СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ, ЗОННАЯ

ÃË À ÂÀ 1
ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ ÝËÅÊÒÐÎÍÎÂ Â ÒÂÅÐÄÎÌ
ÒÅËÅ, ÇÎÍÍÀß ÌÎÄÅËÜ ÌÅÒÀËËÎÂ
È ÏÎËÓÏÐÎÂÎÄÍÈÊÎÂ
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ýòîé ãëàâû íåîáõîäèìû ýëåìåíòàðíûå
ñâåäåíèÿ èç êâàíòîâîé ìåõàíèêè è êâàíòîâîé ñòàòèñòèêè.
 êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå äëÿ îïèñàíèÿ â êàêîé-òî ìîìåíò
âðåìåíè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê äîñòàòî÷íî çàäàòü çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò è êîìïîíåíò èìïóëüñà êàæäîé èç ìàòåðèàëüíûõ
òî÷åê.
 êâàíòîâîé ìåõàíèêå äàæå äëÿ îäíîé ÷àñòèöû îäíîâðåìåííîå îïðåäåëåíèå êîîðäèíàòû è ñîîòâåòñòâóþùåé åé êîìïîíåíòû èìïóëüñà ïðèíöèïèàëüíî íåâîçìîæíî èç-çà ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà. Íàèáîëåå ïîëíîå îïèñàíèå ñèñòåìû â êâàíòîâîé ìåõàíèêå äàåòñÿ âñåãî îäíîé êîìïëåêñíîé ôóíêöèåé, íåçàâèñèìî îò òîãî, ñîñòîèò ñèñòåìà èç
ìíîæåñòâà ÷àñòèö èëè èç îäíîé ÷àñòèöû.
Ýòà ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ïî-ðàçíîìó — è ôóíêöèåé ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, è àìïëèòóäîé âåðîÿòíîñòè, è âîëíîâîé ôóíêöèåé. Ïîñëåäíåå íàçâàíèå, áûâøåå èñòîðè÷åñêè ïåðâûì, ñåé÷àñ
âûõîäèò èç óïîòðåáëåíèÿ. Ôóíêöèÿ ñîñòîÿíèÿ çàâèñèò îò âðåìåíè è îò êîîðäèíàò âñåõ ÷àñòèö ñèñòåìû è ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì
îäíîãî, õîòÿ äîâîëüíî ñëîæíîãî, âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà.
3
Ôóíêöèÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû çàäàíà â àáñòðàêòíîì
3N-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå (ãäå N — ÷èñëî ÷àñòèö â ñèñòåìå) è íå
ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî èçìåðÿåìîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíîé.
Ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ ìîæíî âû÷èñëèòü êîíêðåòíûå
çíà÷åíèÿ äðóãèõ èçìåðÿåìûõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, íàïðèìåð,
êîîðäèíàòû. Îäíàêî îáíàðóæåíèå â ýêñïåðèìåíòå ýòèõ êîíêðåòíûõ çíà÷åíèé èìååò ëèøü âåðîÿòíîñòíûé, ñòàòèñòè÷åñêèé
õàðàêòåð.
Äàæå ïàðàìåòðû ýòîé ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, íàçâàííûå êîîðäèíàòàìè ÷àñòèö ñèñòåìû, ïîíèìàòü íàäî èíà÷å,
÷åì â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå. Ýòî íå òî ìåñòî â ïðîñòðàíñòâå, ãäå
íàõîäèòñÿ ÷àñòèöà, à ìåñòî, ãäå îíà ñ íåêîòîðîé âåðîÿòíîñòüþ
ìîæåò áûòü îáíàðóæåíà.
Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû (àìïëèòóäû âåðîÿòíîñòè ñèñòåìû) ëåã÷å ïðåäñòàâèòü â ïðîñòåéøåì
ñëó÷àå, êîãäà ðå÷ü èäåò î äâèæåíèè âäîëü îñè X âñåãî äâóõ ÷àñòèö ñ ðàçëè÷íûìè ìàññàìè m è M. Ôóíêöèÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû â ýòîì ñëó÷àå áóäåò èìåòü âèä
Ψ ( xm , xM , t ).
(1.1)
Âåðîÿòíîñòü â ìîìåíò âðåìåíè t0 îáíàðóæèòü ïåðâóþ ÷àñòèöó âáëèçè òî÷êè xm0 â ïðîìåæóòêå xm0 ÷ xm0 + dxm0, à âòîðóþ
÷àñòèöó âáëèçè òî÷êè xM0 â ïðîìåæóòêå xM0 ÷ xM0 + dxM0 ïðîïîðöèîíàëüíà ïðîèçâåäåíèþ èíòåðâàëà dxm, èíòåðâàëà dxM è êâàäðàòà ìîäóëÿ çíà÷åíèÿ êîìïëåêñíîé ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû
Ψ(xm, xM, t) (|Ψ|2 = Ψ∗ Ψ, ãäå Ψ∗ — ôóíêöèÿ, êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííàÿ ñ Ψ):
dP ( xm 0 , xM 0 , t0 ) = Ψ (xm 0 , x M 0 , t0 ) Ψ* (x m0 , x M 0 ,t0 )dx mdx M .
(1.2)
Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ ýòîé ñèñòåìû ÷àñòèö èìååò
âèä
−ih
∂Ψ h 2 ∂ 2Ψ
h 2 ∂ 2Ψ
=
+
− U (x m , x M , t ) Ψ .
∂t 2m ∂x m2 2M ∂x M2
4
Çäåñü U(xm, xM, t) — ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ, ó÷èòûâàþùàÿ âñå âçàèìîäåéñòâèÿ, â êîòîðûõ ó÷àñòâóþò ÷àñòèöû, à
h = h / 2π ,
(1.4)
ãäå h = 6,62·10 Äæ·ñ — ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà.
Óðàâíåíèå ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà áîëüøåå êîëè÷åñòâî êîîðäèíàò è ëþáîå ÷èñëî ÷àñòèö. Ïðè ýòîì â ñóììå ñïðàâà äîáàâëÿþòñÿ íîâûå ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî
îñòàëüíûì êîîðäèíàòàì è àíàëîãè÷íûå ñëàãàåìûå, ñîîòâåòñòâóþùèå íîâûì ÷àñòèöàì ñèñòåìû.
 êóáè÷åñêîì ñàíòèìåòðå òâåðäîãî òåëà íàõîäèòñÿ äî
1023 àòîìîâ. ×èñëî ýëåêòðîíîâ ìîæåò áûòü áîëüøå íà îäèí-äâà
ïîðÿäêà. ßñíî, ÷òî áåç óïðîùàþùèõ ïðåäïîëîæåíèé íè çàïèñàòü, íè ðåøèòü óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ñ òàêèì êîëè÷åñòâîì
ïåðåìåííûõ íåâîçìîæíî.
Ñóòü íåêîòîðûõ óïðîùåíèé ìîæíî ïîêàçàòü íà ïðèìåðå
ñèñòåìû èç äâóõ ÷àñòèö. Îêàçûâàåòñÿ, åñëè ïîòåíöèàëüíàÿ
ýíåðãèÿ U (xm, xM) çàâèñèò òîëüêî îò êîîðäèíàò ÷àñòèö
xm, xM è íå çàâèñèò îò âðåìåíè, òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ìîæåò áûòü íàéäåíî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíêöèé,
îäíà èç êîòîðûõ çàâèñèò òîëüêî îò âðåìåíè, äðóãàÿ — òîëüêî îò
êîîðäèíàò ÷àñòèö:
-34
Ψ ( xm , xM , t ) = ϕ ( xm , xM ) f (t ).
(1.5)
Åñëè ïîäñòàâèòü Ψ (xm, xM, t) â óðàâíåíèå (1.3), à çàòåì
ïîäåëèòü îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ (1.3) íà Ψ (xm, xM, t), òî ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà çàâèñèò
òîëüêî îò êîîðäèíàò ÷àñòèö, à ëåâàÿ ÷àñòü — òîëüêî îò âðåìåíè.
Ïîñêîëüêó óðàâíåíèå (1.3) ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáûõ t, xm è xM, òî
îáå ÷àñòè ðàâíû îäíîé è òîé æå êîíñòàíòå Å, èìåþùåé ðàçìåðíîñòü ýíåðãèè. Ýòó êîíñòàíòó íàçûâàþò ïîëíîé ýíåðãèåé ñèñòåìû.
(1.3)
5
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì äâà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ:
ih
−
1 ∂f (t )
= E,
f (t ) ∂t
(1.6)
h 2 ∂ 2ϕ
h 2 ∂ 2ϕ
−
+ U ( xm , xM )ϕ = Eϕ.
2m ∂xm2 2 M ∂x M2
(1.7)
Íåïîñðåäñòâåííî èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèå (1.6), ïîëó÷èì
 E 
f (t ) = exp  −i t  = exp(−iω t ).
(1.8)
 h 
Êîìïëåêñíàÿ ôóíêöèÿ f (t) ãàðìîíè÷åñêè ñ ÷àñòîòîé ω çàâèñèò îò âðåìåíè. Ìîäóëü ôóíêöèè f (t) ðàâåí åäèíèöå. Êâàäðàò
ìîäóëÿ ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû |Ψ(t, xm, xM)|2 ïðîïîðöèîíàëåí âåðîÿòíîñòè îáíàðóæèòü ÷àñòèöó â êàêîé-ëèáî îáëàñòè
ïðîñòðàíñòâà è íå çàâèñèò îò âðåìåíè.
Êîîðäèíàòíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà (1.7) ñîäåðæèò â
êà÷åñòâå ïàðàìåòðà ïîëíóþ ýíåðãèþ ñèñòåìû Å. Çíà÷åíèÿ
ýíåðãèè Å, ïðè êîòîðûõ ýòî óðàâíåíèå èìååò ðåøåíèÿ, íàçûâàþò ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Ðåøåíèÿ äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì è ôèçè÷åñêîìó ñìûñëó. Ñîîòâåòñòâóþùèå èì âîëíîâûå ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè, èëè êâàíòîâûìè ñîñòîÿíèÿìè. Òàêèå ñîñòîÿíèÿ, èìåþùèå îïðåäåëåííóþ ýíåðãèþ, íàçûâàþòñÿ ñòàöèîíàðíûìè. Èìåííî îíè áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ â
äàëüíåéøåì.
 îäíèõ ñëó÷àÿõ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.7) ñóùåñòâóþò
ëèøü äëÿ äèñêðåòíûõ çíà÷åíèé ýíåðãèè ñèñòåìû En. Ïðè ýòîì
ãîâîðÿò î äèñêðåòíîì íàáîðå ðàçðåøåííûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé.  äðóãèõ ñëó÷àÿõ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.7) ñóùåñòâóþò
äëÿ ëþáûõ çíà÷åíèé ýíåðãèè Å. Òîãäà ãîâîðÿò î íåïðåðûâíîì
ñïåêòðå êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé.
Íåñêîëüêî êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé, èìåþùèõ îäíî è òî æå
çíà÷åíèå ýíåðãèè, íàçûâàþòñÿ ýíåðãåòè÷åñêèì óðîâíåì. Ýòè
6
ñîñòîÿíèÿ ðàçëè÷àþòñÿ íàáîðîì êâàíòîâûõ ÷èñåë — ïàðàìåòðîâ, êîòîðûå ïîÿâëÿþòñÿ â õîäå ðåøåíèÿ êîîðäèíàòíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Íàïðèìåð, ñòàöèîíàðíîå êâàíòîâîå ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíà â àòîìå âîäîðîäà îïðåäåëÿåòñÿ âñåìè ÷åòûðüìÿ
êâàíòîâûìè ÷èñëàìè, íî ýíåðãèÿ Å ñâÿçàíà ëèøü ñ ãëàâíûì
êâàíòîâûì ÷èñëîì.
Åñëè ÷àñòèöû â ñèñòåìå íå âçàèìîäåéñòâóþò ìåæäó ñîáîé, òî âõîäÿùàÿ â óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ñóììû ïîòåíöèàëüíûõ
ýíåðãèé ÷àñòèö âî âíåøíåì ïîëå:
U (xm , xM ) = U m ( x m ) + U M ( x M ).
(1.9)
 ýòîì ñëó÷àå êîîðäèíàòíàÿ ôóíêöèÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû
ϕ (xm, xM) îêàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé
ñîñòîÿíèÿ îòäåëüíûõ ÷àñòèö:
ϕ ( xm , xM ) = ϕm ( xm ) ϕM ( xM ),
(1.10)
êàæäàÿ èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíî÷àñòè÷íîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñî ñâîåé ïîòåíöèàëüíîé
ýíåðãèåé.
Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû äâóõ íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ
÷àñòèö îêàçûâàåòñÿ íå ñóììîé âîëíîâûõ ôóíêöèé îòäåëüíûõ
÷àñòèö («îòäåëüíûõ âîëí»), à èõ ïðîèçâåäåíèåì. Òàêîé ðåçóëüòàò ïîêàæåòñÿ ìåíåå íåîæèäàííûì, åñëè âñïîìíèì, ÷òî
âåðîÿòíîñòü îäíîâðåìåííîãî íàñòóïëåíèÿ äâóõ ñòàòèñòè÷åñêè
íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé äàåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì âåðîÿòíîñòåé
íàñòóïëåíèÿ êàæäîãî ñîáûòèÿ â îòäåëüíîñòè. À âåäü êâàäðàò
ìîäóëÿ ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ îïðåäåëÿåò âåðîÿòíîñòü
îáíàðóæèòü ÷àñòèöó â îïðåäåëåííîì îáúåìå ïðîñòðàíñòâà.
Ýòîò ïðèìåð ìîæíî îáîáùèòü íà ñëó÷àé áîëüøåãî ÷èñëà íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö.
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, îïèñûâàþùåãî ïîâåäåíèå ñðàçó âñåõ ýëåêòðîíîâ è àòîìíûõ ÿäåð â òâåðäîì òåëå, íåâîçìîæíî áåç ðÿäà óïðîùàþùèõ ïðåäïîëîæåíèé. Îáû÷íî ðåøàþò
çàäà÷ó î äâèæåíèè îäíîãî ýëåêòðîíà â «óñðåäíåííîì» ïîëå
7
àòîìíûõ ÿäåð è âñåõ îñòàëüíûõ ýëåêòðîíîâ. Ðåøåíèÿ òàêîãî óïðîùåííîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿþò íàáîð êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé
ýëåêòðîíà. Êàæäîå èç íèõ õàðàêòåðèçóåòñÿ çíà÷åíèåì ýíåðãèè è
íåêîòîðûìè äðóãèìè êâàíòîâûìè ïàðàìåòðàìè, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ óñëîâèÿìè çàäà÷è, â ÷àñòíîñòè, åå ñèììåòðèåé. Âàæíî
îòìåòèòü, ÷òî êâàíòîâûå ïàðàìåòðû â òâåðäîì òåëå íå ñâÿçàíû ñ
êâàíòîâûìè ÷èñëàìè â àòîìå âîäîðîäà. Ïîñëåäíèå õàðàêòåðíû
èñêëþ÷èòåëüíî äëÿ ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîé çàäà÷è.
Äëÿ ïðîñòåéøèõ çàäà÷ î äâèæåíèè ýëåêòðîíà ïðèâåäåì
ëèøü ðåøåíèÿ êîîðäèíàòíîãî (ñòàöèîíàðíîãî) óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Ìàññà ýëåêòðîíà áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ m, e — àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà åãî çàðÿäà.
Ðàññìîòðèì äâèæåíèå ýëåêòðîíà, äâèæóùåãîñÿ âäîëü
îñè õ â îáëàñòè, ãäå ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïîñòîÿííà: U(x) = U.
Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà èìååò âèä
h 2 ∂ 2ϕ
(1.11)
+ U ϕ = Eϕ .
2 m ∂x 2
Îáùåå (ñ ó÷åòîì çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè) ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà (1.3) èìååò âèä
−
Ψ = B exp i (kx − ω t ) + C exp i (−kx − ωt ) ,
(1.12)
òî åñòü çàâèñèìîñòü îò êîîðäèíàòû x ñòàíîâèòñÿ ñóììîé ýêñïîíåíöèàëüíî âîçðàñòàþùåé è óáûâàþùåé ôóíêöèé. Ïîñòîÿííûå
F è G îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèé çàäà÷è.
Ïîëüçóÿñü ôîðìóëàìè (1.12) è (1.13), ìîæíî ðåøàòü çàäà÷è îá îòðàæåíèè ÷àñòèöû, ïàäàþùåé íà ïðÿìîóãîëüíûé ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð. Äëÿ ýòîãî ÷àñòíûå ðåøåíèÿ, ñïðàâåäëèâûå
ëèøü äëÿ ñâîåé îòäåëüíîé îáëàñòè, íóæíî ïðàâèëüíî «ñøèòü»
íà ãðàíèöå îáëàñòåé ñ ðàçíîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé, ò.å. ïîäîáðàòü «ïðàâèëüíûå» ïàðàìåòðû B, C, F, G â îáùèõ ðåøåíèÿõ. Ïðè «ñøèâêå» òðåáóåòñÿ îáåñïå÷èòü íåïðåðûâíîñòü êàê
ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ, òàê è åå ïðîèçâîäíîé ïî êîîðäèíàòå.
Ïðè ðàññìîòðåíèè äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ïðÿìîóãîëüíîé
ïîòåíöèàëüíîé ÿìå ïðèõîäèòñÿ «ñøèâàòü» âûøåïðèâåäåííûå
ðåøåíèÿ óæå íà äâóõ ãðàíèöàõ. Èç ÷åòûðåõ óðàâíåíèé, ñâÿçàííûõ ñ íåïðåðûâíîñòüþ ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ è åå ïðîèçâîäíîé,
íàõîäÿòñÿ ðàçðåøåííûå ñîñòîÿíèÿ ýíåðãèè ÷àñòèöû â ïðÿìîóãîëüíîé ÿìå è âèä ñàìîé ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ.
Åñëè ÿìó ñ÷èòàòü áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé, òî âíå ÿìû è íà åå
êðàÿõ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ðàâíà íóëþ. Íà øèðèíå ÿìû L óêëàäûâàåòñÿ öåëîå ÷èñëî ïîëîâèíîê ñîîòâåòñòâóþùåé äëèíû âîëíû
äå Áðîéëÿ, òàê ÷òî
 πx
ϕ n = B sin  n  ,
 L 
ãäå k = 2 m ( E − U ) h , a ïîñòîÿííûå B è C îïðåäåëÿþòñÿ èç
óñëîâèé çàäà÷è.
Åñëè E > U, òî ðåøåíèå ÿâëÿåòñÿ ñóììîé äâóõ âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ âäîëü îñè õ â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ. ×àñòîòû âîëí îäèíàêîâû. Äëèíà âîëíû λ = 2π/k = 2πh/p — òà
æå, ÷òî áûëà ïðåäñêàçàíà äå Áðîéëåì äëÿ ÷àñòèöû ñ èìïóëüñîì p. Åñëè E < U, òî êîðåíü â ïàðàìåòðå k ñòàíîâèòñÿ ìíèìîé
âåëè÷èíîé. Âìåñòî íåãî óäîáíî èñïîëüçîâàòü ïàðàìåòð
æ= ik .  ýòîì ñëó÷àå êîîðäèíàòíàÿ çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ
óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà áóäåò èìåòü âèä
(1.13)
ϕ = F exp [æx ]+ G exp [−æx ],
çäåñü ïîäðàçóìåâàåòñÿ ìåñòîíàõîæäåíèå ÿìû 0 ≤ x ≤ L .
Äëÿ öåëûõ ÷èñåë n = 1, 2, 3, ... ïîëó÷àåòñÿ äèñêðåòíûé íàáîð ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ýíåðãèè
π 2 h2
En = n 2
.
(1.15)
2mL2
Ýíåðãèÿ óæå íå ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáîå çíà÷åíèå. Ðàçðåøåíû òîëüêî âïîëíå îïðåäåëåííûå äèñêðåòíûå ñîñòîÿíèÿ. Äèñêðåòíûå ýíåðãåòè÷åñêèå óðîâíè ïîÿâëÿþòñÿ âñÿêèé ðàç, êîãäà äâèæåíèå ýëåêòðîíà îãðàíè÷åíî êàêîé-òî îáëàñòüþ ïðîñòðàíñòâà.
8
9
(1.14)
Ïðè ðàññìîòðåíèè ïàäåíèÿ ÷àñòèöû íà ïðÿìîóãîëüíûé
ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð êîíå÷íîé øèðèíû êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà
ïðåäñêàçûâàåò íåèçâåñòíûé â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå ýôôåêò —
ïðîõîæäåíèå ÷àñòèöû ñêâîçü ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð, äàæå åñëè
ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû ìåíüøå âûñîòû ýòîãî áàðüåðà.
Ðàñ÷åò ïðîçðà÷íîñòè ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà, òî åñòü âåðîÿòíîñòè îáíàðóæèòü ïàäàþùóþ íà áàðüåð ÷àñòèöó çà áàðüåðîì, äåëàåòñÿ ïî òîé æå ñõåìå — «ñøèâàþòñÿ» íà äâóõ ãðàíèöàõ áàðüåðà èçâåñòíûå îáùèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà
äëÿ òðåõ îáëàñòåé ïðîñòðàíñòâà — ïðåäáàðüåðíîé, âíóòðèáàðüåðíîé è çàáàðüåðíîé. Èç ÷åòûðåõ óðàâíåíèé íà äâóõ ãðàíèöàõ
íàõîäÿòñÿ êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ ÷àñòèöû îò áàðüåðà è êîýôôèöèåíò ïðîçðà÷íîñòè áàðüåðà D.
 êà÷åñòâå êîýôôèöèåíòà ïðîçðà÷íîñòè áàðüåðà D åñòåñòâåííî âçÿòü îòíîøåíèå — âî ñêîëüêî ðàç âåðîÿòíîñòü îáíàðóæèòü ÷àñòèöó çà áàðüåðîì ìåíüøå âåðîÿòíîñòè îáíàðóæèòü åå
ïåðåä áàðüåðîì â ïàäàþùåé íà áàðüåð âîëíå. Ýòî îòíîøåíèå
áóäåò ïðîñòî ðàâíî êâàäðàòó ìîäóëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè, îêàçàâøåéñÿ çà áàðüåðîì, åñëè àìïëèòóäó âîëíû, ïàäàþùåé íà áàðüåð, ïðèíÿòü çà åäèíèöó. Ïðîñòîé ðàñ÷åò ïîêàçûâàåò, êàê êîýôôèöèåíò ïðîçðà÷íîñòè áàðüåðà çàâèñèò îò ýíåðãèè ïàäàþùåé
÷àñòèöû E , âûñîòû áàðüåðà U è åãî øèðèíû L:
−1


2 L
 sh  h 2 m(U − E)  

 .
D ( E ) = 1 +
E
E
 



4   1 − 

U
U
 


(1.16)
Ïðîçðà÷íîñòü áàðüåðà D ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò ñ ðîñòîì øèðèíû áàðüåðà L (â ñëó÷àå ìàëîãî êîýôôèöèåíòà ïðîçðà÷íîñòè). Òàêàÿ çàâèñèìîñòü ñïðàâåäëèâà è äëÿ áàðüåðîâ áîëåå ñëîæíîé ôîðìû.
Ïðè ðàññìîòðåíèè ïîâåäåíèÿ ñèñòåìû ýëåêòðîíîâ â òâåðäîì òåëå ïðèõîäèòñÿ èñïîëüçîâàòü ðàçëè÷íûå óïðîùàþùèå
10
ïðèáëèæåíèÿ.  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå âñå òâåðäîå òåëî ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê èìåþùàÿ òå æå ðàçìåðû òðåõìåðíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ
ÿìà ñ ãëàäêèì äíîì (òàê íàçûâàåìàÿ ìîäåëü Çîììåðôåëüäà).
Ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà, ïîêîÿùåãîñÿ íà äíå òàêîé ÿìû, ìåíüøå,
÷åì ýíåðãèÿ âàêóóìà — ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà, ïîêîÿùåãîñÿ ó ïîâåðõíîñòè òåëà ñíàðóæè. Ãëóáèíà ïîòåíöèàëüíîé ÿìû U îïðåäåëÿåòñÿ óñðåäíåííûì ïîëåì ïîëîæèòåëüíûõ èîíîâ ðåø¸òêè è
âñåõ ýëåêòðîíîâ.
Òàê êàê âñå ýëåêòðîíû ñ÷èòàþòñÿ íåâçàèìîäåéñòâóþùèìè, òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà äëÿ ñèñòåìû ýëåêòðîíîâ
ñâåäåòñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà äëÿ îäíîãî ýëåêòðîíà, äâèæóùåãîñÿ â ýòîì óñðåäíåííîì ïîëå. Íî íàéäåííûå
ðåøåíèÿ, «ðàçðåøåííûå êâàíòîâîé ìåõàíèêîé» ñòàöèîíàðíûå
ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà, îòíîñÿòñÿ êî âñåé ñèñòåìå ýëåêòðîíîâ.
È åñëè îäíî êâàíòîâîå ñîñòîÿíèå çàíÿòî ýëåêòðîíîì, òî â äðóãîì
êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè ìîæåò íàõîäèòüñÿ äðóãîé ýëåêòðîí è ò.ä.
 êàæäîì ñîñòîÿíèè íå ìîæåò íàõîäèòüñÿ áîëåå îäíîãî
ýëåêòðîíà. Ýòîò çàïðåò — ïðèíöèï Ïàóëè — â êâàíòîâîé ìåõàíèêå äåéñòâóåò äëÿ âñåõ ÷àñòèö ñ ïîëóöåëûì ñïèíîì (íàçûâàåìûõ ôåðìèîíàìè) è íå äåéñòâóåò äëÿ ÷àñòèö ñ íóëåâûì èëè öåëûì ñïèíîì (íàçûâàåìûõ áîçîíàìè). Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî
çäåñü ñîñòîÿíèÿ ñ îäíîé è òîé æå ýíåðãèåé, íî îòëè÷àþùèåñÿ
ëèøü îðèåíòàöèåé ñïèíà, ñ÷èòàþòñÿ ðàçíûìè ñîñòîÿíèÿìè.
Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ òâåðäîãî òåëà ïîêàçûâàåò, ÷òî ôóíêöèè
ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà, íàõîäÿùåãîñÿ â îãðàíè÷åííîì ïðîñòðàíñòâå îáúåìà òâåðäîãî òåëà, ïîõîæè íà ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà, íî èìåþò ëèøü äèñêðåòíûé íàáîð ðàçðåøåííûõ çíà÷åíèé êîìïîíåíò âîëíîâîãî âåêòîðà è êîìïîíåíò
èìïóëüñà.
Åñëè îáîçíà÷èòü ðàçìåðû òâåðäîãî òåëà êàê Lx, Ly, Lz, òî
êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà, íàõîäÿùåãîñÿ â ýòîì îáúåìå,
òàêîâû, ÷òî ðàçðåøåíû òîëüêî âîëíîâûå âåêòîðà k ñ êîìïîíåíòàìè
11
2π n y
2π nx
2π nz
(1.17)
, ky =
, kz =
,
Lx
Ly
Lz
ãäå nx, ny, nz — öåëûå ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå ÷èñëà.
Èç âçàèìîñâÿçè ìåæäó êîìïîíåíòîé âîëíîâîãî âåêòîðà kx
kx =
è ñîîòâåòñòâóþùåé êîìïîíåíòîé èìïóëüñà px = hkx ñëåäóåò,
÷òî ïðîèçâåäåíèå íåîïðåäåëåííîñòè â êîîðäèíàòå ïî îñè õ
ýëåêòðîíà (ãäå-òî âíóòðè èíòåðâàëà äëèíîé Lx) íà ðàçëè÷èå â
èìïóëüñå ó äâóõ áëèæàéøèõ ê äðóã äðóãó êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé
ýëåêòðîíà â òâåðäîì òåëå (∆px = 2πh/Lx) ñîâïàäàåò ñ èçâåñòíûì
ñîîòíîøåíèåì íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà ∆px ∆x ≥ h, à
èìåííî: Lx (2πh/Lx) = 2πh = h.
Åñëè ýëåêòðîí ëîêàëèçîâàí â îáúåìå V = Lx Ly Lz, òî â ïðîñòðàíñòâå èìïóëüñîâ [px, py, pz] ÿ÷åéêå èìïóëüñíîãî ïðîñòðàíñòâà îáúåìîì h3/(Lx Ly Lz) áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü äâà êâàíòîâûõ
ñîñòîÿíèÿ, îòëè÷àþùèåñÿ òåì, ÷òî ñïèíû ýëåêòðîíà â íèõ ïðîòèâîïîëîæíî îðèåíòèðîâàíû. Ïðîñòðàíñòâî èìïóëüñîâ ýëåêòðîíà îêàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî ðàçáèòî íà ýòè ýëåìåíòàðíûå
ÿ÷åéêè, îïðåäåëÿþùèå ðàçðåøåííûå êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ. Òàê
êàê ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà ïî-ïðåæíåìó ñâÿçàíà ñ èìïóëüñîì ñîîòíîøåíèåì E = p2/2m, òî ìîæíî ïîíÿòü, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå êîëè÷åñòâà êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ïî øêàëå ýíåðãèè áóäåò íå ðàâíîìåðíûì, à âîçðàñòàþùèì. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî êîëè÷åñòâî ðàçðåøåííûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé, ÷üÿ ýíåðãèÿ ëåæèò â èíòåðâàëå (Å; Å + dÅ), îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
3
 2m 
21
dS = V 4π 
(1.18)
 EdE = 6,81 ⋅10 V EdE ,
 h 
ãäå V — îáúåì êðèñòàëëà â ñì3, à E — ýíåðãèÿ â ýÂ. Âíåñèñòåìíàÿ åäèíèöà ýíåðãèè 1 ýÂ = 1,60219·10–19 Äæ — ýíåðãèÿ,
êîòîðóþ ïðèîáðåòàåò ýëåêòðîí, ïðîéäÿ óñêîðÿþùóþ ðàçíîñòü
ïîòåíöèàëîâ 1 âîëüò.
12
Ôóíêöèÿ s ( E ) = 4π ( 2 m h) 3 E íàçûâàåòñÿ ýíåðãåòè÷åñêîé ïëîòíîñòüþ ÷èñëà ñîñòîÿíèé. Ñ åå ïîìîùüþ ìîæíî âû÷èñëÿòü ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîíîâ ïî øêàëå ýíåðãèè ïðè
ðàçíûõ òåìïåðàòóðàõ.
Ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê àáñîëþòíîìó íóëþ, âñå
ýëåêòðîíû â ñèñòåìå çàíèìàþò ñàìûå íèæíèå ýíåðãåòè÷åñêèå
ñîñòîÿíèÿ, êîòîðûå ìîæíî çàïîëíèòü íå íàðóøàÿ ïðèíöèïà Ïàóëè. Â ïðîñòðàíñòâå èìïóëüñîâ ýòè ñîñòîÿíèÿ áóäóò ëåæàòü
âíóòðè ñôåðû. Öåíòð ñôåðû ðàñïîëîæåí â òî÷êå ñ íóëåâûì çíà÷åíèåì èìïóëüñà. Íî ñ ïîâûøåíèåì òåìïåðàòóðû ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîíîâ ïî ýíåðãåòè÷åñêèì óðîâíÿì (ãðóïïàì êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ñ îäíîé è òîé æå ýíåðãèåé) ìåíÿåòñÿ. Çàêîíîìåðíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåêòðîíîâ ïî êâàíòîâûì ñîñòîÿíèÿì
ñ ðàçëè÷íûìè çíà÷åíèÿìè ýíåðãèè óñòàíàâëèâàåò ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçèêà.
Êâàíòîâàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçèêà äîêàçûâàåò, ÷òî â ñèñòåìå, íàõîäÿùåéñÿ â òåðìîäèíàìè÷åñêîì ðàâíîâåñèè ñ òåìïåðàòóðîé Ò, âñå êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ ñ îäíèì è òåì æå çíà÷åíèåì
ýíåðãèè Å çàïîëíåíû ýëåêòðîíàìè îäèíàêîâî. Ñðåäíåå ÷èñëî
ýëåêòðîíîâ â îäíîì êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè çàâèñèò îò ýíåðãèè
êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿ, òåìïåðàòóðû è ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû, íàïðèìåð, ñêîëüêî â ñèñòåìå ýëåêòðîíîâ è êàê ðàñïîëîæåíû ïî
øêàëå ýíåðãèè êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Ôåðìè–Äèðàêà:
−1

E−µ 
n( E ) = exp 
 + 1 .
 kT  

(1.19)
Çäåñü Ò — àáñîëþòíàÿ òåìïåðàòóðà; k = 1,38·10-23 Äæ/Ê =
= (11600)–1 ýÂ/Ê — ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà; ; µ — íåêèé íîðìèðîâî÷íûé ïàðàìåòð, èìåþùèé ðàçìåðíîñòü ýíåðãèè è íàçûâàåìûé õèìè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì (ýëåêòðîõèìè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì, óðîâíåì Ôåðìè, ýíåðãèåé Ôåðìè).
13
 ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî óðîâåíü Ôåðìè îáëàäàåò âàæíûì ñâîéñòâîì. Åñëè ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â òåïëîâîì ðàâíîâåñèè è ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ ïîäñèñòåì, òî âñå
óðîâíè Ôåðìè, âû÷èñëåííûå äëÿ êàæäîé ïîäñèñòåìû, äîëæíû
ñîâïàäàòü.
Åñëè æå ñèñòåìà ñîñòîèò èç ýëåêòðîíîâ, îáëàäàþùèõ îòðèöàòåëüíûì çàðÿäîì –e, è ïðè ýòîì ìåæäó äâóìÿ ïîäñèñòåìàìè (òåëàìè) ïðèëîæåíî âíåøíåå íàïðÿæåíèå V, òî óðîâåíü
Ôåðìè òåëà, ñâÿçàííîãî ñ ïëþñîì èñòî÷íèêà íàïðÿæåíèÿ, ïîíèæàåòñÿ, à äðóãîãî òåëà — ïîâûøàåòñÿ. Ïðè ýòîì óðîâíè Ôåðìè
ïåðâîãî è âòîðîãî òåëà îòëè÷àþòñÿ íà âåëè÷èíó eV.
Çíàÿ êîëè÷åñòâî ýëåêòðîíîâ â åäèíèöå îáúåìà òåëà
è ýíåðãåòè÷åñêóþ ïëîòíîñòü ÷èñëà êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé, ìîæíî ïîëó÷èòü çíà÷åíèå ýíåðãèè Ôåðìè µ0 â ìåòàëëàõ ïðè T → 0:
Ðèñ. 1.1. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ôåðìè–Äèðàêà
ïðè ðàçëè÷íûõ òåìïåðàòóðàõ
Óðîâåíü Ôåðìè ñàì çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû è îò ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû, â ÷àñòíîñòè, îò êîëè÷åñòâà ýëåêòðîíîâ â íåé. Îí
ìîæåò áûòü íàéäåí èç óñëîâèÿ, ÷òî ñóììà ïî âñåì êâàíòîâûì
ñîñòîÿíèÿì çíà÷åíèé ñðåäíåãî ÷èñëà ýëåêòðîíîâ, íàõîäÿùèõñÿ
â êàæäîì èç íèõ, äîëæíî ðàâíÿòüñÿ ïîëíîìó ÷èñëó ýëåêòðîíîâ
â ñèñòåìå. Êàê âèäíî èç ôîðìóëû ðàñïðåäåëåíèÿ Ôåðìè–Äèðàêà, ñðåäíåå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ â ëþáîì êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè íå
ïðåâûøàåò åäèíèöû.
 ìåòàëëå ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê àáñîëþòíîìó
íóëþ, ýëåêòðîíû çàïîëíÿþò âñå êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ ñ ýíåðãèåé âïëîòü äî óðîâíÿ µ0, íàçûâàåìîãî íóëåâûì óðîâíåì Ôåðìè.
Âñå êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ ñ ýíåðãèåé âûøå óðîâíÿ µ0 ñâîáîäíû
îò ýëåêòðîíîâ. Ðàñïðåäåëåíèå Ôåðìè–Äèðàêà ïðèîáðåòàåò âèä
ñòóïåíüêè. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî íóëåâîé óðîâåíü Ôåðìè ñîâïàäàåò ñ ýíåðãåòè÷åñêèì ñîñòîÿíèåì, êîòîðîå çàïîëíåíî ëèøü
÷àñòè÷íî. Åñëè òàêîãî ñîñòîÿíèÿ íåò, òî íóëåâîé óðîâåíü Ôåðìè ëåæèò ñòðîãî ïîñåðåäèíå ìåæäó ïîñëåäíèì çàïîëíåííûì
ýíåðãåòè÷åñêèì óðîâíåì è ïåðâûì ïóñòûì óðîâíåì.
14
2
2
h 2  3n  3
−14 3
µ0 =
  = 0,360 ⋅ 10 n ,
2m  8π 
(1.20)
çäåñü m — ìàññà ýëåêòðîíà, m = 9,11·10–28 ã, n — êîíöåíòðàöèÿ
ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ â ñì–3:
N ρ
(1.21)
n=z A ,
M
ãäå z — ÷èñëî ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ íà àòîì; NA — ÷èñëî Àâîãàäðî, NA = 6,02·1023 ìîëü–1; ρ — ïëîòíîñòü ìåòàëëà, M — ìàññà ãðàìì-àòîìà ìåòàëëà.
2
2
h2  3 N A ρ  3
 ρ 3
(1.22)
z
µ0 =

 = 26   ýÂ,
2m  8π M 
M 
åñëè ρ / M âûðàæåíî â ñì–3, à z ñ÷èòàòü ðàâíûì åäèíèöå.
 ïîòåíöèàëüíîì ÿùèêå ñ ãëàäêèì äíîì çàâèñèìîñòü ðàçðåøåííûõ çíà÷åíèé ýíåðãèè îò ðàçðåøåííûõ çíà÷åíèé êîìïîíåíò âîëíîâîãî âåêòîðà En(kn) îêàçûâàåòñÿ òî÷êàìè íà ïàðàáîëè÷åñêîé çàâèñèìîñòè ýíåðãèè îò êîìïîíåíò âîëíîâîãî âåêòî-
15
ðà E = p2 / 2m = (hk)2 /2m äëÿ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà â ïóñòîì
ïðîñòðàíñòâå.
Ìîäåëü Çîììåðôåëüäà ìîæíî óòî÷íèòü, ïðèíèìàÿ âî
âíèìàíèå ïåðèîäè÷íîñòü â êðèñòàëëå ïîëÿ àòîìíûõ ÿäåð.
 ðåçóëüòàòå íà ãðàôèêå êâàçèíåïðåðûâíûõ ðàçðåøåííûõ çíà÷åíèé ýíåðãèè En(kn) ïîÿâÿòñÿ ðàçðûâû äëÿ òåõ çíà÷åíèé êîìïîíåíò âîëíîâîãî âåêòîðà, êîòîðûå áûëè êðàòíû π / a, ãäå a —
ïåðèîä êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè.  ýíåðãåòè÷åñêîì ñïåêòðå
êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ïîÿâèëèñü çîíû ðàçðåøåííûõ çíà÷åíèé
ýíåðãèé è çàïðåùåííûå çîíû, â êîòîðûõ íåò ðàçðåøåííûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé.
 çîíàõ ðàçðåøåííûõ çíà÷åíèé ýíåðãèè âáëèçè êðàÿ
çîíû çàâèñèìîñòü ïðèðàùåíèÿ çíà÷åíèÿ ýíåðãèè îò ïðèðàùåíèÿ âîëíîâîãî ÷èñëà îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëîé, ïîõîæåé íà
E = p2 / 2m = (hk)2 /2m, íî âìåñòî ìàññû ýëåêòðîíà m â íåé ñòîèò äðóãîé ïàðàìåòð — ýôôåêòèâíàÿ ìàññà.
 çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàê çàïîëíåíû çîíû ïðè òåìïåðàòóðå, áëèçêîé ê àáñîëþòíîìó íóëþ, òâåðäûå òåëà äåëÿòñÿ íà ìåòàëëû, ïîëóïðîâîäíèêè è äèýëåêòðèêè. Åñëè ïðè àáñîëþòíîì íóëå
òåìïåðàòóðû èìååòñÿ çîíà, çàïîëíåííàÿ ýëåêòðîíàìè ëèøü ÷àñòè÷íî, òî îíà íàçûâàåòñÿ çîíîé ïðîâîäèìîñòè, à òàêîå òâåðäîå òåëî ÿâëÿåòñÿ ìåòàëëîì. Åñëè ïîñëåäíÿÿ (â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ
ýíåðãèè) çîíà çàïîëíåíà ïîëíîñòüþ, òî îíà íàçûâàåòñÿ âàëåíòíîé, à ñëåäóþùàÿ ïóñòàÿ — çîíîé ïðîâîäèìîñòè. Òàêèå ìàòåðèàëû ÿâëÿþòñÿ ïîëóïðîâîäíèêàìè è äèýëåêòðèêàìè. Ðàçëè÷èå ìåæäó íèìè äîâîëüíî óñëîâíî. Ïîëóïðîâîäíèêàìè ñ÷èòàþòñÿ ìàòåðèàëû, ó êîòîðûõ øèðèíà çàïðåùåííîé çîíû íå ïðåâûøàåò 2 ýÂ.
Äëÿ ïîíèìàíèÿ äàëüíåéøèõ ðàçäåëîâ ïîñîáèÿ ñëåäóåò
ó÷åñòü, ÷òî âûñîòà ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà íà ãðàíèöå òâåðäîå
òåëî–âàêóóì çàâèñèò îò ïðèëîæåííîé íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.
Èç ýëåêòðîñòàòèêè èçâåñòíî, ÷òî ýëåêòðîí, íàõîäÿùèéñÿ
âáëèçè ìåòàëëè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ íóëåâûì ïîòåíöèàëîì,
ïðèòÿãèâàåòñÿ ê ýòîé ïîâåðõíîñòè. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðàáîòà
ýòèõ ñèë ïî ïåðåíîñó ýëåêòðîíà èç áåñêîíå÷íîñòè ðàâíà
U = e2/4x (ÑÃÑÝ), ãäå x — ðàññòîÿíèå ìåæäó ýëåêòðîíîì è ïîâåðõíîñòüþ òåëà. Òàê êàê ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð îáðàçóåòñÿ çà
ñ÷åò ðàáîòû ñèë ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî èçîáðàæåíèÿ, òî ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð ïðèíèìàåò çàêðóãëåííóþ ôîðìó
(ðèñ. 1.2à).
Ïðèëîæåííîå ê ïîâåðõíîñòè òÿíóùåå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå
íàïðÿæåííîñòüþ ε «íàêëîíÿåò» ãîðèçîíòàëüíóþ ñòóïåíüêó ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà; ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà â âàêóóìíîì ïðîìåæóòêå ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé
U = –e ε x (ðèñ. 1.2á).
Îäíîâðåìåííûé ó÷åò ýòèõ ýôôåêòîâ ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî
ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð íà ãðàíèöå ïîíèæàåòñÿ íà âåëè÷èíó
∆ϕ = e eε (ÑÃÑÝ). Ýòî ïîíèæåíèå íàçûâàåòñÿ ýôôåêòîì
Øîòòêè è íàèáîëåå çàìåòíî â ÿâëåíèÿõ òåðìîýìèññèè è àâòîýìèññèè ýëåêòðîíîâ. Åñëè íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ε âûðàçèòü â
Â/ñì, à ïîíèæåíèå ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà â ýÂ, òî
∆ϕ = 3,8 ⋅ 10 −4 ε .
(1.23)
16
17
Ðåøåíèå ïðèâåäåííûõ íèæå çàäà÷ îñíîâàíî íà ñëåäóþùèõ ðàáî÷èõ ôîðìóëàõ. Çíà÷åíèå ýíåðãèè Ôåðìè µT â ìåòàëëå
ïðè òåìïåðàòóðå T, îòëè÷íîé îò íóëÿ, ïðèáëèæåííî ñâÿçàíî ñî
çíà÷åíèåì óðîâíÿ Ôåðìè äëÿ íóëåâîé òåìïåðàòóðû ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
 π 2  kT  2 
µT ; µ 0 1 −    .
 12  µ 0  
(1.24)
Èíîãäà óäîáíî ââåñòè íîâûé ïàðàìåòð — òåìïåðàòóðó
âûðîæäåíèÿ
µ µ
(1.25)
T0 = ; 0 .
k
k
ÇÀÄÀ×È
Çàäà÷à 1.1.
Íà ïðÿìîóãîëüíóþ ïîòåíöèàëüíóþ ñòóïåíüêó áåcêîíå÷íîé
ïðîòÿæåííîñòè è âûñîòîé, ðàâíîé 2 ýÂ, íàëåòàåò ýëåêòðîí ñ ýíåðãèåé 3 ýÂ. ×åìó ðàâåí êîýôôèöèåíò íàäáàðüåðíîãî îòðàæåíèÿ?
Ðåøåíèå çàäà÷è 1.1.
Òàê êàê ýíåðãèÿ ÷àñòèöû áîëüøå âûñîòû áàðüåðà, òî â îáåèõ ÷àñòÿõ ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå áåãóùèõ âîëí. Àìïëèòóäó ïàäàþùåé âîëíû ìîæíî ïðèíÿòü
ðàâíîé åäèíèöå. Íàä áàðüåðîì âîëíà áåæèò òîëüêî âïðàâî.
Ψ1 = exp i (k1 x − ω t ) + C exp i (− k 1x − ωt ) ,
Ðèñ. 1.2
à) èçìåíåíèå ôîðìû ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà (çàêðóãëåíèå),
âûçâàííîå ñèëàìè ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî èçîáðàæåíèÿ;
á) èçìåíåíèå ôîðìû ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà (íàêëîí ñòóïåíüêè),
âûçâàííîå âíåøíèì ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì;
â) ïîíèæåíèå âûñîòû ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà ïðè îäíîâðåìåííîì
äåéñòâèè ñèë ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî èçîáðàæåíèÿ è âíåøíåãî
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ (ýôôåêò Øîòòêè)
Ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà ïðîâîäèìîñòè â ìåòàëëå ñîñòàâëÿåò
3
E = µ0 .
(1.26)
5
Êîíöåíòðàöèÿ íîñèòåëåé çàðÿäà (ýëåêòðîíîâ è äûðîê) â
íåâûðîæäåííîì ïîëóïðîâîäíèêå â ñëó÷àå ðàâåíñòâà ýôôåêòèâíûõ ìàññ ýëåêòðîíîâ è äûðîê ìàññå ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà â âàêóóìå âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
3
 2π mkT 
 E0 
n = 2 
(1.27)
 exp  −
,
h
 2kT 


ãäå m — ýôôåêòèâíàÿ ìàññà, Å0 — øèðèíà çàïðåùåííîé çîíû â
ïîëóïðîâîäíèêå.
18
Ψ 2 = D exp i (k 2 x − ω t ) .
Èç óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ è åå ïðîèçâîäíîé ïîëó÷èì
1 + C = D,
k1 (1 − C ) = k 2 D ,
k1 =
2mE
,
h
C=
k2 =
k1 − k 2
k1 + k 2
=
2m ( E − U )
,
h
3 −1
3 +1
.
2
 3 − 1
.
Îòâåò: êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ R = C = 
 3 + 1 


2
Çàäà÷à 1.2.
Íà ïîòåíöèàëüíóþ ÿìó áåcêîíå÷íîé ïðîòÿæåííîñòè ñ
ïðÿìîóãîëüíûì êðàåì ãëóáèíîé, ðàâíîé 2 ýÂ, íàëåòàåò ýëåêòðîí ñ ýíåðãèåé 3 ýÂ. ×åìó ðàâåí êîýôôèöèåíò íàäáàðüåðíîãî
îòðàæåíèÿ?
19
Ðåøåíèå çàäà÷è 1.2.
 îáåèõ ÷àñòÿõ ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå áåãóùèõ âîëí. Àìïëèòóäó ïàäàþùåé âîëíû
ìîæíî ïðèíÿòü ðàâíîé åäèíèöå. Íàä ÿìîé âîëíà áåæèò òîëüêî âïðàâî.
Ψ1 = exp i (k1 x − ω t ) + C exp i (− k 1x − ωt ) ,
Ψ 2 = D exp i (k 2 x − ω t ) .
Óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ è åå ïðîèçâîäíîé:
1 + C = D,
k1 (1 − C ) = k 2 D ,
k1 =
2m ( E + U )
2mE
, k2 =
,
h
h
C=
k1 − k 2
k1 + k 2
=
3 − 5
3+ 5
2
Çàäà÷à 1.3.
 íåêîòîðîé ñèñòåìå ïðè òåìïåðàòóðå T = 2520 Ê â ñîñòîÿíèè ñ ýíåðãèåé 5 ý ñðåäíåå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ n = 0,0909. Íàéòè ýíåðãèþ Ôåðìè.
Ðåøåíèå çàäà÷è 1.3.
−1


E−µ 
 11600(5 − µ )  
n( E ) = exp 
 + 1 = exp 
 +1  = 0,0909,
2520
 kT  

 


5 − µ = 2, µ = 3 ýÂ.
20
−1

 11 600 (5,64148 − µ ) 
n(5,64148) = exp 
 +1 
T

 

−1
= 0,2,
=0,8,
5,64148 − µ
1,3863
=−
,
11 600
T
6,35852 − µ
= − 1, 12 − 2 µ = 0,
5,64148 − µ
.
 3 − 5
Îòâåò: êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ R = C = 
.
 3 + 5 


Îòâåò: µ = 3 ýÂ.

 11 600 (6,35852 − µ ) 
n(6,35852) = exp 
 +1 
T


 
6,35852 − µ 1,3863
=
,
11 600
T
2
−1
Çàäà÷à 1.4.
Èçâåñòíî, ÷òî â ñèñòåìå ïðè òåìïåðàòóðå Ò â ñîñòîÿíèè ñ
ýíåðãèåé 6,35852 ý ñðåäíåå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ n = 0,2, à â ñîñòîÿíèè ñ ýíåðãèåé 5,64148 ý ñðåäíåå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ
n = 0,8. Íàéòè òåìïåðàòóðó Ò è óðîâåíü Ôåðìè.
Ðåøåíèå çàäà÷è 1.4.
µ = 6 ýÂ, T = 3000 K
Îòâåò: µ = 6 ýÂ, Ò = 3 000 Ê.
Çàäà÷à 1.5.
 äâóõóðîâíåâîé ñèñòåìå íàõîäèòñÿ N ýëåêòðîíîâ ïðè
òåìïåðàòóðå Ò. Ýíåðãèÿ íèæíåãî óðîâíÿ Å1, ýíåðãèÿ âåðõíåãî
óðîâíÿ Å2. Êîëè÷åñòâî ñîñòîÿíèé íà íèæíåì óðîâíå N, íà
âåðõíåì óðîâíå Ng. Ñêîëüêî ýëåêòðîíîâ íàõîäèòñÿ íà íèæíåì
è ñêîëüêî íà âåðõíåì óðîâíå ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê
íóëþ, è ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè? Âû÷èñëèòü íåíóëåâóþ òåìïåðàòóðó, ïðè êîòîðîé óðîâåíü Ôåðìè
ñîâïàäåò ñ îäíèì èç óðîâíåé Å1 èëè Å2. Ðàññ÷èòàòü è íàðèñîâàòü çàâèñèìîñòü óðîâíÿ Ôåðìè îò òåìïåðàòóðû. Íàéòè ïðåäåëû, ê êîòîðûì ñòðåìèòñÿ óðîâåíü Ôåðìè ïðè Ò, ñòðåìÿùåéñÿ
ê íóëþ, è ïðè Ò, ñòðåìÿùåéñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè.
21
Ðåøåíèå çàäà÷è 1.5.
Ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê àáñîëþòíîìó íóëþ,
âñå ýëåêòðîíû ðàñïîëîæåíû íà íèæíåì óðîâíå. Ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, êàæäîå ñîñòîÿíèå çàïîëíåíî ýëåêòðîíîì â îäèíàêîâîé ñòåïåíè, à èìåííî:
N
1
.
=
N + Ng 1 + g
N
Ïîýòîìó íà íèæíåì óðîâíå áóäåò
ýëåêòðîíîâ; íà
1+ g
Ng
.
âåðõíåì —
1+ g
N
Ng
+
= N,
E −µ
 E2 − µ 
+
1 + exp  1
1
exp



 kT 
 kT 
E 
E 
 µ 
a = exp  1  , b = exp  2  , c = exp 
,
 kT 
 kT 
 kT 
c
ñg
+
= 1,
c+a c+b
− gc 2 + (1 − g )ac + ab = 0,
(1 − g )a + (1 − g ) a 2 + 4abg
2
c (g , T ) =
2g
,
µ ( g , T ) = kT ln c (g , T ).
Äëÿ íàõîæäåíèÿ íåíóëåâîé òåìïåðàòóðû Ò2, ïðè êîòîðîé
óðîâåíü Ôåðìè ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç óðîâíåé Å1 èëè Å2, òðåáóåòñÿ ðåøèòü îäíî èç äâóõ óðàâíåíèé:
1
+
2
g
g
1
= 1 èëè
+ = 1.
 E − E1 
 E − E2  2
1 + exp  2
1 + exp  1


 kT2 
 kT2 
Îòâåò: àíàëèç ðåøåíèÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè T → 0 óðîâåíü
22
Ôåðìè ðàñïîëîæåí ïîñåðåäèíå ìåæäó óðîâíÿìè Å1 è Å2. Ïðè
T → ∞ è ïðè g ≠ 1 óðîâåíü Ôåðìè ëèíåéíî çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû: µ ≈ –kT ln (g).
Çàäà÷à 1.6.
 äâóõóðîâíåâîé ñèñòåìå íàõîäèòñÿ N ýëåêòðîíîâ ïðè
òåìïåðàòóðå Ò. Ýíåðãèÿ íèæíåãî óðîâíÿ Å1, ýíåðãèÿ âåðõíåãî
óðîâíÿ Å2. Êîëè÷åñòâî ñîñòîÿíèé íà íèæíåì óðîâíå Ng, íà
âåðõíåì óðîâíå N. Ñêîëüêî ýëåêòðîíîâ íàõîäèòñÿ íà íèæíåì è
ñêîëüêî íà âåðõíåì óðîâíå ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê
íóëþ, è ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè? Âû÷èñëèòü íåíóëåâóþ òåìïåðàòóðó, ïðè êîòîðîé óðîâåíü Ôåðìè
ñîâïàäåò ñ îäíèì èç óðîâíåé Å1 èëè Å2. Ðàññ÷èòàòü è íàðèñîâàòü çàâèñèìîñòü óðîâíÿ Ôåðìè îò òåìïåðàòóðû. Íàéòè ïðåäåëû, ê êîòîðûì ñòðåìèòñÿ óðîâåíü Ôåðìè ïðè Ò, ñòðåìÿùåéñÿ ê
íóëþ è áåñêîíå÷íîñòè.
Ðåøåíèå çàäà÷è 1.6.
Ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê àáñîëþòíîìó íóëþ, âñå
ýëåêòðîíû ðàñïîëîæåíû íà íèæíåì óðîâíå, åñëè g > 1. Åñëè
g < 1 , òî âñå ñîñòîÿíèÿ íà íèæíåì óðîâíå ïîëíîñòüþ çàïîëíåíû, à íà âåðõíåì óðîâíå áóäóò ðàñïîëîæåíû îñòàëüíûå
N (1 – g ) ýëåêòðîíîâ. Ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, êàæäîå ñîñòîÿíèå çàïîëíåíî ýëåêòðîíîì â îäèíàêîâîé ñòåïåíè, à èìåííî:
N
1
.
=
N + Ng 1 + g
Ïîýòîìó íà íèæíåì óðîâíå áóäåò Ng (1 + g ) ýëåêòðîíîâ;
íà âåðõíåì — N (1 + g ).
N
Ng
+
= N,
E −µ
 E2 − µ 
+
1 + exp  1
1
exp



 kT 
 kT 
23
E 
E 
 µ 
a = exp  1  , b = exp  2  , c = exp 
,
 kT 
 kT 
 kT 
cg
ñ
+
= 1,
c+a c+b
gc (b + c ) + c (a + c ) = (a + ñ)( b + c),
− gc 2 + (1 − g )bc + ab = 0,
d = (1 − g )a ,
c (g , T ) =
d+
d 2 + 4abg
,
2g
µ ( g , T ) = kT ln c (g , T ).
Äëÿ íàõîæäåíèÿ íåíóëåâîé òåìïåðàòóðû Ò2, ïðè êîòîðîé
óðîâåíü Ôåðìè ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç óðîâíåé Å1 èëè Å2, òðåáóåòñÿ ðåøèòü îäíî èç äâóõ óðàâíåíèé:
g
+
2
1
=1
 E2 − E1 
1 + exp 

 kT2 
èëè
g
1
+ = 1.
 E − E2  2
1 + exp  1

 kT2 
Îòâåò: àíàëèç ðåøåíèÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî, åñëè T → 0, òî
ïðè g > 1, óðîâåíü Ôåðìè ñîâïàäàåò ñ íèæíèì óðîâíåì Å1, à
ïðè g < 1 óðîâåíü Ôåðìè ñîâïàäàåò ñ âåðõíèì óðîâíåì Å2. Ïðè
T → ∞ è g ≠ 1 óðîâåíü Ôåðìè ëèíåéíî çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû:µ ≈ –kT ln (g).
24
Çàäà÷à 1.7.
 äâóõóðîâíåâîé ñèñòåìå íàõîäèòñÿ N (1 + 2 δ ) ýëåêòðîíîâ ïðè òåìïåðàòóðå Ò. Ýíåðãèÿ íèæíåãî óðîâíÿ Å1, ýíåðãèÿ
âåðõíåãî óðîâíÿ Å2. Kîëè÷åñòâî ñîñòîÿíèé íà íèæíåì óðîâíå N,
íà âåðõíåì óðîâíå N. Ñêîëüêî ýëåêòðîíîâ íàõîäèòñÿ íà íèæíåì
óðîâíå è ñêîëüêî íà âåðõíåì ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê
íóëþ, è ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè? Âû÷èñëèòü íåíóëåâóþ òåìïåðàòóðó, ïðè êîòîðîé óðîâåíü Ôåðìè
ñîâïàäåò ñ îäíèì èç óðîâíåé Å1 èëè Å2. Ðàññ÷èòàòü è íàðèñîâàòü
çàâèñèìîñòü óðîâíÿ Ôåðìè îò òåìïåðàòóðû. Íàéòè ïðåäåëû, ê
êîòîðûì ñòðåìèòñÿ óðîâåíü Ôåðìè ïðè T → 0 è T → ∞ .
Ðåøåíèå çàäà÷è 1.7.
Åñëè δ < 0, òî ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê àáñîëþòíîìó íóëþ, âñå ýëåêòðîíû ðàñïîëîæåíû íà íèæíåì óðîâíå. Åñëè δ > 0, òî íà íèæíåì óðîâíå áóäóò çàíÿòû ýëåêòðîíàìè âñå
N ñîñòîÿíèé, à íà âåðõíåì óðîâíå áóäóò ðàñïîëîæåíû îñòàëüíûå N·2δ ýëåêòðîíîâ.
Ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, êàæäîå
ñîñòîÿíèå çàïîëíåíî ýëåêòðîíîì â îäèíàêîâîé ñòåïåíè:
N (1 + 2 δ ) 1 + 2 δ
=
.
2N
2
Ïîýòîìó è íà íèæíåì óðîâíå, è íà âåðõíåì áóäåò
N (1 + 2 δ )
ýëåêòðîíîâ.
2
N
N
+
= N (1 + 2 δ ),
 E1 − µ 
 E2 − µ 
1 + exp 
 1 + exp 

 kT 
 kT 
E
a = exp  1
 kT

 E2 
 µ 
 , b = exp 
 , c = exp
,
 kT 

 kT 
c
ñ
+
= 1+ 2 δ ,
c+a c+b
25
c(b + c) + c(a + c) = (a + ñ)(b + c) (1 + 2 δ ),
Ðåøåíèå çàäà÷è 1.8.
 π 2  kT  2 
µÒ = µ 0 1 −

 ,
 12  µ 0  
(1 − 2δ )c 2 − 2δ (a + b )c − (1 + 2δ ) ab = 0,
δ (a + b ) + δ 2 (a + b ) + (1− 4δ 2 )ab
2
c (δ ,T ) =
(1 − 2δ )
µ (δ , T ) = kT ln c (δ ,
,
T ).
Äëÿ íàõîæäåíèÿ íåíóëåâîé òåìïåðàòóðû Ò2, ïðè êîòîðîé
óðîâåíü Ôåðìè ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç óðîâíåé Å1 èëè Å2, òðåáóåòñÿ ðåøèòü îäíî èç äâóõ óðàâíåíèé:
1
+
2
1
= 1 + 2δ èëè
 E2 − E1 
1 + exp 

 kT2 
1
1
+ = 1 + 2δ .
 E − E2  2
1 + exp  1

 kT2 
Îòâåò: àíàëèç ðåøåíèÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè T → 0, òî ïðè
δ < 0 óðîâåíü Ôåðìè ñîâïàäàåò ñ íèæíèì óðîâíåì Å1; à ïðè
δ > 0 óðîâåíü Ôåðìè ñîâïàäàåò ñ âåðõíèì óðîâíåì Å2. Ïðè
T → ∞ è δ ≠ 0 óðîâåíü Ôåðìè ëèíåéíî çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû:
 1 + 2δ 
µ ≈ kT ln 
.
 1 − 2δ 
2
2
 ρ 3
 10,2  3
µ 0 = 26,07   = 26,07 
 = 26,07 ⋅0,2243 ;5,85 ýÂ,
M
 96 
2
 (3,14 )2 
20  
µÒ = 5,85 1 −
 ; 5,846 ýÂ.
12  5,85 ⋅116  

Îòâåò: µT = 5,846 ýÂ.
Çàäà÷à 1.9.
Îöåíèòå n (E) — ñðåäíåå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ â ñîñòîÿíèè ñ
ýíåðãèåé E = 7,0 ýÂ ïðè T = 3 000 K â çîíå ïðîâîäèìîñòè êðèñòàëëà âîëüôðàìà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïëîòíîñòü êðèñòàëëà
ρ = 19,3 ã/ñì3, àòîìíûé âåñ M = 184, ÷èñëî ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ íà àòîì z = 1, m/m0 = 1, ãäå m — ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ýëåêòðîíà ïðîâîäèìîñòè, à m0 = 9,1·10–28 ã — ìàññà ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà â âàêóóìå.
Ðåøåíèå çàäà÷è 1.9.

E−µ 
n (E ) =  exp 
 + 1
 kT  

2
Çàäà÷à 1.8.
Îöåíèòå çíà÷åíèå ýíåðãèè Ôåðìè µΤ äëÿ ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè â êðèñòàëëå ìîëèáäåíà ïðè T = 2 000 K, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïëîòíîñòü êðèñòàëëà ρ = 10,2 ã/ñì3, àòîìíûé âåñ
M = 96, ÷èñëî ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ íà àòîì z = 1, ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ýëåêòðîíà ïðîâîäèìîñòè ðàâíà ìàññå ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà â âàêóóìå 9,1·10–28 ã.
26
−1
,
2
2
 ρ 3
 19,3  3
µ 0 = 26,07   = 26,07 
 = 26,07 (0,105 )3 = 5,8 ýÂ,
M
 184 
−1

−1
 116(7,00 − 5,8)  
−3
n (E ) ≅  exp 
 + 1 ≅ (104,54 ) = 9,66 ⋅10 ,
30

 

n (E ) = 9,66 ⋅10 −3.
Îòâåò: 9,66·10–3.
27
Çàäà÷à 1.10.
Îïðåäåëèòü ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè, êîòîðîé ìîæåò îáëàäàòü ýëåêòðîí, äâèæóùèéñÿ â ìåòàëëå
ïðè T → 0 K, åñëè êîíöåíòðàöèÿ ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè â
ðàññìàòðèâàåìîì ìåòàëëå 1023 ñì–3.
Ðåøåíèå çàäà÷è 1.10.
(6,626 ⋅10 −27 )
 3 ⋅10 23  3
h 2  3n  3
=
µ0 =

 =
 
2m  8π 
2 ⋅ 9,11 ⋅10 −28 ⋅1,602 ⋅10 −12 8 ⋅3,142 
2
2
2
43,9 ⋅10 −54 ⋅ 5,22 ⋅1014
= 7,85 ýÂ.
29,19 ⋅10 −40
Îòâåò: 7,85 ýÂ.
=
Çàäà÷à 1.11.
Îïðåäåëèòü êîíöåíòðàöèþ «ñâîáîäíûõ» ýëåêòðîíîâ â ìåòàëëå, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïðè ïëîòíîñòè òîêà ïðîâîäèìîñòè
ρ = 5 À/ñì2 ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü íàïðàâëåííîãî äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ ñîñòàâëÿåò 0,05 ñì/ñ.
Ðåøåíèå çàäà÷è 1.11.
j = neVcp ,
j
5
n=
=
= 6,24 ⋅ 10 20.
eVcp 1,602 ⋅10 −19 ⋅ 0,05
1,5
= 6,35 ⋅10 24.
Îòâåò: 6,35·1024.
Çàäà÷à 1.13.
Îöåíèòå çíà÷åíèå òåìïåðàòóðû âûðîæäåíèÿ ýëåêòðîíîâ
ïðîâîäèìîñòè â êðèñòàëëàõ âîëüôðàìà è öåçèÿ, åñëè èçâåñòíî,
÷òî ïðè T → 0 K êîíöåíòðàöèÿ ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè â êðèñòàëëå âîëüôðàìà nW = 6,35·1022 ñì–3, à â êðèñòàëëå öåçèÿ
nCs = 9,0·1021 ñì–3.
Ðåøåíèå çàäà÷è 1.13.
h2
µ µ
T0 = ; 0 =
k
k
2mk
2
 3n  3
  ,
 8π 
(6,62 ⋅10 )
2
−27 2
T0 W
 3 ⋅ 6,33 ⋅10 22  3
4
=

 = 6,7 ⋅ 10 K,
2 ⋅ 9,1 ⋅10 −28 ⋅1,38 ⋅10 −16  8 ⋅ 3,14 
(6,62 ⋅10 )
2
−27 2
T0 Cs =
2 ⋅ 9,1 ⋅10 −28 ⋅1,38 ⋅10 −16
 3 ⋅ 9 ⋅10 21  3
4

 = 1,88 ⋅ 10 K,
 8 ⋅ 3,14 
T0 W = 6,7 ⋅ 104 K, T0 Cs = 1,9 ⋅104 K.
Îòâåò: T0 W = 6,7·104 K, T0 Cs = 1,9·104 K.
Îòâåò: n = 6,24·1020 ñì–3.
Çàäà÷à 1.12.
Îöåíèòå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ â çîíå ïðîâîäèìîñòè â êðèñòàëëå âîëüôðàìà, îáúåì êîòîðîãî ðàâåí 100 ñì3, ïðè T → 0 K,
åñëè èçâåñòíî, ÷òî çíà÷åíèå ýíåðãèè Ôåðìè µ = 5,81 ýÂ.
Ðåøåíèå çàäà÷è 1.12.
1,5
n=


8 ⋅ 3,14  5,81 ⋅1,6 ⋅10 −12 ⋅ 2 ⋅9,1 ⋅10 −28 
N = 100
2

3 
(6,62 ⋅10 −27 )


8π  µ

 2 2m  ,
3 h

28
Çàäà÷à 1.14.
Âû÷èñëèòå çíà÷åíèå ñðåäíåé ýíåðãèè ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè â êðèñòàëëå õðîìà ïðè T = 0 K, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïëîòíîñòü õðîìà ρ = 7,19 ã/ñì3, àòîìíûé âåñ M = 52, ÷èñëî ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ íà êàæäûé àòîì z = 1, m / m0 = 1, ãäå m — ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ýëåêòðîíà ïðîâîäèìîñòè, m0 = 9,11·10–28 ã — ìàññà
ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà â âàêóóìå.
29
Ðåøåíèå çàäà÷è 1.14.
3
E = µ0 ,
5
2
2
 ρ 3
 7,19  3
µ 0 = 26,07   = 26,07 
 = 26,07 ⋅0,2674 = 6,97 ýÂ,
M 
 52 
E = 0,6 ⋅ 6,97 = 4,182 ýÂ.
Îòâåò: 4,182 ýÂ.
Çàäà÷à 1.15.
Îöåíèòü çíà÷åíèÿ ýíåðãèè Ôåðìè è êîíöåíòðàöèè ýëåêòðîíîâ â çîíå ïðîâîäèìîñòè ïðè òåìïåðàòóðàõ 300 Ê è
1000 Ê â ñîáñòâåííûõ ïîëóïðîâîäíèêàõ (êðèñòàëëàõ ãåðìàíèÿ, êðåìíèÿ, àëìàçà), øèðèíà çàïðåùåííîé çîíû êîòîðûõ
ðàâíà 0,74 ýÂ; 1,17 ýÂ; 5,4 ýÂ ñîîòâåòñòâåííî. Ýôôåêòèâíóþ
ìàññó ýëåêòðîíîâ è äûðîê ñ÷èòàòü ðàâíûìè ìàññå ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà.
Ðåøåíèå çàäà÷è 1.15.
 2π mkT
n = 2 
h

3

 E0
 exp  −
 2kT


 5800 ⋅ E 0 
15 1,5
 = 4,82 ⋅10 T exp  −
.
T



Îòâåò: óðîâåíü Ôåðìè íàõîäèòñÿ ïîñåðåäèíå çàïðåùåííîé çîíû. Êîíöåíòðàöèÿ ýëåêòðîíîâ (è äûðîê) ïðåäñòàâëåíà â
òàáëèöå:
Ýëåìåíòû
T = 300 K
T = 1000 K
Ãåðìàíèé
1,53·1013
2,09·1018
Êðåìíèé
3,76·109
1,72·1017
Àëìàç
1,14·10-26
3,81·106
30
31