Тест за 2 семестр 1. интеграл степенной функции

Тест за 2 семестр
1. интеграл степенной функции
2. табличные интегралы
3. замена переменной
4. интегрирование по частям
5. формула Ньютона-Лейбница
6. ОДЗ,
7. частные производные первого порядка
8. дифференциал первого порядка
9. необходимые и достаточные условия существования экстремума
10. экстремум функции двух переменных
11. основные понятия порядок д.у.
12. ЛОДУ и ЛНДУ 1 порядка, уравнения Бернулли
13. ЛОДУ 2 порядка
14. числовые ряды
15. необх признаки сходимости и достат.признаки сходимости
вар 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1
3 1 2 4 4 3 4 2 3 3
1
3
2
4
1
2
2 1 3 1 2 4 1 2 2 1
1
1
3
4
3
3
2 3 1 4 2 3 1 4 1 3
1
1
3
2
2
4
2 4 4 1 2 4 3 2 2 1
2
1
4
1
3
5
7. Найти частные производные функции двух переменных
вариант 1
1
dx 
x3
3
1
1
3
1)  4  C; 2) 3  C; 3)  2  C : 4)  2  C
x
3x
2x
x
 sin 3xdx 
1. 
2.
1
1
1)  cos3x  C; 2) 3 cos3x  C; 3) 3 sin x  C; 4) cos3x  C
3
3
12 x
3.  e dx 
e1 2 x
e1 2 x
1)
 C; 2) 
 C; 3) e1 2 x  C; 4) (1  2 x)e  2 x  C
2
2
2 x
4. К следующему интегралу  x e dx применяется метод
интегрирования по частям. Указать наиболее подходящие
функции u и v:
z  x ln y 
y
x
x y
x 1
, z y 
xy
xy
x2  y
2. z x  ln y  1 x , z y 
xy
2
x 1
3. z x  ln y  1 x , z y 
xy
y
x 1
z x  ln y  2 , z y  
x
y x
1. z x 
8.
1.
2.
3.
4.
Вычислить дифференциал функции z=xsiny в точке Р(-1;-π/2)
dz=dx
dz=-dx
dz=dx+dy
dz=-dx-dy
1) u  1; dv  x 2 e x dx; 2) u  e x ; dv  x 2 dx; 3) u  x 2 e x ; dv  dx; 4) u  x 2 ; dv  e x dx
3
5. Вычислить интеграл
х
2
dx 
1
1) 8;
2) 4;
3) 9;
4) 26/3
6. ОДЗ функции z  x  1  у  2
1. множество действительных чисел R
2. множество пар действительных чисел R2
3. множество пар точек на плоскости оху, удовлетворяющих
условиям: x  1, y  2
4. множество пар точек на плоскости оху, удовлетворяющих
условиям: x  1, y  2
9. Точка М(х0;у0) является точкой экстремума функции
z=f(x;y), если в этой точке функция имеет непрерывные
частные производные 1-го и 2-го порядка,
f x( x0 ; y0 )  f x( x0 ; y0 )  0 и выполняются условия
f xx ( x 0 ; y 0 ) f yy ( x 0 ; y 0 ) 
2. f xx ( x 0 ; y 0 ) f yy ( x 0 ; y 0 ) 
3. f xx ( x 0 ; y 0 ) f yy ( x 0 ; y 0 ) 
4. f xx ( x 0 ; y 0 ) f yy ( x 0 ; y 0 ) 
1.
f xy ( x 0 ; y 0 ) f yx ( x 0 ; y 0 )  0
f xy ( x 0 ; y 0 ) f yx ( x 0 ; y 0 )  0
f xy ( x 0 ; y 0 ) f yx ( x 0 ; y 0 )  0
f xy ( x 0 ; y 0 ) f yx ( x 0 ; y 0 )  0
10. Точка М(х0;у0) называется точкой максимума функции
z=f(x;y), если в окрестности точки М выполняется условие
1. f ( x0 ; y 0 )  f ( x; y )
2.
f ( x0 ; y0 )  f ( x; y )
f ( x0 ; y0 )  f ( x; y )
4. f ( x0 ; y 0 )  0
15. выполняется ли необходимый признак сходимости для
3.
11. дифференциальным уравнением называется уравнение
1) связывающее независимую переменную, искомую
функцию и её производные.
2) связывающее искомую функцию с независимой
переменной и набора из n постоянных интегрирования
3) выражающее зависимость старшей из производных
искомой функции от независимой переменной, функции и
производных
4) связывающее дифференциалы независимой переменной и
искомой функции.
12. какое из приведённых ниже уравнений является ЛОДУ 1
порядка
2
2
1) x y  xy  y
2) y   tgx  y  tgx
3) x y  xy  0
4) x y  xy 
x2 y2  y4
y   6 y   9 y  0
13. общее решение ЛОДУ 2 порядка
3 x
3x
1) y  C1e  C2 e
3 x
3 x
2) y  C1e  C2 xe
3) y  C1 cos 3 x  C 2 sin 3 x
3x
3x
4) y  C1e  C2 xe
2
2
14. Определить формулу n-го члена числового ряда:
2 3
  ...
2! 3!
n n
1) an   1 n
2
n
(1) n
3) a n 
2!
1
(1) 2 n 1
n!
n 1
(1) n
4) a n 
n!
2) a n 
1
1
1


 ...
ln
2
ln
3
ln
4
ряда:
1
1) да, т.к. lim
0
n 
ln n
1
2) нет, т.к. lim

n 
ln n
3) да, т.к. a1  a 2  ...  a n  ...
4) нет, т.к. a1  a2  ...  an  ...
7. Найти частные производные функции двух переменных
вариант 2
x
1.
4
dx 
x5
1
3
1)4 x  C ; 2)
 C ; 3) 4  C : 4)  2  C
5
4x
x
dx
2.  2

x 4
1
x
x
x
1 x2
1) arctg  C; 2) arcsin  C; 3) arccos  C; 4) ln
C
2
2
2
2
4 x2
3.  cos 2 xdx 
3
1
1
1
1)  sin 2 x  C; 2) 2 sin 2 x  C; 3) sin 2 x  C; 4) cos 2 x  C
2
2
2
2
4. К следующему интегралу  x ln xdx применяется метод
интегрирования по частям. Указать наиболее подходящие
функции u и v:
z  xy
y 1
y
1. z x  yx , z y  x ln y
y 1
y
2. z x  yx , z y  x ln x
y
y
3. z x  yx , z y  x ln x
xy
4. z x  yx , z y 
ln x
y 1
8. Вычислить дифференциал функции z=x3y-2x+4y в точке Р(1;1)
1) dz=dx
2) dz=dx+5dy
3) dz=-dx+5dy
4) dz=5dy
9. Точка М(х0;у0) является точкой максимума функции z=f(x;y),
если в этой точке функция имеет непрерывные частные
производные 1-го и 2-го порядка, f x( x0 ; y 0 )  f x( x0 ; y0 )  0 и
выполняются условия
1. f xx ( x0 ; y0 ) f yy ( x0 ; y0 )  f xy ( x0 ; y0 ) f yx ( x0 ; y0 )  0, f xx ( x0 ; y0 )  0
1) u  ln x; dv  x 2 dx; 2) u  x 2 ; dv  ln xdx; 3) u  x 2 ln x; dv  dx; 4) u  1; dv  x 2 ln xdx
2. f xx ( x0 ; y0 ) f yy ( x0 ; y0 )  f xy ( x0 ; y0 ) f yx ( x0 ; y0 )  0, f xx ( x0 ; y0 )  0
5
5. Вычислить определенный интеграл
dx
 2x  3
3.
f xx ( x0 ; y0 ) f yy ( x0 ; y0 )  f xy ( x0 ; y0 ) f yx ( x0 ; y0 )  0, f xx ( x0 ; y0 )  0
4.
f xx ( x0 ; y0 ) f yy ( x0 ; y0 )  f xy ( x0 ; y0 ) f yx ( x0 ; y0 )  0, f xx ( x0 ; y0 )  0
2
1) –6/7; 2) (ln7)/2;
3) ln7;
4) ln(2.5)
6. Областью определения функции двух переменных z=f(x;y)
называется
1. множество всех точек плоскости Оху;
2. множество всех точек пространства Охуz, для которых это
выражение имеет смысл;
3. множество всех точек пространства Охуz;
4. множество всех точек плоскости Оху, для которых это выражение
имеет смысл
10. Для стационарной точки Р(1,2) z xx  2, z yy  5, z xy  4
1. точка не является точкой экстремума
2. точка является точкой минимума
3. точка является точкой максимума
4. спорный случай
11. дифференциальным уравнением первого порядка
называется уравнение
1) уравнение, связывающее независимую переменную,
искомую функцию и её производную.
2) Уравнение, связывающее искомую функцию с
независимой переменной и постоянной интегрирования
3) Уравнение, выражающее зависимость производной
искомой функции от независимой переменной и, функции
4) Уравнение, связывающее дифференциалы независимой
переменной и искомой функции.
12. какое из приведённых ниже уравнений является уравнением
Бернулли
2
2
1) x y  xy  y
2) y   tgx  y  tgx
4) x y  xy 
3) x y  xy  0
x2 y2  y4
y   2 y   5 y  0
13. общее решение ЛОДУ 2 порядка
3 x
x
1) y  C1e  C2 e
x
x
2) y  C1e  C2 xe
x
x
3) y  C1e cos2 x  C2 e sin 2 x
x
2x
4) y  C1e cos2 x  C2 e sin(  x)
2
2
14. Определить формулу n-го члена числового ряда:
1
2
3


 ...
2 3 4 58
n n
1) an   1 n
2
(1) n n
3) an 
(2n  1)2 n
(1) 2 n1
2) an 
(2n  1)2 n
(1) n1 n
4) an 
(2n  1)2 n
15. выполняется ли необходимый признак сходимости для
1 2 3
   ...
ряда: 2 3 4
n
0
n 
n 1
2) да, т.к. lim
n
1
n 
n 1
4) да, т.к. a1  a 2  ...  a n  ...
5) нет, т.к. a1  a2  ...  an  ...
3) нет, т.к. lim
вариант 3
1
dx 
x4
5
1
1
4
1)  5  C; 2)  3  C; 3) 3  C : 4)  5  C
x
3x
3x
x
dx
2. 

4  x2
1
x
1
1) arctg  C ; 2) ln x  4  x 2  C ;
2
2
4
x
3) arcsin  C ; 4) arccos2 x  C
2
dx
3. 

4x  9
ln 4 x  9
1)
 C ; 2) ln 4 x  9  C ;
4
1
3
2x
3) 
 C ; 4) arctg
C
2
2
3
4 x  9 
1. 
4. К следующему интегралу
 2x  5e dx применяется метод
x
интегрирования по частям. Указать наиболее подходящие
функции u и v:
1) u  1; dv  2 x  5e x dx; 2) u  e x ; dv  2 x  5dx;
3) u  2 x  5e x ; dv  dx; 4) u  2 x  5; dv  e x dx
3
dx
5. Вычислить интеграл  2 
1 x
1) –2/3;
2) 2/3;
3) 8;
6. ОДЗ функции z 
4) 26/27
x  y2
x2  y2
2
1) множество действительных чисел R
2) множество пар действительных чисел R2
3) множество пар точек на плоскости оху,
удовлетворяющих условиям: x  y
4) множество пар точек на плоскости оху,
2
2
удовлетворяющих условиям: x  y  0
7. Найти частные производные функции двух переменных
z
y2
x
1) z x  
y2
2y

,
z

y
x2
x
1
, z y  2 y
x
y2
2y
3) z x  2 , z y 
x
x
y
x 1
4) z x   2 , z y  
x
y x
2) z x 
8. Вычислить дифференциал функции z=5xy-x2 в точке Р(3;2)
1) dz=dx
2) dz=dy
3) dz=dx+6dy
4) dz=4dx+15dy
9. Точка М(х0;у0) называется точкой минимума функции
z=f(x;y), если в окрестности точки М выполняется условие
1) f ( x0 ; y 0 )  f ( x; y )
f ( x0 ; y0 )  f ( x; y )
3) f ( x0 ; y 0 )  f ( x; y )
4) f ( x0 ; y 0 )  0
2)
10. В точке М(х0;у0) ) z xx  10, z yy  2, z xy  1
1)
2)
3)
4)
точка не является точкой экстремума
точка является точкой минимума
точка является точкой максимума
спорный случай
11. Определить порядок д.у.  y    x y  0
1) первого порядка 2) второго порядка
3) одна вторая
4) полтора
2
12. какое из приведённых ниже уравнений является уравнением
Бернулли
2
2
1) x y  xy  y
2) y   tgx  y  tgx
3) x y  xy  0
4) x y  xy 
x2 y2  y4
13. общее решение ЛОДУ 2 порядка y   6 y   10 y  0
3 x
2x
1) y  C1e  C2 e
3 x
2x
2) y  C1e sin 2 x  C2 cos3xe
3 x
3) y  C1 cos2 x  C2 sin 2 x e
2x
4) y  C1 cos3x  C2 sin 3x e
2
2
14. Определить формулу n-го члена числового ряда:
1 2 3
   ...
2! 2! 2!
n n
1) an   1 n
2
n
(1) n
3) a n 
2!

(1) 2 n 1
2) a n 
n!
n 1
(1) n
4) a n 
n!
15. выполняется ли необходимый признак сходимости для
ряда:1  1  1  1  ...
1) да, т.к. lim an  1
n 
2) нет, т.к. lim an  0
n 
3) да, т.к. a1  a2  ...  an  ...
4) нет, т.к. a1  a2  ...  an  ...
вариант 4
1.
dx

x

1
2
x
 C; 2) 2 x  C; 3)  3 / 2  C : 4) 
C
3x
2
2x x
dx
2.  2

x 4
1
x
x
1 x2
1) arctg  C; 2) arcsin  C; 3) ln x 2  4  C; 4) ln
C
2
2
2
4 x2
1)
3.  tgxdx 
1) ln sin x  C; 2)  ln sin x  C; 3) ln cos x  C; 4)  ln cos x  C
4. К следующему интегралу
 xarcsin xdx применяется метод
интегрирования по частям. Указать наиболее подходящие
функции u и v:
1) u  arcsin x; dv  xdx; 2) u  x; dv  arcsin xdx;
3) u  x arcsin x; dv  dx; 4) u  1; dv  x arcsin xdx
5
5. Вычислить определенный интеграл  e dx
x
2
3
5
2
1) e ; 2) e -e ;
3) 5lne-3lne;
4) ln(2.5)
6. Найти область определения функции z=ln(1-x2-y2)
1) множество всех точек плоскости Оху;
2) множество всех точек пространства Охуz
3) круг с центром в начале координат, радиус которого равен 1, т.е.
х2+у2≤1;
4) внутренность круга с центром в начале координат, радиус
которого равен 1, т.е. х2+у2<1;
x2
7. Найти частные производные функции двух переменных z 
y
3
2
2x
x
1) z x 
, z y   2
y
y
x2
2x
2) z x   2 , z y 
y
y
2x
x2
, z y   2
3) z x 
y
y
2x
4) z x 
, z y   x 2 ln y
y
8. Вычислить дифференциал функции z=x3y-2x+4y в точке Р(1;1)
1) dz=dx
2) dz=dx+5dy
3) dz=-dx+5dy
4) dz=5dy
9. для того, чтобы в точке М(х0;у0) существовал экстремум
необходимо, чтобы
1) в этой точке функция имела непрерывные частные производные
1-го и 2-го порядка
2) f x( x0 ; y 0 )  f x( x0 ; y0 )  0
f xx ( x0 ; y0 ) f yy ( x0 ; y0 )  f xy ( x0 ; y0 ) f yx ( x0 ; y0 )  0
4) f xx ( x0 ; y0 ) f yy ( x0 ; y0 )  f xy ( x0 ; y0 ) f yx ( x0 ; y0 )  0
10. Для стационарной точки Р(1,2) z xx  6, z yy  5, z xy  6
3)
1)
2)
3)
4)
точка не является точкой экстремума
точка является точкой минимума
точка является точкой максимума
спорный случай
11. Определить порядок д.у. cos x  yy  y  sin x 
1) первого порядка
2) второго порядка
3) третьего порядка
4) пятого порядка
2
3
12. какое из приведённых ниже уравнений является уравнением
Бернулли
y
 x2 y
x
2
2
3) x  y y  xy  0
1) xy  
2) y   sin x  y  cos x
4) x y  xy 
x2 y2  y4
13. общее решение ЛОДУ 2 порядка y   6 y   9 y  0
3 x
3x
1) y  C1e  C2 e
3x
3x
2) y  C1e  C2 e
x
x
3) y  C1e cos3x  C2 e sin 3x
3x
3x
4) y  C1e  C2 xe
2
14. Определить формулу n-го члена числового ряда:
1 2 3
   ...
2 4 8
n n
1) an   1 n
2
(1) n n
3) an 
(2n  1)2 n

(1) 2 n1
2) an 
(2n  1)2 n
(1) n1 n
4) an 
(2n  1)2 n
15. выполняется ли необходимый признак сходимости для
1 1
 ...
4 9
1) да, т.к. a1  a 2  ...  a n  ...
2) нет, т.к. a1  a2  ...  an  ...
3) да, т.к. lim an  0
ряда:1 
n
4) нет, т.к. lim an  1
n