Решения задач студенческой олимпиады по математике БГЭУ 2014 год 1. Составить уравнение прямой, параллельной прямой 2 x 5 y 0 и образующей вместе с осями координат треугольник, площадь которого равна 5. Решение. Уравнение прямой, параллельной данной, имеет вид 2x 5 y C . (1) Разделив обе части уравнения на С, получим уравнение прямой (1) в отрезках: x y 1 (cм. рисунок). y 0,5C 0,2C Площадь треугольника, образованного прямой и 0,2С координатными осями, определяется равенством 0,5С x 1 2 О S 0,5 C 0,2 C 0,05C 5 . Следовательно, С 10 , 2 и условию задачи удовлетворяют две прямые 2 x 5 y 10 0 . 2. Найти наибольшее возможное значение a, при котором квадратный трёхчлен f ( x) ax 2 ax 1 удовлетворяет неравенству | f ( x) | 1 при всех 0 x 1 . b 1 , то 2a 2 при а 0 возможное расположение параболы y f ( x) показано на рисунке. Очевидно, что для выполнения условия | f ( x) | 1 при всех y 0 x 1 необходимо и достаточно, чтобы выполнялось нераa a венство yв 1 1. Отсюда получаем а 8 , следова4 2 1 тельно, наибольшее возможное значение a 8 . Решение. Так как f (0) f (1) 1 , а абсцисса вершины параболы xв x О 1 x2 sin 3. Найти предел lim x 0 0 x3 x dx . x Решение. Так как f (t )dt f ( x) , то по правилу дифференцирования сложной a 2 x функции sin x dx sin x x 2 2 x sin x . Применим правило Лопиталя: 0 2 x2 x sin x dx 0 sin x dx 0 lim 2 x sin x 2 . lim lim x 0 x 0 x 0 x3 3x 2 3x 2 3 4. Какой максимальной длины шест можно пронести в горизонтальном положении по коридору шириной 2 метра, поворачивающему под прямым углом? Решение. Максимальная длина шеста равна минимальной возможной длине от2 2 A резка АВ (см. рисунок). Очевидно, AC , CB . sin x cos x 2м 2 2 Рассмотрим функцию l ( x) и найдем ее C sin x cos x наименьшее значение при x 0; . Из уравнения l ( x) 0 x 2 B 2м 2cos x 2sin x 0 находим x . Несложно показать, что это ‒ точка sin 2 x cos 2 x 4 минимума. Следовательно, максимальная длина шеста равна l 4 2 . 4 1 1 0 0 x h 1 0 5. Вычислить определитель x 2 hx h 0. xn hx n1 hx n2 h Решение. Порядок определителя равен n 1, т.е. n1 . Прибавим ко второму столбцу определителя первый, и разложим полученный определитель по элементам 1-й строки: 1 0 0 0 x xh 1 0 x 2 hx h n+1 x 2 xn 1 0 0 x x h h 1 0 hx h 0 2 0 x x h x n hx n1 hx n2 1 x x2 xh x n1 x h hx n2 h 1 h hx 0 1 h x n1 hx n2 hx n3 h 0 0 0 x h n . hx n3 h Аналогично, n x h n1 , и т.д. Таким образом, n1 x h n 1 2 x h n 1 1 1 n x h . x h 6. Функция y f ( x) возрастает и непрерывна на отрезке 0;a . Также известно, что f 0 0, f (a) b и a b 0 0 f ( x)dx s . Чему равен f 1 ( y )dy , где x f 1 ( y ) ‒ об- ратная к y f ( x) функция? Решение. В силу геометрического смысла определен- y b y=f(x) a ного интеграла, S1 f ( x)dx s (см. рисунок). Следова0 b тельно, f 1 ( y )dy S 2 ab s . O a x 0 7. Что больше: 20132014 или 20142013 ? Решение. Сравним логарифмы данных чисел, т.е. 2014ln 2013 и 2013ln 2014 . Для этого рассмотрим функцию f x x ln 2013 2013ln x . Очевидно, что 2013 0 при x 2013 , то функция возрасx тает, следовательно f ( x) 0 при x 2013 . Значит, 2014ln 2013 2013ln 2014 и f (2013) 0 . Так как f x ln 2013 20132014 20142013 .