Глава 2. Повторные независимые испытания по схеме Бернулли. 2.1. Формула Бернулли. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие A с одной и той же вероятностью P ( A) p или произойти противоположное событие A с вероятностью P( A) 1 p q . Тогда вероятность того, что событие A наступит ровно k раз находится по формуле Бернулли Pn (k ) Cnk p k q n k , k 0, n (2.1.1). Пример 2.1.1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,8 и не зависит от номера выстрела. Найдите вероятность того, что при 5 выстрелах произойдёт ровно 2 попадания в мишень. Решение: В этом примере n 5 , p 0,8 , q 1 p 0, 2 , k 2 . По формуле Бернулли находим P5 (2) C52 (0,8) 2 (0, 2) 3 0,0512 . На практике часто требуется знать наивероятнейшее число наступлений события в схеме Бернулли, т.е. при каком значении k и фиксированном n вероятность Pn ( k ) принимает наибольшее значение. Это число k0 находится по формуле np q k0 np p (2.1.2). Если число np p не целое, то k0 равно целой части этого числа, т.е. k0 np p . Пример 2.1.2. Вероятность получения удачного результата при производстве сложного 3 химического опыта равна . Найти наивероятнейшее число удачных опытов, если 4 общее их количество равно 10. 3 0,75 , q 0, 25 . Тогда np q k0 np p 4 , т.е. 10 0,75 0,25 k0 10 0,75 0,75 или 7,25 k0 8,25 . Существует только одно Решение: В этой задаче n 10 , p целое решение этого неравенства, а именно k0 8 . 1 2.2. Формула Пуассона. Использование формулы Бернулли (2.1.1) при больших значениях n и k вызывает значительные трудности, так как это связано с громоздкими вычислениями. Рассмотрим асимптотические формулы в схеме Бернулли. Если число испытаний n достаточно велико, а вероятность p достаточно мала (npq 10, p 0,1) , то вероятность Pn ( k ) можно приближённо найти по формуле Пуассона Pn (k ) k k! e , где np (2.2.1). Пример 2.2.1. Радиоаппаратура состоит из 1000 электроэлементов. Вероятность отказа одного из них в течение года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Найти вероятность отказа трёх элементов. Решение: Вероятность отказа трёх элементов при p 0,001 вычислим по формуле Пуассона для редких явлений. np 1000 0,001 1 P1000 (3) 1 1 1 e 0,0613 3! 6e . 2.3. Асимптотические формулы Муавра-Лапласа. Локальная формула Муавра-Лапласа: Если в схеме независимых испытаний Бернулли число испытаний n велико ( npq 10) , а вероятность p отлична от 0 и 1, то вероятность Pn ( k ) может быть вычислена приближенно по формуле Pn (k ) ( x) npq , где ( x ) 1 e 2 x2 2 x , k np npk (2.3.1). Формула применяется при npk 10 . Для функции ( x ) составлена таблица её значений. Свойства функции ( x ) : Функция ( x ) - чётная , т.е. ( x ) ( x ) . Функция ( x ) монотонно убывает при положительных значениях x . 2 Таблица значений функции ( x ) составлена для 0 x 4 , так как при x 4 ( x) 0 . Пример 2.3.1. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна p 0,75 . Найдите вероятность того, что при 100 выстрелах стрелок поразит мишень 80 раз. Решение: По условию n 100 , p 0,75 , k 80 , q 0, 25 . Так как npq 100 0,75 0, 25 18,75 10 , то применим локальную формулу Муавра-Лапласа. P100 (80) 1 1 ( x) ( x) 80 100 0,75 4.330 100 0,75 0, 25 1,16 . , x 4 330 По таблице найдём (1,16) 0, 2059 . Тогда искомая вероятность равна 0,048. Интегральная формула Муавра-Лапласа: Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn (k1 k k2 ) может быть найдена по приближённой формуле Pn (k1 k k2 ) ( x2 ) ( x1 ) 1 , где ( x ) 2 x e t2 2 dt , x2 k2 np k np , x1 1 npq npq . Функция ( x ) - функция Лапласа (интеграл Лапласа). Свойства функции ( x ) : Функция ( x ) - нечётная функция, ( x ) ( x ) . Функция ( x ) возрастает на всей числовой оси. При x 4 ( x ) 1 , поэтому функция представлена в виде таблицы для 2 0 x 4. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях не более чем на некоторое число 0 равна m Pn p 2 n n pq . Пример 2.3.2. В каждом из 700 испытаний на брак появление стандартной лампочки происходит с постоянной вероятностью 0,65. Найдите вероятность того, что при таких 3 условиях появление бракованной лампочки произойдёт чаще, чем в 230 испытаниях, но реже, чем в 280 испытаниях. Решение: Событие A - появление бракованной лампочки. По условию задачи n 700 ; p 1 0,65 0,35 ; q 0,65 . Найдём P700 (230 k 280) , применяя интегральную формулу Муавра-Лапласа. npq 700 0,35 0,65 12,6 ; x2 x1 230 700 0,35 1,19 ; 12,6 280 700 0,35 2,78 . 12,6 P700 (230 k 280) (2,78) (1,19) (2,78) (1,19) 0,4973 0,3830 0,880 . 2.4. Задачи для самостоятельного решения. 2.4.1. Вероятность попадания в мишень при выстреле для данного стрелка равна 0,7 и не зависит от номера выстрела. Найдите вероятность того, что при 5 выстрелах пройдёт ровно 2 попадания в мишень. 2.4.2. Вероятность изготовления доброкачественного изделия равна 0,9. Найдите вероятность того, что среди взятых наудачу 300 изделий 95% окажется доброкачественных. 2.4.3. Вероятность получения отличной оценки на экзамене равна 0,2. Найдите наивероятнейшее число отличных оценок и вероятность этого числа, если сдают экзамен 50 студентов. 2.4.4. Каждый из 100 компьютеров в интернет-кафе занят клиентом в среднем в течение 80% рабочего времени. Найдите вероятность того, что в момент проверки клиентами будет занято не менее 80 компьютеров. 2.4.5. В каждом из 10000 независимых испытаниях вероятность успеха равна p 0,75 . Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от постоянной вероятности по абсолютной вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,001. Ответы: 2.4.1. 0,132. 2.4.2. 0,001. 2.4.3. 15; 0,115. 2.4.4. 0,5. 2.4.5. 0,182. 4