43 ÂÀÐÈÀÍÒÛ 4. Ìóõà ïåðåñåêàåò ãëàâíóþ îïòè÷åñêóþ îñü ñîáèðàþùåé ëèíçû íà ðàññòîÿ. α íèè d = 3F, ãäå F ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû, ïîä ìàëûì óãëîì α ê îñè ëèí@ çû ñî ñêîðîñòüþ v (ðèñ.9). Ïîä êàêèì óãëîì èçîáðàÐèñ. 9 æåíèå ìóõè ïåðåñåêàåò γ ãëàâíóþ îïòè÷åñêóþ îñü? ×åìó ðàâíà â ýòîò ìîìåíò ñêîðîñòü èçîáðàæåíèÿ ìóõè? Óêàçàíèå: äëÿ ìàëûõ óãëîâ sin α ≈ tg α ≈ α . α 5. Ãàììà-èçëó÷åíèåì íàL Sn çûâàåòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíîå èçëó÷åíèå, êîòîðîå âîçíèÐèñ. 10 êàåò ïðè ïåðåõîäå àòîìíûõ ÿäåð èç âîçáóæäåííûõ â áîëåå íèçêèå ýíåðãåòè÷åñêèå ñîñòîÿíèÿ. Äâèæóùååñÿ ñî ñêîðîñòüþ v0 = 64 ì ñ ÿäðî àòîìà îëîâà 119 Sn èñïóñêàåò γ -êâàíò ïîä óãëîì α = 60o ê íàïðàâëåíèþ ñâîåãî äâèæåíèÿ ñ ýíåðãèåé, ðàâíîé ýíåðãèè ïåðåõîäà ÿäðà èç âîçáóæäåííîãî â îñíîâíîå ñîñòîÿíèå (ðèñ.10). Íàéäèòå ýíåðãèþ γ -êâàíòà. Ýíåðãèÿ ïîêîÿ ÿäðà îëîâà ðàâíà 9 W0 = mÿ c2 = 113 Ãý ( 1 Ãý = 10 ý ). L Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Ì.Áàëàøîâ, Â.Ìîæàåâ, Þ.×åøåâ, Ì.Øàáóíèí ÷åðåç òî÷êè B1 , À, Ñ, ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ ÂÌ â òî÷êå Å. Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà ÅÌ. 7. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ óðàâíåíèå 1 ax − = x2 − x2 − 3x 2 èìååò ðîâíî äâà ðåøåíèÿ. Âàðèàíò 2 (ôàêóëüòåòû ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè, ýêîíîìèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé) 1. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî ( ) log 1 3x2 + x − 14 ≥ − 2 . 4 2. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 3 x −1 x 2 − 2x <2. 3. Íàéäèòå íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f ( x ) = x 2 − 10 x + 6 + 2 x 2 − 8x + 7 íà îòðåçêå [2; 7,5 ] . 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå (9 cos 2x − 7 ) ( ) 3 cos 2x + 5 sin x − 1 + sin x = 0 . 5. ×èñëà õ, ó óäîâëåòâîðÿþò ðàâåíñòâó 7x 2 − 4xy + 4 y2 = 12 . Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé èíñòèòóò ýëåêòðîíèêè è ìàòåìàòèêè (òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò) ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ Ïèñüìåííûé ýêçàìåí Âàðèàíò 1 (ôàêóëüòåòû ýëåêòðîíèêè, èíôîðìàòèêè è òåëåêîììóíèêàöèé, àâòîìàòèêè è âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè) 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå 3 x +1 − 4 ⋅ 3 − x = 4 . 2. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 3x − 5 ≥ x + 1. x−2 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå 5 cos 2x − 12 sin x + 11 = 0. 5 cos x − 3 4. Äàíà ôóíêöèÿ f ( x ) = 2x + 1 − x . Òðåáóåòñÿ: 1) ðåøèòü íåðàâåíñòâî f ( x ) > −7 ; 2) íàéòè ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè f ( x ). 5. ×èñëà õ, ó óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå óðàâíåíèé x + y = a + 3, xy = 5a − 1. Íàéäèòå, ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ à ñóììà x 2 + y 2 ïðèíèìàåò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå. 6. Äàí ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä ABCDA1B1C1D1 ( AB = 5 3 ; AD = 9; AA1 = 15 ). Òî÷êà Ì ëåæèò íà ðåáðå DD1 òàê, ÷òî D1M : MD = 1 : 2 . Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ìîæåò ïðèíèìàòü õ, à òàêæå ñóììà x 2 + y 2 . 6. Äëèíà ðåáðà êóáà ABCDA1B1C1D1 ðàâíà à. Ïóñòü Ì ñåðåäèíà ðåáðà ÀÂ. ×åðåç òî÷êè Ñ, À, Ì ïðîõîäèò ñôåðà, êîòîðàÿ êàñàåòñÿ ðåáðà B1C1 . Íàéäèòå ðàäèóñ ñôåðû. 7. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ à, ïðè êîòîðûõ íåðàâåíñòâî a2 sin 2 x + 16 ≤ −50 cos2 x + 80 cos x − 24 a sin x èìååò ðåøåíèå. ÔÈÇÈÊÀ Çàäà÷è óñòíîãî ýêçàìåíà 1. Òåëî ìàññîé m = 1 êã, áðîøåííîå ïîä óãëîì ê ãîðèçîíòó, óïàëî íà ðàññòîÿíèè s = 32 ì îò ìåñòà áðîñàíèÿ. Çíàÿ, ÷òî ìàêñèìàëüíàÿ âûñîòà, äîñòèãíóòàÿ òåëîì, ðàâíà Í = 5 ì, íàéäèòå ðàáîòó áðîñàíèÿ. Ñîïðîòèâëåíèå âîçäóõà íå ó÷èòûâàòü. 2. Äâà òåëà íà÷èíàþò ñêîëüçèòü ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ñ îäíîé è òîé æå ñêîðîñòüþ v0 = 2 ì/ñ. Ïðè êàêîì ìàêñèìàëüíîì íà÷àëüíîì ðàññòîÿíèè ìåæäó òåëàìè îíè ñòîëêíóòñÿ? Êîýôôèöèåíòû òðåíèÿ ìåæäó òåëàìè è ïîâåðõíîñòüþ, ïî êîòîðîé îíè äâèæóòñÿ, ðàâíû µ1 = 0,1 è µ2 = 0,2 ñîîòâåòñòâåííî. 3. Êàê äîëæíà ìåíÿòüñÿ â çàâèñèìîñòè îò ïîëîæåíèÿ ñòîëáà ñèëà, ïðèëîæåííàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè ñòîëáà ê îäíîìó èç åãî êîíöîâ, ÷òîáû ñòîëá ðàâíîìåðíî ïîâîðà÷èâàëñÿ âîêðóã äðóãîãî êîíöà, ïåðåõîäÿ èç ãîðèçîíòàëüíîãî ïîëîæåíèÿ â âåðòèêàëüíîå? Ìàññà ñòîëáà m = 250 êã. Ïîñòðîéòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè ýòîé ñèëû îò óãëà α , êîòîðûé ñòîëá îáðàçóåò ñ ãîðèçîíòîì. Êàêîâà ñèëà ðåàêöèè çåìëè ïðè α = 45o ? 4. Íà äíå öèëèíäðà, çàïîëíåííîãî âîçäóõîì, ëåæèò ìåòàëëè÷åñêèé øàðèê ìàññîé m = 4 ã è ðàäèóñîì r = 3 ñì. Òåìïåðàòóðà âîçäóõà t = 17 °Ñ. Äî êàêîãî äàâëåíèÿ íàäî