Изопериметрические задачи
реклама
Èçîïåðèìåòðè÷åñêèå çàäà÷è Â.À. Êèðè÷åíêî êóðñ Âàðèàöèîííîå èñ÷èñëåíèå è îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå Ôàêóëüòåò ìàòåìàòèêè Íàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé óíèâåðñèòåò Âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè âåñåííèé ñåìåñòð 2013 ã. Êëàññè÷åñêàÿ èçîïåðèìåòðè÷åñêàÿ çàäà÷à Çàäà÷à Äèäîíû Ñðåäè âñåõ ïëîñêèõ ôèãóð îäèíàêîâîãî ïåðèìåòðà íàéòè ôèãóðó íàèáîëüøåé ïëîùàäè. Èñòîðèÿ Äèäîíà äî÷ü òèðñêîãî öàðÿ, ëåãåíäàðíàÿ îñíîâàòåëüíèöà è ïåðâàÿ öàðèöà Êàðôàãåíà. Îíà îòïëûëà èç ôèíèêèéñêîãî ãîðîäà Òèðà â Àôðèêó âìåñòå ñ ñîêðîâèùàìè ñâîåãî ìóæà Àêåðáàñà, óáèòîãî áðàòîì Äèäîíû. Íà ïîáåðåæüå Òóíèññêîãî çàëèâà Äèäîíà îñíîâàëà êàðôàãåíñêèé êðåìëü Áèðñó, êóïèâ ó ìåñòíîãî âîæäÿ ó÷àñòîê çåìëè, êîòîðûé ìîæíî îêðóæèòü âîëîâüåé øêóðîé. Äèäîíà èçðåçàëà øêóðó íà ðåìåøêè, ñâÿçàëà âåðåâêó äëèíîé 22 ñòàäèÿ (ïðèìåðíî 2 êì), è îõâàòèëà åþ öåëóþ ãîðó. Íà ÿçûêå ïóíèéöåâ Áèðñà è îçíà÷àåò øêóðà. Êëàññè÷åñêàÿ èçîïåðèìåòðè÷åñêàÿ çàäà÷à Çàäà÷à Äèäîíû Ñðåäè âñåõ ïëîñêèõ ôèãóð îäèíàêîâîãî ïåðèìåòðà íàéòè ôèãóðó íàèáîëüøåé ïëîùàäè. Èñòîðèÿ Äèäîíà äî÷ü òèðñêîãî öàðÿ, ëåãåíäàðíàÿ îñíîâàòåëüíèöà è ïåðâàÿ öàðèöà Êàðôàãåíà. Îíà îòïëûëà èç ôèíèêèéñêîãî ãîðîäà Òèðà â Àôðèêó âìåñòå ñ ñîêðîâèùàìè ñâîåãî ìóæà Àêåðáàñà, óáèòîãî áðàòîì Äèäîíû. Íà ïîáåðåæüå Òóíèññêîãî çàëèâà Äèäîíà îñíîâàëà êàðôàãåíñêèé êðåìëü Áèðñó, êóïèâ ó ìåñòíîãî âîæäÿ ó÷àñòîê çåìëè, êîòîðûé ìîæíî îêðóæèòü âîëîâüåé øêóðîé. Äèäîíà èçðåçàëà øêóðó íà ðåìåøêè, ñâÿçàëà âåðåâêó äëèíîé 22 ñòàäèÿ (ïðèìåðíî 2 êì), è îõâàòèëà åþ öåëóþ ãîðó. Íà ÿçûêå ïóíèéöåâ Áèðñà è îçíà÷àåò øêóðà. Áèðñà Ðàçâàëèíû Áèðñû â Òóíèñå Ôîòîãðàôèÿ âçÿòà ñ ñàéòà http://www.panoramio.com/photo/46844980 Âàðèàöèè çàäà÷è Äèäîíû Çàäà÷à Äèäîíû íà áåðåãó ìîðÿ Âåðåâêîé ôèêñèðîâàííîé äëèíû îòäåëèòü îò ïîëóïëîñêîñòè ôèãóðó íàèáîëüøåé ïëîùàäè. Çàêðåïëåííûå êîíöû  ïðåäûäóùåé çàäà÷å äîïîëíèòåëüíî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû êîíöû âåðåâêè ëåæàëè â ôèêñèðîâàííûõ òî÷êàõ ãðàíèöû ïîëóïëîñêîñòè. Âàðèàöèè çàäà÷è Äèäîíû Ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìà áåðåãà Âìåñòî ïîëóïëîñêîñòè âçÿòü äðóãóþ ôèãóðó, íàïðèìåð, êðóã. Ðåëüåô Âìåñòî ïëîñêèõ ôèãóð ìîæíî ðàññìîòðåòü ôèãóðû íà íåðîâíîé ïîâåðõíîñòè (íàïðèìåð, íà ïîâåðõíîñòè ãîðû, êàê è áûëî â ñëó÷àå Áèðñû). Íåîäíîðîäíîñòü ïî÷âû Ìîæíî ââåñòè ôóíêöèþ ïëîäîðîäíîñòè ïî÷âû è ìàêñèìèçèðîâàòü íå ïëîùàäü, à èíòåãðàë ôóíêöèè. Âàðèàöèè çàäà÷è Äèäîíû Ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìà áåðåãà Âìåñòî ïîëóïëîñêîñòè âçÿòü äðóãóþ ôèãóðó, íàïðèìåð, êðóã. Ðåëüåô Âìåñòî ïëîñêèõ ôèãóð ìîæíî ðàññìîòðåòü ôèãóðû íà íåðîâíîé ïîâåðõíîñòè (íàïðèìåð, íà ïîâåðõíîñòè ãîðû, êàê è áûëî â ñëó÷àå Áèðñû). Íåîäíîðîäíîñòü ïî÷âû Ìîæíî ââåñòè ôóíêöèþ ïëîäîðîäíîñòè ïî÷âû è ìàêñèìèçèðîâàòü íå ïëîùàäü, à èíòåãðàë ôóíêöèè. Âàðèàöèè çàäà÷è Äèäîíû Ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìà áåðåãà Âìåñòî ïîëóïëîñêîñòè âçÿòü äðóãóþ ôèãóðó, íàïðèìåð, êðóã. Ðåëüåô Âìåñòî ïëîñêèõ ôèãóð ìîæíî ðàññìîòðåòü ôèãóðû íà íåðîâíîé ïîâåðõíîñòè (íàïðèìåð, íà ïîâåðõíîñòè ãîðû, êàê è áûëî â ñëó÷àå Áèðñû). Íåîäíîðîäíîñòü ïî÷âû Ìîæíî ââåñòè ôóíêöèþ ïëîäîðîäíîñòè ïî÷âû è ìàêñèìèçèðîâàòü íå ïëîùàäü, à èíòåãðàë ôóíêöèè. Âàðèàöèè çàäà÷è Äèäîíû Ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìà áåðåãà Âìåñòî ïîëóïëîñêîñòè âçÿòü äðóãóþ ôèãóðó, íàïðèìåð, êðóã. Ðåëüåô Âìåñòî ïëîñêèõ ôèãóð ìîæíî ðàññìîòðåòü ôèãóðû íà íåðîâíîé ïîâåðõíîñòè (íàïðèìåð, íà ïîâåðõíîñòè ãîðû, êàê è áûëî â ñëó÷àå Áèðñû). Íåîäíîðîäíîñòü ïî÷âû Ìîæíî ââåñòè ôóíêöèþ ïëîäîðîäíîñòè ïî÷âû è ìàêñèìèçèðîâàòü íå ïëîùàäü, à èíòåãðàë ôóíêöèè. Âàðèàöèè çàäà÷è Äèäîíû Ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìà áåðåãà Âìåñòî ïîëóïëîñêîñòè âçÿòü äðóãóþ ôèãóðó, íàïðèìåð, êðóã. Ðåëüåô Âìåñòî ïëîñêèõ ôèãóð ìîæíî ðàññìîòðåòü ôèãóðû íà íåðîâíîé ïîâåðõíîñòè (íàïðèìåð, íà ïîâåðõíîñòè ãîðû, êàê è áûëî â ñëó÷àå Áèðñû). Íåîäíîðîäíîñòü ïî÷âû Ìîæíî ââåñòè ôóíêöèþ ïëîäîðîäíîñòè ïî÷âû è ìàêñèìèçèðîâàòü íå ïëîùàäü, à èíòåãðàë ôóíêöèè. Âàðèàöèè çàäà÷è Äèäîíû Ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìà áåðåãà Âìåñòî ïîëóïëîñêîñòè âçÿòü äðóãóþ ôèãóðó, íàïðèìåð, êðóã. Ðåëüåô Âìåñòî ïëîñêèõ ôèãóð ìîæíî ðàññìîòðåòü ôèãóðû íà íåðîâíîé ïîâåðõíîñòè (íàïðèìåð, íà ïîâåðõíîñòè ãîðû, êàê è áûëî â ñëó÷àå Áèðñû). Íåîäíîðîäíîñòü ïî÷âû Ìîæíî ââåñòè ôóíêöèþ ïëîäîðîäíîñòè ïî÷âû è ìàêñèìèçèðîâàòü íå ïëîùàäü, à èíòåãðàë ôóíêöèè. Èçîïåðèìåòðè÷åñêèå çàäà÷è Îïðåäåëåíèå Èçîïåðèìåòðè÷åñêîé Z íàçûâàåòñÿ âàðèàöèîííàÿ çàäà÷à x1 f (x, y , ẏ )dx 7→ extr; y (x0 ) = y0 , y (x1 ) = y1 . x0 ñ äîïîëíèòåëüíûì îãðàíè÷åíèåì Z x1 g (x, y , ẏ )dx = L. x0 Ïðèìåð Ôîðìàëèçàöèÿ çàäà÷è Äèäîíû ñ çàêðåïëåííûìè êîíöàìè â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè: Z x1 Z x1 p ydx 7→ max; 1 + ẏ 2 dx = L, y (x0 ) = y (x1 ) = 0. x0 x0 Èçîïåðèìåòðè÷åñêèå çàäà÷è Îïðåäåëåíèå Èçîïåðèìåòðè÷åñêîé Z íàçûâàåòñÿ âàðèàöèîííàÿ çàäà÷à x1 f (x, y , ẏ )dx 7→ extr; y (x0 ) = y0 , y (x1 ) = y1 . x0 ñ äîïîëíèòåëüíûì îãðàíè÷åíèåì Z x1 g (x, y , ẏ )dx = L. x0 Ïðèìåð Ôîðìàëèçàöèÿ çàäà÷è Äèäîíû ñ çàêðåïëåííûìè êîíöàìè â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè: Z x1 Z x1 p ydx 7→ max; 1 + ẏ 2 dx = L, y (x0 ) = y (x1 ) = 0. x0 x0 Èçîïåðèìåòðè÷åñêèå çàäà÷è Ïðàâèëî ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà â èçîïåðèìåòðè÷åñèõ çàäà÷àõ ñîâïàäàåò ñ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ýêñòðåìóìà â çàäà÷å áåç îãðàíè÷åíèé Z x1 L(x, y , ẏ )dx 7→ extr x0 äëÿ èñïðàâëåííîãî ëàãðàíæèàíà L = λ0 f + λ1 g , ãäå λ0 , λ1 ∈ R ìíîæèòåëè Ëàãðàíæà. Ïðèìåð  çàäà÷å Äèäîíû èñïðàâëåííûé ëàãðàíæèàí èìååò âèä p L = λ0 y + λ1 1 + ẏ 2 Èçîïåðèìåòðè÷åñêèå çàäà÷è Ïðàâèëî ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà â èçîïåðèìåòðè÷åñèõ çàäà÷àõ ñîâïàäàåò ñ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ýêñòðåìóìà â çàäà÷å áåç îãðàíè÷åíèé Z x1 L(x, y , ẏ )dx 7→ extr x0 äëÿ èñïðàâëåííîãî ëàãðàíæèàíà L = λ0 f + λ1 g , ãäå λ0 , λ1 ∈ R ìíîæèòåëè Ëàãðàíæà. Ïðèìåð  çàäà÷å Äèäîíû èñïðàâëåííûé ëàãðàíæèàí èìååò âèä p L = λ0 y + λ1 1 + ẏ 2 Çàäà÷à Äèäîíû Èíòåãðàë ýíåðãèè λ1 − λ0 y = const. ẏ Lẏ − L = − p 1 + ẏ 2 Óïðàæíåíèå Ïðîâåðüòå, ÷òî ýêñòðåìàëè ïðè λ0 = 0 íå äàþò ðåøåíèÿ çàäà÷è Äèäîíû. Óðàâíåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè Ïîëîæèì λ0 = 1. s ẏ = λ21 − 1. (C − y )2 Çàäà÷à Äèäîíû Èíòåãðàë ýíåðãèè λ1 − λ0 y = const. ẏ Lẏ − L = − p 1 + ẏ 2 Óïðàæíåíèå Ïðîâåðüòå, ÷òî ýêñòðåìàëè ïðè λ0 = 0 íå äàþò ðåøåíèÿ çàäà÷è Äèäîíû. Óðàâíåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè Ïîëîæèì λ0 = 1. s ẏ = λ21 − 1. (C − y )2 Çàäà÷à Äèäîíû Èíòåãðàë ýíåðãèè λ1 − λ0 y = const. ẏ Lẏ − L = − p 1 + ẏ 2 Óïðàæíåíèå Ïðîâåðüòå, ÷òî ýêñòðåìàëè ïðè λ0 = 0 íå äàþò ðåøåíèÿ çàäà÷è Äèäîíû. Óðàâíåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè Ïîëîæèì λ0 = 1. s ẏ = λ21 − 1. (C − y )2 Ïîèñê ýêñòðåìàëè 1. Ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå, ïîëó÷àåì dx = r dy λ21 (C −y )2 . −1 2. Èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷àåì Z q (C − y )dy q = λ21 − (C − y )2 + C1 x= λ21 − (C − y )2 îòêóäà ýêñòðåìàëü ñîâïàäàåò ñ äóãîé îêðóæíîñòè (x − C1 )2 + (y − C )2 = λ21 . 3. Êîíñòàíòû λ1 , C è C1 îäíîçíà÷íî íàõîäÿòñÿ èç óñëîâèé Z x1 p 1 + ẏ 2 dx = L, y (x0 ) = y (x1 ) = 0. x0 Ïîèñê ýêñòðåìàëè 1. Ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå, ïîëó÷àåì dx = r dy λ21 (C −y )2 . −1 2. Èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷àåì Z q (C − y )dy q = λ21 − (C − y )2 + C1 x= λ21 − (C − y )2 îòêóäà ýêñòðåìàëü ñîâïàäàåò ñ äóãîé îêðóæíîñòè (x − C1 )2 + (y − C )2 = λ21 . 3. Êîíñòàíòû λ1 , C è C1 îäíîçíà÷íî íàõîäÿòñÿ èç óñëîâèé Z x1 p 1 + ẏ 2 dx = L, y (x0 ) = y (x1 ) = 0. x0 Ïîèñê ýêñòðåìàëè 1. Ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå, ïîëó÷àåì dx = r dy λ21 (C −y )2 . −1 2. Èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷àåì Z q (C − y )dy q = λ21 − (C − y )2 + C1 x= λ21 − (C − y )2 îòêóäà ýêñòðåìàëü ñîâïàäàåò ñ äóãîé îêðóæíîñòè (x − C1 )2 + (y − C )2 = λ21 . 3. Êîíñòàíòû λ1 , C è C1 îäíîçíà÷íî íàõîäÿòñÿ èç óñëîâèé Z x1 p 1 + ẏ 2 dx = L, y (x0 ) = y (x1 ) = 0. x0 Ïî÷åìó ìàêñèìóì äîñòèãàåòñÿ íà ýêñòðåìàëÿõ? Ôàêò Ýêñòðåìàëè â çàäà÷å Äèäîíû äàþò àáñîëþòíûé ìàêñèìóì. Îáîñíîâàíèå ñ ïîìîùüþ ìåòðèêè Õàóñäîðôà Ìíîæåñòâî âñåõ êîìïàêòíûõ ôèãóð ìîæíî ïðåâðàòèòü â ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ñ ïîìîùüþ ìåòðèêè Õàóñäîðôà (äåòàëè ñì. â [2, ï. 9.4]). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â çàäà÷å Äèäîíû äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü âûïóêëûå ôèãóðû, è ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ âûïóêëûõ ôèãóð ôèêñèðîâàííîãî ïåðèìåòðà êîìïàêò. Ïëîùàäü çàäà¼ò íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ íà êîìïàêòå, ïîýòîìó ìàêñèìóì ñóùåñòâóåò. Èç åäèíñòâåííîñòè ýêñòðåìàëè ñëåäóåò, ÷òî èìåííî íà íåé äîñòèãàåòñÿ ìàêñèìóì. Çàìå÷àíèå Êëàññè÷åñêàÿ èçîïåðèìåòðè÷åñêàÿ çàäà÷à ïðÿìî ñëåäóåò èç èçîïåðèìåòðè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà: ñðåäè âñåõ ïëîñêèõ ôèãóð îäèíàêîâîãî ïåðèìåòðà íàèáîëüøóþ ïëîùàäü èìååò êðóã. Çàäà÷ó Äèäîíû ñ çàêðåïë¼ííûìè êîíöàìè òîæå ìîæíî ñâåñòè ê èçîïåðèìåòðè÷åñêîìó íåðàâåíñòâó ýëåìåíòàðíûìè ðàññóæäåíèÿìè (äåòàëè ñì. â [1, ï.1.1.1]). Ïî÷åìó ìàêñèìóì äîñòèãàåòñÿ íà ýêñòðåìàëÿõ? Ôàêò Ýêñòðåìàëè â çàäà÷å Äèäîíû äàþò àáñîëþòíûé ìàêñèìóì. Îáîñíîâàíèå ñ ïîìîùüþ ìåòðèêè Õàóñäîðôà Ìíîæåñòâî âñåõ êîìïàêòíûõ ôèãóð ìîæíî ïðåâðàòèòü â ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ñ ïîìîùüþ ìåòðèêè Õàóñäîðôà (äåòàëè ñì. â [2, ï. 9.4]). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â çàäà÷å Äèäîíû äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü âûïóêëûå ôèãóðû, è ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ âûïóêëûõ ôèãóð ôèêñèðîâàííîãî ïåðèìåòðà êîìïàêò. Ïëîùàäü çàäà¼ò íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ íà êîìïàêòå, ïîýòîìó ìàêñèìóì ñóùåñòâóåò. Èç åäèíñòâåííîñòè ýêñòðåìàëè ñëåäóåò, ÷òî èìåííî íà íåé äîñòèãàåòñÿ ìàêñèìóì. Çàìå÷àíèå Êëàññè÷åñêàÿ èçîïåðèìåòðè÷åñêàÿ çàäà÷à ïðÿìî ñëåäóåò èç èçîïåðèìåòðè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà: ñðåäè âñåõ ïëîñêèõ ôèãóð îäèíàêîâîãî ïåðèìåòðà íàèáîëüøóþ ïëîùàäü èìååò êðóã. Çàäà÷ó Äèäîíû ñ çàêðåïë¼ííûìè êîíöàìè òîæå ìîæíî ñâåñòè ê èçîïåðèìåòðè÷åñêîìó íåðàâåíñòâó ýëåìåíòàðíûìè ðàññóæäåíèÿìè (äåòàëè ñì. â [1, ï.1.1.1]). Ïî÷åìó ìàêñèìóì äîñòèãàåòñÿ íà ýêñòðåìàëÿõ? Ôàêò Ýêñòðåìàëè â çàäà÷å Äèäîíû äàþò àáñîëþòíûé ìàêñèìóì. Îáîñíîâàíèå ñ ïîìîùüþ ìåòðèêè Õàóñäîðôà Ìíîæåñòâî âñåõ êîìïàêòíûõ ôèãóð ìîæíî ïðåâðàòèòü â ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ñ ïîìîùüþ ìåòðèêè Õàóñäîðôà (äåòàëè ñì. â [2, ï. 9.4]). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â çàäà÷å Äèäîíû äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü âûïóêëûå ôèãóðû, è ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ âûïóêëûõ ôèãóð ôèêñèðîâàííîãî ïåðèìåòðà êîìïàêò. Ïëîùàäü çàäà¼ò íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ íà êîìïàêòå, ïîýòîìó ìàêñèìóì ñóùåñòâóåò. Èç åäèíñòâåííîñòè ýêñòðåìàëè ñëåäóåò, ÷òî èìåííî íà íåé äîñòèãàåòñÿ ìàêñèìóì. Çàìå÷àíèå Êëàññè÷åñêàÿ èçîïåðèìåòðè÷åñêàÿ çàäà÷à ïðÿìî ñëåäóåò èç èçîïåðèìåòðè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà: ñðåäè âñåõ ïëîñêèõ ôèãóð îäèíàêîâîãî ïåðèìåòðà íàèáîëüøóþ ïëîùàäü èìååò êðóã. Çàäà÷ó Äèäîíû ñ çàêðåïë¼ííûìè êîíöàìè òîæå ìîæíî ñâåñòè ê èçîïåðèìåòðè÷åñêîìó íåðàâåíñòâó ýëåìåíòàðíûìè ðàññóæäåíèÿìè (äåòàëè ñì. â [1, ï.1.1.1]). Öåïíàÿ ëèíèÿ Çàäà÷à î öåïíîé ëèíèè Íàéòè ôîðìó íåðàñòÿæèìîé îäíîðîäíîé âåð¼âêè, êîíöû êîòîðîé çàêðåïëåíû â äâóõ ôèêñèðîâàííûõ òî÷êàõ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Ôîðìàëèçàöèÿ Ôîðìà âåð¼âêè ìèíèìèçèðóåò ñóììàðíóþ ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ âåð¼âêè. Ïîëó÷àåì èçîïåðèìåòðè÷åñêóþ çàäà÷ó Z x1 p Z x1 p y 1 + ẏ 2 dx 7→ min; 1 + ẏ 2 dx = L, y (x0 ) = y0 , y (x1 ) = y1 . x0 x0 Óïðàæíåíèå Íàéäèòå ýêñòðåìàëè â çàäà÷å î öåïíîé ëèíèè. Öåïíàÿ ëèíèÿ Çàäà÷à î öåïíîé ëèíèè Íàéòè ôîðìó íåðàñòÿæèìîé îäíîðîäíîé âåð¼âêè, êîíöû êîòîðîé çàêðåïëåíû â äâóõ ôèêñèðîâàííûõ òî÷êàõ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Ôîðìàëèçàöèÿ Ôîðìà âåð¼âêè ìèíèìèçèðóåò ñóììàðíóþ ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ âåð¼âêè. Ïîëó÷àåì èçîïåðèìåòðè÷åñêóþ çàäà÷ó Z x1 p Z x1 p y 1 + ẏ 2 dx 7→ min; 1 + ẏ 2 dx = L, y (x0 ) = y0 , y (x1 ) = y1 . x0 x0 Óïðàæíåíèå Íàéäèòå ýêñòðåìàëè â çàäà÷å î öåïíîé ëèíèè. Öåïíàÿ ëèíèÿ Çàäà÷à î öåïíîé ëèíèè Íàéòè ôîðìó íåðàñòÿæèìîé îäíîðîäíîé âåð¼âêè, êîíöû êîòîðîé çàêðåïëåíû â äâóõ ôèêñèðîâàííûõ òî÷êàõ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Ôîðìàëèçàöèÿ Ôîðìà âåð¼âêè ìèíèìèçèðóåò ñóììàðíóþ ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ âåð¼âêè. Ïîëó÷àåì èçîïåðèìåòðè÷åñêóþ çàäà÷ó Z x1 p Z x1 p y 1 + ẏ 2 dx 7→ min; 1 + ẏ 2 dx = L, y (x0 ) = y0 , y (x1 ) = y1 . x0 x0 Óïðàæíåíèå Íàéäèòå ýêñòðåìàëè â çàäà÷å î öåïíîé ëèíèè. Ññûëêè • Â.Ì.Àëåêñååâ, Â.Ì.Òèõîìèðîâ, Ñ.Â.Ôîìèí, Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå. Òåîðèÿ. Ïðèìåðû. Çàäà÷è. 2-å,ïåðåðàá. è äîï. - Ì. : Ôèçìàòëèò, 2005. • Â.À.Òèìîðèí, Âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè, , Èçä. çàïèñêè ëåêöèé http://www.hse.ru/data/2011/06/03/1212338172/convpoly.pdf Ññûëêè • Â.Ì.Àëåêñååâ, Â.Ì.Òèõîìèðîâ, Ñ.Â.Ôîìèí, Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå. Òåîðèÿ. Ïðèìåðû. Çàäà÷è. 2-å,ïåðåðàá. è äîï. - Ì. : Ôèçìàòëèò, 2005. • Â.À.Òèìîðèí, Âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè, , Èçä. çàïèñêè ëåêöèé http://www.hse.ru/data/2011/06/03/1212338172/convpoly.pdf Îáðàòíàÿ ñâÿçü Âîïðîñû, èñïðàâëåíèÿ è êîììåíòàðèè ìîæíî ïðèñûëàòü ïî àäðåñó [email protected]
