Ÿ7. Основные методы решения уравнений с одной переменной

Ÿ7. Îñíîâíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñ îäíîé ïåðåìåííîé.
Âûðàæåíèå âèäà f (x) = g(x), ãäå f (x) è g(x) çàäàííûå ÷èñëîâûå ôóíêöèè, íàçûâàåòñÿ
óðàâíåíèåì ñ íåèçâåñòíûì x. Êîðíåì, èëè ðåøåíèåì, ýòîãî óðàâíåíèÿ íàçûâàåòñÿ ëþáîå ÷èñëîâîå
çíà÷åíèå âåëè÷èíû x, ïðè êîòîðîì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ îðåäåëåíû è ïðèíèìàþò îäèíàêîâûå
çíà÷åíèÿ.
Ðåøèòü óðàâíåíèå îçíà÷àåò íàéòè âñå åãî êîðíè, åñëè îíè ñóùåñòâóþò, èëè äîêàçàòü, ÷òî
êîðíåé ó íåãî íåò. Îáû÷íî ïðîöåññ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â ïîñëåäîâàòåëüíîì ïåðåõîäå
ê ðàâíîñèëüíûì óðàâíåíèÿì ½áîëåå ïðîñòîãî âèäà“ . Óðàâíåíèÿ íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè, åñëè
ìíîæåñòâà èõ êîðíåé ñîâàäàþò.
Óðàâíåíèÿ xx+3−4 = 0 è x2 − 4 = 0 ðàâíîñèëüíû (èõ êîðíè −2 è 2), à óðàâíåíèÿ
x −4
= 0 è x2 − 4 = 0 íå ðàâíîñèëüíû, òàê êàê x = −2 êîðåíü âòîðîãî óðàâíåíèÿ, íî íå êîðåíü
x+2
ïåðâîãî.
Óðàâíåíèÿ ìîæíî ðåøàòü ñ ïîìîùüþ çàìåíû ïåðåìåííîé.
Ðåøèòü óðàâíåíèå
2
Ïðèìåð.
2
Çàäà÷à 1.
29
x2 + 1 2x + 3
+ 2
= .
2x + 3 x + 1
10
x +1
Îáîçíà÷èì 2x+3
÷åðåç y, ïîëó÷èì y + y1 = 2910 . Çàìåòèì, ÷òî y = 0 íå ÿâëÿåòñÿ
êîðíåì óðàâíåíèÿ, è äîìíîæèì íà 10y: 10y2 + 10 = 29y, òî åñòü 10y2 − 29y + 10 = 0. Êîðíè ýòîãî
óðàâíåíèÿ: y = 25 è y = 52 . Çàìåòèì, ÷òî x 6= −1.5 è íàéäåì x:
2
Ðåøåíèå.

"
x2 +1
2x+3
x2 +1
2x+3
Îòâåò:
=
=
2
5
5
2
⇔
1, −0.2, 5 ±
Çàäà÷à 2.
2
5x + 5 = 4x + 6
⇔
2x2 + 2 = 10x + 15
√
x=1

x = −0.2√
5x − 4x − 1 = 0
⇔
2
 x = 5 − 51
2x − 10x − 13 = 0
√
x = 5 + 51
2
51.
Ðåøèòü óðàâíåíèå
x2 +
1
1
+ 5 = 4(x + ).
2
x
x
Ïîïðîáóåì ïîäîáðàòü çàìåíó ïåðåìåííîé. Çàìåòèì, ÷òî (x + x1 )2
Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé t = x + x1 . Òîãäà óðàâíåíèå ïðèìåò âèä
Ðåøåíèå.
= x2 + 2 +
1
x2
.
t2 + 3 = 4t.
Êîðíÿìè ýòîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà 1 è 3. Âåðíåìñÿ ê ïåðåìåííîé x. Ïðè t = 1 èìååì
x + x1 = 1, èëè x2 − x + 1 = 0. Ýòî óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé.
Ïðè√ t = 3 èìååì x + x1 = 3, èëè x2 − 3x + 1 = 0. Êîðíÿìè ýòîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà
x = 3±2 5 .
√
3± 5
.
2
Ðåøèòü óðàâíåíèå
Îòâåò:
Çàäà÷à 3.
x2 48
+ 2 = 10
3
x
1
x 4
−
3 x
.
Ðåøåíèå.
Ïîïðîáóåì ïðåîáðàçîâàòü óðàâíåíèå è ïîäîáðàòü çàìåíó ïåðåìåííîé:
3
Çàìåòèì, ÷òî x3 − x4
ïðèíèìàåò âèä
2
=
x 2
3
−
x 2
3
8
3
+
2
4
x 4
+3
= 10
−
.
x
3 x
4 2
x
. Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé y
8
3 y +
3
òî åñòü
2
=
x
3
−
4
x
. Óðàâíåíèå
= 10y,
3y 2 − 10y + 8 = 0.
Åãî êîðíè y = 2 è y = 43 . Ñëåäîâàòåëüíî, x3 − x4 = 2 √èëè x3 − x4 = 43 . Òî åñòü x2 − 6x − 12 = 0 èëè
x2 − 4x − 12 = 0. Êîðíè
√ ïåðâîãî óðàâíåíèÿ x = 3 ± 21, êîðíè âòîðîãî x = −2 è x = 6.
−2, 6, 3 ± 21.
Ðåøèòü óðàâíåíèå
Îòâåò:
Çàäà÷à 4.
4x2
4x
3x
+ 2
= 1.
− 8x + 7 4x − 10x + 7
Çàìåòèì ñõîäñòâèå â äðîáÿõ è, îòìåòèâ, ÷òî x = 0 íå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ,
ïîäåëèì ÷èñëèòåëè è çíàìåíàòåëè äðîáåé íà x:
Ðåøåíèå.
4
4x − 8 +
7
x
+
3
4x − 10 +
7
x
= 1.
Òåïåðü ñòàëî âèäíî, ÷òî ñëåäóåò ñäåëàòü çàìåíó ïåðåìåííîé y = 4x + x7 . Óðàâíåíèå ïðèíèìàåò
âèä
4
3
+
= 1.
y − 8 y − 10
Ïåðåíîñèì âñå â ëåâóþ ÷àñòü, ïðèâîäèì ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, ðåøàåì óðàâíåíèå. Ïîëó÷àåì
y = 9 è y = 16.
Âåðíåìñÿ ê ïåðåìåííîé x: ïðè y = 9 ïîëó÷àåì óðàâíåíèå 4x + x7 = 9. Åãî êîðíè x = 12 è x = 72 .
Ïðè y = 16 ïîëó÷àåì óðàâíåíèå 4x + x7 = 16, êîòîðîå íå èìååò êîðíåé.
1/2 è 7/2.
Îòâåò:
Óðàâíåíèÿ ñïåöèàëüíîãî âèäà.
Óðàâíåíèÿ âèäà a(f (x))2 + bf (x)g(x) + c(g(x))2, a, b, c ∈ R, ðåøàþòñÿ ñ ïîìîùüþ çàìåíû
ïåðåìåííîé. Ñíà÷àëà äåëèì íà g(x), óáåäèâøèñü, ÷òî g(x) 6= 0 (åñëè íåêîòîðûå êîðíè g(x) = 0
ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ, òî çàïèñûâàåì èõ â îòâåò, à ïîòîì äåëèì óðàâíåíèå íà
g(x)).
(x)
Çàòåì äåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé y = fg(x)
. Ïîëó÷àåì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå.
Ðåøèòü óðàâíåíèå
1.
Çàäà÷à 5.
(x2 + 2)2 + 3(x2 + 2)(2x + 1) = 4(2x + 1)2 .
Ðåøåíèå.
Çàìåòèì, ÷òî x = −1/2 íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ. Äåëèì óðàâíåíèå íà (2x+1)2.
x2 + 2
2x + 1
2
+3
2
x2 + 2
2x + 1
=4
x +2
Äåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé y = 2x+1
, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå y2 +3y−4 = 0. Åãî êîðíè y = −4 è y = 1.
x +2
x +2
Âåðíåìñÿ ê x, ïîëó÷àåì ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé 2x+1
= −4 è 2x+1
= 1, òî åñòü x2 + 8x + 6 = 0 è
√
√
x2 − 2x + 1 = 0. Êîðíÿìè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà x = −4 − 10 è x = −4 + 10, à
âòîðîå èìååò åäèíñòâåííûé
êîðåíü
√
√ x = 1.
1, −4 − 10 è −4 + 10.
Óðàâíåíèÿ âèäà ax2k + bxk + c = 0 ðåøàþòñÿ ñ ïîìîùüþ çàìåíû ïåðåìåííîé t = xk .
Ñèììåòðè÷íûå óðàâíåíèÿ òðåòüåé ñòåïåíè:
2
2
2
Îòâåò:
2.
3.
ax3 + bx2 + bx + a = 0,
èëè
ax3 + bx2 − bx − a = 0,
ãäå a, b äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, a 6= 0. Îäèí èç êîðíåé ïåðâîãî óðàâíåíèÿ x = −1, à âòîðîãî
óðàâíåíèÿ x = 1.
Ðåøèòü óðàâíåíèå 4x3 + 5x2 + 5x + 4 = 0.
Îäèí èç êîðíåé óðàâíåíèÿ x = −1; ðàçëîæèì 4x3 + 5x2 + 5x + 4 íà ìíîæèòåëè:
4x3 + 5x2 + 5x + 4 = 4(x3 + 1) + 5x(x + 1) = (x + 1)(4x2 − 4x + 4 + 5x), óðàâíåíèå ïðèìåò âèä
Çàäà÷à 6.
Ðåøåíèå.
(x + 1)(4x2 + x + 4) = 0.
Óðàâíåíèå 4x2 + x + 4 = 0 íå èìååò êîðíåé.
−1.
Ñèììåòðè÷íûå óðàâíåíèÿ ÷åòâåðòîé ñòåïåíè:
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0, èëè ax4 + bx3 + cx2 − bx + a = 0,
ãäå a, b, c äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, a 6= 0.
Ïîäåëèì óðàâíåíèÿ íà x2 è çàìåòèì, ÷òî (x + x1 )2 = x2 + 2 + x1 . Ñäåëàåì çàìåíó t = x + x1 (âî
âòîðîì çàìåíà t = x − x1 ).
Ðåøèòü óðàâíåíèå x4 − 5x3 + 6x2 − 5x + 1 = 0.
Ïîäåëèì óðàâíåíèå íà x2, ïîëó÷èì x2 −5x+6− x5 + x1 = 0. Ñäåëàåì çàìåíó t = x+ x1 ,
çàìåòèì, ÷òî t2 = x2 + 2 + x1 . Óðàâíåíèå ïðèìåò âèä
Îòâåò:
4.
2
Çàäà÷à 7.
Ðåøåíèå.
2
2
t2 − 5t + 4 = 0.
Åãî êîðíè t = 1 è t = 4. Ñëåäîâàòåëüíî, x + x1 = 1 èëè x + x1 = 4. Òî åñòü√x2 − x + 1 =√0 èëè
x2 − 4x + 1 = 0. √
Ïåðâîå óðàâíåíèå
íå èìååò êîðíåé, êîðíè âòîðîãî x = 2 − 3 è x = 2 + 3.
√
2 − 3 è 2 + 3.
Íåêîòîðûå óðàâíåíèÿ ðåøàþòñÿ ñ ïîìîùüþ óäîáíîé ãðóïïèðîâêè ñëàãàåìûõ.
Ðåøèòü óðàâíåíèå
Îòâåò:
Çàäà÷à 8.
2
5
3
4
+
=
+
.
x+8 x+9
x + 15 x + 6
(∗)
Åñëè ìû ïåðåíåñåì âñå äðîáè â ëåâóþ ÷àñòü è ïðèâåäåì ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, òî
â ÷èñëèòåëå ïîëó÷èòñÿ ìíîãî÷ëåí íå áîëåå, ÷åì òðåòüåé ñòåïåíè. âû÷èñëèì êîýôôèöèåíò ïðè
x3 : 2 + 5 − 3 − 4 = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ñòåïåíü ÷èñëèòåëÿ íå áîëüøå äâóõ, è òàêîå óðàâíåíèå ìû
2(4x +9x+198)
òî÷íî ðåøèì. Òåïåðü îñòàëîñü ïðèâåñòè äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ: (x+5)(x+6)(x+8)(x+9)
= 0.
Ðåøåíèå.
2
3
Êîðíÿìè óðàâíåíèÿ 4x2 +9x+198 = 0 ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà x = 6 è x = −33/4. Ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ
x çíàìåíàòåëü íå îáðàùàåòñÿ â 0.
x = 6 è x = −33/4.
Ïðèâåäåíèå ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ çàíèìàåò ìíîãî âðåìåíè è ïðè ýòîì î÷åíü
ëåãêî äîïóñòèòü îøèáêó (ìîæíî è íå îäíó). Äëÿ íà÷àëà ìîæíî ïîïðîáîâàòü ñêëàäûâàòü äðîáè
ïîïàðíî (ýòî ìîæíî ñäåëàòü òðåìÿ ñïîñîáàìè: ïåðâóþ ñî âòîðîé, ïåðâóþ ñ òðåòüåé, ïåðâóþ ñ
7x+58
7x+84
−x+6
x−6
÷åòâåðòîé).  ïåðâîì ñëó÷àå ïîëó÷èì (x+8)(x+9)
− (x+15)(x+6)
= 0. Âî âòîðîì: (x+8)(x+15)
+ (x+9)(x+6)
=
= 0. Íàì ïîâåçëî, èìååì: óðàâíåíèå (∗) ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåìó:
Îòâåò:
Çàìå÷àíèå.
1
1
(x−6) −
+
(x + 8)(x + 15) (x + 9)(x + 6)
Çàäà÷à 9.
= 0,
ò.å.
(x−6)·
(x2
8x + 66
= 0.
+ 23x + 120)(x2 + 15x + 54)
Ðåøèòü óðàâíåíèå
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
=
+
+
+
.
x x+2 x+5 x+7
x+1 x+3 x+4 x+6
Ïðèâåäåíèå ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ òàêîãî êîëè÷åñòâà äðîáåé çàéìåò ìíîãî âðåìåíè è, ñêîðåå âñåãî, ìû ïîëó÷èì â ÷èñëèòåëå ñëîæíîå óðàâíåíèå (ê òîìó æå ëåãêî ñîâåðøèòü
àðèôìåòè÷åñêóþ îøèáêó). Ïîïðîáóåì ðåøèòü çàäà÷ó ïî-äðóãîìó. Ïåðåíåñåì âñå â ëåâóþ ÷àñòü
è ïîïðîáóåì ñãðóïïèðîâàòü òàê, ÷òîáû ïðè ñëîæåíèè ïî äâå äðîáè ïîëó÷èëñÿ îäèíàêîâûé ÷èñëèòåëü:
1
1
1
1
1
1
1
1
Ðåøåíèå.
x
+
x+7
−
x+1
−
x+6
+
x+2
+
Ïîïàðíî ïðèâåäåì ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ:
òî åñòü
x+5
−
x+3
−
x+4
= 0.
2x + 7
2x + 7
2x + 7
2x + 7
−
+
−
= 0,
x2 + 7x x2 + 7x + 6 x2 + 7x + 10 x2 + 7x + 12
(2x + 7)
1
1
1
1
−
+
−
x2 + 7x x2 + 7x + 6 x2 + 7x + 10 x2 + 7x + 12
= 0.
Òàê êàê ïðè x = −7/2 íè îäèí çíàìåíàòåëü íå îáðàùàåòñÿ â íóëü, òî ýòî îäèí èç êîðíåé íàøåãî
óðàâíåíèÿ. Îñòàëîñü ðåøèòü
1
1
1
1
−
+
−
= 0.
x2 + 7x x2 + 7x + 6 x2 + 7x + 10 x2 + 7x + 12
Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé y = x2 + 7x. Òîãäà óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä
1
1
1
1
−
+
−
= 0.
y y + 6 y + 10 y + 12
Ïðèâåäåì ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, ðàñêðîåì ñêîáêè:
8(y 2 + 7y + 90)
= 0.
y(y + 6)(y + 10)(y + 12)
Òðåòüÿ ñòåïåíü â ÷èñëèòåëå ñîêðàòèëàñü è ìû ïîëó÷èëè êâàäðàòíîå óðàâíåíèå y2 + 7y + 90 = 0,
êîòîðîå íå èìååò êîðíåé. Ñëåäîâàòåëüíî, x = −7/2 åäèíñòâåííîå ðåøåíèå èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ.
−7/2.
Îòâåò:
4