Страницы 12–25
реклама
ÊÂÀÍT 2010/¹3 áóäóò ïåðåêðûâàòüñÿ.  ýòîì ñëó÷àå, âèäèìî, äëÿ îöåíêè âåëè÷èíû Σ ( K ) òðåáóåòñÿ ïîíÿòü êîëè÷åñòâî ñëîåâ, â êîòîðîå îíè ïîêðûâàþò ñôåðó. Êàê åãî îöåíèòü? Èìåííî ýòîé îöåíêîé ìû è çàéìåìñÿ â ñëåäóþùåì ðàçäåëå. Äëÿ ýòîãî íàì ïðèäåòñÿ èçîáðåñòè íåñêîëüêî äðóãîé ïîäõîä ê çàäà÷å. Ïðîåêöèè Èòàê, ðàññìîòðèì âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê M è ñôåðó åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì O. Ïðîâåäåì ÷åðåç O ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíûå ãðàíÿì ìíîãîãðàííèêà; îíè ðàçäåëÿò ñôåðó íà íåñêîëüêî ÷àñòåé K1,…, Ks (çàìåòèì, ÷òî äëÿ êàæäîé ÷àñòè íàéäåòñÿ ÷àñòü, ñèììåòðè÷íàÿ åé îòíîñèòåëüíî O). Òåïåðü, åñëè ìû îïÿòü æå ñíåñåì ìíîãîãðàííûé óãîë ïðè íåêîòîðîé âåðøèíå A ìíîãîãðàííèêà â òî÷êó O (ïîëó÷èâ íåêîòîðûé óãîë SA ), òî ÷àñòü ñôåðû, ïîïàâøàÿ âíóòðü íåãî, áóäåò îáúåäèíåíèåì íåñêîëüêèõ èç ÷àñòåé Ki (ïîñêîëüêó åå ãðàíèöà ëåæèò â íàøèõ ïëîñêîñòÿõ). Îòìåòèì ýòè ÷àñòè, à òàêæå ÷àñòè, ñèììåòðè÷íûå èì îòíîñèòåëüíî O (ò.å. ïîïàâøèå â öåíòðàëüíî ñèììåòðè÷íûé óãîë SA′ ), ìû óæå âèäåëè, ÷òî ýòî ïîëåçíî; îêàæåòñÿ ýòî ïîëåçíûì è â äàëüíåéøåì. Ïðîäåëàåì òàêóþ îïåðàöèþ ñ êàæäîé âåðøèíîé ìíîãîãðàííèêà. Òåïåðü äëÿ êàæäîé ÷àñòè ðàçáèåíèÿ Ki ïîñ÷èòàåì êîëè÷åñòâî ti ðàç, êîòîðîå ìû åå îòìå÷àëè. Èíà÷å ãîâîðÿ, ti ýòî êîëè÷åñòâî ìíîãîãðàííûõ óãëîâ, â êîòîðûå ïîïàëà îíà èëè ñèììåòðè÷íàÿ åé ÷àñòü ñôåðû; ýòî êîëè÷åñòâî, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò áûòü ëþáûì íåîòðèöàòåëüíûì öåëûì ÷èñëîì. Òåïåðü ÿñíî, ÷òî ñóììà âñåõ òåëåñíûõ óãëîâ ïðè âåðøèíàõ ìíîãîãðàííèêà áóäåò ðàâíà 1 s Σ ( M ) = ∑ ti S ( Ki ) , 2 i=1 (2) 1 ãäå S ( Ki ) ýòî ïëîùàäü ÷àñòè Ki (ìíîæèòåëü 2 ïîÿâèëñÿ èç-çà òîãî, ÷òî êàæäûé òåëåñíûé óãîë ìû ïîñ÷èòàëè äâàæäû). Íàøà áëèæàéøàÿ öåëü îïèñàòü ÷èñëà ti â äðóãèõ òåðìèíàõ. Ðàññìîòðèì òî÷êó T, ëåæàùóþ ñòðîãî âíóòðè ÷àñòè Ki . Çàìåòèì, ÷òî ïðÿìàÿ OT íå ïàðàëëåëüíà íè îäíîé ãðàíè ìíîãîãðàííèêà M (èíà÷å T ëåæàëà áû íà ãðàíèöå ÷àñòè). Ïðîâåäåì ïëîñêîñòü α , ïåðïåíäèêóëÿðíóþ OT (ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî α ãîðèçîíòàëüíà), è ñïðîåêòèðóåì íàø ìíîãîãðàííèê íà ïëîñêîñòü α ; â ïðîåêöèè ïîëó÷èòñÿ âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê N. Ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç π ( X ) ïðîåêöèþ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè X. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ âåðøèíó A íàøåãî ìíîãîãðàííèêà è âûÿñíèì, ãäå áóäåò ëåæàòü òî÷êà π ( A ) . Ïóñòü a ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç A ïåðïåíäèêóëÿðíî α (èíûìè ñëîâàìè, a OT ). Ýòà ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåòñÿ ñ M ëèáî ïî íåêîòîðîìó îòðåçêó (è òîãäà A ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç åãî êîíöîâ), ëèáî òîëüêî ïî òî÷êå A. Ðàññìîòðèì îáà ýòèõ ñëó÷àÿ. Ñëó÷àé 1 (ðèñ.13). Ïóñòü ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåòñÿ ñ ìíîãîãðàííèêîì ïî îòðåçêó AB. Òîãäà âíóòðåííèå òî÷êè ýòîãî îòðåçêà òàêæå áóäóò ÿâëÿòüñÿ âíóòðåííèìè 01-25.p65 12 Ðèñ. 13 òî÷êàìè ìíîãîãðàííèêà; ýòî çíà÷èò, ÷òî π ( A ) ëåæèò ñòðîãî âíóòðè ìíîãîóãîëüíèêà N.3 Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îòðåçîê AB ëåæèò âíóòðè ìíîãîãðàííîãî óãëà ñ âåðøèíîé A; ýòî è çíà÷èò, ÷òî òî÷êà T ëåæèò âíóòðè îäíîãî èç óãëîâ SA èëè SA′ . Ñëó÷àé 2 (ðèñ.14). Ïóñòü òåïåðü ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåòñÿ ñ ìíîãîãðàííèêîì òîëüêî ïî âåðøèíå A. Òîãäà, êàê ìû óæå âèäåëè ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1, ÷åðåç ýòó ïðÿìóþ ìîæíî ïðîâåñòè ïëîñêîñòü β , ïåðåñåêàþùóþ Ðèñ. 14 íàø ìíîãîãðàííûé óãîë (à ñëåäîâàòåëüíî, è âåñü ìíîãîãðàííèê) ðîâíî ïî âåðøèíå A. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ìíîãîãðàííèê M ëåæèò ïî îäíó ñòîðîíó îò β ; íî òîãäà è ìíîãîóãîëüíèê N áóäåò ëåæàòü ïî îäíó ñòîðîíó îò β , èìåÿ ñ íåé òîëüêî îäíó òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ π ( A ) . Òàêîå âîçìîæíî ëèøü â òîì ñëó÷àå, åñëè π ( A ) âåðøèíà N. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîñêîëüêó ïðÿìàÿ a ïðîõîäèò âíå ìíîãîãðàííîãî óãëà ñ âåðøèíîé A, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî òî÷êà T íå ëåæèò íè â îäíîì èç óãëîâ SA è S′A . Èòîãî, ìû ïîëó÷èëè ñëåäóþùåå îïèñàíèå âåëè÷èíû ti . Òåîðåìà 3. ×èñëî ti ðàâíî êîëè÷åñòâó âåðøèí ìíîãîãðàííèêà M, ïðîåêöèè êîòîðûõ ïîïàäàþò ñòðîãî âíóòðü ìíîãîóãîëüíèêà N. Ïðîåêöèè æå îñòàëüíûõ âåðøèí ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè N. Çàìåòèì åùå, ÷òî êàæäàÿ âåðøèíà B ìíîãîóãîëüíèêà N ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèåé îäíîé èç âåðøèí ìíîãîãðàííèêà. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè b ïðÿìàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ N ðîâíî ïî âåðøèíå B, òî âåðòèêàëüíàÿ ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç b (ò.å. ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç b è ïàðàëëåëüíàÿ OT), áóäåò ïåðåñåêàòü M òàêæå ðîâíî ïî îäíîé òî÷êå; îíà è áóäåò èñêîìîé âåðøèíîé. 3 Äåéñòâèòåëüíî, åñëè X âíóòðåííÿÿ òî÷êà îòðåçêà AB, òî íàéäåòñÿ ìàëåíüêèé øàðèê ñ öåíòðîì â X, ëåæàùèé âíóòðè M. Ýòîò øàðèê ïåðåéäåò â êðóã ñ öåíòðîì â π ( X ) = π ( A ) , ëåæàùèé âíóòðè N. 09.06.10, 10:20 Î ÑÓÌÌÅ ÒÅËÅÑÍÛÕ Äàëåå, âûÿñíèì, êàêèå òî÷êè ìíîãîãðàííèêà M ïåðåõîäÿò â òî÷êè êîíòóðà ìíîãîóãîëüíèêà N. Ïóñòü π ( A ) è π ( B ) äâå ñîñåäíèå âåðøèíû ìíîãîóãîëüíèêà N (A è B âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà M). Ïðîâåäåì ÷åðåç ïðÿìóþ π ( A ) π ( B ) âåðòèêàëüíóþ ïëîñêîñòü γ . Ìíîãîãðàííèê M áóäåò ëåæàòü ïî îäíó ñòîðîíó îò íåå, ïðè÷åì â ýòîé ïëîñêîñòè áóäåò ëåæàòü îòðåçîê AB, ïðèíàäëåæàùèé ìíîãîãðàííèêó. Çàìåòèì, ÷òî áîëüøå òî÷åê ìíîãîãðàííèêà â ýòîé ïëîñêîñòè íå áóäåò; èíà÷å â ýòîé ïëîñêîñòè áóäåò ëåæàòü ãðàíü M, ÷òî íåâîçìîæíî. Íî òîãäà AB ÿâëÿåòñÿ ðåáðîì ìíîãîãðàííèêà M! Èòàê, ëþáàÿ ñòîðîíà ìíîãîóãîëüíèêà N ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèåé ðåáðà ìíîãîãðàííèêà M. Çíà÷èò, êîíòóð ìíîãîóãîëüíèêà N ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèåé íåêîòîðîãî çàìêíóòîãî íåñàìîïåðåñåêàþùåãîñÿ ïóòè ïî ðåáðàì ìíîãîãðàííèêà N (íàçîâåì òàêîé ïóòü öèêëîì). Îöåíêà íà Σ ( M ) Òåïåðü ìû ãîòîâû âûïèñàòü îöåíêó íà Σ ( M ) . Òåîðåìà 4. Ðàññìîòðèì âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê M; ïóñòü ó íåãî n âåðøèí, è ïóñòü lmin , lmax ñîîòâåòñòâåííî íàèìåíüøåå è íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî ðåáåð â öèêëå, ïðîõîäÿùåì ïî ðåáðàì M. Òîãäà 2 π (n − lmax ) ≤ Σ ( M ) ≤ 2 π (n − lmin ) . (3) Çàìå÷àíèå. Âñå óñëîâèÿ â òåîðåìå çàâèñÿò òîëüêî îò êîìáèíàòîðíîãî òèïà ìíîãîãðàííèêà; òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà ïîçâîëÿåò îöåíèòü ñóììó òåëåñíûõ óãëîâ ëþáîãî ìíîãîãðàííèêà äàííîãî êîìáèíàòîðíîãî òèïà. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Äëÿ ëþáîé èç ÷àñòåé Ki ðàññìîòðèì òî÷êó Ti âíóòðè íåå è ïðîåêöèþ Ni ìíîãîãðàííèêà M íà ñîîòâåòñòâóþùóþ ïëîñêîñòü. Ìû óæå çíàåì, ÷òî ãðàíèöà Ni ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèåé íåêîòîðîãî öèêëà; çíà÷èò, êîëè÷åñòâî âåðøèí Ni íå ìåíüøå lmin è íå áîëüøå lmax . Çíà÷èò, êîëè÷åñòâî ti âåðøèí, ÷üè ïðîåêöèè ëåæàò âíóòðè Ni , óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ n − lmax ≤ ti ≤ n − lmin , ïîýòîìó èç (2) ïîëó÷àåì 1 s 1 s S K n l − ≤ ( )( ) ∑ i ∑ S ( Ki ) ti = max 2 i=1 2 i=1 1 s ∑ S ( Ki )(n − lmin ) . 2 i=1 Ïîñêîëüêó ïëîùàäü åäèíè÷íîé ñôåðû ðàâíà = Σ (M ) ≤ s ∑ S ( Ki ) = 4π , ìû ïîëó÷àåì òðåáóåìîå. i =1 Èç òåîðåìû ñðàçó ñëåäóåò Ðåøåíèå çàäà÷è Ì2153. Ïóñòü Σ ( M ) = π . Òîãäà 1 2π (n − lmax ) ≤ Σ ( M ) = π , îòêóäà n − lmax ≤ . Çíà÷èò, 2 lmax = n , è ñóùåñòâóåò öèêë, ïðîõîäÿùèé ïî âñåì n âåðøèíàì ìíîãîãðàííèêà. Íåñëîæíî è áîëåå ÿâíî îïèñàòü ýòîò öèêë. Åñëè ìû îòìåòèì âñå ìíîãîãðàííûå óãëû M è ñèììåòðè÷íûå èì íà íàøåé ñôåðå, òî ìû îòìåòèì îáëàñòè ñóììàðíîé ïëîùàäè 2π < 4π ; çíà÷èò, íåêîòîðàÿ òî÷êà T ñôåðû îñòàíåòñÿ íåïîêðûòîé. Ñïðîåêòèðîâàâ íàø ìíîãîãðàííèê íà ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ OT, ìû ïîëó÷èì 01-25.p65 13 ÓÃËΠÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÀ ! â ïðîåêöèè n-óãîëüíèê.  åãî ãðàíèöó è ïðîåêòèðóåòñÿ òðåáóåìûé öèêë. Çàäà÷à 2. ßñíî, ÷òî lmin íå ïðåâîñõîäèò ìèíèìàëüíîãî êîëè÷åñòâà âåðøèí â ãðàíè. À ñóùåñòâóåò ëè ìíîãîãðàííèê, â êîòîðîì lmin ñòðîãî ìåíüøå, ÷åì ýòî ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî? Òî÷íûå ãðàíèöû äëÿ Σ ( M ) Ïîñëå äîêàçàòåëüñòâà ïðåäûäóùåé òåîðåìû åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàåò âîïðîñ à òî÷íû ëè îöåíêè â ýòîé òåîðåìå? Íåëüçÿ ëè èõ èíîãäà çàìåíèòü íà áîëåå òî÷íûå? Èíûìè ñëîâàìè åñëè â ìíîãîãðàííèêå ìèíèìàëüíîå è ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ðåáåð â öèêëå ðàâíû lmin è lmax , ïðàâäà ëè, ÷òî ñóùåñòâóþò ìíîãîãðàííèêè òîãî æå êîìáèíàòîðíîãî òèïà, ó êîòîðûõ ñóììû òåëåñíûõ óãëîâ «ïî÷òè äîñòèãàþò» çíà÷åíèé, óêàçàííûõ â òåîðåìå 4? Ïîëíûé îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äàë Ä.Áàðíåòò [3]; îêàçûâàåòñÿ, îöåíêè âñåãäà òî÷íû! Îäíàêî, ê ñîæàëåíèþ, äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî âûõîäèò çà ðàìêè ýòîé ñòàòüè; ìû îãðàíè÷èìñÿ îòâåòîì íà ñóùåñòâåííî áîëåå ëåãêèé âîïðîñ. À èìåííî, ìû äîêàæåì ñëåäóþùåå. Òåîðåìà 5. Ðàññìîòðèì âñå âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè íåêîòîðîãî êîìáèíàòîðíîãî òèïà ñ n âåðøèíàìè, à òàêæå âñå èõ ïðîåêöèè (íà ïëîñêîñòè, íå ïåðïåíäè′ è lmax ′ íàèáîëüøåå è êóëÿðíûå ãðàíÿì). Ïóñòü lmin íàèìåíüøåå âîçìîæíîå êîëè÷åñòâî ñòîðîí â òàêèõ ïðîåêöèÿõ. Òîãäà äëÿ ëþáîãî âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà M äàííîãî òèïà âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà ′ ) ≤ Σ ( M ) ≤ 2 π (n − lmin ′ ), 2 π (n − lmax (4) ïðè÷åì ýòè îöåíêè íåëüçÿ çàìåíèòü íà ëó÷øèå. Çàìå÷àíèå 1. Ýòî òîæå èíòåðåñíîå óòâåðæäåíèå! Îíî ãîâîðèò, ÷òî òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü è òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü äëÿ Σ ( M ) âñåãäà ÿâëÿþòñÿ öåëûìè êðàòíûìè ÷èñëà 2π . Èíà÷å ãîâîðÿ, åñëè, íàïðèìåð, ìû çíàåì, ÷òî ñóùåñòâóåò ìíîãîãðàííèê M äàííîãî êîìáèíàòîðíîãî òèïà ñ Σ ( M ) = 5π , òî ìû òàêæå ìîæåì áûòü óâåðåíû â ñóùåñòâîâàíèè ìíîãîãðàííèêîâ M ′ è M ′′ òîãî æå òèïà, äëÿ êîòîðûõ Σ ( M ′ ) < 4π + 0,001 è Σ ( M ′′ ) > 6π − 0,001 . Çàìå÷àíèå 2. Ïîñêîëüêó ïðè îïðåäåëåíèè âåëè÷èíû lmin ðàññìàòðèâàþòñÿ âñå öèêëû, à ïðè îïðåäåëåíèè ′ lmin òîëüêî òå, êîòîðûå ìîãóò ïîïàñòü íà ãðàíèöó ′ ≥ lmin . Àíàëîíåêîòîðîé ïðîåêöèè, òî, î÷åâèäíî, lmin ′ ≤ lmax . ãè÷íî, lmax Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Äîêàçàòåëüñòâî ñàìîé îöåíêè (4) ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4: äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî â íåì ðåàëüíî ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî öèêëû, ïðîåêöèè êîòîðûå ìîãóò îêàçàòüñÿ ãðàíèöåé ïðîåêöèè âñåãî ìíîãîãðàííèêà; êîëè÷åñòâî ′ è íå æå ñòîðîí â ëþáîì òàêîì öèêëå íå ìåíüøå lmin ′ . Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî îöåíêè òî÷íû. áîëüøå lmax Ðàññìîòðèì ìíîãîãðàííèê M äàííîãî êîìáèíàòîðíîãî òèïà, êîòîðûé ïðè ïðîåêòèðîâàíèè íà ïëîñêîñòü α äàåò ìíîãîóãîëüíèê ñ l ñòîðîíàìè (ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî M ëåæèò ïî îäíó ñòîðîíó îò α ). Ïóñòü â íåì n âåðøèí, ïðè÷åì A1, A2,…, Al âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà, ïðîåöèðóþùèåñÿ â âåðøèíû l-óãîëüíèêà, à B1,…, Bm âñå 09.06.10, 10:20 " ÊÂÀÍT 2010/¹3 îñòàëüíûå âåðøèíû (ïðîåöèðóþùèåñÿ âíóòðü l-óãîëüíèêà); òîãäà m = n l. «Ñîæìåì» ìíîãîãðàííèê ê ïëîñêîñòè α ñ áîëüøèì êîýôôèöèåíòîì N; èíà÷å ãîâîðÿ, ñäâèíåì êàæäóþ åãî òî÷êó ïî ïåðïåíäèêóëÿðó ê ïëîñêîñòè α òàê, ÷òîáû ðàññòîÿíèå îò íåå äî α óìåíüøèëîñü â N ðàç (ðèñ.15). âåäåí åãî «âèä ñâåðõó», íåâèäèìûõ ðåáåð íåò; ýòîò ïðèìåð âçÿò èç êíèãè [2]). ×èòàòåëþ ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî äîêàçàòü, ÷òî ìíîãîãðàííèê, èçîáðàæåííûé íà ðèñóíêå, ñóùåñòâóåò è ÷òî â íåì íåò ãàìèëüòîíîâà öèêëà. Çàäà÷è Ðèñ. 15 Ó íàñ ïîëó÷èëñÿ ìíîãîãðàííèê M ′ òîãî æå êîìáèíàòîðíîãî òèïà ñ âåðøèíàìè A1′ , , Al′ , B1′ , , Bm′ . Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî åñëè âûáðàòü N äîñòàòî÷íî áîëüøèì, òî âñå òåëåñíûå óãëû ïðè âåðøèíàõ Ai′ ñòàíóò î÷åíü ìàëåíüêèìè (ñêàæåì, ìåíüøå ε ), à âñå òåëåñíûå óãëû ïðè âåðøèíàõ B′j áóäóò ñêîëü óãîäíî áëèçêè ê 2π (ñêàæåì, áóäóò áîëüøå ÷åì 2π − ε ). Òîãäà ìû ïîëó÷àåì, ÷òî l ⋅ 0 + (n − l )(2π − ε ) < Σ ( M ′ ) < lε + ( n − l ) 2π . Ïîñêîëüêó l ≤ n , ïîëó÷àåì 2π (n − l ) − nε < Σ ( M ′ ) < 2π (n − l ) + nε . Âûáåðåì òåïåðü â êà÷åñòâå M ìíîãîãðàííèê, â ïðî′ ñòîðîí (òàêîé ñóùåñòâóåò åêöèè êîòîðîãî åñòü l = lmin ′ ). Òîãäà ìû ïîëó÷èì ìíîãîãðàíïî îïðåäåëåíèþ lmin íèê M ′ , äëÿ êîòîðîãî Σ ( M ′ ) > 2π (n − lmin ) − nε . Íàîáîðîò, âûáèðàÿ ìíîãîãðàííèê M ñ ïðîåêöèåé ′ , ïîëó÷àåì ìíîãîãðàííèê M ′′ c èç l = lmax Σ ( M ′′ ) < 2π (n − lmax ) + nε . Ïîëàãàÿ ε ñêîëü óãîäíî ìàëûì, ïîëó÷àåì, ÷òî îöåíêè â (4) òî÷íû. Îïèøåì òåïåðü ñóòü âûøåóïîìÿíóòîãî ðåçóëüòàòà Ä.Áàðíåòòà. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûé âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê M è ïðîèçâîëüíûé öèêë èç åãî ðåáåð. Òîãäà ìîæíî ïîñòðîèòü ìíîãîãðàííèê òàêîãî æå êîìáèíàòîðíîãî òèïà è åãî ïðîåêöèþ òàêèå, ÷òî â ãðàíèöó ïðîåêöèè ïðîåöèðóåòñÿ êàê ðàç ýòîò öèêë. Îòñþäà, ðàçóìå′ , lmax = lmax ′ (ò.å. îöåíêè åòñÿ, è ñëåäóåò, ÷òî lmin = lmin â òåîðåìå 4 òàêæå òî÷íû). Âîçâðàùàÿñü ê çàäà÷å Ì2153, õî÷åòñÿ çàìåòèòü åùå îäíó âåùü. Íà ïåðâûé âçãëÿä ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî â ëþáîì ìíîãîãðàííèêå ìîæíî íàéòè öèêë, ïðîõîäÿùèé ïî âñåì âåðøèíàì, òàêîé öèêë íàçûâàåòñÿ ãàìèëüòîíîâûì. È äåéñòâèòåëüíî, íå òàê-òî ïðîñòî ïîñòðîèòü ïðèìåð ìíîãîãðàííèêà, äëÿ êîòîðîãî ýòî íåâåðíî; îäíàêî òàêèå ïðèìåðû ñóùåñòâóþò. Îäèí èç íàèáîëåå åñòåñòâåííûõ ïðèìåðîâ èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 16 (ïðè- 01-25.p65 14 Ðèñ. 16 3. Ïîñòðîéòå ïðèìåð âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà M, â êîòîðîì åñòü öèêë äëèíû 3, íî ëþáàÿ ïðîåêöèÿ êîòîðîãî ñîäåðæèò õîòÿ áû 4 ñòîðîíû. Êàê îöåíèòü ñíèçó ñóììó òåëåñíûõ óãëîâ òàêîãî ìíîãîãðàííèêà? 4. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû 5 îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì, åñëè âìåñòî îáû÷íîé ïàðàëëåëüíîé ïðîåêöèè ðàññìàòðèâàòü ïðîåêöèþ öåíòðàëüíóþ (åñòåñòâåííî, ïðîåêöèåé íàøåãî ìíîãîãðàííèêà äîëæåí ÿâëÿòüñÿ ìíîãîóãîëüíèê, ò.å. ýòà ïðîåêöèÿ äîëæíà áûòü îãðàíè÷åííîé). Ñóùåñòâóåò ëè âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê, â êîòîðîì åñòü öèêë äëèíû 3, íî ëþáàÿ (îãðàíè÷åííàÿ) öåíòðàëüíàÿ ïðîåêöèÿ êîòîðîãî ñîäåðæèò õîòÿ áû 4 ñòîðîíû? 4 5. Íàéäèòå òî÷íûå îöåíêè äëÿ Σ ( M ) , ãäå M âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê, êîìáèíàòîðíî ýêâèâàëåíòíûé êóáó. Ïðèâåäèòå ïðèìåðû, ïîêàçûâàþùèå, ÷òî ýòè îöåíêè òî÷íû. 6. Ïóñòü âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê ABCDA1B1C1D1 êîìáèíàòîðíî ýêâèâàëåíòåí êóáó. Íàçîâåì åãî ïðîåêòèâíî ýêâèâàëåíòíûì êóáó, åñëè åãî ãëàâíûå äèàãîíàëè AC1 , BD1 , CA1 , DB1 ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.5 Íàéäèòå òî÷íûå îöåíêè íà ñóììó òåëåñíûõ óãëîâ òàêîãî ìíîãîãðàííèêà. 7.  òåîðåìå 5 äîêàçàíû òî÷íûå âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ îöåíêè íà âåëè÷èíó Σ ( M ) , ãäå M ìíîãîãðàííèê äàííîãî êîìáèíàòîðíîãî òèïà. Òåì íå ìåíåå, íå äîêàçàíî, ÷òî Σ ( M ) ìîæåò ïðèíèìàòü âñå çíà÷åíèÿ èç èíòåðâàëà ′ ); 2π (n − lmin ′ )) ! Ïîïðîáóéòå äîêàçàòü ýòî óòâåð(2π (n − lmax æäåíèå.6 Ñïèñîê ëèòåðàòóðû 1. Ä.Î.Øêëÿðñêèé, Í.Í.×åíöîâ, È.Ì.ßãëîì. Èçáðàííûå çàäà÷è è òåîðåìû ýëåìåíòàðíîé ìàòåìàòèêè. ×àñòü 2. Ãåîìåòðèÿ (Ïëàíèìåòðèÿ). Ì.: ÃÈÒÒË, 1952. 2. Ô.Õàðàðè. Òåîðèÿ ãðàôîâ. Ì.: Ìèð, 1973. 3. D.W.Barnette. Projections of 3-polytopes. Israel J. Math, Vol. 8, 1970, pp. 304308. 4. D.W.Barnette. The sum of the solid angles of a d-polytope. Geometriae dedicata. Vol. 1, Num. 1, 1972, pp. 100102. 4 Çàäà÷è 3 è 4 óæå ïîêàçûâàþò, ÷òî òåîðåìà Áàðíåòòà íåïðîñòà. 5 Äëÿ ïðîôåññèîíàëîâ: ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðîåêòèâíîå ïðåîáðàçîâàíèå, êîòîðîå ïåðåâîäèò M â êóá. 6 Ñðàçó çàìåòèì, ÷òî ñîîáðàæåíèÿ, êîòîðûå ìû ïðèâîäèëè äëÿ òåòðàýäðà, ìîãóò íå ñðàáîòàòü. Èìåííî, íåïîíÿòíî, êàêèì îáðàçîì ìîæíî íåïðåðûâíî äåôîðìèðîâàòü ìíîãîãðàííèê, â êîòîðîì åñòü íåòðåóãîëüíûå ãðàíè è âåðøèíû, â êîòîðûõ ñõîäèòñÿ áîëüøå òðåõ ãðàíåé: ýòè óñëîâèÿ íå òàê ëåãêî ñîáëþñòè ïðè íåïðåðûâíîé äåôîðìàöèè. 09.06.10, 10:21 ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÌÈÐ 105 ëåò àêàäåìèêó Ñ. Ì. Íèêîëüñêîìó 30 àïðåëÿ 2010 ãîäà èñïîëíèëîñü 105 ëåò âûäàþùåìóñÿ ðîññèéñêîìó ìàòåìàòèêó è ïåäàãîãó, àêàäåìèêó ÐÀÍ Ñåðãåþ Ìèõàéëîâè÷ó Íèêîëüñêîìó. Ñ.Ì.Íèêîëüñêèé ïðèçíàííûé ãëàâà íàó÷íîé øêîëû òåîðèè ôóíêöèé è åå ïðèëîæåíèé, àâòîð ñâûøå äâóõñîò íàó÷íûõ ïóáëèêàöèé, â òîì ÷èñëå òðåõ ìîíîãðàôèé, äâóõ ó÷åáíèêîâ äëÿ âóçîâ è ñåìè äëÿ øêîë. Ìíîãèå èç åãî êíèã âîøëè â çîëîòîé ôîíä îòå÷åñòâåííîé è ìèðîâîé ëèòåðàòóðû ïî ìàòåìàòèêå áëàãîäàðÿ âûñîêîìó íàó÷íîìó óðîâíþ è äîñòóïíîñòè èçëîæåíèÿ. Åãî ó÷åáíèêè ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó ïåðåâåäåíû íà ìíîãèå ÿçûêè ìèðà. Êàê ó÷åíûé, Ñ.Ì.Íèêîëüñêèé èìååò íåìàëî ïîñëåäîâàòåëåé, áîëåå ñîðîêà åãî ó÷åíèêîâ çàùèòèëè êàíäèäàòñêèå äèññåðòàöèè, îäèííàäöàòü ñòàëè äîêòîðàìè ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê. Íåîöåíèìûé âêëàä Ñ.Ì.Íèêîëüñêèé âíåñ â ñîâåðøåíñòâîâàíèå ñèñòåìû îáðàçîâàíèÿ â íàøåé ñòðàíå. Ñ.Ì.Íèêîëüñêèé òðèæäû ëàóðåàò Ãîñóäàðñòâåííîé ïðåìèè, ëàóðåàò ïðåìèè Ïðàâèòåëüñòâà ÐÔ, ïðåìèè ÌÃÓ èìåíè Ì.Â.Ëîìîíîñîâà «Çà âûäàþùèéñÿ âêëàä â ðàçâèòèå îáðàçîâàíèÿ».  2005 ãîäó óäîñòîåí çâàíèÿ «Ëåãåíäà âåêà». Íàãðàæäåí îðäåíàìè Òðóäîâîãî Êðàñíîãî Çíàìåíè, Ëåíèíà, Îêòÿáðüñêîé Ðåâîëþöèè è ìåäàëÿìè ðÿäà àêàäåìèé. Ïîçäðàâëÿåì Ñåðãåÿ Ìèõàéëîâè÷à ñ þáèëååì, æåëàåì çäîðîâüÿ, ðàäîñòè îò îáùåíèÿ ñ ðîäíûìè è áëèçêèìè, óñïåõîâ âî âñåõ äåëàõ! Íà÷àëî (Ïî âîñïîìèíàíèÿì Ñ.Ì.Íèêîëüñêîãî èç êíèãè «Êàê ÿ ñòàë ìàòåìàòèêîì») ß ðîäèëñÿ 30 àïðåëÿ 1905 ãîäà â Ïåðìñêîé ãóáåðíèè, â 100 êì îò Òþìåíè, â ïîñåëêå Çàâîä Òàëèöà.  ýòîì ïîñåëêå áûëà Ëåñíàÿ øêîëà, â êîòîðîé ïðåïîäàâàë ìîé îòåö, ïîìîùíèê ëåñíè÷åãî. Îòåö çàêîí÷èë â 1896 ãîäó Ïåòåðáóðãñêèé ëåñíîé èíñòèòóò èìåíè Àëåêñàíäðà III. ×åðåç ãîä ïîñëå ìîåãî ðîæäåíèÿ îí ïîëó÷èë äîëæíîñòü ëåñíè÷åãî è íàçíà÷åíèå ðàáîòàòü íà êðàéíèé çàïàä, íà ãðàíèöó ñ Ãåðìàíèåé. Òåïåðü ýòà òåððèòîðèÿ ïðèíàäëåæèò Ïîëüøå. Òàì ÿ ïðîâåë äåòñòâî â ëåñíîé äåðåâíå, â èãðàõ ñ ìåñòíûìè äåðåâåíñêèìè ïîëüñêèìè ìàëü÷èøêàìè. Ãðàìîòó è ñ÷åò ÿ îäîëåë ïîõîäÿ, ëåãêî. Íåêîòîðîå îáó÷åíèå ÿ ïîëó÷èë ñî ñòîðîíû ìàòåðè îíà äî çàìóæåñòâà áûëà ñåëüñêîé ó÷èòåëüíèöåé. Íàóêè äàâàëèñü ìíå äîâîëüíî ëåãêî. Ïîë÷àñà ïåðåä îáåäîì ìàòü ó÷èëà àðèôìåòèêå, ÷òåíèþ, ìîëèòâå. Íî ãëàâíûé èíòåðåñ ê òî÷íûì íàóêàì ïðèâèë îòåö. Îí ïðîõîäèë â èíñòèòóòå âûñøóþ ìàòåìàòèêó è óìåë î÷åíü èíòåðåñíî ðàññêàçûâàòü.  âîñåìü ëåò ìåíÿ ïðèíÿëè â ïîäãîòîâèòåëüíûé êëàññ. Îêàçàëîñü, ÷òî âñå, ÷åìó ìåíÿ òàì ó÷èëè, ÿ 01-25.p65 15 Ñåðãåé Ìèõàéëîâè÷ Íèêîëüñêèé óæå çíàë. ×åðåç ãîä áûë ýêçàìåí â 1-é êëàññ. Ó÷èòåëü ìàòåìàòèêè ñ óíèâåðñèòåòñêèì çíà÷êîì ñïðîñèë ìåíÿ, ñêîëüêî áóäåò 10 ïîìíîæèòü íà 11. Õîòÿ ýòî íå âõîäèëî â ïðîãðàììó ïîñòóïëåíèÿ â 1-é êëàññ, íî ÿ áûñòðî îòâåòèë. Òîãäà îí ñïðîñèë, ñêîëüêî áóäåò 11 ïîìíîæèòü íà 12. ß òîæå îòâåòèë. Òîãäà îí îæèâèëñÿ è ñòàë ñïðàøèâàòü, ñêîëüêî áóäåò 13 íà 14, 15 íà 17, 16 íà 17 è òàê ïî÷òè äî òûñÿ÷è. Ïîñëå íåêîòîðûõ ðàçäóìèé ÿ äàâàë ïðàâèëüíûå îòâåòû. Îí ïîñòàâèë ìíå «ïÿòü». Òàê ÿ äåðæàë ïåðâûé ýêçàìåí ïî àðèôìåòèêå. Ëåòîì 1914 ãîäà íà÷àëàñü ìèðîâàÿ âîéíà, à ìû æèëè â 20 êì îò ãåðìàíñêîé ãðàíèöû. Îòåö ïîñëàë ñåìüþ íà âîñòîê, â òûë, à ñàì îñòàëñÿ â ëåñíè÷åñòâå. Òàê ìû îêàçàëèñü â ×åðíèãîâå. Çäåñü ÿ ïîñòóïèë â êëàññè÷åñêóþ ×åðíèãîâñêóþ ãèìíàçèþ èìåíè Àëåêñàíäðà I Áëàãîñëîâåííîãî.  ñâÿçè ñ âîéíîé ïåðåâîäíûå ýêçàìåíû èç êëàññà â êëàññ áûëè îòìåíåíû. Ïåðâûå äâà ãîäà îáó÷åíèå ïðîèñõîäèëî íîðìàëüíî. Ôðîíò áûë äàëåêî. ß óñïåë õîðîøî îñâîèòü àðèôìåòèêó ïî Êèñåëåâó.  34-ì êëàññàõ ãèìíàçèè èçó÷àëàñü àëãåáðà. Ïî ìàòåìàòèêå ìíå îáûêíîâåííî ñòàâèëè «ïÿòåðêè». ß ëþáèë ðåøàòü çàäà÷è. 09.06.10, 10:21 $ ÊÂÀÍT 2010/¹3 Ê êîíöó âîéíû íà÷àëàñü ðåâîëþöèÿ, ïîòîì â ×åðíèãîâ ïðèøëè íåìöû. Òàê ìû ïðîæèëè äî 1918 ãîäà. Íàø îòåö æèë îòäåëüíî îò ñåìüè, ãëàâíûì îáðàçîì, â Ïåòåðáóðãå. Íî â 1918 ãîäó îí ïîëó÷èë íàçíà÷åíèå â ëåñíè÷åñòâî íà þãå Âîðîíåæñêîé ãóáåðíèè, â çíàìåíèòûé Øèïîâ ëåñ, è âûçâàë ê ñåáå ñåìüþ. Òàê ìû ñòàëè æèòü íà êðàþ âåëè÷åñòâåííîãî äóáîâîãî ëåñà, êîðàáåëüíîãî ëåñà, íî âäàëè îò ãîðîäîâ. Íà ðàññòîÿíèè 30 êì îò íàñ â òó è â äðóãóþ ñòîðîíó áûëè óåçäíûå ãîðîäà, à çäåñü áûë òîëüêî ëåñ è äåðåâíÿ. Ñ 1918 è ïî êîíåö 1921 ãîäà ÿ íå ó÷èëñÿ, óñïåâ ïðîó÷èòüñÿ â ãèìíàçèè òîëüêî â ïåðâûõ ÷åòûðåõ êëàññàõ. À â Øèïîâîì ëåñó ìíå ïðèøëîñü ðàáîòàòü â ëåñíè÷åñòâå, çàðàáàòûâàòü äåíüãè. Ñíà÷àëà ìû æèëè íà çàðïëàòû, êîòîðûå ñèëüíî óäåøåâëÿëèñü, äåíüãè ïåðåñòàâàëè èìåòü êàêóþ-ëèáî öåííîñòü. Êðîìå òîãî, ñëó÷èëèñü ñèëüíûå íåäîðîäû, áîëüøèå çàñóõè. Òàê ÷òî äîâîëüíî ñêîðî ìû ñòàëè æèòü â ñðàâíèòåëüíî òÿæåëûõ óñëîâèÿõ, íàñòîëüêî òÿæåëûõ, ÷òî â íà÷àëå 1921 ãîäà îòåö óñòðîèë ìåíÿ ðàáîòàòü ïîìîùíèêîì ñàäîâíèêà â ñîâõîçå, òàì âñå-òàêè êîðìèëè. Íî è â ýòèõ óñëîâèÿõ ÿ êîå-÷åìó ó÷èëñÿ. È äàæå ìíîãîìó íàó÷èëñÿ. Îò îòöà. Îí âðåìÿ îò âðåìåíè çàíèìàëñÿ ñ äåòüìè, îò íåãî ÿ óçíàë âñþ ñðåäíþþ ìàòåìàòèêó. Îò íåãî ÿ âïåðâûå óçíàë, ÷òî åñòü óðàâíåíèÿ ëèíåéíûå è êâàäðàòíûå, ÷òî åñòü òàêàÿ ïàðàáîëà. Ïðàâäà, ìû íå î÷åíü çàíèìàëèñü âîïðîñîì, êàê âåäåò ñåáÿ ïàðàáîëà, åñëè îíà 2 çàäàíà óðàâíåíèåì y = a ( x − x0 ) + y0 . Íî ÿ õîðîøî 2 ñåáå ïðåäñòàâëÿë ïàðàáîëó y = x èëè y = ax2 . Áîëüøå òîãî, îòåö çíàë íà÷àëà àíàëèçà. Ýòè ñâåäåíèÿ ÿ òîæå ïîëó÷èë îò íåãî. ß óìåë äèôôåðåíöèðîâàòü, çíàë, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ãåîìåòðè÷åñêè èçîáðàæàåòñÿ êàñàòåëüíîé, è òàê äàëåå. Âñå ýòî ÿ õîðîøî óñâîèë, íå ó÷àñü â øêîëå. Òàê ñëó÷èëîñü, ÷òî ëåòîì 21-ãî ãîäà ìîåãî îòöà óáèëè áàíäèòû. È â ýòî âðåìÿ áûë äîâîëüíî ñèëüíûé íåäîðîä. Äâà ìîèõ áðàòà óìåðëè îò õîëåðû, è ñ îñòàòêàìè ñåìüè ìû óåõàëè îáðàòíî â ×åðíèãîâ, ãäå â òî âðåìÿ ìîæíî áûëî, ïî êðàéíåé ìåðå, êàê-òî íîðìàëüíî ïèòàòüñÿ.  Ïîâîëæüå è â òåõ ìåñòàõ, ãäå ìû ðàíüøå æèëè, áûëî î÷åíü ãîëîäíî.  ×åðíèãîâ ñòåêàëîñü ìíîãî ñòîëè÷íûõ ëþäåé, ïîòîìó ÷òî â ñòîëèöå áûëî òðóäíî æèòü. Ñðåäè íèõ áûëè è ïðåïîäàâàòåëè, ïîëó÷èâøèå äîñòàòî÷íî âûñîêîå ìàòåìàòè÷åñêîå îáðàçîâàíèå. Âîò îäèí èç òàêèõ ó÷èòåëåé êàê ðàç è ýêçàìåíîâàë íàñ ïðè ïîñòóïëåíèè íà ïîäãîòîâèòåëüíîå îòäåëåíèå â òåõíèêóì. Îí íå î÷åíü ñëåäîâàë ïðîãðàììàì, à ñïðàøèâàë òàê, êàê ñ÷èòàë íóæíûì. Êàæäûé ýêçàìåíóþùèéñÿ ïðèõîäèë ê íåìó ñ áóìàæêîé. È îí áûñòðî ïèñàë äâà âîïðîñà, íà êîòîðûå ïîñëå îáäóìûâàíèÿ ýêçàìåíóþùèéñÿ äîëæåí áûë îòâåòèòü. Ó ìåíÿ òîæå áûëî äâà âîïðîñà. Ïåðâûé íàðèñîâàòü ïàðàáîëó y = x2 + 4 . Ïàðàáîëó ÿ ïîñòðîèë ïî òî÷êàì äîâîëüíî ëåãêî. À âòîðîé âîïðîñ äîëæåí áûë èìåòü òåîðåòè÷åñêèé õàðàêòåð. Ó÷èòåëü õîòåë, ÷òîáû ÿ ÷òî-òî ðàññêàçàë ïðî äèñòðèáóòèâíûé çàêîí, íî òàê íåáðåæíî íàïèñàë íà áóìàæêå (a + b)n, ÷òî ÿ ïîäóìàë, ÷òî n íàõîäèòñÿ â ïîêàçàòåëå ñòåïåíè. Íî ÿ çíàë áèíîì Íüþòîíà ñî âñåìè ñî÷åòàíèÿìè... 01-25.p65 16 Íàñ ýêçàìåíîâàë åùå è êîìèññàð, ïðèåõàâøèé èç îáêîìà. Îí òåðïåëèâî è ñ áîëüøèì óäèâëåíèåì ñëóøàë, êàê ÿ âûâîäèë ïî âñåì ïðàâèëàì ìàòåìàòè÷åñêîãî èñêóññòâà ôîðìóëó áèíîìà Íüþòîíà. À êîãäà ÿ çàêîí÷èë, îí ñêàçàë: «Òàê òåáå æå äàëè ñîâñåì äðóãîå». Òåïåðü, êîãäà ÿ âñïîìèíàþ òîò ñëó÷àé, òî äóìàþ, ÷òî åñëè áû ÿ çíàë, ÷òî òàì íàïèñàí äèñòðèáóòèâíûé çàêîí, òî îêàçàëñÿ áû â áîëüøîì çàòðóäíåíèè, ïîòîìó ÷òî íå çíàë, ÷òî ìíå íàäî ñêàçàòü... Ýòó ôèëîñîôèþ ÿ ñîâñåì íå çíàë. Ñêîáêè ðàñêðûòü äëÿ ìåíÿ íå áûëî ïðîáëåìû, à ÷òî ãîâîðèòü ïðè ýòîì, ÿ íå çíàë.  òî âðåìÿ â ×åðíèãîâå, â òåõíèêóìå â ÷àñòíîñòè, áûëè ïðåïîäàâàòåëè î÷åíü âûñîêîé êâàëèôèêàöèè. Áûë òàì îäèí ìàòåìàòèê Äàâûäîâ, êîòîðûé î÷åíü òàëàíòëèâî ðàññêàçàë î òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Îí êàêèå-òî ïðèìåðû ïðèâîäèë, áûñòðî ïåðåõîäèë ê óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè, ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ âñå ýòî îí ðàññêàçàë íàì ïî÷òè íà ïàëüöàõ áóêâàëüíî çà äâà óðîêà. ß íå õî÷ó ñêàçàòü, ÷òî âñå çíàë, íàõîäÿñü â ëåñó, ÿ êîå-÷òî åùå äîáàâèë ê ñâîèì çíàíèÿì â òåõíèêóìå. Ïðî ìåíÿ åùå ìîé îòåö ãîâîðèë: «Ñåðåãà ó íàñ ìàòåìàòèê. Áóäåò èíæåíåðîì». È ÿ ñ÷èòàë, ÷òî áóäó èíæåíåðîì. Êàêèì? Îá ýòîì ÿ òîãäà åùå íå äóìàë.  òåõíèêóìå ïåðâûé ãîä ÿ áûë íà ìåõàíè÷åñêîì ôàêóëüòåòå.  íàøåì îáùåæèòèè æèëè è ñòóäåíòû-ìàòåìàòèêè. Áûëè òàêèå, êîòîðûå ñ÷èòàëè, ÷òî ó÷àòñÿ â ñëàáîì èíñòèòóòå è åùå ïîåäóò ó÷èòüñÿ â Ïåòåðáóðã. È ÿ òàê äóìàë: âîò ïîåäó â Ïåòåðáóðã, ïîñòóïëþ òàì â êàêîéíèáóäü òåõíè÷åñêèé âóç. Òîãäà î òåõíè÷åñêîì âóçå ìå÷òàëè ìíîãèå, â îñîáåííîñòè òå, êòî ÷óâñòâîâàë, ÷òî â ìàòåìàòèêå ÷òî-òî ñìûñëèò. Òàê ÷òî áûëè òàêèå ðåáÿòà, êîòîðûå îáçàâîäèëèñü êàêèìè-òî çàäà÷íèêàìè, è ïî õîäó äåëà èì íàäî áûëî ðåøèòü êàêóþ-òî çàäà÷ó ïî ìàòåìàòèêå. ß, áûâàëî, ñïðîøó: «Êàêóþ çàäà÷ó òåáå íàäî ðåøèòü? Äàâàé ÿ ïîïðîáóþ». È, êàê ïðàâèëî, ðåøàë. Äàæå íå «êàê ïðàâèëî», à ïðîñòî íå áûëî íè îäíîãî ñëó÷àÿ, ÷òîáû ÿ íå ðåøèë. ß äàæå ñòàë íåìíîæêî çàçíàâàòüñÿ. Îíè ãîâîðèëè, ÷òî ÿ íå ðåøó, à ÿ èì ÷òî íåò, ðåøó. È äîáàâëÿë: «Çà ïîë÷àñà ðåøó». Îíè áðàëè ÷àñû, îòìåðÿëè ïîë÷àñà, ÿ â ýòî âðåìÿ íàä êàêîé-íèáóäü òðèãîíîìåòðè÷åñêîé çàäà÷åé äóìàë. Ýòî ôàêò, ÷òî ÿ ðåøàë çàäà÷è è äàæå õîäèë íà «ïàðè». Òàêîå áûëî ìîå îòíîøåíèå ê ìàòåìàòèêå. ß ñ óäîâîëüñòâèåì è ñ èíòåðåñîì ðåøàë ðàçëè÷íûå ìàòåìàòè÷åñêèå çàäà÷è, íî ñàì ñåáå ýòè çàäà÷è îñîáåííî íå çàäàâàë è ïîäðÿä èç çàäà÷íèêà íå ðåøàë. Íî åñëè áûëî íóæíî, òî ðåøàë çàäà÷è ñ óäîâîëüñòâèåì è ñ èíòåðåñîì ýòî ôàêò. Ïîòîì ÿ ïîñòóïèë íà ìàòåìàòè÷åñêîå îòäåëåíèå Åêàòåðèíîñëàâñêîãî óíèâåðñèòåòà ñ òåì, ÷òîáû ÷åðåç ãîä ïåðåâåñòèñü â èíæåíåðíûé âóç. Íî ïî ìåðå òîãî, êàê ÿ òàì ó÷èëñÿ è ñòàë èçó÷àòü êíèæêè ñîîòâåòñòâóþùèå, ÿ ïðèøåë ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî ìàòåìàòèêà î÷åíü èíòåðåñíàÿ è ãëóáîêàÿ íàóêà, íàñòîëüêî èíòåðåñíàÿ, ÷òî ìíå íàäî ïðîäîëæàòü ó÷èòüñÿ èìåííî ìàòåìàòèêå. ß ðåøèë, ÷òî áóäó ïðîôåññèîíàëîì-ìàòåìàòèêîì. Ïóñòü ÿ áóäó òîëüêî ó÷èòåëåì ìàòåìàòèêè, è ïóñòü ìíå áóäóò ïëàòèòü ìåíüøå, íî âñå ðàâíî ÿ õî÷ó áûòü ìàòåìàòèêîì. 09.06.10, 10:21 ÍÀÍÎÒÅÕÍÎËÎÃÈÈ Êâàíòîâûå è âîëíîâûå ÿâëåíèÿ â íàíîìèðå Â.ÒÈÌÎØÅÍÊÎ Â ÎÁÛ×ÍÎÉ ÆÈÇÍÈ, ÍÀÁËÞÄÀß ÄÂÈÆÅÍÈÅ ÊÀ- êîãî-ëèáî îáúåêòà, ëþäè ñòðåìÿòñÿ óçíàòü êàê ìîæíî òî÷íåå îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè òàêîãî äâèæåíèÿ. Íàïðèìåð, íàì íóæíî çíàòü òî÷íîå ðàñïèñàíèå äâèæåíèÿ ýëåêòðè÷êè èëè àâòîáóñà, ÷òîáû âîâðåìÿ äîáðàòüñÿ ê æåëàííîé öåëè. ×åëîâåê õî÷åò èìåòü äàííûå î äâèæåíèè ïëàíåò è çàêîíàõ âðàùåíèÿ Çåìëè, ÷òîáû ïðåäñêàçàòü ïðèðîäíûå ÿâëåíèÿ, à ïîðîé è ïðîñòî ñîñòàâèòü àñòðîëîãè÷åñêèé ïðîãíîç, õîòÿ òîò è íå èìååò ê íàó÷íîìó çíàíèþ íèêàêîãî îòíîøåíèÿ.  êëàññè÷åñêîé ôèçèêå ñòðåìëåíèå ê òî÷íîñòè îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ òåë ôîðìàëèçóåòñÿ ïîñòàíîâêîé çàäà÷è î íàõîæäåíèè çàêîíà äâèæåíèÿ, à èìåííî ôîðìóëû èëè ãðàôèêà, îïèñûâàþùèõ, êàê òåëî ïåðåìåñòèëîñü èç òî÷êè À â òî÷êó B çà âðåìÿ t. È ÷åì òî÷íåå ðåøàåòñÿ äàííàÿ çàäà÷à, òåì ëó÷øå. Òî, ÷òî ïîäîáíàÿ çàäà÷à äîëæíà èìåòü òî÷íîå ðåøåíèå, ñîñòàâëÿåò ñóòü èäåè äåòåðìèíèçìà â ôèçèêå, íàèáîëåå ÿðêèì è ïîëíûì âûðàçèòåëåì êîòîðîé ñòàë âåëèêèé ôðàíöóçñêèé ó÷åíûé XVIIIXIX âåêîâ Ïüåð Ëàïëàñ. Íî åñëè ëàïëàñîâñêèé äåòåðìèíèçì ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå, âêëþ÷àÿ íåáåñíóþ ìåõàíèêó, òî äëÿ ìèêðîìèðà è ñòîëü ïîïóëÿðíûõ â íàñòîÿùåå âðåìÿ íàíîñèñòåì, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé òåëà èëè ñîâîêóïíîñòè òåë ñ õàðàêòåðíûìè ðàçìåðàìè îò 1 äî 100 íì, èñïîëüçîâàíèå ìåòîäîëîãèè äåòåðìèíèçìà òðåáóåò ñåðüåçíîãî ïåðåîñìûñëåíèÿ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â íàíîñèñòåìàõ òî÷íîå çíàíèå çàêîíîâ äâèæåíèÿ Ëàïëàñ Ïüåð Ñèìîí (17491827) ïîðîé íå ïðåäñòàâëÿôðàíöóçñêèé àñòðîíîì, ìàòåìàòèê åòñÿ âîçìîæíûì, à è ôèçèê, ÷ëåí ìíîãèõ àêàäåìèé ñàìî äâèæåíèå ýòî íàóê è íàó÷íûõ îáùåñòâ. Ñ÷èòàåò- óæå íå ïðîñòîå ïåñÿ, ÷òî ïîñëåäíèìè ñëîâàìè Ëàïðåìåùåíèå, à íå÷òî ëàñà áûëè: «Òî, ÷òî ìû çíàåì, òàê íè÷òîæíî ïî ñðàâíåíèþ ñ òåì, ÷òî ïîäîáíîå âîëíå, êîãäà ìàêñèìóì ñìåíÿìû íå çíàåì» 01-25.p65 17 åòñÿ ìèíèìóìîì è íàîáîðîò. Íî êàê æå áûòü òîãäà ñ îñíîâíîé çàäà÷åé íàíîòåõíîëîãèé ñîçäàâàòü íàíîñèñòåìû, íàíîìàòåðèàëû è íàíîîáúåêòû ñ íàíîìåòðîâîé òî÷íîñòüþ è çíàòü î ïîâåäåíèè òàêèõ îáúåêòîâ ñ íàíîñåêóíäíûì èëè äàæå ñóáíàíîñåêóíäíûì âðåìåííûì \ ðàçðåøåíèåì? Æåëàíèå òî÷íîñòè âåñüìà ïîõâàëüíî. È íå òîëüêî äëÿ êîðîëåé, ìåòðîëîãîâ èëè íàíîòåõíîëîãîâ. Òî÷íîñòü è îïðåäåëåííîñòü õîðîøèå êà÷åñòâà äëÿ ëþáîãî îáðàçîâàííîãî ÷åëîâåêà. Íî, óâû, â ìèðå íàíîðàçìåðîâ è íàíîïåðåìåùåíèé, èëè, ïðîùå ãîâîðÿ, â íàíîìèðå, ñòðåìëåíèå ê ìàêñèìàëüíîé òî÷íîñòè óïèðàåòñÿ â ðÿä ôóíäàìåíòàëüíûõ îãðàíè÷åíèé, êîòîðûå åñëè è íå îòìåíÿþò âîçìîæíîñòü ñêîëü óãîäíî òî÷íîãî îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíûõ òåë, òî çíà÷èòåëüíî èçìåíÿþò ñìûñë òîãî, ÷òî ìû ìîæåì óçíàòü î äâèæåíèè íà î÷åíü ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ. Ñàìî äâèæåíèå òåëà óæå íå ìîæåò áûòü çà÷àñòóþ îïèñàíî êàê ïåðåìåùåíèå èç òî÷êè À â òî÷êó B, à ñêîðåå äîëæíî ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê äâèæåíèå âîëíû, ïðè êîòîðîì ìîæíî ëèøü óòâåðæäàòü, ÷òî òåëî ïîïàäåò â æåëàåìóþ òî÷êó ñ íåêîòîðîé âåðîÿòíîñòüþ. Äðóãèìè ñëîâàìè, îïðåäåëåííîñòü çàêîíîâ äâèæåíèÿ, èëè äåòåðìèíèçì, ÿâëÿþùèéñÿ êðàåóãîëüíûì êàìíåì êëàññè÷åñêîé ôèçèêè, óñòóïàåò ìåñòî âåðîÿòíîñòíîìó ñïîñîáó îïèñàíèÿ ìèðà. Òàêîé ïîäõîä ê îïèñàíèþ ìèðà áûë ïðåäëîæåí îêîëî ñòà ëåò íàçàä, êîãäà ñîçäàâàëàñü êâàíòîâàÿ ôèçèêà, â ÷àñòíîñòè êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà. Îí íå ñðàçó áûë ïîíÿò è ïðèíÿò äàæå ôèçèêàìè, ïîñêîëüêó î÷åíü íåïðîñòî ïðèìèðèòüñÿ ñ îòñóòñòâè- Ýéíøòåéí Àëüáåðò (18791955) åì äåòåðìèíèçìà â âûäàþùèéñÿ ôèçèê-òåîðåòèê, îäèí íàóêå. Òàê, èçâåñòåí èç ñîçäàòåëåé ñîâðåìåííîé ôèçèàôîðèçì Àëüáåðòà êè. Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè Ýéíøòåéíà î òîì, ÷òî ïî ôèçèêå (1921) «çà çàñëóãè ïåðåä òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêîé è îñî«Áîã íå èãðàåò â êîñ- áåííî çà îòêðûòèå çàêîíà ôîòîòè». Òàêèì âûñêàçû- ýëåêòðè÷åñêîãî ýôôåêòà» 09.06.10, 10:21 & ÊÂÀÍT 2010/¹3 âàíèåì âåëèêèé ôèçèê, êîòîðûé ñàì ÿâëÿëñÿ îäíèì èç îñíîâîïîëîæíèêîâ êâàíòîâîé ôèçèêè, áðîñèë âûçîâ ðàçðàáîò÷èêàì êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Îíè åãî ïðèíÿëè è ñîçäàëè ñòðîéíóþ íàó÷íóþ òåîðèþ, êîòîðàÿ ìîæåò îïèñàòü êàê äâèæåíèå çàðÿäîâ â àòîìå, òàê è ïåðåìåùåíèå áîëåå êðóïíûõ òåë, íàïðèìåð íàíî÷àñòèö. Íî, ÷òî ñàìîå âàæíîå, èñõîäÿ èç êâàíòîâîé ìåõàíèêè, õîðîøî ïðîñëåæèâàåòñÿ ïåðåõîä îò íåîïðåäåëåííîñòè ïåðåìåùåíèé ìàëûõ îáúåêòîâ ê äåòåðìèíèçìó äâèæåíèÿ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ òåë. Èìåííî ýòî êðàéíå âàæíî äëÿ íàíîòåõíîëîãèé, ñòðåìÿùèõñÿ ñîçäàâàòü íîâûå âåùåñòâà è óñòðîéñòâà ìåòîäàìè êàê «câåðõó-âíèç», òàê è «ñíèçó-ââåðõ». ×òîáû ðàçîáðàòüñÿ â òîì, êàê âñå æå ìîæíî îïèñûâàòü ñâîéñòâà òåë è ðàçëè÷íûå ÿâëåíèÿ â íàíîìèðå, âñïîìíèì âàæíåéøèå ôóíäàìåíòàëüíûå çàêîíû (ïîñòóëàòû) êâàíòîâîé ôèçèêè. Ïîñòóëàò ïåðâûé ãëàñèò, ÷òî ëþáàÿ äâèæóùàÿñÿ ÷àñòèöà ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî âîëíîé, à âîëíà ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ÷àñòèöà. Ýòîò ïîñòóëàò âûðàæàåò ñóòü êîíöåïöèè êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîãî äóàëèçìà, ïðåäëîæåííîé â 1923 ãîäó ôðàíöóçñêèì ó÷åíûì Ëóè äå Áðîéëåì. Ñîãëàñíî òåîðèè äå Áðîéëÿ, äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîãî îáúåêòà íåîáõîäèìî çíàòü êàê åãî êîðïóñêóëÿðíûå õàðàêòåðèñòèêè, íàïðèìåð èìïóëüñ èëè ýíåðãèþ, òàê è âîëíîâûå Äå Áðîéëü Ëóè (18921987) ôðàí- õàðàêòåðèñòèêè, à öóçñêèé ôèçèê-òåîðåòèê, îäèí èç èìåííî äëèíó âîëíû ñîçäàòåëåé êâàíòîâîé ìåõàíèêè. èëè ÷àñòîòó.  ÷àñòËàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî íîñòè, ÷àñòèöå ñ èìôèçèêå (1929) «çà îòêðûòèå âîëíî- ïóëüñîì ð ìîæíî ñîâîé ïðèðîäû ýëåêòðîíîâ» ïîñòàâèòü òàê íàçûâàåìóþ äëèíó âîëíû äå Áðîéëÿ: h λD = , p ãäå h = 6,62 ⋅ 10−34 Äæ ⋅ ñ ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà. Çàìåòèì, ÷òî àíàëîãè÷íîå ñîîòíîøåíèå áûëî ïðåäëîæåíî åùå â 1900 ãîäó Ìàêñîì Ïëàíêîì äëÿ ÷àñòîòû è ýíåðãèè êâàíòîâ ñâåòà ôîòîíîâ: E ν= . h Çà ýòî ãåíèàëüíî ïðîñòîå ñîîòíîøåíèå â 1918 ãîäó Ïëàíê áûë óäîñòîåí Íîáåëåâñêîé ïðåìèè. Ïðåäëîæåííîå Ïëàíêîì âûðàæåíèå íå òîëüêî ïîçâîëèëî îáúÿñíèòü ñïåêòð òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ òåë, íî è ñòàëî îòïðàâíîé òî÷êîé äëÿ îáúÿñíåíèÿ ìíîãèõ âàæíåéøèõ ôèçè÷åñêèõ ýôôåêòîâ òàêèõ, íàïðèìåð, êàê ôîòîýô- 01-25.p65 18 ôåêò. Íîáåëåâñêóþ ïðåìèþ çà îáúÿñíåíèå ôîòîýôôåêòà ïðèñóäèëè â 1921 ãîäó Àëüáåðòó Ýéíøòåéíó, êîòîðûé â ñâîåé ðàáîòå, âûøåäøåé â 1905 ãîäó, ïðèìåíèë ãèïîòåçó Ïëàíêà äëÿ îáúÿñíåíèÿ èñïóñêàíèÿ ýëåêòðîíîâ èç òâåðäûõ òåë ïîä äåéñòâèåì ñâåòà. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî èìåííî Ýéíøòåéíó ïðèíàäëåæèò çàñëóãà â îáúÿñíåíèè ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà ñâÿçè ìåæäó ÷àñòîòîé è ýíåðãèåé ñâåòà. Ïëàíê Ìàêñ Êàðë Ýðíñò Ëþäâèã Òàêèì îáðàçîì, äå (18581947) íåìåöêèé ôèçèêÁðîéëü ðàñïðîñòðà- òåîðåòèê, îñíîâîïîëîæíèê êâàííèë ãèïîòåçó Ïëàí- òîâîé òåîðèè. Ëàóðåàò Íîáåëåâñêà, ïåðâîíà÷àëüíî îò- êîé ïðåìèè ïî ôèçèêå (1918) «â íîñÿùóþñÿ òîëüêî ê çíàê ïðèçíàíèÿ åãî çàñëóã â ðàçâèòèè ôèçèêè áëàãîäàðÿ îòêðûêâàíòàì ñâåòà ôî- òèþ êâàíòîâ ýíåðãèè» òîíàì, íà ëþáûå äâèæóùèåñÿ òåëà. Íî íàñêîëüêî íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü âîëíîâûå ñâîéñòâà äëÿ ðåàëüíûõ òåë? ×òîáû îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ, ïîïðîáóåì ñäåëàòü ïðîñòûå îöåíêè. Ðàññìîòðèì ñâîáîäíûé ýëåêòðîí ìàññîé m0 = 9,1 ⋅ 10−31 êã â òâåðäîì òåëå, íàïðèìåð ìåòàëëå, ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå. Ñîãëàñíî êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîííîé òåîðèè, òàêîé ýëåêòðîí äîëæåí èìåòü òåïëîâóþ ñêîðîñòü v = 105 ì/ñ.  ýòîì ñëó÷àå ñîîòâåòñòâóþùàÿ äëèíà âîëíû äå Áðîéëÿ áóäåò ðàâíà h λD = = 7,3 íì. È õîòÿ, ñîãëàñíî ñîâðåìåííûì mv ïðåäñòàâëåíèÿì, ñêîðîñòü ýëåêòðîíîâ â òâåðäûõ òåëàõ ìîæåò áûòü âî ìíîãî ðàç áîëüøå, äëÿ ìíîãèõ ìåòàëëîâ è ïîëóïðîâîäíèêîâ λ D ëåæèò â äèàïàçîíå 110 íì. À çíà÷èò, ïðè îïèñàíèè ýëåêòðîííûõ ÿâëåíèé â íàíîìèðå íåëüçÿ ïðåíåáðåãàòü âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè ýëåêòðîíîâ è ïîäîáíûõ èì ÷àñòèö. Èíà÷å îáñòîèò äåëî ñ ìàêðîñêîïè÷åñêèìè òåëàìè è íåäîñòàòî÷íî ìàëåíüêèìè ìèêðî÷àñòèöàìè. Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà îäèí èç ñàìûõ ìåëêèõ ìèêðîîðãàíèçìîâ, à èìåííî ìèêðîá ðàçìåðîì 1 ìêì è ìàññîé 10 −13 êã, ïåðåäâèãàþùèéñÿ ñî ñêîðîñòüþ 1 ìêì/ñ. Ëåãêî ïîñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ ìèêðîáà äëèíà âîëíû äå Áðîéëÿ ñîñòàâèò âåëè÷èíó ïîðÿäêà 10 −15 ì = = 10−9 ìêì = 10−6 íì, ò.å. áóäåò ïðåíåáðåæèìî ìàëà ïî ñðàâíåíèþ íå òîëüêî ñ åãî ðàçìåðàìè, íî è ñ ðàçìåðàìè àòîìà a0 ∼ 0,05 íì. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè îïèñàíèè äâèæåíèÿ ìèêðîáà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü åãî âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè, êàê, âïðî÷åì, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè àíàëîãè÷íûõ è áîëåå êðóïíûõ îáúåêòîâ ìèêðî- è ìàêðîìèðà. Íî ÷åì ìåíüøå (ëåã÷å) òåëî è ÷åì ìåíüøå åãî ñêîðîñòü, òåì çíà÷èìåå ñòàíîâÿòñÿ åãî âîëíîâûå ñâîéñòâà. Òàê, äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû íàíîìåòðîâûõ ðàçìå- 09.06.10, 10:21 ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ È ÂÎËÍÎÂÛÅ ðîâ, ñêàæåì äëÿ íàíîêðèñòàëëà êðåìíèÿ ñ ïîïåðå÷íûì ðàçìåðîì 1 íì è, çíà÷èò, ìàññîé 10 −24 êã, îáëàäàþùåãî ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå òåïëîâîé ñêîðîñòüþ 102 ì/ñ, ïîëó÷èì äëèíó âîëíû äå Áðîéëÿ λ D ≈ 0,007 íì. Ýòà âåëè÷èíà ïî-ïðåæíåìó ìíîãî ìåíüøå, ÷åì ðàçìåð ðàññìàòðèâàåìîé ÷àñòèöû, ïîýòîìó ìåõàíè÷åñêîå äâèæåíèå òàêèõ ìàëûõ òåë ìîæíî ðàññìàòðèâàòü, ïðåíåáðåãàÿ èõ âîëíîâîé ïðèðîäîé. Îäíàêî ïðè àíàëèçå âíóòðåííèõ ôîðì äâèæåíèÿ íàíîêðèñòàëëîâ, ò.å. äâèæåíèÿ ñóáíàíîìåòðîâûõ ÷àñòåé èëè ÷àñòèö, íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü âîëíîâûå ñâîéñòâà ñîñòàâëÿþùèõ èõ àòîìîâ è ýëåêòðîíîâ (îá ýòîì áóäåò ïîäðîáíåå ðàññêàçàíî íèæå). Èòàê, ñîãëàñíî ïîñòóëàòó î êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîì äóàëèçìå, íåëüçÿ çàáûâàòü î âîëíîâîé ïðèðîäå ìàëûõ ÷àñòèö, îñîáåííî åñëè ñîîòâåòñòâóþùàÿ äëèíà âîëíû ñîïîñòàâèìà ñ ðàçìåðàìè ÷àñòèöû è øêàëîé åå ïåðåìåùåíèé. À ìîæåò ëè íàíî÷àñòèöà, äâèæóùàÿñÿ ñ íåáîëüøîé ñêîðîñòüþ èëè íàõîäÿùàÿñÿ â ñðåäíåì â ñîñòîÿíèè ïîêîÿ, èìåòü äëèíó âîëíû äå Áðîéëÿ, ñîïîñòàâèìóþ ñ åå ðàçìåðàìè èëè ïðåâûøàþùèìè òàêèå ðàçìåðû? Ôîðìàëüíî èç ôîðìóëû, ïðåäëîæåííîé äå Áðîéëåì, ñëåäóåò, ÷òî ïîêîÿùàÿñÿ ÷àñòèöà äîëæíà èìåòü áåñêîíå÷íóþ äëèíó âîëíû λ D . Íà ñàìîì æå äåëå ìàëóþ ÷àñòèöó íåëüçÿ ïðèâåñòè â ñîñòîÿíèå ïîëíîãî ïîêîÿ. ×åì ìåíüøå è ëåã÷å îáúåêò, òåì ñëîæíåå åãî îñòàíîâèòü, çàôèêñèðîâàòü è èçìåðèòü, íàïðèìåð, åãî ðàçìåðû. È ýòî åùå îäíî ôóíäàìåíòàëüíîå ñâîéñòâî íàíîìèðà. Ñ íèì ñâÿçàí âòîðîé ïîñòóëàò íàíîìèðà ïðèíöèï íåîïðåäåëåííîñòè Ãåéçåíáåðãà. Ýòîò ïðèíöèï, ÿâëÿþùèéñÿ îäíèì èç îñíîâîïîëàãàþùèõ â êâàíòîâîé ìåõàíèêå, áûë ñôîðìóëèðîâàí â 1927 ãîäó ÂåðíåÃåéçåíáåðã Âåðíåð Êàðë (1901 ðîì Ãåéçåíáåðãîì. 1976) íåìåöêèé ôèçèê-òåîðå- Ñîãëàñíî ïðèíöèïó òèê, ñîçäàòåëü ìàòðè÷íîé êâàíòî- íåîïðåäåëåííîñòè, âîé ìåõàíèêè. Ëàóðåàò Íîáåëåâñ- íåâîçìîæíî îäíîâðåêîé ïðåìèè ïî ôèçèêå (1932) ìåííî èçìåðèòü ñî «çà ñîçäàíèå êâàíòîâîé ìåõàíèñêîëü óãîäíî âûñîêîé êè » òî÷íîñòüþ ïàðû ðÿäà ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, â òîì ÷èñëå èìïóëüñ è êîîðäèíàòó, ýíåðãèþ è âðåìÿ.Ïðè èçìåðåíèè óêàçàííûõ ïàð âåëè÷èí áóäóò âûïîëíÿòüñÿ ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòè äëÿ ïîãðåøíîñòåé (íåîïðåäåëåííîñòåé) èõ èçìåðåíèé: ∆px ⋅ ∆x ≥ , ∆E ⋅ ∆t ≥ , 2 2 h = 1,054 ⋅ 10−34 Äæ ⋅ ñ òîæå ïîñòîÿííàÿ 2π Ïëàíêà (èíîãäà íàçûâàåìàÿ ïîñòîÿííîé Äèðàêà). Òà- ãäå = 01-25.p65 19 ßÂËÅÍÈß Â ÍÀÍÎÌÈÐÅ ' êèì îáðàçîì, çíàÿ, íàïðèìåð, ÷òî ïðîåêöèÿ ñêîðîñòè ÷àñòèöû ìàññîé m ñîñòàâëÿåò âåëè÷èíó vx ± ∆vx , ñîîòâåòñòâóþùóþ êîîðäèíàòó ÷àñòèöû ìîæíî èçìåðèòü ñ ïîãðåøíîñòüþ ∆x ≥ . Èíûìè ñëîâàìè, êîîðäè2m∆vx íàòà ìîæåò áûòü èçâåñòíà òîëüêî êàê íåêîòîðàÿ âåëè÷èíà x ± ∆x , ãäå õ ñðåäíåå çíà÷åíèå. Åñëè æå â ñðåäíåì ÷àñòèöà ïîêîèòñÿ, ò.å. vx = 0 , òî âåëè÷èíà m∆vx ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûé èìïóëüñ ÷àñòèöû ïî îñè õ. Òîãäà, â ñîîòâåòñòâèè ñ ïîñòóëàòîì î êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîì äóàëèçìå, íåîïðåäåëåííîñòü êîîðäèíàòû ñâÿçàíà ñ ìàêñèìàëüíî âîçλ ìîæíîé äëèíîé âîëíû äå Áðîéëÿ: ∆x ≥ D . Ýòî 4π óêàçûâàåò íà âçàèìîñâÿçü îáîèõ óïîìÿíóòûõ ïîñòóëàòîâ êâàíòîâîé ìåõàíèêè, îòðàæàþùèõ âåðîÿòíîñòíûé õàðàêòåð ìèðà ìàëûõ ìàñøòàáîâ. Íî åñëè â íàíîìèðå âñå òàê íåîïðåäåëåííî è î âàæíåéøèõ õàðàêòåðèñòèêàõ äâèæåíèÿ ìîæíî ñóäèòü ëèøü ñ íåêîòîðîé âåðîÿòíîñòüþ, òî âîçíèêàåò âîïðîñ: ìîæíî ëè ïðåäëîæèòü êàêèå-ëèáî ñòðîãèå êîëè÷åñòâåííûå çàêîíû äëÿ îïèñàíèÿ õîòÿ áû ñðåäíèõ õàðàêòåðèñòèê äâèæåíèÿ? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äàåò òðåòèé ïîñòóëàò, êîòîðûé ãëàñèò, ÷òî êàæäîìó òåëó ìîæíî ñîïîñòàâèòü íåêîòîðóþ çàâèñèìóþ îò âðåìåíè è êîîðäèíàò ôóíêöèþ, íàçûâàåìóþ âîëíîâîé ôóíê öèåé Ψ (r ,t ) . Ïðè Øð¸äèíãåð Ýðâèí Ðóäîëüô Éîýòîì êâàäðàò ìîäóëÿ çåô Àëåêñàíäð (18871961) àâñòðèéñêèé ôèçèê-òåîðåòèê, îäèí âîëíîâîé ôóíêöèè èç ñîçäàòåëåé êâàíòîâîé ìåõàíè 2 Ψ (r ,t ) îïèñûâàåò êè. Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ìàòåìàòè÷åñêóþ âåðî- ïî ôèçèêå (1933) «çà îòêðûòèå íîâûõ ïðîäóêòèâíûõ ôîðì àòîìÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ íîé òåîðèè» ÷àñòèöû â äàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè, à ñàìà âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü íåêîòîðîìó óðàâíåíèþ, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Øð¸äèíãåðà.  ñëó÷àå, êîãäà ÷àñòèöà íàõîäèòñÿ â ïîëå ñèë, êîòîðûå ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè ïîòåíöè àëüíîé ýíåðãèè U(r ) , íå çàâèñÿùåé ÿâíî îò âðåìåíè, ñïðàâåäëèâî ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øð¸äèíãåðà 2 2 − ∇ Ψ(r ) + U(r )Ψ(r ) = EΨ(r ) , 2m 2 ∂ ∂2 ∂2 ãäå ∇2 = 2 + 2 + 2 òàê íàçûâàåìûé îïåðàòîð ∂x ∂y ∂z Ëàïëàñà, îïèñûâàþùèé äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî êîîðäèíàòàì, êîýôôèöèåíò Å èìååò ñìûñë ýíåðãèè ÷àñòèöû, êîòîðàÿ â ñèëó åå êâàíòîâûõ ñâîéñòâ ìîæåò ïðèíèìàòü äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ, íàçûâàåìûå ñîá- 09.06.10, 10:21 ÊÂÀÍT 2010/¹3 ñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ýíåðãèè.  îäíîìåðíîì ñëó÷àå ïðè ïîñòîÿííîì çíà÷åíèè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè: U = const óðàâíåíèå Øð¸äèíãåðà ïîäîáíî óðàâíåíèþ êîëåáàíèé: d2 Ψ ( x ) dx 2 + 2m ( E − U ) 2 Ψ (x ) = 0 . Çäåñü àíàëîãîì ÷àñòîòû âûñòóïàåò êîýôôèöèåíò 2m ( E − U ) , ñëåäîâàòåëüíî, ïðîñòðàíñòâåííûé ïåðè îä ôóíêöèè Ψ ( x ) ðàâåí 2π 2m ( E − U ) = h 2m ( E − U ) = h = λD . p Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèåì ñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ Øð¸äèíãåðà ÿâëÿåòñÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ, ïåðèîäè÷åñêàÿ â ïðîñòðàíñòâå ñ ïåðèîäîì, ðàâíûì äëèíå âîëíû äå Áðîéëÿ. Äðóãèìè ñëîâàìè, âîëíà äå Áðîéëÿ ýòî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øð¸äèíãåðà â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå ñâîáîäíîãî äâèæåíèÿ ÷àñòèöû. Åñëè æå äâèæåíèå îãðàíè÷åíî èëè èñïûòûâàåò êàêèå-ëèáî âíåøíèå âîçìóùåíèÿ, íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü îòðàæåíèÿ èëè èñêàæåíèÿ ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè âîëí äå Áðîéëÿ, ÷òî àâòîìàòè÷åñêè ðåàëèçóåòñÿ ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ Øð¸äèíãåðà ñ ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíêöèåé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè. Âûâîä î âîçìîæíîñòè ïîëó÷èòü âîëíó äå Áðîéëÿ èç ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øð¸äèíãåðà óêàçûâàåò íà âçàèìîñâÿçü îñíîâíûõ ïîñòóëàòîâ êâàíòîâîé ôèçèêè, îïèñûâàþùèõ ñ ðàçíûõ ñòîðîí îñîáåííîñòè íàíîìèðà. Êàê èçâåñòíî, âîëíû ìîãóò õàðàêòåðèçîâàòüñÿ íå òîëüêî äëèíîé âîëíû, ÷àñòîòîé è àìïëèòóäîé, íî è äðóãèì âàæíûì ïàðàìåòðîì ïîëÿðèçàöèåé âîëíû. Åñëè äâèæåíèå ÷àñòèö ñðåäû èëè âåêòîðà àìïëèòóäû â âîëíå ïðîèñõîäèò â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì íàïðàâëåíèþ åå ðàñïðîñòðàíåíèÿ, òî òàêàÿ âîëíà íàçûâàåòñÿ ïîïåðå÷íîé, à åñëè âäîëü íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ âîëíû, òî ïðîäîëüíîé.  ñëó÷àå ïîïåðå÷íîé âîëíû íàïðàâëåíèå êîëåáëþùåãîñÿ âåêòîðà àìïëèòóäû òàêæå ìîæåò áûòü ðàçëè÷íûì, ÷òî âûðàæàåòñÿ ïîëÿðèçàöèåé âîëíû. Íàïðèìåð, äëÿ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîé âîëíû íàïðàâëåíèå êîëåáàíèé âåêòîðà àìïëèòóäû âñåãäà ñîîòâåòñòâóåò îäíîìó ïðîñòðàíñòâåííîìó íàïðàâëåíèþ, à äëÿ êðóãîâîé èëè ýëëèïòè÷åñêîé ïîÏàóëè Âîëüôãàíã Ýðíñò (1900 ëÿðèçàöèè êîíåö âåê1958) âûäàþùèéñÿ ôèçèê-òåîòîðà àìïëèòóäû çà ïåðåòèê. Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ôèçèêå (1945) «çà îòêðû- ðèîä êîëåáàíèé îïèñûâàåò îêðóæíîñòü òèå ïðèíöèïà çàïðåòà» 01-25.p65 20 èëè ýëëèïñ ñîîòâåòñòâåííî. Íî åñëè äëÿ äâèæåíèÿ ìàëûõ (ñóáíàíîìåòðîâûõ) ÷àñòèö íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü èõ âîëíîâûå ñâîéñòâà, òî íóæíî ëè ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå âîçìîæíîñòü ðàçëè÷íîé ïîëÿðèçàöèè òàêèõ âîëí äå Áðîéëÿ? È åñëè íóæíî, òî êàê ñîîòíåñòè ïîëÿðèçàöèîííûå ñâîéñòâà ÷àñòèö ñ èõ êîðïóñêóëÿðíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè? Äàííûé âîïðîñ â êâàíòîâîé ôèçèêå ðåøàåòñÿ ââåäåíèåì îñîáîé õàðàêòåðèñòèêè ñïèíà ÷àñòèöû (îò àíãëèéñêîãî spin âåðòåòüñÿ), êîòîðûé îòðàæàåò ñîñòîÿíèå åå âíóòðåííåãî äâèæåíèÿ. Ïîíÿòèå ñïèíà áûëî ââåäåíî â ôèçèêó Âîëüôãàíãîì Ïàóëè. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, ñïèíîì ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû íàçûâàåòñÿ åå ñîáñòâåííûé ìîìåíò èìïóëüñà, èìåþùèé êâàíòîâóþ ïðèðîäó è íå ñâÿçàííûé ñ ïåðåìåùåíèåì ÷àñòèöû êàê öåëîãî. Ñïèíîì òàêæå õàðàêòåðèçóþò ñîáñòâåííûé ìîìåíò èìïóëüñà àòîìíîãî ÿäðà èëè àòîìà; â ýòîì ñëó÷àå ñïèí îïðåäåëÿåòñÿ êàê âåêòîðíàÿ ñóììà (âû÷èñëåííàÿ ïî ïðàâèëàì ñëîæåíèÿ ìîìåíòîâ â êâàíòîâîé ìåõàíèêå) ñïèíîâ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, îáðàçóþùèõ ñèñòåìó, è îðáèòàëüíûõ ìîìåíòîâ ýòèõ ÷àñòèö, îáóñëîâëåííûõ èõ äâèæåíèåì âíóòðè ñèñòåìû. Ñïèí èçìåðÿåòñÿ â åäèíèöàõ è ðàâåí S = J , ãäå J õàðàêòåðíîå äëÿ êàæäîãî ñîðòà ÷àñòèö öåëîå (â òîì ÷èñëå íóëåâîå) èëè ïîëóöåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, òàê íàçûâàåìîå ñïèíîâîå êâàíòîâîå ÷èñëî, êîòîðîå îáû÷íî íàçûâàþò ïðîñòî ñïèíîì.  ñâÿçè ñ ýòèì ãîâîðÿò î öåëîì èëè ïîëóöåëîì ñïèíå ÷àñòèöû. Òàê, äëÿ ýëåêòðîíà ñïèí ðàâåí 1/2, à äëÿ ïàðû ýëåêòðîíîâ èëè ïàðû ýëåêòðîí-äûðêà â ïîëóïðîâîäíèêå ïîëíûé ñïèí ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ 0 èëè 1. Èçâåñòíî, ÷òî âî âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå ñïèí âåäåò ñåáÿ ïîäîáíî ìàãíèòíîé ñòðåëêå, ò.å. îðèåíòèðóåòñÿ ïî ïîëþ. Íî êâàíòîâàÿ ïðèðîäà ñïèíà ïðîÿâëÿåòñÿ â òîì, ÷òî ïðîåêöèÿ ñïèíà íà íàïðàâëåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ ìîæåò ïðèíèìàòü òîëüêî äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ. Íàïðèìåð, äëÿ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà ïðîåêöèÿ ñïèíà ñîñòàâëÿåò +1/2 è 1/2, à äëÿ ýëåêòðîí-äûðî÷íîé ïàðû ñî ñïèíîì 1 òàêèå ïðîåêöèè ðàâíû +1, 1 è 0. Ýêñïåðèìåíòàëüíî è òåîðåòè÷åñêè óñòàíîâëåíî, ÷òî äàæå â îòñóòñòâèå âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ òàêàÿ ñèñòåìà èìååò ðàçëè÷íûå ýíåðãèè â ñëó÷àå, åñëè åå ïîëíûé ñïèí ðàâåí 0 èëè 1. Ïðàâäà, äëÿ áîëüøèíñòâà ñëó÷àåâ ðàçíèöà â ýíåðãèÿõ íå ïðåâûøàåò âåëè÷èíû ïîðÿäêà 0,001 ìýÂ. Îáñóæäàåìàÿ ðàçíîñòü ýíåðãèé ñâÿçàíà ñ ìàãíèòíûì âçàèìîäåéñòâèåì ìåæäó ñïèíàìè ñïèí îäíîé ÷àñòèöû ñîçäàåò ìàãíèòíîå ïîëå, êîòîðîå ñîîáùàåò äîïîëíèòåëüíóþ ýíåðãèþ ñïèíó äðóãîé ÷àñòèöû, è íàîáîðîò. Óêàçàííîå âçàèìîäåéñòâèå íàçûâàåòñÿ îáìåííûì è äëÿ áîëüøèíñòâà âåùåñòâ ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ñëàáûì ïî ñðàâíåíèþ ñ ýíåðãèåé òåïëîâîãî äâèæåíèÿ ÷àñòèö ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå. Íî äëÿ íàíîîáúåêòîâ äàííîå âçàèìîäåéñòâèå ìîæåò óñèëèòüñÿ âî ìíîãî ðàç, äîñòèãàÿ è äàæå ïðåâûøàÿ 25 ìý ýíåðãèþ òåïëîâîãî äâèæåíèÿ ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå. Ýòî ñâÿçàíî ñ ìàëûìè ðàçìåðàìè íàíîîáúåêòîâ, ïðè êîòîðûõ ñïèíû ïðèáëèæàþòñÿ äðóã ê äðóãó, ÷òî óñèëèâàåò èõ âçàèìîäåéñòâèå. Èçëîæåííûå âûøå îñíîâíûå ñâåäåíèÿ î êâàíòîâûõ è âîëíîâûõ ñâîéñòâàõ ìàòåðèè ïîçâîëÿþò îáúÿñíèòü 09.06.10, 10:21 ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ È ÂÎËÍÎÂÛÅ îäíî èç óíèêàëüíûõ è èíòåðåñíåéøèõ ñâîéñòâ íàíîìèðà, à èìåííî çàâèñèìîñòü ýíåðãèè ÷àñòèö îò èõ ðàçìåðîâ, êîòîðîå èìååò èñêëþ÷èòåëüíî âàæíîå çíà÷åíèå äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ïðèìåíåíèé. Äàííîå ñâîéñòâî ïîëó÷èëî íàçâàíèå «êâàíòîâûé ðàçìåðíûé ýôôåêò». Ïóñòü ñâîáîäíîå äâèæåíèå ÷àñòèöû ìàññîé m, ÿâëÿþùåéñÿ îäíîâðåìåííî âîëíîé äå Áðîéëÿ, îãðàíè÷åíî â îäíîì íàïðàâëåíèè, ñêàæåì îñè õ, îáëàñòüþ ïðîòÿæåííîñòüþ d. Ïðè ýòîì â äâóõ äðóãèõ íàïðàâëåíèÿõ (y è z) âîçìîæíîñòü ñâîáîäíîãî äâèæåíèÿ ñîõðàÐèñ.1. ×àñòèöà â êâàíòîâîé ÿìå ñ íÿåòñÿ. Íà ÿçûêå áåñêîíå÷íî âûñîêèìè ñòåíêàìè êâàíòîâîé ôèçèêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷àñòèöà ïîìåùåíà â êâàíòîâóþ ÿìó ñ áåñêîíå÷íî âûñîêèìè ñòåíêàìè. ×àñòèöà â òàêîé ÿìå âåäåò ñåáÿ, êàê ñâåòîâàÿ âîëíà â ðåçîíàòîðå îòðàæåíèå îò ñòåíîê êâàíòîâîé ÿìû ïðèâîäèò ê âîçíèêíîâåíèþ ñòîÿ÷èõ âîëí, ñðåäè êîòîðûõ ñàìûìè óñòîé÷èâûìè áóäóò òå, êîòîðûå ìîãóò óêëàäûâàòüñÿ öåëîå ÷èñëî ðàç íà äëèíå d (ðèñ.1). Ìàòåìàòè÷åñêè ýòî âûðàæàåòñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé: 1 nλ D = d, ãäå n = 1, 2, 3 2 Ïîñêîëüêó äëèíà âîëíû äå Áðîéëÿ ñâÿçàíà ñ èìïóëüñîì ÷àñòèöû, òî ïðîåêöèÿ ïîñëåäíåãî îäíîçíà÷íî áóäåò ïðèíèìàòü äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ: h h = px = n. λ D 2d Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû, êîòîðàÿ î÷åâèäíûì îáðàçîì ñâÿçàíà ñ èìïóëüñîì, ïðèîáðåòåò äèñêðåòíûå äîáàâêè: ∆En = px2 h2 π2 2 2 = n2 = n . 2 2m 8md 2md2  ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèÿõ íàòóðàëüíîå ÷èñëî n ñîîòâåòñòâóåò íîìåðó óðîâíÿ ðàçìåðíîãî êâàíòîâàíèÿ, à âåëè÷èíà ∆En íàçûâàåòñÿ ýíåðãèåé óðîâíÿ ðàçìåðíîãî êâàíòîâàíèÿ. Ïðè ýòîì íèçøèì óðîâíåì ðàçìåðíîãî êâàíòîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ óðîâåíü ñ n = 1. Ýíåðãèè ∆En ïî ñóùåñòâó ÿâëÿþòñÿ êâàíòîâî-ðàçìåðíûìè äîáàâêàìè ê ýíåðãèè ñâîáîäíîé ÷àñòèöû. Âåëè÷èíà äîáàâêè âîçðàñòàåò ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó íîìåðà óðîâíÿ ðàçìåðíîãî êâàíòîâàíèÿ è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó øèðèíû êâàíòîâîé ÿìû. Ýòî è åñòü êâàíòîâûé ðàçìåðíûé ýôôåêò â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå.  îáùåì ñëó÷àå íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü, ÷òî áåñêîíå÷íî âûñîêèõ ñòåíîê ó ïîòåíöèàëüíûõ ÿì (áàðüåðîâ) íå áûâàåò, à òàêæå òî, ÷òî äâèæåíèå ìîæåò áûòü îãðàíè÷åíî ñðàçó ïî íåñêîëüêèì íàïðàâëåíèÿì. Ñóùåñòâóþò 01-25.p65 21 ßÂËÅÍÈß Â ÍÀÍÎÌÈÐÅ íàíîñèñòåìû, äëÿ êîòîðûõ ñâîáîäíîå äâèæåíèå ÷àñòèö-âîëí âîçìîæíî òîëüêî ïî îäíîìó ïðîñòðàíñòâåííîìó íàïðàâëåíèþ. Òàêèå ñèñòåìû íàçûâàþòñÿ îäíîìåðíûìè íàíîñèñòåìàìè, èëè êâàíòîâûìè íèòÿìè. Åñëè îãðàíè÷åíèå äëÿ ñâîáîäíîãî äâèæåíèÿ ÷àñòèö èìååò ìåñòî ïî âñåì òðåì íàïðàâëåíèÿì, òî òàêóþ íàíîñèñòåìó ïðèíÿòî íàçûâàòü íóëüìåðíîé, èëè êâàíòîâîé òî÷êîé. Äëÿ êâàíòîâûõ òî÷åê ðîñò ýíåðãèè ðàçìåðíîãî êâàíòîâàíèÿ íå ïðîñòî ìíîãîêðàòíî óâåëè÷èâàåòñÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ êâàíòîâîé íèòüþ èëè ÿìîé òîãî æå ðàçìåðà d, íî è âîçíèêàþò êà÷åñòâåííî íîâûå ýôôåêòû, ñâÿçàííûå ñ ñèììåòðèåé âîëíîâîé ôóíêöèè Ψ (r ) . Òàê, äëÿ ìàëûõ êâàíòîâûõ òî÷åê ñôåðè÷åñêîé ôîðìû ýòà ôóíêöèÿ íà÷èíàåò çàâèñåòü îò îðáèòàëüíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà, à ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð êâàíòîâîé òî÷êè ñòàíîâèòñÿ ïîõîæèì íà ñïåêòð àòîìà. Ïîýòîìó èíîãäà êâàíòîâûå òî÷êè îáðàçíî íàçûâàþò «èñêóññòâåííûìè àòîìàìè». Òàêîå íàçâàíèå òàêæå îòðàæàåò âîçìîæíîñòü êîíñòðóèðîâàíèÿ ýëåêòðîííûõ ñâîéñòâ êâàíòîâûõ òî÷åê ñ ïîìîùüþ çàäàíèÿ èõ ôîðìû è òî÷íîãî ÷èñëà ñîñòàâëÿþùèõ èõ îáû÷íûõ àòîìîâ. Îòìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå äëÿ êâàíòîâî-ðàçìåðíîé äîáàâêè ê ýíåðãèè ÷àñòèöû ìîæíî òàêæå ïîëó÷èòü èç ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé äëÿ êîîðäèíàòû è èìïóëüñà: ∆E = ( ∆px )2 2m ≥ 2 . 8md2 Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ñ òî÷íîñòüþ äî êîýôôèöèåíòà π2 ðàâíî ïðèâåäåííîìó ðàíåå çíà÷åíèþ äëÿ ∆En ïðè 4 n = 1. Îòñóòñòâèå ïîëíîãî êîëè÷åñòâåííîãî ñîîòâåòñòâèÿ íå óäèâèòåëüíî, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé äàåò ëèøü îöåíêó ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèÿ ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû, à íå åå òî÷íîå çíà÷åíèå. Íî äàííîå ñîîòíîøåíèå ïðèäàåò ãëóáîêèé ôèçè÷åñêèé ñìûñë êâàíòîâîìó ðàçìåðíîìó ýôôåêòó, óêàçûâàÿ íà òî, ÷òî ýíåðãèÿ ÷àñòèöû âîçðàñòàåò ââèäó îïðåäåëåííîé ëîêàëèçàöèè åå â ïðîñòðàíñòâå. È ÷åì ñèëüíåå òàêàÿ ëîêàëèçàöèÿ, òåì áîëüøå ýíåðãèÿ. Òàê ÷òî æå, âñå óíèêàëüíûå ñâîéñòâà íàíîìèðà ìîãóò áûòü ñâåäåíû ê êâàíòîâîìó ðàçìåðíîìó ýôôåêòó, óâåëè÷èâàþùåìó ýíåðãèþ ÷àñòèö, à êâàíòîâûé ðàçìåðíûé ýôôåêò âñåãî ëèøü ÷àñòíûé ñëó÷àé ðåàëèçàöèè ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà èëè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øð¸äèíãåðà? Êîíå÷íî æå, íåò. Ïîìèìî ðàññìîòðåííûõ âûøå óïðîùåííûõ ïðåäñòàâëåíèé î ÷àñòèöå-âîëíå â ïîòåíöèàëüíîé ÿìå, îãðîìíîå ÷èñëî ýôôåêòîâ â íàíîìèðå çàâèñèò îò ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ÷àñòèö. Ýòî îïðåäåëÿåò èõ òåðìîäèíàìè÷åñêèå è ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèå ñâîéñòâà. Áîëüøîå çíà÷åíèå òàêæå èìåþò êîëëåêòèâíûå ýôôåêòû, êîãäà ñâîéñòâà äâóõ èëè áîëåå âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö óæå íå ðàâíû ïðîñòîé ñóììå ñâîéñòâ ýòèõ ÷àñòèö.  ÷àñòíîñòè, íàëè÷èå ó ÷àñòèö òàêîé êâàíòîâîé âåëè÷èíû, êàê ñïèí, ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ó íèõ ïîÿâëÿþòñÿ óíèêàëüíûå îïòè÷åñêèå è ìàãíèòíûå ñâîéñòâà. Ïðè÷åì ýòè ñâîéñòâà òàêæå çàâèñÿò îò ðàçìåðà íàíî÷àñòèö.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàçìåðíîãî ýôôåêòà, ñâÿçàííîãî ñ ýëåêòðè÷åñêèìè ïîëÿìè è ñî ñïèíîì, ðàññìîòðèì 09.06.10, 10:21 ÊÂÀÍT 2010/¹3 êâàíòîâóþ òî÷êó (ðèñ. 2) äèàìåòðîì d, â êîòîðóþ ïîïàäàåò ôîòîí ñ ýíåðãèåé hν1 , äîñòàòî÷íîé äëÿ òàê íàçûâàåìîãî âíóòðåííåãî ôîòîýôôåêòà ïåðåõîäà ýëåêòðîíà èç ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ âáëèçè íåêîòîðîãî àòîìà â ñâîáîäíîå Ðèñ.2. Ýêñèòîí â êâàíòîâîé òî÷êå. Âåðòèêàëüíûå ñòðåëêè âáëè- ñîñòîÿíèå, ñîîòâåòñòâóçè ýëåêòðîíà è äûðêè óêàçûâà- þùåå äåëîêàëèçàöèè þò íà íàëè÷èå ñïèíà. Âõîäÿùàÿ ýëåêòðîíà ïî ìíîãèì è èñõîäÿùàÿ ôèãóðíûå ñòðåëêè àòîìàì êâàíòîâîé òî÷ñîîòâåòñòâóþò ïðîöåññàì ïîãëî- êè. Òàêîå ñâîáîäíîå, à ùåíèÿ ôîòîíà (ðîæäåíèå ýêñè- òî÷íåå êâàçèñâîáîäíîå, òîíà) è èñïóñêàíèÿ ôîòîíà (àíñîñòîÿíèå åñòü ñîñòîÿíèãèëÿöèÿ ýêñèòîíà) íèå ýëåêòðîíà ïðîâîäèìîñòè â ïîëóïðîâîäíèêå. Îñòàþùàÿñÿ âáëèçè åãî ïðåæíåãî ìåñòà ëîêàëèçàöèè îáëàñòü èçáûòî÷íîãî ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà íàçûâàåòñÿ äûðêîé, êîòîðàÿ, êàê è êâàçèñâîáîäíûé ýëåêòðîí, èìååò ýôôåêòèâíóþ ìàññó, çàðÿä è äàæå ñïèí.  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå ñïèí äûðêè, êàê è êâàçèñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà, ðàâåí 1/2. Ïîñêîëüêó ýëåêòðîí ïðèòÿãèâàåòñÿ ê äûðêå, êàê îòðèöàòåëüíûé çàðÿä ïðèòÿãèâàåòñÿ ê ïîëîæèòåëüíîìó, ìîæåò âîçíèêíóòü íîâàÿ êâàçè÷àñòèöà ýêñèòîí, ïîäîáíàÿ àòîìó âîäîðîäà, íî ãäå ðîëü ïðîòîíà âûïîëíÿåò äûðêà. Îáû÷íî ýíåðãèÿ ýêñèòîíà íå ïðåâûøàåò ýíåðãèè ôîòîíà, ïîðîäèâøåãî äàííûé ýêñèòîí: Eýêñ ≤ hν1 . Ïîñêîëüêó ýíåðãèÿ ýêñèòîíà çàâèñèò îò ðàçìåðà êâàíòîâîé òî÷êè, óâåëè÷èâàÿñü ñ óìåíüøåíèåì åå ðàçìåðà, òî ìîæåò âîçíèêíóòü ñèòóàöèÿ, êîãäà ôîòîí óæå íå ìîæåò ïîãëîòèòüñÿ è ýêñèòîí íå âîçáóæäàåòñÿ. Ýòî î÷åâèäíîå ñëåäñòâèå êâàíòîâîãî ðàçìåðíîãî ýôôåêòà. Åñëè æå ýêñèòîí âîçíèê, òî ïîëíàÿ åãî ýíåðãèÿ ðàâíà ýíåðãèè ôîòîíà, ïîÿâëÿþùåãîñÿ ïðè àííèãèëÿöèè ýêñèòîíà: hν2 = Eýêñ . Íî åñòü åùå ðÿä ýôôåêòîâ, êîòîðûå òàêæå çàâèñÿò îò ðàçìåðîâ êâàíòîâîé òî÷êè. Âî-ïåðâûõ, ÷åì ìåíüøå êâàíòîâàÿ òî÷êà, òåì áëèæå ýëåêòðîí ê äûðêå (òåì ìåíüøå ðàäèóñ ýêñèòîíà) è òåì ñèëüíåå âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó íèìè, ïîñêîëüêó, êàê èçâåñòíî, ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó 1 1 çàðÿäàìè, êàê Uýë (r ) ∼ ∼ . À òàê êàê ýòà ýíåðãèÿ r d èìååò îòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå, òî óìåíüøàåòñÿ è ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ýêñèòîíà Eýêñ . Äàííûé ýôôåêò êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ïðèâîäèò ê îñëàáëåíèþ êâàíòîâî-ðàçìåðíîãî óâåëè÷åíèÿ Eýêñ ïðè óìåíüøåíèè d. Âî-âòîðûõ, êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå, âñëåäñòâèå ñëîæåíèÿ ñïèíîâ ýëåêòðîíà è äûðêè ïîëíûé ñïèí ýêñèòîíà Sýêñ ìîæåò áûòü ðàâåí êàê 0, òàê è 1. Ïðè÷åì íåïîñðåäñòâåííî ïðè ïîãëîùåíèè ôîòîíà ìîæåò ïîÿâèòüñÿ ëèøü ýêñèòîí ñ Sýêñ = 0, à ýêñèòîí ñ Sýêñ = 1 íå ìîæåò ïîÿâèòüñÿ, ïîñêîëüêó ââèäó îòñóòñòâèÿ ó ôîòîíà ìåõàíè÷åñêîãî ìîìåíòà äâèæåíèÿ òàêîé ïðîöåññ çàïðåùåí çàêîíàìè ñîõðàíåíèÿ. Ðàçíîñòü ýíåðãèé 01-25.p65 22 ýêñèòîíà â ñîñòîÿíèÿõ ñî ñïèíîì 0 è 1, êîòîðàÿ èíîãäà íàçûâàåòñÿ ýíåðãèåé îáìåííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, ìîæåò áûòü îöåíåíà êàê ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ 1 ìàãíèòíûõ äèïîëåé: Uì (r ) ∼ 2 . îáúåìíûõ ôàçàõ r âåùåñòâà, ãäå íåò îãðàíè÷åíèÿ äëÿ äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ è äûðîê, âåëè÷èíà îáìåííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ êðàéíå ìàëà, íî ïðè óìåíüøåíèè ðàçìåðîâ êâàíòîâîé òî÷êè îíà ìîæåò äîñòèãàòü çíà÷åíèé ïîðÿäêà è áîëåå ýíåðãèè òåïëîâîãî äâèæåíèÿ, ÷òî áóäåò îêàçûâàòü âëèÿíèå êàê íà îïòè÷åñêèå, òàê è íà ìàãíèòíûå ñâîéñòâà êâàíòîâûõ òî÷åê. Òàê, íåìàãíèòíîå âåùåñòâî, ñîñòîÿùåå èç òàêèõ êâàíòîâûõ òî÷åê, ïðè îñâåùåíèè ìîæåò ïðèîáðåñòè íàìàãíè÷åííîñòü. À ýòî î÷åíü âàæíî äëÿ âîçìîæíîñòè îïòè÷åñêîãî ñ÷èòûâàíèÿ è çàïèñè èíôîðìàöèè. Ýôôåêòû ïîäîáíîãî ðîäà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôóíäàìåíòàëüíûå ïðåäïîñûëêè äëÿ ðàçâèòèÿ íîâîé îáëàñòè íàóêè è òåõíèêè ñïèíòðîíèêè.  îáùåì ñëó÷àå ýíåðãèÿ ýêñèòîíà ìîæåò çíà÷èòåëüíî îòëè÷àòüñÿ îò ýíåðãèè ñâîáîäíûõ íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ýëåêòðîíà è äûðêè îáîçíà÷èì òàêóþ ýíåðãèþ êàê Eñâîá íà âåëè÷èíó ýíåðãèè ðàçìåðíîãî êâàíòîâàíèÿ, êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ è ìàãíèòíîãî ñïèíñïèíîâîãî âçàèìîäåéñòâèé: Eýêñ = Eñâîá + ∆E − ∆Eýë ± ± ∆Eì . Ïðè ïîìîùè íàíîòåõíîëîãèé ìîæíî ìåíÿòü ðàçìåðû êâàíòîâûõ òî÷åê, à çíà÷èò, óïðàâëÿòü ýíåðãèåé ýêñèòîíîâ, ÷òî ïîçâîëÿåò ñîçäàâàòü âåùåñòâà ñ óíèêàëüíûìè ýëåêòðîííûìè è îïòè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè, êîòîðûå ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ ñîçäàíèÿ íîâûõ óñòðîéñòâ â èíôîðìàòèêå, ôîòîíèêå è ýëåêòðîíèêå. Èòàê, íåñìîòðÿ íà öàðÿùóþ â íàíîìèðå íåîïðåäåëåííîñòü òî÷íûõ çíà÷åíèé êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ ÷àñòèö-âîëí, ñòðîãèå çàêîíû êâàíòîâîé ìåõàíèêè âñå æå ïîçâîëÿþò ðàññ÷èòàòü ìíîãèå âàæíûå ôèçè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè íàíîñèñòåì. Ïðè÷åì ýòè õàðàêòåðèñòèêè òàêèå, íàïðèìåð, êàê ýíåðãèÿ ðàçìåðíîãî êâàíòîâàíèÿ èìåþò ïåðâîñòåïåííîå çíà÷åíèå äëÿ ýëåêòðîííûõ è îïòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëîâ, ñîñòàâëåííûõ èç íàíîñòðóêòóð. Òî÷íîå çíàíèå ýíåðãåòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ íàíî÷àñòèö äàåò îïðåäåëåííîñòü èõ ïîâåäåíèÿ ïîä âîçäåéñòâèåì ðàçëè÷íûõ ôàêòîðîâ, òàêèõ êàê ñâåò, ýëåêòðè÷åñêîå èëè ìàãíèòíîå ïîëå, íàãðåâ. À ýòî çíà÷èò, ÷òî ìû ìîæåì ïðåäñêàçûâàòü ïîâåäåíèå íàíîñèñòåì, ìàòåðèàëîâ è óñòðîéñòâ íà èõ îñíîâå. È ïóñòü äåòàëè âíóòðåííåãî äâèæåíèÿ â íàíîñèñòåìå íå âñåãäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü, à òåì áîëåå îïèñàòü ñ âûñîêîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè, íî ôèçè÷åñêè èçìåðÿåìûé è ïðàêòè÷åñêè âàæíûé èòîã òàêîãî äâèæåíèÿ âñåãäà èçâåñòåí îäíîçíà÷íî, åñëè èçâåñòíû òàêèå ïàðàìåòðû íàíîñèñòåìû, êàê ãåîìåòðè÷åñêèå ðàçìåðû, âèä è ÷èñëî íîñèòåëåé çàðÿäà è ò.ï. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê äåòåðìèíèçìó ñâîéñòâ íàíîñèñòåì, è, ñëåäîâàòåëüíî, çàäà÷à íàíîòåõíîëîãèé ïî ñîçäàíèþ íîâûõ îáúåêòîâ, óñòðîéñòâ è ìàòåðèàëîâ ñ òðåáóåìûìè ñâîéñòâàìè ìîæåò áûòü â ïðèíöèïå ðåøåíà âñåãäà. Ãëàâíîå ïðè ðåøåíèè òàêîé çàäà÷è íå óâëåêàòüñÿ è íå ïðåñòóïàòü ãðàíèöû, óñòàíîâëåííûå ôèçè÷åñêèìè çàêîíàìè íàíîìèðà. 09.06.10, 10:21 ÈÇ ÈÑÒÎÐÈÈ ÍÀÓÊÈ Ïî ñòðàíèöàì ñî÷èíåíèÿ Ãåðîíà Àëåêñàíäðèéñêîãî «Î äèîïòðå» À.ÆÓÊΠà ÅÐÎÍ ÀËÅÊÑÀÍÄÐÈÉÑÊÈÉ ÒÂÎÐÈË ÍÀ ÐÓÁÅÆÅ íîâîé ýðû (ïðåäïîëîæèòåëüíî I â. äî í.ý. I â. í.ý.). Ó ñâîèõ ñîâðåìåííèêîâ îí ñíèñêàë ñëàâó èñêóñíîãî èçîáðåòàòåëÿ. Òåëåãè ñî ñïåöèàëüíûì óñòðîéñòâîì Ãåðîíà, ïîñëóæèâøèì ïðîòîòèïîì ñîâðåìåííîãî òàêñîìåòðà, õîðîøî èçìåðÿëè ðàññòîÿíèå ìåæäó ãîðîäàìè è âåñÿìè. Âîäÿíûå ÷àñû Ãåðîíà äîâîëüíî òî÷íî îòñ÷èòûâàëè âðåìÿ, ñèíõðîíèçèðóÿ ñîáûòèÿ. Åãî õðàìîâûå àâòîìàòû ïî ïðîäàæå «ñâÿùåííîé» âîäû áåçóêîðèçíåííî îòìåðÿëè íóæíûå ïîðöèè. Íàñîñû Ãåðîíà êà÷àëè âîäó, ïîäïèòûâàëè ôîíòàíû, à ïíåâìàòè÷åñêèå óñòðîéñòâà çàêðûâàëè è îòêðûâàëè äâåðè ïåðåä èçóìëåííîé ïóáëèêîé. Ãåðîí áûë íåïðåâçîéäåííûì çíàòîêîì âñåâîçìîæíûõ àâòîìàòè÷åñêèõ óñòðîéñòâ è ìåõàíè÷åñêèõ èãðóøåê. Âñåãî ñêàçàííîãî äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïîíÿòü, ïî÷åìó åùå ïðè æèçíè Ãåðîíà, åãî, êàê è ïðîñëàâëåííîãî Àðõèìåäà (îê. 287212 äî í.ý.), ñîîòå÷åñòâåííèêè óâàæèòåëüíî âåëè÷àëè: «Ìåõàíèê!» Íî Ãåðîí áûë íå òîëüêî ïðåêðàñíûì èçîáðåòàòåëåì, èíæåíåðîì, ìåõàíèêîì, íî è ïðåâîñõîäíûì ìàòåìàòèêîì.  åãî ðàáîòå «Ìåòðèêà» äàíû ïðàâèëà è ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäåé ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ, îáúåìîâ óñå÷åííûõ êîíóñà è ïèðàìèäû, øàðîâîãî ñåãìåíòà, ïÿòè ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ è äàæå òîðà. Ñîâðåìåííûå øêîëüíèêè õîðîøî çíàþò ôîðìóëó Ãåðîíà èç åãî «Ìåòðèêè», âûðàæàþùóþ ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà S ÷åðåç äëèíû òðåõ åãî ñòîðîí a, b, c: S= p ( p − a )( p − b )( p − c ) , a+b+c ïîëóïåðèìåòð 2 (ýòà ôîðìóëà áûëà èçâåñòíà óæå Àðõèìåäó). Îäíàêî íå âñÿêèé øêîëüíèê ñìîæåò áåç ïîìîùè êàëüêóëÿòîðà è òàáëèö ðàññ÷èòàòü ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ çíà÷åíèÿ òàêèõ êîðíåé, êàê 2010 , 3 2011 . Ýòî áåçóïðå÷íî óìåë äåëàòü Ãåðîí: â åãî «Ìåòðèêå» ìû íàõîäèì îïèñàíèÿ ýôôåêòèâíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ïðîöåäóð äëÿ ðàñ÷åòà êâàäðàòíûõ è êóáè÷åñêèõ êîðíåé ñî ñêîëü óãîäíî âûñîêîé òî÷íîñòüþ. Ýòè ñõåìû âîøëè â àðñåíàë èíñòðóìåíòàëüíûõ ñðåäñòâ ñîâðåìåííîé âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè.  1814 ãîäó îáíàðóæèëàñü íàõîäêà, ïðîëèâàþùàÿ äîïîëíèòåëüíûé ñâåò íà äåÿòåëüíîñòü Ãåðîíà: åãî ñî÷è- ãäå p = 01-25.p65 23 íåíèå «Î äèîïòðå». Íåêîòîðûå êîììåíòàòîðû îêðåñòèëè ýòî ñî÷èíåíèå «ïîñîáèåì ïî âîåííîìó äåëó», óâèäåâ â äèîïòðå «ïðèáîð äëÿ îïðåäåëåíèÿ âûñîòû ñòåí ôîðòèôèêàöèîííûõ ñîîðóæåíèé». Êîíå÷íî æå, ñêîðëóïó îðåõà ìîæíî ðàçáèâàòü ëþáûì òâåðäûì ïðåäìåòîì, â òîì ÷èñëå è âîëøåáíîé ïàëî÷êîé, íî ýòà ïàëî÷êà èìååò è äðóãèå, íå ñòîëü òðèâèàëüíûå ïðèìåíåíèÿ.  çîëîòûõ ðóêàõ Ãåðîíà äèîïòðà ïðåâðàùàåòñÿ èìåííî â «âîëøåáíûé èíñòðóìåíò».  ýòîì íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ïîçíàêîìèâøèñü ñ ôàíòàçèÿìè Ãåðîíà íà òåìó äèîïòðû, êîòîðûå ìû íàõîäèì â åãî ñî÷èíåíèè. Ìû ïðèâåäåì íåñêîëüêî ôðàãìåíòîâ èç ñî÷èíåíèÿ Ãåðîíà «Î äèîïòðå», îñíîâûâàÿñü íà ïåðåâîäå ýòîãî òðóäà âèäíûì ñïåöèàëèñòîì ïî àíòè÷íîé ìàòåìàòèêå ïðîôåññîðîì È.Í.Âåñåëîâñêèì. Ðàñøèôðîâêó åãî ðóêîïèñè, õðàíÿùåéñÿ â àðõèâå ÈÈÅÒ ÐÀÍ, â «Ôîíäå Âåñåëîâñêîãî», ëþáåçíî ïðåäîñòàâèëà äîöåíò ÌÈÈÒ Ãàëèíà Àëåêñàíäðîâíà Çâåðêèíà. Çäåñü ìû èçëîæèì ôðàãìåíòû ñî÷èíåíèÿ Ãåðîíà â àäàïòèðîâàííîé ôîðìå, îáëåã÷àþùåé ïîíèìàíèå òåêñòà ñîâðåìåííûì ÷èòàòåëÿì. ×òî òàêîå äèîïòðà? Íà ðèñóíêå 1 ïîêàçàíà ðåêîíñòðóêöèÿ äèîïòðû, âûïîëíåííàÿ Ã.Øåíå (Ô.Äàííåìàí. Èñòîðèÿ åñòåñòâîçíàíèÿ. Ì.: Ãîñóäàðñòâåííîå ìåäèöèíñêîå èçäàòåëüñòâî, 1932).  âåðõíåé ÷àñòè ïðèáîðà ðàñïîëîæåíà êðóãëàÿ ïëîùàäêà, â ïëîñêîñòè êîòîðîé âðàùàåòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ àëèäàäà èçîãíóòàÿ íà äâóõ êîíöàõ ïëàñòèíêà. Ñ îäíîé åå ñòîðîíû â èçîãíóòîé ÷àñòè èìååòñÿ òî÷å÷íîå îòâåðñòèå ãëàçíîé äèîïòð, à â äðóãîé ùåëü ñ ìóøêîé èëè òîíêèì âîëîñêîì ïðåäìåòíûé äèîïòð. Ïðè ðàññìîòðåíèè ÷åðåç ãëàçíîé äèîïòð ìóøêà èëè âîëîñîê äîëæíû ïðîåêòèðîâàòüñÿ íà âèçèðóåìóþ öåëü ýòî äîñòè- Ðèñ. 1 09.06.10, 10:21 " ÊÂÀÍT 2010/¹3 ãàåòñÿ âðàùåíèåì àëèäàäû â îäíîé ïëîñêîñòè, êîòîðàÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, òàêæå ìîæåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíîãî ðåãóëèðóþùåãî âèíòà. Äèîïòðà ïîçâîëÿëà ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ èçìåðÿòü óãëû êàê â âåðòèêàëüíîé, òàê è â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè. Ýòè äâå íåçàìûñëîâàòûå âîçìîæíîñòè Ãåðîí âèðòóîçíî èñïîëüçîâàë äëÿ ðåøåíèÿ îãðîìíîãî ìíîæåñòâà çàäà÷, îñîáî ïîä÷åðêèâàÿ: âñå ïðåäëîæåííûå íàìè çàäà÷è ïðàêòè÷åñêè ðàçðåøàþòñÿ îäíèì è òåì æå ñàìûì [ïðèáîðîì]. Îäíàêî åñëè êòî-íèáóäü ïðèäóìàë è êàêèå-íèáóäü äðóãèå [çàäà÷è], òî óñòðîåííàÿ íàìè äèîïòðà íå îòêàæåòñÿ ðàçðåøèòü è èõ. (Ãåðîí. Î äèîïòðå, I/Ïåð. È.Í. Âåñåëîâñêîãî.) Íåäîñÿãàåìîå ñòàíîâèòñÿ äîñòóïíûì Äàíû äâå òî÷êè, èç êîòîðûõ îäíà âáëèçè íàñ, äðóãàÿ æå âäàëè, íàéòè ìåæäó íèìè ðàññòîÿíèå, íå ïðèáëèæàÿñü ê äàëüíåé òî÷êå. (Òàì æå, VIII.) Íà ýòó çàäà÷ó, êàê íà òèïîâóþ, Ãåðîí íåîäíîêðàòíî ññûëàåòñÿ â äàëüíåéøåì. Äëÿ óäîáñòâà ññûëîê íàçîâåì åå «Çàäà÷à 1». Ïóñòü îò òî÷êè À òðåáóåòñÿ íàéòè ðàññòîÿíèå äî íåäîñòóïíîé òî÷êè K. Ñ ïîìîùüþ äèîïòðû îòìå÷àåòñÿ òî÷êà  íà ïðÿìîé KÀ, è ïîä ïðÿìûì óãëîì ê ïðÿìîé ÀK ïðîâîäÿòñÿ îòðåçêè AC ⊥ AK , BD ⊥ BK òàê, ÷òî òî÷êè K, Ñ, D ðàñïîëàãàþòñÿ íà ïðÿìîé ëèíèè (ðèñ. 2). Ïîñêîëüêó òðåóãîëüíèêè DBK è CAK ïîäîáíû, òî ñïðàâåäëèâà ïðîïîðöèÿ Ðèñ. 2 BD BK = . Äëèíû îòðåçêîâ AC AK ÀÑ, BD, AB èçìåðÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî, à äëèíà îòðåçêà ÀK íàõîäèòñÿ èç ýòîé ïðîïîðöèè. Òî÷êà K ìîæåò áûòü êîðàáëåì â ìîðå, êàìíåì íà äðóãîì áåðåãó ðåêè, âåðøèíîé åãèïåòñêîé ïèðàìèäû âñå ýòè íåäîñòóïíûå äëÿ íåïîñðåäñòâåííîãî èçìåðåíèÿ îáúåêòû ñïîñîá Ãåðîíà ïðåâðàùàåò â äîñòóïíûå. Äàëåêî ëè ðàçîøëèñü êîðàáëè? Äëÿ äâóõ íåäîñòóïíûõ òî÷åê îïðåäåëèòü ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè. (Òàì æå, X.) Ãåðîí ïðåäëàãàåò íåñêîëüêî ñïîñîáîâ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è. Ðàññìîòðèì îäèí èç íèõ. Îïðåäåëèâ ïî ñïî- Ðèñ. 3 01-25.p65 24 ñîáó çàäà÷è 1 ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè À äî äâóõ íåäîñòóïíûõ òî÷åê K è F, îòêëàäûâàåì êàêóþ-íèáóäü ÷àñòü ýòèõ ðàññòîÿíèé íà ïðîäîëæåíèè ïðÿìûõ KÀ è FA (ðèñ.3). Ïîëó÷àåì äîñòóïíûé èçìåðåíèþ òðåóãîëüíèê ÀÑÂ, ïîäîáíûé òðåóãîëüíèêó AFK. Äëèíà îòðåçêà Ñ ñîñòàâëÿåò èçâåñòíóþ ÷àñòü îò äëèíû îòðåçêà KF, ÷òî è ïîçâîëÿåò åãî íàéòè. Êàê âûñîêî äåðåâî? Îïðåäåëèòü âûñîòó íåäîñòóïíîãî äåðåâà. (Òàì æå, XII.)  ðåøåíèè ýòîé çàäà÷è, êðîìå äèîïòðû âûñîòû d, èñïîëüçóåòñÿ òàêæå âñïîìîãàòåëüíûé øåñò âûñîòû h. Ïóñòü óäàëåíèå äèîïòðû îò äåðåâà ðàâíî L (åãî ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ñïîñîáó, èçëîæåííîìó â çàäà÷å 1), à øåñò îòñòîèò îò äèîïòðû íà ðàññòîÿíèè l. Âèçèðóåòñÿ âåðõóøêà äåðåâà íåèçâåñòíîé âûñîòû H, êàê ïîêàçàíî Ðèñ. 4 íà ðèñóíêå 4. Ïîñêîëüêó ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè: áîëüøèé ñ êàòåòàìè L è H h è ìåíüøèé ñ êàòåòàìè l è h d ïîäîáíû, òî H−d h−d = , îòêóäà îïðåäåñïðàâåäëèâà ïðîïîðöèÿ L l ëÿåòñÿ H. Òî÷íî òàêàÿ æå ïðîïîðöèÿ áóäåò èìåòü ìåñòî, åñëè L è l îáîçíà÷àþò íå êàòåòû, à èçâåñòíûå ãèïîòåíóçû â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, íåäîñòóïíóþ âûñîòó ïèðàìèÐèñ. 5 äû H (ðèñ. 5). Ðàññòîÿíèå äî íåâèäèìîé òî÷êè Îò äàííîé òî÷êè ê äðóãîé òî÷êå, ÿâëÿþùåéñÿ íåâèäèìîé, ïðîâåñòè ïðè ïîìîùè äèîïòðû ïðÿìóþ, êàêîâî áû íè áûëî ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè. (Òàì æå, VII.) Ïóñòü òî÷êè À è  çàãîðîæåíû äðóã îò äðóãà ëåñíûì ìàññèâîì è íå íàõîäÿòñÿ íà ëèíèè ïðÿìîé âèäèìîñòè (ðèñ.6). Ñ ïîìîùüþ äèîïòðû ïðîâåäåíà âñïîìîãàòåëüíàÿ ëîìàííàÿ ëèíèÿ, ñîñåäíèå çâåíüÿ êîòîðîé ðàñïîëîæåíû ïîä ïðÿìûì óãëîì äðóã ê äðóãó. Èçìåðåííûå ðàññòîÿíèÿ âäîëü çâåíüåâ óêàçàíû íà ðèñóíêå. Îïðåäåëèòå ïî ýòèì äàííûì ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè À è  ñàìîñòîÿòåëüíî. Ðèñ. 6 09.06.10, 10:21 ÈÇ ÈÑÒÎÐÈÈ Ïëîùàäü íåäîñòóïíîãî îáúåêòà Èçìåðèòü äàííóþ ïëîùàäü, íå âõîäÿ íà ýòó ïëîùàäü èëè âñëåäñòâèå îáèëèÿ ðàñòèòåëüíîñòè, èëè ïîìåõè îò çäàíèé, èëè îò òîãî, ÷òî íå äîïóñêàåòñÿ â íåå âõîäèòü. (Òàì æå, XXVII.) Ïóñòü íåäîñòóïíûé îáúåêò, ïëîùàäü êîòîðîãî ñëåäóåò îïðåäåëèòü, çàäàí ñâîèì êîíòóðîì, íàïðèìåð âûïóêëûì ìíîãîóãîëüíèêîì ABCDEF (ðèñ. 7). Ìûñëåííî ðàçîáüåì åãî íà òðåóãîëüíèêè ñ îáùåé âåðøèíîé À è ïîñëåäîâàòåëüíî îïðåäåëèì ïëîùàäü êàæäîãî èç íèõ, íà÷èíàÿ ñ òðåóãîëüíèêà AEF. Îòëîæèì íà ïðîÐèñ. 7 äîëæåíèè ñòîðîíû AF êàêóþ-íèáóäü åå ÷àñòü FH, à íà ïðîäîëæåíèè ñòîðîíû EF òàêóþ æå åå ÷àñòü FG. Òîãäà òðåóãîëüíèê HFG # ÍÀÓÊÈ áóäåò ïîäîáåí òðåóãîëüíèêó AFE. Óìíîæèâ îòðåçîê HG íà êîýôôèöèåíò ïîäîáèÿ, óçíàåì âåëè÷èíó íåäîñòóïíîãî îòðåçêà EA, à óìíîæèâ ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà HFG íà êâàäðàò êîýôôèöèåíòà ïîäîáèÿ, íàéäåì ïëîùàäü íåäîñòóïíîãî òðåóãîëüíèêà AFE. Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è Ãåðîí çàêàí÷èâàåò òàêîé ôðàçîé: Ïîäîáíî æå îïðåäåëèì è ñîäåðæàíèå êàæäîãî èç îñòàëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ; òàêèì îáðàçîì âîçìîæíî îïðåäåëèòü ñîäåðæàíèå è âñåé ïëîùàäè. (Òàì æå, XXVII.)  ñî÷èíåíèè Ãåðîíà ðàçáèðàþòñÿ òàêæå è äðóãèå çàäà÷è, ðåøàåìûå ñ ïîìîùüþ äèîïòðû, íàïðèìåð: âçÿòü ãëóáèíó äàííîãî ðâà (XIV); ïðîêîïàòü ïî ïðÿìîé [ëèíèè] ãîðó ïðè çàäàííûõ íà ãîðå îòâåðñòèÿõ òóííåëÿ (XV); ê ïîäçåìíîìó õîäó ïðîâåñòè â ãîðå øàõòó, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ê õîäó (XVI). Íåêîòîðûå èñòîðèêè íàóêè ïîëàãàþò, ÷òî â ñî÷èíåíèè Ãåðîíà «Î äèîïòðå» èçëîæåíû ïðàâèëà çåìåëüíîé ñúåìêè, ôàêòè÷åñêè îñíîâàííûå íà èñïîëüçîâàíèè ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàò. ÓØÅË ÈÇ ÆÈÇÍÈ ÌÀÐÒÈÍ ÃÀÐÄÍÅÐ 22 ìàÿ 2010 ãîäà íå ñòàëî Ìàðòèíà Ãàðäíåðà. Íàì âñåì åùå òîëüêî ïðåäñòîèò îñìûñëèòü è îöåíèòü åãî ãèãàíòñêóþ ðîëü â ïîïóëÿðèçàöèè íàóêè âîîáùå è ìàòåìàòèêè â ÷àñòíîñòè. Ì.Ãàðäíåð âî ìíîãîì îïðåäåëèë ëèöî ñîâðåìåííîé çàíèìàòåëüíîé ìàòåìàòèêè, ñîçäàâ æàíð, â êîòîðîì î ñîâðåìåííûõ íàó÷íûõ çàäà÷àõ ðàññêàçûâàëîñü íà ÿçûêå «Ìàòåìàòè÷åñêèõ èãð» òàê íàçûâàëñÿ ðàçäåë â æóðíàëå Scientific American, ðåäàêòîðîì êîòîðîãî Ì.Ãàðäíåð áûë â òå÷åíèå ÷åòâåðòè âåêà.  íàøåé ñòðàíå ó êíèã Ì.Ãàðäíåðà ìíîãî ïî÷èòàòåëåé åùå è ïîòîìó, ÷òî èõ ïåðåâîäèë Þëèé Àëåêñàíäðîâè÷ Äàíèëîâ êðóïíûé ó÷åíûé è çàìå÷àòåëüíûé ñòèëèñò, îáëàäàâøèé ñïîñîáíîñòüþ ïåðåäàòü ÷èòàòåëþ ñâîé ñîáñòâåííûé èíòåðåñ ê èçëàãàåìûì ñþæåòàì. Èìåííî Ì.Ãàðäíåð âåðíóë ñîâðåìåííûì ÷èòàòåëÿì èìåíà òåõ ãèãàíòîâ, íà ïëå÷àõ êîòîðûõ îí ñòîÿë, Ñýìà Ëîéäà è Ãåíðè Ý.Äüþäåíè. Èìåííî Ì.Ãàðäíåð ñòàë ãëàâíîé îïîðîé ìîñòà, ÷åðåç êîòîðûé áûëî îðãàíèçîâàíî íåáûâàëîå äëÿ íàøåãî âðåìåíè íàó÷íîå âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó âûäàþùèìèñÿ ó÷åíûìè (òàêèìè, êàê Äîíàëüä Êíóò, Äæîí Êîíâåé èëè Ðîíàëüä Ãðýõåì) è ðÿäîâûìè ëþáèòåëÿìè ìàòåìàòèêè. Èìåííî Ì.Ãàðäíåð ñòàë ÷åëîâåêîì, áëàãîäàðÿ êîòîðîìó ïîÿâèëèñü ñîòíè òûñÿ÷ ëþäåé, âëþáëåííûõ â ìàòåìàòèêó. Äðóãîãî ÷åëîâåêà òàêîãî ìàñøòàáà ñðåäè ïîïóëÿðèçàòîðîâ ìàòåìàòèêè ñåé÷àñ íåò. Êíèãè Ãàðäíåðà íà ðóññêîì ÿçûêå 1. 1000 ðàçâèâàþùèõ ãîëîâîëîìîê, ìàòåìàòè÷åñêèõ çàãàäîê è ðåáóñîâ äëÿ äåòåé è âçðîñëûõ. 2. À íó-êà, äîãàäàéñÿ! 3. Åñòü èäåÿ! 4. Êëàññè÷åñêèå ãîëîâîëîìêè. 01-25.p65 25 Ìàðòèí Ãàðäíåð (19142010) 5. Êðåñòèêè-íîëèêè. 6. Ëó÷øèå ìàòåìàòè÷åñêèå èãðû è ãîëîâîëîìêè, èëè Ñàìûé íàñòîÿùèé ìàòåìàòè÷åñêèé öèðê. 7. Ìàòåìàòè÷åñêèå ãîëîâîëîìêè è ðàçâëå÷åíèÿ. 8. Ìàòåìàòè÷åñêèå äîñóãè. 9. Ìàòåìàòè÷åñêèå íîâåëëû. 10. Ìàòåìàòè÷åñêèå ÷óäåñà è òàéíû. 11. Íåñêó÷íàÿ ìàòåìàòèêà. 12. Íîâûå ìàòåìàòè÷åñêèå ðàçâëå÷åíèÿ. 13. Îò ìîçàèê Ïåíðîóçà ê íàäåæíûì øèôðàì. 14. Ïóòåøåñòâèå âî âðåìåíè. 15. Òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè äëÿ ìèëëèîíîâ. 16. Ýòîò ïðàâûé, ëåâûé ìèð. 09.06.10, 10:21
