дискретная математика - МГТУ им. Н. Э. Баумана

ÄÈÑÊÐÅÒÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
ÈÓ5 | 4 ñåìåñòð
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ââåäåíèå
Ðàçâèòèå êëàññè÷åñêîé ( íåïðåðûâíîé\) ìàòåìàòèêè áûëî îáóñëîâëåíî
"
ïðåæäå âñåãî ðåøåíèåì çàäà÷ åñòåñòâîçíàíèÿ, ãëàâíûì îáðàçîì ôèçèêè.
Äèñêðåòíàÿ\ æå ìàòåìàòèêà ðàçâèâàëàñü â ñâÿçè ñ èçó÷åíèåì çàêîíîâ
"
è ïðàâèë ÷åëîâå÷åñêîãî ìûøëåíèÿ, ÷òî è îáóñëîâèëî åå ïðèìåíåíèå â
òåõ îáëàñòÿõ òåõíèêè, êîòîðûå ñâÿçàíû ñ ìîäåëèðîâàíèåì ìûøëåíèÿ, è â
ïåðâóþ î÷åðåäü â âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêå è ïðîãðàììèðîâàíèè.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Êóðñ ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ ðàçäåëîâ:
1. Ìíîæåñòâà è îòíîøåíèÿ.
2. Ýëåìåíòû êëàññè÷åñêîé îáùåé àëãåáðû.
3. Òåîðèÿ ãðàôîâ.
4. Ðåãóëÿðíûå ÿçûêè è êîíå÷íûå àâòîìàòû.
5. Áóëåâû ôóíêöèè.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ëåêöèÿ 1. ÝËÅÌÅÍÒÛ
ÒÅÎÐÈÈ ÌÍÎÆÅÑÒÂ
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
1.1. Ìíîæåñòâà
Ïîíÿòèå ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ èñõîäíûì, äëÿ íåãî íåëüçÿ äàòü ñòðîãîãî
ìàòåìàòè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ. Ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ.
Îñíîâîïîëîæíèê òåîðèè ìíîæåñòâ Ãåîðã Êàíòîð, ïîÿñíÿÿ èíòóèòèâíóþ
èäåþ ìíîæåñòâà, ïèñàë:
Ïîä ìíîãîîáðàçèåì èëè ìíîæåñòâîì ÿ ïîíèìàþ âîîáùå âñå ìíîãîå,
"
êîòîðîå âîçìîæíî ìûñëèòü êàê åäèíîå, ò.å. òàêóþ ñîâîêóïíîñòü îïðåäåëåííûõ ýëåìåíòîâ, êîòîðàÿ ïîñðåäñòâîì îäíîãî çàêîíà ìîæåò áûòü
ñîåäèíåíà â îäíî öåëîå.\
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ìíîæåñòâà áóäåì îáîçíà÷àòü áîëüøèìè áóêâàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà,
à èõ ýëåìåíòû | ìàëûìè, õîòÿ èíîãäà îò ýòîãî ñîãëàøåíèÿ ïðèäåòñÿ
îòñòóïàòü, òàê êàê ýëåìåíòàìè íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà ìîãóò áûòü äðóãèå
ìíîæåñòâà.
Òîò ôàêò, ÷òî ýëåìåíò a ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A , çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
a ∈ A.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Äëÿ ýëåìåíòîâ ýòèõ ìíîæåñòâ ìû èñïîëüçóåì äâà îñíîâíûõ âèäà
îáîçíà÷åíèé: êîíñòàíòû è ïåðåìåííûå.
Êîíñòàíòà ñ îáëàñòüþ çíà÷åíèé A îáîçíà÷àåò ôèêñèðîâàííûé ýëåìåíò
ìíîæåñòâà A .
Íàïðèìåð, îáîçíà÷åíèÿ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (â äåñÿòè÷íîé ñèñòåìå
ñ÷èñëåíèÿ): 0 ; 2 ; 7,34 .
Äëÿ äâóõ êîíñòàíò a è b ñ îáëàñòüþ çíà÷åíèé A áóäåì ïèñàòü a = b ,
ïîíèìàÿ ïîä ýòèì ñîâïàäåíèå îáîçíà÷àåìûõ èìè ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà
A.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ïåðåìåííîå ñ îáëàñòüþ çíà÷åíèé A îáîçíà÷àåò ïðîèçâîëüíûé, çàðàíåå íå îïðåäåëåííûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà A .Ïåðåìåííîå x ïðîáåãàåò
ìíîæåñòâî A èëè ïåðåìåííîå x ïðèíèìàåò ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ íà
ìíîæåñòâå A .
Ìîæíî ôèêñèðîâàòü çíà÷åíèå ïåðåìåííîãî x , çàïèñàâ x = a , ãäå a |
êîíñòàíòà ñ òîé æå îáëàñòüþ çíà÷åíèé, ÷òî è x .Âìåñòî ïåðåìåííîãî x
ïîäñòàâëåíî åãî êîíêðåòíîå çíà÷åíèå a , èëè ïðîèçâåäåíà ïîäñòàíîâêà a
âìåñòî x , èëè ïåðåìåííîå x ïðèíÿëî çíà÷åíèå a .
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ðàâåíñòâî ïåðåìåííûõ x = y : âñÿêèé ðàç, êîãäà ïåðåìåííîå x
ïðèíèìàåò ïðîèçâîëüíîå çíà÷åíèå a , ïåðåìåííîå y ïðèíèìàåò òî æå
ñàìîå çíà÷åíèå a , è íàîáîðîò.
Ðàâíûå ïåðåìåííûå ñèíõðîííî\ ïðèíèìàþò âñåãäà îäíè è òå æå
"
çíà÷åíèÿ.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Êîíñòàíòû è ïåðåìåííûå, îáëàñòü çíà÷åíèé êîòîðûõ åñòü íåêîòîðîå
÷èñëîâîå ìíîæåñòâî íàçûâàþò:
N | íàòóðàëüíûìè.
Z | öåëûìè.
Q | ðàöèîíàëüíûìè.
R | äåéñòâèòåëüíûìè.
C |êîìïëåêñíûìè.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ëîãè÷åñêîé ñèìâîëèêîé,
ïîçâîëÿþùåé êîðîòêî, çàïèñûâàòü âûñêàçûâàíèÿ.
Ïîíÿòèå âûñêàçûâàíèÿ íå îïðåäåëÿåòñÿ. Óêàçûâàåòñÿ òîëüêî, ÷òî âñÿêîå
âûñêàçûâàíèå ìîæåò áûòü èñòèííûì èëè ëîæíûì (íå îäíîâðåìåííî!).
Äëÿ îáðàçîâàíèÿ èç óæå èìåþùèõñÿ âûñêàçûâàíèé íîâûõ âûñêàçûâàíèé
èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè (èëè ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè).
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
1. Äèçúþíêöèÿ ∨ : âûñêàçûâàíèå P ∨ Q
P èëè Q \
"
èñòèííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èñòèííî õîòÿ áû îäíî èç âûñêàçûâàíèé
P è Q.
2. Êîíúþíêöèÿ ∧ : âûñêàçûâàíèå P ∧ Q
P è Q\
"
èñòèííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èñòèííû îáà âûñêàçûâàíèÿ P è Q .
3. Îòðèöàíèå ¬ : âûñêàçûâàíèå ¬P
íå P \
"
èñòèííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà P ëîæíî.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
4. Èìïëèêàöèÿ ⇒ : âûñêàçûâàíèå P ⇒ Q
åñëè P , òî Q \ èëè P âëå÷åò Q \
"
"
èñòèííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èñòèííî âûñêàçûâàíèå Q èëè îáà
âûñêàçûâàíèÿ ëîæíû.
5. Ýêâèâàëåíòíîñòü (èëè ðàâíîñèëüíîñòü) ⇔ : âûñêàçûâàíèå P ⇔ Q
P , åñëè è òîëüêî åñëè Q \
"
èñòèííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îáà âûñêàçûâàíèÿ P è Q ëèáî
îäíîâðåìåííî èñòèííû, ëèáî îäíîâðåìåííî ëîæíû.
Ëþáûå äâà âûñêàçûâàíèÿ P è Q , òàêèå, ÷òî èñòèííî P ⇔ Q , íàçûâàþò
ëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûìè èëè ðàâíîñèëüíûìè.
Î÷åðåäíîñòü âûïîëíåíèÿ âñåõ îïåðàöèé îïðåäåëÿåòñÿ ðàññòàíîâêîé ñêîáîê.Ïðè îòñóòñòâèè ñêîáîê ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé îïðåäåëÿåòñÿ
ñîãëàøåíèåì î ïðèîðèòåòàõ\.
"
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Îïåðàöèÿ îòðèöàíèÿ âñåãäà èìååò âûñøèé ïðèîðèòåò, ò.å. âûïîëíÿåòñÿ
ïåðâîé (åå â ñêîáêè îáû÷íî íå çàêëþ÷àþò).
Âòîðîé âûïîëíÿåòñÿ îïåðàöèÿ êîíúþíêöèè, çàòåì äèçúþíêöèè. Îïåðàöèè èìïëèêàöèè è ýêâèâàëåíòíîñòè èìåþò ðàâíûé ïðèîðèòåò è âûïîëíÿþòñÿ â ïîñëåäíþþ î÷åðåäü.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ïðèìåðû.
Âûñêàçûâàíèå (¬P ) ∨ Q îáû÷íî çàïèñûâàþò áåç ñêîáîê: ¬P ∨ Q .
Ýòî âûñêàçûâàíèå åñòü äèçúþíêöèÿ äâóõ âûñêàçûâàíèé: ïåðâîå ÿâëÿåòñÿ
îòðèöàíèåì P , à âòîðîå | Q .
Âûñêàçûâàíèå ¬(P ∨ Q) åñòü îòðèöàíèå äèçúþíêöèè âûñêàçûâàíèé P
è Q.
Âûñêàçûâàíèå
¬P ∧ Q ∨ ¬Q ∧ P ⇒ ¬Q
ïîñëå ðàññòàíîâêè ñêîáîê â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèîðèòåòàìè ïðèìåò âèä
(((¬P ) ∧ Q) ∨ ((¬Q) ∧ P )) ⇒ (¬Q).
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ èñòèííîñòè èëè ëîæíîñòè ñëîæíîãî âûñêàçûâàíèÿ â
çàâèñèìîñòè îò èñòèííîñòè èëè ëîæíîñòè âõîäÿùèõ â íåãî âûñêàçûâàíèé
èñïîëüçóþò òàáëèöû èñòèííîñòè.
 ïåðâûõ äâóõ ñòîëáöàõ òàáëèöû çàïèñûâàþò âñå âîçìîæíûå íàáîðû
çíà÷åíèé, êîòîðûå ìîãóò ïðèíèìàòü âûñêàçûâàíèÿ P è Q .
Èñòèííîñòü âûñêàçûâàíèÿ îáîçíà÷àþò áóêâîé È\, à ëîæíîñòü | áóêâîé
"
Ë\. Îñòàëüíûå ñòîëáöû çàïîëíÿþò ñëåâà íàïðàâî.
"
Òàê äëÿ êàæäîãî íàáîðà çíà÷åíèé P è Q íàõîäÿò ñîîòâåòñòâóþùèå
çíà÷åíèÿ âûñêàçûâàíèé.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Òàáëèöû èñòèííîñòè ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé
P Q P ∨Q
P Q P ∧Q
P Q P ⇒Q
P Q P ⇔Q
Ë
Ë
È
È
Ë
Ë
È
È
Ë
Ë
È
È
Ë
Ë
È
È
Ë
È
Ë
È
Ë
È
È
È
Ë
È
Ë
È
Ë
Ë
Ë
È
P
¬P
Ë
È
È
Ë
Ë
È
Ë
È
È
È
Ë
È
Ë
È
Ë
È
È
Ë
Ë
È
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ðàññìîòðèì ñëîæíîå âûñêàçûâàíèå
(¬P ∧ Q) ⇒ (¬Q ∧ P ).
Îáîçíà÷èì âûñêàçûâàíèå ¬P ∧ Q ÷åðåç A , âûñêàçûâàíèå ¬Q ∧ P
÷åðåç B , à èñõîäíîå âûñêàçûâàíèå çàïèøåì â âèäå A ⇒ B .
Òàáëèöà èñòèííîñòè ýòîãî âûñêàçûâàíèÿ ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ ñòîëáöîâ.
P , Q , ¬P , ¬Q , A , B è A ⇒ B .
P Q ¬P ¬Q A B A ⇒ B
Ë
Ë
È
È
Ë
È
Ë
È
È
È
Ë
Ë
È
Ë
È
Ë
Ë
È
Ë
Ë
Ë
Ë
È
Ë
È
Ë
È
È
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ñëîæíûå âûñêàçûâàíèÿ îáðàçóþòñÿ íå òîëüêî ïîñðåäñòâîì ëîãè÷åñêèõ
ñâÿçîê, íî è ñ ïîìîùüþ ïðåäèêàòîâ è êâàíòîðîâ.
Ïðåäèêàò åñòü âûñêàçûâàíèå, ñîäåðæàùåå îäíî èëè íåñêîëüêî ïåðåìåííûõ.
Íàïðèìåð, x åñòü ÷åòíîå ÷èñëî\ èëè
"
x åñòü ñòóäåíò
ÌÃÒÓ èì. Áàóìàíà, ïîñòóïèâøèé â 2012 ã.\.
"
 ïåðâîì ïðåäèêàòå x åñòü öåëî÷èñëåííîå ïåðåìåííîå, âî âòîðîì |
ïåðåìåííîå, ïðîáåãàþùåå ìíîæåñòâî ÷åëîâå÷åñêèõ èíäèâèäîâ\.
"
Ïðåäèêàòû, ñîäåðæàùèå íåñêîëüêî ïåðåìåííûõ: x äåëèòñÿ íà y \, x
"
"
ìåíüøå y \.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ïðåäèêàòû çàïèñûâàþò â âèäå P (x) , Q(x, y) , R(x, y, z) , â ñêîáêàõ
ïåðå÷èñëÿþò âñå ïåðåìåííûå, âõîäÿùèå â äàííûé ïðåäèêàò.
Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòî êàæäîãî ïåðåìåííîãî, âõîäÿùåãî â ïðåäèêàò
P (x1, . . . , xn) , êîíêðåòíîå çíà÷åíèå, ò.å. ôèêñèðóÿ çíà÷åíèÿ x1 =
a1, . . . , xn = an , ãäå a1, . . . , an | íåêîòîðûå êîíñòàíòû ñ ñîîòâåòñòâóþùåé îáëàñòüþ çíà÷åíèé, ïîëó÷àåì âûñêàçûâàíèå, íå ñîäåðæàùåå
ïåðåìåííûõ.
Íàïðèìåð,
2 åñòü ÷åòíîå ÷èñëî\,
"
Èñààê Íüþòîí åñòü ñòóäåíò ÌÃÒÓ èì. Áàóìàíà, ïîñòóïèâøèé â 2012 ã.\,
"
5 äåëèòñÿ íà 7\.
"
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
 çàâèñèìîñòè îò òîãî, èñòèííî èëè ëîæíî ïîëó÷åííîå òàêèì îáðàçîì
âûñêàçûâàíèå, ãîâîðÿò, ÷òî ïðåäèêàò P âûïîëíÿåòñÿ èëè íå âûïîëíÿåòñÿ
íà íàáîðå çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ x1 = a1 , . . . , xn = an .
Ïðåäèêàò, âûïîëíÿþùèéñÿ íà ëþáîì íàáîðå âõîäÿùèõ â íåãî ïåðåìåííûõ, íàçûâàþò òîæäåñòâåííî èñòèííûì.
Ïðåäèêàò, íå âûïîëíÿþùèéñÿ íè íà îäíîì íàáîðå çíà÷åíèé âõîäÿùèõ â
íåãî ïåðåìåííûõ, | òîæäåñòâåííî ëîæíûì.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Âûñêàçûâàíèå èç ïðåäèêàòà ìîæíî ïîëó÷àòü íå òîëüêî ïîäñòàíîâêîé
çíà÷åíèé åãî ïåðåìåííûõ, íî è ïîñðåäñòâîì êâàíòîðîâ. Ââîäÿò äâà
êâàíòîðà | ñóùåñòâîâàíèÿ è âñåîáùíîñòè, îáîçíà÷àåìûå ∃ è ∀
ñîîòâåòñòâåííî.
Âûñêàçûâàíèå (∀x ∈ A)P (x) èñòèííî, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðåäèêàò P (x) âûïîëíÿåòñÿ äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîãî x .(÷èòàåòñÿ:
äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà x , ïðèíàäëåæàùåãî ìíîæåñòâó A ( äëÿ âñåõ
"
"
x ∈ A ) èñòèííî P (x) \).
Âûñêàçûâàíèå (∃x ∈ A)P (x) èñòèííî, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íà íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííîãî x âûïîëíÿåòñÿ ïðåäèêàò
P (x) .(÷èòàåòñÿ: ñóùåñòâóåò ( íàéäåòñÿ) òàêîé ýëåìåíò x ìíîæåñòâà
A , ÷òî èñòèííî P"(x) \).
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ïðè îáðàçîâàíèè âûñêàçûâàíèÿ èç ïðåäèêàòà ïîñðåäñòâîì êâàíòîðà
ãîâîðÿò, ÷òî ïåðåìåííîå ïðåäèêàòà ñâÿçûâàåòñÿ êâàíòîðîì. îáùåì
ñëó÷àå èñïîëüçóþò ôîðìû âûñêàçûâàíèé âèäà
(Q1x1 ∈ A1)(Q2x2 ∈ A2) . . . (Qnxn ∈ An)P (x1, x2, . . . , xn),
ãäå âìåñòî êàæäîé áóêâû Q ñ èíäåêñîì ìîæåò áûòü ïîäñòàâëåí ëþáîé
èç êâàíòîðîâ ∀ èëè ∃ .
Íàïðèìåð, âûñêàçûâàíèå (∀x ∈ A)(∃y ∈ B)P (x, y) ÷èòàåòñÿ òàê: äëÿ
"
âñÿêîãî x ∈ A ñóùåñòâóåò y ∈ B , òàêîé, ÷òî èñòèííî P (x, y) \.
Ìàòåìàòè÷åñêèå òåîðåìû ìîæíî çàïèñàòü â ïîäîáíîé ôîðìå:
(∃ lim f (x) = b1) ∧ (∃ lim g(x) = b2) ⇒ (∃ lim f (x)g(x) = b1b2)
x→a
x→a
x→a
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ìíîæåñòâî ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè ýëåìåíòàìè.
Ñïîñîáû çàäàíèÿ ìíîæåñòâ
Äëÿ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà, ÷èñëî ýëåìåíòîâ êîòîðîãî îòíîñèòåëüíî íåâåëèêî, ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí ñïîñîá íåïîñðåäñòâåííîãî ïåðå÷èñëåíèÿ
ýëåìåíòîâ.
Ýëåìåíòû êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ïåðå÷èñëÿþò â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ â
ïðîèçâîëüíîì ôèêñèðîâàííîì ïîðÿäêå {1, 3, 5} .
Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî ïîëíîñòüþ îïðåäåëåíî ñâîèìè ýëåìåíòàìè, òî
ïðè çàäàíèè êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ïîðÿäîê, â êîòîðîì ïåðå÷èñëåíû åãî
ýëåìåíòû, íå èìååò çíà÷åíèÿ.
Çàïèñè {1, 3, 5} , {3, 1, 5} , {5, 3, 1} è ò.ä. âñå çàäàþò îäíî è òî æå
ìíîæåñòâî.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
 îáùåì ñëó÷àå äëÿ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà èñïîëüçóþò ôîðìó çàïèñè
{a1, . . . , an} .
Òîãäà êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, çàäàííîå çàïèñüþ {a1 , . . . , an } , ñîñòîèò èç
n ýëåìåíòîâ. Åãî íàçûâàþò òàêæå n -ýëåìåíòíûì ìíîæåñòâîì.
Ñïîñîá çàäàíèÿ ìíîæåñòâà ïóòåì íåïîñðåäñòâåííîãî ïåðå÷èñëåíèÿ åãî
ýëåìåíòîâ ïðèìåíèì â âåñüìà óçêîì äèàïàçîíå êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Íàèáîëåå îáùèì ñïîñîáîì çàäàíèÿ êîíêðåòíûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ
óêàçàíèå íåêîòîðîãî ñâîéñòâà, êîòîðûì äîëæíû îáëàäàòü âñå ýëåìåíòû
îïèñûâàåìîãî ìíîæåñòâà, è òîëüêî îíè.
Ïóñòü ïåðåìåííîå x ïðîáåãàåò íåêîòîðîå ìíîæåñòâî U , íàçûâàåìîå
óíèâåðñàëüíûì ìíîæåñòâîì.
Ñâîéñòâî, êîòîðûì îáëàäàþò èñêëþ÷èòåëüíî ýëåìåíòû äàííîãî ìíîæåñòâà A , ìîæåò áûòü âûðàæåíî ïîñðåäñòâîì ïðåäèêàòà P (x) , âûïîëíÿþùåãîñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïåðåìåííîå x ïðèíèìàåò
ïðîèçâîëüíîå çíà÷åíèå èç ìíîæåñòâà A .
P (x) èñòèííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âìåñòî x ïîäñòàâëÿåòñÿ
êîíñòàíòà a ∈ A .
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ïðåäèêàò P íàçûâàþò â ýòîì ñëó÷àå õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ïðåäèêàòîì
ìíîæåñòâà A , à ñâîéñòâî, âûðàæàåìîå ñ ïîìîùüþ ýòîãî ïðåäèêàòà, | õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ñâîéñòâîì èëè êîëëåêòèâèçèðóþùèì ñâîéñòâîì.
Ìíîæåñòâî, çàäàííîå ÷åðåç õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ïðåäèêàò, çàïèñûâàåòñÿ
â ñëåäóþùåé ôîðìå:
A = {x: P (x)} .
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Íàïðèìåð,
A = {x: x åñòü ÷åòíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî}
îçíà÷àåò, ÷òî A åñòü ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ òàêèõ ýëåìåíòîâ x ,
"
÷òî êàæäîå èç íèõ åñòü ÷åòíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî\
Ïðåäèêàò, çàäàþùèé êîëëåêòèâèçèðóþùåå ñâîéñòâî, ìîæåò áûòü òîæäåñòâåííî ëîæíûì.
Ìíîæåñòâî, îïðåäåëåííîå òàêèì îáðàçîì, íå áóäåò èìåòü íè îäíîãî
ýëåìåíòà.
Åãî íàçûâàþò ïóñòûì ìíîæåñòâîì è îáîçíà÷àþò ∅ .
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Òîæäåñòâåííî èñòèííûé õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ïðåäèêàò çàäàåò óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî.
Êîíêðåòíîå ñîäåðæàíèå ïîíÿòèÿ óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà îïðåäåëÿåòñÿ ðåøàåìîé çàäà÷åé .
Çàôèêñèðîâàâ óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî, ìû òåì ñàìûì ôèêñèðóåì
îáëàñòü çíà÷åíèé âñåõ ôèãóðèðóþùèõ â íàøèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàññóæäåíèÿõ ïåðåìåííûõ è êîíñòàíò.
 ýòîì ñëó÷àå ìîæíî íå óêàçûâàòü â êâàíòîðàõ òî ìíîæåñòâî, êîòîðîå
ïðîáåãàåò ñâÿçûâàåìîå êâàíòîðîì ïåðåìåííîå.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè
Äëÿ ëþáûõ äâóõ ìíîæåñòâ A è B îïðåäåëåíû íîâûå ìíîæåñòâà, íàçûâàåìûå îáúåäèíåíèåì, ïåðåñå÷åíèåì, ðàçíîñòüþ è ñèììåòðè÷åñêîé
ðàçíîñòüþ.
• A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} | îáúåäèíåíèå A è B åñòü
ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ x , ÷òî x ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì õîòÿ áû îäíîãî
èç ìíîæåñòâ A , B ;
• A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} | ïåðåñå÷åíèå A è B åñòü
ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ x , ÷òî x | îäíîâðåìåííî ýëåìåíò A è
ýëåìåíò B ;
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
• A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈
/ B} | ðàçíîñòü A è B åñòü ìíîæåñòâî
âñåõ òàêèõ x , ÷òî x | ýëåìåíò A , íî íå ýëåìåíò B ( x ∈
/ B );
• A 4 B = (A \ B) ∪ (B \ A) , à ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü A è B |
ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ x , ÷òî x | ýëåìåíò A , íî íå ýëåìåíò B
èëè x | ýëåìåíò B , íî íå ýëåìåíò A .
Ôèêñèðóÿ óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî U , ìû ìîæåì îïðåäåëèòü äîïîëíåíèå A ìíîæåñòâà A .Äîïîëíåíèå ìíîæåñòâà A | ýòî ìíîæåñòâî âñåõ
ýëåìåíòîâ óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà, íå ïðèíàäëåæàùèõ A .
A = U \A.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ïóñòü ìíîæåñòâî A çàäàíî ïîñðåäñòâîì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïðåäèêàòà
P
A = {x: P (x)} ,
à ìíîæåñòâî B | ïîñðåäñòâîì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïðåäèêàòà Q
B = {x: Q(x)} .
Òîãäà
A ∪ B = {x: P (x) ∨ Q(x)} .
A ∩ B = {x: P (x) ∧ Q(x)} .
A \ B = {x: P (x) ∧ ¬Q(x)} .
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ïîäìíîæåñòâà
Ìíîæåñòâî B åñòü ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà A , åñëè âñÿêèé ýëåìåíò
B åñòü ýëåìåíò A :
B⊆A
Ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî B ñîäåðæèòñÿ â A , B âêëþ÷åíî â A , A âêëþ÷àåò
B (èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèå B ⊆ A ).
Ïóñòîå ìíîæåñòâî åñòü ïîäìíîæåñòâî ëþáîãî ìíîæåñòâà.
Åñëè ôèêñèðîâàíî íåêîòîðîå óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî, êàæäîå ðàññìàòðèâàåìîå ìíîæåñòâî åñòü åãî ïîäìíîæåñòâî.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Åñëè A = {x: P (x)} , B = {x: Q(x)} , òî B ⊆ A òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà âûñêàçûâàíèå Q(x) ⇒ P (x) òîæäåñòâåííî èñòèííî.
Äâà ìíîæåñòâà A è B ñ÷èòàþò ðàâíûìè, åñëè ëþáîé ýëåìåíò x
ìíîæåñòâà A ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà B è íàîáîðîò.
Ìíîæåñòâî A ðàâíî ìíîæåñòâó B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A åñòü
ïîäìíîæåñòâî B è íàîáîðîò, ò.å.
A = B ⇔ ((A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)).
(1.1)
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ôîðìóëà (1.1) ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé äëÿ ïîñòðîåíèÿ äîêàçàòåëüñòâ î ðàâåíñòâå
ìíîæåñòâ.
×òîáû äîêàçàòü ðàâåíñòâî äâóõ ìíîæåñòâ X è Y , ò.å. ÷òî X = Y ,
äîñòàòî÷íî äîêàçàòü äâà âêëþ÷åíèÿ X ⊆ Y è Y ⊆ X .
1. Äîêàçàòü, ÷òî èç ïðåäïîëîæåíèÿ x ∈ X (äëÿ ïðîèçâîëüíîãî x )
ñëåäóåò, ÷òî x ∈ Y .
2. Äîêàçàòü, ÷òî èç ïðåäïîëîæåíèÿ x ∈ Y ñëåäóåò, ÷òî x ∈ X .
Òàêîé ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûõ ðàâåíñòâ íàçûâàþò ìåòîäîì äâóõ âêëþ÷åíèé.
Åñëè B ⊆ A , íî B 6= A , òî ïèøóò B ⊂ A è B íàçûâàþò ñòðîãèì
ïîäìíîæåñòâîì
(èëè ñîáñòâåííûì ïîäìíîæåñòâîì) ìíîæåñòâà A , à ñèìâîë ⊂ |
ñèìâîëîì ñòðîãîãî âêëþ÷åíèÿ.
.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Äëÿ âñÿêîãî ìíîæåñòâà A ìîæåò áûòü îáðàçîâàíî ìíîæåñòâî âñåõ
ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà A .
Åãî îáîçíà÷àþò 2A :
2A = {X: X ⊆ A} .
Ýòî ìíîæåñòâî ÷àñòî íàçûâàþò áóëåàíîì ìíîæåñòâà A
Áóëåàí ìíîæåñòâà {a, b} ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ ìíîæåñòâ ∅ , {a} , {b} ,
{a, b} , ò.å. 2{a, b} = {∅, {a}, {b}, {a, b}} .
Áóëåàí 2N ñîñòîèò èç âñåõ âîçìîæíûõ, êîíå÷íûõ èëè áåñêîíå÷íûõ,
ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà N .
Òàê, ∅ ∈ 2N , {5} ∈ 2N , âîîáùå äëÿ ëþáîãî n ìíîæåñòâî {n} ∈ 2N ,
ìíîæåñòâî {1, . . . , n} ∈ 2N , {n: n = 2k, k = 1, 2, . . .} ∈ 2N è ò.ï.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå òîæäåñòâà.
1. A ∪ B = B ∪ A ;
2. A ∩ B = B ∩ A ;
3. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C ;
4. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C ;
5. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ;
6. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ;
7. A ∪ B = A ∩ B ;
8. A ∩ B = A ∪ B ;
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
9. A ∪ ∅ = A ;
10. A ∩ ∅ = ∅ ;
11. A ∩ U = A ;
12. A ∪ U = U ;
13. A ∪ A = U ;
14. A ∩ A = ∅ ;
15. A ∪ A = A ;
16. A ∩ A = A ;
17. A = A ;
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
18. A \ B = A ∩ B ;
19. A 4 B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) ;
20. (A 4 B) 4 C = A 4(B 4 C) ;
21. A 4 B = B 4 A ;
22. A ∩ (B 4 C) = (A ∩ B) 4(A ∩ C) .
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Äîêàæåì òîæäåñòâî A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C ;
Ïîêàæåì ïåðâîå âêëþ÷åíèå
x ∈ (A ∩ (B ∩ C)) ⇒
⇒ (x ∈ A) ∧ (x ∈ (B ∩ C)) ⇒
⇒ (x ∈ A) ∧ ((x ∈ B) ∧ (x ∈ C)) ⇒
⇒ ((x ∈ A) ∧ (x ∈ B)) ∧ (x ∈ C) ⇒
⇒ (x ∈ (A ∩ B)) ∧ (x ∈ C) ⇒
⇒ x ∈ ((A ∩ B) ∩ C)
Ïåðâîå âêëþ÷åíèå óñòàíîâëåíî.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ïîêàæåì âòîðîå âêëþ÷åíèå.
x ∈ ((A ∩ B) ∩ C)
⇒ (x ∈ (A ∩ B)) ∧ (x ∈ C) ⇒
⇒ ((x ∈ A) ∧ (x ∈ B)) ∧ (x ∈ C) ⇒
⇒ (x ∈ A) ∧ ((x ∈ B) ∧ (x ∈ C)) ⇒
⇒ (x ∈ A) ∧ (x ∈ (B ∩ C)) ⇒
⇒ x ∈ (A ∩ (B ∩ C)) ⇒
Îáà âêëþ÷åíèÿ èìåþò ìåñòî, òîæäåñòâî äîêàçàíî.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûõ òîæäåñòâ ìîãóò áûòü
èñïîëüçîâàíû:
ìåòîä õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé (ñì. ñåìèíàð 1);
ìåòîä ýêâèâàëåíòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé.
Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûõ òîæäåñòâ ìåòîäîì ýêâèâàëåíòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé èñïîëüçóþòñÿ ðàíåå äîêàçàííûå òîæäåñòâà
äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ëåâîé ÷àñòè ê ïðàâîé èëè íàîáîðîò.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Äîêàæåì ìåòîäîì ýêâèâàëåíòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé òîæäåñòâî
A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C,
ïîëüçóÿñü òîæäåñòâàìè 1{19. Ïðåîáðàçóåì ëåâóþ ÷àñòü ê ïðàâîé:
A \ (B ∪ C) =
= A ∩ (B ∪ C) =
= A ∩ (B ∩ C) =
= (A ∩ B) ∩ C =
= (A \ B) ∩ C =
= (A \ B) \ C
Òîæäåñòâî äîêàçàíî.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit