Лекция 6. Ряды и преобразования Фурье для голоморфных

Ëåêöèÿ 6. Ðÿäû è ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå äëÿ ãîëîìîðôíûõ ôóíêöèé.
1. Èçîìåòðèè è èõ ïðîäîëæåíèå.
Òåîðåìà 1 Ðàññìîòðèì ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî H è ïëîòíîå ìíîæåñòâî E â
íåì. Ïóñòü F : E → E 0 ëèíåéíûé îïåðàòîð, ñîõðàíÿþùèé íîðìó (èçîìåòðèÿ).
Òîãäà îí îäíîçíà÷íî ïðîäîëæàåòñÿ äî èçîìåòðèè (ñíîâà îáîçíà÷àåìîé F ): H → H .
2. Ïðîäîëæåíèå íîðìèðîâàííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå íà L2 (R).
Ïðåäëîæåíèå 1 Íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ f : R → C, äëÿ êîòîðîé
íàäëåæèò L2 (R).
R
|f |2 dx < ∞, ïðè-
Äîêàçàòåëüñòâî Ïðèáëèçèì f ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ fn ∈ C 0 ñ ïîìîùüþ ñðåçàþùèõ
ôóíêöèé.
¤
Òåîðåìà 2 Íîðìèðîâàííîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå F̂ : C 2,0 → E 0 ⊂ H ïðîäîëæàåòñÿ
íà âñå L2 (R).
Äîêàçàòåëüñòâî Íàáðîñîê äîêàçàòåëüñòâà. Ôóíêöèè èç E 0 êâàäðàòè÷íî óáûâàþ-
ùèå (ïî÷åìó?) Ïî ïðåäëîæåíèþ 1, E 0 ⊂ L2 (R). Ïî òåîðåìå Ïëàíøåðåëÿ, F̂ èçîìåòðèÿ. Ïî òåîðåìå 1, îíà ïðîäîëæàåòñÿ íà âñå L2 (R).
¤
3. Íàïîìèíàíèÿ èç êîìïëåêñíîãî àíàëèçà.
• Îïðåäåëåíèå ãîëîìîðôíûõ ôóíêöèé.
• Èíòåãðàë Êîøè.
• Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Êîøè.
4. Ðÿäû Ôóðüå äëÿ ãîëîìîðôíûõ ôóíêöèé.
Òåîðåìà 3 Êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ãîëîìîðôíîé ôóíêöèè íà îêðóæíîñòè óáûâàþò
ýêñïîíåíöèàëüíî. Áîëåå ïîäðîáíî, ïóñòü ôóíêöèÿ f ãîëîìîðôíà â ïîëîñå | Im z| < δ ,
è max| Im z|≤δ |f (z)| = M . Òîãäà fk k -é êîýôôèöèåíò Ôóðüå ôóíêöèè f óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó:
|fk | ≤ M e−δ|k| .
(1)
1
Äîêàçàòåëüñòâî Ïî èçâåñòíîé ôîðìóëå,
1
fk =
2π
Z
π
f (x)e−ikx dx.
−π
Ïóñòü k < 0. ðàññìîòðèì ïðÿìîóãîëüíèê Π ñ âåðøèíàìè −π, π, π + iδ, −π + iδ è ïóñòü
Γ åãî ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííàÿ ãðàíèöà. Äîêàæåì, ÷òî
Z
fk =
f (z)e−ikz dz.
σ+iδ
Äåéñòâèòåëüíî, ïî òåîðåìå Êîøè
Z
f (z)e−ikz dz = 0.
(2)
Γ
Íî Γ îðèåíòèðîâàííàÿ ãðàíèöà ïðÿìîóãîëüíèêà Π, ïðàâàÿ âåðòèêàëüíàÿ ñòîðîíà êîòîðîãî ïîëó÷àåòñÿ èç ëåâîé ïåðåíîñîì íà 2π . À ïîäèíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ â èíòåãðàëå (2) 2π -ïåðèîäè÷íà. Ïîýòîìó åå èíòåãðàëû ïî (ïðîòèâîïîëîæíî îðèåíòèðîâàííûì)
âåðòèêàëüíûì ñòîðîíàì âçàèìíî óíè÷òîæàþòñÿ, à èíòåãðàëû ïî ãîðèçîíòàëüíûì ñòîðîíàì ðàâíû:
Z
Z
π
−ikz
f (z)e
π+iδ
dz =
−π
f (z)e−ikz dz.
−π+iδ
Íî
max
[−π+iδ,π+iδ]
|f (z)e−kz | = M e−ikδ .
Îòñþäà ñëåäóåò (1).
¤
5. Ôóíêöèÿ Ãàóññà íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.
x2
Òåîðåìà 4 Ôóíêöèÿ Ãàóññà f0 (x) = e− 2 íåïîäâèæíàÿ òî÷êà íîðìàëèçîâàííîãî
ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.
Äîêàçàòåëüñòâî Äîêàçàòåëüñòâî ïîëó÷àåòñÿ âûõîäîì â êîìïëåêñíóþ îáëàñòü, è äàåòñÿ ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì.
1
fˆ0 (α) = √
2π
Z
e
R
2
− x2 −iαx
1
dx = √
2π
Z
2
− 12 (x2 +2iαx−α2 ) − α2
e
e
R
Íàáëþäåíèå: 1 C(α) íå çàâèñèò îò α è ðàâíî 1!
2
α2
e− 2
dx = √
2π
Z
1
2
α2
e− 2 (x+iα) dx := e− 2 C(α).
R
Äåéñòâèòåëüíî,
Z
Z
e
− 12 (x+iα)2
z2
e− 2 dz.
dx =
R
R+iα
Ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëüíîé òåîðåìû Êîøè äîêàæèòå, ÷òî
Z
Z
2
x2
− z2
e dz =
e− 2 dx,
R+iα
R
è òåì ñàìûì, C(α) äåéñòâèòåëüíî íå çàâèñèò îò α. Èòàê, äëÿ C = C(α)
fˆ0 (z) = Cf0 (z),
òî åñòü ôóíêöèÿ f0 ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ñ ïîëîæèòåëüíûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì. Íî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå èçîìåòðèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî,
C = 1, fˆ0 = f0 .
Ïîïóòíî ìû äîêàçàëè, ÷òî
Z
√
x2
e− 2 dx = 2π
R
(ôîðìóëà Ýéëåðà-Ïóàññîíà).
¤
6. Âû÷èñëåíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ñ ïîìîùüþ âû÷åòîâ.
Òåîðåìà 5 Ïóñòü P âåùåñòâåííûé ìíîãî÷ëåí ñ íåâåùåñòâåííûìè ïðîñòûìè êîðíÿìè. Òîãäà
(
P
µ ¶
−iαz
2πi Ima>0 resa eP (z) , α < 0
1
F
(α) =
P
−iαz
P
2πi Ima<0 resa eP (z) , α > 0.
3