Ответы, указания, решения

ÎÒÂÅÒÛ,
R1
R2
= −5 ⋅ 10
−9
Êë .
∑ σ ∆S
i
Èìåííî ýòîò çàðÿä è ïðîòå÷åò ÷åðåç
ãàëüâàíîìåòð.
Çàäà÷à 8.  ñèñòåìå, èçîáðàæåííîé
íà ðèñóíêå 13, ðàäèóñ âíóòðåííåé
i
= 0,
i
ãäå ∆Si – ïëîùàäü i-ãî ó÷àñòêà ñôåðû,
à σ i – ïëîòíîñòü çàðÿäà i-ãî ó÷àñòêà.
Òîãäà èç ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè íàõîäèì ïîòåíöèàë â öåíòðå ñôåðû:
+q
ϕ=−
!R
q
4 πε 0 ⋅ 2 R
+
σ i ∆Si
∑ 4 πε R =
0
i
R
= −
–q
q
8 πε 0 R
.
Ïðè ýòîì íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âíóòðè ïðîâîäÿùåé ñôåðû
ðàâíà íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîòåíöèàë âíóòðè ñôåðû ïîñòîÿíåí è ðàâåí
ïîòåíöèàëó íà åå ïîâåðõíîñòè, ò.å.
q
ϕR = −
.
8 πε 0 R
-
Òåïåðü ðåøåíèå ïîñòàâëåííîé çàäà÷è
î÷åâèäíî. Ñîãëàñíî ïðèíöèïó ñóïåðïîçèöèè, ïîòåíöèàë âíóòðåííåé ñôåðû ðàâåí
Ðèñ. 13
E=
ïðîâîäÿùåé ñôåðû R, âíåøíåé (òîæå
ïðîâîäÿùåé) 3R, çàðÿä âíåøíåé ñôåðû +q. Íà ðàññòîÿíèè 2R îò öåíòðà
ñèñòåìû íàõîäèòñÿ òî÷å÷íûé çàðÿä
–q. Çíàÿ âåëè÷èíû q, E , R, îïðåäåëèòå çàðÿä âíóòðåííåé ñôåðû. Ïîòåíöèàë çåìëè ïðèíÿòü ðàâíûì íóëþ.
Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ çàäà÷ó. Ïóñòü íà ðàññòîÿíèè 2R îò ïðîâîäÿùåé ñôåðû ðàäèóñîì R ðàñïîëîæåí
òî÷å÷íûé çàðÿä –q. Îïðåäåëèì ïîòåíöèàë ñôåðû. Çàðÿä –q ïðèâåäåò ê
ïåðåðàñïðåäåëåíèþ çàðÿäîâ íà ñôåðå
(ê åå ïîëÿðèçàöèè). Îáîçíà÷èì ÷åðåç
Q
4 πε 0 R
+
q
−
4 πε 0 ⋅ 3 R
q
8 πε 0 R
,
îòêóäà íàõîäèì èñêîìûé çàðÿä âíóòðåííåé ñôåðû:
Q = 4 πε 0 RE +
1
6
#%
ÐÅØÅÍÈß
σ ïîâåðõíîñòíóþ ïëîòíîñòü çàðÿäà íà
ñôåðå. Ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà,
îòêóäà ïîëó÷àåì
q = −Q
ÓÊÀÇÀÍÈß,
q.
Óïðàæíåíèÿ
1.  ïëîñêèé êîíäåíñàòîð, ïîäêëþ÷åííûé ê èñòî÷íèêó ñ ïîñòîÿííîé ÝÄÑ
E , ïàðàëëåëüíî îáêëàäêàì ïîìåùåíà
ïëîñêàÿ ïëàñòèíà, èìåþùàÿ çàðÿä q.
Ðàññòîÿíèÿ îò ïëàñòèíû äî îáêëàäîê d1
è d2 . Ïëîùàäü ïëàñòèíû è îáêëàäîê S.
Îïðåäåëèòå ñèëó, äåéñòâóþùóþ íà ïëàñòèíó ñî ñòîðîíû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.
2. Òðè ïëîñêèå ìåòàëëè÷åñêèå ïëàñòèíû îáðàçóþò ñëîæíûé êîíäåíñàòîð.
Íà ñðåäíåé ïëàñòèíå èìååòñÿ çàðÿä +Q,
êðàéíèå íåçàðÿæåííûå ïëàñòèíû çàêîðî÷åíû ïðîâîäíèêîì. Îïðåäåëèòå âåëè÷èíó è íàïðàâëåíèå íàïðÿæåííîñòåé
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ìåæäó ïëàñòèíàìè, åñëè ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ïëàñòèíàìè
l 1 è l 2 ( l 1 > l 2 ), à ïëîùàäü êàæäîé
ïëàñòèíû S.
3. Äâå ñîåäèíåííûå ïðîâîäíèêîì ïëàñòèíû ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà ïëîùàäüþ
S êàæäàÿ íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè d
äðóã îò äðóãà âî âíåøíåì îäíîðîäíîì
ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå. Ðàññòîÿíèå ìåæäó
ïëàñòèíàìè ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçìåðàìè ïëàñòèí. Îïðåäåëèòå íàïðÿæåííîñòü âíåøíåãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, åñëè
èçâåñòíî, ÷òî ïðè ìåäëåííîì ñáëèæåíèè
ïëàñòèí äî ðàññòîÿíèÿ d/3 áûëà ñîâåðøåíà ðàáîòà À.
4. Âíóòðè ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà, ìåæäó îáêëàäêàìè êîòîðîãî ñ ïîìîùüþ èñòî÷íèêà íàïðÿæåíèÿ ïîääåðæèâàåòñÿ
ïîñòîÿííàÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U,
ðàñïîëîæåíà ïëîñêîïàðàëëåëüíàÿ ìåòàëëè÷åñêàÿ ïëàñòèíà òîëùèíîé l è ìàññîé
m. Ïëàñòèíà â íà÷àëüíûé ìîìåíò ïðèæàòà ê ëåâîé îáêëàäêå êîíäåíñàòîðà, à
çàòåì îòïóñêàåòñÿ. ×åìó áóäåò ðàâíî
óñêîðåíèå ïëàñòèíû â òîò ìîìåíò, êîãäà
îíà áóäåò çàíèìàòü ñèììåòðè÷íîå ïîëîæåíèå îòíîñèòåëüíî îáêëàäîê êîíäåíñàòîðà? Ïëîùàäü êàæäîé ïëàñòèíû S, à
ðàññòîÿíèå ìåæäó îáêëàäêàìè d.
5. Â ñèñòåìå, ïîõîæåé íà èçîáðàæåííóþ íà ðèñóíêå 13, ðàäèóñ âíóòðåííåé
ïðîâîäÿùåé ñôåðû R, âíåøíåé (òîæå
ïðîâîäÿùåé) 2R. Íà ðàññòîÿíèè 3R îò
öåíòðà ñèñòåìû íàõîäèòñÿ òî÷å÷íûé çàðÿä –q. Çíàÿ âåëè÷èíû q, E è R, îïðåäåëèòå çàðÿä íà âíåøíåé ñôåðå. Ïîòåíöèàë çåìëè ïðèíÿòü ðàâíûì íóëþ.
ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, ÐÅØÅÍÈß
3
«Êâàíò»äëÿìëàäøèõøêîëüíèêîâ
Çàäà÷è
(ñì. «Êâàíò» ¹3)
1. Ïóñòü Àëåøå õ ëåò, à Ãðèøå – ó ëåò. Òîãäà Áîðå õ – 3 ëåò
(õ > 6). Ñîãëàñíî óñëîâèþ çàäà÷è,
b
g b
g
b
gb
g
y x − 3 = x x − 6 + 9 , îòñþäà x − 3 x − 3 − y = 0 .
Òàê êàê x > 6, òî x – y = 3, ò.å. Àëåøà ñòàðøå Ãðèøè íà 3 ãîäà.
2. Ðàçðåæåì ëåíòó íà òàêèå 7 ÷àñòåé: 1, 23, 4, 5, 6, 7, 89, à
çàòåì ïåðåâåðíåì øåñòåðêó, ïðåâðàòèâ åå â äåâÿòêó. Â
ðåçóëüòàòå ïîëó÷àòñÿ 7 ïîïàðíî âçàèìíî ïðîñòûõ ÷èñåë: 1,
23, 4, 5, 9, 7, 89. Î÷åâèäíî, ÷òî áîëüøåãî êîëè÷åñòâà ÷àñòåé
äîñòè÷ü íåâîçìîæíî.
3. Ïðåäïîëîæèì, íàéäåòñÿ òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî n, ÷òî
n2 + n + 1 äåëèòñÿ íà 9. Òîãäà èç òîæäåñòâà n2 + n + 1 n − 1 =
c
hb g
3
= n – 1 ñëåäóåò, ÷òî n – 1 äåëèòñÿ íà 3. Îòñþäà çàêëþ÷àåì,
÷òî ÷èñëî n ïðè äåëåíèè íà 3 äîëæíî äàâàòü â îñòàòêå 1.
2
Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü äâóõ ÷èñåë n − 1 è n 2 + n + 1, êàæäîå
èç êîòîðûõ äåëèòñÿ íà 9:
b
bn − 1g − en
2
2
g
j
+ n + 1 = −3 n .
Îòñþäà âèäíî, ÷òî ÷èñëî n äåëèòñÿ íà 3. Ïîëó÷åííîå
ïðîòèâîðå÷èå ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà
n, óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèþ çàäà÷è, íå ñóùåñòâóåò.
4. Ïóñòü â Äóìå íàñ÷èòûâàåòñÿ õ ðûöàðåé è 101 – õ ëæåöîâ.
Åñëè âûâåñòè èç ñîñòàâà Äóìû ðûöàðÿ, òî îñòàâøèõñÿ õ – 1
ðûöàðåé ìåíüøå, ÷åì 101 – õ ëæåöîâ, ò.å. õ – 1 < 101 – x,
îòêóäà x < 51. Åñëè âûâåñòè èç ñîñòàâà Äóìû ëæåöà, òî
îñòàâøèõñÿ 100 – õ ëæåöîâ áóäåò íå áîëüøå, ÷åì õ ðûöàðåé
(òàê êàê ëæåö âðåò), ò.å. 100 – õ ≤ õ, îòêóäà õ ≥ 50. Èñõîäÿ
èç ïîëó÷åííûõ íåðàâåíñòâ, ïîëó÷àåì õ = 50.
5. Îáîçíà÷èì êàòåòû ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ a, b,