§17,18. Экстремумы ФНП. Условные экстремумы

Математический анализ
Раздел: Функция нескольких переменных
Экстремумы ФНП.
Условные экстремумы ФНП
Тема:
Лектор Белов В.М.
2010 г.
§17. Экстремумы ФНП
Пусть z = f(x,y) определена в некоторой области DxOy ,
M0(x0,y0)D .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.
Точка M0(x0,y0) называется точкой максимума функции
f(x,y), если M(x,y)U(M0,) выполняется неравенство
f(x,y)  f(x0,y0) .
Точка M0(x0,y0) называется точкой минимума функции
f(x,y), если M(x,y)U(M0,) выполняется неравенство
f(x,y)  f(x0,y0) .
Точки максимума и минимума функции называются ее
точками экстремума.
Значения функции в точках максимума и минимума называются
соответственно
максимумами
и
минимумами
(экстремумами) этой функции.
Замечания.
1) По смыслу точкой максимума (минимума) функции f(x,y)
могут быть только внутренние точки области D.
2) Если M(x,y)U*(M0,) выполняется неравенство
f(x,y) < f(x0,y0) [ f(x,y) > f(x0,y0) ],
то точку M0 называют точкой строгого максимума
(соответственно точкой строгого минимума) функции
f(x,y).
Определенные в 1 точки максимума и минимума называют
иногда точками нестрогого максимума и минимума.
3) Понятия экстремумов носят локальный характер. В
рассматриваемой области функция может совсем не иметь
экстремумов,
может иметь несколько (в том числе
бесчисленно много) минимумов и максимумов. При этом
некоторые минимумы могут оказаться больше некоторых ее
максимумов.
ТЕОРЕМА 2 (необходимые условия экстремума).
Если функция z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) имеет экстремум,
то в этой точке либо обе ее частные производные первого
порядка равны нулю, либо хотя бы одна из них не
существует.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ теоремы 2.
Если M0(x0,y0) – точка экстремума функции z = f(x,y), то
касательная плоскость к графику этой функции в точке
P0(x0,y0,f(x0,y0)) либо параллельна плоскости xOy, либо
вообще не существует.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Точки, удовлетворяющие условиям теоремы 2, называются
критическими точками функции z = f(x,y).
ТЕОРЕМА 3 (достаточные условия экстремума функции ДВУХ
переменных).
Пусть M0(x0,y0) – критическая точка функции z = f(x,y) и в
некоторой окрестности точки M0 функция имеет непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно.
Обозначим
 ( x0 , y0 ) , B  f xy
 ( x0 , y0 ) , C  f yy
 ( x0 , y0 ) .
A  f xx
Тогда
1) если A  C – B2 < 0 , то точка M0(x0,y0) не является
точкой экстремума;
2) если A  C – B2 > 0 и A > 0 , то в точке M0(x0,y0)
функция имеет минимум;
3) если A  C – B2 > 0 и A < 0 , то в точке M0(x0,y0)
функция имеет максимум;
4) если A  C – B2 = 0 , то никакого заключения о критической точке M0(x0,y0) сделать нельзя и требуются
дополнительные исследования.
Замечание.
1) Если с помощью теоремы 3 исследовать критическую точку
M0(x0,y0) не удалось, то ответ на вопрос о наличии в M0
экстремума даст знак f(x0,y0) :
а) если при всех достаточно малых x и y имеем
f(x0,y0) < 0,
то M0(x0,y0) – точка строгого максимума;
б) если при всех достаточно малых x и y имеем
f(x0,y0) > 0,
то M0(x0,y0) – точка строгого минимума.
В случае нестрогих экстремумов при некоторых значениях
x и y приращение функции будет нулевым
2) Определения максимума и минимума и необходимые условия
экстремума легко переносятся на функции трех и более числа
переменных.
Достаточные условия экстремума для функции n (n > 2)
переменных ввиду их сложности в данном курсе не
рассматриваются. Определять характер критических точек
для них мы будем по знаку приращения функции.
§18. Условные экстремумы ФНП
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Условным экстремумом функции n
переменных u = f(x1, x2 , …, xn) называется экстремум этой
функции, найденный в предположении, что переменные
x1, x2 , …, xn связаны m (m < n) условиями:
1(x1, x2 , …, xn) = 0 ,
……………………. ,
(1)
m(x1, x2 , …, xn) = 0 .
Условия (1) называются уравнениями связи.
Обычный экстремум при этом называют
экстремумом.
безусловным
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ условного экстремума функции ДВУХ переменных.
Пусть поверхность S – график функции z = f(x,y);
PP11
z
P0
L
M1
x
y
M0

M1 – точка безусловного экстремума (сравниваем P1 и точки ее полной окрестности).
Пусть ℓ  xOy – кривая уравнения связи (x,y) = 0 ,
L – образ ℓ на поверхности S .
M0 – точка условного экстремума (сравниваем положение P0 и точек кривой L) .
ЗАДАЧА. Найти экстремум функции z = f(x,y), при условии,
что x и y связаны условием (x,y) = 0 .
I способ. Метод подстановки.
Из уравнения (x,y) = 0 выразить y = (x) и подставить в
z = f(x,y) . Тогда условный экстремум – обычный экстремум
функции одной переменной z = f(x, (x)).
II способ. Метод Лагранжа.
Пусть уравнение (x,y) = 0 определяет функцию y = y(x) в
неявном виде, f(x,y) – дифференцируемая.
Необходимые условия условного экстремума функции 2-х
переменных:

 f
 x   x  0 ;
 f

 0;
 
y
 y
  ( x, y )  0 .

(5)
Замечания.
1) Условия (5) – необходимые условия экстремума функции 3-х
переменных F (x,y,) = f(x,y) +   (x,y) .
F (x,y,) называют функцией Лагранжа,  – множителем
Лагранжа .
2) ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ метода Лагранжа.
Рассмотрим линии уровня f(x,y) = C1 , …, f(x,y) = Ck функции
z = f(x,y) и кривую (x,y) = 0 (кривую ℓ).

M0
Q
Точка Q не является точкой условного экстремума, т.к. в ее
окрестности функция принимает значения как больше Ci , так
и меньше Ci .
Точка условного экстремума M0 – точка в которой ℓ
касается некоторой линии уровня f(x,y) = Cm .
 В точке условного экстремума касательная к линии уровня
f(x,y) = Cm и к ℓ – общая.
Угловой коэффициент касательной к линии уровня f(x,y) = Cm
в точке M0:
f x ( M 0 )
k1  
f y ( M 0 )
.
Угловой коэффициент касательной к линии ℓ в точке M0 :
 x ( M 0 )
k2  
.
 y ( M 0 )
Так как k1 = k2 , то
f x ( M 0 )
 x ( M 0 )


f y ( M 0 )
 y ( M 0 )
f x ( M 0 ) f y ( M 0 )


  ,
 x ( M 0 )  y ( M 0 )


f x ( M 0 )   x ( M 0 ) ,
f x (M 0 )   x (M 0 )  0 ,
f y ( M 0 )   y ( M 0 ) ,
f y (M 0 )   y ( M 0 )  0.
Полученные из системы (5) критические точки Mi необходимо
проверить на наличие условного экстремума (рассмотреть в
них приращение f(Mi) с учетом уравнения связи (x,y) = 0).
Замечание.
Пусть M0(x0,y0) – критическая точка условного экстремума,
M0(x0,y0)  0 .
Рассмотрим f(M0) = f(M) – f(M0) = f(x0+x,y0+y) – f(x0,y0) ,
где (x0,y0) = 0 и (x0 + x,y0 + y) = 0 :
f(M0)=f(x0+x,y0+y) – f(x0,y0) + 0  [(x0+x,y0+y) – (x0,y0)]=
= [ f(x0+x,y0+y) + 0 ( x0+x,y0+y)] – [f(x0,y0) + 0 (x0,y0)] .
F ( x0  x, y0  y, 0 )
F ( x 0 , y 0 , 0 )
 f(M0) = x,yF(x0,y0,0)
Таким образом, приращение функции f(M0) с учетом
уравнения связи (x,y) = 0 совпадает с приращением функции
2-х переменных F (x,y,0) = f(x,y) + 0  (x,y) .
Для функции 2-х переменных справедлива
ТЕОРЕМА 1 (достаточное условие условного экстремума
функции 2-х переменных).
Пусть
M0(x0,y0) – критическая точка для условного
экстремума функции z = f(x,y) и в некоторой окрестности
точки M0(x0,y0) функция имеет непрерывные частные
производные до второго порядка включительно.
Обозначим
0
 x ( M 0 )  y ( M 0 )
 ( M 0 ) Fxy
 ( M 0 ) .
    x ( M 0 ) Fxx
 ( M 0 )
 y ( M 0 ) Fxy ( M 0 ) Fyy
Тогда:
1) если  > 0 , то в точке M0 – условный минимум ;
2) если  < 0 , то в точке M0 – условный максимум ;
3) если  = 0 , то никакого заключения о критической точке
M0(x0,y0) сделать нельзя и требуются дополнительные
исследования.
Обобщая полученные результаты на функцию n переменных
получим следующие результаты.
ТЕОРЕМА 2 (необходимые условия условного экстремума
функции n переменных).
Если функция u = f(x1, x2 , …, xn) в точке M0(x01, x02 , …, x0n)
имеет условный экстремум, то M0 является стационарной
точкой функции
F (x1, x2 , …, xn,1, …m) = f(M) + 1  1(M) + … + m  m(M),
где 1(M) = 0 , … m(M) = 0 – уравнения связи.
Наличие в критической точке M0 экстремума определяют по
знаку приращения функции n переменных
F(M0,01, …0m)
где 01, …, 0m – фиксированные значения множителей Лагранжа, соответствующие точке M0 .