Äîêàæèòå, ÷òî ïîäîéäåò, íàïðèìåð, âîïðîñ «Ðûöàðü ýòî ìèñòåð Éà?» Èçâåñòíî, ÷òî öåíòð òÿæåñòè ëþáîãî òðåóãîëüíèêà íàõîäèòñÿ â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí, êîòîðàÿ èõ äåëèò â îòíîøåíèè 2:1. Ïîýòîìó ïëå÷î ñèëû òÿæåñòè òðåóãîëüíèêà 2 l . Íàïèøåì òåïåðü ÀΠîòíîñèòåëüíî òî÷êè Î ðàâíî 3 ïðàâèëî ðû÷àãà äëÿ âñåõ ñèë, äåéñòâóþùèõ â ñèñòåìå â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ. Ñëåâà äåéñòâóåò «ñèëà òÿæåñòè òðåó2 ãîëüíèêà» SAOB ñ ïëå÷îì l , ñïðàâà íåèçâåñòíûé «âåñ 3 ïàðàáîëû» S ñ ïëå÷îì l. Ïðè ðàâíîâåñèè ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî: al 3 2 ⋅ l = S ⋅l , 2 3 îòêóäà íàõîäèì ïëîùàäü ïàðàáîëû: al 3 S= . 3 Íà ðèñóíêå 3 ôèãóðà KLM âïèñàíà â ïðÿìîóãîëüíèê KLMN, ïðè÷åì Ðèñ.3 ïëîùàäü ïîä ïàðàáîëîé ñîñòàâëÿåò 1/3 ïëîùàäè ïðÿìîóãîëüíèêà. Òàêèì îáðàçîì, ïðèìåíèâ ïðàâèëî ðû÷àãà, Àðõèìåäó óäàëîñü îïðåäåëèòü ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé ôèãóðû, èëè, êàê ãîâîðÿò, îïðåäåëèòü êâàäðàòóðó ïàðàáîëû íàéòè ïðÿìîóãîëüíèê ðàâíîé ïëîùàäè. Âñå ñâîè ïèñüìà, ñîäåðæàùèå íàó÷íûå ðàáîòû, Àðõèìåä êîí÷àë îäèíàêîâî: «Áóäü çäîðîâ!» Ê ýòîìó ïðèñîåäèíÿåòñÿ è àâòîð ýòîé ñòàòüè. Ê.Áîãäàíîâ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ Ïàðû. Âëàæíîñòü À.×ÅÐÍÎÓÖÀÍ ðîñòü èñïàðåíèÿ. Äîïîëíèòåëüíàÿ æèäêîñòü áóäåò èñïàðÿòüñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà ïàð ñíîâà íå ñòàíåò íàñûùåííûì. Åñëè ïîðøåíü ïðîäîëæàòü ìåäëåííî ñäâèãàòü ââåðõ, òî â íåêîòîðûé ìîìåíò âñÿ æèäêîñòü èñïàðèòñÿ, ïîñëå ÷åãî ìàññà ïàðà ïåðåñòàíåò èçìåíÿòüñÿ, è äàâëåíèå ïàðà áóäåò èçîòåðìè÷åñêè óìåíüøàòüñÿ, êàê ó îáû÷íîãî ãàçà (ðèñ.3, êðèâàÿ ÀÂÑ). Ï ÀÐÎÌ ÍÀÇÛÂÀÞÒ ÃÀÇÎÎÁÐÀÇÍÎÅ ÔÀÇÎÂÎÅ ÑÎÑÒÎß- íèå íåêîòîðîãî âåùåñòâà. Óïîòðåáëÿÿ òåðìèí «ïàð» (à íå «ãàç»), ìû óêàçûâàåì íà òî, ÷òî ïðè äàííîé òåìïåðàòóðå ìîãóò ïðîèñõîäèòü âçàèìíûå ïðåâðàùåíèÿ ìåæäó æèäêîé è ãàçîîáðàçíîé ôàçàìè äàííîãî âåùåñòâà (ìåæäó æèäêîñòüþ è åå ïàðîì). Áîëåå òîãî, ïàðàìåòðû ïàðà (äàâëåíèå, ïëîòíîñòü, êîíöåíòðàöèÿ) äàþòñÿ îáû÷íî â ñðàâíåíèè ñ ïàðàìåòðàìè íàñûùåííîãî ïàðà, íàõîäÿùåãîñÿ â ðàâíîâåñèè ñî ñâîåé æèäêîñòüþ ïðè òîé æå òåìïåðàòóðå. Ðàâíîâåñèå ìåæäó æèäêîñòüþ è åå íàñûùåííûì ïàðîì íîñèò äèíàìè÷åñêèé õàðàêòåð. Ýòî çíà÷èò, ÷òî íåïðåðûâíî ïðîèñõîäÿò äâà ïðîöåññà ïåðåõîä ìîëåêóë èç æèäêîñòè â ïàð, ò.å. èñïàðåíèå, è ïîãëîùåíèå æèäêîñòüþ íåêîòîðîé ÷àñòè ïîäëåòàþùèõ ê åå ïîâåðõíîñòè ìîëåêóë, ò.å. êîíäåíñàöèÿ.  ñëó÷àå íàñûùåííîãî ïàðà ýòè äâà ïðîöåññà òî÷íî êîìïåíñèðóþò äðóãà. Åñëè òåìïåðàòóðà ñèñòåìû çàôèêñèðîâàíà, òî òàêàÿ êîìïåíñàöèÿ íàñòóïàåò òîëüêî ïðè îïðåäåëåííîé êîíöåíòðàöèè (ïðè îïðåäåëåííîé ïëîòíîñòè) ïàðà, ò.å. ïëîòíîñòü íàñûùåííîãî ïàðà çàâèñèò ëèøü îò åãî òåìïåðàòóðû. Èíòåíñèâíîñòü èñïàðåíèÿ ñ ðîñòîì òåìïåðàòóðû óâåëè÷èâàåòñÿ, ïîýòîìó ïëîòíîñòü íàñûùåííîãî ïàðà ρí (T ) ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ (ðèñ.1,à). Ïîñêîëüêó, â Ðèñ. 3 Ïàð, äàâëåíèå êîòîðîãî ìåíüøå äàâëåíèÿ íàñûùåííîãî ïàðà ïðè òîé æå òåìïåðàòóðå, íàçûâàþò íåíàñûùåííûì. Åñëè íåíàñûùåííûé ïàð ìåäëåííî èçîòåðìè÷åñêè ñæèìàòü, òî åãî äàâëåíèå áóäåò âîçðàñòàòü äî òåõ ïîð, ïîêà îíî íå ñðàâíÿåòñÿ ñ äàâëåíèåì íàñûùåííîãî ïàðà. Ïðè äàëüíåéøåì ñæàòèè ñèëû ïðèòÿæåíèÿ ìåæäó ìîëåêóëàìè ïàðà îêàçûâàþòñÿ äîñòàòî÷íî ñóùåñòâåííûìè äëÿ òîãî, ÷òîáû ìîëåêóëû îáúåäèíÿëèñü â êàïåëüêè æèäêîñòè. Äàâëåíèå áîëüøå ðàñòè íå áóäåò, ìàññà ïàðà áóäåò óìåíüøàòüñÿ, à ìàññà æèäêîñòè áóäåò ñîîòâåòñòâåííî óâåëè÷èâàòüñÿ (ñì. ðèñ.3, êðèâàÿ ÑÂÀ). Íåíàñûùåííûé ïàð ìîæíî ïðåâðàòèòü â íàñûùåííûé íå òîëüêî èçîòåðìè÷åñêèì ñæàòèåì, íî è èçîõîðíûì îõëàæäåíèåì. Åñëè â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè ρï < ρí è pï < pí , òî ïðè èçîõîðíîì îõëàæäåíèè ρï îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé, à ρí óìåíüøàåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà íå ñðàâíÿåòñÿ ñ ρï (ðèñ.4,à). Òåìïåðàòóðó, ïðè êîòîðîé ýòî ïðîèñõîäèò, íàçûâàþò òî÷êîé Ðèñ. 1 ñâîþ î÷åðåäü, äàâëåíèå ïàðà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òåìïåðàòóðû è êîíöåíòðàöèè ïàðà (îíè ñâÿçàíû óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ), äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà pí òàêæå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òîëüêî åãî òåìïåðàòóðû (íå çàâèñèò îò îáúåìà). Ïðè÷åì ôóíêöèÿ pí (T ) âîçðàñòàåò ãîðàçäî áûñòðåå (ðèñ.1,á), ÷åì ôóíêöèÿ ρí (T ) . Åñëè äèíàìè÷åñêîå ðàâíîâåñèå íàðóøàåòñÿ, òî ëèáî èñïàðåíèå, ëèáî êîíäåíñàöèÿ íà÷èíàþò ïðåâàëèðîâàòü, è ìàññà æèäêîñòè áóäåò ëèáî óìåíüøàòüñÿ, ëèáî óâåëè÷èâàòüñÿ. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, æèäêîñòü, íàõîäÿùóþñÿ â ðàâíîâåñèè ñî ñâîèì ïàðîì â öèëèíäðè÷åñêîì ñîñóäå ïîä ïîðøíåì ïðè ôèêñèðîâàííîé òåìïåðàòóðå (ðèñ.2). Åñëè ñäâèíóòü ïîðøåíü ââåðõ, òî äàâëåíèå è ïëîòíîñòü ïàðà ñíà÷àëà óìåíüøàòñÿ, ñêîðîñòü êîíäåíñàöèè ñòàíåò ìåíüøå, ÷åì ñêî- Ðèñ. 4 ðîñû äëÿ äàííîãî çíà÷åíèÿ ρï . Ïðè äàëüíåéøåì îõëàæäåíèè ïàð ñòàíåò íàñûùåííûì, åãî ïëîòíîñòü óìåíüøèòñÿ, íà ñòåíêàõ ïîÿâÿòñÿ êàïåëüêè æèäêîñòè. Íà ðèñóíêå 4,á èçîáðàæåí òîò æå ïðîöåññ íà ãðàôèêå çàâèñèìîñòè p (T ) : ïðè èçîõîðíîì îõëàæäåíèè íåíàñûùåííîãî ïàðà åãî äàâëåíèå ð óìåíüøàåòñÿ ïî ãàçîâûì çàêîíàì, íî äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà pí (T ) ïàäàåò ãîðàçäî áûñòðåå, è â òî÷êå ðîñû îíè ñðàâíèâàþòñÿ. Ñòåïåíü íåíàñûùåííîñòè ïàðà çàäàåòñÿ îòíîñèòåëüíîé âëàæíîñòüþ, ðàâíîé îòíîøåíèþ äàâëåíèÿ ïàðà ê äàâëåíèþ íàñûùåííîãî ïàðà ïðè òîé æå òåìïåðàòóðå: ϕ= Ðèñ. 2 pï . pí (1) Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè òåìïåðàòóðàõ, çàìåòíî ìåíüøèõ êðèòè÷åñêîé òåìïåðàòóðû (äëÿ âîäû, íàïðèìåð, Tê = 374,15 °C ), êàê äëÿ íàñûùåííîãî, òàê è äëÿ íåíàñûùåííîãî ïàðà ñ õîðîøåé òî÷íîñòüþ âûïîëíÿþòñÿ óðàâíåíèÿ ÌåíäåëååâàÊëàïåéðîíà: ρ ρ pí = í RT, pï = ï RT. Μ Μ "$ ÊÂÀÍT 2014/¹3 (Îòìåòèì, ÷òî ýòî óòâåðæäåíèå ñêîðåå íå î÷åâèäíîå, à óäèâèòåëüíîå.  ìîäåëè èäåàëüíîãî ãàçà ìû ïðåíåáðåãàåì âçàèìîäåéñòâèåì ìåæäó ìîëåêóëàìè, à â íàñûùåííîì ïàðå èìåííî ýòî âçàèìîäåéñòâèå ïðèâîäèò ê îáðàçîâàíèþ êàïåëåê æèäêîñòè.) Áëàãîäàðÿ ýòèì óðàâíåíèÿì îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà êàê îòíîøåíèå ïëîòíîñòè íåíàñûùåííîãî ïàðà ê ïëîòíîñòè íàñûùåííîãî ïàðà (ïðè òîé æå òåìïåðàòóðå): ρ ϕ= ï . (2) ρí Ïðè ýòîì àáñîëþòíîé âëàæíîñòüþ íàçûâàþò ïðîñòî ïëîòíîñòü ïàðà, à äàâëåíèå ïàðà èíîãäà íàçûâàþò óïðóãîñòüþ ïàðà. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ïðè ìåäëåííîì îõëàæäåíèè ïàð ìîæåò íà íåêîòîðîå âðåìÿ îêàçàòüñÿ â ìåòàñòàáèëüíîì ñîñòîÿíèè, â êîòîðîì ϕ > 1 (ëèíèè ÂD íà ðèñóíêàõ 3, 4); ýòî ñâÿçàíî ñ òðóäíîñòüþ îáðàçîâàíèÿ ñîâñåì ìàëåíüêèõ êàïåëåê æèäêîñòè, îáëàäàþùèõ áîëüøîé ïîâåðõíîñòíîé ýíåðãèåé. Î çàâèñèìîñòè äàâëåíèÿ íàñûùåííîãî ïàðà îò òåìïåðàòóðû ìîæíî óçíàòü, íàáëþäàÿ çà êèïåíèåì æèäêîñòè. Åñëè èíòåíñèâíî íàãðåâàòü æèäêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì âíåøíåì äàâëåíèè, òî â îáúåìå æèäêîñòè îáðàçóþòñÿ ìàëåíüêèå ïóçûðüêè, çàïîëíåííûå íàñûùåííûì ïàðîì. Ïðè òåìïåðàòóðå, ïðè êîòîðîé äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà ñðàâíèâàåòñÿ ñ âíåøíèì äàâëåíèåì, ïóçûðüêè ïåðåñòàþò ñõëîïûâàòüñÿ, îíè âñïëûâàþò, óâåëè÷èâàÿñü â ðàçìåðàõ, è âûáðàñûâàþò ïàð íàðóæó. Íàïðèìåð, õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ïðè íîðìàëüíîì àòìîñôåðíîì äàâëåíèè âîäà êèïèò ïðè 100 °C , ñëåäîâàòåëüíî, ïðè T = 373 Ê íàñûùåííûé âîäÿíîé ïàð èìååò äàâëåíèå pí = 1 àòì = 100 êÏà. Êàê óæå ãîâîðèëîñü, pí ñèëüíî çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû: ïðè 647,3 Ê pí = 221 àòì (êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà), ïðè 390 Ê pí = 180 êÏà (ñêîðîâàðêà), ïðè 340 Ê pí = 30 êÏà (íà Ýëüáðóñå), ïðè 300 Ê pí = = 3,6 êÏà, ïðè 288 Ê pí = 1,7 êÏà. Ñêàæåì íåñêîëüêî ñëîâ î òåðìîäèíàìèêå ïàðîîáðàçîâàíèÿ. Äëÿ òîãî ÷òîáû ìàññó ∆m æèäêîñòè, íàõîäÿùåéñÿ â ðàâíîâåñèè ñ íàñûùåííûì ïàðîì (ñì. ðèñ.2), èçîòåðìè÷åñêè è ðàâíîâåñíî ïðåâðàòèòü â ïàð, åé íàäî ñîîáùèòü êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q = λ∆m , ãäå λ óäåëüíàÿ òåïëîòà ïàðîîáðàçîâàíèÿ. Ïðè ýòîì ïàð ñîâåðøèò ðàáîòó ∆mRT A = pí ∆V = , Μ à âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû óâåëè÷èòñÿ íà RT ∆U = Q − A = λ − ∆m = ∆u∆m . Μ Âèäíî, ÷òî óäåëüíîå èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ∆u ïðè ïàðîîáðàçîâàíèè ìåíüøå, ÷åì óäåëüíàÿ òåïëîòà ïàðîîáðàçîâàíèÿ. Îòëè÷èå äëÿ âîäû ïðè 100 °C íåâåëèêî ïðèìåðíî 7,5%, íî è ïðåíåáðåæèìî ìàëûì åãî íå íàçîâåøü. Ìîæíî ïðèâåñòè ïðèìåðû, ãäå íàäî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó äëÿ ∆U , à íå äëÿ Q. Åñëè, íàïðèìåð, â ïóñòîé ñîñóä ôèêñèðîâàííîãî îáúåìà ââåëè íåìíîãî âîäû ìàññîé m, òî äëÿ åå èçîòåðìè÷åñêîãî èñïàðåíèÿ íàäî ñîîáùèòü åé êîëè÷åñòâî òåïëîòû ∆u ⋅ m , à íå λm (ðàáîòà ïàðà ðàâíà íóëþ). Òàê æå íàäî ïîñòóïàòü, çàïèñûâàÿ óðàâíåíèå òåïëîâîãî áàëàíñà, åñëè òåïëîîáìåí ìåæäó êîíäåíñèðóþùèìñÿ ïàðîì è âîäîé ïðîèñõîäèò â çàêðûòîì ñîñóäå ïîñòîÿííîãî îáúåìà. Íàäî ñêàçàòü, ÷òî îáû÷íî â øêîëüíûõ çàäà÷àõ îòëè÷èåì ìåæäó λ è ∆u ïðåíåáðåãàþò. Ïåðåéäåì òåïåðü ê ðåøåíèþ êîíêðåòíûõ çàäà÷.  ïåðâûõ çàäà÷àõ äëÿ ïîäñ÷åòà ìàññû ïàðà èñïîëüçóåòñÿ ïîíÿòèå îòíîñèòåëüíîé âëàæíîñòè. Çàäà÷à 1.  îäíîì ñîñóäå îáúåìîì V1 = 10 ë íàõîäèòñÿ âîçäóõ ñ îòíîñèòåëüíîé âëàæíîñòüþ ϕ1 = 40% (èëè ϕ1 = = 0,4), à â äðóãîì ñîñóäå îáúåìîì V2 = 30 ë âîçäóõ ïðè òîé æå òåìïåðàòóðå, íî ñ îòíîñèòåëüíîé âëàæíîñòüþ ϕ2 = 60% (èëè ϕ2 = 0,6). Ñîñóäû ñîåäèíåíû òîíêîé òðóáêîé ñ êðàíîì. Êàêàÿ îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü óñòàíîâèòñÿ ïîñëå îòêðûâàíèÿ êðàíà? Ðåøåíèå.  äàííîì ñëó÷àå î÷åâèäíî, ÷òî â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè ïàð áóäåò íåíàñûùåííûì. Çàïèøåì óñëîâèå ñîõðàíåíèÿ ìàññû ïàðà, èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå îòíîñèòåëüíîé âëàæíîñòè â ôîðìå (2): ϕ1ρíV1 + ϕ2ρíV2 = ϕ′ρí (V1 + V2 ) , îòêóäà íàõîäèì ϕ V + ϕ2V2 ϕ′ = 1 1 = 0,55 , èëè ϕ′ = 55% . V1 + V2 Çàäà÷à 2. Êàêóþ ìàññó âîäû íàäî äîïîëíèòåëüíî èñïàðèòü â êîìíàòå îáúåìîì V = 49,8 ì 3 , ÷òîáû ïðè òåìïåðàòóðå t1 = 27 °C ïîâûñèòü îòíîñèòåëüíóþ âëàæíîñòü îò ϕ1 = 25% äî ϕ2 = 50%? Äàâëåíèå íàñûùåííûõ ïàðîâ âîäû ïðè òåìïåðàòóðå 27 °C ðàâíî pí = 3,6 êÏà. Ðåøåíèå. Ìàññó âîäÿíûõ ïàðîâ â êîìíàòå ïðè äàííîé âëàæíîñòè íàéäåì èç óðàâíåíèÿ ÌåíäåëååâàÊëàïåéðîíà, âûðàçèâ äàâëåíèå ïàðà ÷åðåç îòíîñèòåëüíóþ âëàæíîñòü: p VΜ (ϕpí ) VΜ . (3) = m= ï RT RT Äëÿ óâåëè÷åíèÿ îòíîñèòåëüíîé âëàæíîñòè îò ϕ1 äî ϕ2 ïðè ïîñòîÿííîé òåìïåðàòóðå íàäî óâåëè÷èòü ìàññó ïàðîâ â êîìíàòå íà (ϕ − ϕ1 ) píVΜ = 324 ã ∆m = m2 − m1 = 2 . RT Îòìåòèì, ÷òî â ýòîé è â ñëåäóþùåé çàäà÷àõ ðå÷ü èäåò òîëüêî î ïàðöèàëüíîì äàâëåíèè ïàðà. Åñòü ëè â ñîñóäå åùå è âîçäóõ, äëÿ òàêèõ çàäà÷ íå ñóùåñòâåííî. Çàäà÷à 3.  çàêðûòîé òåïëèöå îáúåìîì V = 33,2 ì3 îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü âîçäóõà â äíåâíîå âðåìÿ ïðè òåìïåðàòóðå t1 = 27 °C áûëà ðàâíà ϕ1 = 75%. Êàêàÿ ìàññà ðîñû âûïàäåò â òåïëèöå íî÷üþ, êîãäà òåìïåðàòóðà ïîíèçèòñÿ äî t2 = 15 °C ? Äàâëåíèå íàñûùåííûõ ïàðîâ âîäû ïðè òåìïåðàòóðå 27 °C ðàâíî pí1 = 3,6 êÏà, ïðè òåìïåðàòóðå 15 °C pí2 = 1,7 êÏà. Ðåøåíèå.  ñîîòâåòñòâèè ñ óñëîâèåì çàäà÷è ðàçóìíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïîñêîëüêó ðîñà óæå âûïàäàåò, òî òåìïåðàòóðà îïóñòèëàñü íèæå òî÷êè ðîñû, ò.å. ïàð óæå íàõîäèòñÿ â íàñûùåííîì ñîñòîÿíèè ( ϕ2 = 1). Ìàññó ðîñû ìîæíî ðàññ÷èòàòü êàê ðàçíèöó ìåæäó íà÷àëüíîé ìàññîé ïàðà â îáúåìå òåïëèöû è êîíå÷íîé ìàññîé íàñûùåííîãî ïàðà: ϕ p VΜ pí2VΜ mðîñû = m1 − m2 = 1 í1 − = 223 ã . RT1 RT2 Åñëè áû ïðåäïîëîæåíèå î âûïàäåíèè ðîñû áûëî íåâåðíûì, òî îòâåò ïðîñèãíàëèçèðîâàë áû íàì îá ýòîì: ìàññà ðîñû îêàçàëàñü áû îòðèöàòåëüíîé. Çàäà÷à 4 (ÅÃÝ). Îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü âîçäóõà â çàêðûòîì ñîñóäå ðàâíà ϕ1 = 40%. Êàêîé áóäåò îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü ïîñëå èçîòåðìè÷åñêîãî óìåíüøåíèÿ îáúåìà â 3 ðàçà? Ðåøåíèå. Ñðåäè ïðåäëàãàåìûõ âàðèàíòîâ åñòü è îòâåò 120%, êîòîðûé âûáèðàþò ìíîãèå øêîëüíèêè. Íà ñàìîì äåëå óæå ïîñëå óìåíüøåíèÿ îáúåìà â 2,5 ðàçà ïàð ñòàíåò íàñûùåííûì, è ïðè äàëüíåéøåì ñæàòèè áóäåò ïðîèñõîäèòü êîíäåíñàöèÿ âîäû, à îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü îñòàíåòñÿ ðàâíîé 100%. Áîëüøå 100% îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü áûòü íå ìîæåò. ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ Â ñëåäóþùèõ òðåõ çàäà÷àõ ðå÷ü èäåò î äàâëåíèè ïàðà è ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âîçäóõà â ñîñóäå íåò. Çàäà÷à 5 (ÅÃÝ).  öèëèíäðå ïîä ïîðøíåì ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå t0 äîëãîå âðåìÿ íàõîäÿòñÿ òîëüêî âîäà è åå ïàð. Ìàññà æèäêîñòè â äâà ðàçà áîëüøå ìàññû ïàðà. Ïåðâîíà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ïîêàçàíî òî÷êîé 1 íà pV-äèàãðàììå (ðèñ.5,à). Ìåäëåííî ïåðåìåùàÿ ïîðøåíü, "% ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ  ñëåäóþùèõ çàäà÷àõ ðå÷ü ïîéäåò î âëàæíîì âîçäóõå, ò.å. î ñìåñè ñóõîãî âîçäóõà ñ ïàðàìè âîäû. Äàâëåíèå âëàæíîãî âîçäóõà ðàâíî ñóììå ïàðöèàëüíûõ äàâëåíèé ñóõîãî âîçäóõà è âîäÿíîãî ïàðà. Ðàçíèöà ìåæäó íèìè â òîì, ÷òî ìàññà ñóõîãî âîçäóõà â ñîñóäå íåèçìåííà, à ìàññà âîäÿíîãî ïàðà ìîæåò èçìåíÿòüñÿ çà ñ÷åò êîíäåíñàöèè èëè èñïàðåíèÿ. Çàäà÷à 8. Îïðåäåëèòå îòíîøåíèå ïëîòíîñòåé âëàæíîãî, ñ îòíîñèòåëüíîé âëàæíîñòüþ 90%, è ñóõîãî âîçäóõà ïðè òåìïåðàòóðå t = 27 °C è äàâëåíèè p0 = 1 àòì. Äàâëåíèå íàñûùåííûõ ïàðîâ âîäû ïðè ýòîé òåìïåðàòóðå ðàâíî pí = = 3,6 êÏà. Ðåøåíèå. Ïëîòíîñòü ñóõîãî âîçäóõà ðàâíà ρâ = Ðèñ. 5 îáúåì V ïîä ïîðøíåì èçîòåðìè÷åñêè óâåëè÷èâàþò îò V0 äî 6V0 . Ïîñòðîéòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè äàâëåíèÿ p â öèëèíäðå îò îáúåìà V íà îòðåçêå îò V0 äî 6V0 . Óêàæèòå, êàêèìè çàêîíîìåðíîñòÿìè âû ïðè ýòîì âîñïîëüçîâàëèñü. Ðåøåíèå. Ïîêà âñÿ âîäà íå èñïàðèòñÿ, äàâëåíèå â ñîñóäå áóäåò îñòàâàòüñÿ ðàâíûì äàâëåíèþ íàñûùåííîãî ïàðà ïðè äàííîé òåìïåðàòóðå, à ïëîòíîñòü ïàðà áóäåò íåèçìåííà è ðàâíà ïëîòíîñòè íàñûùåííîãî ïàðà. Åñëè ïðåíåáðå÷ü íà÷àëüíûì îáúåìîì âîäû, òî âñÿ âîäà èñïàðèòñÿ ïðè óâåëè÷åíèè îáúåìà îò V0 äî 3V0 (ðèñ.5,á; ãîðèçîíòàëüíûé ó÷àñòîê 12). Ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè îáúåìà îò 3V0 äî 6V0 ìàññà ïàðà ìåíÿòüñÿ íå áóäåò, äàâëåíèå óìåíüøèòñÿ â 2 ðàçà â èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå (ó÷àñòîê 23 ãèïåðáîëà). Çàäà÷à 6. Ñîñóä ñîäåðæèò æèäêîñòü è åå íàñûùåííûé ïàð. Ïðè èçîòåðìè÷åñêîì óâåëè÷åíèè îáúåìà â 4 ðàçà äàâëåíèå óìåíüøàåòñÿ â 3 ðàçà. Íàéäèòå îòíîøåíèå ìàññû ïàðà ê ìàññå æèäêîñòè â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè. Îáúåìîì æèäêîñòè ïðåíåáðå÷ü. Ðåøåíèå. Ýòà çàäà÷à â êàêîì-òî ñìûñëå îáðàòíàÿ ïðåäûäóùåé. Äàâëåíèå íà÷íåò óìåíüøàòüñÿ òîëüêî ïîñëå òîãî, êàê âñÿ æèäêîñòü èñïàðèòñÿ. Ñ ýòîãî ìîìåíòà ïàð ïîä÷èíÿåòñÿ óðàâíåíèþ ÌåíäåëååâàÊëàïåéðîíà, ò.å. óìåíüøåíèå äàâëåíèÿ â 3 ðàçà ïðîèñõîäèò ïðè óâåëè÷åíèè â 3 ðàçà îáúåìà ñîñóäà. Ñëåäîâàòåëüíî, íà ïåðâîì ýòàïå, ïîêà ïàð áûë íàñûùåííûì, îáúåì ñîñóäà óâåëè÷èëñÿ â 4/3 ðàçà. Òàê êàê ïëîòíîñòü íàñûùåííîãî ïàðà â èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå íå ìåíÿåòñÿ, òî ìàññà ïàðà çà ñ÷åò èñïàðåíèÿ óâåëè÷èëàñü â 4/3 ðàçà. Òàêèì îáðàçîì, íà÷àëüíàÿ ìàññà ïàðà â 3 ðàçà áîëüøå íà÷àëüíîé ìàññû æèäêîñòè. Çàäà÷à 7. Æèäêîñòü è åå íàñûùåííûé ïàð íàõîäÿòñÿ â öèëèíäðå ïîä ïîðøíåì ïðè íåêîòîðîé òåìïåðàòóðå, ïðè÷åì ìàññà ïàðà âäâîå áîëüøå ìàññû æèäêîñòè. Òåìïåðàòóðó ñèñòåìû èçîáàðíî ïîäíèìàþò äî t2 = 91 °C , îáúåì ïðè ýòîì óâåëè÷èâàåòñÿ íà 56%. Íà ñêîëüêî ãðàäóñîâ íàãðåëè ñîäåðæèìîå öèëèíäðà? Îáúåì æèäêîñòè ñ÷èòàòü ìàëûì ïî ñðàâíåíèþ ñ îáúåìîì öèëèíäðà. Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òåìïåðàòóðû, òî íà ïåðâîì ýòàïå, ïîêà âñÿ æèäêîñòü íå èñïàðèëàñü, äëÿ ïîääåðæàíèÿ ïîñòîÿííîãî äàâëåíèÿ íàäî ïîääåðæèâàòü ïîñòîÿííóþ òåìïåðàòóðó.  ýòîì ïðîöåññå îáúåì ìîæåò óâåëè÷èòüñÿ â 1,5 ðàçà (âíà÷àëå ìàññà æèäêîñòè âäâîå ìåíüøå ìàññû ïàðà). Äàëüíåéøåå èçîáàðíîå óâåëè÷åíèå îáúåìà â 1,56/1,5 = 1,04 ðàçà ïðîèñõîäèò ñ ïàðîì ïîñòîÿííîé ìàññû, ïîä÷èíÿþùèìñÿ óðàâíåíèþ ÌåíäåëååâàÊëàïåéðîíà, ò.å. ñ óâåëè÷åíèåì òåìïåðàòóðû òàêæå â 1,04 ðàçà. Íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ðàâíà T1 = T2 364 Ê = ≈ 350 Ê , 1,04 1,04 ò.å. ñîñóä íàãðåëè íà 14 Ê. p0Μ â . RT Ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå âîäÿíîãî ïàðà ðàâíî pï = ϕpí , à ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå âîçäóõà ñîñòàâëÿåò pâ = p0 − pï = p0 − ϕpí . Ïëîòíîñòü âëàæíîãî âîçäóõà ðàâíà ρ′â = ( p0 − pï ) Μ â RT + pïΜ ï p0Μ â pï (Μ â − Μ ï ) = − . RT RT RT Âèäíî, ÷òî ïëîòíîñòü âëàæíîãî âîçäóõà ìåíüøå ïëîòíîñòè ñóõîãî âîçäóõà. Èõ îòíîøåíèå ðàâíî ρ′â ϕp Μ = 1 − í 1 − ï = 0,988 . ρâ p0 Μâ Çàäà÷à 9.  çàêðûòîì ñîñóäå ïðè òåìïåðàòóðå 100 °C íàõîäèòñÿ âëàæíûé âîçäóõ ñ îòíîñèòåëüíîé âëàæíîñòüþ ϕ = 40% ïîä äàâëåíèåì p1 = 2 àòì. Îáúåì ñîñóäà èçîòåðìè÷åñêè óìåíüøèëè â 3 ðàçà. ×åìó áóäåò ðàâíî êîíå÷íîå äàâëåíèå? Îáúåìîì ñêîíäåíñèðîâàâøåéñÿ âîäû ïðåíåáðå÷ü. Ðåøåíèå. Äàâëåíèå íàñûùåííûõ âîäÿíûõ ïàðîâ ïðè 100 °C ðàâíî pí = p0 = 1 àòì = 100 êÏà. Ñëåäîâàòåëüíî, ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå âîäÿíîãî ïàðà â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè ðàâíî pï1 = ϕp0 = 0,4 p0 , à ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå ñóõîãî âîçäóõà ñîñòàâëÿåò pâ1 = p1 − pï1 = 2 p0 − 0,4 p0 = 1,6 p0 . Åñëè áû êîíäåíñàöèè íå áûëî, òî ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå ïàðà óâåëè÷èëîñü áû â 3 ðàçà è ñòàëî áû áîëüøå äàâëåíèÿ íàñûùåííîãî ïàðà, ÷òî íåâîçìîæíî. Çíà÷èò, â êàêîé-òî ìîìåíò êîíäåíñàöèÿ íà÷àëàñü, è ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå ïàðà ñòàëî ðàâíî äàâëåíèþ íàñûùåííîãî ïàðà: pï2 = pí = p0 . Äàâëåíèå ñóõîãî âîçäóõà óâåëè÷èëîñü â 3 ðàçà è ñòàëî ðàâíî pâ2 = 3 pâ1 = 4,8 p0 . Êîíå÷íîå äàâëåíèå â ñîñóäå áóäåò ðàâíî p2 = pâ2 + pï2 = 5,8 p0 = 580 êÏà . Çàäà÷à 10.  çàêðûòîì ñîñóäå ïðè òåìïåðàòóðå 100 °C íàõîäèòñÿ âëàæíûé âîçäóõ ïîä äàâëåíèåì p1 = = 2 àòì. Ïîñëå òîãî êàê îáúåì ñîñóäà èçîòåðìè÷åñêè óìåíüøèëè â 5 ðàç, äàâëåíèå óâåëè÷èëîñü â 4 ðàçà. ×åìó áûëà âíà÷àëå ðàâíà îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü (â ïðîöåíòàõ)? Îáúåìîì ñêîíäåíñèðîâàâøåéñÿ âîäû ïðåíåáðå÷ü. Ðåøåíèå. Åñëè áû â ïðîöåññå ñæàòèÿ êîíäåíñàöèÿ âîäû íå íà÷àëàñü, òî ìàññà ãàçà íå ìåíÿëàñü áû è äàâëåíèå óâåëè÷èëîñü áû â 5 ðàç. Ïîñêîëüêó äàâëåíèå óâåëè÷èëîñü â 4 ðàçà, òî, çíà÷èò, íà÷àëàñü êîíäåíñàöèÿ, è ñ ýòîãî ìîìåíòà ïàð "& ÊÂÀÍT 2014/¹3 íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè íàñûùåíèÿ: pï2 = pí = p0 . Ñëåäîâàòåëüíî, êîíå÷íîå ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå ñóõîãî âîçäóõà ðàâíî pâ2 = p2 − pï2 = 4 p1 − pï2 = 8 p0 − p0 = 7 p0 . Ïîñêîëüêó ìàññà ñóõîãî âîçäóõà íå ìåíÿåòñÿ, åãî íà÷àëüíîå äàâëåíèå â 5 ðàç ìåíüøå: p pâ1 = â2 = 1,4 p0 . 5 Ñëåäîâàòåëüíî, ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå âîäÿíîãî ïàðà â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè ðàâíî Çàäà÷à 13.  ñîñóäå îáúåìîì V1 = 20 ë íàõîäÿòñÿ âîäà, âîäÿíîé ïàð è âîçäóõ ïðè äàâëåíèè p1 = 3 àòì. Ïðè èçîòåðìè÷åñêîì ðàñøèðåíèè äî V2 = 40 ë â ñîñóäå ñîõðàíÿåòñÿ íåìíîãî âîäû, à äàâëåíèå óìåíüøàåòñÿ äî p2 = 2 àòì. Íàéäèòå ìàññó âîäû, èñïàðèâøåéñÿ â ïðîöåññå ðàñøèðåíèÿ. Îáúåìîì æèäêîñòè ïðåíåáðå÷ü. Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó ïàð îñòàåòñÿ íàñûùåííûì, åãî ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå íå ìåíÿåòñÿ è ñîõðàíÿåòñÿ ðàâíûì pí , à äàâëåíèå ñóõîãî âîçäóõà óìåíüøàåòñÿ â 2 ðàçà. Ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ p1 = pí + pâ1, îòêóäà íàõîäèì pí = 1 àòì . pï1 = p1 − pâ1 = 2 p0 − 1,4 p0 = 0,6 p0 , à åãî îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü ñîñòàâëÿåò 0,6 p0 p ϕ1 = ï1 ⋅ 100% = ⋅ 100% = 60% . pí p0 Çàäà÷à 11.  çàêðûòîì ñîñóäå îáúåìîì V = 83 ë íàõîäèòñÿ âëàæíûé âîçäóõ ïðè òåìïåðàòóðå t = 87 °C . Âíà÷àëå äàâëåíèå â ñîñóäå p1 = 60 êÏà, âëàæíîñòü ϕ1 = 40%. Êàêèì ñòàëî äàâëåíèå ïîñëå òîãî, êàê â ñîñóä ââåëè ∆m = 20 ã âîäû? Äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà ïðè 87 °C ñîñòàâëÿåò pí = 60 êÏà. Îáúåìîì âîäû ïðåíåáðå÷ü. Ðåøåíèå. Íàäî âûÿñíèòü, èñïàðèòñÿ ëè âñÿ äîáàâëåííàÿ âîäà è ïàð ïðè ýòîì îñòàíåòñÿ íåíàñûùåííûì èëè èñïàðèòñÿ òîëüêî ÷àñòü âîäû è ïàð ñòàíåò íàñûùåííûì. Íà÷àëüíîå ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå ïàðà ðàâíî pï1 = ϕ1pí = 24 êÏà, ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå ñóõîãî âîçäóõà ðàâíî pâ = pí pï1 = 36 êÏà. Âû÷èñëèì, êàêîå äàâëåíèå ñîçäàâàë áû äîïîëíèòåëüíûé ïàð, åñëè áû âñÿ âîäà èñïàðèëàñü: ∆pï = ∆mRT = 40 êÏà . ΜV  ýòîì ñëó÷àå ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå ïàðà áûëî áû ðàâíî 24 êÏà + 40 êÏà = 64 êÏà, ÷òî áîëüøå äàâëåíèÿ íàñûùåííîãî ïàðà. Çíà÷èò, â ñîñóäå áóäåò âîäà è íàñûùåííûé ïàð, à äàâëåíèå â ñîñóäå ñòàíåò p2 = pâ + pí = 96 êÏà . Çàäà÷à 12.  ñîñóä, çàïîëíåííûé âîçäóõîì ïðè äàâëåíèè p0 = 1 àòì ïðè òåìïåðàòóðå t0 = −23 °C , ïîìåñòèëè ìàëåíüêóþ ëüäèíêó, ïîñëå ÷åãî ãåðìåòè÷åñêè åãî çàêðûëè. Çàòåì ñîñóä íàãðåëè äî òåìïåðàòóðû t1 = 227 °C , è îêàçàëîñü, ÷òî äàâëåíèå â íåì ïîâûñèëîñü äî p1 = 3 àòì. Êàêîâà áóäåò îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü âîçäóõà â ñîñóäå ïîñëå åãî îõëàæäåíèÿ äî òåìïåðàòóðû t2 = 100 °C ? Ðåøåíèå. Âîçíèêàåò äâà âîïðîñà: áóäåò ëè ïàð íàñûùåííûì ïîñëå íàãðåâàíèÿ è åñëè íåò, òî ñòàíåò ëè îí íàñûùåííûì ïîñëå îõëàæäåíèÿ? Íà÷àëüíîå äàâëåíèå ïàðà íè÷òîæíî ìàëî, ïîýòîìó âñå íà÷àëüíîå äàâëåíèå p0 ñîçäàåòñÿ òîëüêî ñóõèì âîçäóõîì. Ïîñëå óâåëè÷åíèÿ àáñîëþòíîé òåìïåðàòóðû â 2 ðàçà äàâëåíèå ñóõîãî âîçäóõà óâåëè÷èòñÿ â 2 ðàçà è ñòàíåò pâ1 = 2 àòì. Çíà÷èò, ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå ïàðà ñîñòàâèò pï1 = p1 − pâ1 = 1 àòì. Äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà ðàâíî 1 àòì ïðè 100 °C , ïðè 227 °C îíî ãîðàçäî áîëüøå, çíà÷èò, ïîñëå íàãðåâàíèÿ â ñîñóäå âîäû íå áóäåò. Ïàð îñòàíåòñÿ íåíàñûùåííûì è ïîñëå îõëàæäåíèÿ ñîñóäà äî 100 °C , ïîñêîëüêó åãî äàâëåíèå ñòàíåò ìåíüøå pí = 1 àòì. Êîíå÷íîå äàâëåíèå ïàðà íàéäåì èç óñëîâèÿ èçîõîðíîãî îõëàæäåíèÿ: pï2 = pï1 Ñëåäîâàòåëüíî, ñîñóä íàõîäèòñÿ ïðè òåìïåðàòóðå T = 373 Ê. Ïðè ýòîì ìàññà èñïàðèâøåéñÿ âîäû ðàâíà p (V − V1 ) Μ ∆m = í 2 = 11,6 ã . RT  ñëåäóþùèõ äâóõ çàäà÷àõ êðîìå çàêîíîâ, îïèñûâàþùèõ ñâîéñòâà âîäÿíûõ ïàðîâ, èñïîëüçóþòñÿ óðàâíåíèÿ ãèäðîñòàòèêè. Çàäà÷à 14. Äëèííóþ ïðîáèðêó çàïîëíÿþò âîäîé è îïóñêàþò â øèðîêèé ñîñóä ñ âîäîé îòêðûòûì êîíöîì âíèç (ðèñ. 6,à). Äëèíà âûñòóïàþùåé íàä âîäîé ÷àñòè ïðîáèðêè ðàâíà 0,5 ì, ó âåðõíåãî êîíöà îñòàëñÿ ìàëåíüêèé ïóçûðåê âîçäóõà. Êàêîé áóäåò ðàçíèöà ìåæäó óðîâíÿìè âîäû â ïðîáèðêå è â ñîñóäå, åñëè ïðîáèðêó íàãðåòü äî 100 °C ? Ðåøåíèå. Ïðè íàãðåâàíèè äî 100 °C â ïóçûðüêå, çàïîëíåííîì âîäÿíûì ïàðîì, äàâëåíèå ïîäíèìåòñÿ äî 1 àòì, è ãðàíèöà ìåæäó Ðèñ. 6 âîäÿíûì ïàðîì è âîäîé îïóñòèòñÿ äî óðîâíÿ âîäû â ñîñóäå (ðèñ.6,á). Çàäà÷à 15.  äëèííîé U-îáðàçíîé òðóáêå íàõîäèòñÿ âîäà ïðè òåìïåðàòóðå t1 = 0 °C . Ëåâîå êîëåíî òðóáêè çàïàÿíî, ïðàâîå îòêðûòî, ðàññòîÿíèå îò çàêðûòîãî êîíöà äî óðîâíÿ âîäû h = 0,1 ì (ðèñ.7,à). Íà÷àëüíîå äàâëåíèå âîçäóõà â ëåâîì êîëåíå p0 = 1 àòì. Íà ñêîëüêî îïóñòèòñÿ óðîâåíü âîäû â ëåâîì êîëåíå, åñëè åãî íàãðåòü äî òåìïåðàòóðû t2 = 100 °C ? Ðåøåíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óðîâåíü âîäû â ëåâîì êîëåíå îïóñòèòñÿ íà x < h (âîäà íå âûëèâàåòñÿ èç ïðàâîãî êîëåíà). Ïðåíåáðåãàÿ íà÷àëüíûì äàâëåíèåì ïàðîâ, ïîëó÷èì, ÷òî êîíå÷íîå äàâëåíèå âîçäóõà â ëåâîì êîëåíå áóäåò ðàâíî ãèäðîñòàòè÷åñêîìó äàâëåíèþ âîäû â ïðàâîì êîëåíå (ðèñ.7,á): pâ2 + pí = p0 + ρg ⋅ 2x , à ïîñêîëüêó ïðè 100 °C pí = p0 , òî pâ2 = 2ρgx . Ïîäñòàâëÿÿ 373 Ê T2 = 1 àòì ⋅ = 0,746 àòì . 500 Ê T1 Ñîîòâåòñòâåííî, îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü áóäåò 74,6%. p2 = pí + 0,5 pâ1 , Ðèñ. 7 ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß â óðàâíåíèå ãàçîâîãî ñîñòîÿíèÿ äëÿ ñóõîãî âîçäóõà p0hS pâ2 (h + x ) S = , T1 T2 Çíà÷èò, ÷åòûðåõõëîðèñòûé óãëåðîä âûêèïàåò â 25 ðàç áûñòðåå âîäû. p0h T2 =0, 2ρg T1 èç êîòîðîãî íàõîäèì x = 0,78 ì. Ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî âîäà íå âûòåêàåò èç ïðàâîãî êîëåíà, îêàçàëîñü íåâåðíûì.  òàêîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ãèäðîñòàòè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ ïðèîáðåòàåò âèä (ðèñ.7,â): pâ2 + pí = p0 + ρg (h + x ) , è óðàâíåíèå ãàçîâîãî ñîñòîÿíèÿ ïðèâîäèòñÿ ê âèäó p0h ρg (h + x ) = . T1 T2 2 Îòñþäà ïîëó÷àåì x= îòêóäà íàéäåì èõ îòíîøåíèå: m2 pí2Μ 2 558 ìì ðò.ñò. ⋅ 152 ã ìîëü = = ≈ 25 . 192 ìì ðò.ñò. ⋅ 18 ã ìîëü m1 pí1Μ1 ïðèõîäèì ê êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ x2 + hx − "' p0h T2 − h = 1,07 ì . ρg T1 Ïîñëåäíÿÿ çàäà÷à õîðîøî èëëþñòðèðóåò ïðîöåññ êèïåíèÿ. Çàäà÷à 16.  ñòàêàí íàëèòû äâå íåñìåøèâàþùèåñÿ æèäêîñòè: ÷åòûðåõõëîðèñòûé óãëåðîä CCl4 è âîäà. Ïðè íîðìàëüíîì àòìîñôåðíîì äàâëåíèè CCl4 êèïèò ïðè 76,7 °C , âîäà ïðè 100 °C . Ïðè ðàâíîìåðíîì íàãðåâàíèè ñòàêàíà â âîäÿíîé áàíå êèïåíèå íà ãðàíèöå ðàçäåëà æèäêîñòåé íà÷èíàåòñÿ ïðè òåìïåðàòóðå 65,5 °C . Îïðåäåëèòå, êàêàÿ èç æèäêîñòåé áûñòðåå âûêèïàåò ïðè òàêîì «ïîãðàíè÷íîì» êèïåíèè è âî ñêîëüêî ðàç. Äàâëåíèå íàñûùåííûõ ïàðîâ âîäû ïðè 65,5 °C ñîñòàâëÿåò 192 ìì ðò. ñò. Ðåøåíèå. Ïóçûðåê íà ãðàíèöå äâóõ æèäêîñòåé çàïîëíåí ñìåñüþ íàñûùåííûõ ïàðîâ âîäû è CCl4 ïðè äàííîé òåìïåðàòóðå. Ïîãðàíè÷íîå êèïåíèå íàñòóïàåò òîãäà, êîãäà äàâëåíèå â ïóçûðüêå ñðàâíèâàåòñÿ ñ àòìîñôåðíûì, ò.å. ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì â Ìîñêâå, íàïðèìåð, 750 ìì ðò.ñò. Ñëåäîâàòåëüíî, äàâëåíèå CCl4 ïðè ýòîé òåìïåðàòóðå áóäåò ðàâíî pí2 = p0 − pí1 = (750 − 192) ìì ðò.ñò. = 558 ìì ðò.ñò. Ìàññó êàæäîãî ïàðà â ïóçûðüêå âûðàçèì èç óðàâíåíèÿ ÌåíäåëååâàÊëàïåéðîíà: p V Μ1 p VΜ 2 m1 = í1 , m2 = í2 , RT RT Óïðàæíåíèÿ 1. Äëÿ ïîâûøåíèÿ îòíîñèòåëüíîé âëàæíîñòè íà 20% ( ϕ2 − ϕ1 = 0,2 ) ïðè òåìïåðàòóðå 20 °C â êîìíàòå îáúåìîì 50 ì 3 ïîíàäîáèëîñü èñïàðèòü 180 ã âîäû. Íàéäèòå ïëîòíîñòü (â ã ì 3 ) íàñûùåííûõ ïàðîâ âîäû ïðè òåìïåðàòóðå 20 °C . 2.  çàêðûòîé òåïëèöå îáúåìîì 33,2 ì3 îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü âîçäóõà â íî÷íîå âðåìÿ ïðè òåìïåðàòóðå 15 °C áûëà ðàâíà 92%. Êàêóþ ìàññó (â ã) âîäû íàäî áóäåò äîïîëíèòåëüíî èñïàðèòü â òåïëèöå äíåì, êîãäà òåìïåðàòóðà ïîâûñèòñÿ äî 27 °C , ÷òîáû îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü íå óïàëà íèæå 75%? Äàâëåíèå íàñûùåííûõ ïàðîâ âîäû ïðè òåìïåðàòóðå 15 °C ðàâíî 1,7 êÏà, ïðè òåìïåðàòóðå 27 °C 3,6 êÏà. 3.  ñîñóäå ïðè òåìïåðàòóðå 100 °C íàõîäèòñÿ âëàæíûé âîçäóõ ñ îòíîñèòåëüíîé âëàæíîñòüþ 40% ïîä äàâëåíèåì 1 àòì. Îáúåì ñîñóäà èçîòåðìè÷åñêè óìåíüøàþò â 5 ðàç. ×åìó áóäåò ðàâíî êîíå÷íîå äàâëåíèå (â àòì)? Îáúåìîì ñêîíäåíñèðîâàâøåéñÿ âîäû ïðåíåáðå÷ü. 4.  ñîñóäå ïðè òåìïåðàòóðå 100 °C íàõîäèòñÿ âëàæíûé âîçäóõ ïîä äàâëåíèåì 1 àòì. Ïîñëå èçîòåðìè÷åñêîãî óìåíüøåíèÿ îáúåìà â 4 ðàçà äàâëåíèå óâåëè÷èëîñü â 3,8 ðàçà. ×åìó áûëà ðàâíà îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü (â ïðîöåíòàõ) â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè? Îáúåìîì ñêîíäåíñèðîâàâøåéñÿ âîäû ïðåíåáðå÷ü. 5.  çàêðûòîì ñîñóäå ïðè òåìïåðàòóðå 100 °C íàõîäèòñÿ âëàæíûé âîçäóõ ñ îòíîñèòåëüíîé âëàæíîñòüþ 40% ïîä äàâëåíèåì 1 àòì. Îáúåì ñîñóäà èçîòåðìè÷åñêè óìåíüøèëè â 5 ðàç. Âî ñêîëüêî ðàç íàäî âìåñòî ýòîãî óâåëè÷èòü àáñîëþòíóþ òåìïåðàòóðó, ÷òîáû ïîëó÷èòü òàêîå æå êîíå÷íîå äàâëåíèå? Îáúåìîì ñêîíäåíñèðîâàâøåéñÿ âîäû ïðåíåáðå÷ü. 6.  çàêðûòîì ñîñóäå îáúåìîì 83 ë íàõîäèòñÿ âëàæíûé âîçäóõ ïðè òåìïåðàòóðå 87 °C . Âíà÷àëå äàâëåíèå â ñîñóäå áûëî 60 êÏà, âëàæíîñòü áûëà 40%. Êàêèì ñòàëî äàâëåíèå (â êÏà) ïîñëå òîãî, êàê â ñîñóä ââåëè 16 ã âîäû? Äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà ïðè 87 °C ñîñòàâëÿåò 60 êÏà. Îáúåìîì âîäû ïðåíåáðå÷ü. 7.  çàêðûòîì ñîñóäå îáúåìîì 83 ë íàõîäèòñÿ âëàæíûé âîçäóõ ñ îòíîñèòåëüíîé âëàæíîñòüþ 60% ïðè òåìïåðàòóðå 87 °C . Êàêàÿ ìàññà âîäû (â ã) ñêîíäåíñèðóåòñÿ ïðè èçîòåðìè÷åñêîì óìåíüøåíèè îáúåìà ñîñóäà â 2 ðàçà? Äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà ïðè 87 °C ñîñòàâëÿåò 60 êÏà. Îáúåìîì ñêîíäåíñèðîâàâøåéñÿ âîäû ïðåíåáðå÷ü. ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß ÇÀÎ×ÍÀß ØÊÎËÀ ÑÓÍÖ ÍÃÓ Â íîâîñèáèðñêîì Àêàäåìãîðîäêå â ñîñòàâå Ñïåöèàëèçèðîâàííîãî ó÷åáíî-íàó÷íîãî öåíòðà Íîâîñèáèðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà (ÑÓÍÖ ÍÃÓ) ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî è õèìèêî-áèîëîãè÷åñêîãî ïðîôèëÿ óæå áîëåå 45 ëåò ðàáîòàåò Çàî÷íàÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêàÿ øêîëà (ÇØ) äëÿ ó÷àùèõñÿ 511 êëàññîâ îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ øêîë. Ó÷àùèåñÿ ÇØ, óñïåøíî âûïîëíèâøèå âñå çàäàíèÿ, ïî îêîí÷àíèè îäèííàäöàòîãî êëàññà ïîëó÷àþò óäîñòîâåðåíèå âûïóñêíèêîâ Çàî÷íîé øêîëû ÑÓÍÖ ÍÃÓ. Ïðåïîäàâàòåëè îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ ó÷ðåæäåíèé ìîãóò ðàáîòàòü ïî ïðîãðàììàì Çàî÷íîé øêîëû ÑÓÍÖ ÍÃÓ â ôîðìå ôàêóëüòàòèâíûõ çàíÿòèé ñ ãðóïïîé ó÷àùèõñÿ. Åæåãîäíî ëó÷øèå ó÷åíèêè 810 êëàññîâ ÇØ ïðèãëàøàþòñÿ â Ëåòíþþ øêîëó, êîòîðàÿ ïðîâîäèòñÿ â íîâîñèáèðñêîì Àêàäåìãîðîäêå ñ 1 ïî 23 àâãóñòà, äëÿ ó÷àñòèÿ â êîíêóðñå â ÑÓÍÖ ÍÃÓ.  ÇØ ÑÓÍÖ ÍÃÓ ïðèíèìàþòñÿ âñå æåëàþùèå, íåçàâèñèìî îò âîçðàñòà. Ïðèåì â øêîëó âåäåòñÿ êðóãëîãîäè÷íî. ×òîáû ñòàòü ó÷åíèêîì ÇØ, íåîáõîäèìî ïðèñëàòü çàÿâëåíèå, óêàçàâ êëàññ è îòäåëåíèÿ, íà êîòîðûõ âû õîòèòå ó÷èòüñÿ, ñâîè ôàìèëèþ, èìÿ è îò÷åñòâî (ïå÷àòíûìè áóêâàìè), ñâîé ïîäðîáíûé àäðåñ ñ èíäåêñîì è âûïîëíåííîå ïåðâîå çàäàíèå. Çàäàíèå âûïîëíÿåòñÿ â îáû÷íîé ó÷åíè÷åñêîé òåòðàäè è âûñûëàåòñÿ ïðîñòîé èëè çàêàçíîé áàíäåðîëüþ. Ìîæíî ïðèñûëàòü ðàáîòû è ïî ýëåêòðîííîé ïî÷òå. Òðåáîâàíèÿ ê îôîðìëåíèþ ðàáîò â ýëåêòðîííîì âèäå è ïîäðîáíóþ èíôîðìàöèþ ìîæíî íàéòè íà ñàéòå çàî÷íîé øêîëû http:// zfmsh.nsu.ru Íàø àäðåñ: 630090 Íîâîñèáèðñê, óë. Ïèðîãîâà, 11, Çàî÷íàÿ øêîëà ÑÓÍÖ ÍÃÓ # ÊÂÀÍT 2014/¹3 Òåëåôîí/ôàêñ: (383) 363-40-66 E-mail: [email protected] èëè [email protected] Ïåðâûå çàäàíèÿ íà 2014/15 ó÷åáíûé ãîä Ìàòåìàòè÷åñêîå îòäåëåíèå Ìàòåìàòèêà 9 êëàññ 1. Òîì Ñîéåð ìîæåò ïîêðàñèòü ñâîé çàáîð çà 2 äíÿ, åãî ïðèÿòåëü Äæîííè Ìèëëåð çà 3 äíÿ, à ïðèÿòåëü Áèëëè Ôèøåð çà 6 äíåé. Çà ñêîëüêî äíåé îíè âìåñòå ìîãóò ïîêðàñèòü ýòîò çàáîð? 2. Òî÷êà Å ñåðåäèíà ñòîðîíû AC òðåóãîëüíèêà ABC, à òî÷êè M, H äåëÿò ñòîðîíó BC íà òðè ðàâíûå ÷àñòè, BM = = MH = HC. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà EMH, åñëè ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC ðàâíà S. 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå (12x − 1)(6x − 1)(4x − 1)(3x − 1) = 5 . 4.  òðåóãîëüíèêå ABC òî÷êà D ïðèíàäëåæèò ñòîðîíå AC, ïðè÷åì AD : AC = n, 0 < n < 1, à òî÷êà Ì ïðèíàäëåæèò ñòîðîíå ÂÑ, ïðè÷åì ÂÌ : ÌÑ = 2 : 1. Íàéäèòå, â êàêîì îòíîøåíèè ÀÌ äåëèò BD. 5.  ïà÷êå èç n áàíêíîò, 50 ≤ n ≤ 150 , ñîäåðæèòñÿ 36% ôàëüøèâûõ. Ïîñëå òîãî êàê èç ïà÷êè âûòàùèëè 6 íàèáîëåå ìåëêèõ ïî äîñòîèíñòâó êóïþð, ôàëüøèâûå ñòàëè ñîñòàâëÿòü ðîâíî (1/3)-þ ÷àñòü îñòàâøèõñÿ â ïà÷êå. Ñêîëüêî áàíêíîò áûëî â ïà÷êå? 6.  êâàäðàòå ñî ñòîðîíîé 1ì íàõîäÿòñÿ 20 òî÷åê. Íàéäóòñÿ ëè 3 èç íèõ, êîòîðûå ìîæíî íàêðûòü êâàäðàòîì ñî ñòîðîíîé 1/3 ì? 10 êëàññ 1.  ìåæäóíàðîäíîì øàõìàòíîì òóðíèðå â ãîðîäå ÍüþÂàñþêè ó÷àñòâîâàëè ãðîññìåéñòåðû Îñòàï, Èïïîëèò è Àëåêñàíäð. Åñëè áû Îñòàï áûë áîëåå óäà÷ëèâ è âûèãðàë áû â 2 ðàçà áîëüøå ïàðòèé, ÷åì ñóìåë âûèãðàòü, òî âìåñòå ñ ïîáåäàìè Èïïîëèòà ïîëó÷èëîñü áû 5 ïîáåä. À åñëè áû Àëåêñàíäð ñûãðàë ëó÷øå è âûèãðàë áû â 2 ðàçà áîëüøå ïàðòèé, ÷åì ñóìåë âûèãðàòü, òî âìåñòå ñ ïîáåäàìè Èïïîëèòà ïîëó÷èëîñü áû 7 ïîáåä. 1) Êàêîå îáùåå ÷èñëî ïîáåä îäåðæàëè Îñòàï, Èïïîëèò è Àëåêñàíäð? 2) Ñêîëüêî ïîáåä îäåðæàë êàæäûé ãðîññìåéñòåð, åñëè êàæäûé âûèãðàë íå ìåíåå îäíîé ïàðòèè, à ëó÷øèé ðåçóëüòàò ïîêàçàë Àëåêñàíäð? 2. Òî÷êè M, N è P ëåæàò íà ñòîðîíàõ ÀÂ, ÂÑ è ÀÑ òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ, ïðè÷åì ÀÌ : À = BN : BC = CP : CA = = 1 : 3. Ïðÿìûå ÑÌ, AN, BP, ïåðåñåêàÿñü, îãðàíè÷èâàþò òðåóãîëüíèê, ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà S. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC. 3. Òðàâà íà ëóãó ðàñòåò îäèíàêîâî ãóñòî è áûñòðî. Èçâåñòíî, ÷òî 70 êîðîâ ïîåëè áû åå çà 24 äíÿ, à 30 êîðîâ çà 60 äíåé. Ñêîëüêî êîðîâ ïîåëè áû òðàâó çà 96 äíåé? (Èçâåñòíî, ÷òî êîðîâû ïîåäàþò òðàâó ðàâíîìåðíî.) 4. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü, åñëè êîíöû åãî ñòîðîíû, ðàâíîé 20 ñì, îòñòàþò îò êàñàòåëüíîé, ïðîâåäåííîé ÷åðåç ïðîòèâîïîëîæíóþ âåðøèíó, íà 25 ñì è 16 ñì. 5. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè íè îäíî èç 5 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë k1, k2, k3, k4, k5 íå äåëèòñÿ íà 5, òî äåëèòñÿ íà 5 ñóììà íåñêîëüêèõ ðÿäîì ñòîÿùèõ ÷èñåë. 6. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî (x 2 ) ( ) − 4 ( x + 1) x2 + x + 1 > 0 . 11 êëàññ 1. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé 2 2 x + y = 25, 2 y − x = 5. 2. Ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ðàâíà à, AD åãî âûñîòà. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, êîòîðàÿ êàñàåòñÿ ñòîðîíû ÀÑ, âûñîòû AD è îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ îêðóæíîñòè. 3.  ïåðâîé êîðîáêå íàõîäèëîñü íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî êðàñíûõ øàðîâ, à âî âòîðîé ñèíèõ, ïðè÷åì ÷èñëî êðàñíûõ øàðîâ ñîñòàâëÿëî 15/19 îò ÷èñëà ñèíèõ øàðîâ. Êîãäà èç êîðîáîê óáðàëè 3/7 êðàñíûõ øàðîâ è 2/5 ñèíèõ, òî â ïåðâîé êîðîáêå îñòàëîñü ìåíåå 1000 øàðîâ, à âî âòîðîé áîëåå 1000 øàðîâ. Ñêîëüêî øàðîâ áûëî ïåðâîíà÷àëüíî â êàæäîé êîðîáêå? 4. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà à ôóíêöèÿ f (x ) = 10 (a − 2 ) x + 2ax + (3a − 1) 2 îïðåäåëåíà ïðè x ∈ ( −∞; +∞ ) ? 5. Äëèíà êàæäîãî ðåáðà òåòðàýäðà ABCD ðàâíà à. Íà ðåáðàõ DA, DC, BC ðàñïîëîæåíû òî÷êè M, N, P òàê, ÷òî DM = CN = à/3, CP = a/5. Ïîñòðîéòå ñå÷åíèå òåòðàýäðà ïëîñêîñòüþ MNP è íàéäèòå äëèíó îòðåçêà BQ, ãäå Q = MNP ∩ AB . 6. Äîêàæèòå, ÷òî èç 7 ëþáûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìîæíî âûáðàòü 2 òàê, ÷òîáû èõ ñóììà èëè ðàçíîñòü îêàí÷èâàëàñü íà 0. Ôèçè÷åñêîå îòäåëåíèå Ôèçèêà 7 êëàññ 1. Âûïîëíèòå ïåðâóþ ÷àñòü Çàäàíèÿ 1 èç ó÷åáíèêà À.Â.Ïåðûøêèíà äëÿ 7 êëàññà: Èçìåðüòå ëèíåéêîé ñ ìèëëèìåòðîâûìè äåëåíèÿìè äëèíó è øèðèíó âàøåãî ó÷åáíèêà. Çàïèøèòå ðåçóëüòàòû ñ ó÷åòîì ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé. 2. Ïî ðåçóëüòàòàì ïðåäûäóùèõ èçìåðåíèé îïðåäåëèòå ïëîùàäü îáëîæêè ó÷åáíèêà. Ïðèâåäèòå îòâåò ñ ó÷åòîì ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé. 3. Èçìåðüòå ñ ïîìîùüþ ëèíåéêè ñ ìèëëèìåòðîâûìè äåëåíèÿìè äèàìåòð òîíêîé (ìåíåå ìèëëèìåòðà) ìÿãêîé ïðîâîëîêè. 4. Ïðèäóìàéòå ñïîñîá, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî ìîæíî îïðåäåëèòü îáúåì íåáîëüøîãî òÿæåëîãî òåëà íåïðàâèëüíîé ôîðìû, íàïðèìåð êàìíÿ. Îïðåäåëèòå îáúåì êîíêðåòíîãî òåëà ñ ÷èñëîâûìè ðåçóëüòàòàìè. 5. Ïàññàæèð, îïîçäàâøèé íà äâèæóùèéñÿ ñî ñêîðîñòüþ v ïîåçä, óâèäåë åãî ïîñëåäíèé âàãîí íà ðàññòîÿíèè L. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ u îí äîëæåí áåæàòü, ÷òîáû äîñòè÷ü ïîåçäà çà âðåìÿ t? 8 êëàññ 1. Íà äíå ñîñóäà ñ âîäîé ëåæèò ìåäíûé øàð ìàññîé m = = 1 êã. Íàéäèòå ñèëó, ñ êîòîðîé øàð äàâèò íà äíî. Ïëîòíîñòü ìåäè ρ = 8,9 ⋅ 103 êã ì 3 . 2. Ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü àâòîìîáèëÿ íà âñåì ïóòè v = = 60 êì ÷ . Ïåðâóþ ïîëîâèíó ïóòè îí åõàë ñî ñêîðîñòüþ v1 = 50 êì ÷ . Ñ êàêîé ñðåäíåé ñêîðîñòüþ v2 àâòîìîáèëü ïðîåõàë âòîðóþ ïîëîâèíó ïóòè? 3. Äâà ïîåçäà äëèíîé L = 500 ì êàæäûé äâèæóòñÿ ïî ïàðàëëåëüíûì ïóòÿì â îäíîì íàïðàâëåíèè. Ñêîðîñòü ïåðâîãî v1 = 70 êì ÷ , ñêîðîñòü âòîðîãî v2 = 90 êì ÷ .  íåêîòî- # ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß ðûé ìîìåíò âðåìåíè îáå «ãîëîâû» ïîåçäîâ ðàâíÿþòñÿ. Ñêîëüêî âðåìåíè ïîíàäîáèòñÿ âòîðîìó ïîåçäó, ÷òîáû ïîëíîñòüþ îáîãíàòü ïåðâûé? 4. Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ïðèñòàíÿìè íà ðåêå s = 144 êì. Ñêîëüêî âðåìåíè ïîòðåáóåòñÿ êàòåðó äëÿ ñîâåðøåíèÿ ðåéñà ìåæäó ïðèñòàíÿìè òóäà è îáðàòíî, åñëè ñêîðîñòü êàòåðà â ñòîÿ÷åé âîäå v = 18 êì/÷, à ñêîðîñòü òå÷åíèÿ âîäû u = = 3 ì/ñ? 5.  øàõòå íà ãëóáèíå Í = 100 ì êàæäóþ ìèíóòó ïðèáûâàåò îáúåì V = 4,5 ì 3 âîäû. Êàêîé ìîùíîñòè N íàñîñ òðåáóåòñÿ äëÿ îòêà÷êè ýòîé âîäû íà ïîâåðõíîñòü? 9 êëàññ 1. Ïîñëå ïðèâàëà íà áåðåãó ïðèòîêà ðåêè îäíà êîìàíäà âûøëà ê ñëåäóþùåìó ïóíêòó ïåøêîì ïî ïðÿìîìó ìàðøðóòó, à äðóãàÿ îòïðàâèëàñü òóäà ïî ðåêå íà ïëîòó.  êîíå÷íûé ïóíêò îáå êîìàíäû ïðèáûëè îäíîâðåìåííî. Îïðåäåëèòå ñðåäíþþ ñêîðîñòü ïåðåäâèæåíèÿ ïåøåé êîìàíäû, åñëè êîìàíäà íà ïëîòó ïðîøëà ó÷àñòîê ïóòè ïî ïðèòîêó çà âðåìÿ t1 , à ïî ðåêå çà âðåìÿ t2 . Ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ïðèòîêà v1 , ðåêè v2 , ïðè÷åì ïðèòîê ïåðïåíäèêóëÿðåí ðåêå. 2. Áàðæà ïðè ïåðåìåùåíèè èç ìîðÿ â ðåêó óâåëè÷èëà ñâîå ïîãðóæåíèå â âîäó íà ∆h = 3 ñì . Îïðåäåëèòå ïëîòíîñòü ìîðñêîé âîäû. Ìàññà áàðæè m = 1000 ò, ïëîùàäü åå ïàëóáû S = 1000 ì2 , áîðòà áàðæè âåðòèêàëüíûå. Ïëîòíîñòü ïðåñíîé âîäû ρ = 1000 êã ì 3 . 3. Èìåþòñÿ äâå êîëáû: îäíà ïîëíîñòüþ çàïîëíåíà âîäîé, âòîðàÿ íàïîëîâèíó. Ïîñëå òîãî êàê ïîëîâèíó âîäû èç ïåðâîé êîëáû ïåðåëèëè âî âòîðóþ, ïåðåìåøàëè ñîäåðæèìîå âòîðîé êîëáû è çàòåì ïîëîâèíó âòîðîé êîëáû îáðàòíî ïåðåëèëè â ïåðâóþ, òåìïåðàòóðà â ïåðâîé êîëáå ïîâûñèëàñü íà 10 °C . Íà ñêîëüêî ïåðâîíà÷àëüíî âîäà âî âòîðîé êîëáå áûëà òåïëåå, ÷åì â ïåðâîé? 4. Ëîäêó çà âåðåâêó òÿíóò ê áåðåãó. Îäèí ÷åëîâåê íà áåðåãó òÿíåò êîíåö âåðåâêè ñî ñêîðîñòüþ v, âòîðîé ÷åëîâåê íà ëîäêå ïåðåáèðàåò âåðåâêó, ïîìîãàÿ ïåðâîìó. Ëîäêà äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ u. ×åëîâåê íà áåðåãó çàòðàòèë íà ïåðåìåùåíèå ëîäêè ýíåðãèþ E. Êàêóþ ýíåðãèþ çàòðàòèë ÷åëîâåê â ëîäêå? Íåïðîèçâîäèòåëüíûå çàòðàòû ýíåðãèè îòñóòñòâóþò. 5. Êàæäàÿ èç äâóõ ïëàñòèí äëèíîé L èìååò ñîïðîòèâëåíèå R. Êàêèì áóäåò ñîïðîòèâëåíèå ìåæäó êîíöàìè ïëàñòèí A è B, åñëè ïëàñòèíû ñîåäèíèòü, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 1? ñíà÷àëà ýòó êîëáó íàïîëíèòü ïåñêîì è ïîòîì äîâåðõó íàëèòü â íåå âîäó, òî âåñ êîëáû áóäåò P3 . Âî ñêîëüêî ðàç ïëîòíîñòü ïåñ÷èíîê áîëüøå ïëîòíîñòè âîäû? 4. Êëèí ìàññîé M ëåæèò íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå (ðèñ.2). Íà íàêëîíåííîé ïîä óãëîì α ïîâåðõíîñòè êëèíà ëåæèò áðóñîê ìàññîé m. Ïðè êàêîì êîýôôèöèåíòå òðåíèÿ ìåæäó áðóñ- Ðèñ. 2 êîì è êëèíîì êëèí áóäåò ñêîëüçèòü â ñòîðîíó äåéñòâèÿ ïðèëîæåííîé ê áðóñêó ãîðèçîíòàëüíîé ñèëû F? Êàêóþ ñèëó íóæíî ïðèëîæèòü, ÷òîáû êëèí íå ñäâèíóëñÿ ñ ìåñòà? Òðåíèÿ ìåæäó êëèíîì è ñòîëîì íåò. 5. Òðè øàðèêà îäèíàêîâîãî ðàäèóñà r ñîåäèíåíû íèòÿìè äëèíîé L è ïëàâàþò â æèäêîñòè ïëîòíîñòüþ ρ (ðèñ.3). Êðàéíèå øàðèêè íåâåñîìûå è ïîãðóæåíû â Ðèñ. 3 æèäêîñòü íàïîëîâèíó. Îïðåäåëèòå ñèëó íàòÿæåíèÿ êàæäîé íèòè. 11 êëàññ 1. Ðåøèòå çàäà÷ó 1 äëÿ 10 êëàññà. 2. Ðåøèòå çàäà÷ó 2 äëÿ 10 êëàññà. 3. Áóñèíêà ìàññîé m íàäåòà íà ñïèöó è íåäåôîðìèðîâàííîé ïðóæèíîé äëèíîé L ïðèñîåäèíåíà ê øàðíèðó (ðèñ.4). Ñïèöà íàêëîíåíà ïîä óãëîì α ê âåðòèêàëè è ïåðïåíäèêóëÿðíà ïðóæèíå. Êàêîé æåñòêîñòüþ äîëæíà îáëàäàòü ïðóæèíà, ÷òîáû áóñèíêà, êîãäà åå îòïóñòÿò, íå ñîñêî÷èëà ñî ñïèöû, åñëè ðàññòîÿíèå îò íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ áóñèíêè äî êîíöà ñïèöû L1 ? 4. Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ ìàññó Ðèñ. 4 äîëæåí èìåòü âîäîëàçíûé êîëîêîë, ÷òîáû åãî ìîæíî áûëî ïîãðóçèòü â âîäó (ðèñ. 5)? Êîëîêîë èìååò ôîðìó çàêðûòîãî ñâåðõó öèëèíäðà ðàäèóñîì r = 2 ì è âûñîòîé h = 2 ì. Îáúåìîì ñòåíîê ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ðèñ. 5 Ðèñ. 1 10 êëàññ 1. Áóêñèð òÿíåò ïëîò èç áðåâåí âíèç ïî òå÷åíèþ, à çàòåì ïîäíèìàåòñÿ îáðàòíî ê ìåñòó ëåñîçàãîòîâêè. Èìååòñÿ âîçìîæíîñòü ñïëàâëÿòü ëåñ ïî ïðîòîêå ñî ñêîðîñòüþ òå÷åíèÿ u1 è ïî ïðîòîêå ñî ñêîðîñòüþ òå÷åíèÿ u2 ( u2 > u1 ). Íà ñêîëüêî ïëîò çàìåäëÿåò äâèæåíèå áóêñèðà, åñëè îáà ìàðøðóòà òðåáóþò îäèíàêîâîå âðåìÿ? 2. Ðàêåòà ìàññîé m ñòàðòóåò ñ îáðûâèñòîãî áåðåãà ðåêè è ïàäàåò â âîäó íà ðàññòîÿíèè L îò áåðåãà. Íà ïðîòÿæåíèè âñåãî ïîëåòà äâèãàòåëü ðàêåòû ñîçäàåò ãîðèçîíòàëüíóþ ñèëó òÿãè F. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü ðàêåòû ïðè ïàäåíèè â âîäó. Èçìåíåíèåì åå ìàññû ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ðàâíî g. 3. Òîíêîñòåííàÿ êîëáà, íàïîëíåííàÿ âîäîé, âåñèò P1 , òàêàÿ æå êîëáà, íàïîëíåííàÿ ïåñêîì, âåñèò P2 , à åñëè Ðèñ. 6 5. Òðè íàäóòûõ ãåëèåì øàðèêà óäåðæèâàþòñÿ íèòüþ, ïðèâÿçàííîé ê ñðåäíåìó øàðèêó (ðèñ. 6), è îáðàçóþò ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê. Íà øàðèêàõ èìåþòñÿ îäèíàêîâûå çàðÿäû q. Îïðåäåëèòå ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòåé. Äëèíû íèòåé ìíîãî áîëüøå ðàçìåðîâ øàðèêîâ. ÎËÈÌÏÈÀÄÛ XXII Ìåæäóíàðîäíàÿ îëèìïèàäà «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí» Ìåæäóíàðîäíûé èíòåëëåêò-êëóá (ÌÈÊ) «Ãëþîí» â ðàìêàõ ìåæäóíàðîäíîé ïðîãðàììû «Äåòè. Èíòåëëåêò. Òâîð÷åñòâî» ïðè ó÷àñòèè ÌÃÓ èìåíè Ì.Â.Ëîìîíîñîâà, Èíñòèòóòà ïåäàãîãè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé îäàðåííîñòè ÐÀÎ (ã. Íîâîñèáèðñê) è ïðè ïîääåðæêå Ôîíäà íåêîììåð÷åñêèõ ïðîãðàìì «Äèíàñòèÿ», êîìïàíèé «Êèðèëë è Ìåôîäèé», «Ôèçèêîí», «1Ñ», Èçäàòåëüñêîãî Äîìà «Ïåðâîå ñåíòÿáðÿ» è æóðíàëîâ «Êâàíò», «Ïîòåíöèàë» ïðîâåë XXII Ìåæäóíàðîäíóþ òåñòðåéòèíãîâóþ îëèìïèàäó «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí». Îëèìïèàäà ïðîõîäèëà ñ 12 ïî 19 îêòÿáðÿ 2013 ãîäà â Áàðñåëîíå (Èñïàíèÿ) íà òåððèòîðèè óþòíîãî îòåëÿ «Golden Palace», êîòîðûé ðàñïîëîæåí íà áåðåãó Ñðåäèçåìíîãî ìîðÿ. Íà îëèìïèàäó ïðèåõàëè øêîëüíèêè èç ðàçíûõ ðåãèîíîâ Ðîññèè è Êàçàõñòàíà.  êà÷åñòâå íàáëþäàòåëåé áûëè ïðåäñòàâèòåëè Èñïàíèè, Âåëèêîáðèòàíèè è Ïîëüøè. Îäàðåííûå øêîëüíèêè, ïðîÿâèâøèå èíòåðåñ ê ôóíäàìåíòàëüíûì íàóêàì, ñîðåâíîâàëèñü â êîìàíäíûõ è èíäèâèäóàëüíûõ òóðàõ ïî ìàòåìàòèêå, ôèçèêå, èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé.  îäèííàäöàòûé ðàç ó÷àñòâîâàëè â îëèìïèàäå øêîëüíèêè, èíòåðåñóþùèåñÿ ýêîëîãèåé è áèîëîãèåé, ñîðåâíóÿñü â êîìàíäíîì òóðå ïî èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé è â èíäèâèäóàëüíûõ òóðàõ ïî áèîëîãèè è ýêîëîãèè. Ïåäàãîãè è ïñèõîëîãè ñîáðàëèñü íà ñâîþ íàó÷íóþ ñåññèþ â ïÿòûé ðàç.  ðàìêàõ îëèìïèàäû ïðîøåë òàêæå II Ìåæäóíàðîäíûé ìàòåìàòè÷åñêèé òóðíèð èìåíè Ì.Â.Ëîìîíîñîâà äëÿ ó÷àùèõñÿ 58 êëàññîâ (îëèìïèéñêèé ðåçåðâ îëèìïèàäû «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí»). ×èñëî ó÷àñòíèêîâ âûðîñëî ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðîøëûì ãîäîì, ÷òî óñèëèëî íàêàë èíòåëëåêòóàëüíûõ ñîðåâíîâàíèé ñðåäè ìëàäøèõ øêîëüíèêîâ. Àáñîëþòíûì ïîáåäèòåëåì îëèìïèàäû «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí-2013» ïî ôóíäàìåíòàëüíûì íàóêàì â êîìàíäíîì çà÷åòå ñòàëà êîìàíäà ëèöåÿ 4 èç Òàãàíðîãà (Ðîññèÿ). Åé áûë âðó÷åí ãëàâíûé ïðèç ñîðåâíîâàíèé Ñóïåðêóáîê. Êîìàíäà áûëà òàêæå ëó÷øåé â òóðå ïî èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé è ïðèçåðîì â òóðàõ ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå. Âòîðîå ìåñòî â îáùåì çà÷åòå çàíÿëà êîìàíäà Îáëàñòíîãî öåíòðà äîïîëíèòåëüíîãî îáðàçîâàíèÿ îäàðåííûõ äåòåé èç Ðîñòîâà-íà-Äîíó (Ðîññèÿ). Îíà òàêæå çàíÿëà ïåðâîå ìåñòî ïî ìàòåìàòèêå, âòîðîå ìåñòî ïî èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé è òðåòüå ïî ôèçèêå. Êîìàíäå áûëè âðó÷åíû áîëüøîé êóáîê çà âòîðîå ìåñòî â îáùåì çà÷åòå è ñîîòâåòñòâóþùèå äèïëîìû çà óñïåõè â êîìàíäíûõ ñîðåâíîâàíèÿõ. Íà òðåòüå ìåñòî âûøëà êîìàíäà ëèöåÿ 2 èç Àëüìåòüåâñêà (Ðîññèÿ). Îíà òàêæå çàíÿëà ïåðâîå ìåñòî ïî ôèçèêå. Åé áûëè âðó÷åíû êóáîê è äèïëîì.  èíäèâèäóàëüíûõ ñîðåâíîâàíèÿõ àáñîëþòíûì ïîáåäèòåëåì îëèìïèàäû ñòàë Áóëàò Èáðàãèìîâ, ó÷åíèê ëèöåé 2 èç Àëüìåòüåâñêà. Åìó áûëè âðó÷åíû áîëüøàÿ çîëîòàÿ ìåäàëü è ìàëàÿ ñåðåáðÿíàÿ ìåäàëü ïî ôèçèêå. Âòîðûì ïðèçåðîì â îáùåì çà÷åòå ñòàë Êèðèëë Çàðóáà (ëèöåé 4, Òàãàíðîã). Îí ïîëó÷èë áîëüøóþ ñåðåáðÿíóþ ìåäàëü è ìàëóþ çîëîòóþ ìåäàëü çà ïåðâîå ìåñòî ïî ôèçèêå. Áîëüøóþ áðîíçîâóþ ìåäàëü â îáùåì çà÷åòå çàâîåâàëà Þëÿ Øåíùèíà (ëèöåé 4, Òàãàíðîã). Îëåã Êëèìåíêî (ëèöåé 13, Ðîñòîâ-íà-Äîíó) áûë íàãðàæäåí ìàëîé çîëîòîé ìåäàëüþ ïî ìàòåìàòèêå, Êàìèëü Ëîòôóëëèí (ëèöåé 2, Àëüìåòüåâñê) ïîëó÷èë ìàëóþ ñåðåáðÿíóþ ìåäàëü ïî ìàòåìàòèêå è Ðóñëàí Ñóïðóíîâ (øêîëà 9, Ãóêîâî) ïîëó÷èë ìàëóþ áðîíçîâóþ ìåäàëü ïî ìàòåìàòèêå. Äìèòðèé Êèñåëü (ëèöåé 4, Òàãàíðîã) áûë íàãðàæäåí ìàëîé áðîíçîâîé ìåäàëüþ ïî ôèçèêå. Íà II Ìåæäóíàðîäíîì ìàòåìàòè÷åñêîì òóðíèðå èìåíè Ì.Â.Ëîìîíîñîâà ñðåäè ó÷àùèõñÿ 7 8 êëàññîâ ïîáåäèòåëåì ñòàë Ðîìàí Òûíÿíêî (Îáëàñòíîé öåíòð äîïîëíèòåëüíîãî îáðàçîâàíèÿ îäàðåííûõ äåòåé, Ðîñòîâ-íà-Äîíó). Ïðèçåðàìè ñòàëè Âëàäèñëàâ Àêàâåö (ëèöåé «Êëàññè÷åñêèé», Ðîñòîâ-íàÄîíó), Ìèõàèë Áîðèñîâ (ëèöåé 24, Âîëãîäîíñê), Äèíàñûë Êîéëûáàé (ÍÈØ, Àêòîáå, Êàçàõñòàí). Ñðåäè ó÷àùèõñÿ 56 êëàññîâ íà òóðíèðå ïîáåäèòåëåì ñòàë Åâãåíèé Ïðèìàê (ëèöåé «Êëàññè÷åñêèé», Ðîñòîâ-íà-Äîíó). Ïðèçåðàìè ñòàëè Ñòåïàí Øåëåïîâ, Àðñåí Äæóêóñîâ, Òèìóð Ñàðñåíáàåâ, Àéøà Øåíü (êîìàíäà Êåëåøåê, Àëìàòû, Êàçàõñòàí). Âñå ïîáåäèòåëè è ïðèçåðû ïîëó÷èëè ðàçëè÷íûå ïîäàðêè è ïðèçû îò îðãàíèçàòîðîâ è ñïîíñîðîâ îëèìïèàäû. Ìåæäóíàðîäíûé èíòåëëåêò-êëóá «Ãëþîí» ïðèãëàøàåò ðåãèîíàëüíûå öåíòðû, øêîëû, ëèöåè è ãèìíàçèè, ðàáîòàþùèå ñ îäàðåííûìè äåòüìè, ïðèíÿòü ó÷àñòèå â XXIII Ìåæäóíàðîäíîé îëèìïèàäå «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí», êîòîðàÿ ïðîéäåò â îêòÿáðå 2014 ãîäà â Ìàðîêêî. Çàÿâêè íà ó÷àñòèå ïðèñûëàéòå ïî àäðåñó: 115522 Ðîññèÿ, Ìîñêâà, Ïðîëåòàðñêèé ïðîñïåêò, ä.15/6, êîðï.2, ÌÈÊ «Ãëþîí» Òåëåôîí: (495)517-8014, ôàêñ: (495)396-8227 E-mail: [email protected] Ñàéò: http:www.gluon.ru ÇÀÄÀ×È ÎËÈÌÏÈÀÄÛ ÏÎ ÔÓÍÄÀÌÅÍÒÀËÜÍÛÌ ÍÀÓÊÀÌ Óñòíûé êîìàíäíûé òóð Ìàòåìàòèêà Êîìàíäíûé òóð îëèìïèàäû ïî ôèçèêå 1. Çà 2 ãîäà çàâîä ñíèçèë âûïóñê ïðîäóêöèè íà 51%. Êàæäûé ãîä îí ñíèæàë åãî íà îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî ïðîöåíòîâ. Íà êàêîå? 2. Ðàçðåæüòå êâàäðàò íà 3 ÷àñòè, èç êîòîðûõ ìîæíî ñëîæèòü îñòðîóãîëüíûé íåðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê. #! ÎËÈÌÏÈÀÄÛ 3. Ñóùåñòâóþò ëè ïîïàðíî ðàçëè÷íûå: à) íàòóðàëüíûå, á) íå÷åòíûå ÷èñëà õ1 , õ2 , õ3 , õ4 , õ5 , ñóììà îáðàòíûõ âåëè÷èí êîòîðûõ ðàâíà 1? 4. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ òðåóãîëüíèêà ñîåäèíåíà ñ åãî âåðøèíàìè, â ðåçóëüòàòå ÷åãî îí ðàçáèëñÿ íà 3 ìåíüøèõ òðåóãîëüíèêà. Îäèí èç ýòèõ ìåíüøèõ òðåóãîëüíèêîâ ïîäîáåí èñõîäíîìó. Íàéäèòå åãî óãëû. 5. Ñóùåñòâóþò ëè 100 îòëè÷íûõ îò íóëÿ ÷èñåë, êàæäîå èç êîòîðûõ ðàâíî êâàäðàòó ñóììû îñòàëüíûõ? 6.  êëàññå 33 ó÷åíèêà, âñåì èì âìåñòå 430 ëåò. Ìîæíî ëè âûáðàòü èç ýòîãî êëàññà 20 ó÷åíèêîâ, êîòîðûì âìåñòå áîëüøå 260 ëåò? (Âîçðàñò ó÷åíèêà öåëîå ÷èñëî ëåò.) 7. Íàéäèòå âñå ïàðû íàòóðàëüíûõ ÷èñåë x è y, äëÿ êîòîðûõ 2x + 1 äåëèòñÿ íà y, à 2y +1 äåëèòñÿ íà x. 8. Ñòî øêîëüíèêîâ ïÿòüäåñÿò ìàëü÷èêîâ è ïÿòüäåñÿò äåâî÷åê ïîñòðîåíû â øåðåíãó. Ìîæíî ëè âûáðàòü ïÿòüäåñÿò ñòîÿùèõ ïîäðÿä ðåáÿò òàê, ÷òîáû ñðåäè íèõ îêàçàëîñü ïîðîâíó ìàëü÷èêîâ è äåâî÷åê? 9. Âåðíî ëè, ÷òî ëþáîé òðåóãîëüíèê ìîæíî ðàçðåçàòü íà 1000 ÷àñòåé, èç êîòîðûõ âîçìîæíî ñëîæèòü êâàäðàò? 10. Èç äâóõñîò ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 1,2,3, ,200 âûáðàëè 101 ÷èñëî. Âåðíî ëè, ÷òî ñðåäè âûáðàííûõ ÷èñåë íàéäóòñÿ äâà, îäíî èç êîòîðûõ äåëèòñÿ íà äðóãîå? Ôèçèêà 1. Ëó÷è ñâåòà îò ñîëíöà ïàäàþò íà ãîðèçîíòàëüíóþ ïîâåðõíîñòü çåìëè ïîä óãëîì α = 30° . Ñ çåìëè áðîñàþò êàìåíü ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ v0 . Íà êàêîì íàèáîëüøåì ðàññòîÿíèè îò ìåñòà âûëåòà ìîæåò îêàçàòüñÿ òåíü îò êàìíÿ? Ðåøåíèå èçîáðàçèòå ãðàôè÷åñêè (íà ðèñóíêå). 2. Çàïàÿííûé ãîðèçîíòàëüíûé öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä äëèíîé l = 90 ñì ðàçäåëåí íà äâå ÷àñòè ïîäâèæíîé ïåðåãîðîäêîé. Ñ îäíîé ñòîðîíû îò ïåðåãîðîäêè ñîäåðæèòñÿ 2 ìîëÿ êèñëîðîäà è 3 ìîëÿ ãåëèÿ, ñ äðóãîé 3 ìîëÿ àçîòà è 1 ìîëü ãåëèÿ, è ïåðåãîðîäêà íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè.  íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè ïåðåãîðîäêà ñòàíîâèòñÿ ïðîíèöàåìîé äëÿ ãåëèÿ è îñòàåòñÿ íåïðîíèöàåìîé äëÿ êèñëîðîäà è àçîòà. Íàéäèòå ïåðåìåùåíèå ïåðåãîðîäêè. Òåìïåðàòóðû ãàçîâ îäèíàêîâû è íå ìåíÿþòñÿ â òå÷åíèå ïðîöåññà. 3. Íåèçâåñòíîå ÷èñëî N îäèíàêîâûõ ðåçèñòîðîâ ñîåäèíåíû â êîëüöî. Îììåòð, ïîäñîåäèíåííûé ê êîíöàì îäíîãî ðåçèñòîðà, ïîêàçûâàåò ñîïðîòèâëåíèå R1 = 16 Îì. Åñëè ñîñåäíèé ê âûáðàííîìó ðåçèñòîð çàêîðîòèòü, òî îììåòð ïîêàçûâàåò ñîïðîòèâëåíèå R2 = 15 Îì. Êàêîâà âåëè÷èíà îäíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ? ×åìó ðàâíî N? 4. Ìÿ÷ ïîêàòèëè ïî ïîëó ê ñòåíå ñî ñêîðîñòüþ v = 5 ì/ñ. Ïîñëå óäàðà î ñòåíó ìÿ÷ ïîêàòèëñÿ íàçàä ñî ñêîðîñòüþ u = = 4 ì/ñ è âåðíóëñÿ â èñõîäíóþ òî÷êó ÷åðåç âðåìÿ T = 1,8 ñ ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ. Êàêîâî ðàññòîÿíèå îò èñõîäíîé òî÷êè äî ñòåíû? 5.  ñòàêàí ñ î÷åíü ãîðÿ÷åé âîäîé îïóñòèëè ëîæêó, è ëîæêà íà ãëàçàõ ñòàëà ïëàâèòñÿ. Èíîãäà òàêóþ ëîæêó íàçûâàþò äåðåâÿííîé. Ïîÿñíèòå íàáëþäàåìîå ÿâëåíèå è ñêàæèòå, ïî÷åìó ìåòàëë, èç êîòîðîãî èçãîòîâëåíà ëîæêà, íàçûâàþò äåðåâÿííûì. 6. Îäíîâðåìåííî ïîäîæãëè òîëñòóþ è òîíêóþ ñâå÷è, èìåþùèå ïåðâîíà÷àëüíî îäèíàêîâûå äëèíû. ×åðåç âðåìÿ t = 40 ìèí òîíêàÿ ñâå÷à ñãîðåëà íàïîëîâèíó, à òîëñòàÿ íà òðåòü. ×åðåç êàêîå âðåìÿ (â ìèíóòàõ) ïîñëå ïîäæîãà äëèíû ñâå÷åé áóäóò ðàçëè÷àòüñÿ â 4 ðàçà? 7. Äâå îäèíàêîâûå îäíîðîäíûå öåïî÷êè èç ìàññèâíûõ øàðèêîâ ïðèêðåïëåíû êîíöàìè ê ïîòîëêó è ïðîõîäÿò ÷åðåç äâå íåâåñîìûå êîëåí÷àòûå òðóáêè, ñêðåïëåííûå ìåæäó ñîáîé (ðèñ.1). Âõîäíûå è âûõîäíûå êîëåíà òðóáîê âåðòèêàëüíû, ìåæäó íèìè äëèííûå ãîðèçîíòàëüíûå ó÷àñòêè. Ñ êàêèì óñêîðåíèåì îïóñêàþòñÿ òðóáêè? Òðåíèÿ è ïîòåðü ýíåðãèè íåò. 8. Òîíêàÿ ëèíçà ñîçäàåò èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà, ðàñïîëîæåííîãî ïåðïåíäèêóëÿðíî åå ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè, ñ íåêîòîðûì óâåëè÷åíèåì. Åñëè ðàññòîÿíèå îò ïðåäìåòà äî ëèíçû óâåëè÷èòü âäâîå, òî ïîëó÷èì ïðÿìîå èçîáðàæåíèå ñ Ðèñ. 1 óâåëè÷åíèåì, âòðîå áîëüøèì ïåðâîíà÷àëüíîãî óâåëè÷åíèÿ. Ñ êàêèì óâåëè÷åíèåì áûëî ïîëó÷åíî èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà ïåðâîíà÷àëüíî? 9. Ïîÿñíèòå, ïî÷åìó âáëèçè áåðåãà íàáåãàþùàÿ ìîðñêàÿ âîëíà îáðàçóåò áåëûå áàðàøêè. 10 (ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ). Ïðåäñòàâëåíû äâå ïîëóïðîçðà÷íûå ïëàñòèíû ðàçìåðîì À5, êîòîðûå ïðè íàëîæåíèè äðóã íà äðóãà òî ïðîïóñêàþò, òî íå ïðîïóñêàþò ñâåò â çàâèñèìîñòè îò âçàèìíîé îðèåíòàöèè ïëàñòèí. Ïðè ïîìåùåíèè ìåæäó ïëàñòèíàìè ïëàñòèêà ñ íàêëååííûìè êóñî÷êàìè ïðîçðà÷íîé ëèïêîé ëåíòû ïîñëåäíèå îêàçàëèñü îêðàøåííûìè â ðàçíûå öâåòà ðàäóãè, à ïðè âðàùåíèè îäíîé èç ïëàñòèí ýòè êóñî÷êè ìåíÿëè öâåò. Ïðè íàëîæåíèè îäíîé ïëàñòèíû íà ýêðàí ðàáîòàþùåãî æèäêîêðèñòàëëè÷åñêîãî ìîíèòîðà ýêðàí ïîä ïëàñòèíîé ñòàíîâèëñÿ òåìíûì. Íàäî îáúÿñíèòü íàáëþäàåìûå ÿâëåíèÿ. Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð Ìàòåìàòèêà 2 1. Ìîãóò ëè ÷èñëà N N è ( N + 1) èìåòü ðàâíûå ñóììû öèôð â äåñÿòè÷íîé çàïèñè (N íàòóðàëüíîå ÷èñëî)? 2. à) Ìîæíî ëè ñëîæèòü êâàäðàò èç 20 ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ ñ êàòåòàìè 1 è 2? á) À èç 40? 2 ( ) 3. Âû÷èñëèòå α2 − 1 ⋅ 8 2α2 + 3α + 2 , åñëè α êîðåíü óðàâíåíèÿ α 3 − α − 1 = 0 . 4. ×åòûðå çåìëåêîïà âûðûëè êàíàâó çà 2 ÷àñà. Ïðè ýòîì êàæäûé èç íèõ ïðîðàáîòàë ñòîëüêî âðåìåíè, ñêîëüêî íóæíî îñòàëüíûì òðåì, ÷òîáû âûðûòü ïîëîâèíó êàíàâû. Çà ñêîëüêî âðåìåíè îíè âûðûëè áû âñþ êàíàâó, ðàáîòàÿ âìåñòå? 5. Äàíà òàáëèöà n × n , â êàæäîé êëåòêå êîòîðîé çàïèñàíî ÷èñëî, ïðè÷åì âñå ÷èñëà â òàáëèöå ðàçëè÷íû.  êàæäîé ñòðîêå îòìåòèëè íàèìåíüøåå ÷èñëî, è âñå îòìå÷åííûå ÷èñëà îêàçàëèñü â ðàçíûõ ñòîëáöàõ. Çàòåì â êàæäîì ñòîëáöå îòìåòèëè íàèìåíüøåå ÷èñëî, è âñå îòìå÷åííûå ÷èñëà îêàçàëèñü â ðàçíûõ ñòðîêàõ. Ñêîëüêî ÷èñåë áûëî îòìå÷åíî? 6. Íà áîêîâûõ ñòîðîíàõ AB è CD ðàâíîáåäðåííîé òðàïåöèè ABCD îòëîæåíû ðàâíûå îòðåçêè AK è CL. Îòðåçîê KL ïåðåñåêàåò äèàãîíàëè AC è BD â òî÷êàõ P è Q ñîîòâåòñòâåííî. Íàéäèòå KP:PQ:QL, åñëè AD = 2BC. 7. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü õ1 , õ2 , , õn òàêîâà, ÷òî 1 , õ1 = 20, õ2 = 13. Ñóùåñòâóåò ëè òàêîé xn + 2 = xn − xn +1 íîìåð N, ÷òî õN = 0? Ôèçèêà 1. Àâòîìîáèëü äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v = 10 ì/ñ ïî ïàðàáîëè÷åñêîìó ìîñòó, ïåðåáðîøåííîìó ÷åðåç ðåêó. Èçâåñòíî, ÷òî ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìàÿ ñêîðîñòü àâòîìîáèëÿ â âåðõíåé òî÷êå ìîñòà ñîñòàâëÿåò v0 = 40 ì/ñ. Ìîñò îïèðàåòñÿ íà êàæäûé áåðåã ó ñàìîé êðîìêè âîäû. Íàéäèòå øèðèíó ðåêè, åñëè àâòîìîáèëü ïåðååçæàåò ìîñò çà âðåìÿ τ = = 11,3 ñ. #" ÊÂÀÍT 2014/¹3 2. Äâà áðóñêà ìàññàìè Ì = 900 ã è m = 300 ã ñâÿçàíû íåðàñòÿæèìîé íèòüþ äëèíîé l = 20 ñì Ðèñ. 2 (ðèñ.2). Ìåæäó áðóñêàìè âñòàâëåíà äåôîðìèðîâàííàÿ ïðóæèíà æåñòêîñòüþ k = 2,25 êÍ/ì (ïðóæèíà íå ïðèêðåïëåíà ê áðóñêàì). Ýòà ñèñòåìà áðóñêîâ äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v0 = 2,5 ì/ñ.  êàêîé-òî ìîìåíò íèòü ïåðåæèãàþò, ïîñëå ÷åãî ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ïðóæèíà âûïàäàåò, à òåëî ìàññîé Ì îñòàíàâëèâàåòñÿ. Íàéäèòå äëèíó íåäåôîðìèðîâàííîé ïðóæèíû l0 . 3. Íåáîëüøîå òåëî ìàññîé m = 1,4 ã ñîñêàëüçûâàåò èç ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ ñ âåðøèíû ãëàäêîé ñôåðû ðàäèóñîì R = 60 ñì (ðèñ.3). Íà òåëå è â öåíòðå ñôåðû ðàçìåùàþò îäèíàêîâûå ïî âåëè÷èíå ðàçíîèìåíÐèñ. 3 íûå çàðÿäû òàêèå, ÷òîáû òåëî íå îòðûâàëîñü îò ïîâåðõíîñòè ñôåðû, ïîêà îíî íå îêàæåòñÿ íà âûñîòå, ðàâíîé R/2 îò ïîâåðõíîñòè, íà êîòîðîé ïîêîèòñÿ ñôåðà. Êàêîâà âåëè÷èíà ýòèõ çàðÿäîâ? 4. Íà êîíöàõ ëåãêîé äîñêè äëèíîé L óñåëèñü äâà îäèíàêîâûõ ìàëåíüêèõ, íî òÿæåëûõ ãíîìèêà ìàññîé m êàæäûé (ðèñ.4). Äîñêó ïîëîæèëè íà ïîäñòàâêó øèðèíîé l < L òàê, Ðèñ. 4 ÷òî åå ñåðåäèíà îêàçàëàñü íàä ñåðåäèíîé ïîäñòàâêè, è îòêëîíèëè íà íåáîëüøîé óãîë α0 1 (ðàä). Îïðåäåëèòå ïåðèîä Ò ìàëûõ êîëåáàíèé ýòîé ñèñòåìû, åñëè ïðè ïåðåõîäå äîñêè ñ îäíîãî ðåáðà ïîäñòàâêè íà äðóãîå ðåáðî ïîòåðè ýíåðãèè ïðåíåáðåæèìî ìàëû, à äîñêà îò ïîäñòàâêè íå îòðûâàåòñÿ è íå ïðîñêàëüçûâàåò. Ïîñ÷èòàéòå ýòîò ïåðèîä, åñëè L = 5 ì, l = 1 ì, α 0 = 0,1 ðàä, m = 12 êã. 5. Áàêåí îáúåìîì V = 150 ë íà äâå òðåòè îáúåìà ïîãðóæåí ó áåðåãà â âîäó (ðèñ.5). Îí ïðèâÿçàí âåðåâêîé äëèíîé l = 5 ì ê áðóñêó ìàññîé m = 50êã, ëåæàùåìó íà ïåñ÷àíîì äíå âîäîåìà ãëóáèíîé h = 4,5 ì. Âåðåâêà íåìíîãî ïðîâèñàåò. Ñìîæåò ëè áðóñîê îòîðâàòüñÿ îò äíà ïðè ïîâûøåíèè óðîâíÿ âîäû âî âðåìÿ ïðèëèâà? Êàêèì áóäåò ðåçóëüòàò, åñëè äíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êðóïíóþ ãàëüêó? ÏëîÐèñ. 5 ùàäü âåðõíåé ïîâåðõíîñòè áðóñêà S = 400 ñì2 , ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà áðóñêà ρ = 8 ã ñì 3 , ïëîòíîñòü âîäû ρ0 = 1 ã ñì 3 , Ðèñ. 6 àòìîñôåðíîå äàâëåíèå pa = 105 Ïà . 6. Êîëáà, çàïîëíåííàÿ âîçäóõîì, èìååò îáúåì V = 1 ë, åå ãîðëûøêî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé öèëèíäð âûñîòîé Í = 25 ñì è äèàìåòðîì d = 3,6 ñì (ðèñ.6). Ãîðëûøêî çàêðûòî òîíêèì íåâåñîìûì ïîðøíåì, ðàñïîëîæåííûì ïî÷òè ó ñàìîãî âåðõà.  ãîðëûøêî íà÷èíàþò ìåäëåííî íàëèâàòü ðòóòü (ïëîò- íîñòü ðòóòè ρ = 13,6 ã ñì 3 ). Ñíà÷àëà ïîðøåíü îïóñêàåòñÿ íà 21 ñì, çàòåì îñòàíàâëèâàåòñÿ, è æèäêîñòü íà÷èíàåò ñòåêàåòü ÷åðåç êðàÿ ãîðëûøêà. Íàéäèòå, êàêîâà ìàññà æèäêîñòè, çàëèòîé â ãîðëûøêî, è ïðè êàêîì àòìîñôåðíîì äàâëåíèè ïðîâîäèëñÿ îïûò (äàâëåíèå âûðàçèòå â ìì ðò.ñò.). Òåìïåðàòóðó ñ÷èòàéòå ïîñòîÿííîé. Òðåíèåì ïðåíåáðåãèòå. 7. Èçâåñòíî, ÷òî êîãäà ëó÷ ñâåòà ïàäàåò íà ïëîñêóþ ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó ïåðïåíäèêóëÿðíî åå ïîâåðõíîñòè, òî 8% ñâåòîâîé ýíåðãèè îòðàæàåòñÿ (çäåñü ó÷òåíî îòðàæåíèå îò îáåèõ ïîâåðõíîñòåé ïëàñòèíêè), à 92% ïðîõîäèò. Ñëåäîâàòåëüíî, êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ R = 0,08, êîýôôèöèåíò ïðîïóñêàíèÿ D = 0,92. Íàéäèòå êîýôôèöèåíò ïðîïóñêàíèÿ ñòîïêè èç n = 11 òàêèõ ñòåêëÿííûõ ïëàñòèíîê. Èñòîðèÿ íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé Ìàòåìàòèêà 1. Ìàòåìàòèêè Äðåâíåé Ãðåöèè íàçûâàëè ñîâåðøåííûì íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ðàâíîå ñóììå âñåõ ñâîèõ ñîáñòâåííûõ äåëèòåëåé, ò.å. äåëèòåëåé, îòëè÷íûõ îò ñàìîãî ÷èñëà. Êîíå÷íî èëè áåñêîíå÷íî ìíîæåñòâî ñîâåðøåííûõ ÷èñåë, íå èçâåñòíî äî ñèõ ïîð ýòî òàê íàçûâàåìàÿ ïðîáëåìà ñîâåðøåííûõ ÷èñåë. ×èñëî, áîëüøåå (ìåíüøåå) ñóììû âñåõ ñâîèõ ñîáñòâåííûõ äåëèòåëåé, äðåâíèå ãðåêè íàçâàëè èçáûòî÷íûì (íåäîñòàòî÷íûì). Âûÿñíèòå, êîíå÷íî èëè áåñêîíå÷íî ìíîæåñòâî: à) èçáûòî÷íûõ, á) íåäîñòàòî÷íûõ ÷èñåë. 2. Èòàëüÿíñêèé ìàòåìàòèê Íèêêîëî Òàðòàëüÿ îáíàðóæèë ìíîãî èíòåðåñíûõ ñîîòíîøåíèé ìåæäó ñòåïåíÿìè öåëûõ ÷èñåë.  ÷àñòíîñòè, îí äîêàçàë, ÷òî âñÿêîå êóáè÷åñêîå ÷èñëî (ò.å. êóá) ðàâíî ðàçíîñòè äâóõ êâàäðàòíûõ ÷èñåë (ò.å. êâàäðàòîâ). Äîêàæèòå ýòî è âû. 3.  1585 ãîäó ôëàìàíäñêèé èíæåíåð Ñèìîí Ñòåâåí îïóáëèêîâàë êíèãó î äåñÿòè÷íûõ äðîáÿõ, è ñ òåõ ïîð äåñÿòè÷íûå äðîáè ñòàëè îñíîâíûì àïïàðàòîì èíæåíåðíûõ è èíûõ ðàñ÷åòîâ. à) Ïðåäñòàâüòå â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè îáûêíîâåííóþ äðîáü 1/37. á) Îáðàòèòå â îáûêíîâåííóþ äðîáü áåñêîíå÷íóþ ïåðèîäè÷åñêóþ äðîáü 0,25(243). 4. Âåëèêèé íåìåöêèé ìàòåìàòèê Ê.Ô.Ãàóññ èçìåðÿë óãëû òðåóãîëüíèêà, îáðàçîâàííîãî âåðøèíàìè òðåõ óäàëåííûõ äðóã îò äðóãà ãîð. Çà÷åì îí ýòî äåëàë? 5. Äî ñåðåäèíû XVII âåêà â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé íå áûëî íå òîëüêî öåëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè, íî äàæå íèêàêîãî îáùåãî ìåòîäà ðåøåíèÿ çàäà÷.  ñåðåäèíå XVII âåêà Á.Ïàñêàëü, Ï.Ôåðìà è Õ.Ãþéãåíñ ðàçðàáîòàëè ìåòîäû ðåøåíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ çàäà÷, ïîõîæèõ íà ïðåäëàãàåìóþ âàì çàäà÷ó: ×òî áîëåå âåðîÿòíî âûèãðàòü ó ðàâíîñèëüíîãî ïðîòèâíèêà òðè ïàðòèè èç ÷åòûðåõ èëè ïÿòü ïàðòèé èç âîñüìè? Ôèçèêà 1. Äëÿ èçó÷åíèÿ ñòðîåíèÿ ìàòåðèè ñîâðåìåííàÿ ôèçèêà èñïîëüçóåò êàê òåîðåòè÷åñêèå, òàê è ýêñïåðèìåíòàëüíûå ìåòîäû. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ âçàèìîäåéñòâèé ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö íåîáõîäèìû èñòî÷íèêè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö âûñîêèõ ýíåðãèé. Çà ïîñëåäíèå ïîëâåêà äëÿ ôèçè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé ïîñòðîåíû óñêîðèòåëè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ñ ðàçëè÷íûìè ýíåðãèÿìè ÷àñòèö â ïó÷êå.  2008 ãîäó ïðîèçâåäåí ïóñê ñàìîãî ìîùíîãî íà ñåãîäíÿ óñêîðèòåëÿ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, êîòîðûé ïîçâîëèë ýêñïåðèìåíòàëüíî ïðîâåðèòü òåîðåòè÷åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ ôèçèêè âûñîêèõ ýíåðãèé. Ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé íà íåì äàëè ïîäòâåðæäåíèå òåîðåòè÷åñêèì îòêðûòèÿì ïîëóâåêî- ## ÎËÈÌÏÈÀÄÛ âîé äàâíîñòè, óäîñòîåííûõ â 2013 ãîäó Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ôèçèêå. à) Êàêîé óñêîðèòåëü áûë çàïóùåí â 2008 ãîäó? á) Ãäå îí ðàñïîëîæåí? â) Íà êàêóþ ýíåðãèþ ÷àñòèö ðàññ÷èòàí ýòîò óñêîðèòåëü? ã) Êàêèå ïîëó÷åííûå íà íåì ðåçóëüòàòû âàì èçâåñòíû? 2. Ñòî ëåò íàçàä Íîáåëåâñêàÿ ïðåìèÿ ïî ôèçèêå áûëà âðó÷åíà «çà èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ âåùåñòâà ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ, êîòîðûå ïðèâåëè ê ïðîèçâîäñòâó æèäêîãî ãåëèÿ».  õîäå ýòèõ èññëåäîâàíèé áûëà îáíàðóæåíà ñâåðõïðîâîäèìîñòü ìåòàëëîâ è ñâåðõòåêó÷åñòü æèäêîãî ãåëèÿ. Êîëëåãè íàçûâàëè ýòîãî ó÷åíîãî «Ãîñïîäèí Àáñîëþòíîãî Íóëÿ». Îí áûë íå òîëüêî ôèçèêîì, íî è òàëàíòëèâûì èíæåíåðîì. Ñðåäè åãî ðàçðàáîòîê, íàïðèìåð, âàãîí-ðåôðèæåðàòîð. à) Î êàêîì ó÷åíîì èäåò ðå÷ü? á)  êàêîé ñòðàíå îí æèë è ðàáîòàë? 3. Ýòà èäåÿ ê íà÷àëó XIX âåêà áûëà ïðèíÿòà ïî÷òè âñåìè õèìèêàìè ìèðà.  1860 íà Âñåìèðíîì ñúåçäå õèìèêîâ â Êàðëñðóý áûëè îêîí÷àòåëüíî ñôîðìóëèðîâàíû õèìè÷åñêèå àñïåêòû ýòîé èäåè. Îäíàêî ïî÷òè âñå ôèçèêè ñ÷èòàëè åå, â ëó÷øåì ñëó÷àå, íåïëîõîé ðàñ÷åòíîé ìîäåëüþ, íî íå êàðòèíîé ôèçè÷åñêîé ðåàëüíîñòè. Èçâåñòíûå ôèçèêè Ã.Ãåëüìãîëüö è Ý.Ìàõ âîîáùå óòâåðæäàëè, ÷òî ýòà èäåÿ ëèøåíà ôèçè÷åñêîãî îñíîâàíèÿ, óòâåðæäàÿ, ÷òî ìàòåðèÿ íåïðåðûâíà. Òîëüêî òàêèå âûäàþùèåñÿ ôèçèêè, êàê Äæ.Ìàêñâåëë, Ë.Áîëüöìàí, À.Ýéíøòåéí, Ý.Ðåçåðôîðä è íåêîòîðûå äðóãèå, óâåðåííî óòâåðæäàëè, ÷òî ýòà èäåÿ îïðåäåëÿåò íàøè âîççðåíèÿ íà ñòðîåíèå ìàòåðèè. Äâàäöàòûé âåê ïîäòâåðäèë èõ ïðàâîòó. Ýòà èäåÿ ñåãîäíÿ íå òîëüêî ïîçâîëÿåò ó÷åíûì ñòðîèòü íîâûå òåîðèè, íî è øèðîêî ïðåäñòàâëåíà â èíæåíåðíîé ïðàêòèêå â îáëàñòè õèìèè, ìàòåðèàëîâåäåíèÿ, íàíîòåõíîëîãèé. à) Ñôîðìóëèðóéòå ýòó èäåþ. á) Êàêèå ðåøåíèÿ óïîìÿíóòîãî ñúåçäà 1860 ãîäà ñôîðìóëèðîâàíû â ðàìêàõ ýòîé èäåè? 4. Ñîâðåìåííûå íàó÷íî-òåõíè÷åñêèå ðàçðàáîòêè îñíîâàíû íà íàíîòåõíîëîãèÿõ. Äëÿ èõ îñóùåñòâëåíèÿ òðåáóåòñÿ èíôîðìàöèÿ î ðàñïîëîæåíèè îòäåëüíûõ àòîìîâ è ìîëåêóë âåùåñòâà.  1986 ãîäó áûë ïîñòðîåí ïåðâûé ïðèáîð, ïîçâîëÿþùèé ïîëó÷èòü òàêóþ èíôîðìàöèþ.  îñíîâå äåéñòâèÿ ýòîãî ïðèáîðà ëåæèò èñïîëüçîâàíèå ñèë Âàí-äåð-Âààëüñà, äåéñòâóþùèõ ìåæäó àòîìàìè çîíäà è îòäåëüíûìè ÷àñòèöàìè âåùåñòâà. Äëÿ ðåãèñòðàöèè ýòîãî âçàèìîäåéñòâèÿ èñïîëüçóåòñÿ èçìåðèòåëü íàíîïåðåìåùåíèé. Ýòîò ïðèáîð ìîæåò ïðèìåíÿòüñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìèêðîðåëüåôà ïîâåðõíîñòè ëþáûõ âåùåñòâ, êàê ïðîâîäÿùèõ, òàê è íåïðîâîäÿùèõ, ñ åãî ïîìîùüþ ìîæíî íàáëþäàòü âñåâîçìîæíûå íåñîâåðøåíñòâà ñòðóêòóðû, ëîêàëèçîâàííûå íà èçó÷àåìûõ ïîâåðõíîñòÿõ, íàïðèìåð äèñëîêàöèè èëè çàðÿæåííûå äåôåêòû, à òàêæå âñÿ÷åñêèå ïðèìåñè. Íàçîâèòå ýòîò ïðèáîð. 5.  1959 ãîäó èçâåñòíûé ôèçèê âïåðâûå îïóáëèêîâàë ðàáîòó, â êîòîðîé íàó÷íî äîêàçàë, ÷òî ñ òî÷êè çðåíèÿ ôóíäàìåíòàëüíûõ çàêîíîâ ôèçèêè íåò íèêàêèõ ïðåïÿòñòâèé ê òîìó, ÷òîáû ñîçäàâàòü âåùè ïðÿìî èç àòîìîâ.  ýòîé ðàáîòå îöåíèâàëèñü ïåðñïåêòèâû ìèíèàòþðèçàöèè. Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ íàíîòåõíîëîãèé áûëè íàìå÷åíû â åãî ëåãåíäàðíîé ëåêöèè «Òàì, âíèçó, ìíîãî ìåñòà» («There is Plenty of Room at the Bottom»), ïðîèçíåñåííîé èì â Êàëèôîðíèéñêîì òåõíîëîãè÷åñêîì èíñòèòóòå. à) Êòî ÿâëÿåòñÿ àâòîðîì ýòèõ èäåé? á) Êàêèå åãî íàèáîëåå ÿðêèå äîñòèæåíèÿ â ôèçèêå âàì èçâåñòíû? II ÌÅÆÄÓÍÀÐÎÄÍÛÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÒÓÐÍÈÐ ÈÌÅÍÈ Ì.Â.ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀ ÄËß Ó×ÀÙÈÕÑß 58 ÊËÀÑÑΠ56 êëàññû Óñòíûé êîìàíäíûé òóð 1. Äàí êâàäðàò ABCD ñî ñòîðîíîé 12, K ñåðåäèíà ñòîðîíû AB, L ñåðåäèíà ñòîðîíû BC. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà DKL. 2. ×åòíûì èëè íå÷åòíûì ÷èñëîì áóäåò ñóììà âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî 2013 âêëþ÷èòåëüíî? 3. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî âñåõ ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, êîòîðûå íå äåëÿòñÿ íà 3. 4. Íàéäèòå, êàê ðàçðåçàòü ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè 16 ñì è 9 ñì íà äâå ðàâíûå ÷àñòè, èç êîòîðûõ ìîæíî ñîñòàâèòü êâàäðàò. 5. Ñ ïîìîùüþ âñåõ 10 öèôð, âçÿòûõ ïî îäíîé, è àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé çàïèøèòå àðèôìåòè÷åñêîå âûðàæåíèå, ðàâíîå 9. 6. Íà êàæäóþ èç øåñòè ãðàíåé êóáèêà ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì ïîìåùåíî îäíî èç ÷èñåë 1, 2, 3, 4, 5, 6. Îáúÿñíèòå, ïî÷åìó îáÿçàòåëüíî íàéäóòñÿ äâå ñîñåäíèå ãðàíè, íà êîòîðûõ ðàñïîëîæåíû ñîñåäíèå ÷èñëà. Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð 1.  ïðÿìîóãîëüíèêå ñóììà äâóõ êàêèõ-òî ñòîðîí ðàâíà 19 ñì, à ñóììà òðåõ êàêèõ-òî ñòîðîí ðàâíà 15 ñì. Íàéäèòå ïåðèìåòð ýòîãî ïðÿìîóãîëüíèêà. 2. Ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè, ñîåäèíÿþùåé ïóíêòû A è B, âåñíîé ðàâíà 2 êì/÷, ëåòîì 1 êì/÷, à ñêîðîñòü êàòåðà îòíîñèòåëüíî âîäû ðàâíà 16 êì/÷. Îïðåäåëèòå, âåñíîé èëè ëåòîì êàòåðó ïîòðåáóåòñÿ ìåíüøå âðåìåíè, ÷òîáû ïðîïëûòü èç A â B è îáðàòíî. Îòâåò íåîáõîäèìî îáîñíîâàòü. 3.  íà÷àëå 2013-çíà÷íîãî ÷èñëà ñòîÿò 2012 åäèíèö, ïîñëåäíÿÿ öèôðà 9. ßâëÿåòñÿ ëè ýòî ÷èñëî êâàäðàòîì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà? 4. Íàéäèòå ñóììó 2013 2012 + 2011 2010 + 4 + + 3 2 + 1. 5. Íà êàêóþ íàèáîëüøóþ ñòåïåíü ÷èñëà 3 äåëèòñÿ ïðîèçâåäåíèå âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî 100 âêëþ÷èòåëüíî? 6. Ôèãóðó, ñîñòàâëåííóþ èç ïÿòè ðàâíûõ êâàäðàòîâ (ðèñ. 7), ðàçðåæüòå íà ÷åòûðå ðàâÐèñ. 7 íûå ìåæäó ñîáîé ôèãóðû. 78 êëàññû Óñòíûé êîìàíäíûé òóð 1. Äàí êâàäðàò ABCD ñî ñòîðîíîé 6, E ñåðåäèíà ñòîðîíû CD, îòðåçêè AC è BE ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå F. Íàéäèòå ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà ADEF. 2. Êàêîå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå èìååò ñóììà x +1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 ? 3.  øêîëå ýêçàìåí ïî ìàòåìàòèêå ñäàâàëè 68 ó÷àùèõñÿ, è êàæäûé ïîëó÷èë îäíó èç îöåíîê «3», «4» èëè «5». Ïðè ñëîæåíèè âñåõ îöåíîê ïîëó÷èëè ÷èñëî 270. Îïðåäåëèòå, êàêèõ îöåíîê ïîñòàâëåíî áîëüøå: òðîåê èëè ïÿòåðîê è íà ñêîëüêî. 4.  ïðÿìîóãîëüíèêå ABCD òî÷êè M è N ñåðåäèíû ñòîðîí AB è CD ñîîòâåòñòâåííî. ×åðåç òî÷êó M ïðîâîäèòñÿ ïðÿìàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ äèàãîíàëü ÀÑ â òî÷êå P è ïðîäîëæåíèå ñòîðîíû ÂÑ â òî÷êå Q, ïðè÷åì òî÷êà B ëåæèò ìåæäó òî÷êàìè C è Q. Äîêàæèòå, ÷òî ∠MNP = ∠MNQ . #$ ÊÂÀÍT 2014/¹3 5. Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 737 − 108 2 â âèäå a + b 2 , ãäå a, b íåêîòîðûå öåëûå ÷èñëà. 6. Íà ñòîëå ëåæàò 20 êó÷åê îðåõîâ. Ðàçðåøàåòñÿ äîáàâëÿòü ïî îäíîìó îðåõó îäíîâðåìåííî ê ëþáûì 3 êó÷êàì. Äîêàæèòå, ÷òî, ïîâòîðÿÿ ýòó îïåðàöèþ, ìîæíî óðàâíÿòü êîëè÷åñòâî îðåõîâ âî âñåõ êó÷êàõ. Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð 1. Âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 1 äî 2013 âêëþ÷èòåëüíî âûïèñàëè ïîäðÿä è íàøëè ñóììó âñåõ öèôð. Íàéäèòå, êàêîé îñòàòîê ïîëó÷èòñÿ ïðè äåëåíèè ýòîé ñóììû íà 9. x − 3 + x + 3 = 6 ; á) 2. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ: à) x−3 + x + x+3 =6. 3. Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 1 3 â âèäå ñóììû øåñòè äðîáåé âèäà 1 n , âñå çíàìåíàòåëè êîòîðûõ ðàçëè÷íûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà. 4. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè a + b + c = 0, òî (a 2 + b2 + c2 ) 2 ( ) = 2 a 4 + b4 + c4 . 5.  òðåóãîëüíèêå ABC òî÷êè M íà ñòîðîíå ÀÂ, N íà ñòîðîíå BC, K íà ñòîðîíå ÑÀ ïîñòàâëåíû òàê, ÷òî AM : MB = BN : NC = CK : KA = 4 : 3 . Êàêóþ ÷àñòü ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ñîñòàâëÿåò ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà MNK? 6. Êàæäàÿ ñòîðîíà è êàæäàÿ äèàãîíàëü âûïóêëîãî øåñòèóãîëüíèêà îêðàøåíà ëèáî â êðàñíûé, ëèáî â çåëåíûé öâåò. Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ òðåóãîëüíèê ñ âåðøèíàìè â âåðøèíàõ ýòîãî øåñòèóãîëüíèêà, âñå ñòîðîíû êîòîðîãî îêðàøåíû â îäèí öâåò. Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Â.Àëüìèíäåðîâ, À.Åãîðîâ, À.Êðàâöîâ, Â.Êðûøòîï, À.Ìàðêîâè÷åâ, Æ.Ðàááîò, Ë.Øëÿïî÷íèê Âñåðîññèéñêàÿ ñòóäåí÷åñêàÿ îëèìïèàäà ïî ôèçèêå 2014 ãîäà Ìîñêîâñêèé (II) òóð Âñåðîññèéñêîé ôèçè÷åñêîé îëèìïèàäû ñòóäåíòîâ òåõíè÷åñêèõ âóçîâ ïðîøåë 5 àïðåëÿ 2014 ãîäà â Ìîñêîâñêîì ãîñóäàðñòâåííîì òåõíè÷åñêîì óíèâåðñèòåòå (ÌÃÒÓ) èìåíè Í.Ý.Áàóìàíà.  êîìàíäíîì çà÷åòå ïåðâîå ìåñòî çàíÿëà êîìàíäà ÌÃÒÓ èìåíè Í.Ý.Áàóìàíà, íàáðàâøàÿ 194 áàëëà, âòîðîå ìåñòî êîìàíäà Ðîññèéñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà íåôòè è ãàçà èìåíè È.Ì. Ãóáêèíà, íàáðàâøàÿ 129 áàëëîâ, è òðåòüå ìåñòî êîìàíäà Êàëóæñêîãî ôèëèàëà ÌÃÒÓ èìåíè Í.Ý.Áàóìàíà, íàáðàâøàÿ 114 áàëëîâ. Ïîáåäèòåëÿìè â ëè÷íîì çà÷åòå ñòàëè: Áëàíê Ñåðãåé ïåðâîå ìåñòî, Øèáàåâ Ìàêñèì âòîðîå ìåñòî è Ðîãîæèíñêèé Êîíñòàíòèí òðåòüå ìåñòî (âñå òðîå èç ÌÃÒÓ èìåíè Í.Ý.Áàóìàíà). Çàêëþ÷èòåëüíûé (III) òóð îëèìïèàäû ñîñòîÿëñÿ 15 ìàÿ òîæå â ÌÃÒÓ èìåíè Í.Ý.Áàóìàíà.  êîìàíäíîì çà÷åòå ïåðâîå ìåñòî çàâîåâàëà êîìàíäà Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ïîëèòåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà (ÑÏáÃÏÓ), íàáðàâøàÿ 125 áàëëîâ, âòîðîå ìåñòî êîìàíäà ÌÃÒÓ èìåíè Í.Ý. Áàóìàíà, íàáðàâøàÿ 94 áàëëà, è òðåòüå ìåñòî êîìàíäà Ìîñêîâñêîãî àâèàöèîííîãî èíñòèòóòà, íàáðàâøàÿ 50 áàëëîâ. Ïîáåäèòåëÿìè â ëè÷íîì çà÷åòå ñòàëè: Ñîáîëåâ Àíòîí (ÑÏáÃÏÓ) ïåðâîå ìåñòî, Àâäååâ Èâàí (ÑÏáÃÏÓ) âòîðîå ìåñòî è Øèáàåâ Ìàêñèì (ÌÃÒÓ èìåíè Í.Ý.Áàóìàíà) òðåòüå ìåñòî. ÇÀÄÀ×È ÎËÈÌÏÈÀÄÛ Ìîñêîâñêèé òóð 1. Ãîðèçîíòàëüíî ðàñïîëîæåííûé ðåçèíîâûé øíóð ïðàâûì êîíöîì çàêðåïèëè íà ñòåíêå, à åãî ëåâûé êîíåö òÿíóò â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè âëåâî ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v. Æóê ïîëçåò ïî øíóðó îò ñòåíêè ê ëåâîìó êîíöó ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ u. Îïðåäåëèòå ìàêñèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðàâûì êîíöîì øíóðà è æóêîì â ïðîöåññå äàëüíåéøåãî äâèæåíèÿ ïðè v > u. Íà÷àëüíàÿ äëèíà øíóðà ðàâíà l. 2. Ñàíêè äëèíîé l ñúåõàëè ñ ãîðêè ïî ñíåãó è, ðàçîãíàâøèñü äî ñêîðîñòè v0 , âúåõàëè íà ãîðèçîíòàëüíûé ó÷àñòîê ñ àñôàëüòîì. Îïðåäåëèòå ïóòü, êîòîðûé ïðîéäóò ñàíêè ïî àñôàëüòó äî ïîëíîé îñòàíîâêè, åñëè êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ñàíîê ñ àñôàëüòîì ðàâåí µ . 3. Êîñìè÷åñêàÿ ñòàíöèÿ äâèæåòñÿ ïî ñòàöèîíàðíîé êðóãîâîé îðáèòå ðàäèóñîì R âîêðóã Çåìëè. Ñòàíöèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâà øàðà ìàññîé m è ðàäèóñîì r, ñîåäèíåííûõ æåñòêèì ñòåðæíåì äëèíîé L ( r L R ). Îïðåäåëèòå óãëîâóþ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ω0 ñòàíöèè âîêðóã îñè âðàùåíèÿ, ñîâïàäàþùåé ñ æåñòêèì ñòåðæíåì, íåîáõîäèìóþ äëÿ òîãî, ÷òîáû óãîë ìåæäó ðàäèóñîì-âåêòîðîì ñòàíöèè, ïðîâåäåííûì îò öåíòðà Çåìëè, è îñüþ âðàùåíèÿ ñòàíöèè áûë ðàâåí α è îñòàâàëñÿ ïîñòîÿííûì. Ó÷òèòå èçìåíåíèå ñèëû òÿæåñòè íà ðàññòîÿíèè L. 4. Ïîðøåíü ïëîùàäüþ S è ìàññîé M ëåæèò íà äíå âåðòèêàëüíî ðàñïîëîæåííîãî öèëèíäðà, âåðõíèé êîíåö êîòîðîãî îòêðûò â àòìîñôåðó. ×åðåç íåáîëüøîå îòâåðñòèå â äíå öèëèíäðà ïîä ïîðøåíü ìåäëåííî çàêà÷èâàþò âîçäóõ èç àòìîñôåðû äî òåõ ïîð, ïîêà ïîðøåíü íå ïîäíèìåòñÿ íà âûñîòó h. Îïðåäåëèòå ñîâåðøåííóþ ðàáîòó, ñ÷èòàÿ, ÷òî ïðîöåññ èçîòåðìè÷åñêèé. 5. Ìåòàëëè÷åñêèé ïîëóöèëèíäð ðàäèóñîì R è äëèíîé L R , îáðàçîâàííûé ñåêóùåé ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî îñü, çàðÿæåí çàðÿäîì Q. Îñíîâàíèå ýòîãî ïîëóöèëèíäðà çàêðûòî äèýëåêòðè÷åñêîé ïëàñòèíîé äëèíîé L è øèðèíîé 2R, çàðÿæåííîé ðàâíîìåðíî ïî ïîâåðõíîñòè çàðÿäîì q. Îïðåäåëèòå ñèëó âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ïëàñòèíîé è ïîëóöèëèíäðîì. 6. Ïî ïîëóáåñêîíå÷íîìó öèëèíäðè÷åñêîìó ñîëåíîèäó ðàäèóñîì R ñ ïëîòíîñòüþ íàìîòêè n ïðîòåêàåò òîê I. Îïðåäåëèòå ïîòîê ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïðîíèçûâàþùåãî êîëüöî ðàäèóñîì 2R, ëåæàùåãî â ïëîñêîñòè ñðåçà, öåíòð êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ îñüþ öèëèíäðà. 7. Äâå ïëîñêèå ãàðìîíè÷åñêèå ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû èíòåíñèâíîñòüþ I0 ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â âàêóóìå: ïåðâàÿ âäîëü îñè x, âòîðàÿ âäîëü îñè y. Âåêòîðû íàïðÿæåííîñòè E îáåèõ âîëí êîëåáëþòñÿ âäîëü îñè z. Ïîñòðîéòå ãîäîãðàô âåêòîðà Ïîéíòèíãà S â òî÷êå, ãäå ðàçíîñòü ôàç ìåæäó âîëíàìè ðàâíà π 2 . ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, ÇÀÊËÞ×ÈÒÅËÜÍÛÉ ÒÓÐ 1. Àâòîìîáèëü äâèæåòñÿ ïî ðîâíîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè, êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ñ êîòîðîé ðàâåí µ . Àâòîìîáèëü äîëæåí ñîâåðøèòü ïîâîðîò íà 90° ãðàäóñîâ çà ìèíèìàëüíî âîçìîæíîå âðåìÿ. Ñ÷èòàÿ, ÷òî íà÷àëî ìàíåâðà ñîâïàëî ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò, à îñü y íàïðàâëåíà ïî âåêòîðó ñêîðîñòè, âåëè÷èíà êîòîðîé â íà÷àëå è êîíöå ïîâîðîòà ðàâíà v, îïðåäåëèòå òðàåêòîðèþ äâèæåíèÿ çà âðåìÿ ñîâåðøåíèÿ ìàíåâðà. 2. Òîíêàÿ íåðàñòÿæèìàÿ è àáñîëþòíî ãëàäêàÿ íèòü çàêðåïëåíà íà ïîòîëêå â òî÷êàõ A è B, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ðàâíî a. Äëèíà íèòè l = 2a. Èç òî÷êè A íà÷èíàåò ñêîëüçèòü ìàëåíüêîå êîëüöî, â êîòîðîå ïðîäåòà íèòü. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü êîëüöà ñðàçó ïîñëå íàòÿæåíèÿ íèòè. 3. Íà äëèííûõ íåâåñîìûõ íèòÿõ, êàñàÿñü äðóã äðóãà, ïîäâåøåíà î÷åíü äëèííàÿ öåïî÷êà øàðèêîâ îäèíàêîâîãî äèàìåòðà, ìàññà êîòîðûõ óáûâàåò, îáðàçóÿ ïðîãðåññèþ. Îïðåäåëèòå ýòó ïðîãðåññèþ, åñëè èçâåñòíî, ÷òî êîãäà ïåðâîìó øàðèêó óäàðîì ïðèäàþò ñêîðîñòü v0 , òî âñÿ öåïî÷êà, êðîìå ïîñëåäíåãî øàðèêà, ïîñëå ñåðèè àáñîëþòíî óïðóãèõ ñîóäàðåíèé íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ êàê åäèíîå öåëîå ñî ñêîðîñòüþ v0 2 . 4. Îïðåäåëèòå ïåðèîä êîëåáàíèé òðåóãîëüíèêà, ñîñòîÿùåãî èç òðåõ ñòåðæíåé îäèíàêîâîé ìàññû, îòíîñèòåëüíî îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè òðåóãîëüíèêà è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âåðøèíó O, â êîòîðîé ñõîäÿòñÿ ñòåðæíè a è b. Äëèíà è îðèåíòàöèÿ ýòèõ ñòåðæíåé çàäàíû âåêòîðàìè a è b . 5. Íàãðåòûé ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè â ýêâàòîðèàëüíîé ÷àñòè âîçäóõ ïîäíèìàåòñÿ â âåðõíèå ñëîè àòìîñôåðû è âïîñëåä- #% ÐÅØÅÍÈß ñòâèè îïóñêàåòñÿ ê ïîâåðõíîñòè Çåìëè â ïîëÿðíûõ îáëàñòÿõ. Ïðèíèìàÿ, ÷òî âîçäóõ, ïîäíèìàÿñü â âåðõíèå ñëîè àòìîñôåðû èëè îïóñêàÿñü âíèç, ðàñøèðÿåòñÿ èëè ñæèìàåòñÿ àäèàáàòè÷åñêè, îïðåäåëèòå èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû âîçäóõà ñ âûñîòîé T ( z ) , ñ÷èòàÿ, ÷òî íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè òåìïåðàòóðà ðàâíà T0 . 6. Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü â ôîðìå êóáà ñ ðåáðîì l çàðÿæåíà ðàâíîìåðíî ïî ïîâåðõíîñòè ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäà σ . Îïðåäåëèòå ñèëó, äåéñòâóþùóþ íà ãðàíü êóáà. 7. Çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà ñ çàðÿäîì q è ìàññîé m äâèæåòñÿ co ñêîðîñòüþ v â ìàãíèòíîì ïîëå äèïîëÿ â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè äèïîëÿ. Ìàãíèòíîå ïîëå äèïîëÿ ìåíÿåòñÿ ñ ðàññòîÿíèåì ïî çàêîíó B = a r 3 . Îïðåäåëèòå ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîå ìîæåò ïðèáëèçèòüñÿ ÷àñòèöà ê äèïîëþ, åñëè îíà íà÷èíàåò äâèæåíèå èç áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè â íàïðàâëåíèè ê äèïîëþ ñòðîãî âäîëü ðàäèóñà-âåêòîðà r . 8. Çàðÿä q ñ ìàññîé m äâèæåòñÿ ïî çàìêíóòîé òðàåêòîðèè ïîä äåéñòâèåì ïîñòîÿííîãî îäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ èíäóêöèåé B, íàïðàâëåííîé ïî îñè y, è ïåðåìåííîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E = E0 cos ωt , íàïðàâëåííîãî ïî îñè z. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ äâèæåíèå çàðÿäà áóäåò ïåðèîäè÷åñêèì ñ êðóãîâîé ÷àñòîòîé, ñîâïàäàþùåé ñ êðóãîâîé ÷àñòîòîé ω èçìåíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ? Îïðåäåëèòå çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè ïðîåêöèé vz è vx ñêîðîñòè çàðÿäà. Êàêîâà áóäåò ïðè ýòîì òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ çàðÿäà? Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè À.Ìàêàðîâ, Â.Ãîëóáåâ, Â.Ãëóøêîâ ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, ÐÅØÅÍÈß «ÊÂÀÍÒ» ÄËß ÌËÀÄØÈÕ ØÊÎËÜÍÈÊΠÇÀÄÀ×È Òåïåðü ïîñìîòðèì íà ïîñëåäíþþ òåëåãðàììó. Åñëè çàïèñàòü åå êàê ïðèìåð íà ñëîæåíèå â ñòîëáèê: (ñì. «Êâàíò» ¹2) 1. 6. Ïóñòü Àíÿ îòäàëà ïîëîâèíó ñâîèõ ãðèáîâ Âèòå. Òåïåðü ó âñåõ ðåáÿò ñòàëî ïîðîâíó ãðèáîâ (è ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ó Âèòè ñâîèõ ãðèáîâ íå áûëî). ×òîáû Ñàøà ïîëó÷èë âñå Àíèíû ãðèáû, åìó íàäî çàáðàòü ãðèáû ó Àíè è ó Âèòè. Òîãäà ó íåãî áóäóò ãðèáû òðîèõ ðåáÿò: Àíè, Âèòè è åãî ñîáñòâåííûå. Åùå ñòîëüêî æå áóäåò ó îñòàëüíûõ ðåáÿò. Çíà÷èò, â ëåñ õîäèëî åùå òðîå äåòåé, èìåíà êîòîðûõ íàì íå ñîîáùèëè. 2. Îäíà èç ïîäõîäÿùèõ ôèãóð èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå 1. 3. Ïîåçä ¹392, âàãîí ¹2. Ïîñìîòðèì íà ñàìóþ äëèííóþ òåëåãðàììó. Âèäíî, ÷òî â ïðàâîé è ëåâîé ÷àñòÿõ íàïèñàíî îäíî è òî æå: ÅÒ ÎÉ. Ýòî Ðèñ. 1 çíà÷èò, ÷òî è â ñòàðøèõ ðàçðÿäàõ ñëåâà è ñïðàâà áóäåò îäíî è òî æå: ÑÅÊÐ ÎÒÊÐ = ÎÒ ÒÂ. Òåïåðü, åñëè âûïîëíèòü âû÷èòàíèÿ, òî ñïðàâà è ñëåâà ñîêðàòÿòñÿ ïî äâå áóêâû, ò.å. íà êîíöàõ áóäåò ïî äâà íóëÿ. Åñëè ðàçäåëèòü íà 100, òî ïîëó÷èòñÿ ÑÅ ÎÒ = Î. òî âèäíî, ÷òî ÎÒ + 2 = ÑÅ. Ñîïîñòàâèâ ýòî ñ ïðåäûäóùèì ðàâåíñòâîì, ìîæíî ïîíÿòü, ÷òî Î = 2, à òîãäà Ñ = 3. Êðîìå òîãî, ïðè ñëîæåíèè ïðîèçîøåë ïåðåíîñ èç ðàçðÿäà â ðàçðÿä äåñÿòêîâ, ò.å. Ò = 8 èëè Ò = 9. Íî åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî Ò = 8, òî ïîëó÷èòñÿ, ÷òî Å = 0, à òîãäà ïðè ñëîæåíèè Û + + 1 = Å (ò.å. Û + 1 = 0) íåèçáåæíî ïðîèçîøåë áû ïåðåíîñ â ñëåäóþùèé ðàçðÿä. Íî ýòîãî íå áûëî, çíà÷èò, Ò = 9, è ìû óçíàëè çíà÷åíèÿ âñåõ íóæíûõ öèôð. 4. à) 25. Âñå îäóâàí÷èêè, êîòîðûå ïîçàâ÷åðà áûëè æåëòûìè, ñòàëè áåëûìè â÷åðà èëè ñåãîäíÿ. Ïîýòîìó ïîçàâ÷åðà áûëî 14 + 11 = = 25 æåëòûõ îäóâàí÷èêîâ. á) 9. Èç â÷åðàøíèõ æåëòûõ îäóâàí÷èêîâ 11 ïîáåëåëè ñåãîäíÿ, à îñòàâøèåñÿ 20 11 = 9 ïîáåëåþò çàâòðà. 5.  òðåóãîëüíèêå ABC óãëû A è C ðàâíû êàê ñîîòâåòñòâåííûå óãëû ðàâíûõ áóìàæíûõ òðåóãîëüíèêîâ (ðèñ. 2); çíà÷èò, òðåóÐèñ. 2 ãîëüíèê ABC ðàâíîáåäðåííûé è AB = BC. Íî è åãî ñòîðîíû AB è AC ðàâíû (êàê ñîîòâåòñòâåííûå ñòîðîíû ðàâíûõ áóìàæíûõ òðåóãîëüíèêîâ). Çíà÷èò, òðåóãîëüíèê ABC ðàâíîñòîðîííèé. #& ÊÂÀÍT 2014/¹3 ÊÎÍÊÓÐÑ «ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 6-8» (ñì. «Êâàíò» ¹ 1) 11. Ñóùåñòâóþò. 1 1 7 1 1 + = = + . 2 12 12 3 4 Ïîäîáíûå ïðèìåðû ïîëó÷àþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: íóæíî âçÿòü ëþáûå ÷åòûðå ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñëà x, y, z, t ñ óñëîâèåì x + y = z + t è ðàçäåëèòü ýòî ðàâåíñòâî íà îáùåå êðàòíîå ýòèõ ÷èñåë.  íàøåì ïðèìåðå x = 6, y = 1, z = 4, t = = 3, à â êà÷åñòâå îáùåãî êðàòíîãî áûëî âûáðàíî èõ íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå 12. 12. 12. Ïðèìåðîì ìîãóò ñëóæèòü äâà ïðàâèëüíûõ ïÿòèóãîëüíèêà, ñèììåòðè÷íûõ äðóã äðóãó îòíîñèòåëüíî èõ îáùåãî öåíòðà (ðèñ.3). Äîêàæåì, ÷òî áîëüøå 12 ÷àñòåé áûòü íå ìîæåò. Îòðåçîê ìîæåò ïåðåñåêàòü ãðàíèöó âûïóêëîãî ìíîãîóãîëüíèêà íå áîëåå ÷åì â äâóõ òî÷êàõ. Êîíòóð îäíîãî ïÿòèóãîëüíèêà ñîñòîèò èç ïÿòè îòðåçÐèñ. 3 êîâ, ïîýòîìó îí ïåðåñåêàåòñÿ ñ êîíòóðîì äðóãîãî ïÿòèóãîëüíèêà íå áîëåå ÷åì â 5 ◊ 2 = 10 òî÷êàõ. Ñäåëàåì ñíà÷àëà ðàçðåç ïî êîíòóðó ïåðâîãî ïÿòèóãîëüíèêà. Ïîñëå ýòîãî ëèñò ðàñïàäåòñÿ íà äâå ÷àñòè âíåøíþþ è âíóòðåííþþ. Òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ êîíòóðîâ ïåðâîãî è âòîðîãî ïÿòèóãîëüíèêà äåëÿò êîíòóð âòîðîãî ïÿòèóãîëüíèêà íà k £ 10 ëîìàíûõ. Áóäåì ðàçðåçàòü ëèñò ïî î÷åðåäè âäîëü êàæäîé èç ýòèõ ëîìàíûõ. Ïðè êàæäîì òàêîì ðàçðåçå êîëè÷åñòâî ÷àñòåé ïëîñêîñòè óâåëè÷èâàåòñÿ ðîâíî íà 1. Ïîýòîìó îáùåå êîëè÷åñòâî ÷àñòåé ðàâíî 2 + k £ 12 . Çàìå÷àíèå.  ðåøåíèè ñóùåñòâåííî èñïîëüçóåòñÿ óñëîâèå âûïóêëîñòè ïÿòèóãîëüíèêîâ. Åñëè ðàññìàòðèâàòü è íåâûïóêëûå ïÿòèóãîëüíèêè, òî êîëè÷åñòâî ÷àñòåé ìîæåò áûòü áîëüøå 12. Íà ðèñóíêå 4 ïîêàçàí ïðèìåð äëÿ 18 ÷àñòåé. Ðèñ. 4 13. 200. Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå â âèäå xy - x - y = 999 999 999 . Åñëè ïðèáàâèòü ê îáåèì ÷àñòÿì ïî 1, òî ñëåâà ïîëó÷èòñÿ âûðàæåíèå, êîòîðîå ðàñêëàäûâàåòñÿ íà ìíîæèòåëè: xy - x - y + 1 = = ( x - 1)( y - 1) . Óðàâíåíèå ïðåâðàùàåòñÿ â òàêîå: ( x - 1) ( y - 1) = 1000 000 000 = 109 = 29 ◊ 59 . Ïîñêîëüêó ìû èùåì ðåøåíèÿ â öåëûõ ÷èñëàõ, òî ïåðâûé èç ñîìíîæèòåëåé â ëåâîé ÷àñòè äåëèò ïðàâóþ ÷àñòü, à çíà÷èò, èìååò âèä ±2m ◊ 5n , ãäå m è n ìîãóò ìåíÿòüñÿ îò 0 äî 9 (ÿñíî, ÷òî x îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ïî ïåðâîìó ñîìíîæèòåëþ). Òàêèõ ÷èñåë âñåãî 200. Åñëè ïåðâûé ñîìíîæèòåëü èçâåñòåí, òî âòîðîé (à âìåñòå ñ íèì è y) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî. Çíà÷èò, âñåãî ðåøåíèé ó äàííîãî óðàâíåíèÿ òîæå 200. 14. Ïðÿìîóãîëüíîìó. Åñëè ìû ñëîæèëè èç äâóõ òðåóãîëüíèêîâ îäèí, òî êàêîé-òî óãîë îäíîãî âìåñòå ñ êàêèì-òî óãëîì äðóãîãî ñîñòàâèë 180°. Òàê êàê ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê âñåãî îäèí, òî ýòî íå ìîãóò áûòü äâà ïðÿìûõ óãëà. Çíà÷èò, îäèí èç íèõ îñòðûé, à äðóãîé òóïîé. Ïîýòîìó îäèí èç äâóõ ñêëàäûâàåìûõ òðåóãîëüíèêîâ òóïîóãîëüíûé. Åñëè ïîëó÷åííûé òðåóãîëüíèê îñòðîóãîëüíûé, òî è âòîðîé ïðèêëàäûâàåìûé òðåóãîëüíèê îñòðîóãîëüíûé, à ýòî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. Çíà÷èò, ïîëó÷èëñÿ ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê (íå ñîñòàâëÿåò òðóäà óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî òàêîå äåéñòâèòåëüíî âîçìîæíî). 15. Ïóñòü â ñòðàíå âñåãî n ãîðîäîâ. Âûáåðåì ëþáûå äâà èç íèõ, À è Á. Òåïåðü ðàñïðåäåëèì ìàðøðóòû ìåæäó àâèàêîìïà- Íàïðèìåð, ïîäîéäóò ÷èñëà 2, 12, 3, 4: íèÿìè. Ïåðâàÿ êîìïàíèÿ áóäåò ñîâåðøàòü ðåéñû èç À âî âñå ãîðîäà, êðîìå Á, âòîðàÿ èç Á âî âñå ãîðîäà, êðîìå À, òðåòüÿ âñå îñòàëüíûå ðåéñû (ò.å. èç À â Á è âñå ðåéñû ìåæäó îñòàâøèìèñÿ n 2 ãîðîäàìè). Ïîêàæåì, ÷òî ïðè òàêîì ðàñïðåäåëåíèè ìàðøðóòîâ äëÿ ëþáîé àâèàêîìïàíèè åñòü õîòÿ áû äâà òàêèõ ãîðîäà, ÷òî ïîïàñòü èç îäíîãî â äðóãîé òîëüêî ðåéñàìè ýòîé àâèàêîìïàíèè íåëüçÿ. Äëÿ ïåðâîé è âòîðîé àâèàêîìïàíèé ìîæíî âçÿòü ïàðó ãîðîäîâ À è Á: íàïðÿìóþ ìîæíî ëåòåòü òîëüêî òðåòüåé êîìïàíèåé, à íà âñåõ îñòàëüíûõ ìàðøðóòàõ ïðèäåòñÿ äåëàòü ïåðåñàäêè íà ðåéñû äðóãèõ êîìïàíèé. Äëÿ òðåòüåé àâèàêîìïàíèè ïîäîéäóò ãîðîä À è ëþáîé äðóãîé ãîðîä, êðîìå Á. ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ «ÊÂÀÍÒÀ» Âîïðîñû è çàäà÷è 1. Ïîíÿòèÿ «èñòèííàÿ òðàåêòîðèÿ» íå ñóùåñòâóåò. Âèä òðàåêòîðèè çàâèñèò îò âûáîðà ñèñòåìû îòñ÷åòà. 2. Åñëè íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ÷åëîâåêà îòíîñèòåëüíî ïëàòôîðìû ñîâïàäàåò ïî íàïðàâëåíèþ ñî ñêîðîñòüþ ïëàòôîðìû îòíîñèòåëüíî çåìëè èëè ïðîòèâîïîëîæíà åé, òî òðàåêòîðèÿ ÷åëîâåêà îòíîñèòåëüíî çåìëè ïðÿìîëèíåéíàÿ, â èíûõ ñëó÷àÿõ êðèâîëèíåéíàÿ. 3. Êîãäà òðàìâàé íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ ñ óñêîðåíèåì. 4. F = ma . 5. α = arctg (a g) ; êàê âèäíî èç ôîðìóëû, óãîë α îò ìàññû ãðóçèêà íå çàâèñèò. 6. Óãîë α íå çàâèñèò îò âèäà æèäêîñòè è îïðåäåëÿåòñÿ ïî òîé æå ôîðìóëå, ÷òî è â çàäà÷å 5. Òîëùèíà ñëîÿ âîäû íàä ðòóòüþ áóäåò âñþäó îäèíàêîâà, è íàêëîí ïîâåðõíîñòè ðòóòè íå èçìåíèòñÿ. 7. Øàðèê áóäåò òÿíóòüñÿ âïåðåä ïî õîäó àâòîìîáèëÿ. 8. Ïðè ñêîëüæåíèè áåç òðåíèÿ ïîâåðõíîñòü âîäû ðàñïîëîæèòñÿ ïàðàëëåëüíî íàêëîííîé ïëîñêîñòè; ïðè óñêîðåííîì ñêîëüæåíèè ñ òðåíèåì óãîë íàêëîíà ïîâåðõíîñòè âîäû ê ãîðèçîíòó ñòàíåò ìåíüøå α ; åñëè äâèæåíèå ñòàíåò ðàâíîìåðíûì, òî óãîë áóäåò ðàâåí íóëþ. 9. Ïðîáêà îñòàíåòñÿ íåïîäâèæíîé îòíîñèòåëüíî ñòåíîê ñîñóäà. 10. Ïðè ñâîáîäíîì ïàäåíèè ñòîëá âîäû íå îêàçûâàåò ãèäðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ, ïîýòîìó óðîâåíü âîäû â ïðîáèðêå áóäåò îïóñêàòüñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà äàâëåíèå âîçäóõà âíóòðè ïðîáèðêè íå ñðàâíÿåòñÿ ñ âíåøíèì äàâëåíèåì. 11. Ïåðèîä êîëåáàíèé ïî âåëè÷èíå îñòàíåòñÿ ðàâíûì T, îäíàêî ìàÿòíèê áóäåò êîëåáàòüñÿ «ââåðõ íîãàìè». 12. Íèòü îòâåñà óñòàíîâèòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî ïîëó ñàëîíà ñàìîëåòà. 13. Íåò, òàê êàê îòíîñèòåëüíî çåìëè âåëîñèïåäèñò ïîêîèòñÿ è åãî öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå ðàâíî íóëþ. 14. Âåñ òåëà íà ïîëþñå áîëüøå, ÷åì íà ýêâàòîðå. Îäíàêî îáíàðóæèòü ýòî ìîæíî ñ ïîìîùüþ íå ðû÷àæíûõ, à ïðóæèííûõ âåñîâ. Êîãäà æå ðû÷àæíûå âåñû óðàâíîâåøåíû, ìîæíî ëèøü óòâåðæäàòü, ÷òî âåñ òåëà ðàâåí âåñó ãèðü. 15. Ïðîáêà ðàñïîëîæèòñÿ ó îñè âðàùåíèÿ ââåðõó, ñâèíåö ó ñòåíêè öèëèíäðà âíèçó, òåëî A â ëþáîì ïîëîæåíèè (åñëè íå ó÷èòûâàòü ñæèìàåìîñòü âîäû). 16. Íà çàïàä. Ïðè÷èíà ÿâëåíèÿ äåéñòâèå êîðèîëèñîâîé ñèëû èíåðöèè, âîçíèêàþùåé èç-çà âðàùåíèÿ Çåìëè. Ìèêðîîïûò Ñèëà òÿæåñòè âîäû è ñèëà ðåàêöèè äíà âåäðà ïðè äîñòàòî÷íîé ñêîðîñòè óäåðæèâàþò â âåðõíåé òî÷êå âîäó íà êðóãîâîé òðàåêòîðèè.  ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ âåäðîì, ýòîò ýôôåêò ìîæíî îáúÿñíèòü ïîÿâëåíèåì öåíòðîáåæíîé ñèëû èíåðöèè, ïðèæèìàþùåé âîäó êî äíó. ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, ÑÂÅÐÕÇÂÓÊÎÂÛÅ ÀÂÒÎÁÓÑÛ, ËÎÄÊÈ È ÄÅÐÅÂÜß Çàäà÷à 2. Íà ðèñóíêå 5 èçîáðàæåí òðåóãîëüíèê ÎÅÈ è óêàçàíû âðåìåíà, çà êîòîðûå ãðèáíèêè ïðîøëè áû êàæäûé èç îòðåçêîâ. Íàéäåì ÷èñëî Ìàõà â íàøåé çàäà÷å. Èç òî÷êè Å â òî÷êó È àâòîáóñ äâèãàëñÿ 10 ìèí, à ãðèáíèêó ïîíàäîáèëîñü áû 50 ìèí, ÷òîáû ïðîéòè ýòîò ïóòü. Ñëåäîâàòåëüíî, ñêîðîñòü àâòîáóñà â ïÿòü ðàç áîëüøå ñêîðîñòè ãðèáíèêà, è Ì = 5. À òåïåðü ïîäñ÷èÐèñ. 5 òàåì, êîãäà àâòîáóñ ïðèäåò â òî÷êó Ï. Âðåìÿ áóäåò îòñ÷èòûâàòü îò ìîìåíòà âûõîäà ãðèáíèêîâ èç òî÷êè Î. Àâòîáóñó ïîíàäîáèòñÿ 30 ìèí, ÷òîáû äîåõàòü äî òî÷êè Å è åùå 18/5 ìèí, ÷òîáû èç Å äîåõàòü äî Ï, âñåãî 33 ìèí 36 ñ. À Ïåòð äîéäåò äî òî÷êè Ï çà 24 ìèí. Èòîãî, åìó ïðèäåòñÿ ïîäîæäàòü 9 ìèí 36 ñ. Çàäà÷à 3. Îòìåòèì ñðàçó, ÷òî êîëè àâòîáóñ ïðèåõàë â òî÷êó Ï çà 33 ìèí 36 ñ, òî â ìîìåíò íà÷àëà äâèæåíèÿ ãðèáíèêîâ îí íàõîäèëñÿ îò ýòîé òî÷êè íà ðàññòîÿíèè 168 ìèí äâèæåíèÿ ãðèáíèêîâ. Èç óñëîâèÿ çàäà÷è âûòåêàåò, ÷òî òî÷êà Î íàõîäèòñÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âíóòðè êîíóñà Ìàõà. À âîò Ñèäîðó ïðèäåòñÿ îáÿçàòåëüíî îòïðàâèòüñÿ â ïóòü, êîãäà îáðàçóþùàÿ êîíóñà Ìàõà êîñíåòñÿ òî÷êè Î (ðèñ.6).  ýòîò #' ÐÅØÅÍÈß Çàäà÷à 7. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è âðåìÿ âîçâðàùåíèÿ L v L t2 = â äâà ðàçà áîëüøå âðåìåíè ïåðåïðàâû t1 = . c v2 − c 2 c Îòñþäà ïîëó÷àåì îòâåò: v 2 3 = ≈ 1,15 ; c 3 s1 = s2 7 c 2 + v2 = ≈ 1,32 . 2 v Çàäà÷à 8. 1) t = 7 ìèí 12 ñ. 2) Ì = 5. Çàäà÷à 9. 1) tmin = t0 1 − M 2 (n − 1)2 (n + 1)2 . 2) Mmax = n +1 . n −1 v Çàäà÷à 10. β = arccos = arccos 0,8 ; u = c2 − v2 = 3 ì ñ ; c L t = = 40 c . u ÏÀÐÛ. ÂËÀÆÍÎÑÒÜ 3 1. ρí = 18 ã ì . 4. ϕ = 30% . 2. ∆m = 257 ã . 5. n = 4. 3. pê = 4 àòì . 6. pê = 92 êÏà . 7. ∆m = 3 ã . XXII ÌÅÆÄÓÍÀÐÎÄÍÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ «ÈÍÒÅËËÅÊÒÓÀËÜÍÛÉ ÌÀÐÀÔÎÍ» ÇÀÄÀ×È ÎËÈÌÏÈÀÄÛ ÏÎ ÔÓÍÄÀÌÅÍÒÀËÜÍÛÌ ÍÀÓÊÀÌ Óñòíûé êîìàíäíûé òóð ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ Ðèñ. 6 ìîìåíò àâòîáóñ áóäåò íàõîäèòüñÿ îò òî÷êè Ï íà ðàññòîÿíèè ÎÏ ctg α = 24 24 ìèí äâèæåíèÿ ãðèáíèêà. Èòîãî, ó Ñèäîðà â çàïàñå ñòîëüêî âðåìåíè, ñêîëüêî ïîíàäîáèòñÿ àâòîáóñó, ÷òîáû ïðîåõàòü èç òî÷êè A1 â òî÷êó A2 . Ãðèáíèêó, ÷òîáû ïðîé- ( ) òè ýòîò ó÷àñòîê, íóæíî 168 − 24 24 ìèí, à àâòîáóñó â ïÿòü ðàç ìåíüøå, ò.å. ≈ 10 ìèí 5 ñ . Èìåííî ñòîëüêî âðåìåíè åñòü ó Ñèäîðà â çàïàñå. Çàäà÷à 4. Îáëàñòè äîñòèæèìîñòè àâòîáóñà èçîáðàæåíû íà ðèñóíêå 7. Ðèñ. 7 Çàäà÷à 5. Ïðèâåäåì ëèøü îòâåòû: β = 90∞ , d = s= L 2 v + c2 . c Çàäà÷à 6. Îòâåòû: β = arccos d= L L 2 v - c2 , s = v . c c c L v , t= , v c v2 - c 2 L 2 v - c2 , c 1. Íà 30%. Ïóñòü çàâîä ïðîèçâîäèë ïðîäóêöèþ â êîëè÷åñòâå à êàêèõ-òî åäèíèö, à èñêîìîå ñíèæåíèå áûëî íà ð% â ãîä. Òîãäà â êîíöå ïåðâîãî ãîäà îí ïðîèçâåë ïðîäóêöèþ â êîëè÷åñòâå à ð àð = à 1 − = b, à â êîíöå âòîðîãî ãîäà â êîëè÷åñòâå 100 100 2 p p b 1 − = a 1 − . Ïî óñëîâèþ, 100 100 2 p1 = 30, 49 7 p p ⇔ 1− =± ⇔ a 1 − = a⋅ 100 100 100 10 p2 = 170. Ïî ñìûñëó çàäà÷è îñòàåòñÿ ëèøü ïåðâûé êîðåíü. 2. Ïóñòü ABCD äàííûé êâàäðàò (ðèñ. 8). Ïóñòü Ì òî÷êà íà ñòîðîíå AD, ïðè÷åì ÀÌ > ÌD. Ïðîâåäåì èç òî÷êè Ì ïåðïåíäèêóëÿð ê ñòîðîíå AD, ïåðåñåêàþùèé ñòîðîíó ÂÑ â òî÷êå N òàê, ÷òî òî÷êà N ñåðåäèíà îòðåçêà ÌÅ. Òîãäà îòðåçîê ÀÅ ïåðåñå÷åò ñòîðîíó ÂÑ â ñåðåäèíå K îòðåçêà BN, à îòðåçîê ED â ñåðåäèíå L îòðåçêà NC (ýòî ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà äâóõ ïàð ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ ÀÂK è KEN, CDL è ECL). Åñëè îòðåçàòü îò Ðèñ. 8 êâàäðàòà òðåóãîëüíèêè ABK è CDL è ñîâìåñòèòü èõ ñ òðåóãîëüíèêàìè ENK è NEL ñîîòâåòñòâåííî, òî êâàäðàò ABCD ïðåâðàùàåòñÿ â íåðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê AED. 3. à) Äà; á) íåò. à) Îòâåò ñëåäóåò èç ñëåäóþùåé öåïî÷êè ðàâåíñòâ: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + = + + + + = + + + + . 2 3 6 2 3 6 2 3 6 2 3 12 18 36 á) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàøëèñü ïîïàðíî ðàçëè÷íûå íå÷åòíûå 1= $ ÊÂÀÍT 2014/¹3 ÷èñëà õ1 , õ2 , , õ5 òàêèå, ÷òî 1 1 1 1 1 + + + + = 1. õ1 õ2 õ3 õ4 õ5 Òîãäà 1) 1 ≥ 0 , ò.å. (*) 1 1 1 1 1 1 1 3 101 + + + + ≤ + + = < 1, õ1 õ2 õ3 õ4 õ5 3 5 7 105 ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ðàâåíñòâó (*). π 2π 4 π 4. , , . 7 7 7 Ïóñòü α , β è γ óãëû òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ (ïðè âåðøèíàõ À,  è Ñ ñîîòâåòñòâåííî), I åãî èíöåíòð (öåíòð âïèñàííîé â íåãî îêðóæíîñòè), ïðè÷åì α ≥ β ≥ γ (ðèñ. 9). Ïóñòü òðå- Ðèñ. 9 óãîëüíèê AIB ïîäîáåí òðåóãîëüíèêó ÀÂÑ. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî óãîë ïðè âåðøèíå I òðåóãîëüíèêà AIB òóïîé , ïîýòîìó îí ñàìûé áîëüøîé ïî âåëè÷èíå â ýòîì òðåóãîëüíèêå, çíà÷èò, îí ðàâåí α . Äëÿ îñòàëüíûõ óãëîâ, î÷åâèäíî, âåðíû ðàâåíñòâà β α = γ ⇔ β = 2γ . Èòàê, óãëû òðåóãîëüíèêà = β ⇔ α = 2β è 2 2 AIB (è, êîíå÷íî, ïîäîáíîãî åìó òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ) ðàâíû 4γ , 2γ è γ , à èõ ñóììà ðàâíà π , îòêóäà ïîëó÷àåì óêàçàííûé îòâåò. Îñòàëüíûå òðåóãîëüíèêè ñ âåðøèíîé â òî÷êå I íå ìîãóò áûòü ïîäîáíûìè èñõîäíîìó: èõ òóïûå óãëû íå ìîãóò ðàâíÿòüñÿ íàèáîëüøåìó óãëó α òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ. Äåéñòâèòåëüíî, π β åñëè + = α, òî íàèìåíüøèé óãîë γ òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ 2 2 α (íå ìîæåò æå îí ðàâíÿòüñÿ ìîæåò áûòü ðàâíûì òîëüêî 2 γ γ ñâîåé ïîëîâèíå, ), íî îñòàâøèåñÿ óãëû β è íå ìîãóò 2 2 π α ðàâíÿòüñÿ äðóã äðóãó. Åñëè æå + = α, òî ïîëó÷àåì α = π , 2 2 ÷òî íåâîçìîæíî. 5. Äà, ñóùåñòâóþò. Ïóñòü õ1 = õ2 = … = õ100 = à . Ïî óñëîâèþ, à = 0, 2 à = (99à ) ⇔ 1 . à = 992 Íàñ óñòðàèâàåò òîëüêî âòîðîé êîðåíü. 6. Äà, ìîæíî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóììà âîçðàñòîâ 20 ñàìûõ ñòàðøèõ ó÷åíèêîâ íå áîëüøå 260, òîãäà ñàìûé ìëàäøèé èç íèõ íå ñòàðøå 13 ëåò (èíà÷å âîçðàñò êàæäîãî èç íèõ áîëüøå 13, à òîãäà ñóììà èõ âîçðàñòîâ áîëüøå ÷åì 20 ⋅ 13 = 260, âîïðåêè ïðåäïîëîæåíèþ). Íî òîãäà êàæäûé èç îñòàâøèõñÿ 13 ó÷åíèêîâ òîæå íå ñòàðøå 13 ëåò, ïîýòîìó ñóììà âîçðàñòîâ âñåõ 33 øêîëüíèêîâ ïîëó÷àåòñÿ íå áîëüøå ÷åì 13 ⋅ 13 + 260 = 169 + 260 = 429 < < 430, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. Ìû ïðèøëè ê ïðîòèâîðå÷èþ ñ ïðåäïîëîæåíèåì. 7. (1; 1); (1; 3); (3; 1); (3; 7); (7; 3). Ïóñòü ñíà÷àëà õ = 1, òîãäà 2õ + 1 = 3 è äåëèòñÿ ëèøü íà 1 è íà 3. Àíàëîãè÷íî ïðè ó = 1. Îòñþäà ïîëó÷àåì òðè ïåðâûå ïàðû èç îòâåòà. Ïóñòü òåïåðü öåëûå ÷èñëà õ è ó íå ìåíüøå ÷åì 2. Çàìåòèì, ÷òî ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ õ è ó èìååì õó (õ + ó) = (õ 1)(ó õó ≥ õ + ó. (* ) 2õ + 1 2ó + 1 2 ( õ + ó ) + 1 = + 4 öåëîå, Ïî óñëîâèþ, ÷èñëî ó õ õó 2 (õ + ó) + 1 öåëîå, íî â ñèëó íåðàâåíñòâà ïîýòîìó è ÷èñëî õó 1 (*) ýòî ÷èñëî íå áîëüøå ÷åì 2 + õó < 3 ïðè ðàññìàòðèâàåìûõ çíà÷åíèÿõ õ è ó. Ïóñòü îíî ðàâíî 2. Òîãäà 2(õ + ó) + 1 = 2õó, ÷òî íåâîçìîæíî, òàê êàê ñëåâà ñòîèò íå÷åòíîå ÷èñëî, à ñïðàâà ÷åòíîå. Ïóñòü îíî ðàâíî 1. Òîãäà 2(õ + ó) + 1 = õó, îòêóäà (õ 2)(ó 2) = 5. Îäèí èç ìíîæèòåëåé ëåâîé ÷àñòè ðàâåí 1, à âòîðîé ðàâåí 5, îòêóäà ïîëó÷àåì îñòàëüíûå îòâåòû.  ñèëó ïîëîæèòåëüíîñòè ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ ðàññìàòðèâàåìîå ÷èñëî íå ìîæåò áûòü ìåíüøå èëè ðàâíî íóëþ. 8. Äà, ìîæíî. Çàíóìåðóåì ðåáÿò ïî ïîðÿäêó ÷èñëàìè îò 1 äî 100. Ðàññìîòðèì 50 ïåðâûõ ðåáÿò. Åñëè ñðåäè íèõ ðàâíîå êîëè÷åñòâî ìàëü÷èêîâ è äåâî÷åê, çàäà÷à ðåøåíà. Åñëè æå íåò, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìàëü÷èêîâ áîëüøå 25, à äåâî÷åê ìåíüøå. Çàìåòèì, ÷òî, î÷åâèäíî, â ãðóïïå ñ íîìåðàìè îò 51 äî 100 äîëæíî áûòü íàîáîðîò: ìàëü÷èêîâ ìåíüøå 25, à äåâî÷åê áîëüøå. Ðàññìîòðèì ãðóïïó ñ íîìåðàìè îò 2 äî 51. Êîëè÷åñòâî ìàëü÷èêîâ ìîæåò èçìåíèòüñÿ íà 1 èëè íå èçìåíèòüñÿ âîîáùå. Èòàê, ïðè ïåðåõîäå ïîñëåäîâàòåëüíî îò ãðóïïû ê ãðóïïå êîëè÷åñòâî ìàëü÷èêîâ ìåíÿåòñÿ íå áîëåå ÷åì íà 1 è îò ÷èñëà, áîëüøåãî 25, ïðèõîäèò ê ÷èñëó, ìåíüøåìó 25. Ïîýòîìó ãäå-òî «ïî äîðîãå» îíî ðàâíÿëîñü 25, ÷òî è òðåáîâàëîñü. Ñèòóàöèÿ, êîãäà â ïåðâîé ãðóïïå ìàëü÷èêîâ ìåíüøå, ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. 9. Íåò, íåâåðíî. Ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíîé äëèíû 1500 è ïëîùàäè 1. Ðàçðåçàâ åãî íà 1000 ÷àñòåé, õîòÿ áû â îäíîé èç íèõ ìû ïîëó÷èì äâå òî÷êè, óäàëåííûå íà 1,5 (ëåæàùèå íà óêàçàííîé ñòîðîíå). Íî â êâàäðàòå ïëîùàäè 1 ðàññòîÿíèå ìåæäó íàèáîëåå óäàëåííûìè òî÷êàìè ðàâíî äëèíå äèàãîíàëè 2 , êîòîðàÿ ìåíüøå 1,5. 10. Âåðíî. Âûáåðåì ïðîèçâîëüíî 101 ÷èñëî èç äàííûõ äâóõñîò. Ðàçäåëèì êàæäîå èç íèõ íà íàèáîëüøóþ ñîäåðæàùóþñÿ â íåì â êà÷åñòâå ìíîæèòåëÿ ñòåïåíü äâîéêè. Ïîëó÷èì 101 íå÷åòíîå ÷èñëî. Íî ñðåäè ÷èñåë îò 1 äî 200 èìååòñÿ òîëüêî 100 íå÷åòíûõ ÷èñåë, ïîýòîìó ñðåäè ïîëó÷åííûõ íå÷åòíûõ ÷èñåë èìåþòñÿ õîòÿ áû äâà ñîâïàäàþùèõ. Ïîñìîòðèì, êàêîå èç íèõ ïîäâåðãëîñü ñîêðàùåíèþ íà áîëüøóþ ñòåïåíü äâîéêè èìåííî îíî (äî ñîêðàùåíèÿ), î÷åâèäíî, äåëèòñÿ íà âòîðîå (òàêæå äî ñîêðàùåíèÿ). Ïîñêîëüêó âñå èñõîäíûå 200 ÷èñåë ðàçëè÷íû, ñîâïàäåíèå îòîáðàííûõ ÷èñåë èñêëþ÷àåòñÿ. ÔÈÇÈÊÀ 1. Åñëè ëó÷è ñîëíöà íàïðàâëåíû íàâñòðå÷ó áðîñêó (áðîñîê ïðîòèâ ñîëíöà) è óãîë á áîëüøå èëè ðàâåí óãëó â, êîòîðûé íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü êàìíÿ ñîñòàâëÿåò ñ ãîðèçîíòîì, òî ìàêñèìàëüíîå ðàññòîÿíèå òåíè òåëà îò òî÷êè áðîñàíèÿ ðàâíî äàëüíîñòè ïîëåòà. Ïðè áðîñêå ïî ñîëíå÷íûì ëó÷àì è óñëîâèè, ÷òî óãîë á ìåíüøå óãëà â, äàëüíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ êàñàòåëüíûì ëó÷îì ñîëíöà ê òðàåêòîðèè ïîëåòà êàìíÿ. 2. Ïåðåãîðîäêà ñìåñòèòñÿ âëåâî íà 14 ñì. vuT 3. R = 20 Îì; N = 5. 4. l = = 4 ì. v+u 5. Î÷åâèäíî, ëîæêà áûëà ñäåëàíà èç ñïëàâà ñ íèçêîé òåìïåðàòóðîé ïëàâëåíèÿ. Ýòî ìîã áûòü, íàïðèìåð, ñïëàâ Âóäà, èçîáðåòåííûé â 1860 ãîäó àíãëèéñêèì èíæåíåðîì Áàðíàáàñîì Âóäîì. Åãî òåìïåðàòóðà ïëàâëåíèå 68,5 °C . Èç-çà ïðîèñõîæ- ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, äåíèÿ ôàìèëèè Âóä îò àíãëèéñêîãî wood ëåñ, äðåâåñèíà, ïåðåâîä÷èêè èíîãäà íàçûâàþò ñïëàâ «äåðåâÿííûì ìåòàëëîì». g 7. a = ≈ 5 ì ñ2 . 6. t1 = 72 ìèí. 2 5 (èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà ìíèìîå). 8. Γ = 3 9. Íèæíèå ñëîè âîäû òîðìîçÿòñÿ î ïîäíèìàþùååñÿ äíî, â òî âðåìÿ êàê âåðõíèå ñëîè âîäû ïî èíåðöèè áåãóò ñ ïðåæíåé ñêîðîñòüþ. Ýòî ïðèâîäèò ê ïîäíÿòèþ óðîâíÿ âåðõíèõ ñëîåâ âîäû, à çà ñ÷åò áîëüøåé ñêîðîñòè ýòîãî ñëîÿ ïðîèñõîäèò îáãîí íèæíèõ ñëîåâ è èõ ñðûâ, â ðåçóëüòàòå ÷åãî è îáðàçóþòñÿ «áàðàøêè» 10. Ïëàñòèíêè ÿâëÿþòñÿ ïîëÿðîèäàìè, ïðåâðàùàþùèìè åñòåñòâåííûé ñâåò â ïëîñêî ïîëÿðèçîâàííûé. Êóñî÷êè ëèïêîé ëåíòû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé àíèçîòðîïíóþ ñðåäó è, êàê ñëåäñòâèå, îáëàäàþò äâîéíûì ëó÷åïðåëîìëåíèåì. Òîãäà â ñêðåùåííûõ ïîëÿðîèäàõ íàáëþäàåòñÿ èíòåðôåðåíöèÿ ïîëÿðèçîâàííûõ ëó÷åé. Ïðè âðàùåíèè îäíîãî èç ïîëÿðîèäîâ óñëîâèÿ èíòåðôåðåíöèè ìåíÿþòñÿ, ÷òî ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ öâåòà ïðîõîäÿùåé ñâåòîâîé âîëíû. Òîò ôàêò, ÷òî ÷àñòü ýêðàíà ìîíèòîðà ãàñíåò ïðè âðàùåíèè ïîëÿðîèäà, óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ñâåò, èäóùèé îò ýêðàíà, ïëîñêî ïîëÿðèçîâàííûé. Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 1. Íåò, íå ìîãóò. Åñëè äâà íàòóðàëüíûõ ÷èñëà èìåþò îäèíàêîâûå ñóììû öèôð, òî îíè äîëæíû äàâàòü îäèíàêîâûå îñòàòêè ïðè äåëåíèè íà 3, à òîãäà èõ ðàçíîñòü äîëæíà äåëèòüñÿ íà 3. Íî (N + 1)2 (N 2 N) = 3N + 1 íå äåëèòñÿ íà 3. 2. à) Ìîæíî; á) íåëüçÿ. a) Ïîñêîëüêó ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ êàòåòîâ, ñóììà ïëîùàäåé 20 äàííûõ òðåóãîëüíèêîâ ðàâíà 20, ïîýòîìó ñòîðîíà èñêîìîãî êâàäðàòà äîëæíà ðàâíÿòüñÿ 2 5 óäâîåííîé ãèïîòåíóçå äàííîãî òðåóãîëüíèêà. Îäèí èç (ìíîãèõ!) ñïîñîáîâ ðåøåíèÿ ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 10. á)  ýòîì ñëó÷àå ñòîðîíà èñêîìîãî êâàäðàòà äîëæíà áûòü ðàâíà 2 10. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êâàäðàò óäàëîñü ñëîæèòü. Òîãäà íà åãî ñòîðîíå ìîæåò áûòü ñêîëüêî-òî êàòåòîâ äëèíû 1, Ðèñ. 10 ñêîëüêî-òî êàòåòîâ äëèíû 2 è ñêîëüêî-òî ãèïîòåíóç äëèíû 5 , ïðè÷åì áåç ãèïîòåíóç íå îáîéòèñü, ïîñêîëüêó äëèíû êàòåòîâ ðàöèîíàëüíû, à ñòîðîíà êâàäðàòà èððàöèîíàëüíà. (Òàêæå íå îáîéòèñü áåç êàòåòîâ, òàê êàê íåâîçìîæíî ïðåäñòàâèòü îòðåçîê äëèíû 2 10 êàêèìëèáî êîëè÷åñòâîì îòðåçêîâ äëèíû 5 .) Ïîëó÷àåòñÿ ðàâåíñòâî p + q 5 = 2 10, ãäå p ñóììà äëèí êàòåòîâ, ëåæàùèõ íà êàêîé-òî ñòîðîíå êâàäðàòà, à q êîëè÷åñòâî ãèïîòåíóç, ëåæàùèõ íà íåé. Âîçâåäÿ ýòî ðàâåíñòâî â êâàäðàò, ïîëó÷èì p2 + 5q2 + 2 pq 5 = 40, ÷òî íåâîçìîæíî, òàê êàê ñëåâà ñòîèò èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî, à ñïðàâà ðàöèîíàëüíîå. 3. 1. Çàìåòèì, ïðåæäå âñåãî, ÷òî α ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè 1 ≤ α < 0 , òî â äàííîì óðàâíåíèè α3 = α + 1 (1) ëåâàÿ ÷àñòü îòðèöàòåëüíà, à ïðàâàÿ íåîòðèöàòåëüíà, ïîýòîìó íà ýòîì ïðîìåæóòêå óðàâíåíèå íå èìååò ðåøåíèé. Åñëè æå $ ÐÅØÅÍÈß α < 1, òî äàííîå óðàâíåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå α(α2 1) = 1 , (1à) è åãî ëåâàÿ ÷àñòü ñòàíîâèòñÿ îòðèöàòåëüíîé, à ïðàâàÿ ïîëîæèòåëüíà. Ïðåîáðàçóåì òåïåðü ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå. Óìíîæèâ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ (1) íà ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî α , íàéäåì, ÷òî α 4 = α2 + α , (2) ïîýòîìó 2α2 + 3α + 2 = (α2 + α) + (α2 + 2α + 2) = α4 + α2 + 2(α + 1) . Çàìåíèì ñóììó â ïîñëåäíåé ñêîáêå íà ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (1). Òåïåðü ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ (2) ïîëó÷èì, ÷òî ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå ðàâíî α4 + 2α3 + α2 = (α(α + 1))2 = (α2 + α)2 = α8 . Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî èç óðàâíåíèÿ (1à) âûòåêàåò α2 − 1 = 1 , α ÷òî è ïðèâîäèò ê óêàçàííîìó îòâåòó. 2 4. Çà ÷àñà, ò.å. çà 40 ìèíóò. 3 Ïóñòü âñå ÷åòâåðî ðàáîòàþò íåïðåðûâíî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ñíà÷àëà íàä îäíîé êàíàâîé ðàáîòàåò òîëüêî ïåðâûé çåìëåêîï, à â ýòî âðåìÿ âñå îñòàëüíûå ðîþò âòîðóþ òàêóþ æå êàíàâó. Ïî óñëîâèþ, ê ìîìåíòó êîãäà ïåðâûé çàêîí÷èë ñâîþ ÷àñòü ðàáîòû íàä ïåðâîé êàíàâîé, îñòàëüíûå âûêîïàëè ïîëîâèíó òàêîé æå âòîðîé. Äàëåå, ïóñòü âòîðîé çåìëåêîï íà÷àë ðàáîòàòü íàä ïåðâîé êàíàâîé, à ïåðâûé ïåðåøåë êî âòîðîé è ïðèñîåäèíèëñÿ ê îñòàâøèìñÿ òàì òðåòüåìó è ÷åòâåðòîìó, ÷òîáû ïðîäîëæèòü ðàáîòó íàä âòîðîé êàíàâîé. Òîãäà, ïî óñëîâèþ, ê ìîìåíòó êîãäà âòîðîé çàêîí÷èë ñâîþ ÷àñòü ðàáîòû íàä ïåðâîé êàíàâîé, îñòàëüíûå òðîå çàêîí÷èëè êîïàòü âòîðóþ êàíàâó. Ïóñòü òåïåðü òðåòèé çåìëåêîï íà÷èíàåò ñâîþ ÷àñòü ðàáîòû íàä ïåðâîé êàíàâîé, à âñå îñòàëüíûå íà÷èíàþò ðûòü òðåòüþ òàêóþ æå êàíàâó. Ê ìîìåíòó êîãäà òðåòèé çàêîí÷èë ðàáîòàòü íàä ïåðâîé êàíàâîé, îñòàëüíûå âûêîïàëè ïîëîâèíó òðåòüåé òàêîé æå êàíàâû. Íàêîíåö, ïóñòü ÷åòâåðòûé ïðèñòóïàåò ê ðàáîòå íàä ïåðâîé êàíàâîé, à îñòàëüíûå íàä òðåòüåé. Ïî óñëîâèþ, êîãäà ÷åòâåðòûé çàêîí÷èë êîïàòü ïåðâóþ êàíàâó, îñòàëüíûå çàêîí÷èëè êîïàòü òðåòüþ. Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåì îòâåò. 5. n. Íàéäåì íàèìåíüøåå ÷èñëî â òàáëèöå (îíî, î÷åâèäíî, ñóùåñòâóåò). Åãî, êîíå÷íî, îòìåòèëè äâàæäû: è â ñòîëáöå, è â ñòðîêå. Åñëè âû÷åðêíóòü òåïåðü ñòðîêó è ñòîëáåö, íà ïåðåñå÷åíèè êîòîðûõ ñòîèò ýòî íàèìåíüøåå ÷èñëî, òî ïîëó÷åííàÿ òàáëèöà ðàçìåðîì (n 1) × (n 1) áóäåò óäîâëåòâîðÿòü âñåì óñëîâèÿì çàäà÷è. Òåïåðü íàéäåì íàèìåíüøåå ÷èñëî â íîâîé, ìåíüøåé òàáëèöå, îíî òàêæå áóäåò îòìå÷åíî, è âû÷åðêíåì ñòðîêó è ñòîëáåö, íà ïåðåñå÷åíèè êîòîðûõ ñòîèò íàèìåíüøåå ÷èñëî, è ò.ä.  èòîãå ìû çà n øàãîâ âû÷åðêíåì âñå îòìå÷åííûå ÷èñëà è èñ÷åðïàåì âñþ òàáëèöó. 6. 1:1:1. Ïóñòü ñíà÷àëà îòðåçîê KL ïðè ïåðåõîäå îò K ê L ïåðåñåêàåò äèàãîíàëü ÀÑ, à çàòåì âòîðóþ äèàãîíàëü òðàïåöèè. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íàì áóäóò ïîëåçíû äâà óòâåðæäåíèÿ (îáîçíà÷åíèÿ èç óñëîâèÿ çàäà÷è). 1. Äëèíû ïåðïåíäèêóëÿðîâ ÂÅ è DF (ðèñ. 11), îïóùåííûõ èç êîíöîâ  è D äèàãîíàëè BD òðàïåöèè ABCD íà áîêîâûå ñòîðîíû CD è À ñîîòâåòñòâåííî, îòíîñÿòñÿ êàê îñíîâàíèÿ òðà- Ðèñ. 11 $ ÊÂÀÍT 2014/¹3 ïåöèè. Ýòî ñëåäóåò èç ïîäîáèÿ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ BEC è ADF (óãëû ÂÑÅ è DAF). 2.  ÷åòûðåõóãîëüíèêå KBLD (ðèñ. 12) ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ BLK è LKD îòíîñÿòñÿ êàê îòðåçêè BQ è QD äèàãîíàëè BD. Ýòî ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì, åñëè ïðîâåñòè âûñîòû óêàÐèñ. 12 çàííûõ òðåóãîëüíèêîâ èç êîíöîâ äèàãîíàëè BD è çàìåòèòü, ÷òî îòíîøåíèå óêàçàííûõ ïëîùàäåé ðàâíî îòíîøåíèþ ïðîâåäåííûõ âûñîò (îñíîâàíèå KL òðåóãîëüíèêîâ îáùåå), à îòðåçêè äèàãîíàëè ðàâíû ýòèì âûñîòàì, äåëåííûì íà ñèíóñû îäèíàêîâûõ (âåðòèêàëüíûõ) óãëîâ ñ âåðøèíîé â òî÷êå Q. Òåïåðü ïðèìåíèì óòâåðæäåíèÿ 1 è 2 ê ïëîùàäÿì òðåóãîëüíèêîâ BLD è BKD (ðèñ. 13). Ñîãëàñíî ïåðâîìó èç íèõ, ýòè ïëîùàäè îòíîñÿòñÿ êàê 1:2 (òàê êàê îñíîâàíèÿ LD è BK ðàâíû, à ñîîòâåòñòâóþùèå âûñîòû îòíîñÿòñÿ êàê 1:2), à ñîãëàñíî âòîðîìó, KQ : QL = 2 : 1 , ò.å. 1 QL = KL. Ïðèìåíèâ òå æå 3 ðàññóæäåíèÿ ê òðåóãîëüíèêàì ÀKÑ è ALC, àíàëîãè÷íî íàéäåì, Ðèñ. 13 1 ÷òî KÐ = KL. Çíà÷èò, 3 KÐ : PQ : QL = 1 : 1 : 1 . Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî îòðåçîê KL ñíà÷àëà ïåðåñåêàåò äèàãîíàëü BD (óñëîâûé ðèñ. 14), òî, ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî (òî÷êè íà îòðåçêå KL èäóò â ïîðÿäêå K, Q, P, L), ïîëó÷èì, ÷òî KQ = 2QL è îäíîâðåìåííî PL = 2KP, èëè Ðèñ. 14 KL = 3QL è KL = 3ÐL, ÷òî, êîíå÷íî, íåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó QL > PL. 7. Ñóùåñòâóåò: õ262 = 0 . Óñëîâèå çàäà÷è ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê: õn + 2 ⋅ xn +1 − xn ⋅ xn +1 = −1. (*) Ïóñòü àn = xn ⋅ xn +1 . Òîãäà à1 = 260 , à óñëîâèå (*) ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê: an +1 an = 1 , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî {an } àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ñ ïåðâûì ÷ëåíîì 260 è ðàçíîñòüþ, ðàâíîé 1. Ïîýòîìó àn = a1 + d(n 1) = 261 n . Î÷åâèäíî, ÷òî a262 = 0 , ò.å. õ261 ⋅ õ262 = 0 , ïîýòîìó õ261 ≠ 0 , õ262 = 0 . 1 + 2 + 22 + … + 2n + 3 ⋅ (1 + 2 + 22 + … + 2n 1) = = 2n + 1 1 + 3 ⋅ (2n 1) = 5 ⋅ 2n 4 > 3 ⋅ 2n . Ïîñêîëüêó ÷èñåë âèäà 3 ⋅ 2n áåñêîíå÷íî ìíîãî, ïîëó÷àåì îòâåò. á) Ïóñòü ð ïðîñòîå ÷èñëî. Òîãäà åãî åäèíñòâåííûé ñîáñòâåííûé äåëèòåëü ÷èñëî 1. Ïîñêîëüêó ð > 1, ëþáîå ïðîñòîå ÷èñëî íåäîñòàòî÷íî, à ïðîñòûõ ÷èñåë, êàê èçâåñòíî, áåñêîíå÷íî ìíîãî. 2. Ïîäáåðåì öåëûå ÷èñëà õ è ó òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ðàâåíñòâî õ2 ó2 = z3 , ãäå z ïðîèçâîëüíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ýòî ðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ðàâåíñòâó ( õ ó )( õ + ó ) = = z ⋅ z2 , êîòîðîå áóäåò âûïîëíÿòüñÿ äëÿ ðåøåíèé (õ; ó) ñèñòåìû óðàâíåíèé z2 + z x= , − = õ ó z , 2 ⇔ 2 2 x + y = z y = z − z . 2 Çàìåòèì, ÷òî îáà ÷èñëèòåëÿ z(z + 1) è z(z 1) ÷åòíûå ÷èñëà (êàê ïðîèçâåäåíèå äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë), ïîýòîìó íàéäåííûå ðåøåíèÿ ñèñòåìû öåëûå ÷èñëà. 467 . 3. à) 0,(027); á) 1850 à) Äåëèì ÷èñëèòåëü íà çíàìåíàòåëü, íàïðèìåð, «óãîëêîì». 1 1 + α, ãäå α = 0, (243 ) . á) Ïðåîáðàçóåì: 0,25(243) = 4 100 243 9 = . È îêîíÇàìåòèì, ÷òî 1000α = 243 + α , îòêóäà α = 999 37 1 9 934 467 + = = . ÷àòåëüíî ïîëó÷èì 0,25(243) = 4 3700 3700 1850 4.  ñâÿçè ñ âîçíèêíîâåíèåì íååâêëèäîâîé ãåîìåòðèè Ãàóññ ïðîâåðÿë ñïðàâåäëèâîñòü åâêëèäîâîé òåîðåìû î ñóììå óãëîâ òðåóãîëüíèêà. 5. Òðè ïàðòèè èç ÷åòûðåõ. Åñëè â ñåðèè èç n îäèíàêîâûõ îïûòîâ ñîáûòèå À ìîæåò â êàæäîì îïûòå ïðîèçîéòè ñ âåðîÿòíîñòüþ ð è íå ïðîèçîéòè ñ âåðîÿòíîñòüþ q (åñòåñòâåííî, ð + q = 1), òî âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ýòîé ñåðèè ñîáûòèå À ïðîèçîéäåò ðîâíî k ðàç, ðàâíà n! .  íàÑnk ⋅ pk ⋅ qn − k (ôîðìóëà Áåðíóëëè), ãäå Ñnk = k n - k) ! ! ( 1 øåé çàäà÷å ð = q = . 2  ñëó÷àå n = 4 ó íàñ k = 3, ïîýòîìó èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà 3 1 1 1 4⋅ ⋅ = . 2 2 4 Ïðè n = 8 è k = 5 ïîëó÷àåì, ÷òî èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà 8 ÔÈÇÈÊÀ M ÊM ˆ + 1˜ = 0,3 ì . Á ¯ k Ëm a0 L2 + l 2 = 2,04 c . 3. q = R 14πε0mg = 1,4 ìêÊë . 4. T = gl 5. Îò ïåñ÷àíîãî äíà áðóñîê îòîðâàòüñÿ íå ñìîæåò, è áàêåí óòîíåò.  ñëó÷àå êàìåíèñòîãî äíà áàêåí áóäåò ïëàâàòü òàê, ÷òî íàä âîäîé áóäåò íàõîäèòüñÿ òîëüêî åãî âåðõóøêà, ñîñòàâëÿþùàÿ 4,2% âñåãî îáúåìà áàêåíà. D = 0,51 . 6. m = 2,9 êã; pa = 772 ìì ðò.ñò. 7. Dn = D + n (1 - D) Èñòîðèÿ íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé 1. L = 113 ì. 2. l0 = l + v0 ( ) ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 1. à) Áåñêîíå÷íî; á) áåñêîíå÷íî. à) Ïîêàæåì, ÷òî ëþáîå ÷èñëî âèäà 3 ⋅ 2n ïðè n > 1 èçáûòî÷íî. Äåéñòâèòåëüíî, íàéäåì ñóììó âñåõ åãî äåëèòåëåé: 8! 1 6⋅7⋅8 1 7 1 1 ⋅ = ⋅ = < . Ñ85 ⋅ = 5!⋅ 3! 256 1 ⋅ 2 ⋅ 3 256 32 4 2 ÔÈÇÈÊÀ 1. à) Áîëüøîé àäðîííûé êîëëàéäåð. á) Íà òåððèòîðèè Øâåéöàðèè è Ôðàíöèè. â) Íà 14 ÒýÂ. ã) Ïðåæäå âñåãî, îáíàðóæåíèå áîçîíà Õèããñà. 2. à) Õåéêå Êàìåðëèíã-Îííåñ. á) Íèäåðëàíäû. 3. à) Ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêàÿ òåîðèÿ óòâåðæäàåò, ÷òî âåùåñòâî ñîñòîèò èç ìîëåêóë, íàõîäÿùèõñÿ â íåïðåðûâíîì äâèæåíèè è âçàèìîäåéñòâèè. á) Äàíû îïðåäåëåíèÿ àòîìà è ìîëåêóëû. 4. Àòîìíûé ñèëîâîé ìèêðîñêîï. 5. à) Ðè÷àðä Ôåéíìàí. à) Îí îäèí èç ñîçäàòåëåé ñîâðåìåííîé êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè (Íîáåëåâñêàÿ ïðåìèÿ ïî ôèçèêå 1965 ãîäà). Îäèí èç àâòîðîâ èçâåñòíîãî êóðñà «Ôåéíìàíîâñêèå ëåêöèè ïî ôèçèêå». ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, II ÌÅÆÄÓÍÀÐÎÄÍÛÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÒÓÐÍÈÐ ÈÌÅÍÈ Ì.Â. ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀ ÄËß Ó×ÀÙÈÕÑß 5-8 ÊËÀÑÑΠ5-6 êëàññû Óñòíûé êîìàíäíûé òóð 1. 54. 1 1 ⋅ ⋅ 144 = 36 , 2 2 1 1 ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà BKL ðàâíà ⋅ ⋅ 144 = 18 , ïîýòîìó 2 4 ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà DKL ðàâíà 144 − (36 + 36 + 18) = 54 . 2. Íå÷åòíûì. Ñãðóïïèðóåì ñëàãàåìûå óêàçàííîé ñóììû (êðîìå ïîñëåäíåãî) ïî ïàðàì: S = (1 + 2) + (3 + 4) + (2011 + 2012) + 2013 . Ñóììà ÷èñåë êàæäîé ïàðû íå÷åòíà, êîëè÷åñòâî ïàð ÷åòíî, ñëåäîâàòåëüíî, ñóììà ÷èñåë îò 1 äî 2012 ÷åòíà. 3. 6000. Âñå ÷åòûðåõçíà÷íûå ÷èñëà ðàçîáüåì íà òðîéêè: 1000, 1001, 1002; 1003, 1004, 1005; ; 9997, 9998, 9999. Âñåãî òàêèõ òðîåê 3000, ïåðâûå äâà ÷èñëà â êàæäîé òðîéêå íå äåëÿòñÿ íà 3. 4. Ñì. ðèñ. 15. 5. Îäíà èç âîçìîæíûõ çàïèñåé: Ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ ADK è CDL ðàâíû 9 ⋅ (8 − 7 ) ⋅ (6 − 5 ) ⋅ ( 4 − 3 ) ⋅ (2 − 1) + 0 . 6. Âîçüìåì äâà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷èñëà a è b, êîòîðûå íå ïîïàëè íà ñîñåäíèå ãðàíè, è ðàñïîëîæèì êóá òàê, ÷òî îäíî èç ýòèõ ÷èñåë îêàçàëîñü íà íèæíåé ãðàíè. Òîãäà äðóãîå ÷èñëî îêàæåòñÿ íà âåðõíåé ãðàíè. Ëèáî ó ÷èñëà a, ëèáî Ðèñ. 15 ó ÷èñëà b ñðåäè ÷èñåë îò 1 äî 6 íàéäóòñÿ äâà ñîñåäíèõ ÷èñëà. Åñëè, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, äâà ñîñåäíèõ íàøëèñü ó ÷èñëà a, òî îäíî èç íèõ b, à äðóãîå c , ëåæàùåå íà áîêîâîé ãðàíè.  ðåçóëüòàòå, a è c äâà ñîñåäíèõ ÷èñëà, ðàñïîëîæåííûõ íà ñîñåäíèõ (ñìåæíûõ) ãðàíÿõ êóáà. Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð 1. 24,5 ñì.  ïðÿìîóãîëüíèêå åñòü ñìåæíûå è ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíû. Èç òðåõ ñòîðîí ïðÿìîóãîëüíèêà äâå îáÿçàòåëüíî ñìåæíûå, ñëåäîâàòåëüíî, ñóììà òðåõ êàêèõ-òî ñòîðîí áîëüøå, ÷åì ñóììà äâóõ ñìåæíûõ. Òàêèì îáðàçîì, 19 ñì ñóììà äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ñòîðîí, îäíà ïàðàëëåëüíàÿ ñòîðîíà èìååò äëèíó 9,5 ñì. ßñíî, ÷òî ñóììà äëèí òðåõ ñòîðîí, î êîòîðûõ èäåò ðå÷ü â óñëîâèè, ýòî ñóììà äëèí íàéäåííîé íàìè ñòîðîíû â 9,5 ñì è äëèí äâóõ äðóãèõ ïàðàëëåëüíûõ ñòîðîí. Ñëåäîâàòåëüíî, ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâåí 19 + 5,5 = 24,5 (ñì). 2. Áîëüøå âðåìåíè ïîòðåáóåòñÿ âåñíîé. Ïóñòü S ðàññòîÿíèå îò A äî B. Òîãäà âåñíîé íà äîðîãó êàòåS S 32 + = ⋅ S , à ëåòîì ðó ïîòðåáóåòñÿ âðåìÿ 16 + 2 16 − 2 162 − 22 S S 32 + = ⋅ S . ßñíî, ÷òî 162 − 22 < 162 − 1 , ïî16 + 1 16 − 1 162 − 12 ýòîìó âåñíîé ïîòðåáóåòñÿ áîëüøå âðåìåíè. 3. Íå ÿâëÿåòñÿ. Êâàäðàò íàòóðàëüíîãî ÷èñëà ëèáî äåëèòñÿ íà 3, ëèáî äàåò ïðè äåëåíèè íà 3 îñòàòîê 1 (äîêàæèòå). ×èñëî 11........19 ìîæíî 2012 çàïèñàòü â âèäå ñóììû 11.........1 + 8 . Ïî ïðèçíàêó äåëèìîñòè 2013 ïåðâîå ñëàãàåìîå äåëèòñÿ íà 3, à âòîðîå ñëàãàåìîå ïðè äåëåíèè íà 3 äàåò îñòàòîê 2. 4. 1007. Ïðåäñòàâèì ñóììó â âèäå (2013 − 2012) + (2011 − 2010 ) + + (5 − 4 ) + (3 − 2) + 1 , ãäå êàæäàÿ èç 1006 ðàçíîñòåé ðàâíà 1. $! ÐÅØÅÍÈß 5. Íà 348. Ñðåäè ÷èñåë îò 1 äî 100 íà 3 äåëÿòñÿ 33 ÷èñëà. Êðîìå òîãî, îäèííàäöàòü èç íèõ äåëÿòñÿ íà 9, çíà÷èò, íóæíî äîáàâèòü åùå 11 òðîåê. Íà 27 äåëÿòñÿ åùå 3 ÷èñëà, íà 81 îäíî ÷èñëî. Èòîãî: 33 + 11 + 3 + 1 = 48. 6. Ñì. ðèñ. 16. Ðèñ. 16 78 êëàññ Óñòíûé êîìàíäíûé òóð 1. 15. Ñîåäèíèì ñåðåäèíó H ñòîðîíû AB ñ âåðøèíîé D è îáîçíà÷èì ÷åðåç G òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ DH ñ äèàãîíàëüþ AC (ðèñ. 17). Ïðÿìàÿ HD ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé BE, ïîýòîìó HG ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà ABF, è AG = GF. Àíàëîãè÷íî, EF ñðåäÐèñ. 17 íÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà CDG, è GF = FC. Òàêèì îáðàçîì, òî÷êè G è F äåëÿò äèàãîíàëü AC íà òðè ðàâíûå ÷àñòè. 2 2 2 1 Òàê êàê AF = AC , SABF = SABC = ⋅ ⋅ 36 = 12 . Ïëîùàäü 3 3 3 2 òðåóãîëüíèêà BCE ðàâíà ÷åòâåðòè ïëîùàäè êâàäðàòà ABCD, 1 SBCE = ⋅ 36 = 9 , ïîýòîìó ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà ADEF 4 ðàâíà 36 (12 + 9) = 15. 2. 4. Ìîäóëü ðàçíîñòè x − a ðàâåí ðàññòîÿíèþ îò òî÷êè ÷èñëîâîé ïðÿìîé, èçîáðàæàþùåé ÷èñëî x, äî òî÷êè, èçîáðàæàþùåé ÷èñëî a. Äëÿ ëþáîé òî÷êè x îòðåçêà [−4; − 1] ñóììà x + 4 + | x + 1 | ðàâíà ñóììå ðàññòîÿíèé îò òî÷êè x äî òî÷åê 4 è 1 è ðàâíî 3 äëèíå ýòîãî îòðåçêà. Äëÿ òî÷åê x âíå îòðåçêà [−4; − 1] ñóììà x + 4 + x + 1 > 3 . Äëÿ ëþáîé òî÷êè x îòðåçêà [−3; − 2] , ëåæàùåãî â îòðåçêå [−4; − 1] , ñóììà x + 3 + x + 2 ðàâíà 1 äëèíå îòðåçêà [−3; − 2] . Äëÿ òî÷åê x âíå îòðåçêà [−3; − 2] ñóììà x + 3 + x + 2 > 1 . Òàêèì îáðàçîì, íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ñóììû ðàâíî 4 è äîñòèãàåòñÿ äëÿ âñåõ x èç îòðåçêà [−3; − 2] . 3. Òðîåê íà äâå áîëüøå. Åñëè êîëè÷åñòâî òðîåê ñîâïàëî áû ñ êîëè÷åñòâîì ïÿòåðîê, òî ñóììà âñåõ îöåíîê ðàâíÿëàñü áû 272. Çàìåíà «5» íà «3» óìåíüøàåò ñóììó íà 2. 4. ×åðåç òî÷êó O ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëè AC è îòðåçêà MN ïàðàëëåëüíî CD ïðîâåäåì îòðåçîê, òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ êîòîðîãî ñ îòðåçêîì PN îáîçíà÷èì ÷åðåç K (ðèñ. 18).  òðåóãîëüíèêå QPC îòðåçêè MO è QC ïàðàëëåëüíû, ñëåäîâàòåëüíî, MP : MQ = PO : OC .  òðåóãîëüíèêå CPN îòðåçîê OK ïàðàëëåëåí CN, ñëåäîâàòåëüíî, PK : KN = PO : OC . Òàêèì îáðàçîì, MP : MQ = PK : KN .  òðåóãîëüíèêå PQN îòðåçêè MK è QN ïàðàëëåëüíû, ñëåäîâàòåëüíî, ∠KMN = ∠MNQ . Ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè MOK è NOK ðàâíû, òàê êàê MO = ON è OK îáùèé êàòåò, ïîýòîìó ∠KMN = ∠MNP . 5. 27 − 2 2 . 2 Äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèÿ a + b 2 = 737 − 108 2 , a + b 2 > 0, ò.å. 2ab = −108 , a2 + 2b2 = 737 ⇒ ab = −2 ⋅ 33 , íî a íå ìîæåò áûòü ÷åòíûì ÷èñëîì, ïîýòîìó íóæíî ðàññìîòðåòü ÷åòûðå ñëó÷àÿ: 1) a = 1, b = 54; 2) a = 1, b = 54; 3) a = 27, b = 2; 4) a = 27, b = 2. 6. Âûáåðåì êó÷êó, ãäå íàèìåíüøåå ÷èñëî îðåõîâ. Ïóñòü îíà Ðèñ. 18 ( ) $" ÊÂÀÍT 2014/¹3 18-ÿ.  ïåðâûå 6 ãðóïï ïî òðè êó÷êè äîáàâèì ïî îäíîìó îðåõó è â ãðóïïó èç 18-é, 19-é, 20-é êó÷åê òîæå äîáàâèì ïî îäíîìó. Ðàçíèöà ìåæäó íàèáîëüøèì è íàèìåíüøèì ÷èñëîì îðåõîâ â êó÷êàõ óìåíüøèëàñü íà 1. Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð 1. 3. Ïðè äåëåíèè ÷èñëà íà 9 ïîëó÷àåòñÿ òîò æå îñòàòîê, ÷òî è ïðè äåëåíèè íà 9 ñóììû åãî öèôð. Îñòàòêè îò äåëåíèÿ äåâÿòè ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ðàâíû 1, 2, 3, , 0 , èõ ñóììà ðàâíà 36 è äåëèòñÿ íà 9, ïîýòîìó ñóììà öèôð ÷èñåë îò 1 äî 2007 äåëèòñÿ íà 9 áåç îñòàòêà. Ñóììà öèôð ÷èñåë îò 2008 äî 2013 ïðè äåëåíèè íà 9 äàåò òîò æå îñòàòîê, ÷òî è ÷èñëî 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, ò.å. 3. 2. Âñïîìíèì, ÷òî x − a ðàâåí ðàññòîÿíèþ îò òî÷êè ÷èñëîâîé ïðÿìîé, èçîáðàæàþùåé ÷èñëî x, äî òî÷êè, èçîáðàæàþùåé ÷èñëî a. Ïîýòîìó ÷èñëî x − 3 + | x + 3 | ðàâíî ñóììå ðàññòîÿíèé îò òî÷êè x äî òî÷åê 3 è 3. Íî ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè 3 è 3 ðàâíî 6. Óðàâíåíèþ à) óäîâëåòâîðÿþò òîëüêî ÷èñëà èç îòðåçêà [−3; 3] . Äëÿ äðóãèõ ÷èñåë x − 3 + | x + 3 | > 6 .  óðàâíåíèè á) ê ëåâîé ÷àñòè äîáàâëÿåòñÿ ðàññòîÿíèå îò òî÷êè x äî òî÷êè 0, ïîýòîìó x = 0. 1 1 1 3. Èçâåñòíî, ÷òî 1 = + + . Ïîýòîìó 2 3 6 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1= + + + + + = + + + + + , 2 4 8 8 2 3 6 2 4 8 16 24 48 îòñþäà 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + + . 3 6 12 24 48 72 144 Âîçìîæíû è äðóãèå ïîäõîäû ê ðåøåíèþ çàäà÷è, ñîîòâåòñòâåííî, ñ äðóãèìè îòâåòàìè. 4. Ìîæíî çàïèñàòü c = − (a + b ) , ïîäñòàâèòü â çàäàííîå ðàâåíñòâî è ïîêàçàòü, ÷òî ïîëó÷àåòñÿ òîæäåñòâî. 13 . 5. 49 Ðàçäåëèâ êàæäóþ èç ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ABC íà ñåìü ðàâíûõ ÷àñòåé, ðàçðåæåì òðåóãîëüíèê íà ìàëåíüêèå ïàðàëëåëîãðàììû è òðåóãîëüíèêè, êàæäûé èç êîòîðûõ ñîñòàâëÿåò ïîëîâèíó ïàðàëëåëîãðàììà (ðèñ. 19). Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà 1 AKM ðàâíà ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ s , ïëîùàäü òðåó2 1 ãîëüíèêà ABC ðàâíà ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ s , ãäå I 2 ïëîùàäü ìàëåíüêîãî ïàðàëëåëîãðàììà. Ðèñ. 19 Òàêèì îáðàçîì, ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà 3 4 AKM ñîñòàâëÿåò ⋅ îò ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà ABC. Òàêóþ 7 7 æå ÷àñòü îò ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà ABC ñîñòàâëÿþò è ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà BMN, è ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà CKN, ïîýòîìó íà ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà MNK ïðèõîäèòñÿ 12 12 12 13 1− + + îò ïëîùàäè èñõîäíîãî òðåóãîëüíèêà. = 49 49 49 49 6. Èç êàæäîé âåðøèíû øåñòèóãîëüíèêà âûõîäÿò ïÿòü îòðåçêîâ, ïî êðàéíåé ìåðå òðè èõ íèõ îêðàøåíû â îäèí öâåò. Ïóñòü, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, èç âåðøèíû A âûõîäÿò òðè çåëåíûõ îòðåçêà, âòîðûìè êîíöàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ âåðøèíû B, C, D. Åñëè âåðøèíû B, C è D ñîåäèíåíû êðàñíûìè îòðåçêàìè, òî âñå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà BCD îêðàøåíû â îäèí öâåò (êðàñíûé), åñëè æå äâå èç ýòèõ òðåõ âåðøèí, íàïðèìåð B è C, ñîåäèíåíû çåëåíûìè îòðåçêàìè, òî â îäèí öâåò (çåëåíûé) îêðàøåíû âñå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ABC. ÂÑÅÐÎÑÑÈÉÑÊÀß ÑÒÓÄÅÍ×ÅÑÊÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ ÏÎ ÔÈÇÈÊÅ 2014 ÃÎÄÀ ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÒÓÐ u v u -1 l 1. Lmax = l e . 2. L = v0 , åñëè ñàíêè äî îñòàíîâêè v µg v2 + µgl â ïðîòèâíå çàåõàëè ïîëíîñòüþ íà àñôàëüò, è L = 0 2µg íîì ñëó÷àå. 3. ω0 = 5 L2 2 r2 gRÇ2 sin α , ãäå RÇ ðàäèóñ Çåìëè. R3 Ê Ê Mg ˆ Mg ˆ 4. A = Sh Á p0 ln Á1 + , ãäå p0 àòìîñôåðíîå äàâ+ p0 S ˜¯ S ˜¯ Ë Ë ëåíèå. πR2µ0 nI qQ 5. F = . 6. Φ = . 2 8ε0 RL 7. Ãîäîãðàô ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îêðóæíîñòü: 2 2 Ê Sx Ê Sy 1ˆ 1ˆ 1 ÁË E B - 2 ˜¯ + ÁË E B - 2 ˜¯ = 2 . 0 0 0 0 ÇÀÊËÞ×ÈÒÅËÜÍÛÉ ÒÓÐ 2 2v2 x. 2. v = µg 2a 2 + 2b 2 + ab 4. T = 2π . 2 3g a + b 2 1. Ýòî ïàðàáîëà: ( y + x ) = 3. mi +1 = imi . i+2 ( 3ga . 10 ) 2Μ g , ãäå Μ ìîëÿðíàÿ ìàññà âîçäóõà, R óíè5. T = T0 7R âåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ. σ2l2 ga . 7. rmin = . 6. F = 2ε0 mv 2 q BE0 8. Ïðè vx = 2 2 ; vz = 0 ; ýëëèïñ. m ω - q2 B2 ÊÂÀÍÒ ÍÎÌÅÐ ÏÎÄÃÎÒÎÂÈËÈ C.À.Äîðè÷åíêî, À.À.Åãîðîâ, Å.Ì.Åïèôàíîâ, À.Þ.Êîòîâà, Â.À.Òèõîìèðîâà, À.È.×åðíîóöàí ÍÎÌÅÐ ÎÔÎÐÌÈËÈ Â.Í.Âëàñîâ, Ä.Í.Ãðèøóêîâà, Ì.Â.Ñóìíèíà ÕÓÄÎÆÅÑÒÂÅÍÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ Å.Â.Ìîðîçîâà ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÀß ÃÐÓÏÏÀ Ì.Í.Ãðèöóê, Å.À.Ìèò÷åíêî Æóðíàë «Êâàíò» çàðåãèñòðèðîâàí â Êîìèòåòå ÐÔ ïî ïå÷àòè. Ðåã. ñâ-âî ¹0110473 Òèðàæ: 1-é çàâîä 900 ýêç. Çàêàç ¹ Àäðåñ ðåäàêöèè: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò» Òåë.: (495) 930-56-48 Å-mail: [email protected], [email protected] Îòïå÷àòàíî â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäîñòàâëåííûìè ìàòåðèàëàìè â ÎÎÎ «ÈÏÊ Ïàðåòî-Ïðèíò», ã.Òâåðü www.Pareto-print.ru