Листок 1: равновесие Нэша и функция полезности

НИУ ВШЭ, 2013/14, «Введение в теорию игр»
Математический факультет НИУ ВШЭ, 2013/14 уч. год
Введение в теорию игр
Листок 1: равновесие Нэша и функция полезности (25 сентября 2013; deadline: 15.11.2013)
Ю. Г. Кудряшов
Может ли введение дополнительных штрафов в игре быть выгодным (в каком-нибудь
разумном смысле) всем игрокам?
Определение 1. Говорят, что набор стратегий является
, если никому из игроков
не выгодно менять свою стратегию при условии, что остальные не будут менять свои.
Задача 2. Приведите пример игры, для которой не существует равновесия Нэша в чистых стратегиях.
Определение 2.
в игре в нормальной форме называется вероятностная
мера на пространстве чистых стратегий.
Задача 3. Дайте определение игры в развёрнутой форме с неполной информацией.
Задача 4. Нарисуйте игры «битвы полов» и «дилеммы заключённого» в развёрнутой форме (с
информационными множествами).
Задача 5. Для игры в развёрнутой форме с неполной информацией можно рассмотреть два понятия смешанной стратегии:
∙ вероятностная мера на пространстве чистых стратегий;
∙ набор вероятностных мер — по одной на каждом информационном множестве.
Приведите пример игры, для которой эти понятия приводят к разным результатам.
Задача 6. Если никто из игроков не забывает информацию, то описанные в предыдущей задаче
понятия эквивалентны. Сформулируйте точное утверждение, и докажите его.
Задача 7. Пусть 𝑋 — симплекс лотерей с вершинами 𝐴1 , . . . , 𝐴𝑛 (формально — вероятностных мер
на множестве вершин). Пусть на 𝑋 задано отношение ⪯, обладающее следующими свойствами:
(a) ∀𝜇, 𝜈 ∈ 𝑋 𝜇 ⪯ 𝜈 ∨ 𝜈 ⪯ 𝜇;
(b) ∀𝜇, 𝜈, 𝜂 ∈ 𝑋 (𝜇 ⪯ 𝜈) ∧ (𝜈 ⪯ 𝜂) ⇒ (𝜇 ⪯ 𝜂);
(c) ∀𝜇, 𝜈, 𝜂 ∈ 𝑋∀𝛼 ∈ [0, 1] (𝜇 ⪯ 𝜈) ⇒ (𝛼𝜇 + (1 − 𝛼)𝜂 ⪯ 𝛼𝜈 + (1 − 𝛼)𝜂);
(d) для каждого 𝜇 ∈ 𝑋 множества { 𝜈 ∈ 𝑋 | 𝜈 ⪯ 𝜇 } и { 𝜈 ∈ 𝑋 | 𝜇 ⪯ 𝜈 } замкнуто.
Докажите, что существует функция 𝜙 : { 𝐴1 , . . . , 𝐴𝑛 } → R, такая что
Задача 1.
равновесием Нэша
Смешанной стратегией
∫︁
𝜇⪯𝜈⇔
∫︁
𝜙 𝑑𝜇 6
𝜙 𝑑𝜈.
Для этого докажите последовательно утверждения:
(a) Если 𝜇 𝜈 , то отношение ⪯ задаёт полный порядок на отрезке [𝜈, 𝜇];
(b) Если 𝜇 ⪯ 𝜈 ⪯ 𝜇, то все точки прямой1 , проходящей через 𝜇 и 𝜈 , эквивалентны друг другу.
(c) Если 𝜇 ⪯ 𝜂 ⪯ 𝜈 𝜇, то на отрезке [𝜇, 𝜈] найдётся ровно одна точка 𝜂′ , такая что 𝜂 ⪯ 𝜂′ ⪯ 𝜂.
1 Точнее,
точки пересечения этой прямой с симплексом
Ю. Г. Кудряшов
𝑋
1