f(M 0 )

Экстремум функции нескольких переменных
Опр 33. Пусть функция
окрестности. Точка
M0
U = f(M)
определена в точке
f(M) ≤ f(M0)
и в ее
называется точкой локального максимума
функции U= f(M) , если ∃U(M0,d), такая что ∀M
выполняется неравенство :
Если
M0
∈ U(M0,d)
f(M)< f(M0)
– неравенство не строгое, то максимум не строгий.
Опр 33*.
Точка M0 называется точкой локального минимума, если ∃U(M0,d) такая,
что
∀M ∈ U(M0,d)
⇒ f(M) > f(M0)
Опр 34. Точки локального максимума и минимума называются точками
локального экстремума.
Опр 35. Точки в которых
f ' xx = 0
называются стационарными точками.
Теорема 14. (необходимые условия существования экстремума фнп)
Пусть в точке М0 функция U=f(M) имеет экстремум, и пусть в
существуют все частные производные. Тогда все они равны нулю.
М0
U ( M 0 )
 0, k  1, n
 xk
Теорема 15. (достаточные условия существования экстремума фнп)
Если второй дифференциал в подозрительной на экстремум точке М0
положительный, то в точке М0 - минимум функции U=f(M).
Если второй дифференциал в точке М0 отрицательный, то в М0 максимум функции U=f(M).
Квадратичные формы
КФ1. Квадратичной формой от n переменных называется функция вида
Q( x1 , x2 , ..., xn )  a11x1  a12 x1 x2  a13 x1 x3  ...  a1n x1 xn 
2
 a21x2 x1  a22 x2  a23 x2 x3  ...  a2 n x2 xn 
2





 an1 xn x1  an 2 xn x2  an 3 xn x3  ...  ann xn
2
n
или
Q( x1 , x2 , ..., xn )   aik xi xk
i ,k
КФ2. Матрица квадратичной формы
КФ3. Главные миноры матрицы А
a
a 
1  a11  2   11 12 
a21 a22 
...
Здесь ai k – числа, причем ai k = ak i
 a11
a
A   21


a n1
a12
a 22

an2
 a11 ... a1k 
 k      
a k1 ... a kk 
... a1n 
... a 2 n 
  

... a nn 
...
Виды квадратичных форм
Знакоопределенные
Положительно
определенные
Квазизнакоопределенные
Знакопеременные
Неотрицательные
Отрицательно
определенные
Неположительные
КФ4 Квадратичная форма называется положительно (отрицательно)
определенной, если для любых значений x1 , x2 , … xn, не равных нулю
одновременно, она принимает положительные (отрицательные) значения.
КФ5 Квадратичная форма называется квазизнакоопределенной, если она
принимает только неположительные (неотрицательные) значения.
Т.е. Q=0 не только при x1= x2= …= xn=0.
КФ6 (Критерий Сильвестра знакоопределенной квадратичной формы)
• Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определенной,
необходимо и достаточно, чтобы главные миноры ее матрицы были
положительны.
• Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной,
необходимо и достаточно, чтобы главные миноры ее матрицы нечетного
порядка были отрицательны, а четного порядка – положительны.
• Если Δ1>0
Δ2>0
…
Δn>0
или
Δ1<0
Δ2<0
…
Δn<0
и существует хотя бы одно j такое, что Δj=0, то квадратичная форма квазизнакоопределенная.
• В остальных случаях квадратичная форма знакопеременная
Теорема 15* (Достаточные условия локального экстремума)
•
•
•
•
Пусть функция U=f(M) – дважды дифференцируемая функция в окрестности
т. М0 и М0 – ее стационарная точка. Тогда если
d 2U(M0 ) – положительно определенная квадратичная форма, то U=f(M)
имеет минимум в т. М0.
d 2U(M0 ) – отрицательно определенная квадратичная форма, то U=f(M)
имеет максимум в т. М0.
d 2U(M0 ) – знакопеременная квадратичная форма, то локальный экстремум
отсутствует.
d 2U(M0 )=0 (квазизнакоопределенная квадратичная форма), тогда U=f(M) в
т. М0 может иметь или не иметь экстремум (требуются дополнительные
исследования) – надо рассматривать d 2U(M0 ) или считать d 3U(M0 ) .