Глава 11 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ Модуль «Беседа

Глава 11
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
Модуль «Беседа “Развитие понятия функции”»
Основные цели обучения:
– познакомить с историей развития понятия функции, с биографией и научными
достижениями великих математиков;
– повторить определение функциональной зависимости, способы задания функции,
вычисление ее значений,
– рассмотреть решение задач на линейные и квадратичные зависимости.
На изучение модуля предлагается выделить 3 урока.
К модулю относятся компьютерные материалы:
– демонстрация Д 1101 «Развитие понятия функции».
К этому модулю в материалах учебника приводится кратко биография и научные
достижения двух величайших ученых: Рене Декарта и Леонарда Эйлера. Учащиеся могут
дополнить эти сведения, подготовив доклады под руководством учителя. Вторая часть
беседы посвящена истории развития понятия функции. С определением функции и ее
свойствами учащиеся сталкивались при изучении простейших зависимостей, линейной и
квадратичной функции, степенных функций, поэтому к этому модулю мы отнесли
решение задач на повторение понятия функции, ее основных свойств.
Из задачника к этому модулю относятся задания А-1, П-1, П-2. Из задания А-1
обратите внимание на примеры под цифрой 3. Мы считаем важным для учащихся навыки
выражения одной величины через другие из физических формул. Прикладные задачи П-1
связаны с использованием линейных и квадратичных зависимостей в физике, а П-2 с
нахождением максимума-минимума функции на основе свойств квадратичной функции,
неравенства о средних. При выполнении заданий из П-1под цифрой 1 учащимся
необходимо будет составить формулу линейной функции вида х(t) = v(t – t0) + v0 в
зависимости от ситуации на заданном отрезке времени и ответить на вопросы. Задание
нетрудное, полезное для развития навыков составления формулы функции и работы с ней
и для развития представлений о функциях, в данном случае, о линейной функции, которая
появляется и рассматривается в конкретной жизненной ситуации. В задании П-2 под
цифрой 2 учащимся нужно знание физических формул.
П-1
2. Равноускоренное движение
1) Тело подбросили вертикально вверх с начальной скоростью v0 (м/с). На тело
действует сила тяжести, доставляющая постоянное ускорение g (м/с2) > 0. Обозначим
через h = h(t) высоту (в м), на которой находится тело в момент времени t.
Формулы к заданиям
а) Запишите линейную функцию, задающую изменение скорости v в зависимости от
времени.
v = v0 – gt
б) Запишите квадратичную функцию, задающую изменение высоты h в зависимости
от времени. Постройте ее график.
h = v0t –
gt 2
2
3) Из окна девятого этажа (h = 31 м) выпал мяч. Определите время падения и
скорость мяча в момент приземления (сопротивление воздуха не учитывайте, g ≈ 9,8 м/с2).
h = h0 −
gt 2
2
4) Из ружья выстрелили вертикально вверх. Начальная скорость пули равна 50 м/с,
g ≈ 9,8 м/с2.
а) На какую высоту поднимется пуля?
h = v0t –
gt 2
2
В задании П-2 часть примеров имеют стандартный характер на знание свойств
наибольшего, наименьшего значения, в основном, линейной и квадратичной функции. В
заданиях 1 и 2 под цифрой 5 для определения наименьшего значения функции
используется неравенство о средних: a + b ≥ 2 ab .
Под цифрами 3–5 приводятся различные значения на составление по условию задачи
квадратичной функции и нахождение ее наибольшего или наименьшего значения. Перед
решением задач геометрического содержания на площади и периметры полезно
напомнить учащимся, что среди всех прямоугольников наибольшую площадь с заданным
периметром имеет квадрат, и наименьший периметр с заданной площадью также имеет
квадрат. При решении задач под цифрами 6, 7, 8 развиваются навыки работы в
координатной плоскости с линейной и квадратичной функциями. Приводим ответы к
задачам из П-2.
П-2
3. 18 спичек.
4. 1) на 4 и 5 остановке; 2) на 18 остановке.
5. 2) на стороне AC длина стороны прямоугольника равна 10, смежная 5;
3) ∠DPE = 45°; 4) размеры прямоугольной части окна: ширина
2a
a
; высота
;
π+4
π+4
5) наибольшую площадь имеет прямоугольный равнобедренный треугольник: S = R2.
6. 4.
7. 3 + 2 2 .
8.
7
.
2
Задач приведено, возможно, избыточное количество, не нужно стремиться, во что бы
то ни стало, решить все из них, отберите самые нужные для ваших учащихся. Конечно,
хотелось бы, чтобы учащиеся познакомились с решениями всех этих задач на
последующих уроках на внеклассных занятиях. Поэтому задания П-1, П-2 мы включили и
в другие модули.
Из рабочей тетради к этому модулю относятся задания ЛР-1102, КТ-1106.
Модуль 1 «Схема исследования функции»
Основные цели обучения:
– систематизировать сведения о свойствах функции;
– научить определять свойства функции по формуле и по графику;
– закрепить теоретический материал при решении примеров.
На изучение модуля предлагается выделить 4 урока.
К модулю относятся компьютерные материалы:
– демонстрации: Д-П 1101 «Чтение графика», П-Д 1101 «Схема исследования
функции»;
– презентации: П 1101 «Давайте вспомним», П 1102 «Проверь себя».
Тема носит повторительно-обобщающий характер
В материалах учебника подробно рассмотрены свойства функций и их определение
по формуле и по графику с примерами и с записью ответов. В данном случае не нужно
жалеть времени на изучение материалов учебника, так как теория мало отличается от
решения конкретных примеров.
Среди свойств функции, заслуживающих дополнительного комментария, следует
отметить вопрос о промежутках монотонности функций. Надо иметь в виду, что
сложившаяся практика постановки задач содержит известную неточность, а именно, когда
спрашивают найти промежутки монотонности функции, скажем, все промежутки, на
которых функция возрастает, то таких промежутков, как правило, бесконечно много,
потому что если функция возрастает на некотором промежутке, то она возрастает на
любом меньшем промежутке. Конечно, идет речь об отыскании в каком-то смысле
наибольших промежутков. На самом деле, в практике обучения это противоречие, эта
неточность трудностей не вызывает, но учителю стоит обратить на нее внимание.
Из задачника к этому модулю относятся задания А-2, С-1, И-3, И-4.
В задании А-2 много различных примеров на свойства линейной и квадратичной
функций, основных функций школьного курса математики. Задание С-1 направлено на
закрепление навыков чтения графика функции. Наиболее содержательными, на наш
взгляд, являются задания под цифрой 2 и под цифрой 4. При выполнении задания под
цифрой 4 требуется чтение графика сочетать с исследованием функции по формуле. В
первую очередь советуем смотреть на область определения и нули функций.
Исследовательские задания И-3 направлены на получение новых содержательных
свойств взаимного расположения прямой и параболы. Фактически рассматривается
секущая и касательная к параболе. В задании И-4 исследуется вопрос о корнях
квадратных уравнений. Задания И-3, И-4 можно считать дополнительными заданиями и
советуем рассмотреть их с учащимися, интересующимися математикой.
Из рабочей тетради к этому модулю относятся задания Т-1101–Т-1103, Т-1114, КТ1101. Фактически тесты повторяют задания из задачника, поэтому их можно использовать
для проверки усвоения изученного материала.
Модуль 2 «Движение графика функции»
Основные цели обучения:
– рассмотреть связь движения графика с изменением формулы функции, закрепить
теоретический материал при решении примеров;
– научиться строить график функции y =
kx + b
.
сх + d
На изучение модуля предлагается выделить 4 урока.
К модулю относятся компьютерные материалы:
– демонстрации:
Д-П 1102
«Преобразование
графиков
функций»,
П-Д 1102
«Основные преобразования графика»;
– презентации: П-1103 «Давайте вспомним», П-1104 «Проверь себя».
В учебнике достаточно компактно обсуждается вопрос о том, как отражаются на
задании функции простейшие преобразования ее графика – симметрия относительно
координатных осей, центральная симметрия и параллельный перенос. Обратите внимание
учащихся, что для решения упражнений не обязательно запоминать наизусть выводы,
приведенные в учебнике, можно выбрать координаты какой-либо точки и, подставив их в
формулы, проследить, как изменилось положение точки, а затем сделать вывод об
изменении положения графика, как это приведено в учебнике. Обращаем внимание также
на то, что четность и нечетность функции это простейшие проявления симметрии
графиков. В задачах, упражнениях встречаются примеры, когда центр симметрии или ось
симметрии нестандартны, т. е. не совпадают с началом координат или одной из
координатных осей, происходят сдвиги. Важно, чтобы учащиеся поняли, что фактически
мы имеем дело с тем же самым свойством функции, которое мы определяем словами
«четность или нечетность функции». Во всяком случае, главное в этом модуле – это
практика, построение графиков и материалы учебника нужно рассматривать только как
инструкцию для решения примеров. Обратите также внимание учащихся на построение
парабол, задаваемых формулами y = (x + a)², y = x² + a. Основное время этого модуля
нужно посвятить построению гиперболы. В учебнике в разделе «Примеры и
комментарии» рассмотрены основные случаи ее построения, которые нужно рассмотреть
с учащимися. Также в этом разделе приведен пример построения параболы двумя
переносами вдоль оси и заодно повторяется важное преобразование – выделение полного
квадрата в формуле квадратичной функции.
Из задачника к этому модулю относятся задания С-2, С-3, И-1, И-2.
Задание С-2 направлено на отработку навыков построения графиков по формулам и
составлению формул по графикам, среди них есть задание на растяжение графика вдоль
осей – это примеры под цифрой 3. Это задание следует считать дополнительным. К
дополнительным заданиям также относятся примеры под цифрой 5В. Это содержательное
задание, интересное, но достаточно трудное.
Приводим решение этого задания.
С-2
5.В. Осевая и центральная симметрия.
Среди данных функций выделите те, графики которых имеют вертикальную ось
симметрии или центр симметрии.
Решение
9) y = x2 – 2x + 1 = (x – 1)2. График этой функции имеет вертикальную ось симметрии
x = 1.
10) y = (x + 1)4. График этой функции имеет вертикальную ось симметрии x = –1.
11) y = (x – 1)3 + 3x – 3 = (x – 1)3 + 3(x – 1). График имеет центр симметрии в точке
(1; 0).
12) y =
x − 2 . График имеет центр симметрии в точке (2; 0).
x − 4x + 5
2
13) y = |x + 3| – 1. График имеет вертикальную ось симметрии x = –3.
14) y =
1
1
. График имеет вертикальную ось симметрии
=
x + 4 x + 7 ( x + 2 )2 + 3
2
x = –2.
15) y = x . График имеет центр симметрии в точке (1; 1).
x −1
Рассмотрим доказательство сформулированных отношений.
Доказательство наличия центра у графика функции основывается на следующем
утверждении. Если график функции y = f(x) имеет центр симметрии в точке (a; b), то
функция y = f(x + a) – b является нечетной.
Например, рассмотрим функцию y =
x−2
( x − 2 )2 + 1
. Мы утверждаем, что точка (2; 0)
является центром симметрии графика этой функции.
Составим функцию y = f(x + 2) по данной. Получим y =
x
. Эта функция является
x +1
2
нечетной, поэтому ее график симметричен относительно начала координат, а график
данной – относительно точки (2; 0). Утверждение доказано.
Доказательство наличия вертикальной оси симметрии x = l у графика функции
y = f(x) сводится к доказательству четности функции y = f(x + l).
Например, рассмотрим функцию y = |x + 3| – 1. Утверждаем, что ее график имеет
вертикальную ось симметрии x = –3. Составим по данной функцию y = f(x – 3) = |x| – 1. Эта
функция четная, ее график симметричен относительно оси Oy, отсюда график данной
функции симметричен относительно прямой x = –3, что и требовалось доказать.
Задание С-3 посвящено построению гиперболы. Это одно из основных заданий
модуля. Важно добиться понимания учащимися того, что для построения гиперболы
фактически достаточно определить новое положение вертикальной и горизонтальной
асимптот графика, а затем ветви гиперболы строятся по точкам. Для этого дробь
приводим к виду: y = y 0 +
Преобразуем
формулу,
k
x+3
. Например, рассмотрим функцию y =
.
x − x0
2x − 5
как
это
сделано
в
учебнике.
y=
1 x+3
⋅
=
2 x − 2,5
=
1 x − 2,5 + 5,5 1 ⎛
5,5 ⎞ 1
2,75
⋅
= ⎜1 +
.
⎟ = +
2
x − 2,5
2 x − 2,5
2⎝
x − 2,5 ⎠
Отсюда
делаем
вывод,
что
ветви
гиперболы находятся в квадрантах, образованных прямыми х = 2,5, у = 0,5. В точке
(–3; 0) гипербола пересекает ось Ох. Значит, ветви гиперболы находятся в первом и
третьем квадрантах, образованных этими прямыми.
Модуль 3 «Решение уравнений и неравенств по графику»
Основные цели обучения:
– обобщение и систематизация знаний по теме: «графическое решение уравнений и
неравенств», закрепление теории при решении примеров;
– повторение построения графиков функций.
На изучение модуля предлагается выделить 4 урока.
К модулю относятся компьютерные материалы:
– демонстрации: П-Д 1103 «Решение уравнений по графику», Д-П 1103 «Решение
неравенств по графику»;
– презентации: П-1105 «Давайте вспомним», П-1106 «Проверь себя».
В
материалах
учебника
рассмотрено
три
вида
уравнений
и
неравенств,
представленных в общем виде, для каждого из них рассмотрено графическое решение.
Кроме этого, в разделе «Примеры и комментарии» рассмотрено решение конкретных
примеров. Рекомендуем рассмотреть с учащимися подробно материалы учебника.
Обратите внимание учащихся на пример на исследование корней уравнения в
зависимости от параметра а. Конечно, на данном этапе обучения такие примеры носят
ознакомительный характер, поэтому не обязательно решение таких примеров доводить до
прочного навыка. В этом же разделе обратите внимание учащихся на один из вариантов
оформления ответа при решении неравенства (речь идет о неравенстве под цифрой 2), в
котором абсциссы точек пересечения графиков не являются целыми числами.
Из задачника к этому модулю относятся задания С-4, С-5, П-3. Задания С-4, С-5
стандартные, их много, в них представлены различные функции. Как правило, у учащихся
много времени уходит на построение графиков и решить их все нереально, поэтому нужно
отобрать примеры, чтобы охватить как можно больше функций с учетом видов уравнений
(неравенств). Возможно, разделив учащихся на группы, предложить каждой из них свои
задания. Задание П-3 дополнительное, рассчитано на работу с сильными учащимися на
внеклассных занятиях.
Из рабочей тетради к этому модулю относятся задания Т-1111, ЛР-1101, КТ-1105.
Тест Т-1111 устный, его нужно выполнять сразу после изучения материалов учебника или
в процессе изучения материалов учебника. Лабораторная работа трудная, содержательная,
направлена на развитие навыков чтения координатной плоскости, на развитие навыков
составления и преобразования алгебраических выражений. КТ-1105 – итоговый тест на
проверку усвоения изученного материала.
Модуль 4 «Решение линейных и квадратных неравенств»
Основные цели обучения:
– повторение решения линейных неравенств и систем линейных неравенств;
– знакомство с решением квадратного неравенства и закрепление навыков его
решения.
На изучение модуля предлагается выделить 3 урока.
К модулю относятся компьютерные материалы:
– демонстрации: Д-П 1104 «Решение линейных неравенств», П-Д 1104 «Квадратные
неравенства»;
– презентации: П-1107 «Давайте вспомним», П-1108 «Проверь себя».
Решение линейных неравенств и систем линейных неравенств, а также квадратных
неравенств – не новый для учащихся материал. На данном этапе изучения темы «решение
линейных и квадратных неравенств» строится на связи решения неравенства и
определения участков постоянного знака функции. Таким образом, из алгоритмического
познавательного стиля решение неравенства переходит в визуальный познавательный
стиль. Может быть, для решения линейного неравенства соединение неравенства с
графиком не существенно, как для квадратного, решение которого сводится к
определению промежутков постоянного знака квадратичной функции. Чтобы записать
ответ квадратного неравенства, после нахождения корней функции, нужно хорошо
представлять параболу, ее знаки. Обратите внимание, что в учебнике рекомендуется и
линейные и квадратные неравенства приводить к виду, когда старший коэффициент левой
части равен единице, а правая часть равна нулю. Тогда распределение знаков в случае
решения линейного неравенства всегда будет –, + (если смотреть по оси слева направо), а в
случае решения квадратного неравенства – один из трех вариантов: +, –, +; +, +; +.
Нахождение корней – это отдельный пункт и их можно находить по любой формуле,
устно и пр.. Конечно, эти рекомендации условны.
Из задачника к этому модулю относятся задания А-3, А-4.
Задания, в основном, стандартные. К дополнительным заданиям можно отнести
примеры из А-4 под цифрами 3, 4, 5. Приведем решение некоторых из них.
А-4
2. Решите систему неравенств.
⎧⎪2 x 2 + 5 x − 10 < 0
8) ⎨ 2
⎪⎩3x − 7 x + 5 > 0
Решение
Решаем неравенство 2x2 + 5x – 10 < 0 ⇔ x2 + 2,5x – 5 < 0.
Находим корни уравнения 2x2 + 5x – 10 = 0:
x1 =
−5+5 5
−5−5 5
, x2 =
.
4
4
Наносим корни на ось и получаем ответ
−
+
x2
+
x1
x ∈ (x2; x1), x1 =
−5+5 5
−5−5 5
, x2 =
.
4
4
Решаем неравенство 3x2 – 7x + 5 > 0 ⇔ x 2 −
3x2 – 7x + 5 = 0
Уравнение
корней
не
7
5
x + > 0.
3
3
имеет.
Неравенство
x2 −
7
5
x+ >0
3
3
выполняется при любых x.
⎧ x ∈ ( x2 ; x1 )
Имеем ⎨
⎩ x ∈ (− ∞; + ∞ )
(
) (
)
5
⎛−5
⎞
Ответ: ⎜
1+ 5 ; −1+ 5 ⎟ .
4
⎝ 4
⎠
3. Дана функция y = ax2 + 2x + 1.
При каких значениях параметра а
1) неравенство y < 0 не имеет решений;
2) решением неравенства y < 0 будет один конечный промежуток;
3) неравенство y < 0 будет выполняться при всех x;
4) решением неравенства y < 0 будет объединение двух бесконечных промежутков?
Решение
Заметим, что при a = 0 получаем линейную функцию y = 2x + 1.
1) ax2 + 2x + 1 < 0 не имеет решений, значит, для всех x выполняется неравенство
ax2 + 2x + 1 > 0. Отсюда a > 0 и уравнение ax2 + 2x + 1 = 0 не имеет корней. D = 4 – 4a < 0.
⎧a > 0
Имеем ⎨
. Ответ: a > 1.
⎩a > 1
2) ax2 + 2x + 1 < 0
верно
для
x ∈ (x1; x2),
что
соответствует
следующему
⎧a > 0
распределению знаков квадратичной функции на числовой оси: +, –, +. Отсюда ⎨
⇔
⎩D > 0
⎧a > 0
. Ответ: 0 < a < 1.
⎨
⎩a < 1
3) ax2 + 2x + 1 < 0 верно для всех x. Распределение знаков квадратичной функции на
⎧a > 0
⎧a < 0
, отсюда ⎨
⇔⎨
.
⎩D < 0
⎩a > 1
−
числовой оси:
Ответ: таких a нет.
4) ax2 + 2x + 1 < 0 верно для x ∈ (–∞; x1) ∪ (x2; +∞). Распределение знаков на
числовой оси:
−
+
x1
−
x2
⎧a < 0
⎧a < 0
, отсюда ⎨
⇔⎨
.
⎩D > 0
⎩a < 1
Ответ: a < 0.
4. Решите неравенство с параметром. В ответе должны быть перечислены все
значения параметра.
Решение
1) x2 – 2x + a < 0
Решаем квадратное уравнение x2 – 2x + a = 0.
D = 4 – 4a.
Первый случай. D > 0, два корня: x1 = 1 + 1 − a , x 2 = 1 − 1 − a . Распределение
знаков квадратичной функции: +, –, +. Имеем при a < 1 x ∈ (x2; x1).
Второй случай. D = 0, один корень x = 1. Распределение знаков на числовой оси: +, +.
Отсюда при a = 1 решений нет.
Третий случай. D < 0, нет корней. Распределение знаков на числовой оси: +. Отсюда
при a > 1 решений нет.
Ответ: при a ≥ 1 нет решений, при a < 1 x ∈ (x2; x1).
2) a2x2 – 2ax – 1 < 0
Заметим, что a2x2 – 2ax – 1 = (ax – 1)2 – 2 и что при a = 0 будет верное числовое
неравенство (ax – 1)2 – 2 < 0 ⇔ − 2 < ax − 1 < 2 ⇔ 1 − 2 < ax < 1 + 2 .
Ответ: при a > 0
1− 2
1+ 2
1+ 2
1− 2
; при a < 0
; при a = 0
<x<
<x<
a
a
a
a
x ∈ (–∞; +∞).
3) x2 + 2(a + 2)x + 4a + 4 > 0
Решаем квадратное уравнение x2 + 2(a + 2)x + 4a + 4 = 0.
D = 4a2; D ≥ 0; x1 = –2, x2 = –2a – 2. x1 < x2 при a < 0. x1 > x2 при a > 0.
Ответ:
a<0
x ∈ (–∞; –2) ∪ (–2a – 2; +∞);
a=0
x ≠ –2;
a>0
x ∈ (–∞; –2a – 2) ∪ (–2; +∞).
+
+
Второй случай. a = 0. x = –2. Распределение знаков:
−
+
Первый случай. a ≠ 0, распределение знаков на числовой оси:
−2
+
.
.
4) ax2 – 2x + 2 – a ≥ 0
Заметим, что при a = 0 x ≤ 1.
Решаем квадратное уравнение ax2 – 2x + 2 – a = 0. x1 = 1, x 2 =
x1 ≤ x2, если выполняется неравенство
2−a
.
a
2 (a − 1)
≤ 0 , т. е. при a ∈ (0; 1].
a
x1 > x2 при a ∈ (–∞; 0) ∪ (1; +∞).
Распределение знаков на числовой оси:
a>0
Ответ:
+
−
x1
x2
x2
x1
+
;
a<0
−
+
x2
a<0
⎡2 − a ⎤
x∈ ⎢
; 1⎥ ;
⎣ a
⎦
a=0
x ≤ 1;
0<a<1
⎡2 − a
⎞
x ∈ (− ∞; 1] ∪ ⎢
; + ∞⎟ ;
⎣ a
⎠
a=1
x ∈ (–∞; +∞);
a>1
2 − a⎤
⎛
x ∈ ⎜ − ∞;
∪ [1; + ∞ ) .
a ⎥⎦
⎝
−
x1
.
Модуль 5 «Решение рациональных неравенств»
Основные цели обучения:
– ознакомление с решением неравенств методом интервалов;
– выработка навыков решения рациональных неравенств этим методом.
На изучение этого модуля предлагается выделить 3 урока.
К модулю относятся компьютерные материалы:
– демонстрации:
Д-П 1105
«Примеры
решения
рациональных
П-Д 1105 «Метод интервалов»;
– презентации: П-1109 «Давайте вспомним», П-1110 «Проверь себя».
неравенств»,
В учебнике изложен алгоритм решения неравенств методом интервалов без
комментариев, как инструкция, и рассмотрено решение различных примеров.
Любопытным учащимся можно напомнить, что решение неравенств связано с
определением участков постоянного знака соответствующей функции, а смена знака у
функции происходит либо в точках разрыва, либо в нулях функции. Эти точки разбивают
область определения функции на промежутки постоянного знака, который можно
определить, подставив любое число из промежутка в формулу функции. Разложение на
линейные множители облегчает определение знаков: они будут чередоваться при
переходе через корень каждого линейного множителя. А добившись, чтобы у каждого
линейного множителя перед х стоял знак +, можно смело в крайнем правом промежутке
ставить знак +. Для других случаев знаки в промежутках нужно определять подстановкой.
Из задачника к этому модулю относятся задания А-5, которые содержат стандартные
примеры.
Из рабочей тетради к этому модулю относятся задания Т-1112, КТ-1104, которые
также стандартные. Обратите внимание на выбор ответов при решении примеров в тесте
КТ-1104, с такой формулировкой задания учащиеся сталкивались редко.
Модуль «Обобщение знаний по теме»
Основные цели обучения:
– обобщение и систематизация знаний учащихся по теме;
– проведение контроля усвоения учащимися изученного материала;
– устранение, по мере возможности, пробелов в знаниях учащихся.
На изучение модуля предлагается выделить 4 урока.
Из задачника к модулю относятся задания И-1–И-4, П-1–П-3, К-1, К-2. К этому
модулю мы отнесли задания, которые нами уже были включены в другие модули в
качестве дополнительных заданий. Эти задания носят обобщающий характер, они
содержат много номеров. Сложность заданий в исследовательских работах нарастает,
необязательно решать их все до конца, но хотелось бы, чтобы на уроках обобщения были
рассмотрены самые простые из них, те, которые не успевали решить в предыдущих
модулях.
И-1
1) Постройте последовательно графики следующих функций:
а) y = |x + 1|
б) y = |x + 1| + |x|
в) y = |x + 1| + |x| + |x – 2|
г) y = |x + 1| + |x| + |x – 2| + |x – 3|
Решение
Советуем напомнить учащимся, что для построения графика кусочно-линейной
функции не нужно раскрывать модули в формуле функции, так как понятно, что при
раскрытии модуля на каждом промежутке будет получаться линейная функция или ее
частный случай – постоянная. Поэтому находим точки излома графика и значение
функции в них. Берем дополнительные точки для построения графика на крайних
промежутках.
Приводим графики.
y
а)
y
б)
3
2
1
1
−2 −1
−2 −1 0 1
x
y
в)
г)
8
x
y
12
7
5
8
4
3
−2 −1 0
6
2 3
x
−2 −1 0
2 3 4
x
И-2
Пусть точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2) лежат на гиперболе xy = 1.
1) Докажите пропорцию −
y2
y
y − y1
=− 1 = 2
.
x1
x 2 x 2 − x1
2) Рассмотрим точки P1(x1; 0), P2(x2; 0), Q1(0; y1), Q2(0; y2), лежащие на осях
координат. Докажите, что отрезки P1Q2, P2Q1 и A1A2 параллельны друг другу.
3) Построим прямоугольник A1B1A2B2 со сторонами, параллельными осям координат,
B
B
имеющий отрезок А1А2 в качестве одной из диагоналей. Докажите, что вторая диагональ
В1В2 проходит через начало координат.
При построениях укажите, что точки А1 и А2 могут лежать как на одной, так и на
разных ветвях гиперболы.
Решение
y
A1
Q1
B1
A2
B2
x
Q2
1) A1(x1; y1); A2(x2; y2); xy = 1, тогда x1y1 = 1 = x2y2 ⇒
Пусть равенство
− y1 y 2 − y1
=
x2
x 2 − x1
y 2 y1
=
.
x1 x 2
верное, тогда –y1x2 + y1x1 = x2y2 – y1x2 ⇔ –
y1x2 + 1 = 1 – y1x2 верно, а значит и исходное верно.
2) P1(x1; 0), P2(x2; 0), Q1(0; y1), Q2(0; y2).
Составим уравнения прямых y = kx + b, на которых лежат перечисленные отрезки.
1) Уравнение прямой P1Q2 будет иметь вид: y = −
y2
x + y2 .
x1
2) Прямая P2Q1 будет задаваться уравнением y = −
3) Уравнение прямой A1A2 будет иметь вид y =
y1
+ y1 .
x2
y1 − y 2
x+b.
x1 − x 2
Угловые коэффициенты прямых равны по доказанному в пункте 1, значит прямые
параллельны.
3) A1(x1; y1), A2(x2; y2), A1B1A2B2 – прямоугольник, тогда B1(x2; y1), B2(x1; y2). Составим
B
B
B
B
уравнение прямой B1B2.
B
B
⎧ y1 = kx2 + b
y − y2
,k= 1
. Рассмотрим b.
⎨
x 2 − x1
⎩ y 2 = kx1 + b
b = y1 −
y1 − y 2
y x − y1 x1 − y1 x 2 + y 2 x 2
⋅ x2 = 1 2
= 0, значит прямая B1B2 проходит через
x 2 − x1
x 2 − x1
B
B
начало координат.
И-4
1) Проверьте, что уравнения x2 – 10x + 24 = 0 и x2 – 3x – 18 = 0 имеют общий корень,
и составьте квадратное уравнение, корнями которого являются два оставшихся корня.
2) Уравнения x2 + p1x1 + q1 = 0 и x2 + p2x + q2 = 0 имеют общий корень. Составьте
квадратное уравнение, корнями которого являются два оставшихся корня.
3) Найдите значения а, при которых два квадратных уравнения x2 + 5x + a – 1 = 0 и
x2 + 3x + 7 – a = 0 имеют общий корень.
Решение
1) x2 – 10x + 24 = 0. Его корнями являются числа x1 = 4, x2 = 6.
x2 – 3x – 18 = 0. Его корнями являются числа x1 = 6, x2 = –3.
Число x = 6 – общий корень.
Квадратное уравнение, корнями которого являются оставшиеся числа, имеет вид x2 –
x – 12 = 0.
2) Пусть общий корень уравнений равен числу a, тогда уравнение x2 + p1x + q1 = 0
имеет корни: x1 = a, x2 =
x2 =
q1
= − p1 − a , а уравнение x2 + p2x + q2 = 0 имеет корни: x1 = a,
a
q2
= − p2 − a ,
a
Уравнение, корнями которого являются два оставшихся корня, имеет вид:
x2 −
q q
q 2 + q1
x + 2 2 1 = 0 или x2 + (p1 + p2 – 2a) x + (p1 + a)(p2 + a) = 0.
a
a
⎧⎪a 2 + p1 a + q1 = 0
q − q1
Найдем a. ⎨ 2
, отсюда a = 2
.
p1 − p 2
⎪⎩a + p 2 a + q 2 = 0
Ответ: x −
2
(q1 + q 2 )( p1 − p 2 )
q 2 − q1
⎛ p − p2
x + q1 q 2 ⎜⎜ 1
⎝ q 2 − q1
2
⎞
⎟⎟ = 0 .
⎠
3) Уравнения x2 + 5x + a – 1 = 0 и x2 + 3x + 7 – a = 0 имеют общий корень, обозначим
его x0. Используя формулу, выведенную для общего корня в предыдущем пункте, получим
x0 =
7 − a − a +1
= 4−a.
5−3
Тогда (4 – a)2 + 5(4 – a) + a – 1 = 0 ⇔ a2 – 12a + 35 = 0.
Получим a1 = 7, a2 = 5.
Ответ: a = 7, a = 5.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ИУМК по МОДУЛЯМ
На изучение главы выделено 25 уроков (по учебному плану 102 урока в год).
№
п/п
1
Модуль
§
кол-во
учебуроков
ника
Беседа
«Развитие
понятия
функции»
Схема
исследования
функции
1
3
Движение
графика
функции
4
2
3
№№
№№
заданий
заданий из
из
рабочей
задачника
тетради
А-1, П-1, ЛР-1102,
П-2
КТ-1106
4
А-2, С-1,
П-1, П-2,
И-3, И-4
Т-1101–
Т-1103,
Т-1114,
КТ-1101
2
4
С-2, С-3,
И-1, И-2
Т-1104–
Т-1110,
Т-1113,
КТ-1102,
КТ-1103
Решение
уравнений и
неравенств по
графику
3
4
С-4, С-5,
П-3
Т-1111,
ЛР-1101,
КТ-1105
5
Решение
линейных
и квадратных
неравенств
4
3
А-3, А-4
6
Решение
рациональных
неравенств
5
3
А-5
7
Обобщение по
теме
4
И-1 – И-4,
П-1 – П-3,
К-1, К-2
Т-1112,
КТ-1104
ЦОРы
Демонстрация Д 1101
«Развитие понятия
функции»
Демонстрации: Д-П 1101
«Чтение графика», П-Д 1101
«Схема исследования
функции»; Презентации:
П 1101 «Давайте вспомним»,
П 1102 «Проверь себя»
Демонстрации: Д-П 1102
«Преобразование графиков
функций», П-Д 1102
«Основные преобразования
графика»; Презентации: П1103 «Давайте вспомним»,
П-1104 «Проверь себя»
Демонстрации: П-Д 1103
«Решение уравнений по
графику», Д-П 1103
«Решение неравенств по
графику»; Презентации: П1105 «Давайте вспомним»,
П-1106 «Проверь себя»
Демонстрации: Д-П 1104
«Решение линейных
неравенств», П-Д 1104
«Квадратные неравенства»;
Презентации: П-1107
«Давайте вспомним», П1108 «Проверь себя»
Демонстрации: Д-П 1105
«Примеры решения
рациональных неравенств»,
П-Д 1105 «Метод
интервалов»; Презентации:
П-1109 «Давайте
вспомним», П-1110
«Проверь себя»