Утверждаю Ректор университета Председатель Приемной комиссии ВлГУ Морозов В. В. 2010 г. ПРОГРАММА по математике для проведения вступительных экзаменов в ВлГУ в 2010 г. (на базе основного общего образования — 9 кл.) ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ Арифметика и алгебра Натуральные числа N. Чтение и запись натуральных чисел. Сравнение натуральных чисел. Сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел. Делимость натуральных чисел. Делители и кратные натурального числа. Четные и нечетные числа. Признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9. Деление с остатком. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное. Обыкновенная дробь. Чтение и запись дробных чисел. Сравнение обыкновенных дробей. Правильные и неправильные дроби. Целая и дробная часть числа. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Сложение, вычитание, умножение и деление обыкновенных дробей. Среднее арифметическое нескольких чисел. Основные задачи на дроби. Десятичная дробь. Чтение и запись десятичных дробей. Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей. Приближенное значение числа . Округление чисел. Проценты. Основные задачи на проценты. Положительные и отрицательные и числа. Модуль числа, его геометрический смысл. Сравнение положительных и отрицательных чисел. Сложение, вычитание, умножение и деление положительных и отрицательных чисел. Понятие о числе как о результате измерения. Рациональные числа. Представление рациональных чисел в виде периодических бесконечных десятичных дробей.. Свойства арифметических действий. Числовые выражения. Применение букв для записи выражений. Числовое значение буквенного выражения. Вычисления по формулам, буквенная запись свойств арифметических действий. Простейшие преобразования выражений: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых. Пропорция. Основное свойство пропорции. Понятие о прямой и обратной пропорциональности величин. Решение задач с помощью пропорций. Составление и решение линейных уравнений. Изображение чисел на прямой. Координата точки. Прямоугольная система координат на плоскости, абсцисса и ордината точки. Действительные числа. Понятие об иррациональных числах. Действительные числа. Числовые неравенства и их свойства. Почленное сложение и умножение числовых неравенств. Измерение величин. Абсолютная и относительная погрешности приближенного значения. Запись чисел в стандартном виде. Выполнение арифметических действий над приближенными значениями. Квадратный корень. Радианное измерение углов. Синус, косинус, произвольного угла. Тождественные преобразования выражений. Многочлен. Степень многочлена. Сложение, вычитание и умножение многочленов. Разложение многочлена на множители. Формулы сокращенного умножения. Применение формул сокращенного умножения к разложению многочленов на множители. Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители. Алгебраическая дробь. Сокращение алгебраических дробей. Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей. Тождественные преобразования рациональных алгебраических выражений. Степень с натуральным показателем и ее свойства. Степень с целым показателем. Свойства квадратных корней. Преобразования выражений, содержащих квадратные корни. Корень n-ой степени и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Основные тригонометрические тождества: 2 2 sin x + cos x = 1; tgx = sinx/ cosx. Формулы приведения (без доказательства). Синус и косинус суммы и разности двух углов, синус и косинус двойного угла. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы n-го члена и суммы n первых членов прогрессии. Уравнения и неравенства. Уравнение. Корни уравнения. Линейные уравнения с одним неизвестным. Квадратное уравнение: формулы корней. Решение рациональных уравнений. Системы уравнений. Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и его геометрическая интерпретация. Решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени. Решение текстовых задач методом составления уравнений и систем. Линейное неравенство с одним неизвестным, система линейных неравенств с одним неизвестным. Решение неравенств второй степени с одним неизвестным. Решение рациональных неравенств; метод интервалов. Элементарные функции. Определение и основные свойства функций: линейной, квадратичной у = ах2 + Ьх + с, степенной у = ахп (п еЩ, у = f, арифметического корня у = фс, модуля у = \ х \ . И х графики. Геометрия Прямая, луч, отрезок, ломаная; длина отрезка. Угол, величина угла. Вертикальные и смежные углы. Окружность, круг. Параллельные и перпендикулярные прямые. Треугольник. Свойства равнобедренного треугольника. Сумма углов треугольника. Теорема Пифагора. Параллелограмм и его свойства. Признаки параллелограмма. Прямоугольник, ромб, квадрат, их свойства. Трапеция. Правильные многоугольники. Окружность и круг. Касательная к окружности и ее свойства. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку; окружность, описанная около треугольника. Свойство биссектрисы угла; окружность, вписанная в треугольник. Понятие о равенстве фигур. Признаки равенства треугольников (без доказательства). Понятие о подобии фигур. Признаки подобия треугольников. Примеры преобразования фигур, виды симметрии. Основные задачи на построение с помощью циркуля и линейки. Геометрические величины. Длина отрезка и ее свойства. Расстояние между точками. Расстояние от точки до прямой. Величина угла и ее свойства. Измерение вписанных углов. Длина окружности. Длина дуги. Число π. Понятие о площади, основные свойства площади. Площади прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции. Отношение площадей подобных фигур (без доказательства). Площадь круга и его частей. Элементы тригонометрии. Синус, косинус, тангенс угла. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Теоремы синусов и косинусов (без доказательства). Решение треугольников. Координаты и векторы. Прямоугольные координаты на плоскости. Формула расстояния между двумя точками плоскости с заданными координатами. Уравнения прямой и окружности. Вектор. Длина и направление вектора. Угол между векторами. Коллинеарные векторы. Сложение векторов и его свойства. Разложение вектора по осям координат. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов и его свойства. Проекции вектора на ось. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ Алгебра Степень с рациональным показателем и ее свойства. Корень n–й степени и его свойства. Формула n–го члена арифметической прогрессии. Формула n–го члена геометрической прогрессии. Функция y = kx, ее свойства и график. Функция y = xk, ее свойства и график. Функция y = kx + b, ее свойства и график. Функция y = xn, ее свойства и график. Функция y = ax2 + bx + c, ее свойства и график. Решение квадратных уравнении. Формулы корней квадратного уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители Формулы сокращенного умножения Решение линейных уравнений и сводящихся к ним (на конкретных примерах). Решение линейных неравенств и систем линейных неравенств (на конкретных примерах). Решение системы уравнений Г CL1X + Ь 1У = С1, U2X + Ъ2У = С2. Геометрия Свойства равнобедренного треугольника. Свойства биссектрисы угла. Признаки параллельности прямых. Теорема о сумме углов треугольника. Признаки подобия треугольников. Свойства параллелограмма и его диагоналей. Свойства прямоугольника, ромба и квадрата. Окружность, описанная около треугольника. Окружность, вписанная в треугольник. Теорема о вписанном угле в окружность. Свойство касательной к окружности. Теорема Пифагора. Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30°,45°,60° Сложение векторов и его свойства. Скалярное произведение векторов и его свойства. Формулы площадей параллелограмма, треугольника и трапеции. Уравнение прямой и окружности.