Повторные независимые испытания Формула Бернулли

Повторные независимые
испытания. Формула Бернулли
Повторные испытания называются
независимыми, если вероятность осуществления
любого исхода в каждом испытании не зависит от
реализации исходов в предыдущих испытаниях.
Рассмотрим испытания с двумя возможными
исходами А и А, где А означает, скажем, «успех», а
А − «неудачу», причем в каждому испытании
вероятность p успеха и вероятность q = 1 – p
неудачи постоянны.
Серия независимых испытаний называется
схемой испытаний Бернулли, если каждое
испытание имеет только два возможных
исхода А и А, и вероятности этих исходов
остаются неизменными для всех испытаний.
Если же произведено n испытаний, то
получим 2𝑛 возможных исходов. Итак,
пространство элементарных событий в n
испытаниях имеет 2𝑛 точек, являющихся
последовательностями, состоящими из n
комбинаций символов А и А, например
АААА… АА. Каждая такая
последовательность представляет собой один
возможный исход составного события.
Поскольку испытания независимы, то
вероятности перемножаются, т.е. для
события АААА… АА имеем Р(АААА… АА) =
qppq…pq.
Обозначим через 𝑃𝑛 𝑚 вероятность
появления 𝑚 раз события А успех в серии
из n независимых испытаний. p – вероятность
успеха, q – вероятность неудачи.
𝑚
𝑚
𝑛−𝑚
𝑃𝑛 𝑚 = 𝐶
∗ 𝑝 ∗𝑞
𝑛
где
𝑚
𝐶𝑛
=
𝑛!
𝑚!∗ 𝑛 −𝑚 !
q=1-p
В самом деле, вероятность того, что при n
испытаниях событие А наступит m раз и,
следовательно, не появится n-m раз равна
𝑝𝑚 ∗ 𝑞 𝑛−𝑚 . Но событие А может наступить при
любом m из n возможных испытаний. Так как
число возможных комбинаций m элементов из
n равно 𝐶 𝑚
, то по формуле 𝑃 𝐴 + 𝐵 =
𝑛
𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 искомая вероятность 𝑃𝑛 𝑚 =
𝑚 ∗ 𝑞 𝑛−𝑚 .
𝐶𝑚
∗
𝑝
𝑛
Каждый день акции корпорации АВС
поднимаются в цене или падают в цене на один
пункт с вероятностями соответственно 0,75 и
0,25. Найти вероятность того, что акции после
шести дней вернутся к своей первоначальной
цене. Принять условие, что изменения цены
акции вверх и вниз – независимые события.
Для того, чтобы акции вернулись за 6 дней к своей
первоначальной цене, нужно, чтобы за это время они 3
раза поднялись в цене и три раза опустились в цене.
p = 0.75
q = 0.25
m=3
n=6
Для поиска вероятности воспользуемся формулой
𝑚 ∗ 𝑞 𝑛−𝑚
Бернулли 𝑃𝑛 𝑚 = 𝐶 𝑚
∗
𝑝
𝑛
𝑃6 3 = 𝐶 36 ∗ 0.753 ∗ 0.256−3 = 0.13
Вероятность попадания при одном
выстреле равна 0.3. Найти вероятность двух
попаданий при пяти выстрелах.
p = 0.3
q = 0.7
m=2
n=5
Стрельба по мишени есть
последовательность независимых
испытаний (выстрелов). Тогда по
формуле Бернулли расчитаем
вероятность:
𝑃5 2 =
2
𝐶5
∗ 0.752 ∗ 0.255−2 = 0.308