12 Теорема о существовании и единственности решения задачи

О.Н.Чижова
12
Теорема о существовании и единственности
решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод последовательных приближений Пикара.
Рассмотрим систему из n обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме
Ẋ = F (t, X)
(1)
X(t0 ) = X0 ,
(2)
Зададим начальное условие
где (t0 ; X0 ) - некоторая фиксированная точка (n + 1)-мерного пространства.
Определение 12.1 Решением системы (1) на интервале (α; β) называется вектор-функция X(t) ∈ C 1 (α; β), обращающая систему (1) в векторное
тождество на указанном интервале.
Определение 12.2 Решением задачи Коши (1)-(2) называется решение
системы (1), удовлетворяющее условию (2).
Теорема 12.1 Теорема Пикара.
Пусть вектор-функция F (t, X) определена на множестве
R = {(t; X) / |t − t0 | ≤ a;
kX − X0 k = maxi |xi − xi0 | ≤ b},
где a, b - некоторые константы.
Пусть далее F (t, X) непрерывна на множестве R по t и всем компонен¯ ) множества R выполнено
там вектора X и для любых точек (t, X̄) и (t, X̄
условие Липшица по аргументу X
¯ )k ≤ LkX̄ − X̄
¯k
kF (t, X̄) − F (t, X̄
(величина L называется константой Липшица). Тогда решение задачи
Коши (1)-(2) существует, единственно и непрерывно дифференцируемо по
b
крайней мере на промежутке [t0 − h; t0 + h], где h = min{a; M
}; M =
maxR kF k. На указанном промежутке решение не выходит из множества
R .Промежуток [t0 − h; t0 + h] называется промежутком Пикара.
1
Схема доказательства.
1. Перейдем от системы (1) с начальным условием (2) к системе интегральных уравнений
Z
t
X(t) = X0 +
F (s, X)ds.
(3)
t0
Всякое решение задачи Коши (1)-(2), не выходящее на промежутке
[t0 − h; t0 + h] из множества R , является непрерывным решением системы (3); всякое непрерывное решение системы (3), не выходящее из
множества R , является решением задачи Коши (1)-(2).
2. Построим последовательность приближений Пикара
X0 (t) ≡ X0 ; t ∈ [t0 − a; t0 + a]
Z
t
Xm (t) = X0 +
F (s, Xm−1 (s))ds
(4)
t0
Установим, что в условиях теоремы функции (4) при m = 1, 2, ... непрерывны и не выходят из множества R при t ∈ [t0 − h; t0 + h]. Доказательство проводится индукцией по m.
3. Установим, что построенная последовательность {Xm (t)}∞
m=0 равномерно сходится по t на промежутке [t0 − h; t0 + h] к некоторой предельной функции X̄(t)
Xm (t) ⇒ X̄(t).
(5)
Равномерная сходимость последовательности обеспечивает непрерывность предельной функции X̄(t) на промежутке Пикара.
Для доказательства (5) рассмотрим ряд
X0 (t) + (X1 (t) − X0 (t)) + (X2 (t) − X1 (t)) + ...
(6)
Частичная сумма ряда (6) с номером m совпадает с Xm (t). Докажем
равномерную сходимость ряда (6). Для этого рассмотрим оценки величин kXm (t) − Xm−1 (t)k при m = 1, 2, ... Пользуясь методом индукции,
а также условием Липшица и формулой (4), получаем:
kXm (t) − Xm−1 (t)k ≤ M Lm−1
|t − t0 |m
m!
Учитывая, что |t − t0 | ≤ h, получаем числовой ряд:
2
(7)
kX0 k + M h + M L
h2
M Lh
+ ... = kX0 k +
(e − 1).
2!
L
(8)
Так как ряд (8) маторирует одновременно все компоненты векторного
ряда (6) и сходится, то ряд (6) сходится равномерно на промежутке
Пикара. Тем самым доказано соотношение (5).
4. Установим, что предельная функция X̄(t) является решением системы
(3) и не выходит из множества R при условии |t − t0 | ≤ h. Для этого
оценим величину
R
Rt
t
t0 F (s, Xm (s)) ds − t0 F (s, X̄(s)) ds ≤
R
t
≤ t0 kF (s, Xm (s)) − F (s, X̄(s))k ds ≤
R
t
≤ L t0 kXm (s) − X̄(s)k ds
В силу соотношения (5) для любого ε > 0, любого s ∈ [t0 − h; t0 + h]
существует номер N (ε) > 0 такой, что для всякого m > N (ε) выполняется неравенство k Xm (s) − X̄(s) k< ε. Подставляя это неравенство
в предыдущие оценки, получаем
Z t
L kXm (s) − X̄(s)k ds ≤ Lεh −−−−→ 0
m→∞
t0
Переходя к пределу при m → ∞ в соотношении (4), получим
Z
t
X̄(t) ≡ X0 +
F (s, X̄(s)) ds
(9)
t0
Итак, функция X̄(t) является решением интегральной системы (3) на
промежутке Пикара. Следовательно, эта функция является и решением исходной задачи Коши (1)-(2). Существование решения установлено.
5. Покажем единственность решения. Для этого предположим, что существует другое решение задачи Коши (1)-(2), которое не выходит из
множества R на промежутке Пикара. Обозначим эту функцию Z(t).
Рассмотрим величины kXm (t) − Z(t)k при m = 0, 1, 2, ... Методом математической индукции получим
kZ(t) − Xm (t)k =
Rt
Rt
= X0 + t0 F (s, Z(s)) ds − X0 − t0 F (s, Xm−1 (s)) ds ≤
R
t
≤ L t0 kZ(s) − Xm−1 (s)k ds .
Так как kZ(t) − X0 k ≤ M |t − t0 | ≤ M h, то
3
kZ(t) − Xm (t)k ≤
M Lm
M (Lh)m+1
|t − t0 |m+1 ≤
(m + 1)!
L (m + 1)!
Правая часть последнего неравенства стремится к нулю при m → ∞.
Отсюда следует, что Xm (t) ⇒ Z(t) при m → ∞, если |t − t0 | ≤ h.
С учетом соотношения (5) получаем, что Z(t) ≡ X̄(t) на промежутке
Пикара.
Следствие 12.1 Условие Липшица будет заведомо выполнено, если вели∂fi
существуют и непрерывны при i, j = 1, n на множестве R . В
чины ∂x
j
качестве константы Липшица можно взять величину
∂fi L = max max i,j
R
∂xj Здесь fi - i-я компонента вектора F (t, X).
Следствие 12.2 Пусть условия теоремы Пикара выполнены на неограниченном множестве
Ra = {|t − t0 | ≤ a; k X k< ∞}, где a - любое положительное число.
Тогда если константа Липшица одна и та же для всего множества Ra ,
то решение задачи Коши (1)-(2) при любом векторе x0 существует, единственно и определено на всём промежутке [t0 −a; t0 +a]. Если же L = L(a),
т.е. условие Липшица выполнено локально в окрестности каждой точки
(t0 ; x0 ), но единой константы Липшица для всего множества Ra не существует, то всякое решение задачи Коши (1)-(2) существует и единственно, но не всякое такое решение продолжимо на весь промежуток
[t0 − a; t0 + a].
4