Обобщенная выпуклость и ее применение в экономике В.Д.Матвеенко Санкт-Петербургский

Санкт-Петербургский
экономико-математический
институт РАН
и НИУ ВШЭ СПб
В.Д.Матвеенко
Обобщенная выпуклость
и ее применение в экономике
• Идея выпуклости и двойственности в
экономике - возможный подход к пониманию
роли институтов.
• Обычная выпуклость и двойственность.
Дифференциальные игры ценообразования.
Обоснование решения Нэша задачи о
сделках и производственной функции КоббаДугласа. Микрооснования производственной
функции.
• Обобщенная выпуклость и
двойственность. Представление
производственной функции «по Джонсу».
Обоснование решения Нэша задачи о
сделках.
Центральная роль выпуклых
структур и двойственности в
моделях экономики, теории игр и
исследования операций
В.Л.Макаров, А.М.Рубинов. Математическая
теория экономической динамики и равновесия.
М., Наука, 1973
M.Fuss, McFadden D.L., eds. Production economies:
A dual approach to theory and applications (v. 1, 2).
Amsterdam, North-Holland, 1978
(МакФадден - лауреат Нобелевской премии 2000)
R.Cornes. Duality and modern economics.
Cambridge, Cambridge University Press, 1992.
Двойственность (duality) в
микроэкономике (например, Джейли,
Рени «Микроэкономика», 2011)
Производственная функция Y  F ( K , L)
Функция затрат
C( p , p , Y )
K
L
  {( pK , pL ) : C( pK , pL ,1)  const}
Пример из макроэкономики
f
f ( x)   ( x) xi  p( x) x
i 1 xi
n
f ( x)  min px
p
Минимизация издержек

f ( p)  min px
xM
Наименьшие издержки, необходимые для
выпуска единицы продукта при данных ценах
факторов
• Acemoglu: Маркс, говоря о надстройке, имел в виду
систему институтов.
• Hall, Jones, 1999: доходы стран в значительной степени
объясняются различиями в их социальной
инфраструктуре (институтах и политике).
• Nelson, Sampat, 2001, Nelson, 2006 связывают институты с
социальными технологиями, которые используются в
производстве, в определенном смысле, симметрично
физическим технологиям. Социальные технологии
разнообразны: они могут быть очень широкими, а могут
быть локальными, по месту или по виду деятельности.
• Abramovitz, 1956: различие между немедленными
источниками роста (такими как труд и капитал) и
глубинными причинами, которые, по существу,
представляют собой институты. Cвязывает глубинные
причины с TFP (общей производительностью факторов),
которую он называет «мерой нашего незнания» о причинах
экономического роста.
• Acocella, 2003 относит к институтам «два главных «правила»
социального взаимодействия: рынок и правительство», а
также фирмы и некоммерческие организации. Acemoglu et
al., 2004: «Рынок –возможность для индивидов обменивать
товары и услуги – очевидно фундаментальный
экономический институт, относящийся к развитию».
У слова bargaining два смысла:
торг и сделка
«Я ходил на Уордор-стрит, где присмотрел кусок старинной
парчи, и пришлось торговаться за нее добрых два часа. В
наше время люди всему знают цену, но понятия не имеют о
подлинной ценности». О.Уайльд. Портрет Дориана Грея.
• Базовый пример торга (Abhinay Muthoo “The
Economics of Bargaining”):
Аруна хочет продать дом по минимальной цене
₤ 50,000. Мохан хочет заплатить за арунин
дом максимум ₤ 70,000.
Дифференциальные игры
ценообразования
p 1  b2 , p 2  b1 ,
p1 (t )  p  p 1t , p2 (t )  p  p 2t
1
0
2
0
b1
b2
1
p  p1 (T )  p2 (T ) 
p0 
p02
b1  b2
b1  b2

u1  p (T )  p
2
0
u 2  p  p(T )
1
0

• ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Цена p
соответствует несимметричному
решению Нэша задачи о сделках.
Задача о сделках и решение Нэша
•
Кооперируются n участников. Задано множество альтернатив S
Выбор исхода
•
Свойства «хорошего» исхода: симметричность, оптимальность
по Парето, независимость от посторонних альтернатив,
независимость от линейного преобразования
• Решение Нэша (1950): произведение Нэша
• Решение в асимметричном случае
b1
1
b2
2
max u u ...u
uS
bn
n
Геометрическая характеризация
асимметричного решения Нэша
x  1 X 1   2 X 2  ...   n X n
bi
i 
b1  ...  bn
• Случай когда игроки изменяют цены с
постоянными темпами прироста (а не
скоростями), равными их переговорным
силам, аналогичен. Поскольку темп
прироста цены представляет собой
скорость изменения логарифма цены,
•
b1
b2

1
ln p 
ln p0 
ln p02
b1  b2
b1  b2
• В более сложном случае скорость изменения цены игроком
зависит от скорости, с которой изменяет цену противник. Если
игрок 1 медленно снижает цену, то игрок 2 будет медленно
повышать, поскольку не хочет, чтобы игра закончилась на
слишком высокой цене. Аналогично, игрок 2 будет медленно
повышать цену, если игрок 1 медленно снижает.
v1  f1 (v2 ), v2  f 2 (v1 )
(Б)
• функции неограниченно возрастают и строго выпуклы (скорость
изменения цены возрастает, когда противник быстрее изменяет
свою цену).
•
При указанных условиях существует единственная пара
равновесных цен , удовлетворяющая равенству (Б) (равновесие
по Нэшу, когда ни один из игроков не хочет изменить свою
скорость изменения цены).
2
2
1
1 2
2
2 1
v av , v a v
1 / 3
1 / 3
a
a
p   1 / 3 1 1 / 3 p01  1 / 3 2 1 / 3 p02
a1  a 2
a1  a 2
• Можно использовать как определение переговорных сил.
Проблема микрооснований
производственной функции
• Конкретные типы производственной
функции появились «случайно»,
микрооснований не было
• От типа функции зависит тип динамики
• Меняется парадигма: от представления
об общей для всех стран
производственной функции к
сознательному выбору технологий, при
этом играют роль институты
• Производственная функция КоббаДугласа

1
F ( K , L)  AK L
• Производственная CES-функция

F ( K , L)  A K  (1   ) L
p
  (0, 1), p  (, 0)  (0, 1)

1
p p
• Rodriguez F., Ortega D.. Are capital shares higher in
poor countries? Evidence from industrial surveys.
Wesleyan Economics Working Papers, № 2006-023. –
Middletown, Wesleyan University, 2006.
Доля капитала в промышленности в
период 1990-2003 гг. существенно
различалась (например, 0,33 в
Исландии и 0,82 в Чили), при этом в
развивающихся странах она была, в
среднем, выше, чем в развитых.
Средняя доля труда
• 50% для стран ОЭСР и Азии,
• 40% для стран Латинской Америки,
Ближнего Востока и Северной
Африки,
• 30% для стран Африки южнее
Сахары.
• Миф о постоянных во времени для
одной страны долях факторов
Оспаривал еще Solow, 1958
Diwan: начиная с 1970-х гг., доля труда
падает во всех группах стран,
это связывают с глобализацией
Старая точка зрения:
Общие для разных стран производственные
функции
Lucas. 1990 - США и Индия
Rebelo, 1998 – США и Япония
Hall, Jones, 1999 – США и Нигер
Современная точка зрения:
технологии выбираются страной из
«технологического меню»
Rubinov - математика
F ( K , L)  max min{ l K K ,
Matveenko, 1997
l
Jones QJE 2005
Матвеенко ЭММ 2009, Economics Bulletin 2010
l L L}
Матвеенко В.Д. Доли факторов и экономический рост в
ресурсозависимой экономике – Межд. конференция ГУ-ВШЭ
2009 и 2010, также сборник ЭМИ РАН, в. 6, также Российский
экономический конгресс (2009),
Социальные группы – работники и капиталисты
соглашаются на увеличение/уменьшение  , если
увеличивается их доход
Области социального согласия и социального конфликта
В.Д.Матвеенко Финансы и бизнес 2008
Две группы менеджеров:
«производственники» и «бюрократы»
выбирают технологию
Формирование кривой цен
•
Два типа агентов: работники и предприниматели.
•
Множество (континуум) островов, которые постепенно заселяются. На
каждом заселенном острове установлены ставки (цены) оплаты труда
(фактора производства, вносимого работниками) и капитала (фактора,
вносимого
предпринимателями).
С
некоторого
острова
на
незаселенный остров переселяется часть работников и часть
предпринимателей. Они ведут торг по изменению цен своих факторов,
используя в качестве стартовых цен те цены, которые были у них на
острове, с которого они прибыли.
•
Та социальная группа, которая переселяется первой (это
определяется случайным образом), получает преимущество в
переговорах о ценах - атакует, т.е. в переговорах старается
увеличить цену своего фактора производства и уменьшить цену
фактора «противника». Другая «группа» защищается, т.е. не дает
слишком сильно уменьшить цену своего фактора.
•
Социальные группы имеют постоянные переговорные силы .
dpa pd
bd
   const
dpd pa
ba
ba
gd  ga
bd
max g a
min g d
(*)
b1
p p2
b2


C
• Кривая цен .
• Если первоначально вектор цен
принадлежит
при определенном
значении константы С, то и в
дальнейшем он остается на той же
кривой.
Выбор технологии
• В модели имеется «облако» леонтьевских
технологий, каждая из которых представлена
вектором производственных факторов, при
котором выпуск единичный. После того, как
на острове определены цены факторов,
остров выбирает наиболее подходящую
технологию. Кривая факторов М содержит
наборы факторов, выбираемые
всевозможными островами. Два указанных
ниже механизма выбора ведут к одной и той
же кривой факторов М.
• (А) Остров выбирает технологию таким
образом, чтобы участники получили
доли, равные относительным
переговорным силам:
M  {( K , L) : pK K   , pL L  1   , ( pK , pL )   }

1
M  {( K , L) : AK L
 1}
0
0
p
,
p
• (Б) Остров, цены на котором равны K
L
выбирает единственно возможную технологию ,
которая «конкуретноспособна» (compatible) в
том смысле, что на данном острове издержки
при данной технологии – единичные, а на
любом другом острове издержки при
использовании данной технологии
превышают 1. (Использование технологии на
данном острове выгодно, а на любом другом
острове невыгодно).
p K  p L  1  pK K  pL L
0
K
0
0
L
0
0
0
• Для задачи
min { p K K  p L L }
0
0
( p K , p L )
( pK , pL )  
условием оптимальности первого
порядка является равенство
pL 1   K 0

0
 L
pK
и мы приходим к случаю А.
• (В) Остров выбирает технологию так,
чтобы выполнялся принцип
справедливости:
 pK
pL 
max min 
,

l
 bK l K bL l L 
pK
pL

bK l K bL l L
p L bL K

p K bK L
Выпуклость и
двойственность в
новом смысле (с
другими операциями):
А.М.Рубинов (1940-2006)
•
Rubinov A.M., Glover B.M. Duality for increasing positively
homogeneous functions and normal sets// Operations Res. – 1998, v.
12, n. 2. – pp. 105-123.
Rubinov A.M. Abstract convexity and global optimization. Dordreht,
Kluwer, 2000.
•
Matveenko V. On a dual representation of CRS function by use of
Leontief functions// Proceedings of the 1st International Conference
on Mathematical Economics, Non-Smooth Analysis, and Informatics.
Baku, Institute of Mathematics, 1997. – pp. 160-165.
• Матвеенко В.Д. «Анатомия» производственной
функции. Экономика и математические методы,
2009.
• Matveenko V. An anatomy of production functions: a
technological menu and a choice of the best
technology. Economics Bulletin, 2010.
• Матвеенко В.Д. Ресурсы, институты, инновации и
экономический рост: двойственный подход.
Финансы и бизнес, 2008.
• Матвеенко В.Д. Апрельская конференция ГУ-ВШЭ
2008 –сборник 2009.
• Суперлинейная функция
q( x  y )  q( x)  q ( y )
q(x)  q( x),   0
q( x )  inf rx,
r Rq
p( x)  sup sx,
sS p
Идемпотентная математика (экстремальная
алгебра, max-алгебра) – Воробьев (1967), Маслов,
Колокольцов (1994), Кривулин (2009)
• Супераддитивная в смысле максимума
Q( x  y )  Q( x)  Q( y )
• Субаддитивная в смысле минимума
P( x  y )  P( x )  P( y )
• ТЕОРЕМА 1. Следующие три утверждения
эквивалентны:
• Функция возрастающая;
• Функция субаддитивна в смысле минимума;
• Функция супераддитивна в смысле максимума.
Представление возрастающей
однородной функции
p( x )  max l , x  minl , x , x  R .
l 
n

l 
l , x  min li xi , l , x  max li xi
i 1,..., n
i 1,..., n
Сопряженная (полярная)
функция
• Для возрастающей положительно
однородной функции
1
p ( h) 
1 , h  0.
p( h )

x
1
1
1
1
2
1
n
 ( x , x ,..., x )
Приложения: Производственная
функция как результат выбора из
технологического меню
p( x)  max  l , x 
l
• Jones C.J. The shape of production function and the
direction of technical change. Quarterly Journal of
Economics, 2005.
Приложения: Взаимосвязь физических и
социальных технологий
Задача 1. Выбрать из технологического меню
технологию, максимизирующую выпуск
при заданном наборе ресурсов
F ( x)  max l , x , x  R
l i
n

Задача 2. Выбрать из технологического
меню технологию, минимизирующую
затраты информационного ресурса на
единицу выпуска при заданной
социальной технологии h
F  (h)  min l , h, h  Rn
l
Приложения: Взаимосвязь
показателей производительности
• Матвеенко А.В. 2009
• Рассматривается производственная функция вида
AF ( K , L)
Оказывается, что соответствующее
технологическое меню при конкретной TFP состоит
из всевозможных допустимых пар(l K , l L ) (Средняя
производительность капитала, Средняя
производительность труда). При TFP=1
технологическое меню представляет собой линию
единичного уровня сопряженной функции.
Сопряженная функция в произвольной точке (l K , l L )
показывает величину TFP, при которой становится
допустимой данная пара средних
производительностей
.
(l , l )
K
L
Приложения: Максиминный подход к
решению Нэша задачи о сделках
Matveenko V., Game Theory and
Management, 2010
• Задача о сделках (bargaining problem) – одна из наиболее
часто применяемых в приложениях задача теории игр.
• Обычно в реальности при выборе исхода (дележа)
задействованы многообразные экономические институты,
которые, как правило, непосредственно связаны с моральноэтическими оценками, которые получают участники в глазах
арбитра-общества (это может быть, например, мировое
сообщество, купеческая гильдия, коллектив предприятия и
т.д.)
• Сделки часто носят рутинный характер и сопровождаются
постоянными усилиями участников по формированию (с
использованием механизмов пропаганды) своих и чужих
репутационных морально-этических оценок, от которых
зависит исход конкретной сделки.
• При выработке оценок проявляется переговорная сила
участников.
Аксиомы – нормативный подход – участники
играют пассивную роль
«Программа Нэша» и Implementation позитивный подход – участники активны
Механизмы – «инженерная сторона
экономической теории»
Новый подход к решению Нэша: Роль общества
в принятии решений
Двухэтапная игра:
на 1-м этапе игроки формируют кривую весов
(морально-этических оценок)
на 2-м этапе арбитр выбирает набор весов и
исход, следуя эгалитаристскому принципу
Пример: противостояние политиков
Вариант: одновременно формируются веса и
исход (противостояние Горбачев-Ельцин)
Общество выступает в роли арбитра
учитывает морально-этические оценки
исповедует максиминный (роулсианский) принцип
справедливости
манипулируемо
Участники формируют морально-этические оценки,
используя все доступные средства (пропаганда через СМИ,
слухи)
Переговорная сила участников зависит от военной силы, от доступа
к СМИ, к власти, от пропагандистского таланта, от репутации
Морально-этические оценки неоднозначны. Хотя в каждый момент
действуют конкретные оценки, в целом, общество конформистское, и
имеется целый спектр оценок, которые могут при надобности быть
использованы. Соответствие между приемлемыми исходами и
векторами оценок.
Выбору исхода может предшествовать процесс изменения оценок и,
соответственно, предполагаемых исходов.
Общество поощряет те оценки (как и те исходы), которые
соответствуют максиминному принципу справедливости.
• Пусть имеется два участника, с
переговорными силами b1, b2.
• Они формируют кривую   {( p , p )}
1
2
состоящую из допустимых пар
репутационных оценок. Таким
образом, оценки неоднозначны, и
исход связан с выбором конкретной
пары оценок. Используя кривую,
арбитр находит
max min{ p1 x1 , p2 x2 }
x, p
где x  ( x1, x2 ) допустимые исходы – пары
полезностей участников.
• Формально это та же самая задача, что
построение «глобальной» производственной функции по технологическому меню.
• А кривая оценок (аналог технологического
меню) получается такой:
b2
b1
1
p2 p
 const
ТЕОРЕМА 3. Справедливо равенство:
max min{ p1 x1 , p 2 x 2 }  Ax1 x 2
b1
b2
( p1 , p2 )
Решение Нэша: на множестве дележей найти
b1
max Ax1 x 2
x
b2
Thank you
Спасибо
[email protected]