

(11 класс, модуль III, урок 3)
Урок 3. Непрерывность основных элементарных функций
План урока
 3.1. Непрерывность многочленов и дробно-рациональных функций
 3.2. Неравенства, связывающие значения аргумента со значениями
синуса и тангенса
 3.3. Непрерывность синуса и косинуса, тангенса и котангенса
 3.4. Замечательный тригонометрический предел
 3.5. Непрерывность показательной функции
 Тесты
 Домашнее задание
Цели урока:
На этом уроке с помощью теорем о непрерывных функциях,
изученных на предыдущем уроке устанавливается непрерывность
многочленов и дробно-рациональных функций; с помощью неравенств,
связывающих значения аргумента со значениями синуса и тангенса,
устанавливается непрерывность синуса и косинуса на всей числовой
прямой. В качестве еще одного следствия из упомянутых неравенств
доказывается замечательный тригонометрический предел. В заключение
сообщается факт непрерывности показательной функции.
3.1. Непрерывность многочленов и дробно-рациональных функций
Используя примеры и теоремы об арифметике пределов,
рассмотренные в предыдущем уроке темы, нетрудно доказать, что каждый
P( x)  a0 x n  a1 x n 1    an 1 x  an
многочлен
является
непрерывной
функцией на всей числовой прямой.
Вопрос. Как
доказать
3
2
P( x)  x  x  x  1 на множестве R ?
непрерывность
многочлена
Используя теорему 9 из пункта 2.3 предыдущего урока, нетрудно
доказать, что каждая дробно- рациональная функция, представляющая из
себя отношение двух многочленов, непрерывна в своей области
определения.
3
Вопрос. Как доказать, что функция f ( x)  2x
непрерывна на
x 1
множестве (1)  (11)  (1) ?
3.2. Неравенства, связывающие значения аргумента со значениями
синуса и тангенса
В десятом классе при изучении тригонометрических функций для
0  x   были установлены важные неравенства
2
sin x  x  tg x
(1)
связывающие значение аргумента x со значениями тригонометрических
функций.
Напомним, как доказываются эти неравенства. Изобразим на
единичной окружности угол AOB в x радианах. Проведем BH  OA и
AK  OA так, как изображено на рисунке 1. Так как треугольник AOB
содержится в секторе AOB , а сектор AOB содержится в треугольнике
AOK , то
S AOB  Sсек  AOB  S AOK
1
1
1
OA  BH  OA2  AOB  OA  AK 
2
2
2
Так как OA  1 , AOB  x , BH  sin x , AK  tg x , то
1
1
1
sin x  x  tg x
2
2
2
откуда сразу следуют неравенства (1).
Эти неравенства можно обобщить.
Пусть x  0 и    x  0 . Обозначим t   x . Тогда t  0 и 0  t   .
2
2
Поэтому
sin t  t  tg t
откуда
sin( x)   x  tg( x)
 sin x  x  tg x  
(2)
Неравенства (2) выполняются при всех x таких, что    x   и
2
2
x  0 , или 0  x   .
2
Вопрос. Как доказать, что sin1  0 0175
3.3. Непрерывность синуса и косинуса, тангенса и котангенса
Неравенство  sin x  x  позволяет доказать непрерывность функций
sin x , cos x , tg x на всей области определения. Разберем доказательство
непрерывности функции sin x .
Доказательство.
Пусть
Возьмем
произвольную
aR .
последовательность ( xn ) такую, что xn  a и xn  a при n   . Тогда
xn  a  0 и  xn  a  0 при n   . Далее,
xn  a
x a
 cos n

2
2
x a
x a
x a
x a
 2 sin n
 cos n
 2  sin n
 2 n
 xn  a  
2
2
2
2
Следовательно, 0  sin xn  sin a  xn  a  при каждом n  N . Отсюда по
теореме о пределе промежуточной последовательности имеем
lim  sin xn  sin a  0 . Поэтому lim(sin xn  sin a)  0 , lim sin xn  sin a .
 sin xn  sin a  2sin
n 
n 
n 
Ввиду произвольности выбора последовательности ( xn ) с указанными
условиями получаем, что lim sin x  sin a . Тем самым непрерывность
xa
функции sin x доказана при любом a  R .
Вопрос. Как доказать непрерывность функции cos x в каждой точке
числовой прямой?
Утверждения о непрерывности тангенса и котангенса в каждой точке
своих областей определения следуют из теоремы 7 (или теоремы 9)
предыдущего урока.
3.4. Замечательный тригонометрический предел
Функция f ( x)  sin x представляет из себя отношение непрерывных
x
функций. Однако, непосредственная подстановка x  0 приводит к
выражению 0 , которое не определено. Тем не менее отношение sin x
0
x
имеет при x  0 предел, равный 1 . Докажем это.
Доказательство. Пусть 0  x   . Тогда  sin x  x  tg x  .
2
Из неравенства  sin x  x  следует, что sin x  1 .
x
 sin x 
Из неравенства  x  tg x  следует 1 
,  cos x  sin x .
x
 x cos x 
Функции cos x и sin x четные. Поэтому полученные неравенства
x
можно записать в виде cos x  sin x  1 . Так как lim cos x  cos x  1 ,
x 0
x
lim1  1 , то по теореме 4 о промежуточной функции из пункта 1.8 урока 1
x 0
получаем lim sin x  1 .
x 0
x
Этот предел играет
тригонометрических функций.
очень
Вопрос. Чему равен lim sin 5 x 
x 0
x
важную
роль
в
изучении
3.5 Непрерывность показательной функции
При a  0 и a  1 показательная функция a x непрерывна на всей
числовой прямой. Доказательство этого свойства сложное и мы его
приводить не будем.
Вопрос. Пусть a  0 . Как доказать, что lim n a  1 ?
n 
Мини-исследование
Попробуйте не использовать непрерывность косинуса при выводе
замечательного тригонометрического предела lim sin x  1 . Для этого
x 0
x
1)
для всех положительных чисел x установите неравенства
0  1  sin x  1  cos x ;
x
2)
выразите 1  cos x через синус половинного аргумента и
получите неравенства
2
0  1  sin x  x ;
x
2
2
воспользовавшись четностью функций sin x и x ,
x
2
распространите предыдущие неравенства для всех x  0 ;
4)
с помощью теоремы о пределе промежуточной функции
установите искомый предел.
С
помощью
полученных
соотношений
легко
получить
непрерывность косинуса в точке 0, а с помощью теоремы 10 из
предыдущего урока (теоремы о непрерывности сложной функции)
непрерывность косинуса в любой точке числовой прямой.
3)
Проверь себя. Непрерывность основных элементарных функций
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
Функция f ( x) непрерывна на всей числовой прямой:
 1. f ( x)  tg x  x ;
 2 . f ( x)  x  sin x ;
 3. f ( x)  tg x  ctg x ;
 4. f ( x)  12 .
sin x
(Правильный вариант: 2)
Функция f ( x) непрерывна на всей числовой прямой:
2 x  2 x
;
2 x  2 x
2 x  2 x
 2 . f ( x)  x  x ;
2 2
2 x  2 x
 3. f ( x)  x  x ;
2 2
 4. f ( x)  2 x  2  x .
(Правильный вариант: 1)
 1. f ( x) 
Значение lim sin x равно:
x 0 3x
1
 1. 3 ;  2 . 0 ;  3. ;  4. не существует.
3
(Правильный вариант: 3)
Значение lim sin x равно:
x  3x
1
 1. 3 ;  2. 0 ;  3. ;  4. не существует.
3
(Правильный вариант: 2)
tg x
равно:
x 0 2 x
1
 1. 2 ;  2. 0 ;  3. ;  4. не существует.
2
(Правильный вариант: 3)
Значение lim
Значение lim x  cos x равно:
x 0 tg 2 x
1
 1. 2 ;  2. 0 ;  3. ;  4. не существует.
2
(Правильный вариант: 3)
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
Укажите, для каких функций значение lim f ( x ) равно
x 0
2
:
5
tg 5x
 1. sin x ;  2.
; 3. cos 2 x ;  4. sin 2 x .
5x
2x
tg 5 x
2
(Правильные варианты: 1, 4)
tg 5x
Укажите, для каких функций значение lim f ( x ) равно 3 :
x 0
 1. sin 6 x ;  2. x  ctg 3x ; 3. 3 x  ctg x ;  4. sin 2 x .
sin 2 x
3
2x
(Правильные варианты: 1, 4)
Домашнее задание
1. Докажите непрерывность функции на всей области определения:
а) f ( x)  ( x 2  1)5 ; б) f ( x)  ( x  2)3  3x ;
( x  1)
в) f ( x)  13  22  3 ; г) f ( x) 
.
x
x
x
( x  1)3
4
2. Докажите непрерывность функции на всей числовой прямой:
а) f ( x)  sin 2 x ; б) f ( x)  cos x  sin x ; в) f ( x)  sin(2 x  5) ;
г) f ( x)  cos x  1 cos 2 x  1 cos3x ; д) f ( x)  x  sin x .
2
3
3. Докажите непрерывность функции на всей области определения:
а) f ( x)  cos x ; б) f ( x)  tg 3 x   ;
4
cos 2 x
tg x
tg x  sin x
в) f ( x)  2
; г) f ( x) 
.
1  cos x
tg x  1


4. Найдите предел:
x;
а) lim sin 2 x ; б) lim sin 3x ; в) lim 1  cos
2
x

0
x 0
x

0
x
sin 2 x
x
tg 2 x
г) lim sin 3x  sin 2 x ; д) lim
; е) lim sin 3x .
x 0 tg 4 x
x 0
x 0
x
x
5.* Найдите предел:
sin x  tg x
а) lim   x ; б) lim x ctg 5 x ; в) lim sin18 x ; г) lim
.
x 
x 
x  sin 3 x
x  sin 37 x
sin 3 x
6.** Найдите предел последовательности:
2
а) lim n sin 1 ;
б) lim n3 tg 1  sin 1 ;
x  n  1
x 
n
n
n
1
г) lim n sin 2
.
x 
n 1




в) lim n 2 1  cos 1 ;
x 
2n
7. Найдите предел:
x
x
x
x
2
а) lim 2x  3x ; б) lim 3x  1 ; в) lim 3  2 x  x 2 .
x2 3  4
x1 3  1
x 3 x  2  x
8.* Найдите предел:
x
x
x
а) lim 2 x  1 ;
б) lim 4 3 x 2  2 ;
x1
x0 4  1
4 4
в) lim 9x  1 ;
x1 3  1
x
г) lim
x0
 2 11  4 2 1 ;
x
x

100 x  0 01
.
x 10 x  01
д) lim
9.** Докажите, что при всех x  0 выполняется неравенство  sin x  x  .
Словарь терминов
Непрерывность функции в точке.
непрерывной в предельной точке a
lim f ( x)  f (a) . Часто дают немного
x a
f ( x ) называется
Функция
области определения, если
отличное от приведенного
определение непрерывности функции в точке – функция f ( x) называется
непрерывной в точке a из области определения D , если для каждого
положительного числа  найдется   0 такое, что при всех x ,
удовлетворяющих условиям x  D и  x  a   , выполняется неравенство
 f ( x)  f (a)   . Это определение позволяет считать функцию
непрерывной во всякой изолированной точке своей области определения.
Непрерывность функции на множестве. Функция f ( x) называется
непрерывной на множестве M , если f ( x) непрерывна в каждой точке
множества M .
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. – 11-3-05.cdr