НИУ ВШЭ Магистратура, 1 курс 2012

НИУ ВШЭ
Магистратура, 1 курс 2012-2013 уч. год
Инструментальные методы микроэкономического анализа
Занятие 10.
Тема: Элементы теории некооперативных игр.
Статические игры с полной информацией.
Задание 1. Найдите, если оно существует, равновесие Нэша в приведенных ниже в матричном виде
статических играх с полной информацией, двумя способами:
1) Используя последовательное отбрасывание строго доминируемых стратеги й
возможно при данных условиях)
(если
это
2) Следуя определению равновесия Нэша.
(а)
(б)
Игрок У
Стратегия 1
Стратегия 2
Стратегия 3
Игрок Х
Игрок У
Игрок Х
Стратегия
А
3
2
0
3
Стратегия В
4
1
Стратегия
С
6
7
Стратегия
А
2
2
0
1
2
(в)
1
2
3
1
3
4
2
2
Стратегия
С
3
1
3
4
8
Стратегия
3
1
Стратегия
В
4
1
Стратегия
2
0
2
2
Стратегия
1
0
2
3
0
(г)
Игрок У
Стратегия 1
Стратегия 2
Стратегия 3
Игрок 2
Стратегия l
Стратегия s
Стратегия r
Стратегия
U
(5,3)
(1,4)
(3,5)
Стратегия
K
(4,2)
Стратегия
D
(3,5)
Игрок 1
Игрок Х
Стратегия А
2
3
Стратегия В
2
0
1
4
Стратегия С
1
4
6
3
7
3
2
2
1
2
(5,5)
(2,7)
(4,1)
(5,3)
1
8
*Первой координатой в каждом векторе выигрышей
указан выигрыш игрока 1.
Задание 2.
Каждый из трех игроков выбирает одновременно с другими одну из сторон монеты: «орел» или
«решка». Если выборы игроков совали, то каждому выдается по 1 рублю. Если выбор одного из
игроков отличается от выбора двух других, то он выплачивает им оп 1 рублю. Найдите, если оно
существует, равновесие Нэша в чистых стратегиях.
НИУ ВШЭ
Магистратура, 1 курс 2012-2013 уч. год
Инструментальные методы микроэкономического анализа
Задание 3.
Два преподавателя экономического факультета пишут учебник. Качество учебника ( q ) зависят от их
усилий ( e1 и e2 , соответственно) в соответствии с функцией q  2e1  e2  . Функция полезности
каждого преподавателя имеет вид ui  q  ei . Уровень усилий каждого преподавателя может
принимать лишь значения 1, 2 или 3.
Найдите, если оно существует, равновесие Нэша в чистых стратегиях при одновременном выборе
уровня усилий преподавателями.
Задание 4. (Модель Курно)
Две фирмы производят однородный продукт и q1 и q 2 - объемы выпуска фирм, соответственно.
Обратная функция спроса на продукцию фирм имеет вид pQ  a  bQ , где Q  q1  q2 . Функция
издержек каждой фирмы имеет вид TC qi   cqi , где c  a . Пусть фирмы выбирают объемы
выпускаемой продукции одновременно и независимо. Найдите равновесие Нэша в чистых стратегиях.
Как изменится равновесие, если в данной модели не две, а N фирм?
Задание 5.
Два игрока размещают точку на плоскости. Один игрок выбирает абсциссу, другой – ординату.
Найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях, если выигрыши игроков заданы функциями
(а) u x x, y    x 2  x y  a   y 2 , u y x, y   x 2  yx  b  y 2 ;
(б) u x x, y    x 2  2ax y  1  y 2 , u y x, y   x 2  2byx  1  y 2 ;
(в) u x  x, y    x  y / x  1 / 2 y 2 , u y x, y   1 / 2 x 2  x / y  y ,
где a, b - коэффициенты.
Проиллюстрируйте решение графически.
Задание 6. В игре участвуют пешеход и автомобилист. Каждый из игроков имеет две стратегии:
проявлять осторожность и не проявлять осторожности. От выбранных стратегий зависит вероятность
дорожно-транспортного происшествия (автомобилист собьет пешехода). Если оба ведут себя
неосторожно, то вероятность происшествия равна 1/2, если только один ведет себя неосторожно, то
вероятность равна 1/10, а если оба осторожны, то вероятность равна 1/100.
В случае если произойдет столкновение, то ущерб пешехода в неких условных единицах составит
1000, а ущерб автомобилиста составит 200. Кроме того, осторожное поведение на дороге связано для
обоих игроков с издержками, равными 100.
(а) Запишите игру в нормальной форме;
(б) Найдите равновесие Нэша в чистых стратегиях.
(в) Найдите равновесие Нэша в смешанных стратегиях, полагая, что каждый из участников
рандомизирует свои действия. Приведите графическую иллюстрацию решения.
Задание 7.
Рассмотрите игру «Выбор компьютера»:
двое знакомых одновременно выбирают, компьютеры какого типа им купить; первый предпочитает
IBM PC, второй – Macintosh; обладание компьютером любимого типа первый оценивает в a a  0
НИУ ВШЭ
Магистратура, 1 курс 2012-2013 уч. год
Инструментальные методы микроэкономического анализа
некоторых условных единиц, а второй - в b b  0 условных единиц; полезность компьютера другого
типа для обоих равна нулю; каждый получает дополнительную выгоду c c  0 , если они выберут
одинаковые компьютеры, поскольку в таком случае используемое ими программное обеспечение
будет совместимым.
(а) Запишите игру в нормальной форме;
(б) Найдите равновесие Нэша в чистых стратегиях, если a  c и b  c .
(в) Найдите равновесие Нэша в смешанных стратегиях, полагая, что каждый из знакомых
рандомизирует свои действия. Приведите графическую иллюстрацию решения.
Задание 8.
Заполните пропущенные выигрыши в следующей таблице, задающей матричную форму игры, так, чтобы в
получившейся игре:
(а) не было ни одного равновесия Нэша,
1\2 L
(б) было одно равновесие Нэша,
T
?, 1 2, ?
M
4, ? ?, 0
(в) было два равновесия Нэша,
(г) было три равновесия Нэша,
(д) было четыре равновесия Нэша.
R