Лекция 5. § 12. Схема независимых испытаний Бернулли Если

М.В.Дубатовская. Теория вероятностей и математическая статистика
Лекция 5.
§ 12. Схема независимых испытаний Бернулли
Если производится несколько испытаний, причем вероятность события A в
каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания
называют независимыми относительно события A .
В разных независимых испытаниях событие A может иметь различные
вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем рассматривать далее лишь такие
испытания, в которых событие A имеет одну и ту же вероятность.
Пусть производится n независимых испытаний, в которых событие A может
появиться или не появиться. Вероятность наступления события A в каждом испытании
равна p , вероятность ненаступления события A в каждом испытании равна q 1 p .
Вычислим вероятность того, что в n испытаниях событие A появится ровно k раз
(следовательно, не появится ровно n k раз, k n ). Не требуется, чтобы событие A
появилось k раз в определенной последовательности. Такую вероятность вычисляют по
формуле:
Pn (k )
Cnk p k q n
k
(формула Бернулли).
По теореме умножения независимых событий вероятность наступления одного
события A k раз в n испытаниях p k q n k . Таких событий столько, сколько можно
составить сочетаний из элементов по k . Такие события несовместны. По теореме
сложения несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех
возможных событий. Вероятность одинакова, поэтому искомая вероятность равна
произведению вероятности одного такого события на их количество Cnk .
Из формулы Бернулли следует, что вероятность того, что в n испытаниях событие
A произойдет:
1) менее k раз: Pn (0) Pn (1) ... Pn (k 1) ,
2) более k раз: Pn (k ) Pn (k 1) ... Pn (n) ,
3) не менее k1 раз и более k 2 раз: Pn (k1
4) хотя бы один раз: Pn ( k 1) 1 q n .
k
k2 )
Pn (k1 ) Pn (k1 1) ... Pn (k 2 ) ,
В ряде задач представляет интерес наивероятнейшее число k 0 успехов, т.е. такое число
появлений события A , которое является наибольшим среди всех Pn (k ) :
Pn (k0 ) Pn (k ) , k 0, n.
Это число находят из двойного неравенства:
np q k0
np q .
§ 13. Приближенные формулы в схеме Бернулли
Формула Бернулли позволяет производить вычисления, когда n невелико. При
больших n используют формулы Пуассона и Муавра-Лапласа. Если вероятность p
наступления события A в каждом испытании Бернулли постоянна и мала, а число
М.В.Дубатовская. Теория вероятностей и математическая статистика
испытаний n достаточно велико, то вероятность наступления события A ровно k раз
приблизительно равна: Pn (k )
e , где
np .( p 0,1; npq 10 ).
k!
Если вероятность p наступления события A в каждом испытании Бернулли
постоянна и не близка ни к 0 ни к 1, а число n велико (обычно n 100; npq 20 ), то
вероятность наступления события A ровно k раз можно приближенно найти по
локальной формуле Муавра-Лапласа
1
Pn (k )
( x) ,
npq
x2
k np
1
где x
, а ( x)
e 2 - функция Гаусса, значения которой приведены в
npq
2
таблицах.
Ее простейшие свойства:
1) ( x) 0 x R ,
1
2) (0)
,
2
( x) x R (четность),
3) ( x)
4) lim ( x) 0 ,
x
x2
2 dx
1
e
1.
2
Если в условиях локальной формулы Муавра-Лапласа число успехов k заключено между
k1 и k 2 , то используют интегральную формулу Муавра-Лапласа:
5)
( x)dx
k np
k2 np
P(k1 k k 2 )
, x2
,
x1 1
0 ( x2 )
0 ( x1 ) , где
npq
npq
функция Лапласа, значения которой приведены в таблице.
Свойства функции 0 ( x) :
1) 0 (0) 0 ,
x R (нечетность),
2) 0 ( x)
0 ( x)
1
1
, x 5,
3) 0 ( )
, 0 ( x)
2
2
1
1
, x R.
4)
0 ( x)
2
2
0
( x)
1
2
x
e
x2
2
dx -
0
Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в
независимых испытаниях.
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность
появления события A постоянна и равна p , 0 p 1 . Тогда вероятность отклонения
m
относительной частоты
от постоянной вероятности p , не превышающей по модулю
n
0 , можно вычислить по формуле:
P
m
n
p
2 0
n
pq
М.В.Дубатовская. Теория вероятностей и математическая статистика
Действительно,
Умножим на
Тогда x
m
n
p
n
pq
0:
n
, x
pq
m
n
p
.
n
pq
m
n
p
n
.
pq
n
. Отсюда требуемая формула.
pq