Программа вступительных испытаний по математике (9 класс

Программа вступительных испытаний по математике
(9 класс)
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
На экзамене по математике поступающие в Банковскую школу должны показать:
1) Четкое знание математических определений и теорем, основных формул алгебры и
геометрии, умение доказывать теоремы и выводить формулы;
2) умение четко проводить математические рассуждения в устном и письменном изложении;
3) Уверенное владение основными умениями и знаниями, предусмотренными программой,
умение применять их при решении задач.
Программа по математике состоит их трех разделов. В первом представлен перечень основных
понятий и фактов алгебры и геометрии. Второй раздел содержит теоремы и формулы, которые
необходимо доказывать. Содержание теоретической части экзаменационных материалов должно
основываться на вопросах этого раздела. В третьем разделе указаны основные математические
умения и знания, которыми должны владеть абитуриенты.
1. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ
Арифметика и алгебра
1. Натуральные числа и ноль. Чтение и запись натуральных чисел. Сравнение натуральных
чисел. Сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел. Квадрат и куб
числа.
2. Делимость натуральных чисел. Делители и кратные натурального числа. Четные и нечетные
числа. Признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9. Деление с остатком. Простые и составные
числа. Разложение натурального числа на простые множители. Наибольший общий
делитель, наименьшее общее кратное.
3. Обыкновенная дробь. Чтение и запись дробных чисел. Сравнение обыкновенных дробей.
Правильные и неправильные дроби. Целая и дробная часть числа. Основное свойство
дроби. Сокращение дробей. Сложение, вычитание, умножение, деление обыкновенных
дробей. Среднее арифметическое. Основные задачи на дроби.
4. Десятичная дробь, Чтение и запись. Сравнение десятичных дробей. Сложение, вычитание,
умножение и деление. Приближенное значение числа. Округление чисел. Проценты.
Основные задачи на проценты.
5. Положительные и отрицательные числа. Противоположные числа. Модуль числа, его
геометрический смысл. Сравнение положительных и отрицательных чисел. Действия над
положительными и отрицательными числами.
6. Понятие о числе как результате измерения. Рациональные числа. Представление
рациональных чисел в виде бесконечных десятичных дробей. Свойства арифметических
действий.
7. Числовые выражения. Применение букв для записи выражений. Числовые значения
буквенных выражений. Вычисление по формулам. Простейшие преобразования
выражений: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых.
8. Пропорция. Основное свойство пропорции. Понятие о прямой о обратной
пропорциональной величине. Решение задач с помощью пропорций.
9. Составление и решение линейных уравнений. Изображение чисел на прямой. Координата
точки. Формула расстояния между двумя точками, заданными координатами.
Прямоугольная система координат на плоскости, абсцисса и ордината точки.
Действительные числа
10. Понятие об иррациональных числах. Действительные числа. Числовые неравенства.
11. Измерение величин. Абсолютная и относительная погрешности. Запись чисел в стандартном
виде. Выполнение арифметических действий над приближенными значениями.
12. Квадратный корень. Нахождение приближенного значения квадратного корня.
13. Радианное измерение углов.
Тождественные преобразования выражений
14. Многочлен. Степень многочлена. Сложение, вычитание, умножение многочленов.
Разложение на множители. Формулы сокращенного умножения.
15. Применение формул сокращенного умножения к разложению многочленов на множители.
16. Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители.
17. Алгебраическая дробь. Основное свойство дроби. Сокращение, сложение, вычитание,
умножение, деление дробей. Тождественные преобразования алгебраических выражений.
18. Степень с натуральным показателем и ее свойства. Степень с целым показателем. Свойства
квадратных корней. Преобразование выражений, содержащих корни.
19. Корень n- й степени и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства.
20. Арифметическая и геометрическая прогрессия. Формулы n–члена и суммы первых nчленов.
Уравнения и неравенства
21. Уравнение. Корни уравнения. Линейные уравнения с одним неизвестным. Квадратное
уравнение: формулы корней. Решение рациональных уравнений.
22. Система уравнений. Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными
различными способами. Решение простейших систем, содержащих уравнения второй
степени. Решение текстовых задач методом составления уравнений и систем.
23. Линейное неравенство с одним неизвестным. Система неравенств с одним неизвестным.
Решение квадратных неравенств. Метод интервалов.
Элементарные функции
24. Функция. Область определения функции. Способы задания, график, свойства функций.
25. Элементарные функции. Их свойства и графики. Простейшие преобразования графиков.
Геометрия
Геометрические фигуры и их свойства
1. Начальные понятия планиметрии. Геометрические фигуры. Понятие об аксиомах и
теоремах.
2. Смежные и вертикальные углы и их свойства. Пересекающиеся и параллельные прямые.
Признаки параллельных прямых. Перпендикулярные прямые. Теоремы о параллельности и
перпендикулярности прямых.
3. Треугольник. Свойства равнобедренного треугольника. Сумма углов треугольника. Теорема
Пифагора.
4. Параллелограмм и его свойства. Прямоугольник, ромб, квадрат, их свойства. Признаки
параллелограмма. Трапеция. Правильные многоугольники.
5. Окружность и круг. Касательная к окружности и ее свойства.
6. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку, окружность, описанная вокруг
треугольника. Свойство биссектрисы угла; окружность вписанная в треугольник.
7. Понятие о равенстве фигур. Признаки равенства треугольников.
8. Понятие о подобии фигур. Признаки подобия треугольников.
9. Движения: осевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.
10. Основные задачи на построение с помощью циркуля и линейки.
Геометрические величины
11.
12.
13.
14.
Длина отрезка и ее свойства. Расстояние между точками. Расстояние от точки до прямой.
Величина угла и ее свойства. Измерение вписанных углов.
Длина окружности, длина дуги, число пи.
Понятие о площади, основные свойства площади. Площади прямоугольника, треугольника
параллелограмма, трапеции. Отношение площадей подобных фигур. Площадь круга и его
частей.
Элементы тригонометрии
15. Синус, косинус, тангенс угла.
16. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Теоремы синусов
и косинусов
Координаты и векторы
17. Прямоугольные координаты на плоскости. Формула расстояния между двумя точками с
заданными координатами. Уравнения прямой и окружности.
18. Вектор. Длина и направление вектора. Угол между векторами. Коллинеарные векторы.
Координаты вектора. Действия над векторами в геометрической и координатной форме.
Скалярное произведение и его свойства.
2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ФОРМУЛЫ .
Алгебра
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Степень с рациональным показателем и ее свойства.
корень n- й степени и его свойства.
Формула n–члена арифметической прогрессии.
Формула n–члена геометрической прогрессии.
Функций у=кх, ее график и свойства.
Функций у=к/х, ее график и свойства.
Функций у=кх+b, ее график и свойства.
Функций у=хn, ее график и свойства.
Функций у=aх2 +bx+c, ее график и свойства/
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Решение квадратных уравнений. Формулы корней квадратного уравнения.
Разложение квадратного трехчлена на множители.
Формулы сокращенного умножения.
Решение линейных уравнений и сводящихся к ним (на конкретных примерах).
Решение линейных неравенств и систем линейных неравенств (на конкретных примерах).
Решение систем линейных уравнений.
Зависимости между тригонометрическими функциями одного аргумента.
Геометрия
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
Свойства равнобедренного треугольника.
Свойство биссектрисы угла.
Признаки параллельности прямых.
Теорема о сумме углов треугольника.
Признаки равенства треугольников.
Признаки подобия треугольников.
Свойс тва параллелограмма и его диагоналей.
Свойства прямоугольника, ромба, квадрата.
Окружность, описанная около треугольника.
Окружность, вписанная в треугольник.
Теорема о вписанном угле в окружность.
Свойство касательной к окружности.
Теорема Пифагора.
Значение синуса, косинуса и тангенса углов 300, 450, 600.
Сложение векторов и его свойства.
Скалярное произведение векторов и его свойства.
Теорема косинусов.
Теорема синусов.
Формулы площадей параллелограмма, треугольника и трапеции.
Формула расстояния между двумя точками плоскости с заданными координатами.
Уравнение прямой и окружности.
3. ОСНОВНИЕ УМЕНИЯ И ЗНАНИЯ
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Абитуриенты должны:
Знать определения, теоремы, формулы.
Знать доказательства теорем и выводы формул, перечисленных в пункте 2.
Владеть уверенными вычислительными навыками.
Уметь выполнять тождественные преобразования алгебраических выражений.
Уметь решать уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, а так же задачи на
составление уравнений и их систем.
Уметь стоить графики функций, предусмотренных программой.
Уметь изображать геометрические фигуры и производить простейшие построения на
плоскости.
Уметь измерять углы, вычислять длины дуг.
Уметь вычислять площади по формулам, решать геометрические задачи.