Решетки с единственными несократимыми разложениями

Àëãåáðà è ëîãèêà, 39,  1 (2000), 93103
ÓÄÊ 512.56
ÐÅØÅÒÊÈ Ñ ÅÄÈÍÑÒÂÅÍÍÛÌÈ
ÍÅÑÎÊÐÀÒÈÌÛÌÈ ÐÀÇËÎÆÅÍÈßÌÈ
∗)
Ì. Â. ÑÅÌÅÍÎÂÀ
Ïàìÿòè Âèêòîðà Àëåêñàíäðîâè÷à Ãîðáóíîâà
Ïðåäñòàâëåíèå ýëåìåíòà a ïîëíîé ðåøåòêè L â âèäå a = W B íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì, åñëè ýëåìåíòû ìíîæåñòâà B âïîëíå íåðàçëîæèìû.
Ãîâîðÿò, ÷òî ýòî ðàçëîæåíèå íåñîêðàòèìî, åñëè a 6= W(B − b) äëÿ âñåõ
b ∈ B.
Èçâåñòíî [1], ÷òî â äèñòðèáóòèâíîé ðåøåòêå êàæäûé ýëåìåíò èìååò
íå áîëåå îäíîãî íåñîêðàòèìîãî ðàçëîæåíèÿ. Â êàêèõ ðåøåòêàõ êàæäûé
íåíóëåâîé ýëåìåíò èìååò åäèíñòâåííîå íåñîêðàòèìîå ðàçëîæåíèå? Äàëåå
òàêèå ðåøåòêè áóäåì íàçûâàòü ðåøåòêàìè ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè. Äëÿ êîíå÷íûõ ðåøåòîê îòâåò íà ýòîò âîïðîñ íàéäåí
â 1940 ã. Äèëóîðñîì [2]. Îí äîêàçàë, ÷òî êîíå÷íàÿ ðåøåòêà L ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîé ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà L ëîêàëüíî äèñòðèáóòèâíà. Èçâåñòíî òàêæå [3, 4], ÷òî êëàññ
êîíå÷íûõ ðåøåòîê ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè ñîâïàäàåò ñ êëàññîì êîíå÷íûõ âûïóêëûõ ãåîìåòðèé.  1960 ã. Äèëóîðñ è Êðîóëè [5] îõàðàêòåðèçîâàëè êëàññ êîàëãåáðàè÷åñêèõ ñèëüíî êîàòîìíûõ ðåøåòîê ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè. Íàêîíåö, â 1978 ã.
Ãîðáóíîâ [6] äàë îïèñàíèå êëàññà äèñòðèáóòèâíûõ ðåøåòîê ñ (åäèíñòâåí∗)
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå Ãîñêîìèòåòà ÐÔ ïî âûñøåìó îáðà-
çîâàíèþ, ïðîåêò 1998 ã., Ðîññèéñêîãî ôîíäà ôóíäàìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé, ïðîåêòû
N 99-01-00485 è N 96-01-00097, Íåìåöêîãî íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêîãî îáùåñòâà, ïðîåêò
N 436 113/2670.
c
Ñèáèpñêèé ôîíä àëãåápû è ëîãèêè, 2005
94
Ì. Â. Ñåìåíîâà
íûìè) íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè. Áëèçêèå âîïðîñû ðàññìàòðèâàëèñü
â ðàáîòàõ Ýðíå [7], Ðèõòåðà [8], Âàëåíäçÿêà [911].
 íàñòîÿùåé còàòüå îïðåäåëÿåòñÿ ïîíÿòèå ìèíèìàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ
â ðåøåòêå è äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî âñå èçâåñòíûå äî ñèõ ïîð ðåøåòêè ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè ÿâëÿþòñÿ â äåéñòâèòåëüíîñòè
ðåøåòêàìè ñ ìèíèìàëüíûìè ðàçëîæåíèÿìè. Êðîìå òîãî, äàåòñÿ õàðàêòåðèçàöèÿ êëàññà ðåøåòîê ñ ìèíèìàëüíûìè ðàçëîæåíèÿìè. Êàê ñëåäñòâèå,
ïðèâîäèòñÿ íîâîå äîêàçàòåëüñòâî îòìå÷åííîé âûøå òåîðåìû Äèëóîðñà Êðîóëè.
Âñå èñïîëüçóåìûå çäåñü òåðìèíû ñîäåðæàòñÿ â [12, 13]. Âåçäå äàëåå
ïðåäïîëàãàåì, ÷òî L ïîëíàÿ ðåøåòêà, à 0 åå íàèìåíüøèé ýëåìåíò.
Ÿ 1. Ðåøåòêè ñ ìèíèìàëüíûìè ðàçëîæåíèÿìè
Íàïîìíèì, ÷òî ýëåìåíò a 6= 0 ðåøåòêè L íàçûâàåòñÿ âïîëíå íåðàçëîæèìûì, åñëè äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà B ⊆ L ðàâåíñòâî a = W B âëå÷åò a ∈ B . Ìíîæåñòâî âñåõ âïîëíå íåðàçëîæèìûõ ýëåìåíòîâ ðåøåòêè L îáîçíà÷èì CJ(L). Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî a ∈ CJ(L) ýëåìåíò
W
a∗ = {b ∈ L : b < a} ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì íèæíèì ïîêðûòèåì ýëåìåíòà a.
Ýëåìåíò a ðåøåòêè L íàçûâàåòñÿ âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíûì
ââåðõ, åñëè äëÿ ëþáîãî B ⊆ L è ëþáîãî ýëåìåíòà c ∈ L
a=b∨c
äëÿ âñåõ b ∈ B âëå÷åò a =
^ B ∨ c.
Ðåøåòêà L âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíà ââåðõ, åñëè êàæäûé åå ýëåìåíò
âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâåí ââåðõ. Ðàçëîæåíèå a = W B , ãäå B ⊆ CJ(L),
íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíûì, åñëè äëÿ ëþáîãî C ⊆ CJ(L) ðàâåíñòâî a = W C
âëå÷åò âêëþ÷åíèå B ⊆ C . Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ëþáîå ìèíèìàëüíîå
ðàçëîæåíèå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì íåñîêðàòèìûì.
Ýëåìåíò a ðåøåòêè L ïîëóìîäóëÿðåí âíèç, åñëè äëÿ ëþáîãî d ≺ a è
ëþáîãî c ∈ CJ(L) èç a = c ∨ d ñëåäóåò c ∧ d = c∗. Ðåøåòêà L íàçûâàåòñÿ
ïîëóìîäóëÿðíîé âíèç, åñëè a ≺ a ∨ b âëå÷åò a ∧ b ≺ b äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ a, b ∈ L. Ïîëóìîäóëÿðíûå ââåðõ ðåøåòêè îïðåäåëÿþòñÿ äâîéñòâåííûì
îáðàçîì.
Ðåøåòêè ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè
95
Îñíîâíàÿ öåëü ýòîãî ïàðàãðàôà äîêàçàòü, ÷òî èìååò ìåñòî
Ïóñòü L ðåøåòêà ñ ðàçëîæåíèÿìè. Ýëåìåíò
a 6= 0 ðåøåòêè L èìååò ìèíèìàëüíîå ðàçëîæåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà îí âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâåí ââåðõ, ïîëóìîäóëÿðåí âíèç, à èíòåðâàë [0, a] ÿâëÿåòñÿ êîàòîìíîé ðåøåòêîé.
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû îïèðàåòñÿ íà õàðàêòåðèçàöèþ êëàññà
ðåøåòîê ñ êàíîíè÷åñêèìè ðàçëîæåíèÿìè, êîòîðàÿ áûëà ïîëó÷åíà Ãîðáóíîâûì [6]. Ïðåäñòàâëåíèå a = W B ýëåìåíòà a â âèäå ñóììû ýëåìåíòîâ
ìíîæåñòâà B íàçûâàþò êàíîíè÷åñêèì ðàçëîæåíèåì ýëåìåíòà a, åñëè âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
1) ýòî ïðåäñòàâëåíèå íåñîêðàòèìî;
2) åñëè a = W C , òî äëÿ ëþáîãî b ∈ B ñóùåñòâóåò c ∈ C òàêîé, ÷òî
b ≤ c.
Èç äàííîãî îïðåäåëåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî êàíîíè÷åñêîå ðàçëîæåíèå
åäèíñòâåííî è ñîñòîèò èç âïîëíå íåðàçëîæèìûõ ýëåìåíòîâ
(ñì. [1]) Ýëåìåíò a 6= 0 ðåøåòêè L èìååò êàíîíè÷åñêîå ðàçëîæåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâåí ââåðõ è èíòåðâàë [0, a] ÿâëÿåòñÿ êîàòîìíîé ðåøåòêîé. Êðîìå
òîãî, åñëè Ua ìíîæåñòâî êîàòîìîâ â [0, a], a = W B êàíîíè÷åñêîå
ðàçëîæåíèå, òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ áèåêöèÿ f : Ua → B ñî ñâîéñòâàìè
f (n) 6≤ n äëÿ âñåõ n ∈ Ua ;
(1)
f (n) ≤ m äëÿ âñåõ n, m ∈ Ua è n 6= m.
ÒÅÎÐÅÌÀ 1.1.
ÒÅÎÐÅÌÀ 1.2
.
ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ òåîðåìû 1.1. Ïóñòü a = W B ìèíèìàëüíîå
ðàçëîæåíèå ýëåìåíòà a. Ïîñêîëüêó â ðåøåòêå ñ ðàçëîæåíèÿìè ëþáîå ìèíèìàëüíîå ðàçëîæåíèå ÿâëÿåòñÿ êàíîíè÷åñêèì, òî a âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâåí ââåðõ, à ðåøåòêà [0, a] êîàòîìíà, ñîãëàñíî òåîðåìå 1.2. Äàëåå, ïóñòü
d ≺ a è c ∨ d = a äëÿ íåêîòîðîãî c ∈ CJ(L). Â ñèëó óñëîâèÿ (1) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé b ∈ B òàêîé, ÷òî b 6≤ d. Åñëè W(B − b) ∨ c < a, òî
W
(B −b)∨c ≤ d0 ≺ a äëÿ íåêîòîðîãî êîàòîìà d0 . Ïîñêîëüêó c 6≤ d, òî d0 6= d.
Ñîãëàñíî óñëîâèþ (1) íàéäåòñÿ b0 ∈ B òàêîé, ÷òî b0 6≤ d0 è b0 ≤ d. Ó÷èòûâàÿ
íåðàâåíñòâî d 6= d0, ïîëó÷àåì, ÷òî b 6= b0. Òàêèì îáðàçîì, b0 ≤ W(B−b) ≤ d0,
96
Ì. Â. Ñåìåíîâà
à ýòî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó b0. Çíà÷èò, W(B − b) ∨ c = a. Îòñþäà, ïî îïðåäåëåíèþ ìèíèìàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ, èìååì B ⊆ (B \ {b}) ∪ {c}, ò. å. b = c.
Ïîêàæåì, ÷òî b∗ ≤ d.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå b∗ ∨ d = a è, èñïîëüçóÿ
ðàññóæäåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ïðèâåäåííûì âûøå, ïîëó÷àåì W(B − b) ∨ b∗ =
W
= a. Ïîñêîëüêó a = B êàíîíè÷åñêîå ðàçëîæåíèå, èìååì b ≤ b∗ , ÷òî
íåâîçìîæíî. Òàêèì îáðàçîì, b∗ ≤ d è ïîýòîìó b∗ ≤ b∧d ≤ b. Òàê êàê b 6≤ d,
òî c ∧ d = b ∧ d = b∗ = c∗ ≺ c, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Îáðàòíî, ïóñòü íåíóëåâîé ýëåìåíò a ∈ L âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâåí
ââåðõ, ïîëóìîäóëÿðåí âíèç, à ðåøåòêà [0, a] êîàòîìíà. Ïî òåîðåìå 1.2 ïðè
íåêîòîðîì B ⊆ CJ(L) ðàçëîæåíèå a = W B ÿâëÿåòñÿ êàíîíè÷åñêèì. Ïîêàæåì, ÷òî ýòî ðàçëîæåíèå ìèíèìàëüíî. Åñëè a = W C , C ⊆ CJ(L), òî äëÿ
ëþáîãî b ∈ B íàéäåòñÿ cb ∈ C , äëÿ êîòîðîãî b ≤ cb. Êðîìå òîãî, ñîãëàñíî (1) ñóùåñòâóåò db ≺ a òàêîé, ÷òî b 6≤ db, ò. å. cb 6≤ db. Èç ïîñëåäíåãî
íåðàâåíñòâà ïîëó÷àåì cb ∨ db = a, îòêóäà â ñèëó ïîëóìîäóëÿðíîñòè âíèç
cb ∧ db = (cb )∗ . Ïîýòîìó åñëè b < cb , òî b ≤ (cb )∗ = cb ∧ db ≤ db ; ïîëó÷èëè
ïðîòèâîðå÷èå. Òàêèì îáðàçîì, b = cb è B ⊆ C . 2
Ðåøåòêà L íàçûâàåòñÿ ñèëüíî êîàòîìíîé, åñëè ëþáîé íåòðèâèàëüíûé èíòåðâàë [a, b] ⊆ L ÿâëÿåòñÿ êîàòîìíîé ðåøåòêîé.
Ðåøåòêà L ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîé ñ ìèíèìàëüíûìè ðàçëîæåíèÿìè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà L âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíà ââåðõ, ïîëóìîäóëÿðíà âíèç è ñèëüíî êîàòîìíà.
ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïóñòü a ≺ a ∨ b è a ∨ b = W C ìèíèìàëüíîå
ðàçëîæåíèå. Åñëè a∧b < x < b äëÿ íåêîòîðîãî x ∈ L, òî íàéäóòñÿ ýëåìåíòû
x1 , b1 ∈ CJ(L) òàêèå, ÷òî
ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 1.3.
è b1 6≤ x, ò. å. b1 6≤ a;
x1 ≤ x è x1 6≤ a ∧ b, ò. å. x1 6≤ a.
Îòñþäà x1 6= b1 è a ∨ x1 = a ∨ b1 = a ∨ b. Ïóñòü a = W A ðàçëîæåíèå
ýëåìåíòà a. Ïî âûáîðó x1, b1 ïîëó÷àåì, ÷òî x1, b1 ∈/ A. Òàêèì îáðàçîì,
C ⊆ (A ∪ {x1 }) ∩ (A ∪ {b1 }) = A, ò. å. a ∨ b ≤ a, ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå. Ïîýòîìó a∧b ≺ b, è ðåøåòêà L ïîëóìîäóëÿðíà âíèç. Îñòàëüíûå óòâåðæäåíèÿ
íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþò èç òåîðåìû 1.1. 2
b1 ≤ b
Ðåøåòêè ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè
97
Ÿ 2. Âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíûå ââåðõ ðåøåòêè
ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè
Îñíîâíàÿ öåëü ïàðàãðàôà äîêàçàòü, ÷òî âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíûå ââåðõ ðåøåòêè ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè ÿâëÿþòñÿ ïîëóìîäóëÿðíûìè âíèç.
Äëÿ âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíîé ââåðõ ðåøåòêè L ñ
åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå:
ËÅÌÌÀ 2.1.
äëÿ ëþáîãî a ∈ L è ëþáûõ x, y ∈ CJ(L)
a ∨ x = a ∨ y è x 6≤ a âëå÷åò x = y.
(2)
ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü ñóùåñòâóþò
ðàçëè÷íûå x, y ∈ CJ(L) è a ∈ L òàêèå, ÷òî x 6≤ a è b = a ∨ x = a ∨ y.
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâà
X = {x0 ∈ L : x ∨ x0 = b}, Y = {y 0 ∈ L : y ∨ y 0 = b}.
Î÷åâèäíî, a ∈ X ∩Y . Ðåøåòêà L âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíà ââåðõ, ïîýòîìó
V
V
V
W
V
W
x ∨ ( X) = y ∨ ( Y ) = b. Ïóñòü X = T , Y = R åäèíñòâåííûå
íåñîêðàòèìûå ðàçëîæåíèÿ, òîãäà
x∨
_ _ T =y∨
R ,
ïðè÷åì ýòè ðàçëîæåíèÿ íåñîêðàòèìû: â ïðîòèâíîì ñëó÷àå x ≤ W T ≤ a
(èëè y ≤ W R ≤ a), ëèáî W(T −t)∨x = b ( W(R−r)∨y = b, ñîîòâåòñòâåííî),
÷òî ïðîòèâîðå÷èò ìèíèìàëüíîñòè ýëåìåíòîâ V X è V Y â ìíîæåñòâàõ X
è Y ñîîòâåòñòâåííî. Ïîñêîëüêó x 6= y, ýëåìåíò b èìååò äâà íåñîêðàòèìûõ
ðàçëîæåíèÿ, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. 2
Óñëîâèå (2) ðàññìàòðèâàë Âàëåíäçÿê â [10]. Îí ïîêàçàë, ÷òî äëÿ
íåïðåðûâíûõ âíèç ñèëüíî êîàòîìíûõ ðåøåòîê óñëîâèå (2) ðàâíîñèëüíî
ñóùåñòâîâàíèþ åäèíñòâåííûõ íåñîêðàòèìûõ ðàçëîæåíèé.
Âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíàÿ ââåðõ ðåøåòêà L ñ
åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè ïîëóìîäóëÿðíà âíèç.
ÒÅÎÐÅÌÀ 2.2.
98
Ì. Â. Ñåìåíîâà
1e
. . .
.
.
.
.
.
e
e
.
.
H
HH e J
Je
e
a
HH n+1
HH .
.
.
.
an e
.
.
.
.
e
e
H
H
JJ
H
HH
J
HH
Je
H e
e
a1
H
HH
J
J
HH
J
H
HH
J
H
b e
J ec
H e
a0
H
HH
HH
H
HH
H
HH
H
HH e
0
ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïóñòü a ≺ a ∨ b äëÿ íåêîòîðûõ a, b ∈ L. Åñëè
ñóùåñòâóåò c ∈ L òàêîé, ÷òî a ∧ b < c < b, òî íàéäóòñÿ âïîëíå íåðàçëîæèìûå ýëåìåíòû c1, b1 ñ óñëîâèåì
b1 ≤ b ≤ a ∨ b è b1 6≤ c, ò. å. b1 6≤ a;
c1 ≤ c ≤ b è c1 6≤ a ∧ b, ò. å. c1 6≤ a.
Òàêèì îáðàçîì, b1 6= c1 è a ∨ b1 = a ∨ c1 = a ∨ b, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò (2).
Ïîýòîìó L ïîëóìîäóëÿðíà âíèç. 2
Èç ñëåäñòâèÿ 1.3 è òåîðåì 1.2, 2.2 âûòåêàåò
Äëÿ âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíîé ââåðõ ðåøåòêè L, èìåþùåé åäèíñòâåííûå íåñîêðàòèìûå ðàçëîæåíèÿ, ðàâíîñèëüíû
ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
1) L ðåøåòêà ñ êàíîíè÷åñêèìè ðàçëîæåíèÿìè;
2) L ðåøåòêà ñ ìèíèìàëüíûìè ðàçëîæåíèÿìè.
Íàêîíåö, ïîêàæåì, ÷òî êëàññ âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíûõ ââåðõ
ðåøåòîê ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè îòëè÷àåòñÿ îò
êëàññà ðåøåòîê ñ ìèíèìàëüíûìè ðàçëîæåíèÿìè. Äåéñòâèòåëüíî, ðåøåòêà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñóíêå, âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíà ââåðõ è èìååò
ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 2.3.
Ðåøåòêè ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè
99
åäèíñòâåííûå íåñîêðàòèìûå ðàçëîæåíèÿ. Áîëåå òîãî, ðàçëîæåíèå 1 = b ∨ c
íåñîêðàòèìî, íî íå áóäåò ìèíèìàëüíûì, ïîñêîëüêó 1 = W ai.
i<ω
Ÿ 3. Ðåøåòêè, â êîòîðûõ åäèíñòâåííûå íåñîêðàòèìûå
ðàçëîæåíèÿ ñîâïàäàþò ñ ìèíèìàëüíûìè
Èç îïðåäåëåíèÿ ìèíèìàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî â êîíå÷íûõ ðåøåòêàõ åäèíñòâåííûå íåñîêðàòèìûå ðàçëîæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ìèíèìàëüíûìè, íî, êàê îòìå÷àëîñü âûøå, â îáùåì ñëó÷àå ýòî íå òàê.  äàííîì
ïàðàãðàôå â êà÷åñòâå ñëåäñòâèÿ òåîðåìû 1.1 ìû ïðèâåäåì äðóãèå ïðèìåðû
ðåøåòîê, â êîòîðûõ åäèíñòâåííûå íåñîêðàòèìûå ðàçëîæåíèÿ ñîâïàäàþò ñ
ìèíèìàëüíûìè.
Èç òåîðåìû 1.1 è òåîðåìû 2 [6] âûòåêàåò
Äëÿ ïîëíîé äèñòðèáóòèâíîé ðåøåòêè L ðàâíîñèëüíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
1) L ðåøåòêà ñ íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè;
2) L ðåøåòêà ñ êàíîíè÷åñêèìè ðàçëîæåíèÿìè;
3) L ðåøåòêà ñ ìèíèìàëüíûìè ðàçëîæåíèÿìè;
4) L áåñêîíå÷íî W-äèñòðèáóòèâíàÿ ñèëüíî êîàòîìíàÿ ðåøåòêà.
Ðåøåòêà íàçûâàåòñÿ ïîëóäèñòðèáóòèâíîé ââåðõ, åñëè x ∨ y = x ∨ z
âëå÷åò x∨y = x∨(y ∧z) äëÿ âñåõ x, y, z ∈ L. Ïîëíàÿ ðåøåòêà L íåïðåðûâíà
ââåðõ, åñëè a ∧ (W C) = W (a ∧ c) äëÿ ëþáîé öåïè C ⊆ L è ëþáîãî a ∈ L.
c∈C
Íåïðåðûâíîñòü âíèç îïðåäåëÿåòñÿ äâîéñòâåííûì îáðàçîì.
Íåïðåðûâíàÿ âíèç ñèëüíî êîàòîìíàÿ ðåøåòêà
L ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîé ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà L ïîëóìîäóëÿðíà âíèç è ïîëóäèñòðèáóòèâíà
ââåðõ.
ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Êàê íåòðóäíî âèäåòü, ïîëóäèñòðèáóòèâíàÿ
ââåðõ íåïðåðûâíàÿ âíèç ðåøåòêà ÿâëÿåòñÿ âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíîé
ââåðõ. Ïîýòîìó åñëè ðåøåòêà L â óñëîâèÿõ òåîðåìû ïîëóäèñòðèáóòèâíà
ââåðõ è ïîëóìîäóëÿðíà âíèç, òî ïî ñëåäñòâèþ 1.3 îíà èìååò ìèíèìàëüíûå,
à çíà÷èò, è åäèíñòâåííûå íåñîêðàòèìûå ðàçëîæåíèÿ. Îáðàòíî, ïóñòü L ðåøåòêà ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè, a = x ∨ y = x ∨ z
ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 3.1.
ÒÅÎÐÅÌÀ
3.2.
100
Ì. Â. Ñåìåíîâà
è a 6= x ∨ (y ∧ z) äëÿ íåêîòîðûõ x, y, z ∈ L. Ïîñêîëüêó L ñèëüíî êîàòîìíàÿ ðåøåòêà, ñóùåñòâóåò p ∈ L òàêîé, ÷òî x ∨ (y ∧ z) ≤ p ≺ a. Â ñèëó
ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà y 6≤ p è z 6≤ p, ïîýòîìó íàéäóòñÿ âïîëíå íåðàçëîæèìûå ýëåìåíòû q1 è q2, äëÿ êîòîðûõ q1 ≤ y, q1 6≤ p è q2 ≤ z, q2 6≤ p.
Òàêèì îáðàçîì, q1 ∨p = q2 ∨p = a. Ïîñêîëüêó L íåïðåðûâíà âíèç, ïî ëåììå
Öîðíà ñóùåñòâóþò ìèíèìàëüíûå ýëåìåíòû w1 ≤ p è w2 ≤ p ñî ñâîéñòâîì
W
W
q1 ∨ w1 = q2 ∨ w2 = a. Ïóñòü w1 = T1 , w2 = T2 èõ åäèíñòâåííûå
íåñîêðàòèìûå ðàçëîæåíèÿ, òîãäà
q1 ∨
_
_ T1 = q2 ∨
T2 = a.
Ýòè ðàçëîæåíèÿ íåñîêðàòèìû, òàê êàê w1, w2 ≤ p ≺ a, à ýëåìåíòû w1, w2
ìèíèìàëüíû. Òàêèì îáðàçîì, T1 ∪ {q1} = T2 ∪ {q2}. Åñëè q1 ∈ T2, òî q1 ≤
≤ w2 ≤ p. Ïîýòîìó q1 = q2 è q1 ≤ y ∧ z ≤ p, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó q1 .
Ïîëó÷àåì, ÷òî L ïîëóäèñòðèáóòèâíà ââåðõ è ïîýòîìó, ñîãëàñíî òåîðåìå 2.2,
ïîëóìîäóëÿðíà âíèç. 2
Ýêâèâàëåíòíîñòü óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ åäèíñòâåííûõ íåñîêðàòèìûõ ðàçëîæåíèé â êëàññå íåïðåðûâíûõ âíèç ñèëüíî êîàòîìíûõ ðåøåòîê ñ
óñëîâèÿìè ïîëóäèñòðèáóòèâíîñòè ââåðõ è ïîëóìîäóëÿðíîñòè âíèç â äðóãèõ òåðìèíàõ äîêàçàíà âïåðâûå Äèëóîðñîì è Êðîóëè [5] (ñì. òàêæå [13]).
Îíè ïîêàçàëè, ÷òî íåïðåðûâíàÿ âíèç ñèëüíî êîàòîìíàÿ ðåøåòêà áóäåò
ðåøåòêîé ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà îíà ëîêàëüíî äèñòðèáóòèâíà, ò. å. äëÿ ëþáîãî a ∈ L èíòåðâàë
V
[ Ua , a] (ãäå Ua = {p ∈ L : p ≺ a}) ÿâëÿåòñÿ äèñòðèáóòèâíîé ðåøåòêîé.
Íåïðåðûâíàÿ âíèç ñèëüíî êîàòîìíàÿ ðåøåòêà ëîêàëüíî äèñòðèáóòèâíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ïîëóäèñòðèáóòèâíà ââåðõ è ïîëóìîäóëÿðíà âíèç.
ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïóñòü L ïîëóäèñòðèáóòèâíà ââåðõ è ïîëóìîäóëÿðíà âíèç, òîãäà p ∨ V(Ua − p) = a äëÿ âñåõ a ∈ L è p ∈ Ua. Äëÿ
äîêàçàòåëüñòâà ëîêàëüíîé äèñòðèáóòèâíîñòè äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü, ÷òî
ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò x ∈ [ua, a], ãäå ua = V Ua, ÿâëÿåòñÿ ïåðåñå÷åíèåì
ýëåìåíòîâ èç Ua. Ïóñòü B = {p ∈ Ua : x ≤ p} è b = V B . Åñëè x < b, òî
íàéäåòñÿ r ∈ Ub òàêîé, ÷òî x ≤ r ≺ b. Èìååì r 6= b ∧ p äëÿ âñåõ p ∈ Ua.
Áîëåå òîãî, åñëè p ∈ Ua è b 6≤ p, òî p ≺ b ∨ p. Ïîñêîëüêó L ïîëóìîäóëÿðíà
ÏÐÅÄËÎÆÅÍÈÅ 3.3.
Ðåøåòêè ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè
101
âíèç, òî b ∧ p ≺ b. Òàêèì îáðàçîì,
r ≥ ua =
^
{p ∧ b : p ∈ Ua } ≥
^
{s : s ∈ Ub , s 6= r},
ò. å. r = r ∨ V(Ub − r), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò äîêàçàííîìó âûøå.
Îáðàòíî, ïóñòü L ëîêàëüíî äèñòðèáóòèâíà. Ñîãëàñíî 3.7 [13], L ïîëóìîäóëÿðíà âíèç. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî a = x ∨ y = x ∨ z è a 6= x ∨ (y ∧ z),
òîãäà x ≤ x∨(y ∧z) ≤ p äëÿ íåêîòîðîãî p ∈ Ua. Ïîñêîëüêó y 6≤ p è L íåïðåðûâíà âíèç, â ñèëó ëåììû Öîðíà íàéäåòñÿ âïîëíå íåðàçëîæèìûé ýëåìåíò
q ≤ y òàêîé, ÷òî q 6≤ p. Èìååì q 6≤ z , â ïðîòèâíîì ñëó÷àå âûïîëíÿëîñü áû
q ≤ y ∧ z ≤ p. Ñëåäîâàòåëüíî, q ∨ z > z è z ≤ s ≺ q ∨ z äëÿ íåêîòîðîãî
s ∈ Uq∨z . Áîëåå òîãî, q ∨ z ∨ p = a p, ò. å. (q ∨ z) ∧ p ≺ q ∨ z , òàê êàê L
ïîëóìîäóëÿðíà âíèç. Äàëåå, q 6≤ s è p ∧ (q ∨ z) 6= s, ïîñêîëüêó â ïðîòèâíîì
ñëó÷àå z ≤ s ≤ p. Ïîëîæèì b = q ∨ V Uq∨z . Ñîãëàñíî 7.3 [13], uq∨z ≺ b.
Êðîìå òîãî, b 6≤ p ∧ (q ∨ z), èíà÷å èìåëè áû ìåñòî q ≤ b ≤ p ∧ (q ∨ z) ≤ p è
b 6≤ s, ïîñêîëüêó òîãäà q ≤ b ≤ s. Â èòîãå èìååì:
b ∧ s = b ∧ p ∧ (q ∨ z) = uq∨z ,
b ∨ s = b ∨ (p ∧ (q ∨ z)) = q ∨ z,
ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå ñ òåì, ÷òî ðåøåòêà [uq∨z , q ∨ z] äèñòðèáóòèâíà.
Òàêèì îáðàçîì, L ïîëóäèñòðèáóòèâíà ââåðõ. 2
Èç ñëåäñòâèÿ 1.3, òåîðåìû 3.2 è ïðåäëîæåíèÿ 3.3 ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óñèëåíèå òåîðåìû ÄèëóîðñàÊðîóëè [5, 13]:
Äëÿ íåïðåðûâíîé âíèç ñèëüíî êîàòîìíîé ðåøåòêè L ýêâèâàëåíòíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
1) L ðåøåòêà ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè;
2) L ðåøåòêà ñ ìèíèìàëüíûìè ðàçëîæåíèÿìè;
3) L ïîëóäèñòðèáóòèâíà ââåðõ è ïîëóìîäóëÿðíà âíèç;
4) L ëîêàëüíî äèñòðèáóòèâíà.
 çàêëþ÷åíèå óêàæåì äâà íîâûõ êëàññà, â êîòîðûõ åäèíñòâåííûå
íåñîêðàòèìûå ðàçëîæåíèÿ ñîâïàäàþò ñ ìèíèìàëüíûìè.
Ïóñòü L íåïðåðûâíàÿ ââåðõ, ïîëóìîäóëÿðíàÿ ââåðõ, âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíàÿ ââåðõ (ëèáî íåïðåðûâíàÿ âíèç)
ðåøåòêà. Åñëè êàæäûé ýëåìåíò ðåøåòêè L èìååò íåñîêðàòèìîå ðàçëîæåíèå, òî L ñèëüíî êîàòîìíà.
ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 3.4.
ÏÐÅÄËÎÆÅÍÈÅ 3.5.
102
Ì. Â. Ñåìåíîâà
ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïóñòü b ∈ L, b = W Q íåñîêðàòèìîå ðàçëîæåíèå è q ∈ Q. Ïîëîæèì
n
o
_
Xq = x ∈ L : (Q − q) ≤ x < b .
Ìíîæåñòâî Xq íåïóñòî, ïîñêîëüêó W(Q − q) ∈ Xq . Åñëè W C = b äëÿ
íåêîòîðîé öåïè C ⊆ Xq , òî, èñïîëüçóÿ íåïðåðûâíîñòü ââåðõ, èìååì q =
W
W
= q ∧ ( C) =
(q ∧ c), à òàê êàê q âïîëíå íåðàçëîæèì, òî q ≤ c äëÿ íåêîc∈C
òîðîãî c ∈ C , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó C . Ïî ëåììå Öîðíà Xq ñîäåðæèò
ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò xq è xq ≺ b. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ êàæäîãî q ∈ Q
ñóùåñòâóåò xq ≺ b, ïðè÷åì q1 ≤ xq äëÿ âñåõ q1 ∈ Q, q1 6= q è q 6≤ xq . Äàëåå,
ïóñòü a < b â L. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî Y = {x ∈ L : a ∨ x = b}. Îíî
íåïóñòî, ïîñêîëüêó b ∈ Y . Òàê êàê ðåøåòêà L âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíà
ââåðõ, y = V Y ∈ Y . ( ñëó÷àå, êîãäà L íåïðåðûâíà âíèç, ïî ëåììå Öîðíà
ìíîæåñòâî Y ñîäåðæèò ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò y.) Ñîãëàñíî ïðåäûäóùåìó,
íàéäåòñÿ w ∈ L òàêîé, ÷òî w ≺ y. Îòñþäà a ∨ w < b, è ïîýòîìó (a ∨ w) ∧ y =
= w ≺ y . Ðåøåòêà L ïîëóìîäóëÿðíà ââåðõ, çíà÷èò, a ≤ a∨w ≺ a∨w ∨y = b,
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. 2
 êëàññå íåïðåðûâíûõ ââåðõ, ïîëóìîäóëÿðíûõ
ââåðõ, âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíûõ ââåðõ (ëèáî íåïðåðûâíûõ âíèç) ðåøåòîê åäèíñòâåííûå íåñîêðàòèìûå ðàçëîæåíèÿ ñîâïàäàþò ñ ìèíèìàëüíûìè.
Àâòîð ãëóáîêî ïðèçíàòåëåí Â. À. Ãîðáóíîâó çà ïîñòàíîâêó âîïðîñà,
à òàêæå çà ïîñòîÿííîå âíèìàíèå è ïîääåðæêó.
ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 3.5.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
1. G. Birkho, Rings of sets, Duke Math. J., 3 (1937), 442454.
2. R. P. Dilworth, Lattices with unique irreducible decompositions, Ann. Math.,
II. Ser., 41, N 4 (1940), 771776.
3. K. V. Adaricheva, V. A. Gorbunov, V. I. Tumanov, Join semidistributive
lattices and convex geometries, to appear.
4. B. Monjardet, The consequences of Dilworth's work on lattices with unique
irreducible decompositions, in: The Dilworth theorems: selected papers of
R. P. Dilworth (ed. by K. P. Bogart, R. Freese, J. P. S. Kung), Boston a. o.,
Birkh
auser, 1990.
Ðåøåòêè ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè
103
5. R. P. Dilworth, P. Crawley, Lattices without chain conditions, Trans. Am.
Math. Soc., 96, N 1 (1960), 122.
6. Â. À. Ãîðáóíîâ, Êàíîíè÷åñêèå ðàçëîæåíèÿ â ïîëíûõ ðåøåòêàõ, Àëãåáðà è
ëîãèêà, 17, N 5 (1978), 495511.
7. M. Erne, On the existence of decompositions in lattices, Algebra Univers., 16,
N 3 (1983), 338343.
8. G. Richter, The Kuros Ore theorem, nite and innite decompositions, Stud.
Sci. Math. Hung., 17, N 13 (1982), 243250.
9. A. Walendziak, Meet decompositions in complete lattices, Period. Math. Hung.,
21, N 3 (1990), 219222.
10. A. Walendziak, Join decompositions in lower continuous lattices, Stud. Sci.
Math. Hung., 28, N 12 (1993), 131134.
11. A. Walendziak, Unique irredundant decompositions in upper continuous
lattices, Czech. Math. J., 45, N 2 (1995), 193199.
12. Â. À. Ãîðáóíîâ, Àëãåáðàè÷åñêàÿ òåîðèÿ êâàçèìíîãîîáðàçèé, Íîâîñèáèðñê,
Íàó÷íàÿ êíèãà, 1999.
13. P. Crawley, R. P. Dilworth, Algebraic theory of lattices, Englewood Clis, NJ,
Prentice-Hall, 1973.
Àäðåñ àâòîðà:
Ïîñòóïèëî 30 äåêàáðÿ 1998 ã.
ÑÅÌÅÍÎÂÀ Ìàðèíà Âëàäèìèðîâíà,
ÐÎÑÑÈß,
630090, Íîâîñèáèðñê,
óë. Ïèðîãîâà, 2,
Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò.
e-mail: semenova@math.nsc.ru