Тогда 0 y > для всех достаточно больших n, если m нечетно

24
ÊÂÀÍT 2003/¹4
Òîãäà yn > 0 äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n, åñëè m
íå÷åòíî. Ïîëîæèì zk = ymk è ïîêàæåì, ÷òî
(k → ∞ ) .
wk = zk +1 − q zk → 0
Äåéñòâèòåëüíî, èìååì
m (k +1)
= am zkm+1 + g ( zk +1 ) ,
Aqmk = am zkm + g ( zk ) , Aq
îòêóäà
(
)
am zkm+1 − qm zkm = qm g ( zk ) − g ( zk +1 ) ,
Ðèñ.1
÷òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ k ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
(
am zk +1
m
−q
m
zk
)=q
m
m
g ( zk ) − g ( zk +1 ) .
Ñëåäîâàòåëüíî,
am ( zk +1 − q zk ) =
(
= q m g ( zk ) − g ( zk +1 )
) (z
K+q
k +1
m−2
m −1
zk +1 zk
+ q zk +1
m−2
+q
m −2
m −1
zk
zk + K
m −1
) . (∗ )
Òàê êàê deg g ( y ) ≤ m − 2 è zk → ∞ (k → ∞ ) , òî ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà ( ∗ ) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, ò.å.
wk → 0 (k → ∞ ) . Ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü wk
ñîñòîèò èç öåëûõ ÷èñåë, òî wk = 0 äëÿ âñåõ k, íà÷èíàÿ
ñ íåêîòîðîãî k0 . Èòàê,
zk +1 = q zk
(k ≥ k0 ) .
l
Ñëåäîâàòåëüíî, zl +k0 = ±q zk0 (l = 0, 1, …). Íî òîãäà
(
m l +k
Aq ( 0 ) = ± am qml zkm0 + g ±ql zk0
)
(l = 0, 1, …). ( ∗∗ )
Åñëè g ( y ) ≠ 0 , òî ðàâåíñòâî ( ∗∗ ) ïðîòèâîðå÷èâî ïðè
äîñòàòî÷íî áîëüøèõ l (ëåâàÿ ÷àñòü äåëèòñÿ íà q ml , à
ïðàâàÿ – íåò).
Òàêèì îáðàçîì, f1 ( y ) = am ym , òàê ÷òî
m
a
m


f ( x ) = am  x + m −1  = a (bx + c )
mam 

äëÿ íåêîòîðûõ öåëûõ ÷èñåë à, b, ñ ( a ≠ 0 , b ≠ 0 ). Ýòèì
ñôîðìóëèðîâàííîå â çàäà÷å óòâåðæäåíèå ïîëíîñòüþ
äîêàçàíî.
Í.Îñèïîâ
Ì1855. Ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíûå ãðàíÿì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, ðàçðåçàëè åãî íà ìåíüøèå
ïàðàëëåëåïèïåäû, êîòîðûå îêðàñèëè â ÷åðíûé è áåëûé
öâåòà â øàõìàòíîì ïîðÿäêå. Èçâåñòíî, ÷òî ñóììàðíûé îáúåì ÷åðíûõ ðàâåí ñóììàðíîìó îáúåìó áåëûõ
ïàðàëëåëåïèïåäîâ. Äîêàæèòå, ÷òî èç ÷åðíûõ ìîæíî
ñîñòàâèòü ïàðàëëåëåïèïåä Ð, à èç áåëûõ ìîæíî
ñîñòàâèòü ïàðàëëåëåïèïåä Q òàê, ÷òî Ð è Q áóäóò
ðàâíû.
Âñå ñåêóùèå ïëîñêîñòè, ðàçðåçàþùèå áîëüøîé ïàðàëëåëåïèïåä íà ìåíüøèå ïàðàëëåëåïèïåäû, ðàñïàäàþòñÿ
íà òðè ãðóïïû ñîîáðàçíî ñ òåì, êàêîé èç ãðàíåé
áîëüøîãî ïàðàëëåëåïèïåäà îíè ïàðàëëåëüíû. Ñåêóùèå ïëîñêîñòè êàæäîé ãðóïïû ðàçðåçàþò áîëüøîé
ïàðàëëåëåïèïåä íà ñëîè, ïðè÷åì ëþáîé èç ñëîåâ ñîñòîèò èç ÷åðíûõ è áåëûõ ïàðàëëåëåïèïåäîâ.
Ïðîèçâåäåì ïåðåñòðîéêó âíóòðè áîëüøîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, ñïåöèàëüíûì îáðàçîì ïåðåìåùàÿ ñëîè êàæäîé
ãðóïïû.
Ïåðåñòðîéêà ïðîõîäèò â òðè
ýòàïà. Íà ïåðâîì ýòàïå çàíóìåðóåì âñå ñëîè, ïàðàëëåëüíûå
áîêîâîé ãðàíè, ñëåâà íàïðàâî.
Çàòåì âñå íå÷åòíûå ñëîè ïåðåìåñòèì âëåâî, à âñå ÷åòíûå –
âïðàâî (ðèñ.1).
Òàê ïåðåñòðîåííûé ïàðàëëåëåïèïåä ïîäâåðãíåì âòîðîìó ýòàïó ïåðåñòðîéêè. Äëÿ ýòîãî âñå
íå÷åòíûå ïî ïîðÿäêó ñëîè, ïà- Ðèñ.2
ðàëëåëüíûå âåðõíåé ãðàíè ïàðàëëåëåïèïåäà, ïåðåìåñòèì ââåðõ äðóã çà äðóãîì, à âñå
÷åòíûå – âíèç.
Ïîñëå ÷åãî íà òðåòüåì ýòàïå âñå íå÷åòíûå ñëîè, ïàðàëëåëüíûå ïåðåäíåé ãðàíè ïàðàëëåëåïèïåäà, ïåðåìåñòèì
âïåðåä, à âñå ÷åòíûå – íàçàä.
 ðåçóëüòàòå ïåðåñòðîéêè âñå ÷åðíûå ïàðàëëåëåïèïåäû «ñêëåÿòñÿ» â ÷åòûðå ÷åðíûõ ïàðàëëåëåïèïåäà, à âñå
áåëûå – â ÷åòûðå áåëûõ (ðèñ.2). Ïðè ýòîì òðè ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíûå ãðàíÿì áîëüøîãî ïàðàëëåëåïèïåäà,
ðàçäåëÿò ÷åðíûå è áåëûå ïàðàëëåëåïèïåäû. Ïóñòü
ðåáðà áîëüøîãî ïàðàëëåëåïèïåäà èìåþò äëèíû 2à, 2b
è 2ñ, à íàçâàííûå òðè ïëîñêîñòè ïðîõîäÿò ÷åðåç èõ
òî÷êè à + õ, b + y è c + z, ãäå x ≤ a , y ≤ b , z ≤ c . Ïî
óñëîâèþ, ñóììàðíûé îáúåì ÷åðíûõ ïàðàëëåëåïèïåäîâ
ðàâåí ñóììàðíîìó îáúåìó áåëûõ. Ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
(a + x )(b + y )(c + z ) + (a + x )(b − y )(c − z ) +
+ ( a − x )(b + y )( c − z ) + ( a − x )(b − y )(c + z ) =
= ( a − x )(b − y )(c − z ) +
+ ( a − x )(b + y )( c + z ) + ( a + x )(b − y )( c + z ) +
+ ( a + x )(b + y )(c − z ) .
Ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê ïîëó÷àåì xyz = 0, ò.å. õîòÿ áû
îäèí èç ñîìíîæèòåëåé ðàâåí íóëþ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
õîòÿ áû îäíà èç òðåõ ïëîñêîñòåé äåëèò áîëüøîé
ïàðàëëåëåïèïåä ðîâíî ïîïîëàì. Â ñèëó ýòîãî âîçìîæåí
çàâåðøàþùèé ýòàï ïåðåñòðîéêè áîëüøîãî ïàðàëëåëåïèïåäà: ïî îäíó ñòîðîíó îò ýòîé ïëîñêîñòè ðàçìåùàåì
÷åòûðå ÷åðíûõ, à ïî äðóãóþ – ÷åòûðå áåëûõ ïàðàëëåëåïèïåäà. Ýòî è åñòü òðåáóåìûå Ð è Q.
Â.Ïðîèçâîëîâ
Ô1863.  ñèñòåìå (ñì. ðèñóíîê) íèòü î÷åíü ëåãêàÿ è
íåðàñòÿæèìàÿ. Ãðóçû, ìàññû êîòîðûõ Ì è 2Ì,
âíà÷àëå óäåðæèâàþò, à çàòåì îòïóñêàþò. Ñ êàêèì
óñêîðåíèåì íà÷íåò äâèãàòüñÿ ãðóç ìàññîé m? Òðåíèå
â ñèñòåìå îòñóòñòâóåò.